Depto. Matemáticas – IES Elaios

Tema: Distribuciones de Probabilidad

2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL

Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM

Apuntes: Triángulo de Tartaglia o de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

….Este triángulo está formado por los números combinatorios

Distribución Binomial. Definición Un experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo de una distribución binomial:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A, que se llama éxito, y su contrario Ac, al que se llama fracaso.

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores.

3. La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía de una prueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1 – p la probabilidad de Ac .

La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina variable aleatoria binomial. Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …, n éxitos.Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas realizadas, n, y probabilidad del suceso “éxito”, p, y se representa por B(n, p).

Ejemplos

Distribución binomial: función de probabilidad

Si realizamos n = 10 pruebas, la probabilidad de obtener r = 3 éxitos es:

Fenómeno aleatorio: lanzar un dado

Éxito: A = "obtener un 6"

Fracaso: A = "no obtener un 6"

p(A) = 1

6

p(A) = 5

6

B = A A A A A A A A A A P(B) =

1

6

3

5

6

7

Formas de obtener 3 éxitos: =

10

3

p(obtener 3 éxitos) = p(X = 3) =

10

3 .

1

6

3 .

5

6

7

Tabla de valores de B(10, 1/6)

r p(X = r)0 0,1615055831 0,3230111662 0,2907100493 0,1550453604 0,0542658765 0,0130238106 0,0021706357 0,0002480738 0,0000186059 0,000000827

10 0,000000017

X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)

Función de probabilidad:

p(X = r) =

10

r .

1

6

r

.

5

6

10 - r

p(x)

0

0,07

0,14

0,21

0,28

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gráfica de la función de probabilidad

Distribución binomial: función de probabilidad

Distribución Binomial: media y varianza

En una variable aleatoria binomial B (n , p)

Media:

Varianza:

Desviación típica: qpnσ

qpnσ 2

Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)

Media = 10 · 1/6 = 10/6

Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36

Desviación típica = √50 / 6

μ = n p

Variable aleatoria de la Distribución Normal N(µ, )

f(x) = 1

2 e

- 12

x-

2

Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media y desviación típica , y se designa por N(, ) si se cumplen las siguientes condiciones.

1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x (–, +).

2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de ecuación matemática de la función de Gauss, es:

X

Y

x =

Características de la función de densidad de la N(µ, )

f(x) = 1

2 e

- 12

x-

2

Campo de existencia = (– ,+ )

(, )1 2

Creciente Decreciente

I

I'

Área bajo la curva:1 unidad

y = 0

Familia de distribuciones normales

Familia de distribuciones normales

X

Y

0a

Características de la distribución N(0,1):

1. Función de densidad:

2. Probabilidad:

Distribución normal estándar N(0, 1)

De las infinitas distribuciones N(, ) tiene especial interés la distribución N(0, 1), es decir, aquella que tiene por media el valor cero ( = 0) y por desviación típica la unidad ( = 1). Se le designa como variable Z.

f(t) = e

-

12 t2 1

2

21

21

( ) e2

at

P Z a dt

Tablas de la normal N(0, 1)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

21

21

( ) ( ) e2

xt

F x P Z x dt

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(Z 1,23) = 0,8907

X

Y

01,23

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(Z –1,23) =

X

Y

01,23–1,23

1 – P(Z 1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(1,01 Z 1,23) =

X

Y

01,23

P(Z 1,23) – P(Z 1,01) =

= 0,8907– 0,8438 = 0,1469

1,01

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(–1,23 Z –1,01) =

X

Y

0

= P(Z 1,23) – P(Z 1,01) = 0,8907– 0,8438 = 0,1469

1,231,01–1,23 –1,01

P(1,01 Z 1,23) =

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(–1,23 Z 1,01) =

X

Y

0

= P(Z 1,01) – (1 – P(Z 1,23)) = 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345

P(Z 1,01) – P(Z –1,23) =

1,01–1,23

Apuntes: Algunas probabilidades bajo la N(µ, )

X

Y

– – –0,683

0,954

0,997

Apuntes: Tipificación de la variable N(µ, )

Dada una variable aleatoria X que sea N(µ, )

Con el cambio de variable Z = (X - µ)/

Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0 , 1)

Se dice que Z es la variable tipo o tipificada.

Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la tabla N (0 , 1)

Ejemplo.- Sea X una N(5 , 0,4). Calcular P (X ≤ 5,8) Variable tipificada: Z = (X – 5)/ 0,4 Entonces: P (X ≤ 5,8)= P [(X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P (Z ≤ 2) Buscamos en la tabla N (0 , 1): P (Z ≤ 2) =0,9772