O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONALUNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE GUARAPUAVA

UNIDADE DIDÁTICA

Guarapuava2010

LORENI MARIA MASCHIO

O USO DO GEOPLANO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA

Material didático-pedagógico apresentado à Coordenação Estadual do Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná (PDE) como requisito parcial das atividades propostas pelo Programa. Orientador: Prof. Mestre José Roberto Costa – Unicentro – Gurapuava – PR.

Guarapuava2010

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O USO DO GEOPLANO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA

Loreni Maria Maschio1

José Roberto Costa2

INTRODUÇÃO

Estamos vivendo um tempo em que cada vez mais a Educação

Matemática coloca-se como uma das áreas centrais do processo educacional. Há

necessidade de que um número mais expressivo de pessoas se eduquem

matematicamente e tenham motivação em lidar com a Matemática.

No texto a seguir destacamos uma abordagem acerca do uso de

materiais manipuláveis no ensino e aprendizagem da Matemática, além de

sugestões de atividades para serem trabalhadas com as 5ª séries (atual 6º ano)

do ensino fundamental e turmas de apoio a aprendizagem, especificamente no

campo da Geometria. Nossa intenção não é, de forma alguma, ensinar o

educador, mas apresentar alguns procedimentos que possam contribuir para que

o educando tenha um melhor aproveitamento nas aulas de Matemática.

O uso do Geoplano enquanto alternativa metodológica tem por objetivo

principal tornar o ensino da Geometria mais interessante e agradável, para que o

estudante possa desenvolver seu raciocínio lógico-matemático e elaborar

conceitos sem a utilização de mecanismos ou fórmulas.

APRENDIZAGEM MOTIVADORA

“O grande desafio que nós, educadores matemáticos encontramos, é

tornar a matemática interessante, isto é, atrativa; relevante, isto é útil, e atual, isto

é, integrada ao mundo de hoje”. (D'AMBRÓSIO, 2001, p.14-17).

Na prática docente, talvez a maior dificuldade para o professor seja

1 Professora PDE da rede pública do estado do Paraná. E-mail: inerol@seed.pr.gov.br2 Professor Mestre em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática – UEM. IES: UNICENTROE-mail: jrc@unicentro.br.

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encontrar metodologias diferenciadas e inovadoras no processo ensino e

aprendizagem, com o intuito de tornar as aulas de Matemática mais agradáveis e

relevantes e, assim, garantir aos educandos a aquisição dos conhecimentos

necessários, ajudando-lhes na integração e participação crítica na comunidade

em que estão inseridos.

A preocupação da maioria dos professores é contextualizar os conteúdos

matemáticos, de forma que o aluno possa fazer correspondência com a realidade

que o cerca, usando os conhecimentos adquiridos em sala de aula nas diversas

situações do trabalho, lazer e do seu cotidiano.

Para que ocorra uma aprendizagem eficiente é necessário que o

estudante se sinta motivado a aprender e que isto seja significativo.

A construção do conhecimento é facilitada quando intervenções

metodológicas são bem aplicadas, principalmente com a utilização de recursos

didáticos, sejam eles materiais manipuláveis de uso individual ou coletivo, jogos

diferenciados ou mídias tecnológicas, todos favorecendo a aprendizagem da

Matemática.

MATERIAIS MANIPULÁVEIS NO ENSINO DA GEOMETRIA

As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem

tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas

diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano (Paraná, 2008).

Daí ser a Geometria um conteúdo relevante da Matemática, haja visto que

podemos perceber sua manifestação em diferentes contextos. Entretanto com

tamanha importância e aplicação, muitos professores abordam a Geometria de

maneira superficial, acabando por deixar esse tópico muitas vezes em segundo

plano, priorizando outros conteúdos estruturantes, como os Números e Álgebra,

Grandezas e Medidas, Funções e Tratamento da Informação.

As Diretrizes Curriculares (2008) recomendam para o Conteúdo

Estruturante de Geometria no ensino fundamental, que o aluno deve compreender

os conceitos da geometria plana: ponto, reta e plano; paralelismo e

perpendicularismo; estrutura e dimensão das figuras geométricas planas; cálculos

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geométricos: perímetros e áreas; diferentes unidades de medidas e suas

conversões; representação cartesiana e confecção de gráficos.

Diante dessas inúmeras competências a serem adquiridas pelo aluno,

segundo as Diretrizes Curriculares (2006, p.31), “uma alternativa é usar materiais,

tais como: o geoplano, o tangram, a massa de modelar e argila.”

Conhecimentos básicos de Geometria são fundamentais para que os

educandos interajam com o seu meio, que compreendam conceitos,

propriedades, a partir de experimentações, trabalhando com a percepção

espacial, a descoberta e a visualização.

