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Departamento de Matemática - MTMUniversidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Notas de aula MTM 510002:Teoria de semigrupos e aplicações a EDP’s
Prof. Matheus Cheque Bortolan
Florianópolis - SC2015 - 1
Sumário
1 Análise espectral de operadores lineares 5
1.1 O operador resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Operadores lineares limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Raio espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Operadores duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Teoria de semigrupos 29
2.1 Exponencial de um operador linear limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Semigrupos de classe C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Iterações de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Exemplos de semigrupos e geradores infinitesimais . . . . . . . . . . 41
3 Geração de semigrupos 43
3.1 Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Operadores dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Grupos de operadores lineares 55
4.1 Teorema de Hille-Yosida para grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Regularidade 63
5.1 Semigrupos diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 SUMÁRIO
5.2 Semigrupos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Semigrupos analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.2 Geração de semigrupos analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Teoremas de perturbação de geradores 79
6.1 Perturbação por operadores lineares limitados . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Soma de geradores infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos analíticos . . . . . . 846.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos de contração . . . . 85
7 Problema de Cauchy abstrato 89
7.1 O problema de valor inicial homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.1 Equação da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.2 Equação da onda dissipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.3 Equação de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2.4 Equação de Schrödinger (parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2.5 Equação de Schrödinger (parte 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico . . . . . . . . . . . . . 1027.5 Exemplo: a equação do calor não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A Cálculo de funções vetoriais 115
A.1 Funções analíticas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.2 Curvas retificáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . 119A.4 Teoremas de Cauchy e expansão em séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.5 Teorema do máximo módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Introdução
O objetivo destas notas é apresentar a teoria de semigrupos e a sua importância paraa teoria de equações diferenciais parciais semilineares.
Estas notas podem ser usadas como um guia para a disciplinaMTM 510002 - Teoria
de semigrupos e aplicações em EDP’s, mas isto não dispensa de maneira nenhumao estudo por meio dos livros sugeridos na ementa da disciplina.
Estas notas são baseadas em [5, 7] e também notas de aula da disciplina de AnáliseFuncional II do ICMC-USP, do professor Alexandre Nolasco de Carvalho.
Capítulo
1Análise espectral de operadores lineares
Este capítulo visa oferecer uma revisão sobre operadores lineares limitados e não-limitados em espaços de Banach, para melhor entendimento da teoria de semigrupos e seusgeradores infinitesimais. Vamos estudar algumas propriedades básicas destes operadorese veremos alguns importante resultados, que serão utilizados nos capítulos a seguir.
Denotaremos por R o corpo dos números reais, C o corpo dos números complexos;além disso, R+
.= [0,∞) é o conjunto dos números reais não-negativos, K denota ambos
R ou C e X denota um espaço de Banach sobre K com norma ‖ · ‖X .Para Y um espaço vetorial normado com norma ‖·‖Y , dizemos que um operador linear
A : X → Y é limitado se existe uma constante C > 0 tal que
‖Ax‖Y 6 C‖x‖X , para todo x ∈ X. (1.0.1)
Consideramos o conjunto
L(X, Y ).= A : X → Y tal que A é um operador linear limitado,
e quando Y = X, denotamos L(X, Y ) simplesmente por L(X).
Em L(X, Y ) definimos a norma1
‖A‖L(X,Y ).= sup‖x‖X=1
‖Ax‖Y = sup‖x‖X61
‖Ax‖Y = supx6=0
‖Ax‖Y‖x‖X
.
Sabemos que L(X) com a norma ‖ · ‖L(X) é um espaço de Banach; e além disso, com
1Verifique que ‖ · ‖L(X,Y ) define de fato uma norma em L(X,Y ) e verifique as igualdades.
6 Análise espectral de operadores lineares
a operação de composição de operadores, o espaço L(X) é uma álgebra de Banach; istoé, se A,B ∈ L(X), então
‖AB‖L(X) 6 ‖A‖L(X)‖B‖L(X).
1.1 O operador resolvente
Agora, vamos começar o estudo de operadores lineares, tanto limitados quanto não-limitados; isto é, operadores que não estão definidos em todo o espaço X, mas sim numsubconjunto D(A) de X (chamado de domínio de A). Além disso, A não satisfaz umalimitação do tipo (1.0.1).
Para começar o estudo, o conjunto mais importante a ser estudado é o conjunto resol-vente de um operador, que é definido da seguinte maneira:
Definição 1.1.1. Sejam X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear. O conjunto resolvente de A, denotado por ρ(A), é o conjunto formadopor todos os λ em C tais que
(i) λ− A é injetor;
(ii) Im(λ− A) = X e
(iii) (λ− A)−1 : Im(λ− A) ⊂ X → X é limitado.
Para λ ∈ ρ(A), o operador R(λ,A).= (λ − A)−1 é chamado operador resolvente.
O espectro do operador A é definido por σ(A) = C \ ρ(A).
Antes de iniciarmos o estudo do conjunto resolvente e dos operadores resolventes de Ademonstramos dois lemas auxiliares que nos motivam a restringir este estudo a operadoresfechados.
Para um operador A : D(A) ⊂ X → X, definimos o gráfico de A em X ×X por
G(A).= (x,Ax) : x ∈ D(A).
Definição 1.1.2. Um operador A : D(A) ⊂ X → X é dito fechado se G(A) é umsubconjunto fechado de X ×X.
Definição 1.1.3. Um operador A0 : D(A0) ⊂ X → X é dito fechável se G(A0) é ográfico de um operador A : D(A) ⊂ X → X fechado. O operador A é chamado de fechode A0. Em geral, denotamos o fecho de A0 por A0.
1.1 O operador resolvente 7
Exercício 1.1.4. Seja X um espaço de Banach sobre K .
1. Sejam A0 : D(A0) ⊂ X → X um operador fechável e A : D(A) ⊂ X → X o seufecho. Mostre que D(A0) ⊂ D(A) e que se x ∈ A0 então Ax = A0x.
2. Mostre que um operador A : D(A) ⊂ X → X é fechável (fechado) se, e somente se,para cada sequência xn
n→∞−→ 0 (xnn→∞−→ x) com Axn
n→∞−→ y, então y = 0 (x ∈ D(A)
e Ax = y).
3. Mostre que, se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear injetor, então A é fechadose, e somente se, A−1 fechado.
4. Mostre que, se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear injetor tal que A−1 éfechável e tem fecho injetivo, então A é fechável.
5. Mostre que se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear fechado, injetor e A−1 : Im(A)
⊂ X → X é limitado, então Im(A) é fechado.
O primeiro lema mostra que se um operador é fechável, então o seu conjunto resolventee o de seu fecho coincidem.
Lema 1.1.5. Se A0 : D(A0) ⊂ X → X é um operador fechável e A : D(A) ⊂ X → X éo seu fecho, então ρ(A0) = ρ(A).
Demonstração: Suponha inicialmente que λ ∈ ρ(A), então (λ − A)−1 ∈ L(X) e con-sequentemente (λ − A0)−1 : Im(λ − A0) → X é um operador limitado. Se y ∈ X ex = (λ − A)−1y, existe uma sequência xn
n→∞−→ x com (λ − A0)xnn→∞−→ y. Logo y é
limite de pontos yn = (λ − A0)xn ∈ Im(λ − A0). Isto mostra que Im(λ− A0) = X e,consequentemente λ ∈ ρ(A0).
Por outro lado, se λ ∈ ρ(A0), então (λ − A0)−1 : Im(λ − A0) → X é um operadorlimitado e Im(λ− A0) = X. Mostremos que (λ−A) é injetor. Se x ∈ D(A) e (λ−A)x = 0,existe uma sequência xnn∈N em D(A0) tal que xn
n→∞−→ x e (λ − A0)xn → 0. Como(λ − A0)−1 é limitado segue que x = 0 e (λ − A) é injetor. Se y ∈ Im(λ − A), existesequência yn em Im(λ − A0) tal que yn
n→∞−→ y e (λ − A0)−1ynn→∞−→ (λ − A)−1y, logo
‖(λ − A)−1y‖X 6 c‖y‖X . Segue do item 5 do Exercício 1.1.4, que a imagem Im(λ − A)
de λ− A é fechada e do fato que Im(λ− A) ⊃ Im(λ− A0) temos que Im(λ− A) = X.
O segundo lema da condições sob as quais um operador que tem conjunto resolventenão-vazio é fechável.
8 Análise espectral de operadores lineares
Lema 1.1.6. Suponha que um operador A0 : D(A0) ⊂ X → X tenha conjunto resolventeρ(A0) não vazio.
1. Se para algum λ0 ∈ ρ(A0), (λ0 − A0)−1 é injetivo, então A0 é fechável.
2. Se A0 é fechável, então (λ− A0)−1 é injetivo para todo λ ∈ ρ(A0).
Demonstração: 1. Como λ0 ∈ ρ(A0), xn ∈ D(A0), xnn→∞−→ 0 e (λ0 − A0)xn → y, segue
que (λ0 − A0)−1y = 0 e y = 0. Logo (λ0 − A0) é fechável.
2. Segue diretamente do Lema 1.1.5 pois, para todo λ ∈ ρ(A0) = ρ(A), (λ − A)−1 éuma extensão fechada de (λ− A0)−1 (mostre que (λ− A0)−1 = (λ− A)−1).
Observação 1.1.7. Existem operadores com resolvente não-vazio que não são fecháveis.Considere
X = `1(C)=
xn∈ CN :
∑n∈N
|xn| <∞
,
com a norma ‖xn‖`1(C) =∑
n∈N |xn|. Seja T : D(T ) ⊂ X → X definido por
D(T ) = xn ∈ CN : xn = 0 exceto para um número finito de índices
Txn =
∞∑j=n
j2
n2xj
.
É fácil ver que T é injetivo, ilimitado e que ImT = D(T ). Além disso T−1 : D(T ) ⊂X → X é dado por
T−1xn =
xn −
(n+ 1)2
n2xn+1
, para todo xn ∈ D(T ).
e portanto claramente limitado; e logo 0 ∈ ρ(T ). O operador extensão A de T−1 a X édefinido pela mesma regra acima e não é injetivo, pois A 1
n2 = 0. Segue do item 2 doLema 1.1.6 que T não é fechável.
Em vista desses resultados restringiremos o nosso estudo aos operadores A : D(A) ⊂X → X que são fechados e apenas em alguns casos específicos a operadores fecháveis.
Note que se A : D(A) ⊂ X → X é fechado e λ ∈ ρ(A), então Im(λ−A) = X. Ainda, seλ−A : D(A)→ X é bijetor, segue do Teorema do Gráfico Fechado que (λ−A)−1 ∈ L(X).Com isto, a definição de conjunto resolvente pode ser reformulada da seguinte maneira.
1.1 O operador resolvente 9
Definição 1.1.8. Seja X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear fechado. O conjunto resolvente de A é o subconjunto ρ(A) de todos osλ em C tais que λ− A é bijetor.
O espectro σ(A) de um operador fechado A : D(A) ⊂ X → X pode ser decompostoem três partes disjuntas
(i) O conjunto dos autovalores de A é chamado de espectro pontual σp(A) de A; istoé,
σp(A) = λ ∈ σ(A) : (λ− A) não é injetor .
(ii) O espectro residual σr(A) de A é definido por
σr(A) = λ ∈ σ(A) : (λ− A) é injetor e Im(λ− A) ( X.
(iii) O espectro contínuo σc(A) de A é definido por
σc(A) = λ ∈ σ(A) : (λ− A) é injetor, Im(λ− A) ( X e Im(λ− A) = X
Claramente σ(A) = σp(A)∪σr(A)∪σc(A) com união disjunta. Em espaços de dimensãofinita, segue do Teorema do Núcleo e Imagem que σ(A) = σp(A); isto é, σr(A) = σc(A) =
∅. Mas, em espaços de dimensão infinita, isto pode não ser verdadeiro.
Exemplo 1.1.9. Seja
X = `2(C)=
xn∈ CN :
∑n∈N
|xn|2<∞
,
com a norma ‖xn‖`2(C) =(∑
n∈N |xn|2) 1
2 . Defina A : X → X por
Axn =
xnn+ 1
.
Note que A é limitado, injetor, sua imagem é densa mas não existe sequência xnem `2(C) tal que se Axn = 1
n+1. Logo 0 ∈ σc(A).
Exemplo 1.1.10. Seja X como no exemplo anterior e A : X → X definido por Axn =
0, x1, x2, x2, · · · . Note que A é injetor mas sua imagem não é densa. Logo 0 ∈ σr(A).
10 Análise espectral de operadores lineares
Teorema 1.1.11. Seja X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear fechado. Então ρ(A) é um subconjunto aberto de C e consequentementeσ(A) é um subconjunto fechado de C. De fato, se µ ∈ ρ(A) e λ ∈ C é tal que |µ−λ|‖(µ−A)−1‖L(X) < 1, então λ ∈ ρ(A) e
(λ− A)−1 =∞∑n=0
(µ− λ)n(µ− A)−n−1 (1.1.1)
Demonstração: Se µ ∈ ρ(A), então (µ− A)−1 ∈ L(X). Se λ ∈ C, escrevemos
(λ− A) = (µ− A)[I − (µ− λ)(µ− A)−1]
e se |µ− λ| ‖(µ− A)−1‖L(X) < 1, segue que λ ∈ ρ(A) e (1.1.1) está demonstrada.
Teorema 1.1.12. Seja X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear. Se λ, µ ∈ ρ(A), então
(λ− A)−1 − (µ− A)−1 = (µ− λ)(µ− A)−1(λ− A)−1 (1.1.2)
e(λ− A)−1(µ− A)−1 = (µ− A)−1(λ− A)−1 (1.1.3)
Demonstração: Note que
(µ− A)−1 = (µ− A)−1(λ− A)(λ− A)−1
= (µ− A)−1[(µ− A) + (λ− µ)I](λ− A)−1
= (λ− A)−1 + (λ− µ)(µ− A)−1(λ− A)−1,
o que prova (1.1.2). A prova de (1.1.3) é imediata de (1.1.2).
A equação (1.1.2) é chamada de identidade do resolvente, e é de fundamentalimportância para a teoria espectral de operadores lineares.
Corolário 1.1.13. Seja X um espaço de Banach complexo e A : D(A) ⊂ X → X umoperador fechado. Então, a função ρ(A) 3 λ 7→ (λ− A)−1 ∈ L(X) é analítica e
dn
dλn(λ− A)−1 = (−1)nn!(λ− A)−n−1.
1.2 Operadores lineares limitados 11
Demonstração: Fixe λ0 ∈ ρ(A) e observe que, de (1.1.2) e do fato que (1.1.1) convergeuniformemente para
|λ− λ0| 61
2‖(λ0 − A)−1‖L(X)
,
ρ(A) 3 λ 7→ (λ − A)−1 ∈ L(X) é contínua em λ0. Novamente utilizando (1.1.2) temosque ρ(A) 3 λ 7→ (λ− A)−1 ∈ L(X) é derivável em λ0 e
d
dλ(λ− A)−1 = −(λ− A)−2.
O caso geral segue da identidade
(λ−A)−n−(µ−A)−n=
((λ−A)−1−(µ−A)−1)[(µ−A)−n+1+(µ−A)−n+2(λ−A)−1+· · ·+ (λ−A)−n+1]
e de um simples argumento de indução.
1.2 Operadores lineares limitados
SejaX um espaço de Banach sobre C. Nesta seção estudamos algumas particularidadesno estudo do espectro de operadores limitados.
Teorema 1.2.1. Se A ∈ L(X) e |λ| > ‖A‖L(X), então λ ∈ ρ(A) e
(λ− A)−1 =∞∑n=0
λ−n−1An. (1.2.1)
Consequentemente σ(A) é compacto e, se R > ‖A‖L(X), a série acima converge unifor-memente em λ ∈ C : |λ| > R.
Demonstração: O resultado segue simplesmente notando-se que (λ−A) = λ(I−λ−1A).
Teorema 1.2.2. Se A ∈ L(X), então σ(A) 6= ∅.
Demonstração: Suponha que ρ(A) = C. Então C 3 λ 7→ (λ−A)−1 ∈ L(X) é inteira e,para |λ| > ‖A‖L(X),
‖(λ− A)−1‖L(X) 61
|λ| − ‖A‖L(X)
.
Segue do Teorema de Liouville que (λ−A)−1 = 0 para todo λ ∈ C o que é um absurdo.
12 Análise espectral de operadores lineares
1.2.1 Raio espectral
Se A ∈ L(X), vimos que σ(A) é não-vazio e compacto. O raio espectral rσ(A) de Aé definido por
rσ(A) = sup|λ| : λ ∈ σ(A)
Teorema 1.2.3. Se A ∈ L(X), então a série (1.2.1) é convergente para todo λ ∈ C com|λ| > rσ(A) e divergente se |λ| < rσ(A). Consequentemente
rσ(A) = lim supn→∞
‖An‖1/nL(X).
Demonstração: Como (λ − A)−1 é analítica em ρ(A), ela tem uma série de Laurentconvergente para |λ| > rσ(A). Do Teorema 1.2.1, a série de Laurent de (λ − A)−1 emλ ∈ C : |λ| > ‖A‖L(X) é dada por (1.2.1) e segue da unicidade da série de Laurent que(1.2.1) vale para |λ| > rσ(A).
Se a série∞∑n=0
λ−n−1An
é convergente em L(X), é fácil ver que sua soma é (λ − A)−1, λ ∈ ρ(A) e a série∑∞n=1 µ
−nAn−1 é convergente sempre que |µ| > |λ|. Logo, o raio de convergência destasérie é rσ(A) e a série é divergente para |λ| < rσ(A).
Teorema 1.2.4. Seja X um espaço de Banach sobre K e A ∈ L(X). Então a seqüência‖An‖1/n
L(X)n∈N é convergente e
limn→∞
‖An‖1/nL(X) = inf
n>1‖An‖1/n
L(X).
Se X é um espaço de Banach complexo então
rσ(A) = limn→∞
‖An‖1/nL(X) = inf
n>1‖An‖1/n
L(X).
Demonstração: Se an = log ‖An‖L(X), devemos provar que
ann→ b = inf
n>1
ann.
É fácil ver que am+n 6 an+am. Logo, se m é um inteiro positivo fixo, seja n = mq+r,
1.3 Operadores duais 13
onde q, r são inteiros não-negativos com 0 6 r < m, temos que an 6 q · am + ar e
ann6q
nam +
1
nar.
Se n → ∞ e m está fixo, qn→ 1
mpois a variação de r está restrita aos núme-
ros 0, 1, 2, · · · ,m − 1. Logo, lim supn→∞ann6 am
m. Como m é arbitrário temos que
lim supn→∞ann6 b. Por outro lado, an
n> b e lim infn→∞
ann> b. Isto prova o resultado.
Note que, de (1.1.1), se |ξ − ξ0| < ‖(ξ0 − A)−1‖−1L(X) temos que ξ ∈ ρ(A) e
(ξ − A)−1 =∞∑n=0
(ξ0 − ξ)n(ξ0 − A)−n−1 (1.2.2)
e se |ξ − ξ0| > ‖(ξ0 − A)‖L(X) temos que ξ ∈ ρ(A) e
(ξ − A)−1 = −∞∑n=0
(ξ0 − ξ)−n−1(ξ0 − A)n (1.2.3)
Assim, o raio de convergência da série de Taylor em (1.2.2) é o recíproco do raioespectral do operador (ξ0−A)−1 enquanto que o raio de convergência da série de Laurentem (1.2.2) é o raio espectral de (ξ0 − A). Portanto, nos círculos λ ∈ C : |λ − ξ0| =
(rσ(ξ0 − A)−1)−1 e λ ∈ C : |λ− ξ0| = rσ(ξ0 − A) existem pontos de σ(A).
1.3 Operadores duais
A seguir recordamos a definição de operadores duais. Sejam X e Y espaços de Banachsobre um corpo K com duais X∗ e Y ∗. Se x∗ ∈ X∗ (y∗ ∈ Y ∗) denotaremos o seu valor emum vetor x ∈ X (y ∈ Y ) por 〈x, x∗〉 (〈y, y∗〉). Seja A : D(A) ⊂ X → Y um operador lineardensamente definido. O operador dual A∗ : D(A∗) ⊂ Y ∗ → X∗ de A é o operador lineardefinido por: D(A∗) é o conjunto dos y∗ ∈ Y ∗ para os quais existe z∗ ∈ Y ∗ satisfazendo
〈Ax, y∗〉 = 〈x, z∗〉, ∀ x ∈ D(A). (1.3.1)
Se y∗ ∈ D(A∗) definimos A∗y∗ .= z∗ onde z∗ é o (único, verifique) elemento de X∗
satisfazendo (1.3.1).
Exercício 1.3.1. Se X é um espaço de Banach e A : D(A) ⊂ X → Y é um operadorlinear densamente definido, mostre que A∗ : D(A∗) ⊂ Y ∗ → X∗ é um operador linear
14 Análise espectral de operadores lineares
fechado.
Começamos com alguns resultados básicos sobre operadores duais.
Lema 1.3.2. Sejam X e Y espaços de Banach sobre K e A ∈ L(X, Y ); então A∗ ∈L(Y ∗, X∗) e ‖A‖L(X,Y ) = ‖A∗‖L(Y ∗,X∗).
Demonstração: Para todo y∗ ∈ Y ∗, y∗A é um funcional linear contínuo e portantodetermina um único elemento x∗ ∈ X∗ para o qual 〈x, x∗〉 = 〈Ax, y∗〉, para todo x ∈ X.Segue que D(A∗) = Y ∗. Além disso,
‖A∗‖L(Y ∗,X∗) = sup‖y∗‖Y ∗61
‖A∗y∗‖X∗ = sup‖y∗‖Y ∗61
sup‖x‖X61
|〈x,A∗y∗〉|
= sup‖x‖X61
sup‖y∗‖X∗61
|〈Ax, y∗〉| = sup‖x‖X61
‖Ax‖Y
= ‖A‖L(X,Y ).
Lema 1.3.3. Seja X um espaço de Banach reflexivo sobre K. Se A : D(A) ⊂ X → X éfechado e densamente definido então D(A∗) é denso em X∗.
Demonstração: Se D(A∗) não é denso em X∗ então existe um elemento x0 ∈ X tal quex0 6= 0 e 〈x0, x
∗〉 = 0 para todo x∗ ∈ D(A∗). Como A é fechado, seu gráfico é fechadoe não contém (0, x0). Do Teorema de Hahn-Banach existem x∗1 e x∗2 em X∗ tais que〈x, x∗1〉 − 〈Ax, x∗2〉 = 0 para todo x ∈ D(A) e 〈0, x∗1〉 − 〈x0, x
∗2〉 6= 0.
Assim temos que 〈x0, x∗2〉 6= 0, também x∗2 6= 0, x∗2 ∈ D(A∗) e A∗x∗2 = x∗1. Isto implica
que 〈x0, x∗2〉 = 0 o que é uma contradição. Portanto D(A∗) é denso em X∗.
Exercício 1.3.4. O anulador de um subconjunto M ⊂ X é o conjunto M⊥ = x∗ ∈X∗ : 〈x, x∗〉 = 0,∀x ∈ M e o anulador de M∗ ⊂ X∗ é o conjunto (M∗)⊥ = x ∈ X :
〈x, x∗〉 = 0,∀x∗ ∈M∗. Sabemos que se M ⊂ X é um espaço vetorial então (M⊥)⊥ = M
(veja [3]).
Um subconjunto M∗ ⊂ X∗ é dito total se (M∗)⊥ = 0. Mostre que, se A : D(A) ⊂X → X é fechado e densamente definido então, D(A∗) é total.
Teorema 1.3.5. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear densamente definido.
Entãoρ(A) = ρ(A∗) e ((λ− A)−1)∗ = (λ− A∗)−1,∀λ ∈ ρ(A)
1.3 Operadores duais 15
Demonstração: Da definição de dual temos (λI −A)∗ = λI∗ −A∗. Se λ−A é injetor etem imagem densa, mostremos que
(1) ((λI − A)−1)∗(λI∗ − A∗)x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(A∗) e
(2) (λI∗ − A∗)((λI − A)−1)∗x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗).
Prova de (1): Se x ∈ Im(λ− A), x∗ ∈ D(A∗), então
〈x, x∗〉 = 〈(λI − A)(λI − A)−1x, x∗〉 = 〈(λI − A)−1x, (λI∗ − A∗)x∗〉.
Segue que (λI∗ − A∗)x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗) (Im(λI∗ − A∗) ⊂ D(((λI − A)−1)∗)) e, dofato que R(λI − A) = X, temos que
((λI − A)−1)∗(λI∗ − A∗)x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(A∗).
Prova de (2): Se x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗) e x ∈ D(A), então
〈x, x∗〉 = 〈(λI − A)−1(λI − A)x, x∗〉 = 〈(λI − A)x, ((λI − A)−1)∗x∗〉.
Logo ((λI − A)−1)∗x∗ ∈ D(λI∗ − A∗) e, do fato que D(A) = X, temos que
(λI∗ − A∗)((λI − A)−1)∗x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗).
Agora podemos completar a prova do teorema. Se λ ∈ ρ(A), (λI − A)−1 é limitado etemos que ((λI − A)−1)∗ ∈ L(X∗). De (1) e (2) segue que (λI∗ − A∗)−1 = ((λI − A)−1)∗
e λ ∈ ρ(A∗).
Se λ ∈ ρ(A∗), note que A∗ é fechado e consequentemente (λI∗ − A∗)−1 ∈ L(X∗). Jásabemos que λI −A tem domínio denso. Mostremos que λI −A é injetivo e tem imagemdensa.
Para ver que λI − A é injetivo note que, se x ∈ D(A) é tal que (λ − A)x = 0 ex∗ ∈ D(A∗), então
0 = 〈(λI − A)x, x∗〉 = 〈x, (λI∗ − A)∗x∗〉.
Como Im(λI∗ − A∗) = X∗ temos que x = 0 e portanto λI − A é injetivo.
Agora, para ver que λI − A tem imagem densa note que, se x∗ ∈ X∗ é tal que0 = 〈(λI − A)x, x∗〉 para todo x ∈ D(A), então x∗ ∈ D(A∗) e 0 = 〈x, (λI − A)∗x∗〉 para
16 Análise espectral de operadores lineares
todo x ∈ D(A). Como D(A) é denso em X segue que (λI−A)∗x∗ = 0 e, como λ ∈ ρ(A∗),obtemos que x∗ = 0. Isto prova que Im(λI − A) é denso em X.
Para concluir que λ ∈ ρ(A), resta provar que (λI − A)−1 é limitado. Se x∗ ∈ X∗ =
Im(λI∗ − A∗) ⊂ D(((λI − A)−1)∗) e x ∈ R(λI − A), de (1) e (2), temos
|〈(λI − A)−1x, x∗〉| = |〈x, ((λI − A)−1)∗x∗〉| = |〈x, (λI∗ − A∗)−1x∗〉|
≤ ‖(λI∗ − A∗)−1‖ ‖x∗‖ ‖x‖
Disto segue que (λ − A)−1 é limitado e prova que λ ∈ ρ(A), completando a demons-tração.
1.4 Operadores compactos
Sejam X, Y espaços de Banach sobre K. Denotamos por
BX
1 (0) = x ∈ X : ‖x‖X 6 1.
Diremos que um operador linear K : X → Y é compacto se K(BX
1 (0)) é um sub-conjunto relativamente compacto de Y . Denotamos por K(X, Y ) o espaço dos operadoreslineares compactos K : X → Y . É simples verificar que K(X, Y ) ⊂ L(X, Y ).
Exercício 1.4.1. Sejam X = C([a, b],C) e k ∈ C([a, b]× [a, b],C). Defina K por
(Kx)(t) =
∫ b
a
k(t, s)x(s)ds.
Mostre que K ∈ L(X) e, usando o Teorema de Arzelá Ascoli, mostre que K ∈ K(X).
Teorema 1.4.2. Sejam X, Y espaços de Banach sobre K. Então K(X, Y ) é um supespaçofechado de L(X, Y ).
Demonstração: Se K(X, Y ) 3 Knn→∞−→ K ∈ L(X, Y ) na topologia de L(X, Y ), dado
ε > 0 existe nε ∈ N tal que
K(BX1 (0)) ⊂ Knε(B
X
1 (0)) +BYε (0).
Disto segue facilmente que K(BX1 (0)) é totalmente limitado (logo relativamente com-
pacto) em Y .
1.4 Operadores compactos 17
Exercício 1.4.3. Seja X = `2(C) e A : X → X como no Exemplo 1.1.9. Já sabemos queA é limitado e 0 ∈ σc(A). Mostre que A é compacto.
Teorema 1.4.4. Sejam X, Y, Z espaços de Banach sobre um corpo K, A ∈ L(X, Y ) eB ∈ L(Y, Z),
(a) se A ∈ K(X, Y ) ou B ∈ K(Y, Z), então B A ∈ K(X,Z),
(b) se A ∈ K(X, Y ), então A∗ ∈ K(Y ∗, X∗) e
(c) se A ∈ K(X, Y ) e Im(A) é um subespaço fechado de Y , então Im(A) tem dimensãofinita.
Demonstração: As provas de (a) e (c) são deixadas como exercício para o leitor. Paraprovar (b) mostraremos que se x∗n é uma sequência em A∗(BY ∗
1 (0)), então ela possuiuma subsequência convergente.
Considere o espaço C(A(BX
1 (0)),K). Note que, para y∗ ∈ BY ∗1 (0) e z ∈ A(BX
1 (0))
existe x ∈ BX1 (0) tal que z = Ax e, consequentemente,
|y∗(z)| = |y∗(Ax)| 6 ‖A‖L(X,Y ).
Além disso, se z1, z2 ∈ A(BX
1 (0))
|y∗(z1)− y∗(z2)| 6 ‖z1 − z2‖Y .
Desta formaF =
y∗|
A(BX1 (0))
: y∗ ∈ BY ∗
1 (0)
é uma família uniformemente limitada e equicontínua de C(A(B
X
1 (0)),K). Segue doTeorema de Arzelá Ascoli que, se x∗n = y∗n A com y∗n ∈ BY ∗
1 (0), existe uma subsequênciay∗nk de y∗n tal que
supx∈BX1 (0)
|x∗nk(x)− x∗nl(x)| = supx∈BX1 (0)
|y∗nk A(x)− y∗nl A(x)|
= supz∈A(BX1 (0))
|y∗nk(z)− y∗nl(z)| k,l→∞−→ 0.
Logo x∗n tem uma subsequência convergente para algum x∗ ∈ X∗ e a prova de (b)
está concluída.
