Deformaciones Angulares
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ANALISIS ESTRUCTURAL I – EC211 I
SEMINARIO: EL METODO DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES
PROFESOR: RICHARD H. CRUZ GODOY FECHA: 14/11/2015
Ecuaciones de Maney:
Barra i-j :
Mij = Mºij +2 𝐸𝐼
𝐿 [ 2i+2j – 3ij ]
Mji = Mºji +2 𝐸𝐼
𝐿 [ 2j+i – 3ij ]
Mij = Mºij +2 𝐸𝐼
𝐿 [ 2i+2j – 3ij ]
Mji = Mºji +2 𝐸𝐼
𝐿 [ 2j+i – 3ij ]
Ecuaciones de Maney Alternativas:
Haciendo :
𝐼
𝐿 =Kij , 2Ei = i , 2Ej = j 6Eij =6Eij = ij
Mij = Mºij + Kij [ 2i +j – ij]
Mji = Mºji + Kij [ 2j +i – ij]
PROBLEMA 01.- Hallar los momentos flectores en los nudos del siguiente pórtico.
1.- Rigideces Relativas:
K12 = 2𝐼
2=
𝐼
1 , K23 =
4𝐼
3=
4𝐼
3 , K24 =
3𝐼
4 m.c.m (1, 3, 4) = 12
K12 = 𝐼
1𝑥12 = 12 , K23 =
4𝐼
3𝑥12 = 16 K24 =
3𝐼
4𝑥12 = 9
2.- Hipergeometria:
En el pórtico se tienen dos grados de libertad, 02 giros en los nudos 2 y 3 : 2 y 3
3.- Desplazamiento:
No existe desplazamiento lateral.
4.- Momento de Empotramiento Perfecto:
Barra 1-2 :
Mº12 = − 3000𝑥(2)2
12= −1000 Kg - m
Mº21 = + 3000𝑥(2)2
12= +1000 Kg - m
5.- Ecuaciones de barra:
Barra 1-2 :
M12 = -1000+12 [ 2x0 + 2 – 3x0] = -1000 + 122
M21 = +1000+12 [ 22 +0 – 3x0] = 1000 + 242
Barra 2-3 :
M23 = 0+16 [ 22 + 3 ] = + 322 + 163
M32 = 0+16 [ 23 +2 - ] = + 323 + 162
Barra 2-4 :
M24 = 0+9 [ 22 +0 - ] = 182
M42 = 0+9 [ 2x0 + 2 - ] = 92
6.- Equilibrio:
Nudo 2 : M21 + M23 + M24 = 0 742 +163 1000….(1)
Nudo 3 : M32 = 0 162 + 323….(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):
2 = -500/33 = -15.152 3250/33 = 7.576
Reemplazando:
M12 = -1,181.818 Kg-m
M21 = 636.364 Kg-m
M32 = 0.000 Kg-m
M23 = -363.636 Kg-m
M24 = -272.727 Kg-m
M42 = -136.364 Kg-m
Con signo de Momento Flector:
M12 = -1,181.818 Kg-m
M21 = -636.364 Kg-m
M32 = 0.000 Kg-m
M23 = +363.636 Kg-m
M24 = -272.727 Kg-m
M42 = +136.364 Kg-m
M12 = -1,181.818 Kg-m
M21 = -636.364 Kg-m
M23 = +363.636 Kg-m
M42 = +136.364 Kg-m
M24 = -272.727 Kg-m
M32 = 0.000 Kg-m
PROBLEMA 02.- Hallar los momentos flectores en los nudos del siguiente pórtico.
Solución:
El tramo en voladizo 3-5 es isostático por ende no requiere mayor análisis, el momento que genera
dicho volado será considerado en el nudo 3.
1.- Rigideces Relativas:
K12 = 2𝐼
4=
𝐼
2 , K23 =
3𝐼
6=
𝐼
2 , K34 =
𝐼
4 m.c.m (2, 2, 4) = 4
K12 = 𝐼
2𝑥4 = 2 , K23 =
𝐼
2𝑥4 = 2 K34 =
𝐼
4𝑥4 = 1
2.- Hipergeometria:
En el pórtico se tienen tres grados de libertad, 02 giros en los nudos 2 y 3 y el desplazamiento lateral
del pórtico: 2, 3 y
3.- Desplazamiento:
El desplazamiento lateral será considerado positivo si el giro que produce es en sentido horario.
