Dengeleme Hesabı-II
117
DENGELEME HESABI-II DERS NOTLARI Jeodezik Ağların Dengelenmesi Doç. Dr. Temel BAYRAK 2011 - GÜMÜŞHANE
-
Upload
sauronarda-durmus -
Category
Documents
-
view
705 -
download
74
Transcript of Dengeleme Hesabı-II
DENGELEME HESABI-II DERS NOTLARI Jeodezik Alarn Dengelenmesi Do. Dr. Temel BAYRAK 2011 - GMHANE DENGELEME HESABI-II DERS NOTLARI Jeodezik Alarn Dengelenmesi Bu kitabn her hakk sakldr. Yazarn yazl izni olmakszn kitabn tamam veya herhangi bir blm hibir ekilde oaltlp yaynlanamaz. Do. Dr. Temel BAYRAK 2011 GMHANE Yazar adresi: Gmhane niversitesi ISBN: 978-605-61712-1-5 Mhendislik Fakltesi Harita Mhendislii Blm Balarba Mahallesi 29100 GMHANE E-mail: [email protected] Tel: +90 456 2337425 6 1230 NSZ Dengeleme Hesab-II ders notu niteliindeki bu kitap Harita Mhendislii Blm rencilerinin kaynak ihtiyacn gidermek zere hazrlanmtr. Bu kitabn renciler iin bir ders arac olmas ana ama olarak benimsenmitir. Konular kendiliinden renmeye uygun bir biimde ele alnm ve kitapta yeterli sayda uygulama verilmeye allmtr. Kitabn yararl olmasn temenni ederim. Do. Dr. Temel BAYRAK Gmhane 2011 NDEKLER indekiler Sayfa No 1. GR 1 2. DOLAYLI LLER DENGELEMES 1 3. DORULTU AINDA YNELTME BLNMEYENLERNN NDRGENMES 13 4. DORULTU ALARININ DENGELENMES 18 5. KENAR ALARININ DENGELENMES 30 6. DORULTU-KENAR ALARININ DENGELENMES 37 7. NVELMAN ALARININ DENGELENMES 45 8. TRGONOMETRK NVELMAN ALARININ DENGELENMES 56 8.1. Dey Alarla Dengeleme 57 8.2. Ykseklik Farklarna Gre Dengeleme 64 9. GPS ALARININ DENGELENMES 72 10. GPS NVELMANI 83 11. SERBEST ALARIN DENGELENMES 90 12. MODEL HPOTEZNN TEST ve UYUUMSUZ LLER TEST 101 13. K BOYUTLU BENZERLK (HELMERT) DNM 105 1 1. GR 2. DOLAYLI LLER DENGELEMES = x A v Matris formatnda Fonksiyonel Model = n n n n n dudydxc b ac b ac b avvv212 2 21 1 121 n l says, im gzlemlerin duyarlklar ve j iijijm mmr= korelasyon katsays olmak zere korelasyonlu ve duyarlklar (arlklar) farkl olan ller iin genel bir Varyans-Kovaryans matrisi aadaki gibi kurulabilir. =23 2 1323 23 132 2322 121 13 1221n n n nnnnm m m mm m m mm m m mm m m mK j i ij ij m m r m = =23 3 2 2 1 13 323 3 2 23 3 1 132 2 3 2 2322 2 1 121 1 3 1 13 2 1 1221n n n n n n nn nn nn nm m m r m m r m m rm m r m m m r m m rm m r m m r m m m rm m r m m r m m r mK llerin Q ters arlk matrisi (20s : ncl varyans olmak zere) Q s K =20 20sKQ = 2 = =23 2 1323 23 132 2322 121 13 1221203 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 111n n n nnnnnn n n nnnnm m m mm m m mm m m mm m m msq q q qq q q qq q q qq q q qQ llerin arlk matrisi 1 = Q p (Stokastik Model) = = nn n n nnnnp p p pp p p pp p p pp p p pQ p3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 111 Arlklar Farkl ve Korelsyonlu ller iin ama fonksiyonu min1= =v p v v Q v T T 0 = nTNTp A x A p A Matris formatnda Normal denklemler Normal Denklem Katsaylar matrisi A p A N T= Bilinmeyenler Vektr x Sabit terimler p A n T= Normal denklemler simetriktir. Denklem says bilinmeyen says kadardr. Normal Denklemlerin zm ve Bilinmeyenlerin Hesab ( ) ( ) = = p A A p A n N x T T11 bilinmeyenler zlm olur. 3 Bilinmeyenlerin Kesin Deeri Bilinmeyenlerin yaklak deerlerine normal denklemlerin zmnden elde edilen dengeleme bilinmeyenleri eklenerek bilinmeyenlerin kesin deerleri elde edilmi olur. Bilinmeyenlerin kesin deeri = Bilinmeyenlerin yaklak deeri + Dengeleme bilinmeyenleri du u udy y ydx x x+ = + = + =000 uyx = 000uyx + dudydx Dzeltmelerin Hesab Elde edilen du dz dy dx , , , , dengeleme bilinmeyenleri, dzeltme denklem eitliklerinde yerine konarak dzeltmelerin saysal deerleri elde edilir. = x A v =n n n n n dudydxc b ac b ac b avvv212 2 21 1 121 Dzeltmelerin Denetimi 0 = v p AT v p v p v T T = x n p v p v T T T = 4 Dengeli ller Dzeltmeler llere eklenerek dengeli ller hesaplanr. Bu deerler dorusal olmalar gerekmeyen ilk dzeltme denklemlerinde yerine konarak aadaki art saladklar denetlenir. Bu ilem dengeleme ilemlerinin tmnn hesap hatalarndan arndrlm olduunu gsterir. i i i v + = +=n nn vvv212121 ) ,..., , , (0 0 0 0 du u dz z dy y dx x v L i i i + + + + = + Karesel Ortalama Hata u nv p vmT =0 f = n-u fazla l says (serbestlik derecesi) n: l says u: bilinmeyen says Karesel ortalama hata (KOH) Duyarlklar farkl gzlemlerin ortalama hatas (standart sapmas) Ortalama hata Arl 1 = p olan lnn ortalama hatas Birim arlkl lnn standart sapmas RMS (Root Mean Square) Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ( ) = = zz yz xzyz yy xyxz xy xxTxxq q qq q qq q qA p A Q1 Bilinmeyenlerin ters arlk matrisi 5 Bilinmeyenlerin ortalama hatalar xx x q m m0 = yy y q m m0 = zz z q m m0 = llerin Ortalama Hatas llerin ters arlk matrisinden =nn n n nnnnq q q qq q q qq q q qq q q qQ3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11 i iiQ m m =0 llerin arlk matrisinden 1 = Q p =33 23 1323 22 1213 12 11p p pp p pp p pp iipmmi0 = Dengeli llerin Ortalama Hatas Txx A Q A Q = Dengeli llerin kovaryans matrisi i i iQ m m 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 6 i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar Not: vvQ matrisi kaba hatal ya da uyuumsuz llerin aratrlmasnda kullanlr. rnek: Aada matris formatnda bir fonksiyonel model verilmitir. Bu modele ait Stokastik model iin veriler tabloda verilmitir. ncl karesel ortalama hata 6 . 1 0 = s mm olduuna gre, duyarlklar farkl olan bu lleri dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz. =99 . 526 . 358 . 12232 . 0 9747 . 01398 . 0 9902 . 09979 . 0 0639 . 0321dydxvvv Dengeleme kararnn verilmesi l says n = 3 Bilinmeyen says u = 2 Serbestlik derecesi = fazla l says = f = n u = 1 > 0 dengeleme var. Stokastik model Arlklar farkl ve korelasyon var =23 3 2 23 3 1 133 2 2322 2 1 123 1 13 2 1 1221m m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK =22290 . 0 90 . 0 69 . 0 8 . 0 90 . 0 94 . 0 8 . 090 . 0 69 . 0 8 . 0 69 . 0 69 . 0 94 . 0 8 . 090 . 0 94 . 0 8 . 0 69 . 0 94 . 0 8 . 0 94 . 0K =8100 . 0 4968 . 0 6768 . 04968 . 0 4761 . 0 5189 . 06768 . 0 5189 . 0 8836 . 0K Q s K =20 20mKQ = =1m 0.94 mm =ijr 0.8 =2m 0.69 mm =3m 0.90 mm 7 =8100 . 0 4968 . 0 6768 . 04968 . 0 4761 . 0 5189 . 06768 . 0 5189 . 0 8836 . 06 . 112Q =3164 . 0 1941 . 0 2644 . 01941 . 0 1860 . 0 2027 . 02644 . 0 2027 . 0 3452 . 0Q ja1 ja2 ja3 je1 je2 je3 0.3452 0.2027 0.2644 1 0 0 -1 -0.5872 -0.7659 -2.8969 0 0 0.1860 0.1941 0 1 0 0.0670 0.0388 -0.5872 1 0 -1 -0.5800 8.7673 -14.9309 0 0.3164 0 0 1 0.0914 -0.4254 -0.5800 1 -1 4.5660 6.3487 -10.9460 -10.0255 6.0669 4.6560 = p -18.6130 6.3487 -10.9460 = = 9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 101 Q p Normal Denklemlerinin kurulmas ve zm p 9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 10 2232 . 0 1398 . 0 9979 . 09747 . 0 9902 . 0 0639 . 0 TA 3171 . 1 0771 . 10 8177 . 92408 . 17 2240 . 24 8343 . 0 p AT 8 A 2232 . 0 9747 . 01398 . 0 9902 . 09979 . 0 0639 . 0 99 . 526 . 358 . 1 3171 . 1 0771 . 10 8177 . 92408 . 17 2240 . 24 8343 . 0 p AT 9118 . 10 0672 . 80672 . 8 7380 . 40 A p A N T= 4737 . 405611 . 183 p A n T= ja1 ja2 je1 je2 40.7380 8.0672 1 0 -1 -0.1980 -0.0245 0 10.9118 0 1 9.3143 -0.1980 1 -1 0.0213 -0.1074 -0.0288 0.0213 = xxQ -0.1074 = =4737 . 405611 . 183 p A n T = = 1074 . 0 0213 . 00213 . 0 0288 . 01N Qxx ==44 . 042 . 4dydxx mm Bilinmeyenlerin Kesin Deeri +=dydxyxyx00 Dzeltmelerin Hesab = x A v =44 . 042 . 4x =2232 . 0 9747 . 01398 . 0 9902 . 09979 . 0 0639 . 0A 99 . 526 . 358 . 141 . 444 . 416 . 0 x A 58 . 118 . 142 . 1 = x A v 9 Dzeltmelerin Denetimi p 9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 10 v 58 . 118 . 142 . 1 2232 . 0 1398 . 0 9979 . 09747 . 0 9902 . 0 0639 . 0 TA =00 . 000 . 0pv AT p 9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 10 v 58 . 118 . 142 . 1 [ ] 58 . 1 18 . 1 42 . 1 =Tv [ ] 57 . 8 = v p vT v p v p v T T = p 9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 10 v 58 . 118 . 142 . 1 [ ] 99 . 5 26 . 3 58 . 1 = T [ ] 57 . 8 = pvT x n p v p v T T T = p 9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 10 99 . 526 . 358 . 1 [ ] 99 . 5 26 . 3 58 . 1 = T = pT =44 . 042 . 4x [ ] 4737 . 40 5611 . 183 =Tn = x nT 10 Dengeli ller i i i v + = +=321321321vvv Karesel Ortalama Hata 93 . 22 357 . 80 = = =u nv p vmT mm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas = = 1074 . 0 0213 . 00213 . 0 0288 . 01N Qxx Bilinmeyenlerin ters arlk matrisi 50 . 0 0288 . 0 93 . 20 = = = xx x q m m mm Bilinmeyenlerin ortalama hatalar 96 . 0 1074 . 0 93 . 20 = = = yy y q m m mm llerin Ortalama Hatas =9460 . 10 3487 . 6 6560 . 43487 . 6 6130 . 18 0669 . 66560 . 4 0669 . 6 0255 . 10p ipmmi0 = 28 . 90255 . 1093 . 2101 = = =pmm mm 64 . 126130 . 1893 . 2202 = = =pmm mm 69 . 99460 . 1093 . 2303 = = =pmm mm 11 Dengeli llerin Ortalama Hatas Txx A Q A Q = Dengeli llerin kovaryans matrisi 1 = N Qxx 1074 . 0 0213 . 00213 . 0 0288 . 0 TA 2232 . 0 1398 . 0 9979 . 09747 . 0 9902 . 0 0639 . 0 2232 . 0 9747 . 01398 . 0 9902 . 09979 . 0 0639 . 0 A 0234 . 0 0235 . 0 0017 . 00235 . 0 0244 . 0 0077 . 00017 . 0 0077 . 0 1097 . 0 Txx A Q A Q = i i iQ m m 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar 97 . 0 1097 . 0 93 . 21 11 0 = = = Q m m mm 46 . 0 0244 . 0 93 . 22 22 0 = = = Q m m mm 45 . 0 0234 . 0 93 . 23 33 0 = = = Q m m mm Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = =0234 . 0 0235 . 0 0017 . 00235 . 0 0244 . 0 0077 . 00017 . 0 0077 . 0 1097 . 03164 . 0 1941 . 0 2644 . 01941 . 0 1860 . 0 2027 . 02644 . 0 2027 . 0 3452 . 0vvQ =2930 . 0 2176 . 0 2626 . 02176 . 0 1616 . 0 1950 . 02626 . 0 1950 . 0 2354 . 0vvQ12 i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar 42 . 1 2354 . 0 93 . 21 110 = = = v vv Q m m mm 18 . 1 1616 . 0 93 . 22 220 = = = v vv Q m m mm 58 . 1 2930 . 0 93 . 23 330 = = = v vv Q m m mm 13 3. DORULTU AINDA YNELTME BLNMEYENLERNN NDRGENMES Bir denklem sistemindeki denklemlerin boyutlar bydke, denklemlerin kurulmas ve zm iin harcanacak zaman denklem boyutlarnn kp ile orantl olarak artar. Bu nedenle normal denklemler zlmeden nce bilinmeyenlerden bir tanesinin bile yok edilmesi hatr saylr bir zaman kazanc salar. Bilinmeyenlerin yok edilmesi iin ok farkl yntemler mevcuttur. Haritaclk uygulamalarnda en yaygn olan Gauss Toplam Denklem Yntemidir. Bu yntemde art, dzeltme denklemlerinde yok edilecek bilinmeyenin katsays btn dzeltme denklemlerinde ayn olmaldr. Dorultu alarnda yok edilmek istenen yneltme bilinmeyenlerinin katsaylar eittir. Ayrca dorultu alarnda genellikle her dorultu iin arlklar eit olarak alnr. Arlklar eit dzeltme denklemleri aadaki gibi olsun. Burada z bilinmeyeni yok edelim. 1 1 1 1 + + = cz y b x a v 2 2 2 2 + + = cz y b x a v n n n n cz y b x a v + + = | | | | | | | | 0 = + + = z c n y b x a v Her iki taraf n ye blelim. Burada n sistemdeki denklem saysdr. | | | | | |0 = nznc nynbxna Bu denklemin katsaylarn dzeltme denklemlerinde yerine yazalm. | | | | ( ) | ||.|
