Dadone- Macchine Idrauliche
Transcript of Dadone- Macchine Idrauliche
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A
DADONE
M CCHINE
IDR ULICHE
-
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2/91
ProprUti
letteraria riservata
St|>ito in Italia S I H P T R E iTorino
C o p y r i g h t
C. l .U.T . T o r i n o
Giugno
1987
I i j i o n i . I . II . I . - lo r in o
C .
so
U u c a d e g l i
A b r u z z i , 2* . -
10129
T o r i n o
tei
.54.21.92
V i S . O t t a v i o 20 - 1 0 1 2 < . T o r i n o tei.88.89.08
H I P H O O U Z I O M E IOAU
O
P R Z I L E V I E T T
PARTE
INTRODUZIONE
Consideriamoun
tratto
dicondotto
compreso
tra una
sezione
1 ed una
sezione
2 ed
ammettiamo
che intale
tratto
sia
inserita
u-
na
macchina
idraulica che
fornisce
alLiquido un
lavoro
L^
ad unit
di
massa
chel attraversa. Se intalecondottoil
liquido
inmoto
per-
manente
unidimensionale, il primo principio
de^atermodinamica,
scrrt
toinforma eulerianae
tenendo
presente
il secondo
principiodella
te
modinamica,
permette
di
affermare
che :
C
1 )
ovecon p si
indica
la
pressione statica;
con la
densit
del
liquido;
con e
la sua velocit; con
la
quotadella
sezione
corrispondente,rr
suratarispetto
ad un
asse verticale
con verso positivo nel senso
de_l
le
quote
crescenti;
con
L
il
lavoro delle
resistenze
passive
ad
unit
w
di
massa
che
fluisce
nel
condotto.
Nelle turbinesiottiene lavorodal
fluido,
anzich fornirglie-
ne;volendo
sottolineare
ci,
si pu
mettere
in
evidenza
il
lavoro
otte-
nuto
L..) anzich quello fornito
iott
e diconseguenzala (1 )da:
L.).
i
Evidentemente
L..)^
- L,
i
ott i
P
- P
2 2
2 )
-
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- 2 -
Nella (1
),
oltreallavoro delleresistenze, appaiono:
- ildislivellogeodetico
(z
- z );
2 1
- la
differenza
delle altezzepiezometriche, corrispondentealla diffe-
renza
p - p ) delle pressioni statiche ;
- ladifferenza delle altezzecinetiche, corrispondentealla _difjerenza
2
~2
delle energie cinetiche.
E forseopportunoricordarecheJ^^o^ujja^djeUa ltezza geo
detica
e di quellagiez^prn rica enda-ilmstm*-4i*U M Qmei.ricilir^
ai ha
quindi
:
** *
* *
H =z
La
somma
della quota
,
prendeil nomedicarico totale H: si haquindi
'-' i
l
i
rt'VHn*.-.a *..- ..
3
cinetica
z-f
4
Tenendopresente le (3), (4), la (1) si
scriveanche
nella for-
ma
:
(I1)
Dalla
(I 1) deriva che, in
assenza
di lavoro fornitoe
di
resi-
stenze
passive, ilcaricototalejriinane
costante(teoremadiBernoulli).
Consideriamo
un
condotto
in cui
fluisca
un
liquido
in
moto
per
manen t i ) unidimensionale;
con
riferimento
ad una
generica sezione
del
condotto, laportata
dimassa G espressa dalla relazione :
G
A
e
(5)
Poich
in un
liquido
la
densit Q
pu
essereritenuta costan-
te la
(5)
permette
di
affermare
che la
velocit
:
-
aumenta
in un
condotto convergente;
- si riducein un
condotto
divergente;
- restacostante in un
condotto
ad area costante.
Per
individuare
l andamentodella
quotapiezometrica scrivi*
mo
la 1)nel caso
di
un
condotto
senza fornitura di lavoro, si ha :
6
Sel azione delle resistenze passive trascurabile le (5), (6)
permettono
di
affermare
che la
quotapiezometrica
H :
- aumentain un condottodivergente;
- diminuisce in un
condotto
convergente;
- non
cambia
in un
condotto
a
sezione costante.
Contemporaneamente
il
carico totale
H non
cambia.
Queste
conclusioni
sonoriportate anche
in
tabella.
C
H
H
Condottoconvergente
aumenta
diminuisce
costante
Condotto costante
costante
costante
costante
Condotto divergente
diminuisce
aumenta
costante
L azionedelleresistenze passivegeneralmente si
esplica
:
-riducendo H in tutti icasi, inbasealla(6);
-
riducendo
H in un
condotto
a
sezione costante,
in
base
alla
6);
-
non
modificando,
in
generale,
lealtreconclusioni
riportate nella
ta-
bella.
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- 4 -
Per leturbomacchine
motrici
odoperatrici. comeper le
tur-
binea
vapore
e a
gas,
possibiletracciare
il
triangolo delle velocit
assoluta (e*)
relativa
alla
girante
(f)
e di
trascinamento
(*)
ricor-
dandola
relazione
vettoriale:
Inparticolare, tali
triangoli
possono
essere tracciati all in-
gresso (sezione
i ed
all uscita
(sezioni2)
daU girante.Alla compo-
nente
tangenziale
(e )
dellevelocita'assolutevalutate
intali
posizio-
ni
connessala coppia (C)dovut iieforzeesercitate dalle pale mo-
bili
sul
fluido,
secondo
la
relazione
:
u2
7
Conriferimentoad unapalettaturafissa,
indicando
conl'indice 2 le
grandezzein uscita e conl indice 1 quelle iningresso,la coppia con-
nessa
alleforzeapplicate
dalle
pale fisse
al
fluido
ancora
espressa
dalla (7).
Dalla (7).
tenendo
presente
che il
prodotto
Ca/G
rappresenta
illavoro L. fattodallepale mobilisulfluidoadunitdimassache at
traverso
la
girante,
si
ottiene:
L.
e
x
u. *
e
u
u2
ul
8
Volendo
mettere in evidenza illavoroottenuto anzich quello
fornito, la (8) pu
essere
scrittanl4a frma ,
(8 )
Con
riferimento
al
triangolo
delle
velocit, esprimendo
w e
w
in
funzione
di u e e tramiteilteoremadi Carnet, possibile
ottenereunarelazionecheesprimaillavoro fornitoB-'ftinziane delle
velocitassolute, relativee ditrascinamento:
(9)
La(9)prendeilnomediequazionediEuero.
- 5 -
Volendomettereinevidenzaillavoro ottenuto,
l'equazione
di
puesserepostonellaforma :
2
ott
2
Conriferimento alle velocit relativee ditrascinamentoil primo
priri
cipipdella termodinamica, scritto
in
formaeuleriana
e
tenendo
preaen
te
ilsecondoprincipio della termodinamica, porta ascrivere:
P
2
-
g < *
2
- V
2 2
Ul
+
L
=0
w
(10)
chepermette
di
collegare
le
variazioni
di
energia cineticarelativa
e di
energiadel
campo
di forze
centrifughe
alla
variazione
diquota piezo-
metrica
ed al
lavoro-delle
resistenze
passive.
Lemacchine
idrauliche
sipossono suddividerein
motrici
ed
operatrici. Le
macchine_mp.trici
di cui ciinteresseremosono le tur-
bine
ed i
motori volumetrici;
le
macchine
idrauliche
operatrici
o
pom
pesi suddividonointurbopompe,
pompe
astantuffi, pomperotative.
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12
Fig. 2
totoale.sia.massimoper
unajjortata pariali180%
circa_diq
sima; in condizioni
di
progeU iTl- SdIi5e5ta~quindi un p inferiore
al
massimo
possibile, ma al
diminuire
del
carico
si haun
ampio cara
p di regolazioneLcon rendi.mentoJ.Qiale.abbastanza.levato.
Il
secondo diagramma
che
interessa conoscere
quello
di po-
tenza, portata, coppia erendimenta..aL.variar
e-del
numerodigiri,
in
corrispondenza
al
valore
di
progettodella cadutautile
e ad
apertura
costantedeldistributore.
Il
diagramma
del
tiporiportato
in
fig.
3; il
valore
del nume
rodigiriper cui
potenza
e
rendimento
si
annullano prende
ilnome dT
Fig. 3
13
velocit
di
f u g a ;
in
tali
condizioni
l'intera
potenza interna. sviluppata
viene
assorbita dagli attriti
dagli
accessori.
Per individuare il comportamentodi unaturbinaalvariaredel
nujnero
di
giri
occorre conoscere
un
certo
numero
di diagrammi dei
t_ i
p indicato infig. 3, cias_cxma.corrispondente ad undiversovalore d f ^
l'apertura Ap deldistributore;ad
esempio
occorrerebbeconoscere i
diaframmi di
perdiverse aperture A, come indicatoinfig.4.
Fig.
