\376\377\000G\000I\000S\000c\000i\000e\000n\000c\000e

PODACI U GIS-u

PROSTORNI PODACIOPISNI PODACITopologija

Geometrija

IdentifikacijskiOpisni

IzvedeniStrukture podatakaRazmotre li se podatci sa stajalita prvenstva njihova svojstva i poloaja s obzirom na unutarnju strukturu potrebnu za implementaciju tih dvaju pogleda, mogue je

razlikovati dvije temeljne strukture (modele) podataka: rasterski i vektorski model.GEOPROSTORNE STRUKTURE PODATAKASadre sve detaljne informacije za implementaciju modelaU potpori su projektiranju algoritama geoprostornih operacijaVEKTORSKE STRUKTURERASTERSKE STRUKTUREGRAFOV I (VOR, RUB)EUK LIDIJS KA GEOM E TRIJA

S LOJE VIGRA FIK I PRE DS TAVLJENI OBJEK TI (TOK A, LINIJA, M NOGOKUT)O B J E K T N OO R I J E N T I R A N

ELIJSK I UTEM E LJENA PODIJELA PROS TORAP R O S T O R N OO R I J E N T I R A NPROSTORNI KONCEPTFormalni ili neformalni opis ljudskog shvaanja prostora, objekata u prostoru i odnosa meu njimaAPSTRAKCIJA REALNOSTIVektorska struktura podatakaVektorski model podataka sadri koordinate toaka, crta i mnogokutova te njihovo prikazivanje vektorskim oblikom u pravokutnom x, y koordinatnome sustavu. Vektorski model tako pamti parove x, y odabranih koordinata toaka, odnosno kod objekta definirana ravnom crtom koordinate dviju krajnjih toaka. Ako je crta zakrivljena, njezini krajevi predstavljaju vorove, a crta se aproksimira nizom toaka zadanih koordinata. Objekti u obliku mnogokuta omeeni su crtama, odnosno nizom toaka poznatih koordinata.

Moemo rei da vektorski podatci predstavljaju poloajne podatke nuldimenzionalnih, jednodimenzionalnih ili dvodimenzionalnih objekata u obliku pravokutnih koordinata (koordinate toke, koordinate uzdu crte). Vektorski grafiki prikazi omoguuju vrlo precizan prikaz objekata, ali struktura moe biti vrlo sloena. Valja napomenuti da sloenost ne djeluje na kvalitetu dvodimenzionalnih grafikih prikaza, kojima je dobro

prilagoena, posebno uz mogunost uporabe crta razliitih vrsta, debljina i boja.Vektorska strukturaVektorski podaci predstavljaju poloajne podatke nul-, jedno- ili dvodimenzionalnih objekata u obliku pravokutnih koordinata (koordinate toke, uzdu linije i sl.)

Toka predstavlja diskretni objekt kojemu je povrina premala da bi se obuhvatila mnogokutom ili uope nema povrine (nuldimenzionalni objekt 0D), ve se uz nju

vee kakav atribut, npr. nadmorska visina uz trigonometrijsku toku. Crtu ini niz koordinata koje spojene predstavljaju konturu objekta koji je preuzak da bi se

prikazao mnogokutom ili uope nema irine, to je sluaj s izohipsama

(jednodimenzionalni objekt 1D). Mnogokutom se prikazuju objekti koji ine potpuno zatvorenu povrinu (dvodimenzionalni objekti 2D). Dodamo li podatcima u ravnini

kao atribut visinu u odnosu na referentnu plohu, govorimo o dvoipoldimenzionalnimobjektima (2.5D). Potpuni trodimenzionalni objekti (3D) odreeni su prostornim koordinatama u promatranome koordinatnome sustavu, a doda li im se i vremenska sastavnica, dobiva se etverodimenzionalni objekt (4D).

