Nguyễn Tăng Vũ |

1

ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

NĂM HỌC 2014 – 2105

ĐỀ TOÁN CHUYÊN. THỜI GIAN 150 PHÚT

Câu I. Cho phương trình 2 25 2 6 0 1m x mx m với m là tham số.

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó

tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên.

b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn điều kiện

4

1 2 1 2 16x x x x

Câu II.

1) Giải hệ phương trình

2

2

2 1 9

2 1 9

x y y x

y x x y

2) Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Chứng

minh bất đẳng thức 3 2 2.

MC MA NB NAMA NA

Câu III. Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa: 1 1 1a b c

a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố.

Câu IV. Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R (C A, C B).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các

tam giác ACH và BCH. Các đường thẳng CI, CJ cắt AB tại M, N.

a) Chứng minh AN = AC, BM = BC.

b) Chứng minh 4 điểm M, N, I, J cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng

MJ, NI và CH đồng quy.

c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R.

Câu V. Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng

của hai số còn lại.

a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5.

b) Tìm tất cả các bộ gồm 5 số thỏa mãn đề bài mà tổng của chúng nhỏ hơn 40.

Nguyễn Tăng Vũ |

2

Hướng dẫn giải.

Câu I.

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

2

2 2

2

22

5 0

6 5 0

6 30 0

1 1195 02 4

0

m

m m m

m m m

m m m

m

Khi đó ta có 1 2 2

25

mx xm

Vì 22 22

25 2 1 4 0 5 2 0 0 15

mm m m m mm

nên tổng hai nghiệm

của phương trình không thể là số nguyên.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm 0 0m . Khi đó 1 2 2

1 2 2

25

65

mx xmmx x

m

Ta có 4 1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

216

2

x x x xx x x x

x x x x

Trường hợp 1: 1 2 1 2 2 2

6 22 25 5

m mx x x xm m

. Đặt 2

25

mtm

ta có phương

trình: 23 2 0t t VN

Trường hợp 2: 1 2 1 2 2 2

6 22 25 5

m mx x x xm m

, đặt 2

2 , 05

mt tm

ta có

phương trình 2 21

3 2 3 2 0 23

tt t t t

t

Với 23

t ta có

2

2

22 4 4 18 20 0 55 9

2

m nm m m

m m n

Vậy giá trị m cần tìm là 52,2

m m .

Nguyễn Tăng Vũ |

3

Câu II.

1)

2

2

2 1 9

2 1 9

x y y x

y x x y

Đặt ,a x y b y x . Điều kiện , 0a b .

Ta có hệ phương trình

2

2

2 1 9 1

2 1 9 2

a b

b a

Lấy (1) trừ (2) ta có:

2 22 1 2 1 9

2 2 13 0

2 2 13

a b b a

a b a b

a b n

a b l

Với a = b, thế vào (1) ta có 22 2

2 1 9 1 12 2

a ba a

a b

Khi 2a b ta có 324

2

x yx y

y x

Khi 12

a b ta có 3

112

1 42

x yx y

y x

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ;x y là 3 3 3 31 14; 4 , ,4 4

2)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

1

1

MC BC MC MA BCMA AB MA ABNB BC BN NA BCNA AC NA AC

Nguyễn Tăng Vũ |

4

suy ra 2

1 1 1. .

MC MA NB NA BC BC BC BC BCMA NA AB AC AB AC AB AC

Ta có 2

2 2 2 2 . 2.

BCBC AB AC AB ACAB AC

Và 2 . 2 2BC BC BC BCAB AC AB AC

Do đó 3 2 2.

MC MA NB NAMA NA

Câu III.

a) Từ đề bài ta có c a b ab , suy ra ab chia hết cho a + b.

Giả sử a + b nguyên tố. Ta có a < a + b, suy ra (a, a + b) = 1. Suy ra b chia hết cho a + b (vô

lý vì 0 < b < a + b).

b) Giả sử a + c và b + c đều là số nguyên tố. Khi đó

2 2c a b ab ca ab bc ca ab ab bc a b c b a c

Và 2b a c a b c

Dễ thấy b + c nguyên tố và b + c > b nên b + c và b là nguyên tố cùng nhau; tương tự a+ c

và a nguyên tố cùng nhau.

Mà ,a b a b a b b a c a b a , suy ra a = b = 2c, suy ra a + c = b + c = 3c không là

số nguyên tố vì c > 1.

Vậy khi c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố.

Nguyễn Tăng Vũ |

5

Câu IV.

a) Ta có HCB = CAB (cùng phụ ABC) và HCA = CBA (cùng phụ CAB).

Ta có CAN = NAC + ABC = HAN + ACB = CAN. Suy ra tam giác CAN cân tại

A, hay AN = AC. Chứng minh tương tự ta có BM = BC.

b) Tam giác CAN cân tại A có AI là phân giác nên cũng là trung trực, suy ra IC = IN,

suy ra INC = ICN = ICH + NCH = ½ ACH + 1/2 BCH = 450.

Tương tự thì JMC = 450.

Tứ giác MIJN có JMC = INC = 450 nên là tứ giác nội tiếp, hay M, N, I, J cùng

thuộc một đường tròn.

Tam giác INC cân có ICN = 450 nên CIN = 900, suy ra CI CM.

Chứng minh tương tự MJ CN.

Tam giác CMN có CH, MJ và NI là các đường cao nên đồng quy.

c) Đặt , .AC b BC a ta có 2 2 2 24a b BC R a

,2

AN AC b BM BC aAN BN BC MN MN a b BC a b R

Ta có

Nguyễn Tăng Vũ |

6

2 22 2 2 2 20 2 2 8

2 2 2 2 2 1

a b ab a b a b a b R

a b R a b R R

Đẳng thức xảy ra 2a b R

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng 2 2 1R khi C là điểm chính giữa đường tròn.

Khi đó 21 1. .2 2 1 2 12 2CMNS CH MN R R R

Đẳng thức xảy ta khi C là điểm chính giữa đường tròn.

Câu V.

a) Gọi 5 số đó là a, b, c, d, e. Do các số đều phân biệt nên ta có thể giả sử a < b < c < d

< e.

Theo giả thiết ta có: a + b + c > d + e, suy ra 1a b c d e .

Suy ra 1a d e b c .

Mà b, c, d, e là tự nhiên nên từ:

1, 1 2 22 2

d c b d c c b d b d be d c e c e c

Do đó 1 5a d b e c , suy ra , , , 5b c d e .

Vậy tất cả các số đều không nhỏ hơn 5.

b) Nếu 6 7, 8, 9, 10 40a b c d e a b c d e (vô lý), suy ra a < 6. Theo

câu a ta có 5a . Ta có 5 1 4b c d e b c d e . Mà

2 , 2 4 4d b e d e b c . Do đó

2, 25 2 2 4 40

31 312 1 72 2

b d c ea b c d e b c

b c b b

Từ đó ta có b = 6 hoặc b = 7.

Nếu b = 6, ta có d = 8, suy ra c = 7 và e = 9. Ta có bộ (5;6;7;8;9).

Nếu b = 7, ta có d = 9, suy ra c = 8 và e = 10. Ta có bộ (5;7;8;9;10).

Hết