Décomposer un nombre en facteurs premiers. 10 = 2 X 5 30 = 2 X 3 X 5 1 000 = 2 3 X 5 3 5 040 = 2 4...
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Décomposer un nombre en facteurs premiers.
10 = 2 X 5
30 = 2 X 3 X 5
1 000 = 23 X 53
5 040 = 24 X 32 X 5 X 7
280 = 23 X 5 X 7
Décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé très utile en mathématique.
Il permet:
- d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des fractions;
- de simplifier des fractions;
- de déterminer les facteurs d’un nombre;
- de déterminer les PGCF et le PPCM de deux ou plusieurs nombres;
- d’opérer les fractions rationnelles;
- d’utiliser les lois sur les exposants;
- d’extraire les racines d’un nombre;
- etc.
Pour décomposer un nombre sous la forme de facteurs premiers, il faut connaître les notions suivantes:
- qu’est-ce qu’un nombre premier ?
- qu’est-ce qu’un facteur ?
- qu’est-ce qu’un exposant ?
- qu’est-ce qu’un facteur premier ?
Nombre premier
Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même.
On pourrait aussi dire que c’est un nombre qu’on ne peut plus décomposer en entiers plus petits.
Exemple : 2 est un nombre premier car il n’a que deux diviseurs:
2 ÷ 1 = 2 2 ÷ 2 = 1
3 est un nombre premier car il n’a que deux diviseurs:
3 ÷ 1 = 3 3 ÷ 3 = 1
On peut remarquer qu’on ne pourrait pas décomposer 2 ou 3 en entiers plus petits.
6 n’est pas un nombre premier car il a plus que 2 diviseurs:
6 ÷ 6 = 1 6 ÷ 1 = 6 6 ÷ 2 = 3
6 n’est pas un nombre premier car on peut le décomposer en entiers plus petits:
2 et 3 car
et
et
6 ÷ 3 = 2
6 = 2 X 3
Il existe plusieurs nombres premiers:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Voici la liste des nombres premiers plus petits que 100 :
Voici un nombre premier très grand:
95 647 806 479 275 528 135 733 781 266 203 904 794 419 563 064 407.
43 112 609 2 - 1
Voici le plus grand nombre premier découvert jusqu’à aujourd’hui (2 008) :
Il faut 13 millions de chiffres pour l’écrire.
Heureusement, pour nos calculs, nous n’aurons pas besoin de tous les connaître !
Facteurs
La réponse d’une multiplication s’appelle : produit.
Exemple : 6 X 4 = 24
24 est le produit de 6 X 4
Les nombres multipliés ensemble s’appellent :
6 X 4 = 24
facteur facteur produitx =
facteurs.
24 peut être décomposé de plusieurs façons:
1 X 24 2 X 12 3 X 8 4 X 6
On dira que les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }
Facteurs premiers
Un facteur premier est un nombre premier utilisé comme facteur.
Exemple: 2 X 3 = 6
facteur facteur
2 et 3 sont deux facteurs de 6 ;
Ce sont donc des facteurs premiers.
ils sont aussi des nombres premiers.
Décomposons 12 en facteurs premiers:
12 = 4 X 3
4 est un facteur mais il n’est pas premier;
alors décomposons encore.
12 = 4 X 3
2 X 2 2 est un nombre premier donc un facteur premier.
12 décomposé en facteurs premiers s’écrit: 2 X 2 X 3
12 = 2 X 2 X 3
3 est un nombre premier donc un facteur premier;
Remarque: On aurait pu commencer avec 12 = 2 X 6.
12 = 2 X 6
6 est un facteur mais il n’est pas premier;
alors décomposons encore.
12 = 2 X 6
2 X 3 3 est un nombre premier donc un facteur premier.
12 décomposé en facteurs premiers s’écrit: 2 X 2 X 3
12 = 2 X 2 X 3
Remarque: Peu importe par quels facteurs on commence la décomposition du nombre, on obtiendra toujours le même regroupement de facteurs premiers.
12 = 4 X 3 = 2 X 2 X 3
12 = 2 X 6 = 2 X 2 X 3
2 est un nombre premier donc un facteur premier;
Dans une multiplication, les facteurs peuvent être permutés
( on peut les changer de positions ).
