C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Serie I, p. 489-494, 1999 equations aux dhrivhes partielles/Parfia/ Differential Equations

D-modules et I-modules associhs h un ophrateur diffhentiel h caracthristiques simples

David MEYER

Analyse algbbrique, case 82, Institut de mathhmatiques, Universite Pierre-et-Marie-Curie, tour 46-00, 3” &age, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

(Requ le 18 d6cembre 1998, accept& le 4 janvier 1999)

RCsumC. On sait d’aprbs les travaux de J. Leray, que la solution ClCmentaire avancCe d’un opkrateur diffkrentiel P, & caractkistiques simples et hyperbolique sur un ouvert U de W”, vkifie un systeme holon8me r6gulier d’kquations diff6rentielles. Le but de cette Note est de construire un tel systkme. Les equations de ce systkme sont de plus v&ifites, modulo les fonctions holomorphes sur un voisinage complexe de U x U, par toute solution ClCmentaire de P, si P est 1 caractkstiques simples et elliptique. 0 AcadCmie des SciencesElsevier. Paris

D -modules and E-modules associated with a differential

operator with simple characteristics

Abstract. We know by the works of J. Leray that the advanced elementary solution of a difSerentia1 operator P, which is supposed to be hyperbolic with simple caracteristics over an open subset U of R’“, satisfies to a regular holonomic system of dtfferential equations. The task of this Note is to build such a system. Moreover, the equations of this system are satisjed by any elementary solution of P, mod&o holomorphic functions over a complex neighborhood of U x U, if P is supposed to be elliptic with simple characteristics. 0 Acadtmie des Sciences/Elsevier, Paris

Abridged English Version

Let P be a differential operator with real analytic coefficients over an open subset U of R”. We make the fundamental following hypothesis: P is an operator with simple characteristics. We suppose moreover that:

- n 2 3 and - the principal part of P has constant coefficients. Note car P the characteristic variety of P, and Ap, the bicharacteristic flow from the diagonal

of car P x car P (see Definition 3.1). We associate to P a germ Np of ExxAyO -module over the

Note pr&entrSe par Jean-Michel BONY.

0764~4442/99/03280489 0 Acaddmie des Sciences/Elsevier, Paris 489

D. Meyer

diagonal A of T*(X x X”) (the notations T*(X x X”) and EavxxO are explained in the section “notations” of the text) which is defined as follows: nip is spanned by one generator e with the relations (B @ 1 - 1 @ A).e = 0 for all pairs (A, B) of germs of pseudo-differential operators such as AP = PB. One has then the following result (Theorem 3.0.2 in the text):

- NP is holonomic, and his multiplicity equals one out of A; - there is an exact sequence

where Mp is a germ along A of &.~~~~-module which is holonomic and whose multiplicity equals one along APT,.

Moreover: (i) if r is the restriction to T*(X x X’)\O of the canonical projection T*(X x X”) + X x X,

n,Mp is a germ along the diagonal of X x X of a holonomic D>s~s~ -module whose multiplicity equals one along hp,%. The germs of section of rsMp become identified with “phasis integrals” in the sense of L. Hormander [4].

(ii) The germ along A of the Es x ,yD - module of pseudo-differential sections of r,Mp is isomorphic to Mp.

We make the proof of the precedent result in two steps: - first, we assume that P is homogeneous with real constant coefficients. We define a phasis

function C#J on X x X x (P\O) x C naturally associated with P (see Definition 4.2). We construct a EsxsO-module Md (Definition 4.3 in the text) whose germs of sections behave as “phasis integrals” (in the sense of [4]).

With the use of the direct image theorem of Schapira-Houzel [?I], we prove that r*Md is of finite type on the diagonal of X x X (see Theorem 4.5).

We prove then that the germs (over A) of EN~SO-modules Mp and Md are isomorphic (this is done in the proof of Theorem 4.6).

- We consider now the general case. Let Pm the principal part of P. We prove that the ESxSO - modules Mp and Mp,,t are isomorphic (this is the task of Theorem 4.7). In this proof, we use a classification theorem which is verified in [9].

The Is x~~0 -modules hrp and Mp are defined and have the properties precedently described as soon as P is a differential operator with simple charcteristics. If moreover P is hyperbolic, it is invertible in the algebra consisting of the operators (in the sense of L. Schwartz) whose kernel is contained in the wave forward cone, and so his advanced elementary solution satisfies the equations of the system J$$.

If now P is supposed to be elliptic with simple characteristics, it is invertible in the algebra of pseudo-differential operators, and so any elementary solution of P satisfies the equations of the system Np, modulo holomorphic functions in a complex neighbourhood of U x U.

This explains the “holonomic” character of any elementary solution of P if P is supposed to be elliptic with simple characteristics.

1. Introduction

Notons U un sous-ensemble ouvert de R” (n est un entier nature1 que nous supposerons par commodite superieur ou Cgal a 3). Soit P = P(x, DZ) un operateur differentiel sur U, de degre m, a coefficients analytiques reels. Notons CJ( P) = (T(P)(z; <) son symbole principal. 11 existe un voisinage complexe X de U tel que CT(P) definisse une fonction analytique sur T*X, homogene de degre m

490

D-modules et F-modules associbs A un opkrateur diffkrentiel

par rapport aux variables <. Nous faisons l’hypothkse essentielle suivante: P est B caracdristiques simples ‘. On suppose de plus, par commodit&, que 7~ 2 3 et que la partie principale P7,, de P est ti coefficients constants.

