DEFINICIÓN DE ANUALIDADES
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DEFINICIÓN DE ANUALIDADES
Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y periódicos. También
se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos cuyo fin es
proporcionar la base para el pago de una cantidad.
La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son
anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean
anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo:
Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y
de Q. 500.00 cada uno.
Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de
cada 6 meses.
Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de
cada 2 años.
En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades,
pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los
últimos dos casos.
En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad
en una serie de pagos por ejemplo:
- 1 año - - 1 año - - 1 año - - 1 año -
500 500 500 500
- 6 meses - - 6 meses - - 6 meses - - 6 meses -
150 150 150 150
- 2 años - - 2 años - - 2 años - - 2 años -
2,500 2,500 2,500 2,500
Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5
años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad
para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00
Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero
una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.
OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES
Intervalo o Período de Pago
Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen
anualidades con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con
períodos de pago mayores a un año.
Plazo de la Anualidad
Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del
último período de pago de la anualidad.
Renta
Es el pago periódico de la anualidad.
PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES
- 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años -
800 800 2,800 2,800
- 6 meses - - 6 meses - - 1 año - - 1 año -
800 800
- 6 meses -
800 800 800
1 2
1 2
Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo:
los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y
salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las
amortizaciones de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos
mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros.
ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES
Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final
del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al
inicio del plazo.
Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la
serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar
montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se
desea conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo:
Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.
Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere
conocer lo acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los
pagos efectuados.
Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere
conocer lo que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se
determina el valor actual de los pagos que aún no se han hecho.
A S
Valor Actual Monto
Inicio Final
S
Fecha de Valuación
Inicio Acumulación Parcial
OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES
Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos
y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas
niveladas.
ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES
ELEMENTO SÍMBOLO
Monto S
Valor Actual A
Renta R
Tiempo n
No. de pagos en el año P
Tasa efectiva de interés i
Tasa nominal de interés j
No. de capitalizaciones en el año m
Período de diferimiento y
A
Valor Actual
Saldo pendiente de amortizar
Final
CLASIFICACIÓN DE LAS
ANUALIDADES
ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO
Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los
pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.
En función de la época de pago de cada renta
A. Vencidas u ordinarias: Cuando la renta se efectúa al final de cada período
de pago. Por ejemplo los pagos mensuales vencidos, los pagos cada final
de año, los pagos al final de cada semestre, etc.
B. Anticipadas o inmediatas: Cuando la renta se efectúa al inicio de cada
período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales anticipados, los pagos
al inicio de cada año, al inicio de cada semestre, etc.
R R R R
R R RR
C. Diferidas: Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se
deja pasar un período sin que se efectúe amortización alguna. Estas
anualidades diferidas pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas
anticipadas.
a. Diferidas vencidas
b. Diferidas anticipadas
El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor
actual o sus derivadas y no así para las del monto.
3.1.1 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las
capitalizaciones de interés
A. Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva
B. Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal
C. Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.
D. Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.
E. Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.
R R
En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento
RR
En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento
F. Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.
3.1.2 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta
A. Constantes: Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el
mismo.
B. Variables: Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes
matemáticas, por lo que pueden ser en progresión aritmética y en
progresión geométrica, en ambos casos pueden presentarse de forma
creciente o decreciente.
ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO
Rentas perpetuas
Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito,
por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta
se toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de
anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de
finalización de la serie de pagos.
Costo capitalizado
Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo
tiempo estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en
forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de
infinito número de renovaciones. Para interpretar los resultados de dos
alternativas a elegir se deberá considerar la que presente el menor costo
capitalizado.
Costos equivalentes
Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que
debe ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en
períodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma
utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes.
Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo
Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede
adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de
preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de
años que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogación que
justificadamente se puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar
su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cuándo conviene
prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.
ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES
Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no
puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una
persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.
Rentas vitalicias
Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se
encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación
de pagar las rentas.
Dote pura
Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a
una persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida.
Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado
a que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio
justo está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en
cuestión debe efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x
+ n”.
