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Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6)
LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto
Estrutura
1. Definições
2. Dedução Natural
3. Sistemas axiomático Pa
4. Lista
Univasf – Engenharia de Computação - LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO - Prof.: Rosalvo Neto
04Univasf – Engenharia de Computação - LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO - Prof.: Rosalvo Neto
Definições Dedução Natural Sistemas axiomático Pa Lista
Um dos objetivos principais da lógica é o estudo de estruturas quepossam ser utilizadas na representação e dedução doconhecimento.
Se, por um lado, a Lógica estabelece uma linguagem útil, elatambém analisa como o conhecimento é deduzido, formalmente, apartir do conhecimento dado a priori.
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Esse conhecimento, fornecido de antemão, é representado por umconjunto de fórmulas denominados axiomas. Os axiomas são,portanto, fórmulas às quais atribuímos um status especial deverdade básica ou a priori.
06Univasf – Engenharia de Computação - LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO - Prof.: Rosalvo Neto
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Argumentos Dedutivos
X
Argumentos Indutivos
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Argumento
Seqüência de premissas seguida por uma conclusão.
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Os argumentos são divididos em dois grupos:
Argumentos Dedutivos
•O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem umaprova conclusiva da veracidade da conclusão.
•O argumento é dedutivo quando a conclusão é completamentederivada das premissas.
Argumentos Indutivos
•O argumento será indutivo quando suas premissas não forneceremo apoio completo para ratificar as conclusões.
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Exemplo de Argumento Dedutivo
A porta do apartamento 1 deste edifício é branca
A porta do apartamento 2 deste edifício é branca
A porta do apartamento 3 deste edifício é branca
A porta do apartamento 4 deste edifício é branca
Este edifício tem apenas 4 apartamentos
Logo, todas as portas de apartamento deste edifício sãobrancas.
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Exemplo de Argumento Indutivo
A porta do apartamento 1 deste edifício é branca
A porta do apartamento 2 deste edifício é branca
A porta do apartamento 3 deste edifício é branca
A porta do apartamento 4 deste edifício é branca
Este edifício tem 6 apartamentos
Logo, todas as portas de apartamento deste edifícios são brancas.
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Argumento válido
Um argumento é válido quando sua conclusão é uma conseqüêncialógica de suas premissas
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Conseqüência lógica
Definição informal:
Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira.
Definição formal:
Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b
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Sistema Axiomático
Seja S0 um conjunto de objetos sintáticos. Um sistema axiomático sobreSO é um par K = (A,R), onde
A é um conjunto finito de esquemas de axiomas, que são conjuntosdecidíveis de SO. Os elementos de um esquema de axioma sãochamados de axiomas.
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ouproposição que não é provada ou demonstrada e é considerada comoóbvia
R é um conjunto finito de regras de inferência, que são subconjuntosdecidíveis de SO.
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Prova Sintática
Sejam:
H uma fórmula e
β um conjunto de fórmulas denominadas por hipóteses.
Uma prova sintática de H a partir de β, é uma seqüência defórmulas
H1,H2,...,Hn,
onde temos:
H = Hn.
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Sistemas Dedutivos
Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas)que permite obter (deduzir) conclusões (sentenças) a partir dehipóteses (sentenças).
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Sistemas Dedução Natural
Dedução natural é um dos sistemas dedutivos utilizados paraconstruir demonstrações formais na Lógica, tais demonstraçõessão realizadas através de uma árvore de dedução utilizando regrasde introdução e eliminação.
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Regras
Regras de Introdução
Introdução da CONJUNÇÃOIntrodução da DISJUNÇÃOIntrodução da IMPLICAÇÃOIntrodução da NEGAÇÃO
Regras de Eliminação
Eliminação da CONJUNÇÃOEliminação da DISJUNÇÃOEliminação da IMPLICAÇÃOEliminação da NEGAÇÃO
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Introdução da CONJUNÇÃO
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Introdução da DISJUNÇÃO
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Introdução da IMPLICAÇÃO
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Introdução da NEGAÇÃO
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Eliminação da CONJUNÇÃO
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Eliminação da DISJUNÇÃO
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Eliminação da IMPLICAÇÃO
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Eliminação da NEGAÇÃO
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Exemplos de prova de conseqüência lógica por dedução natural
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Algumas das principais regras da lógica proposicional clássica são as seguintes:
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Definição 6.1 (sistema axiomático Pa) O sistema formal axiomático Pa da Lógica Proposicional é definidopela composição dos quatro elementos:
•o alfabeto da Lógica Proposicional, na forma simplificada, Definição 5.4, sem o símbolo de verdade false;
•o conjunto das fórmulas da Lógica Proposicional;
•um subconjunto das fórmulas, que são denominadas axiomas;
•um conjunto de regras de dedução.
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Definição 6.2 (axiomas do sistema Pa) Os axiomas1 do sistema Pa
são fórmulas da Lógica Proposicional determinadas pelosesquemas indicados a seguir. Nesses esquemas E, G e H sãofórmulas quaisquer da Lógica Proposicional.
Ax1 = ¬(H ∨ H) ∨ H,
Ax2 = ¬H ∨ (G ∨ H),
Ax3 = ¬(¬H ∨ G) ∨ (¬(E ∨ H) ∨ (G ∨ E)).
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Definição 6.2 (axiomas do sistema Pa)
Axl =(H ∨ H) → H,
Ax2 = H → (G ∨ H),
Ax3 =(H → G) → ((E ∨ H) → (G ∨ E)).
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Notação. No sistema Pa são consideradas as correspondências aseguir, que definem os conectivos, e .
H G denota ( H ∨ G).
(H G) denota (H G) ∧ (G H).
(H ∧ G) denota ( H ∨ G).
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Definição 6.3 (regra de inferência do sistema Pa, modus ponens)
Dadas as fórmulas H e G, a regra de inferência do sistema Pa,denominada modus ponens (MP ), é definida peloprocedimento:
tendo H e (¬H ∨ G) deduza G.
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Notação. Para representar o esquema de regra de inferênciamodus ponens, a notação a seguir é considerada
Nessa notação, o "numerador" da equação é o antecedente.
O "denominador" é o conseqüente.
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Definição 6.5 (conseqüência lógica sintática no sistema Pa)
Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses β,
então
H é uma conseqüência lógica sintática de β em Pa,
se
existe uma prova de H a partir de β.
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Definição 6.6 (teorema no sistema Pa)
Uma fórmula H é um teorema em Pa,
se
existe uma prova de H, em Pa, que utiliza apenas os axiomas.
Nesse caso, o conjunto de hipóteses é vazio.
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Prove utilizando o Sistema de Dedução Natural
1- A Λ (B Λ C) (A Λ B) Λ C
2- A D V ((B V A) V C)
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1- A Λ (B Λ C) (A Λ B) Λ C
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2- A D V ((B V A) V C)
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Definições Dedução Natural Sistemas axiomático Pa Lista
Nestes exercícios, além de MP e MT, lembre-se de usar DeduçãoNatural.