www.monografias.comDeduccin completa ecuaciones de la curva, flecha, tensin y longitud de un cable parablico con apoyos al mismo nivel

Julio Csar de J. Balanz Chavarra - rufus_41@hotmail.com

Resumen Desarrollo del tema Bibliografa

RESUMEN

Se lleva a cabo la deduccin paso a paso (en el texto consultado no se lleva a cabo as) del clculo de la curva, flecha, tensin y longitud de un cable parablico (el cual segn se demuestra forma una parbola con el eje vertical), que soporta una carga uniformemente repartida sobre su proyeccin horizontal, como es el caso del cable de un puente colgante, y cables muy tirantes, con su flecha muy pequea en comparacin con su luz, como, los de las lneas elctricas. Esta explicacin es til en la imparticin de materias tales como: Esttica, Diseo Mecnico, Instalaciones Mecnicas y Lneas de Transmisin, de la carrera de Ingeniero Mecnico electricista.

DESARROLLO DEL TEMA

Consideremos un cable que est suspendido entre dos puntos y soporta una carga que est uniformemente repartida sobre la proyeccin horizontal de la curva funicular (segn se ve en la figura siguiente), este cable adopta la forma de una parbola. Deduciremos las ecuaciones que nos dan la curva, la flecha, la tensin en los puntos de apoyo y la longitud del cable parablico, considerando que los puntos de los que est suspendido el mismo se, se hallan en el mismo plano horizontal.El cable de un puente colgante es un ejemplo de un cable que soporta una carga que muy aproximadamente est uniformemente repartida en la direccin horizontal, ya que el peso del tablero est uniformemente repartido en esa direccin, y los pesos del cable y tirantes son pequeos en comparacin con el de aquel; y por lo tanto pueden despreciarse. Otro ejemplo es el de un cable muy tirante (esto es un cable en el que la flecha es pequea en comparacin con la, luz) que no soporta una carga mas que la de su propio peso; como por ejemplo el cable de una lnea elctrica de transmisin, un alambre de telgrafo, etc.

En este caso la carga soportada por el cable (su peso) est repartida uniformemente a lo largo de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flecha (f) es pequea, la proyeccin horizontal de un arco de curva es aproximadamente igual a la longitud del arco y, por consiguiente la carga est con bastante aproximacin uniformemente repartida en la direccin horizontal.

Para resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza, se utiliza la ecuacin de la curva asumida por el cable (la parbola) y las ecuaciones que expresan las relaciones entre la luz (a), la flecha (f), la longitud del cable (l), la tensin (T), etc. Con objeto de determinar la ecuacin de la parbola consideramos una parte AB del cable como un cuerpo libre (figura b). Tomaremos como origen de coordenadas el punto ms bajo del cable A, y la tensin en este punto la designaremos por H. La tensin en un punto cualquiera B la designaremos por T. Esto supuesto, la porcin de cable AB est en equilibrio bajo la accin de las tres fuerzas H, T y la carga vertical wx que acta en el punto medio D de la distancia entre A y C. Puesto que esas tres fuerzas estn en equilibrio tienen que ser concurrentes y, por consiguiente, la lnea de accin de T pasa por D. Las ecuaciones de equilibrio son:

FX = T cos H = 0, ... (1)Fy = T sen wx = 0 (2)

Eliminando T en (1) y (2) tenemos:

De (1) T= ..(3)

De (2) T=..(4)

Igualando (3) y (4)

=

Tan = ..(5)

Pero de la figura Tan =

Tan =(6)

Luego, igualando 5 y 6

=

y = ..(7) ECUACIN DE LA CURVA

La curva es, pues, una parbola con el vrtice en A y eje vertical.

Eliminando de (1) y (2), tenemos

De 1) T Cos = H T2 Cos2 = H2 ..8)De 2) T Sen = wx T2 Sen2 = w2x2.9)

Sumando 8) y 9) tenemos

T2Cos2 + T2Sen2 = H2+w2x2T2(Sen2+Cos2d) = H2+w2x2

T= .(10)

Al aplicar las ecuaciones que antecedente lo que nos interesa es la tensin en el punto de apoyo, por ser en este punto donde la tensin es mxima. Por consiguiente, si designamos por a la luz y por f el valor mximo de y (esto es, la flecha) de las ecuaciones (3) y (4) se deduce:

Sustituyendo en (7) x = y y por f tenemos

f =

f = (11)

En la ecuacin 10, sustituyendo x por a/2 , la tensin en el punto de apoyo T ser

T=.(12) Tensin en el punto de apoyo

Sustituyendo 11) en 12)

T =

T =

T = .. (13) Tensin mxima en funcin de datos fcilmente medibles en el campo como son a y f

Determinaremos ahora la longitud del cable en funcin de la luz a y de la flecha f. La longitud de un arco de una curva cualquiera, se obtiene por medio de la ecuacin.

s =

De la ecuacin 7)

y=

=

Por consiguiente, si designamos por l la longitud del cable, tenemos:

l = 2

La expresin exacta de l, obtenida de esta integral, contiene una funcin logartmica la cual es de difcil aplicacin. Puede obtenerse una expresin ms sencilla desarrollando la expresin contenida bajo el signo integral, la cual es de la forma

Para nuestro caso:

=

= 1 + - +.

Sustituyendo H4 = y H2 = En la expresin anterior tenemos:

l: 2

l: 2

l: 2

l: 2

l: a +

l: a +

l: a

La serie converge para valores de menores de 0.5; en la mayora de los casos, la relacin es mucho ms pequea y solo es necesario calcular los dos primeros trminos de la serie.

BIBLIOGRAFIA

Mecnica Analtica para Ingenieros, Seely Fred B., Ensign E. Newton, U.T.E.H.ABeer P. Ferdinand, Johnston Russel E. Jr., Mecnica Vectorial para Ingenieros 2 Edicin, ESTTICA

Autor:Julio Csar de J. Balanz Chavarriarufus_41@hotmail.com

Breve biografa del autor

Julio Csar de J. Balanz Chavarria es M.en C. en Diseo Mecnico por el I. P. N. habiendo cursado su licenciatura en Ingeniera Mecnica y Elctrica en la Facultad Nacional de Ingeniera de la U.N.A.M.. Es catedrtico en el Instituto Tecnolgico Superior de Poza Rica Veracruz yen la Universidad Veracruzana de la misma ciudad, jubilado de Petrleos Mexicanos, en donde lleg a ser Jefe del Departamento de Equipo Dinmico e Instrumentos, habindose tambin desarrollado como instructor en el IMP. y en el CONALEP de la misma ciudad. Autor del libro Resistencia de Materiales, teora y problemas, editado por la Universidad Veracruzana.Para ver trabajos similares o recibir informacin semanal sobre nuevas publicaciones, visite www.monografias.com