Seguros de vida
Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con
vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma
asegurada.
PRONTUARIO DE FÓRMULAS DE
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Renta = R
Tiempo = n
No. de pagos en el año = P
Tasa efectiva de interés = i
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
Monto
Valor actual
Renta en función del monto
mn(1 + j/m) - 1
S = R m/p
(1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
- mn1 - (1 + j/m)
A = R m/p
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Renta en función del valor actual
Tiempo en función del monto
Tiempo en función del valor actual
m/pS { (1 + j/m) - 1 }
R = mn
(1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- m/p ( 1 + j / m )
m/p A { (1 + j/m) - 1 }
R = -mn
1 - ( 1 + j/m)
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
m/pS { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1 R *
n = m Log (1 + j/m)
* FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
1
m/p A { (1 + j/m) - 1} Log 1 -
R * *n =
m Log ( 1 + j / m)
* * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
ANUALIDADES PAGADERAS CADA “K” AÑOS
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Renta = W
Tiempo = n
No. de años para cada pago = k
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
Monto
Valor actual
Renta en función del monto
Renta en función del valor actual
mn(1 + j/m) - 1
S = W mk
(1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
mk ( 1 + j / m )
- mn1 - (1 + j/m)
A = W mk
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
mk(1 + j/m) - 1
W = S mn
(1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- mk ( 1 + j / m )
mk (1 + j/m) - 1
W = A -mn
1 - ( 1 + j/m)
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- mk my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Tiempo en función del monto
4.1.1 Tiempo en función del valor actual
ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Primer pago = B
Diferencia = d
Tiempo = n
No. de pagos en un año = p
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
mkS { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1 W *
n = m Log (1 + j/m)
* FACTOR DE ANTICIPACIÓN
mk ( 1 + j / m )
1
mk A { (1 + j/m) - 1} Log 1 -
W * *n =
m Log ( 1 + j / m)
* * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Factor del monto (FM)
Factor del valor actual (FVA)
ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTES
En las siguientes fórmulas para que se conviertan en “Decrecientes” se le cambia
de signo a la diferencia “d”.
Monto
Valor actual
mn(1 + j/m) - 1
S p ┐n j(m) = m/p
(1 + j/m) - 1
- mn 1 - (1 + j/m)
A p ┐n j(m) = m/p
(1 + j/m) - 1
S p ┐n j(m) - np
S = B S p ┐n j(m) + d
m/p (1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
- mn Ap ┐n j(m) - np (1 + j/m)
A = B Ap ┐n j(m) +d m/p
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
En las siguientes fórmulas el factor del monto aparecerá con las iniciales “FM” y el
factor del valor actual con las iniciales (FVA).
Primer pago en función del monto
Primer pago en función del valor actual
Diferencia en función del monto
Diferencia en función del valor actual
FM - np
m/p S - d (1 + j/m) - 1
B = FM
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
Se coloca como denominador de S.
- mnFVA - np (1 + j/m)
m/p A - d (1 + j/m) - 1
B = FVA
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Se colocan como denominador de A.
S - B (FM)
FM - npd =
m/p(1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
Se coloca como denominador de S.
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Se colocan como denominador de A.