18 Análise espectral de operadores lineares
Se X é um espaço de Banach, uma projeção P : X → X é uma transformação linearcontínua tal que P 2 = P então P ∈ K(X) se, e somente se, Z = Im(P ) tem dimensãofinita.
De fato, se Z tem dimensão finita, então qualquer subconjunto limitado de Z é rela-tivamente compacto e consequentemente P (B
X
1 (0)) é relativamente compacto. Por outrolado, se P (B
X
1 (0)) ⊃ BZ
1 (0) é relativamente compacto, segue do Teorema 6.5 em [3] queZ tem dimensão finita.
Claramente o operador identidade I : X → X é compacto se, e somente se, X temdimensão finita e, consequentemente, se A ∈ K(X) e X tem dimensão infinita então0 ∈ σ(A) (se não, I = A A−1 é compacto e dim(X) <∞).
Teorema 1.4.5. Seja X um espaço de Banach sobre K e A ∈ K(X). Se λ ∈ K\0,então N((λ− A)n) tem dimensão finita, n = 1, 2, 3, · · · .
Demonstração: Consideremos primeiramente o caso n = 1. Claramente N(λ − A) éfechado e se x ∈ N(λ − A), x = λ−1Ax. Logo o operador identidade em N(λ − A) écompacto e N(λ− A) tem dimensão finita.
O caso geral segue do caso anterior observando-se que
(λ− A)n =n∑k=0
λn−k
(n
k
)(−1)kAk = λnI + Aλ,
onde Aλ =∑n
k=1 λn−k
(n
k
)(−1)kAk ∈ K(X).
Exercício 1.4.6. Seja X um espaço de Banach sobre K e T ∈ L(X). Mostre que seN(T n0) = N(T n0+1) então N(T n) = N(T n+1) para todo n > n0.
Sugestão: Mostre que N(Tn+1) = x ∈ X : Tx ∈ N(Tn).
Teorema 1.4.7. Seja X um espaço de Banach sobre K, A ∈ K(X) e λ ∈ K\0. Existen0 ∈ N tal que N((λ− A)n+1) = N((λ− A)n) para todo n > n0.
Demonstração: Basta provar que existe n0 ∈ N tal que N((λ−A)n0+1) = N((λ−A)n0).Claramente N((λ − A)n) é fechado e N((λ − A)n) ⊂ N((λ − A)n+1) para todo n ∈ N.Suponha que N((λ − A)n) ( N((λ − A)n+1) para todo n ∈ N. Do do Lema 6.1 em [3],para cada n ∈ N, existe xn ∈ N((λ − A)n+1) tal que ‖xn‖X = 1 e ‖xn − x‖X > 1
2, para
todo x ∈ N((λ− A)n). Logo, se 1 6 m < n,
Axn − Axm = λxn + (−λxm + (λ− A)xm − (λ− A)xn) = λxn − z,
1.4 Operadores compactos 19
onde z = −λxm + (λ− A)xm − (λ− A)xn ∈ N((λ− A)n). Logo
‖Axn − Axm‖X = |λ|‖xn − λ−1z‖X >|λ|2
e Axn não possui uma subseqüência convergente e A não é compacto. Esta contradiçãoprova o teorema.
Se N(λ− A) 6= 0 temos que λ é um autovalor de A; isto é, λ ∈ σp(A). Neste caso,a multiplicidade geométrica de λ é a dimensão de N(λ − A) e, existe um menor inteiropositivo n0 tal que N((λ−A)n0) = N((λ−A)n0+1), diremos que N((λ−A)n0) é o auto-espaço generalizado associado ao autovalor λ e que dim(N((λ−A)n0)) é a multiplicidadealgébrica de λ.
Observe que, se X é um espaço de Banach sobre K, λ ∈ K\0 e A ∈ K(X), doTeorema 6.6 (c) em [3], Im(λ − A) = X se, e somente se, N(λ − A) = 0. Logoλ ∈ ρ(A) se, e somente se, N(λ−A) = 0. Segue que, todos os pontos em σ(A)\0 sãoauto-valores.
Lema 1.4.8. Seja X um espaço de Banach com dimensão infinita sobre um corpo K eA ∈ K(X). Se λn é uma seqüência de números distintos tais que
λn → λ
λn ∈ σ(A)\0, ∀n ∈ N.
Então λ = 0; isto é, todo ponto de σ(A)\0 é isolado.
Demonstração: Como λn ∈ σp(A), seja xn 6= 0 tal que (λn − A)xn = 0 e Xn =
[x1, . . . , xn]. Mostremos que Xn ( Xn+1, ∀n ∈ N. Basta mostrar que x1, . . . , xn é umconjunto linearmente independente de vetores, para todo n ∈ N. Suponha, por indução,que x1, . . . , xn é um conjunto linearmente independente de vetores e mostremos que
x1, · · · , xn+1 também o é. Se xn+1 =n∑i=1
αixi, então
n∑i=1
λn+1αixi = λn+1xn+1 = Axn+1 =n∑i=1
αiλixi.
Disto segue que
n∑i=1
αi(λn+1 − λi)xi = 0 e portanto α1 = · · · = αn = 0.
20 Análise espectral de operadores lineares
Com isto xn+1 = 0, o que é uma contradição. Portanto x1, · · · , xn+1 é um conjuntolinearmente independente de vetores. Como x1 6= 0 obtemos que x1, · · · , xn é umconjunto linearmente de independente de vetores para todo n ∈ N e Xn ( Xn+1, paratodo n ∈ N.
Note ainda que (λn−A)Xn ⊂ Xn−1 (pois (λn−A)xn = 0). Aplicando o Lema de Riesz
(Lema 6.1 em [3]), construímos yn tal que yn ∈ Xn, ‖yn‖ = 1 e dist(yn, Xn−1) >1
2para
n > 2. Se 2 6 m < n, então Xm−1 ⊂ Xm ⊂ Xn−1 ⊂ Xn e,
∥∥∥∥Aynλn − Aymλm
∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∈Xn−1︷ ︸︸ ︷
(λm − A)ymλm
− (λn − A)ynλn
− ym + yn
∥∥∥∥> dist(yn, Xn−1) >
1
2.
Se λn → λ 6= 0, então a seqüênciaynλn
é limitada e, do fato que A é compacta,
Aynλn
tem uma subsequência convergente, e temos uma contradição. Logo λ = 0.
O teorema a seguir sintetiza os resultados obtidos acima a cerca do espectro de umoperador compacto.
Teorema 1.4.9. Seja X um espaço de Banach sobre um corpo K e A ∈ K(X). Entãotodo ponto de σ(A)\0 é um autovalor, σ(A) contém no máximo um número contável depontos e o conjunto dos pontos de acumulação de σ(A) é vazio ou 0.
Frequentemente os operadores compactos surgem como inversa de operadores ilimita-dos. Estes operadores são os chamados operadores com resolvente compacto que definimosa seguir.
Definição 1.4.10. Seja X um espaço de Banach sobre K e A : D(A) ⊂ X → X umoperador fechado e com resolvente não-vazio. Diremos que A tem resolvente compacto
se para algum λ0 ∈ ρ(A) temos que (λ0 − A)−1 ∈ K(X).
É uma consequência simples da identidade do resolvente (1.1.2) que se A tem resolventecompacto, então (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A).
Exemplo 1.4.11. Seja X = f ∈ C([0, 1],K) : f(0) = 0 e A : D(A) ⊂ X → X ooperador linear definido por D(A) = f ∈ C1([0, 1],K) : f(0) = f ′(0) = 0 e Af = f ′
para f ∈ D(A). É fácil ver que A é um operador fechado, densamente definido e que0 ∈ ρ(A). Para ver que A−1 é compacto, basta aplicar o Teorema de Arzelá-Ascoli.
1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos 21
Exercício 1.4.12. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado com 0 ∈ ρ(A). EmD(A) defina a norma do gráfico ‖x‖G(A) = ‖x‖ + ‖Ax‖ e denote por Y o espaço D(A)
munido da norma ‖ · ‖G(A). Mostre que Y é um espaço de Banach e que se Y estácompactamente imerso em X, então A tem resolvente compacto.
1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos
Seja H um espaço de Hilbert com produto interno 〈·, ·〉 : H × H → K e A : D(A) ⊂H → H é um operador densamente definido. O adjunto A• de A é definido por
D(A•) = u ∈ H : v 7→ 〈Av, u〉 : D(A)→ K é limitado
e, se u ∈ D(A•), A•u é o único elemento de H tal que
〈v,A•u〉 = 〈Av, u〉, ∀v ∈ D(A).
Observação 1.5.1. Se H é um espaço de Hilbert sobre C, E : H → H∗ definido porEu(v) = 〈v, u〉, é uma isometria linear-conjugada entre H e H∗. A identificação entreH e H∗ consiste em identificar u com Eu. Se A∗ : D(A∗) ⊂ X∗ → X∗ é o dual de A,então A• = E−1 A∗ E. Note ainda que, embora E e E−1 sejam operadores lineares-conjugados, E−1 A∗ E é um operador linear por dupla conjugação. Chamaremos ambosA• e A∗ de adjunto de A e denotaremos ambos por A∗ mas é importante observar que, seA = αB então A• = αB′ enquanto que A∗ = αB∗. Desta forma, (λI − A)• = λI − A•
enquanto que (λI − A)∗ = λI∗ − A∗.
Daqui em diante usaremos a notação A∗ para denotar os operadores dual e adjunto,indistintamente. Nos referiremos a ambos como operador adjunto.
Definição 1.5.2. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. Dire-mos que um operador A : D(A) ⊂ H → H é simétrico (também chamado Hermitianoquando K = C) se D(A) = H e A ⊂ A∗; isto é, D(A) ⊂ D(A∗) e 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 paratodo x, y ∈ D(A). Diremos que A é auto-adjunto se D(A) = D(A∗) e A = A∗.
Exercício 1.5.3. Seja H um espaço de Hilbert. Se A : D(A) ⊂ H → H é um operadordensamente definido, então A• : D(A•) ⊂ H → H é fechado. Além disso, se A é fechado,então A• é densamente definido.
22 Análise espectral de operadores lineares
Exercício 1.5.4. Seja H um espaço de Hilbert sobre K. Mostre que, se A : D(A) ⊂ H →H é simétrico e λ ∈ K é um auto-valor de A, então λ ∈ R. Além disso,
inf‖x‖H=1
〈Ax, x〉 6 λ 6 sup‖x‖H=1
〈Ax, x〉.
Exercício 1.5.5. Seja H = Cn com o produto interno usual. Se A = (ai,j)ni,j=1 é uma
matriz com coeficientes complexos que representa um operador linear em A ∈ L(H),encontre A• e A∗.
Exercício 1.5.6. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉 e A :
D(A) ⊂ H → H um operador densamente definido. Mostre que G(A∗) = (−Ax, x) : x ∈D(A)⊥ (aqui M⊥ representa o ortogonal de M).
Proposição 1.5.7. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. SeA : D(A) ⊂ H → H é um operador auto-adjunto, injetor e com imagem densa, entãoA−1 é auto-adjunto.
Demonstração: Como A é auto-adjunto, é fácil ver que
(x,−Ax) : x ∈ D(A)⊥ = (Ax, x) : x ∈ D(A) = G(A−1).
Como A é injetor e tem imagem densa, segue facilmente do Exercício 1.5.6,
G((A−1)∗) = (−A−1x, x) : x ∈ Im(A)⊥ = G(A−1).
Logo A−1 = (A−1)∗.
Teorema 1.5.8. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. SeA : D(A) ⊂ H → H é um operador simétrico e sobrejetor, então A é auto-adjunto.
Demonstração: Primeiramente mostremos que A e A∗ são injetores. Se x ∈ D(A) eAx = 0, temos que 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 para todo y ∈ D(A) e consequentemente, do fatoque Im(A) = X temos que x = 0. Para ver que A∗ é injetor procedemos da mesma forma.
Agora mostremos que A é fechado. De fato, se D(A)∗ ⊃ D(A) 3 xn → x ∈ X eAxn = A∗xn → y, então x ∈ D(A∗) e A∗x = y. Como A é sobrejetor, existe w ∈ D(A)
tal que Aw = A∗w = A∗x e da injetividade de A∗ temos que w = x. Com isto x ∈ D(A)
e Ax = y, mostrando que A é fechado.
1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos 23
Segue que do Teorema do Gráfico Fechado que a A tem inversa A−1 ∈ L(X). Clara-mente A−1 é auto-adjunto e da Proposição 1.5.7 segue que A é auto-adjunto.
Corolário 1.5.9. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. SeA : D(A) ⊂ H → H é um operador simétrico e existe λ0 > 0 tal que Im(λ0 − A) = H,λ0 ∈ ρ(A), então A é auto-adjunto.
Demonstração: Exercício.
Proposição 1.5.10. Sejam H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉 eA ∈ L(H) um operador auto-adjunto. Se
m = infu∈H‖u‖=1
〈Au, u〉, M = supu∈H‖u‖=1
〈Au, u〉,
então m,M ⊂ σ(A) ⊂ [m,M ].
Demonstração: Da definição de M temos que 〈Au, u〉 ≤ M‖u‖2H para todo u ∈ H.
Disto segue que, se λ > M , então
〈λu− Au, u〉 > (λ−M)︸ ︷︷ ︸>0
‖u‖2H . (1.5.1)
Com isto, é fácil ver que a(v, u) = 〈v, λu − Au〉 é uma forma bilinear, simétrica(a(u, v) = a(v, u) para todo u, v ∈ H), contínua e coerciva. Segue do Teorema de Lax-Milgram que
〈v, λu− Au〉 = 〈v, f〉, para todo v ∈ H,
tem uma única solução uf para cada f ∈ H. É fácil ver que esta solução satisfaz
(λ− A)uf = f,
e assim (λ− A) é bijetora. Logo (M,∞) ⊂ ρ(A).Mostremos que M ∈ σ(A). A forma bilinear a(u, v) = (Mu − Au, v) é linear na
primeira variável, linear-conjugada na segunda variável, contínua, simétrica e a(u, u) > 0,para todo u ∈ H. Logo, vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz
|a(u, v)| 6 a(u, u)1/2a(v, v)1/2.
24 Análise espectral de operadores lineares
Segue que
|(Mu− Au, v)| 6 (Mu− Au, u)1/2(Mv − Av, v)1/2, para todo u, v ∈ H
6 C(Mu− Au, u)1/2 ‖v‖H
e que‖Mu− Au‖H 6 C(Mu− Au, u)1/2, para todo u ∈ H.
Seja un uma seqüência de vetores tais que ‖un‖H = 1, 〈Aun, un〉 → M . Segue que‖Mun − Aun‖H → 0. Se M ∈ ρ(A)
un = (MI − A)−1(Mun − Aun)→ 0
o que está em contradição com ‖un‖H = 1, ∀n ∈ N. Segue que M ∈ σ(A).Do resultado acima aplicado a −A obtemos que (−∞,m) ⊂ ρ(A) e m ∈ σ(A). A
prova que σ(A) ⊂ R foi dada no Exemplo 3.2.10
Lema 1.5.11. Seja H um espaço de Hilbert sobre K e A ∈ L(H) um operador auto-adjunto, então
‖A‖L(H) = sup‖u‖=1‖v‖=1
|〈Au, v〉| = sup‖u‖=1
|〈Au, u〉|.
Demonstração: Basta mostrar que
‖A‖L(H) = sup‖u‖=1‖v‖=1
|〈Au, v〉| 6 sup‖u‖=1
|〈Au, u〉| := a.
Se u, v′ ∈ H, ‖u‖H = ‖v′‖H = 1, |〈Au, v′〉| eiα = 〈Au, v′〉 e v = eiαv′, temos que
|〈Au, v′〉| = 〈Au, v〉 =1
4[〈A(u+ v), u+ v〉 − 〈A(u− v), u− v〉]
6a
4[‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2] = a,
o que completa a prova.
Segue diretamente da Proposição 1.5.10 e do Lema 1.5.11 que
Corolário 1.5.12. Sejam H um espaço de Hilbert com produto interno 〈·, ·〉 e A ∈ L(H)
um operador auto-adjunto com σ(A) = 0, então A = 0.
O teorema a seguir e o Teorema 1.5.8 constituem as principais ferramentas para aobtenção de operadores auto-adjuntos.
1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos 25
Teorema 1.5.13 (Friedrichs). Seja X um espaço de Hilbert sobre K e A : D(A) ⊂ X →X um operador simétrico para o qual existe um α ∈ R tal que
〈Ax, x〉 6 α‖x‖2 ou 〈Ax, x〉 > α‖x‖2 (1.5.2)
para todo x ∈ D(A). Então A admite uma extensão auto-adjunta que preserva a limitação(1.5.2).
Demonstração: Vamos fazer a prova apenas no caso em que 〈Ax, x〉 > α‖x‖2 para todox ∈ D(A) e para algum α ∈ R. O outro caso pode ser deduzido deste considerando ooperador −A. Também consideraremos apenas o caso α = 1 pois o caso geral pode serdeduzido deste considerando o operador A+ (1− α)I.
Em D(A) considere o produto interno D(A) × D(A) 3 (x, y) 7→ 〈Ax, y〉 ∈ K. Cla-ramente, a norma D(A) 3 x 7→ ‖x‖ 1
2= 〈Ax, x〉 12 ∈ R+ resultante deste produto interno
satisfaz ‖x‖ 12> ‖x‖. Denote por X
12 o completamento de D(A) relativamente à norma
‖ · ‖ 12.
Mostremos que X12 , como conjunto, está em correspondência biunívoca com um sub-
conjunto do completamento de D(A) relativamente à norma ‖ · ‖. É claro que todasequência xn em D(A) que é de Cauchy relativamente à norma ‖ · ‖ 1
2é também de
Cauchy relativamente à norma ‖ · ‖.
Para concluir a injetividade mostraremos, por redução ao absurdo que, se xn é umasequência de Cauchy relativamente à norma ‖ · ‖ 1
2para a qual limn→∞ ‖xn‖ 1
2= a > 0,
não podemos ter que limn→∞ ‖xn‖ = 0. Se a tese é falsa, temos que
2Re〈Axn, xm〉 = 〈Axn, xn〉+ 〈Axm, xm〉 − 〈A(xn − xm), (xn − xm)〉m,n→∞−→ 2a2
o que é um absurdo pois 〈Axn, xm〉m→∞−→ 0.
Como X é completo, X12 pode ser identificado com um subconjunto de X.
Seja D = D(A∗) ∩X 12 . Como D(A) ⊂ D(A∗), devemos ter que D(A) ⊂ D ⊂ D(A∗).
Definimos A tomando a restrição de A∗ a D e mostraremos que A é auto-adjunto.
Primeiramente mostremos que A é simétrico. Se x, y ∈ D existem seqüências xn eyn emD(A) que ‖xn−x‖ 1
2
n→∞−→ 0 ‖yn−y‖ 12
n→∞−→ 0. Segue que limm→∞ limn→∞〈Axn, ym〉 =
26 Análise espectral de operadores lineares
limn→∞ limm→∞〈Axn, ym〉 = 〈x, y〉 12existe e coincide com
limn→∞
limm→∞
〈Axn, ym〉 = limn→∞〈Axn, y〉 = lim
n→∞〈xn, Ay〉 = 〈x, Ay〉 e com
limm→∞
limn→∞〈Axn, ym〉 = lim
m→∞〈x,Aym〉 = lim
m→∞〈Ax, ym〉 = 〈Ax, y〉,
e assim A é simétrico.
Para concluir a demonstração é suficiente mostrar que A é sobrejetor e isto segue daseguinte forma. Seja y ∈ X e considere o funcional f : D(A)→ K dado por f(x) = 〈x, y〉.Então f é um funcional linear contínuo relativamente à norma ‖ · ‖ 1
2e pode ser estendido
a um funcional linear contínuo de X12 e sendo assim, do Teorema de Representação de
Riesz, existe y′ ∈ X 12 tal que
f(x) = 〈x, y〉 = 〈x, y′〉 12
= 〈Ax, y′〉, ∀x ∈ D(A).
Logo y′ ∈ D(A∗) ∩X 12 e A∗y′ = Ay′ = y mostrando que A é sobrejetor.
Exemplo 1.5.14. Seja X = L2(0, π) e D(A0) = C20(0, π) o conjunto das funções duas
vezes continuamente diferenciáveis e que tem suporte compacto em (0, π). Defina A0 :
D(A0) ⊂ X → X por(A0φ)(x) = −φ′′(x), x ∈ (0, π).
É fácil ver que A0 é simétrico e que 〈A0φ, φ〉 > 2π2 ‖φ‖2
X para todo φ ∈ D(A0). DoTeorema 1.5.13, A0 possui uma extensão auto adjunta A que satisfaz 〈Aφ, φ〉 > 2
π2 ‖φ‖2X
para todo φ ∈ D(A). Observe que o espaço X12 do Teorema de Friedrichs é, neste exemplo
o fecho de D(A) na norma H1(0, π) e portanto X12 = H1
0 (0, π). Por outro lado D(A∗) écharacterizado por
D(A∗0) = φ ∈ X : ∃φ∗ ∈ X tal que 〈−u′′, φ〉 = 〈u, φ∗〉, ∀u ∈ D(A0)
e A∗0u = −u′′ para todo u ∈ D(A∗0). Assim, D(A) = H2(0, π)∩H10 (0, π) e Au = −u′′ para
todo u ∈ D(A).
Também do Teorema 1.5.13 sabemos que (−∞,√
2π
) ⊂ ρ(A). Em particular 0 ∈ ρ(A) ese φ ∈ D(A), temos que |φ(x)− φ(y)| 6 |x− y| 12‖φ′‖L2(0,π) = |x− y| 12 〈Aφ, φ〉 12 . Assim, seB é um conjunto limitado de D(A) com a norma do gráfico, então supφ∈B ‖φ′‖L2(0,π) <∞e a família B de funções é equicontínua e limitada em C([0, π],R) com a topologia da con-vergência uniforme. Segue do teorema de Arzelá-Ascoli que B é relativamente compacto
1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos 27
em C([0, π],R) e consequentemente B é relativamente compacto em L2(0, π). Do Exer-cício 1.4.12 temos que A−1 é um operador compacto. Segue que σ(A) = λ1, λ2, λ3, · · · onde λn = n2 ∈ σp(A) com auto-funções φn(x) =
(2π
) 12 sen(nx), n ∈ N.
Capítulo
2Teoria de semigrupos
Neste capítulo apresentamos os fatos básicos da teoria de semigrupos de operadoreslineares e contínuos indispensáveis ao entendimento das técnicas de solução de problemasparabólicos e hiperbólicos semilineares. Começamos com uma revisão da teoria básicamas com o objetivo principal de apresentar a teoria de semigrupos fortemente contínuose semigrupos analíticos. A exposição apresentada neste capítulo segue [2, 6, 7]. Grandeparte da exposição estará concentrada na caracterização dos geradores de semigruposlineares já que nas aplicações da teoria, em geral, conhecemos a equação diferencial e nãoo operador solução.
Consideremos inicialmente a seguinte equação diferencial ordinária em R dada pord
dtx(t) = ax(t),
x(0) = x0,
(2.0.1)
onde a ∈ R. Sabemos que a solução do problema (única, como veremos a seguir) é dadapor x(t) = x0e
at, para t ∈ R. As propriedades da função T (t).= eat que fazem com que
x(t) seja solução do problema são:
(i) T (0) = 1. (ii) ddtT (t) = aT (t).
Usando a definição de derivada, encontremos propriedades de T (t) para que se verifique(ii). Temos
d
dtT (t) = lim
h→0
T (t+ h)− T (t)
h= lim
h→0
ea(t+h) − eat
h= eat lim
h→0
eah − 1
h.
30 Teoria de semigrupos
Assim, para que valha (ii), usamos as propriedades
• ec+d = eced; • limh→0eah−1h
= a.
E o limite acima é equivalente a limh→0 eah − 1 = 0. Logo, utilizamos as propriedades
(a) T (0) = 1.
(b) T (t+ s) = T (t)T (s).
(c) limh→0 T (h)− 1 = 0.
Isto nos motiva fazer a seguinte definição:
Definição 2.0.15. Um semigrupo de operadores lineares em X é uma família
T (t) : t > 0 ⊂ L(X)
tal que
(i) T (0) = I, onde I é o operador identidade em X;
(ii) T (t+ s) = T (t)T (s), para todo t, s > 0.
Se, além disso,
(iii’) ‖T (t)− I‖L(X)t→0+−→ 0, diremos que o semigrupo é uniformemente contínuo;
(iii”) ‖T (t)x − x‖Xt→0+−→ 0, para cada x ∈ X, diremos que o semigrupo é fortemente
contínuo, ou um C0-semigrupo.
Além da função exponencial real, o estudo dos semigrupos de operadores lineares estáassociado ao estudo de problemas de Cauchy lineares da forma
d
dtx(t) = Ax(t),
x(0) = x0,
(2.0.2)
onde A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear (em geral ilimitado). O semigrupoT (t) : t > 0 é o operador solução de (2.0.2); isto é, para cada x0 ∈ X, t 7→ T (t)x0 é asolução (em algum sentido) de (2.0.2). Para explicar melhor esta observação consideremosprimeiramente o caso em que A é um operador linear contínuo.
31
Neste caso, o semigrupo t 7→ T (t) é o operador solução (no sentido usual) do problemad
dtT (t) = AT (t)
T (0) = B ∈ L(X).
(2.0.3)
com B = I. Esta solução será denotada por T (t).= eAt. Vamos mostrar que existe uma
única solução para (2.0.3) e que as propriedades de semigrupo estão satisfeitas. Isto seguedo princípio da contração de Banach que enunciamos a seguir.
Lema 2.0.16. Seja X um espaço métrico completo com métrica dX : X×X → R+ e umafunção F : X → X tal que dX(F n(x), F n(y)) 6 k dX(x, y) para algum inteiro positivo ne 0 < k < 1 (F n é uma contração). Então, existe um único x ∈ X tal que F (x) = x. Oponto x é chamado ponto fixo de F .
Agora vamos procurar soluções para (2.0.3) que sejam funções em U(·) ∈ C([0, τ ],
L(X)) ∩ C1((0, τ ], L(X)) : U(0) = B que verifiquem (2.0.3). Seja
K = U(·) ∈ C([0, τ ],L(X)) : U(0) = B
e defina a transformação F : K → K por
F (U)(t) = B +
∫ t
0
AU(s)ds
e observe que uma solução de (2.0.3) é um ponto fixo de F em K e que um ponto fixo deF é uma solução de (2.0.3). Note que K é um espaço métrico completo com a métricainduzida pela norma de C([0, τ ],L(X)). Queremos mostrar que existe um inteiro positivon tal que F n é uma contração. De fato:
‖F (U)(t)− F (V )(t)‖L(X) 6
∣∣∣∣∫ t
0
‖AU(s)− AV (s)‖L(X)ds
∣∣∣∣6 t‖A‖L(X) sup
t∈[0,τ ]
‖U(t)− V (t)‖L(X)
6 τ‖A‖L(X) supt∈[0,τ ]
‖U(t)− V (t)‖L(X)
Suponha que, para t ∈ [0, τ ],
‖F n−1U(t)− F n−1V (t)‖L(X) 6tn−1‖A‖n−1
L(X)
(n− 1)!supt∈[0,τ ]
‖U(t)− V (t)‖L(X),
32 Teoria de semigrupos
então
‖F n(U)(t)− F n(V )(t)‖L(X) 6
∣∣∣∣∫ t
0
‖AF n−1U(s)− AF n−1V (s)‖L(X)ds
∣∣∣∣6tn‖A‖nL(X)
n!supt∈[0,τ ]
‖U(t)− V (t)‖L(X)
6τn‖A‖nL(X)
n!supt∈[0,τ ]
‖U(t)− V (t)‖L(X).
Notando queτn‖A‖nL(X)
n!→ 0 quando n → ∞, temos que existe um inteiro positivo n0
tal que F n0 é uma contração e segue do Princípio da Contração de Banach que existeum único ponto fixo para F . É fácil ver que este ponto fixo é uma função contínuamentediferenciável e que satisfaz (2.0.3).
Como a argumentação acima vale para todo τ ∈ R obtemos que toda solução de(2.0.3) está globalmente definida. Vamos agora verificar que a propriedade de semigrupoestá satisfeita para a solução T (t) de (2.0.3) com B = I. Note que U(t) = T (t + s) eV (t) = T (t)T (s) são soluções de (2.0.3) satisfazendo U(0) = V (0) = T (s). Segue daunicidade de soluções que T (t + s) = T (t)T (s). Portanto, T (t) : t ∈ R é um grupouniformemente contínuo de operadores lineares limitados (vide Capítulo 4).
É claro que estaremos interessados em situações mais gerais, já que em muitas apli-cações o operador A não é limitado. Reciprocamente, dado um semigrupo de operadoreslineares qualquer podemos associá-lo a uma equação differencial através da seguinte defi-nição
Definição 2.0.17. Se T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo deoperadores lineares, seu gerador infinitesimal é o operador definido por A : D(A) ⊂X → X, onde
D(A) =
x ∈ X : lim
t→0+
T (t)x− xt
existe,
Ax = limt→0+
T (t)x− xt
, ∀x ∈ D(A).
Observação 2.0.18. É claro que quando lidamos com equações diferenciais, em geraltrabalhamos com operadores A que não são limitados. De fato, considere X o espaçoC∞(R); isto é, o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis de R em R. Mostremos
2.1 Exponencial de um operador linear limitado 33
que não é possível definir uma norma neste espaço de modo que o operador dado por
(Af)(t) =df
dt(t) (a derivada),
seja um operador linear limitado.
Assuma que ‖ · ‖ é uma norma qualquer em X. Considere a função f(t) = eλt, paraλ ∈ R, onde λ > 0 é fixado. Claramente f ∈ X e das propriedades de norma, temos
‖Af‖ =
∥∥∥∥dfdt∥∥∥∥ = ‖λf‖ = λ‖f‖.
Como λ > 0 pode ser tomado arbitrário, é fácil ver que não pode existir C > 0 tal que
‖Ag‖ 6 C‖g‖, para toda g ∈ X,
o que mostra que A não é limitado, em nenhuma norma.
2.1 Exponencial de um operador linear limitado
Exemplo 2.1.1. Seja A ∈ L(X) e defina eAt .=∞∑n=0
Antn
n!. Então eAt : t ∈ R define um
grupo uniformemente contínuo com gerador A e satisfazendo ‖eA t‖L(X) 6 e|t|‖A‖L(X).
A série∞∑n=0
Antn
n!converge absolutamente, uniformemente em subconjuntos compactos
de R, visto que ‖An‖L(X) 6 ‖A‖nL(X), portanto
‖eAt‖L(X) 6∞∑n=0
∥∥∥∥Antnn!
