Der Funktionsbegriff Wie sich dem Begriff der Funktion im Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll...
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Der Der FunktionsbegriffFunktionsbegriff
Wie sich dem Begriff der Wie sich dem Begriff der Funktion im Funktion im
Mathematikunterricht Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll nähern ?didaktisch sinnvoll nähern ?
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Der FunktionsbegriffDer Funktionsbegriff Kurze EinleitungKurze Einleitung Die Veranschaulichung von Funktionen und Die Veranschaulichung von Funktionen und
Abbildungen nach Hans FreudenthalAbbildungen nach Hans Freudenthal Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus
StellmacherStellmacher Der Funktionsbegriff nach Arnold KirschDer Funktionsbegriff nach Arnold Kirsch
Im TaschenrechnerIm Taschenrechner DefinitionDefinition DarstellungsweisenDarstellungsweisen EigenschaftenEigenschaften
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Vier Funktionen ?Vier Funktionen ?
f: f: mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x f: f: ++ mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x f: f: [-1,1] [-1,1] mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x f: f: ++ [-1,1] [-1,1] mit f(x) = sin xmit f(x) = sin x
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Hans Freudenthal Hans Freudenthal (1905 bis (1905 bis 1990)1990)
gefunden: http://www.fi.uu.nl/hf100/images/hansfreudenthal.jpg, am 10.11.2006
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Beispiele für FunktionenBeispiele für Funktionen Preis als Funktion der Quantität einer WarePreis als Funktion der Quantität einer Ware Rabatt als Funktion des RechnungsbetragsRabatt als Funktion des Rechnungsbetrags Zinsen als Funktion der ZeitZinsen als Funktion der Zeit Zurückgelegter Weg als Funktion der ZeitZurückgelegter Weg als Funktion der Zeit Gewicht eines Stoffes als Funktion des Gewicht eines Stoffes als Funktion des
VolumensVolumens Lebensalter als Funktion der JahreszahlLebensalter als Funktion der Jahreszahl Temperatur als Funktion der ZeitTemperatur als Funktion der Zeit Beispiele theoretischer oder empirischer Beispiele theoretischer oder empirischer
Funktionen, nahe der erlebten RealitätFunktionen, nahe der erlebten Realität
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Beispiele für FunktionenBeispiele für Funktionen
Volumen als Funktion der Volumen als Funktion der KantenlängeKantenlänge
auch: Sinus, Kosinus, Logarithmusauch: Sinus, Kosinus, Logarithmus Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit
in einem zylindrischen Glas steigt als in einem zylindrischen Glas steigt als Funktion der Flüssigkeitsmenge Funktion der Flüssigkeitsmenge
( ( Stellmacher: Graphenmethode am Stellmacher: Graphenmethode am Beispiel )Beispiel )
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Die graphische Die graphische DarstellungDarstellung
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Ein Beispiel: Die Ein Beispiel: Die VierergruppeVierergruppe
Abstrakt: Gruppe mit GruppentafelAbstrakt: Gruppe mit Gruppentafel
Konkreter: Permutationsgruppe von vier Konkreter: Permutationsgruppe von vier Symbolen: {1,2,3,4}Symbolen: {1,2,3,4}
e1=1e1=1 e2=2e2=2 e3=3e3=3 e4=4e4=4a1=2 a1=2 a2=1a2=1 a3=4a3=4 a4=5a4=5b1=3b1=3 b2=4b2=4 b3=1b3=1 b4=2b4=2c1=4c1=4 c2=3c2=3 c3=2c3=2 c4=1c4=1
ee aa bb cc
ee ee aa bb cc
aa aa ee cc bb
bb bb cc ee aa
cc cc bb aa ee
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Die VierergruppeDie Vierergruppe
a: Die Schüler in A und B a: Die Schüler in A und B tauschen ihre Plätze, ebenso tauschen ihre Plätze, ebenso die in C und Ddie in C und D