A - B (FVA)
-mnd = FVA - np (1+j/m)
m/p(1 + j/m) - 1
ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES
Simbología
Monto = S
Valor Actual = A
Primer pago = B
Razón = r
Tiempo = n
No. de pagos en un año = p
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
Monto
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se
aplica la siguiente:
Valor actual
np mn (r) - ( 1 + j/m)
S = B m/p
r - ( 1 + j/m)
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
mn - 1S = B n p ( 1 + j/m)
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
np -mn (r) (1 + j/m) - 1A = B
m/p r - (1 + j/m)
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se
aplica la siguiente:
Primer pago partiendo del monto
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se
aplica la siguiente:
Primer pago partiendo del valor actual
Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se
aplica la siguiente:
- 1S = B n p ( 1 + j/m)
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
m/p r - ( 1 + j/m)
B = S np mn
(r) - ( 1 + j/m)
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- m/p ( 1 + j / m )
SB =
mn – 1 n p ( 1 + j/m)
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
- m/p ( 1 + j / m )
m/p r - ( 1 + j/m)
B = S np -mn
(r) - ( 1 + j/m) - 1
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
A ( 1 + j/m)B =
n p
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – RENTAS PERPETUAS
Simbología
Valor Actual = A
Renta para períodos menores a un año = R
Renta para períodos mayores a un año = W
Tiempo = n
No. de pagos en un año = p
Períodos de pago mayores de 1 año = k
Tasa nominal de interés = j
No. de capitalizaciones en el año = m
Período de diferimiento = y
Valor actual
Pagadera cada “k” años
Pagadera anualmente o en períodos menores de un año
Rentas
Pagadera cada “k” años
W
A = mk
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
R
A = m/p
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
mkW = A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- mk my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
Pagadera anualmente o en períodos menores de un año
Tasa de interés
Pagaderas cada “k” años
Pagadera anualmente o en períodos menores de un año
ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTO CAPITALIZADO
Simbología
Costo capitalizado = C
Costo de reemplazo = W
Costo inicial del activo = F
No. de años de vida útil = k
Tasa de interés = j
Número de capitalizaciones = m
Costo inicial y de reemplazo diferentes
m/pR = A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO
- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
1/mkj = m [ ( W / A + 1 ) ] - 1
p/mj = m [ ( R / A + 1 ) - 1 ]
W
C = F + mk
(1 + j/m) - 1
W
F = C - mk
(1 + j/m) - 1
Costo inicial y de reemplazo iguales
ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTOS EQUIVALENTES
Simbología
Costo equivalente del bien que desea obtener = F’
Costo inicial y de reemplazo del bien base = F
Vida útil estimada del bien base = k
Vida útil del bien que se quiere adquirir o comparar su costo = t
Tasa de interés = j
Número de capitalizaciones al año = m
LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO
Simbología
Valor de la mejora o cantidad máxima a invertir = x
Costo inicial del activo = F
Vida útil del activo = k
Años que se puede prolongar la vida útil de un activo = b
Tasa de interés = j
Número de capitalizaciones = m
F
C = -mk
1 - (1 + j/m)
- mk
F = C [ 1 - ( 1 + j/m) ]
-mt 1 - (1 + j/m)
F’ = F -mk
1 - (1 + j/m)
RENTAS VITALICIAS
Simbología
Valor actual de una renta vitalicia = Ax
Edad de la persona que adquiere la renta vitalicia = x
Período de diferimiento = m
Plazo temporal de una renta vitalicia = n
Renta o cantidad a recibir en forma anual = R
DOTE PURA
Simbología
Valor actual de una dote pura = nEx
Cantidad de la dote = k
Edad actual de la persona = x
Tiempo o plazo para recibir la dote = n
-mb 1 - (1 + j/m)
x = F -mk
(1 + j/m) - 1
Nx + 1
Ax = RDx
m Ax
R = Nx + m + 1
Dx
Dx + n
nEx = KDx
SEGURO DE VIDA
Simbología
Edad de la persona asegurada = x
Plazo del seguro = n
Gastos fijos – Quetzales = k
Gastos variables – Porcentaje = h
Cantidad asegurada = K
nEx
K = Dx + n
Dx
Px + K
PT = 1 - h
5.1 EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL
Hace 3 años el señor Culebro Delgado recibió un préstamo, con el compromiso de
cancelarlo en 5 años, mediante pagos mensuales de Q.300.00 cada uno, dicho
CAPÍTULO V
EJEMPLOS DE
ANUALIDADES
En el presente capítulo se dan a conocer ejemplos de algunas
anualidades que se utilizan frecuentemente.
OBJETIVOS
Aplicar las fórmulas establecidas en el capítulo anterior.