+∆/4+∆/4 m.c.m (4, 0, 4) = 4
+∆
4𝑥4 =+
∆
4𝑥4 =
4.- Momento de Empotramiento Perfecto:
Barra 1-2 :
Mº12 = − 1200𝑥(4)2
12= −1600 Kg - m
Mº21 = + 1200𝑥(4)2
12= +1600 Kg - m
Barra 2-3 :
Mº23 = − 2700𝑥(6)2
30= −3240 Kg - m
Mº32 = + 2700𝑥(6)2
20= +4860 Kg - m
5.- Ecuaciones de barra:
Barra 1-2 :
M12 = -1600+2 [ 2x0 + 2 - ] = -1600 + 22 - 2
M21 = +1600+2 [ 22 +0 - ] = 1600 + 42 - 2
Barra 2-3 :
M23 = -3240+2 [ 22 + 3 ] = -3240 + 42 + 23
M32 = +4860+2 [ 23 +2 - ] = 4860 + 43 + 22
Barra 3-4 :
M34 = 0+1 [ 23 +0 - ] = 23 -
M43 = 0+1 [ 0 + 3 +0 - ] = 3 -
6.- Equilibrio:
Nudo 2 : M21 + M23 = 0 82 +23 - 21640….(1)
Nudo 3 : M32 + M34 = Mvol 22 +63 - 48606600 22 +63 - 1740….(2)
Barra 1-2 :
M2 = 0 H1 (4) + M12 + M21 = 1200(4) (2)
H1 = 2400 – ( M12 + M21 ) /4
Barra 3-4 :
M3 = 0 H4 (4) = M34 + M43 H4 = ( M34 + M43 ) /4
En toda la estructura:
FH = 0 H4 +8000+1200x4 = H1 -62 - 33 + = 41,600….(3)
Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3):
2 = 14365/6 = 2,394.167 33425/3 = 1,141.667 29695/3 = 9,898.333
Reemplazando:
M12 = -16,608.3 Kg-m
M21 = -8,620 Kg-m
M23 = +8,620 Kg-m
M32 = +1,4215 Kg-m
M34 = -7,615 Kg-m
M43 = -8,756.6 Kg-m
Con signo de Momento Flector:
M12 = -16,608.3 Kg-m
M21 = +8,620 Kg-m
M23 = +8,620 Kg-m
M32 = -14,215 Kg-m
M34 = -7,615 Kg-m
M43 = +8756.6 Kg-m
M12 = -16,608.3 Kg-m
M21 = +8,620 Kg-m
M23 = +8,620 Kg-m
M32 = -14,215 Kg-m
M34 = -7,615 Kg-m
M43 = +8,756.6 Kg-m
M35 = -6,600 Kg-m
Ecuaciones de Maney Modificadas:
Caso apoyo articulado en un extremo.
Para la barra i – j , el apoyo i esta articulado por lo tanto Mij=0
Usando las ecuaciones Convencionales
Mij = Mºij +2 𝐸𝐼
𝐿 [ 2i+2j – 3ij ] = 0
Despejando i
𝐸𝐼
𝐿 i = –
1
2 Mºij –
𝐸𝐼
𝐿 j – 3
𝐸𝐼
𝐿 ij
y reemplazando en Mji:
Mji = Mºji +2 𝐸𝐼
𝐿 [ 2j+i – 3ij ]
Se obtiene:
Mji = Mºji – 1
2 Mºij +3
𝐸𝐼
𝐿 [ j – ij ]
Usando las ecuaciones Alternativas
Siguiendo el mismo procedimiento:
Mij = Mºij + Kij [ 2i +j – ij] =0
Despejando i y remplanzando en Mji :
Mji = Mºji + Kij [ 2j +i – ij]
Se obtiene:
Mji = Mºji – 1
2 Mºij +
3
2 Kij [ j –
1
3ij ]
PROBLEMA 03.- Hallar los momentos flectores en los nudos de la siguiente viga. El apoyo B se asienta 0.25”
(0.0028’). Considere I=500 pulg4 y E=29000klb/pulg2 .
Solución:
A modo de ilustrar la ventaja del uso de las ecuaciones de Maney modificadas, se resolverá primero
con las ecuaciones de Maney convencional y posteriormente se resolverá con la aplicación de las
ecuaciones Modificadas.
USANDO LAS ECUACIONES CONVENCIONALES
1.- Rigideces :
Se determinara la constante EI/L
𝐸𝐼
𝐿=
29000 𝐾𝑙𝑏
𝑝𝑢𝑙𝑔2𝑥500 𝑝𝑢𝑙𝑔4
10𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑥 144 =10070 klb-pie
2.- Hipergeometria:
La viga tiene 3 grados de libertad, 03 giros en los nudos A,B y C y el desplazamiento vertical del
nudo B es dato del problema: A, B y C
3.- Desplazamiento:
El desplazamiento lateral será considerado positivo si el giro que produce es en sentido horario.