∥∥∥∥L(X)
6∞∑n=0
(|t| ‖A‖L(X))n
n!= e|t| ‖A‖L(X) , t ∈ R.
e
∞∑n=1
∥∥∥∥ Antn−1
(n− 1)!
∥∥∥∥L(X)
6 ‖A‖L(X)
∞∑n=0
(|t| ‖A‖L(X))n
n!= ‖A‖L(X)e
|t| ‖A‖L(X) , t ∈ R.
Portantod
dteAt = AeAt, t ∈ R.
34 Teoria de semigrupos
Também‖eAt − I‖L(X) 6 |t|‖A‖L(X)e
|t|‖A‖L(X) → 0
quando t → 0. Segue que eAt : t ∈ R é a única solução de (2.0.3) com B = I. Oresultado agora segue das considerações anteriores.
O resultado a seguir é extremamente útil na obtenção de propriedades de regularidadede semigrupos.
Lema 2.1.2. Seja φ uma função contínua e diferenciável a direita no intervalo [a, b). SeD+φ é contínua em [a, b), então φ é continuamente diferenciável em [a, b).
Prova: Exercício.
Todo semigrupo fortemente contínuo possui uma limitação exponencial que é dada noteorema a seguir.
Teorema 2.1.3. Suponha que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contí-nuo. Então, existe M > 1 e β tais que
‖T (t)‖L(X) 6Meβ t, para todo t > 0.
Além disso, para qualquer `>0 podemos escolher β> 1`
log‖T (`)‖L(X) e então escolherM .
Prova: Primeiramente note que existe η > 0 tal que supt∈[0,η] ‖T (t)‖L(X) <∞. Isto é con-sequência do fato que, para cada sequência tnn∈N em (0,∞) com tn
n→∞−→ 0+, T (tn)xn∈Né limitada para todo x ∈ X e, do Princípio da Limitação Uniforme, ‖T (tn)‖L(X)n∈N élimitada.
Escolha ` > 0 tal que sup06t6` ‖T (t)‖L(X) =M< ∞ e seja β > 1`
log ‖T (`)‖L(X) isto é‖T (`)‖L(X) 6 eβ` e então
‖T (n`+ t)‖L(X) = ‖T (`)nT (t)‖L(X) 6 ‖T (`)‖nL(X)‖T (t)‖L(X) 6Meβn`
6Me|β|`eβ(n`+t),
para todo 0 6 t 6 ` e n ∈ N, e a afirmativa segue.
O teorema a seguir caracteriza completamente os semigrupos uniformemente contínuosde operadores através de seus geradores.
2.1 Exponencial de um operador linear limitado 35
Teorema 2.1.4. Dado um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 ⊂ L(X), asseguintes afirmativas são equivalentes:
(a) o semigrupo é uniformemente contínuo;
(b) o seu gerador infinitesimal está definido em todo X;
(c) para algum A em L(X), T (t) = eAt.
Demonstração: Se T (t) = eAt para algum A ∈ L(X) as demais afirmativas foramprovadas no Exemplo 2.1.1.
Se o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0 está globalmente definido, então∥∥∥T (t)x−x
t
∥∥∥X
06t61
é limitado para cada x e pelo Princípio da Limitação Uniforme temos que∥∥∥T (t)−I
t
∥∥∥L(X)
06t61
é limitado e portanto T (t) → I quando t → 0+. É suficiente provar que, se T (t)t→0+−→ I
em L(X), existe A ∈ L(X) com T (t) = eAt.Assumindo que T (t) → I quando t → 0+, existe δ > 0 tal que ‖T (t)− I‖L(X) 6 1/2,
0 6 t 6 δ. Ainda
‖T (t+ h)− T (t)‖L(X) = ‖(T (h)− I)T (t)‖L(X) → 0,
‖T (t)− T (t− h)‖L(X) = ‖(T (h)− I)T (t− h)‖L(X) → 0
quando h→ 0+, já que ‖T (t)‖L(X) é limitada em [0, δ]. Portanto t→ T (t) : R+ → L(X)
é contínuo e a integral∫ t
0
T (s)ds está bem definida. Além disso,
∥∥∥∥1
δ
∫ δ
0
T (s)ds− I∥∥∥∥L(X)
6 1/2
e portanto(∫ δ
0
T (s)ds
)−1
∈ L(X). Defina
A = (T (δ)− I)
(∫ δ
0
T (s)ds
)−1
.
Para cada h > 0,
h−1(T (h)− I)
∫ δ
0
T (s)ds = h−1
∫ δ+h
h
T (s)ds−∫ δ
0
T (s)ds
= h−1
∫ δ+h
δ
T (s)ds− h−1
∫ h
0
T (s)dsh→0+−→ T (δ)− I.
36 Teoria de semigrupos
Logo h−1(T (h) − I)h→0+−→ A e h−1(T (t + h) − T (t)) = T (t)T (h)−I
h= T (h)−I
hT (t)
h→0+−→T (t)A = AT (t). Portanto t→ T (t) tem uma derivada a direita
d+
dtT (t) = T (t)A = AT (t)
que é contínua para t > 0. Segue do Lema 2.1.2 que t 7→ T (t) é continuamente diferenciá-vel e, da unicidade de soluções para o problema (2.0.3) com B = I segue que T (t) = eAt,t > 0.
Em vista desse teorema a teoria de semigrupos concentra-se no estudo dos semigruposfortemente contínuos e seus geradores.
2.2 Semigrupos de classe C0
O resultado a seguir coleta alguns fatos importantes sobre semigrupos fortemente con-tínuos que serão utilizados com freqüência no restante do capítulo.
Teorema 2.2.1. Suponha que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) seja um C0-semigrupo.
1. Para qualquer x ∈ X, a aplicação t→ T (t)x ∈ X é contínua para t > 0.
2. R+ 3 t 7→ ‖T (t)‖L(X) ∈ R+ é semicontínua inferiormente e portanto mensurável.
3. Seja A o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0; então, A é densamente definido efechado. Para x ∈ D(A), R+ 3 t 7→ T (t)x ∈ D(A) é continuamente diferenciável e
d
dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0.
4. Para β dado no Teorema 2.1.3, se Reλ > β então λ ∈ ρ(A) e
(λ− A)−1x =
∫ ∞0
e−λtT (t)xdt, ∀x ∈ X
Demonstração: De 1: A continuidade de t 7→ T (t)x é uma consequência do Teorema2.1.3 e do fato que, se t > 0 e x ∈ X,
‖T (t+ h)x− T (t)x‖X = ‖(T (h)− I)T (t)x‖Xh→0+−→ 0,
‖T (t)x− T (t− h)x‖X 6 ‖T (t− h)‖L(X)‖T (h)x− x‖Xh→0+−→ 0.
2.2 Semigrupos de classe C0 37
De 2: Mostramos que t > 0 : ‖T (t)‖L(X) > b é aberto em [0,∞) para cada b o queimplica a afirmativa. Mas ‖T (t0)‖L(X) > b implica que existe x ∈ X com ‖x‖X = 1 talque ‖T (t0)x‖ > b. Segue do item 1 que ‖T (t)x‖ > b para todo t suficientemente próximode t0, logo ‖T (t)‖L(X) > b para t em uma vizinhança de t0 e o resultado segue.
De 3: Sejam x ∈ X e para ε > 0, xε = 1ε
∫ ε
0
T (t)x dt; então xε → x quando ε → 0+ e,
para h > 0,
h−1(T (h)xε − xε) =1
εh
∫ ε+h
ε
T (t)x dt−∫ h
0
T (t)x dt
h→0+−→ 1
ε(T (ε)x− x).
Logo xε ∈ D(A). Será uma consequência imediata do item 4 que A é fechado pois(λ− A)−1 ∈ L(X). Se x ∈ D(A) é claro que
d+
dtT (t)x = lim
h→0+
1
hT (t+ h)x− T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax
é contínuo e toda função com derivada a direita contínua é continuamente diferenciável.
De 4: Defina R(λ) ∈ L(X) por
R(λ)x =
∫ ∞0
e−λtT (t)xdt
e note que ‖R(λ)‖L(X) 6 MReλ−β , se Reλ > β e ‖T (t)‖L(X) 6Meβt. Seja x ∈ X e h > 0
h−1(T (h)− I)R(λ)x = R(λ)T (h)x− x
h
= h−1
[∫ ∞h
e−λt+λhT (t)xdt−∫ ∞
0
e−λtT (t)xdt
]= h−1
[−∫ h
0
eλ(h−t)T (t)xdt+
∫ ∞0
(eλh − 1)e−λtT (t)xdt
]h→0+−→ −x+ λR(λ)x.
(2.2.1)
Portanto R(λ)x ∈ D(A) e (λ − A)R(λ)x = x, e λ − A é sobrejetivo. Também, sex ∈ D(A) então, integrando por partes, R(λ)Ax = λR(λ)x − x = AR(λ)x. Segue que(λ − A)R(λ)x = x = R(λ)(λ − A)x para todo x ∈ D(A) e λ − A é também injetora.Logo (λ − A) é uma bijeção de D(A) sobre X com inversa limitada R(λ) e a prova estácompleta.
38 Teoria de semigrupos
2.2.1 Iterações de operadores
Definição 2.2.2. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Defina A0 .
= I, A1 .= A e estando definido Am−1, definimos
D(Am) = x ∈ X : x ∈ D(Am−1) e Am−1x ∈ D(A),
e assim Amx.= A(Am−1x), para todo x ∈ D(Am).
Proposição 2.2.3. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Então
1. D(Am) é um subespaço vetorial de X e Am : D(Am) ⊂ X → X é um operadorlinear.
2. Se x ∈ D(Am) então T (t)x ∈ D(Am) para todo t > 0 e
dm
dtmT (t)x = AmT (t)x = T (t)Amx.
3. Fórmula de Taylor: se x ∈ D(Am) e t0 > 0 temos
T (t)x =m−1∑k=0
(t− t0)k
k!AkT (t0)x+
1
(m− 1)!
∫ t
t0
(t− s)m−1AmT (t0)xds.
4. Para cada x ∈ D(Am) temos
(T (t)− I)mx =
∫ t
0
· · ·∫ t
0
T (s1 + · · · sm)ds1 · · · dsm.
5. ∩m>1D(Am) é denso em X.
Demonstração: De 1 fica como exercício ao leitor.
De 2: o caso m = 1 é o item 3 do Teorema 2.2.1. Agora suponha por indução que oresultado seja válido para m e o provemos para m+ 1. Para isto, seja x ∈ D(Am+1), logox ∈ D(Am) e da hipótese de indução temos T (t)x ∈ D(Am). Além disso, Amx ∈ D(A) eassim
AmT (t)x = T (t)Amx ∈ D(A),
2.2 Semigrupos de classe C0 39
e portanto T (t)x ∈ D(Am+1). Finalmente
dm+1
dtm+1T (t)x =
d
dt
dm
dtmT (t)x =
d
dtT (t)Amx = AT (t)Amx = T (t)Am+1x.
De 3: Para m = 1, temos
T (t)x− T (t0)x =
∫ t
t0
d
dsT (s)xds =
∫ t
t0
AT (s)xds.
O restante da demonstração deste item é feito por indução, e deixado a cargo do leitor.
De 4: Para m = 1, o resultado segue do caso m = 1 do item 3 deste teorema, comt0 = 0.
Novamente, este item segue por indução e deixamos a demonstração a cargo do leitor.
De 5: Seja φ : R → R uma função em C∞(R) com φ(t) = 0 em uma vizinhança de
t = 0 e também para t suficientemente grande, seja x ∈ X e f =
∫ ∞0
φ(t)T (t)x dt. Segue
facilmente de h−1(T (h)f − f) = h−1
∫ ∞h
(φ(t − h) − φ(t))T (t)x dt que f ∈ D(A) e que
Af = −∫ ∞
0
φ′(t)T (t)x dt. Como −φ′ satisfaz as mesmas condições que φ,
Amf = (−1)m∫ ∞
0
φ(m)(t)T (t)x dt
para todo m ≥ 1 e f ∈ ∩m>1D(Am). Para mostrar que tal conjunto de pontos é denso emX, escolha φ acima satisfazendo também
∫∞0φ(t)dt = 1; então se fn =
∫∞0nφ(nt)T (t)xdt =∫∞
0φ(s)T (s/n)xds, n ∈ N e temos que fn ∈ ∩m>1D(Am) e fn → x quando n→∞.
Exercício 2.2.4. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado, densamente definido ecom 1 ∈ ρ(A).
1. D(A2)X
= X
2. Ym.= (D(Am), ‖ · ‖m) é um espaço de Banach, para cada m ∈ N, onde
‖x‖m =m∑k=0
‖Akx‖X .
3. D(A2)Y1
= Y1 (Sugestão: tome D(A) 3 fn → Ax ∈ X, xn = (I − A)−1(x − fn) emostre que xn → x e Axn → Ax).
40 Teoria de semigrupos
Observação 2.2.5. Segue imediatamente do Exercício 2.2.4 que se u : R+ → X é umafunção tal que
(i) u(t) ∈ D(Am) para cada t ∈ I ⊂ R+ aberto;
(ii) u possui n derivadas e
dku
dtk∈ D(Am), para todo t ∈ I e k = 1, · · · , n;
(iii) as funções Aj dkudtk
, para j = 0, · · · ,m e k = 0, · · · , n são contínuas em I;
então u ∈ Cn(I, Ym).
Proposição 2.2.6. Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T (t) : t > 0então para cada x ∈ D(Am) temos que a aplicação R+ 3 t 7→ T (t)x está em Cm−k(R+, Yk),para cada k = 0, · · · ,m.
Demonstração: Se x ∈ D(Am) então x ∈ D(Ak) e Akx ∈ D(Am−k), para cada k =
0, · · · ,m. Da Proposição 2.2.3, segue que para 0 6 j 6 m− k
dj
dtjT (t)x = AjT (t)x = T (t)Ajx,
e como Ajx ∈ D(Am−j) segue que dj
dtjT (t)x ∈ D(Am−j) ⊂ D(Ak). Ainda, se i = 0, · · · , k,
temos 0 6 i+ j 6 m e assim
Aidj
dtjT (t)x = Ai+jT (t)x = T (t)Ai+jx,
que é contínua na variável t. O resultado segue agora da Observação 2.2.5.
2.2.2 Unicidade
Teorema 2.2.7. Sejam T (t) : t > 0 e S(t) : t > 0 semigrupos fortemente contínuoscom geradores infinitesimais A e B repectivamente. Se A = B então T (t) = S(t), t > 0.
Demonstração: Seja x ∈ D(A) = D(B). Do Teorema 2.2.1 segue facilmente que afunção s 7→ T (t− s)S(s)x é diferenciável e que
d
dsT (t− s)S(s)x = −AT (t− s)S(s)x+ T (t− s)BS(s)x
= −T (t− s)AS(s)x+ T (t− s)BS(s)x = 0.
2.2 Semigrupos de classe C0 41
Portanto s 7→ T (t− s)S(s)x é constante e em particular seus valores em s = 0 e s = t
são os mesmos, isto é T (t)x = S(t)x. Isto vale para todo x ∈ D(A) e como D(A) é densoem X e S(t), T (t) são limitados, T (t)x = S(t)x para todo x ∈ X.
2.2.3 Exemplos de semigrupos e geradores infinitesimais
1. O semigrupo das translações
Considere Cu(R) o espaço das funções uniformemente contínuas e limitadas de R emR. Em Cu(R) defina, para cada t > 0 a seguinte aplicação:
T (t) : Cu(R)→ Cu(R)
u 7→ T (t)u.= u(t+ ·)
Considere em Cu(R) a norma uniforme, dada por
‖u‖ .= supt∈R|u(t)|.
É simples verificar que com esta norma, o espaço Cu(R) é um espaço de Banach, e quepara cada t > 0, a aplicação T (t) é um operador linear limitado (unitário) de Cu(R).
Verifiquemos agora que T (t) : t > 0 é um C0-semigrupo em Cu(R).
(i) T (0)u = u(0 + ·) = u, logo T (0) = I em Cu(R).
(ii) T (t)T (s)u = T (t)u(s+ ·) = u(t+ s+ ·) = T (t+ s)u, para todo t, s > 0 e u ∈ Cu(R).
(iii) Sejam u ∈ Cu(R) e ε > 0. Da continuidade uniforme de u, existe δ > 0 tal que se0 < t < δ, então sups∈R |u(t+ s)− u(s)| < ε; isto é, ‖T (t)u− u‖ < ε para 0 < t < δ
e portanto, para cada u ∈ Cu(R), temos
‖T (t)u− u‖ t→0+−−−→ 0.
Para completar a análise deste semigrupo, encontremos seu gerador infinitesimal; epara isto, o denotemos por A : D(A) ⊂ Cu(R) → Cu(R). Se u ∈ D(A) então temos queAu = limh→0+
T (h)u−uh
, e tal limite existe (na norma uniforme). Mas
(Au)(s) = limh→0+
u(h+ s)− u(s)
h=d+u
dt(s),
42 Teoria de semigrupos
onde o limite existe na norma uniforme, portanto d+udt
existe e é uniformemente contínua.Do Lema 2.1.2, du
dtexiste e é uniformemente contínua.
Reciprocamente, se u ∈ Cu(R) e dudt
existe e é uniformemente contínua, do Teoremado Valor Médio, dado h > 0 existe ξt,h ∈ (t, t+ h) tal que
T (h)u(t)− u(t)
h− du
dt(t) =
du
dt(ξt,h)−
du
dt(t),
e como ξt,hh→0−−→ t, a continuidade uniforme de du
dtgarante que limh→0+
T (h)u−uh
existeuniformemente; logo u ∈ D(A) e
Au =du
dt.
Portanto D(A) = u ∈ Cu(R) : dudt
existe e é uniformemente contínua e para u ∈D(A) temos Au = du
dt.
2. Translações de geradores
Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo em um espaço de Banach X, A seu geradorinfinitesimal e β ∈ R. Então a família S(t) : t > 0 dada por
S(t) = eβtT (t), para cada t > 0,
define um C0-semigrupo em X e A+ βI é o seu gerador infinitesimal.A demonstração destes fatos é deixada a cargo do leitor.
Capítulo
3
Geração de semigrupos
3.1 Teorema de Hille-Yosida
Teorema 3.1.1 (Hille-Yosida). Suponha que A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear.Então os fatos seguintes são equivalentes:
(i) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 ⊂L(X) tal que
‖T (t)‖L(X) 6 eωt, para todo t > 0;
(ii) A é um operador linear fechado, densamente definido com ρ(A) ⊃ (ω,∞) e
‖(λ− A)−1‖L(X) 61
λ− ω, ∀λ > ω.
Demonstração: Que (i) implica (ii) segue do Teorema 2.2.1, parte 3, em particular:
‖(λ− A)−1x‖X 6∫ ∞
0
e−λt‖T (t)x‖Xdt 61
λ− ω‖x‖X , se λ > ω.
Note que T1(t).= T (t)e−ωt é um semigrupo com ‖T1(t)‖L(X) 6 1 (chamado semigrupo
de contrações) e o gerador de T1(t) : t > 0 é A−ω logo é suficiente tratar o caso ω = 0.Suponha que (ii) vale com ω = 0. Para λ > 0 temos
‖λ(λ− A)−1‖L(X) 6 1, λ(λ− A)−1 = I + A(λ− A)−1,
44 Geração de semigrupos
então x ∈ D(A) implica
‖λ(λ− A)−1x− x‖X = ‖(λ− A)−1Ax‖X 6 λ−1‖Ax‖X → 0,
quando λ→∞ e, como A é densamente definido,
λ(λ− A)−1x→ x, para cada x ∈ X. (3.1.1)
Para cada λ > 0, defina Aλ = λA(λ− A)−1 ∈ L(X). Então,
‖Aλ‖L(X) = λ‖A(λ− A)−1‖L(X) 6 2λ
e se x ∈ D(A), Aλx→ Ax quando λ→∞. Aλ é chamada de aproximação de Yosida
do operador A. Obtemos T (t) como o limite de etAλ quando λ→∞. Primeiro note queAλ = λ2(λ− A)−1 − λI, logo
‖etAλ‖L(X) = ‖e−λtetλ2(λ−A)−1‖L(X) 6 e−λtetλ2‖(λ−A)−1‖L(X) 6 1
e para qualquer λ, µ > 0 (e t > 0), uma vez que AλAµ = AµAλ,
‖etAλx− etAµx‖X =
∥∥∥∥∫ 1
0
d
ds(etsAλet(1−s)Aµx)ds
∥∥∥∥X
6∫ 1
0
t∥∥etsAλet(1−s)Aµ(Aλx− Aµx)
∥∥Xds
6 t‖Aλx− Aµx‖X .
Portanto para x ∈ D(A), T (t)x.= limλ→∞ e
tAλx existe uniformemente para 0 6 t 6 t0,qualquer que seja t0 > 0. Assim, [0,∞) 3 t → T (t)x ∈ X é contínuo para t > 0 elimt→0+ ‖T (t)x − x‖X = 0 e ‖T (t)x‖X 6 ‖x‖X . Podemos definir de forma única T (t) ∈L(X) para cada t > 0.
Se x ∈ X, dado ε > 0 existem x1 ∈ D(A) e δ > 0 tais que, ‖x1 − x‖X < ε/3 e‖T (t)x1 − x1‖X < ε/3, t ∈ [0, δ]. Assim, para todo t ∈ [0, δ],
‖T (t)x− x‖X 6 ‖T (t)(x− x1)‖X + ‖T (t)x1 − x1‖X + ‖x1 − x‖X < ε.
Isto mostra que limt→0+ ‖T (t)x− x‖X = 0 para todo x ∈ X.
Se x ∈ D(A2), então limλ→∞ etAλx = T (t)x e limλ→∞ e
tAλAx = T (t)Ax. Do fato que A
3.1 Teorema de Hille-Yosida 45
é fechado obtemos que T (t)x ∈ D(A) e AT (t)x = T (t)Ax. Segue da parte 3. do Exercício2.2.4 que T (t)x ∈ D(A) sempre que t ≥ 0 e x ∈ D(A). Disto obtemos facilmente queT (t)(T (s)x) = T (t + s)x para todo x ∈ D(A) e t, s > 0. Da densidade de D(A) em X,obtemos que T (t)(T (s)x) = T (t+ s)x, para todo x ∈ X e t, s > 0.
Portanto T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo. Só resta provarque A é o seu gerador.
Seja x ∈ D(A2), então
T (t)x− x = limλ→∞
(etAλx− x) = limλ→∞
∫ t
0
esAλAλxds
=
∫ t
0
T (s)Axds.
Tomando limites, a igualdade acima também vale para x ∈ D(A) (isto é feito usandoa parte 3. do Exercício 2.2.4).
Agora 1t(T (t)x− x) = 1
t
∫ t
0
T (s)Axds→ Ax quando t→ 0+, para qualquer x ∈ D(A).
Portanto o gerador B de T (t) deve ser uma extensão de A (isto éD(B) ⊃ D(A) e Bx = Ax
quando x ∈ D(A)). Mas, por hipótese, 1 ∈ ρ(A) e, do fato que B é o gerador de umsemigrupo fortemente contínuo de contrações, 1 ∈ ρ(B). Logo
X = (I − A)D(A) = (I −B)D(A),
então (I − B)D(A) = X = (I − B)D(B), D(A) = R((I − B)−1) = D(B), e segue queA = B e a prova está completa.
Ambas as condições (i) e (ii) dependem da escolha da norma em X. Daremos umaformulação independente da norma, mas na prática devemos usualmente procurar normasespeciais para a qual o Teorema 3.1.1 se aplica.
Lema 3.1.2. Suponha que A é um operador linear fechado cujo conjunto resolvente con-tém (0,∞) e que satisfaz
‖(λ− A)−n‖L(X) 6Mλ−n, n > 1, λ > 0.
Então existe uma norma | · |X em X tal que
‖x‖X 6 |x|X 6M‖x‖X , ∀x ∈ X
46 Geração de semigrupos
e|(λ− A)−1x|X 6 λ−1|x|X , ∀x ∈ X, λ > 0.
Demonstração: Se µ > 0 e |µ− λ| < µ então
(λ− A)−1 = (λ− µ+ (µ− A))−1 =∞∑k=0
(µ− λ)k(µ− A)−k−1
A série converge pois|µ− λ|µ
< 1 e
‖(µ− λ)k(µ− A)−k−1‖L(X) 6M|µ− λ|k
µk+1.
Isto vale, em particular, para 0 < λ < µ e como esta é uma série de potências
1
p!
(d
dλ
)p(λ− A)−1 = (−1)p(λ− A)−p−1
=∞∑k=p
(−1)pk!(µ− λ)k−p
p!(k − p)!(µ− A)−k−1,
então
(λ− A)−p−1 =∞∑k=p
(k
p
)(µ− λ)k−p(µ− A)−k−1 (3.1.2)
e 0 < λ < µ
‖λp+1(λ− A)−p−1x‖X 6∞∑k=p
(k
p
)(µ− λµ
)k−p(λ
µ
)p+1
‖µk+1(µ− A)−k−1x‖X .
Defina ‖x‖µ = supn>0 ‖µn(µ− A)−nx‖X para µ > 0, então ‖x‖X 6 ‖x‖µ 6 M‖x‖X epara 0 < λ < µ, ‖x‖λ 6 ‖x‖µ pois, para todo p ∈ N,
‖λp+1(λ− A)−p−1x‖X 6∞∑k=p
(k
p
)(µ− λµ
)k−p(λ
µ
)p+1
‖x‖µ = ‖x‖µ
onde, na última igualdade, utilizamos (3.1.2) com A = 0. Como λ 7→ ‖x‖λ é crescente elimitada superiormente, seja
|x|X = limλ→∞‖x‖λ = sup
λ>0‖x‖λ,
3.1 Teorema de Hille-Yosida 47
que é é uma norma em X.Então ‖x‖X 6 |x|X 6M‖x‖X e para 0 < λ < µ
‖µp(µ− A)−pλ(λ− A)−1x‖X = ‖λ(λ− A)−1µp(µ− A)−px‖X6 ‖µp(µ− A)−px‖λ6 ‖µp(µ− A)−px‖µ 6 ‖x‖µ 6 |x|X
então ‖λ(λ− A)−1x‖µ 6 |x|X e |λ(λ− A)−1x|X 6 |x|X .
Teorema 3.1.3 (Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida). Seja A : D(A) ⊂ X → X
um operador linear. As seguintes afirmativas são equivalentes
(i) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 ⊂L(X) tal que
‖T (t)‖L(X) 6Meωt, ∀t > 0;
(ii) A é fechado, densamente definido, o conjunto resolvente de A contém (ω,∞) e
‖(λ− A)−n‖L(X) 6M(λ− ω)−n, ∀λ > ω, n = 1, 2, · · · .
Demonstração: Considerando e−ωtT (t) e A − ω podemos supor sem perda de genera-lidade que ω = 0. Suponha (i), da parte 5. do Teorema 2.2.1, qualquer λ > 0 está noconjunto resolvente de A e
(λ− A)−1x =
∫ ∞0
e−λtT (t)xdt
e derivando, temos
(λ− A)−p−1x =1
p!
∫ ∞0
e−λttpT (t)xdt
logo ‖(λ− A)−p−1x‖X 6 1p!
∫ ∞0
e−λttpdt M‖x‖X = λ−p−1M‖x‖X para p = 0, 1, 2, · · · .
Agora suponha que (ii) vale (com ω = 0). Pelo Lema 3.1.2, podemos escolher umanorma equivalente |·|X para X, tal que ‖x‖X 6 |x|X 6M‖x‖X e |(λ−A)−1x|X 6 λ−1|x|Xpara λ > 0. Portanto o Teorema 3.1.1 (Teorema de Hille-Yosida) se aplica e A gera umsemigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 com |T (t)x|X 6 |x|X donde conluímos que
‖T (t)x‖X 6 |T (t)x|X 6 |x|X 6M‖x‖X .
48 Geração de semigrupos
Teorema 3.1.4. Seja X um espaço de Banach reflexivo e T (t) : t > 0 um C0-semigrupocom gerador infinitesimal A. Então, definindo T ∗(t) : t > 0 por T ∗(t) = T (t)∗, parat > 0, em L(X∗), então T ∗(t) : t > 0 é um C0-semigrupo e A∗ seu gerador infinitesimal.
Demonstração: Como, por hipótese, X é um espaço de Banach reflexivo e A é fechadoe densamente definido, A∗ é também fechado e densamente definido. Além disso, seλ ∈ ρ(A) então λ ∈ ρ(A∗) e ((λ− A)−1)∗ = (λ− A∗)−1.
Como A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo, existem constantes ω ∈ R eM > 1 tais que se (ω,∞) ⊂ ρ(A) e
‖(λ− A)−n‖L(X) 6M
(λ− ω)n, para todo λ > ω e n ∈ N.
Assim, (ω,∞) ⊂ ρ(A∗) e
‖(λ− A∗)−n‖L(X∗) = ‖(λ− A)−n‖L(X) 6M
(λ− ω)n, para todo λ > ω e n ∈ N,
e portanto A∗ é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T ∗(t) : t > 0 em X∗. Mas,para cada x∗ ∈ X∗, temos
T ∗(t)x∗ = limλ→∞
eA∗λtx∗ = lim
λ→∞
(eAλt
)∗x∗ = T (t)∗x∗.
Corolário 3.1.5. Um C0-semigrupo T (t) : t > 0 é auto-adjunto; isto é T (t)∗ = T (t)
para todo t > 0, se, e somente se, A é um operador auto-adjunto.
3.2 Operadores dissipativos
Definição 3.2.1. Seja X um espaço de Banach sobre K. A aplicação dualidade J : X →2X∗ é uma função multívoca definida por
J(x) = x∗ ∈ X∗ : Re〈x, x∗〉 = ‖x‖2X , ‖x∗‖X∗ = ‖x‖X.
Sabemos que J(x) 6= ∅ pelo Teorema de Hahn-Banach.
Definição 3.2.2. Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X é dissipativo se para cadax ∈ D(A) existe x∗ ∈ J(x) tal que Re 〈Ax, x∗〉 6 0.
3.2 Operadores dissipativos 49
Exercício 3.2.3. Mostre que se X∗ é uniformemente convexo e x ∈ X, então J(x) éunitário.