Desarrollar de manera correcta los diferentes tipos de
anualidades.
préstamo se concedió con una tasa de interés del 10% anual, capitalizable
semestralmente; el día de hoy le han notificado al Sr. Delgado que la nueva tasa
de interés vigente, por el saldo del préstamo, será el 12 % anual, capitalizable
trimestralmente. ¿Cuál debe ser la nueva renta considerando que el plazo del
préstamo no se modifica y cuál es el valor del préstamo original?
DATOS
R = Q. 300.00 (vencidas)
n = 5
p = 12
j = 0.10
m = 2
A = Q. 14, 185.94 PRÉSTAMO ORIGINAL
DATOS
R = Q. 300.00 (vencidas)
n = 2
p = 12
j = 0.10
m = 2
HOY
1 2 3 4 5
- mn1 - (1 + j/m)
A = R m/p
(1 + j/m) - 1
- 101 - (1 + 0.05)
A = 300 2/12
(1 + 0.05) - 1
- mn1 - (1 + j/m)
A = R m/p
(1 + j/m) - 1
- 41 - (1 + 0.05)
A = 300 2/12
(1 + 0.05) - 1
A = Q. 6, 514.42 VALOR INSOLUTO PARA CALCULAR LA
NUEVA RENTA
DATOS
A = Q. 6,514.42
n = 2
p = 12
j = 0.12
m = 4
R = Q. 306.29 LAS NUEVAS RENTAS
5.2 EJEMPLO No. 2 - ANUALIDADES EN GENERAL
Una lotificadora ofrece lotes con un enganche fraccionado de Q. 7,000.00,
pagando Q. 2,000.00 el día de hoy y la diferencia dentro de 2 años, luego se
efectuarán 180 mensualidades de Q. 840.00 cada una pagaderas al final de cada
mes, se considera en la operación el 16% anual de interés capitalizable
semestralmente. ¿Cuál será el precio de contado de cada lote?
m/p A { (1 + j/m) - 1 }
R = -mn
1 - ( 1 + j/m)
4/126514.42 { (1 + 0.03) - 1 }
R = - 8
1 - ( 1 + 0.03)
HOY
2,000 5,000 180 / 12 = 15 años
DATOS
n = 15 años
R = Q. 840.00 (vencidas)
j = 0.16
m = 2
p = 12
y = 2 años de diferimiento
A = (840) (69.76456641) (0.735029852)
A = Q. 43, 074.40
DATOS DEL RESTO DEL ENGANCHE (Q. 5,000.00)
S = Q. 5,000.00
j = 0.16
m = 2
n = 2
17 años
- mn1 - (1 + j/m)
A = R m/p
(1 + j/m) - 1
FACTORDE DIFERIMIENTO
- my ( 1 + j / m)
- 301 - (1 + 0.08)
A = 840 2/12
(1 + 0.08) - 1
FACTORDE DIFERIMIENTO
- 4 ( 1 + 0.08)
- mnP = S (1 + j/m )
- 4P = 5000 (1 + 0.08 )
P = Q. 3,675.15
ENGANCHE Q. 2,000.00 +
A 43,074.40
P 3,675.15
Q. 48,749.55 PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE
5.3 EJEMPLO No. 3 - ANUALIDADES EN GENERAL
Un préstamo recibido hace 7 años fue cancelado mediante pagos de Q. 600.00 al
final de cada mes, y se sabe que el mismo devengó intereses del 8% anual
capitalizable semestralmente durante los primeros 3 años y por el resto del tiempo
el banco cobró una tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente.
¿Cuál fue el valor original de dicho préstamo?
