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Da dove saltano fuori Da dove saltano fuori Lagrangiane ed Lagrangiane ed Hamiltoniane?Hamiltoniane?

Come facciamo a Come facciamo a sapere che una certa sapere che una certa interazione descrive interazione descrive un certo processo un certo processo fisico?fisico?

Ma perché Ma perché l’interazione e.m. è l’interazione e.m. è dovuta ad una dovuta ad una particella priva di particella priva di massa, di spin 1, massa, di spin 1, scambiata tra oggetti scambiata tra oggetti elettricamente elettricamente carichi?carichi?

GAUGE THEORIES and Gauge invarianceGAUGE THEORIES and Gauge invariance

In linea di principio, se esistono certi tipi In linea di principio, se esistono certi tipi di materia che interagiscono in modo di materia che interagiscono in modo consistente con la teoria quantistica, consistente con la teoria quantistica, allora dovrebbe essere possibile dedurre allora dovrebbe essere possibile dedurre

la struttura dell’interazionela struttura dell’interazione.

In precedenza, la forma dell’interazione, In precedenza, la forma dell’interazione, dedotta da astuti fisici da fatti dedotta da astuti fisici da fatti sperimentali, era semplicemente una sperimentali, era semplicemente una descrizione matematica della situazioedescrizione matematica della situazioe

Teorie dove la forma dell’interazione è Teorie dove la forma dell’interazione è determinata perché la teoria è invariante determinata perché la teoria è invariante per qualche trasformazione sone dette per qualche trasformazione sone dette

teorie di gaugeteorie di gauge

NON DIMENTICARE CHE QUALSIASI BELLA TEORIA NON DIMENTICARE CHE QUALSIASI BELLA TEORIA DEVE ESSERRE VERIFICATA SPERIMENTALMENTEDEVE ESSERRE VERIFICATA SPERIMENTALMENTE

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AB

t

AVE

GAUGE INVARIANCE IN CLASSICAL ELECTRODYNAMICSGAUGE INVARIANCE IN CLASSICAL ELECTRODYNAMICS

tVVV

AAA

'

'

CAMPI E POTENZIALI IN ELETTRODINAMICA CLASSICACAMPI E POTENZIALI IN ELETTRODINAMICA CLASSICA

continua continua derivabile ma derivabile ma arbitraria .arbitraria .

Questa relazione mette in evidenza Questa relazione mette in evidenza che le trasformazioni devono che le trasformazioni devono essere fatte simultaneamenteessere fatte simultaneamente

'

''

AB

t

AVE

GAUGE TRANSFORMATIONGAUGE TRANSFORMATION

AAA '

AVA

,FORMALISMO RELATIVISTICO

gauge gauge

invarianc

invarianc

ee

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Le teorie di gauge sono teorie nella Le teorie di gauge sono teorie nella quali quali l’interazione è determinatal’interazione è determinata da da un principio di invarianza localeun principio di invarianza locale

Se la teoria è Se la teoria è invariante invariante per una per una certa certa trasformazione localetrasformazione locale, si dice , si dice che è una “gauge theory”, o teoria di che è una “gauge theory”, o teoria di gauge.gauge.

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GAUGE INVARIANCE IN QUANTUM GAUGE INVARIANCE IN QUANTUM THEORYTHEORY

costantecostante

2Gli osservabili Gli osservabili dipendono dadipendono da GLOBAL GAUGE GLOBAL GAUGE

TRANSFORMATION. TRANSFORMATION. ie'

Si richiede che la teoria sia invariante per

),(,', ),( xtextxt xti

Se ora vogliamo una teoria invariante anche se si sceglie una fase diversa in ogni punto dello spazio-tempo, deve valere la :

LOCAL GAUGE TRANSFORMATION.

è arbitraria, ma costante nello spazio tempo. (x,t) si trasforma ovunque nello stesso modo

Possiamo fissare in questo caso le nostre convenzioni di fase come ci pare sulla terra, senza curarci di come dovrebbero essere sulla luna

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t

txitx

m

,

,2

1 2

SORPRESA! L’equazione di

Schroedinger NON è invariante per trasformazione di guage locale.Ma:CASO ELETTROMAGNETICO. Equazione di Schroedinger modificata per una particella carica in un campo e.m è gauge gauge invarianteinvariante

eVt

iAeim

2

2

1

teVVV

eAAA

1'

1'

),(,', ),( xtextxt xti

eAAA /'

La invarianza locale di gauge ( o fase) La invarianza locale di gauge ( o fase) richiede richiede l’esistenza del campo vettoriale l’esistenza del campo vettoriale AA = (= (V,A),A)

e è la carica dell’elettrone. Le Le trasformazioni sono trasformazioni sono simultaneesimultanee. Vale l’invarianza locale. Il formalismo relativistico è mantenuto

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Il campo deve poter essere espanso in termini di operatori creazione e distruzione:

trkitrki ee

..

2

1

L’invarianza di faseL’invarianza di fase della teoria quantistica dell’interazione di particelle cariche elettricamente richiede l’esistenza del fotonerichiede l’esistenza del fotone

Quindi deve esserci una particella associata, e dato che il campo è descritto da un quadrivettore, questa particella deve avere spin 1.

