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Controle de Sistemas Mecânicos
Projeto básico de controladores
� Definição das margens
� Diagramas de Bode
� Diagramas de Nyquist
� Exemplos de projetos
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margem de ganho
Conhecido o máximo ganho (Km) queassegure a estabilidade para o controleproporcional de uma dada planta de fasemínima (zeros no semi-plano esquerdo)e realimentação unitária negativa, amargem de ganho é definida como:
1020log mMG K=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício 19.1: Margem de ganho
Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de ganho:
( ) 1
( ) ( 5)( 8)
Y s
U s s s s=
+ +
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Controle de Sistemas Mecânicos
Solução: Margem de ganho
( ) 1
( ) ( 5)( 8)
Y s
U s s s s=
+ +
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);rlocus(np,dp)km=519mg=20*log10(km)
1020log mMG K=
MG = 54.3 dB
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Controle de Sistemas Mecânicos
Teste em Simulink: Margem de ganho
k=522
K=519muito próximoda estabilidade
marginal
Tempo muitolongo paravisualizar a
instabilidade
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margem de fase
Mínimo atraso de fase que pode seradicionado por um controlador a umsistema de malha aberta estável demodo a desestabilizar o sistema de
malha fechada.
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margens de ganho e fase na FT senoidal
� Com ganho e atraso a FT de malha aberta fica:
� FT de malha fechada fica:
� Fazendo pode-se obter as frequênciasque instabilizam o sistema malha fechadafazendo
)()( sPKesG asT−=
s jω=
( )( )
1 ( )
a
a
sT
sT
Ke P sFTmf s
Ke P s
−
−=+
1 ( ) 0aj TKe P jω ω−+ =
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margens de ganho e fase na FT senoidal
� Duas condições para satisfazer a equação
� A FT malha aberta pode ser escrita na forma
1 ( ) 0aj TKe P jω ω−+ =
( ) 1KP jω =
( ) 180aj Te P jω ω− = −
( )( ) ( ) aj T j jG j KP j e eω φ ωω ω −=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margens de fase na FT senoidal
� Quando a primeira é satisfeita
� Pode-se observar o quão distante a faseesta de satisfazer a segunda
� Na frequência
( ) 1KP jω =
( ) 180aj Te P jω ω− = −
( ) 180jφ ω θ− = −
cgωPode-se definir
Frequência decruzamento de
ganho
cgω
θ
180 ( )jθ φ ω= +
Margem de faseem graus
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margens de ganho na FT senoidal
� Quando a segunda é satisfeita
� Pode-se observar o quão distante o ganhoesta de satisfazer a primeira
� Na frequência
( ) 180aj Te P jω ω− = − cfωPode-se definir
Frequência decruzamento de
fase
cgω Margem deganho em dBs
( )0 20log10 ( )KP jω−
( )KP jω
( ) 1KP jω =
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício 19.2: Margem de fase
Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de fase:
( ) 1
( ) ( 5)( 8)
Y s
U s s s s=
+ +
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Controle de Sistemas Mecânicos
Solução: Margem de fase
( ) 1
( ) ( 5)( 8)
Y s
U s s s s=
+ +
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);w=logspace(-3,2)bode(np,dp,w)wcg=0.025180 ( 90.5)MF = + −
89.5MF =
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Controle de Sistemas Mecânicos
Teste em Simulink: Margem de fase
Ta= 65s
( ) ( )aj TG s e P sω−= aTω θ=
89.5* /18062.5
0.025a
piT
θω
= = ≅
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Controle de Sistemas Mecânicos
Vizualização das margens
� As margens podem ser visualizadasdiretamente nos diagramas de Bode,Nyquist e Nichols.
� Primeiramente faz-se necessário definiralgumas freqüências para visualizaçãodas margens
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Controle de Sistemas Mecânicos
Definição dos pontos de cruzamentos
� Freqüência de cruzamento de ganho:– corresponde ao ponto em que o ganho cruza a
linha de zero decibéis no diagrama do módulo
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Controle de Sistemas Mecânicos
Definição dos pontos de cruzamentos
� Freqüência de cruzamento de fase:– corresponde ao ponto em que a fase cruza a
linha de -180 graus no diagrama de fase
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Controle de Sistemas Mecânicos
Como calcular as margens
� Na freqüência de cruzamento de ganhodefine-se a margem de fase como o ânguloque falta para completar 180 graus.
MF
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Controle de Sistemas Mecânicos
Como calcular as margens
� Na freqüência de cruzamento de fase define-se a margem de ganho como a diferença emdecibéis para atingir zero dB.
