Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20091 / 27 TMMOB NAAT MHENDSLER ODASI STANBUL UBES MESLEK ETM SEMNERLER DEPREM MHENDSL AISINDANYAPI DNAMNE GR Ksa Kurs Notu

Prof. Zekeriya POLAT YT Emekli retim yesi polat@yildiz.edu.tr

ubat Mart 2009 -MO stanbul ubesi/ Harbiye /stanbul Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20092 / 27 DEPREM MHENDSL AISINDAN YAPI DNAMNE GR 0. GR Gnmzyapmhendisliinde;yapsistemlerininzmlenmesindegiderekdinamikkuvvetlerin gzetilmesi ihtiyac artmaktadr. Bunun balca nedenleri yle aklanabilir: (1)Hzla artan yerleim alanlar ve konut ihtiyac, kent alanlarnn giderek dikey kullanlmasn gerektirmektedir.Yapsalsistemlerdemeydanagelenbudikeygelime;birbakadeyimle okkatlyksekyaplarkullanlmas,yapsistemleriningidereknarinlemesianlamna gelmektedir. Yaplar narinletike doal titreim periyotlar uzamakta ve buna paralel olarak yklerin dinamik zelliklerinin dikkate alnmas zmlemede arlk kazanmaktadr. (2)Yapsalmalzemelerineitliliiartmakta,yeniyapmalzemeleriortayaatlmakta,daha nemlisi;yapmclktaarlnkoruyanbetonveelikmalzemelerinkaliteleri ykselmektedir.Kezaahapdahaverimlikullanlabilmektedir.Bugelimelerdekezayap sistemlerindedahakkkesitli,narinelemanlarkullanlabilmesiimkngetirmektedir. Yaplarnbunedenlenarinlemesidevaktiylestatikolarakalnabilenykveetkilerin gnmzdevegiderekartanbirekildedinamikzellikleriyledikkatealnmasn gerektirmektedir. (3)naat teknolojilerinin gelimesi de benzer bir etki yapmakta, giderek daha yksek ve narin yaplarn ina edilebilmesine imkn salamaktadr. (4)Biliimteknolojilerinindekatksilehzlagelienhesapvetasarmyntemleriok karmakproblemlerinbilepratikolarakzmlenebilmesiimknlargetirmektedir.Tasarmc,okkarmakyapsalzmlemevetasarmproblemlerininaltndan kalkabilmektedir.Kezamhendislikbilimlerindemeydanagelengelimeler;hesaplarnve hesapmodellerininbilinmezlerinivehesapriskleriniazaltarakdahakkgvenlik aralklarvekatsaylarkullanabilmesonucunugetirmektedir.Btnbugelimelerde dinamik yklerin dikkate alnmas zorunlu alan geniletmektedir. (5)Kezayapsalykleridourantatveendstrirnaravegerelerdekigelimeler, bunlardan ileri gelen yk ve etkilerin dinamik alann geniletmektedir. Gnmzyapmhendisliinde,zellikledeyaptasarmclnda,dinamikkavramlarn arl bylece giderek artmaktadr. naatMhendisleriOdasMeslek-iiEitimindeyapdinamiivedepremmhendislii kavram ve yntemlerinin reniminin ksa kurslarla tekrarnn yararl olaca dnlmektedir. Buamala;YapDinamiiveDepremMhendisliiadileplanlananbukursunilkdrt haftas daha ok kavramsal bilgilerin tekrarna, son drt haftas ise, bu kavramlarn zmleme ve tasarm yntem ve yaklamlarna yansmasna ayrlmtr.

Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20093 / 27 A. BR SERBESTLK DERECEL (BSD)DORUSAL ELASTK SSTEMLERN TTREM A.1. YAPISAL TTREMLERN SINIFLANDIRILMASI Yapsaltitreimler,incelemekolaylsalamakbakmndan,deiikbakalarile snflandrlrlar. Titreim parametreleri asndan aadaki snflandrma ok kullanlr/1/: (1)Snml zorlanm titreimler:Titreim probleminde en genel hldir. (2)Snmlserbest(doal)titreimler:Balambirtitreimin,sebeportadankalkt hlde, pratik olarak snmleninceye kadar srmesi hareketidir. (3)Snmsz zorlanm titreimler: Yaplarn dinamik zelliklerinin hesabnda, snmn ihmli,sonucupratikolarakpeketkilemez;buyzden,bugibidurumlardabasitlik salamakamacylasnmterimleriterkedilir;gerektedoadabulunmadhlde snmsz sistemler bylece sz konusu olur. (4)Snmszserbesttitreimler:Snmsztitreiminhareketinnedenikalktandan itibaren devam eden ksmdr. Bunlardanilkikisitabiattabulunanhareketleri,sonikisiisetabiattabulunmadhldebz bakmlardantabiattabulunanhareketleritemsileden,dahaokhesaplardapratikkolaylklarve sdelikler getirdii iin incelenen hareketleri gsterir. Serbestlikderecesinegresnflandrmadabirdieryaygnsnflandrmabiimidir;serbestlik derecesi (SD) bir yapnn zamann herhangi bir kesitinde konfigrasyonunumhendislik ihtiyalar lsnde belirleyebilmek iingerekli koordinat saysdr.Bu adan yapsal titreimler; (1)Bir serbestlik dereceli (BSD) sistemler, (2)ok serbestlik dereceli sistemler (SD), (3)Srekli ktleli (sonsuz serbestlik dereceli) sistemler eklindesnflandrlr.Butrbiryaklam,titreimproblemlerininmatematikformlasyonunu kolaylatrr (ekil A.1.1). Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20094 / 27 ekil A.1.1. Serbestlik derecelerine gre yapsal titreimlerin snflandrlmas A.2. BR SERBESTLK DERECEL SSTEMLER (BSDS) A.1.2.1. BSD sistemlerin doal (serbest) titreimi Yaplarn dinamik hesabnda geen parametreleri iki ana grupta toplamak mmkndr: (1)Doal(serbest)titreimparametreleri:Bunlardoaltitreimfrekans,periyot, modalvektrvemodalkatlmarpangibizeldeer(eigenvalue)karakterinde parametrelerdir.Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20095 / 27 (2)Yaplarndinamiktepkileri:Hareketenedenolanzorlamalardan(detkilerden),yer sarsntsndangelenparametrelerdir;buparametrelerinhesabhareketdenklemlerinin tmterimlerigznnealnarakzmngerektirir;yapnnhertrtepkisi (response,davran,mukabele),dinamikykarpan(transferfunction)vbbu balamda dnlebilir.

BSD sistemin doal titreim denklemi ve balang artlar 0 olan sistem iin zm: 0 kx x c x m. ..= + +(A.2.1) (((

||||

\|++ =) sin) 0 ( ) 0 (cos ) 0 ( ) (.tx xt x e t xDDDt ) sin cos ( t B t A e xD Dt + =(A.2.2) dir.A ve B integrasyon sabitleri; x(0) ve ) 0 (.xbalang genlii ve hz ile, A = x(0) B=Dx x ) 0 ( ) 0 (.+ (((

||||

\|++ =) sin) 0 ( ) 0 (cos ) 0 ( ) (.tx xt x e t xDDDt(A2.2a) bulunur: Snmparametresi(c)ihmaledilirse,snmsz(homogen)sistemindoaltitreiminden bahsedilir: 0..= + kx x m (A.2.3) t sin B t cos A x xh + = = = x(0) cost +) 0 (.x sint(A.2.4) Bu ifadelerde geen terimlerin anlamlar aada verilmitir: m: BSD sistemin ktlesi, c: Snm katsays (viscose), k: Rijitlik(yay, spring)katsays, x,xh,xp:Srasilehareket,homojen(serbest)hareket,zelhareket(yapnntepkileri, responses), mk= : Doal titreim asal frekans (asal hz,asal frekans, plzasyon), m 2cq = = : Sadeletirme amal katsay, km 2 ccr= : Viskoz snm katsaysnn kritik deeri, Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20096 / 27 = = qcccr : Snm oran, 2 2 2D1 q = = : Snml (gerek) sistemin asal frekans, 21 =D : Snml sistem frekans / Snmsz sistem frekans =2T : Snmsz sistemin periyodu, TTTDD>= =212 : Snml (gerek) sistemin periyodudur. Yapsal titreimlerdesnm oran (damping ratio), kritik snm orannn ok altnda gerekleir, genelde0.01-0.20arasndadeiir;standartmhendislikhesaplarnda0.05alnr.Bylebir durumda snml (gerek) sistemin asal frekansnn snmsz sistemin asal frekansna oran = D= ) 1 (2 =(1-0.052)0.5 =0.9987491.0olur.Grldgibi,frekans(dolaysyla periyot) hesabna snmn etkisi, pratik olarak ihmal edilebilecek mertebelerdedir; zaten bu yzden snmsz sistemlerin incelenmesi bir anlam kazanr. A.2.2.BSD sistemin deiik d ykler altnda tepkisi A.2.2.1. Ani etkiyen sabit yk hli (ekil 2.1) En basit d yk, sisteme n olarak etkiyen sabit iddetli yktr; bu durumda BSD sistemin hareket denklemi aadaki gibidir: 0. ..F kx x c x m = + + (A2.5) Denklemi,mkkFxmkxmcx0. ..= + + eklinde yazp, yukardaki tanmlarda verilen deerleri yerlerine yazlrsa,2st2. ..x x x 2 x = + + (A2.6) bulunur.F(t)0Ftstx 2) t ( x0DT) e 1 ( xtst +) e 1 ( xtst t ekil A.2.1. Ani etkiyen sabit yk hlinde BSDS in tepkisi Balang artlar sfr, yni (x (0) = 0 ve .x (0) =0) olan bir yapda zm: Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20097 / 27 ((