Rasterski model podatakaRasterski model podataka prikazuje objekte u prostoru povrinama, pri emu se osnovni geometrijski element naziva piksel (eng. picture element, pixel). Slikovni je element geometrijski lik odreena oblika i povrine te se ne smije poistovjetiti s geometrijskom definicijom toke. Rasporedom piksela u slikovnoj matrici definiran je raster. Poloaj pojedinoga piksela odreen je redom i kolonom unutar slikovne matrice i pohranjuje se u memoriji raunala jednim bitom, odnosno jednim ili vie bajtova (osam bita) u sluaju nijansa boja. Na taj su nain u bazu podataka uneseni prostorni objekti, ali i sav okolni prazan prostor, to zauzima mnogo memorijskoga prostora i ograniava operacije s rasterskim modelima. Razluljivost jednom stvorene rasterske slike nije mogue poveati jer se poveanjem mjerila dobiva zrnata slika, a takoer je vrlo teko identificirati, mijenjati i brisati pojedine objekte. U rasterskome prikazu ne razlikuju se toke, crte i povrine, odnosno ne postoji logika veza izmeu slikovnoga elementa, ve samo svojstva pojedinoga piksela. Uz informacije o poloaju piksela jo je bitna informacija o njegovu sadraju.

Rasterski prikaz zasniva se na povrinama s osnovnim geometrijskim elementom piksel iji je poloaj odreen redom i kolonom u tzv. slikovnoj matrici.

Da bi rasterski prikaz bio kvalitetan, mora sadravati milijune piksela koji prepoznaju odreen broj boja (6 ili 24 bita) pa bi takva datoteka bila veliine nekoliko MB. Svaki se pojedini slikovni element moe posebno tretirati, to ne e utjecati na ostale piksele.

Rasterska struktura

Rasterski tip podataka moe imati jedan ili vie kanala. U jednokanalnim rasterima vrijednost pojedine stanice mogue je definirati na tri naina. Monokromatski raster svakoj stanici dodjeljuje vrijednost 0 ili 1. Ovaj tip rastera najee se rabi kod skeniranja karata s jednostavnom linijskom mreom, npr. orografske kartografske podloge. U jednobojnoj polutonskoj slici svaka stanica ima vrijednost od 0 (crno) do

255 (bijelo), a rabi se za crno- -bijele aerofotosnimke te rastere s osjenanim modelom reljefa. Kod jednokanalnoga rastera u boji svaka stanica predstavlja kodiranu kombinaciju crveno-zeleno- plave vrijednosti. Viekanalni raster svaki pojedini kanal predstavlja segmentom elektromagnetnoga spektra te se razlikuje

crvena, zelena i plava sastavnica (RGB red, green, blue). Viekanalne slike nastaju

skeniranjem kartografskih predloaka na stolnim skenerima ili Zemljine povrine viekanalnim skenerima u satelitima. Radi lake obrade podataka najee se viekanalne slike prebacuju u jednokanalne, osim kod analiza viekanalnih rasterskih slika satelitskih snimaka, pri emu se procesom klasifikacije izdvajaju i grupiraju pikseli istih vrijednosti te im se dodjeljuju odgovarajui atributi.

U rasterske oblike podataka spada i prilagoeni ARC/INFO format GRID, stanino organizirana struktura podatkovnoga sloja. Svaki piksel predstavlja odreenu stanicu podatkovnoga sloja kojoj je mogue dodijeliti odreene atribute unutar definirane

tablice atributa (Value Attribute Table VAT). Rasterskim modelom podataka GRID

mogue je brzo raunanje izmeu meusobnih vrijednosti razliitih prostornih slojeva (tzv. rasterska algebra), npr. zbrajanje vrijednosti dostupnosti toke terenskim vozilima i otvorenosti toke s obzirom na mogunost zakrivanja prilikom definiranja boniteta utjecaja reljefa na provedbu bojnih djelovanja.

PostojedvatipastrukturaGRID:diskretniikontinuirani.DiskretniGRID podrazumijeva kategorijske informacije kao tip namjene zemljita, pedoloke ili vegetacijske kartirane jedinice i sl. Pri tome su podatci uvijek smjeteni u zajedniku cjelinu. Kontinuirani GRID sadri brojane podatke najee grupirane u odreene razrede kao npr. visine terena (hipsometrija), prosjene godinje padaline i sl. Podatci se mogu pohraniti kao zajednike ili kao samostalne toke GRID teme. Pojedinim je programima mogue, samo djelomino, rasterske slike automatski