b: Die Schüler in A und C b: Die Schüler in A und C tauschen ihre Plätze, ebenso tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und Ddie in B und D
c: Die Schüler in A und D c: Die Schüler in A und D tauschen ihre Plätze, ebenso tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und Cdie in B und C
BA
C D
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Die VierergruppeDie Vierergruppe
a: Arthur gg. Bettina unda: Arthur gg. Bettina und
Charlotte gg. DavidCharlotte gg. David
b: Arthur gg. Charlotte undb: Arthur gg. Charlotte und
Bettina gg. DavidBettina gg. David
c: Arthur gg. David undc: Arthur gg. David und
Bettina gg. CharlotteBettina gg. Charlotte
BA
C D
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Die VierergruppeDie VierergruppeDie VierergruppeDie Vierergruppe
Einerseits:Einerseits:
a: Formvertauschunga: Formvertauschung
b: Farbvertauschungb: Farbvertauschung
c: Form- und Farbvertauschungc: Form- und Farbvertauschung
Andererseits:Andererseits:
a: tausche oben und untena: tausche oben und unten
b: tausche links und rechtsb: tausche links und rechts
c: tausche sowohl oben und c: tausche sowohl oben und unten als auch links und unten als auch links und rechtsrechts
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Was ist passiert ?Was ist passiert ?
VersetzungsregelVersetzungsregeloderoder
Verwandlungsregel Verwandlungsregel ? ?
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Fehler in der Durchführung Fehler in der Durchführung an einem Beispielan einem Beispiel
i: Identitäti: Identität
a: Bettina gg. Charlottea: Bettina gg. Charlotte
b: Arthur gg. Charlotteb: Arthur gg. Charlotte
c: Arthur gg. Bettinac: Arthur gg. Bettina
r: Jeder gehe eins nach r: Jeder gehe eins nach rechtsrechts
l: Jeder gehe eins nach l: Jeder gehe eins nach linkslinks
A B
C
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Fehler in der Durchführung Fehler in der Durchführung an einem Beispielan einem Beispiel
Prüfe Assoziativität:Prüfe Assoziativität:
b ( r a ) = lb ( r a ) = l
aberaber
( b r ) a = i( b r ) a = i
A B
C
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Fehler in der Durchführung Fehler in der Durchführung an einem Beispielan einem Beispiel
i: Identitäti: Identität
a: Bettina gg. Charlottea: Bettina gg. Charlotte
b: Arthur gg. Charlotteb: Arthur gg. Charlotte
c: Arthur gg. Bettinac: Arthur gg. Bettina
r: Jeder gehe eins nach r: Jeder gehe eins nach rechtsrechts
l: Jeder gehe eins nach l: Jeder gehe eins nach linkslinks
A B
C
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Zur UnterscheidungZur Unterscheidung
VersetzungenVersetzungen::
In einer Menge vonIn einer Menge von PlätzenPlätzen gibt die Regel f gibt die Regel f an, dass an, dass das Objekt in das Objekt in xx nach nach fxfx versetzt versetzt wird.wird.
Für f ist sind die Objekte Für f ist sind die Objekte auf den Plätzen auf den Plätzen unwesentlich. Was mit x unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt geschieht, hängt nicht nicht von seiner Art, nur von seiner Art, nur vom Platzvom Platz ab. ab.
((WoWo bin ich ?) bin ich ?)
VerwandlungenVerwandlungen::
In einer Menge vonIn einer Menge von ObjektenObjekten gibt die Regel gibt die Regel f an, dass f an, dass das Objekt das Objekt xx in in fxfx verwandelt verwandelt wird. wird.
Für f ist sind die Plätze Für f ist sind die Plätze der Objekte der Objekte unwesentlich. Was mit x unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt geschieht, hängt nicht nicht von seinem Platz, nur von seinem Platz, nur von seiner Artvon seiner Art ab. ab.
((Wer Wer oderoder was was bin ich ?) bin ich ?)