+ =) sin (cos 1 t t e x xDDDtst(A2.7) olarak elde edilir. Eer snm ihmal edilirse, zm,

[ ] t x xst cos 1 = (A2.7a) olur.Standart snm oran =0.05 iin bu son iki ifadenin ilk maksimumlar (spectral deerleri): (A2.7)ile (yni snml gerek- sistem hlinde)xmax= 1.8546 xst , (A2.7a) ile (yni snmn ihmal edildii durumda) xmax= 2 xst bulunur.1.8546ve2.0,yapnndinamiktepkisinin(mukabele,response)statiktepkisininne kadarkatolacangstermektedir;bunlaradinamikykkatsaylardenir.Grld zere;snm,yapnn dinamiktepkisininemlillerdedeitirmekte,kltmektedir.Bu nedenle ihmal edilmemesi gerekir. ekil A2.2. Deiik yk durumlar A.2.2.2. Dikdrtgen yk hli (step load) (ekil A2.2a) ekilA2.2anetkiyenykiinbulunanzm,ttdiinise, sperpozisyon kural uygulanarak cevap retilebilir /1/. Yani; t td zaman aralnda dikdrtgen yk iin zm; ((

+ =) sin ) / ( (cos t t x xD DDDtst (2.8a) Vet > td zaman aralnda ise; (((

+ + = ) sin ) / ( (cos)) ( sin ) / ( ) ( (cos) (t t et t t t ex xD D Dtd D D d Dtd tst (A2.8b) olur. Snmsz sistem hlinde t > td iin zm, Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20098 / 27 ) 2 / t t ( sin ) 2 / t ( sin x 2 xd d st = (A2.8a) olur. A.2.2.3. Ani impuls hli (ekil A2.2b) Yknetkimesresitd,yaptitreimperiyoduTyanndaokkkbirsreise,budurumdayk yalnziddetiiledeil,mekanikteimpulsdiyeanlanykalanilenemkazanr.Budurumda; td , T ve t yannda ok kk olduundan; sin ) 2 / (dt 2 / tdve(t-td)t alnarak, ve Fotd = Jile gsterilerek,(A2.8) ifadesi sdeletirilirse, t emJxDtDsin=(A2.9) bulunur. Snmsz sistem hlinde, bu ifde, tmJx sin =(A2.9a) olur. A.2.2.4.Herhangi yk hli (ekil A2.2c) Herhangiyk;herhangianndaetkiyenalansonsuzkkF()dimpulslarnntoplam (integrasyonu) eklinde yazlabilir. Bu takdirde,D alnarak, (A2.9) ile, = ttd t e Fmx0) () ( sin ) (1 (A2.10)