12 = 2 X 2 X 3
12 = 3 X 2 X 2
12 = 2 X 3 X 2
Remarque:
Décompose 36 en facteurs premiers:
36 = 2 X 18
36 = 2 X 2 X 3 X 3
Remarque: de préférence, on écrit les facteurs premiers en ordre croissant.
36 = 2 X 3 X 2 X 3
36 = 2 X 2 X 3 X 3
36 = 2 X 3 X 6
36 = 2 X 3 X 2 X 3
Exposant
Un exposant est un nombre qui indique combien de fois un facteur se multiplie par lui-même.
Exemple:
2 3
Ainsi
2 3= 2 X 2 X 2
3 5= 3 X 3 X 3 X 3 X 3
10 6= 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = 5 4
Remarque: Certaines calculatrices afficheront 5^4 au lieu de 5 .4
( On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. )
5 1
= 5
Il existe plusieurs facteurs premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.
Pour nos besoins de calcul, trois facteurs sont particulièrement intéressants :
2 3 5
Tous les nombres pairs se divisent par 2.
Tous les nombres se terminant par 5 et 10 se divisent par 5.
36 ÷ 2 = 18 18 ÷ 2 = 972 ÷ 2 = 36
125 ÷ 5 = 25 25 ÷ 5 = 5
100 ÷ 5 = 20 20 ÷ 5 = 4
Le facteur 3 est un peu spécial.
Si la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 3, alors le nombre se divise par 3.
Exemple : 126 est-il divisible par 3 ?
1 + 2 + 6 = 9 126 ÷ 3 = 42
42 est-il divisible par 3 ?
4 + 2 = 6 42 ÷ 3 = 14
14 est-il divisible par 3 ?
1 + 4 = 5 14 ÷ 2 = 7
donc oui
donc oui
non,
Remarque: Tu peux utiliser ta calculatrice pour décomposer !
mais par 2, oui
On peut maintenant commencer.
Décompose en facteurs premiers les nombres suivants.
36 = 2
3 6X
2 3X
36 =
X 18
36 = 2 X 2 X 3 X 3
36 = 22 X 32
225 = 5
5 9X
3 3X
225 =
X 45
225 = 3 X 3 X 5 X 5
225 = 32 X 52
100 = 2
5 10X
2 5X
100 =
X 50
100 = 2 X 2 X 5 X 5
100 = 22 X 52
140 = 2
2 35X
5 7X
140 =
X 70
140 = 22 X 5 X 7
210 = 2
5 21X
3 7X
210 =
X 105
210 = 2 X 3 X 5 X 7
260 = 2
2 65X
5 13X
260 =
X 130
260 = 22 X 5 X 13
Déterminer les facteurs d’un nombre.
Écrire un nombre en facteurs premiers permet de déterminer les différents facteurs d’un nombre.
Exemple: 24 = 2
2 6X
2 3X
24 =
X 12
En regroupant ces facteurs premiers de manières différentes, on obtient les différents facteurs de 24.
24 = ( 2 ) X ( 2 X 2 X 3 )
24 = 2 X 12
24 = 4 X 6
24 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 3 )
24 = 8 X 3
24 = ( 2 X 2 X 2 ) X 3
24 = 24
24 = ( 2 X 2 X 2 X 3 )
X 1
Les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }
Donne les différents facteurs de 1 000.
1 000 =
2 5X
10 X 10 X 10
2 5X 2 5XX X
1 000 =
1 000 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5
{ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 }
1 000 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5
1 000 = 2 X ( 2 X 2 X 5 X 5 X 5 )
1 000 = 2 X 500
1 000 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 5 X 5 X 5 )
1 000 = 4 X 250
1 000 = ( 2 X 2 X 2 ) X ( 5 X 5 X 5 )
1 000 = 8 X 125
1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 ) X ( 5 X 5 )
1 000 = 40 X 25
1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 ) X 5
1 000 = 200 X 5
1 000 = ( 2 X 5 ) X ( 2 X 2 X 5 X 5 )
1 000 = 10 X 100
1 000 = ( 2 X 2 X 5 ) X ( 2 X 5 X 5 )
1 000 = 20 X 50
1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) X 1
Facteurs de 1 000 :
1 000 = 1 000 X 1
Tu découvriras dans la poursuite de ta formation en mathématique que décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé utilisé dans plusieurs autres domaines.