4
Sutalepjgno
tracciamo
unaretta
orizzontale
s
corrisponden
te ad un
valore(
ytj l'iQtersezione di
taleretta
con le
curve
dei
ren-
dimentiljdividuruna
seriedipunti,ciascuno_c,a,ra.tteri?zatQ....daunacop_
pia d
valori
del
numero
digiri (n) edella
portata
in
volume (Q); l'in
siemdi
coppie
di
valori
cos
individuati
ha incomuneilvalore
T^del
rendimento
totale. Se
riportiamo talicoppie_su_undiagramma
(Q - n)
.i._punti,..cosi
ottenuti, rica.am.Qjjnajinea
di_ugual rendimen
piano; ripetendotaleprocedimento
con
altrivalori ^t otte-
niamo undiagrammacollinare, conrendimento massimoin
corrispon
dizj._al j;ojnj iitajd^
quindi
per
la coppia di
valori
Q
0
,
H O -
11
dia. ram.ma
collinare,
tracciato
per unassegnato valore di
-cadutautile,
permette
di
individuare completamente
il funzionamento
della
turbina : daportata, saltoutileerendimentosi
ricava
la
poten-
4
Numero
di
g i r i
e po rt at a specifici .
Aprimatista sembrerebbedi nonpoter
dire
nulla
circa
il fu n
zionamento di unaturbinaincorrispondenza ad unvaloredicaduta uti-
le
diverso
daquelloper cui
stato ricavato
il
diagramma
collinare.
Per cercare unacorrelazione supponiamo che la turbina fun
-
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Fig.
5
zioni
con una
nuova caduta utile
HU e
cerchiamo
i
valori
n e
Q1
di
numero
di
giri
e portata che permettonoalla turbina di funzionare in
condizioni
di similitudine fluidodinamica rispetto
alle
condizioni origj
narie
in
cui, utilizzando una cadutautile H
u.
ruotava
ad un
numero
di
giri
n, smaltendo unaportata Q.
Lasimilitudine
fluidodinamica
implicatriangoli delle
velocit
simili. Nelleduecondizioni nonmutailgradodi
reazione
infatti per
la 8 ) si ha :
(Li)
ott
Cul
u l
C
u2
Ul
U
2
U
l
quindi
per la
(11
1
)
:
Cul
U
l
u
U
l
ul
U
l
U
U
l
u
U
l
I
U
U
l
ur
costante
Se anche
le
perdite idrauliche
L
w
nella turbina
si
possono
ritenere
pr
porzionajl ad u. (come usvwiinente accade, salvo l influenza del cam
blamentedel numero di Reynolds), in
base
alla (19)
risulta
chevnei
15 -
din-
rasi
non
muta.
Dalle (18).(19)
s
ricava
:
k.:
L i
ott
pdalla
(111)
:
X
Diconseguenza si ha :
H
( 28 )
Per la similitudine
fluidodinamica
e
facendoriferimento alla
stessa
turbina
si
ottiene
:
( 29 )
La portata involumeproporzionalead unasezioneedalla corrispon-
dente
velocitdi
passaggio;
si ha
pertanto
:
Q
30
Le
(29), (30) permettono
di
determinare
ilvaloredi
n1
e di Q 1;
esse
inoltre
permettono
di
utilizzare,
per il tracciamento del
diagram-
ma collinare, risultati, di
prove
effettuate
con
valori
di caduta.utile di-
versi da
quello
per cui il
diagramma
stesso
tracciato; infatti
deter-
min.ito
1],
p > r
valori
n
1
.
Q
1
,
H
u
si
risale alla
coppia Q, n,
corri-
li pendente al salto utile Hy, cui competer un rendimentopariad
se
t i p u i
-
> ritener.- che ]m ed
??v
nonvariano
nelle
due
diverse
cori
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- 20 -
P )
u CV= 735 Hu
e quindi:
nVp7_J k
g
H
5
735
n D l__
VD
2
Q
38
Inbasealla (38) suldiagramma
collinare, tracciato
con rife_
rimentoalla
portata
specifica
ed
alnumero
specificodi
giri,
possi-
bile
tracciarele lineea
numero
di
giri
caratteristico
costante.
6 ) Turb i na Pe l ton
6.1. Descrizionedella macchina.
Dalbacino
di
prelievol acquaviene
avviata
alla turbinatrami-
te
una
condotta
forzata, al
termine della quale
posto
un
distributore
del tipo
difig. 6.
21
Neldistributore l acqua, sfruttando
l intero
salto
utile a disposi.
zione,
viene
accelerata sinoadunavelocit
contale velocit .col
pisce lapala circaalla suamezzeria, tangenzialmente alla circonfe-
renza
detta cerchiodei
getti.
La
pala
devia la
corrente
e la corrispoi
dente
variazione di
quantit
di
moto
imprimeunaforza
alla
pala,
.che
in tal
modo
mantenuta in rotazione; le pale sonoportate da un disco J
calettatosu un
albero.
otante_che
trasmette coppia,
e
quindi eroga p
tenza
ad un
utilizzatore.
Il numero dei
distributori
o
boccagli
pu va-
riareda 1 sinoad unmassimo generalmente nonsuperiore a 4.
Il
boccaglio
munito
di
spina centrale ajfo Doble
dal
nome
del
suo inventore); questa configurazione
permette
di
rendere minime
le
perdite
per attrito e di ottenere ungettocondistribuzione di velocit il
pipossibile
costante in
ogni punto
di una sua sezione; in tal
modo
il
getto
si
presenta
compattoe
cristallino,
senza zone
vorticose
in
peri-
feria, e_ pu essere..
meglio utilizzatosullapala,
che
raggiunge mante-
nendo
undiametro d praticamente costante
lungo
il tragittotra bocca
glioe pala.
La paladellaPelton a
forma
di
doppiocucchiaio;
in mezzeria
essa
presentaunosgigolo
vivo,
che ripartisce tra i due cucchiai il g_e
to
incdente;
questosi adagia
sulla
paia e ne
fuoriesce dopo
aver
subi-
tounadeviazione pari a (180-
?
). Unavista dellapala, insieme a
due sezioni della stessa, riportata infig. 7; intalefigura si notaan
che
la
presenza
del
taglio
E, che
praticato
con duescopi:
permei
-
a \
6
Fig. 7
-
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32
diffusore
Fig.
12
La (53) permette
di
affermare
che il
lavoroottenuto dipende_dal_-_.
' l'insieme delle perdite, mentre teoricamente indipendentedalla_jx>si-
zione della turbina rispetto aipeli liberideiserbatoi. Per tale motivo
f ;*-^
aihanno esempiditurbine
sommerse,
cio disposteal disottodel pelo
\ - libero
del
canale
discarico/
7
insiemead
esempi
di
turbine
.a,sifone,cio
disposte
al di
sopra
del
pelo
libero delserbatoio dipresa (tali esempi
33
n i
hanno
di
fatto
nel
carnpo
delle turbine
Kaplon,
non nel campo
Francis); pi
usuale
e il
caso
diturbine disposte tra il p o L < j Ubero d i - i
l u e serbatoi. Gii
schemi
di
principio
di
taliimpianti sono
riportati La
T i ; . 1 3 .
turbina sommersa
fdiffuor
curvo]
turbina aslfon
(di(tutor
diritto)
turbinanorma
Ji tuor
diritto)
Fig. 13
I,c considerazioniche seguonolimitanounpo'lapossibilit
di
t l l i 4 | i u r r la turbina inposizione indipendente dai due
serbatoi.
Applichiamola
(1)
tra lasezionedi uscita
dalla girante
della
i n i
. i 1 1 1 t L Ipelo
Libero v del
canale
di
scarico;
trascurando
la
velo-
rll nella sezione v, indicando con le
perdite nel
diffusoree con
p l . i
p r i ' t u i l o r i R atmosferica,
siha :
III
I*.,
-
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- 36 -
-
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2
2
we
59
ha :
Sommando
le
(54), (55). (57),
(59 )
e
tenendo
presente
la
(9
1
)
,
si
( L )
Li)o t t 2
2 2
^
= g
(H
- H ) - ( g Y
,
wd w g
we
60 )
Riconoscendo in H - H ) la
caduta
disponibilee confrontan-
m v
'~ K ~ - - '
do
la
( 5 3 )
con la (60) , si ha :
(61)
( 6 2 )
IL
=
L
.+
L +L
| w wdwgw e^
; H
La 60) , tenendo
presentela (3 ),
daanche
:
Li
n
..
= g H
- L .+ L +L )
ott
u wd wg
we
La
( 6 2 )mette
inevidenza che
(L)
differisce dal
termine
g
Tl^
non
soloper il lavoro delle resistenze
passive
nella
girante
e nel distribu
tore, maancheper leperditenel diffusore.
In
basealle (54). (59)
possibile
tracciare
la
linea dellequote
pitr/.ometriche,
che
risulta
del
tipo indicato
in
fig.
13
bis.
7.3.) Triangoli
delle velocit.
Coefficiente divelocit.
Nelle turbineFrancis
i
triangoli delle
velocit
hanno
aspetti di
versi asecondadelnumero digiricaratteristicodellamacchina (co-
me
vedremo meglio
in
seguito). Inoltre
in
alcuni
tipi
di
turbineFrancis
lo sviluppo
della pala
grande rispettoaldiametro medio e crrlspori
dentemente
il
comportamentodella turbina
non
unidimensionale; per
ragioni disemplicit cilimiteremoad unostudio unidimensionale del-
la
macchina,
analizzando
il comportamento del
fluido
in
corrisponderi
zaad un filetto mediodicorrente. Itriangolidivelocit li tracceremo,
In entrata ed inuscita, nel piano tangenteal filetto medioe contenente
7
Fig.
13
bis
la
velocit periferica. Nelcasodifig. 12essi risultanodel t iporipor-
tato
in
fig.
1 4.