São muitos os educadores que defendem a utilização de materiais

manipuláveis para o ensino. Para Bezerra (1962), o uso desses recursos auxilia

alunos e professores a tornar as aulas de matemática menos “monótona”; elimina

o medo que alguns têm por esta disciplina; e pode motivar os alunos a

interessarem-se por seu estudo.

Segundo Costa (2003), “O uso de material concreto merece atenção

especial, pois possibilita a visualização de certas ideias, e sem ele teriam o pleno

entendimento dificultado.”

É importante que, antes de fazer uso de qualquer tipo de material

manipulável, o professor reflita sobre os conceitos e propriedades que pretende

explorar com seu educando e se aquele material utilizado propiciará a

compreensão do assunto, levando o aluno a refletir, discutir e concluir.

Reflexões são necessárias, pois nem sempre a utilização de certos

materiais vai garantir uma aprendizagem eficaz. O mau uso do recurso pode ser

contrário aos objetivos propostos e, muitas vezes, passa a ser somente um

brinquedo nas mãos dos alunos.

Para Bezerra (1962) e Lorenzato (2006) o uso dos materiais didáticos não

substitui o papel do professor. “[...] mesmo o material didático mais abundante,

aperfeiçoado e bom, jamais suprirá as qualidades inatas de um verdadeiro

educador” (BEZERRA, 1962, p. 9).

Assim, cabe aos educadores propiciar situações que potencializem o uso

desses instrumentos, a fim de permitir a aquisição do conhecimento que é

elaborado a partir das relações que o material didático ajuda a estabelecer. Essa

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ferramenta, que auxilia professor e aluno no processo de ensino e aprendizagem,

deve ser escolhida com cuidado lembrando que este recurso deverá estabelecer

a passagem das ações concretas para as representações abstratas. Compete ao

professor interferir e instigar nas relações e constatações do estudante, haja visto

que ele pode construir conceitos errôneos sobre o assunto em questão.

As Diretrizes Curriculares (2008) ressaltam que os recursos tecnológicos,

como softwares, televisão, calculadoras, aplicativos da Internet, entre outros, têm

favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de

resolução de problemas. Ao trabalhar com Geometria, consideram-se, também,

as possibilidades dos softwares educacionais para o trabalho pedagógico. Esses

recursos possibilitam ao educando explorar ideias e conceitos geométricos,

proporcionando-lhes condições para descobrir e estabelecer relações

geométricas.

SUGESTÕES DE ATIVIDADES COM O MATERIAL MANIPULÁVEL GEOPLANO PARA O ENSINO DE GEOMETRIA PLANA

Essa unidade didática objetiva apresentar algumas propostas de

atividades a serem trabalhadas no Geoplano de Madeira e no Geoplano Virtual.

O Geoplano consiste de uma placa de madeira, marcada com uma malha

quadriculada, formando quadrados. Podem ser confeccionadas com qualquer

tamanho. Nossa escolha foi por quadrados de 2cm x 2cm, ficando o nosso

Geoplano com 10 x 10 quadrados, ou seja, 20cm x 20cm = 400 cm². Nos vértices

de cada quadrado são fixados pregos, onde se prenderão os elásticos coloridos

(ou barbante), usados para representar figuras diferenciadas sobre o Geoplano.

Nossa intenção nesta unidade didática, é destacar com o Geoplano

alguns conteúdos da geometria euclidiana plana, da 5ª série (atual 6º ano) do

ensino fundamental, dando ênfase aos polígonos, características e propriedades

(vértices, lados, nomenclatura), ampliação e redução de figuras, simetria, áreas e

perímetros.

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O GEOPLANO

O Geoplano é um material manipulável constituído por uma placa de

madeira, tendo sido criado pelo matemático inglês Calleb Gattegno em 1961. É

um recurso didático que pode auxiliar o professor e os alunos no trabalho com a

Geometria.

Com o Geoplano, o aluno tem a possibilidade de desenvolver habilidades

para apreender conceitos matemáticos, como cálculo de áreas e perímetros de

polígonos. Pretende-se dar significado a uma conceituação permanente, fugindo

da memorização de fórmulas, que são esquecidas facilmente.

As atividades podem ser trabalhadas em pequenos grupos ou

individualmente. As discussões sobre as produções dos grupos nas diferentes

abordagens dadas aos alunos sobre os problemas podem produzir reflexões e

resultados estimulantes.