DATOS No. 1 DATOS No. 2
j = 0.08 j = 0.10
R = Q. 600.00 R = 600.00
m = 2 m = 2
p = 12 p = 12
HOY
1 2 3 1 2 3 4
7 años
n = 2 n = 4
y = 3
A1 = Q. 19,183.82
A2 = Q. 18,768.16
A1 Q. 19,183.82 +
A2 Q. 18,768.16
Q. 37,951.98 VALOR ORIGINAL DEL PRÉSTAMO
- mn1 - (1 + j/m)
A = R m/p
(1 + j/m) - 1
FACTOR DE DIFERIMIENTO
- my ( 1 + j / m)
- 61 - (1.04)
A1 = 600 2/12(1.04) - 1
- 81 - (1.05)
A2 = 600 2/12(1.05) - 1
FACTOR DE DIFERIMIENTO
- 6 ( 1.08)
5.4 EJEMPLO No. 4 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN
ARITMÉTICA DECRECIENTE ANTICIPADA
Un estudiante inició el día de hoy una serie de depósitos semestrales para
comprar un vehículo al final de cinco años, y para tal efecto depositó la cantidad
de Q. 6,000.00 y los siguientes depósitos disminuyen en Q. 500.00 cada uno de su
inmediato anterior; la institución bancaria le reconoce una tasa de interés del 10%
anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuánto podrá acumular al final de dicho
plazo?
DATOS
B = Q. 6,000.00
d = Q. 500
p = 2
j = 0.10
m = 2
n = 5
S p ┐n j(m) = 12.57789254
6000
HOY
5000
mn(1 + j/m) - 1
S p ┐n j(m) = m/p
(1 + j/m) - 1
10(1.05) - 1
S p ┐n j(m) = 2/2
(1.05) - 1
S = Q. 52,172.85 MONTO ACUMULADO AL FINAL DEL PLAZO
5.5 EJEMPLO No. 5 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN
ARITMÉTICA CRECIENTE VENCIDA
S p ┐n j(m) - np
S = B S p ┐n j(m) - d
m/p (1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
m/p ( 1 + j / m )
12.57789254 - 10
S = 6000(12.57789254) -500
(1.05) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN
( 1.05 )
La empresa “Ganadores, S. A.”, terminó el día de hoy de cancelar un préstamo
obtenido hace 5 años, por Q. 50,000.00, el cual fue cancelado mediante pagos al
final de cada seis meses, variables en progresión aritmética, se sabe que el primer
pago fue por Q. 6,000.00 y que la financiera le aplicó una tasa de interés del 20 %
anual, capitalizable semestralmente. Se desea saber ¿en qué cantidad variaron
los pagos periódicos?
DATOS
n = 5
A = Q. 50,000.00
p = 2
B = Q. 6,000.00
j = 0.20
m = 2
A p ┐n j(m) = 6.144567106
6000
HOY
A = 50,000
- mn 1 - (1 + j/m)
A p ┐n j(m) = m/p
(1 + j/m) - 1
- 10 1 - (1.10)
A p ┐n j(m) =
(1.10) - 1
A - B (FVA)
-mnd = FVA - np (1+j/m)
m/p(1 + j/m) - 1
d = Q. 573.69 CANTIDAD EN LA QUE AUMENTARON LOS
PAGOS PERIÒDICOS
5.6 EJEMPLO No. 6 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA CRECIENTE VENCIDA
Un activo fijo será cancelado en 4 años mediante pagos semestrales vencidos que
aumentan cada uno de su inmediato anterior un 15%, el primero de estos será por
Q. 15,000.00, se aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizable
trimestralmente. ¿Cuál es el valor original del activo fijo?
50,000 - 6,000 (6.144567106)
-10d = 6.144567106 - 10 (1.10)
(1.10) - 1
B = 15,000
DATOS
n = 4
p = 2
r = 1.15
B = Q. 15,000.00
j = 0.18
m = 4
A = Q. 132,624.31 VALOR ORIGINAL DEL ACTIVO
5.7 EJEMPLO No. 7 - RENTA PERPETUA VENCIDA
Una empresa depositó cierta cantidad de dinero para que al final de cada año se
le entregue a una asociación Q. 10,000.00. Considerando que la financiera aplica
una tasa de interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad
de dinero depositó la empresa para que la asociación reciba los Q.
10,000.00 a perpetuidad?