vektorizirati, odnosno transformirati u vektorski oblik.y Toka

y Linija

y Poligon

VEKTORSKI MODELyx

x

x y y

y

RASTERSKI MODELx x xOpisni podatciOpisni podatci objekta odnose se na njegovo dodatno tumaenje i opisivanje. Opisni su podatci za prometnice irina kolnika, maksimalni nagibi, doputena brzina vonje, za vodotoke dubina korita, srednji, maksimalni i minimalni protok, vrsta dna (mulj, kamen...) itd. Kako je organizacija tih podataka najee relacijska, oni su smjeteni u tablice. Povezanost je s pripadnim prostornim podatcima preko definiranih

identifikatora. Opisni podatci pojedinoga prostornoga objekta sadre klasifikacijsku ifru, koja poblie definira tip objekta, npr. kategorizacija trigonometrijskih toaka (tt.

1. reda, tt. 2 reda...), ili kategorizacija prometnica (dravne, upanijske, lokalne) itd. U kontekstu geografskih ili prostornih podataka opisni podatak ili atribut predstavlja injenicu o mjestu, skupu mjesta ili entiteta na Zemljinoj povrini. On moe biti rezultat mjerenja odreenim instrumentom, rezultat interpretacije odreenih strunjaka ili rezultat povijesnih ili politikih dogaaja.

Jednostavne tipove atributa mogue je podijeliti u skupinu kvalitativnih i kvantitativnih atributa. U kvalitativne atribute ukljuujemo toponime, klase litolokih jedinica, vegetacijskih areala i sl., dok kvantitativna obiljeja predstavljaju svojstva razliitih mjerenja, rezultate razliitih analiza. Obiljeja atributa, kako kvantitativna, tako i ne kvantitativna, mogu ukljuiti dvije vrste vrijednosti: ne kontinuirane u obliku vrijednosnih kategorija i rangova te kontinuirane u obliku vrijednosnih nabrajanja, suma i rangova.

Kategorije su skupine slinih pojmova (objekata) koje pomau da se podatci smisleno organiziraju i prikau. Sva su obiljeja iste vrijednosti za odreenu kategoriju slina na odreen nain i razlikuju se od obiljeja koja imaju druge vrijednosti za tu kategoriju. Na primjer, ceste se mogu kategorizirati na autoceste, magistralne ceste i lokalne putove, a kriminalna djela po tome da li su provale, krae, napadi itd. Vrijednosti za kategorije mogu se prikazati koristei se numerikim ili tekstovnim oznakama. Tekstovne su vrijednosti esto kratice kako bi se utedjelo na prostoru u tablicama. Rangovima se obiljeja svrstavaju prema odreenome redoslijedu, najee od najviega prema najniemu. Upotrebljavaju se kada su izravna mjerenja oteana ili kada je kvantiteta predstavljena kombinacijom razliitih imbenika. Budui da su rangovi relativne vrijednosti, poznato nam je jedino kada obiljeje padne u redoslijedu, ali ne znamo koliko je poveanje ili smanjenje te vrijednosti. Tako moemo znati da obiljeje svrstano na tree mjesto ima vrijednost veu od dva i manju od etiri, ali ne znamo koliko je to vie, odnosno manje. Sume i iznosi prikazuju ukupne brojeve. Suma je stvaran broj obiljeja prikazanih na karti. Iznos moe biti bilo koja mjerljiva veliina povezana s odreenim obiljejem. Uporaba suma ili iznosa doputa uvid u stvarnu vrijednost svakoga obiljeja i meusobnu usporedbu veliina s drugim obiljejima. Odnosi prikazuju meuodnos izmeu dviju veliina i raunaju se dijelei jednu koliinu drugom za svako obiljeje. Upotreba odnosa ponitava razlike izmeu velikih i malih povrina ili podruja s puno ili malo obiljeja

tako da kartografski prikaz tonije prikazuje distribuciju tih obiljeja. Dva su posebna odnosa razmjeri i gustoe. Razmjeri pokazuju kolik je udjel pojedinoga dijela prema cjelini, a iskazuju se u postotcima. Gustoa pokazuje distribuciju obiljeja ili vrijednosti po jedinici prostora.