Lema 3.2.4. O operador linear A é dissipativo se, e somente se,
‖(λ− A)x‖X > λ‖x‖X , para todo x ∈ D(A) e λ > 0. (3.2.1)
Demonstração: Se A é dissipativo, λ > 0, x ∈ D(A), x∗ ∈ J(x) e Re〈Ax, x∗〉 6 0,
‖λx− Ax‖X‖x‖X > |〈λx− Ax, x∗〉| > Re〈λx− Ax, x∗〉 > λ‖x‖2X
e (3.2.1) segue. Reciprocamente, dado x ∈ D(A) suponha que (3.2.1) vale para todoλ > 0. Se y∗λ ∈ J((λ− A)x) e g∗λ = y∗λ/‖y∗λ‖X∗ temos
λ‖x‖X 6 ‖λx− Ax‖X = 〈λx− Ax, g∗λ〉 = λRe〈x, g∗λ〉 − Re〈Ax, g∗λ〉
6 λ‖x‖X − Re〈Ax, g∗λ〉(3.2.2)
Como a bola unitária de X∗ é compacta na topologia fraca∗ temos que existe g∗ ∈ X∗
com ‖g∗‖X∗ 6 1 tal que g∗ é um ponto limite da sequência g∗n. De (3.2.2) segueque Re〈Ax, g∗〉 6 0 e Re〈x, g∗〉 > ‖x‖X . Mas Re〈x, g∗〉 6 |〈x, g∗〉| 6 ‖x‖X e portantoRe〈x, g∗〉 = ‖x‖X . Tomando x∗ = ‖x‖Xg∗ temos x∗ ∈ J(x) e Re〈Ax, x∗〉 6 0. Portanto,para todo x ∈ D(A) existe x∗ ∈ J(x) tal que Re〈Ax, x∗〉 6 0 e A é dissipativo.
Teorema 3.2.5 (Lumer). Suponha que A é um operador linear em um espaço de BanachX. Se A é dissipativo e Im(λ0 − A) = X para algum λ0 > 0, então A é fechado,ρ(A) ⊃ (0,∞) e
‖λ(λ− A)−1‖L(X) 6 1, para todo λ > 0.
Demonstração: Se λ > 0 e x ∈ D(A), do Lema 3.2.4 temos que
‖(λ− A)x‖X > λ‖x‖X .
Agora Im(λ0 − A) = X, ‖(λ0 − A)x‖X > λ0‖x‖X para x ∈ D(A), logo λ0 está noconjunto resolvente de A e A é fechado.
Seja Λ = ρ(A) ∩ (0,∞). Λ é um conjunto aberto em (0,∞) já que ρ(A) é aberto,provaremos que Λ é também fechado em (0,∞) para concluir que Λ = (0,∞). Suponhaque λn∞n=1 ⊂ Λ, λn → λ > 0, se n é suficientemente grande temos que |λn − λ| 6 λ/3
então, para n grande, ‖(λ−λn)(λn−A)−1‖L(X) 6 |λn−λ|λ−1n 6 1/2 e I+(λ−λn)(λn−A)−1
50 Geração de semigrupos
é um isomorfismo de X. Então
λ− A =I + (λ− λn)(λn − A)−1
(λn − A) (3.2.3)
leva D(A) sobre X e λ ∈ ρ(A), como queríamos.
Corolário 3.2.6. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambosA e A∗ são dissipativos, então ρ(A) ⊃ (0,∞) e
‖λ(λ− A)−1‖L(X) 6 1, para todo λ > 0.
Demonstração: Pelo Teorema 3.2.5 é suficiente provar que Im(I − A) = X. Como Aé dissipativo e fechado, Im(I − A) é um subespaço fechado de X. Seja x∗ ∈ X∗, tal que〈(I − A)x, x∗〉 = 0 para todo x ∈ D(A). Isto implica que x∗ ∈ D(A∗) e (I∗ − A∗)x∗ = 0.Como A∗ é também dissipativo segue do Lema 3.2.4 que x∗ = 0. Segue que Im(I − A) édensa em X e, como Im(I − A) é fechada, Im(I − A) = X.
Faremos agora alguma propriedades de operadores dissipativos.
Teorema 3.2.7. Seja A um operador dissipativo em X.
(a) Se para algum λ0 > 0, Im(λ0 − A) = X então Im(λ− A) = X para todo λ > 0.
(b) Se A é fechável então seu fecho A é também dissipativo.
(c) Se D(A) = X então A é fechável.
Demonstração: A parte (a) segue do Teorema de Lumer. Para provar (b), seja x ∈D(A), y = Ax. Então existe uma sequência xnn∈N ⊂ D(A) tal que xn → x e Axn →y = Ax. Do Teorema 3.2.4 segue que ‖λxn − Axn‖X > λ‖xn‖X para λ > 0 e fazendon→∞ temos
‖λx− Ax‖X > λ‖x‖X , para todo λ > 0.
Como a desigualdade acima para todo x ∈ D(A), A é dissipativo pelo Teorema 3.2.4.Para provar (c) assuma que A não é fechável. Então existe uma sequência xnn∈N talque xn ∈ D(A), xn → 0 and Axn → y com ‖y‖X = 1. Do Teorema 3.2.4, segue que paratodo t > 0 e x ∈ D(A)∥∥∥∥(x+
1
txn)− tA(x+
1
txn)
∥∥∥∥X
>
∥∥∥∥x+1
txn
∥∥∥∥X
.
3.2 Operadores dissipativos 51
Fazendo n→∞ e então fazendo t→ 0 temos ‖x− y‖X > ‖x‖X para todo x ∈ D(A).Mas isto é impossível de acontecer se D(A) é denso em X e portanto A é fechável.
Teorema 3.2.8. Seja A dissipativo com Im(I −A) = X. Se X é reflexivo então D(A) =
X.
Demonstração: Seja x∗ ∈ X∗ tal que 〈x, x∗〉 = 0 para todo x ∈ D(A). Mostraremosque x∗ = 0. Como Im(I − A) = X é suficiente mostrar que 〈x − Ax, x∗〉 = 0 para todox ∈ D(A) o que é equivalente a 〈Ax, x∗〉 = 0 para todo x ∈ D(A). Seja x ∈ D(A)
então, pelo Teorema 3.2.7, parte (a), existe um xn tal que x = xn − (1/n)Axn. ComoAxn = n(xn−x) ∈ D(A), xn ∈ D(A2) e Ax = Axn−(1/n)A2xn ou (I−(1/n)A)Axn = Ax.Do Lema 3.2.4 segue que ‖Axn‖X 6 ‖Ax‖X . Assim, ‖xn − x‖X 6 (1/n)‖Axn‖X 6(1/n)‖Ax‖X e xn
n→∞−→ x. Como X é reflexivo, existe uma subsequência Axnk de Axn talque Axnk
w−→ f quando k →∞. Segue do fato que A é fechado que f = Ax. Finalmente,como 〈y, x∗〉 = 0 para todo y ∈ D(A), temos
〈Axnk , x∗〉 = nk〈xnk − x, x∗〉 = 0. (3.2.4)
Fazendo nk →∞ em (3.2.4) temos 〈Ax, x∗〉 = 0. Isto vale para x ∈ D(A) e portantox∗ = 0 e D(A) = X.
Em muitos exemplos, a técnica utilizada para obter estimativas para o operador re-solvente de um operador dado, bem como localizar o seu espectro, é a determinação desua imagem numérica (definida a seguir).
Se A é um operador linear em um espaço de Banach complexo X a sua imagemnumérica W (A) é o conjunto
W (A) := 〈Ax, x∗〉: x ∈ D(A), x∗ ∈ X∗, ‖x‖X =‖x∗‖X∗ = 〈x, x∗〉 = 1. (3.2.5)
No caso em que X é um espaço de Hilbert
W (A) = 〈Ax, x〉 : x ∈ D(A), ‖x‖ = 1.
Teorema 3.2.9. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado densamente definido.Seja W (A) a imagem numérica de A.
52 Geração de semigrupos
1. Se λ /∈ W (A) então λ− A é injetora e tem imagem fechada e satisfaz
‖(λ− A)x‖X > d(λ,W (A))‖x‖X . (3.2.6)
onde d(λ,W (A)) é a distância de λ a W (A). Além disso, se λ ∈ ρ(A),
‖(λ− A)−1‖L(X) 61
d(λ,W (A)). (3.2.7)
2. Se Σ é um subconjunto aberto e conexo em C\W (A) e ρ(A)∩Σ 6= ∅, então ρ(A) ⊃ Σ
e (3.2.7) está satisfeita para todo λ ∈ Σ.
Demonstração: Seja λ /∈ W (A). Se x ∈ D(A), ‖x‖X = 1, x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖X∗ = 1 e〈x, x∗〉 = 1 então
0 < d(λ,W (A)) ≤ |λ− 〈Ax, x∗〉| = |〈λx− Ax, x∗〉| 6 ‖λx− Ax‖X (3.2.8)
e portanto λ−A é injetora, tem imagem fechada e satisfaz (3.2.6). Se além disso λ ∈ ρ(A)
então (3.2.8) implica (3.2.7).Resta mostrar que se Σ intercepta ρ(A) então ρ(A) ⊃ Σ. Para este fim considere o
conjunto ρ(A) ∩ Σ. Este conjunto é obviamente aberto em Σ. Mas também é fechado jáque λn ∈ ρ(A) ∩ Σ e λn → λ ∈ Σ implica que para n suficientemente grande |λ − λn| <d(λn,W (A)). Disto e de (3.2.7) segue que para n grande, |λ− λn| ‖(λn − A)−1‖L(X) < 1
e, como na prova do Teorema 1.1.11, temos que λ ∈ ρ(A) e portanto ρ(A) ∩ Σ é fechadoem Σ. Segue que ρ(A) ∩ Σ = Σ ou seja ρ(A) ⊃ Σ, como queríamos.
Exemplo 3.2.10. Seja H um espaço de Hilbert sobre K e A : D(A) ⊂ H → H umoperador auto-adjunto. Segue que A é fechado e densamente definido. Se A é limitadosuperiormente; isto é, 〈Au, u〉 6 a〈u, u〉 para algum a ∈ R, então C\(−∞, a] ⊂ ρ(A), e
‖(A− λ)−1‖L(X) 6M
|λ− a|,
para alguma constante M > 1 dependendo somente de ϕ e para todo λ ∈ Σa,ϕ = λ ∈ C :
|arg(λ− a)| < ϕ, ϕ < π.
Demonstração: Vamos começar localizando a imagem numérica de A. Primeiramentenote que
W (A) = 〈Ax, x〉 : x ∈ D(A), ‖x‖ = 1 ⊂ (−∞, a].
3.3 Teorema de Lumer-Phillips 53
Note que A− a = A∗ − a são dissipativos e portanto, do Corolário 3.2.6, ρ(A− a) ⊃(0,∞). Do Teorema 3.2.9 temos que C\(−∞, a] ⊂ ρ(A) e que
‖(λ− A)−1‖L(X) 61
d(λ,W (A))6
1
d(λ, (−∞, a]).
Além disso, se λ ∈ Σa,ϕ temos que
1
d(λ, (−∞, a])≤ 1
sinϕ
1
|λ− a|
e o resultado segue.
Exercício 3.2.11. Seja X um espaço de Banach tal que X∗ é estritamente convexoe A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado, densamente definido e dissipativo. SeIm(I − A) = X, mostre que ρ(A) ⊃ λ ∈ C : Reλ > 0 e que
‖(λ− A)−1‖L(X) 61
Reλ, para todo λ ∈ Σ0,π
2.
3.3 Teorema de Lumer-Phillips
Teorema 3.3.1 (Lumer-Phillips). Suponha que A : D(A) ⊂ X → X é um operadorlinear em um espaço de Banach X.
(i) Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contrações, então A é fechado,densamente definido, dissipativo (veja Definição 3.2.1) e Im(λ− A) = X para todoλ > 0. De fato, Re 〈Ax, x∗〉 6 0 para todo x∗ ∈ J(x).
(ii) Se A é dissipativo, D(A) = X e Im(λ0 − A) = X para algum λ0 > 0, então A é ogerador de um C0-semigrupo de contrações.
Demonstração: (i) Do Teorema de Hille-Yosida, se A gera um semigrupo fortementecontínuo T (t) : t > 0 com ‖T (t)‖L(X) 6 1 para todo t > 0, então Im(λ− A) = X paratodo λ > 0 e para qualquer x ∈ X, x∗ ∈ J(x), t > 0,
|〈T (t)x, x∗〉| 6 ‖x∗‖X∗‖T (t)x‖X 6 ‖x‖2X
então,
Re
⟨T (t)x− x
t, x∗⟩
=1
t
Re 〈T (t)x, x∗〉 − ‖x‖2
X
6 0.
54 Geração de semigrupos
Portanto se x ∈ D(A), Re 〈Ax, x∗〉 6 0.(ii) Do Teorema 3.2.5, todas as hipóteses do Teorema 3.1.1 (Teorema de Hille-Yosida)
(ii) estão verificadas e a prova está completa.
O seguinte resultado é uma conseqüência imediata do Corolário 3.2.6 e do Teorema3.3.1 (Teorema de Lumer-Phillips).
Corolário 3.3.2. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambosA e A∗ são dissipativos, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortementecontínuo de contrações em X.
Exemplo 3.3.3. Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊂ H → H um operador auto-adjunto (consequentemente, A é fechado e densamente definido). Suponha que A sejalimitado superiormente; isto é, que exista uma constante a ∈ R tal que 〈Au, u〉 6 a〈u, u〉.Então C\(−∞, a] ⊂ ρ(A), e existe uma constante M > 1 dependendo somente de ϕ talque
‖(λ− A)−1‖L(H) 6M
|λ− a|,
para todo λ ∈ Σa = λ ∈ C : |arg(λ − a)| ≤ ϕ, ϕ < π. Segue que A é o gerador de umsemigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 satisfazendo
‖T (t)‖L(H) 6 ea t.
Na verdade T (t) : t > 0 é um semigrupo analítico como mostraremos posteriormente.
Demonstração: Note que A − aI = A∗ − aI são dissipativos e portanto, do Corolário3.3.2, A− aI gera um semigrupo fortemente contínuo de contrações. Do Exemplo 3.2.10,segue que
‖(λ− A)−1‖L(X) 61
d(λ, (−∞, a])6
1
sinϕ
1
|λ− a|, para todo λ ∈ Σa,
e o resultado segue.
Capítulo
4Grupos de operadores lineares
Além de semigrupos de operadores lineares, algumas equações nos fornecem grupos deoperadores lineares. Um exemplo simples é quando o gerador infinitesimal do semigrupo éum operador A limitados, e vimos que neste caso temos de fato um grupo de operadores.
Vamos estudar mais profundamente este conceito, e encontrar condições para que umoperador linear não-limitado A : D(A) ⊂ X → X gere um grupo de operadores lineares.
Definição 4.0.4. Seja X um espaço de Banach. Diremos que T (t) : t ∈ R ⊂ L(X) éum grupo de operadores lineares limitados se
(i) T (0) = I
(ii) T (t+ s) = T (t)T (s), para todo t, s ∈ R
Se, além disso,
(iii) ‖T (t)x− x‖X→0−→ 0, para todo x ∈ X,
diremos que T (t) : t ∈ R ⊂ L(X) é um grupo fortemente contínuo, ou umC0-grupo, de operadores lineares limitados.
É claro que, se T (t) : t ∈ R ⊂ L(X) é um grupo de operadores lineares limitados,então para cada t ∈ R, 0 ∈ ρ(T (t)) e T (−t) = T (t)−1.
Exercício 4.0.5. Seja
X = u ∈ C(R,K) : u é limitada e uniformemente contínua
com a norma ‖u‖X = supx∈R|u(x)|. Defina (T (t)u)(x) = u(t+x) para t > 0, x ∈ R e u ∈ X.
56 Grupos de operadores lineares
1. Mostre que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo de contra-ções,
2. Mostre que podemos definir um grupo fortemente contínuo T (t) : t ∈ R ⊂ L(X)
com T (−t) = T (t)−1 para todo t ∈ R.
3. Mostre que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) não é um semigrupo uniformemente contínuo,
4.. Calcule o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0 ⊂ L(X),
Para o caso de grupos de operadores lineares também podemos definir o seu geradorinfinitesimal, da seguinte maneira:
Definição 4.0.6. O gerador infinitesimal de um grupo T (t) : t ∈ R de operadoreslineares é definido por
D(A) =
x ∈ X : lim
h→0
T (h)x− xh
existe,
Ax = limh→0
T (h)x− xh
, para todo x ∈ D(A).
Proposição 4.0.7. Temos que A é o gerador infinitesimal de um C0-grupo de operadoreslineares limitados se, e somente se, A e −A são geradores infinitesimais de C0-semigrupos.
Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um C0-grupo T (t) : t ∈ R.A restrição de T (t) : t ∈ R ao conjunto R+, T (t) : t > 0, é claramente um C0-
semigrupo, e o mesmo ocorre com o a família T−(t) : t > 0, dada por T−(t) = T (−t),para cada t > 0.
Afirmação 1: O gerador infinitesimal de T (t) : t > 0 é A.De fato, denote por A+ o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0. Se x ∈ D(A) então
existe limh→0T (h)x−x
he assim
Ax = limh→0
T (h)x− xh
= limh→0+
T (h)x− xh
,
portanto limh→0+T (h)x−x
hexiste, logo x ∈ D(A+) e
A+x = limh→0+
T (h)x− xh
= Ax.
57
Agora, se x ∈ D(A+) então A+x = limh→0+T (h)x−x
hexiste. Mas
limh→0+
T (−h)x− x−h
= limh→0+
T−(h)T (h)x− x
h= A+x,
pois T−(t) : t > 0 é um C0-semigrupo. Deste modo, concluímos que
limh→0
T (h)x− xh
= A+x.
Portanto x ∈ D(A) e Ax = A+x. Desta maneira, provamos que A = A+, como afirmamos.
Analogamente se mostra que o gerador infinitesimal de T−(t) : t > 0 é −A.Reciprocamente, vamos assumir queA e−A sejam geradores de C0-semigrupos T (t) : t >
0 e T−(t) : t > 0, respectivamente.
Da demonstração do Teorema 3.1.1, temos para cada t > 0 que
T (t)x = limλ→∞
eAλtx,
T−(t)x = limλ→∞
e(−A)λtx.
o que nos mostra que T (t) comuta com T−(t) e definindo S(t) = T (t)T−(t), temos queS(t) : t > 0 é um semigrupo.
Afirmação 2: S(t) : t ∈ R é um C0-semigrupo. Como T (t) : t > 0 é um C0-semigrupo,‖T (t)‖L(X) é limitado uniformemente para t em intervalos limitados de R+. Assim,
‖S(t)x− x‖X 6 ‖T (t)T−(t)x− T (t)x‖X + ‖T (t)x− x‖X‖T (t)‖L(X)‖T−(t)x− x‖X + ‖T (t)x− x‖X → 0, quando t→ 0+,
o que prova a nossa afirmação.
Além disso, segue que se x ∈ D(A) = D(−A), temos
limh→0+
S(t)x− xh
= limh→0+
T (h)T−(h)x− x
h+ lim
h→0+
T (h)x− xh
= −Ax+ Ax = 0.
Isto implica que se B é o gerador infinitesimal de S(t) : t > 0, então D(A) ⊂ D(B) eBx = 0 para todo x ∈ D(A). Como D(A) é denso em X, D(A) é denso em D(B) e comoB é fechado, segue que D(B) = X e Bx = 0 para todo x ∈ X. Portanto S(t) = I paratodo t > 0 e desta maneira T−(t) = T (t)−1, para todo t > 0, o que nos permite definirT (−t) .
= T−(t) para cada t > 0.
58 Grupos de operadores lineares
Afirmação 2: T (t) : t ∈ R é um C0-grupo.Claramente T (0) = I, por definição. Agora, temos:
(a) se t, s > 0:T (t+ s) = T (t)T (s);
(b) se t, s < 0:T (t+ s) = T−(−t− s) = T−(−t)T−(−s) = T (t)T (s);
(c) se t > 0, s < 0 e t+ s > 0:
T (t+ s) = T (t+ s)T (−s)T−(−s) = T (t)T−(−s) = T (t)T (s);
(d) se t > 0, s < 0 e t+ s < 0:
T (t+ s) = T−(−t− s) = T (t)T−(t)T−(−t− s) = T (t)T−(−s) = T (t)T (s).
Assim, a propriedade (ii) da Definição 4.0.4 está satisfeita. Além disso
limt→0+‖T (t)x− x‖X = 0
elimt→0−
‖T (h)x− x‖X − lim−h→0+
‖T−(−h)x− x‖x = 0,
o que prova a afirmação.A demonstração que A é o gerador infinitesimal de T (t) : t ∈ R é deixada a cargo
do leitor, e com todas estas considerações, o resultado está provado.
Proposição 4.0.8. Seja T (t) : t > 0 um C0-semigrupo. Se, para algum t0 > 0, T (t0)−1
existe e T (t0)−1 ∈ L(X), então T (t)−1 existe e está em L(X) para todo t > 0.
Demonstração: Como T (t0)−1 ∈ L(X), segue que T (t0) é injetiva e sobrejetiva. Dainjetividade de T (t0) segue a injetividade de T (nt0) = T (t0)n. Dado t > 0 seja n ∈ N talque nt0 > t. Assim se T (t)x = 0 temos
T (nt0)x = T (nt0 − t)T (t)x = 0,
o que implica que x = 0 e logo T (t)x é injetiva, para cada t > 0.
4.1 Teorema de Hille-Yosida para grupos 59
Da sobrejetividade de T (t0), segue que T (nt0) = T (t0)n e portanto T (nt0) é sobrejetiva.Se t > 0, escolha n ∈ N tal que nt0 > t e temos
T (nt0) = T (t)T (nt0 − t),
o que mostra que ImT (t) ⊃ ImT (nt0) = X e portanto T (t) é sobrejetiva para todo t > 0.Portanto, do Teorema do Gráfico Fechado, segue que T (t)−1 ∈ L(X), para cada t > 0.
Proposição 4.0.9. Seja T (t) : t > 0 um C0-semigrupo com A seu gerador infinitesimal.Se, para algum t0 > 0, T (t0)−1 existe e está em L(X) então A é o gerador infinitesimalde um C0-grupo.
Demonstração: Pela proposição anterior, T (t) tem inversa em L(X) para todo t > 0.Definindo S(t)
.= T (t)−1 para cada t > 0, não é difícil mostrar que S(t) : t > 0 define
um C0-semigrupo. Agora, seja x ∈ D(A) e temos
S(h)x− xh
+ Ax = −S(h)T (h)x− x
h+ Ax = −S(h)
[T (h)x− x
h− T (h)Ax
]→ 0,
as h → 0+. Assim, se B é o gerador infinitesimal de S(t) : t > 0, temos que D(A) ⊂D(B) e Bx = −Ax. Analogamente, mostramos que D(B) ⊂ D(A) e Ax = −Bx eportanto segue que B = −A, e assim −A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo,o que implica que A é o gerador de um C0-grupo, pela Proposição 4.0.7.
Claramente vemos na demonstração acima que o grupo R(t) : t ∈ R gerado por A édado por
R(t) =
T (t), para t > 0,
T (−t)−1 para t < 0.
4.1 Teorema de Hille-Yosida para grupos
Teorema 4.1.1. O operador A é o gerador infinitesimal de um C0-grupo se, e somentese, A é fechado, densamente definido e existam constantes reais M e ω tais que se λ éreal e |λ| > ω, então λ ∈ ρ(A) e
‖(λ− A)−n‖L(X) 6M
(|λ| − ω)n, para todo n ∈ N. (4.1.1)
Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um C0-grupo T (t) : t ∈ R. Da Pro-posição 4.0.7, sabemos que A e −A são geradores infinitesimais de C0-semigrupos. Conse-
60 Grupos de operadores lineares
quentemente, A é fechado, densamente definido e existem constantes reais M1,M2, ω1, ω2
tais que se λ > w1 então λ ∈ ρ(A) e
‖(λ− A)−1‖L(X) 6M1
(|λ| − w1)n
e se λ > w2 então λ ∈ ρ(−A) e
‖(λ+ A)−1‖L(X) 6M2
(|λ| − w2)n.
Sejam ω = maxω1, ω2, M = maxM1,M2 e |λ| > ω. Então, se λ > ω entãoλ ∈ ρ(A) e
‖(λ− A)−n‖L(X) 6M
(λ− ω)n, (4.1.2)
e se −λ > ω então −λ ∈ ρ(−A) e portanto λ ∈ ρ(A) e assim
‖(λ− A)−n‖L(X) = ‖(−λ+ A)−n‖L(X) 6M
(|λ| − ω)n,
o que mostra a limitação desejada.
Reciprocamente, se A é fechado e densamente definido, com (4.1.1) satisfeita. Paraλ > |ω| temos |λ| > ω e assim λ ∈ ρ(A) e
‖(λ− A)−n‖L(X) 6M
(λ− ω)n6
M
(λ− |ω|)n,
e portanto A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo, pelo Teorema de Hille-Yosida.Agora, se λ > |ω| então | − λ| > ω e assim −λ ∈ ρ(A), o que implica que λ ∈ ρ(−A) e
‖(λ− A)−n‖L(X) = ‖(−λ+ A)−n‖L(X) 6M
(λ− ω)n6
M
(λ− |ω|)n,
e assim, −A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo, pelo Teorema de Hille-Yosida.
4.2 Teorema de Stone
Nesta seção, consideraremos H um espaço de Hilbert, com norma ‖ ·‖H , induzida peloproduto interno (·, ·)H .
4.2 Teorema de Stone 61
Definição 4.2.1. Um grupo T (t) : t ∈ R de operadores lineares num espaço de HilbertH é dito unitário se T ∗(t) = T (t)−1, para todo t > 0.
Se T (t) : t ∈ R é um semigrupo unitário, vemos que ‖T (t)v‖H = ‖v‖H , já que
‖T (t)v‖2H = (T (t)v, T (t)v)H = (v, T ∗(t)T (t)v)X = (v, v)H = ‖v‖2
H .
Teorema 4.2.2 (Teorema de Stone). Um operador linear A em um espaço de Hilbert Hé o gerador infinitesimal de um C0-grupo unitário se, e somente se, A∗ = −A.
Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um C0-grupo unitário T (t) : t ∈ R.Da Proposição 4.0.7, A é o gerador de um C0-semigrupo T (t) : t > 0 e −A é o gerador doC0-semigrupo T−(t) : t > 0. Pelo Teorema 3.1.4 é o gerador infinitesimal de T (t)∗ : t >
0. Assim segue queT (t)∗ = T (t)−1 = T (−t) = T−(t),
e assimT (t)∗v − v
h=T−(t)v − v
h,
o que implica que D(A∗) = D(A) e A∗v = −Av, para todo v ∈ D(A). Portanto A∗ = −A.Reciprocamente, assuma que A∗ = −A. Da existência de A∗ segue que D(A) é denso
em X. Para todo v ∈ D(A) temos
(Av, v)H = (v, A∗v)H = −(v, Av)H = −(Av, v)H ,
logo Re(Av, v) = 0. Portanto A e −A = A∗ são dissipativos e do Corolário 3.3.2 segue queA e −A geram C0-semigrupos, e portanto A gera um C0-grupo T (t) : t > 0. Resta-nosapenas mostrar que este grupo é unitário. Mas se T ∗(t) : t > 0 é o semigrupo geradopor A∗ = −A então T (t)∗ = T ∗(t) = T (−t) = T (t)−1. Logo (T (t)−1)∗ = T (t)∗∗ = T (t), oque implica que T (t)∗ = T (t)−1.
Observação 4.2.3. Verifique que −A = A∗ se, e somente se, iA é auto-adjunto. Logo,A gera um C0-grupo unitário se, e somente se, iA é auto-adjunto.
Capítulo
5Regularidade
5.1 Semigrupos diferenciáveis
Sabemos que se A : D(A) ⊂ X → X é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupoT (t) : t > 0 e x ∈ D(A), então T (t)x ∈ D(A), para cada t > 0.
Claramente vemos que, em geral, esta propriedade não é válida para todo x ∈ X. Defato, assuma que T (t)X ⊂ D(A), para cada t > 0. Em particular, X = T (0)X ⊂ D(A),o que implica que D(A) = X e portanto, A ∈ L(X). Logo, esta propriedade é válidasomente para o caso de operadores lineares limitados.
Note que o problema surgiu quando assumimos que T (t)X ⊂ D(A) para todo t > 0.Este raciocínio não pode ser repetido se pedirmos que T (t)X ⊂ D(A) para t > 0, (oumais geralmente que t > t0 > 0). Estes são os semigrupos que estaremos interessadosagora.
Definição 5.1.1. Dizemos que um C0-semigrupo T (t) : t > 0, com gerador infinitesimalA : D(A) ⊂ X → X, é diferenciável para t > t0 > 0 se T (t)X ⊂ D(A) para cadat > t0 > 0. Quando t0 = 0, dizemos apenas que o semigrupo é diferenciável.
Vejamos quais as propriedades destes semigrupos.
Teorema 5.1.2. Seja T (t) : t > 0 um semigrupo diferenciável para t > t0 > 0. Então
1. se t− t0 > s > nt0 temos AnT (t)x = T (t− s)AnT (s)x, para todo x ∈ X e n ∈ N;
2. se t > nt0 temos AnT (t) ∈ L(X), para todo n ∈ N;
64 Regularidade
3. se t > nt0 temos AnT (t) =[AT ( t
n)]n, para todo n ∈ N \ 0.
4. para cada x ∈ X, a função t 7→ T (t)x ∈ X é n-vezes continuamente diferenciávelpara todo t > nt0 e
dn
dtnT (t)x = AnT (t)x,
para todo n ∈ N \ 0.
5. a função t 7→ AnT (t) ∈ L(X) é uma função contínua na topologia uniforme, paratodo t > (n+ 1)t0 e n ∈ N.
6. a função t 7→ T (t) ∈ L(X) é n-vezes diferenciável na topologia uniforme para todot > (n+ 1)t0 e
dn
dtnT (t) = AnT (t),
para todo n ∈ N \ 0.
Demonstração: De 1: o caso n = 0 é trivialmente satisfeito. Suponhamos que oresultado seja válido pra n ∈ N \ 0 e seja t− t0 > s > (n+ 1)t0. Para τ − t0 > r > nt0,da hipótese de indução, temos AnT (τ)x = T (τ − r)AnT (r)x, para todo x ∈ X.
Como τ−r > t0, da definição de diferenciabilidade do semigrupo, segue que AnT (τ)x ∈D(A), e em particular, segue que AnT (s)x ∈ D(A). Assim T (t − s)AnT (s)x ∈ D(A) eportanto temos
An+1T (t)x = AT (t− s)AnT (s)x = T (t− s)An+1T (s)x,
o que prova o item 1.
De 2: novamente o caso n = 0 é trivial. Suponhamos que o resultado seja válidopara n ∈ N e seja t > (n + 1)t0, assim t > nt0 e AnT (t) ∈ L(X). Portanto, como A éfechado, An+1T (t) = A(AnT (t)) é também fechado. Pelo Teorema do Gráfico Fechado,An+1T (t) ∈ L(X).