[n
tale
figura si
osserva
che-
u ^
-
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38
Le condizioni di
massimo
rendimento si realizzanoquando e
nonhacomponenti
tangenziali,
poich cifacilita ilprogettodel
diffu-
soree neaumenta il
rendimento;
intali condizioc
V
UlCul
6 4
Anzich
ricorrere
?lladeterminazionedel
valore di u
/e che corri-
sponde
al
funzionamento
conmassimo rendimento idraulico, quindicon
c _ assiale, si
preferisce
introdurre ilcoefficiente di
velocit perife-
rica e cercarne l espressionenelle condizioni di massimo rendimento
idraulico.
Per
definizione
:
K =
6 5
Cerchiamo
ora diesprimere K infunzione di a e fi ; da l
la
fig.
14,
applicando
il
teorema
dei seni, si ha :
sin
c
x
sin
D altronde, essendo e = O :
ul
u u- cos a
Ul.Cul
s
n
e
H
v * u
cos
quindi:
K
c
i
2
cos
V
sin
6 6
Sembrerebbe
un circolo vizioso, p
L e l i f t
L a r . nno ru
i - n / . a i l i
K ri-
chiedecheaianoto fly ma
non
lo poich inqui-uto Upo
i l i u i a r r l i i n n
il
rendimento
idraulico
in
condizioni
di
progotto
non
v n r i ; i r i m i l i ) ,
M
mi
tando
praticamente
compreso tra 0,85 e 0,92.
La
( 6 6 )
permettedunque
di valutare il
coefficiente di
periferica di massimo
rendimento
idraulicouna
volta a a a u j j n . i L
,
^ e presunto, in baseall esperienza, ilvaloredi
^Jy
.
In
particolare,
la
funzione
che
appare nella
espressioni di
K
1
diagrammata infig. 15 per l usualecampo di
valori
di n (15 i-
I O 1 1 ) 1
(601-1.30).
F i g . 15
Poich
a e
praticamente variano insieme
con
continuit
dai
valori minimi ai massimi,
tenendo
presente il
campo
di valori di
n se ne
deduce
cheil coefficiente di
velocit periferica
pratica-
mente
compreso tra O, 55 e O,
90.
-
7. 4. )
C i
r a d o
di
r e a z i o n e .
U g r a d o
di
reazione
definitodalla(11
1
) che, per la
( 6 3 ) ,
pu
Mcr i .ua
; inche nella f o r m a :
- 41 -
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
22/91
40
H -
V 11
2g
1 H
y u
Applichiamo
il teorema dei
seni
alla
fig.
14;si ha
sin
Dalla
(64)
si ha (si
ipotizza dunque
S
H
y
u
sin
j?
1
cos a^
^
sin ( fl. r
a, U
l
67)
Sostituendonella (67)
si
ricaval espressione
del
grado
di rea
zione
in
condizioni
di
massimo rendimentoidraulico
:
=
1 -
2 2
u.
sin
jj
sin (
/?
-
a
)
2 2
2 sin (/?.- o.) u sin 0 cos a
sin
=
1 -
2 sin ( cos
a
68)
Dalla (68) si deduce cheil grado
di
reazionedipende solo,-dal
la geometria
della
macchina; esso
(
quindi lo
stessa
per macchioe, di
dimensionidiverse,
purch
similie funzionanti in
condizione
disimi-
litudine
fluidodinamica.
n diagramma del grado di reazione riportato in fig. 16; da
tale diagramma
si
nota come
il
grado
di
reazione
sia
praticamente
in-
feriore
a O,6 nel canpo divalori
usualmente adottati
per gli
angoli
a
Si
nota inoltre che per
= 60 ed a = 3 0 il grado di rea-
zione
si annulla; difatto il grado di reazione si annulla sempre per
S
=
2
a
infatti la
(68)
da
Z =
O.
In
tali
condizioni
la
turbina
presenta
uncomportamento ad
azione
eprende il nome di
turbina
limi-
te; si tratta di un
tipo
di
turbina
indisuso.
8
4
A3
2
O
O
= 3
1
2
3
4
Fig. 16
7.5.) Numero
di
giri
caratteristico.
La
3 7 ) da
l espressione
generale delnumero digiri caratteri-
stico; intendiamoora esprimerlo infunzione dialcune
grandezze
carat
teristiche della turbina
Francis.
Esprimendo n in
giri/min,
anche n andr espresso in
giri/
min
e risulter :
60
69 )
se con
intendiamo
ildiametro della girante nella
sezione
di
so.
Indicando
con B l altezza assialedeldistributore si ha poi :
B D e sin a
70)
La
potenza data
dalla
(23); se si adotta il sistema
M K S
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
23/91
- 42 -
risultaespressoin W, mentre
nella
(37) occorre introdurlamisura-
ta in CV;consegu.entem.ente:
A i
(P
>
Sostituendole (69), (71)nella (37)si ha :
60 u
1J , gQ
H
7 2 )
D'altronde valgono
le ( 64 ) ,
( 65 ) ;sostituendole
nella
( 7 2 )
si ha :
2 1
2
'
t
g 8 ( 2g ) '
'y
B
i0^
7 3 5 J t
D u e cos a
da cui,
assegnando
ad _Qf ed 77 i valoi_m ed iamente ..
. p i , ,
. . . .probabili
= O , 9 0 ;
=
O,
33) ,
si
ottiene
:
g a- ,
73)
La
( 7 3 ) mette in evidenzachej er,aunientare il numero di
giri
caratteristico
occorre
aumentare K o B/D o O . , ovvero
tutt~~~fre
contemporaneamente,
eoa
e in
praticaavviene: pertanto
n
minimo
si
otterr incorrispondenzaaivaloriminimiditali
parametri,
mentre
n massimosiavr per i
loro
valoripi
elevati.
Ilvalore minimo di a 15 , il minimo di K per
a
= 1 5
si ha per S
= 60
ed paria
circa
O, 62 (vedila
( 6 6 )
con
7
=0, 9),
il
minimo
di B/D
viene praticamente fissato
nel
valore 0,04;il mas_
simodi a 40 , il massimo di K per a = 4 0 si ha per =130
ed
o
pari
a
circa
O ,88,
il
massimo
di B/D
fissato intorno
a O, 5
per
ragionicostruttive. Sostituendo
tali
valori nella ( 7 3 )
si ottiene,per
unaturbina Francia
:
60 < n
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
24/91
Turbinalenta
Turbinanormale
Turbina veloce
1
15,20
25i-300
35;- 40
0,
70
90
120 130
0,3
0,4
0,5
VC
cos
a.,
n
C
60J-130
2 00
350J - 450
Dalla
fig. 17 facile dedurre che alcresceredelnumerodi
g
ri caratteristicodiminuisceladeviazione ( J fi ) ~ ?ffi. l2prr5HtB~
nellepalemobili.;corrispondentemente,
alcrescere
di n , le pale si
evolvonodaltipoa
forte
curvaturaaquelloapiccola
curvatura.Jyedi
fi
gura
18).
TL
Fig, 18
IInumerodigiricaratteristico ha una
marcata
influenza amiche
sulprofilodella girantein unpiano,contenente
l asse
dirotazione.Per
renderci
conto
di cidobbiamo tener.presente
che,
inlineadi massi-
ma, si desidera chel areadellasezionecircolarediscaricosiaquasi
ugualea quella di uscita dal
distributore;indicando
con D il diame-
tro
della
sezione
circolare
di
scarico,
occorre quindi soddisfare
la
re_
lazione:
D
D.
7 4
Neconsegue che, perbassi n
,
essendo B/D piccolodeve es-
sere D < D , mentreperelevati n , essendo
B/D
paria circa
S 1
f
'iIH
VC
f~~
1
O
5,
occorre
che D
superi
oduguagli, quanto
meno,
D .
3 ** ^H***** ***
Neconseguonoi
profili
riportatiinfig.
19;
difattole
turbine
Fig. 19
lente assumonoilprofilo indicatointalefigura, mentre quelle veloci
tendonoalprofilo tratteggiato.
Ilprofilo indicatoinfig.19 b a
tratto
continuo nasce dalle esi-
genze
precedentemente
esposteedaUapreoccupazionedimantenereun
piccolo
gioco radiale tra pale fisse e mobili; purtroppo una pala mobi
le di
questo
tipo
presenta'
uno sviluppoeccessivo, con ci
aumentando
troppo
leperdite.perattrito tra acquae pala; diventa
inoltre
.impossi-
bile realizzare
un
rapporto
D/D superiore
all unit,
e il
massimo
di n
risulta limitato
avalori
aggirantisi
sui 200
giri/min. Succes-
c
sivamente
si scopertoche
lasciare
unmaggioregiocoradiale tra p a _
le fisse e mobili non riduce il
rendimento,
anzi lo migliora,
anche
per
la concomitanteriduzionediperditeperattritodovutaalminor svilup-
poche, in talmodo, assumelapala; inoltre, unprofilodeltipo
tratte^
giatoinfig. 19 b consentevaloridi D /D superioriali1unit, e per;
mette
quindi
di
giungere
con n a valori massimi
pari
a
circa
450
ri/min.
-
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4
-
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75
80 10O
200
300
400
Fig. 21
ra, valutando
n ~\nbase-alla
(37).
Noti
n ed u, si valutano i diame
tri D1 , D
.,
D e D .; poi, in
base
allafig. 21, si calcolano B e
D . Si ora ingradoditracciareil
BrpfUo__assiale
della
pala.