\| +|.|
\| +|.|
\| =nz c c ynbb xnaa v 1 1 1 1 | | | | ( ) | ||.|
\| +|.|
\| +|.|
\| =nz c c ynbb xnaa v 2 2 2 2 | | | | ( ) | ||.|
\| +|.|
\| +|.|
\| =nz c c ynbb xnaa v n n n n 14 z bilinmeyeni yok edilmi dzeltme denklemleri '1'1'1 1 + = y b x a v '2'2'2 2 + = y b x a v ' ' 'n n n n y b x a v + = Bu yeni denklem sisteminde aadaki kontroller salanmaldr. | | 0'= a | | 0'= b | | 0'= rnek: Aadaki denklem sistemindeki z bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem yntemiyle yok ediniz ve yeni denklem sistemini = x A v matris gsterimi eklinde yaznz. 1 21 + = z y x v 22 + + = z y x v 23 = z y x v 3 2 34 + + = z y x v | | | | | | | | 0 = + + = z c n y b x a v Burada 4 = n ve 1 = c ( z bilinmeyeninin katsays) 0 2 4 3 7 = + + z y x Yukardaki denklemi 4 = n e blelim. 042444347= z y x 15 0214347= + z y x 0 5 . 0 75 . 0 75 . 1 = + z y x ( ) ( ) ( ) ( ) 5 . 0 1 1 1 75 . 0 1 75 . 1 21 + + + + = z y x v ( ) ( ) ( ) ( ) 5 . 0 2 1 1 75 . 0 1 75 . 1 12 + + + + = z y x v ( ) ( ) ( ) ( ) 5 . 0 2 1 1 75 . 0 1 75 . 1 13 + + + + = z y x v ( ) ( ) ( ) ( ) 5 . 0 3 1 1 75 . 0 2 75 . 1 34 + + + + = z y x v z bilinmeyeni yok edilmi dzeltme denklemleri 5 . 1 25 . 0 25 . 01 + = y x v 5 . 1 25 . 0 75 . 02 + + = y x v 5 . 2 75 . 1 75 . 03 = y x v 5 . 2 25 . 1 25 . 14 + + = y x v Denklem sistemini = x A v formatnda yazalm. (((((
((
(((((
=(((((
5 . 25 . 25 . 15 . 125 . 1 25 . 175 . 1 75 . 025 . 0 75 . 025 . 0 25 . 04321yxvvvv Kontrol | | 0 25 . 1 75 . 0 75 . 0 25 . 0'= + = a | | 0 25 . 1 75 . 1 25 . 0 25 . 0'= + + = b | | 0 5 . 2 5 . 2 5 . 1 5 . 1'= + + = 16 rnek: Aadaki denklem sistemindeki dz bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem yntemiyle yok ediniz ve yeni denklem sistemini = x A v matris gsterimi eklinde yaznz. 101 = dz v 5 12 . 5 65 . 2021 21 2 + + = dy dx dz v 4 64 . 1 69 . 2122 22 3 + = dy dx dz v ncelikle bu denklemleri dzenleyelim. 10 0 0 0 022 22 21 21 1 + + + = dz dy dx dy dx v 5 0 0 12 . 5 65 . 2022 22 21 21 2 + + + + = dz dy dx dy dx v 4 64 . 1 69 . 21 0 022 22 21 21 3 + + = dz dy dx dy dx v | | | | | | | | | | | | 022 22 21 21 = + + + + = dz e n dy d dx c dy b dx a v Burada 3 = n ve 1 = e ( dz bilinmeyeninin katsays) 0 9 3 64 . 1 69 . 21 12 . 5 65 . 2022 22 21 21 = + + dz dy dx dy dx Yukardaki denklemi 3 = n e blelim. 0 3 55 . 0 23 . 7 71 . 1 88 . 622 22 21 21 = + + + dz dy dx dy dx ) 3 10 ( ) 1 1 ( ) 55 . 0 0 ( ) 23 . 7 0 ( ) 71 . 1 0 ( ) 88 . 6 0 (22 22 21 21 1 + + + + + + + + + = dz dy dx dy dx v) 3 5 ( ) 1 1 ( ) 55 . 0 0 ( ) 23 . 7 0 ( ) 71 . 1 12 . 5 ( ) 88 . 6 65 . 20 (22 22 21 21 2 + + + + + + + + + = dz dy dx dy dx v) 3 4 ( ) 1 1 ( ) 55 . 0 64 . 1 ( ) 23 . 7 69 . 21 ( ) 71 . 1 0 ( ) 88 . 6 0 (22 22 21 21 3 + + + + + + + + + = dz dy dx dy dx v z bilinmeyeni yok edilmi dzeltme denklemleri 7 55 . 0 23 . 7 71 . 1 88 . 622 22 21 21 1 + = dy dx dy dx v 8 55 . 0 23 . 7 41 . 3 77 . 1322 22 21 21 2 + + + = dy dx dy dx v 1 09 . 1 46 . 14 71 . 1 88 . 622 22 21 21 3 + = dy dx dy dx v 17 Denklem sistemini = x A v formatnda yazalm. ((((
(((((
((((
=((((
18709 . 1 46 . 14 71 . 1 88 . 655 . 0 23 . 7 41 . 3 77 . 1355 . 0 23 . 7 71 . 1 88 . 622222121321dydxdydxvvv Kontrol | | 0 88 . 6 77 . 13 88 . 6'= + = a | | 0 71 . 1 41 . 3 71 . 1'= + = b | | 0 46 . 14 23 . 7 23 . 7'= + = c | | 0 09 . 1 55 . 0 55 . 0'= + = b | | 0 1 8 7'= + = 18 4. DORULTU ALARININ DENGELENMES :12t 1P ve 2P noktalar arasndaki semt ( )2 1P P :12r 1P den 2P ye llen dorultu :1z 1P noktasndaki yneltme bilinmeyeni Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz semtin kendisidir. Fonksiyonel modeli Semt iin yazalm. ||.|
\|= + + =1 21 21 12 12 12arctanx xy yz v r t ||.|
\|+ = +1 21 21 12 12arctanx xy yz v r Yukardaki fonksiyon dorusal deildir. Dorusallatrma ilemi iin bilinmeyenlerin yaklak deerlerini seelim ve fonksiyonu Taylor serisine aalm. 101 1 dz z z + = 101 1 dx x x + = 202 2 dx x x + = 101 1 dy y y + = 101 1 dy y y + = ) , (1 1 1 y x P X ) , (2 2 2 y x P Sfr dorultusu 1z 12t 12 12 v r + 12r Y 1 2 y y 1 2 x x 12t 12s 19 0 arctan2021220212101121011201020102 01 1 12 12012=||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+ = + dyytdxxtdyytdxxtx xy yz dz v rt ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )201201022010220102010220102201022010220102010220102201022010201020102201020102010201020112) 1 (1 1 sy yx x y yy yx xx x y yx xy yx xy yx xy y x xx xy yx xy yxt = + = + =+ =||.|
\|+||.|
\|=||.|
\| ( ) ( )0120120120120102011212sin 1sts sy yxta = =||.|
\|= ( )10010000200sin01201212 = sta birimcmcc= ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )201201022010220102010220102201022010220102010220102201022010201020102201020102010201020112) 1 (1 1 sx xx x y yx xx xx x y yx xx xx xy yx xx x y yx xy yx xy yyt = + = + =+ =||.|
\|+||.|
\|=||.|
\| ( ) ( )0120120120120102011212cos 1sts sx xytb = =||.|
\|= ( )10010000200cos01201212 = stb birimcmcc= ( )012012021212sinstxta =||.|
\|= ( )012012011212cosstytb =||.|
\|= Bu katsaylar aadaki denklemde yerine koyalm ve dzenleyelim. 20 0 arctan2021220212101121011201020102 01 1 12 12012=||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+ = + dyytdxxtdyytdxxtx xy yz dz v rt 001 12012 2 12 2 12 1 12 1 12 1 12 = + + + = z r t dy b dx a dy b dx a dz v 01 12012 12 z r t = Olmak zere dorusallatrlm dzeltme denklemi (Fonksiyonel Model) aadaki gibi yazlabilir. 12 2 12 2 12 1 12 1 12 1 12 + + = dy b dx a dy b dx a dz v Stokastik Model: Dorultu lleri korelsyonsuz ller olarak kabul edilir. Ayrca dorultu llerinin arlklarnn eit olduu da farz edilir. 21 rnek: Aada verilmi ada dorultu llerine ait dzeltme denklemlerini = x A v formatnda yaznz. NN Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar 100 765.499 8855.329 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180 Yaklak Koordinatlar 21 632.630 8476.102 22 635.211 8426.244 23 638.765 8351.331 l says n = 5 Bilinmeyen says u = 6+1 (3 koordinat ifti ve 1 yneltme bilinmeyeni) Serbestlik Derecesi f = n-u = 5-70 Dengeleme var. DN BN Dorultu 108 23 0.00000 107 43.21580 107 108 0.00000 23 32.24480 23 107 0.00000 108 124.53835 108 107 23 1r 2r 3r 4r 5r 6r 24 Koordinat bilinmeyenleri: 23dx , 23dy yneltme bilinmeyeni: 23dz , 107dz , 108dz (23, 107 ve 108 noktalarnda dorultu gzlemleri yaplm) ||.|
\|=01020102 012arctanx xy yt ( ) ( )2010220102012 x x y y s + = ( )10010000200sin01201212 = sta ( )10010000200cos01201212 = stb | |nr tz ik 1001= DN BN Dorultu ir (g) 0ikt (g) 0iks (m) 0ikt -ir ik (cc) ika cc / cm ikb cc / cm 0ikt -ir -0108z 108 23 0.00000 111.22866 301.192 111.22866 -18 20.8088 3.7088 107 43.21580 154.44796 575.355 111.23216 18 7.2587 8.3511 =0108z 111.23041 108 numaral noktadaki dorultu gzlemleri iin dzeltme denklemlerini yazalm 18 3511 . 8 2587 . 7 3511 . 8 2587 . 718 7088 . 3 8088 . 20 7088 . 3 8088 . 20107 107 108 108 108 107 10823 23 108 108 108 23 108+ + + = + + =dy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz v 107 ve 108 numaral noktalar dayanak alnan noktalardr. Bu noktalara ait katsaylar dzeltme denklemlerinden karalm ve denklemleri bilinmeyenlere gre yeniden yazalm. 18 0 018 7088 . 3 8088 . 2023 23 108 107 10823 23 108 23 108+ + + = =dy dx dz vdy dx dz v Toplam -2 - 20.8088 -3.7088 0.00 n = 2 -n = -2 ye blelim 1 10.4044 1.8544 0.00 108 noktasndaki yneltme bilinmeyeni denklemi 0 8544 . 1 4044 . 10 123 23 108 = + + dy dx dz Dzeltme denklemlerinden 108dz yneltme bilinmeyeninin yok edilmi halini aaya yazalm. 18 8544 . 1 4044 . 1018 8544 . 1 4044 . 1023 23 107 10823 23 23 108+ + + = =dy dx vdy dx v 25 DN BN Dorultu ir (g) 0ikt (g) 0iks (m) 0ikt -ir ik (cc) ika cc / cm ikb cc / cm 0ikt -ir -0107z 107 108 0.00000 354.44796 575.355 354.44796 15 -7.2587 -8.3511 23 32.24480 386.68977 389.889 354.44497 -15 -3.3890 -15.9727 =0107z 354.44647 107 numaral noktadaki dorultu gzlemleri iin dzeltme denklemlerini yazalm 15 9727 . 15 3890 . 3 9727 . 15 3890 . 315 3511 . 8 2587 . 7 3511 . 8 2587 . 723 23 107 107 107 23 107108 108 107 107 107 108 107 + + = + + + =dy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz v 107 ve 108 numaral noktalar dayanak alnan noktalardr. Bu noktalara ait katsaylar dzeltme denklemlerinden karalm ve denklemleri bilinmeyenlere gre yeniden yazalm. 15 9727 . 15 3890 . 315 0 023 23 107 23 10723 23 107 108 107 + + = + + + =dy dx dz vdy dx dz v Toplam -2 3.3890 15.9727 0.00 n = 2 -n = -2 ye blelim 1 -1.6945 -7.9863 0.00 107 noktasndaki yneltme bilinmeyeni denklemi 0 9863 . 7 6945 . 1 123 23 107 = dy dx dz Dzeltme denklemlerinden 107dz yneltme bilinmeyeninin yok edilmi halini aaya yazalm. 15 9863 . 7 6945 . 115 9863 . 7 6945 . 123 23 23 10723 23 108 107 + + = + =dy dx vdy dx v DN BN Dorultu ir (g) 0ikt (g) 0iks (m) 0ikt -ir ik (cc) ika cc / cm ikb cc / cm 0ikt -ir -0107z 23 107 0.00000 186.68977 389.889 186.68977 -3 3.3890 15.9727 108 124.53835 311.22866 301.192 186.69031 3 -20.8088 -3.7088 =0107z 186.69004 23 numaral noktadaki dorultu gzlemleri iin dzeltme denklemlerini yazalm 3 7088 . 3 8088 . 20 7088 . 3 8088 . 203 9727 . 15 3890 . 3 9727 . 15 3890 . 3108 108 23 23 23 108 23107 107 23 23 23 107 23+ + + = + + =dy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz v 26 107 ve 108 numaral noktalar dayanak alnan noktalardr. Bu noktalara ait katsaylar dzeltme denklemlerinden karalm ve denklemleri bilinmeyenlere gre yeniden yazalm. 3 7088 . 3 8088 . 203 9727 . 15 3890 . 323 23 23 108 2323 23 23 107 23+ = + + =dy dx dz vdy dx dz v Toplam -2 -17.4189 12.2639 0.00 n = 2 -n = -2 ye blelim 1 8.7099 6.1319 0.00 23 noktasndaki yneltme bilinmeyeni denklemi 0 1319 . 6 7099 . 8 123 23 23 = + + dy dx dz Dzeltme denklemlerinden 23dz yneltme bilinmeyeninin yok edilmi halini aaya yazalm. 3 8407 . 9 0989 . 123 8407 . 9 0989 . 1223 23 108 2323 23 107 23+ = + + =dy dx vdy dx v Dzeltme denklemleri 18 8544 . 1 4044 . 1018 8544 . 1 4044 . 1023 23 107 10823 23 23 108+ + + = =dy dx vdy dx v 15 9863 . 7 6945 . 115 9863 . 7 6945 . 123 23 23 10723 23 108 107 + + = + =dy dx vdy dx v 3 8407 . 9 0989 . 123 8407 . 9 0989 . 1223 23 108 2323 23 107 23+ = + + =dy dx vdy dx v Dzeltme denklemlerini = x A v formatnda yazalm. (((((((((
