Débits de crue et analyse hydrologique de petits bassins versants
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DÉBITS DE CRUE ET ANALYSE HYDROLOGIQUE DE PETITS BASSINS VERSANTS
Mémoire
NESTOR RAUL ROCHA
Maîtrise en génie agroalimentaire
Maître ès sciences (M. Sc.)
Québec, Canada
© Nestor Raul Rocha, 2014
iii
RÉSUMÉ
Le design des ouvrages hydroagricoles nécessite la détermination des débits de crue et des
volumes de ruissellement. Les méthodes d'estimation utilisées au Québec n'ont pas été
validées sur des petits bassins versants agricoles.
Cette étude avait pour objectif de proposer et de valider une méthode d'estimation des
débits de crue et des volumes de ruissellement adaptée aux conditions agro-climatiques
québécoises. Elle s’est appuyée sur l’analyse, réalisée à l’aide du logiciel VisuHydro
(Lagacé, 2012b), de plus de 700 hydrogrammes provenant de douze petits bassins versants
(3 à 30 km2).
Les propriétés des hydrogrammes telles que la hauteur de ruissellement, les paramètres de
forme de l'hydrogramme, le temps de montée et les débits de pointe ont été déterminées et
comparées aux estimations des modèles utilisés présentement au Québec. Les méthodes
d'estimation des temps de concentration (Kirpich, SCS Lag, Mockus, Bansby-Williams) et
de la hauteur de ruissellement (SCS) se sont montrées non valides.
v
TABLE DES MATIÈRES
RÉSUMÉ ................................................................................................................... iii TABLE DES MATIÈRES ........................................................................................ v
LISTE DES TABLEAUX ....................................................................................... vii LISTE DES FIGURES ............................................................................................ ix
LISTE DES ANNEXES ........................................................................................... xi REMERCIEMENTS .............................................................................................. xiii 1 INTRODUCTION ............................................................................................. 1
1.1 Problématique du volet hydrologique ..................................................................... 1
2 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ....................................................................... 3 2.1 Le concept d’hydrogramme .................................................................................... 3 2.2 Le temps de concentration (tc) ................................................................................ 5
2.2.1 Méthode de Kirpich ............................................................................................ 6 2.2.2 Méthode de Mockus ............................................................................................ 6 2.2.3 Méthode de SCS-lag ........................................................................................... 7 2.2.4 Méthode de Bransby-Williams ........................................................................... 7
2.3 Volume de ruissellement ........................................................................................ 8 2.3.1 Méthode du SCS ................................................................................................. 8 2.3.2 Méthode de Monfet ............................................................................................. 9 2.3.3 Méthode des coefficients de ruissellement ....................................................... 10
2.4 Débit de pointe ...................................................................................................... 11 2.4.1 Méthode rationnelle .......................................................................................... 11 2.4.2 Méthode de l’hydrogramme triangulaire SCS .................................................. 12
2.5 Séparation de l`hydrogramme ............................................................................... 13 2.5.1 Méthodes de séparation des hydrogrammes ..................................................... 14
2.5.1.1 Méthodes linéaires .................................................................................... 14 2.5.1.2 Méthode de séparation constante-k ........................................................... 16
2.6 Dérivation des hydrogrammes .............................................................................. 18 2.6.1 Méthodes traditionnelles ................................................................................... 19 2.6.2 Méthodes basés sur des fonctions de distribution de probabilité (fdp) ............. 20
2.6.2.1 Fonction de densité de probabilité Beta .................................................... 20 2.6.2.2 Fonction de densité de probabilité de Weibull ......................................... 21 2.6.2.3 Fonction de densité de probabilité Log-normale ...................................... 22 2.6.2.4 Fonction de densité de probabilité Gamma à deux paramètres ................ 23 2.6.2.5 Méthode réévalué du NRCS ..................................................................... 24 2.6.2.6 Fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres ................. 26
vi
2.7 Les paramètres de la distribution Gamma ............................................................ 28 2.8 Méthodes d'estimation des paramètres α, β et t0 dans une distribution Gamma .. 30
2.8.1 Méthode des moments ...................................................................................... 30 2.8.2 Méthode du maximum de vraisemblance ......................................................... 35 2.8.3 Méthode des moments modifiés ....................................................................... 37 2.8.4 Méthode de qp tp ............................................................................................... 38 2.8.5 Méthode des moindres carrés régression non linéaire ..................................... 39
2.9 Qualité d’ajustement ............................................................................................ 40 2.9.1 Erreur quadratique moyenne (EQM) ................................................................ 41 2.9.2 Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe (E) .................................................. 41 2.9.3 Coefficient de Détermination R2 ...................................................................... 42
3 HYPOTHÈSE ET OBJECTIFS DE RECHERCHE .................................... 43 3.1 Hypothèse de recherche ....................................................................................... 43 3.2 Objectifs de recherche .......................................................................................... 43
4 MÉTHODOLOGIE .......................................................................................... 45 4.1 Localisation des bassins versants à l’étude .......................................................... 45 4.2 Analyses hydrologiques ....................................................................................... 48 4.3 Séparation des hydrogrammes ............................................................................. 49 4.4 Calculs des données ............................................................................................. 50 4.5 Analyse des paramètres de l’hydrogramme ......................................................... 50
4.5.1 Temps de montée ............................................................................................. 51 4.5.2 Coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ(α)) ............................................... 51 4.5.3 Hauteurs de ruissellement ................................................................................ 52 4.5.4 Validation des débits de crue ........................................................................... 52
5 RÉSULTATS ET ANALYSE .......................................................................... 55 5.1 Donnes analysées ................................................................................................. 55 5.2 Estimation de temps montée (tp) .......................................................................... 56 5.3 Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] ............................. 65 5.4 Estimation et prédiction des hauteurs de ruissellement ....................................... 71 5.5 Estimation du débit de crue (Qmax) .................................................................... 83
5.5.1 Concept de courbes enveloppes ....................................................................... 83
6 CONCLUSIONS ............................................................................................... 93
7 LISTE DES RÉFÉRENCES ............................................................................ 97
ANNEXES .............................................................................................................. 101
vii
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1. Coefficients de ruissellement (adapté de Lagacé, 2012a). .................................. 10
Tableau 2. Relation entre α et PRF pour un HUA développé à partir de l’équation [35]. ... 25
Tableau 3. Moments observés et théoriques d’une distribution Gamma à trois paramètres.33
Tableau 4. Exemples de régressions linéaires ou non linéaires. ........................................... 40
Tableau 5. Bassins versants et configuration des bases de données utilisées. ...................... 47
Tableau 6. Stations et bases de données hydrométriques. .................................................... 47
Tableau 7. Stations et bases de données météorologiques. ................................................... 48
Tableau 8. Nombre d’hydrogrammes analysés par type d’hydrogramme. ........................... 55
Tableau 9. Sommaire des temps de montée tp (h). ............................................................... 57
Tableau 10. Sommaire de l’estimation des temps de concentration Tc (h). ......................... 59
Tableau 11. Sommaire des ratios entre les temps de montée observés et les temps de concentration estimés. ............................................................................................ 60
Tableau 12. Matrice des coefficients de corrélation des temps de montée (tp) observés avec les paramètres descriptifs des bassins versants. ...................................................... 61
Tableau 13. ANOVA - temps de montée observé (tp). ......................................................... 63
Tableau 14. Estimation du temps de montée avec les méthodes alternatives. ...................... 64
Tableau 15. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)]. ........................ 66
Tableau 16. ANOVA – effet du bassin versant sur le coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)]. ............................................................................................ 67
Tableau 17. Matrice des coefficients de corrélation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] observé avec les paramètres descriptifs des bassins versants. ................................................................................................................................ 68
Tableau 18. ANOVA - coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)). .............................. 68
Tableau 19. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] avec les modèles φ(α)-M1 (équation [99]) et φ(α)-M2 (équation [100]). .......................................... 70
Tableau 20. Sommaire des hauteurs de précipitations et des hauteurs de ruissellement et des coefficients de ruissellement. ................................................................................. 72
Tableau 21. ANOVA - hauteur de ruissellement (Hru) considérant l’effet « Bassin ». ....... 73
Tableau 22. Paramètres déterminés par les modèles de régression Hru-M2 (équation [103]) pour l’estimation des hauteurs de ruissellement (Hru). .......................................... 80
Tableau 23. ANOVA - hauteur de ruissellent considérant l’effet CN. ................................. 81
Tableau 24. Hauteurs moyennes de ruissellement observées et prédites par les modèles Hru-M1 (équation [102]) et Hru-M2 (équation [103]). .......................................... 82
viii
Tableau 25. Séries annuelles des évènements de ruissellement retenus pour la validation de la prédiction des débits de pointe. .......................................................................... 90
Tableau 26. Paramètres observés pour les bassins versants mis à contribution dans la validation de la méthode de prédiction des débits de pointe. ............................................... 91
Tableau 27. Paramètres et débits de crue prédits et comparaison avec les débits observés. 91
ix
LISTE DES FIGURES
Figure 1. Composantes de l'hydrogramme de crue. ................................................................ 5
Figure 2. Hydrogramme triangulaire (adapté du NRSC, 2007). ........................................... 12
Figure 3. Séparation de l’hydrogramme de crue, réalisée dans le logiciel VisuHydro (Lagacé 2012b), selon une méthode linéaire. ......................................................... 13
Figure 4. Méthode de séparation linéaire des composantes de l’hydrogramme, (tirée de Blavoux, 1978). ...................................................................................................... 14
Figure 5. Détermination du point B lors de la séparation linéaire d’un hydrogramme (adaptée de Roche, 1967). ...................................................................................... 15
Figure 6. Méthode de la constante-k : détermination de k* et de la moyenne mobile de déplacement de 2 heures de k* (tirée de Blume, 2007). ......................................... 17
Figure 7. Méthode de la constante-k : détermination du gradient de k*(tirée de Blume, 2007). ...................................................................................................................... 18
Figure 8. Évolution de la distribution Gamma en fonction de la variation des paramètres (α), (β) et (t0). .......................................................................................................... 29
Figure 9. Localisation des bassins versants utilisés dans l’analyse hydrologique des crues. ................................................................................................................................ 46
Figure 10. Prédiction de tp par le modèle 𝑡𝑝-M4. ................................................................ 65
Figure 11. Prédiction de φ(α) par le modèle φ(α)-M2. ........................................................ 71
Figure 12. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Au Castor (CN = 78). ...................... 74
Figure 13. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Binet (CN = 73). .............................. 74
Figure 14. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Esturgeon Branche 21 (CN = 82). ... 75
Figure 15. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Ewing (CN = 78). ............................ 75
Figure 16. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Amont (CN = 73). ......... 76
Figure 17. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Aval (CN = 56) .............. 76
Figure 18. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant de la Petite rivière Savane (CN = 76). ................................................................................................................................ 77
Figure 19. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Brook (CN = 65). .......... 77
x
Figure 20. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Cass (CN = 63). ........... 78
Figure 21. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Turmel (CN = 73). .......................... 78
Figure 22. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Amont (CN = 73). ......... 79
Figure 23. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Aval (CN = 56). ............ 79
Figure 24. Coefficient de ruissellement (CR) en fonction du numéro de courbe (CN). ...... 82
Figure 25. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103]) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108]) pour le bassin Au Castor. ...................................................... 85
Figure 26. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Binet. ............................................... 86
Figure 27. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Ewing. .............................................. 86
Figure 28. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Amont. ........................... 87
Figure 29. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Aval. .............................. 87
Figure 30. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Turmel. ............................................ 88
Figure 31. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Amont. ........................... 88
Figure 32. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Aval. .............................. 89
xi
LISTE DES ANNEXES
Annexe 1. Développement mathématique du temps de montée. ........................................ 102
Annexe 2. Développement mathématique du débit de pointe. ........................................... 103
Annexe 3. Carte du bassin versant Au Castor. ................................................................... 104
Annexe 4. Carte du bassin versant Binet. ........................................................................... 105
Annexe 5. Carte du bassin versant Esturgeon Branche 21. ................................................ 106
Annexe 6. Carte du bassin versant Ewing. ......................................................................... 107
Annexe 7. Carte du bassin versant Fourchette Amont. ....................................................... 108
Annexe 8. Carte du bassin versant Fourchette Aval. .......................................................... 109
Annexe 9. Carte du bassin versant de la Petite rivière Savane. .......................................... 110
Annexe 10. Carte du bassin versant du ruisseau Cass. ....................................................... 111
Annexe 11. Carte du bassin versant du ruisseau Brook. ..................................................... 112
Annexe 12. Carte du bassin versant Turmel. ...................................................................... 113
Annexe 13. Carte du bassin versant Walbridge Amont. ..................................................... 114
Annexe 14. Carte du bassin versant Walbridge Aval. ........................................................ 115
xiii
REMERCIEMENTS
Je remercie Dieu tout puissant qui m'a donné la force et la volonté d'achever ce mémoire et
je lui rends grâce.
J'exprime mes profonds remerciements à mon directeur, M. Robert Lagacé sans qui jamais
ce mémoire n’aurait vu le jour. Je lui suis particulièrement reconnaissant pour la
disponibilité qu’il a consacrée à l'encadrement de ce projet, pour sa patience, pour ses
encouragements et pour les conseils précieux qu'il n'a cessé de me prodiguer tout au long
de ce travail.
Mes remerciements vont également à, M. Aubert Michaud, chercheur à l’Institut de
recherche et de développement en agroenvironnement inc. (IRDA) pour la codirection de
ce travail et pour m’avoir accompagné tout au long de ce parcours. Sa présence, ses
conseils et ses observations ont contribué à la réalisation de ce mémoire.
Je remercie également Mlle Ariane Drouin, professionnelle de recherche en géomatique et
télédétection à l’Institut de recherche et de développement en agroenvironnement inc.
(IRDA) pour son intérêt et sa collaboration, en fournissant les données géomatiques
nécessaires à ce projet.
Je tiens à remercier aussi tout le département des sols et de génie agroalimentaire de
l’Université Laval pour m’avoir bien accueilli, surtout madame Madeleine Roy,
technicienne en administration.
Un remerciement spécial pour ma conjointe, Sandra et mes enfants, Mathias et Gabriela
pour leur compréhension et leurs encouragements tout au long de ce projet.
1
1 INTRODUCTION
Les ouvrages hydroagricoles (cours d'eau, ponceaux, avaloirs, bassins de rétention, etc.)
sont conçus pour assurer l’évacuation des eaux excédentaires à l’intérieur d’une récurrence
donnée. Leur design demande la détermination de débits de crue et de volumes de
ruissellement généralement déterminés avec la méthode rationnelle, en utilisant l’intensité
de précipitation pour la récurrence choisie et la durée du temps de concentration.
Le sujet de ce travail « Débits de crue et analyse hydrologique de petits bassins versants »
s’insère dans l'un des cinq volets du projet « Mise à jour des normes et procédures de
conception d’ouvrages hydrauliques en milieu rural dans un contexte de changements
climatiques » , réalisé par le consortium sur la climatologie régionale et l’adaptation aux
changements climatiques (OURANOS) dans le cadre de la mesure 26 du Plan d’action sur
les changements climatiques 2006-2012 (PACC) du gouvernement du Québec en
collaboration avec le Ministère des Ressources Naturelles et de la Faune (MRNF), l’Institut
de recherche et de développement en agroenvironnement (IRDA), le Ministère de
l’Agriculture, des Pêcheries et de l’Alimentation du Québec (MAPAQ), l’Université Laval,
le Centre Eau Terre Environnement (INRS-ETE), le Ministère du Développement durable,
de l'Environnement et des Parcs (MDDEFP), Agriculture et Agroalimentaire Canada
(AAC), le Centre d'expertise hydrique du Québec (CEHQ), et le Ministère des Transports
du Québec (MTQ).
1.1 Problématique du volet hydrologique
Les méthodes utilisées présentement au Québec pour prédire les débits de crue et les
volumes de ruissellement en petits bassins versants (< 30 km2) proviennent des États-Unis,
datent des années 1980 et n'ont pas été validées au Québec sur de petits bassins versants
agricoles. Les équations utilisées ont été développées sous des conditions géographiques et
climatiques très différentes des conditions agro-climatiques québécoises.
2
Traditionnellement, les ouvrages hydro-agricoles sont conçus pour assurer l’évacuation des
eaux excédentaires à l’intérieur d’une récurrence donnée. Ils répondent à un débit de crue
généralement déterminé à partir de la méthode rationnelle. Cette dernière utilise les temps
de concentration dérivés de méthodes américaines développées dans les années 1960-1980,
de même que les estimateurs Intensité-Durée-Fréquence (IDF) pour la récurrence choisie,
lesquelles ont été développées au Québec dans les années 1970.
3
2 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE
Le développement et la validation de méthodes de prédictions hydrologiques se font
généralement de façon empirique et s’appuient d’abord sur l’analyse de séries de données
de débits pour un ensemble de stations hydrométriques données. L’hydrogramme est la
représentation graphique du débit instantané d’un cours d’eau en fonction du temps tel que
mesuré à l’exutoire du bassin versant considéré. L’analyse hydrologique des hydrogrammes
permet d’en décrire les principales caractéristiques, lesquelles serviront de balises dans le
développement et la validation des outils de prédiction des crues. L’analyse hydrologique
des séries de données hydrométriques colligées aux exutoires de bassins versants
instrumentés est donc à la base de la définition des paramètres de conception des ouvrages
hydrauliques.
2.1 Le concept d’hydrogramme
L’hydrogramme est la représentation graphique du débit instantané d'un cours d'eau en
fonction du temps à l’exutoire d’un bassin versant (figure 1). Il constitue le concept de base
en hydrologie. Il est également utilisé pour montrer les effets sur l’hydrologie de projets
existants ou proposés ou de changements d'utilisation des terres (NRCS, 2007). Le NRCS
(2007) fait la classification suivante des hydrogrammes :
• Hydrogramme naturel (HN) : hydrogramme obtenu directement à partir des débits
mesurés d'une rivière ou d’un ruisseau;
• Hydrogramme synthétique (HS) : hydrogramme obtenu en utilisant les paramètres du
bassin versant et les caractéristiques de l’évènement pluvieux pour simuler un
hydrogramme naturel;
• Hydrogramme unitaire (HU) : hydrogramme de débit produit par un ruissellement
direct d’un pouce ou d’un millimètre, distribué uniformément sur la surface du bassin à
un taux uniforme durant une période de courte durée;
4
• Hydrogramme unitaire adimensionnel (HUA) : hydrogramme qui permet de
comparer les hydrogrammes unitaires de différents types d'averses. Il est déduit soit
d'un hydrogramme d'averse relevé pour une crue, soit d'un hydrogramme unitaire tracé
à l'aide des ratios du temps sur le temps de montée et du débit sur le débit de pointe. Il
est également appelé « hydrogramme indice ».
Les trois paramètres fondamentaux qui définissent entièrement l’hydrogramme (Bhunya,
2011) sont respectivement :
𝒕𝒑: Temps de montée : correspond à la durée de la partie montante (courbe de crue) ou le
temps que prend le débit depuis le début du ruissellement de surface pour atteindre son
maximum. Ce temps, qui représente une caractéristique de l'hydrogramme, peut être
mesuré lors de précipitations de relativement courte durée provoquant un hydrogramme
simple typique;
𝒕𝒃 : Temps de base : correspond à la durée totale de la courbe de montée (𝒕𝒑) et de la
partie à décroissance rapide, dite courbe de décrue. Ce qui est équivalent à l’intervalle de
temps que durent les contributions du ruissellement de surface et de l’écoulement
hypodermique;
𝒒𝒑 : Débit de pointe : Débit maximal instantané d'un hydrogramme donné.
La figure 1 illustre ces trois paramètres fondamentaux en lien avec les principales
composantes de l’hydrogramme, incluant :
Courbe de concentration : partie d'un hydrogramme correspondant à un débit croissant
vers un maximum et s'étendant du point où débute le ruissellement jusqu'au débit
maximum, lequel correspond au premier point d'inflexion de l'hydrogramme;
Courbe de décrue : représente l’apport des zones d’emmagasinement suivant la fin de la
pluie excédentaire. Cette partie de l'hydrogramme décrit la diminution naturelle du débit,
produite par le drainage de surface.
5
Courbe de tarissement, représente la décroissance plus lente du débit. Le débit est alors
associé à la vidange des nappes d'eau souterraines lorsque le ruissellement de surface a
cessé. La phase de tarissement résulte d'une absence de précipitations et elle intervient
après la phase de décrue. La décroissance du débit se fait de manière exponentielle de plus
en plus lentement.
Figure 1. Composantes de l'hydrogramme de crue.
2.2 Le temps de concentration (tc)
Le temps de concentration est le temps requis par le ruissellement pour se déplacer du point
hydrauliquement le plus éloigné du bassin versant jusqu’à l’exutoire de celui-ci. Ce point
est le départ du plus long temps de parcours jusqu’à l’exutoire, et ne correspond pas
nécessairement à la plus longue distance du parcours de l’eau (NRCS, 2010). Ce paramètre
est utilisé dans la plupart des méthodes de détermination des débits de pointe.
6
Le temps de montée et le temps de concentration sont intimement reliés au même concept
hydrologique de base. Les hydrologues utilisent le terme « temps de montée » alors que les
ingénieurs utilisent principalement le terme « temps de concentration ». Différentes
méthodes sont proposées pour mesurer le temps de concentration, certaines plus complexes
que d'autres, mais toutes reliées à l'hydrogramme et/ou au temps de montée.
Il existe plusieurs modèles de prédiction pour calculer le temps (𝒕𝒄) de concentration des
hydrogrammes de crue. Les principales méthodes utilisées au Québec sont : Kirpich,
Mockus, SCS-lag et Bransby-Williams.