Modeli podatakaPodatci se pohranjuju u bazu podataka na organiziran nain rabei odgovarajui model podataka. Model podataka osnova je za razvoj sustava za upravljanje bazama podataka. To je formalan sustav koji mora imati barem sljedee tri sastavnice:

skup objekata koji su osnovni elementi baze podataka

skup operacija koje moemo izvoditi nad objektima i kojima se mogu pretraivati, dobivati i preinaivati podatci o tim objektima

skup opih pravila integriteta podataka koji definiraju skup konzistentnih stanja podataka ili promjene stanja ili pak oboje i koja su openito primjenljiva na bilo koju bazu podataka koja rabi taj model.

Model podataka dakle definira skup osnovnih koncepata koji definiraju postupak

opisa podataka, manipulaciju podatcima, mogunost postavljanja upita i integritet podataka. Sustav za upravljanje bazom podataka (Database Management System

DBMS) programski je sustav koji osigurava osnovne funkcije odabranoga modela podataka u postupku kreiranja i uporabe baze podataka. Sustav za upravljanje bazom podataka posebnim programskim jezicima omoguuje opis i manipulaciju podatcima, visoku razinu suelja prema podatcima neovisno o strukturi podataka, uinkovitu uporabu i razumijevanje informacija pohranjenih u bazi podataka na temelju skupa programskih pomagala.

Modelom podataka opisujemo strukturu podataka informacijskoga sustava koja se, zahvaljujui odabranu sustavu za upravljanje bazom podataka, implementira u odgovarajuu bazu podataka. Podatcima se uvijek opisuju elementi organizacijskoga sustava koji su zanimljivi za informacijski sustav te njihova meusobna struktura. Kako smo ve napomenuli u uvodnome dijelu, model je apstrakcija, odnosno pojednostavnjen prikaz promatrana stvarnoga svijeta. Elementi stvarnoga svijeta (entiteti pojave) preslikavaju se na odgovarajue elemente informacijskoga sustava (objekti) koji prikazuju dijelove stvarnoga svijeta na apstraktan nain, pogodan za raunalnu obradu, i to kroz odgovarajue koncepte modela podataka.

Ve smo napomenuli da se geografski prostor sastoji od objekata koji mogu biti stvarni ili apstraktni i koje nazivamo entitetima. Neka su svojstva entiteta takva da vrijednost njihovih atributa jednoznano odreuje entitet u promatranu skupu, dakle ne postoje dva entiteta s posve istim vrijednostima tih atributa. Takve atribute nazivamo identifikatorima ili kljuevima entiteta. U relacijskim bazama podataka takve atribute zovemo primarnim kljuevima. Klju (identifikator) jednostavan je ako se sastoji od samo jednoga atributa. Sloeni klju sadri dva ili vie atributa. Osnovna je informacija opis jednoga svojstva koje posjeduje odreeni entitet. U skladu s ovom definicijom moe se zakljuiti da vrijednost pojedinoga atributa u bazi podataka predstavlja podatak kao materijaliziran oblik prikaza elementarne informacije.

Entiteti koji su elementi istoga skupa kao i entiteti iz razliitih skupova mogu meusobno stajati u razliitim odnosima. Pri tome odnos izmeu dvaju i vie entiteta takoer ima odreena svojstva i moe biti jednoznano odreen. Klasifikacija odnosa izmeu entiteta iz istoga ili vie razliitih skupova entiteta vrlo je vana. Posebno su vani binarni odnosi, gdje odnosi izmeu dvaju skupova entiteta, koji ne moraju nuno biti razliiti, predstavlja preslikavanje tipa jedan prema jedan, jedan prema mnogo i mnogo prema mnogo.

Analiza sustavaKonceptualno modeliranjeOblikovanje IS Logiko modeliranjeFiziko modeliranjeIzrada IS

STVARNI SVIJETKONCEPTUALNI MODELLOGIKI MODELFIZIKI MODEL

entiteti/objekti vezeatributirelacije vezefiziki slogovi adresiranje

BAZA PODATAKARAZINE OBLIKOVANJA BAZE PODATAKA :

1.VANJSKI MODEL - Definira podskupove vanjskog svijeta

2.KONCEPTUALNI MODEL - Sinteza vanjskog modela s pomou tehnike modeliranja podataka

entitet-relacija, objektni model3.LOGIKI MODEL - Transformacija konceptualne razine u logike modele podataka - (hijerarhijski, mreni) relacijski, objektni, objektno-relacijski ipolustrukturirani model4.UNUTARNJI MODEL - Prevoenje logikog modela u strukture podataka i algoritama