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Die Herausbildung des Die Herausbildung des FunktionsbegriffesFunktionsbegriffes
natürlicherAbbildungsbegriff
Lehrer
Grundvorstellungenvon
Funktionen & AbbildungenDefinition von„Funktionen“
bilden heraus
beeinflusst und verändert
formalisiert & form
uliert
wirkt a
uf & nutzt fü
hrt zu
„verstehen“
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Der beabsichtigte BogenDer beabsichtigte Bogen Die Grundvorstellungen der Schüler nutzenDie Grundvorstellungen der Schüler nutzen
ein natürlicher Abbildungsbegriffein natürlicher Abbildungsbegriff Maschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, RechenschieberMaschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, Rechenschieber graphische Darstellunggraphische Darstellung
einfach und anschaulich: Translationen in der Ebeneeinfach und anschaulich: Translationen in der Ebene schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem
anschaulichen Bild anschaulichen Bild ein Beispiel aus dem Unterricht: ein Beispiel aus dem Unterricht: das Spiel mit der Vierergruppedas Spiel mit der Vierergruppe Analyse und Bewertung Analyse und Bewertung Gegenüberstellung erarbeiten Gegenüberstellung erarbeiten
Funktionsdefinition / FunktionsdarbietungFunktionsdefinition / Funktionsdarbietung Definition als „Prozess des Definierens“, psychologische Definition als „Prozess des Definierens“, psychologische
Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ?geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ?
Zwei Wege zum Funktionsbegriff: „ein Gesetz, das …“ und Zwei Wege zum Funktionsbegriff: „ein Gesetz, das …“ und „eine Teilmenge von …“„eine Teilmenge von …“
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Wie den Funktionsbegriff Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ?didaktisch bringen ?
Entlang des WegesEntlang des Weges der Verbalisierung der Verbalisierung („ein Gesetz, das ...“) („ein Gesetz, das ...“) intensionale Definitionintensionale Definition
Entlang des WegesEntlang des Weges der der Formalisierung („eine Teilmenge Formalisierung („eine Teilmenge von ...“) von ...“) extensionale Definitionextensionale Definition
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Wie den Funktionsbegriff Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ?didaktisch bringen ?
Punkt 1:Punkt 1: Einfachheit und Anschaulichkeit Einfachheit und Anschaulichkeit der Struktur. Kann durch „Teilmenge“ der Struktur. Kann durch „Teilmenge“ und „Relation nur verdunkelt werden.und „Relation nur verdunkelt werden.
Punkt 2:Punkt 2: Zusammensetzen, Zusammensetzen, Hintereinanderausführen von Hintereinanderausführen von FunktionenFunktionen
Punkt 3:Punkt 3: Praktischer Nutzen des Praktischer Nutzen des Relationsbegriffes im Relationsbegriffes im MathematikunterrichtMathematikunterricht
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Der Der Funktionsbegriff Funktionsbegriff
im Unterrichtim UnterrichtDer Funktionsbegriff und Der Funktionsbegriff und
seine Darstellungenseine Darstellungen
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Einleitung mal etwas Einleitung mal etwas andersanders
Welche Vorstellung verbindet ihr mit Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Wort Kuchen?dem Wort Kuchen?
Welche Vorstellung verbindet ihr mit Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Begriff Auto?dem Begriff Auto?
Jeder hat zu einem gewissen Begriff Jeder hat zu einem gewissen Begriff seine individuelle Vorstellungseine individuelle Vorstellung
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Einleitung mal etwas Einleitung mal etwas andersanders
Was verbindet ihr mit dem Begriff Was verbindet ihr mit dem Begriff Funktion?Funktion?
Wie wurde der Begriff Funktion in der Wie wurde der Begriff Funktion in der Schulzeit eingeführt?Schulzeit eingeführt?
Die Grundvorstellungen der Schüler Die Grundvorstellungen der Schüler werden durch die Art und Weise der werden durch die Art und Weise der Darstellung im Unterricht entscheidend Darstellung im Unterricht entscheidend mitgeprägt. mitgeprägt.