La de
3 ' '
'
* - ' -
'
terminazione degli angoli /j., , vieneomessaessendolapala
svergolata;
per
tale
valutazione
occorrono metodi
di
studio pluridi-
mensionali
o il
ricorso all esperienza.
In
generale, comunque, prima
direalizzareuna
turbina
si
ricorrer
aprovesumodelliin scala ri-
dotta.
Par terminare in
base
al
diametro
D ed
alla
portata si
valu
- 49 -
ta. e
e
questo valore
utile
per il
calcolo deldiffusore
(se la
turbi-
na
benprogettata e , intalesezione, assiale).
Costruttivamente
M
il
distributore
potr
essere fatto
in
acciaiofuso
ofucinato, in
ghisa
o
in
acciaio
inossidabile;
generalmente
il
numero
di
pale
fisse
sar un
multiplo di 4 compreso tra 8 e 24, e non dovr coincidere col nume-
ro dipale della girante, o conquesto
numero
aumentatodi
una
unit,
ondeevitare
l instaurarsi
di
regimi
pulsanti per la portata.
Per lacostruzione della ruota girante si
ricorre
aghisanorma_
le o ad
alta resistenza
per cadute
utili
non
eccessive
(inferiori
a
60m),
diversamente si pu far uso di
bronzo
(adattoper
resistereagli
attacchi
chimici),
di
acciaio
fuso (adattoper resistere all'azioneabrasivadel-
ia
sabbia), diacciaio inossidabile (adattoper resistereai danneggia-
menti
conseguentia
fenomeni
dicavitazione).
7. 7. ) Regolazione.
Laregolazione delia-turbina.Francis
si
effettua variandolapo
tata che attraversa la .macchina; ci si
ottiene cambiando
l'inclinazio^
ne
delle pale fisse emutando,di
conseguenza
la sezionedi
passaggio,
in tal
modo
si cambiail valore d
a.] e
quindi
dell'angolo cinematico
,
corrispondentementei
valori
cinematici e
costruttivi
di fl non
1
.... i
coincidonopi, edalleperditesin quiconsiderate occorreaggiungere
quelle
per
deviare
la
corrente prima
che
entri nelle palemobili; que-
steperditesono tantopi elevatequantopiforte
la
variazione della
portata rispettoalle
condizioni
dimassimorendimento. In
conseguen-
Fig.
22
50
51 -
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
27/91
l A l
zadi ci la regolazioneaccompagnatada unariduzionedi
rendimen
-
to
idraulico; mentre
per le
turbine lente questa
diminuzione inizial-
mentepiccola, per le
turbine veloci
subitoforte
(vedi
fig. 22). La
portata di massimo rendimento sceltaintorno al 75%dla^massima
per una turbina lenta e
sale
all'85%^90%
per una turbina veloce,
onde
e
vitare cheun'eccessivariduzione del rendimentocomporti rendimenti
idrauliciin
condizioni
di
progetto troppobassi.
Hdiagramma collinare deltipo riportato infig. 5; su di esso
appaionoper anche
altrelinee
(quelle a
trattopieno
in fig. 23),.cprri-
spondenti ad una
prefissata
apertura del
distributore,
espressa in pe_r
centuale
dellaapertura
massima; tali
lineehanno
generalmente anda-
mento
calantealcresceredins.Per spiegarequalitativamente questo
andamento, supponiamoche la macchina sia priva di perdite; in
base
al
le
(60),
6 2 )
si ha :
( 7 6 )
Se
la macchina
lavora
sotto una caduta utile prefissata,l'aumen
todi n implica unaumento.di
u.
2
- u 2
)/2 e richiede una corri-
spondente
riduzione
delle
altre
velocit equindidella portata. La pre-
l
mmm ~ imma. . ^
Q,
100
creso
senza
di
perdite
non
alteraqualitativamente
il
risultato
cuini
ftgiunti.
Infig. 23 si nota che ilmassimodel
rendimento
si h it j n r a p t > r
ture pari a circa il 75% di quella diprogetto;ci corrisponde aquunto
gi
visto nella fig. 2 2 ,
che sostanzialmente
rappresental'andamento
del rendimento in corrispondenza al numero specifico di
giri
di massi-
morendimento.
In
baseal
diagrammacollinare, noti
H ed il
diametro
della
macchina
reale
possibile
determinare
l'andamento
della
potenza
in
funzionedel
numero
digiri, pervalori prefissati
dell'apertura
del di-
stributore.
Se
ne. ottiene
un
diagramma
del
tiporiportato
in
fig.
24; in
tale
figura le
linee
atratto continuo corrispondonoad
apertura prefis-
sata, mentrequelleatratto
discontinuo sono
a
rendimento
costante.
u
Fig.
23
Fig.
24
Per ogni
apertura
lapotenza
presenta
un
massimo;
adestra ed
asinistradi
tale massimo
la
potenza
si
riduce, principalmente
per il
diminuiredel
rendimento
idraulicoacausa
delle
perdite per deviare la
corrente prima cheentri nelle pale mobili, (a
rigore
il massimo non
coincide
col
punto
di
massimo
rendimento
idraulico,
poich
al
variare
di n
cambia
anchelaportata, adapertura costantedeldistributore).
Viceversa, riducendol aperturadeldistributore, anumero di
52
53
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
28/91
giri
costante, la
potenza diminuisce principalmente
per il
calare della
portata
cheattraversala macchina.
Per operarela variazione disezionedi passaggio.del
distribu-
toresi adottano opportunisistemidi comando;nellefigg. 25, 26 ne so
no
schematizzati
due.
Fig.
25
Con riferimentoallafig. 25, larotazionedi Aintornoal perno
fisso
F fa ruotare la corrispondente pala; la rotazione di A si tra-
smettea__J3jL,..tramite
iltirante ,causando
la.rotazione
della corri-
spondente
pala,
e
cos
d'iseguitol In tal modovariala lunghezza D E
e quindila sezione di passaggio.
chiuda
Fig. 26
Con rifeumentoallafig. 26, larotazionedell'anellodicornan-
do
A
A
causa
la
rotazione
di C
intorno
al
perno fisso
D,
grazie
al
tirante
BB;
la
rotazionedi
causala
rotazione
della
corrispondente
paletta,
solidale
con C. Cosper lealtrepale.
8
Turb in e a
Elica
.e
Kaplan
8.1.)
Descrizione della macchina.
Quando
la
caduta diventabassa
e la
portata elevata,
la velocit
di rotazione di una
turbina
Francis
diviene
piccola.
A titolo di
esem-
pio consideriamo il caso in cui si
disponga
di un
salto utile
di 10 metri
e di una portata sufficientemente elevata per realizzare una macchina
con unapotenzadi 25, 000 CV; ammettiamodi utilizzare una turbina
Francis
connumerodigiricaratteristico il pielevato
possibile,
pari
cioa 450 giri/min. Inbasealla (37)si ricava :
n = 50 giri/min
Sitrattadunquedivelocitangolarimolto modeste;esse p on f ; o _
no
problemi
costruttivie di
spesa nella realizzazione
dell'
alternatore
trascinato dallaturbina. Sipuovviare a ciinserendo tra turbinae
alternatore un moltiplicatore,rinunciando cos all'accoppiamento diret-
to
Un'altrasoluzione
alternativa
consiste
nel
ripartire
il
flusso
d'a
quatra piturbine, riducendoin tal
modo
la
potenza
diciascuna ed ai
mentandonequinriavelocit angolare. Sitrattacomunquedi soluzio-
nidiripiego,
connesse
ibasso valore delnumerodigiricarattersti_
co; unasoluzionepilogica si ottienericorrendoamacchinecon n u m e _
ro
di
giricaratteristicopielevato,
ottenibilispingendo
allimite il
procedimento
adottato
per
aumentare
il
numero
di
giri
caratteristico
delleFrancis;sigiungecosaturbine cheutilizzanounapalettaturarro
bile puramenteassiale, mntre'la palettatura fissa presentaandamen-
to
radiale
Fig. 27
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
29/91
- 56 -
- 57 -
83) implica
la
costanza
della
compo
-
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30/91
L'equilibriodelle
forze
nella
direzione
radialeportaa
scrive-
re
:
pr - (P
dacui :
dr) (r + dr) + p d r +
Q d r = 0
.' V
'?
Jf
,. i
it f ,ocj /
:
p
7 8
doveil
simbolo
diderivata parzialedipendedalla
variazione
dellapre
sione con la quota. Integrando la (78) tra due punti A B alla stessa q.uo_
ta, tenendopresente la (77),siottiene:
7 9
Trascurando
levariazionidiquota geodetica (tenerne contocom
plica iragionamenti, ma nonaltera i
risultati), applichiamo^^
( 1 ) ad
u n filtt-ehe
passir-per
il punto A : t .- ,,jj
,
, .
( 8 0 )
Applichiamo quindi
la
(1 )
ad un
filetto
che
passi'
per B :
2 2
* C
d B
81)
Confrontando le (80), (81)si ha :
Confrontando le ( 7 9 ) , (82) si ottiene
(ca>B
8 3
cita intutti ipuntidi una sezionenormaleall assedi rotazione, quindi
in
particolarenella sezionediingresso
nella girante.
Se lapalHU
rno
bile
svergolata
in
modo
che
anche
in
uscita
si
abbia
un
vortice libe-
ro, ladistribuzionedellavoro ottenutocostanteaivariraggi; appli-
candola (1) e tenendo presente talecostanza, si punuovamente dirno
strare
che
anche
in
uscita
la
componente
assiale
della
velocit
non va-
ria tra puntidi una
sezione normale
all assedi
rotazione. Siamo
ora
in
gradodi
tracciare
itriangoli divelocitj|j,vari raggi(fig. 29).