Questo succede per ogni particella carica, e l’interazione è la stessa con ogni particella caricala stessa con ogni particella carica. E’ una interazione universale

Commenti sulla diapositiva precedente

L’origine del nome :(Weyl 1918) Simmetria di gauge nell’elettromagnetismo. Gauge = “misura campione” o “asta di misurazione”. Per esempio il metro dei falegnmi o delle sarte. ( che può dare cm ,pollici etc) (l’oggetto misurato mantiene le sue dimensioni, indipendentemente dallo strumento di misura che si usa)

Invarianza o simmetria globale o locale.

Esempio simmetria globale: Se il reddito di tutte le persone ed il costo di tutti i beni aumentasse di 10 volte ovunque, la domanda e l’offerta non cambierebbero, ed i mercati conserverebbero il loro equilibrio.

Esempio simmetria locale: Se redditi e prezzi cambiassero quà e là in modo casuale, offerta e domanda non sarebbero più coordinate. Ma, secondo gli economsti, le “leggi del mercato” porterebbero presto ad un riequilibrio della domanda e dell’offerta, nel suo insieme: in questo caso questo è il principio di simmetria o conservazione.La forza è la forza del mercato

SIMMETRIA di GAUGE

Noether e la simmetria. La simmetria è il motore della dinamica. Se c’é na simmetria cé’un campo che esercita una forza.Le particelle sono pacchetti di energia e quantità di moto. Energia e quantità di moto Le particelle sono pacchetti di energia e quantità di moto. Energia e quantità di moto sono numeri quantici definiti dalle traslazioni temporali e spaziali. Il momento angolare sono numeri quantici definiti dalle traslazioni temporali e spaziali. Il momento angolare è il numero quantico della rotazione. Una particella elementare è definita dalle sue è il numero quantico della rotazione. Una particella elementare è definita dalle sue proprietà di simmetria. proprietà di simmetria. Una particella elementare è una rappresentzione del suo Una particella elementare è una rappresentzione del suo gruppo di simmetrie.gruppo di simmetrie.

Simmetria localeI mutamenti nella simmetria locale sono completamente arbitrari: si ha una simmetria quando I mutamenti di un aspetto del sistema sono compensati esattamente da mutamenti di un altro aspetto, in modo tale che si conservi una quantità connessa ad entrambi. Una tale compensazione non può aver luogo senza l’intervento di una forza. Per avere una “simmetria locale di gauge” l’Universo deve agire. Non può restare passivo. In questo senso i nostri teorici ci dicono che “una simmetria di gauge locale genera una forza”.

Local guage symmetry (un cenno storico)1918 Weyl1918 Weyl: In elettromagnetismo la simmetria locale di guage dello spazio-tempo, permeato dai In elettromagnetismo la simmetria locale di guage dello spazio-tempo, permeato dai campi elettromagnetici porta alla conservazione della carica elettrica. campi elettromagnetici porta alla conservazione della carica elettrica. Einstein:Einstein: non può essere una non può essere una simmetria nello spazio tempo! ( un orologio portato in giro per una stanza cambierebbe ora!)simmetria nello spazio tempo! ( un orologio portato in giro per una stanza cambierebbe ora!) 1927 1927 London:London: E’ l’invarianza di fase dell’equazione dei potenziali dell’elettromagnetismo (di E’ l’invarianza di fase dell’equazione dei potenziali dell’elettromagnetismo (di Scrhoedinger per l’elettromagnetismo)che conserva la carica. Per cui può cambiare la fase di un Scrhoedinger per l’elettromagnetismo)che conserva la carica. Per cui può cambiare la fase di un elettrone anche se la sua carica non cambia mai. “elettrone anche se la sua carica non cambia mai. “Cancellando gli effetti dei mutamenti di fase il campo protegge la carica con interventi costanti” ”

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ieVt

D

AieD

0

Covariant Covariant Derivatives:Derivatives: un formalismo utile

02

2

1iDDi

m

Equazione

di Schroeding

er

e vediamo cosa succede :

),(,', ),( xtextxt xti

eAAA

1'

teVVV

1

'

Die

Aiee

eiAieiDi

i

i

i

''

0

0 ''

iDe

et

ieVt

iiD

i

i

definiamo:definiamo: “derivata “derivata covariantcovariante”e”

DDD

0

Facciamo una trasformazione di gauge locale, cioè usiamo le equazioni:

Osservazione: anche D si trasforma come una funziona d’onda, se lo fa . Ed anche D (D )

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“ “derivata covariante”derivata covariante”Quadrivettore covariante. Semplifica le notazioniQuadrivettore covariante. Semplifica le notazioni

DDD

0

GENERALIZZIAMO:

carica non elettrica

trasformazione: U'

Definiamo

dove A è il campo interagente di cui non conosciamo il funzionamento. Vogliamo anche che :

E questo può essere scritto:

igAD

DUD ''

Risolviamo per A’:

Dato che la è arbitraria, e moltiplicando a destra per U-1

Come deve trasforomarsi A

igAUUigA '

igUAU

igUAUUUigA '

11' UUAUUg

iA

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Abelian &Non-Abelian Abelian &Non-Abelian transformations (remind)transformations (remind)

Abelian groups

transformations commute

Non-Abelian groups

transformations do not commute

phase phase invariance invariance in QEDin QED

2222 1221 SUSUSUSU

1111 1221 UUUU

isospin yang-mills theory