MG
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Controle de Sistemas Mecânicos
Usando os diagramas de Bode
As margens podem ser vistas no diagrama de Bode(comando margin)
( ) 1
( ) ( 5)( 8)
Y s
U s s s s=
+ +
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);margin(np,dp)
Para a planta:
MF
MG
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Controle de Sistemas Mecânicos
No diagrama de Nyquist
zero raio unitário
180 cruzamento com o eixo real negativoo
Db ⇔⇔
Considerandoo ponto onde
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margens no diagrama de Nyquist
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquis t Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
MF
1/MG
As margenspodem serencontradasno círculode raiounitário e noponto decruzamentodo eixo realnegativo.
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margens finitas menores
A aproximaçãodos cruzamentosdo ponto (-1,0)gera margensmenores tantopara o ganhocomo para a fase
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Controle de Sistemas Mecânicos
Usando o diagrama de Nichols
As margens são visualizadas em um único gráfico
MF
MG
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);nichols(np,dp)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Frequency (rad/s ec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-100
-50
0
Gm=33.625 dB (at 2.8284 rad/s ec), P m=84.647 deg. (a t 0.1247 rad/s ec)
10-1
100
101
-250
-200
-150
-100
Exemplo 19.1: Margens finitas
Para a planta (comando margin): Y s
U s s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +1
2 4
MG
MF
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.1: Gráfico do lugar das raízes
Usando o comando rlocus: Y s
U s s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +1
2 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6
-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
Imag
Axi
s
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.1: Diagrama de Nyquist
Para a planta: Y s
U s s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +1
2 4
% raio unitário teta=linspace(0,2*pi,100); re=cos(teta); im=sin(teta); plot(re,im,'k') axis equal, hold on
np=1; dp=poly([-4 -2 0]); sys=tf(np,dp); [r i]=nyquist(sys); r1(1,:)=r(1,1,:); i1(1,:)=i(1,1,:); plot(r1,i1,'b'), grid zoom
-0.02 0 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.1: Diagrama de Nichols
Para a planta: Y s
U s s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +1
2 4
Open-Loop P has e (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
Nichols Charts
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100
-200
-150
-100
-50
0
50
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.2: Margem de ganho infinita
Para a planta: Y s
U s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +16
2 4
Frequency (rad/s ec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-40
-20
0
Gm = Inf, P m=93.268 deg. (at 2.6623 rad/s ec)
100
101
-150
-100
-50
0
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.2: Lugar das raízes
Para a planta: Y s
U s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +16
2 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.2: Diagrama de Nyquist
Para a planta:
Y s
U s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +16
2 4
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.2: Diagrama de Nichols
Para a planta: Y s
U s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +16
2 4
Open-Loop P has e (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
Nichols Charts
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.3: Sempre estável
Para a planta: )4)(2(
8
)(
)(
++=
sssU
sY
Frequency (rad/s ec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0Gm = Inf, P m=180 deg. (at 0 rad/s ec)
100
101
-150
-100
-50
0
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.3: Lugar das raízes
Para a planta:)4)(2(
8
)(
)(
++=
sssU
sY
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
Imag
Axi
s
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.3: Diagrama de Nyquist
Para a planta:
Y s
U s s s
( )
( ) ( )( )=
+ +8
2 4
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Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo 19.3: Diagrama de Nichols
Para a planta:)4)(2(
8
)(
)(
++=
sssU
sY
Open-Loop P has e (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
Nichols Charts
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
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Controle de Sistemas Mecânicos
Margem de Redução de ganho
Quando o sistema é instável em malhaaberta (pólos da FT de malha aberta noSPD), a margem de redução de ganho édefinida como o menor ganho (Kr) queassegure a estabilidade do sistema emmalha fechada:
( )rKMRG 10log20=
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Margem de Redução de ganho
Observar as margens juntamente com olugar das raízes da malha aberta
np=...;
dp=...;
figure(1)
margin(np,dp)
figure(2)
rlocus(np,dp)
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Exemplo 19.4: Margem de redução de ganho
Para a planta cuja FT é
calcule a margem de ganho e margem de fase ejustifique o resultado
2
3
3 6 4( )
1
s sG s
s
+ +=+
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Solução:nps=[3 6 4];
dps=[1 0 0 1];
figure(1)
margin(nps,dps)
figure(2)
rlocus(nps,dps)
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Solução:
km=0.371
mg=20*log10(km);
mg= -8.6125