Fig.
29
E
1
danotareche la componente e praticamente nulla o qua
sij jJSja,jpaggi. Ilcampodimoto
chiaramente
non unidimensionale,
tuttavia l'esistenzadiun~wHic_libero (equindila costanza di
(L.)
ai
variraggi)
e la
costanza
dellacmponente_
assiale
di
velocit per-
mettonj3jdjjapj>nc^ in .molte considerazioni.
Assegnati
e ed < V e
volendodeterminare-
a, ( r ) ee,( r ).
_ _ _ _ _ ,a d
~~
1 1
basta_utilizzare_la (77)
el'equazionedicontinuit
dellaportata,
che po
ta a_scjrive.re
:
L:
r d B c d s i n
( 8 4 )
58
- 59 -
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
31/91
Dalle (77), (84) si ottiene :
8 5
mentre
le
componentiassiale
eperifericadi
e.
si ricavano,
rispetti-
vamente, dalle
(84) ,
(77) (nelle (84), (85)
D, D., D
indicano
il dia -
---- i----e
. ^ i cO quellointerno e..
quello
esterno, mentre B rappreseli
tal'altezzadeldistributore
)
.
Sfruttando
l'osservazione
fatta
sulla teoria
unidimensionale,
il
rendimento idraulico
potressere
espresso
tramite
la (64) ,
riferita
al
raggio
medio
(se sitrascurala piccola componentedi velocit
per i f e-
rica inuscita). Il
grado
di
reazione
sarespresso.ancoradalla
(68)
( inviadiapprossimazione
poich
si
trascura e
); per la (67 ) , ere-
w
scendo e dalla puntaalla radicedella
paletta,
il gradodi
reazione
cresce dalla radice alla
punta.
Nella
sezione
di mezzo ,
per gli
elevati
valoriche assume l'angolo j , ilgradodi reazione risulta in
gene-
rale superiore a
O,
6 (vedifig. 16).
Il
coefficiente
di
velocit periferica
normalmente definito con
riferimento
alla sezionedi puntadellapala
mobile;
la
(66)
continua a
valere (in viaapprossimata,poicharigore e o ) con riferimento
agli
angoli
inpunta
allapala;
per glielevati valoridi 5 e per i
vaio
ri di a nonmolto lontani dai 90 , il coefficiente di velocit pe rife -
rico
risultaelevato (vedifig. 15) e generalmente compreso tra 1 , 4 e
2,
5, crescentealcresceredel
numero
digiri caratteristico.
8.3.)
Numero
di
giri caratteristica.
Adottando
ilprocedimentogiusatoper la turbina Francis, ri-
ferendo
la
(69)alle condizioni
inpunta
alla pala,
esprimendo.la.pojrta.ta
in
ingresso
alla
girante tramitelajreLazipne :
i
I (D
-I) e,
sin a
*
1 1
ove
gli
indici 1
siriferisconoallecondizioni
inpunta
alla
pala, si ot-
tiene :
K
5 l ~- ) t g
( 8 6 )
utilizzando
per
T J
ed
ij
i
valori
gi
introdotti
nel
caso della
t u r b i -
na
Pranci..d,-ijadicando
con 1 l'altezza radiale della pala.
L'angolo a in
punta
allapala si puritenere variabile da i l )
1
'
i u n
a 75 ,
crescente
con n
, mentre
normalmente compreso
tra
0,2
e 0,32, edanch'esso crescente con n .
Introducendo
tali
valori
nHa~( 86) si
ottiene
:
1000
In
fig.
30 riportato
l'andamento
di
alcunegrandezze
in
X
5
KJOO
60 -61
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
32/91
ne
di n ; si
notano
:
- il rendimento idraulico in condizioni di massimo
rendimento;
- ilnuniejra.
delle
pale z );
- il
salto utile
massimo, rapidamente calante al
crescere
di n ;
- il gi
citato
coefficiente di
velocit
periferica,
valutato
in
punta
alla
pala;
2
- il
rapporto e
/2
g H , che con i suoi
elevativalori
indice
della
in
dispensabilitdel.
diffusore,
amenoche si
intenda
operare con
bassi
rendimenti
idraulici.
f
Per
concludere,
siosserviche
anche
il
rapporto
i tra il
numerodi
giri
di
fuga
e
quello
di
massimo
rendimento
dipende da
n ,
e pu
giungere sino
a 2, 5 ; 3.
8. 4. )
Dimensionamento
di
massima.
Notii
dati
di
progetto
si
calcola
n e
quindi
da
fig.
30 si de-
terminano K e z . Da K ed n si
valuta
il
diametro
esterno (D { e
t -
' ('
quindi B ed 1
tramite
i
diagrammi riportati
infig.'31.
450 600 800
1000
Fig.
31
Per unavalutazionedegliangoli dellapalettatura si pustinia-
re T in
baseallr.fig. 30,'quindicalcolare
(L.) e-daesso
risali-
re al
valore
di e in unpuntodella
palettatura
(trascurando e );
si
s^
IL
u *
calcolapoi la componenteassialein base
alla
portataedalle
dimenai^
ni geometriche; e
cos
noto
a
in una
sezione
e, per la
(85), anche
lo
angolo o,. Applicandola
(85)
si
ottiene
a1(r) e quindi, dal triango
lodelle velocitiningresso, anche ff
(
r); l'angolo p ( r) pu e n . s < ^
re
determinato, approssimativamente,
daltriangolo delle
velocit in
uscita,
supponendo e
= O
e
conoscendo
gi la
componente
assiale
della velocit, uguale a quella inentrata.
.
Lepalesono normalmente realizzateinacciaiofusood
inossi-
dabile;
solo per piccole ruote possono
essere
in
bronz.o.
8.5.) Regolazione, curve
caratteristiche.
Laregolazione della portata viene
effettuata agendo sull'incli-
nazionedel distributore equindi, variandonel'areadi
passaggio
(co-
megi
visto
per le
Francis).
Ginelle
Francis si era
osservato
che al
variare
della portata,
il
rendimento
tendea
decadere
tanto pi
rapidamente
quanto
pi n
^ *
=
^*
a
***
llll
*'M*M>MMl MMi qMy
K
*^ gP^ jnff
elevato;
questa
riduzione veniva
giustificata
in
base
alleperdite
con-
jSesse
c8n
la necessit di
deviare
la
corrente
all'ingresso
nelle pale
rm j
bili,
dato
chel'angolo 5
cinematico
non
coincideva
pi con l'angolo
08
u n i i
'/m.,
o
o s
o j
. 32
-
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33/91
-
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34/91
-
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35/91
68
-
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36/91
Fig 37
Fig.
38
P A R T E
I I I
T U R B O P O M P E
1)
P
re
vale
n z Po t en z a , R e n d i m e n t o
Consideriamo-una pompa cheaspiri da un
serbatoio
v e man-
di in un
serbatoio
m pi
elevato.
Ad
ogni
unit di
massa
difluido che
attraversa la macchina si fornisce al
fluido
un lavoro L.; a causa del-
i
leperditenell interno della pompa, la variazione di carico totale tra
laboccadi mandata equella diaspirazione inferiore ad L. (vedifl )).
fi
Fig. 39
Tale variazionedi
carico
totale prendeil nomedi prevalenza manomp-
trica H e per la (4) risulta espressada :
2g
9 3
-
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37/91
-
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38/91
-
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39/91
-
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40/91
8
- 79
-
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Lepalettedeldiffusore permettonodiottenere angoli o supe-
rioriad a ;se ildiffusore apareti piane
parallele,
dalla (111)si
ri
cava:
r
sin a
r
sin
a
(114)
Confrontandole (113),
(114)
si
riscontra
che le
palette
del
dif-
fusore
permettonodirealizzarelostesso rapporto
c/c
con rapporti
r /r inferiori
al
caso
del
diffusore
non
palettate,
e
quindicon dimen-
sioni
di
ingombro
minori(leconsiderazioniquisvoltesonoanaloghe a
quelle checonsiglianol'usodi un
diffusore
palettateomenonel caso
dei
compressori centrifughi).
5.2.)
Teoria unidimensionale.
Analogamente
al
caso
dei
compressori, introduciamo
i
seguen-
ti
parametri adimensionali:
-coefficientedipressione:
i
- coefficiente di perdita
- coefficientediportata:
u
2
/2
2/2
Considerandole (1081), (115)si ha :
e
*=2- -
(115)
(116)
(117)
quindi,
in
base
ai
triangoli
di
velocitriportati
in
fig.
40, si
ricava
:
V 2[i+ pcotg
fl J
(118)
corrispondente al diagramma di f i g . 41.
Ildiagrammadi f f
V ) ,
analogamenteal casodal
compra
-
sori.
del tipo riportato infig.42.
craac*
Fig. 41
Fig. 42
Per il
rendimentoidraulico,
dalle
94) ,
(95),(115),
(116)sl
lui:
L,
i
111
80
81
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
42/91
I diagrammi di (V -
)
sono
riportati in f ig . 43.
Datalefigura aiosservacome, alcresceredi ]J
,
il massimo
dellecurvesi
aposti
verso valoriminori di y , sino quasi a svanire
completamente.
cresce
5. 3. )
Curvecaratteristiche.