O Geoplano é um material de baixo custo, podendo ser feito em casa ou

por marceneiros. Para a sua confecção é necessário uma placa de madeira de

base plana e lisa, pregos e elásticos de borracha de cores variadas. É preciso ter

cuidado com as marcações, para que fiquem todas com as mesmas medidas. A

distância de um prego a outro tem que ser a mesma, tanto na horizontal quanto

na vertical. A essa distância constante se atribui o valor de 1 (uma) unidade de

comprimento (1 u.c.). Ao quadrado de lado 1 u.c. atribui-se a área de 1 (uma)

unidade de área (1 u.a.).

Geoplanos com mais pregos aumentam as possibilidades de trabalho e

podem variar em relação ao tamanho e tipo de malhas:

Geoplano Quadrado: possui a malha quadriculada;

Geoplano Triangular: Os pregos são fixados na intersecção das linhas,

formando uma malha triangular;

Geoplano Circular: Os pregos são colocados de forma circular;

Geoplano Oval: Os pregos são dispostos de forma oval;

Geoplano Espacial: Confeccionado a partir de uma caixa vazada, com vários

ganchos, que dão a ideia de planos que contém as bases e vértices de um

polígono, fixos por quatro hastes paralelas.

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Nossa experimentação será feita com a utilização de Geoplanos

quadrados (10 x 10) e elásticos coloridos, um para cada aluno participante do

projeto.

Geoplano 10 x 10

Propostas de Atividades com o GeoplanoO trabalho com o Geoplano está organizado em três blocos de atividades:

Bloco A, Bloco B e Bloco C. Em cada bloco as atividades são apresentadas em

ordem gradual de dificuldade. O Bloco A traz uma série de atividades com o

Geoplano de madeira. O Bloco B apresenta sugestões de Jogos com o Geoplano

de madeira e, por fim, o Bloco C traz a aplicação do Jogo no Software Livre

Geoplano PEC, e links de acesso a geoplanos virtuais.

BLOCO A1) Conhecendo o Geoplano

A primeira atividade tem por objetivo conhecer o geoplano. Os alunos irão

manipular e construir figuras aleatórias. Exemplos: casinhas, animais, plantas,

barcos, entre outros.

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2) Papel PontilhadoO objetivo desta atividade é fazer com que o aluno transfira uma figura

feita na atividade 1 para o papel pontilhado, observando as unidades usadas, ou

seja, com a mesma proporção.

3) Ampliação e redução de polígonosObjetivo: Ampliar e reduzir uma mesma figura, respeitando a proporção dada.

Atividade: O professor mostra uma figura já conhecida (polígono qualquer), com

a figura montada; questiona o nome da mesma; quantos lados ela tem; quantos

pregos ela está tocando (possibilitando um primeiro contato com a noção de

perímetro).

Em seguida, pergunta o que é preciso fazer para que essa figura fique

maior. Deixando-os livres para explorar o geoplano, eles irão deslocar os elásticos

para ampliá-la. Depois, pode-se pedir para que a diminuam. Todas estas etapas

devem ser reproduzidas no papel pontilhado, devendo manter a forma inicial da

figura.

Essas atividades permitem também a utilização da régua por parte dos

alunos, para que percebam que as linhas traçadas por eles representam os

elásticos, ou seja, os segmentos de reta.

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4) Comparação de figurasObjetivo: Analisar se as figuras dadas são semelhantes (mesmo formato e com

tamanhos diferentes).

Atividade: O professor entregará uma folha com várias figuras e os alunos serão

motivados a observar e passar para o geoplano aquelas que supõem ser

semelhantes.

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5) Comprimentos de Linhas Objetivo: Discutir com os alunos sobre as linhas poligonais e não poligonais,

poligonais abertas e fechadas, regiões externas e internas.

Atividade: Construir no Geoplano as representações dadas e calcular seus

comprimentos.

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6) PolígonosObjetivo: Definir os polígonos com o uso do geoplano, classificar e construir

polígonos de acordo com o número de lados.

Atividade: Após os alunos entenderem o que são linhas poligonais, peça para

que construam no geoplano diferentes polígonos e questione se sabem seus

nomes. Os polígonos não conhecidos podem ser pesquisados em livros ou na

internet. Pode ser feito um cartaz pelos alunos contendo o número de lados e seu

respectivo nome.

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7) Polígonos regulares e irregularesObjetivo: Entender as diferenças entre polígono regular e irregular.

Atividade: Mostre aos alunos um polígono regular e outro irregular e questione-

os em relação às diferenças e semelhanças existentes entre eles.

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Ainda nesta atividade pode-se explorar noções de vértices, lados

(segmentos de reta) e diagonais dos polígonos.