DATOS
R = Q. 10,000.00
p = 1
j = 0.18
m = 4
np -mn (r) (1 + j/m) - 1A = B
m/p r - (1 + j/m)
8 -16 (1.15) (1.045) - 1A = 15000
2 1.15 - (1.045)
A = Q. 51,943.03 ES LA CANTIDAD DE DINERO QUE
DEPOSITÓ LA EMPRESA.
5.8 EJEMPLO No. 8 - COSTO CAPITALIZADO
Una empresa tiene las siguientes ofertas de maquinaria:
Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 25,000.00 y debe reemplazarse
cada 8 años por otra cuyo costo es de Q. 30,000.00.
Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 28,000.00 y debe reemplazarse
cada 10 años por otra a un costo de Q. 30,000.00.
Considerando una tasa de interés del 10% anual, capitalizable trimestralmente.
¿Cuál de las dos alternativas es la más conveniente desde el punto de vista
financiero?
DATOS No. 1 DATOS No. 2
F = Q. 25,000.00 F = Q. 28,000.00
k = 8 k = 10
W = Q. 30,000.00 W = Q. 30,000.00
j = 0.10 j = 0.10
R
A = m/p
(1 + j/m) - 1
10,000
A = 4
(1.045) - 1
m = 4 m = 4
C1 = Q. 49, 921.97
C2 = Q. 45,803.48
LA SEGUNDA ALTERNATIVA ES LA MÁS CONVENIENTE PUESTO QUE EL
COSTO CAPITALIZADO ES MENOR QUE EL PRIMERO.
W
C = F + mk
(1 + j/m) - 1
30,000
C1 = 25,000 + 32
(1.25) - 1
30,000
C2 = 28,000 + 40
(1.25) - 1
5.9 EJEMPLO No. 9 - COSTOS EQUIVALENTES
Una constructora tiene equipo con un costo de Q. 100,000.00, debe ser
reemplazado cada 10 años al mismo costo. Un fabricante ofrece otro equipo con
un costo inicial y de reemplazo de Q. 125,000.00, debe ser reemplazado cada 12
años. El gerente de la constructora desea saber ¿cuál de los 2 equipos resulta
más económico y cuánto puede pagar por el segundo para que su costo resulte
equivalente al del primero? Considere el 18% anual de interés capitalizable
trimestralmente.
DATOS No. 1 DATOS No. 2
F = Q. 100,000.00 F = Q. 125,000.00
k = 10 k = 12
j = 0.18 j = 0.18
m = 4 m = 4
C1 = Q. 120,762.55
F
C = -mk
1 - (1 + j/m)
100,000
C 1 = -40
1 - (1.045)
C2 = Q. 142,190.51
DATOS
F = Q. 100,000.00
k = 10
t = 12
j = 0.18
m = 4
F’ = Q. 106,162.63 PARA QUE EL COSTO DEL SEGUNDO SEA
EQUIVALENTE AL DEL PRIMERO.
125,000
C 2 = -48
1 - (1.045)
-mt 1 - (1 + j/m)
F’ = F -mk
1 - (1 + j/m)
-48 1 - (1.045)
F’ = 100,000 -40
1 - (1.045)
5.10 EJEMPLO No. 10 - LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA
ÚTIL DE UN ACTIVO
Una empresa posee cierto equipo que tiene un costo de Q. 50,000.00, y debe
reemplazarse cada 10 años, el proveedor de dicho equipo ofrece cambiarle ciertos
componentes para alargarle la vida útil en 4 años más. ¿Hasta qué cantidad se
podrá pagar por el cambio de componentes considerando una tasa de interés del
12% anual, capitalizable trimestralmente?
DATOS
F = Q. 50,000.00
k = 10
b = 4
j = 0.12
m = 4
x = Q. 8,329.50 ES LO MÁS QUE SE PUEDE PAGAR POR EL
CAMBIO DE COMPONENTES
-mb 1 - (1 + j/m)
x = F -mk
(1 + j/m) - 1
-16 1 - (1.03)
x = 50,000 - 40
( 1.03 ) - 1