+∆/10C∆/10
4.- Momento de Empotramiento Perfecto:
Barra A-B :
MºAB = − 40𝑥10
8= −50 Klb - pie
MºBA = + 40𝑥10
8= +50 Klb - pie
5.- Ecuaciones de barra:
Barra A-B :
MAB = -50+2x10070[ 2xA + B - 3x(+0.002083)] = -50 + 40280A + 20140B - 125.854
MBA = +50+2x10070[ 2xB + A - 3x(+0.002083)] = +50 + 40280B + 20140A - 125.854
Barra B-C :
MBC = 0+2x10070[ 2xB + C - 3x(-0.002083)] = + 40280B + 20140C + 125.854
MCB = 0+2x10070[ 2xC + B - 3x(-0.002083)] = + 40280C + 20140B + 125.854
6.- Equilibrio:
Nudo A : MAB = 0 -50 + 40280A + 20140B - 125.854….(1)
Nudo B : MBA + MBC = 0 50 +20140A + 80560B + 20140C ….(2)
Nudo C : MCB = 0 20140B + 40280C + 125.854….(3)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):
A = 100427/20140000 = 0.00498644 B5/4028 = -0.00124131
C50427/20140000 =-0.00250382
Reemplazando:
MAB = 0.00 Klb-pie
MBA = -25.43 Klb-pie
MBC = +25.43 Klb-pie
MCB = +0.00 Klb-pie
Reemplazando:
MAB = 0.00 Klb-pie
MBA = +25.43 Klb-pie
MBC = +25.43 Klb-pie
MCB = +0.00 Klb-pie
USANDO ECUACIONES CONVENCIONALES MODIFICADAS
5.- Ecuaciones de barra:
Barra A-B :
MBA = 50 – (-50/2) + 3x10070 [ B – (+0.002083)] = 75 + 302102 – 69.927
Barra B-C :
MBC = 0 – (0/2) + 3x10070 [ B – (- 0.002083)] = 302102 + 69.927
6.- Equilibrio:
Nudo 2 : MBA + MBC = 0 60420 2 +75 0….(1)
Resolviendo la ecuación (1) :
2 = -75/60420 = -0.001241
Reemplazando:
MAB = 0.00 Klb - pie
MBA = -25.43 Klb - pie
MBC = 25.43 Klb - pie
MCB = 0.00 Klb - pie
Con signo de Momento Flector:
MAB = 0.00 Klb - pie
MBA = +25.43 Klb - pie
MBC = 25.43 Klb - pie
MCB = 0.00 Klb - pie
PROBLEMA 04.- Hallar los momentos flectores en los nudos del siguiente pórtico.
1.- Rigideces Relativas:
K12 = 2𝐼
2=
𝐼
1 , K23 =
4𝐼
3=
4𝐼
3 , K24 =
3𝐼
4 m.c.m (1, 3, 4) = 12
K12 = 𝐼
1𝑥12 = 12 , K23 =
4𝐼
3𝑥12 = 16 K24 =
3𝐼
4𝑥12 = 9
2.- Hipergeometria:
En el pórtico se tienen dos grados de libertad, 02 giros en los nudos 2 y 3 : 2 y 3
3.- Desplazamiento:
No existe desplazamiento lateral.
4.- Momento de Empotramiento Perfecto:
Barra 1-2 :
Mº12 = − 3000𝑥(2)2
12= −1000 Kg - m
Mº21 = + 3000𝑥(2)2
12= +1000 Kg - m
5.- Ecuaciones de barra:
Barra 1-2 :
M12 = -1000+12 [ 2x0 + 2 – 3x0] = -1000 + 122
M21 = +1000+12 [ 22 +0 – 3x0] = 1000 + 242
USANDO ECUACIONES ALTERNATIVAS MODIFICADAS
Barra 2-3 : Maney Modificado M32 = 0
M23 = 0 - 0/2 + 3
2 (16) [ 2 ] = + 242
Barra 2-4 :
M24 = 0+9 [ 22 +0 - ] = 182
M42 = 0+9 [ 2x0 + 2 - ] = 92
6.- Equilibrio:
Nudo 2 : M21 + M23 + M24 = 0 662 1000….(1)
Resolviendo las ecuaciones (1) :
2 = -500/33 = -15.152
Reemplazando:
M12 = -1,181.818 Kg-m
M21 = 636.364 Kg-m
M32 = 0.000 Kg-m
M23 = -363.636 Kg-m
M24 = -272.727 Kg-m
M42 = -136.364 Kg-m
Con signo de Momento Flector:
M12 = -1,181.818 Kg-m
M21 = -636.364 Kg-m
M32 = 0.000 Kg-m
M23 = +363.636 Kg-m
M24 = -272.727 Kg-m
M42 = +136.364 Kg-m
M12 = -1,181.818 Kg-m
M21 = -636.364 Kg-m
M23 = +363.636 Kg-m
M42 = +136.364 Kg-m
M24 = -272.727 Kg-m
M32 = 0.000 Kg-m