2.2.1 Méthode de Kirpich
Cette méthode est adaptée aux bassins versants dont la superficie varie entre 0,4 et 81 ha,
composés de sols argileux et avec une pente moyenne comprise entre 3 et 10 % (Kirpich,
1940). Le temps de concentration est calculé à partir de l’équation suivante :
(𝒕𝒄) Méthode de Kirpich 𝒕𝒄 =𝟕,𝟕𝟕𝟕𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝐋𝟕,𝟕𝟕
𝑺𝟕,𝟏𝟖𝟓 [1]
Où
- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)
- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)
- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)
2.2.2 Méthode de Mockus
Cette méthode publiée par Mockus (1961) est adaptée aux bassins versants de superficies
variant entre 4 et 1000 ha et qui sont caractérisés par une pente longitudinale moyenne
inférieure à 1 % et par des sols limoneux ou argileux. Cette méthode intègre le numéro de
courbe (CN) et l’équation s’écrit :
7
(𝒕𝒄) Méthode de Mockus 𝒕𝒄 =𝐋𝟕,𝟖 ∗ [(𝟏𝟕𝟕𝟕 𝑪𝑪) − 𝟐⁄ ]𝟏.𝟏𝟕
𝟐𝟕𝟖𝟏𝟕 ∗ 𝑺𝟕.𝟓 [2]
Où
- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)
- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)
- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)
- CN = numéro de courbe moyen
2.2.3 Méthode de SCS-lag
Le Soil Conservation Service (SCS) du département d’agriculture des États-Unis (United
State Department of Agriculture - USDA) (SCS, 1972) a proposé une méthode pour
l’estimation du temps de concentration basée sur les travaux de Mockus et sur l’analyse
d’un grand nombre d’hydrogrammes :
(𝒕𝒄) Méthode de SCS-lag 𝒕𝒄 =𝐋𝟕,𝟖 ∗ [(𝟏𝟕𝟕𝟕 𝑪𝑪) − 𝟐⁄ ]𝟕,𝟕
𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝑺𝟕,𝟓 [3]
Où
- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)
- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)
- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)
- CN = numéro de courbe moyen
2.2.4 Méthode de Bransby-Williams
Williams(1922) a développé une équation pour établir le temps de concentration :
(𝒕𝒄) Méthode de Bransby-Williams 𝒕𝒄 =𝟕,𝟕𝟕𝟕𝟐𝟓 ∗ 𝐋
(𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝑺)𝟕,𝟐 ∗ 𝑨𝟕,𝟏 [4]
8
Où
- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)
- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)
- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)
- A = Surface du bassin versant (ha)
2.3 Volume de ruissellement
Le volume de ruissellement est le produit de la hauteur de ruissellement par la surface
auquel on applique un facteur d’unité:
(Vr) Volume de ruissellement 𝐕𝐫 = 𝟏𝟕 𝐇𝐫𝐮 ∗ 𝐀 [5]
Où
- Vr = volume de ruissellement (m3)
- Hru = hauteur de ruissellement (mm)
- A = superficie du bassin versant (ha)
La hauteur de ruissellement peut être déterminée par plusieurs méthodes ici présentées.
2.3.1 Méthode du SCS
La méthode du SCS (Mockus, 1949) est la plus connue et est définie par l’équation
suivante :
(Hru) Hauteur de Ruissellement 𝐇𝐫𝐮 =(𝑷− 𝑰𝒂)𝟐
(𝑷 − 𝑰𝒂) + 𝑹𝒎 P ≥ Ia [6]
La rétention maximale « Rm » est estimée ainsi :
(Rm) Rétention Maximale 𝐑𝐦 =𝟐𝟓𝟕𝟕𝟕𝑪𝑪
− 𝟐𝟓𝟕 [7]
9
Puisque l’interception initiale « Ia » est estimé à 20 % de la rétention maximale, l’équation
[6] s’écrit :
(Hru) Hauteur de Ruissellement 𝐇𝐫𝐮 =(𝑷− 𝟕,𝟐 𝑹𝒎)𝟐
𝑷 + 𝟕,𝟖 𝑹𝒎 P ≥ 𝟕,𝟐 𝑹𝒎 [8]
Où
- Hru = hauteur ou lame de ruissellement (mm)
- P = hauteur de pluie (mm)
- Ia = interception initiale (mm)
- Rm = rétention maximale (mm)
2.3.2 Méthode de Monfet
Monfet (1979) a réalisé une étude sur la Rive-Sud du fleuve Saint-Laurent, dans les régions
de l’Estrie et du Centre-du-Québec (à cette époque nommée région des Bois-Francs) sur 33
bassins versants à vocations agricole et forestière. Son étude avait pour but de vérifier si la
méthode développée par le SCS pour prédire le ruissellement était valide sous les
conditions climatiques et pédologiques québécoises.
À partir de l’analyse de 444 hydrogrammes, Monfet (1979) a proposé les équations
suivantes en tenant compte des valeurs du numéro de courbe pour estimer la lame de
ruissellement produite par une pluie :
CN entre 30 à 40 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟐𝟖 ∗ 𝐏 − 𝟐,𝟕 [9]
CN entre 40 à 50 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟏𝟏 ∗ 𝐏 − 𝟐,𝟕 [10]
CN entre 50 à 60 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟏𝟐 ∗ 𝐏 − 𝟐,𝟕 [11]
CN entre 60 à 70 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟕𝟐 ∗ 𝐏 − 𝟏,𝟏 [12]
CN entre 70 à 80 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟕𝟓 ∗ 𝐏 − 𝟏,𝟏 [13]
CN entre 80 à 90 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟕𝟐 ∗ 𝐏 − 𝟏,𝟕 [14]
Où
- Hru = hauteur ou lame de ruissellement (mm)
- P = hauteur de pluie (mm)
10
2.3.3 Méthode des coefficients de ruissellement
Cette méthode proposée par Bernard (1935) suppose que le ruissellement est proportionnel
à la précipitation. Cette méthode est celle utilisée traditionnellement au Québec :
Coefficients de ruissellement 𝐇𝐫𝐮 = 𝐂 ∗ 𝐏𝐩𝐭 [15]
Où
- Hru = hauteur ou lame de ruissellement (mm)
- C = coefficient de ruissellement
- P = hauteur de pluie (mm)
La méthode des coefficients de ruissellement est surtout utilisée avec la méthode rationnelle
d’estimation du débit de pointe. Le tableau 1 montre les différents coefficients de
ruissellement selon le type de végétation, la topographie et la texture du sol.
Tableau 1. Coefficients de ruissellement (adapté de Lagacé, 2012a).
Végétation Topographie Texture du sol
Sable Argile et limon
Argile compacte
Boisé
Plat (pente de 0 à 5 %) 0,10 0,30 0,40
Vallonné (pente de 5 à 10 %) 0,25 0,35 0,50
Montagneux (pente de 10 à 30 %) 0,30 0,50 0,60
Déboisé et friches
Plat (pente de 0 à 5 %) 0,10 0,30 0,40
Vallonné (pente de 5 à 10 %) 0,16 0,36 0,55
Montagneux (pente de 10 à -30 %) 0,22 0,42 0,60
Cultures drainées
Plat (pente de 0 à 5%) 0,30 0,50 0,60
Vallonné (pente de 5 à 10 %) 0,40 0,60 0,70
Montagneux (pente de 10 à 30 %) 0,52 0,72 0,82
Pour obtenir une moyenne par un bassin versant lorsque celui-ci a plusieurs utilisations du
sol et plusieurs types de sol différents, une moyenne pondérée par la superficie doit être
utilisée.
11
2.4 Débit de pointe
Le volume de ruissellement et le débit de crue représentent les éléments les plus importants
lors du dimensionnement d’ouvrages hydroagricoles (Lagacé, 2012a). Voici comment peut
être calculé le débit de pointe.
2.4.1 Méthode rationnelle
La méthode la plus ancienne d’estimation du débit de pointe à partir de la pluie est appelée
méthode rationnelle. Elle est considérée valide pour les superficies de moins de 800 ha.
Elle suppose que le débit maximum est obtenu lorsque toute la superficie du bassin versant
contribue au ruissellement à l’exutoire avec la plus grande intensité moyenne de
précipitation (Lagacé, 2012a). Cette plus grande intensité correspond à la plus grande
précipitation pour la durée du temps de concentration. Le débit de pointe s’exprime ainsi :
Méthode rationnelle 𝐐 =𝐂 𝐈 𝐀𝟏𝟏𝟕
= 𝐂 𝐏 𝐀𝟏𝟏𝟕 𝒕𝒄
= 𝐇𝐫𝐮 𝐀𝟏𝟏𝟕 𝒕𝒄
[16]
Où
- Q = débit de pointe (m3/s)
- C = coefficient de ruissellement
- I = intensité de la précipitation (mm/h) = I (𝑡𝑐,T)
- A = superficie du bassin versant (ha)
- P = précipitation de durée 𝑡𝑐 et récurrence T
La valeur de l'intensité I est basée sur les courbes Intensité-Durée-Fréquence (IDF).
12
2.4.2 Méthode de l’hydrogramme triangulaire SCS
Le SCS (1957) a développé un système basé sur un hydrogramme triangulaire
adimensionnel. Cet hydrogramme résulte de l'observation du comportement d'un grand
nombre de bassins versants. La figure 2 illustre ce type d’hydrogramme.
Figure 2. Hydrogramme triangulaire (adapté du NRSC, 2007).
L’équation d’estimation du débit de pointe avec la méthode SCS est la suivante :
Méthode SCS
hydrogramme triangulaire 𝐐 =
(𝟕,𝟐𝟕𝟖 ∗ 𝐇𝐫𝐮 ∗ 𝐀)𝒕𝒑
[17]
Où
- Qp : débit de pointe (m3/s)
- Hru : hauteur de ruissellement (mm)
- A : surface du bassin (km2)
- 𝒕𝒑 : temps de montée (h)
13
2.5 Séparation de l`hydrogramme
Pour un événement donné, l’hydrogramme de crue d’un cours d’eau est le résultat de la
combinaison de trois composantes principales qui sont : le ruissellement direct (fraction de
la pluie nette qui s’écoule en surface), le ruissellement hypodermique ou retardé (portion
des précipitations infiltrées dans le sol se rendant au cours d’eau, mais n’atteignant pas la
nappe), et l’écoulement souterrain (partie de l’écoulement provenant des aquifères).
En général, les hydrologues regroupent le ruissellement direct de surface avec l’écoulement
hypodermique pour les appeler tout simplement le ruissellement (Lagacé, 2012a). La figure
3 illustre ces composantes de l’hydrogramme.
Figure 3. Séparation de l’hydrogramme de crue, réalisée dans le logiciel VisuHydro
(Lagacé 2012b), selon une méthode linéaire.
14
2.5.1 Méthodes de séparation des hydrogrammes
L’objectif de la séparation des écoulements est d’identifier les différentes composantes de
l’écoulement total observé. Généralement, cela consiste en la séparation des écoulements
souterrains aussi appelés écoulements de base ou écoulements lents des écoulements directs
de surface ou écoulements rapides. Les écoulements souterrains sont observés de façon plus
ou moins continue dans les cours d’eau tandis que les écoulements directs de surface sont
observés irrégulièrement à l’occasion des précipitations. Conceptuellement, l’hydrogramme
de ruissellement est obtenu en soustrayant l’écoulement de base de l’hydrogramme global
(figure 3). Il existe plusieurs méthodes de séparation des hydrogrammes.
2.5.1.1 Méthodes linéaires
Basées sur l’hypothèse du regroupement des écoulements direct et hypodermique (appelé
simplement le ruissellement), les méthodes linéaires permettent de séparer le ruissellement
de l’écoulement de base suite à l’identification, directement sur l’hydrogramme, des points
de début et de fin du ruissellement.
La méthode la plus simple, laquelle est évoquée par Blavoux (1978), consiste à tracer une
droite horizontale du point (A) qui marque le début de la courbe de concentration jusqu’à
l’intersection (A’) avec la courbe de tarissement (figure 4).
Figure 4. Méthode de séparation linéaire des composantes de l’hydrogramme, (tirée
de Blavoux, 1978).
15
La deuxième méthode de séparation linéaire dite à « pente constante » décrite par Lapp
(1996) consiste à joindre par une ligne droite les points A et B (figure 4). Le point A
correspond au début de la phase de montée de l’hydrogramme et le point B correspond au
point d’inflexion de la phase de décrue. Ce point est déterminé par l'intersection formé
après avoir prolongé les courbes de décrue et de tarissement qui deviennent linéaires
lorsqu’une transformation logarithmique de l’axe des ordonnées est effectuée (figure 5).
La troisième méthode consiste à prolonger la courbe de ruissellement avant l’averse
jusqu’au point (C) (figure 4) situé sur la verticale de la pointe de crue, et de connecter le
point (C) avec le point (B) déterminé comme dans la méthode précédente.
Figure 5. Détermination du point B lors de la séparation linéaire d’un hydrogramme
(adaptée de Roche, 1967).
16
2.5.1.2 Méthode de séparation constante-k
La technique de séparation (méthode constante-k) développée par Blume et al (2007) a
pour avantages de permettre la détermination de la fin d’un événement à l’aide d’une
approche théorique et d’être applicable à des événements multi-pics.
La méthode constante-k est basée sur l'hypothèse que le stockage des eaux souterraines
(débit de base) est linéaire et que la courbe de tarissement devrait diminuer de façon
exponentielle conformément à l'équation différentielle présentée par Boussinesq (Blume,
2007).
Courbe de tarissement
Dupuit-Boussinesq 𝑸(𝒕) = 𝑸(𝟕) ∗ 𝒆(−𝒌𝒕) [18]
Où :
− Q(t) est le débit au temps t (m3/s),
− Q(0) est le débit au début du tarissement (m3/s),
− k est le coefficient de tarissement (min-1)
En différenciant l'équation [17] en fonction du temps (équation [18]), il est possible
d’obtenir les valeurs de k pour chacun des points de l'hydrogramme (équation [19]) et ainsi
identifier le point t(e) dans le temps, défini comme la fin d'un événement de ruissellement,
et où le coefficient k est approximativement constant.
Dérivée équation de
Dupuit-Boussinesq 𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕= −𝐤 ∗ 𝑸(𝒕) [19]
Et ensuite divisant par 𝑄(𝑡)
Coefficient de récession k 𝒌 = −𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕∗𝟏𝑸(𝒕)
[20]
Où :
− Q(t) est le débit au temps t (m3/s), et
− k est le coefficient de tarissement (min-1).
17
Pour des valeurs très faibles de débit (Q), c’est-à-dire près de zéro, le coefficient de
tarissement k devient très sensible aux petits changements de Q. Pour diminuer cette
sensibilité de k par rapport à la ligne de base de Q, tous les événements sont normalisés par
rapport à la valeur moyenne du débit annuel Q, qui correspond à leur ligne de base.
Dans l’étude réalisée par Blume (2007), la valeur du débit annuel moyen (0,4 m3/s) a été
choisie comme la valeur de ligne de base pour modifier tous les évènements.
En utilisant l’équation [19] avec cette nouvelle valeur modifiée de Q, un coefficient de
tarissement stabilisé (k*) est obtenu. Cette modification est convenable, car la valeur exacte
de k n’est pas d’intérêt ici, c’est plutôt sa progression au fil du temps qui est importante.
La figure 6 montre l’hydrogramme pour un événement, de même que les valeurs pour k* et
la moyenne mobile de déplacement de 2 heures de k*.Le gradient de la ligne de tarissement
stabilisé est ensuite déterminé pour chaque donnée au cours de la période des cinq heures
suivantes. La fin du ruissellement, t(e), est définie comme le point où le gradient de k* est
près de zéro (±7-10 min-2), c'est-à-dire le point où k* devient constant (figure 6).
Figure 6. Méthode de la constante-k : détermination de k* et de la moyenne mobile de
déplacement de 2 heures de k* (tirée de Blume, 2007).
18
La figure 7 présente les valeurs du gradient de k* sous forme négative pour une meilleure
visualisation des points de gradient zéro et du point correspondant à la fin du ruissellement,
soit t(e). Elle présente aussi l’hydrogramme de Q' modifié (0,4 m3/s pour tous les
événements).
Figure 7. Méthode de la constante-k : détermination du gradient de k*(tirée de Blume,
2007).
2.6 Dérivation des hydrogrammes
Les hydrogrammes et leurs composantes peuvent être représentés et décrits notamment au
moyen de la théorie de l'hydrogramme unitaire (HU) appelé à l'origine graphe unitaire.
L’hydrogramme unitaire a d'abord été présenté par Sherman (1932). Ce modèle théorique
suppose que le débit, à tout moment, est proportionnel au volume de ruissellement et que
les facteurs de temps qui affectent la forme de l’hydrogramme sont constants. Ce volume
unitaire est utilisé lorsqu’il y a 1 pouce de précipitations excédentaires sur l'ensemble du
bassin (NRCS, 2007).
Les méthodes traditionnelles de représentation des hydrogrammes unitaires synthétiques
(HUS) ont d’abord été basées sur des formules empiriques. Les méthodes traditionnelles les
19
plus connues sont celles de Snyder (1938) et du SCS (1957) (hydrogramme unitaire
triangulaire). Par la suite, des fonctions de distribution de probabilité (fdp) ont été utilisées
compte tenu de la similitude entre la forme des distributions statistiques et celles des
hydrogrammes observés. Les différentes fonctions de distribution utilisées pour la
dérivation des HUS sont, entre autres, les fonctions Beta, Gamma, Weibull, Chi-Square et
Log-normal (Bhunya, 2011).
2.6.1 Méthodes traditionnelles
Parmi les méthodes traditionnelles de dérivation développées avec le concept de HU, nous
retrouvons par exemple la méthode de Snyder (1938) qui établit des relations empiriques
entre les caractéristiques des bassins versants comme l’aire, la longueur du cours d'eau
principal, la distance entre l'exutoire et un point du cours d'eau situé le plus près du
barycentre du bassin versant et les trois paramètres de base nécessaires pour décrire la
forme de l’hydrogramme unitaire (le temps de montée (tp), le débit de pointe (qp) et le
temps de base (tb)) (Bhunya, 2011).
Le Soil Conservation Service (SCS) du U.S. Department of Agriculture (USDA) a
développé un hydrogramme unitaire moyen adimensionnel qui a été élaboré grâce à
l'analyse d'un grand nombre d'hydrogrammes unitaires naturels pour des bassins versants de
tailles et d'emplacements géographiques différents afin de synthétiser l'hydrogramme
unitaire (Jeng, 2006). Les valeurs de l'ordonnée de cet hydrogramme adimensionnel sont
exprimées sous forme du rapport adimensionnel 𝑞/𝑞𝑝 et les valeurs de l'abscisse sous
forme du rapport adimensionnel 𝑡/𝑡𝑝.
L’hydrogramme unitaire adimensionnel (HUA) décrit par le NRCS (2007) possède deux
paramètres clés : le temps de montée (𝑡𝑝) et le débit de pointe (𝑞𝑝), lesquels sont estimés à
partir de relations empiriques qui sont fonction de l’aire du bassin hydrographique et du
temps de concentration (𝑡𝑐). Afin de permettre la définition du temps de base (𝑡𝑏), selon le
temps de montée (𝑡𝑝), et le temps de concentration (𝑡𝑐), la méthode du (SCS) représente le
HUA comme un hydrogramme unitaire triangulaire, ce qui facilite le calcul du volume de
ruissellement (V) et du débit de pointe (𝑞𝑝) (Fang, 2005).
20
2.6.2 Méthodes basés sur des fonctions de distribution de probabilité (fdp)
En raison de la similitude entre la forme des distributions statistiques et la forme observée
des hydrogrammes, plusieurs tentatives ont été faites pour utiliser les fonctions de
distribution de probabilité (fdp) (Beta, Gamma, Weibull, Chi-square et Log-normal entre
autres) pour la dérivation de l'HUS (Bhunya, 2011).
Les fonctions Gamma et Beta sont les plus utilisées pour représenter la forme des HUS
(Koutsoyiannis et Xanthopoulos, 1989; Haktanir et Sezen, 1990; Bhunya et al., 2003, 2004;
Rai et al., 2009 ). De plus, la flexibilité de la fdp permet de produire différentes formes
d’hydrogrammes en changeant les valeurs des paramètres (Bhunya et al., 2008; Rai et al.,
2009; Pramanik, 2010).
2.6.2.1 Fonction de densité de probabilité Beta
La fdp Beta à deux paramètres a été développée par Johnson et Kotz (1970). La fonction
Beta 𝑩(𝜶,𝜷) est représentée par l’équation [4] où 𝛼 et 𝛽 sont les paramètres de forme; t et q
sont les termes sans dimensions de temps et de débit, respectivement. Les paramètres de
forme toujours des valeurs positives et les valeurs de t doivent être dans l'intervalle [0 1].
Fonction Beta 𝑩(𝜶,𝜷) = � 𝒕𝜶−𝟏 (𝟏 − 𝒕)𝜷−𝟏𝒅𝒕𝟏
𝟕 [21]
Où :
- 𝛼 et 𝛽 : sont les paramètres de forme,
- t : temps adimensionnel.
Au cours des dernières années, de nombreuses études ont été rapportées concernant
l'utilisation de la fdp Beta à deux et trois paramètres pour représenter l'HUS (Koutsoyiannis
et Xanthopoulos, 1989; Haktanir et Sezen, 1990; Bhunya et al., 2004; Rai et al, 2008,
2009). La forme de la fdp Beta dépend des valeurs de ses paramètres. Pour toute valeur de
21
α et β supérieure à l'unité, la forme de la courbe de la fdp devient concave et ressemble à la
forme de l'hydrogramme (Pramanik, 2010).
