Definizioni

FluidoE’ un corpo materiale che può subire grandi variazioni di forma sotto l’azione di forze comunque piccole che tendono a diventare trascurabili quando la velocità di deformazione tende ad annullarsi

Un fluido non resiste ad apprezzabili sforzi di trazione

In particolare, i fluidi possono essere distinti in due grandi classi:

LIQUIDI: Oppongono grande resistenza alle variazioni di volume (poco comprimibili)

GAS: Forze di modesta entità ne modificano il volume (molto comprimibili)

Definizioni

Grandezze fondamentali per descrivere il comportamento di un fluido sono:

•lunghezza (nel S.I. si misura in metri)

•massa (nel S.I. si misura in chilogrammi)

•tempo (nel S.I. si misura in secondi)

Caratteristiche dei fluidi

DENSITA’ :misura la massa dell’unità di volume. Nel S.I. si misura in kg/m3

Per l’acqua vale circa 1000 kg/m3

PESO SPECIFICO :misura il peso dell’unità di volume. Si misura in N/m3densità e peso specifico sono legati dalla relazione:

dove è l’accelerazione di gravità. Per l’acqua vale 9806 N/m3

g

Caratteristiche dei fluidi

VISCOSITA’: misura gli attriti interni di un fluido. In particolare caratterizza il comportamento di un fluido nei confronti delle resistenze che si oppongono al moto. Si distingue una viscosità dinamica , che si misura in Ns/m2, da una viscosità cinematica , pari a che si misura in m2/s. Per l’acqua vale circa 10-6 m2/s.

L’andamento della viscosità in funzione della velocità di deformazione consente di distinguere i fluidi newtoniani da quelli non newtoniani.

Per un fluido newtoniano la relazione che lega gli sforzi ai gradienti di velocità (e alle velocità di deformazione) è lineare:

dy

du

Natura delle forze agenti su un fluido

FORZE DI MASSA F Sono forze che agiscono a distanza su tutte le particelle del sistema, proporzionalmente alla loro massa.Fra queste si ricorda la forza di gravità, alla quale corrisponde il peso G della massa fluida considerata.

FORZE DI SUPERFICIE Sono forze che vengono esercitate su parte del sistema attraverso una superficie di contorno A. Quando la superficie di contorno tende a zero il rapporto tra la forza agente sulla superficie e la superficie stessa tende ad un valore finito F, detto sforzo. Lo sforzo dipende dalla posizione del punto considerato e dalla giacitura. La forza elementare agente sull’area dA si ricava quindi come:

d=FndAdove il pedice n rappresenta il versore normale all’elemento dA.

Statica dei fluidi pesanti incomprimibili: legge di Stevino

z rappresenta la quota alla quale si trova il punto considerato, viene detta quota geodetica.

p/ è anch’essa dimensionalmente una lunghezza, rappresenta l’altezza corrispondente alla pressione in quel punto e viene detta altezza piezometrica.

La somma z+p/ è detta quota piezometrica ed in virtù della legge di Stevino è costante in tutti i punti di un fluido in quiete.

costp

z

Ad esempio dati due punti A e B si ricava

che consente, nota la quota piezometrica in un punto qualsiasi dell’ammasso fluido, di ricavare la pressione in ogni altro punto.

B

BA

A

pz

pz

Statica dei fluidi pesanti incomprimibili: legge di Stevino

Poiché nella maggior parte dei casi pratici interessa non tanto la pressione bensì la differenza tra la pressione e la pressione atmosferica, usualmente si fa riferimento a tale differenza denotandola come pressione relativa; per contro la pressione viene denominata pressione assoluta. Si indica:

p*=p+patm

dove si è indicato con p* il valore della pressione assoluta e con p quello della pressione relativa.

Statica dei fluidi pesanti incomprimibili: legge di Stevino

Si dice piano dei carichi idrostatici assoluto il piano orizzontale sul quale la pressione assoluta è nulla.

Si dice piano dei carichi idrostatici relativo il piano orizzontale sul quale la pressione relativa è nulla, ovvero la pressione assoluta uguaglia la pressione atmosferica.

Una applicazione molto importante della legge di Stevino è rappresentata dalla misura della pressione attraverso piezometri, manometri semplici, manometri differenziali e

manometri metallici.

Statica dei fluidi pesanti incomprimibili: legge di Stevino

CINEMATICA DEI FLUIDI Caratteristiche del campo di moto

Velocità: v=v(u,v,w)=dx/dt

Accelerazione: A=dv/dt

Vorticità: =rot v

TraiettoriaLuogo dei punti successivamente occupati dalle particelle fluide in moto

Linea di corrente o di flussoCurva tangente in ogni punto al vettore velocità in quel punto

Linea di emissione o di fumoLuogo dei punti occupati al generico istante da tutte le particelle transitate precedentemente da un prefissato punto del campo di moto

CINEMATICA DEI FLUIDI

Se si considera una linea chiusa non coincidente con una linea di corrente e tutte le linee di corrente che passano per tutti i punti della linea chiusa otteniamo un tubo di flusso che ha la proprietà di non venire mai attraversato dal fluido all’istante considerato.

