DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas SINAIS E SISTEMAS Sinais O que são...
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DEEC/ IST Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS
• SinaisO que são sinais?Transformações lineares da variável independente
Reflexão em relação à origem; Mudança de escala; Translação no tempo.Propriedades dos sinais
Paridades; Periodicidade.Sinais contínuos básicos
Impulso unitário de Dirac; Escalão unitário; Exponencial complexa.Sinais discretos básicos
Impulso unitário; Escalão unitário; Exponencial complexa.
• SistemasSistema físico, modelo, representação matemática.Propriedades dos sistemas
Sistemas com e sem memória; Invertibilidade e sistema inverso;Causalidade; Estabilidade; Invariância temporal; Linearidade.
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais e SistemasSinais e Sistemas
sinal de entrada: fala (pressão acústica)sinal de saída: corrente eléctrica
sinal de entrada: posição do aceleradorsinal de saída: velocidade do veículo
circuito elétrico
sinais: tensões e correntes
sinal de entrada: luzsinal de saída: fotografia
microfone
automóvel
máquina fotográfica
luz
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais e SistemasSinais e Sistemas
Fala
Sismologia
Sinal contínuo: domínio real
Electrocardiograma
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinal discreto: domínio inteiroSinais e SistemasSinais e Sistemas
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinal discreto: domínio inteiroSinais e SistemasSinais e Sistemas
Amostragem de sinal analógico
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
O sinal y relaciona-se com o sinal x através de uma transformação linear da variável independente quando
R, babatxty - sinal contínuo
Zbabanxny , - sinal discreto
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem)Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem)
txty
nxny
Exemplo: passagem de fita magnética em sentido inverso ao de gravação mas à mesma velocidade
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
Mudança de escalaMudança de escala RaatxtySinal contínuo:
Exemplo: passagem de fita magnética a uma velocidade diferente da original
: fita tocada a velocidade superior compressão temporal
: fita tocada a velocidade inferior expansão temporal
1a
1a
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
Mudança de escalaMudança de escala ZaanxnySinal discreto:
No caso discreto só faz sentido falar em compressão temporal ; Na compressão temporal de um sinal discreto há sempre perda de informação.
1a
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
Translação no tempoTranslação no tempo
R bbtxty
Z bbnxny : atraso
: avanço
0b0b
Exemplo: propagação de um sinal entre dois pontos distantes no espaço
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
t
x(t)
1
--1
2
2
1txty
tx 2 txtz
z(t)
t
--1
-2 -1
tztw 2 tx
w(t)
t
--1
21
twty
2
1
2
2
1tx
y(t)
t
--1
42
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independenteTransformações lineares da variável independente
t
y(t)
--1
31
x(t)
t-2
1
2
z(t)
t-1
1
1
1. Compressão temporal: txtz 2w(t)
t-1
1
1
2. Inversão temporal: tztw
3. Translação no tempo: )2( twty 2 tz 4222 txtx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: ParidadesPropriedades dos sinais: Paridades
nxnx
txtx Um sinal diz-se par quando
Um sinal par é simétrico em relação à origem
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: ParidadesPropriedades dos sinais: Paridades
nxnx
txtx Um sinal diz-se ímpar quando
Se um sinal ímpar estiver definido para o instante t=0 então x(0)=0
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: ParidadesPropriedades dos sinais: Paridades
Qualquer sinal x pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar
txtxtx ip
em que txtxtx p 2
1 txtxtxi 2
1e
t
x(t)--
--
--1 2
1
2--
t
xp(t)--
--
--
1 2
1
2
------
-1-2 t
xi(t)--
--
--
1 2
1
2
------ -1-2
-- -1
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Propriedades dos sinais: PeriodicidadePropriedades dos sinais: Periodicidade
Sinal periódico sse R:0R, TTtxtxTt
Z:0Z, NNnxnxNn
T, N - periodo
… … tx
t1 32102
Um sinal periódico é um sinal bilateral; Se x(t) é periódico com periodo T, também é periódico com periodo 2T, 3T, 4T… Periodo fundamental T0 é o menor valor positivo do periodo.
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: escalão unitárioSinais básicos: escalão unitário
contínuocontínuo discretodiscreto
0;1
0;01 t
ttu
0;1
0;01 n
nnu
tu 1
t
… …1
nu 1
n
… …1
0 2 4 86 1410 12
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: impulso unitário de DiracSinais básicos: impulso unitário de Dirac
tudt
dt 1
Função generalizada definida de forma explicita por
ou de forma implícita por
dtut
1
O impulso unitário de Dirac é nulo para ;0t
Em o impulso unitário de Dirac tem amplitude infinita; 0t
O impulso unitário de Dirac é caracterizado por ter área unitária, i.e.,
1
dtt
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: impulso unitário de DiracSinais básicos: impulso unitário de Dirac representação gráficarepresentação gráfica
t
t1
0
área =1
aproximaçãoaproximação
t0
área=1
área=1
área=1
propriedadespropriedades
t0
x(t)
txttx 0
(t)
0t
(t-t0)
000 tttxtttx
dtxtx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: impulso unitário discretoSinais básicos: impulso unitário discreto
0;1
0;0
n
nn … …
n0
1 n
relação com o escalão unitáriorelação com o escalão unitário
111 nunun
n
k
knu 1
propriedadespropriedades
nxnnx 0
n
n 1
000 nnnxnnnx
k
knkxnx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínuaSinais básicos: exponencial complexa contínua
atCetx jeCC
0jra
tjrj eeC 0 tjrteeC 0
tjteCtx rt00 sincos
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínuaSinais básicos: exponencial complexa contínua
I.I. raCC ,00,00 jeCC
0jra
atCetx
rteCtx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínuaSinais básicos: exponencial complexa contínua
jeCC
0jra
atCetx
II.II. 0,0 jaeCCr j
tjtCeCtx tj00 sincos0
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa contínuaSinais básicos: exponencial complexa contínua
tjtetx tj00 sincos0 é periódico?O sinal
Ttxeetx Ttjtj 00
10
Tje Z,20 kkT Z,
2
0
kk
T
tjetx 0 é sempre periódico;O sinal
00
2
TO período fundamental é ;
Quanto maior for , menor é e maior é a rapidez de oscilação.0T0
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
anCenx jeCC
0 jra
njrj eeC 0 njrneeC 0
njneCnx rn00 sincos
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
I.I. kjraCCk 2,00,20 jeCC
0 jra
anCenx
rneCnx knjrneeCnx 21
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
II.II. 12,00,120 kjraCCkjeCC
0 jra
anCenx
nkjrneeCnx 12 1
njnkjrn eeeC 2
n1
rnn eCnx 1
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
III.III. 0,0 jaeCCr j
njnCeCnx nj00 sincos0
jeCC
0 jra
anCenx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
njenx 01
representam o mesmo sinal.