L'expression mathématique de l'hydrogramme utilisant la fdp Beta 𝒒(𝒕,𝜶,𝜷) à deux
paramètres et les caractéristiques du temps de montée 𝒕𝒑 et du débit de pointe 𝒒𝒑 sont
présentées par les équations [22] à [24] :
Débit, fdp Beta 𝒒(𝒕,𝜶,𝜷) = 𝟏
𝑩(𝜶,𝜷) 𝒕𝜶−𝟏 (𝟏 − 𝒕)𝜷−𝟏 [22]
Temps de montée 𝒕𝒑 = �𝜶 − 𝟏
𝜶 + 𝜷 − 𝟐� [23]
Débit de pointe 𝒒𝒑 = 𝟏
𝑩(𝜶,𝜷) �
𝜶 − 𝟏𝜶 + 𝜷 − 𝟐
�𝜶−𝟏
�𝜷 − 𝟏
𝜶 + 𝜷 − 𝟐�𝜷−𝟏
[24]
Où :
- q : débit adimensionnel
- 𝑡𝑝 : temps de montée
- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel
- 𝛼 et 𝛽 : paramètres de forme de la fonction beta
2.6.2.2 Fonction de densité de probabilité de Weibull
La fdp de Weibull à deux paramètres a été introduite par Rosin et Rammler (1933). Pour
certaines valeurs de ses paramètres, la fonction ressemble aux fonctions de distribution
normale et exponentielle.
L’expression mathématique de l'hydrogramme utilisant la fdp Weibull et les
caractéristiques du débit de pointe 𝒒𝒑 et du temps de montée 𝒕𝒑 sont présentées par les
équations [25] à [27]. Pour tout t > 0, 𝑘 et 𝜆 ont des valeurs positives et correspondent
respectivement aux paramètres de forme et d'échelle. L'équation de tp est valable pour tout
t > 1 (Pramanik, 2010).
22
fdp Weibull 𝒒(𝒕,𝒌,𝝀) =𝒌𝝀
�𝒕𝝀�𝒌−𝟏
𝒆−�𝒕𝝀�
𝒌
[25]
Débit de pointe 𝒒𝒑 =𝒌𝝀
�𝟏 −𝟏𝒌
�𝟏−𝟏 𝒌⁄
𝒆−�𝟏−𝟏𝒌 � [26]
Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝝀 �𝒌 − 𝟏𝒌
�𝟏 𝒌⁄
[27]
Où,
- q : débit unitaire
- t : temps
- 𝒌 : paramètre de forme
- 𝝀 : paramètre d'échelle
- 𝑡𝑝 : temps de montée
- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel
2.6.2.3 Fonction de densité de probabilité Log-normale
Une variable est log-normalement distribuée si son logarithme naturel est normalement
distribué. Les paramètres de la distribution sont la moyenne (μ) et l’écart type (σ).
L'expression mathématique de l'hydrogramme utilisant cette fdp et les caractéristiques du
temps de montée 𝑡𝑝 et du débit de pointe 𝑞𝑝 sont présentées par les équations [28] à [30]
pour toute valeur de t et σ > 0 (Nadarajah, 2007, Rai et al., 2009).
fdp Log-normale 𝒒(𝒕,𝝁,𝝈) =𝟏
𝒕𝝈√𝟐𝝅𝒆−(𝐥𝐧(𝒕)−𝝁)𝟐 𝟐𝝈𝟐⁄ [28]
Débit de pointe 𝒒𝒑 =𝟏
√𝟐𝝅𝝈𝒆�𝝈
𝟐
𝟐 −𝝁� [29]
23
Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝒆�𝝁−𝝈𝟐� [30]
Où :
- q : débit unitaire adimensionnel
- t : temps
- µ : moyenne
- σ : écart type
- 𝑡𝑝 : temps de montée
- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel.
2.6.2.4 Fonction de densité de probabilité Gamma à deux paramètres
La fdp Gamma à deux paramètres a été largement utilisée pour modéliser les formes de
l’hydrogramme (Haktanir et Sezen, 1990 ; Haan et al., 1994; Bhunya et al., 2003, 2007 et
2008 ; Nadarajah, 2007) (Pramanik, 2010).
Conformément au travail réalisé par (Bhunya et al., 2003), l'expression mathématique de
l'hydrogramme utilisant la fdp Gamma et les caractéristiques du temps de montée 𝒕𝒑 et du
débit de pointe 𝒒𝒑 sont présentées par les équations [31] à [33] pour t, α et β > 0 (Pramanik,
2010).
Débit fdp Gamma 𝒒(𝒕,𝜶,𝜷) = 𝒕𝜶−𝟏 𝒆−𝒕 𝜷⁄
𝜷𝜶 𝚪(𝛂) [31]
Débit de pointe 𝒒𝒑 =(𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆(𝟏−𝜶)
𝚪(𝛂)𝜷(𝜶− 𝟏) [32]
Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝜷(𝜶− 𝟏) [33]
24
Où :
- t : temps,
- Γ(α) : fonction Gamma
- α : paramètre de forme
- β : paramètre d'échelle
- q : débit unitaire adimensionnel
- 𝑡𝑝 : temps de montée
- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel.
2.6.2.5 Méthode réévalué du NRCS
Le NRCS a réévalué son ancienne procédure de définition de l’hydrogramme unitaire
adimensionnel (HUA) afin de pouvoir modifier la forme de l’hydrogramme adimensionnel
et de tenir compte de différents facteurs de débit de pointe (PRF). Le NRCS utilise la
fonction Gamma modifiée à deux paramètres pour modéliser les formes de l’hydrogramme,
en identifiant les relations entre le (PRF) et le paramètre α de la fonction Gamma (Fang,
2005).
La fdp Gamma représente assez bien la forme de l’hydrogramme unitaire adimensionnel
largement utilisé par le NRCS, lequel hydrogramme a été développé en utilisant des
techniques graphiques et non une équation mathématique. L'équation Gamma du NRCS a
la forme suivante (NRCS, 2007) :
Équation Gamma NRCS 𝑸𝑸𝑷
= 𝒆𝜶 ��𝒕𝒕𝒑�𝜶
� �𝒆�−𝜶� 𝒕𝒕𝒑
��� [34]
Où
- QQP
: ratio du débit à un certain temps par rapport au débit de pointe de l'hydrogramme
- α : facteur de forme de l'équation Gamma
- 𝑡𝑡𝑝
: ratio entre les coordonnées de temps de la HUA et le temps de montée de la HUA
25
Le HUA habituel du NRCS peut être représenté par la fonction Gamma (équation [34]) a
un seul paramètre, α.Le paramètre α génère un HUA unique et donc un facteur unique de
débit de pointe PRF. Le NRCS calcule le PRF à partir des coordonnées HUA en utilisant
l’équation suivante :
Équation du NRCS 𝝓(𝜶) =𝑸𝒑𝒕𝒑𝑪𝒗 𝑨𝒂
=𝑷𝑹𝑭
𝟏𝟕𝟓.𝟏𝟏 [35]
Où :
- 𝑡𝑝 : temps de montée
- 𝑄𝑝: débit hydrogramme unitaire en ft3/s
- 𝜙(𝛼) : coefficient de forme de l’hydrogramme
- 𝐶𝑣 : 1,008 facteur de conversion d'unités
- 𝐴𝑎 : Aire de drainage en acres
- PRF : facteur de débit de pointe
- 645,33 : facteur de conversion des unités exigé pour un débit de 1 pouce sur 1 mile
carré dans 1 heure - unités de ((ft3/s)*h)/(mi2 *in)
L’équation Gamma peut être utilisée pour développer un HUA avec un facteur de débit de
pointe (PRF) désiré.
Le NRCS (2007) a trouvé une relation entre α et PRF pour un HUA développé à partir de la
fdp Gamma (équation [35]) (tableau 2).
Tableau 2. Relation entre α et PRF pour un HUA développé à partir de l’équation
[35].
Α 0,26 1 2 3 3,7 4 5
PRF 101 238 349 433 484 504 566
26
2.6.2.6 Fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres
La fonction Gamma est une distribution appropriée pour modéliser le comportement de
variables aléatoires continues avec une asymétrie positive, c'est-à-dire des variables qui
présentent une plus grande densité d'événements à gauche de la moyenne qu'à la droite de
celle-ci. Dans son expression se trouvent trois paramètres, toujours positifs, (𝑡0), (α) et (β)
dont dépendent sa forme et sa portée à la droite, et la fonction Gamma (α), responsable de
la convergence de la distribution. La seule différence entre la fdp Gamma à trois paramètres
et celle à deux paramètres est que la distribution de la fdp à trois paramètres débute à 𝑡0
alors de celle à deux paramètres débute à 0. En pratique, la fonction de distribution Gamma
a été communément utilisée pour dériver l'hydrogramme unitaire.
La fonction de densité de probabilité de la distribution Gamma à trois paramètres est
représentée par l’équation [36] pour t > 𝑡0, α et β > 0. (Basak, 2011).
fdp Gamma à
trois paramètres 𝒇(𝒕;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) =
(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)
𝜷 � [36]
Les fonctions du temps de montée 𝑡𝑝 et du débit de pointe 𝑞𝑝 sont représentées par les
équations [37] à [41] et leur développement mathématique est présenté dans les annexes 1
et 2 (Rai, 2009).
Temps de montée 𝒕𝒑 = (𝜶 − 𝟏) 𝜷 = (𝒕𝒎 − 𝒕𝟕) [37]
Débit de pointe 𝒒𝒑 =𝟏𝒕𝒑
(𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)
𝜞(𝜶) = 𝝓(𝜶)
𝒕𝒑 [38]
Coefficient de forme 𝝓(𝜶) = (𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)
𝜞(𝜶) [39]
27
Débit de pointe
𝒒𝒑 𝒕𝒑 = 𝝓(𝜶) [40]
𝒒𝒑 =(𝜶 − 𝟏)𝜶−𝟏𝒆(−𝜷(𝜶−𝟏))
𝜞(𝜶)𝜷𝟐−𝜶 [41]
Où,
- t : temps
- α : paramètre de forme
- β : paramètre d'échelle
- 𝑡0: paramètre de position, moment où débute le ruissellement
- 𝑡𝑚: temps au débit maximum
- 𝜙(𝛼) : coefficient de forme de l’hydrogramme
- Γ(𝛼): Fonction Gamma complète
Comme (𝑞𝑝) et (𝑡𝑝) peuvent être mesurés sur l’hydrogramme et 𝜙(𝛼) évalué directement,
(α) peut être déterminé par une méthode itérative après avoir déterminé 𝑞𝑝 et 𝑡𝑝. Cette
dernière expression est identique à celle déterminé par (Bhunya et al., 2003).
Plusieurs études ont permis de comparer différentes fonctions de distribution de probabilité
afin d'établir laquelle représentait le mieux l'hydrogramme observé. La fonction de
distribution Gamma a performé le mieux. Croley (1980), Singh (2000) et Bhunya et al.
(2003) ont utilisé une version simplifiée de la distribution Gamma à deux paramètres pour
dériver un hydrogramme unitaire synthétique avec davantage de précision que les méthodes
classiques de Snyder, SCS et Gray.
Rai et al. (2009) ont utilisé les distributions de probabilité Bêta, Exponentielle, Gamma,
Normale, Log-normale, Weibull, Logistique, Logistique généralisée et Pearson type III sur
13 bassins versants comportant différentes caractéristiques climatiques et
physiographiques. Ils ont obtenu la classification suivante représentant l'aptitude, en ordre
décroissant, des distributions utilisées: Gamma > Pearson Type 3 > Bêta > Logistique
généralisée > Log-normale > Weibull.
28
2.7 Les paramètres de la distribution Gamma
L’hydrogramme de ruissellement peut être représenté par la fonction de densité de
probabilité Gamma à trois paramètres (Équation [36]), où le paramètre de forme de la
distribution (α), situe l'intensité maximale de la probabilité. Les valeurs de (α) près de zéro
correspondent alors à une représentation graphique très similaire à la distribution
exponentielle. Pour les valeurs de (α) plus grandes, le centre de la distribution se déplace
vers la droite, s’apparentant à la forme d’une distribution de Gauss avec asymétrie positive.
Le paramètre (β) appelé paramètre d'échelle, détermine la portée de cette asymétrie
positive, déplaçant la densité de probabilité dans la queue de droite. Pour les valeurs
élevées de (β), la distribution a une plus forte densité de probabilité à l'extrémité droite de
la queue, allongeant ainsi beaucoup sa représentation et dispersant la probabilité tout au
long de l’axe. Après avoir dispersé la probabilité, la hauteur maximale de densité de
probabilité est déduite; ainsi des valeurs plus petites de (β) conduisent à une figure plus
symétrique et concentrée, avec un pic de densité de probabilité plus élevé.
Le paramètre de localisation (ou de position) (𝑡0) est un paramètre qui régit la position de la
fonction de densité de probabilité. En d'autres termes, lorsque la densité est tracée, le
paramètre de localisation détermine la position de l'origine : si (𝑡0) est positif, alors l'origine
est décalée à droite.
La fonction Gamma à trois paramètres permet de ne pas centrer le début de l’hydrogramme
à t=0, ce qui est particulièrement utile avec les données de débits qui sont bruitées. La
figure 8 permet d’apprécier l'évolution de la distribution Gamma lorsque les paramètres (α),
(β) et (𝑡0) varient. (A) montre comment se modifie la forme de l’hydrogramme lors de
l’augmentation des valeurs du paramètre (α); (B) renseigne sur la variation de l'échelle de
l'axe vertical à mesure que les valeurs du paramètre (β) augmentent; et (C) illustre comment
se déplace la position de l’origine (vers la droite) avec l’augmentation du paramètre (𝑡0)
(Chico, 2010).
29
(A)
(B)
(C)
Figure 8. Évolution de la distribution Gamma en fonction de la variation des
paramètres (α), (β) et (t0).
0
0,04
0,08
0,12
0,16
0,2
0 10 20 30 40 50 60
q
t
β = 2, t0 =0
α = 2
α = 5
α = 10
0
0,04
0,08
0,12
0,16
0,2
0 10 20 30 40 50 60
q
t
β = 2, α= 2
To= 0
To = 15
To = 30
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 20 40 60
q
t
0
0,04
0,08
0,12
0,16
0,2
0 10 20 30 40 50 60
q
t
α = 2, t0 = 0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0 10 20 30 40 50 60
q
t
30
2.8 Méthodes d'estimation des paramètres α, β et t0 dans une
distribution Gamma
Il existe plusieurs méthodes d'estimation ponctuelle qui permettent d'estimer les valeurs de
α, β et 𝑡0 pour une distribution Gamma selon différentes théories d’inférence statistique,
incluant la méthode des moments, la méthode des moments modifiée, la méthode du
maximum de vraisemblance, la méthode des moindres carrés, la méthode d’estimation
simple développée par Balakrishnan et Wang (2000). Les sections suivantes présentent les
différentes méthodes.
2.8.1 Méthode des moments
Cette méthode consiste à calculer les moments théoriques, puis à déterminer les paramètres
de la loi à partir des relations mathématiques qui lient les moments théoriques avec ces
paramètres. L'égalisation se justifie par la loi des grands nombres qui implique que l'on
peut « approcher » une espérance mathématique par une moyenne empirique (Chico, 2010).
Soit par exemple une loi 𝑓(𝑡,𝛼,𝛽, 𝑡0, … ) qu’on veut ajuster sur un échantillon. Les
moments théoriques dépendent des paramètres de cette loi, on écrit :
Moments
théoriques
𝝁𝟏 = �𝒕 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … )𝒅𝒕 [42]
𝝁𝟐 = �(𝒕 − 𝝁)𝟐𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … )𝒅𝒕 [43]
𝝁𝒏 = �(𝒕 − 𝝁)𝒏𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … )𝒅𝒕 [44]
Où
- 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … ) est la fonction de densité de probabilité
- µn est le moment théorique d’ordre n
- t est la variable du temps
- (𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) sont les paramètres de forme, d'échelle et de position de la fonction de
probabilité Gamma.
31
La moyenne (µ) est l’espérance mathématique d’une variable aléatoire, soit l’intégration du
produit de la variable par sa fonction de densité de probabilité :
Premier moment
Théorique
(𝝁) moyenne
𝝁 = 𝐄[𝒕𝟏] = �𝒕 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕)𝒅𝒕 = 𝒕𝟕 + 𝛂𝛃 [45]
Où E[t] est le premier moment à partir de l’origine (point de référence à 0) de la variable
aléatoire, représentant ainsi une mesure de la tendance centrale de la distribution.
La variance σ2 est estimée par le deuxième moment autour de la moyenne et représente une
mesure de dispersion de la distribution :
Deuxième moment
théorique
(𝝈𝟐) variance
𝝈𝟐 = 𝐄[(𝒕 − 𝝁)𝟐] = 𝑬(𝒕𝟐) − 𝝁𝟐
[46]
𝝈𝟐 = �𝒕𝟐 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕)𝒅𝒕 − 𝝁𝟐 = 𝜶𝜷𝟐 [47]
L’asymétrie d’une distribution (coefficient d’asymétrie) 𝛒 est décrite par le troisième
moment autour de la valeur moyenne :
Troisième moment
théorique (ρ)
coefficient
d’asymétrie
𝐄[(𝒕 − 𝝁)𝟏] = 𝑬(𝒕𝟏) − 𝟏𝝁 + 𝟐𝝁𝟏 [48]
𝐄(𝒕𝟏) = �𝒕𝟏𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕)𝒅𝒕 [49]
𝛒 =𝐄 [(𝒕 − 𝝁)𝟏]
𝝈𝟏 =
𝐄 [(𝒕 − 𝝁)𝟏](𝝈𝟐)𝟏 𝟐⁄ =
𝟐√𝜶
[50]
32
Où
- E[t] est l'espérance mathématique, premier moment à partir de l’origine de la
variable
- t est la variable de temps
- f(t, α, β, t0) est la fonction de densité de probabilité
- (α, β, t0) sont les paramètres de forme, d'échelle et de position de la fonction de
probabilité Gamma
- µ est le premier moment théorique (la moyenne)
- σ2 est le deuxième moment théorique (la variance)
- ρ est le troisième moment théorique (coefficient d’asymétrie).
Lorsqu’il est requis de calculer n paramètres, les n premiers moments sont utilisés.
Toutefois, dans la réalité, l’ajustement d’une loi se fait sur une série d’observations finie
(tableau 3). Donc, les moments théoriques sont remplacés par des moments observés
(Basak, 2011) :
Moments observés 𝒒(𝒕) =𝑸(𝒕)𝑹
⇒ �𝒒(𝒕)𝒅𝒕 = 𝟏 𝒄𝒂𝒓 �
𝑸(𝒕)𝑹
𝒅𝒕 = 𝟏 [51]
Où
- 𝑄(𝑡) = débit total
- R = hauteur de ruissellement
- 𝑞(𝑡) = débit unitaire
Premier moment
observé �̅� moyenne �̅� = 𝑬�(𝒕) = �𝒕 𝒒(𝒕)𝒅𝒕 [52]
Deuxième moment
observé 𝐬𝟐 variance 𝐬𝟐 = 𝑬�(𝒕𝟐) − �̅�𝟐 = �𝒕𝟐 𝒒(𝒕)𝒅𝒕 − 𝑬�𝟐(𝒕) [53]
33
Troisième moment
observé 𝓪�𝟏 coefficient
d’asymétrie
𝓪�𝟏 = 𝑬�(𝒕𝟏) − 𝟏𝑬�(𝒕) ∗ 𝑬�(𝒕𝟐) + 𝟐𝑬�𝟏(𝒕)
(𝑬�(𝒕𝟐) − 𝑬�𝟐(𝒕))𝟏 𝟐⁄ [54]
Comme les données sont discrètes, l’intégration se fait sous forme numérique.
Intégration
numérique
𝑬�(𝒕) = �𝒕𝒊 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 [55]
𝑬�(𝒕𝟐) = �𝒕𝒊𝟐 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 [56]
𝑬�(𝒕𝟏) = �𝒕𝒊𝟏 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 [57]
La solution s’effectue en égalisant les moments théoriques aux moments observés.
Tableau 3. Moments observés et théoriques d’une distribution Gamma à trois
paramètres.
Moments Moments observés Moments théoriques
m1 (moyenne) �̅� = 𝑬�(𝒕) = �𝒕𝒊 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 𝝁 = 𝐭𝟕 + 𝛂𝛃
m2 (variance) 𝐬𝟐 = 𝑬�(𝒕𝟐) − �̅�𝟐 𝝈𝟐 = 𝜶𝜷𝟐
m3 (coefficient
d’asymétrie) 𝓪�𝟏 =
𝑬�(𝒕𝟏) − 𝟏𝑬�(𝒕) ∗ 𝑬�(𝒕𝟐) + 𝟐𝑬�𝟏(𝒕)(𝑬�(𝒕𝟐) − 𝑬�𝟐(𝒕))𝟏 𝟐⁄ 𝝆 = 𝟐 √𝜶⁄
34
En égalisant les troisièmes moments (coefficients d’asymétrie observé et théorique) 𝒶�3 =
𝜌, nous obtenons la valeur de 𝛼 :
𝜶 = �𝟐𝓪�𝟏�𝟐
= 𝟕𝓪�𝟏
𝟐 [58]
En égalisant les deuxièmes moments (variances observé et théorique) 𝑠2 = 𝜎2 et en
remplaçant la valeur de 𝛼 (Équation [31]) nous obtenons la valeur de 𝛽 :
𝜶𝜷𝟐 = 𝒔𝟐 [59]
𝜷𝟐 =𝒔𝜶
𝟐= 𝒔𝟐 ∗
𝓪�𝟏𝟐
𝟕 [60]
𝜷 = �𝒔𝟐 ∗ 𝓪�𝟏𝟐
[61]
Et finalement, la valeur de t0 (Équation [64]) est obtenue après avoir égalé les premiers
moments (moyennes observé et théorique 𝑡̅ = 𝜇) et en remplaçant les valeurs obtenues de
𝛼 et 𝛽 :
𝒕𝟕 + 𝜶𝜷 = �̅� [62]
𝒕𝟕 = �̅� − 𝜶𝜷 = �̅� −
𝟕𝓪�𝟏
𝟐 ∗ �𝒔𝟐 ∗ 𝓪�𝟏𝟐
[63]
𝒕𝟕 = �̅� − 𝟐√𝒔𝟐
𝓪�𝟏 [64]
35
2.8.2 Méthode du maximum de vraisemblance
La vraisemblance d’un échantillon est définie comme la probabilité de l’observer et
correspond au produit des densités de probabilité des différentes valeurs. La méthode du
maximum de vraisemblance est basée sur la fonction de vraisemblance qui est maximisée
afin d’obtenir les estimateurs souhaités. Les estimations ainsi obtenues seront les valeurs
les plus vraisemblables pour les paramètres en fonction des données observées.