Con riferimento ad un tubo di flusso di sezione dA, si definisce portata elementare dQ il volume di fluido che transita attraverso la sezione dA nell’unità di tempo:

dQ=vndA

Con riferimento ad una sezione finita:

Si definisce velocità media il rapporto tra la portata e l’area della sezione

V=Q/A

CINEMATICA DEI FLUIDI

Moto permanente

Le grandezze caratteristiche del moto non dipendono dal tempo

Moto uniforme

Le grandezze caratteristiche del moto si mantengono costanti lungo la traiettoria

Moto vario

Le grandezze caratteristiche del moto possono variare nello spazio e nel tempo

Equazione di continuità

Traduce il principio di conservazione della massa

La differenza tra la massa entrante all’interno dell’elementino attraverso la generica faccia e quella uscente attraverso la faccia opposta vale: (ad esempio, lungo la direzione x)

dxdydzdtx

udydzdtdx

x

uuudydzdt

il bilancio della massa entrante ed uscente attraverso tutte le facce deve uguagliare l’accumulo o diminuzione di massa subita nello stesso intervallo di tempo cioè:

tz

w

y

v

x

u

0)v(divt

Equazione di continuità

Per un fluido incomprimibile (=cost) l’equazione di continuità assume la forma:

div v=0

Integrando su un volume finito W l’equazione di continuità diventa:

dWt

dAnvWA

Per un fluido incomprimibile assume la forma: Qe=Qu

essendo Qe e Qu rispettivamente le portate entranti ed uscenti dalla superficie considerata.Per una corrente l’equazione di continuità si può scrivere nella forma:

Per un fluido incomprimibile in moto permanente si ha infine:

 Q=A*V=cost

0t

A

s

Q

Funzione di corrente

Nell’ipotesi di moto bidimensionale piano di un fluido incomprimibile, l’equazione di continuità è

si può definire una funzione di corrente tale che

Lungo una linea di corrente (tangente in ogni punto al vettore velocità) la funzione di corrente rimane costante, infatti si ha che

0

z

w

x

u

zu

xw

0 dwdxudzdz

w

dx

u

Equazione di bilancio della quantità di moto

L’equazione di conservazione della quantità di moto in forma differenziale

Ovvero

Considerando solo la forza di gravità come forza di massa agente, si ottiene la ben nota equazione del moto di Cauchy

B f

Dt

vD

j

jii

i

xf

Dt

Du

j

jii

i

xg

Dt

Du

Equazioni di Navier-Stokes

Nel caso di un fluido newtoniano il legame costitutivo, ovvero la relazione tra sforzi e deformazioni è del tipo

In cui p è la pressione idrostatica, e sono due coefficienti di viscosità che dipendono dalle condizioni termodinamiche del fluido, ij è il delta di Kroenecker (=1 se i=j, =0 se i≠j).

Ipotizzando che e siano costanti , ovvero che ci siano solo piccole differenze di temperatura all’interno del fluido , sostituendo nell’equazione di conservazione della quantità di moto si ottengono le equazioni del moto di Navier-Stokes:

Nel caso di un liquido (fluido incomprimibile, =cost, per cui )

In cui è la viscosità cinematica.

i

j

j

iij

k

kij x

u

x

u

x

up

2

2

)(k

i

k

k

iii

i

x

u

x

u

xx

pf

Dt

Du

0 v

2

21

k

i

ii

i

x

u

x

pf

Dt

Du

La relazione

utilizzando la notazione tensoriale e considerando solo la forza di gravità tra le forze di massa, diventa

Nel caso di fluido incomprimibile e perfetto, ovvero , si ha la nota equazione di Eulero

2

21

k

i

ii

i

x

u

x

pf

Dt

Du

0

ugu 21

p

Dt

D

gu

pDt

D

1

Equazione di Eulero

Il teorema di Bernoulli

Nell’ambito nel corso di idraulica, sotto le ipotesi di:

fluido perfetto, pesante e incomprimibilemoto permanenteera stato ricavato il ben noto teorema di Bernoulli

 che esprime il fatto che il carico totale H si mantiene costante lungo la traiettoria.

g

vpzH

2

2

g

vpz

g

vpz

g

vpz nn

n 2...

22

2222

2

211

1

z è la quota geodeticap/ è l’altezza piezometricav2/2g è l’altezza cinetica

Si può dimostrare che se il moto, oltre che permanente, è anche irrotazionale (, il carico totale è costante dappertutto.

odappertutt costante2

2

g

vpz

Il teorema di Bernoulli

Moto non stazionario irrotazionale

Se il moto è irrotazionale, può essere definito un potenziale di velocità tale che:

Infatti se il moto è irrotazionale, la relazione precedente soddisfa la condizione di irrotazionalità

Si può ricavare che in questo caso:

v

jix

u

x

u

i

j

j

i

)(2

1 2 tFgzp

vt

Il potenziale di velocità

Sostituendo la definizione della funzione potenziale di velocità

nella equazione di continuità si ottiene l’equazione di Laplace

Il potenziale di velocità, dovendo soddisfare l'equazione di Laplace, è dunque una funzione armonica della posizione.

La soluzione dell'equazione di Laplace con le opportune condizioni al contorno consente di determinare il campo di moto. Tale equazione, largamente studiata anche in campi diversi dalla Meccanica dei Fluidi ha alcune interessanti proprietà.

In particolare, l'equazione di Laplace è lineare. Date due soluzioni dell'equazione di Laplace, qualsiasi combinazione lineare di tali soluzioni (ed in particolare la loro somma e differenza) è ancora soluzione. Questa proprietà consente di sovrapporre potenziali di moti elementari per ottenere i potenziali di moti più complessi.

•Nota bene:

Poiché tutti i moti irrotazionali ammettono l’esistenza di una funzione potenziale, tali moti vengono anche indicati come moti a potenziale.

u

02