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Eine Form der DefinitionEine Form der Definition
Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B.Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B.
Ist in einer bestimmten Weise jedem Element ausIst in einer bestimmten Weise jedem Element aus
A genau ein (wohlbestimmtes) Element y aus BA genau ein (wohlbestimmtes) Element y aus B
zugeordnet, so nennt man diese Zuordnungzugeordnet, so nennt man diese Zuordnung
Funktion f mit Definitionsmenge Funktion f mit Definitionsmenge
(Definitionsbereich) A und Zielmenge B oder auch(Definitionsbereich) A und Zielmenge B oder auch
Abbildung f von der Menge A in die Menge B.Abbildung f von der Menge A in die Menge B.
nach A. Kirschnach A. Kirsch
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Darstellungsweisen für Darstellungsweisen für FunktionenFunktionen
Verbale BeschreibungVerbale Beschreibung von von Definitionsbereich und ZuordnungDefinitionsbereich und Zuordnung
Beschreibung mittels Beschreibung mittels RechenausdrückenRechenausdrücken
Darstellung mittels Darstellung mittels PfeildiagrammPfeildiagramm Darstellung mittels Darstellung mittels WertetafelWertetafel Darstellung einer Funktion f : A Darstellung einer Funktion f : A
B alsB als Paarmenge Paarmenge
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Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge
und Nachteileund Nachteile1.1. Das PfeildiagrammDas Pfeildiagramm
VorteileVorteile- Definition lässt sich leicht daran - Definition lässt sich leicht daran
erläutern und nachvollziehenerläutern und nachvollziehen - Zielmenge ist nicht gleich - Zielmenge ist nicht gleich Wertebereich leicht darstellbarWertebereich leicht darstellbar
NachteileNachteile - A und B müssen nicht disjunkt - A und B müssen nicht disjunkt
seinsein - Unendliche Mengen lassen sich- Unendliche Mengen lassen sich nur andeutungsweise darstellennur andeutungsweise darstellenzurückzurück
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Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge
und Nachteileund Nachteile 2. Die Wertetabelle2. Die Wertetabelle
VorteileVorteile- Die Zuordnung lässt sich leicht - Die Zuordnung lässt sich leicht
erkennenerkennen- Definition lässt sich daran gut - Definition lässt sich daran gut zeigenzeigen
NachteileNachteile- unendlicher Definitionsbereich - unendlicher Definitionsbereich lässt lässt sich nur andeutungsweise sich nur andeutungsweise darstellendarstellen
zurückzurück
Schüler XSchüler X Gewicht von x Gewicht von x in Kgin Kg
MaxMax 3939
AndreaAndrea 3535
MartinMartin 4646
ChristianChristian 3939
BirteBirte 3030
UteUte 3434
Nana Nana 3636
PhilippPhilipp 3838
MoritzMoritz 4040
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Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge
und Nachteileund Nachteile 3. Der Graph3. Der Graph
VorteileVorteile- Definition ist leicht überprüfbar- Definition ist leicht überprüfbar- sehr anschaulich und - sehr anschaulich und übersichtlichübersichtlich- Zusammenhänge sind gut - Zusammenhänge sind gut sichtbarsichtbar
NachteileNachteile- kann beim Schüler implizieren, - kann beim Schüler implizieren, dass dass
Funktionen immer so aussehenFunktionen immer so aussehen- Schüler wird auf Funktionen - Schüler wird auf Funktionen festgelegtfestgelegt
zurückzurück
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Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge
und Nachteileund Nachteile 4. Mittels 4. Mittels
RechenausdruckRechenausdruck
VorteilVorteil
- Notwendigkeit für praktische Arbeit, z.B. - Notwendigkeit für praktische Arbeit, z.B. AbleitungenAbleitungen
NachteileNachteile
- nicht jede Funktion darstellbar- nicht jede Funktion darstellbar
Bsp.:Bsp.:f : mit
f(n) := die kleinste Primzahl p, p≥ n ist.