Le système d'équations suivant est proposé afin d'obtenir des estimateurs du maximum de
vraisemblance dans une distribution Gamma à trois paramètres :
Dérivée par rapport à 𝜶 𝝏𝝏𝜶
𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 [65]
Dérivée par rapport à β 𝝏𝝏𝜷
𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 [66]
Dérivée par rapport à 𝒕𝟕 𝝏𝝏𝒕𝟕
𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 [67]
Où (L) est la fonction de vraisemblance correspondant à l'échantillon donné et aux
paramètres à estimer. La fonction de vraisemblance est :
(L) Fonction de
vraisemblance 𝑳�𝒕𝟏 ,𝒕𝟐 , … , 𝒕𝒏 ;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕� = �𝒇(
𝒏
𝒊=𝟏
𝒕𝒊 ;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) [68]
Par conséquent, la fonction de vraisemblance pour un échantillon et pour les paramètres
d’une distribution Gamma sera :
𝑳�𝒕𝟏 ,𝒕𝟐 , … , 𝒕𝒏 ;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕� = 𝜷−𝒏𝜶�𝚪(𝜶)�−𝒏
.�(𝒕𝒊 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏.𝒏
𝒊=𝟏
𝒆−𝟏𝜷 ∑ (𝒕𝒊𝒏
𝒊=𝟏 −𝒕𝟕) [69]
36
Il est souvent plus simple de maximiser le logarithme naturel de la fonction de
vraisemblance que la vraisemblance elle-même. L’une ou l'autre méthode conduit au même
maximum car la fonction logarithmique est une fonction monotone croissante.
La maximisation de la fonction est équivalente à maximiser son logarithme (Tzavelas,
2009):
𝑳𝒏 (𝑳) = (𝜶 − 𝟏)�𝒍𝒏 (𝒕𝒊 − 𝒕𝟕) − 𝒏 𝜶 𝒍𝒏 𝜷− 𝒏 𝒍𝒏 𝚪(𝜶) − 𝟏𝜷
� (𝒕𝒊 − 𝒕𝟕) 𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
[70]
En dérivant l’expression précédente par rapport à 𝛼, 𝛽 et 𝑡0 et en les égalant à zéro, on
obtient :
𝝏𝝏𝜶
𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 → �𝒍𝒏 (𝒕𝒊 − 𝒕𝟕) − 𝒏 𝒍𝒏 𝜷− 𝒏
𝚪′(𝜶)𝚪(𝜶) = 𝟕
𝒏
𝒊=𝟏
[71]
𝝏𝝏𝜷
𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 → �(𝒕𝒊 − 𝒕𝟕)
𝒏
𝒊=𝟏
− 𝒏𝜶𝜷 = 𝟕 [72]
𝝏𝝏𝒕𝟕
𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 → 𝒏{𝜷(𝜶− 𝟏)}−𝟏 −�(𝒕𝒊 − 𝒕𝟕)−𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟕 [73]
La résolution de ce système d'équations permet d’évaluer les estimateurs des paramètres
d'intérêt. Ce système est valide pour des valeurs de 𝜶 >1 et il ne peut pas être résolu
analytiquement. Il est nécessaire pour cela d'utiliser une méthode numérique, comme par
exemple, la méthode de Newton-Raphson (Cohen, 1986). Lorsque α < 1, la fonction de
vraisemblance devient infinie et il n’y a pas de solutions possibles pour le système
d’équations (Basak, 2011).
37
Johnson et Kotz (1970), Cohen (1986) et (Balakrishnan, 2000) soulignent la difficulté de
cette méthode lorsque le paramètre de forme α est près de 1 et ils recommandent
l'utilisation de la méthode du maximum de vraisemblance pour des valeurs de α > 2,5.
2.8.3 Méthode des moments modifiés
Cohen et Whitten (1982, 1986) ont proposé des estimateurs de moment modifiés qui sont
plus simples que les estimateurs du maximum de vraisemblance et qui ne montrent aucun
problème de convergence lorsque le paramètre de forme est petit (Balakrishnan, 2000).
La méthode des moments modifiée est basé sur les mêmes principes que la méthode des
moments mais, le troisième moment est remplacé par E[F(x1)] = f(x1) où F(.) est la fonction
de distribution cumulative, X1 est la statistique de premier ordre (pour une variable
aléatoire) et xi est sa valeur observé, tandis que E( ) désigne la valeur attendue.
Pour E[F(x1)] = 1 / (n + 1), les estimateurs des moments modifiées « MME » s’écrivent :
Premier moment 𝝁� = 𝒕𝟕� + 𝜶�𝜷� = �̅� [74]
Deuxième moment 𝜶�𝟐 = 𝜶�𝜷�𝟐 = 𝒔𝟐 [75]
Troisième moment 𝑭(𝒙𝟏) = 𝟏/(𝒏 + 𝟏) [76]
En standardisant la fdp Gamma (équation [36]) avec la transformation 𝑧 = (𝑥 − 𝜇)/𝛼, nous
obtenons :
Fdp transformé 𝑔(𝑧, 0,1,𝜌3) =(2 𝜌3⁄ )4 𝜌32⁄
Γ(4 𝜌32⁄ ) (𝑧 + 2 𝜌3)⁄ �4 𝜌32⁄ �−1 𝑒�−2𝜌3
(𝑧+2 𝜌3⁄ )� [77]
38
(−2 𝜌3)⁄ < 𝑧, zéro ailleurs, et la fonction de distribution standardisé devient :
Nouveau fdp standardisé 𝑮(𝒛;𝟕,𝟏,𝝆𝟏) = � 𝒈(𝒕;𝟕,𝟏,𝝆𝟏)𝒅𝒕𝒛
−𝟐 𝝆𝟏⁄ [78]
Avec �̂� = �̅� et 𝛼�2 = 𝑠2. On écrit (𝑥1 − �̅�)/𝑠, et puisque 𝐹(𝑥1) = 𝐺(𝑧1), les estimateurs de
(α, β et 𝑡0) deviennent :
𝒈(𝒛,𝟕,𝟏,𝝆�𝟏 ) = 𝟏/(𝒏 + 𝟏) [79]
𝜶� = 𝟕 𝝆�𝟏𝟐⁄ [80]
𝜷� = 𝒔 𝝆�𝟏/𝟐, [81]
𝒕𝟕� = �̅� − 𝟐𝒔 𝝆�𝟏⁄ [82]
Les estimations de 𝛽,� 𝑡0� et 𝛼� sont dérivées des équations [80] à [82] avec �̂� = �̅� et 𝛼�2 = 𝑠2
2.8.4 Méthode de qp tp
La méthode de 𝑞𝑝 𝑡𝑝 est basés sur la relation existante entre le coefficient de forma 𝜙(𝛼), le
débit de pointe 𝑞𝑝 et le temps de montée 𝑡𝑝 (équation [83]). Comme 𝑞𝑝 et 𝑡𝑝 peuvent être
mesurés directement sur l’hydrogramme, 𝛼 peut être déterminé par une méthode itérative
après la détermination de 𝜙(𝛼). Cette dernière expression est identique à celle déterminé par
(Bhunya et al., 2003).
Coefficient de forme 𝝓(𝜶) = 𝒒𝒑 𝒕𝒑 = (𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)
𝜞(𝜶) [83]
39
Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝜶 𝜷 [84]
Où,
- 𝜙(𝛼) = coefficient de forme de l’hydrogramme
- Γ(𝛼) = fonction Gamma complète
- 𝑡𝑝 = temps de montée
- 𝑞𝑝 = débit de pointe adimensionnel
- α = paramètre de forme
- β = paramètre d'échelle
- 𝑡0 = paramètre de position, moment au débute le ruissellement
La valeur de β peut être obtenue de l'équation [84] une fois la valeur de α établie.
2.8.5 Méthode des moindres carrés régression non linéaire
La méthode de régression linéaire minimisant la somme des résidus au carré peut être
utilisée pour estimer les paramètres d’une fonction lorsque les valeurs numériques
représentant la fonction sont connues. Les couples (𝑞(𝑡𝑖), 𝑡𝑖) sont la représentation de la
fonction numérisée, et la fdp représente la fonction à caler.
C'est à Legendre en 1806 que l'on doit la première étude théorique de la méthode des
moindres carrés à l'occasion de l'examen de la trajectoire des comètes. La fonction à ajuster
était alors une parabole. La méthode permet de comparer des données expérimentales,
généralement entachées d’erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces
données.
Connaissant les positions de n points (𝑥𝑖,𝑦𝑖), i = 1... n dans le plan, on s’intéresse à
déterminer la droite d’équation 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑚 ∙ 𝑥 qui passe «le mieux possible» par ces
points. Il s’agit alors de déterminer les valeurs des coefficients a et m qui correspondent à la
droite la plus appropriée, de telle sorte que la somme des carrés soit minimale:
40
𝑔(𝑎,𝑚) ∶= �(𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑖)2𝑛
𝑖=1
[85]
La somme des carrés des distances verticales entre les points et la droite doit être la plus
faible possible. C’est pour cette raison qu’elle est appelée méthode des moindres carrés.
Il est important de souligner que la fonction 𝑓𝑖(𝑥) peut être non linéaire. La linéarité fait
référence aux paramètres 𝑝𝑗. Le tableau 4 illustre quelques exemples de telles fonctions.
Tableau 4. Exemples de régressions linéaires ou non linéaires.
Type de fonctions Paramètres Régression Linéaire / non linéaire
y= a+mx a, m Linéaire
y=ax2 + bx + c a, b, c Linéaire
y=aecx a, c Non Linéaire
y=a sin(ωt +δ) a, ω, δ Non Linéaire
y=a cos(ωt) +b sin(ωt) a, b Linéaire
La méthode des moindres carrés peut aussi être utilisée pour déterminer les paramètres
𝛼,𝛽, 𝑡0 de la fdp Gamma à trois paramètres.
2.9 Qualité d’ajustement
De façon générale, la qualité d’ajustement d’un modèle se réfère à sa capacité à reproduire
les données. Dans le cas de la prédiction quantitative d’une variable Y, par exemple,
l’objectif est d’obtenir des valeurs prédites Y(p) qui s’ajustent le mieux possible aux valeurs
41
observées Y(o), pour i = 1. . , n, n étant le nombre d’observations. De même, dans l’optique
de la classification, les états prédits Y(p) doivent correspondre le plus souvent possible aux
vraies valeurs Y(o). Le taux d’erreur est dans ce cas un indicateur naturel de qualité
d’ajustement.
2.9.1 Erreur quadratique moyenne (EQM)
L'erreur quadratique moyenne (EQM) est définie par l'équation mathématique suivante :
Erreur quadratique
moyenne (EQM) 𝑬𝑸𝑴 = �
𝟏𝑪��𝒒(𝒐)𝒊 − 𝒒(𝒎)𝒊�
𝟐𝒏
𝒊=𝟏
[86]
Où
- 𝑞(𝑜)𝑖 = nième valeur observée
- 𝑞(𝑚)𝑖 = nième valeur modelée
- N = nombre de points d'observation.
L'EQM est une mesure de l'erreur moyenne, pondérée par le carré de l'erreur. Elle permet
de répondre à la question, « quelle est la magnitude de l'erreur de la prévision », mais
n'indique pas la direction des erreurs. Parce qu'il s'agit d'une quantité au carré, l'EQM est
davantage influencée par les grandes erreurs que par les plus petites. Sa portée varie de 0 à
l'infini, un score de 0 étant un score parfait.
2.9.2 Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe (E)
Le Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe est utilisé pour évaluer la puissance prédictive des
modèles hydrologiques. Il est défini comme :
42
Coefficient d'efficacité de
Nash-Sutcliffe (E) 𝑬 = 𝟏 −
∑ �𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒎)𝒕�𝟐𝑻
𝒕=𝟏
∑ �𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒐)������𝟐𝑻
𝒕=𝟏
[87]
Où 𝑞(𝑜)𝑡 et 𝑞(𝑚)𝑡 sont les débits observé et modélisé au temps t, et 𝑞(𝑜)����� est la valeur moyenne
du débit observée.
Les efficacités de Nash-Sutcliffe peuvent s'étendre du -∞ à 1. Une efficacité de 1 (E = 1)
correspond à un accord parfait entre le débit modélisé et les données observées. Une efficacité
de 0 (E = 0) indique que les prévisions du modèle sont aussi précises que la moyenne des
données observées, tandis qu'une efficacité inférieure à zéro (-∞ < E < 0) se produit lorsque la
moyenne observée représente un meilleur estimateur que le modèle. Essentiellement, plus
l'efficacité du modèle est près de 1, meilleure elle est.
2.9.3 Coefficient de Détermination R2
Le coefficient de détermination (R²) est un indicateur qui permet de juger la qualité d’une
régression linéaire, simple ou multiple. À partir de valeurs comprises entre 0 et 1, il mesure
l’adéquation entre le modèle et les données observées. Certes, le R² a ses imperfections,
mais son utilité n’a d’égale que sa simplicité. Ses limites sont 0 ≤ R2 ≤ 1. Un R2 de 1
indique un ajustement parfait du modèle de régression et un R2 = 0 indique l’absence de
relation entre la variable dépendante et le régresseur.
Coefficient de
Détermination R2 𝑹𝟐 =
∑ ��𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒐)�������𝒒(𝒎)𝒕 − 𝒒(𝒎)��������𝑻𝒕
∑ ��𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒐)������𝟐�𝒒(𝒎)𝒕 − 𝒒(𝒎)�������
𝟐�𝟏/𝟐
𝑻𝒕
[88]
Où 𝑞(𝑜)𝑡et 𝑞(𝑚)𝑡 sont les débits observé et modélisés au temps t, et 𝑞(𝑜)����� est la valeur moyenne
du débit observé.
43
3 HYPOTHÈSE ET OBJECTIFS DE RECHERCHE
3.1 Hypothèse de recherche
L'hypothèse principale de ce projet est qu’une évaluation adéquate des différents
paramètres hydrologiques tels le temps de montée (tp), la hauteur de ruissellement (Hru) et
le coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)) mesurés à partir d’observations
hydrométriques et météorologiques de petits bassins versants agricoles permettra de prédire
d’une façon valable les débits de crue (Qmax) et les volumes de ruissellement (Vr) adaptés
aux conditions agro-climatiques québécoises.
3.2 Objectifs de recherche
L’objectif principal de ce projet est de proposer et valider une méthode d'estimation des
débits de crue et des volumes de ruissellement adaptée aux conditions agro-climatiques
québécoises, à partir d’observations hydrométriques et météorologiques de petits bassins
versants agricoles.
Les objectifs spécifiques du projet sont les suivants :
Caractériser les réponses hydrologiques (hauteur de ruissellement, temps de montée
et coefficient de forme de l’hydrogramme) de bassins versants à vocation agricole
en fonction des hydrogrammes de ruissellement et des précipitations mesurées;
Identifier la meilleure méthode pour estimer les temps de montée, les volumes de ruissellement et les débits de crue.
45
4 MÉTHODOLOGIE
Le développement et la validation des modèles de prédiction hydrologique s’appuie, dans
un premier temps, sur une méthode semi-empirique mettant à profit les observations
hydrométriques de douze petits bassins versants répartis sur le territoire agricole québécois,
du Témiscouata jusqu’à l’ouest de la Montérégie. Dans un deuxième temps, les propriétés
propres à chacun des hydrogrammes, telles que la hauteur de ruissellement, les paramètres
de forme, le temps de montée ou les débits de pointe, ont été comparées aux diverses
méthodes de prédiction couramment utilisées en milieu de pratique ou dans la littérature.
4.1 Localisation des bassins versants à l’étude
Douze bassins versants instrumentés, situés dans diverses régions agricoles du Québec,
(figure 9) ont été retenus afin de faire l’analyse de leurs hydrogrammes de crue. Cette
sélection s’est appuyée sur les critères de taille (3 à 30 km²), d’occupation du sol (vocation
agricole) et de la disponibilité concordante des données de débits et de précipitations.
Conceptuellement, les douze bassins sont associés à deux classes physiographiques. Les
cinq bassins versants de la Montérégie ont un relief plat, une occupation du sol
presqu’exclusivement agricole et des systèmes culturaux dominés par les cultures
annuelles. Les sept autres bassins localisés en Estrie (2), en Beauce (4) et dans le Bas-Saint-
Laurent (1) sont associés à des paysages appalachiens, présentant un relief plus accentué
qu’en Montérégie. De façon générale, un plus grand pourcentage de la superficie des
bassins appalachiens est occupé par la forêt.
Le tableau 5 décrit les stations de jaugeage et météorologiques de chacun des bassins
versants à l’étude, ainsi que leur aire, leurs coordonnées géographiques et les périodes de
disponibilité des données.
46
Les banques de données hydrométriques et météorologiques mises à profit dans les
analyses hydrologiques des hydrogrammes de crue des douze bassins versants à l’étude
sont sommairement décrites aux tableaux 5 à 7. Dix de ces dispositifs et banques de
données hydrologiques ont été colligés par l’équipe de l’IRDA dans le cadre
d’accompagnements scientifiques d’actions concertées sur la qualité de l’eau en milieu
agricole (Michaud et al., 2009a, 2009b et 2012). Les observations des bassins versants du
ruisseau Turmel et du ruisseau Binet ont été gracieusement mises à la disposition de
l’équipe de projet par M. Jacques Gallichand (CART, 1998) professeur à l’Université
Laval.
Figure 9. Localisation des bassins versants utilisés dans l’analyse hydrologique des
crues.
47
Tableau 5. Bassins versants et configuration des bases de données utilisées.
# Bassin versant
Station jaugeage Aire (ha)
Localisation (degrés décimaux) Station
Météorologique
Données analysées
Latitude Longitude Début Fin Pas
(min) 1 Au Castor 1228 45,13 -73,05 Gagnon 01/09/22 06/06/20 15 2 Binet 483 46,42 -70,94 Binet 94/02/19 96/11/22 5
3 Esturgeon Branche 21 231 45,29 -73,64 Esturgeon 09/12/31 10/09/28 15 10/09/28 11/11/24 30
4 Ewing 2782 45,17 -73,09 Gagnon 01/11/02 06/06/20 15 5 Fourchette Amont 250 46,59 -71,08 St_Lambert 04/01/01 09/12/31 15 6 Fourchette Aval 192 46,63 -71,09 St_Lambert 04/01/01 06/12/31 15 7 Petite rivière Savane 1519 47,68 -69,01 Madawaska 09/10/29 11/09/28 15 8 Ruisseau Brook 618 45,16 -71,97 Tomifobia 10/06/16 11/10/03 15 9 Ruisseau Cass 714 45,07 -72,04 Tomifobia 10/06/16 11/10/03 15
10 Turmel 530 46,44 -70,91 Turmel 94/02/19 96/11/22 5 11 Walbridge Amont 631 45,19 -72,93 Gagnon 01/11/01 06/06/20 15 12 Walbridge Aval 794 45,19 -72,97 Gagnon 01/11/01 06/06/20 15
Tableau 6. Stations et bases de données hydrométriques.
# Station de jaugeage Localisation
(degrés décimaux) Données hydrométriques
Latitude Longitude Début Fin Pas (min) 1 Au Castor 45,11 -73,07 01/04/03 08/12/31 15 2 Binet 46,43 -70,94 94/02/19 96/11/22 5 3 Esturgeon Branche 21 45,28 -73,65 09/09/25 11/11/24 15 4 Ewing 45,13 -73,08 01/11/02 09/01/13 15 5 Fourchette Amont 46,60 -71,09 02/02/13 09/12/31 15 6 Fourchette Aval 46,63 -71,10 01/10/15 06/12/31 15 7 Petite rivière Savane 47,66 -68,98 09/11/03 11/09/28 15 8 Ruisseau Brook 45,17 -71,99 09/09/23 11/10/03 15 9 Ruisseau Cass 45,09 -72,06 09/09/22 11/10/03 15
10 Turmel 46,44 -70,90 94/02/19 96/11/22 5 11 Walbridge Amont 45,19 -72,94 01/11/01 06/11/05 15
12 Walbridge Aval 45,17 -72,98 01/11/01 02/02/04 30 02/02/04 06/11/02 15
48
Tableau 7. Stations et bases de données météorologiques.
# Station
météorologique
Localisation
(degrés décimaux) Données météo
Latitude Longitude Début Fin Pas (min)
1 Esturgeon 45,26 -73,7
09/12/31 10/08/11 15
10/08/22 10/09/28 5
10/09/28 11/12/31 30
2 Binet 46,42 -70,94 94/02/19 96/11/22 10
3 Gagnon 45,13 -73,06 01/09/22 06/06/20 15
4 Madawaska 47,65 -68,98 09/10/29 11/09/28 15
11/09/28 11/12/31 30
5 Lambert 46,61 -71,18 04/01/01 09/12/31 10
6 Tomifobia 45,09 -72,06 10/06/16 11/10/03 15
11/10/03 11/12/07 30
7 Turmel 46,44 -70,91 94/02/19 96/11/22 10
4.2 Analyses hydrologiques
Suivant la mise en forme des données hydrométriques et météorologiques pertinentes aux
douze bassins versants à l’étude, l’analyse hydrologique des crues a été réalisée à l’aide du
logiciel VisuHydro, développé spécifiquement dans le cadre du projet (Lagacé, 2012a).
Encodé en langage Python, le logiciel dispose d’une interface visuelle permettant le
marquage, la séparation et le calcul des propriétés individuelles des hydrogrammes.