((
(((((((((
=(((((((((
33151518188407 . 9 0989 . 128407 . 9 0989 . 129863 . 7 6945 . 19863 . 7 6945 . 18544 . 1 4044 . 108544 . 1 4044 . 102323108 23107 2323 107108 107107 10823 108dydxvvvvvv ((
= =1201 . 328 7773 . 3037773 . 303 0117 . 515A A N T ((
= =1338 . 2271780 . 249TA n = = =cmcccccmA A N Tbirimsiz = = = cccccmA n T birimi cm ((
= = 0067 . 0 0040 . 00040 . 0 0043 . 01N Qxx 27 ((
=((
= =5 . 20 . 22323dydxn Q xxx cm Bilinmeyenlerin kesin deeri ((
+((
=((
23230230232323dydxyxyx ((
=((
+((
=((
790 . 638311 . 83515 . 20 . 2765 . 638331 . 83512323yx Dzeltmeler = = = cc cmcmccx A v birimi cc (((((((((
=(((((((((
((
(((((((((
=(((((((((
75 . 175 . 175 . 175 . 175 . 175 . 133151518185 . 20 . 28407 . 9 0989 . 128407 . 9 0989 . 129863 . 7 6945 . 19863 . 7 6945 . 18544 . 1 4044 . 108544 . 1 4044 . 10108 23107 2323 107108 107107 10823 108vvvvvv Dengeli ller i i i v r r + = (((((((((
+(((((((((
=(((((((((
108 23107 2323 107108 107107 10823 108654321654321vvvvvvrrrrrrrrrrrr (((((((((
=(((((((((
=(((((((((
+(((((((((
=(((((((((
53870 . 12400000 . 024515 . 3200000 . 021615 . 4300000 . 0538525 . 124000175 . 0244975 . 32000175 . 0215975 . 43000175 . 075 . 175 . 175 . 175 . 175 . 175 . 153835 . 12400000 . 024480 . 3200000 . 021580 . 4300000 . 0654321rrrrrr Dengeli dorultu llerinin denetimi Yneltme bilinmeyeni denklemleri 0 8544 . 1 4044 . 10 123 23 108 = + + dy dx dz 0 9863 . 7 6945 . 1 123 23 107 = dy dx dz 0 1319 . 6 7099 . 8 123 23 23 = + + dy dx dz Matris gsterimiyle ((
((((
=((((
2323231071081319 . 6 7099 . 89863 . 7 6945 . 18544 . 1 4044 . 10dydxdzdzdz 28 ((((
=((
((((
=((((
52 . 3273 . 1679 . 151319 . 6 7099 . 89863 . 7 6945 . 18544 . 1 4044 . 10232323107108dydxdzdzdz cc ((((
+((((
=((((
231071080230107010223107102dzdzdzzzzzzz ((((
=((((
+((((
=((((
69329 . 18644814 . 35423199 . 11152 . 3273 . 1679 . 1569004 . 18644647 . 35423041 . 11123107102zzz DN BN Dengeli dorultulardan semt Dengeli Koordinatlardan Semt ikt Fark ir (g) iv (cc) i i i v r r + = z ikt = ir + 102z 108 23 0.00000 -1.75 -0.00018 111.23199 111.23181 111.23181 0.00 107 43.21580 1.75 43.21598 111.23199 154.44796 154.44796 0.00 107 108 0.00000 -1.75 -0.00018 354.44814 354.44796 354.44796 0.00 23 32.24480 1.75 32.24498 354.44814 386.69312 386.69312 0.00 23 107 0.00000 -1.75 -0.00018 186.69329 186.69312 186.69312 0.00 108 124.53835 1.75 124.53853 186.69329 311.23181 311.23181 0.00 Karesel Ortalama Hata 5 . 35 625 . 120 = = =u nv vmT cm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ((
= = 0067 . 0 0040 . 00040 . 0 0043 . 01N Qxx 2 . 0 0043 . 0 5 . 30 = = = xx x q m m cm 3 . 0 0067 . 0 5 . 30 = = = yy y q m m cm llerin Ortalama Hatas ipmmi0 = Dorultu alarnda arlklar eit olduu iin llerin ortalama hatalar karesel ortalama hataya eittir. 29 Dengeli llerin Ortalama Hatas (((((((((
= =3333 . 0 3333 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 03333 . 0 3333 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 01667 . 0 1667 . 0 3333 . 0 3333 . 0 1667 . 0 1667 . 01667 . 0 1667 . 0 3333 . 0 3333 . 0 1667 . 0 1667 . 01667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 3333 . 0 3333 . 01667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 3333 . 0 3333 . 0 Txx A Q A Q i iiQ m m 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar 02 . 2 3333 . 0 5 . 3 = =im cm Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = (((((((((
= = 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11p p (((((((((
=6667 . 0 3333 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 03333 . 0 6667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 01667 . 0 1667 . 0 6667 . 0 3333 . 0 1667 . 0 1667 . 01667 . 0 1667 . 0 3333 . 0 6667 . 0 1667 . 0 1667 . 01667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 6667 . 0 3333 . 01667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 1667 . 0 3333 . 0 6667 . 0vvQ i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar 86 . 2 6667 . 0 5 . 3 = =ivm cm 30 5. KENAR ALARININ DENGELENMES Kenar alarnda yaplan kenar lleri gnmzde genelde Elektronik Uzaklk lerler (EU, Total Station) ile llerek elde edilirler. Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz kenarn kendisidir. Fonksiyonel modeli kenar iin yazalm. ( ) ( )21 221 2 1212y y x x v s s + = + Yukardaki fonksiyon dorusal deildir. Dorusallatrma ilemi iin bilinmeyenlerin yaklak deerlerini seelim ve fonksiyonu Taylor serisine aalm. 101 1 dx x x + = 202 2 dx x x + = 101 1 dy y y + = 202 2 dy y y + = ( ) ( ) 0202122021210112101122010220102 1201212=||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+ + = + dyysdxxsdyysdxxsy y x x v sss ) , (1 1 1 y x P X ) , (2 2 2 y x P Y 1 2 y y 1 2 x x 12s 31 ( ) ( )( ) ( ) ( )01201022010220102010201121221 2sx xx x y yx xxsa = + =||.|
\|= birimsiz ( )( )( ) ( ) ( )( )201201022010220102010201121221 2sy yx x y yy yysb = + =||.|
\|= birimsiz 120212axs =||.|
\| 120212bys =||.|
\| Bu katsaylar aadaki denklemde yerine koyalm ve dzenleyelim. ( ) ( ) 0202122021210112101122010220102 1212=||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+||.|
\|+ + = + dyysdxxsdyysdxxsy y x x v s s 012012 2 12 2 12 1 12 1 1212= + + = s s dy b dx a dy b dx a vs 12012 12 s s = 012 2 12 2 12 1 12 1 1212= + = dy b dx a dy b dx a vs Stokastik Model: Kenar lleri korelsyonsuz ller olarak kabul edilir. nk kenar lleri iin korelasyon belirlemek olduka zahmetli bir itir. Kenar llerinin arlklar farkldr. EU iin karesel ortalama hata aadaki forml ile hesaplanr. Her EU iin yapmc firmalar bu banty vermektedir. Farkl EU ler iin bu bant farkl deerler alabilir. ppm b ksm, karesel ortalama hatann uzunlua bal olduu ksmdr. ppm ksmna uzunluun km cinsinden deeri yazlr. ( ) ppm b a ms + = 0 km 1 mm 000 . 000 . 1 = = ppm 32 rnein bir EU iin karesel ortalama hata bants aadaki formlle verilmi olsun. Srasyla 1000, 2000 ve 5000 m lik uzaklklar iin karesel ortalama hatalar hesaplayalm. ( ) ppm ms + = 2 mm 20 1000 m = 1 km ( ) 4 1 2 mm 21 = + =sm mm 2000 m = 2 km ( ) 6 2 2 mm 22 = + =sm mm 5000 m = 5 km ( ) 12 5 2 mm 23 = + =sm mm Bir 0s ncl karesel ortalama hata ve arln tanmndan yararlanarak arlk matrisini aadaki ekilde yazabiliriz. 220isimsp = (((((((((((
=2202202200 0 00 0 00 0 00 0 021nsssmsmsmsp rnek: Aada kenar lleri verilmi a dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz. Bu ada kenar lmede kullanlan EU iin ( ) ppm ms + = 5 mm 5 lik ayar deeri yapmc firma tarafndan verilmitir. ncl karesel ortalama hata 300 = s mm olarak alnacaktr. NN Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar 101 17246.828 12812.718 102 25084.654 12106.522 103 24360.602 5230.407 104 16756.594 6447.904 Yaklak Koordinatlar 23 20058.570 8243.730 DN BN Kenar (m) 23 101 5364.876 102 6338.984 103 5252.410 104 3758.782 33 l says n = 4 Bilinmeyen says u = 2 (Bir koordinat ifti) Serbestlik Derecesi f = n-u = 4-2 = 2 > 0 Dengeleme var Koordinat bilinmeyenleri: 23dx , 23dy ( ) ( )2010220102012 x x y y s + = ( )012010212sx xa = ( )( )2012010212sy yb = ik ik ik s s = 0 birimli DN BN x (m) y (m) 0iks (m) iks ik (mm) ika ikb 23 101 4568.988 -2811.742 5364.843 5364.876 -33 -0.8517 0.5241 102 3862.792 5026.084 6338.981 6338.984 -3 -0.6094 -0.7929 103 -3013.323 4302.032 5252.389 5252.410 -21 0.5737 -0.8191 104 -1795.826 -3301.976 3758.728 3758.782 -54 0.4778 0.8785 Dzeltme Denklemlerini aadaki formatta yazalm. 012 2 12 2 12 1 12 1 1212= + = dy b dx a dy b dx a vs 54 8785 . 0 4778 . 0 8785 . 0 4778 . 021 8191 . 0 5737 . 0 8191 . 0 5737 . 03 7929 . 0 6094 . 0 7929 . 0 6094 . 033 5241 . 0 8517 . 0 5241 . 0 8517 . 0104 104 23 23103 103 23 23102 102 23 23101 101 23 23104 23103 23102 23101 23 + + = + + = + + = + + =dy dx dy dx vdy dx dy dx vdy dx dy dx vdy dx dy dx vssss 101, 102, 103 ve 104 numaral noktalar dayanak alnan noktalardr. Bu noktalara ait katsaylar dzeltme denklemlerinden karalm ve denklemleri yeniden yazalm. 54 8785 . 0 4778 . 021 8191 . 0 5737 . 03 7929 . 0 6094 . 033 5241 . 0 8517 . 023 2323 2323 2323 23104 23103 23102 23101 23 + + = + = = + =dy dx vdy dx vdy dx vdy dx vssss Bu denklemleri = x A v formatnda yazalm. (((((
((
(((((
=((((((
54213338785 . 0 4778 . 08191 . 0 5737 . 07929 . 0 6094 . 05241 . 0 8517 . 02323104 23103 23102 23101 23dydxvvvvssss 34 ( ) ppm ms + = 5 mm 5 300 = s 220isimsp = ( ) 82 . 31 364876 . 5 5 mm 51 = + =sm ( ) 69 . 36 338984 . 6 5 mm 52 = + =sm ( ) 26 . 31 252410 . 5 5 mm 53 = + =sm ( ) 79 . 23 758782 . 3 5 mm 54 = + =sm (((((
=((((((((((
=59 . 1 0 0 00 92 . 0 0 00 0 67 . 0 00 0 0 89 . 079 . 23300 0 0026 . 31300 00 069 . 363000 0 082 . 313022222222p ((
= =5089 . 2 1608 . 01608 . 0 5587 . 1A p A N T ((
= =5406 . 730000 . 26 p A n T ((
= = 4012 . 0 0414 . 00414 . 0 6458 . 01N Qxx ((
=((
= =28142323dydxn Q xxx mm Bilinmeyenlerin kesin deeri ((
+((
=((
23230230232323dydxyxyx ((
=((
+((
=((
598 . 20058744 . 82432814570 . 20058730 . 82432323yx Dzeltmeler = x A v birimi mm (((((
=(((((
((
(((((
=((((((