Fig.
43
Dalle(94).
(115),
(116)
siha:
L L
,:.,.,*,
2
g
2g
- K r u v u l u i f / u
r i s u l t a p r o p o r z i o n a l o a d n ~ .
L e
c u r v e
a p - ( t o s t a n t i ; , ne l
p i a n o
(H , Q ) , sono q u t n < l l i l r l l i -
p a r a b o l e a d asse
v e r t i c a l e
e
c o i n c i d o n o
c o n
l i nee
d i r e n d i m e n t o M r u u
c o s t a n t e ^ G r a z i e
a
q u e s t a p r o p r i e t , d i s c r e t a m e n t e
v o r l f l r i i l u
. i l
m e n o
in un
c e r t o c a m p o
d i
v a l o r i
d i
p o r t a t a
e
p r e v a l e n z a ,
< > p o H i i i h i l i
t r a c c i a r e
i l
d i a g ra m m a
c o l l i n a r e d e l l a
p o m p a
c h e risulta d e l t i p o r a p -
p r e s e n t a t o in f i g . 4 4 . Da t a l e f i g u r a s i
osserva
c h e , m e n t r e
p o r t a t a
i-
p r e v a l e n z a r i s p e tt a n o a b b a s t a n z a b e n e l a p r o p r i e t p r i m a e n u n c i a l a , l i -
c u r v e
d i
i s o r e n d m e n t o s i
s c o s ta n o d a l l a n d a m e n t o
p a r a b o l i c o ; c i
d o
v u t o
p r i n c i p a l m e n t e
a l f a t t o che su
t a l e d i a g r a m m a v e n g o n o
r i p o r t a t i ; U .
c u r v e
d i u g u a l
r e n d i m e n t o
della
p o m p a ,
n o n q ue l l e d i
i s o r e n d i m e n t o
i-
d r a u i i c o , e
r e n d i m e n t o
m e c c a n i c o e
v o l um e t r i co
variano a l v a r i a r e
d e l
n u m e r o
d i giri,
a n che
s e
p r i m a n e
c o s t a n t e .
cresca
F i g .
4 4
N u m e r i c a m e n t e , i n
q u es t e
t u r b o p o m p e s i p u
r i t e n e r e
che i l r i _ n
d i m e n t o
i d r a u l i c o
s i a
c o m p r e s o
t r a O , 7 0 e O , 9 3
m e n t r e
i l
r e n d i m e n t o
v o l u m e t r i c o
varia d a 0., 9 2 a O , 9 9 a s s u m e n d o i valori p i elevati ne l ca
so d i pom pe a dopp io i ng r e s so ( a n a l o g h e a i c o r r i s p o n d e n t i t i p i d i
c o m -
p
rn
as
u r e
,
costruttori
normalmente
danno le curve di prevalenza
mano-
82
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
43/91
metrica,
potenzaassorbitae rendimento della
pompa
infunzione della
portatavolumetrica, anumerodigiri costante (fig. 45);la
potenza
ri-
sultaprevalentemente
crescente
all'ammontare della portata.
Ci
e_
videntemente dovutoal fatto che l'aumento di Q e la riduzionedi 77
prevalgonosullariduzionedi H , alcrescere dellaportata. _ .
Fig. 45
5. 4. ) Punto d i funzionamento.
Per determinare il puntodi
funzionamento
della pompa occorre
conoscere la caratteristica esterna, cio la prevalenza richiesta dallo
Fig. 46
impianto in cui montata la pompa, in funzione della p o r t u l u . N o m i . i l
mente laprevalenza richiesta somma di un termino
cou t ur i '
( p r c v n
lenza
geodetica
H g ovariazioned i quota piezometrica H C
/ >
u n
I n
u n a d i f f e r e n z a d i pressione tr a serbatoio d i aspirazione < d i
m u m l i i l a )
e di uno
crescente
circa
col
quadrato
della
portata
(prevaU-ir / . i i
. I n i . i m i
ca H_, dovutaallevarie causedi
perdita
perattrito, per c a m b i a m e l i
ti disezioneodirezione,eie...., e adeventualirichiestedi
u u m r n i o
della energia cinetica);il prevalere di uno dei dueterminisull'altro d_ l
pendedalservizioa cui viene adibita la pompa.
L'intersezione tra lacaratteristicainterna della pompa e la ca
ratteristica esterna
del
circuito determina
il
punto
di
f u n z i o n a m e n t o(A
nelcaso difig.46 . Per le pompe presentantiuntrattodi
caratteritiU
caascendente alcrescere dellaportata, possibile il verif icarsi, in
certe condizioni,
di
fenomeni
di
pompaggio;
inoltre
tutte
le
pompe
po
sonoandare soggettea
fenomeni
distallo rotante (vedi compressoridi
gas ).
5 . 5 . )
Numero
digiri
caratteristico.
Analogamente
al
casodelle turbine, introduciamo
il coefficien-
tedivelocit periferica :
K =
1 2 2
Cerchiamo di
correlare
K ad o e p ;con considerazioni
trigonometriche
sulla fig. 40 si
ricava
:
i
1
Se e non ha componente
periferica, dalle
(108*) ,
(95)
si ha :
L. gH
u u
e quindi:
1 2 3
- 84 -
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
44/91
Il diagramma di
#
= f (a , 0 ) riportatoin fig. 47; in base
atalediagrammaedassumendo ? = O, 80 si ha che K pu variare
tra O, 83 e 1,56, crescendoall'aumentaredi a" e di fl".
=40
130 .
14 T
16
TI
65
Fig. 47
In
basealla (122), sapendo che K
dell'ordine
dell'unite che
u" almassimogiungeavaloridell'ordinedi 60m/s, poi
facile rica_
vare che la massima prevalenza dell'ordine di 200 metri. Ricordan-
do
poi le
(107), (122),
unitamenteallerelazioni seguenti:
siricava:
V
I
K
-Tir
d
tg
a'
1 2 6 )
analogaalla 7 3 ) ottenutanelcaso delleturbineFrancis.
Dalla
1 2 6 ) ai
ricava
che, per
aumentare
n ,
occorre aumen ta_
re K,
l /d
ed a", singolarmenteo
contemporanerunont;
ricordan-
doilimitigi visti per a" e K etenendopresenteche l"/'l" varia
tra 0,04ecirca 0,25,dalla
1 2 6 )
si ricavache n varia tra 60 < circa
350.
In
particolare, l'aumento
di n
accompagnato
da
aumenti
del
rapporto
l /d ;
quindi, al
variare
di n ,
muta
il
profilo
della
giran-
te in unpianopassanteperl'assedi rotazione, e sihannoiprofili di
fig. 48.
lnt
pompa
vloc*
ompa nonna
Fig.
48
La
variazionedi n
influisceanche sullaformadella caratteri
stica H = f < Q ) e P = f
} - ) ;
infatti l'aumentodi n
accompagnato
da un aumento di K e questo
ottenuto
aumentandoanche ] JU ;
in
base
alle
1 2 0 ) , (221)
edallafig.43 ci comporta che alcresceredi n la
carati
eristica
H
= Q ) presentitratti
ascendenti, che
tendono mano
u
a
mano
a sparire sinoad
ottenere caratteristiche
completamente di-
scendenti.
Per
quantoriguarda
la
potenzautile, espressa dalla
1 0 5 ) ,
alcrescere di n essaincomincia
s presentaretratti
a
pendenza
ne^u
poich La rapida diminuzionedi H prevalesull'aumento
di
portata
e
sulla
riduzione
di
ij
.
Un
confronto
qualitativo
tra gli
anda
menti
di H e P infunzionedi
Q,
alvariaredi n , riportatonl-
u
u e
86
- 87 -
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
45/91
le figg. 49,
50.
Fig. 49
i/U
nc7
15
2SO
1 I/lo
Fig.
50
5.
6. )
Dimensionamento
di
massima.
Determinato
n inbasealle
condizioni
di
progetto,
sitratta di
e
determinare d , d., 1
(vedi fig.
48)
nonch
gli
angoli
a ,
0 .Cohen
suggerisce
l'adozione
delle
curvedi
fig.
51
come guida
aldimensiona-
mento;
in
talicondizioni
:
- in
base
a K aidetermina u equindi d .
notoil
numerodi
giri,
n;
-
L nbaite
ad l /d ivaluta i ;
- inbasea d./d sivaluta d.;
*
inbase
alla
portataad
i
e d sivaluta e
.
Conconsiderazioni trigonometrichesultriangolo dellevelocit in
eri
tratasi ha poi :
=c
r
tg
a
1 2 7 )
La
(127)
legatra
loro
a e
0 ;
unaseconda relazione tra
= <
e
p
la
(123);
da queste due equazioni si ricavano
< ^
e
i .
60 100
200
300 350
Fig. 51
V i infine da
osservare
che inIngresso, la
pala sar
L a t a f e e
non ditipo
puramente
radialeo con.raggio
costante
inentra-
ti )
polche La
velocit
perifericaaivari raggimuta e si vogliono
v i d i
r
K
H t . i
m e
-
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
49/91
ciopraticamente
il
campo ivariazionedi
n per
questo tipo
di
pom
pe.
Per il
dimensionamento, calcolato
n in
base
ai
dati
di progetto,
si
puutilizzarela
fig.
59 percalcolareil
diametro
esterno
e l altez-
zadella
pala
dellagirante.