VisuHydro permet d'une manière pratique la réalisation des tâches suivantes :
− Marquer le début et la fin de chacun des évènements qui ont produit un ruissellement
significatif;
− Classifier chacun des évènements en fonction du type d'hydrogramme (simple,
unitaire, multi pic, complexe ou non identifié), et du type de montée (régulier ou
irrégulier);
49
− Déterminer la hauteur de précipitation (𝑃𝑝𝑡), la durée de la précipitation et le débit
maximum (𝑞𝑚) de chaque évènement sélectionné;
− Séparer chaque hydrogramme en sa composante d'écoulement de base et
d'hydrogramme de ruissellement par la méthode de séparation linéaire à « pente
constante »;
− Déterminer à partir des hydrogrammes de ruissellement classés simples ou unitaires
avec montée régulière, les paramètres de temps de montée(𝑡𝑝), de débit de pointe(𝑞𝑝),
de temps de base(𝑡𝑏), ainsi que le coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ𝛼) et la
hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) ;
− Déterminer la hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) pour tous les hydrogrammes;
− Réaliser des analyses statistiques (moyenne, écart type, minimum, maximum,
coefficient de variation) des paramètres hydrologiques générés par le logiciel pour
l’ensemble des hydrogrammes d’un bassin versant donné, incluant le coefficient
d'efficacité de Nash-Sutcliffe (E), l’erreur quadratique moyenne (EQM) et le
coefficient de détermination (R²) pour évaluer la puissance prédictive des modèles
hydrologiques.
Un hydrogramme a été classifié simple, si et uniquement si, sa forme est régulière, sa
montée est régulière et que la fin de la précipitation se produit avant le débit de pointe. Un
hydrogramme est classifié d'unitaire si la durée de la précipitation est inférieure à 25 % du
temps de montée.
4.3 Séparation des hydrogrammes
Le logiciel VisuHydro utilise la méthode de séparation linéaire à pente constante, discutée à
la section 2.5.1.1, pour effectuer les séparations du débit entre le ruissellement de surface
l’écoulement de base (figures 3, 4 et 5).
Dans VisuHydro, le début et la fin du ruissellement sont déterminés de façon visuelle et le
logiciel effectue automatiquement la séparation et les calculs.
50
4.4 Calculs des données
Suivant la séparation des hydrogrammes en leurs composantes d’écoulement de base et de
ruissellement, différents paramètres sont analysés statistiquement (moyenne, écart type,
coefficient de variation). Selon le type d’hydrogramme, les paramètres incluent :
− Hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢), temps de montée (𝑡𝑝), débit de pointe (𝑞𝑝), temps de
base (𝑡𝑏), et coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ𝛼) pour les hydrogrammes de
ruissellement observés classées de type simple avec montée régulière;
− pour toutes les autres classifications des hydrogrammes sélectionnés, seule la hauteur
de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) a été déterminée.
Les paramètres α, β et 𝑡0 de la fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres
ont été estimés avec les méthodes des moments, 𝑞𝑝𝑡𝑝 et des moindre carrés LSQ_1tp et
LSQ_2tp par le logiciel VisuHydro. Pour la méthode
𝑞𝑝𝑡𝑝, les valeurs sont obtenues en utilisant les valeurs observés de 𝑞𝑝 et 𝑡𝑝 sur les
hydrogrammes (section 2.8.4). Pour la méthode LSQ_1tp, les valeurs sont obtenues en
lissant la fonction de probabilité Gamma par la méthode des moindres carrés du début du
ruissellement à 1 tp après le débit de pointe. Pour la méthode LSQ_2tp, quant à elle, les
valeurs sont obtenues en lissant la fonction de probabilité Gamma par la méthode des
moindres carrés du début du ruissellement à 2 tp après le débit de pointe.
4.5 Analyse des paramètres de l’hydrogramme
Les différents paramètres hydrologiques (𝑡𝑝,𝐻𝑟𝑢,Φ𝛼, 𝑞𝑝) estimés par VisuHydro à partir
des observations réelles (hydrogrammes) ont été comparés aux estimations des modèles
théoriques les plus couramment utilisés en milieu de pratique au Québec. Les sections
suivantes décrivent plus en détails les méthodes utilisées pour prédire les volumes de
ruissellement, les temps de montée ou de concentration, les paramètres de forme des
hydrogrammes et les débits de pointe.
51
4.5.1 Temps de montée
Dans cette étude le concept du temps de montée a été retenu car il est facilement observable
sur les hydrogrammes typiques et il est représentatif de la signature d'un bassin versant.
Dans cette étude, l'hypothèse que les temps de montée et de concentration convergent a
aussi été retenue. Il faut souligner que cette hypothèse est contestée par certains.
Comme les temps de montée (𝑡𝑝) et de concentration (𝑡𝑐) sont différents d'un bassin versant
à l'autre, les temps de montée (𝑡𝑝) observés ont été comparés par la méthode des ratios à
partir des temps de concentration (𝑡𝑐) obtenus par les méthodes classiques (Kirpich,
Bransby-William, Mockus avec CN de type II et de type III, SCS lag avec CN de type II et
de type III). La méthode « Aéroport », aussi utilisée en milieu de pratique, n'a pas été
utilisée dans le cadre de la présente étude, car elle requière en intrant le coefficient de
ruissellement qui est déterminé subjectivement. Les méthodes classiques nécessitent
certains paramètres topographiques des bassins versants (longueur, pente moyenne, CN
moyen, etc.).
Des analyses statistiques (détermination du nombre d'événements (N), moyenne (µ), écart
type (s), coefficient de variation (Cv) et coefficient de corrélation (R2)) ont aussi été
effectuées pour les temps de montée (𝑡𝑝) et les ratios (𝑡𝑐/𝑡𝑝) afin d’identifier les méthodes
qui prédisent le mieux le temps de montée avec la plus faible variance.
4.5.2 Coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ(α))
La fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres (équation [36]), telle que
présentée au cadre théorique de l’étude (section 2.6.2.6), a été retenue afin de caractériser
les paramètres des hydrogrammes et a été intégrée au logiciel d’analyse hydrologique
VisuHydro. Quatre méthodes ont été utilisées pour déterminer le coefficient de forme
(φ(α)) et les paramètres de la fonction de densité de probabilité Gamma, soit la méthode
directe ou 𝑞𝑝𝑡𝑝 (φ(α).= 𝑞𝑝𝑡𝑝), la méthode des moments et les méthodes des moindres
52
carrés LSQ_1tp et LSQ_2tp. Ces coefficients ont été déterminés pour les hydrogrammes de
type simple pour les douze bassins versants à l’étude.
Des analyses statistiques (détermination du nombre d'événements (N), moyenne (µ), écart
type (s), coefficient de variation (Cv) et coefficient de corrélation (R2)) pour le coefficient
de forme de l'hydrogramme (Φ(α)) ont été effectuées pour chacun des bassins versants. Une
analyse statistique ANOVA du coefficient de forme a aussi été effectuée pour détecter les
différences significatives potentielles entre les douze bassins versants.
4.5.3 Hauteurs de ruissellement
Les hauteurs de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) et de précipitations (Ppt) déterminées pour chacun des
évènements à l’aide du logiciel VisuHydro ont été mises à profit dans l’étude de la relation
Hru-Ppt suivant une approche de régression s’inspirant de Monfet (1979) : 𝐻𝑟𝑢 = A + B*
Ppt. Cette approche est couramment utilisée en milieu de pratique au Québec dans le
dimensionnement des ouvrages hydrauliques en milieu rural. Dans le cadre de la présente
étude, l’analyse de la relation entre les hauteurs de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) et les précipitations
observées (Ppt) pour l’ensemble des douze bassins versants à l’étude a été supportée par
une analyse de variance (ANOVA) de la hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢), en considérant
l’effet « Bassin », destinée à détecter les différences significatives entre les réponses
hydrologiques des douze bassins versants à l’étude. Les résultats ont aussi été comparés
aux méthodes de Monfet (1979) et du SCS.
4.5.4 Validation des débits de crue
Les débits annuels de crue (Qmax) observés, pour les récurrences de 2 et 5 ans ont été
comparés aux débits de crue prédits par l’équation suivante :
53
Débit de crue (Qmax) 𝐐𝐦𝐚𝐱 = 𝐇𝐫𝐮 ∗ 𝐀 ∗ 𝚽(𝛂)
𝟏𝟏𝟕 𝒕𝒑 [89]
Où :
- Qmax = débit de crue (m3/s);
- Hru = hauteur de ruissellement (mm)
- A = superficie du bassin versant (ha)
- 𝑡𝑝 = temps de montée du bassin versant (h)
- Φ(α) = coefficient de forme de l'hydrogramme
- 360 = facteur d'unité
La forme de l'équation précédente permet de représenter la très grande majorité des
méthodes d'estimation des débits de crue à l’exception de certains modèles de régression.
Les différences se trouvent au niveau du coefficient de forme (φ(α)), de la façon d'estimer
la hauteur de ruissellement (Ru) et du temps de montée ou de concentration. La méthode
rationnelle correspond à un coefficient de forme de 1, alors que la méthode de
l'hydrogramme triangulaire ou unitaire du SCS correspond à un coefficient de forme de
0,75. La méthode rationnelle s'accommode de différentes méthodes d'estimation du temps
de concentration et utilise une hauteur de ruissellement (Hru) proportionnelle à la
précipitation avec un coefficient de ruissellement. La méthode du SCS propose des
méthodes pour estimer la hauteur de ruissellement et le temps de concentration. Toutes ces
méthodes reposent sur l'hypothèse qu'une bonne estimation de la hauteur de ruissellement
et du temps de concentration produiront une bonne estimation du débit de crue.
Les prédictions des débits de crue font ainsi appel aux paramètres hydrologiques (𝐻𝑟𝑢, 𝑡𝑝,
Φ(α)) déterminés par les méthodes décrites précédemment. La validation repose sur
l'hypothèse que pour un bassin versant donné, la précipitation de récurrence associée à la
durée prédite du temps de montée d’un bassin versant, de même que la hauteur prédite de
ruissellement proposé sur la base des résultats de cette étude devraient permettre de prédire
le débit de pointe observé pour cette récurrence.
54
Pour cette validation, les bassins versants ayant plus de deux ans de données (huit bassins)
ont été retenus. Pour chaque bassin versant, les débits maximum observés (Qmax) de
ruissellement de chaque année ont été identifiés pour générer des séries annuelles. Pour
chaque série, les données ont été ordonnées, et les fréquences de dépassement, de même
que les récurrences ont été calculées. Par la suite, les débits maximum de deux et cinq ans
de récurrence ont été déterminés, en recourant au besoin à l’interpolation des débits
maximum pour des récurrences autres que 2 et 5 ans.
En support aux prédictions des débits de pointe, les courbes IDF des stations de Vallée-
Jonction (Fourchette, Binet et Turmel) et de Granby (Castor, Ewing et Walbridge) ont été
utilisées afin de générer les précipitations de récurrences de 2 et 5 ans pour les durées
prédites du temps de montée de chacun des bassins versants à l’étude.
De façon à mieux refléter les valeurs extrêmes de débits, les courbes enveloppes de la
hauteur de ruissellement ont été utilisées en remplacement des courbes moyennes dans le
modèle de prédiction de la hauteur de ruissellement
Les débits de crue prédits (Qmax prédits) ont été comparés par la méthode des ratios avec
les débits de crue observés (Qmax observés) et des analyses statistiques (détermination du
nombre d'événements (N), de la moyenne (µ), de l’écart type (s), du coefficient de variation
(Cv) et du coefficient de corrélation (R2)) ont également été effectuées avec les ratios
(Qmax predit Qmax observé)� afin d’identifier celles qui prédisent le mieux le débit de
crue avec variance la plus faible.
55
5 RÉSULTATS ET ANALYSE
Cette section traite successivement des résultats des analyses hydrologiques réalisées sur
les observations hydrométriques colligées aux exutoires des douze bassins versants à
l’étude de même que de la performance des différents modèles et approches retenus dans la
prédiction des hauteurs de ruissellement, des temps de montée, du paramètre de forme des
hydrogrammes et des débits de pointe.
5.1 Donnes analysées
L’analyse de plus de 784 hydrogrammes distincts a été supportée par le logiciel VisuHydro
développé spécifiquement pour les besoins du projet (Lagacé, 2012b). Le tableau 8 présente
un résumé du nombre d'hydrogrammes analysés selon leur type ainsi que la quantité
d'années de données analysées pour chacun des bassins versants à l’étude.
Tableau 8. Nombre d’hydrogrammes analysés par type d’hydrogramme.
Bassin versant Années
analysées
Type d’hydrogramme Total par
bassin Simple
R Simple
NR Unitaire Complexe Multi-pics Problème
Au Castor 4,7 31 10 35 26 6 108 Binet 2,8 36 0 11 8 4 59 Esturgeon Branche 21 1,9 18 0 13 13 1 45 Ewing 4,6 31 3 35 12 12 93 Fourchette Amont 6,0 32 3 37 24 2 98 Fourchette Aval 3,0 15 0 1 18 15 4 53 Petite rivière Savane 1,9 4 0 8 9 5 26 Ruisseau Brook 1,3 11 0 13 12 5 41 Ruisseau Cass 1,3 8 0 13 6 5 32 Turmel 2,8 27 1 14 5 5 52 Walbridge Amont 4,6 23 2 39 26 6 96 Walbridge Aval 4,6 19 1 31 22 8 81
Total 39,6 255 20 1 267 178 63 784
Simple R : type d’hydrogramme simple avec montée régulière
Simple NR : type d’hydrogramme simple avec montée non-régulière
56
Près de 39,6 années de données de débits et de précipitations ont été utilisées pour les
analyses hydrologiques, avec 1,3 années de données pour les bassins versants des ruisseaux
Brook et Cass et jusqu’à 6 années de données pour le bassin versant Fourchette Amont.
Un total 256 hydrogrammes (255 classifiés de type simple avec une montée régulière et 1
hydrogramme classifiée de type unitaire) ont été utilisés dans l'analyse des temps de montée
�𝑡𝑝� et du coefficient de forme de l’hydrogramme (Φ(α)). Un total 721 hydrogrammes
classifiés de types simple (275), unitaire (1), complexe (267) et multi-pics (178) avec des
montées régulière et non-régulières ont été utilisés dans l’estimation des hauteurs de
ruissellement (𝐻𝑟𝑢).
Les hydrogrammes en période de fonte des neiges ou ayant des périodes de temps sans
données de précipitations ou de débits, ainsi que les hydrogrammes avec un coefficient de
ruissellement supérieur à 1 (liés à la fonte des neiges) ont été classés comme ayant un
problème (63 hydrogrammes de type à problème au total), et n'ont pas été utilisés pour les
analyses hydrologiques.
5.2 Estimation de temps montée (tp)
L’étude des temps de montée (observés) et des temps de concentration (modélisés) s’est
appuyée sur l’analyse hydrologique de 256 hydrogrammes classifiés de types simple ou
unitaire avec une montée régulière, lesquels ont été colligés aux exutoires des douze bassins
versants à l’étude.
Le tableau 9 présente un sommaire des résultats des temps de montée observés, déduits
directement des hydrogrammes, de même que les valeurs calculées utilisant la fonction de
probabilité Gamma avec les méthodes des moments et des moindres carrés. Ces résultats
ont été obtenus à l’aide du logiciel VisuHydro.
Les valeurs moyennes des temps de montée observés varient de 2,81 heures à 10,32 heures
avec un coefficient de variation (Cv) variant de 0,21 à 0,68 (moyenne de 0,45). Compte
tenu que le temps de montée peut être influencé par de nombreux facteurs, un coefficient de
57
variation de l'ordre de 50% est jugé acceptable. Il est par ailleurs observé que le calcul des
temps de montée par la méthode des moments est généralement peu valide, produisant des
valeurs de plus du double par rapport aux valeurs observées. La méthode des moindres
carrés (LSQ) produit en moyenne des valeurs 2,5 % supérieures aux temps de montée
observés. Pour les besoins de cette étude, les observations directes des temps de montée
observés ont été retenues en support aux calculs de prédiction hydrologique abordés
subséquemment.
Tableau 9. Sommaire des temps de montée tp (h).
# Bassin versant N
𝒕𝒑 (h) - Méthodes d'estimation des paramètres
Observé Moments LSQ_1_tp LSQ_2_tp
µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E
1 Au Castor 31 6,54 2,45 0,38 0,94 14,13 10,71 0,76 0,95 6,26 3,68 0,59 0,99 6,18 4,07 0,66 0,99
2 Binet 36 6,41 4,09 0,64 0,89 11,79 10,94 0,93 0,94 5,73 5,28 0,92 0,98 5,57 5,01 0,90 0,98
3 Esturgeon Branche 21 18 6,49 3,06 0,47 0,96 17,52 14,17 0,81 0,94 8,35 10,03 1,20 0,99 8,23 9,86 1,20 0,99
4 Ewing 31 9,53 4,52 0,47 0,95 20,29 14,99 0,74 0,97 10,24 6,80 0,66 0,99 10,01 6,37 0,64 0,99
5 Fourchette Amont 32 5,20 2,51 0,48 0,91 10,02 5,82 0,58 0,94 4,79 4,11 0,86 0,98 4,72 4,21 0,89 0,98
6 Fourchette Aval 16 2,81 1,48 0,53 0,90 6,95 6,53 0,94 0,94 2,81 1,95 0,69 0,98 2,76 2,02 0,73 0,98
7 Petite rivière Savane 4 7,93 5,35 0,68 0,93 15,94 10,53 0,66 0,91 8,17 5,49 0,67 0,98 7,85 5,23 0,67 0,98
8 Ruisseau Brook 11 4,64 2,39 0,52 0,92 11,31 5,50 0,49 0,91 4,27 2,58 0,61 0,98 4,23 2,47 0,58 0,98
9 Ruisseau Cass 8 9,19 1,90 0,21 0,95 28,81 9,43 0,33 0,96 12,54 4,39 0,35 0,98 12,55 4,27 0,34 0,98
10 Turmel 27 3,93 1,95 0,50 0,92 9,71 7,68 0,79 0,91 3,56 2,37 0,66 0,98 3,49 2,40 0,69 0,98
11 Walbridge Amont 23 7,04 2,13 0,30 0,94 14,51 6,84 0,47 0,96 6,92 3,62 0,52 0,99 6,73 3,47 0,52 0,99
12 Walbridge Aval 19 10,32 2,90 0,28 0,94 17,61 4,41 0,25 0,96 9,19 2,12 0,23 0,99 8,93 2,12 0,24 0,99
Moyenne 6,67 2,90 0,45 0,93 14,88 8,96 0,65 0,94 6,90 4,37 0,66 0,98 6,77 4,29 0,67 0,99
Valeur minimum 2,81 1,48 0,21 0,89 6,95 4,41 0,25 0,91 2,81 1,95 0,23 0,98 2,76 2,02 0,24 0,98
Valeur maximum 10,32 5,35 0,68 0,96 28,81 14,99 0,94 0,97 12,54 10,03 1,20 0,99 12,55 9,86 1,20 0,99
N = nombre d'événements
µ = moyenne
σ = écart type
Cv = coefficient de variation
E = coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe
Moment : valeurs obtenues par la méthode des moments pour la fdp Gamma à trois paramètres
LSQ_1tp et LSQ_2tp: valeurs obtenues en lissant la fdp Gamma à trois paramètres par la méthode
des moindres carrés, du début du ruissellement à 1 (𝑡𝑝) et à 2 (𝑡𝑝) après le débit de pointe
respectivement.
58
La validation des méthodes prédictives des réponses hydrologiques dans le cadre de la
présente étude a nécessité la caractérisation spatiale de plusieurs propriétés des bassins
versants, incluant la division et la caractérisation des segments de cours d’eau en fonction
des confluences, du relief, du parcours d’écoulement, et des nœuds d’entrée et de sortie du
chevelu hydrographique. L’intersection spatiale des polygones représentatifs de l’utilisation
du sol et des groupes hydrologiques de sols ont permis la division du territoire des bassins
versants en unités de réponses hydrologiques (URH) distinctes. Un numéro de courbe (CN)
a par la suite été attribué à chacune des URH en fonction de la série de sol et de son
utilisation, témoignant conceptuellement de leur capacité d’infiltration de l’eau dans le sol.
Ce concept permet de lier les propriétés des bassins versants à leurs réponses
hydrologiques, notamment lors de la modélisation des temps de montée des hydrogrammes
ou des hauteurs de ruissellement.
La génération des données géospatiales pour l’ensemble des douze bassins versants a été
réalisée par l'institut de recherche et de développement en agroenvironnement IRDA à
l’aide d’un système d’information géographique (SIG) lequel a permis de définir les
différents tronçons (longueur, pente et tronçon receveur) du réseau d'écoulement, tel que
présenté aux annexes 3 à 14. Ces définitions permettent de calculer la longueur
d'écoulement et la pente moyenne de l'écoulement selon trois méthodes (pente simple, 85-
10 et hydraulique). Ces paramètres sont nécessaires lors du calcul du temps de montée ou
de concentration. Une moyenne pondérée des valeurs de CN en fonction des superficies des
URH a été calculée afin d’identifier un numéro de courbe moyen par bassin versant.
Aux fins de cette étude, les valeurs des paramètres de longueur d'écoulement (L) et de
pente d'écoulement (S) qui ont produit les plus grandes valeurs de temps de concentration
(𝑡𝐶) pour les différentes méthodes évaluées (Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-
Williams) ont été retenues, lesquelles ont généralement été obtenues par la méthode 85-10.
Pour chacun des bassins versants à l’étude, le tableau 10 présente les différents paramètres
requis: aire (A), longueur d'écoulement (L), pente moyenne (S), numéro de courbe (CN)
moyens de types II et III ainsi que les temps de concentration (𝑡𝑐) obtenus à partir des
diverses méthodes retenues dans l’étude, soit Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-
Williams. Les temps de montée observés sont aussi présentés.