41 . 2296 . 3574 . 3343 . 29542133328148785 . 0 4778 . 08191 . 0 5737 . 07929 . 0 6094 . 05241 . 0 8517 . 0104 23103 23102 23101 23ssssvvvv mm 35 Dengeli ller is i i v s s + = ((((((
+(((((
=(((((
104 23103 23102 23101 2343214321ssssvvvvssssssss (((((
=(((((
+(((((
=(((((
760 . 3758374 . 5252950 . 6338847 . 536441 . 2296 . 3574 . 3343 . 29782 . 3758410 . 5252984 . 6338876 . 53644321ssss Dengeli kenar llerinin denetimi DN BN x (m) y (m) Dengeli koordinatlardan ( ) ( )2 2 y x si + = Dengeli kenarlardan is i i v s s + = isv (mm) is (m) 23 101 -4568.974 2811.770 5364.847 5364.847 -29.43 5364.876 23 102 -3862.778 -5026.056 6338.950 6338.950 -33.74 6338.984 23 103 3013.337 -4302.004 5252.374 5252.374 -35.96 5252.410 23 104 1795.840 3302.004 3758.760 3758.760 -22.41 3758.782 Karesel Ortalama Hata 0 . 422 485 . 35190 = = =u nv p vmT mm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ((
= = 4012 . 0 0414 . 00414 . 0 6458 . 01N Qxx 7 . 33 6458 . 0 420 = = = xx x q m m mm 6 . 26 4012 . 0 420 = = = yy y q m m llerin Ortalama Hatas (((((
=59 . 1 0 0 00 92 . 0 0 00 0 67 . 0 00 0 0 89 . 0p ispmmi0 = mm 5 . 4489 . 0421 = =sm 3 . 5167 . 0422 = =sm 7 . 4392 . 0423 = =sm 3 . 3359 . 1424 = =sm Dengeli llerin Ortalama Hatas (((((
= =4223 . 0 1163 . 0 4297 . 0 0574 . 01163 . 0 5206 . 0 0330 . 0 5291 . 04297 . 0 0330 . 0 4521 . 0 1537 . 00574 . 0 5291 . 0 1537 . 0 6156 . 0 Txx s s A Q A Q 36 i ii s ss Q m m 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar 91 . 32 6156 . 0 421 = =sm mm 21 . 28 4521 . 0 422 = =sm 27 . 30 5206 . 0 423 = =sm 26 . 27 4223 . 0 424 = =sm Dzeltmelerin Ortalama Hatas s s ss vv Q Q Q = Dzeltmelerin kovaryans matrisi s s ss vv Q p Q 1 = (((((
=6291 . 0 0 0 00 0859 . 1 0 00 0 4961 . 1 00 0 0 1253 . 11p (((((
=2067 . 0 1163 . 0 4297 . 0 0574 . 01163 . 0 5653 . 0 0330 . 0 5291 . 04297 . 0 0330 . 0 0441 . 1 1537 . 00574 . 0 5291 . 0 1537 . 0 5097 . 0vvQ i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar 95 . 29 5097 . 0 421 = =vm mm 87 . 42 0441 . 1 422 = =vm 54 . 31 5653 . 0 423 = =vm 07 . 19 2067 . 0 424 = =vm 37 6. DORULTU-KENAR ALARININ DENGELENMES rnek: Aada dorultu ve kenar lleri verilmi a dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz. Dorultular iin ncl karesel ortalama hatay ccs 100 = olarak alnz. NN Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar 102 7849.474 164.526 103 7731.373 608.285 Yaklak Koordinatlar 107 7969.948 719.676 108 8404.160 342.243 l says n = 6 (3 dorultu ve 3 kenar ls) Bilinmeyen says u = 5 (ki koordinat ifti ve bir yneltme bilinmeyeni) Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-5 = 1 > 0 Dengeleme var Bilinmeyenler: 102dz ,107dx , 107dy ,108dx , 108dy ||.|
\|=01020102 012arctanx xy yt ( ) ( )2010220102012 x x y y s + = ( )10010000200sin01201212 = sta ( )10010000200cos01201212 = stb | |nr tz1012 01= DN BN Dorultu ir (g) 0ikt (g) 0iks (m) 0ikt -ir ik (cc) ika cc / mm ikb cc / mm 0ikt -ir -0102z 102 108 0.00000 19.73894 582.460 19.73894 -8.8 0.3335 -1.0409 107 66.65613 86.39556 568.072 19.73943 -3.9 1.0952 -0.2377 103 96.81793 116.55902 459.206 19.74109 12.7 1.3397 0.3565 =0102z 19.73982 DN BN Kenar (m) sm (mm) DN DN Dorultu dm (cc) 102 108 459.192 3 102 108 0.00000 10 103 107 263.297 5 107 66.65613 10 107 108 575.324 4 103 96.81793 10 38 Dzeltme Denklemlerini aadaki formatta yazalm. ik k ik k ik i ik ik i ik dy b dx a dy b dx a dz v + + =1 7 . 12 3565 . 0 3397 . 1 3565 . 0 3397 . 19 . 3 2377 . 0 0952 . 1 2377 . 0 0952 . 18 . 8 0409 . 1 3335 . 0 0409 . 1 3335 . 0103 103 102 102 102 103 102107 107 102 102 102 107 102108 108 102 102 102 108 102+ + + = + + = + + =dy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz v 102 ve 103 numaral noktalar dayanak alnan noktalardr. Bu noktalara ait katsaylar dzeltme denklemlerinden karalm ve denklemleri yeniden yazalm. 7 . 129 . 3 2377 . 0 0952 . 18 . 8 0409 . 1 3335 . 0102 103 102107 107 102 107 102108 108 102 108 102+ = + = + =dz vdy dx dz vdy dx dz v Bu denklemleri bilinmeyenlere gre yeniden dzenleyelim ve 102dz yneltme bilinmeyeni yok edelim. 7 . 12 0 0 0 09 . 3 0 0 2377 . 0 0952 . 18 . 8 0409 . 1 3335 . 0 0 0108 108 107 107 102 103 102108 108 107 107 102 107 102108 108 107 107 102 108 102+ + + + + = + + + = + + + =dy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz vdy dx dy dx dz v 7 . 12 0 0 0 0 19 . 3 0 0 2377 . 0 0952 . 1 18 . 8 0409 . 1 3335 . 0 0 0 1103 102107 102108 102108 108 107 107 102 = = = vvvdy dx dy dx dz Toplam -3 -1.0952 0.2377 -0.3335 1.0409 0.00 n = 3 -n = -3 e blelim 1 0.3651 -0.0792 0.1112 -0.3470 0.00 Yneltme bilinmeyeni denklemi 0 3470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 0 1108 108 107 107 102 = + + dy dx dy dx dz 102dz yneltme bilinmeyeni yok edilmi dzeltme denklemleri 7 . 12 3470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 09 . 3 3470 . 0 1112 . 0 1584 . 0 7301 . 08 . 8 6939 . 0 2223 . 0 0792 . 0 3651 . 0103 102107 102108 102108 108 107 107 = = = vvvdy dx dy dx 39 = x A v formatnda dorultular iin dzeltme denklemleri ((((
(((((
((((
=((((
7 . 129 . 38 . 83470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 03470 . 0 1112 . 0 1854 . 0 7301 . 06939 . 0 2223 . 0 0792 . 0 3651 . 0108108107107103 102107 102108 102dydxdydxvvv ( ) ( )2010220102012 x x y y s + = ( )012010212sx xa = ( )( )2012010212sy yb = ik ik ik s s = 0 birimli DN BN x (m) y (m) 0iks (m) iks ik (mm) ika ikb 102 103 -118.101 443.759 459.206 459.192 13.7 0.2572 -0.9664 103 107 238.575 111.391 263.298 263.297 1.3 -0.9061 -0.4231 107 108 434.212 -377.433 575.322 575.324 -1.7 -0.7547 0.6560 Dzeltme denklemlerini aadaki formatta yazalm. 012 2 12 2 12 1 12 1 1212= + = dy b dx a dy b dx a vs 7 . 1 6560 . 0 7547 . 0 6560 . 0 7547 . 03 . 1 4231 . 0 9061 . 0 4231 . 0 9061 . 07 . 13 9664 . 0 2572 . 0 9664 . 0 2572 . 0108 108 107 107107 107 103 103103 103 102 102108 107107 103103 102 + + = + + + = + + + =dy dx dy dx vdy dx dy dx vdy dx dy dx vsss 102 ve 103 numaral noktalar dayanak alnan noktalardr. Bu noktalara ait katsaylar dzeltme denklemlerinden karalm ve denklemleri yeniden yazalm. 7 . 1 6560 . 0 7547 . 0 6560 . 0 7547 . 03 . 1 4231 . 0 9061 . 07 . 13108 108 107 107107 107108 107107 103103 102 + + = + + + = + =dy dx dy dx vdy dx vvsss Bu denklemleri bilinmeyenlere gre yeniden dzenleyelim. 7 . 1 6560 . 0 7547 . 0 6560 . 0 7547 . 03 . 1 0 0 4321 . 0 9061 . 07 . 13 0 0 0 0108 107107 103103 102108 108 107 107 === sssvvvdy dx dy dx Bu denklemleri = x A v formatnda yazalm. ((((
(((((
((((
=((((
7 . 13 . 17 . 136560 . 0 7547 . 0 6560 . 0 7547 . 00 0 4321 . 0 9061 . 00 0 0 0108108107107108 107107 103103 102dydxdydxvvvsss 40 Fonksiyonel model Dorultular ve kenarlar iin yazdmz = x A v matrislerini birletirelim. (((((((((
(((((
(((((((((
=(((((((((
7 . 13 . 17 . 137 . 129 . 38 . 86560 . 0 7547 . 0 6560 . 0 7547 . 00 0 4321 . 0 9661 . 00 0 0 03470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 03470 . 0 1112 . 0 1584 . 0 7301 . 06939 . 0 2223 . 0 0792 . 0 3651 . 0108108107107103 102107 102108 102108 107107 103103 102dydxdydxvvvvvvsss Stokastik Model: Arlk tanmndan yararlanarak 2222010i i m msp = = 110102222011= = =ddmsp birimsiz 11 . 113102222011= = =ssmsp cc/mm 110102222022= = =ddmsp 00 . 45102222022= = =ssmsp 110102222033= = =ddmsp 25 . 64102222033= = =ssmsp (((((((((
=25 . 6 0 0 0 0 00 00 . 4 0 0 0 00 0 11 . 11 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1p (((((
= =4122 . 3 3260 . 3 7724 . 2 4745 . 33260 . 3 6342 . 3 1210 . 3 6818 . 37724 . 2 1210 . 3 4435 . 3 7347 . 14745 . 3 6818 . 3 7347 . 1 6438 . 7A p A N T (((((
= =1235 . 21599 . 57929 . 50137 . 17 p A n T (((((
= = 8016 . 2 1338 . 3 5260 . 0 1166 . 01338 . 3 2535 . 10 6451 . 5 2332 . 25260 . 0 6451 . 5 2160 . 4 5232 . 11166 . 0 2332 . 2 5232 . 1 8078 . 01N Qxx 41 (((((
=(((((
= =1 . 171 . 111 . 208 . 10108108107107dydxdydxn Q xxx mm Bilinmeyenlerin kesin deeri (((((
+((((((
=(((((
1081081071070108010801070107108108107107dydxdydxyxyxyxyx (((((
=(((((
+(((((
=(((((
2601 . 3421489 . 84046961 . 7199372 . 79691 . 171 . 111 . 208 . 10243 . 342160 . 8404676 . 719948 . 7969108108107107yxyx Dzeltmeler = x A v birimi mm (((((((((
=(((((((((
(((((
(((((((((
=(((((((((
00 . 000 . 072 . 1300 . 000 . 000 . 07 . 13 . 17 . 137 . 129 . 38 . 81 . 171 . 111 . 208 . 106560 . 0 7547 . 0 6560 . 0 7547 . 00 0 4321 . 0 9661 . 00 0 0 03470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 03470 . 0 1112 . 0 1584 . 0 7301 . 06939 . 0 2223 . 0 0792 . 0 3651 . 0108 107107 103108 102103 102107 102108 102sssvvvvvvmm Dengeli dorultu lleri i i i v r r + = ((((
+((((
=((((
103 102107 102108 102321321vvvrrrrrr ((((
=((((
+((((
=((((
81793 . 9665613 . 6600000 . 000081793 . 9665613 . 6600000 . 0321rrr Dengeli dorultu llerinin denetimi Yneltme bilinmeyeni denklemi 0 3470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 0 1108 108 107 107 102 = + + dy dx dy dx dz Matris gsterimiyle | |(((((
=1081081071071023470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 0dydxdydxdz | | ccdz 70 . 121 . 171 . 111 . 208 . 103470 . 0 1112 . 0 0792 . 0 3651 . 0102 =(((((
= 1020102 102 dz z z + = = 19.74109 + 12.70cc/10.000 = 19.74109 42 DN BN Dengeli dorultulardan semt Dengeli Koordinatlardan Semt ikt Fark ir (g) iv (cc) i i i v r r + = 102z ikt = ir + 102z 102 108 0.00000 0.00 0.00000 19.74109 19.74109 19.74109 0.00 107 66.65613 0.00 66.65613 19.74109 86.39722 86.39722 0.00 103 96.81793 0.00 96.81793 19.74109 116.55902 116.55902 0.00 Dengeli kenar lleri is i i v s s + = ((((
+((((
=((((
108 107107 103108 102321321sssvvvssssss ((((
=((((
+((((
=((((
324 . 575297 . 263206 . 4590072 . 13324 . 575297 . 263192 . 459321sss Dengeli kenar llerinin denetimi DN BN x (m) y (m) Dengeli koordinatlardan ( ) ( )2 2 y x si + = Dengeli kenarlardan is i i v s s + = isv (mm) is (m) 102 103 -118.101 443.759 459.206 459.206 13.72 459.192 103 107 238.564 111.411 263.297 263.297 0.00 263.297 107 108 434.212 -377.436 575.324 575.324 0.00 575.324 Karesel Ortalama Hata 7 . 455 653 . 20920 = = =u nv p vmT mm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas (((((
