De wiskundige knoop
description
Transcript of De wiskundige knoop
De wiskundige knoop
LIO-projectGesubsidieerd door NWO Uitvoerder: Ab van der RoestBegeleider: Arjeh CohenPlaats: Technische Universiteit Eindhoven
Knoop op Hoog Catharijne te Utrecht
Gemaakt door Shinkichi Tajiri
Borromean ringen op Iso la Bella
Mastworp (voor de zeilers)
Achtknoop (voor de bergbeklimmers)
Decoratieve knoop
knopentruck
wiskundige knoop
Een knoop is een gesloten kromme in de drie dimensionale ruimte die geen zelfdoor-snijdingen heeft
wiskundige knoop
Andere benadering om knopen te bestuderen: α: S1 → S3 is een inbedding van een knoop bestudeer nu de topologie van de complementaire
ruimte S3-α(S1)
wiskundige knoop
of onderzoek hoe gekromd de gesloten kromme is
stelling van Fary-Milnor: als de totale kromming ∫κ ≤ 4π dan is de knoop de
triviale knoop als de totale kromming ∫κ > 4π dan is de knoop echt
geknoopt
Van knoop naar diagram
Projecteer de knoop op een plat vlak Geef duidelijk aan of je een boven- of
onderkruising hebt
wiskundige knoop
Eén van de hoofdvragen: welke knopen zijn er en wanneer zijn knopen echt verschillend
knopentabel
wiskundige knoop
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 ?
wiskundige knoop
Twee voorbeelden van knopen die er ingewikkeld uit zien, maar eenvoudige knopen blijken te zijn
Knotplot.lnk
Hoe onderscheiden we knopen die gelijk zijn? Kurt Reidemeister beschreef drie
bewegingen op een knoopdiagram: R1
R2
R3
Reidemeister stelde:als knoop K en L isotoop zijn, bestaat er een eindige rij Reidemeisterbewegingen die het diagram van knoop K overzet in het diagram van knoop L.
Opmerking: als dit niet lukt weet je nog niets; misschien ben je gewoon niet handig genoeg!
invarianten
Een invariant is een eigenschap van een knoop die niet veranderd als we de knoop “vervormen”.
Een invariant blijft dus behouden onder de Reidemeistebewegingen.
invarianten
Aantal kruisingen: nee Verstrengelingsgetal: nee Schakelgetal: ja Aantal driekleurigen: ja Veeltermen: ja
verstrengelingsgetal
Een kruising in een diagram krijgt de waarde +1 of -1 met de volgende systematiek
Het verstrengelingsgetal is de som van die waardes van de kruisingen.
verstrengelingsgetal
Verstrengelingsgetal w(T) = -3
verstrengelingsgetal
Geen invariant: voeg een extra kruising toe met behulp van R1; de totale som zal veranderen.
driekleuringen
Een diagram wordt gekleurd met drie kleuren volgens de regels: Bij een kruising komen precies drie kleuren Bij een kruising komt precies één kleur
driekleuring
Invariant na te gaan met de Reidemeisterbewegingen
driekleuring
Kauffman-haakje
Een veelterm die uitgerekend wordt voor een niet-georiënteerd diagram Het vlak wordt door een kruising in “vieren”
gedeeld en volgens de onderstaande systematiek benoemd:
Kauffman-haakje
Vervolgens splitsen we de kruising:
Kauffman-haakje
We doen dit voor elke kruising en zo kunnen we voor een diagram met n kruisingen 2n nieuwe diagrammen maken, die toestanden noemen.
Kauffman-haakje
Definitie: Zij K een knoop en S een toestand van het
knoopdiagram; c(S) is het aantal componenten; a(S) het aantal A-splistsingen en b(S) het aantal B-splitsingen
Kauffman-haakje wordt berekend met de formule:
S
1)S(c)S(b)S(a dBAK
Kauffman-haakje
Kauffman-haakje
Berekening van Kauffman-haakje voor de klaverbladknoop: zie werklblad
Kauffman-haakje
<T> = A3d2 + 3A2Bd + 3AB2 + B3d
Op grond van de invariantie onder de Reidemeisterbewegingen moet er voor A, B en d de volgende relaties gelden: B = A-1
d = -(A2+A-2)
gevolg: <T> = A7 − A3 − A-5
Kauffmanveelterm
Kauffmanveelterm voor een georiënteerd knoopdiagram: w(K) is het verstrengelings-getal van knoop K en <K> is de Kauffman-haakje dan is de Kauffamanveelterm:
fK(A)=(−A)-3w(K)<K>
Kauffmanveelterm
In ons voorbeeld: w(T) = -3
fK(T) = (-A)9(A7 − A3 − A-5)
= -A16 + A12 + A4
Merk op dat wanneer je elke bovenkruising verandert in een onderkruising de veelterm verandert in fL = -A-16 + A-12 + A-4
en op grond daarvan kunnen we zien dat K en L verschillend zijn.
Jonesveelterm
Weefrelatie
Jonesveelterm
De Jonesveelterm VK is gedefinieerd voor een georiënteerd diagram en maakt gebruik van de weefrelatie: voor een diagram dat op één kruising verandert
geldt de volgende bewering:
1)(
)()1
()()( 01
ooptrivialeknV
KVtt
KtVKVt
Jonesveelterm
Gevolg van deze definitie is: bevat een knoop K niet geschakelde componenten dan is de Jonesveelterm:
tt
tt
t
tKV
1
1
1)(
2
Jonesveelterm
1)(
)()1
()()( 01
ooptrivialeknV
KVtt
KtVKVt
Jonesveelterm
Voorbeeld:
Jonesveelterm
)()1
()()( 012 KVtt
tKVtKV
)()1
(1 12 LVtt
tt
)()
1()()
1( 01212 LVt
ttLVtt
ttt
1)
1()
1()
1( 1212 t
tt
tttt
ttt
134 ttt
vlechten
vlechten
vlechten
vlechten
Elke vlecht is een knoop
Elke knoop is een vlecht Algoritme van Yamada-Vogel
knoop
literatuur
boeken: The Knot Book Colin C. Adams Knots and Physics Louis H. Kauffman Knots Alexei Sossinsky
internet
Homepage van Dror Bar-Natan, met onder andere de knopenatlashttp://www.math.toronto.edu/~drorbn/
Een webpage gemaakt door Stuart Rankin; hiermee kun je mooie plaatjes maken van elke knoop die je maar wilt hebben.http://srankin.math.uwo.ca/index.php
Een webpage gemaakt door Robert Scharein. Deze page bevat veel links; je kunt er ook het programma KnotPlot downloaden.http://knotplot.com/
Een page gemaakt door Bryson R. Payne. Veel informatie over de knopentheorie.http://www.freelearning.com/knots/index.htm