59
Tableau 10. Sommaire de l’estimation des temps de concentration Tc (h).
# Bassin N Tp.Obs
(h) CN_2 CN_3 Aire (ha) L (m)
Pente (m/m)
Tc estimés (h)
BW Kirp Lag2 Lag3 Moc2 Moc3
1 Au Castor 31 6,54 78 90 1228 7418 0,0013 5,20 4,01 20,07 13,25 15,58 5,79
2 Binet 36 6,41 73 87 483 1892 0,0046 1,13 0,86 4,13 2,65 3,92 1,36
3 Esturgeon Branche 21 18 6,49 82 92 231 3977 0,0012 3,35 2,56 11,20 7,69 7,31 2,99
4 Ewing 31 9,53 78 90 278*2 12957 0,0014 8,25 5,99 30,22 19,95 23,46 8,71
5 Fourchette Amont 32 5,20 73 87 250 3973 0,0052 2,48 1,45 7,04 4,52 6,68 2,32
6 Fourchette Aval 16 2,81 56 75 192 2241 0,0066 1,37 0,85 6,16 3,73 10,81 3,28
7 Petite rivière Savane 4 7,93 76 89 1519 8133 0,0162 3,37 1,63 6,49 4,27 5,47 2,02
8 Ruisseau Brook 11 4,64 65 82 714 4328 0,0139 2,00 1,06 5,71 3,52 7,30 2,30
9 Ruisseau Cass 8 9,19 63 80 618 5072 0,0187 2,24 1,07 5,89 3,63 8,08 2,54
10 Turmel 27 3,93 73 87 530 3952 0,0203 1,74 0,86 3,55 2,28 3,37 1,17
11 Walbridge_ Amont 23 7,04 77 89 631 3361 0,0037 2,04 1,46 6,51 4,34 5,26 2,00
12 Walbridge Aval 19 10,32 79 90 794 6504 0,0026 4,15 2,78 12,39 8,43 9,22 3,68
Moyenne 6,67 73 87 831 5317 0,0080 3,11 2,05 9,95 6,52 8,87 3,18
Valeur minimum 2,81 56 75 192 1892 0,0012 1,13 0,85 3,55 2,28 3,37 1,17
Valeur maximum 10,32 82 92 2782 12957 0,0203 8,25 5,99 30,22 19,95 23,46 8,71
N = nombre d'événements
µ = moyenne
σ = écart type
Cv = coefficient de variation
L = longueur d’écoulement
CN_2 et CN_3 = numéro de courbe de types II et III
BW = méthode de Bransby-Williams
Kirp = méthode de Kirpich
Lag2 et Lag3 = méthode SCS Lag avec CN de types II et III
Moc2 et Moc3 = méthode de Mockus avec CN de types II et III
Puisque les temps de montée et de concentration sont différents d'un bassin versant à
l'autre, le tableau 11 présente le ratio 𝑡𝑐/𝑡𝑝 pour les différentes méthodes et chacun des
bassins versants. Un ratio se rapprochant de 1 signifie une bonne prédiction.
60
Tableau 11. Sommaire des ratios entre les temps de montée observés et les temps de
concentration estimés.
# Bassin versant Ratio 𝒕𝒄/𝒕𝒑
BW Kirp Lag2 Lag3 Moc2 Moc3
1 Au Castor 0,80 0,61 3,07 2,03 2,38 0,88
2 Binet 0,18 0,13 0,65 0,41 0,61 0,21
3 Esturgeon Branche 21 0,52 0,39 1,72 1,18 1,13 0,46
4 Ewing 0,87 0,63 3,17 2,09 2,46 0,91
5 Fourchette Amont 0,48 0,28 1,35 0,87 1,28 0,45
6 Fourchette Aval 0,49 0,30 2,19 1,33 3,84 1,16
7 Petite rivière Savane 0,43 0,21 0,82 0,54 0,69 0,25
8 Ruisseau Brook 0,43 0,23 1,23 0,76 1,57 0,50
9 Ruisseau Cass 0,24 0,12 0,64 0,39 0,88 0,28
10 Turmel 0,44 0,22 0,90 0,58 0,86 0,30
11 Walbridge Amont 0,29 0,21 0,92 0,62 0,75 0,28
12 Walbridge Aval 0,40 0,27 1,20 0,82 0,89 0,36
Moyenne 0,46 0,30 1,49 0,97 1,45 0,50
Écart type 0,20 0,17 0,88 0,58 0,98 0,31
Valeur maximum 0,87 0,63 3,17 2,09 3,84 1,16
Valeur minimum 0,18 0,12 0,64 0,39 0,61 0,21
Coefficient de variation 0,43 0,56 0,59 0,60 0,68 0,62
Coefficient de détermination R2 0,35 0,29 0,23 0,25 0,12 0,17
BW = méthode de Bransby-Williams
Kirp = méthode de Kirpich
Lag2 et Lag3 = méthode SCS Lag avec CN de types II et III
Moc2 et Moc3 = méthode de Mockus avec CN de types II et III
La méthode de SCS–Lag avec un CN de type III présente en moyenne le ratio le plus près
de l’unité (0,97), mais montre un très faible coefficient de détermination (R2 = 0,25). La
méthode de Bransby-Williams présente le meilleur coefficient de détermination (R2 = 0,35),
mais un ratio moyen de 0,46. Il faudrait donc multiplier le résultat de Bransby-Williams par
2,2 pour obtenir une bonne estimation du temps de montée. Globalement, aucune des
61
méthodes de détermination du temps de concentration étudiées ne permet d'estimer
correctement le temps de montée. Les corrélations (R2) entre les temps de montée observés
et les temps de concentration prédits par les différentes méthodes demeurent relativement
faibles. Les méthodes de Mockus et SCS Lag qui incluent un facteur d'utilisation du sol
(CN) offrent une performance en deçà des méthodes plus simples comme Kirpich et
Bransby-Williams. Il faut signaler que les calculs ont été effectués avec données
géospatiales et qu'aucun relevé sur le terrain n'a été effectué en ce qui concerne les
longueurs d'écoulement et des pentes. Les résultats sont donc fonction de la précision des
données geospatiales disponibles.
Devant ce constat, une approche de régression a été retenue dans la recherche d’une
méthode alternative de prédiction du temps de montée sur la base des descripteurs
physiques des bassins versants à l’étude. Le tableau 12 présente la matrice de corrélation de
Pearson établie entre les temps de montée observés et les différents paramètres
généralement considérés (longueur d'écoulement (L), numéro de courbe (CN), pente (S) et
aire du bassin versant (A)). Les paramètres de longueur d'écoulement, d’aire et les CN
démontrent une bonne corrélation avec le temps de montée. Ces paramètres montrent une
corrélation variant de 0,62 (longueur) à -0,28 (pente). Les CN de types II et III sont
fortement corrélés entre eux. Les CN de type II ont été retenus de préférence aux CN de
type III.
Tableau 12. Matrice des coefficients de corrélation des temps de montée (tp) observés
avec les paramètres descriptifs des bassins versants.
Corrélations 𝐭𝐩 obs L A CN_2 CN_3 S 𝒕𝒑 obs 1 L 0,620 1 A 0,577 0,932 1 CN_2 0,494 0,405 0,344 1 CN_3 0,486 0,412 0,357 0,997 1 S -0,284 -0,281 -0,258 -0,555 -0,518 1
𝒕𝒑 obs = temps de montée observé
L = longueur d’écoulement
A = aire bassin versant
CN_2 = numéro de courbe de type II
CN_3 = numéro de courbe de type III
S = pente d’écoulement
62
Considérant que les différents modèles de détermination du temps de concentration sont
généralement exprimés sous la forme suivante :
Temps de concentration 𝑻𝒄 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 ∗ 𝑺𝒅 [90]
Quatre modèles de régression expliquant les temps de montée observés sur la base des
descripteurs physiques des bassins versants ont été évalués, nommément :
Modèle 𝒕𝒑-M1 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 [91]
Modèle 𝒕𝒑-M2 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 [92]
Modèle 𝒕𝒑-M3 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 ∗ 𝑺𝒅 [93]
Modèle 𝒕𝒑-M4 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 ∗ 𝑺𝒅 ∗ 𝑨𝒆 [94]
Où
- 𝑡𝑝 = temps de montée (h)
- L = longueur d'écoulement (m)
- S = pente d'écoulement (m/m)
- CN = numéro de courbe
- A = aire du bassin versant
Le tableau 13 présente l’analyse d’ANOVA. La somme des carrés (SC) est de type 1 et elle
représente le gain de l’addition du paramètre.
Dans l’ensemble, les quatre paramètres descriptifs des bassins versants (longueur
d’écoulement (L), numéro de courbe (CN), pente d’écoulement (S) et aire du bassin versant
(A)) expliquent 60.% de la variation du temps de montée observé �𝑡𝑝�(prob < 0,05). La
longueur d'écoulement (L), le numéro de courbe (CN) et l’aire du bassin (A) ont démontré
le meilleur pouvoir explicatif statistique du temps de montée alors que la contribution de la
pente d'écoulement (S) n'est significative qu'au taux de probabilité de 5,5%. Les
coefficients de déterminations des modèles avec les temps de montée (tableau 14) sont tous
63
les quatre supérieurs à ceux établis avec les méthodes de prédiction initialement évaluées
(Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-Williams).
Tableau 13. ANOVA - temps de montée observé (tp).
Source de variation DL SC MC F Signification
de F
Signification
de F
Bassins versants 11 33,5891 3,0536 10,9717 2,0E-16 < 0,01
L 1 10,0534 10,0534 36,1228 6,7E-09 < 0,01
CN 1 6,9373 6,9373 24,9263 1,1E-06 < 0,01
S 1 1,0322 1,0322 3,7087 0,055 0,055
A 1 2,1463 2,1463 7,7117 5,9E-03 < 0,01
Non concordance 7 13,4199 1,9171 6,8884 1,8E-07 < 0,01
Résidu 244 67,9081 0,2783
DL = degrés de liberté
SC = somme de carrés
MC = moyenne des carrés
F = test de Ficher
L = longueur d’écoulement
CN = numéro de courbe de type II
S = pente d’écoulement
A = aire du bassin versant
Le tableau 13 illustre que la non concordance des modèles est significative, ce qui
démontre qu’une partie de la variation relative aux bassins versants n’est pas expliquée.
Les temps de montée prédits par les quatre nouveaux modèles de régression et les ratios
(𝑡𝑝 prédit /𝑡𝑝 observé) sont présentés au tableau 14. Le modèle de régression 𝑡𝑝-M4 est
retenu et proposé dans l’estimation du temps de montée en alternative aux méthodes
« traditionnelles », compte tenu de sa meilleure corrélation avec les temps de montée
observés (R2 = 0,46).
Modèle 𝒕𝒑-M1 𝒕𝒑 = −𝟏,𝟐𝟕𝟕 𝑳𝟕,𝟕𝟕𝟐 [95]
Modèle 𝒕𝒑-M2 𝒕𝒑 = −𝟏,𝟏𝟕𝟏 𝑳𝟕,𝟏𝟏𝟕𝑪𝑪𝟏,𝟏𝟕𝟏 [96]
Modèle 𝒕𝒑-M3 𝒕𝒑 = −𝟏,𝟕𝟕𝟕 𝑳𝟕,𝟏𝟏𝟏𝑪𝑪𝟏,𝟏𝟖𝟖 𝑺𝟕,𝟕𝟕𝟕 [97]
64
Modèle 𝒕𝒑-M4 𝒕𝒑 = −𝟓,𝟕𝟕𝟕 𝑳𝟕,𝟏𝟏𝟕 𝑪𝑪𝟏,𝟐𝟕𝟐 𝟏/𝑺𝑶,𝟕𝟏𝟏𝑨𝟕,𝟏𝟏𝟏 [98]
Où :
- 𝑡𝑝 = temps de montée (h)
- L = longueur d'écoulement (m)
- S = pente d'écoulement (m/m)
- CN = numéro de courbe
- A = aire du bassin versant
Tableau 14. Estimation du temps de montée avec les méthodes alternatives.
# Bassin N 𝒕𝒑
Obs (h)
CN Aire (ha) L (m) Pente
(m/m)
Prédiction de 𝒕𝒑 par les modèles M1 a M4
Ratio 𝒕𝒑 prédit/ 𝒕𝒑 observé
M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4
1 Au Castor 31 6,54 78 1228 7418 0,0013 7,71 8,04 7,99 8,29 1,18 1,23 1,22 1,27
2 Binet 36 6,41 73 483 1892 0,0046 4,21 4,77 4,77 5,42 0,66 0,75 0,75 0,85
3 Esturgeon Branche 21 18 6,49 82 231 3977 0,0012 5,85 7,06 7,02 6,22 0,90 1,09 1,08 0,96
4 Ewing 31 9,53 78 2782 12957 0,0014 9,87 9,60 9,53 10,16 1,04 1,01 1,00 1,07
5 Fourchette Amont 32 5,20 73 250 3973 0,0052 5,85 6,04 6,04 5,36 1,12 1,16 1,16 1,03
6 Fourchette Aval 16 2,81 56 192 2241 0,0066 4,54 3,52 3,49 3,42 1,61 1,25 1,24 1,21
7 Petite rivière Savane 4 7,93 76 1519 8133 0,0162 8,03 8,00 8,09 8,17 1,01 1,01 1,02 1,03
8 Ruisseau Brook 11 4,64 65 714 4328 0,0139 6,08 5,31 5,32 5,49 1,31 1,14 1,15 1,18
9 Ruisseau Cass 8 9,19 63 618 5072 0,0187 6,52 5,35 5,37 5,25 0,71 0,58 0,58 0,57
10 Turmel 27 3,93 73 530 3952 0,0203 5,84 6,03 6,09 5,96 1,49 1,53 1,55 1,52
11 Walbridge Amont 23 7,04 77 631 3361 0,0037 5,43 6,15 6,15 6,53 0,77 0,87 0,87 0,93
12 Walbridge Aval 19 10,32 79 794 6504 0,0026 7,28 7,85 7,84 7,66 0,71 0,76 0,76 0,74
Moyenne 6,67 72 831 5317,3 0,0080 6,43 6,48 6,48 6,50 1,04 1,03 1,03 1,03
Écart type 2,30 7,6 730 3070 0,0072 1,58 1,69 1,68 1,80 0,31 0,26 0,26 0,25
Maximum 10,32 82 2782 12957 0,0203 9,87 9,60 9,53 10,16 1,61 1,53 1,55 1,52
Minimum 2,81 56 192 1892 0,0012 4,21 3,52 3,49 3,42 0,66 0,58 0,58 0,57
Coefficient de variation 0,35 0,11 0,88 0,58 0,9038 0,25 0,26 0,26 0,28 0,30 0,25 0,26 0,24
Coefficient de détermination R2 0,42 0,45 0,45 0,46
Coefficient de corrélation r 0,64 0,67 0,67 0,68 N = nombre d'événements
𝒕𝒑 obs = temps de montée observé
CN = numéro de courbe de type II
A = aire du bassin versant
L = longueur d’écoulement
S = pente d’écoulement
65
La figure 10 montre la corrélation entre le temps de montée prédit et le temps de montée
observé pour le modèle de régression 𝑡𝑝-M4 (équation [98]).
5.3 Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)]
Le tableau 15 présente un sommaire des coefficients de forme estimés dans le cadre du
présent projet pour les 256 hydrogrammes classifiés de type simple ou unitaire,
représentatifs des douze bassins versants étudiés. La méthode « directe ou 𝑞𝑝 𝑡𝑝 » (φ(α) =
𝑞𝑝 𝑡𝑝) utilisant les temps de montée (𝑡𝑝) et les débits unitaires de pointe (𝑞𝑝) observés et
qui est utilisée par Fang et al. (2005) a été retenue comme méthode d’estimation du
coefficient de forme, car elle utilise les temps de montée (𝑡𝑝) et des débits unitaires de
pointe (𝑞𝑝) observés sans nécessiter l’estimation des paramètres de la fonction Gamma.
Le coefficient de forme moyen est de 0,79 pour l’ensemble des hydrogrammes des bassins
versants à l’étude, avec un écart type de 0,21. La plus petite valeur est de 0,64 pour le
R² = 0,46
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
tp p
rédi
t
tp observé
Prédiction de tp
𝒕𝒑 = −𝟓,𝟕𝟕𝟕 𝑳𝟕 ,𝟏𝟏𝟕 𝑪𝑪𝟏,𝟐𝟕𝟐 𝟏/𝑺𝟕,𝟕𝟏𝟏𝑨𝟕,𝟏𝟏𝟏
Figure 10. Prédiction de tp par le modèle 𝒕𝒑-M4.
66
bassin Esturgeon Branche 21 et la plus grande valeur est de 0,95 pour le bassin du ruisseau
Cass.
Tableau 15. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)].
# Bassin versant N
Méthodes d'estimation des paramètres
Observé Moments LSQ_1_tp LSQ_2_tp
µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E
1 Au Castor 31 0,70 0,11 0,16 0,94 1,39 0,59 0,42 0,95 0,64 0,18 0,29 0,99 0,62 0,19 0,31 0,99
2 Binet 36 0,80 0,25 0,31 0,89 1,29 0,59 0,46 0,94 0,65 0,31 0,47 0,98 0,63 0,29 0,46 0,98
3 Esturgeon Branche 21 18 0,64 0,17 0,26 0,96 1,66 0,97 0,58 0,94 0,75 0,55 0,74 0,99 0,73 0,54 0,74 0,99
4 Ewing 31 0,85 0,23 0,28 0,95 1,69 0,77 0,45 0,97 0,87 0,39 0,45 0,99 0,86 0,40 0,46 0,99
5 Fourchette Amont 32 0,88 0,22 0,25 0,91 1,59 0,74 0,46 0,94 0,76 0,56 0,74 0,98 0,74 0,55 0,74 0,98
6 Fourchette Aval 16 0,83 0,17 0,20 0,90 1,66 0,97 0,58 0,94 0,74 0,26 0,35 0,98 0,71 0,23 0,33 0,98
7 Petite rivière Savane 4 0,75 0,20 0,27 0,93 1,16 0,33 0,29 0,91 0,84 0,40 0,47 0,98 0,81 0,40 0,50 0,98
8 Ruisseau Brook 11 0,67 0,17 0,25 0,92 1,64 0,83 0,51 0,91 0,59 0,24 0,41 0,98 0,58 0,24 0,41 0,98
9 Ruisseau Cass 8 0,95 0,33 0,35 0,95 2,71 0,98 0,36 0,96 1,24 0,70 0,57 0,98 1,24 0,70 0,56 0,98
10 Turmel 27 0,67 0,22 0,32 0,92 1,45 0,85 0,59 0,91 0,56 0,25 0,44 0,98 0,54 0,25 0,46 0,98
11 Walbridge Amont 23 0,85 0,20 0,23 0,94 1,64 0,82 0,50 0,96 0,82 0,51 0,62 0,99 0,79 0,49 0,62 0,99
12 Walbridge Aval 19 0,86 0,19 0,22 0,94 1,40 0,35 0,25 0,96 0,76 0,20 0,27 0,99 0,74 0,21 0,28 0,99
Moyenne 0,79 0,21 0,26 0,93 1,61 0,73 0,46 0,94 0,77 0,38 0,48 0,98 0,75 0,37 0,49 0,99
Valeur minimum 0,64 0,11 0,16 0,89 1,16 0,33 0,25 0,91 0,56 0,18 0,27 0,98 0,54 0,19 0,28 0,98
Valeur maximum 0,95 0,33 0,35 0,96 2,71 0,98 0,59 0,97 1,24 0,70 0,74 0,99 1,24 0,70 0,74 0,99
N = Nombre d'événements
µ = Moyenne
σ = Écart type
Cv = Coefficient de variation
E = Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe
Observé : valeurs mesurées directement des hydrogrammes.
Moment : valeurs obtenues par la méthode des moments pour la fonction de probabilité Gamma.
LSQ_1tp et LSQ_2tp: valeurs obtenues en lissant la fonction de probabilité Gamma par la méthode
des moindres carrés du début du ruissellement à 1 𝑡𝑝et à 2 𝑡𝑝 après le débit de pointe
respectivement.
À titre de comparaison, Fang et al. (2005), dans une étude réalisée au Texas sur 90 bassins
versants avec 1600 évènements, ont déterminé un coefficient de forme de 0,57 avec un
67
écart type de 0,12. Ils n'ont cependant pas pu établir de relations avec les caractéristiques
des bassins versants à l’étude.
Il faut aussi savoir que la méthode rationnelle correspond à un coefficient de forme de 1,00
alors que la méthode de l'hydrogramme triangulaire ou unitaire du SCS correspond à un
coefficient de forme de 0,75. Théoriquement, les bassins versants avec une topographie
accidentée devraient avoir des coefficients de forme plus grands que les bassins versants
possédant une plaine inondable importante. Selon le NRCS (2007), le coefficient de forme
pourrait varier de 0,23 à 0,93.
Le tableau 16 montre l’effet significatif des bassins versants sur le coefficient de forme de
l’hydrogramme (φ(α)) (p < 0,001).
Tableau 16. ANOVA – effet du bassin versant sur le coefficient de forme de
l’hydrogramme [φ(α)].
Source de variation DL SC MC F Signification de F
Signification de F
Bassin versant 11 1,994 0,181 4,228 9,50E-06 < 0,001 Résidu 244 10,463 0,043
DL = degrés de liberté
SC = somme de carrés
MC = moyenne carrés
F = test de Ficher
Le tableau 17 présente la matrice de corrélation de Pearson établie entre les coefficients de
forme de l’hydrogramme et les descripteurs physiques des bassins versants à l’étude (temps
de montée (𝑡𝑝) observé, numéro de courbe (CN), aire du bassin versant (A), longueur
d'écoulement (L) et pente (S)). Le temps de montée (𝑡𝑝) observé, montre la meilleure
corrélation avec le coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)). Les paramètres analysés
montrent une corrélation variant de 0,44 (𝑡𝑝) à -0,03 (S).
