Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural
Click here to load reader
-
Upload
sopian-ahmad -
Category
Documents
-
view
194 -
download
56
Transcript of Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural
![Page 1: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/1.jpg)
DEFINISI REKURSIF DAN INDUKSI STRUKTURAL
Emha Diambang Ramadhany [1111093000006]
Muhammad Naufal[1111093000026]
![Page 2: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/2.jpg)
Definisi
Rekursif adalah salah satu metode dalam dunia matematika dimana definisi sebuah fungsi mengandung fungsi itu sendiri.
![Page 3: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/3.jpg)
Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit.
Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek tersebut dengan menggunakan dirinya sendiri. Ini dinamakan sebagai proses rekursif.
Kita dapat mendefinikan fungsi, barisan dan himpunan secara rekursif.
![Page 4: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi yang didefinisikan secara rekursif
Langkah-langkah untuk mendefinisikan fungsi dengan domain bilangan cacah:
1.Langkah basis: Definisikan nilai fungsi pada saat nol.
2.Langkah rekursif: Berikan aturan untuk mencari nilai fungsi untuk setiap bilangan bulat berdasarkan nilai fungsi pada bilangan bulat yang lebih kecil.
![Page 6: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh fungsi yang didefinisikan secara rekursif
f(0) = 3f(n + 1) = 2f(n) + 3Maka
f(0) = 3f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93
![Page 7: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/7.jpg)
Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi faktorial f(n) = n! secara rekursif?
f(0) = 1Karena (n+1)! = n! (n+1) maka f(n + 1) = (n + 1)f(n)
f(0) = 1f(1) = 1 f(0) = 1 1 = 1f(2) = 2 f(1) = 2 1 = 2f(3) = 3 f(2) = 3 2 = 6f(4) = 4 f(3) = 4 6 = 24
![Page 8: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/8.jpg)
Bilangan Fibonacci
F(0) = 0, f(1) = 1F(n) = f(n-1)+ f(n-2), n=2,3,4,…
f(0)= 0f(1)= 1f(2)= f1+ f0= 1 + 0 = 1f(3)= f2+ f1= 1 + 1 = 2f(4)= f3+ f2= 2 + 1 = 3f(5)= f4+ f3= 3 + 2 = 5f(6)= f5+ f4= 5 + 3 = 8
![Page 9: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/9.jpg)
Barisan yang didefinisikan secara rekursif
Langkah-langkah untuk mendefinisikan barisan secara rekursif:
1. Langkah basis: Spesifikasi anggota awal.
2. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk membangun anggota baru dari anggota yang telah ada.
![Page 10: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh barisan yang didefinisikan secara rekursif
Barisan bilangan pangkat dari 2 an = 2n untuk n = 0, 1, 2, … .
Barisan ini dapat didefinisikan secara rekursif:a0 = 1an+1 = 2an untuk n = 0, 1, 2, …
![Page 11: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/11.jpg)
Berikan definisi rekursif dari an=rn, dengan rN, r≠0 dan n bilangan bulat positif.
Solusi:Definisikan a0=r0=1
dan an+1=r . an untuk n = 0, 1, 2, …
![Page 12: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/12.jpg)
Himpunan yang didefinisikan secara rekursif
Langkah-langkah dalam mendefinisikan suatu himpunan secara rekursif:
1. Langkah basis: Spesifikasi koleksi awal dari anggota
2. Langkah rekursif: Mendefinisikan aturan konstruksi anggota baru dari anggota yang telah diketahui
![Page 13: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh himpunan yang didefinisikan secara rekursif
Misalkan S didefinisikan secara rekursif oleh:3 S(x+y) S jika x S dan y S
Maka S adalah himpunan bilangan bulat positif yang habis dibagi 3.Bukti:Misalkan A himpunan yang beranggotakan semua bilangan bulat positif yang habis dibagi 3.Untuk membuktikan bahwa A = S, harus ditunjukkan
A S and S A.
Bagian I: Akan dibuktikan A S, yaitu menunjukkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S (dengan menggunakan induksi matematika).
![Page 14: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/14.jpg)
Misalkan P(n): proposisi “3n anggota S”.1.Langkah basis: P(1) benar, karena 3 S.2.Langkah induktif:
Asumsikan P(k) benar, yaitu 3k S.Akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu 3(k+1) SKarena 3k S dan 3 S, berdasarkan definisi rekursif dari S, 3k+3 = 3(k+1) juga ada di S.
3.Konklusi:Jadi, setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S.
Kesimpulan dari bagian I adalah A S.
![Page 15: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/15.jpg)
Bagian II: Akan ditunjukkan S A dengan menggunakan definisi rekursif dari S.
Langkah basis: Akan ditunjukkan setiap anggota awal S ada di A. Karena 3 habis dibagi 3 maka 3 A.
Langkah rekursif: Akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang dibangun dengan mengunakan langkah rekursif juga merupakan anggota A, yaitu
(x+y) A jika x,y S (yang diasumsikan A). Jika x dan y keduanya di A, maka 3 | x dan 3 | y. Akibatnya, 3 | (x + y).
Kesimpulan dari bagian II adalah S A.Jadi, secara keseluruhan, berlaku A = S.
![Page 16: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/16.jpg)
Induksi Struktural
Dalam membuktikan hasil-hasil yang berkaitan dengan himpunan yang didefinisikan secara rekursif, akan lebih mudah apabila digunakan suatu bentuk induksi matematika yang disebut induksi struktural.
Langkah-langkah dalam induksi struktural:1.Langkah basis:
Menunjukkan bahwa hasil yang akan dibuktikan berlaku untuk semua anggota awal.
2.Langkah rekursif: Menunjukkan bahwa jika hasil yang akan dibuktikan berlaku untuk anggota-anggota yang digunakan untuk membangun anggota baru, maka hasil tersebut juga berlaku untuk anggota yang baru dibangun.
![Page 17: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/17.jpg)
Himpunan string atas alfabet
Himpunan string * atas alfabet dapat didefinisikan secara rekursif oleh:
1.Langkah basis: * ( adalah string kosong yang tidak memuat simbol)
2.Langkah rekursif:Jika w * dan x * , maka wx *
![Page 18: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh himpunan string atas alfabet
Jika = {0,1} maka string yang merupakan anggota * adalah:
yang didefinisikan sebagai anggota *
dalam langkah basis,
0 dan 1 yang dibentuk dalam langkah rekursif pertama,
00, 01, 10, dan 11 yang dibentuk dalam langkah rekursif kedua,
dst
![Page 19: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/19.jpg)
Prinsip Induksi Sederhana.
• Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif.
• Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
• Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(1) benar, dan2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar, untuk setiap n 1,
![Page 20: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/20.jpg)
• Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.
• Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang
menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
• Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah
tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
![Page 21: Definisi Rekursif Dan Induksi Struktural](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102421/55721216497959fc0b90042f/html5/thumbnails/21.jpg)
END