As exponenciais complexas Z22
0 kenx nkj e
nkjenx 22
0 nxe nj1
0 knjnj ee 201
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
0Quando aumenta, a rapidez de oscilação de aumenta para , e diminui para . inteiro212 0 kkk 122 0 kk
nje 0
nenx nj0cosRe 0 Exemplo:
...2,00
...2
5,
2
3,
20
...3,0
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discretaSinais básicos: exponencial complexa discreta
njnenx nj00 sincos0
é periódico?O sinal
Nnxeenx Nnjnj 00
10
Nje Z,20 kkN Z,2
0
kN
k
00
2
kN
O período fundamental é o menor inteiro positivo tal que ;
njenx 0O sinal é periódico sse é um número racional;2
0
A frequência fundamental é , em que e não têm factores comuns. kN
0
0
2
k 0N
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
SistemasSistemassistema
sinal entrada sinal saída
sérieparalelo realimentação
Diagrama de blocosDiagrama de blocos
S1
S2
+ S4S3 + S5
S6
x y
Sistema contínuo: transforma sinais de entrada contínuos em sinais de saída contínuos; Sistema discreto: transforma sinais de entrada discretos em sinais de saída discretos.
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
sistema com memória
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
1. Memória1. Memória
Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempodepende apenas da entrada nesse instante de tempo.
sistema sem memória
tRitv ti
Exemplos:
tv
ti
R
tv
ti
C
t
diC
tv 1 ti
sistema com memória
1 nxny nx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
sistema causal
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
2. Causalidade2. Causalidade
Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo dependeapenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.
sistema causal
tRitv ti
Exemplos:
tv
ti
R
tv
ti
C
tdi
Ctv 1 ti
sistema não causal
1 nxny nx
Todos os sistemas sem memóriasão causais.
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
3. Invertibilidade e sistema inverso3. Invertibilidade e sistema inverso
Um sistema diz-se invertível quando sinais de entrada distintos conduzem a sinais de saída distintos.
sistema não invertível
nxny 2 nx
sistema invertível
txty 2 tx
Exemplos:
sistemainverso
tw txty 2
1
sistema invertível
t
dxty tx sistemainverso
tw txtydt
d
nynx
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
sistema instável
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
4. Estabilidade4. Estabilidade
sistema instável
nnxny nx
t
dxty tx
Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,
yyxx BtyBtBtxBt :0,:0,
sistema estável
nxnyn
2
1 nx
Exemplos:
nxnyn
2
1 xBnx
1 xB
xB
nnynnx 1
limitado não limitado
ttudutytutxt
111 limitado não limitado
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Sistema invariante no tempo
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
5. Invariância temporal5. Invariância temporal
Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinalde entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,
00 ttyttxtytx
t
dxty tx
Exemplo:
t
dxtytx 222
01 ttx 01 tx
t
dtx 01
0
1
ttdx
0
1
ttdx
012 ttyty
tdxtytx 111 01 tty
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
sistema variante no tempo
012
1nnx
n
01 nnx
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinalDe entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,
00 nnynnxnynx
5. Invariância temporal5. Invariância temporal
nxnyn
2
1 nx
Exemplo:
nxnynxn
222 2
1
01 nnx
01
0
2
1nnx
nn
nxnynxn
111 2
1
01 nny
012 nnyny
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
sistema não linear
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
6. Linearidade6. Linearidade
Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,
Kktytx kk ,,2,1
K
kkk
K
kkk tyatytxatx
11
sistema linear
nxanxany
nxanxanx
n
2211
2211
2
1
nxanxann
2211 2
1
2
1
nyanya 2211
nxnyn
2
1 nx
Exemplos: txty sin tx
txatxatytxatxatx 22112211 sin
tyatya 2211 txatxa 2211 sinsin
tyatyaty 2211
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Sistemas e Sinais Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemasPropriedades dos sistemas
6. Linearidade6. Linearidade
Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,
Kktytx kk ,,2,1
K
kkk
K
kkk tyatytxatx
11
ttyttx 00)(linearsistema Propriedade:
32 txty tx
Exemplo:
ttyttx 30
sistema não linear
txtz 2 tx
ttw 3
32 txtysistema
linear
sistema incrementalmente linear