De 3: o caso n = 1 é trivial. Suponha que o resultado é válido para n e assuma quet > (n+ 1)t0. Se t− t0 > s > nt0, temos do item 1 que
An+1T (t) = AAnT (t) = AT (t− s)AnT (s) = AT (t− s)[AT
( sn
)]n(5.1.1)
Tome s = ntn+1
e claramente temos t − t0 > s > nt0 e t − s = tn+1
, e usando estes
5.1 Semigrupos diferenciáveis 65
valores em (5.1.1), obtemos
An+1T (t) =
[AT
(t
n+ 1
)]n+1
.
De 4: o caso n = 1 é consequência do Teorema 2.2.1 (item 3). Suponha que o resultadovale para n e seja t − t0 > s > nt0. Do item 1 temos AnT (t)x = T (t − s)AnT (s)x, paratodo x ∈ X. Como t− s > t0 temos pelo caso n = 1 que
d
dtAnT (t)x = AT (t− s)AnT (s)x = An+1T (t)x.
Da indução segue que t 7→ T (t)x é n+ 1 vezes continuamente diferenciável e
dn+1
dtn+1T (t)x =
d
dt
[dn
dtnT (t)x
]=
d
dtAnT (t)x = An+1T (t)x.
De 5: faremos primeiramente o caso n = 0. Sejam t > s > t0 e |h| < t− s. Temos
‖T (t+ h)x− T (t)x‖X 6∣∣∣∣∫ t+h
t
‖AT (τ)x‖Xdτ∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ t+h
t
‖AT (s)T (τ − s)x‖Xdτ∣∣∣∣
6
∣∣∣∣∫ t+h
t
‖AT (s)‖L(X)‖T (t− s)‖L(X)‖x‖Xdτ∣∣∣∣ 6M |h|‖x‖X ,
ondeM é uma constante, já que AT (s) ∈ L(X) e T (τ−s) é uniformemente limitado paraτ num intervalo limitado, e portanto
‖T (t+ h)− T (t)‖L(X) 6M |h|,
e prova o caso n = 0.
Se t− t0 > s > nt0 e |h| < t− s− t0, temos
‖AnT (t+ h)x− AnT (t)‖L(X) = ‖T (t+ h− s)AnT (s)x− T (t− s)AnT (s)‖L(X)
6 ‖T (t+ h− s)− T (t− s)‖L(X)‖AnT (s)‖L(X) → 0,
quando h→ 0, pois t− s > t0.
De 6: Sejam t > (n+ 1)t0 e |h| < t− (n+ 1)t0. Temos, para todo x ∈ X, que
An−1T (t+ h)x− An−1T (t)x =
∫ t+h
t
AnT (τ)xdτ.
66 Regularidade
Assim,
An−1T (t+ h)x− An−1T (t)x
h=
1
h
∫ t+h
t
AnT (τ)xdτ =1
h
∫ t+h
t
AnT (τ)dτ · x,
e portanto, fazendo h→ 0, temos
d
dtAn−1T (t) = AnT (t).
Desta maneira, facilmente vemos que o caso n = 1 é válido. Suponhamos que oresultado é valido para n. Assim, como AnT (t) é diferenciável, segue que t 7→ T (t) ∈ L(X)
é (n+ 1)-vezes diferenciável e
dn+1
dtn+1T (t) =
d
dt
[dn
dtnT (t)
]=
d
dtAnT (t) = An+1T (t),
o que conclui o item 6 e também a demonstração.
Corolário 5.1.3. Se T (t) : t > 0 é um semigrupo diferenciável, então T (t) : t > 0 én vezes continuamente diferenciável na topologia uniforme de operadores para todo t > 0
e temosdn
dtnT (t) = AnT (t) =
[AT
(t
n
)]n.
5.2 Semigrupos compactos
Definição 5.2.1. Dizemos que um C0-semigrupo T (t) : t > 0 é compacto para t >
t0 > 0 se T (t) é um operador compacto para cada t > t0. Se t0 = 0, dizemos simplesmenteque T (t) : t > 0 é compacto.
Note que se T (t) é compacto para todo t > 0, então T (0) = I é compacta, o queimplica que X é um espaço finito dimensional. Note também que se T (t1) é compacto,então T (t) é compacto para todo t > t1, já que T (t) = T (t− t1)T (t1).
Teorema 5.2.2. Seja T (t) : t > 0 um semigrupo compacto para t > t0 > 0. Então aaplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > t0.
Demonstração: Sejam ε > 0, t > t0 dados e M > 0 tal que sup06s61 ‖T (s)‖L(X) 6 M .Da compacidade do semigrupo, segue que o conjunto U = T (t)B
X
1 (0) é precompacto, e
5.2 Semigrupos compactos 67
portanto existem x1, · · · , xk ∈ X tais que
U ⊂k⋃i=1
BXε
2(M+1)(T (t)xi).
Da continuidade forte do semigrupo, existe 0 < h0 < 1 tal que
sup16i6k
‖T (t+ h)xi − T (t)xi‖X 6ε
2, para 0 6 h 6 h0.
Seja agora x ∈ BX
1 (0). Então, existe 1 6 i 6 k tal que T (t)x ∈ BXε
2(M+1)(T (t)xi), e
portanto para 0 6 h 6 h0 temos
‖T (t+ h)x− T (t)x‖X 6 ‖T (h)‖L(X)‖T (t)x− T (t)xi‖X + ‖T (t+ h)xi − T (t)xi‖X
+ ‖T (t)xi − T (t)x‖X 6Mε
2(M + 1)+ε
2< ε,
o que prova a continuidade de t 7→ T (t) ∈ L(X) para t > t0.
Teorema 5.2.3. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Então T (t) : t > 0 é compacto se, e somente se, a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínuapara t > 0 e o operador resolvente (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A).
Demonstração: Seja M,ω constantes tais que ‖T (t)‖L(X) 6Meωt, para todo t > 0. DoTeorema 5.2.2, segue que a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0. Portanto,
(λ− A)−1 =
∫ ∞0
e−λtT (t)dt, para Reλ > ω, (5.2.1)
e a integral existe na topologia uniforme de operadores. Agora, sejam ε > 0, Reλ > ω edefina
Rε(λ) =
∫ ∞ε
e−λtT (t)dt.
Como T (t) é um operador compacto para todo t > 0, segue que Rε(λ) é compacto.Além disso
‖(λ− A)−1 −Rε(λ)‖L(X) 6
∥∥∥∥∫ ε
0
e−λtT (t)ds
∥∥∥∥L(X)
6 εMeωε → 0,
quando ε→ 0+. Logo (λ−A)−1 é o limite uniforme de operadores compactos, e portantoé compacto. Segue diretamente da identidade do resolvente que (λ − A)−1 é compactopara todo λ ∈ ρ(A).
68 Regularidade
Reciprocamente, assuma que a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0 eque (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A). Segue de (5.2.1) que
λ(λ− A)−1T (t)− T (t) = λ
∫ ∞0
e−λs[T (t+ s)− T (t)]ds.
Se λ é real, λ > maxω, 0, e δ > 0 temos
‖λ(λ− A)−1T (t)− T (t)‖L(X) 6∫ δ
0
λe−λs‖T (t+ s)− T (t)‖L(X)ds
+
∫ ∞δ
λe−λs‖T (t+ s)− T (t)‖L(X)ds
6 sup06s6δ
‖T (t+ s)− T (t)‖L(X) + 2Mλ
λ− ωeω(t+δ)e−λδ,
o que implica que
limλ→∞‖λ(λ− A)−1T (t)− T (t)‖L(X) 6 sup
06s6δ‖T (t+ s)− T (t)‖L(X),
o como δ > 0 é arbitrário e t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0, temos
limλ→∞‖λ(λ− A)−1T (t)− T (t)‖L(X) = 0,
e como λ(λ−A)−1T (t) é um operador compacto para cada λ, segue que T (t) é compacto.
Corolário 5.2.4. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Se (λ−A)−1 é compacto para algum λ ∈ ρ(A) e a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínuapara t > t0 > 0, então o semigrupo T (t) : t > 0 é compacto para t > t0.
Corolário 5.2.5. Sejam T (t) : t > 0 um semigrupo uniformemente contínuo e A ∈L(X) seu gerador infinitesimal. Então T (t) : t > 0 é compacto se, e somente se, (λ −A)−1 é compacto para algum λ ∈ ρ(A).
A caracterização de semigrupos compactos dada no Teorema 5.2.3 não é totalmentesatisfatória, uma vez que não caracteriza o semigupo compacto T (t) : t > 0 somenteem termos de propriedades do seu gerador infinitesimal A, mas precisamos assumir acontinuidade da aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X). A razão é que, até agora, não existemcondições necessárias e suficientes, nem em termos de A nem do seu resolvente (λ−A)−1,
5.2 Semigrupos compactos 69
nas quais a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) seja contínua. Para uma condição necessária,veremos um resultado logo abaixo, mas para isto, precisamos do seguinte lema:
Lema 5.2.6. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Se
Bλ(t)x =
∫ t
0
eλ(t−s)T (s)xds
então(λ− A)Bλ(t)x = eλtx− T (t)x, para todo x ∈ X, (5.2.2)
Bλ(t)(λ− A)x = eλtx− T (t)x, para todo x ∈ D(A). (5.2.3)
Demonstração: Para cada λ e t > 0 fixos, Bλ(t) é um operador linear limitado em X.Mais ainda, para cada x ∈ X, temos
T (h)− Ih
Bλ(t)x =eλh−1
h
∫ t
h
eλ(t−s)T (s)xds+eλh
h
∫ t+h
t
eλ(t−s)T (s)xds
− 1
h
∫ h
0
eλ(t−s)T (s)xds.
Quando h→ 0+, o lado direito da igualdade acima converge para λBλ(t)x+T (t)x−eλtxe consequentemente Bλ(t)x ∈ D(A) e
ABλ(t)x = λBλ(t)x+ T (t)x− eλtx,
o que mostra (5.2.2). Da definição de Bλ(t), é claro que se x ∈ D(A) temos ABλ(t)x =
Bλ(t)Ax, o que mostra (5.2.3).
Este resultado agora nos dá uma condição necessária para que a aplicação t 7→ T (t) ∈L(X) seja contínua:
Teorema 5.2.7. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Sea aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0, então existe uma função ψ : R+ → R+
tal queρ(A) ⊃ λ ∈ C : λ = σ + iτ, |τ | > ψ(|σ|), (5.2.4)
e tambémlim|τ |→∞
‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) = 0, para todo real σ. (5.2.5)
70 Regularidade
Demonstração: Podemos assumir, sem perda de generalidade, que ρ(A) ⊃ Reλ > 0 eque ‖T (t)‖L(X) 6M (se este não é o caso, basta considerar o semigrupo S(t) = e−ωtT (t)).
Se σ > 0, então λ = σ + iτ ∈ ρ(A) para todo τ ∈ R e usando (λ− A)−1x no lugar dex em (5.2.3), temos que para x ∈ X:
eλt(λ− A)−1x− T (t)(λ− A)−1x =
∫ t
0
eλ(t−s)T (s)xds,
o que implica que
(eσt −M)‖(λ− A)−1‖L(X) 6 eσt∥∥∥∥∫ t
0
e−iτse−σsT (s)ds
∥∥∥∥ ,e escolhendo t > 1
σlnM , temos
‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6 C
∥∥∥∥∫ t
0
e−iτse−σsT (s)ds
∥∥∥∥ ,para alguma constante C > 0 independente de τ . Segue do Lema de Riemann-Lebesgue1
que o lado direito da inequação acima tende a zero quando |τ | → ∞.
Se σ 6 0, escrevemos
(λ− A)−1 =∞∑k=0
(1 + iτ − λ)k(1 + iτ − A)−k−1,
e definimosϕ(|τ |) = max
|r|>|τ |‖(1 + ir − A)−1‖L(X),
e já mostramos no caso anterior (σ = 1 > 0) que ϕ(|τ |) → 0 quando |τ | → ∞. A sérieacima é claramente convergente (em L(X)) para |1 − σ| 6 1
2ϕ(|τ |) , o que implica (5.2.4).Mais ainda, fixado σ satisfazendo |1− σ| 6 1
2ϕ(|τ |) , temos para |τ | suficientemente grandeque
‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6 2‖(1 + iτ − A)−1‖L(X) 6 2ϕ(|τ |),
e portanto vale (5.2.5) e a demonstração está completa.
Corolário 5.2.8. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo compacto e A seu geradorinfinitesimal. Para cada −∞ < α 6 β < ∞, a intersecção da faixa α 6 Reλ 6 β comσ(A) contém no máximo um número finito de autovalores de A.
1Veja o Exercício 5.2.9
5.3 Semigrupos analíticos 71
Demonstração: Sabemos que σ(A) pode ser: vazio, ou um conjunto finito, ou umconjunto infinito com ∞ sendo seu único possível ponto de acumulação. Portanto, doTeorema 5.2.7, o resultado segue.
Exercício 5.2.9. Se a, b são números reais estendidos com a < b e f : (a, b) → C éabsolutamente integrável, mostre o Lema de Riemann-Lebesgue; isto é,
limµ→∞
∫ b
a
f(t) senµt dt = limµ→∞
∫ b
a
f(t) cosµt dt = 0.
Sugestão: No caso em que f é continuamente diferenciável e tem suporte compacto em (a, b), integre
por partes para provar o resultado.
5.3 Semigrupos analíticos
Definição 5.3.1. Sejam φ1 < 0 < φ2 e defina o setor Λ = z ∈ C : φ1 < argz < φ2.Para z ∈ Λ, seja T (z) um operador linear limitado. A família T (z) : z ∈ Λ é dita umsemigrupo analítico em Λ se
(i) a aplicação Λ 3 z 7→ T (z) ∈ L(X) é analítica;
(ii) T (0) = I e lim z→0z∈Λ
T (z)x = x, para cada x ∈ X;
(iii) T (z1 + z2) = T (z1)T (z2), para todos z1, z2 ∈ Λ.
Um semigrupo T (t) : t > 0 é dito analítico se ele possui uma extensão a um semi-grupo analítico em algum setor Λ, contendo o eixo real positivo.
Claramente, a restrição de um semigrupo analítico ao eixo real é um C0-semigrupo.Estaremos interessados então no problema oposto; isto é, dado um C0-semigrupo, encon-trar condições sob as quais possamos garantir que este semigrupo pode ser estendido aum semigrupo analítico em algum setor Λ em torno do eixo real não-negativo. Para isto,precisamos primeiro encontrar uma maneira de expressar o semigrupo em termos do seugerador infinitesimal, e tal relação é dada pela transformada inversa de Laplace.
5.3.1 Transformada inversa de Laplace
Vimos no Teorema 2.2.1, item 4, que
(λ− A)−1 =
∫ ∞0
e−λtT (t)dt,
72 Regularidade
se Reλ é grande. Isto sugere que usando a transformada inversa de Laplace poderemosencontrar T (t), conhecido A. No que se segue perseguiremos este objetivo.
Lema 5.3.2. Temos o seguinte:
(a)∫ ∞−∞
sin t
tdt = π
(b) Se f : R → C é tal quef(t)
(1 + |t|)é integrável em R e
∫ 1
−1
∣∣∣∣f(t)− f(0)
t
∣∣∣∣ dt < ∞,
então ∫ ∞−∞
f(t)sinmt
πtdt→ f(0) quando m→ +∞.
Demonstração: De (a): Note que, se σ é a curva no plano complexo dada pela figuraabaixo
-
6
−r r−R R
I
- -
-
Figura 1
integrando a função analítica C\0 3 z 7→ eiz ∈ C ao longo de σ, temos
0 =
∫ −r−R
eit
tdt+
∫ R
r
eit
tdt+ i
∫ 0
π
eireiθ
dθ + i
∫ π
0
eiReiθ
dθ.
O resultado agora segue notando quesent
té par, fazendo r → 0, R → ∞ e conside-
rando que (do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue) temos∣∣∣∣∫ π
0
eiReiθ
dθ
∣∣∣∣ 6 ∫ π
0
e−R sin θdθR→∞−→ 0.
5.3 Semigrupos analíticos 73
De (b):∫ 1
−1
sinmtπt
dt =
∫ m
−m
sin tπtdt→ 1 quando m→∞ e
∫ ∞−∞
f(t)sinmt
πtdt− f(0)
∫ 1
−1
sinmt
πtdt =
∫|t|61
f(t)− f(0)
πtsinmtdt
+
∫|t|>1
f(t)
πtsinmtdt,
ambos os termos a direita tendem a zero quandom→∞ pelo Lema de Riemann-Lebesgue.
Teorema 5.3.3. Suponha que A seja o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T (t) : t >
0 tal que ‖T (t)‖L(X) 6Meβt. Se γ > max0, β, x ∈ D(A2) e t > 0
T (t)x = limm→∞
1
2πi
∫ γ+im
γ−imeλt(λ− A)−1x dλ.
Além disso, para cada 0 < ε < 1, o limite acima é uniforme no intervalo [ε, ε−1].
Demonstração: Como Reλ = γ > ω, (λ− A)−1 existe e é uniformemente limitada. Defato, como x ∈ D(A2) temos
(λ− A)−1x = λ−1x+ λ−2Ax+ λ−2(λ− A)−1A2x
e também
1
2πi
∫ γ+im
γ−ikeλt(λ− A)−1x dλ =
(1
2πi
∫ γ+im
γ−ik
eλt
λdλ
)x
+1
2πi
∫ γ+im
γ−ik
eλt
λ2[Ax+ (λ− A)−1A2x]dλ
e ambos os termos convergem, uniformemente para t em [ε, ε−1], quando k,m → ∞, oprimeiro por integração por partes e o segundo porque o integrando tem norma menor ouigual a C/|λ|2, para alguma constante positiva C, e portanto converge absolutamente. Sóresta mostrar que o limite é T (t)x.
Agora para Reλ = γ
(λ− A)−1x =
∫ ∞0
e−λsT (s)x ds,
74 Regularidade
então
1
2πi
∫ γ+im
γ−imeλt(λ− A)−1x dλ =
∫ ∞0
1
2πi
∫ γ+im
γ−imeλ(t−s)dλ
T (s)x ds
=
∫ ∞0
sinm(t− s)π(t− s)
eγ(t−s)T (s)x ds
=
∫ ∞−t
sinmτ
πτe−γτT (t+ τ)x dτ.
A função
f(τ) =
〈e−γτT (t+ τ)x, x∗〉, τ > −t0, τ < −t
satisfaz as condições do Lema 5.3.2 para qualquer x∗ ∈ X∗ e t > 0 pois f é diferenciávelem τ = 0 com f ′(0) = 〈T (t)(A− γ)x, x∗〉 e
|f(τ)|1 + |τ |
6 C e−(γ−ω)|τ |, τ ∈ R,
para alguma constante positiva C. Assim,⟨1
2πi
∫ γ+im
γ−imeλt(λ− A)−1x dλ, x∗
⟩m→∞−−−→ f(0) = 〈T (t)x, x∗〉.
Como isto é válido para todo x∗ ∈ X∗, a prova está completa.
Teorema 5.3.4. Assuma que existem 0 < δ < π2e M > 0 tal que
ρ(A) ⊃ Σ =λ ∈ C : |argλ| < π
2+ δ∪ 0
e‖(λ− A)−1‖L(X) 6
M
|λ|, para todo λ ∈ Σ, λ 6= 0.
EntãoT (t) =
1
2πi
∫Γ
eλt(λ− A)−1dλ,
onde Γ é a curva que consiste de dois raios λ : | arg λ| = φ, |λ| > r, do arco λ : |λ| =
r, | arg λ| 6 φ para r pequeno e φ ∈ (π2, π
2+ δ), e orientada no sentindo da parte imagi-
nária crescente (veja Figura 2).
5.3 Semigrupos analíticos 75
Demonstração: Se x ∈ D(A2) e t > 0 então, para algum γ > 0, do Teorema 5.3.3 temos
T (t)x =1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞eλt(λ− A)−1xdλ.
O integrando é analítico para λ ∈ Σ e portanto podemos deformar o contorno deintegração para a curva Γ.
De fato, quando |Imλ| = m, −km 6 Reλ 6 γ (k = |cotanφ| > 0),
‖eλt(λ− A)−1x‖X ≤etReλC‖x‖X√(Reλ)2 +m2
e, dividindo o intervalo de integração [−km, γ] em [−km,−m 12 ] e [−m 1
2 , γ], vemos que asintegrais correspondentes tendem a zero quando m→∞.
PortantoT (t)x =
1
2πi
∫Γ
eλt(λ− A)−1x dλ,
e esta expressão vale para todo x ∈ X porque converge em norma. De fato, para t > 0,| arg λ| = φ
‖eλt(λ− A)−1‖L(X) 6 Ce−t|λ|k1
|λ|, k1 = | cosφ| > 0
entãoT (t) =
1
2πi
∫Γ
eλt(λ− A)−1dλ,
com convergência na norma de L(X) qualquer t > 0. A convergência é uniforme paraε 6 t, qualquer ε > 0.
argλ = −φargλ = φΓImλ = mImλ = −mFigura 2
76 Regularidade
5.3.2 Geração de semigrupos analíticos
Como a multiplicação de um C0-semigrupo T (t) por eβt não afeta a possibilidade ouimpossibilidade de estendê-lo a um semigrupo analítico, podemos nos restringir ao casode C0-semigrupos uniformemente limitados; isto é, C0-semigrupos T (t) : t > 0 para osquais existe uma constante M tal que ‖T (t)‖L(X) 6M para todo t > 0.
Ainda, é sempre possível assumir que 0 ∈ ρ(A), onde A é o gerador infinitesimal deT (t) : t > 0 (basta multiplicar o semigrupo uniformemente limitado por e−εt, para ε > 0.Começamos com o seguinte teorema:
Teorema 5.3.5. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo uniformemente limitado, A seugerador infinitesimal e assuma que 0 ∈ ρ(A). As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) T (t) : t > 0 pode ser estendido para um semigrupo analítico em um setor Λδ =
z ∈ C : |argz| < δ e ‖T (t)‖L(X) é uniformemente limitada em cada subsetor fe-chado Λδ′, δ′ < δ, de Λδ.
(b) Existe uma constante C tal que para cada σ > 0 e τ 6= 0 temos
‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6C
|τ |.
(c) Existem 0 < δ < π2e M > 0 tal que
ρ(A) ⊃ Σ =λ ∈ C : |argλ| < π
2+ δ∪ 0
e‖(λ− A)−1‖L(X) 6
M
|λ|, para todo λ ∈ Σ, λ 6= 0.
(d) T (t) : t > 0 é diferenciável e existe uma constante C tal que
‖AT (t)‖L(X) 6C
t, para todo t > 0.
Demonstração: Mostremos que (a) implica (b). Seja 0 < δ′ < δ tal que ‖T (t)‖L(X) 6
C1 para todo z ∈ Λδ′ . Para x ∈ X e σ > 0 temos
(σ + iτ − A)−1 =
∫ ∞0
e−(σ+iτ)tT (t)xdt.
5.3 Semigrupos analíticos 77
Da analiticidade e limitação uniforme de T (z) em Λδ′ , podemos trocar o caminho deintegração na equação acima do eixo real positivo para qualquer raio ρeiθ, com 0 < ρ <∞e |θ| 6 δ′. Para τ < 0, mudando o caminho de integração para o raio ρeiδ′ e estimando aintegral resultante, obtemos
‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6∫ ∞
0
e−ρσ cos δ′+ρτ sin δ′)C‖x‖dρ 6 C1
σ cos δ′ − τ sin δ′6
C
|τ |.
Analogamente, para τ > 0 mudamos o caminho de integração para o raio ρe−iδ′ e
obtemos ‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6 Cτo que prova (b).
Mostremos agora que (b) implica (c). Como A é por hipótese o gerador infinitesimalde um C0-semigrupo temos ‖(λ−A)−1‖L(X) 6 M
Reλ, para Reλ > 0. De (b) segue que para
Reλ > 0
‖(λ− A)−1‖L(X) 6C
|Imλ|e portanto
‖(λ− A)−1‖L(X) 6C1
|λ|, para Reλ > 0.
Seja σ > 0 e escrevamos a expansão em série de Taylor de (λ − A)−1 em torno deλ0 = σ + iτ , dada por
(λ− A)−1 =∞∑n=0
(λ0 − λ)n(λ0 − A)−n−1.
Sabemos que esta série é convergente em L(X) para ‖(λ0−λ)(λ0−A)−1‖L(X) 6 α < 1.Assim, usando Reλ + iτ no lugar de λ e a hipótese do item (b) temos que esta série éconvergente em L(X) para |σ−Reλ| C|τ | 6 α < 1; isto é, se |σ−Reλ| 6 α|τ |
C. Como ambos
σ > 0 e α < 1 são arbitrários, segue que ρ(A) contém o conjunto dos λ tais que Reλ 6 0
e |Reλ||Imλ| <
1Ce em particular
ρ(A) ⊃λ : |argλ| 6 π
2+ δ,
onde δ = α arctan 1C, 0 < α < 1. Mais ainda, nesta região
‖(λ− A)−1‖L(X) 6C
1− α1
|τ |6
√C2 + 1
1− α1
|λ|=M
|λ|.
Como 0 ∈ ρ(A) por hipótese, A satisfaz o item (c).
78 Regularidade
Mostremos que (c) implica (d). Se A satisfaz (c) então segue do Teorema 5.3.4 que
T (t) =1
2πi
∫Γ
eλt(λ− A)−1.
Derivando formalmente esta expressão com respeito a t, obtemos
T ′(t) =1
2πi
∫Γ
λeλt(λ− A)−1dλ.
Mas esta integral é convergente em L(X) para todo t > 0, já que∥∥∥∥ 1
2πi
∫Γ
λeλt(λ− A)−1dλ
∥∥∥∥L(X)
61
π
∫ ∞0
Me−ρt cosφdρ =M
π cosφ
1
t,
e portanto a derivação formal está justificada, o que mostra que T (t) é diferenciável parat > 0 e
‖AT (t)‖L(X) = ‖T ′(t)‖L(X) 6C
t, para t > 0.
Finalmente, mostremos que (d) implica (a). Como T (t) é diferenciável para t > 0,segue do Corolário 5.1.3 que T (n)(t) = [T ′(t/n)]n, para n > 1. Logo
‖T (n)(t)‖L(X) 6 ‖T ′(t/n)‖nL(X).
Assim, usando que nn 6 n!en, temos
1
n!‖T (n)(t)‖L(X) 6
(Ce
t
)n.
Consideremos agora a série de potências
T (z) = T (t) +∞∑n=1
T (n)(t)
n!(z − t)n.
Esta série é uniformemente convergente em L(X) para |z − t| 6 α( tCe
) para α < 1.Portanto T (z) é analítica em Λ = z : |argz| < arctan 1
Ce. Claramente T (z) estende T (t)
ao setor Λ. Pela analiticidade de T (z) segue que T (z) satisfaz a propriedade de semigrupoe é simples verificar que T (z)x → x quando z → 0 em Λ. Finalmente, reduzindo o setorΛ para o setor Λε = z : |argz| 6 arctan( 1
Ce)− ε vemos que ‖T (z)‖L(X) é uniformemente
limitada em Λε e a demonstração está completa.
Capítulo
6
Teoremas de perturbação de geradores
6.1 Perturbação por operadores lineares limitados
Nesta seção estudamos que tipos de operadores podem ser adicionados a geradores deC0-semigrupos de forma que o resultado ainda seja o gerador de um C0-semigrupo.
Teorema 6.1.1. Se X é um espaço de Banach, eAt : t > 0 é um C0-semigrupo em X
com gerador infinitesimal A : D(A) ⊂ X → X e B ∈ L(X), então A+B : D(A) ⊂ X → X
é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo e(A+B)t : t > 0. Se ‖eAt‖L(X) 6Meωt paratodo t > 0, então
‖e(A+B)t‖L(X) 6Me(ω+M‖B‖L(X))t, t > 0.
Demonstração: De acordo com o Lema 3.1.2, podemos escolher uma norma | · |X em X
tal que‖ · ‖X 6 | · |X 6M‖ · ‖X e |(λ− A)−1|L(X) 6
1
λ− ω,
para λ > ω. Se λ > ω + |B|L(X) então
|B(λ− A)−1|L(X) 6|B|L(X)
λ− ω< 1
e I −B(λ− A)−1 é um isomorfismo em L(X). Logo
λ− A−B = [I −B(λ− A)−1](λ− A) : D(A)→ X
80 Teoremas de perturbação de geradores
e|(λ− A−B)−1|L(X) 6
1
λ− ω1
1− |B|L(X)/(λ− ω)=
1
λ− (ω + |B|L(X)).
Do Teorema de Hille-Yosida, A + B gera um C0-semigrupo |e(A+B)t|L(X) 6 e(ω+|B|)t
para t > 0. Retornando à norma original temos a estimativa desejada.
Agora estudaremos as relações entre o semigrupo eAt : t > 0 e o semigrupo e(A+B)t :
t > 0 quando B ∈ L(X). Para este fim consideramos o operador H(s) = eA(t−s)e(A+B)s.Para x ∈ D(A) = D(A + B), s 7→ H(s)x é diferenciável e H ′(s)x = eA(t−s)Be(A+B)sx.Integrando H ′(s)x de 0 até t obtemos
e(A+B)tx = eAtx+
∫ t
0
eA(t−s)Be(A+B)sxds, x ∈ D(A).
Como os operadores em ambos os lados da expressão acima são limitados, ela valepara todo x ∈ X. O semigrupo e(A+B)t : t > 0 é portanto a solução da equação integralacima. Para tal equação integral temos:
Proposição 6.1.2. Seja eAt : t > 0 um C0-semigrupo satisfazendo ‖eAt‖L(X) 6 Meωt
e B ∈ L(X). Então existe uma única família V (t) : t > 0 ⊂ L(X) tal que t 7→ V (t)x écontínua em [0,∞) para todo x ∈ X e
V (t)x = eAtx+
∫ t
0
eA(t−s)BV (s)xds, x ∈ X. (6.1.1)
Demonstração: Defina V0(t).= eAt e Vn(t), indutivamente, por
Vn+1(t)x =
∫ t
0
eA(t−s)BVn(s)xds, para x ∈ X, n ∈ N.
É claro da definição acima que t 7→ Vn(t)x é contínua para x ∈ X, t > 0 e n ∈ N.Provemos por indução que,
‖Vn(t)‖L(X) 6MeωtMn‖B‖nL(X)t
n
n!.