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8) SimetriaObjetivos: Observar se existe ou não eixo de simetria nas formas geométricas;

1. Traçar um ou mais eixos de simetria existentes em figuras;

2. Perceber que o eixo de simetria divide a figura em partes iguais.

Atividade: Se os alunos não souberem o que é eixo de simetria, pode-se propor

atividades com dobraduras em papel ou trazer figuras desenhadas pela metade

na malha pontilhada ou quadriculada. O professor pode utilizar um espelho e

colocar em cima da linha em que a figura termina, para que eles visualizem a

outra metade. O professor indicará que essa linha que separa a figura em partes

exatamente iguais denomina-se eixo de simetria. Em seguida eles desenham a

parte da figura que está faltando.

Pode-se ainda sugerir que cada aluno faça uma outra figura pela metade

no geoplano. Na sequência, os alunos trocam os geoplanos e continuam a

atividade do colega, usando o espelho e um elástico de cor diferente, até que

percebam que a figura começa exatamente onde a parte desenhada termina, ou

seja, no eixo de simetria.

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É interessante que o professor sugira que os alunos façam uma outra

figura com dois eixos de simetria, como exemplo: o quadrado.

9) PerímetrosObjetivo: Discutir a noção de perímetro.

Atividades: 9.1) Dadas algumas figuras, os alunos deverão construí-las no geoplano e

calcular seus perímetros.

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9.2) Construir no geoplano figuras com o mesmo perímetro que as anteriores,

porém, com formatos diferentes. Representar cada construção no Geoplano,

utilizando os elásticos coloridos.

Obs.: Nestas atividades deve-se ter cuidado para que o aluno não pense

que tanto a medida do lado como da diagonal são iguais.

9.3) Fazer duas figuras diferentes com perímetros iguais a 16 u.c..

Essa atividade mostra que figuras podem ter perímetros iguais, porém,

com formatos diferentes.

10) ÁreasObjetivo: Entender o conceito de área sem a utilização de fórmulas.

Atividade: Primeiramente o professor pedirá para que os alunos construam o

menor quadrado no geoplano. Feito o quadrado, o professor explicará que fazer

medidas é comparar grandezas e que esse quadradinho será nossa unidade

padrão.

Daí, utilizar a contagem de quadradinhos para completar as figuras e

calcular suas áreas.

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10.1) Para cada um dos polígonos abaixo, construir no geoplano um outro que

tenha mesma área, porém, com formato diferente.

Essa atividade explora a ideia de que figuras com formatos diferentes

podem ter a mesma área.

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10.2) Calcular a área dos quadriláteros e completar a tabela.

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Figura A B C D E F G H I J L M

Medida do lado horizontal

Medida do lado vertical

Área do quadrilátero

Essa tabela será proposta depois do aluno ter tido a experiência em

calcular áreas de polígonos sem a utilização de fórmulas. Pode ser questionado:

qual é a relação existente entre os lados dos retângulos e a área encontrada?

A tabela ajudará o estudante a perceber a relação de multiplicação entre

os lados, e com isso eles podem chegar à generalização das fórmulas de áreas

do quadrado e retângulo.

10.3) Na atividade a seguir, destacam-se as noções de perímetro e área

simultaneamente.

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Objetivo: Enfatizar as diferenças entre os conceitos de área e perímetro.

Atividade: Para cada um dos polígonos abaixo construir no geoplano um outro

que tenha mesma área, porém, com formato diferente. Calcular os perímetros de

todas as figuras.

Essa atividade permite observar que polígonos com mesma área podem

ter perímetros diferentes e que polígonos com mesmo perímetro podem ter áreas

diferentes.

10.4) Desenhe no geoplano duas figuras com área 6 u.a. e perímetros diferentes,

registrando no papel pontilhado.

10.5) Desenhe no geoplano duas figuras com perímetro 8 u.a. e áreas diferentes,

em seguida passando para o papel pontilhado.

10.6) Agora desenhe no geoplano e depois passe para o papel pontilhado as

figuras que tenham:

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Perímetro Área10 414 1012 5

BLOCO BNesse bloco apresentamos algumas sugestões de jogos que poderão ser

desenvolvidos no Geoplano de Madeira com o intuito de fixar as noções de área e

perímetro.

Jogo 1: Retângulos no GeoplanoMaterial: Geoplano 10 x 10, elásticos coloridos e dois dados.

Participantes: Dois jogadores

Procedimentos: Em sua vez de jogar, cada participante lança os dados e, com o

elástico colorido, faz no geoplano um retângulo que tenha como lados os números

sorteados nos dados. Por exemplo, se os números sorteados forem 3 e 4, o

jogador, na sua vez, faz o retângulo 3 x 4 com o elástico (retângulo com área igual

a 12 unidades quadradas), em qualquer lugar do geoplano que satisfaça a

condição: dois retângulos podem se tocar pelos lados, mas não podem ter pontos

interiores em comum. Perde o jogo o primeiro a ficar impossibilitado de jogar.