Il
numero
di
pale
mobili
normalmente
compreso
tra 2 e
6,
assumendo
i
valoriminori
per i pi
elevati vaio
ri di n , mentreildiffusore raddrizzatore ha unnumero dipalegene-
ralmente
compreso
tra 3 e
?)
15
5 7
9OO 11 13
Fig. 59
8)
R eg-olazione
La regolazione di unapompa necessaria per mutare le condi-
zionidi funzionamento, quantolorichiedauncambiamentonelle esi-
genze del servizioche la pompa deveprestare.
Ilmetodopisempliceconsistenelvariare ilnumero digiridel
la pompa
muovendosicosi
sul piano H - Q lungounacurvacirca pa-
ra
i n
zona
l i r e n d i m e n t o
. - l e v a t o , questo tende quindi
a i n i u i l . - i i . - n u p . - r
u n ampio
campo
d i t 'u r r / . i o n a m e n t o . U nsimile
metodo
d i
r c i j o l i r / . i n r n -
.
possibile
solo
se la pompa comandata da un motore elettrico : i cor-
rente
c o n t n u a
(scarsamente impiegato) o da un
motore
;i
c o m b u r i
u r n e
m u r i - r i a
(generalmente
impiegato
solo
in
assenza
di una
rete
li
d l u t . r i -
b u - z i o n e
elettrica,
come
nel casodi
pozzi isolati
in
campagna).
In
generale il
comando
delle
pompe
affidato
a motori elettri-
ci
in
correntealternata trifase, quindi
a motori con
velocit
non
rego-
labile; intale caso, salvo
l inserzione
didispositivi complessi e in g
no
re
non
impiegati,
la regolazione
della
pompa a numero digiri varia
b i l e
non
attuabile.
Un
secondo metodoconsiste nellostrozzare lamandata mediati
le
unavalvola posta sul corrispondente
condotto;
in tal
modo
la
cardite
ristica del circuitoesterno si modifica passando dalia curva calla
cur
va
e1 (fig. 0) ed il puntodi funzionamentopassa da B a B ;con que ,
sto
sistema dir regolazione il rendimento della pompa tendeadecadere,
pi
o
meno
rapidamente.
C
1
Fig. SO
Ricordando
L andamento
della potenzaassorbita
infunzionedel-
la
portata ( f i g g .
45, 55) si concludeche questosistema di regolazioni*
m i n p t ' i - H c n t a
problemi nel casodellepompe centrifughe, mentre d w v
> ; ; . - l i - impupalo
c o t i molta cautela nel
campo
delle
pompe assiali
t|
l l i i . - i M i
m i s in , in cui si
corre
il
rischio
di sovraccaricare il motori
. l e i
r K - M , ;i
M i i s i
richiede
d i erogare u n a
potenza maggiore.
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
50/91
-
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51/91
- 100 -
-
101
-
-
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52/91
bocca
diaspirazione; se/\ lariduzionedi pressione tra tale pun-
to
e la
bocca
di
aspirazione,
non si
avr cavitazione
in
nessunpunto
dellamacchinase
garantita
ladiseguaglianza:
sente
un
pelolibero
cui far
riferimento,
ma un
manometro posto
alla
bocca
dellapompa
fornisca la
differenza
di
pressione
statica p tra
l'ambienteetaleposizione, la (128)puesserepostanellaforma :
P1
Ingeneralesi puscrivere:
(128)
P v
~
(131)
(129)
sesi
tiene presenteche
ale
Ap enecessarioper
accelerare
la cor-
rente, nel
moto
relativo
alla
pala, primadipoterla comprimere.
Per unapompache
aspiri
da unserbatoioconpelo libero
alla
atmosfera (fig. 62),per le (1),
(129),
la (128)puessere espressa nej..
laforma:
1
2
-L
wa
v
(130)
Analogamenteal caso deidiffusoredelleturbinee poi usuale
porre
:
(132)
quindi
h rappresenta
l'altezza,necessaria
peraccelerarelacorrente
sinoallavelocit e e per sopperireall ulteriore
accelerazione,
che
avvieneall internodella girante, tra ingressonellapala
epuntodipres
ion minima.
Tenendo
presente
la(132),le
(130), (131)
diventano:
ove L indicaillavoro delleresistenze passive nella condottadi a-
wa
gpirazione.
La(130) permette
di
affermare
che per
ridurre
il
pericolo
di
cavitazioneoccorre:
-diminuire
z
, cioildislivellotra boccadiaspirazioneepelo libero
del
serbatoioomonimo;
-ridurre e
,
quindi
ridurre
laportatao
aumentare
ledimensioni del
la
pompa;
-ridurre L , cioricorrereatubicondiametromaggioreper la
condottadiaspirazioneedevitare, per quantopossibile, la
presenza
digomitinelcondotto;
- studiare accuratamente ilprofilo della pala all'ingresso, in
modo
da
ridurre
A
;
-
ridurre, ovepossibile, latemperaturadel
liquido
aspirato.
v
Qualorala pompa f unz ion i in un
circuito
chiusoequindisia
as-
o;
r. .
P
a-
p
v
p - p
-Zl-
wa
> h
i- >h
2g
o
(130-)
(131')
Le
quantit
che
appaiono
a
sinistra
delsegnodi
disuguaglianza
nelle (130'), (131'} rappresentanoladifferenza tra lapressione totale
allabocca di
aspirazione
e la
tensione
di vapore;
tale
quantit prende
ilnomeanglosassonedi netpositive suctionhead (NPSH)e, introdu-
cendo talegrandezza, le (1301), (131') possonoessereposte
nella
for-
If P S H > h
(133)
quindi h rappresentailvaloreminimo di
NPSH
compatibilecon un
funzionamento
privo
difenomenidicavitazione.
l a .
disuguaglianza (133)
implica che la pressione totale a J L
bocca, di
a s p i r a z i o n e , di min u it a della ten sio ne di
-
102
-
vapore, sia sufficiente per acc-elerare il fluido
sino alla velocit
e e
per
provvedere
all ulteriore
accelerazione all'interno della girante,
s_i
- 103 -
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
53/91
noal puntodi
pressione minima;
condizione
questa che,
soddisfatta,
garantisce evidentemente contro
il
pericolo
di
cavitazione.
Confrontando
le (130
1
),
(131), (133)
si ha :
NPSH
i
g
(134)
conriferimento alpelolibero delserbatoiodiaspirazione, ovvero:
NPSH
p -
p
a v
g
c
2g
(135)
conriferimentoall'indicazione
\ di un
manometro posto
alla
boc-
cadella pompa.
Quando il costruttore dia il valore minimo ammissibile per
NPSH, cio h , in basealle (133), (134)ed ai dati di progetto, pos-
sibilevalutare la massima altezza z.. a cui puessere posta lapom-
pa rispetto al pelo
libero
del serbatoio di aspirazione.
Sin
qui si
supposto
che la
bocca
della
pompa
sia
orizzontale
o
con diametro trascurabile rispettoa z. severticale; se la bocca
della pompa
verticale
ed il suo
diametro
non
trascurabile rispetto
a z , le
considerazioni precedenti
si
applicano
al puntopi
alto della
bocca
diaspirazione, cio alpunto in cui regna la minima pressione
statica.
Vediamoora l'influenza della cavitazione
sulle
prestazioni del-
la pompa: siconsideriunapompa che, in assenza di cavitazione, pre-
senta
la
caratteristica
a
tratto
continuo
in fig. 63 e la si
installi
ad u-
na
quota sufficientemente
elevata;
la sua
caratteristica
muta come in-
dicatoa
tratti
e punti,
denunciando
l instaurarsidella cavitazione per
portate superioria Q . Consideriamoora unapompachefunzionisem
pre con lastessa portata e velocit e variamone laquotadi installazi
ne z , inmododa
variarne
l'NPSH;siavrun ij costante
per
NPSH > h , cioin condizionidi noncavitazione, mentre j deca-
o
y
dr conl instaurarsidella, cavitazione. E1danotareche inalcuni casi
il
rendimento idraulico, prima
di
decadere, mostra
un
certo incre-
mento; questo si spiega con la
formazione
di
sottilistrati
di vapore a
Fig. 63
JSPSH
Fig. 64
parete
che
riducono
gli
attriti,
incondizionidicavitazione agli
stadi
i-
niziali,
mentre il successivo
decadimento
dovuto
alla
presenza di boi
le di vapore cheinfluenzano il flusso,
deviando
la
corrente dalle
dirc-
ziniprestabilite in sede di progetto e quindi facendo
decadere
il
ren-
dimento idraulico.
Vediamo
ora se sia
possibile correlare
il
carico
minimo
am-
missibile
h
alla
bocca
li
una
pompa
con
quello
di
un'altra
pompa g O
- 104 -
metricamente
simile
all'originale
efunzionante in
condizioni
di
simi-
litudine
con
questa;
la
similitudine geometrica
e
quella fluidodinamica
-105-
ove al parametro S
H da
11
nome
dinumerodigiri
c u r i U t i T i n U r o
d e l
lacavitazioneche, inbase
alla
1 4 0 ) ,
dovrebbe trovaral
n o l i
1
I n t o r n o
di
-
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54/91
impongonolacostanzadeirapportitra levelocit iningresso, percui:
/ C
J L
V u i
2 2
ui
~V
136)
D'altronde,
incondizionidisimilitudine
geometrica
e fluidodi-
namica, si ha che V e sono costanti e quindi :
, 2
H
=L.