= = 8016 . 2 1338 . 3 5260 . 0 1166 . 01338 . 3 2535 . 10 6451 . 5 2332 . 25260 . 0 6451 . 5 2160 . 4 5232 . 11166 . 0 2332 . 2 5232 . 1 8078 . 01N Qxx 1 . 41 8078 . 0 7 . 45107 1070 = = = xx x q m m mm 9 . 93 2160 . 4 7 . 45107 1070 = = = yy y q m m 5 . 146 2535 . 10 7 . 45108 1080 = = = xx x q m m 6 . 76 8016 . 2 7 . 45108 1080 = = = yy y q m m 43 llerin Ortalama Hatas (((((((((
=25 . 6 0 0 0 0 00 00 . 4 0 0 0 00 0 11 . 11 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1p iipmm0 = mm 7 . 4517 . 451 = =rm cc 7 . 1311 . 117 . 451 = =sm cm 7 . 4517 . 452 = =rm 9 . 2200 . 47 . 452 = =sm 7 . 4517 . 453 = =rm 3 . 1825 . 67 . 453 = =sm Dengeli llerin Ortalama Hatas (((((((((
= =16 . 0 0 0 0 0 00 25 . 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 6667 . 0 3333 . 0 3333 . 00 0 0 3333 . 0 6667 . 0 3333 . 00 0 0 3333 . 0 3333 . 0 6667 . 0 Txx A Q A Q 0 Q m mi = Dengeli llerin ortalama hatalar 4 . 37 6667 . 0 7 . 451 = =rm cc 0 . 0 00 . 0 7 . 451 = =sm cm 4 . 37 6667 . 0 7 . 452 = =rm 9 . 22 25 . 0 7 . 452 = =sm 4 . 37 6667 . 0 7 . 453 = =rm 3 . 18 16 . 0 7 . 453 = =sm Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = (((((((((
=16 . 0 0 0 0 0 00 25 . 0 0 0 0 00 0 09 . 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11p 44 (((((((((
=00 . 0 0 0 0 0 00 00 . 0 0 0 0 00 0 09 . 0 0 0 00 0 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 00 0 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 00 0 0 3333 . 0 3333 . 0 3333 . 0vvQ i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar 4 . 26 3333 . 0 7 . 451 = =vm mm 4 . 26 3333 . 0 7 . 452 = =vm 4 . 26 3333 . 0 7 . 453 = =vm 7 . 13 0900 . 0 7 . 454 = =vm 0 . 0 0000 . 0 7 . 455 = =vm 0 . 0 0000 . 0 7 . 456 = =vm 45 7. NVELMAN ALARININ DENGELENMES Nivelman alar gnmzde en ok uygulamas yaplan ykseklik alardr. Bu alarda ller nivo ve miralarla yaplr. Geometrik ve hassas nivelman olmak zere iki eit lme yntemi vardr. Bir nivelman anda bir noktann yksekliini bilmek o adaki dier tm noktalara ykseklik tamak iin yeterlidir. A zerindeki oklarn yn ykselme ynlerini gsterir. h gsterimleri iki nokta arasndaki ykseklik farkn temsil eder. i dolu daire olarak gsterilen noktalar ykseklii deimez alnan noktalardr. i bo olarak gsterilen noktalar dengeleme ile ykseklii bulunacak noktalardr. Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasndaki ykseklik farkdr. Bu problemde ykseklii bulunacak noktalar bilinmeyen ( x ve y ) noktalar olarak seilirler. Fonksiyonel modeli ykseklik farklar iin yazalm ve dzenleyelim. l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu A p H H v h = + 11 1 AH x v h = + 1 1 1 1 h H x v A = 1 22 2 p p H H v h = + x y v h = + 2 2 2 2 h y x v + = A p H H v h = + 23 3 AH y v h = + 3 3 3 3 h H y v A = 24 4 p B H H v h = + y H v h B = + 4 4 4 4 h H y v B + = 15 5 p B H H v h = + x H v h B = + 5 5 5 5 h H x v B + = 2h 1h 3h 4h 5h ) ( 1 x P ) ( 2 y P ) ( AHA ) ( BHB 46 Dengeleme hesab problemlerinde byk deerlerle allmaz. Bunun yerine yaklak deerler kullanlarak kk deerlerle allr. x ve y bilinmeyenlerini aadaki ekilde dzenleyelim. dx x x + =0 dy y y + =0 Burada 0x ve 0y yaklak deerler dx ve dy bilinmeyenler olurlar. Bu deerleri yukardaki denklemlerde yerine koyalm ve dzenleyelim. 1 0 1 h H dx x v A + = 1 0 1 h H x dx v A + = 2 0 0 2 h dy y dx x v + + = 2 0 0 2 h y x dy dx v + + = 3 0 3 h H dy y v A + = 3 0 3 h H y dy v A + = 4 0 4 h H dy y v B + = 4 0 4 h H y dy v B + = 5 0 5 h H dx x v B + = 5 0 5 h H x dx v B + = Bu denklemleri bilinmeyenlere gre dzenleyelim. 1 0 10 1 h H x dy dx v A + + = 1 0 1 h H x A = 2 0 0 21 1 h x y dy dx v + + = 2 0 0 2 h x y = 3 0 31 0 h H y dy dx v A + + = 3 0 3 h H y A = 4 0 41 0 h y H dy dx v B + = 4 0 4 h y HB = 5 0 50 1 h x H dy dx v B + + = 5 0 5 h x HB = Yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. =54321543210 11 01 01 10 1dydxvvvvv 47 Stokastik Model: Nivelmanda arlklar geki uzunluu ile ters orantldr. ) ( 1km spii = =54321/ 1 0 0 0 00 / 1 0 0 00 0 / 1 0 00 0 0 / 1 00 0 0 0 / 1ssssspi rnek: Aada verilmi nivelman an dolayl ller yntemiyle dengeleyiniz. 673 . 80A = H m. l says n = 6 Bilinmeyen says u = 3 Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-3>0 Dengeleme var. i ih is (km) 1 43.156 0.65 2 19.218 0.80 3 33.524 1.00 4 57.440 1.40 5 23.962 1.50 6 14.267 1.95 6h 1h 4h 3h 2h ) ( 1 x P ) ( 2 y P ) ( AHA ) ( 3 z P 5h 48 A p H H v h = + 11 1 AH x v h = + 1 1 1 1 h H x v A = 2 12 2 p p H H v h = + y x v h = + 2 2 2 2 h y x v = 2 33 3 p p H H v h = + y z v h = + 3 3 3 3 h y z v = A p H H v h = + 34 4 AH z v h = + 4 4 4 4 h H z v A = A p H H v h = + 25 5 AH y v h = + 5 5 5 5 h H y v A = 1 36 6 p p H H v h = + x z v h = + 6 6 6 3 h x z v = Yaklak deerler dx x x + =0 dy y y + =0 dz z z + =0 1 0 h H x A + = =0x 80.673 + 43.156 = 123.829 m 5 0 h H y A + = =0y 80.673 + 23.962 = 104.635 m 4 0 h H z A + = =0z 80.673 + 57.440 = 138.115 m 1 1 h H x v A = 1 0 1 h H x dx v A + = 2 2 h y x v = 2 0 0 2 h y x dy dx v + = 3 3 h y z v = 3 0 0 3 h y z dz dy v + + = 4 4 h H z v A = 4 0 4 h H z dz v A + = 5 5 h H y v A = 5 0 5 h H y dy v A + = 6 3 h x z v = 6 0 0 3 h x z dz dx v + + = 156 . 43 673 . 80 829 . 1231 + = dx v dx v =1 218 . 19 635 . 104 829 . 1232 + = dy dx v 242 = dy dx v 524 . 33 635 . 104 115 . 1383 + + = dz dy v 463 + = dz dy v 440 . 57 673 . 80 115 . 1384 + = dz v dz v =4 962 . 23 673 . 80 635 . 1045 + = dy v dy v =5 267 . 14 829 . 123 115 . 1383 + + = dz dx v 173 + + = dz dx v Yukardaki deerler mm mertebesindedir. 0 0 0 11 + + + = dz dy dx v 24 0 1 12 + = dz dy dx v 46 1 1 03 + = dz dy dx v 0 1 0 04 + + + = dz dy dx v 0 0 1 05 + + + = dz dy dx v 17 1 0 13 + + + = dz dy dx v 49 Yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. =1700462401 0 10 1 01 0 01 1 00 1 10 0 1654321dzdydxvvvvvv =95 . 1 / 1 0 0 0 0 00 50 . 1 / 1 0 0 0 00 0 40 . 1 / 1 0 0 00 0 0 00 . 1 / 1 0 00 0 0 0 80 . 0 / 1 00 0 0 0 0 65 . 0 / 1ip ) ( 1km spii = =51 . 0 0 0 0 0 00 67 . 0 0 0 0 00 0 71 . 0 0 0 00 0 0 00 . 1 0 00 0 0 0 25 . 1 00 0 0 0 0 54 . 1ip = =23 . 2 00 . 1 51 . 000 . 1 92 . 2 25 . 151 . 0 25 . 1 30 . 3A p A N T = =28 . 3700 . 7672 . 38 p A n T = = 64 . 0 31 . 0 22 . 031 . 0 56 . 0 26 . 022 . 0 26 . 0 44 . 01N Qxx == =52 . 894 . 2012 . 5dzdydxn Q xxx mm 50 Bilinmeyenlerin kesin deeri +=dzdydxzyxzyx000 = +=122 . 138614 . 104834 . 12352 . 894 . 2012 . 5113 . 138635 . 104829 . 123zyx Dzeltmeler = x A v = =39 . 2094 . 2052 . 854 . 1606 . 212 . 517004624052 . 894 . 2012 . 51 0 10 1 01 0 01 1 00 1 10 0 1654321vvvvvv Dengeli ller i i i v h h + = +=654321654321654321vvvvvvhhhhhhhhhhhh =+=287 . 14941 . 23449 . 57507 . 33220 . 19161 . 4339 . 2094 . 2052 . 854 . 1606 . 212 . 5267 . 14962 . 23440 . 57524 . 33218 . 19156 . 43654321hhhhhh Dengeli llerinin denetimi A p H H v h = + 11 1 161 . 43 161 . 43 = 2 12 2 p p H H v h = + 220 . 19 220 . 19 = 2 33 3 p p H H v h = + 507 . 33 507 . 33 = A p H H v h = + 34 4 449 . 57 449 . 57 = A p H H v h = + 25 5 941 . 23 941 . 23 = 1 36 6 p p H H v h = + 287 . 14 287 . 14 = Karesel Ortalama Hata 10 . 173 679 . 8760 = = =u nv p vmT mm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas = = 64 . 0 31 . 0 22 . 031 . 0 56 . 0 26 . 022 . 0 26 . 0 44 . 01N Qxx 51 28 . 11 44 . 0 10 . 170 = = = xx x q m m mm 82 . 12 56 . 0 10 . 170 = = = yy y q m m 67 . 13 64 . 0 10 . 170 = = = zz z q m m llerin Ortalama Hatas ipmmi0 = mm =1hm 13.78 =4hm 20.23 =2hm 15.29 =5hm 20.94 =3hm 17.10 =6hm 23.87 Dengeli llerin Ortalama Hatas = =64 . 0 05 . 0 42 . 0 37 . 0 27 . 0 22 . 005 . 0 56 . 0 31 . 0 25 . 0 30 . 0 26 . 042 . 0 31 . 0 64 . 0 33 . 0 09 . 0 22 . 037 . 0 25 . 0 33 . 0 58 . 0 21 . 0 04 . 027 . 0 30 . 0 09 . 0 21 . 0 47 . 0 17 . 022 . 0 26 . 0 22 . 0 04 . 0 17 . 0 44 . 0 Txx A Q A Q i i iQ m mh 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar =1hm 11.28 =4hm 13.67 mm =2hm 11.78 =5hm 12.82 =3hm 12.98 =6hm 13.67 Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = =95 . 1 0 0 0 0 00 50 . 1 0 0 0 00 0 40 . 1 0 0 00 0 0 00 . 1 0 00 0 0 0 80 . 0 00 0 0 0 0 65 . 01p 52 =31 . 1 05 . 0 42 . 0 37 . 0 27 . 0 22 . 005 . 0 94 . 0 31 . 0 25 . 0 30 . 0 26 . 042 . 0 31 . 0 76 . 0 33 . 0 09 . 0 22 . 037 . 0 25 . 0 33 . 0 42 . 0 21 . 0 04 . 027 . 0 30 . 0 09 . 0 21 . 0 33 . 0 17 . 022 . 0 26 . 0 22 . 0 04 . 0 17 . 0 21 . 0vvQ i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar =1vm 7.91 =4vm 14.91 mm =2vm 9.75 =5vm 16.56 =3vm 11.13 =6vm 19.57 rnek: Bir yerel sistemde ykseklik koordinat bilinen 102 noktasna dayal olarak 103 ve 108 noktalarnn yksekliini nivelman alarnn dolayl ller dengelemesi yntemi ile belirleyiniz. l says n = 3 Bilinmeyen says u = 2 Serbestlik Derecesi f = n-u = 3-2>0 Dengeleme var. 102 1031 1 p p H H v h = + 1021 1 pH x v h = + 1 1102h H x v p = 102 1082 2 p p H H v h = + 1022 2 pH y v h = + 2 2102h H y v p = 103 1083 3 p p H H v h = + x y v h = + 3 3 3 3 h x y v = Kesin Ykseklik 102 1034.306 Yaklak Ykseklik 103 1069.816 108 1161.352 DN BN ller h (m) s (m) 102 103 35.510 581.395 102 108 127.046 458.715 103 108 91.545 724.637 3h 1h 2h ) ( 103 x P ) ( 108 y P 102P 53 Yaklak deerler dx x x + =0 dy y y + =0 1 0102h H x p + = =0x 1034.306 + 35.510 = 1069.816 m 2 0102h H y p + = =0y 1034.306 + 127.046 = 1161.352 m 1 1102h H x v p = 1 0 1102h H x dx v p + = 2 2102h H y v p = 2 0 2102h H y dy v p + = 3 3 h x y v = 3 0 0 3 h x y dx dy v + = 510 . 35 306 . 1034 816 . 10691 + = dx v dx v =1 046 . 127 306 . 1034 352 . 11612 + = dy v dy v =2 545 . 91 816 . 1069 352 . 11613 + = dy dx v 9 . 03 + = dy dx v Yukardaki deerler cm mertebesindedir. 0 0 11 + = dy dx v 0 1 02 + = dy dx v 9 . 0 1 13 + = dy dx v Yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. =9 . 0001 11 00 1321dydxvvv =) 1000 / 637 . 724 /( 1 0 00 ) 1000 / 715 . 458 /( 1 00 0 ) 1000 / 395 . 581 /( 1ip ) ( 1km spii = =38 . 1 0 00 18 . 2 00 0 72 . 