Vrste modela podatakaOd pet osnovnih, za dva se moe kazati da su povijesna: hijerarhijski i mreni model. Uporaba relacijskog modela, to se GIS-a tie, polagano se pridruuje prethodno spomenutima, dok prevladavaju objektno-relacijski, odnosno objektni model. Hijerarhijski model organiziran po sistemu stabla. Poligoni se rastavljaju na linije, linije na toke. Pristup podatcima je uglavnom veoma brz, ali su neki podatci zapisani viestruko.

Mreni model proiren hijerarhijski model. Svaki podatak moe referencirati vie nadreenih slogova, a svi se odnosi meu objektima moraju unaprijed tono odrediti. I sva se pretraivanja izvode po unaprijed definiranim putovima. Zbog toga je problematino proirivanje.

Relacijski model moda najpoznatiji i komercijalno najraireniji model podataka. U relacijske baze spadaju MS Access i SQL server te open source baza MySQL. Mnogo se koriste za web aplikacije i za desktop konfiguracije raunala. U GIS desktop aplikacijama ovaj model dominira. Osnova je tog modela prikaz podataka odnosima (relacijama), odnosno tablicama. U stupcima su predstavljene vrijednosti a redci su informacije o jednom objektu relacije. Unos podataka je, kao i brisanje i pretraivanje, jednostavan. Domene (zapisi) relacija moraju biti nedjeljive (toke, linije), tako da se ne mogu prikazati kompleksni objekti (poligoni) u jednom zapisu. Objektno orijentirani model skup kompleksnih objekata sastavljenih u cjelinu. Koncept ove strukture jest zbirka (skup) zasebnih elemenata objekta, od kojih se svaki moe ugraditi u vie drugih cjelina, to omoguava bolji obuhvat meusobnih odnosa. Svaki objekt sadri u sebi upisanu podatkovnu i procesnu strukturu to omoguava i bre izvrenje postavljenih zahtjeva. Objekti se sastoje od identifikatora, podatkovne strukture i opisa naina rukovanja (metoda posluivanja). Sve dakle vezano uz pojedini objekt, definirano je unutar samog objekta van kojega ne postoji nita to bi opisivalo njegovu strukturu, sadraj ili ponaanje. Identitet pojedinog objekta tako je trajno svojstvo istoga, bez obzira na promjenu stanja ili strukture. Zbog toga je smanjena mogunost gubitka podataka, te olakano njihovo umetanje ili brisanje bez rekonstrukcije topolokih odnosa kod svake radnje.

Objektno relacijski model taj se model najee primjenjuje u GIS-u (mobilni, web...). Pristup informacijama je objektni. Objektne informacije integrirane su u relacijski model. Drugim rijeima, relacijski model podataka proiren je objektno orijentiranim konceptom to omoguava upravljanje i zapis cjelovitog kompleksnog

(npr. poligon) geoprostornog podatka. Time je nadvladano jedno od temeljnih ogranienja relacijskog modela koji zahtjeva zapise nedjeljivih entiteta toaka i linija, dok se kompleksni objekti (mnogokuti) zapisuju pomou nedjeljivih entiteta i

njihovim odnosima.Primjeri logikih modela podataka

HIJERARHIJSKI MODEL

1a2d3AODNOS OTAC-SIN

b ceO4ABabc

bed122441423423X,X,

X,X,

X,X,

X,X,

X,X,

X,X,

MRENI MODEL

1a2d3AODNOS VLASNIK Bb ceO

4ABabcde1234 X,Y X,Y X,Y X,YRELACIJSKI MODEL

1a2d3ABbRELACIJAskup n-torki odreen imenom icpridruenim atributimae4OBJEKT

POLIGON

LINIJATOKAOBJPOL

POLLIN

doTOxyO AA a O BAb AcB b B e B d

1xy

2xy3xy4xy

Rekonstruirajte prostorni objekt na temelju prikazanog modela podataka

O34ABCDECDFGH5,11,22,33,4

4,5

3,2

4,3

2,66,77,4

Rjeenje:1B2F6CA334GD5E4H7GEOMETRIJSKO TOPOLOKI KONCEPT PROSTORNIH PODATAKAGeometrija prostornih podatakaGeometrija omoguava formalni prikaz apstraktnih obiljeja i struktura prostora, a temelji se na naelu nepromjenjivosti (stalnosti) tih obiljeja. Geometrija osigurava kvantitativni opis prostornih objekata putem koordinata i matematikih funkcija. Geometrija prostornih podataka ukljuuje:

poloaj objekta poloaj objekta u odnosu prema izabranom referentnom koordinatnom sustavu

dimenziju objekta odnos prema prostornom prostiranju (0-dimenzionalni 0D, 1- dimenzionalni 1D, 2-dimenzionalni 2D, 2.5-dimenzionalni 2.5D i 3-dimenzionalni

3D.

oblik objekta apstrakcija geometrijske strukture objekta (toka, crta, mnogokut)

veliinu objekta duljina, povrina i volumen objekta

orijentaciju objekta predstavlja usmjerenje objekta, a odreena je vektorom orijentacije.

Matematike funkcije za opis geometrije ovise o tipu koordinata referentnog koordinatnog sustava, kojim je odreen njihov prostorni poloaj.

Euklidski prostorEuklidska geometrija utemeljena je na beskonanom prostoru (euklidski prostor d) koji se sastoji od konanog skupa toaka. Temeljni objekti euklidske geometrije su toke i beskonane crte, a operacije nad njima su definirane aksiomima. U euklidskoj geometriji mogue je unijeti toku izmeu bilo kojih dviju toaka.

Euklidski prostor i euklidska geometrija dobila je ima po Grkom matematiaru Euklidu (gr. , 330. pr. Kr. - 275. pr. Kr.). U svojoj knjizi Elementi naveo je niz aksioma, teorema i dokaza vezanih za opis kvadrata, krunice, toke, linije, itd. Jedna od najvanijih funkcija u Euklidskom prostoru je metriko opisivanje duljine izmeu dvije toke. Za odreivanje udaljenosti potrebno je definirati odreene mjere.

U veini sluajeva upotrebljava se euklidska udaljenost (dE):

dE 2 T1 ,T2

x2x1 2

y 2y1 2Euklidska udaljenost definirana je kao najkraa udaljenost izmeu dviju toaka T1(x1, y1) i T2 (x2, y2)

U euklidskom prostoru se moe definirati koordinatni sustav tako da je udaljenost izmeu toaka definirana pomou korijena iz sume kvadrata koordinatnih razlika, te je euklidska geometrija veoma popularan nain rjeavanja geometrijskih problema.

TopologijaTemelj je prostornih analiza topologija, grana geometrije koja se bavi prostornim odnosima oblika i prostora. Topologija prouava svojstva koja se ne mijenjaju prilikom primjene topolokih transformacija kao to su translacija, rotacija, rastezanje ili uvijanje. Topologija prouava vrste oblika i njihova svojstva te je za provedbu bilo kakvih prostornih analiza uporabom alata GIS-a potrebno dobro poznavati topoloke odnose izmeu njih. Moemo zakljuiti da se topologija bavi samo ne metrikim prostorom te se metrike vrijednosti, u koje spadaju koordinate, duljine, kutovi i dr., ne razmatraju u okviru topologije.

Poetci topologijeRad vicarskog matematiara i fiziara Leonharda Eulera (1707. 1783.) pod nazivom 'Solutio problematis ad geometriam situs pertinetis' iz kolovoza 1735. godine smatra se poetkom topologije. U njemu je postavio osnove topologije rjeavajui problem 'Sedam mostova Knigsberga'. U tom je gradu izgraeno sedam mostova koji povezuju rijekom Pregal razdvojene dijelove grada. Postavljeni je problem bio kako posjetiti svaki dio grada ali samo s jednim prelaskom pojedinog mosta.Problem je rijeio spomenuti matematiar tako da je najprije svaki dio grada predstavio tokom - vorom, a svaki most s crtom-linijom. Za rjeavanje problema nije bitno jesu li linije ravne, vie ili manje zakrivljene. Nije bitno niti je li pojedini vor lijevo ili desno od nekog drugog vora. Bitno je da su odnosi meu vorovima nepromijenjeni, tj. da odreen vor ostane povezan s tono odreenim vorovima. Uveo je stoga pojam stupnja vora broj koji govori koliko ga linija dodiruje. U Eulerovom grafu tri su vora treega stupnja i jedan petoga stupnja. Dokazao je da traeni put postoji ako je graf zatvoren te ako su ili dva ili niti jedan vor neparnog stupnja. Iznaao je rjeenje ne samo za ovaj sluaj, ve za razliit broj mostova. Ukratko, traeni put u sluaju mostova Knigsberga ne postoji! Pojam topologija uveo je i slubeno poeo koristiti njemaki matematiar Johann Listing godine