Bsp.Bsp.
f(x)=x²+x+1f(x)=x²+x+1 f(t)=√t +1 t≥0f(t)=√t +1 t≥0
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Darstellungsweisen von Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge Funktionen – ihre Vorzüge
und Nachteileund Nachteile 5. Verbale 5. Verbale
Beschreibung Beschreibung
- - macht sich gut zur Hinführung macht sich gut zur Hinführung zum zum
FunktionsbegriffFunktionsbegriff
- Mengen die man betrachtet - Mengen die man betrachtet müssenmüssen
keine Zahlmengen seinkeine Zahlmengen sein
- der Unterschied zwischen - der Unterschied zwischen einzelnen einzelnen
Funktionen wird hier sehr Funktionen wird hier sehr deutlichdeutlich
(Definitionsbereich, (Definitionsbereich, Wertebereich)Wertebereich)
Bsp:Bsp: Jedem Menschen
aus der Menge der Menschen wird seine Mutter zugeordnet.
Jedem Menschen wird sein Elternpaar zugeordnet
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Mögliche Schreibweisen für Mögliche Schreibweisen für FunktionenFunktionen
1. f(x) = x² - 3x + 2
2. x x² - 3x + 2
3. (x) (x² - 3x + 2) nach Church
4. (x² - 3x + 2) nach Russel
5. |(x² - 3x + 2) nach Freudenthal
x
| 3 x 4
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Eigenschaft Eigenschaft InjektivitätInjektivität
1. Rechenausdruck:1. Rechenausdruck: Jede Gleichung f(x)=y hat bei gegebenen y höchstens eine
Lösung.
2. 2. Pfeildiagramm:Pfeildiagramm: Niemals kommen zwei Pfeile an einem Punkt in B an
3. 3. GraphGraph wenn zwei Paare (Punkte) im zweiten Glied übereinstimmen,
so auch im ersten
4. 4. WertetabelleWertetabelle In der rechten Spalte kommen keine Werte doppelt vor außer
wenn in A doppelte Wertepaare auftreten
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Eigenschaft Eigenschaft SurjektivitätSurjektivität
1. Rechenausdruck1. Rechenausdruck Für jedes y aus B hat die Gleichung f(x)=y mindestens eine
Lösung
2. Pfeildiagramm2. Pfeildiagramm In jedem Punkt von B kommt mindestens ein Pfeil an
3. Graph3. Graph Zu jedem y aus B gibt es mindestens ein Paar (Punkt)
dessen zweites Glied es ist.
4. Wertetabelle4. Wertetabelle Jedes Element aus B kommt in der Spalte der
Funktionswerte vor.
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EigenschaftEigenschaft MonotonieMonotonie
1.1. GraphGraph
2. Pfeildiagramm2. Pfeildiagramm
Bsp: f(x)Bsp: f(x)[x] siehe [x] siehe TafelTafel
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Verwendete QuellenVerwendete Quellen
Arnold KirschArnold Kirsch (1994): „Mathematik richtig (1994): „Mathematik richtig verstehen“, Kapitel 8, Aulis Verlagverstehen“, Kapitel 8, Aulis Verlag
Hans FreudenthalHans Freudenthal (1979): „Mathematik als (1979): „Mathematik als pädagogische Aufgabe“, Kapitel 15, Klett pädagogische Aufgabe“, Kapitel 15, Klett VerlagVerlag
Gerd von Harten u.aGerd von Harten u.a. (1986): . (1986): „Funktionsbegriff und funktionales Denken“, „Funktionsbegriff und funktionales Denken“, Kapitel 2 f, Aulis VerlagKapitel 2 f, Aulis Verlag
Werner Küstenmacher u.aWerner Küstenmacher u.a. (2003): „Mathe . (2003): „Mathe Macchiato“, Pearson StudiumMacchiato“, Pearson Studium