Obs.: 1) Pode-se jogar fazendo retângulos que tenham como perímetro o produto

dos dois números sorteados nos dados, seguindo as mesmas regras;

2) Pode-se ainda trabalhar com outros polígonos que não sejam retângulos,

desde que as regras sejam estipuladas antes do jogo (por exemplo, formar

com o elástico colorido qualquer polígono convexo com a base igual a um

dos valores e altura igual ao segundo valor sorteado).

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Jogo 2: Descobrindo Perímetros Mínimos e MáximosMaterial: Geoplano 10 x 10, elásticos coloridos e fichas tipo cartõezinhos com os

números 4, 6, 8, 10,12, 16, 18, 20, 24, 28, 32, 36.

Participantes: Grupos de 2 ou 3 alunos.

Modo de jogar: O professor embaralha as fichas e retira uma, anunciando que o

número sorteado corresponderá à área do quadrado ou retângulo que será

construído no geoplano. Os grupos deverão encontrar a figura com a área

anunciada e o menor perímetro possível (ou maior, se o professor preferir). O

primeiro grupo a construir a figura com a área solicitada e o menor perímetro

marcará um ponto. Vence o jogo o grupo que fizer mais pontos.

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Jogo 3: Descobrindo Áreas Mínimas e MáximasMateriais: Geoplano 10 x 10, elásticos coloridos e fichas com os números 6,

8,10,12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,

Participantes: Grupos de 2 ou 3 alunos.

Modo de jogar: O professor embaralha as fichas e pede para um dos alunos de

qualquer grupo retirar uma ficha e, na sequência, anuncia o número sorteado.

Este número indicará o perímetro com que será feito um quadrado ou retângulo

no geoplano. Os alunos deverão encontrar o referido perímetro com a menor área

possível (ou a maior, se o professor preferir). O primeiro grupo a construir a figura

pedida marca um ponto. Vence o grupo que marcar mais pontos.

BLOCO CNesse último bloco apresentamos links de softwares livres que poderão ser

utilizados pelo professor como suportes no trabalho com o Geoplano.

Esse software Geoplano Virtual (usar a internet) permite ao aluno construir

figuras e depois calcular sua área e perímetro ou, dados área e perímetro,

construir a figura e depois conferir se acertou as medidas.

Site:http://www.eb1recovelas.rcts.pt/aplicacoes/geoplano/geoplano/geoplano.htm

Outra opção de Geoplano Virtual poderá ser encontrado acessando o site:

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http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software.htm

Software Geoplano PEC:

http://www.de.ufpb.br/~labteve/projetos/jogos.html

GeoplanoPEC - Jogo para computador (PC) e projeção Este jogo funciona em computadores com qualquer sistema operacional.

O jogo pode ser utilizado por um ou mais participantes, pois possui uma versão

em que se joga contra o computador e uma versão para dois jogadores. A versão

jogador versus computador pode ser utilizada em sala de aula com um projetor

para atividades em grupo, supervisionados pelo professor, ou individualmente.

Esse software necessita ser baixado em computadores que já tenham o

JAVA instalado.

Os alunos podem ser estimulados a jogar com um colega ou com o PC.

Neste jogo, as noções de perímetro serão fixadas, pois todos os níveis de jogo

trabalham com mais ênfase para este conteúdo.

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REFERÊNCIAS

BEZERRA, M. J. O material didático no ensino da matemática. Rio de Janeiro: MEC/CADES, 1962.

COSTA, J. R. Teorema de Pitágoras: histórico, demonstrações e particularidades. In: Universidade: Ação e Interação. XV Seminário de Pesquisa. Guarapuava: Ed. Unicentro, 2003.

D'AMBRÓSIO, U. Desafios da Educação Matemática no novo milênio. Educação Matemática em Revista, São Paulo, n.11, dez. 2001, p.14-17.

FIORENTINI, D. e LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.

KNIJNIK, G. et al. Aprendendo e ensinando Matemática com o Geoplano. 2 ed. Ijuí: Ed. Unijuí, 2004.

LARA, I.C.M. de. Jogando com a Matemática de 5ª a 8ª série. 1 ed. São Paulo: Ed. Rêspel, 2003.

LORENZATO, S. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

RÊGO, R. G. do. e RÊGO, R. M. do. Matemática. 3 ed. João Pessoa: Ed. Universitária, UFPB, 2004.