Osnove topologijeTopologija se dijeli u dvije osnovne skupine: topologija skupova toaka i algebarska topologija. Obje vrste topologije koriste se kod analiza prostornih podataka.

Topologija skupa toakaTopoloki prostor temelji se na konceptu "otvorenog skupa". Topoloki prostor je skup X s topologijom A nad X. Skupovi od X u topologiji nazivaju se otvorenim skupovima, a njihovi komplementi u X nazivaju se zatvorenim skupovima. Topologija skupa toaka bazira se na pojmovima pokrivaa, granice i unutranjosti te promatra njihove meusobne relacije izmeu razliitih skupova.

SKUP APOKRIVAGRANICAUNUTRANJOSTAlgebarska topologijaGrana geometrije koja se bavi algebarskim manipuliranjem simbola koji reprezentiraju geometrijske konfiguracije i relacije meu njima. Algebarsko-topoloki prostorni model podataka zasnovan je na osnovnim geometrijskim objektima koje se nazivaju elijama. elije su definirane za razliite dimenzije prostora:

0elija vor

1elija veza izmeu dvije razliite 0-elije

2elija povrina opisana zatvorenim nizom od tri 1elije koje se ne presijecaju

Toka je jednostavna 0 elija u 2.

Crta je niz 1elija u 2, tako povezanih da se niti presijecaju, niti formiraju zatvorene petlje. Jednostavna crta je crta s dvije odvojene granice, a kompleksna crta s vie od dvije odvojene granice

Regija je 2elija u 2 s ne praznom, povezanom unutranjou. Regija bez otvora jeregija s povezanom vanjtinom i povezanom granicom, a regija s otvorima je regija s odvojenom vanjtinom i odvojenom granicom

Integrirana topologijaU svrhu usporedbe elija s njihovom podudarnosti, potrebno je sve elije uloiti u isti univerzum. Ta integracija doputa rjeenje topolokih operacija na isto simbolikoj razini, bez potrebe razmatranja metrike prostora. Ta osnovna topoloka struktura mora ispuniti dva aksioma kompletnosti:

Kompletnost pojavljivanja presjek dviju elija ili je prazan skup ili je oblije obiju

elija. Na istoj lokaciji ne smiju postojati dva geometrijska objekta.

Kompletnost pripadnosti svaka n-elija je oblije (n+1)-elije. Stoga je u dvodimenzionalnom prostoru svaka 0-elija poetni ili krajnji vor 1-elije, a svaka 1- elija je na granici 2-elije

Binarne relacije izmeu dviju regija A i B

etiri presjeka izmeu granice i unutranjosti A s granicom i unutranjosti B

Binarne relacije izmeu dviju regija A i B

Devetpresjekaizmeugranice,unutranjostiivanjtineAsgranicom, unutranjosti i vanjtinom B

Binarne relacije izmeu dvije crte A i B u jednodimenzionalnom prostoru R1Devetpresjekaizmeugranice,unutranjostiivanjtineAsgranicom, unutranjosti i vanjtinom B

Odredite matricu devet presjeka za gornje primjere i definirajte topoloke odnose!Binarne relacije izmeu dvije crte A i B u dvodimenzionalnom prostoru R2Devetpresjekaizmeugranice,unutranjostiivanjtineAsgranicom, unutranjosti i vanjtinom B

Popunite vrijednosti matrice devet presjeka za gornje primjere!

B

LINT.odT.a b c d e1

2

1

2

32

4

4

3

4