yazlabilir.Bu ifade her yk durumuna uygulanabilir. A.3. YER HAREKET (DEPREM) VE TEPK SPEKTRUMU A.3.1.Yer hareketi iin zm Yer hareketi xg (t),ktlenin (yap) hareketi x (t) ve ktlenin yere gre hareketi y (t) = x (t) xg (t) ile gsterilirse (ekil A3.1), diferansiyel hareket denklemi, 0 ky y c x m. ..= + +0 ky y c ) y x ( m. .. ..g= + + + ..g. ..x m ky y c y m = + + ..g. ..x ymkymcy = + + ve gerekli ksaltma ve yerine yazmlar yaplarak, Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 20099 / 27 ..g2. ..x y y 2 y = + +olur.Bu denklemin zm iin; F() yerine-mgx..() alnarak (A2.10)ifadesi kullanlabilir: = tDtgDd t e x mmy0) (..) ( sin ) (1 (A3.1a) Dalnr ve integrasyonun iinde ve dnda yer alan mler sdeletirilirse, = ttg d t e x y0) (..) ( sin ) (1 (A3.1b) elde edilir. A.3.2. Yap tepkileri ve tepki spektrumlar Yapnn yer hareketine tepkisi, y,(A3.1) ifdelerinden grld zere; Yer hareketinin ( yni sz konusu depremin), Yapnn doal titreim frekansnn(D ), Snm orannn ( ) ve Zamann (t) bir fonksiyonudur. Bu ifde tretilerek, hz ve ivme fonksiyonlar da elde edilebilir. ) t ( x) t ( xg) t ( y2kc ekil A3.1. Yer hareketine (depreme) mruz BSD sistem (A3.1)integrasyonifadesininbirincitrevialnarak .y (t)=vi(t)=vi(i,i,t)hzfonksiyonuve ikincitrevialnarak ..y (t)=ai(t)=ai(i,i,t)ivmefonksiyonubulunabilir.Busuretlebulunan deplasman,hzveivmeilebunlaryapsalanalizdekullanmaksuretiylebulunabilecekdeplasman, deformasyonveikuvvetlereyapnntepkileri(response,mukabele,davran,tepki)denir.Bu davran fonksiyonlarnda, yapy temsil eden parametre i dir; ancak, bunun yerine Ti = 2 / i yada fi =1/Tide kullanlabilir. Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 200910 / 27 Yapnn tepkilerinin hangi zaman kesitinde ne deer aldndan ziyade, bunlarn maksimum deerlerinemlidir.ekilA3.2dedeiikyapsalzellikteadetBSDyapnna(t)ivme tepkileri izilmi; bunlarn mutlak maksimumlar ekil zerinde gsterilmitir. Bu tepkilerde bu mutlak maksimum deerlere spektral deer(izili rnekte spektral ivme) denir. ekilA3.1degrldzere,y(t)yapnnyeregreyaptbalhareketigsterir.Ktlenin hareketi x(t)dir ve bundan farkldr. Yapda i zorlanmalara neden olan bu bal harekettir;y(t) ve bununbirincitreviv(t)ileikincitrevia(t)hzveivmeifadeleri,ktleninyerhareketinden kaynaklananmutlakhzlanmaveivmeleriyerine,budeplasman,hzveivmeninyapyetkileyen, bir baka deyimleyapya transfer edilen ksmlarn gsterir. Buyzden ilgili literatrde bunlara pseudospectralresponse(szdespektraltepki),pseudospectralvelocity,PSV(szde spektral hz), pseudo spectral acceleration, PSA (szde spektral ivme) denir. Bzen szde yerine yalanc deyimi de kullanlagelmitir. YatayeksendeyapytemsiletmekzereT(yadaveyaf),deyeksendespektral tepkilerdenbirigsterilmekzere,izilengrafiklerespektraltepkispektrumlar (spectralresponsespectrums),rneksedeplasmaniinizilenespektraldeplasmanspektrumu, SD,hziinizilenespektralhzspektrumu,SV,ivmeiinizilenespektralivme spektrumu,SAdenir;bazenbudeyimlerinbana,ihtiyatenszdedeyimideeklenir.ekil A3.2debirspektralivmespektrumu,SAizimianlatlmayaallmtr.Unutulmamas gereken,bunlarnyanispektralspektrumlarn-belirlibirdepremdeBSDsistemlerin maksimum tepkilerini gsterdikleridir. Benzeryaklamlarla;spektraldeplasman(SD),hz(SV)veyayapnnherhangitepkisi,rnein tabankesmekuvveti,herhangibirkesitbyklmoment,kesmekuvveti,normalkuvvet-, herhangi bir dmn deplasmanlar telemeleri, dnmeleri- de izilebilir. Tepki spektrumlarnn izimiileilgiliolarakliteratrdepekokyntemyeralmaktadr/2,6,7/.Burada,bunlarn izimlerinden ok ne olduklar ve uygulamada nasl kullandklar aklanmaya allmtr. ekilA3.3degerekbiryerhareketi(deprem)kaytlar(yerhareketi,yerhz,yerivmesi) gsterilmitir. Z. Polat Deprem Mhendislii Asndan Yap Dinamiine Giri_ ubat 200911 / 27 Spectral acceleration amaxNatural frequencySystem natural periodNatural circular frequency3T>33f