1ip 54 rnek: Aada verilmi nivelman an dolayl ller yntemiyle dengelemek iin fonksiyonel ve stokastik modeli yaznz. l says n = 3 Bilinmeyen says u = 1 Serbestlik Derecesi f = n-u = 3-2>0 Dengeleme var. 1 41 1 p p H H v h = + 11 1 pH x v h = + 1 11h H x v p = 4 22 2 p p H H v h = + x H v h p = + 22 2 2 22h H x v p + = 3 43 3 p p H H v h = + 33 3 pH x v h = + 3 33h H x v p = 1 0 11h H x dx v p + = 2 0 22h x H dx v p + = 3 0 33h H x dx v p + = 716 . 2 081 . 508 815 . 5101 + = dx v 8 . 11 + = dx v 934 . 0 815 . 510 769 . 5112 + = dx v 0 . 22 + = dx v 121 . 8 714 . 502 815 . 5103 + = dx v 0 . 23 = dx v Yukardaki deerler cm mertebesindedir. Yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. [ ] =0 . 20 . 28 . 1111321dxvvv Kesin Ykseklikler P1 508.081 P2 511.769 P3 502.714 Yaklak Ykseklik P4 510.815 i ih (m) is (m) 1 2.716 210 2 0.934 210 3 8.121 425 2h 1h 3h 2P 3P 1P ) ( 4 x P 55 =) 1000 / 425 /( 1 0 00 ) 1000 / 210 /( 1 00 0 ) 1000 / 210 /( 1ip ) ( 1km spii = =35 . 2 0 00 76 . 4 00 0 76 . 4ip 56 8. TRGONOMETRK NVELMAN ALARININ DENGELENMES Nivelman alar gnmzde en ok uygulamas yaplan ykseklik alardr. Ancak noktalar arasndaki ykseklik farklarnn fazla ve noktalara ulamn zor olduu arazi artlarnda nivelman ynteminin uygulanmas zordur ve ekonomik deildir. Bu tr arazi artlarnda noktalara ykseklik tamada Trigonometrik Nivelman yntemi kullanlr. Trigonometrik Nivelman yntemi dey a gzlemlerine dayanr. Bu alarda ller gnmzde Elektronik Uzaklk lerler (Total Station) ve reflektrlerle yaplr. Dey a gzlemlerine ve ykseklik farklarna gre olmak zere iki eit deerlendirme yntemi vardr. Bir Trigonometrik Nivelman anda bir noktann yksekliini bilmek o adaki dier tm noktalara ykseklik tamak iin yeterlidir. P1, P2 : Durulan Nokta, Baklan Nokta 1H , 2H : Durulan ve Baklan noktalarn Ortometrik ykseklikleri i : Durulan noktada alet ykseklii t : Baklan noktada reflektr ykseklii 2 1D : Eik uzunluk 2 1S : Alet yksekliindeki yatay uzunluk 2 1Z : Dey a ls Jeoid Deniz Yzeyi Yeryz P1 P2 2 1S 2 1Z 1H 2H 2 1D i t 2 1 2 1cot Z S 57 8.1. DEY AILARLA DENGELEME Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasndaki ykseklik farkdr. Fonksiyonel modeli ykseklik farklar iin yazalm ve dzenleyelim. Bu modelde l dey alardr. 22 1 2 1 2 1 1 221cot + + + = Srkt i Z S H H Burada 13 . 0 k refraksiyon katsays, 6373 = r km yerin yarapdr. rkK=21 olarak dnelim ve fonksiyonu yeniden yazalm. 22 1 2 1 2 1 1 2cot + + + = S K t i Z S H H ( ) t i S K H HSZ + = 22 1 1 22 12 11cot ( ))`+ = t i S K H HSarc Z22 1 1 22 12 11cot Bu fonksiyon lineer deildir. Dorusal olmayan denklemleri dengeleme ileminde kullanabilmek iin lineer hale getirmek gereklidir. Bu fonksiyon yaklak deerler kullanlarak Taylor serisine alr. 101 1 dh H H + = 202 2 dh H H + = l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu ( )22 102 1212 102 1222 101022 12 1 2 1sin sin 1cot02 1dhSZdhSZt i S K H HSarc vZ ZZ +)`+ = + 58 2 102 1 22 102 1212 102 122 1sin sin + = Z Z dhSZdhSZvZ =2 102 12sinSZa =2 102 12sinSZb 2 102 1 = Z Z Yukardaki ksaltmalar kullanarak dzeltme denklemini aadaki gibi yazabiliriz. + = 2 1 2 1 dh b dh a vZ Stokastik Model: Bu model iin arlklar dey a gzlemlerinden elde edilebilir. Ya da ayn lmeci, ayn alet, ayn atmosferik artlar dncesiyle tm gzlemlerin eit arlkta olduu kabul edilebilir. rnek: Aada verilmi Trigonometrik Nivelman an dolayl ller yntemiyle dengeleyiniz. NN iH Kesin Ykseklik 3 1016.253 Yaklak Ykseklikler 2 1117.001 5 1047.644 6 1101.859 DN BN Dey A j iZ Alet Ykseklii i Reflektr Ykseklii t j iS 2 3 102.92374 1.42 1.75 2194.193 5 102.28561 1.42 1.81 1924.510 6 102.51359 1.42 1.76 1875.414 3 2 97.08010 1.61 1.90 2194.200 5 98.71777 1.61 1.87 1562.956 6 96.35727 1.61 1.83 1495.632 5 2 97.70589 1.45 1.88 1924.500 3 101.27326 1.45 1.82 1562.961 2 5 3 6 59 ( ))`+ = t i S K H HSarc Z j ij ij i2 010201cot 0000000683 . 063700000 213 . 0 121= ==rkK |.|
\| =10000200100sin2 102 12 SZa a b = ( ) 100002 102 1 = Z Z DN BN j iS 0 0i j H H 2j iS K i t 0j iZ j iZ a (cc/cm) (cc) 2 3 2194.193 -100.748 0.3288 1.42 1.75 102.92100 102.92374 2.8953 -27.4 5 1924.510 -69.357 0.2529 1.42 1.81 102.28878 102.28561 3.3037 31.7 6 1875.414 -15.142 0.2402 1.42 1.76 102.51060 102.51359 3.3943 -29.9 3 2 2194.200 100.748 0.3288 1.61 1.90 97.08010 97.08010 2.8953 0 5 1562.956 31.391 0.1668 1.61 1.87 98.71777 98.71777 4.0715 0 6 1495.632 85.606 0.1528 1.61 1.83 96.35728 96.35727 4.2426 0 5 2 1924.500 69.357 0.2529 1.45 1.88 97.70083 97.70589 3.3037 -50.6 3 1562.961 -31.391 0.1668 1.45 1.82 101.27016 101.27326 4.0715 -31.0 l says n = 8 Bilinmeyen says u = 3 Serbestlik Derecesi f = n-u = 8-3>0 Dengeleme var. Dzeltme denklemlerini yazalm. + = j i j i dh b dh a vZ 4 . 27 8953 . 2 8953 . 23 2 3 2 = dh dh vZ 7 . 31 3037 . 3 3037 . 35 2 5 2 + = dh dh vZ 9 . 29 3943 . 3 3943 . 36 2 6 2 = dh dh vZ 0 . 0 8953 . 2 8953 . 22 3 2 3 + = dh dh vZ 0 . 0 0715 . 4 0715 . 45 3 5 3 + = dh dh vZ 0 . 0 2426 . 4 2426 . 46 3 6 3 + = dh dh vZ 6 . 50 3037 . 3 3037 . 32 5 2 5 = dh dh vZ 0 . 31 0715 . 4 0715 . 43 5 3 5 = dh dh vZ 3 Numaral nokta ada sabit alnan noktadr. Bu noktann koordinatlarna dzeltme getirilmez. Yukardaki denklemlerden 3 numaral noktaya ait katsaylar atalm. 60 4 . 27 8953 . 22 3 2 = dh vZ 7 . 31 3037 . 3 3037 . 35 2 5 2 + = dh dh vZ 9 . 29 3943 . 3 3943 . 36 2 6 2 = dh dh vZ 0 . 0 8953 . 22 2 3 + = dh vZ 0 . 0 0715 . 45 5 3 + = dh vZ 0 . 0 2426 . 46 6 3 + = dh vZ 6 . 50 3037 . 3 3037 . 32 5 2 5 = dh dh vZ 0 . 31 0715 . 45 3 5 = dh vZ Bu denklemleri bilinmeyenlere gre yeniden dzenleyelim. Birim (cc: saniye) 4 . 27 0 0 8953 . 26 5 2 3 2 + + = dh dh dh vZ 7 . 31 0 3037 . 3 3037 . 36 5 2 5 2 + + = dh dh dh vZ 9 . 29 3943 . 3 0 3943 . 36 5 2 6 2 + = dh dh dh vZ 0 . 0 0 0 8953 . 26 5 2 2 3 + + + = dh dh dh vZ 0 . 0 0 0715 . 4 06 5 2 5 3 + + = dh dh dh vZ 0 . 0 2426 . 4 0 06 5 2 6 3 + + = dh dh dh vZ 6 . 50 0 3037 . 3 3037 . 36 5 2 2 5 + + = dh dh dh vZ 0 . 31 0 0715 . 4 06 5 2 3 5 + + = dh dh dh vZ Yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. ((((((((((((
((((
((((((((((((
=((((((((((((
10 . 316 . 500009 . 297 . 314 . 270 0715 . 4 00 3037 . 3 3037 . 32426 . 4 0 00 0715 . 4 00 0 8953 . 23943 . 3 0 3943 . 30 3037 . 3 3037 . 30 0 8953 . 26523 52 56 35 32 36 25 23 2dhdhdhvZvZvZvZvZvZvZvZ ((((
= =5212 . 29 0000 . 0 5215 . 110000 . 0 9834 . 54 8287 . 215215 . 11 8287 . 21 1154 . 50A A N T ((((
= =30 . 10106 . 39832 . 91TA n 61 ((((
= = 0380 . 0 0042 . 0 0106 . 00042 . 0 0225 . 0 0107 . 00106 . 0 0107 . 0 0271 . 01N Qxx ((((
=((((
= =14 . 353 . 774 . 0652dhdhdhn Q xxx cm Bilinmeyenlerin kesin deeri ((((
+((((
=((((
652060502652dhdhdhHHHHHH ((((
=((((
+((((
=((((
8276 . 11017193 . 10470084 . 111714 . 353 . 774 . 0859 . 1101644 . 1047001 . 1117652HHH Dzeltmeler = x A v Birim (cc: saniye) ((((((((((((
=((((((((((((
((((
((((((((((((
=((((((((((((
30 . 014 . 2836 . 1366 . 3013 . 270 . 1628 . 924 . 2510 . 316 . 500009 . 297 . 314 . 2714 . 353 . 774 . 00 0715 . 4 00 3037 . 3 3037 . 32426 . 4 0 00 0715 . 4 00 0 8953 . 23943 . 3 0 3943 . 30 3037 . 3 3037 . 30 0 8953 . 23 52 56 35 32 36 25 23 2vZvZvZvZvZvZvZvZ Dengeli ller j i j i j i vZ Z Z + = ((((((((((((
+((((((((((((
=((((((((((((
3 52 56 35 32 36 25 23 23 52 56 35 32 36 25 23 23 52 56 35 32 36 25 23 2vZvZvZvZvZvZvZvZZZZZZZZZZZZZZZZZ ((((((((((((
=((((((((((((
+((((((((((((
=((((((((((((
27323 . 10170308 . 9735861 . 9671470 . 9807988 . 9751192 . 10028653 . 10292121 . 10230 . 014 . 2836 . 1366 . 3013 . 270 . 1628 . 924 . 2527326 . 10170589 . 9735727 . 9671777 . 9808010 . 9751359 . 10028561 . 10292374 . 1023 52 56 35 32 36 25 23 2ZZZZZZZZ Dengeli llerinin denetimi Dengeli llerden hesaplanan dengeli dey alar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan dengeli dey alar iin aadaki kontrol yaplr. 62 j i j i j i vZ Z Z + = = ( ))`+ = t i S K H HSarc Z j i i jj ij i21cot ((((((((((((
=((((((((((((
27323 . 10170308 . 9735861 . 9671470 . 9807988 . 9751192 . 10028653 . 10292121 . 10227323 . 10170308 . 9735861 . 9671470 . 9807988 . 9751192 . 10028653 . 10292121 . 102 Karesel Ortalama Hata ccTu nv vm 16 . 243 860 . 29170 = = = Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ((((
= = 0380 . 0 0042 . 0 0106 . 00042 . 0 0225 . 0 0107 . 00106 . 0 0107 . 0 0271 . 01N Qxx 97 . 3 0271 . 0 16 . 2402 = = = xx H q m m cm 62 . 3 0225 . 0 16 . 2405 = = = yy H q m m 71 . 4 0380 . 0 16 . 2406 = = = zz H q m m llerin Ortalama Hatas ipmmi0 = cc Arllar eit alnd iin llerin ortalama hatas karesel ortalama hataya eittir. Dengeli llerin Ortalama Hatas ((((((((((((
= =37 . 0 16 . 0 07 . 0 37 . 0 13 . 0 09 . 0 16 . 0 13 . 016 . 0 31 . 0 09 . 0 16 . 0 16 . 0 11 . 0 31 . 0 16 . 007 . 0 09 . 0 68 . 0 07 . 0 13 . 0 40 . 0 09 . 0 13 . 037 . 0 16 . 0 07 . 0 37 . 0 13 . 0 09 . 0 16 . 0 13 . 013 . 0 16 . 0 13 . 0 13 . 0 23 . 0 16 . 0 16 . 0 23 . 009 . 0 11 . 0 40 . 0 09 . 0 16 . 0 51 . 0 11 . 0 16 . 016 . 0 31 . 0 09 . 0 16 . 0 16 . 0 11 . 0 31 . 0 16 . 013 . 0 16 . 0 13 . 0 13 . 0 23 . 0 16 . 0 16 . 0 23 . 0 Txx A Q A Q 63 i i iQ m mZ 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar =1Zm 11.51 =5Zm 14.74 cc =2Zm 13.36 =6Zm 19.98 =3Zm 17.19 =7Zm 13.36 =4Zm 11.51 =8Zm 14.74 Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = ((((((((((((
=1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 11p ((((((((((((