6.1 Perturbação por operadores lineares limitados 81
Claramente isto é valido para n = 0, e suponhamos que vale para n. Então temos que
‖Vn+1(t)x‖X 6∫ t
0
Meω(t−s)‖B‖L(X)
Mn‖B‖nL(X)sn
n!‖x‖Xds
= MeωtMn+1‖B‖n+1
L(X)tn+1
(n+ 1)!‖x‖X
e portanto a desigualdade vale para qualquer n ∈ N. Definindo
V (t) =∞∑n=0
Vn(t),
segue que a série converge uniformemente em intervalos limitados na topologia uniformede operadores. Portanto t 7→ V (t)x é contínua para cada x ∈ X e além disso (6.1.1) estásatisfeita. Isto conclui a prova da existência. Para provar a unicidade seja U(t) : t >
0 ⊂ L(X) tal que t 7→ U(t)x é contínua para todo x ∈ X e
U(t)x = eAtx+
∫ t
0
eA(t−s)BU(s)xds, x ∈ X. (6.1.2)
Subtraindo as expressões (6.1.1) e (6.1.2) e estimando as diferenças obtemos
‖V (t)x− U(t)x‖X 6∫ t
0
Meω(t−s)‖B‖L(X)‖V (s)x− U(s)x‖Xds, x ∈ X.
o que pela desigualdade de Gronwall implica que ‖V (t)x−U(t)x‖X = 0, t > 0 e portantoV (t) = U(t).
Segue imediatamente do teorema anterior que
e(A+B)t =∞∑n=0
Vn(t),
e a convergência da série é na topologia de operadores uniformemente para t em intervaloslimitados de R+.
Para a diferença entre eAt e e(A+B)t temos:
Corolário 6.1.3. Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo que satisfaz ‖eAt‖L(X) 6
82 Teoremas de perturbação de geradores
Meωt e B ∈ L(X), então
‖e(A+B)t − eAt‖L(X) 6Meωt(eM‖B‖L(X)t − 1).
6.2 Soma de geradores infinitesimais
O teorema a seguir mostra que sob certas condições, a soma A+B de dois geradoresA e B de C0-semigrupos que comutam, resulta em um gerador de um C0-semigrupoe(A+B)t : t > 0 que satisfaz e(A+B)t = eAteBt.
Teorema 6.2.1. Suponha que A e B são geradores de semigrupos fortemente contínuosde operadores eAt : t > 0 e eBt : t > 0 tais que, para algum M > 0, ‖eAt‖L(X) 6 M e‖eBt‖L(X) 6 M . Suponha também que A e B comutam, que o operador A + B : D(A) ∩D(B) ⊂ X → X é fechado, densamente definido e que λ ∈ ρ(A + B) para algum λ >
0. Então A + B gera um C0-semigrupo e(A+B)t : t > 0 tal que e(A+B)t = eAteBt e‖e(A+B)t‖L(X) 6M2.
Demonstração: Por um momento vamos mudar a norma do espaço de Banach X deforma que A gera um C0-semigrupo de contrações. Sejam Aλ = λA(λ − A)−1 e Bλ =
λB(λ−B)−1, como na demonstração do Teorema de Hille-Yosida. Então ‖eAλt‖ 6 1 paratodo λ > 0 e como eAλtx→ eAtx e eBλse→ eBsx para todo x ∈ D(A)∩D(B) = D(A+B)
e s, t > 0 temos que
limλ→∞
eAλt+Bλsx = limλ→∞
eAλteBλsx = eAteBsx.
É claro que isto continua verdadeiro se mudamos a norma do espaço para a normaoriginal. Ainda, por um argumento similar, temos que
limλ→∞
eBλt+Aλsx = limλ→∞
eBλseAλsx = eBseAtx,
mostrando que eAteBsx = eBseAtx, para todo x ∈ D(A+B). Como D(A+B) é denso emX e ambos os lados desta expressão são operadores limitados, segue que eAteBsx = eBseAt
em X.
Em seguida vamos motrar que T (t) = eAteBt é um semigrupo fortemente contínuo comgerador A + B. Primeiro observe que a continuidade forte em t = 0 e a limitação são
6.2 Soma de geradores infinitesimais 83
óbvias e de
T (t+ s) = eA(t+s)eB(t+s) = eAteAseBteBs = eAteBteAseBs = T (t)T (s)
temos que T (t) é um semigrupo. Resta mostrar que A+B é o gerador de T (t).
Se x ∈ D(A) ∩D(B) = D(A+B), então
T (t)x− x = limλ→∞
(etAλetBλx− x) = limλ→∞
(eAλteBλtx− eBλtx+ eBλtx− x)
= limλ→∞
∫ t
0
eAλseBλt(Aλx) + limλ→∞
∫ t
0
eBλs(Bλx)ds
=
∫ t
0
eAseBtAxds+
∫ t
0
T (s)Bxds.
Agora
1
t(T (t)x− x) =
1
t
∫ t
0
eAseBtAxds+1
t
∫ t
0
T (s)Bxdst→0+−→ −(A+B)x,
para todo x ∈ D(A) ∩ D(B) = D(A + B). Portanto o gerador C de T (t) deve ser umaextensão de A + B. Seja λ um número real no resolvente de A + B e no resolvente dogerador de T (t). Então
(λ− C)D(C) = X = (λ− (A+B))D(A+B) = (λ− C)D(A+B),
e A+B = C completando a demonstração.
Corolário 6.2.2. Suponha que A e B são geradores de C0-semigrupos eAt : t > 0 eeBt : t > 0, respectivamente, tais que, para algum M > 0, α, β ∈ R, ‖eAt‖L(X) 6 Meαt
e ‖eBt‖L(X) 6 Meβt. Suponha também que A e B comutam, que o operador A + B éfechado, densamente definido com domínio D(A)∩D(B) e que λ ∈ ρ(A+B) para algumλ > 0. Então A + B gera um C0-semigrupo e(A+B)t : t > 0 tal que e(A+B)t = eAteBt eque ‖e(A+B)t‖L(X) 6M2e(α+β)t.
Demonstração: Basta aplicar o Teorema 6.2.1 aos operadores A− αI e B − βI.
84 Teoremas de perturbação de geradores
6.3 Perturbação de geradores infinitesimais de semigru-
pos analíticos
Teorema 6.3.1. Seja A : D(A) ⊂ X → X e constantes 0 < δ < π2, ω ∈ R e M > 0 tais
queρ(A) ⊂ Σ = λ ∈ C : |arg(λ− ω)| < π
2+ δ ∪ ω,
e‖(λ− A)−1‖L(X) 6
M
|λ− ω|, para todo λ ∈ Σ, λ 6= ω.
Então sabemos que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo analítico. Seja tam-bém B : D(B) ⊂ X → X, D(B) ⊃ D(A), um operador linear tal que
‖Bx‖X 6 ε‖Ax‖X +K‖x‖X , para todo x ∈ D(A),
para algum ε > 0 e alguma constante K. Então, existe δ > 0 tal que, se 0 6 ε 6
δ, D(A + B) = D(A), e A + B é o gerador infinitesimal de um semigrupo analíticoe(A+B)t : t > 0.
Demonstração: Escolha ε > 0 tal que 0 < ε(M + 1) < 1 e θ tal que ε(M + 1) < θ < 1.Para tal λ, B(λ− A)−1 ∈ L(X) e
‖B(λ− A)−1‖L(X) 6 ε‖A(λ− A)−1‖L(X) +K‖(λ− A)−1‖L(X)
6 ε
(1 +
M |λ||λ− ω|
)+
KM
|λ− ω|
que é menor ou igual a θ para |λ− ω| > R, para algum R suficientemente grande. Segueque | arg (λ− ω)| < ϕ, |λ− a| > R implica λ ∈ ρ(A+B) e
‖(λ− (A+B))−1‖L(X) 6M
(1− θ)|λ− ω|.
Disto, é facil obter que (A+B) é o gerador de um semigrupo analítico, usando o Teorema5.3.5.
6.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos de contração 85
6.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigru-
pos de contração
Definição 6.4.1. Um operador dissipativo A : D(A) ⊂ X → X é chamado de m-dissipativo se Im(I − A) = X.
Claramente, se A ém-dissipativo, então µA também é, para qualquer µ > 0 e portantose A é m-dissipatvo temos Im(λ − A) = X para todo λ > 0. Em termos de operadoresm-dissipativos, o Teorema de Lumer-Philips pode ser rescrito da forma: Um operadordensamente definido A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contrações se, esomente se, A é m-dissipativo.
O resultado principal dessa seção é o seguinte teorema de perturbação para operadoresm-dissipativos.
Teorema 6.4.2. Sejam A e B operadores lineares em X tais que D(A) ⊂ D(B) e A+ tB
é dissipativo para t ∈ [0, 1]. Se
‖Bx‖X 6 α‖Ax‖X + β‖x‖X , para x ∈ D(A),
onde 0 6 α < 1, β > 0 e para algum t0 ∈ [0, 1], A + t0B é m-dissipativo então A + tB ém-dissipativo para todo t ∈ [0, 1].
Demonstração: Mostremos que existe δ > 0 tal que se A+ t0B é m−dissipativo, A+ tB
é m−dissipativo para todo t ∈ [0, 1] satisfazendo |t − t0| 6 δ. Como qualquer pontoem [0, 1] pode ser alcançado de qualquer outro ponto por um número finito de passos detamanho δ, isso implica o resultado.
Assuma que para algum t0 ∈ [0, 1], A + t0B é m−dissipativo, o que implica queI− (A+ t0B) é inversível. Denotemos R(t0) = (I− (A+ t0B))−1 e temos ‖R(t0)‖L(X) 6 1.Mostremos que o operador BR(t0) é um operador linear limitado.
Da nossa hipótese e da desigualdade triangular, temos para x ∈ D(A) que
‖Bx‖X 6 α‖(A+ t0B)x‖X + αt0‖Bx‖X + β‖x‖X6 α‖(A+ t0B)x‖X + α‖Bx‖X + β‖x‖X ,
e portanto‖Bx‖X 6
α
1− α‖(A+ t0B)x‖X +
β
1− α‖x‖x.
86 Teoremas de perturbação de geradores
Como R(t0) : X → D(A) e (A+ t0B)R(t0) = R(t0)− I, segue da desigualdade acimaque
‖BR(t0)x‖X 6α
1− α‖(R(t0)− I)x‖X +
β
1− α‖R(t0)x‖X 6
2α + β
1− α‖x‖X ,
para todo x ∈ X, e portanto BR(t0) é limitado. Para mostrar que A+tB ém−dissipativo,mostremos que I − (A+ tB) é inversível e portanto sua imagem é todo X. Temos
I − (A+ tB) = I − (A+ t0B) + (t0 − t)B
= (I + (t0 − t)BR(t0))(I − (A+ t0B)).
Portanto I − (A + t0B) é inversível se, e somente se, I + (t0 − t)BR(t0) é inversível.Mas I + (t0− t)BR(t0) para todo t satisfazendo |t− t0|‖BR(t0)‖L(X) 6 |t− t0|2α+β
1−α < 1 eportanto podemos escolher δ = 1−α
4α+2βpara concluir a demonstração.
O Teorema 6.4.2 é usualmente usado através do seguinte simples corolário.
Corolário 6.4.3. Seja A o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contrações. SejaB um operador dissipativo, satisfazendo D(A) ⊂ D(B) e
‖Bx‖X 6 α‖Ax‖X + β‖x‖X , para x ∈ D(A),
onde 0 6 α < 1 e β > 0. Então A+ B é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo decontrações.
Demonstração: Pelo Teorema de Lumer-Philips, D(A) = X e A é m−dissipativo. Por-tanto A+ tB é dissipativo para todo t ∈ [0, 1], pois Re〈Ax, x∗〉 6 0, para todo x∗ ∈ J(x).De fato, se B é dissipativo com D(A) ⊂ D(B), então para cara x ∈ D(A) existe umx∗ ∈ J(x) tal que Re〈Bx, x∗〉 6 0 e para este mesmo x∗, Re〈Ax + tBx, x∗〉 6 0. PeloTeorema 6.4.2 segue que A+tB é m−dissipativo para todo t ∈ [0, 1] e em particular A+B
é m−dissipativo. Como D(A+B) = D(A) é denso em X, A+B é o gerador infinitesimalde um C0−semigrupo de contrações pelo Teorema de Lumer-Philips.
O Teorema 6.4.2 e o Corolário 6.4.3 são falsos, em geral, se α = 1. Uma das razõespara isto é que neste caso, o operador A+B não é necessariamente fechado. Se A+B nãoé fechado, então ele não por ser o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo. Um simplesexemplo desta situação é quando iA um operador auto-adjunto em um espaço de Hilbert.
6.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos de contração 87
Se iA é auto-adjunto, então A e −A são geradores infinitesimais de um C0−semigrupode contrações. Tomando B = −A em Teorema 6.4.2 temos a estimativa com α = 1 eβ = 0, mas A + B restrito a D(A) não é fechado. Neste exemplo simples, entretanto ofecho de A + B; isto é, o operador nulo no espaço todo, é o gerador infinitesimal de umC0−semigrupos de contrações. Nosso próximo teorema mostra sobre certas hipóteses, queesse é sempre o caso.
Teorema 6.4.4. Seja A o gerador infinitesimal de um C0−semigrupo de contrações. SejaB um operador dissipativo tal que D(A) ⊂ D(B) e
‖Bx‖X 6 ‖Ax‖X + β‖x‖X , para todo x ∈ D(A),
onde β > 0 é uma constante. Se B∗, é o adjunto de B, está densamente definido então ofecho A+B = A+B é o gerador infinitesimal de um C0−semigrupos de contrações.
Demonstração: A+B é dissipativo e densamente definido já que A é m−dissipativo e Bé dissipativo com D(A) ⊂ D(B). Portanto, do Teorema 3.2.7, o operador A+B é fechávele seu fecho A+B é dissipativo. Para provar que A + B é o gerador infitesimal de umC0−semigrupo de contrações é suficiente mostrar que Im(I −A+B) = X. Como A+B
é dissipativo e fechado segue do Lema 3.2.4 que Im(I − A+B) é fechada e portanto ésuficiente mostrar que Im(I − A+B) é densa em X.
Seja y∗ ∈ X∗ tal que 〈y∗, z〉 = 0 para todo z ∈ Im(I − A+B). Seja y ∈ X tal que‖y∗‖X∗ 6 〈y∗, y〉. Do Corolário 6.4.3 segue que A+ tB é m−dissipativo para 0 6 t < 1 eportanto a equação
x− Ax− tBx = y
tem uma única solução xt para todo 0 6 t < 1. Mais ainda, como A + tB é dissipativo‖xt‖X 6 ‖y‖X . Da nossa hipótese, temos
‖Bxt‖X 6 ‖Axt‖X + β‖xt‖X 6 ‖(A+ tB)xt‖X + t‖Bxt‖X + β‖xt‖X6 ‖y − xt‖X + t‖Bxt‖X + β‖xt‖X
e portanto(1− t)‖Bxt‖X 6 ‖y − xt‖X + β‖xt‖X 6 (2 + β)‖y‖X . (6.4.1)
88 Teoremas de perturbação de geradores
Seja z∗ ∈ D(B∗) então
|〈z∗, (1− t)Bxt〉| = (1− t)|〈B∗z∗, xt〉|
6 (1− t)‖B∗z∗‖X‖y‖X → 0,
quando t → 1. Como D(B∗) é denso em X e por (6.4.1), (1 − t)Bxt é uniformementelimitada, segue que (1 − t)Bxt tende fracamente a zero quando t → 1. A nossa escolhaparticular de y∗ temos
‖y∗‖X∗ 6 〈y∗, y〉 = 〈y∗, xt − Axt − tBxt〉
〈y∗, (1− t)Bxt〉 → 0, quando t→ 1,
o que implica y∗ = 0 e portanto a imagem de I − A+B é denso em X.SejamX um espaço de Banach reflexivo e A um operador fechável densamente definido
em X. Sabemos então que A∗ está densamente definido e D(A∗) é denso em X∗. Assim,para espaço de Banach reflexivos, temos:
Corolário 6.4.5. Sejam X um espaço de Banach reflexivo e A o gerador infinitesimal deum C0−semigrupo de contrações em X. Seja B um operador dissipativo tal que D(A) ⊂D(B) e
‖Bx‖X 6 ‖Ax‖X + β‖x‖X , para todo x ∈ D(A),
onde β > 0. Então A+B, o fecho de A+B, é o gerador infinitesimal de um C0−semigrupode contrações em X.
Capítulo
7
Problema de Cauchy abstrato
7.1 O problema de valor inicial homogêneo
Nesta seção estudaremos o problema linear de valor inicial, ou problema de Cauchy
homogêneo (ou linear), dado pordu
dt= Au, para t > 0
u(0) = u0 ∈ X,(CH)
onde A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear num espaço de Banach X.
Definição 7.1.1. Dizemos que uma função u : R+ → X é uma solução clássica ousolução forte de (CH) se
u ∈ C(R+, D(A)) ∩ C1([0,∞), X)
e u satisfaz (CH).
Teorema 7.1.2. Assuma que A é o gerador infinitesimal do um C0-semigrupo eAt : t >0 em X. Então as seguintes condições são satisfeitas:
(i) para cada u0 ∈ D(A), o problema (CH) possui uma única solução clássica u;
(ii) as soluções dependem continuamente do dado inicial; isto é, considere uma sequênciaun0n∈R ⊂ D(A) e assuma que un0
n→∞−−−→ u0 ∈ D(A). Se un é a solução clássica de
90 Problema de Cauchy abstrato
(CH) com ponto inicial un0 e u é a solução clássica de (CH) com ponto inicial u0,temos
un(t)n→∞−−−→ u(t), para cada t > 0.
Demonstração: Provemos primeiramente (i). Se u0 ∈ D(A) então sabemos que
u(t).= eAt(t)u0 ∈ C(R+, D(A)) ∩ C1([0,∞), X),
pelo Teorema 2.2.1. Além disso, u satisfaz (CH) e portanto u é uma solução clássica.
Assuma agora que u1 é uma outra solução clássica de (CH). Fixe t > 0 e defina afunção ψ : [0, t]→ X por
ψ(s) = eAt(t− s)u1(s).
Temos
d
dsψ(s) = −AeAt(t− s)u1(s) + eAt(t− s)Au1(s) = 0, para todo s ∈ (0, t),
assim ψ é constante, e da continuidade de ψ segue que
u(t) = eAt(t)u0 = ψ(0) = ψ(t) = u1(t),
o que mostra a unicidade e conclui o item (i).
O item (ii) é uma simples consequência do fato de que, para cada t > 0, a aplicação eAt
é um operador linear limitado de X, e portanto, contínuo. Isto conclui a demonstração.
7.2 Aplicações
Nesta seção resolveremos algumas EDP’s lineares, usando as técnicas desenvolvidasnos capítulos anteriores.
7.2.1 Equação da onda unidimensional
Nesta subseção estudaremos a equação da onda unidimensional com condições iniciais,e com condições de fronteira de Dirichlet nulas, dada por
7.2 Aplicações 91
utt = uxx, t > 0, 0 < x < 1
u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t > 0
u(0, x) = u0(x), 0 < x < 1
ut(0, x) = u1(x), 0 < x < 1.
Formulação abstrata do problema: Defina v = ut. Assim, temos vt = utt = uxx e podemosescrever
d
dt
[u
v
]=
[v
uxx
]=
[0 1
∂xx 0
][u
v
].
Assim, usando a notação z .= [ uv ], z0
.= [ u0u1 ] e A =
[0 1∂xx 0
]temos
dz
dt= Az,
z(0) = z0,
(7.2.1)
onde nos falta escolher o espaço de Banach X e o domínio D(A) do operador A adequadospara trabalharmos, e garantir que A gere um C0-semigrupo em X. Uma das maneiras deescolhermos estes espaços adequadamente é olhar para a energia do sistema; e para isto,multiplicando a equação acima por v = ut e integrando no intervalo [0, 1] (isto é, tomandoo produto interno da equação com ut em L2(0, 1)) temos∫ 1
0
uttutdx =
∫ 1
0
uxxutdx,
o que nos dá (assumindo as diferenciabilidades adequadas) que
1
2
d
dt‖v‖2
L2(0,1) =1
2
d
dt
∫ 1
0
|v|2dx =
=0︷ ︸︸ ︷vux∣∣10−∫ 1
0
uxvxdx
=1
2
d
dt
∫ 1
0
|ux|2dx =1
2
d
dt‖∂xu‖2
L2(0,1).
(7.2.2)
Definindo assim E(t).= 1
2(‖∂xu‖2
L2(0,1) +‖v‖2L2(0,1)) temos d
dtE(t) = 0, o que nos dá que
E(t) = E(0) para todo t > 0 (desde que a solução esteja definida até t) que
E(t) =1
2(‖∂xu(0)‖2
L2(0,1) + ‖v(0)‖2L2(0,1)) =
1
2(‖∂xu0‖2
L2(0,1) + ‖u1‖2L2(0,1)),
e isto nos indica que o espaço X adequado para trabalharmos é X = H10 (0, 1)× L2(0, 1),
92 Problema de Cauchy abstrato
com norma‖[ uv ]‖X = ‖∂xu‖2
L2(0,1) + ‖v‖2L2(0,1),
que é um espaço de Hilbert (verifique).
Agora, para escolher D(A), lembre-se que devemos escolhê-lo de forma que A seja umoperador fechado, densamente definido. Olhando para (7.2.2), vemos que as diferenciabi-lidades (fracas) que usamos para realizar adequadamente todas os passos foram: v deveter vx bem definida, isto é v ∈ H1(0, 1); e além disso, devemos ser capazes de integraruxxut, e como ut = v ∈ L2(0, 1), é suficiente que uxx ∈ L2(0, 1). Assim devemos ter
A [ uv ] = [ vuxx ] ∈ X,
e portanto escolhemosD(A) = [ uv ] ∈ X : A [ uv ] ∈ X.
Vamos agora dar uma caracterização explícita de D(A). Para isto, seja [ uv ] ∈ D(A).Como uxx existe e está em L2(0, 1), segue que u ∈ H2(0, 1) ∩ H1
0 (0, 1). Além disso,v ∈ H1
0 (0, 1) e portanto
D(A) ⊂ [H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)]×H1
0 (0, 1).
Reciprocamente, é simples ver que D(A) ⊃ [H2(0, 1)∩H10 (0, 1)]×H1
0 (0, 1), e portanto
D(A) = [H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)]×H1
0 (0, 1).
Ainda, como C∞0 (0, 1) ⊂ H2(0, 1) ∩H10 (0, 1) e C∞0 (0, 1)
H10 (0,1)
= H10 (0, 1), segue que
H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)
H10 (0,1)
= H10 (0, 1).
Analogamente, C∞0 (0, 1) ⊂ ∩H10 (0, 1) e C∞0 (0, 1)
L2(0,1)= L2(0, 1), logo
H10 (0, 1)
L2(0,1)= H1
0 (0, 1).
Consequentemente, mostramos que D(A)X
= X; isto é, A é densamente definido.
Exercício 7.2.1. Mostre que A : D(A) ⊂ X → X é um operador fechado.
Geração de semigrupo: Mostremos primeiramente que A é um operador dissipativo. Se
7.2 Aplicações 93
[ uv ] ∈ D(A) temos
〈A [ uv ] , [ uv ]〉X = 〈[ vuxx ] , [ uv ]〉X =
∫ 1
0
vxuxdx+
∫ 1
0
uxxvdx = 0.
Mostremos ainda que A é m-dissipativo; isto é, Im(I −A) = X; isto é, dado[fg
]∈ X,
existe [ uv ] ∈ D(A) tal que (I − A) [ uv ] =[fg
].
Tal [ uv ] ∈ D(A) existe se, e somente se, existe [ uv ] ∈ D(A) tal que [ u−vv−uxx ] =
[fg
].
A formulação variacional para a equação u− uxx = f + g é dada por∫ 1
0
uφdx+
∫ 1
0
uxφxdx =
∫ 1
0
(f + g)φdx, para toda φ ∈ H10 (0, 1).
Em H = H10 (0, 1) definimos a forma bilinear a : H ×H → R, dada por
a(u, φ) =
∫ 1
0
uφdx+
∫ 1
0
uxφxdx = 〈u, φ〉L2(0,1) + 〈u, φ〉H10 (0,1),
e mostremos que a é contínua e coerciva.
De fato, temos
|a(u, φ)| 6 ‖u‖L2(0,1)‖φ‖L2(0,1) + ‖u‖H10 (0,1)‖φ‖H1
0 (0,1)
6 2‖u‖H10 (0,1)‖φ‖H1
0 (0,1),
onde para a última desigualdade utilizamos a desigualdade de Poincaré em (0, 1)1. Por-tanto a é contínua. Além disso
|a(u, u)| = 〈u, u〉L2(0,1) + 〈u, u〉H10 (0,1) > 〈u, u〉H1
0 (0,1),
portanto a é coerciva. Defina o funcional linear contínuo (verifique) ξ ∈ H∗ por
ξ(φ) =
∫ 1
0
(f + g)φdx.
Assim, do Teorema de Lax-Milgram, existe um único u ∈ H tal que
a(u, φ) = ξ(φ), para todo φ ∈ H,
1‖u‖L2(0,1) 6 ‖u‖H10 (0,1)
, para toda u ∈ H10 (0, 1). Verifique este fato.
94 Problema de Cauchy abstrato
ou seja, existe um único u ∈ H tal que∫ 1
0
uφdx+
∫ 1
0
uxφxdx =
∫ 1
0
(f + g)φdx, para toda φ ∈ H10 (0, 1),
o que implica que uxx está bem definida e u − uxx = f + g em L2(0, 1). Portantou ∈ H2(0, 1) ∩ H1
0 (0, 1). Definindo v = u − f ∈ H10 (0, 1) concluímos a prova de que
Im(I − A) = X.
Segue então do Teorema de Lumer-Philips que A é o gerador infinitesimal de umC0-semigrupo de contrações eAt : t > 0.
Do Teorema 7.1.2 seque que para cada z0 ∈ D(A), existe uma única solução
z ∈ C([0,∞), D(A)) ∩ C1([0,∞), X)
de (7.2.1). Podemos ainda facilmente ver que, se z = [ uv ] então
u ∈ C([0,∞), H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)) ∩ C1((0,∞), H1
0 (0, 1)) ∩ C2([0,∞), L2(0, 1)),
onde usamos que (verifique) Az ∈ C([0,∞), X) e
‖ [ uv ] ‖2H2(0,1)×H1
0 (0,1) 6 2(‖ [ uv ] ‖2X + ‖A [ uv ] ‖X) = 2‖ [ uv ] ‖Y1 .
7.2.2 Equação da onda dissipativa
Agora estudaremos a seguinte equação de ondas
utt −∆u+ a(x)ut = 0, x ∈ Ω, t > 0
u = 0, x ∈ ∂Ω
u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω
ut(0, x) = u1(x), x ∈ Ω,
onde Ω ⊂ Rn é um subconjunto aberto, limitado e com ∂Ω suave, e a ∈ L∞(Ω) coma(x) > 0 para x ∈ Ω.
Formulação abstrata: Novamente, façamos v = ut, z = [ uv ], z0 = [ u0u1 ], e a equação acimase torna
dz
dt= Az,
z(0) = z0,
(7.2.3)
7.2 Aplicações 95
onde A =[
0 I∆ −a(x)
].
Exercício 7.2.2. Como na equação da onda unidimensional, multiplique a equação porut, assumindo as regularidades necessárias (diga quais são), e integrando o resultado emΩ, mostre que se
E(t).=
1
2‖∇u‖2
L2(Ω) +1
2‖v‖2
L2(Ω) =1
2
∫Ω
|∇u|2dx+
∫Ω
|v|2dx,
entãod
dtE(t) = −
∫Ω
a(x)|v|2dx,
e portanto
E(t) +
∫ t
0
∫Ω
a(x)|v|2dx = E(0).
Com o exercício acima, podemos definir novamente X = H10 (Ω)×L2(Ω) com produto
interno〈[ w1w2 ] ,
[w1w2
]〉X = 〈w1, w1〉H1
0 (Ω) + 〈w2, w2〉L2(Ω),
e além disso definimos, como anteriormente
D(A) = [ uv ] ∈ X : A [ uv ] ∈ X.
Geração de semigrupo:
Exercício 7.2.3. Mostre que:
1. D(A) = (H2(Ω) ∩H10 (Ω))×H1
0 (Ω).
2. A é densamente definido e fechado.
3. A é dissipativo.
4. Im(I − A) = X.
Pelo Teorema de Lumer-Philips, A é o gerador de um C0-semigrupo de contrações, epelo Teorema 7.1.2, dado z0 ∈ D(A), existe uma única solução clássica z de (7.2.3) a e
z ∈ C([0,∞), D(A)) ∩ C1([0,∞), X),
e se z = [ uv ] então
u ∈ C([0,∞), H2(Ω) ∩H10 (Ω)) ∩ C1([0,∞), H1
0 (Ω)) ∩ C2([0,∞), L2(Ω)).
96 Problema de Cauchy abstrato
Observação 7.2.4. Para obtermos soluções mais regulares, p.e. u ∈ C3([0,∞), L2(Ω)),basta considerarmos dados iniciais em D(A2).
7.2.3 Equação de placas
Considere e equação utt + ∆2u+ u = 0, x ∈ Rn, t > 0
u(0, x) = u0(x)
ut(0, x) = u1(x).
Formulação abstrata: Como anteriormente, para v = ut, z = [ uv ], z0 = [ u0u1 ] e A =[0 I
−∆2−I 0
]o problema se torna
dz
dt= Az,
z(0) = z0.
(7.2.4)
Encontremos uma energia adequada para esta equação, de modo a encontrar o espaçoX e o domínio D(A) do operador. Multiplicando a equação por ut e integrando em Rn,obtemos
0 =
∫Rnuttutdx+
∫Rn
∆2uutdx+
∫Rnuutdx
=
∫Rnuttutdx+
∫Rn
∆u∆utdx+
∫Rnuutdx
=1
2
d
dt
∫Rn
(|v|2 + |∆u|2 + |u|2)dx
=1
2
d
dt(‖u‖2
L2 + ‖∆u‖2L2 + ‖v‖2
L2)
=1
2
d
dt(‖u‖2
H2 + ‖v‖2L2),
o que nos leva a escolher X = H2 × L2 com a o produto interno adequado à norma queaparece na última igualdade da expressão acima. Ainda, para o cálculo desta integral,precisamos que ∆2u ∈ L2; isto é, u ∈ H4 e além disso necessitamos que v = ut ∈ H2.Assim, escolhemos
D(A) = H4 ×H2 (= [ uv ] ∈ X : A [ uv ] ∈ X).
