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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Das Jaynes-Cummings-Modell
Brem SamuelHauer Jasper
Lachmann TimTaher Halgurd
Wachtler Christopher
Projekt in Quantenmechanik II - WS 2014/15
12. Februar 2015
Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wachtler Das Jaynes-Cummings-Modell 1/ 29
EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Table of Contents
1 Einleitung
2 Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian
3 Diagonalisierung
4 Dynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Table of Contents
1 Einleitung
2 Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian
3 Diagonalisierung
4 Dynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Einleitung
1963 von E.T. Jaynes, F.W.Cummings
Wechselwirkung vonZwei-Niveau-Systems (ZNS)und quantisiertem EM-Feld
Effekte wieVakuum-Rabi-Oszillation,Collapse-Revival Dynamik
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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1 Einleitung
2 Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian
3 Diagonalisierung
4 Dynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
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Der Atom-Hamiltonian
Annahme: elektronisches ZNS
z.B. Valenzelektronen im Atom oder Festkorper
Bekannten Eigenenzustande und -energien
Grundzustand (Ground State) |g〉angeregter Zustand (Excited State) |e〉
”Atom“ Hamiltonian : HAtom = ~
∑i=g ,e
ωi |i〉 〈i |
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Der EM-Feld-Hamiltonian
Einzelne quantisierte Lichtmode
Hamilton Operator in zweiter Quantisierung:
HFeld = ~ωc†c
Mit zugehorigen Energieeigenwerten En = ~ωn zu Eigenzustanden |n〉(harmonischer Oszillator)
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
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Der Wechselwirkungs-Hamiltonian
Dipol-Naherung: HWW = −d · Ed = dge |e〉 〈g |+ deg |g〉 〈e|E = αc† + βc
mit Rotating-Wave-Approximation(Energieerhaltung)
HWW = ~g(|g〉 〈e| c† + |e〉 〈g | c)
g = Kopplungsstarke
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Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian des Gesamtsystems
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
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Darstellung durch Pauli-Matrizen
ZNS Wellenfunktion als 2D-Vektor :
|ψ〉 = Cg |g〉+ Ce |e〉∧=
(Ce
Cg
)Hamiltonian lasst sich durch Auf- und Absteigeoperatoren darstellen:
HJC = εσ+σ−+~ωc†c+~g(σ−c†+σ+c)
σ+ = 12 (σx + iσy ) =
(0 10 0
)und σ− = 1
2 (σx − iσy ) =
(0 01 0
)
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Anregungszahlerhaltung
Anregungszahloperator :
N = c†c + σ+σ−
Betrachte zeitliche Entwicklung von 〈N〉:[HJC , N
]= 0
⇒ 〈N〉 ist Erhaltungsgroße
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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1 Einleitung
2 Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian
3 Diagonalisierung
4 Dynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Diagonalisierung
HJC und 〈N〉 haben gemeinsame Basis aus Eigenvektoren
Entwickle nach ungestorten Eigenzustanden |σ, n〉 = |σ〉 ⊗ |n〉 mitσ = g , e
HJC =∑σ,σ′
∑n,n′|σ′, n′〉 hσ
′,n′σ,n 〈σ, n| mit hσ
′,n′σ,n = 〈σ′, n′|HJC |σ, n〉
Außerdem aus der Anregungszahlerhaltung:
hσ′,n′σ,n = 〈σ′, n′|HJC |σ, n〉 = 0 fur |n − n′| > 1
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Diagonalisierung
Definiere 2× 2-Matrizen
H(n)JC∧=
(hg ,ng ,n he,n−1
g ,n
hg ,ne,n−1 he,n−1e,n−1
)=
(~ωn ~g
√n
~g√n ε+ ~ω(n − 1)
)Blockdiagonalmatrix:
HJC∧=
0 0 0 0
0 H(1)JC 0 0
0 0 H(2)JC 0
0 0 0. . .
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Diagonalisierung des Jaynes-Cummings Hamiltonians
Diagonalisiere H(n)JC fur beliebige n
Bestimme dafur zunachst Eigenwerte von H(n)JC zu den Eigenzustanden
|ψ(n)i 〉:
H(n)JC |ψ
(n)i 〉 = E
(n)i |ψ(n)
i 〉
Liefert:
E(n)± = ~ωn + ~
2
(δ ± Ω(n)(δ)
)Mit dem Frequenz-Detuning: δ = ωge − ωUnd der verallgemeinerten Rabi-Frequenz: Ω(n)(δ) =
√δ2 + 4g2n
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Dressed States
Neue Eigenzustande
|n+〉 = sinαn |g , n〉+ cosαn |e, n − 1〉|n−〉 = cosαn |g , n〉 − sinαn |e, n − 1〉
mit αn = arctan(
2g√n
δ+Ωn
)Kopplung von EM-Feld und Atom fuhrt zur Hybridisierung derZustande
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Energieeigenwerte des Jaynes Cummings Hamiltonians
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1 Einleitung
2 Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian
3 Diagonalisierung
4 Dynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
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EinleitungDer Jaynes-Cummings-Hamiltonian
DiagonalisierungDynamik der Besetzungswahrscheinlichkeit
Zeitliche Dynamik
Entwickle”nackte“ Produktzustande:
|ψ(t)〉 =∑nCe,n(t) |e, n〉+ Cg ,n(t) |g , n + 1〉
Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild :
i~∂t |ψ(t)〉 = HWW |ψ(t)〉
Einsetzen liefert Bewegungsgleichung fur Koeffizienten:
Ce,n = −ig√n + 1Cg ,n
Cg ,n = −ig√n + 1Ce,n
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Zeitliche Dynamik
Anfangsbedingung : ZNS angeregt und Feld in beliebigem Zustand
Losung :
Ce,n(t) = C 0n cos(g
√n + 1t)
Cg ,n(t) = −iC 0n sin(g
√n + 1t)
Mit Photonenstatistik p(n) =∣∣C 0
n
∣∣2
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Zeitentwicklung der Besetzungsinversion
Betrachte die Besetzungsinversion:
∆ = 〈ne〉 − 〈ng 〉 = 〈σz〉
Einsetzen ergibt:
∆(t) =∞∑n=0
p(n) cos(2g√n + 1t)
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Verschiedene Lichstatistiken
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Fockzustand
∆(t) = cos(2g√n0 + 1t)
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Thermisches Lichtfeld
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Koharenter Zustand
”Quantum-Collapse/-Revivals“
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Einfluss von Kopplungsstarke g
g=1 g=2
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Einfluss der mittleren Photonenzahl 〈n〉
〈n〉 = 20 〈n〉 = 40
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Literaturangaben
[1] M. O. Scully: Quantum Optics (Cambridge University Press, 1997).[2] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Grynberg: Atom-photon
interactions: basic processes and applications (J. Wiley, 1992).[3] D. Suter: Vorlesungsskript Laserspektroskopie und Quantenoptik
(Sommersemester 2010).[4] A. Knorr: Vorlesungsskript Theoretische Optik (Sommersemester 2014)
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Danke fur die Aufmerksamkeit.
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