=63 . 0 16 . 0 07 . 0 37 . 0 13 . 0 09 . 0 16 . 0 13 . 016 . 0 69 . 0 09 . 0 16 . 0 16 . 0 11 . 0 31 . 0 16 . 007 . 0 09 . 0 32 . 0 07 . 0 13 . 0 40 . 0 09 . 0 13 . 037 . 0 16 . 0 07 . 0 63 . 0 13 . 0 09 . 0 16 . 0 13 . 013 . 0 16 . 0 13 . 0 13 . 0 77 . 0 16 . 0 16 . 0 23 . 009 . 0 11 . 0 40 . 0 09 . 0 16 . 0 49 . 0 11 . 0 16 . 016 . 0 31 . 0 09 . 0 16 . 0 16 . 0 11 . 0 69 . 0 16 . 013 . 0 16 . 0 13 . 0 13 . 0 23 . 0 16 . 0 16 . 0 77 . 0vvQ i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar =1vm 21.24 =5vm 19.14 mm =2vm 20.13 =6vm 13.58 =3vm 16.97 =7vm 20.13 =4vm 21.24 =8vm 19.14 64 8.2. YKSEKLK FARKLARINA GRE DENGELEME Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasndaki ykseklik farkdr. Fonksiyonel modeli ykseklik farklar iin yazalm ve dzenleyelim. 22 1 2 1 2 1 1 221cot + + + = Srkt i Z S H H 22 1 2 1 2 1 1 221cot + + = Srkt i Z S H H 1 2 2 1 H H H = Bu yntemde yukardaki eitlikten hesaplanan ykseklik farklar l olarak ele alnr ve problem nivelman alarnn dengelenmesi gibi zlr. l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu 1 2 2 1 2 1 H H H v H = + 101 1 dh H H + = 202 2 dh H H + = 101 202 2 1 2 1 dh H dh H H v H + = + 2 10102 2 1 2 1 + + = H H H dh dh H v 2 10102 = H H H Dzeltme denklemleri (Fonksiyonel Model) + = 2 1 2 1 dh dh H v 65 Stokastik Model: Ykseklik farklar ile zm yaplan Trigonometrik Nivelmanda arlklar geki uzunluunun karesi ile ters orantldr. ) ( 12km spii = rnek: Aada verilmi Trigonometrik Nivelman an ykseklik farklarna gre dolayl ller yntemiyle dengeleyiniz. NN iH Kesin Ykseklik 3 1016.253 Yaklak Ykseklikler 2 1117.001 5 1047.644 6 1101.859 DN BN Dey A j iZ Alet Ykseklii i Reflektr Ykseklii t j iS 2 3 102.92374 1.42 1.75 2194.193 5 102.28561 1.42 1.81 1924.510 6 102.51359 1.42 1.76 1875.414 3 2 97.08010 1.61 1.90 2194.200 5 98.71777 1.61 1.87 1562.956 6 96.35727 1.61 1.83 1495.632 5 2 97.70589 1.45 1.88 1924.500 3 101.27326 1.45 1.82 1562.961 l says n = 8 Bilinmeyen says u = 3 Serbestlik Derecesi f = n-u = 8-3>0 Dengeleme var. 2 5 3 6 x y z 66 l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu 2 3 3 2 3 2 H H H v H = + x H H v H = + 3 3 2 3 2 2 5 5 2 5 2 H H H v H = + x y H v H = + 5 2 5 2 2 6 6 2 6 2 H H H v H = + x z H v H = + 6 2 6 2 3 2 2 3 2 3 H H H v H = + 3 2 3 2 3 H x H v H = + 3 5 5 3 5 3 H H H v H = + 3 5 3 5 3 H y H v H = + 3 6 6 3 6 3 H H H v H = + 3 6 3 6 3 H z H v H = + 5 2 2 5 2 5 H H H v H = + y x H v H = + 2 5 2 5 5 3 3 5 3 5 H H H v H = + y H H v H = + 3 3 5 3 5 dx x x + =0 dy y y + =0 dz z z + =0 3 2 3 3 2 = H x H H v 3 2 0 3 3 2 = H dx x H H v 5 2 5 2 = H x y H v 5 2 0 0 5 2 + = H dx x dy y H v 6 2 6 2 = H x z H v 6 2 0 0 6 2 + = H dx x dz z H v 2 3 3 2 3 = H H x H v 2 3 3 0 2 3 + = H H dx x H v 5 3 3 5 3 = H H y H v 5 3 3 0 5 3 + = H H dy y H v 6 3 3 6 3 = H H z H v 6 3 3 0 6 3 + = H H dz z H v 2 5 2 5 = H y x H v 2 5 0 0 2 5 + = H dy y dx x H v 3 5 3 3 5 = H y H H v 3 5 0 3 3 5 = H dy y H H v 3 2 0 3 3 2 + = H x H dx H v 3 2 0 3 1 = H x H 5 2 0 0 5 2 + + = H x y dy dx H v 5 2 0 0 2 = H x y 6 2 0 0 6 2 + + = H x z dz dx H v 6 2 0 0 3 = H x z 2 3 3 0 2 3 + = H H x dx H v 2 3 3 0 4 = H H x 5 3 3 0 5 3 + = H H y dy H v 5 3 3 0 5 = H H y 6 3 3 0 6 3 + = H H z dz H v 6 3 3 0 6 = H H z 2 5 0 0 2 5 + = H y x dy dx H v 2 5 0 0 7 = H y x 3 5 0 3 3 5 + = H y H dy H v 3 5 0 3 8 = H y H 67 Ykseklik farklar 22 1 2 1 2 121cot + + = Srkt i Z S Hij yardmyla hesaplanr. 0000000683 . 063700000 213 . 0 121= ==rkK DN BN j iS j iZ 2 1 2 1cot Z S i t 2j iS K 0 0i j H H j iH (cm) 2 3 2194.193 102.92374 -100.841 1.42 1.75 0.3288 -100.748 -100.843 9.4 5 1924.510 102.28561 -69.124 1.42 1.81 0.2529 -69.357 -69.261 -9.6 6 1875.414 102.51359 -15.130 1.42 1.76 0.2402 -15.142 -15.230 8.8 3 2 2194.200 97.08010 100.709 1.61 1.90 0.3288 100.748 100.748 0 5 1562.956 98.71777 31.484 1.61 1.87 0.1668 31.391 31.391 0 6 1495.632 96.35727 85.673 1.61 1.83 0.1528 85.606 85.606 0 5 2 1924.500 97.70589 69.381 1.45 1.88 0.2529 69.357 69.204 15.3 3 1562.961 101.27326 -31.264 1.45 1.82 0.1668 -31.391 -31.467 7.6 4 . 93 2 + = dx H v 4 . 9 0 0 13 2 + + + = dz dy dx H v 6 . 95 2 + = dy dx H v 6 . 9 0 1 15 2 + + = dz dy dx H v 8 . 86 2 + + = dz dx H v 8 . 8 1 0 16 2 + + + = dz dy dx H v 0 . 02 3 + = dx H v 0 . 0 0 0 12 3 + + + = dz dy dx H v 0 . 05 3 + = dy H v 0 . 0 0 1 05 3 + + + = dz dy dx H v 0 . 06 3 + = dz H v 0 . 0 1 0 06 3 + + + = dz dy dx H v 3 . 152 5 + = dy dx H v 3 . 15 0 1 12 5 + + = dz dy dx H v 6 . 73 5 + = dy H v 6 . 7 0 1 03 5 + + = dz dy dx H v Yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. ((((((((((((
((((
((((((((((((
=((((((((((((
6 . 73 . 150008 . 86 . 95 . 90 1 00 1 11 0 00 1 00 0 11 0 10 1 10 0 13 52 56 35 32 36 25 23 2dzdydxH vH vH vH vH vH vH vH v 68 ((((
= =2 0 10 4 21 2 5A A N T ((((
= =80 . 852 . 3266 . 6TA n ((((
= = 5714 . 0 0714 . 0 1429 . 00714 . 0 3214 . 0 1429 . 01429 . 0 1429 . 0 2857 . 01N Qxx ((((
=((((
= =65 . 387 . 849 . 1dzdydxn Q xxx cm Bilinmeyenlerin kesin deeri ((((
+((((
=((((
dzdydxzyxzyx000 ((((
=((((
+((((
=((((
8225 . 11017327 . 10470159 . 111765 . 387 . 849 . 1859 . 1101644 . 1047001 . 1117zyx Dzeltmeler = x A v ((((((((((((
=((((((((((((
((((
((((((((((((
=((((((((((((
27 . 193 . 766 . 387 . 849 . 166 . 322 . 297 . 76 . 73 . 150008 . 86 . 95 . 965 . 387 . 849 . 10 1 00 1 11 0 00 1 00 0 11 0 10 1 10 0 13 52 56 35 32 36 25 23 2H vH vH vH vH vH vH vH v Dengeli ller j i j i j i H v H H + = ((((((((((((
+((((((((((((
=((((((((((((
3 52 56 35 32 36 25 23 23 52 56 35 32 36 25 23 23 52 56 35 32 36 25 23 2H vH vH vH vH vH vH vH vHHHHHHHHHHHHHHHH ((((((((((((
=((((((((((((
+((((((((((((
=((((((((((((
480 . 31283 . 69569 . 85480 . 31763 . 100193 . 15283 . 69763 . 10027 . 193 . 766 . 387 . 849 . 166 . 322 . 297 . 7467 . 31204 . 69606 . 85391 . 31748 . 100230 . 15261 . 69843 . 1003 52 56 35 32 36 25 23 2HHHHHHHH 69 Dengeli llerinin denetimi Dengeli llerden hesaplanan dengeli dey alar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan dengeli dey alar iin aadaki kontrol yaplr. i j j i j i j i H H H v H H = + = ((((((((((((
=((((((((((((
480 . 31283 . 69569 . 85480 . 31763 . 100193 . 15283 . 69763 . 100480 . 31283 . 69569 . 85480 . 31763 . 100193 . 15283 . 69763 . 100 Karesel Ortalama Hata 94 . 63 858 . 2400 = = =u nv vmT cm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas ((((
= = 5714 . 0 0714 . 0 1429 . 00714 . 0 3214 . 0 1429 . 01429 . 0 1429 . 0 2857 . 01N Qxx 71 . 3 2857 . 0 94 . 60 = = = xx x q m m cm 93 . 3 3214 . 0 94 . 60 = = = yy y q m m 24 . 5 5714 . 0 94 . 60 = = = zz z q m m llerin Ortalama Hatas ipmmi0 = cm Arllar eit alnd iin llerin ortalama hatas karesel ortalama hataya eittir. 70 Dengeli llerin Ortalama Hatas ((((((((((((
= =32 . 0 18 . 0 07 . 0 32 . 0 14 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 018 . 0 32 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 0 07 . 0 32 . 0 14 . 007 . 0 07 . 0 57 . 0 07 . 0 14 . 0 43 . 0 07 . 0 14 . 032 . 0 18 . 0 07 . 0 32 . 0 14 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 014 . 0 14 . 0 14 . 0 14 . 0 29 . 0 14 . 0 14 . 0 29 . 007 . 0 07 . 0 43 . 0 07 . 0 14 . 0 57 . 0 07 . 0 14 . 018 . 0 32 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 0 07 . 0 32 . 0 14 . 014 . 0 14 . 0 14 . 0 14 . 0 29 . 0 14 . 0 14 . 0 29 . 0 Txx A Q A Q i i j iQ m mH 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar =3 2Hm 3.71 =5 3Hm 3.93 cm =5 2Hm 3.93 =6 3Hm 5.24 =6 2Hm 5.24 =2 5Hm 3.93 =2 3Hm 3.71 =3 5Hm 3.93 Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = ((((((((((((
=1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 11p ((((((((((((
=68 . 0 18 . 0 07 . 0 32 . 0 14 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 018 . 0 68 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 0 07 . 0 32 . 0 14 . 007 . 0 07 . 0 43 . 0 07 . 0 14 . 0 43 . 0 07 . 0 14 . 032 . 0 18 . 0 07 . 0 68 . 0 14 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 014 . 0 14 . 0 14 . 0 14 . 0 71 . 0 14 . 0 14 . 0 29 . 007 . 0 07 . 0 43 . 0 07 . 0 14 . 0 43 . 0 07 . 0 14 . 018 . 0 32 . 0 07 . 0 18 . 0 14 . 0 07 . 0 68 . 0 14 . 014 . 0 14 . 0 14 . 0 14 . 0 29 . 0 14 . 0 14 . 0 71 . 0vvQ 71 i ii v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar =1vm 5.86 =5vm 5.71 cm =2vm 5.71 =6vm 4.54 =3vm 4.54 =7vm 5.71 =4vm 5.86 =8vm 5.71 72 9. GPS ALARININ DENGELENMES GPS alar 3 boyutlu konum alardr. Bu alarn koordinat sistemi yer merkezlidir (Jeosantrik). Bu alarda ller GPS alclar ile yaplr. Bir GPS anda bir noktann X, Y, Z Kartezyen koordinatlarn bilmek o adaki dier tm noktalara koordinat tamak iin yeterlidir. GPS alarnda yksek doruluk elde etmek iin bal konum belirlenir (bazlar belirlenir). Bir baz belirlemek demek o bazdaki X , Y ve Z koordinat farklarn belirlemek demektir. Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasndaki llen baza ait koordinat farklardr. Fonksiyonel modeli koordinat farklar iin yazalm ve dzenleyelim. l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu 1 2 2 1 2 1 X X Vx X = + 2 1 1 2 2 1 = X X X Vx 1 2 2 1 2 1 Y Y Vy Y = + 2 1 1 2 2 1 = Y Y Y Vy 1 2 2 1 2 1 Z Z Vz Z = + 2 1 1 2 2 1 = Z Z Z Vz ) , , (1 1 1 1 P Z Y X Z ) , , (2 2 2 2 Z Y X P Y 1 2 2 1 Y Y Y = 1 2 2 1 Z Z Z = X 1 2 2 1 X X X = 73 Dengeleme hesab problemlerinde byk deerlerle allmaz. Bunun yerine yaklak deerler kullanlarak kk deerlerle allr. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aadaki ekilde dzenleyelim. dX X X + =0 dY Y Y + =0 dZ Z Z + =0 Burada 0X , 0Y ve 0Z yaklak deerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu deerleri yukardaki denklemlerde yerine koyalm ve dzenleyelim. 2 1 101 202 2 1 + = X dX X dX X Vx 2 10102 2 1 2 1 + + = X X X dX dX Vx 2 1 101 202 2 1 + = Y dY Y dY Y Vy 2 10102 2 1 2 1 + + = Y Y Y dY dY Vy 2 1 101 202 2 1 + = Z dZ Z dZ Z Vz 2 10102 2 1 2 1 + + = Z Z Z dZ dZ Vz Denklemleri bilinmeyenlere gre dzenleyelim. 