Exercício 7.2.5. Mostre que:
7.2 Aplicações 97
2. A é densamente definido e fechado.
3. A é dissipativo.
4. Im(I − A) = X (Dica: use o seguinte fato de regularidade de soluções elípticas: se ∆2φ ∈ L2,
então φ ∈ H4).
Pelo Teorema de Lumer-Philips, A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo decontrações. Ainda, do Teorema eqrefeq:Linear, concluímos que para cada z0 ∈ D(A)
existe uma única solução clássica z de (7.2.4) e
z ∈ C([0,∞, D(A)) ∩ C1([0,∞), X)).
Se z = [ uv ], então
u ∈ C([0,∞), H4) ∩ C1([0,∞), H2) ∩ C2([0,∞), L2).
7.2.4 Equação de Schrödinger (parte 1)
Vamos estudar nesta subseção e seguinte equaçãout − i∆u = 0, x ∈ Rn, t > 0
u(0, x) = u0(x).
Para o espaço de energia, multiplicamos a equação por u e integramos em Rn, paraencontrar
1
2
d
dt‖u‖2
L2 + i‖∇u‖2H1
0= 0,
e tomando a parte real e integrando em (0, t), obtemos
‖u‖2L2 = ‖u0‖L2 .
Assim, escolhemos X = L2, e como precisamos de u ∈ H2 para calcular esta integral,tomamos D(A) = H2, onde A = i∆. Mostremos que −iA = ∆ é auto-adjunto, dondeseguirá que iA é auto-adjunto.
De fato, ∆ é simétrico por para u, v ∈ H2, temos
〈∆u, v〉L2 =
∫Ω
∆uvdx =
∫Ω
u∆vdx = 〈u,∆v〉L2 .
98 Problema de Cauchy abstrato
Agora, mostremos que 1 ∈ ρ(∆) e que Im(I − ∆) = L2, o que mostra que ∆ éauto-adjunto, pelo Corolário 1.5.9. Notemos que ∆ é dissipativo, pois
〈∆u, u〉L2 = −∫Rn|∇u|2dx 6 0,
para todo u ∈ H2. Assim ‖u‖L2 6 ‖(I−∆u)‖L2 , para todo u ∈ H2, e mostra que (I−∆)
é injetivo. Assim (I −∆)−1 : Im(I −∆)→ L2 está bem definido e
‖(I −∆)−1v‖L2 6 ‖v‖L2 ,
logo 1 ∈ ρ(∆). Resta-nos mostrar que Im(I−∆) = L2; e para isto, defina a forma bilineara : H1 ×H1 → R por
a(u, φ) = 〈u, φ〉L2 + 〈u, φ〉H1 .
Como antes, a é contínua e coerciva, e para o funcional linear contínuo ξ(φ) = 〈f, φ〉L2
em (H1)∗, o Teorema de Lax-Milgram nos dá a existência de um único u ∈ H1 tal quea(u, φ) = ξ(φ) para todo φ ∈ H1, o que nos dá que (I − ∆)u = f em L2. Usando aregularidade elíptica, vemos que u ∈ H2, o que mostra o desejado.
Segue do Teorema de Stone que A gera um C0-grupo unitário em L2. Ainda, paracada u0 ∈ D(A), existe uma única solução clássica u da equação de Schödinger, que estádefinida para todo t ∈ R e além disso
‖u(t)‖L2 = ‖u0‖L2 , para todo t ∈ R.
7.2.5 Equação de Schrödinger (parte 2)
Nesta subseção estudaremos uma perturbação limitada da equação de Shrödinger queestudamos na parte 1, dada porut − i∆u = iαu, x ∈ Rn, t > 0
u(0, x) = u0(x),
onde α ∈ R está fixado. Sabemos da Parte 1 acima que A = i∆ é o gerador infinitesimal deum C0-grupo unitário. Além disso, se definirmos o operador linear limitado B : L2 → L2
dado por Bu = iαu, temos
Re〈Bu, u〉L2 = Re(iα‖u‖2L2) = 0,
7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo 99
e portanto B é dissipativo. Segue então do Teorema 6.4.4 que A + B é o gerador infini-tesimal de um C0-semigrupo de contrações.
7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo
A seguir estudamos problemas de Cauchy não-homogêneos da formadu
dt= Au+ f(t), para t0 < t < t1
u(t0) = u0 ∈ X(CnH)
onde A : D(A) ⊂ X → X é o gerador de um C0-semigrupo eAt : t > 0 em X ef : [t0, t1)→ X é contínua por partes e contínua à direita.
Definição 7.3.1.
(a) Uma solução forte de (CnH), é uma função contínua u : [t0, t1) → X tal queu(t0) = u0 e para t0 < t < t1, u(t) ∈ D(A),
d+
dtu(t) = lim
h→0+
u(t+ h)− u(t)
hexiste e
(CnH) vale com ddtu(t) substituída por d+
dtu(t) e t 7→ d+
dtu(t) é contínua onde f é
contínua.
Note que se t 7→ f(t) é uma função contínua e t 7→ u(t) é uma solução forte de(CnH) então t 7→ u(t) é contínuamente diferenciável e (CnH) se verifica para cadat ∈ (t0, t1).
(b) Uma solução fraca de (CnH) em [t0, t1) é uma função contínua u : [t0, t1) → X
tal que u(t0) = u0 e para todo u∗ ∈ D(A∗), t 7→ 〈u∗, u(t)〉 tem derivada à direita e
d+
dt〈u∗, u(t)〉 = 〈A∗u∗, u(t)〉+ 〈u∗, f(t)〉, t0 < t < t1. (7.3.1)
Note que se t 7→ 〈u∗, f(t)〉 é uma função contínua e t 7→ u(t) é uma solução fracade (CnH) então t 7→ 〈u∗, u(t)〉 é contínuamente diferenciável e (7.3.1) se verificacom d+
dtsubstituída por d
dt.
Definição 7.3.2. Um subconjunto S∗ ⊂ X∗ é dito total se dado x ∈ X tal que 〈x∗, x〉 = 0,para todo x∗ ∈ S∗, então x = 0.
100 Problema de Cauchy abstrato
O anulador S⊥ ⊂ X∗ de um subconjunto S ⊂ X é o conjunto de todos os elementosx∗ ∈ X∗ tais que 〈x∗, x〉 = 0, para todo x ∈ S. Sabemos que se S ⊂ X é um subespaçovetorial então (S⊥)⊥ = S (veja [3]).
Lema 7.3.3. Se A : D(A) ⊂ X → X é fechado e densamente definido então D(A∗) étotal.
Demonstração Seja x ∈ X tal que 〈x∗, x〉 = 0 para todo x∗ ∈ D(A∗). Queremos mostrarque x = 0.
Temos que o gráfico de A∗, G(A∗) = (x∗, A∗x∗) : , x∗ ∈ D(A∗), é o anulador emX∗ × X∗ de S = (−Ax, x) : x ∈ D(A); isto é, G(A∗) = S⊥. Note que G(A∗) tambémanula (x, 0), segue que (x, 0) ∈ G(A∗)⊥ = S e portanto x = 0.
O teorema a seguir nos dá formas de manuseio mais simples para as soluções fracas eestabelece algumas relações importantes entre soluções fracas e fortes.
Teorema 7.3.4. São válidas as seguintes afirmações:
1. se u : [t0, t1)→ X é uma solução forte de (CnH) então é também uma solução fracade (CnH).
2. Se u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca de (CnH), então
u(t) = eA(t−t0)u0 +
∫ t
t0
eA(t−s)f(s)ds, t0 6 t < t1. (7.3.2)
Em particular, existe uma única solução fraca de (CnH).
3. Se u : [t0, t1)→ X é definida por (7.3.2), então u : [t0, t1)→ E0 é uma solução fracade (CnH).
4. Se u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca e para algum t ∈ (t0, t1) ou u(t) ∈ D(A) oud+
dtu(t) existe, então ambos são verdadeiros e para este instante
d+
dtu(t) = Au(t) + f(t).
Demonstração: A afirmativa 1 é trivial. Provaremos 3 e a unicidade de soluções fracas,o que implicará 2.
7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo 101
Prova de 3. Defina u : [t0, t1) → X por (7.3.2) e seja x∗ ∈ D(A∗). Para qualquerx ∈ X t 7→ 〈x∗, eAtx〉 é diferenciável com derivada 〈A∗x∗, eAtx〉 pois
〈x∗, eAtx〉 − 〈x∗, x〉 =
∫ t
0
〈A∗x∗, eAsx〉ds,
para x ∈ D(A) e por continuidade para todo x ∈ X. Usando isto calculamos d+
dt〈x∗, u(t)〉
e vemos que u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca; de fato,
〈x∗,∫ t+h
t0
eA(t+h−s)f(s)ds〉 − 〈x∗,∫ t
t0
eA(t−s)f(s)ds〉
= 〈x∗,∫ t+h
t
eA(t+h−s)f(s)ds〉 − 〈x∗, (eAh − I)
∫ t
t0
eA(t−s)f(s)ds〉
= h[〈x∗, f(t)〉+ 〈A∗x∗,∫ t
t0
eA(t−s)f(s)ds〉] + o(h),
onde na última passagem utilizamos que A∗ é o gerador infinitesimal do semigrupo forte-mente contínuo eA∗t = (eAt)∗ : t > 0 em Y = D(A∗)
X∗
(veja Teorema 3.1.4).
Prova da unicidade em 2. Se existem duas soluções de (CnH), a diferença entre elasv : [t0, t1) → X é uma função contínua com v(t0) = 0 e d+
dt〈x∗, v(t)〉 = 〈A∗x∗, v(t)〉,
t0 6 t < t1 e x∗ ∈ D(A∗). É conveniente trabalhar com uma função C1, logo seja
V (t) =
∫ t
t0
v(s)ds; então
〈x∗, v(t)〉 =
∫ t
t0
〈A∗x∗, v(s)〉ds
e 〈x∗, ddtV (t)〉 = 〈A∗x∗, V (t)〉.
Agora observe que (eAt)∗D(A∗) ⊂ D(A∗) para t > 0, já que 〈(eAt)∗x∗, Ax〉 = 〈A∗x∗, eAtx〉para x∗ ∈ D(A∗), x ∈ D(A). Logo, para qualquer t∗ ∈ (t0, t1)
〈x∗, eA(t∗−t) d
dtV (t)〉 = 〈A∗x∗, eA(t∗−t)V (t)〉
e ddt〈x∗, eA(t∗−t)V (t)〉 = 0 para t0 6 t 6 t∗.
Como V (t0) = 0, 〈x∗, V (t∗)〉 = 0 para todo x∗ ∈ D(A∗), portanto V (t∗) = 0 e v(s) = 0
para t0 6 s 6 t1.
Prova de 4. Se u(·) é uma solução fraca, dada por (7.3.2), então para t0 6 t < t+h < t1
u(t+ h)− u(t)
h=
1
h
∫ t+h
t
eA(t+h−s)f(s)ds+1
h(eAh − I)u(t).
102 Problema de Cauchy abstrato
O termo do meio converge para f(t+) = f(t) quando h → 0+, logo se um dos outrostermos converge, ambos devem convergir.
A seguir damos condições simples que asseguram a diferenciabilidade de uma soluçãofraca.
Teorema 7.3.5. Assuma que A e f são como antes e u : [t0, t1) → E0 é uma soluçãofraca de (CnH). Se u0 ∈ D(A) e/ou
1. f(t) ∈ D(A) com t 7→ Af(t) ∈ X contínua à direita em [t0, t1) ou
2. d+
dtf(t) existe e é contínua à direita em [t0, t1),
então d+
dtu(t) existe, u(t) ∈ D(A) e u : [t0, t1)→ E0 é uma solução forte de (CnH).
Demonstração: Seja v(t) =
∫ t
t0
eA(t−s)f(s)ds, logo u(t) = eA(t−t0)u0 + v(t); como u0 ∈
D(A), t 7→ eA(t−t0)e0 é continuamente diferenciável. Se t0 6 t < t+ h < t1, temos
v(t+ h)− v(t)h
= 1h
∫ t+h
t
eA(t+h−s)f(s)ds+
∫ t
t0
eA(t−s)eAh − Ih
f(s)ds
= 1h
∫ t0+h
t0
eA(t+h−s)f(s)ds+
∫ t
t0
eA(t−s)f(s+ h)− f(s)h
ds
(7.3.3)
e usando as primeira e segunda expressões nos casos 1 e 2 respectivamente, vemos que
d+
dtv(t) = f(t) +
∫ t
t0
eA(t−s)Af(s)ds, no caso (1),
= eA(t−t0)f(t0) +
∫ t
t0
eA(t−s) d+dtf(s)ds, no caso (2).
Pelo Teorema 7.3.4, item 4, v(t) ∈ D(A) e a prova está completa.
7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico
Nesta seção consideramos o problema de valor iniciald
dtu = Au+ f(t, u), para t0 < t < t1
u(t0) = u0 ∈ X,(CsL)
onde A é o gerador de um C0-semigrupo, f é uma função contínua que está definida emum subconjunto U de R× E0 e toma valores em X e (t0, u0) ∈ U .
7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico 103
Definição 7.4.1.
(a) Uma solução forte de (CsL) em [t0, t1) é uma função contínua u : [t0, t1) → X
tal que u : (t0, t1) → u0 é continuamente diferenciável, u(t0) = u0, (t, u(t)) ∈ U ,u(t) ∈ D(A) e (CsL) vale para t0 < t < t1.
(b) Uma solução fraca de (CsL) em [t0, t1) é uma função contínua u : [t0, t1)→ X talque u(t0) = u0 (t, u(t)) ∈ U , para todo x∗ ∈ D(A∗), t 7→ 〈x∗, u(t)〉 é diferenciável e
d
dt〈x∗, u(t)〉 = 〈A∗x∗, u(t)〉+ 〈x∗, f(t, u(t))〉, t0 < t < t1. (7.4.1)
Com isto temos o seguinte teorema
Teorema 7.4.2. São válidas as seguintes afirmações:
1. se u : [t0, t1)→ X é uma solução forte de (CsL) então é também uma solução fracade (CsL).
2. Uma solução fraca u : [t0, t1) → X de (CsL) é também uma solução forte se, esomente se, é continuamente diferenciável em (t0, t1). Isto é válido se, e somentese, u(t) ∈ D(A) com t 7→ Au(t) contínua em (t0, t1).
3. Se u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca de (CsL), então
u(t) = eA(t−t0)u0 +
∫ t
t0
eA(t−s)f(s, u(s))ds, t0 6 t < t1. (7.4.2)
4. Se u : [t0, t1)→ X é contínua com (t, u(t)) ∈ U , t0 6 t < t1 e satisfaz (7.4.2), entãou : [t0, t1)→ X é uma solução fraca de (CsL).
Demonstração: As afirmativas do teorema seguem imediatamente do Teorema 7.3.4uma vez que [t0, t1) 3 t 7→ f(t, u(t)) ∈ X é uma função contínua.
Teorema 7.4.3. Assuma que A é o gerador de um C0-semigrupo eAt : t > 0, U ⊂ R×E0
um aberto e f : U → X é contínua, e localmente Lipschitz contínua em sua segundavariável; isto é, dado (t0, u0) ∈ U existe δ > 0 e L tal que
‖f(t, u1)− f(t, u2)‖X 6 L‖u1 − u2‖X , (7.4.3)
quando |t − t0| 6 δ e ‖ui − u0‖X 6 δ, i = 1, 2. Então, dado qualquer (t0, u0) ∈ U existet1 > t0 e uma solução fraca u : [t0, t1)→ X de (CsL).
104 Problema de Cauchy abstrato
Adicionalmente, qualquer solução fraca u : [t0, t1) → X é tal que u(t) = u(t) parat0 6 t < mint1, t1.
Demonstração: Existem δ > 0 e constantes L,M tais que se t0 6 t 6 t0+δ, ‖ui−u0‖X 6δ, i = 1, 2, então
‖f(t, u1)− f(t, u2)‖X 6 L‖u1 − u2‖X‖f(t, u1)‖X 6M.
Escolha t1 > t0 tal que
0 < t1 − t0 6 min
δ
2MM0
,1
2M0L, δ, ε
,
onde ‖eAτ‖L(X) 6M0, 0 6 τ 6 ε, ‖eAτu0 − u0‖X 6 δ2, quando 0 6 τ 6 ε.
Seja S o conjunto das funções contínuas u : [t0, t1]→ X tal que ‖u(t)−u0‖X 6 δ, parat0 6 t 6 t1. Se u, u ∈ S, defina d(u, u) = supt06t6t1 ‖u(t) − u(t)‖X ; então (S, d) é umespaço métrico completo. Para u ∈ S defina G(u) : [t0, t1]→ X por
G(u)(t) = eA(t−t0)u0 +
∫ t
t0
eA(t−s)f(s, u(s))ds, para t0 6 t 6 t1.
Então G(S) ⊂ S, d(G(u), G(u)) 6 12d(u, u) para u, u ∈ S e, do Princípio da Contração
de Banach, G tem um único ponto fixo em S. Isto prova a afirmativa, usando os itens 3e 4 do Teorema 7.4.2.
A seguir obtemos resultados sobre extensões de soluções de (CsL) e a existência deintervalos maximais de definição para soluções de (CsL). Estes resultados são essenciaisno estudo do comportamento assintótico de soluções de (CsL) permitindo, em muitoscasos, obter a existência global de soluções através de alguma estimativa a priori.
Teorema 7.4.4. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3. Para (t0, u0) ∈ Uexiste uma única solução fraca maximal u : [t0, τmax ) → X de (CsL). Para esta soluçãosuponha que τmax < ∞. Então ou existe u1 ∈ X tal que (τmax , u1) ∈ ∂U e u(t) → u1
quando t→ τ−max ou
lim supt→τ−max
‖f(t, u(t))‖X1 + ‖u(t)‖X
=∞.
Se U = R × E0 e f leva subconjunto limitados de R × E0 em subconjuntos limitadosde X o segundo caso só ocorre se lim supt→τ−max
‖u(t)‖X =∞.
7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico 105
Demonstração: Seja
τmax = supt1 : existe uma solução de (CsL) definida em [t0, t1).
Para qualquer t ∈ [t0, τmax ) defina u(t) = o valor em t de uma solução fraca u : [t0, t1)→X de (CsL), t1 > t. Toda solução fraca dá o mesmo valor para u(t), pelo Teorema 7.4.3,e u : [t0, τmax )→ X é claramente maximal.
Suponha que τmax < ∞ e o limite u1 = limt→τ−maxu(t) exista. Se (τmax , u1) ∈ U
existe uma solução fraca u : [τmax , τmax + δ] → X para algum δ > 0 com u(τmax ) = u1.Então se u : [t0, τmax + δ] → X é dada por u(t) = u(t), t0 6 t < τmax e u(t) = u(t),τmax 6 t 6 τmax + δ, então u é uma solução fraca de (CsL) o que contradiz a definiçãode τmax . Portanto, se o limite existe devemos ter (τmax , u1) ∈ ∂U .
Mostremos que‖f(t, u(t))‖X1 + ‖u(t)‖X
6 B <∞, t0 6 t < τmax ,
implica que limt→τ−maxu(t) existe e isto completará a prova.
Primeiramente note que pela desigualdade de Gronwall, ‖u(t)‖X é limitada, logo‖f(t, u(t))‖X 6 B1, t0 6 t < τmax . Provamos que ‖u(s)−u(r)‖X → 0 quando s, t→ τ−max .Podemos assumir que ‖eAt‖L(X) 6 M , para 0 6 t 6 τmax − t0. Dado ε > 0, esco-lha 0 < ε1 < τmax − t0 com ε1 6 ε
4MB1. Seja t∗ = τmax − ε1 e 0 < δ 6 ε1 tal que
‖(eA(s−t∗) − eA(r−t∗))u(t∗)‖X 6 ε4se |s− r| 6 δ. Então para t∗ 6 τmax − δ 6 s, r < τmax ,
u(s) = eA(s−t∗)u(t∗) +
∫ s
t∗eA(s−θ)f(θ, e(θ))dθ,
logo, se s 6 r, ‖u(s)− u(r)‖X 6 ε4
+ 2
∫ s
t∗MB1dθ +
∫ r
s
MB1dθ 6 ε.
Teorema 7.4.5. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e suponha queu : [t0, t1) → X é uma solução fraca de (CsL). Se u(t0) = u0 ∈ D(A) e f : U → X
é continuamente diferenciável, então u : [t0, t1)→ X é continuamente diferenciável e por-tanto uma solução forte. Adicionalmente
d+
dtu(t0) = Au(t0) + f(t0, u(t0)).
Observação 7.4.6. É suficiente que (t, u) 7→ ft(t, u) ∈ X seja contínua e que (t, u) 7→fu(t, u) ∈ L(X) seja fortemente contínua; isto é, (t, u) 7→ fu(t, u)x ∈ X é contínua paracada x ∈ X.
106 Problema de Cauchy abstrato
Demonstração: Escolha qualquer t2 ∈ (t0, t1); provamos que u é continuamente diferen-ciável em [t0, t2]. Defina v : [t0, t1)→ X a solução fraca de v = Av + ft(t, u(t)) + fu(t, u(t))v,
v(t0) = Au0 + f(t0, u0).
Para 0 < h < t1 − t2, defina ∆h(t) = u(t + h)− u(t)− hv(t), t0 6 t 6 t2, é suficienteprovar que ∆h(t) = o(h) quando h→ 0+, uniformemente em [t0, t2]. Agora
∆h(t) = (eAh − I − hA)eA(t−t0)u0
+
∫ t0+h
t0
(eA(t+h−s)f(s, u(s))− eA(t−t0)f(t0, u0))
+
∫ t
t0
eA(t−s)[f(s+ h, u(s+ h))− f(s, u(s+ h))− hft(s, u(s))]ds
+
∫ t
t0
eA(t−s)[f(s, u(s+ h))− f(s, u(s))− hfu(s, u(s))v(s)]ds,
onde somente a expressão da última linha apresenta dificuldades. Denotando fu(s, h) =∫ 1
0
fu(s, θu(s+ h) + (1− θ)u(s))dθ, a expressão da última linha se torna
∫ t
t0
eA(t−s)[fu(s, h)∆h(s) + h(fu(s, h)− fu(s, u(s)))v(s)]ds.
Como fu é limitada em uma vizinhança do conjunto compacto (s, u(s)) : t0 6 s 6 t2,obtemos
‖∆h(t)‖X 6 C
∫ t
t0
‖∆h(s)‖Xds+ o(h),
quando h → 0+ uniformemente para t0 6 t 6 t2, para alguma constante C. Logo‖∆h(t)‖X 6 o(h), da desigualdade de Gronwall.
Teorema 7.4.7. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e suponha que X éreflexivo. Se Y1 é D(A) com a norma do gráfico ‖x‖Y1 = ‖x‖X+‖Ax‖X , f leva U∩(R×Y1)
continuamente em Y1 e‖Af(t, x)‖X 6 C(t, x)‖x‖Y1 ,
em U ∩ (R × EA) onde C : U → R é localmente limitada. Então, qualquer solução fracau : [t0, t1)→ X de (CsL) com u(t0) ∈ D(A) é uma solução forte e ‖Au(t)−Au(t0)‖X → 0
quando t→ t+0 .
7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico 107
Demonstração: Seja t0 < t2 < t1. O método de iteração
un+1(t) = eA(t−t0)u(t0) +
∫ t
t0
eA(t−s)f(s, un(s))ds, para n ∈ N,
convergirá uniformemente em [t0, t2], se a aproximação inicial u0(t) é escolhida uniforme-mente próxima a u(t) em [t0, t2]; e podemos ainda assumir que u0 : [t0, t2]→ Y1 é contínua(basta tomar, por exemplo e = u0(t) = (I − εA)−1u(t) para algum ε > 0). Portanto‖Au0(t)‖X é limitado e un(t)
n→∞−−−→ u(t), uniformemente em [t0, t2].
Provaremos que ‖Aun(t)‖X é uniformemente limitada, u(t) ∈ D(A) com Aun(t)w−→
Au(t) e t 7→ Au(t) é contínua.
Primeiro note que (t, un(t)) : t0 6 t 6 t2, n ∈ N está em um subconjunto compactode U . Logo
‖Af(t, un(t))‖X 6 C1(1 + ‖Aun(t)‖X),
para alguma constante C1 independente de n, t. Portanto
‖Aun+1(t)‖X 6 ‖eA(t−t0)Au(t0)‖X +
∫ t
t0
‖eA(t−s)C1(1 + ‖Aun(s)‖X)ds
6 C2 + C3
∫ t
t0
‖Aun(s)‖Xds, t0 6 t 6 t2.
Podemos assumir que C2 > ‖Au0(t)‖X para t0 6 t 6 t2, e então se ‖Aun(s)‖X 6C2e
C3(s−t0) em [t0, t2], segue que ‖Aun+1(t)‖X 6 C2eC3(t−t0) e portantoAun(t) eAf(t, un(t))
são uniformemente limitadas. Note que o gráfico de A é fechado e portanto fracamentefechado e un(t) → u(t); se uma subsequência é tal que Aun(t)
w−→ y(t), então u(t) ∈D(A), Au(t) = y(t). Portanto, Aun(t)
w−→ Au(t). Semelhantemente Af(t, un(t))w−→
Af(t, u(t)). Ainda t 7→ Au(t), Af(t, u(t)) são fracamente contínuas; por exemplo, dadox∗ ∈ X∗ e ε > 0, primeiro escolha x∗1 ∈ D(A∗) próximo a x∗ e então
|〈x∗, Au(t)− Au(s)〉| 6 |〈x∗ − x∗1, Au(t)− Au(s)〉|+ |〈A∗x∗1, u(t)− u(s)〉|6 C‖x∗ − x∗1‖X∗ + ‖A∗x∗1‖X∗‖u(t)− u(s)‖X< ε,
se |t− s| é suficientemente pequeno dependendo de x∗1, ε. Note que D(A∗) é denso em X∗,já que X é reflexivo (veja Lemma 1.3.3).
108 Problema de Cauchy abstrato
Agora mostramos que t 7→ Au(t) é contínua, ou especificamente,
t 7→ z(t) ≡∫ t
t0
eA(t−s)Af(s, u(s))ds
é contínua. O integrando aqui é pelo menos fracamente contínuo, logo a integral faz(fraco) sentido. Primeiro observe que
z(t+ h)− z(t) = (eAh − I)z(t) +
∫ t+h
t
eA(t+h−s)Af(s, u(s))ds
e ‖Af(s, u(s))‖X é limitado, logo ‖z(t+h)−z(t)‖X → 0 quando h→ 0+ para cada t > 0;isto é, z(t) é contínua à direita. Segue que Au(t) é contínua à direita, logo s 7→ Af(s, u(s))
é também contínua a direita. Agora para cada t0 < t 6 t2
z(t)− z(t− h) =∫ t0+h
t0eA(t−s)Af(s, u(s))ds
+∫ t−ht0
eA(t−h−s)[Af(s+ h, u(s+ h))− Af(s, u(s))]ds→ 0
quando h → 0+. Logo z é também contínuo à esquerda, Au(·) é contínua e u é umasolução forte. O argumento aqui utiliza o Teorema da Convergência Dominada.
Teorema 7.4.8. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e suponha quefn : U → X, n ∈ N também satisfaz as condições do Teorema 7.4.3. Suponha queu : [t0, t1) → X é uma solução fraca de (CsL) e que fn(t, u) → f(t, u) quando n → ∞uniformemente para (t, u) em uma vizinhança de cada ponto (τ, u(τ)), t0 6 τ < t1. Sejaun,0 uma sequência em X convergente para u0 ∈ X e un uma solução fraca de
d
dtun = Aun + fn(t, un(t))
un(t0) = un,0,
(7.4.4)
em um intervalo maximal [t0, tn). Dado t0 < t∗ < t1, para n grande, un está definido em[t0, t
∗]; isto é, tn > t∗ elimn→∞
supt06t6t∗
‖un(t)− u(t)‖X = 0.
Demonstração: Pela compacidade de (τ, u(τ)) : t0 6 τ 6 t∗ ⊂ U , podemos escolherr > 0, L e εn > 0 tal que, para y, z na bola fechada de raio r em torno de u(τ),
‖f(τ, y)− f(τ, z)‖X 6 L‖y − z‖X
7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico 109
e ‖fn(τ, y)−f(τ, y)‖X 6 εn, t0 6 τ 6 t∗, εn → 0 quando n→∞. Também ‖eAt‖L(X) 6M
em 0 6 t 6 t∗ − t0.
Escolha n0 tal que n > n0 implica
M [‖un(t0)− u(t0)‖X + εn(t∗ − t0)]eML(t∗−t0) < r.
Então ‖eA(t−t0)(un(t0) − u(t0))‖X < r e ‖un(t) − u(t)‖X < r para t próximo a t0. Defato, digamos que n > n0 e ‖un(s)− u(s)‖X 6 r para t0 6 s < t 6 t∗; então
‖un(t)− u(t)‖X 6 ‖eA(t−t0)(un(t0)− u(t0))‖X
+‖∫ t
t0
eA(t−s)(fn(s, un(s))− f(s, un(s)))ds‖X
+‖∫ t
t0
eA(t−s)(f(s, un(s))− f(s, u(s)))ds‖X
6M‖un(t0)− u(t0)‖X +Mεn(t− t0)
+
∫ t
t0
ML‖un(s)− u(s)‖Xds.
A desigualdade de Gronwall mostra que ‖un(t) − u(t)‖X < r (se n > n0), logo adesigualdade vale para todo t0 6 t 6 t∗ e
‖un(t)− u(t)‖E0 6M [‖un(t0)− u(t0)‖E0 + εn(t− t0)]eML(t−t0) → 0,
quando n→∞.
Corolário 7.4.9. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e que f é tambémcontinuamente diferenciável. Dado qualquer solução fraca u : [t0, t1) → X e t0 < t∗ <
t1, existem soluções fortes un : [t0, t∗] → X, n ∈ N, tais que limn→∞ supt06t6t∗ ‖un(t) −
u(t)‖X = 0.
Demonstração: Sejam fn = f , un(t0) ∈ D(A) com ‖un(t0) − u(t0)‖X → 0 quandon→∞. Cada solução fraca un é uma solução forte pelo Teorema 7.4.5.
110 Problema de Cauchy abstrato
7.5 Exemplo: a equação do calor não-linear
Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteiraut = uxx + f(u), 0 < x < 1, t > 0
u(t, 0) = u(t, 1), ux(t, 0) = ux(t, 1), t > 0
u(0, x) = u0(x).
(7.5.1)
Este problema representa a condução de calor em um anel de comprimento um comuma fonte que depende da temperatura. Nesta seção provaremos, sob certas condições,a existência de soluções locais e globais deste problema de valor inicial e de fronteira eestudaremos o comportamento assintótico das soluções globais.