68
Tableau 17. Matrice des coefficients de corrélation du coefficient de forme de
l’hydrogramme [φ(α)] observé avec les paramètres descriptifs des bassins versants.
Corrélations φ(α) 𝒕𝒑 𝒐𝒃𝒔 CN A L S
φ(α) 1
𝑡𝑝 𝑜𝑏𝑠 0,440 1
CN -0,286 0,494 1
A 0,120 0,577 0,344 1
L 0,112 0,620 0,405 0,932 1
Pente -0,030 -0,284 -0,555 -0,258 -0,281 1
φ(α) : coefficient de forme de l’hydrogramme
𝒕𝒑 𝒐𝒃𝒔 : temps de montée
CN : numéro de courbe de type II
A : aire du bassin versant
L : longueur d'écoulement
S : pente de l'écoulement
Une régression a été par la suite effectuée entre le coefficient de forme de l’hydrogramme
(φ(α)) et les descripteurs physiques des bassins versants à l’étude (tableau 18).
Tableau 18. ANOVA - coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)).
Source de variation DL SC MC F Signification de F
Signification de F
𝑡𝑝 observé 1 0,331 0,331 7,711 0,006 < 0,01 CN II 1 0,590 0,590 13,754 2,58E-04 < 0,01 S 1 0,095 0,095 2,217 0,138 A 1 0,041 0,041 0,950 0,331 L 1 0,001 0,001 0,030 0,863 Non concordance 6 0,937 0,156 3,640 0,002 < 0,01 Résiduel 244 10,463 0,043
DL = degrés de liberté
SC = somme de carrés
MC = moyenne carrés
F = test de Ficher
BV = bassin versant
𝒕𝒑 = temps de montée observé
L = longueur d’écoulement
CN = numéro de courbe de type II
S = pente
A = aire bassin versant
69
Dans l’ensemble, le temps de montée observé �𝑡𝑝� et le numéro de courbe (CN) expliquent
46 % de la variation du coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)) (prob < 0,05). Une
partie de la variation relative aux bassins versant n’est pas expliquée et se reflète par une
non concordance significative.
Les coefficients de forme de l’hydrogramme (φ(α)) prédits par les deux nouveaux modèles
de régression (φ(α)-M1 et φ(α)-M2) et les ratios (φ(α) prédit / φ(α) observé) sont
présentés au tableau 19. Le modèle de régression φ(α)-M2 est retenu et proposé dans
l’estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme compte tenu de sa meilleure
corrélation avec le coefficient de forme de l’hydrogramme (R2 = 0,56) (figure 11).
Modèle 𝛗(𝛂)-M1 𝛗(𝛂) = 𝟕,𝟏𝟕𝟓 + 𝟕,𝟕𝟏𝟕 𝒕𝒑 [99]
Modèle 𝛗(𝛂)-M2 𝛗(𝛂) = 𝟏,𝟐𝟏𝟕 + 𝟕,𝟕𝟏𝟏 𝒕𝒑 − 𝟕,𝟕𝟕𝟐 𝑪𝑪 [100]
Où
φ(α) = coefficient de forme de l’hydrogramme
𝑡𝑝 = temps de montée (h)
CN = numéro de courbe
70
Tableau 19. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] avec les
modèles φ(α)-M1 (équation [99]) et φ(α)-M2 (équation [100]).
# Bassin N Valeurs observés Prédiction de φ(α)
par les modèles
Ratio φ(α) prédit/φ(α)
observé φ(α) 𝒕𝒑 (h) CN M1 M2 M1 M2
1 Au Castor 31 0,70 6,54 78 0,79 0,75 1,13 1,07 2 Binet 36 0,80 6,41 73 0,79 0,79 0,98 0,99 3 Esturgeon Branche 21 18 0,64 6,49 82 0,79 0,71 1,23 1,11 4 Ewing 31 0,85 9,53 78 0,84 0,85 0,99 1,00 5 Fourchette Amont 32 0,88 5,2 73 0,76 0,75 0,87 0,85 6 Fourchette Aval 16 0,83 2,81 56 0,72 0,83 0,87 1,00 7 Petite rivière Savane 4 0,75 7,93 76 0,81 0,81 1,08 1,09 8 Ruisseau Brook 11 0,67 4,64 65 0,76 0,81 1,13 1,21 9 Ruisseau Cass 8 0,95 9,19 63 0,83 0,98 0,88 1,03
10 Turmel 27 0,67 3,93 73 0,74 0,71 1,11 1,06 11 Walbridge Amont 23 0,85 7,04 77 0,80 0,78 0,94 0,91 12 Walbridge Aval 19 0,86 10,32 79 0,85 0,87 0,99 1,01 Moyenne 0,80 6,71 72 0,79 0,81 1,01 1,03 Écart type 0,11 2,54 8,26 0,04 0,08 0,12 0,10 Coefficient de variation Cv 0,13 0,38 0,11 0,06 0,10 0,12 0,10 Coefficient de détermination R2 0,20 0,52 Coefficient de corrélation r 0,45 0,72
N = nombre d'événements
φ(α) = coefficient de forme de l’hydrogramme
𝒕𝒑 = temps de montée observé
CN = numéro de courbe de type II
M1 et M2 = modèles de prédiction de φ(α) (équations [99] et [100])
La figure 11 montre la corrélation entre le coefficient de forme prédit et le coefficient de
forme observé pour le nouveau modèle de régression φ(α)-M2 (équation [100]) déterminé.
71
R² = 0,52
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
φ(α
) pr
édit
φ(α) observe
Prédiction de φ(α)
Figure 11. Prédiction de φ(α) par le modèle 𝛗(𝛂)-M2.
5.4 Estimation et prédiction des hauteurs de ruissellement
L’étude des relations entre les précipitations (Ppt) et les hauteurs de ruissellement (Hru)
générés aux exutoires des douze bassins versants à l’étude découle de l’analyse des
hydrogrammes réalisée à l’aide du logiciel VisuHydro. L’analyse préliminaire de
l’ensemble des données a d’abord permis de cerner l’influence de la hauteur de
précipitation sur la relation Hru:Ppt. Le tableau 20 décrit la distribution des précipitions,
des hauteurs de ruissellement et des coefficients de ruissellement (Cru) des 721
hydrogrammes analysés individuellement pour chacun des bassins versants à l’étude.
L’analyse de la distribution de l’ensemble des observations Hru a mis en relief une
distribution non normale des observations car l’erreur est proportionnelle à la hauteur de
précipitation. Cette situation est problématique dans la réalisation des analyses d’ANOVA.
En effet, le postulat de l’homogénéité de la variance n’est alors pas respecté et les résidus
du modèle de prédiction sont mal distribués. Afin de mieux respecter le postulat
d’hétérocédasticité propre à l’ANOVA, les variables Hru et Ppt ont été transformées sur
72
une base logarithmique, générant ainsi une distribution normale des observations et des
résidus des prédictions. L’erreur est alors proportionnelle à la hauteur de précipitations.
Dans ce contexte, les modèles de régression auront la forme suivante :
𝐥𝐧 (𝐇𝐫𝐮) = 𝒂 𝒍𝒏(𝑷𝒑𝒕) + 𝒃 [101]
Ce qui correspond au modèle physique suivant :
Modèle Hru-M1 𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒃 𝑷𝒑𝒕𝒂 [102]
Ainsi, la pente (« a ») du modèle de régression correspond à l’exposant de la précipitation
et l’ordonnée à l’origine du modèle de régression (la constante « b ») exprime le coefficient
de ruissellement (𝑒𝑏).
Tableau 20. Sommaire des hauteurs de précipitations et des hauteurs de ruissellement
et des coefficients de ruissellement.
# Bassin N Ppt (mm) Hru (mm) Cru
µ σ Min Max µ σ Min Max µ σ Min Max 1 Au Castor 102 20,1 16,2 3,4 80,7 4,9 5,3 0,2 26,6 0,26 0,20 0,01 0,82 2 Binet 54 21,6 13,4 6,0 64,6 5,8 7,3 0,4 43,5 0,24 0,17 0,03 0,76 3 Esturgeon Branche 21 44 25,1 17,6 6,2 82,8 6,2 5,6 0,4 27,2 0,26 0,15 0,02 0,63 4 Ewing 81 21,2 18,7 0,6 80,8 6,8 7,4 0,1 38,6 0,34 0,23 0,05 0,98 5 Fourchette Amont 96 27,5 18,4 3,3 120,7 6,0 6,4 0,4 33,2 0,23 0,17 0,01 0,84 6 Fourchette Aval 49 28,5 22,4 1,8 120,7 4,4 5,4 0,2 22,9 0,15 0,12 0,02 0,47 7 Petite rivière Savane 21 26,6 16,6 4,4 70,2 4,5 5,6 0,0 26,4 0,16 0,11 0,01 0,38 8 Ruisseau Brook 35 24,9 20,7 1,0 96,2 5,1 5,6 0,5 27,7 0,21 0,12 0,02 0,54 9 Ruisseau Cass 29 33,2 27,3 7,8 113,0 3,6 4,1 0,4 18,6 0,10 0,07 0,02 0,23 10 Turmel 47 25,3 28,9 4,6 193,0 4,8 5,4 0,3 31,0 0,23 0,19 0,02 0,90 11 Walbridge Amont 90 21,6 16,4 1,7 78,5 4,5 4,7 0,3 33,7 0,23 0,16 0,01 0,65 12 Walbridge Aval 73 23,5 18,8 2,6 78,5 6,6 8,1 0,2 40,5 0,28 0,20 0,03 0,97
Moyenne 24,9 19,6 3,6 98,3 5,3 5,9 0,3 30,8 0,22 0,16 0,02 0,68 Valeur minimum 20,1 13,4 0,6 64,6 3,6 4,1 0,0 18,6 0,10 0,07 0,01 0,23 Valeur maximum 33,2 28,9 7,8 193,0 6,8 8,1 0,5 43,5 0,34 0,23 0,05 0,98
N = nombre d'événements
µ = moyenne
σ = écart type
Min = valeur minimum
Max = valeur maximum
Ppt = précipitation (mm)
Hru = hauteur de ruissellement (mm)
Cru = coefficient de ruissellement
73
Les analyses d’ANOVA ont été réalisées sur les jeux de données transformées. Le jeu final
de données utilisé dans les analyses d’ANOVA comprend 721 observations colligées aux
exutoires des douze bassins versants à l’étude, tous types d’hydrogrammes confondus
(simple, unitaire, multi-pics et complexe).
Le tableau 21 montre l’effet significatif des bassins versants (BV) et de la précipitation
(Ppt) sur les hauteurs de ruissellement (Hru) (p < 0,001) ainsi que l’absence d’interaction
entre les facteurs (BV) et la précipitation (test BV*ln(Ppt)) (p > 0,1). La précipitation (Ppt)
à elle seule explique le 84 % de la variation de la hauteur de ruissellement (Hru) (prob <
0,05).
Tableau 21. ANOVA - hauteur de ruissellement (Hru) considérant l’effet « Bassin ».
Source de variation DL SC MC F Signification de F
Signification de F
ln(Ppt) 1 294,39 294,39 426,21 3,0E-74 < 0,001 BV 11 48,11 4,37 6,33 4,9E-10 < 0,001 BV*ln(ppt) 11 9,67 0,88 1,27 2,4E-01 >0,1 Résidu 697 481,44 0,69
DL = degrés de liberté
SC = somme des carrés
MC = moyenne des carrés
F = test de Ficher
Ppt = précipitation totale (mm)
BV = bassin versant
Les figures 12 à 23 présentent, pour chacun des bassins versants, les observations, la
régression Hru M1 (équation [102]) et les prédictions des hauteurs de ruissellement selon
les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986).
De façon générale, le modèle du SCS sous-estime grandement le ruissellement pour les
précipitations inférieures à 100 mm. Le modèle de Monfet (1979) se situe près de la valeur
moyenne ou légèrement au-dessus.
74
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Binet
Hru ObservéHru- Ppt - éq. 102SCSMonfet
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Au Castor
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
Figure 12. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Au Castor (CN = 78).
Figure 13. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Binet (CN = 73).
75
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Ewing
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Esturgeon Branche 21
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
Figure 15. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Ewing (CN = 78).
Figure 14. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Esturgeon Branche 21 (CN = 82).
76
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Amont
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
Figure 16. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Amont (CN = 73).
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Aval
Hru ObserveHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
Figure 17. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Aval (CN = 56)
77
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant du ruisseau Brook
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant de la Petite rivière Savane Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
Figure 18. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant de la Petite rivière Savane (CN =
76).
Figure 19. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Brook (CN = 65).
78
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant du ruisseau Cass
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Turmel
Hru ObservéHru-Ppt - éq 102SCSMonfet
Figure 21. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Turmel (CN = 73).
Figure 20. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Cass (CN = 63).
79
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Amont
Hru-Ppt ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Aval
Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet
Figure 23. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Aval (CN = 56).
Figure 22. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de
Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Amont (CN = 73).
80
Compte tenu de l’ANOVA (tableau 21), le modèle suivant peut-être retenu pour prédire la
hauteur de ruissellement (Hru) en fonction des précipitations (Ppt) pour chacun des bassins
versants à l’étude :
Modèle Hru-M2 𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒂+𝒃𝒊 𝑩𝑽𝒊 𝑷𝒑𝒕𝒄 [103]
Les valeurs des coefficients a, b et c (équation [103]) déterminées par régression ainsi que
leurs écarts types sont présentés au tableau 22.
Tableau 22. Paramètres déterminés par les modèles de régression Hru-M2 (équation
[103]) pour l’estimation des hauteurs de ruissellement (Hru).
# Bassin versant Coefficients du modèle Hru-M2
b Se (b) (a+b) Se (a+b) c Se (c) 1 Au Castor -0,182 0,128 -1,453 0,283 0,904 0,042 2 Binet -0,102 0,150 -1,374 0,305 0,904 0,042 3 Esturgeon Branche21 -0,018 0,159 -1,289 0,315 0,904 0,042 4 Ewing 0,205 0,135 -1,066 0,290 0,904 0,042 5 Fourchette Amont -0,214 0,130 -1,485 0,285 0,904 0,042 6 Fourchette Aval -0,656 0,154 -1,928 0,310 0,904 0,042 7 Petite rivière Savane -0,640 0,206 -1,912 0,362 0,904 0,042 8 Ruisseau Brook -0,176 0,171 -1,448 0,327 0,904 0,042 9 Ruisseau Cass -0,947 0,184 -2,219 0,339 0,904 0,042 10 Turmel -0,304 0,156 -1,575 0,311 0,904 0,042 11 Walbridge Amont -0,201 0,131 -1,473 0,287 0,904 0,042 12 Walbridge Aval 0,000 0,000 -1,272 0,156 0,904 0,042
Se = écart type
a, b et c = coefficients provenant de l’équation [103]
Le tableau 23 montre la variation due aux bassins versants qui est expliquée en partie, mais
non dans sa totalité, par le CN. Cela se reflète dans la non concordance significative (p <
0,001).
81
Tableau 23. ANOVA - hauteur de ruissellent considérant l’effet CN.
Source de variation DL SC MC F Signification de F
Signification de F
ln(Ppt) 1 294,39 294,39 426,21 3,0E-74 < 0,001 ln(CN) 1 24,62 24,62 35,64 3,8E-09 < 0,001 Non Concordance 21 33,16 1,58 2,29 9,2E-04 < 0,001 Résidu 697 481,44 0,69
DL = degrés de liberté Ppt = précipitation total (mm) F = test de Ficher
SC = somme de carrés CN = numéro de courbe de type II
MC = moyenne des carrés BV = bassin versant
Sur la base de la cohérence entre les coefficients de ruissellement eCR (exprimé par la
constante « eb » dans l’équation [102]) et les CN moyens des bassins versants (figure 24), la
valeur de CN peut ainsi être intégrée à l’équation de prédiction des hauteurs de
ruissellement dérivée du modèle de régression, suivant l’approche suivante :
𝐂𝐑 =� 𝐛 = 𝒄 ∗ 𝑪𝑪 + 𝒅 [104]
En remplaçant la valeur de b (équation [104]) dans (l'équation [102]) :
𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒄∗𝑪𝑪+𝒅 𝑷𝒑𝒕𝒂 [105]
Où
- Hru = hauteur de ruissellement (mm)
- Ppt = précipitation (mm)
- CN = numéro de courbe de type II
- a = estimateur du paramètre de pente dans le modèle de régression Hru-M1
(équation [102])
- b = estimateur du paramètre d’ordonnée à l’origine dans le modèle de régression
Hru-M1 (équation [102])
- c et d = estimateurs du paramètre de pente et du paramètre d’ordonnée à
l’origine (équation [104])
Le tableau 24 illustre les valeurs moyennes observées et prédites des hauteurs de
ruissellement par les modèles Hru-M1 et Hru-M2.
82
Figure 24. Coefficient de ruissellement (CR) en fonction du numéro de courbe (CN).
Tableau 24. Hauteurs moyennes de ruissellement observées et prédites par les modèles
Hru-M1 (équation [102]) et Hru-M2 (équation [103]).
# Bassin versant N Hru Observé Hru Prédit Hru-M1 Hru-M2
1 Au Castor 102 4,86 4,14 3,45 2 Binet 54 5,81 4,46 4,02 3 Esturgeon Branche 21 44 6,16 5,08 4,24 4 Ewing 81 6,80 4,32 5,30 5 Fourchette Amont 96 6,01 5,53 4,47 6 Fourchette Aval 49 4,40 5,67 2,94 7 Petite rivière Savane 21 4,45 5,36 4,47 8 Ruisseau Brook 35 5,13 4,99 4,16 9 Ruisseau Cass 29 3,64 6,50 5,42 10 Turmel 47 4,83 5,05 3,73 11 Walbridge Amont 90 4,49 4,41 3,61 12 Walbridge Aval 73 6,60 4,41 3,61 Moyenne 5,26 4,99 4,12 Valeur minimum 3,64 4,14 2,94 Valeur maximum 6,80 6,50 5,42
N = nombre d’événements
Hru = hauteur de ruissellement (mm)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
50 55 60 65 70 75 80 85
Coef
ficie
nt d
e ru
isse
llem
ent (
eCR)
Numéro de courbe (CN)
Coefficient de ruissellement vs Numéro de courbe
83
5.5 Estimation du débit de crue (Qmax)
La méthode de prédiction du débit de crue (Qmax) est déterminée par l’équation [89] et elle
est présentée dans la section 4.5.4 Validation des débits de crue. Dans cette étude, les
paramètres 𝑡𝑝, φ(α) et Hru ont été déterminés par des méthodes indépendantes sur la base
d'études d'évènements s'étant produits sur l’ensemble des bassins versants à l’étude. La
prédiction du ruissellement a utilisé un grand nombre d'évènements (N = 721) alors que les
temps de montée et le facteur de forme ont plutôt utilisé un nombre restreint d'évènements
(N = 256) répondant à certaines caractéristiques des hydrogrammes. Fondamentalement, la
combinaison de ces facteurs validés individuellement devrait produire un résultat
satisfaisant.
Une validation objective exigerait normalement l'utilisation de bassins versants n'ayant pas
été utilisés lors de l'étude des différents facteurs. Compte tenu du nombre limité de bassins
versants mis à contribution dans le cadre de la présente étude, cette avenue n’était pas
possible. La validation a donc été réalisée suivant une approche plus faible. Celle-ci repose
sur l'hypothèse que pour un bassin versant donné, le recours à la précipitation de récurrence
associée au temps de montée prédit du bassin versant, de même que de la hauteur de
ruissellement prédite pour cette même précipitation, devrait prédire le débit observé pour
cette récurrence.
5.5.1 Concept de courbes enveloppes
Les équations de régressions de Hru développées dans le cadre de la présente étude
prédisent les hauteurs moyennes de ruissellement en réponse aux précipitations. Rappelons
ici que les débits de crue sont plutôt reliés aux hauteurs extrêmes de ruissellement. Ces
dernières peuvent être représentées par une courbe enveloppe définie en fonction d'une
probabilité de dépassement. Dans le cas de la régression linéaire d'une fonction 𝑦 = 𝑏 +
𝑎 𝑥, les limites de confiance sont définies par les limites de confiance des paramètres :
84
limites de confiance
des paramètres :
𝒂 ± 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒂)
𝒃 ± 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒃) [106]
Où
- α = niveau de confiance
- t = valeur de la fonction de Student
- n = nombre d'observations
- Se(a) = écart type de l'estimateur de « a »
- Se(b) = écart type de l'estimateur de « b »
Et la courbe enveloppe se définit :
𝒚 ≊ 𝒃 + 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒃) + (𝒂 + 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒂)) 𝒙 [107]
Dans le cas des hauteurs de ruissellement (Hru), l'équation de régression en fonction de la
hauteur de la précipitation (Ppt) (équation [103]) peut être réécrite comme suit :
𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒂+𝐭(𝛂/𝟐,𝐧−𝟐) 𝐒𝐞(𝐚) 𝒃+ 𝐭(𝛂/𝟐,𝐧−𝟐) 𝐒𝐞(𝐛) 𝑷𝒑𝒕𝒄+ 𝐭(𝛂/𝟐,𝐧−𝟐) 𝐒𝐞(𝐜) [108]
Comment peut-on définir le niveau de confiance « α » qui est normalement fonction de la
récurrence d'intérêt ? Pour les séries des maximums annuels utilisées lors de la définition
des évènements extrêmes, la probabilité de dépassement (𝑥 > 𝑥𝑎) est définie :
𝑷(𝒙 > 𝒙𝒂) = 𝟏 / 𝑻 [109]
Où
- T = récurrence (an)
85
Dans cette étude, tous les évènements ayant produit du ruissellement (en moyenne 11 par
année) ont été retenus. Si 55 évènements se sont produits au cours d’une période de 5 ans, il
est vraisemblable de penser que l'évènement de récurrence de 5 ans sera le plus grand avec
une probabilité de dépassement de 1 / 55 + 1 et pour deux ans d'observation de 1 / 22 + 1.
