De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana...
Transcript of De–nicija krivuljegradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG...Parametrizirana...
Definicija krivulje
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 1 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn
pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =
x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena.
Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu:
vektorske jednadzbe
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i+ y(t) · j+ z(t) · k
parametarske jednadzbe
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Napomena. Posve analogno se zapisuju krivulje u R2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 2 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo
drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,
d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 3 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo
drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,
d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 3 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo
drdt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,
d2rdt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 3 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija.
Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Geometrijska interpretacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 4 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija.
Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pricemu je I ⊆ R interval.
Definicija. Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup r(I ) ⊆ Rn.
Fizikalna interpretacija. Cestica putuje prostorom Rn :
u vremenu t,
ostavljajuci za sobom trag r(I ).
Drugim rijecima, jednadzba
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 5 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak.
Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1),
kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba?
Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak.
Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t
kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba?
Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak.
Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t
b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)
c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1)
d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi,
te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Zadatak. Ako je krivulja zadana vektorskom jednadzbomr(t) = (t2 + 1, t − 1), kako glasi njena parametarska jednadzba? Je li ovoravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Ako je krivulja zadana parametarskom jednadzbom x = sin t,y = t + 1, z =
√t kako glasi njena vektorska jednadzba? Je li ovo
ravninska ili prostorna krivulja?
Zadatak. Za svaku od krivulja:
a) x = t2 − 1, y = ln t b) r(t) = (cos t, sin t)c) r(t) = (t, t2 + 1, t2 − 1) d) x = 2t + 2, y = ln t, z = 3t
napiši o kojem obliku jednadzbe krivulje se radi, te odgovori na pitanje je likrivulja ravninska ili prostorna.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 6 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3.
Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3
je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3
definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je a,b ∈ R3. Pravac u R3 je parametrizirana krivuljar : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = a+ tb.
Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 7 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3,
te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.
Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0.
Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3
definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2
kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a
sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s
koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori.Neka je nadalje a ∈ R, a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definiranapravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorimar1 i r2.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 8 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija,
pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.
Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f
je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2
definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval.Graf funkcije f je slika parametrizirane krivulja r : I → R2 definiranepravilom
r(t) = (t, f (t)).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 9 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R,
neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor,
te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori.
Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3
definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a, b ∈ R, neka je s ∈ R3 vektor, te neka sur1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori. Kruzna cilindricna zavojnica jeparametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom
r(t) = s+ a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 10 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom,
a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište,
paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k =
(a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j, k redom, a s ishodište, paje kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom
r(t) = a cos t · i+ a sin t · j+ bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 11 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) =
lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
=
lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.
Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.
Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) =
limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = lim
prije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni put
proteklo vrijeme=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Vrijedi
r(t) = limprije�eni putproteklo vrijeme
=
= vektor brzine
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 12 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.
Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine
ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t),
dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor brzine ili tangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dokse skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r u tocki r(t).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 13 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) =
lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
=
lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija.
Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija.
Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Geometrijska interpretacija. Fizikalna interpretacija. Navektor druge derivacije utjece:
komponenta zakrivljenosti,
komponenta ubrzanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 14 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.
Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo:
velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju,
jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje,
a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo da za vektor r(t) vrijedi
r(t) = lim∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
∆r(t)∆t
.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t)naziva se vektor akceleracije krivulje r u tocki r(t).
Uocimo: velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, jerna vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samokomponenta skalarne akceleracije.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 15 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja.
Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I
ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0.
U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t.
Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I ,
onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija.
Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki
- brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki
- brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula,
tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila,
pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji)
-cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,
singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji
- cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Fizikalna interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - brzina cestice je razlicita od nula,
u singularnoj tocki - brzina cestice je jednaka nula, tj. cestica sezaustavila, pri cemu:
singularitet moze biti svojstven samo parametrizaciji (ne i krivulji) -cestica se zaustavila na glatkom dijelu krivulje ’bez razloga’,singularitet moze biti svojstven samoj krivulji - cestica se moralazaustaviti jer krivulja u toj tocki ima "špic".
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 16 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija.
Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki -
tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0),
pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,
u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki -
tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor,
pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti
(ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti -
singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,
ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti -
singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r regularna u t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo daje r singularna u t. Ako je parametrizirana krivulja r regularna za svakit ∈ I , onda kazemo da je r regularna.
Geometrijska interpretacija. Za parametriziranu krivulju r vrijedi:
u regularnoj tocki - tangencijalni vektor je netrivijalan ( 6= 0), pa setangenta na krivulju sigurno moze postaviti,u singularnoj tocki - tangencijalni vektor je nul-vektor, pa se tangentamozda ne moze postaviti (ali mozda i moze!),
ako se tangenta ipak moze postaviti - singularitet je svojstven samoparametrizaciji,ako se tangenta ne moze postaviti - singularitet je svojstven samojkrivulji (tj. slici parametrizacije).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 17 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja:
a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6),
b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).
Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje.
Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a)
r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) =
(3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5)
= 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0
⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t =
0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0
b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b)
r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) =
(3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t)
= 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0
⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t =
0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji
(tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),
druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji
(tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = (3t2, 6t5) = 0⇔ t = 0 b) r(t) = (3t2, 2t) = 0⇔ t = 0
Dakle, singularitet:
prve krivulje je svojstven parametrizaciji (tangenta se moze poloziti),druge krivulje je svojstven krivulji (tangenta se ne moze poloziti).
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 18 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja.
Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I
ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0.
U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t.
Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I ,
onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti.
Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t
ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t
ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0
⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 i
r(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 i
r(t) /‖r(t)Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Usporedimo uvjete regularnosti i biregularnosti. Krivulja r(t) je:
regularna u t ako i samo ako
r(t) 6= 0
biregularna u t ako i samo ako
r(t)× r(t) 6= 0 ⇔ r(t) 6= 0 ir(t) 6= 0 ir(t) /‖r(t)
Dakle, biregularnost je jaci zahtjev od regularnosti, tj. vrijedi:
biregularnost ⇒ regularnost,
regularnost 6⇒ biregularnost.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 19 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija.
U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),
nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),
nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima"
i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da jekrivulja r biregularna u t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom,kazemo da je r bisingularna u t. Ako je parametrizirana krivulja rbiregularna za svaki t ∈ I , onda kazemo da je r biregularna.
Fizikalna interpretacija. U tocki bisingulariteta t mora vrijediti baremjedno od sljedeceg:
cestica se zaustavila (r(t) = 0),nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0),nema samo zakrivljenosti (r(t)‖r(t)).
Neformalnije mozemo reci da parametrizacija krivulje ima bisingularitete u"špicevima" i na ravnim dijelovima krivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 20 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer.
Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3.
Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja:
a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,
b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.
Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje.
Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:
a) r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a)
r(t) = b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) =
b ⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b
⇒ regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒
regularna ∀tr(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) =
0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0
⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒
bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒
bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b)
r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) =
3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b
⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒
regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0
r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) =
6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb
⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒
bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒
bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti,
iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Primjer. Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb,b) r(t) = a+ t3b.Rješenje. Za navedene krivulje vrijedi:a) r(t) = b ⇒ regularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularna ∀t
r(t) = 0 ⇒ bisingularitet nastaje jernema ni zakrivljenosti ni ubrzanja
b) r(t) = 3t2b ⇒ regularna ∀t 6= 0r(t) = 6tb ⇒ bisingularna ∀t
r(t)‖r(t) ⇒ bisingularitet nastaje jernema zakrivljenosti, iako ima ubrzanja
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 21 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo:
dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer.
Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)
r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r2 : [0,π]→ R2
r2(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r3 : [0, 2π]→ R2
r3(t) = (cos 2t, sin 2t)
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
Uocimo: dvije razlicite krivulje mogu imati istu sliku.
Primjer. Razmotrimo sljedece krivulje:
r1 : [0, 2π]→ R2
r1(t) = (cos t, sin t)r4 : [0, 2π]→ R2
r4(t) = (cos (−t), sin (−t))
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 22 / 43
Parametrizirana krivulja
6= brzina 6= put 6= orijentacija
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 23 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju,
ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu
nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na fizikalnu interpretaciju, ovo znaci da cestica po istom tragu(tj. slici krivulje) moze:
ici razlicitom brzinom,
napraviti razlicit put,
ici suprotnim smjerom.
One parametrizacije koje se razlikuju samo u brzini kojom cestica putujepo tragu nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 24 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.
Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne
ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I
takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J.
Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne,
onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒
˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Neka su r : I → Rn i~r : J → Rn parametrizirane krivulje.Kazemo da su r i~r ekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija
ϕ : J → I takva da je ~r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Akosu r i~r ekvivalentne, onda se~r naziva reparametrizacijom od r i obratno.
Uocimo da za ekvivalentne krivulje vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t)︸︷︷︸vektor
= r(ϕ(t))︸ ︷︷ ︸vektor
ϕ(t)︸︷︷︸skalar>0
,
pa za vektore brzina ˙r(t) i r(ϕ(t)) vrijedi da su:
kolinearni,
iste orijentacije.
Zakljucujemo da se reparametriziranjem mijenja jedino skalarna brzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 25 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t
(s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme),
definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija.
Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja,
te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I .
Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Obzirom na s = v · t (s = put, v = brzina, t = vrijeme), definiramoelement duljine luka ds sa ds = |r(t)| dt.
Definicija. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja, te neka je[a, b] ⊆ I . Broj s(a, b) definiran sa
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt
naziva se duljina luka krivulje r od a do b.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 26 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija.
Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz.
Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.
Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒
˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt =
r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒
ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒
{ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt =
d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = du
t c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du.
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.Dokaz. Neka je~r : [c, d ]→ Rn reparametrizacija od r : [a, b]→ Rn.Vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ(t)dt
ϕ′(t) > 0 ⇒ ϕ je rastuca ⇒{
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Sada je
d∫c
| ˙r(t)| dt =
d∫c
∣∣r(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ dt = d∫c
|r(ϕ(t))| ϕ′(t)dt =
=
{ϕ(t) = u
ϕ′(t)dt = dut c du a b
}=
b∫a
|r(u)| du. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 27 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Napomena.
Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje. Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 28 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Napomena. Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje.
Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 28 / 43
Parametrizirana krivulja
Propozicija. Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.
Napomena. Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva seunutarnje svojstvo krivulje. Dakle, duljina luka je unutarnje svojstvokrivulje.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 28 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I ,
to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom,
pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 =
brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem
(tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t =
proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put
= s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena.
Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s,
opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′,
derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Ako za krivulju r vrijedi |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I , to znaci da cesticastalno putuje jedinicnom brzinom, pa imamo:
1 = brzina =prije�eni putproteklo vrijeme
t = proteklo vrijeme = prije�eni put = s
Dakle, u tom slucaju mozemo smatrati da je krivulja parametriziranaprije�enim putem (tj. duljinom luka).
Napomena. Uobicajeno je oznacavati:
prirodni parametar sa s, opceniti parametar sa t,
derivaciju krivulje r po prirodnom parametru sa r′, derivacija krivulje rpo opcem parametru sa r.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 29 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija.
Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka
ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom
ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,
tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =
b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt =
(t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba=
b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Definicija. Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinomluka ili prirodnim parametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I .
Ako je krivulja r : [a, b]→ Rn parametrizirana prirodnim parametrom,tada za duljinu luka te krivulje vrijedi
s(a, b) =
b∫a
|r(t)| dt =b∫a
dt = (t)
∣∣∣∣ba= b− a.
Dakle, prije�eni put s(a, b) jednak je proteklom vremenu b− a.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 30 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje.
Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna
(jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),
za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒
˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo:
ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Pitanje. Moze li se smaka krivulja r : I → Rn reparametrizirati prirodnimparametrom?
Uocimo da vrijedi:
prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1⇒ r(t) 6= 0),za svaku reparametrizaciju~r od r vrijedi
~r(t) = r(ϕ(t))⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0
,
pa~r i r imaju singularitete u istim tockama.
Zakljucujemo: ako krivulja r nije regularna, onda se ne mozereparametrizirati prirodnim parametrom.
No, što je s regularnim krivuljama?
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 31 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem.
Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.
Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz.
Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja
i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .
Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du
⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) =
|r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija
s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).
Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)
=1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒
| ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =
∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ =
|r(t)| 1|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| =
1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1.
QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Teorem. Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati prirodnimparametrom.Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja i t0 ∈ I .Definiramo funkciju duljine luka
s(t) =
t∫t0
|r(u)| du ⇒ s ′(t) = |r(t)| .
Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija s inverzom t(s).Vrijedi
t ′(s) =1
s ′(t)=
1|r(t)| .
Sada vrijedi:
~r(s) = r(t(s))⇒ | ˙r(t)| =∣∣r(t(s)) · t ′(s)∣∣ = |r(t)| 1
|r(t)| = 1. QED.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 32 / 43
Parametrizirana krivulja
Dakle, zakljucujemo sljedece:
svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,
svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 33 / 43
Parametrizirana krivulja
Dakle, zakljucujemo sljedece:
svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,
svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 33 / 43
Parametrizirana krivulja
Dakle, zakljucujemo sljedece:
svaka regularna krivulja se sigurno moze reparametrizirati prirodnimparametrom,
svaka neregularna krivulja se sigurno ne moze reparametriziratiprirodnim parametrom.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 33 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje.
Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati,
tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C
- (globalna) parametrizacija,
r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,
r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C
- lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Ako je krivulja zadana:
eksplicitnom jednadzbom,
implicitnom jednadzbom,
onda je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu.
Pitanje. Moze li se C parametrizirati, tj. postoji li parametriziranakrivulja r : I → Rn takva da je:
r(I ) = C - (globalna) parametrizacija,r(I ) ⊂ C - lokalna parametrizacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 34 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja.
Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval.
Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R
interval. Tada:
eksplicitno zadanom ravninska krivulja je
C = {(x , f (x)) : y = f (x), x ∈ I} ⊆ R2,
eksplicitna jednadzba krivulje C je y = f (x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 35 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja.
Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval.
Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaEksplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su f , g : I → R glatke funkcije, pri cemu jeI ⊆ R interval. Tada:
eksplicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : y = f (x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3,
eksplicitna jednadzba krivulje C je sustav y = f (x), z = g(x).
Uocimo da vrijedi C = r(I ) za
r(t) = (t, f (t), g(t)), t ∈ I
pa je r(t) globalna parametrizacija krivulje C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 36 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja.
Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2.
Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem.
Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0.
Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0,
onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T
i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena.
Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Ravninska krivulja. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu jeD ⊆ R2. Tada:
implicitno zadana ravninska krivulja je
C = {(x , y) : F (x , y) = 0} ⊆ R2,
implicitna jednadzba krivulje C je F (x , y) = 0.
Teorem. Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbomF (x , y) = 0. Ako za tocku T ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postojiotvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R2
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Napomena. Uvjet teorema je dovoljan, a nije nuzan.
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 37 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer.
Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.
Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje.
Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) =
x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1
slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) =
(2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y)
= 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔
T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke.
QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena.
Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametriziratiu okolini svake svoje tocke.Rješenje. Iz F (x , y) = x2 + y2 − 1 slijedi
gradF (T ) = (2x , 2y) = 0⇔ T (0, 0)
pa iz Teorema slijedi da se kruznica moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke. QED
Napomena. Kruznica ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 38 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer.
Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2),
pricemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta,
(lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!
Rješenje. Iz F (x , y) =(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje.
Iz F (x , y) =(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2)
slijedi
gradF (T ) = (4x(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) =
(4x(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y)
= 0⇔ . . .⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔
T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati,
pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta.
QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena.
Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2
)2= 2a2(x2 − y2), pri
cemu je a > 0 konstanta, (lokalno) parametrizirati!Rješenje. Iz F (x , y) =
(x2 + y2
)2 − 2a2(x2 − y2) slijedigradF (T ) = (4x
(x2 + y2
)− 4a2x , 4y
(x2 + y2
)+ 4a2y) = 0⇔ . . .
⇔ T (0, 0) ili T (±a, 0)
Jedino T (0, 0) lezi na lemniskati, pa iz Teorema slijedi da se lemniskatamoze lokalno parametrizirati svugdje osim mozda oko ishodišta. QED
Napomena. Lemniskata ima cak globalnu parametrizaciju
r(t) = (a√2 cos t
1+ sin2 t,a√2 cos t sin t
1+ sin2 t), t ∈ [0, 2π].
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 39 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
kruznica lemniskata
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 40 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja.
Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3.
Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem.
Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T
i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3
takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Prostorna krivulja. Neka su F ,G : D → R glatke funkcije, pri cemu jeD ⊆ R3. Tada:
implicitno zadana prostorna krivulja je
C = {(x , y , z) : F (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0} ⊆ R3,
implicitna jednadzba krivulje C je sustavF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0.
Teorem. Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbamaF (x , y , z) = 0,G (x , y , z) = 0. Ako je
gradF (T )× gradG (T ) 6= 0,
onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R3 takva da je r(I ) = U ∩ C .
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 41 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer.
Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.
Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje.
Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) =
x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2
G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒gradF (T ) = 2(x , y , z)
gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) =
(x − a)2 + y2 − a2 ⇒gradF (T ) = 2(x , y , z)
gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2
⇒ gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) =
2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)
gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) =
2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) =
4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ =
4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔
⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay)
= 0⇔
⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔
T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C ,
pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0).
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Primjer. Ispitaj moze li se krivulja x2 + y2 + z2 = 4a2,(x − a)2 + y2 = a2 (loaklno) parametrizirati.Rješenje. Iz
F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4a2G (x , y , z) = (x − a)2 + y2 − a2 ⇒
gradF (T ) = 2(x , y , z)gradG (T ) = 2(x − a, y , 0)
pa je
gradF (T )× gradG (T ) = 4
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z
x − a y 0
∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz , z(x − a), ay) = 0⇔⇔ T (x , 0, 0) ili T (a, 0, z).
Jedino T (a, 0, 0) lezi na C , pa se C moze lokalno parametrizirati svugdjeosim oko T (a, 0, 0). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 42 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Vivianijevi prozori
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 43 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Vivianijevi prozori
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 43 / 43
Parametrizirana krivuljaImplicitno zadana krivulja
Vivianijevi prozori
Jelena Sedlar (FGAG) Definicija krivulje 43 / 43