Começamos introduzindo uma estrutura abstrata conveniente. Seja X = Cp([0, 1],R)
o espaço de todas as funções contínuas um-periódicas a valores reais com a norma dosupremo; isto é, ‖u‖X = supx∈[0,1] |u(x)|. Assim X é portanto o espaço das funçõescontínuas em [0, 1] satisfazendo u(0) = u(1). Seja A o operador linear definido em X porD(A) = u ∈ X : u, u′, u′′ ∈ X onde u′ e u′′ são a primeira e segunda derivadas de u,respectivamente. Para u ∈ D(A), Au = u′′.
Lema 7.5.1. O operador A definido acima é o gerador infinitesimal de um semigrupoanalítico compacto eAt : t > 0 ⊂ L(X).
Demonstração: Como o domínio de A contém todos os polinômios trigonométricos (como período um) ele é denso em X pelo teorema de aproximação de Weierstrass. Seja g ∈ Xe λ = ρeiν com ρ > 0 e −π/2 < ν < π/2. Considere o problema de valor de fronteira λ2u− u′′ = g, x ∈ (0, 1)
u(0) = u(1), u′(0) = u′(1).(7.5.2)
Um cálculo direto mostra que este problema tem uma solução u dada por
u(x) =1
2λ sinh λ2
[∫ x
0
coshλ(x− y − 1
2)g(y)dy +
∫ 1
x
coshλ(x− y +1
2)g(y)dy
]
e que esta solução é única. Denotando por Reλ = µ = ρ cos ν > 0 e usando as desigual-
7.5 Exemplo: a equação do calor não-linear 111
dades elementares∣∣∣∣sinhλ
2
∣∣∣∣ > sinhµ
2,
∣∣∣∣coshλ(x− y ± 1
2)
∣∣∣∣ 6 coshµ(x− y ± 1
2)
encontramos
|u(x)| 6 ‖g‖X2|λ| sinh µ
2
[∫ x
0
coshµ(x− y − 12)dy +
∫ 1
x
coshµ(x− y + 12)dy
]
=‖g‖X|λ|2 cos ν
.
Fixando qualquer π/4 < ν0 < π/2 encontramos que
ρ(A) ⊃ Σ(ν0) = λ : | arg λ| < 2ν0
e também‖(λ− A)−1‖L(X) 6 (cos ν0)−1, para λ ∈ Σ(ν0).
Segue então que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo analítico eAt : t > 0.Como eAt : t > 0 é um semigrupo analítico ele é contínuo na topologia uniforme de
operadores para t > 0. Isto é uma consequência imediata da desigualdade
‖eA(t+h)x− eAtx‖X =
∥∥∥∥∫ h
0
AeA(t+s)xds
∥∥∥∥X
≤ h sups∈[0,h]
‖Ae(t+s)‖L(X)‖x‖X 6 Ct h‖x‖X
para h > 0 e t > 0. Adicionalmente, pelo Teorema de Arzelá-Ascoli, D(A) dotado danorma do gráfico (Y1) está compactamente imerso em X. Segue que para todo λ ∈ Σ(ν0),(λ − A)−1 é um operador compacto e que eAt : t > 0 é um semigrupo compacto. Aprova está completa.
Segue do Lema 7.5.1 e dos resultados deste capítulo, o seguinte resultado:
Teorema 7.5.2. Para toda função localmente Lipschitz f : R → R e para todo u0 ∈ Xexiste um t0 > 0 tal que o problema de valor inicial e de fronteira (7.5.1) tem uma únicasolução u(t, x) em [0, t0) e ou t0 =∞ ou se t0 <∞ então lim supt→t−0 ‖u(t, ·)‖X =∞.
Agora nos voltamos para o estudo das soluções globais do problema de valor inicial e
112 Problema de Cauchy abstrato
de fronteira (7.5.1) e começamos notando que as condições do Teorema 7.5.2 não implicama existência global de soluções de (7.5.1). De fato, escolhendo por exemplo f(s) = s2 eu0 ≡ 1 é fácil ver que a única solução de (7.5.1) neste caso é u(t, x) = (1−t)−1 que explodequando t→ 1.
Lema 7.5.3. Seja f uma função contínua e u uma solução de (7.5.1) em [0,∞) então oconjunto u(t) : t > 0 é precompacto em X.
Demonstração: Seja ‖u(t)‖X 6 K para t > 0. A continuidade de f implica que‖f(u(t))‖X 6 N para alguma constante N . Seja eAt : t > 0 o semigrupo gerado por Ae recorde que pelo Lema 7.5.1, eAt é compacto para t > 0. Sejam 0 < ε < 1, t > ε e faça
u(t) = eAεu(t− ε) + [u(t)− eAεu(t− ε)] .= uε(t) + vε(t).
O conjunto uε(t) : t > 1 é precompacto em X pois u(t− ε) : t > 1 é limitado e eAε
é compacto. Também,
‖vε(t)‖X =
∥∥∥∥∫ t
t−εeA(t−s)f(u(s))ds
∥∥∥∥X
6∫ t
t−ε‖eA(t−s)‖L(X)‖f(u(s))‖X 6 εMN
onde M = sup‖eAt‖L(X) : 0 6 t 6 1. Portanto u(t) : t > 1 é totalmente limitado eportanto pré-compacto. Como u(t) : 0 6 t 6 1 é compacto o resultado segue.
Lema 7.5.4. Seja f localmente Lipschitz contínua. Se para algum u0 ∈ X o problema(7.5.1) tem uma solução global limitada u(t, x) então existe uma sequência tk → ∞ talque
limtk→∞
u(tk, x) = φ(x),
onde φ(x) é uma solução do problema de valor de fronteira φ′′ + f(φ) = 0, x ∈ (0, 1)
φ(0) = φ(1), φ′(0) = φ′(1).
7.5 Exemplo: a equação do calor não-linear 113
Demonstração: Multiplicando a equação (7.5.1) por ut e integrando em x e t temos∫ T
1
∫ 1
0
|ut|2dx dt+12
∫ 1
0
|ux(T, x)|2dx−∫ 1
0
F (u(T, x))dx
6 12
∫ 1
0
|ux(1, x)|2dx−∫ 1
0
F (u(1, x))dx
(7.5.3)
onde F (s) =
∫ x
0
f(r)dr. Como |u(t, x)| 6 K para alguma constante K, deduzimos de
(7.5.3) que ∫ ∞1
∫ 1
0
|ut|2dx dt <∞.
Portanto existe uma sequência tj →∞ para a qual limtj→∞ ut(tj, x) = 0 quase sempreem [0, 1], ou limtj→∞ ut(tj) = 0 em L2(0, 1). Do Lema 7.5.3 segue que para uma subsequên-cia de tj que denotaremos por tk temos limtk→∞ u(tk, x) = φ(x) uniformemente para0 6 x 6 1. Portanto
limtk→∞
f(u(tk, x)) = f(φ(x)),
uniformemente para 0 6 x 6 1. Passando o limite quando t → ∞ através da sequênciatk, na equação (7.5.1) no sentido de L2(0, 1) e usando o fato que Au = u′′ é fechadocomo um operador em L2(0, 1) encontramos que φ′′(x) + f(φ(x)) = 0 em L2(0, 1). Comof(φ(x)) é contínua a equação vale no sentido clássico. Adicionalmente, as condições deperiodicidade estão satisfeitas para φ(x) já que elas estão satisfeitas para u(t, x).
Corolário 7.5.5. Se f é localmente Lipschitz contínua e f(s) 6= 0 para todo s ∈ R, entãoo problema de valor inicial (7.5.1) não tem soluções limitadas.
Demonstração: Se f(s) 6= 0 o problema de valor de fronteira (7.5.4) não tem solução.De fato, integrando a equação φ′′ + f(φ) = 0 em [0, 1] resulta
φ′(1)− φ′(0) = −∫ 1
0
f(φ(s))ds 6= 0
e portanto as condições de fronteira não podem estar satisfeitas. Portanto pelo Lema7.5.4 não pode haver solução limitada de (7.5.1).
Teorema 7.5.6. Se f é localmente Lipschitz contínua e sf(s) < 0 para todo s 6= 0
então todas as soluções do problema de valor inicial e de fronteira (7.5.1) são limitadas.Adicionalmente, toda solução de (7.5.1) tende a zero quando t→∞.
114 Problema de Cauchy abstrato
Demonstração: A limitação das soluções e ainda mais a estimativa:
max06x61
|u(t, x)| 6 max06x61
|u(s, x)|, t > s, (7.5.4)
são consequências imediatas do princípio do máximo. Portanto todas as soluções doproblema de valor inicial (7.5.1) são limitadas. Adicionalmente do Lema 7.5.4 sabemosque para alguma sequência tk → ∞, u(tk, x) → φ(x) onde φ é uma solução do problemade valor de fronteira (7.5.4). Mas a única solução deste problema de valor de fronteira éφ ≡ 0. Isto pode ser visto multiplicando φ′′ + f(φ) = 0 por φ e integrando em [0, 1] paraobter ∫ 1
0
|φ′(x)|2dx 6 0
o que implica φ′ ≡ 0 e φ = const. Contudo a única solução f(s) = 0 é s = 0 e portantoφ ≡ 0. Portanto temos que
limtk→∞
u(tk, x) = 0. (7.5.5)
Combinando (7.5.4) com (7.5.5) obtemos que u(t, x)→ 0 quando t→∞.
Apêndice
ACálculo de funções vetoriais
A.1 Funções analíticas vetoriais
Se X é um espaço de Banach, r > 0 e x ∈ X, a bola aberta (fechada) de centro em x eraio r em X é denotada por BX
r (x) (BX
r (x)) ou simplesmente por Br(x) (Br(x)) quandoestiver claro qual é o espaço de Banach envolvido.
Se Ω ⊂ C é um conjunto aberto e X é um espaço de Banach sobre C, diremos queuma função f : Ω→ X é analítica em Ω se, para cada λ0 ∈ Ω existe f ′(λ0) ∈ X tal que
limλ→λ0
f(λ)− f(λ0)
λ− λ0
= f ′(λ0).
O vetor f ′(λ0) é chamado derivada de f em λ0. Observe que, se f : Ω→ X é analíticae x∗ ∈ X∗, então h .
= x∗f : Ω→ C é analítica e h′(λ0) = x∗(f ′(λ0)). Surpreendentemente(já que, em geral, convergência fraca não implica convergência forte), a recíproca tambémé verdadeira.
Teorema A.1.1. Sejam X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto deC e f : Ω→ X uma função tal que x∗ f : Ω→ C é analítica para todo x∗ ∈ X∗. Entãof : Ω→ X é analítica.
Demonstração: Seja λ0 ∈ Ω. Como X é completo, é suficiente provar que para cadaλ0 ∈ Ω, a expressão
f(λ)− f(λ0)
λ− λ0
− f(µ)− f(λ0)
µ− λ0
116 Cálculo de funções vetoriais
tende a zero quando λ e µ tendem a λ0.
Escolha r > 0 tal que o Br(λ0) ⊂ Ω e denote por γ fronteira de Br(λ0) orientadano sentido anti-horário. Para cada x∗ ∈ X∗ a função x∗ f : Br(λ0) → C é contínua eportanto limitada. Do Princípio da Limitação Uniforme, existe uma constante M > 0 talque
‖f(ξ)‖X 6M, para todo ξ ∈ Br(λ0). (A.1.1)
Pela fórmula integral de Cauchy, se ζ ∈ B r2, temos
x∗(f(ζ)) =1
2πi
∫γ
x∗(f(ξ))
ξ − ζdξ. (A.1.2)
Agora, se x∗ ∈ X∗ e λ, µ ∈ B r2(λ0), utilizando (A.1.2) para ζ igual a λ, µ e λ0, obtemos
x∗[f(λ)−f(λ0)
λ−λ0
− f(µ)−f(λ0)
µ−λ0
]=
1
2πi
∫γ
(λ−µ) x∗(f(ξ))
(ξ−λ)(ξ−µ)(ξ−λ0)dξ. (A.1.3)
Nossa escolha de λ e µ assegura que |λ − ξ| > r2e |µ − ξ| > r
2. Disto e de (A.1.1),
segue de (A.1.3) que∣∣∣∣x∗ [f(λ)− f(λ0)
λ− λ0
− f(µ)− f(λ0)
µ− λ0
]∣∣∣∣ 6 4r−2M‖x∗‖X∗ |λ− µ|.
Logo,∥∥∥∥f(λ)−f(λ0)
λ−λ0
− f(µ)−f(λ0)
µ−λ0
∥∥∥∥X
= supx∗∈X∗‖x∗‖X∗=1
∣∣∣∣x∗ [f(λ)−f(λ0)
λ−λ0
− f(µ)−f(λ0)
µ−λ0
]∣∣∣∣6 4r−2M |λ− µ|,
o que conclui a demonstração.
A seguir, consideramos funções definidas em subconjuntos abertos de C com valoresno espaço dos operadores lineares e contínuos entre dois espaços de Banach.
Teorema A.1.2. Sejam X, Y , espaços de Banach sobre C e Ω um subconjunto abertode C. Se T : Ω→ L(X, Y ), as seguintes afirmativas são equivalentes:
(a) Para cada x ∈ X e y∗ ∈ Y ∗, a função Ω 3 λ 7→ y∗(T (λ)x) ∈ C é analítica.
(b) Para cada x ∈ X, a função Ω 3 λ 7→ T (λ)x ∈ Y é analítica.
A.2 Curvas retificáveis 117
(c) A função Ω 3 λ 7→ T (λ) ∈ L(X, Y ) é analítica.
Demonstração: A prova de (a)⇒ (b) segue diretamente do Teorema A.1.1, a prova de(b)⇒ (c) é análoga à prova do Teorema A.1.1 e a prova de (c)⇒ (a) é imediata.
Estes teoremas permitem que uma parte significativa da teoria de funções de variáveiscomplexas possa ser transferida para funções com valores vetoriais sem muito esforçoadicional.
A.2 Curvas retificáveis
Dados a, b ∈ R com a < b, uma partição P do intervalo [a, b] é uma coleção de pontost0, t1, · · · , tnP , nP ∈ N∗ .= N\0, tal que a = t0 < t1 < · · · < tnP = b. A malha ‖P‖ deuma partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b é o comprimento do maior dos sub-intervalosdeterminados por ela; isto é, ‖P‖ = maxti − ti−1 : 1 6 i 6 nP.
Definição A.2.1.
(i) Uma curva é uma função contínua γ : [a, b]→ C.
(ii) Se γ : [a, b] → C é diferenciável e γ′ : [a, b] → C é contínua, diremos que γ é umacurva suave.
(iii) Uma curva γ : a, b] → C é dita suave por partes se existe uma partição P : a =
t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b] tal que γi : [ti−1, ti] → C dada porγi(t) = γ(t), t ∈ [ti−1, ti], é suave i = 1, · · · , nP .
(iv) Uma curva γ : [a, b] → C é uma poligonal se existe uma partição P : a = t0 <
t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b] tal que
γ(t) =γ(ti−1)(ti − t) + γ(ti)(t− ti−1)
ti − ti−1
, t ∈ [ti−1, ti], 1 6 i 6 nP .
(v) Uma curva γ : [a, b] → C é de variação limitada se existe uma constante M > 0
tal que, para toda partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b]
v(γ, P ).=
nP∑i=1
|γ(ti)− γ(ti−1)| 6M.
118 Cálculo de funções vetoriais
Se γ : [a, b]→ C é de variação limitada, a variação de γ é definita por
V (γ)].= supv(γ, P ) : P é uma partição de [a, b].
Quando for importante especificar o intervalo de definição da curva γ escreveremosV (γ, [a, b]) para denotar a variação da curva γ : [a, b]→ C.
Exercício A.2.2. Se γ : [a, b]→ C for de variação limitada V (γ, [a, b]) então |γ| : [a, b]→C definida por |γ|(t) = V (γ, [a, t]) será de variação limitada e V (γ, [a, b]) = V (|γ|, [a, b]).
Proposição A.2.3. Sejam γ, σ : [a, b]→ C curvas de variação limitada.
(a) Se P,Q são partições de [a, b] com P ⊂ Q, então
v(γ, P ) 6 v(γ,Q).
(b) Se α, β ∈ C, então αγ + βσ : [a, b]→ C definida por (αγ + βσ)(t) = αγ(t) + βσ(t),t ∈ [a, b] é de variação limitada e V (αγ + βσ) 6 |α|V (γ) + |β|V (σ).
Demonstração: Exercício.
Proposição A.2.4. Se γ : [a, b]→ C é suave por partes, então γ é de variação limitadae
V (γ) =
∫ b
a
|γ′(t)|dt.
Demonstração: Faremos apenas a prova para o caso em que γ é suave. O caso geral édeixado como exercício para o leitor.
Note que, para toda partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b], temosque
v(γ, P ) =
nP∑i=1
|γ(ti)− γ(ti−1)| =nP∑i=1
|∫ ti
ti−1
γ′(t)dt| 6nP∑i=1
∫ ti
ti−1
|γ′(t)|dt
=
∫ b
a
|γ′(t)|dt.
Consequentemente
V (γ) 6∫ b
a
|γ′(t)|dt.
A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas 119
Como γ′ : [a, b] → C é uniformemente contínua, dado ε > 0, existe δ1 > 0 talque, para todo t, s ∈ [a, b] com |t − s| < δ1, temos que |γ′(t) − γ′(s)| < ε
2(b−a). Seja
δ2 > 0 tal que, para toda partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b com malha‖P‖ = maxti − ti−1 : 1 6 i 6 nP < δ2, temos que∣∣∣∣∣
∫ b
a
|γ′(t)|dt−nP∑i=1
|γ′(τi)|(ti − ti−1)
∣∣∣∣∣ < ε
2,∀ τi ∈ [ti−1, ti].
Logo, se ‖P‖ < minδ1, δ2,∫ b
a
|γ′(t)|dt 6 ε
2+
nP∑i=1
|γ′(τi)|(ti − ti−1) =ε
2+
nP∑i=1
∣∣∣∣∫ ti
ti−1
γ′(τi)dt
∣∣∣∣6ε
2+
nP∑i=1
∣∣∣∣∫ ti
ti−1
γ′(t)dt
∣∣∣∣+
nP∑i=1
∣∣∣∣∫ ti
ti−1
[γ′(τi)− γ′(t)]dt∣∣∣∣
6 ε+
nP∑i=1
|γ(ti)− γ(ti−1)| 6 ε+ V (γ).
Como ε > 0 é arbitrário, segue que∫ b
a
|γ′(t)|dt 6 V (γ)
e a prova está completa.
Observação A.2.5. O conjunto γ = γ(t) : t ∈ [a, b] é chamado traço da curva
γ : [a, b] → C. Se γ : [a, b] → C é uma curva de variação limitada, a sua variação V (γ)
é comprimento de γ. O resultado anterior nos diz que, a noção usual de comprimentopara o traço de uma curva suave por partes é estendida pela noção de variação às curvasde variação limitada.
Definição A.2.6. Seja γ : [a, b] → C uma curva. Diremos que γ é retificável se γ forde variação limitada.
Diremos que γ é fechada se γ(a) = γ(b) e diremos γ é simples se γ : [a, b)→ C forinjetiva.
A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas
Teorema A.3.1. Seja X um espaço de Banach sobre K, γ : [a, b] → K uma curvaretificável e f : [a, b] → X uma função contínua. Então, existe um vetor I em X com a
120 Cálculo de funções vetoriais
seguinte propriedade: Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b
é uma partição de [a, b] com ‖P‖ < δ, então∥∥∥∥∥I −nP∑i=1
f(τi)[γ(ti)− γ(ti−1)]
∥∥∥∥∥X
< ε, (A.3.1)
para qualquer escolha de τi ∈ [ti−1, ti], 1 6 i 6 np. Este vetor I é denotado por∫ b
a
fdγ.
Demonstração: Seja δm uma seqüência estritamente decrescente em (0,∞) com aseguinte propriedade: se t, s ∈ [a, b] e |t − s| < δm, então ‖f(t) − f(s)‖X < 1
m, m ∈ N∗.
Para m ∈ N∗ defina
Pm = partições de [a, b] com malha ‖P‖ < δm.
Defina ainda
Fm =
nP∑i=1
f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1) : P ∈ Pm e τi ∈ [ti−1, ti]
.
Claramente P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ · · · e F1 ⊃ F2 ⊃ F2 ⊃ · · · . Suponha que diam(Fm) 62mV (γ) e seja I o único vetor em ∩m≥1Fm. Dado ε > 0 escolham > 2
εV (γ). Como I ∈ Fm,
se tomamos P ∈ Pm, temos que∥∥∥∥∥I −nP∑i=1
f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1))
∥∥∥∥∥X
6 diam(Fm) 62
mV (γ) < ε,
para cada escolha de τi ∈ [ti−1, ti], 1 6 i 6 nP .
Assim, dado ε > 0, escolhendo m > 2εV (γ) e δ = δm temos que, se P : a = t0 < t1 <
· · · < tnP = b é uma partição de [a, b] com ‖P‖ < δ, então (A.3.1) vale.
Para concluir a prova, basta mostrar que diam(Fm) 6 2mV (γ). Primeiramente mos-
tremos que, se P ∈ Pm e P ⊂ Q, então
‖S(P )− S(Q)‖X <1
mV (γ) (A.3.2)
onde
S(P ) =
nP∑i=1
f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1)), τi ∈ [ti−1, ti]
A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas 121
e
S(Q) =
nQ∑i=1
f(σi)(γ(si)− γ(si−1)), σi ∈ [si−1, si].
O vetor S(P ) é chamado uma soma de Riemann-Stieltjes associada à partição P .Se P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b e Q : a = t0 < t1 < · · · < tp−1 < t∗ < tp < · · · <
tnP = b, temos que
S(Q).=
nQ∑i=1
f(σi)(γ(si)− γ(si−1))
=
nP∑i=1i 6=p
f(σi)(γ(ti)− γ(ti−1)) + f(σ)[γ(t∗)− γ(tp−1)] + f(σ′)[γ(tp)− γ(t∗)]
S(P ).=
nP∑i=1
f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1))
=
nP∑i=1i 6=p
f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1)) + f(τp)[γ(t∗)− γ(tp−1)] + f(τp)[γ(tp)− γ(t∗)]
e
‖S(Q)− S(P )‖X 6nQ∑i=1
1
m|γ(si)− γ(si−1)| = 1
mv(γ,Q) 6
1
mV (γ).
Isto prova (A.3.2) para P ∈ Pm e Q = P ∪t∗. O caso geral em que P ⊂ Q é deixadocomo exercício.
Se P e Q são duas partições quaisquer em Pm, então
‖S(Q)− S(P )‖X 6 ‖S(Q)− S(P ∪Q)‖X + ‖S(P ∪Q)− S(P )‖X 62
mV (γ).
Isto conclui a prova da estimativa diam(Fm) 6 2mV (γ) e completa a prova do teorema.
Exercício A.3.2. Se f, g : [a, b]→ X são funções contínuas e γ, σ : [a, b]→ K são curvasretificáveis, mostre que:
(i)∫ b
a
(αf + βg) dγ = α
∫ b
a
f dγ + β
∫ b
a
g dγ,
(ii)∫ b
a
f d(αγ + βσ) = α
∫ b
a
f dγ + β
∫ b
a
f dσ,
(iii)∫ b
a
f dγ =k∑i=1
∫ ti
ti−1
f dγ, a = t0 < t1 < · · · < tk = b.
122 Cálculo de funções vetoriais
(iv)∫ b
a
f dγ 6∫ b
a
‖f‖X d|γ|
Definição A.3.3. Seja X um espaço de Banach sobre C, γ : [a, b] → C uma curvaretificável, e f : γ ⊂ C → X uma função contínua. A integral de linha de f ao longode γ é definida por ∫ b
a
f γ dγ
e denotada por ∫γ
f(z)dz ou simplesmente∫γ
f.
Teorema A.3.4. Se X, Y são espaços de Banach sobre C, T ∈ L(X, Y ), γ : [a, b]→ C éuma curva retificável e f : γ → X é contínua, então
T
(∫γ
f(z)dz
)=
∫γ
T (f(z))dz (A.3.3)
Demonstração: Basta lembrar que ambas as integrais em (A.3.3) são limites de somasde Riemann-Stieltjes, que T é contínua e linear.
Teorema A.3.5. Se Xé um espaço de Banach sobre C, γ : [a, b]→ C é uma curva suavepor partes e f : γ → X é contínua, então∫
γ
f(z)dz =
∫ b
a
f(γ(t))γ′(t) dt
Demonstração: Sabemos que o resultado é verdadeiro se X = C. Consequentemente,usando o Teorema A.3.4, temos que
y∗(∫
γ
f(z) dz
)=
∫γ
y∗f(z) dz =
∫ b
a
y∗(f(γ(t))γ′(t))dt
= y∗(∫ b
a
f(γ(t))γ′(t)dt
),
para todo y∗ ∈ Y ∗. O resultado agora segue do Teorema de Hahn-Banach.
A.4 Teoremas de Cauchy e expansão em séries
Definição A.4.1. Um subconjunto Ω de C é chamado um domínio de Cauchy se é aberto,possui um número finito de componentes conexas e a fronteira de Ω é composta por um
A.4 Teoremas de Cauchy e expansão em séries 123
número finito de curvas fechadas, retificáveis e simples. A fronteira de Ω orientada posi-tivamente é denotada por +∂Ω.
Teorema A.4.2. Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um domínio de Cauchy limi-tado e f : Ω→ X uma função contínua que é analítica em Ω. Então∫
+∂Ω
f(z)dz = 0.
Para n = 0, 1, 2, · · · , a n−ésima derivada f (n) de f é analítica em Ω e
f (n)(λ) =n!
2πi
∫+∂Ω
f(z)
(z − λ)n+1dz
Demonstração: Primeiramente note que, z 7→ x∗(f(z)) é analítica e que sua derivadaé z 7→ x∗f ′(z) = d
dz(x∗f)(z). Como z 7→ d
dz(x∗f)(z) é analítica, segue do Teorema
A.1.1 que z 7→ f ′(z) é analítica. Segue por indução que z 7→ f (n)(z) é analítica para todon ∈ N.
Com isto, a prova do resultado é feita utilizando o resultado correspondente parafunções a valores complexos; isto é, para todo x∗ ∈ X∗ temos que∫
+∂Ω
x∗f(z) dz = x∗(∫
+∂Ω
f(z)dz
)= 0
e para n = 0, 1, 2, · · · , a n−ésima derivada (x∗f)(n) de x∗f é analítica em Ω e
x∗(f (n)(λ)) = (x∗f)(n)(λ) =n!
2πi
∫+∂Ω
(x∗f)(z)
(z − λ)n+1dz
= x∗(n!
2πi
∫+∂Ω
f(z)
(z − λ)n+1dz
).
O resultado agora segue como antes.
Corolário A.4.3. Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto deC, f : Ω → X uma função analítica, λ0 ∈ Ω e r0 > 0 tal que Br0(λ0) ⊂ Ω. SeMr0 = max‖f(z)‖X : z ∈ Br0(λ0), então
‖f (n)(λ0)‖X 6 n!Mr0
rn0, n = 0, 1, 2, · · ·
124 Cálculo de funções vetoriais
e consequentemente, se r < r0, a série
∞∑n=0
(λ− λ0)nf (n)(λ0)
n!
converge uniformemente para λ em Br(λ0) e
f(λ) =∞∑n=0
(λ− λ0)nf (n)(λ0)
n!.
Para 0 6 a < b e ζ ∈ C, denote por A(ζ, a, b) o anel λ ∈ C : 0 6 a < |λ− ζ| < b.
Corolário A.4.4. Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto deC, f uma função analítica em um anel A = λ ∈ C : 0 6 R1 < |λ − λ0| < R2. Sejamr, r1, r2 números reais positivos tais que 0 6 R1 < r1 < r < r2 < R2 e γ(t) = λ0 + re2πit,t ∈ [0, 1]. Defina
an =1
2πi
∫γ
f(ξ)
(ξ − λ0)n+1dξ, n ∈ Z.
Se Mr1,r2 = max‖f(z)‖X : z ∈ A(λ0, r1, r2), então
‖an‖X 6Mr1,r2
rn, n ∈ Z
e consequentemente, se r1 < ρ1 < ρ2 < r2, a série
∞∑n=−∞
(λ− λ0)nan
converge uniformemente para λ em A(λ0, ρ1, ρ2) e
f(λ) =∞∑
n=−∞
(λ− λ0)nan.
A.5 Teorema do máximo módulo
Teorema A.5.1. Seja X um espaço de Banach complexo e Ω um sub-conjunto aberto econexo de C. Seja f : Ω→ X uma função analítica em Ω e suponha que ‖f(λ)‖X não éconstante em Ω. Então ‖f(λ)‖X não pode atingir um máximo absoluto em nenhum pontode Ω.
A.5 Teorema do máximo módulo 125
Prova: Suponha que existe λ0 ∈ Ω tal que ‖f(λ0)‖X > ‖f(λ)‖X para todo λ ∈ Ω. DoTeorema de Hanh-Banach, existe x∗ ∈ X∗ com ‖x∗‖X∗ = 1 tal que x∗(f(λ0)) = ‖f(λ0)‖X .Segue que g = x∗f é uma função analítica em Ω com |g(λ)| 6 |g(λ0)| para todo λ ∈ Ω.Do Teorema do Máximo Módulo para funções com valores em C, g é constante em Ω ex∗(f(λ)) = ‖f(λ0)‖X para todo λ ∈ Ω. Por outro lado, ‖f(λ0)‖X = x∗(f(λ)) 6 ‖f(λ)‖Xpara todo λ ∈ Ω e chegamos a uma contradição com o fato que ‖f(λ)‖X não é constante.
Referências Bibliográficas
[1] S. Agmon, A. Douglis, and L. Nirenberg. Estimates near the boundary for solutions ofelliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I. Comm.Pure Appl. Math., 12:623–727, 1959.
[2] H. Amann. Linear and quasilinear parabolic problems. Vol. I. Birkhäuser Verlag,Basel, 1995.
[3] H. Brézis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Uni-versitext. Springer, New York, 2011.
[4] P. Chernoff. Note on product formulas for operator semi-groups. J. Func. Anal.,2:238–242, 1968.
[5] A.M. Gomes, Semigrupos de operadores lineares e aplicações às equações de evolução.Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2011.
[6] D. B. Henry. Semigroups. Handwritten Notes. IME-USP, São Paulo SP, Brazil, 1981.
[7] A. Pazy. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equa-tions. Springer-Verlag, New York, 1983.
[8] H.F. Trotter. On the product of semi-groups of operators. Proc. Amer. Math. Soc.,10:545–551, 1959.