Ainsi, la probabilité approximative peut être établie de la façon suivante :
𝑷(𝒙 > 𝒙𝒂) ≌ (𝟏 / 𝑻) (𝒅𝒖𝒓é𝒆 / 𝒏 + 𝟏) = 𝜶 / 𝟐 [110]
Cette probabilité correspond au niveau de confiance α / 2.
Les figures 25 à 32 présentent les hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le
modèle Hru-M2 (équation [103]) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence
2 et 5 ans (équation [108]) pour les huit bassins versants mis à contribution dans la
validation des projections des débits de pointe. Seuls les bassins versants ayant plus de
deux années de données ont été retenus pour cette étape.
Figure 25. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103]) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108]) pour le bassin Au Castor.
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Au Castor
(Hru-Ppt) ObservéHru-M2Ru 2 AnsRu 5 Ans
86
Figure 26. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Binet.
Figure 27. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Ewing.
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Binet
(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Ewing
(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2
87
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Aval
(Hru-Ppt) ObservéRu 2AnsRu 5 AnsHru-M2
Figure 28. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Amont.
Figure 29. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Aval.
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Amont
(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2
88
Figure 30. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Turmel.
Figure 31. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Amont.
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Turmel
(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Amont
(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2
89
Figure 32. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Aval.
Pour chacun des huit bassins versants retenus, les débits maximum observés (Qmax) de
ruissellement de chaque année ont été identifiés pour générer des séries annuelles. Pour
chaque série, les données ont été ordonnées et les fréquences de dépassement de même que
les récurrences ont été calculées (tableau 25). Par la suite, les débits maximum de deux ans
et cinq ans de récurrence ont été déterminés, en recourant au besoin à l’interpolation des
débits maximum pour des récurrences autres que 2 et 5 ans. Les débits de récurrence 2 ans
et 5 ans sont présentés au tableau 26. Par la suite, les débits prédits de deux ans et cinq ans
de récurrence ont été déterminés en suivant les étapes suivantes. Les temps de montée (𝑡𝑝)
ont été déterminés en utilisant le modèle 𝑡𝑝-M4 (équation [98]) (section 4.2). Les IDF des
stations de Vallée-Jonction (bassins versants : Fourchette, Binet et Turmel) et de Granby
(bassins versants : Au Castor, Ewing et Walbridge) ont été utilisées pour générer les
précipitations de récurrences de 2 ans et 5 ans associées aux durées du temps de montée
(𝑡𝑝) spécifiques à chaque bassin versant. Le ruissellement a été par la suite estimé par les
courbes enveloppes présentées ci-haut. Finalement, les débits prédits pour les récurrences
de 2 ans et 5 ans ont été calculées en utilisant les valeurs déterminés pour le facteur de
forme φ(α) (équation [100]) (section 4.3).
0,1
1
10
100
1 10 100
Hru
(mm
)
Ppt (mm)
Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Aval
(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2
90
Tableau 25. Séries annuelles des évènements de ruissellement retenus pour la
validation de la prédiction des débits de pointe.
# Bassin versant Date Ppt Tot
(mm) Duree Ppt (h) tp (h) Hruis
(mm) Qmax Ru
(m3/s) Rang Prob Récurrence
1 Au Castor
05/10/13-11h 56,70 90,00 21,99 26,61 4,83 5 0,83 1,2 02/06/10-22h 78,50 34,25 8,56 24,22 4,84 4 0,67 1,5 03/06/13-07h 50,10 24,25 6,05 11,87 5,12 3 0,50 2,0 04/09/08-16h 50,10 38,50 14,34 12,14 5,14 2 0,33 3,0 06/01/17-17h 23,90 18,00 7,01 13,97 5,29 1 0,17 6,0
2 Binet 94/11/02-02h 31,00 11,83 4,45 9,32 1,86 3 0,75 1,3 96/07/19-06h 64,60 35,08 24,82 43,54 2,70 2 0,50 2,0 95/07/23-05h 64,60 12,42 6,17 24,36 4,26 1 0,25 4,0
3 Ewing
04/04/12-23h 21,60 31,25 8,04 7,36 5,67 5 0,83 1,2 05/10/07-04h 34,50 18,25 16,08 19,81 9,62 4 0,67 1,5 02/06/10-20h 78,50 34,25 13,70 30,00 12,31 3 0,50 2,0 03/08/11-22h 42,80 17,75 3,04 11,66 13,58 2 0,33 3,0 06/05/18-18h 74,60 47,25 16,28 38,60 18,71 1 0,17 6,0
4 Fourchette Amont
09/04/22-11h 34,29 14,83 11,50 13,90 0,79 6 0,86 1,2 07/10/26-19h 26,67 13,67 5,01 9,71 0,81 5 0,71 1,4 08/06/28-09h 32,77 18,33 2,54 11,34 1,17 4 0,57 1,8 04/09/03-14h 33,78 4,33 3,37 7,98 1,26 3 0,43 2,3 05/10/14-18h 90,42 47,17 8,25 21,05 1,55 2 0,29 3,5 06/10/20-14h 48,01 16,33 6,91 27,75 2,37 1 0,14 7,0
5 Fourchette Aval
05/09/25-12h 120,65 30,00 16,13 22,90 1,06 3 0,75 1,3 04/09/03-20h 33,78 4,33 0,94 5,92 2,26 2 0,50 2,0 06/10/20-14h 47,50 13,00 3,33 20,11 2,80 1 0,25 4,0
6 Turmel 96/07/18-19h 65,80 42,17 24,11 31,00 1,88 3 0,75 1,3 95/07/23-08h 70,60 13,00 3,42 15,73 2,23 2 0,50 2,0 94/08/14-00h 51,20 12,08 4,62 9,64 2,58 1 0,25 4,0
7 Walbridge Amont
04/12/22-10h 11,20 32,75 6,37 6,97 2,05 5 0,83 1,2 03/11/19-12h 34,40 18,75 9,62 11,84 2,08 4 0,67 1,5 02/07/17-08h 9,30 15,00 3,14 5,97 2,11 3 0,50 2,0 05/01/12-12h 25,10 44,00 20,38 11,51 2,12 2 0,33 3,0 06/05/18-15h 74,70 48,75 16,03 33,73 3,13 1 0,17 6,0
8 Walbridge Aval
05/04/02-06h 11,3 17,75 8,61 3,29 0,95 5 0,83 1,2 04/09/07-16h 62,1 81,25 21,91 12,50 1,13 4 0,67 1,5 03/11/19-12h 34,4 18,75 13,68 13,13 1,81 3 0,50 2,0 06/05/18-19h 74,7 48,75 35,95 37,75 2,87 2 0,33 3,0 02/05/29-23h 62,7 47,25 14,87 40,20 7,07 1 0,17 6,0
Ppt Tot (mm) = précipitation totale observée 𝒕𝒑 = temps de montée observé
Qmax (m3/s) = débit maximum (m3/s) observé Prob. = probabilité de dépassement
Hruis (mm) = hauteur de ruissellement observée
Duree Ppt (h) = durée de la précipitation
91
Les ratios entre les débits prédits et observés ont été calculés afin d’évaluer la performance
du modèle de prédiction proposé. Le tableau 26 présente les différents paramètres utilisés
comme intrants au modèle de prédiction des débits de crue et le tableau 27 expose les
résultats obtenus.
Tableau 26. Paramètres observés pour les bassins versants mis à contribution dans la
validation de la méthode de prédiction des débits de pointe.
# Bassin versant Valeurs observés
𝒕𝒑(h) φ(α) Qmax (m3/s) Longueur
(m) Pente (m/m)
Aire (ha) CN_II
2 ans 5 ans 1 Au Castor 6,54 0,70 5,0 5,3 7418 0,0013 1228 78 2 Binet 6,41 0,80 2,8 5,0 1892 0,0046 483 73 3 Ewing 9,53 0,85 11,4 18,3 12957 0,0014 2782 78 4 Fourchette Amont 5,20 0,88 1,2 2,0 3973 0,0052 250 73 5 Fourchette Aval 2,81 0,83 2,0 3,5 2241 0,0066 192 56 6 Turmel 3,93 0,67 2,2 2,8 3952 0,0203 530 73 7 Walbridge Amont 7,04 0,85 2,2 2,9 3361 0,0037 631 77 8 Walbridge Aval 10,32 0,86 2,5 6,1 6504 0,0026 794 79
𝒕𝒑 = temps de montée observé Qmax (m3/s) = débit maximum (m3/s) observé φ(α) = coefficient de forme observé CN_II = courbe numéro de type II
Tableau 27. Paramètres et débits de crue prédits et comparaison avec les débits
observés.
# Bassin versant
Valeurs prédites 𝐐𝐦𝐚𝐱𝒑𝒓é𝒅𝒊𝒕
𝐐𝐦𝐚𝐱𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗é
tp (h) φ(α) Hru (M2)
Ppt (mm) t(α/2,n-2) Ru (mm) Qmax (m3/s)
2 ans 5 ans 2 Ans 5 Ans 2 ans 5 ans 2 ans 5 ans 2 ans 5 ans 1 Au Castor 8,29 0,75 3,45 44 58 1,65 1,88 13,0 18,5 4,0 5,7 0,80 1,08 2 Binet 5,42 0,79 4,02 29 37 1,65 1,88 9,6 13,3 1,9 2,6 0,67 0,52 3 Ewing 10,16 0,85 5,30 48 63 1,65 1,88 21,0 29,9 13,6 19,3 1,19 1,05 4 Fourchette Amont 5,36 0,75 4,47 29 37 1,65 1,88 8,4 11,6 0,8 1,1 0,65 0,55 5 Fourchette Aval 3,42 0,83 2,94 37 49 1,65 1,88 7,0 10,1 0,9 1,3 0,47 0,37 6 Turmel 5,96 0,71 3,73 29 37 1,65 1,88 7,9 10,9 1,4 1,9 0,63 0,68 7 Walbridge Amont 6,53 0,78 3,61 42 54 1,65 1,88 12,2 17,0 2,5 3,5 1,13 1,22 8 Walbridge Aval 7,66 0,87 3,61 45 59 1,65 1,88 14,8 20,8 3,7 5,2 1,49 0,85
Moyenne 0,88 0,79 Ppt (mm) = précipitation estimée des récurrences de 2 et 5 ans Minimum 0,47 0,37
t(α/2,n-2) = limite de confiance des paramètres a, b et c (équation [106]) Maximum 1,49 1,22
Ru (mm) = ruissellement estimé de récurrences de 2 et 5 ans Écart type 0,35 0,31
Qmax (m3/s) = débits maximum prédits, récurrences de 2 et 5 ans CV 0,40 0,39
92
En utilisant les courbes enveloppes (équation [108]) avec les coefficients «a», «b» et «c» du
modèle de régression Hru-M2 (tableau 22), les ratios moyens de Qmax-prédit/Qmax-
observé (tableau 26) sont respectivement de 0,88 et 0,79 pour les récurrences de 2 ans et 5
ans, On dénote ainsi une sous-estimation moyenne du Qmax prédit par rapport au Qmax
observé de l'ordre de 12 % pour la récurrence de 2 ans et de 21 % pour la récurrence de 5
ans.
Les ratios plus faibles de Qmax-prédit/Qmax-observé réfère au bassin versant Fourchette
Aval avec des valeurs de 0,47 pour la récurrence de 2 ans et de 0,37 pour la récurrence de 5
ans, ce qui correspond à une sous-estimation de Qmax de l'ordre de 53 % pour la récurrence
de 2 ans et de 63 % pour la récurrence de 5 ans.
Les bassins Walbridge Aval et Walbridge Amont présentent les plus grandes valeurs du
ratio de Qmax-prédit/Qmax-observé avec des valeurs de 1,49 pour la récurrence de 2 ans
pour Walbridge Aval et 1,22 pour la récurrence de 5 ans pour Walbridge Amont, ce qui
correspond à une surestimation de Qmax de l'ordre de 49 % pour la récurrence de 2 ans et
de 22 % pour la récurrence de 5 ans.
La meilleure prédiction de Qmax pour la récurrence de 2 ans a été obtenue pour le bassin
Walbridge Amont avec un ratio de 1,13 (surestimation de Qmax de l'ordre de 13 %). Pour
la récurrence de 5 ans, la meilleure prédiction a été obtenue pour le bassin Ewing avec un
ratio de 1,05 (surestimation de Qmax de l'ordre de 5 %).
L’utilisation de huit bassins versants dans cette analyse ne permet pas de généraliser les
résultats. L’analyse d’un plus grand nombre de bassins versants serait nécessaire.
93
6 CONCLUSIONS
Le développement et la validation des méthodes d’estimation des paramètres hydrologiques
(temps de montée (𝑡𝑝), coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α), hauteur de
ruissellement (Hru), débit de crue (𝑞𝑝)) propres au dimensionnement des ouvrages hydro-
agricoles se sont appuyés sur la caractérisation des réponses hydrologiques de douze petits
bassins versants en milieu rural québécois d’une superficie variant de 1,9 km² pour le
bassin Fourchette Aval à 27,8 km² pour le bassin Ewing. Les longueurs d’écoulement
variaient de 1 892 m pour le bassin Binet à 12 957 m pour le bassin Ewing. Les pentes
variaient de 0,0012 m/m pour le bassin Esturgeon Branche 21 à 0,0203 m/m pour le bassin
Turmel, tandis que les numéros de courbe (CN) moyens de type II variaient de 56 pour le
bassin Fourchette Aval à 82 pour le bassin du ruisseau Brook.
L’analyse de 784 hydrogrammes individuels a été effectuée par le logiciel VisuHydro
spécialement développé à cette fin dans le cadre du projet. L’utilisation de ce logiciel a
permis de déterminer les principales propriétés des hydrogrammes analysés, incluant leur
forme, les temps de montée, les hauteurs de ruissellement et les débits de pointe. Les
résultats de ces analyses hydrologiques détaillées (observations) ont servi de bases au
développement et à la validation des diverses méthodes de prédiction de ces paramètres.
Les séparations des hydrogrammes mises à contribution dans le cadre de la présente étude
ont été réalisées sur une base manuelle, comportant donc une certaine part de subjectivité.
L’étude des temps de montée (𝑡𝑝) et des coefficients de forme (φ(α)) observés s’est
appuyée sur l’analyse hydrologique de 256 hydrogrammes de types simple et unitaire
colligés aux exutoires de 12 bassins versants du réseau d’étude. Les temps de concentration
ont été estimés par les différents modèles utilisés (Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-
Williams) au Québec en combinant les paramètres descriptifs des bassins versants (pente
du cours d'eau, longueur du parcours de l'eau, CN moyen). Aucune des méthodes étudiées
de détermination du temps de concentration (𝑡𝑐) n’a permis d'estimer correctement le
temps de montée (𝑡𝑝). Devant ce constat, une approche de régression a été retenue pour le
94
développement d’une méthode alternative de prédiction du temps de montée/concentration
(équation [98]).
Le coefficient de forme moyen obtenu est de 0,79 pour l’ensemble des hydrogrammes et
des bassins versants avec un écart type de 0,21. La plus petite valeur est de 0,64 pour le
bassin Esturgeon Branche 21 et la plus grande valeur est de 0,95 pour le bassin du ruisseau
Cass. Une analyse de variance montre que le coefficient de forme est affecté par un effet
bassin où le temps de montée (𝑡𝑝) et le numéro de courbe (CN) expliquent 46 % de la
variation du coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)). Toutefois, une partie de la
variation relative aux bassins versants n’est expliquée par aucun paramètre, ce qui se reflète
par une non concordance significative. Une nouvelle équation de prédiction du coefficient
de forme de l’hydrogramme en fonction de (𝑡𝑝) et du numéro de courbe (CN) a été
proposée (équation [100]).
L’étude des hauteurs de ruissellement (Hru) s’est appuyée sur l’analyse hydrologique
individuelle de 721 hydrogrammes répartis dans l’ensemble des bassins versants à l’étude.
Les hauteurs de ruissellement (Hru) ont été comparées aux deux modèles utilisés (SCS et
Monfet) au Québec. De façon générale, le modèle du SCS sous-estime grandement le
ruissellement pour les précipitations inférieures à 100 mm tandis que le modèle de Monfet
(1979) se situe près de la valeur moyenne ou légèrement au-dessus. L’analyse de variance
montre l’effet significatif des bassins versants (BV) et de la précipitation (Ppt) sur les
hauteurs de ruissellement (Hru), où la précipitation (Ppt) à elle seule explique 84 % de la
variation de la hauteur de ruissellement (Hru). Le numéro de courbe (CN) explique
également une partie de l’effet bassin versant testé. Une partie de la variation due aux
bassins versants (BV) n’est cependant expliquée par aucun paramètre. Deux équations de
prédiction de la hauteur de ruissellement (Hru) sont proposées. La première est fonction de
la précipitation (Ppt) (équation [103]) tandis que la seconde est fonction à la fois de la
précipitation (Ppt) et du numéro de courbe (CN) (équation [105]).
En support aux prédictions des débits de pointe, les courbes IDF des stations de Vallée-
Jonction et de Granby ont été utilisées pour générer les précipitations de récurrences de 2 et
5 ans pour les durées prédites du temps de montée de chacun des huit bassins versants
95
retenus. Dans le modèle de prédiction de la hauteur de ruissellement, afin de déterminer les
valeurs extrêmes de débits, les courbes enveloppes de la hauteur de ruissellement ont été
utilisées plutôt que des courbes moyennes. Le ratio entre les débits prédits et observés ont
été calculés afin d’évaluer la performance du modèle de prédiction proposé. On dénote, par
rapport au Qmax observé, une sous-estimation moyenne de l'ordre de 12 % de la valeur du
débit maximum prédit (Qmax) pour la récurrence de 2 ans et de 21 % pour la récurrence de
5 ans. La meilleure prédiction de Qmax pour la récurrence de 2 ans a été obtenue pour le
bassin Walbridge Amont avec un ratio de 1,13 (surestimation de Qmax de l'ordre de 13 %).
Pour la récurrence de 5 ans, la meilleure prédiction a été obtenue pour le bassin Ewing avec
un ratio de 1,05 (surestimation de Qmax de l'ordre de 5 %).
L’analyse hydrologique des douze bassins versants à l’étude a fourni les premières balises
au développement et à la validation d’équations prédictives des paramètres hydrologiques
(ruissellement, temps de montée, paramètre de forme et débits de pointe) nécessaires au
dimensionnement des ouvrages hydrauliques. Il est toutefois reconnu que le nombre de
bassins versants mis à profit est relativement faible pour établir des modèles de prédiction
hydrologique. La méthodologie développée ici servira dans un second projet dans lequel
d’autres bassins versants seront étudiés afin de préciser les modèles de prédiction
hydrologique.
97
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102
Annexe 1. Développement mathématique du temps de montée.
fdp Gamma à
trois paramètres 𝒇(𝒕;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) =
(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)
𝜷 � [111]
Développement
mathématique
de temps de
montée
𝒅𝒅𝒕
�(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)
𝜷 �� = 𝟕 [112]
𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒅𝒅𝒕
�(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)
𝜷 �� = 𝟕 [113]
(𝜶 − 𝟏)(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟐𝒆�
−(𝒕−𝒕𝟕)𝜷 � + 𝒆�
−(𝒕−𝒕𝟕)𝜷 � �−
𝟏𝜷� (𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏 = 𝟕 [114]
(𝜶 − 𝟏)(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟐 = �−
𝟏𝜷� (𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏 [115]
(𝜶 − 𝟏) 𝜷 = (𝒕 − 𝒕𝟕) [116]
Avec 𝒕 = 𝒕𝒎 et 𝒕𝒑 = (𝒕𝒎 − 𝒕𝟕) [117]
Temps de
montée
𝒕𝒑 = (𝜶 − 𝟏) 𝜷 [118]
𝒕𝒎 = 𝒕𝟕 + (𝜶 − 𝟏) 𝜷 [119]
Où
- t = temps
- α = paramètre de forme,
- β = paramètre d'échelle,
- 𝒕𝟕= paramètre de position, moment où débute le ruissellement
- 𝚪(𝜶)= Fonction Gamma complète
103
Annexe 2. Développement mathématique du débit de pointe.
développement mathématique
du débit de pointe
𝒒𝒑 =
(𝒕𝒎 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕𝒎−𝒕𝟕)
𝜷 � [120]
𝒒𝒑 =
𝒕𝒑𝜶−𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−𝒕𝒑𝜷 �
[121]
Comme 𝒕𝒑 = (𝜶− 𝟏) 𝜷 [122]
𝒒𝒑 =
[(𝜶− 𝟏) 𝜷] 𝜶−𝟏
𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−[(𝜶−𝟏) 𝜷]
𝜷 � [123]
𝒒𝒑 =
(𝜶 − 𝟏)𝜶−𝟏
𝚪(𝜶) 𝜷 𝒆−(𝜶−𝟏)
[124]
𝒒𝒑 =(𝜶 − 𝟏)𝜶
[(𝜶 − 𝟏) 𝜷] 𝒆−(𝜶−𝟏)
𝚪(𝜶) [125]
𝒒𝒑 =
(𝜶 − 𝟏)𝜶
𝒕𝒑 𝒆−(𝜶−𝟏)
𝚪(𝜶) [126]
𝒒𝒑 =
𝟏𝒕𝒑
(𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)
𝚪(𝜶) [127]
Si
Coefficient de forme 𝝓(𝜶) = (𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)
𝜞(𝜶) [128]
Débit de pointe 𝒒𝒑 =
𝟏𝒕𝒑
𝝓(𝜶) [129]
𝒒𝒑 𝒕𝒑 = 𝝓(𝜶) [130]
Où
− t = temps
− α = paramètre de forme,
− β = paramètre d'échelle,
− 𝒕𝟕= paramètre de position, moment où débute le ruissellement
− 𝚪(𝜶)= Fonction Gamma complète