2 10102 2 2 2 1 1 1 2 10 0 1 0 0 1 + + + + + + = X X X dZ dY dX dZ dY dX Vx 2 10102 2 2 2 1 1 1 2 10 1 0 0 1 0 + + + + + = Y Y Y dZ dY dX dZ dY dX Vy 2 10102 2 2 2 1 1 1 2 11 0 0 1 0 0 + + + + + = Z Z Z dZ dY dX dZ dY dX Vx 2 10102 1 = X X X 2 10102 2 = Y Y Y 2 10102 3 = Z Z Z Olmak zere yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. =3212221112 12 12 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1dZdYdXdZdYdXVzVyVx 74 Stokastik Model: Bir GPS anda belirlenen bir baza ait varyans-kovaryans matrisinin duyarlklar farkl ve korelsyonludur. = 2222 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1Z Z Y Z XZ Y Y Y XZ X Y X Xm m mm m mm m mK = 2222 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1Z Z Y Z Y Z X Z XZ Y Z Y Y Y X Y XZ X Z X Y X Y X Xm m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK 2 120 2 1 = Q m K 202 12 1mKQ = 12 1 2 1 = Q p Arlk matrisi rnek: Aada verilmi GPS an dolayl ller yntemiyle dengeleyiniz. Birim lnn ortalama hatasn 20 = m cm olarak alnz. l says n = 2 baz x 3 (koordinat fark) = 6 Bilinmeyen says u = 3 (11 numaral noktann koordinatlar) Serbestlik Derecesi f = n-u = 6-3>0 Dengeleme var. NN X (m) Y (m) Z (m) Kesin Koordinatlar 4 3710709.539 3084028.627 4157648.644 7 3710479.640 3084171.030 4157677.581 Yaklak Koordinatlar 11 3710442.600 3084257.800 4157623.100 DN DN X (m) Y (m) Z (m) Xm(cm) Ym(cm) Zm(cm) = Y Xr 0.2 7 4 229.897 -142.404 -28.937 1.2 2.4 1.3 = Z Xr 0.4 11 4 266.878 -229.233 25.473 2.3 1.5 1.0 = Z Yr 0.3 75 7 4 4 7 4 7 X X Vx X = + 4 7 7 4 4 7 = X X X Vx 7 4 4 7 4 7 Y Y Vy Y = + 4 7 7 4 4 7 = Y Y Y Vy 7 4 4 7 4 7 Z Z Vz Z = + 4 7 7 4 4 7 = Z Z Z Vz 11 4 4 11 4 11 X X Vx X = + 4 11 11 4 4 11 = X X X Vx 11 4 4 11 4 11 Y Y Vy Y = + 4 11 11 4 4 11 = Y Y Y Vy 11 4 4 11 4 11 Z Z Vz Z = + 4 11 11 4 4 11 = Z Z Z Vz Yaklak deerler 404 4 dX X X + = 404 4 dY Y Y + = 404 4 dZ Z Z + = 707 7 dX X X + = 707 7 dY Y Y + = 707 7 dZ Z Z + = 11011 11 dX X X + = 11011 11 dY Y Y + = 11011 11 dZ Z Z + = Yaklak deerleri yukardaki denklemlerde yerine koyalm ve dzenleyelim. 4 7 707 404 4 7 + = X dX X dX X Vx 4 70704 7 4 4 7 + = X X X dX dX Vx 4 7 707 404 4 7 + = Y dY Y dY Y Vy 4 70704 7 4 4 7 + = Y Y Y dY dY Vy 4 7 707 404 4 7 + = Z dZ Z dZ Z Vz 4 70704 7 4 4 7 + = Z Z Z dZ dZ Vz 4 11 11011 404 4 11 + = X dX X dX X Vx 4 1101104 11 4 4 11 + = X X X dX dX Vx 4 11 11011 404 4 11 + = Y dY Y dY Y Vy 4 1101104 11 4 4 11 + = Y Y Y dY dY Vy 4 11 11011 404 4 11 + = Z dZ Z dZ Z Vz 4 1101104 11 4 4 11 + = Z Z Z dZ dZ Vz 2 . 04 70704 1 = = X X X cm 1 . 04 70704 2 = = Y Y Y 0 . 04 70704 3 = = Z Z Z 1 . 64 1101104 4 = = X X X 0 . 64 1101104 5 = = Y Y Y 1 . 74 1101104 6 = = Z Z Z 76 4 ve 7 numaral noktalar sabit noktalardr. Bu noktalara herhangi bir dzeltme getirilmez. Bu noktalara ait 4dX , 4dY ,4dZ ve 7dX , 7dY ,7dZ bilinmeyenlerini dzeltme denklemlerinden atalm ve dzenleyelim. 2 . 04 7 =Vx 2 . 0 0 0 011 11 11 4 7 + + + = dZ dY dX Vx 1 . 04 7 =Vy 1 . 0 0 0 011 11 11 4 7 + + + = dZ dY dX Vy 0 . 04 7 =Vz 0 . 0 0 0 011 11 11 4 7 + + + = dZ dY dX Vz 1 . 611 4 11 + = dX Vx 1 . 6 0 011 11 11 4 11 + + + = dZ dY dX Vx 0 . 611 4 11 + = dY Vy 0 . 6 0 011 11 11 4 11 + + = dZ dY dX Vy 1 . 711 4 11 + = dZ Vz 1 . 7 0 011 11 11 4 11 + + = dZ dY dX Vz Yukardaki denklemleri = x A v formatnda (Fonksiyonel Model) yazalm. =1 . 70 . 61 . 61 . 01 . 02 . 01 0 00 1 00 0 10 0 00 0 00 0 01111114 114 114 114 74 74 7dZdYdXVzVyVxVzVyVx Stokastik Model = 2224 74 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 74 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 74 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7Z Z Y Z Y Z X Z XZ Y Z Y Y Y X Y XZ X Z X Y X Y X Xm m m r m m rm m r m m m rm m r m m r mK =2224 73 . 1 3 . 1 4 . 2 3 . 0 3 . 1 2 . 1 4 . 03 . 1 4 . 2 3 . 0 4 . 2 4 . 2 2 . 1 2 . 03 . 1 2 . 1 4 . 0 4 . 2 2 . 1 2 . 0 2 . 1K =69 . 1 94 . 0 62 . 094 . 0 76 . 5 58 . 062 . 0 58 . 0 44 . 14 7K 77 =00 . 1 45 . 0 92 . 045 . 0 25 . 2 69 . 092 . 0 69 . 0 29 . 54 11K =00 . 1 45 . 0 92 . 0 0 0 045 . 0 25 . 2 69 . 0 0 0 092 . 0 69 . 0 29 . 5 0 0 00 0 0 69 . 1 94 . 0 62 . 00 0 0 94 . 0 76 . 5 58 . 00 0 0 62 . 0 58 . 0 44 . 1K Baz saysnn ok fazla olduu GPS alarnda bu ekilde oluturulan stokastik modelin tersini almak bilgisayar kullanarak bile ok zordur. Bu nedenle bazlarn kendi ierisinde tersini alarak arlklar hesaplanr. Kegen bir blok matrisin tersi, bloklarn ayr ayr terslerine eittir. Aadaki formllerden yararlanarak her baz iin arlklar hesaplanr. 4 720 4 7 = Q m K 204 74 7mKQ = 14 7 4 7 = Q p Arlk matrisi ==42 . 0 23 . 0 16 . 023 . 0 44 . 1 14 . 016 . 0 14 . 0 36 . 02 :69 . 1 94 . 0 62 . 094 . 0 76 . 5 58 . 062 . 0 58 . 0 44 . 124 7Q =00 . 3 37 . 0 15 . 137 . 0 77 . 0 15 . 015 . 1 15 . 0 33 . 34 7P =07 . 5 77 . 0 78 . 077 . 0 97 . 1 12 . 078 . 0 12 . 0 91 . 04 11P 78 =07 . 5 77 . 0 78 . 0 0 0 077 . 0 97 . 1 12 . 0 0 0 078 . 0 12 . 0 91 . 0 0 0 00 0 0 00 . 3 37 . 0 15 . 10 0 0 37 . 0 77 . 0 15 . 00 0 0 15 . 1 15 . 0 33 . 3P = =07 . 5 77 . 0 78 . 077 . 0 97 . 1 12 . 078 . 0 12 . 0 91 . 0A p A N T = =57 . 2658 . 574 . 0 p A n T = = 25 . 0 11 . 0 23 . 011 . 0 56 . 0 17 . 023 . 0 17 . 0 32 . 11N Qxx == =1 . 70 . 61 . 6111111dzdydxn Q xxx cm Bilinmeyenlerin kesin deeri +=111111011011011111111dZdYdXZYXZYX =+=171 . 4157623860 . 3084257661 . 37104421 . 70 . 61 . 6100 . 4157623800 . 3084257600 . 3710442111111dZdYdX Dzeltmeler = x A v ==0 . 00 . 00 . 00 . 01 . 02 . 01 . 70 . 61 . 61 . 01 . 02 . 01 . 70 . 61 . 61 0 00 1 00 0 10 0 00 0 00 0 04 114 114 114 74 74 7VzVyVxVzVyVx Dengeli ller +=4 114 114 114 74 74 74 114 114 114 74 74 74 114 114 114 74 74 7VzVyVxVzVyVxZYXZYXZYXZYX =+=473 . 25233 . 229878 . 266937 . 28403 . 142899 . 2290 . 00 . 00 . 00 . 01 . 02 . 0473 . 25233 . 229878 . 266937 . 28404 . 142897 . 2294 114 114 114 74 74 7ZYXZYX 79 Dengeli llerinin denetimi =+ + + + + + 11 411 411 47 47 47 44 11 4 114 11 4 114 11 4 114 7 4 74 7 4 74 7 4 7Z ZY YX XZ ZY YX XVz ZVy YVx XVz ZVy YVx X =473 . 25233 . 229878 . 266937 . 28403 . 142899 . 229473 . 25233 . 229878 . 266937 . 28403 . 142899 . 229 Karesel Ortalama Hata 21 . 03 614 . 00 = = =u nv p vmT cm Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas = = 25 . 0 11 . 0 23 . 011 . 0 56 . 0 17 . 023 . 0 17 . 0 32 . 11N Qxx 24 . 0 32 . 1 21 . 00 = = = xx x q m m cm 16 . 0 56 . 0 21 . 00 = = = yy y q m m 11 . 0 25 . 0 21 . 00 = = = zz z q m m llerin Ortalama Hatas ipmmi0 = cm =4 7Xm 0.12 =4 11Xm 0.22 =4 7Ym 0.24 =4 11Ym 0.15 =4 7Zm 0.12 =4 11Zm 0.09 Dengeli llerin Ortalama Hatas = =25 . 0 11 . 0 23 . 0 0 0 011 . 0 56 . 0 17 . 0 0 0 023 . 0 17 . 0 32 . 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 Txx A Q A Q 80 i i j iQ m mX 0 = Dengeli llerin ortalama hatalar =4 7Xm 0 =4 11Xm 0.24 =4 7Ym 0 =4 11Ym 0.16 =4 7Zm 0 =4 11Zm 0.11 Dzeltmelerin Ortalama Hatas Q Q Qvv = Dzeltmelerin kovaryans matrisi 1Q p Qvv = =25 . 0 11 . 0 23 . 0 0 0 011 . 0 56 . 0 17 . 0 0 0 023 . 0 17 . 0 32 . 1 0 0 00 0 0 42 . 0 23 . 0 16 . 00 0 0 23 . 0 44 . 1 14 . 00 0 0 16 . 0 14 . 0 36 . 01p =0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 42 . 0 23 . 0 16 . 00 0 0 23 . 0 44 . 1 14 . 00 0 0 16 . 0 14 . 0 36 . 0vvQ i ij i v vv Q m m =0 Dzeltmelerin ortalama hatalar =4 7vm 0.13 =4 11vm 0 cm =4 7vm 0.25 =4 11vm 0 =4 7vm 0.14 =4 11vm 0 81 rnek: ekildeki GPS nirengi anda; a) 101-102 bazna ait dzeltme denklemlerini = x A v formatnda yaznz. b) Birim lnn ortalama hatasn 20 = m cm alarak baz vektrne ilikin varyans-kovaryans matrisini oluturunuz. 5 . 0 = = = Z Y Z X Y X r r r l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu 101 102 102 101 102 101 X X Vx X = + 102 101 101 102 102 101 = X X X Vx 101 102 102 101 102 101 Y Y Vy Y = + 102 101 101 102 102 101 = Y Y Y Vy 101 102 102 101 102 101 Z Z Vz Z = + 102 101 101 102 102 101 = Z Z Z Vz Dengeleme hesab problemlerinde byk deerlerle allmaz. Bunun yerine yaklak deerler kullanlarak kk deerlerle allr. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aadaki ekilde dzenleyelim. dX X X + =0 dY Y Y + =0 dZ Z Z + =0 Burada 0X , 0Y ve 0Z yaklak deerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu deerleri yukardaki denklemlerde yerine koyalm ve dzenleyelim. 102 101 1010101 1020102 102 101 + = X dX X dX X Vx 102 101 1010101 1020102 102 101 + = Y dY Y dY Y Vy 102 101 1010101 1020102 102 101 + = Z dZ Z dZ Z Vz NN X (m) Y (m) Z (m) Yaklak Koordinatlar 101 3710479.640 3084171.030 4157677.581 102 3710709.539 3084028.627 4157648.644 DN DN X (m) Y (m) Z (m) 101 102 229.897 -142.404 -28.937 DN DN Xm(cm) Ym(cm) Zm(cm) 101 102 2 4 3 P101 P302 P301 P102 82 102 10101010102 102 101 102 101 + + = X X X dX dX Vx 102 10101010102 102 101 102 101 + + = Y Y Y dY dY Vy 102 10101010102 102 101 102 101 + + = Z Z Z dZ dZ Vz Denklemleri bilinmeyenlere gre dzenleyelim. 102 10101010102 102 102 102 101 101 101 102 1010 0 1 0 0 1 + + + + + + = X X X dZ dY dX dZ dY dX Vx 102 10101010102 102 102 102 101 101 101 102 1010 1 0 0 1 0 + + + + + = Y Y Y dZ dY dX dZ dY dX Vy 102 10101010102 102 102 102 101 101 101 102 1011 0 0 1 0 0 + + + + + = Z Z Z dZ dY dX dZ dY dX Vx 2 . 0 897 . 229 640 . 479 539 . 709102 10101010102 1 = = = X X X 1 . 0 ) 404 . 142 ( 030 . 4171 627 . 4028102 10101010102 2 = = = Y Y Y 0 . 0 ) 937 . 28 ( 581 . 677 644 . 648102 10101010102 3 = = = Z Z Z Olmak zere yukardaki denklemleri = x A v formatnda yazalm. =0 . 01 . 02 . 01 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1102102102101101101102 101102 101102 101dZdYdXdZdYdXVzVyVx = 2222 1102 101102 101 102 101 102 101 102 101 102 101102 101 102 101 102 101 102 101 102 101 102 101 102 101 102 101 102 101ZZ Y Z Y YZ X Z X Y X Y X Xmm m r mm m r m m r mK =222102 1013 3 4 5 . 0 3 2 5 . 03 4 5 . 0 4 4 2 5 . 03 2 5 . 0 4 2 5 . 0 2K =9 6 36 16 43 4 4102 101K 83 10. GPS NVELMANI Gnmzde ykseklik belirlemede arlkl olarak nivelman lleri kullanlmaktadr. Ancak nivelman llerini yapmak zor ve zahmetli bir itir. GPS nivelman yntemi ekonomik ve zaman kazandran bir yntem olmas nedeniyle nivelman llerine alternatif bir konuma gelmitir. Haritaclk uygulamalarnda amaca ulama adna birok ykseklik tanm yaplmtr. Uygulamada geometrik anlam nedeniyle Ortometrik Ykseklik (H) tercih edilmektedir. Ortometrik ykseklik ortalama deniz yzeyi ile akan Jeoidten yzeydeki noktaya olan dey mesafedir. GPS ten elde edilen ykseklikler (h) ise referans Elipsoidinden yzeydeki noktaya olan mesafedir. Bu ykseklik geometrik olarak bize bir anlam ifade etmez. Ancak biz GPS ten bu ykseklik bilgisini alrz. ki ykseklik sistemi arasndaki geoid ondlasyonu (N) (dalgalanma) kadar bir fark vardr. ki sistem arasndaki bu fark belirlenebilirse elipsoid ykseklikleri ortometrik yksekliklere dntrlebilir. Bu balamda belirli bir alanda yeterli