-L
u i w
V
~ u
137)
Dalle 136 ) , (137) conseguelacostanzadelrapportofa /H , che
prendeil nomediparametro di Thoma (
) :
h
H
13S)
La (138) permette
di
valutare
h per
macchine
tra
loro geo-
metricamente
similiefxinzionantiin
condizione
disimilitudine.
Il parametro di Thoma cambia solomutandoclassedi macchi-
neo condizioni disimilitudine;poichsolodi
queste
quantit funzio-
neanche
il
numero
digiri
caratteristico,
ne
deriva
che
o solo fun-
zionedi n .
e
Sperimentalmente siriscontra che :
-Vc
4/3
D S
>
-3
oveallacostante 1, si pu
assegnare
un
valoreintorno
a O, 2 .10
per n '
misurato
ingiri/min e per turbopompead unsolo
ingresso
di
normale costruzione.
Sostituendo la(139)nella
(107),
siottiene:
3,65
14 0 )
167.
Dif a t t o S variatra 150 e200,
naturalmentemisurando
n In
ri/1 , Q in m^/s ed h in metri.
Dato
l'enormevantaggio dilavorare con numero adimensionali,
alcuni autori
propongono
il
numero
di
giri
caratteristico S della ca-
vitazione adimensionato, definito come segue:
S =
a
V Q
g h
o
)
3/4
1 41 )
Tale numero adimensionatonell'internodi 3 come facile rj.
cavare inbase
alle
(140),
(141).
Dalle 1 40 ) , (141)possibile ricavare h prefissatele condi-
zionidi progetto e quindi, in base
alle 133) , 1 34) ,
scegliere il disli-
vello tra
bocca
di aspirazione della pompae pelo libero del
serbatoio
di
aspirazione, necessarioaffinch
la
pompa
noncaviti.
Per turbopompe inserite incircuitichiusi, valutato h ,' pos-
sibile controllare
che sia
rispettata
la
(133)
e, in
caso contrario,
in-
tervenire sui parametri di
progetto
inmododa soddisfare tale relazio-
ne.
107
-
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55/91
P A R T E
QUAR TA
M A C C H I N E V O L U M E T R I C H E
1 ) Int roduzion e
L elemento fondamentale dellemacchinevolumetriche
un or-
gano mobile, sul quale si esercitanoazionidi tipo staticoottenendo
la_
vorodal fluidoo fornendogliene.
Le
velocit
del
fluido
nella
macchina sono modeste, e
l azione
una
macchina volumetrica
si
manifesta soltanto sotto forma
di
varia
zioni-di pressione (nondi quantitdi moto, come
nelle
turbomacchine).
Il movimento
dell organo
mobilecrea
camere
avolume variabi
le
in cui -viene racchiusa unacertaquantit di fluido che ,in tal modo,
spostato verso un ambiente a pressione differente.
L ammissione ed il deflusso del fluido datali camere sono re-
golali
davalvole automaticheo
comandate quando
la macchina non
aia
nutodstributrice, cio non scopra alternativamenteopportune luci di
immissione
deflusso durante
il moto
dell elemento
mobile.
i distinguono macchine operatrici (pompe)emotrici (motori);
un altra distinzione connessa con la forma dell elemento
mobile
econ
il suomovimento: se si tratta, di unostantuffo animato
da
motoalterno
si parla dimacchinealternative a stantuffo, se sitrattadielementido_
U l t i d moto rotatorio si parla di macchinerotative.
Le pompe a
stantuffo
e
rotative sfruttano
gli
stessi
principi di
f u n z i
on
amento degli
omonimi
compressori, mentre imotori
a
stantuffo
e
rotativi rappresentano
m n c :
chine
duali
delle pompe omonime,
di cui
adottano losteaao principio l i funzionamento, invertendo per ilverso
dei moto.
-
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-
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-
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114-
- 115 -
acqua (BC), la pompa manda
C D )
a
pressione p
+ yz
l espunaio
2
j
-
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ne nuovamente istantanea (D A).
Il
lavoro L assorbitodalla pompa
in un
ciclo
pari all area
del ciclo
di
lavoro
e
quindi
:
(148)
mentre lapotenza assorbita
pari
al prodottodi L per il numero di
ciclial secondo, diviso per il rendimento meccanico, per tener conto
degliattritinei cuscinetti, neiperni, etc...; si ha quindi, indicando
con n ilnumerodi
cicli
al secondo:
1 4 9 )
Fig. 70
ove T J pu mediamentevariare tra O, 88 e O, 95. Il numerodi cicli
al
secondo
coincide col
numero
di
giri
al secondo per una macchina mo
nocilindrica, per cui :
A^
V
vc
1
Di fatto una
serie
difenomeni
reali
concorre a rendere il ciclo
diverso dalla sua
forma
ideale.
Innanzitutto
la presenza eventualedi a_
ria nel cilindro rende inclinatele linee dicompressionee di espansio
ne; anchein assenza di aria talitrattirisultano inclinati, anche se di
poco, per e f f e t t o della modesta comprimibilit dell acqua e per la pre_
senza inevitabile
di
aria
disciolta nell acqua aspirata.
Ben
pi
rilevante sonoaltri fenomeni
chemodificanol andamen
to della pressione nelle fasi di aspirazione e
mandata;essi
sono con-
nessi con inevitabili differenze di pressione rispetto al caso-ideale, d
vute a :
- fenomeni di inerzia
(cio,
cadute di pressione
necessarie
per accele-
raree decelerare l acqua nei condotti di aspirazione emandata);
-
trafilamenti
del f l u i d o attraverso levalvole;
-
cadute
cinetiche eperditedipressioneneicondotti.
Fig.
71
D a q u a n t o sopra
risulta
che il ciclodi lavorodi una pompa, a
d i f f e r e n z a dei
compressori,
u r t i p i c onon
della sola pompa,
ma
del-
la pompa coni i
l d r H t n
e
d*l
c o n d o t t i
ad essa
collegati.
- 118 -
a Incominciamo
adanalizzarelacorsadi
aspirazione; potremo
e_
sprime
re la
pressione
di
aspirazione
p come
segue
:
117
-
V
= A v dt
s
s
ed
integrando, il
volume generato
dal
motodellostantuffo
iipariln-
dal
l inizio
della
fase
diaspirazione
risulta
datoda :
-
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p
= p +
ove
-
A?- tien
contodeifenomeniinerziali;
-Ap tien
contdellacadutanecessaria
per accelerarel acqua
sino
allavelocit con cuiarrivaallaboccadiaspirazione,
nonch
delle
perditecontinue
nelle
tubazioni
e
delle resistenze localizzate (cam-
biamenti di sezione e di direzione) nei condotti;
-A?
tien
contodelle
perdite
di carico
nelle
valvole.
Per valutare
A
p
consideriamo
un
condotto
rettilineoe trascu
i
~
riamolealtre
azioni;
le forze di
pressione applicate, sommate allefor_
ze
di
inerzia
dell acqua presente nel
condotto, devono
dare risultante
nulla.
Se
A
lasezionedel
condotto,
L la sua
lunghezza
e v la
I
S.
velocit dell acqua, si ha :
i s i ;
D altronde, per l incomprimibilitdelliquido, la portata
attra
verso
una generica sezione uguaglia quella entrante nel cilindro e
quin
di : ..uv
ove A
indica
l areadellostantuffo; si ha
dunque
:
e;
d
dt
Jl dt
quindi,
per la
(142)
:
1 5 2 )
(153)
A
P
=-
i
cos t
(154)
D altronde il
volume generato dallo
stantuffo inun
intervallo
di
tempo d t vale
:
V
- V = - A ->
o s 2
per cui :
OS
t
V - V )
o
1 5 5 )
1 5 6 )
ove V rappresenta il
volume
generatoin
met
corsadi aspirazione
pari, nell ipotesi di
moto
armonico semplice dello
stantuffo,
a
met
ci
lindrata
e quindi ad A
-
.
Per la
(156),/\
lineare
coi
volumi
generati,
negativo
nel-
la primamezza
corsa,
positivo
dopo.
Quando aA? si-3cnesitra_t
ti diperditesia che si trattidel
carico
cinetico, talequantitpropo
zionaleal quadratodellavelocit del liquidonella condotta; si haquin-
di : . . 2
2
v
~
sin > t = 1- cos Bt
s
Dalla (155)siricavadunque:
Apr~ i -
v-v
o
V
0
t
V
V
o
P
\
- 2
1 5 7 )
cio
A P
r
parabolica in V, positiva e con massimo situato nel pun
to a V =V (vedifig. 72) (ivolumisi intendonomisurati
nuovamente
a
partire
dall inizio
della fasedi aspirazione).
Quanto
a A p ,
tale termine
pressocch
costante salvo
un
guizzo nella fase
di
apertura della valvola, corrispondentealla accele
razioneche occorre imprimereallavalvola
affinch
si apra; si
ha
cos
il diagramma di A p
riportato
in
fig.
72. Intale
figura
rappreseli
tatoancheL andamentodi :
=AP Ap _ A
P
1
i r v
Per la
fase
dimandata si puscrivere :
f A p
A.
^A
(158)
,
- 118 -
- 119 -
di:
-
7/25/2019 Dadone- Macchine Idrauliche
61/91
*p
Fig. 72
t * t t T ^ M r
."" , ,
e, in
maniera
analoga a quella
sopra riportate, dimostrar^ che
;
.1 ~
(V-V
Q
)
Ap
r
~
f
2