On dit qu’une distribution E = E(z! w), dkfinie sur U x U, est solution Ckmentaire de P si P(x, D,).E(z, y) = S(z - 1~). L ors ,q ue I’ est hyperbolique, J. Leray a dCmontrC (voir [S]) que sa solution tlCmentaire H avancte >> est de classe de Nilsson, c’est-h-dire admet un prolongement ramifik in croissance modCrCe le long d’une hypersurface de C”. Par suite, la solution Umentaire avancee de P vkifie un systkme holoni3me rkgulier d’kquations diffkrentielles (voiv 171).

Le but de cette Note est de construire un tel systkme. Nous constatons de plus que si P est elliptique et 2 caractbistiques simples. alors toute solution ClCmentaire de P vkrifie les equations du systbme construit, modulo les fonctions holomorphes sur un voisinage complexe de li x U. expliquant ainsi le caract&e CC holonBme >j de toute solution ClCmentaire de I’ dans ce cas.

2. Notations

Pour tout sous-ensemble ouvert X de C”, on note 0~ et 62s les faisceaux respectifs sur X des fonctions holomorphes et des formes holomorphes de degre maximal. On note Cgalement D2y le faisceau des opkateurs diffkentiels analytiques sur X. 2)~~ dksigne le faisceau d’anneaux opposC de D&Y. On dira qu’un faisceau M de C-espaces vectoriels sur X est un ;n,O-module (a gauche) s’il admet une structure de DeY-module ?I droite.

Pour tous sous-ensembles ouverts X1 et X2 de C”, on note 1’1 et ~2 les projections respectives de XI x X2 sur le premier et le second facteur. On notera alors de faGon commode (mais abusive)

D-s, xs; le complCtC analytique du produit tensoriel pl-l;n~, @ p2-‘D,; ‘; D-l-, x2~y est done le faisceau des opkrateurs diffirentiels op&rant sur les noyaux (c’est-h-dire sur OS, x,y2 @ p.L-1C2SL).

On dksignera par E-x- le faisceau des opkrateurs micro-diffkrentiels sur T* X et par E-x-<> le faisceau d’anneaux opposC de E-y. On dira qu’un faisceau M de C-espaces vectoriels sur T*X est un E,-“- module (a gauche) s’il admet une structure de LAY-module 2 droite. Si enfin (11 et ~2 dksignent les restrictions B T*(XI x Xi) ’ des projections respectives de T*(Xl x X,“) sur le premier et le second facteur, on notera ES, xA~-jc le cornpI& analytique de ql-]E.,-, ~3 q2-11.1-2.

3. JknoncC du thCori?me principal

Notons P,,, la partie principale de P. Nous dt%nissons une sous-varittt? lagrangienne de T* (X xX”), que nous notons Ar,,, , car elle ne dCpend que de la partie principale de P, comme suit :

DEFINITION 3.1. - Ar,,, est Cgale 2 I’ensemble des couples (vI,~. nr.2) E T*(X x X”)\O tels qu’il existe une courbe bi-caractkistique nulle de P reliant ‘r~?,~ E T*X\O B m,2 E T*X”\O.

Autrement dit, np,,, est le flot bi-caracdristique de P issu de la diagonale de car P x car P (car P est la vari& caractkistique de P). Nous noterons dans la suite D la diagonale de T*(X x X0). Le thkorkme principal s’knonce alors ainsi :

THt?ORh@ 3.2. - Soit -!;p le germe de Es\-x~ya -module le long de a d&j% par un g&krateur ti v&-ijant la relation (13 ‘8 1 - 1 @ A).e = 0 p our tout couple (A, B) de germes de sections de f.\- x &so 4 k@ri$ant AP = PB. Alors :

1) J%$ est holoncime, de multiplicite’ 1 en dehors de A. /I existe une suite e.xcrcte

oti Mp est un germe de Es x.l-O -module le long de a, holonBme de multiplicite’ 1 le long de hp$,, ‘.

491

D. Meyer

2) n*Mp 6 est un V‘yxAyO-module de type Jini sur la diagonale de X x X. Ses germes de section sur cette diagonale s’identijient 6 des CC intkgrales de phase N.

3) YT~MP est le germe sur la diagonale de X x X d’un IDS xAy O -module holonbme de multiplicite’

e’gale d 1 le long de Ap,,, dont le germe sur A du Es x ~0 -module des sections pseudo-diffkrentielles, est isomorphe ir Mp.

4. DCmonstration du thCoritme principal

Pour tout opbateur differentiel & a coefficients analytiques et a caracteristiques simples, on definit le germe d’ideal ZQ de &~~x.~O sur A, comme Ctant engendre par les germes de section de &.Y @&x0 de la forme B @ 1 - 1 @A, ou AQ = QB. I1 est verifie dans [9] (proposition 2.2.1 page 44 oti l’on utilise un transport par transformation canonique quantifiee) que ZQ est un germe d’ideal coherent sur A. Le germe (sur A) de Es x~~O - module NQ, quotient de E.yx.yO par ZQ, est engendre par un gtnerateur e I. On vtrifie que le sous-module de J~Q engendre par (& 63 l).e est isomorphe a ES x~y~ 6(x - y).

DI~FINITION 4.1. - On pose Mo=ni~/EA~xd~O(Q C% l).f. Nous utiliserons principalement M Q pour (2 = P ou Q = P,. 11 est prouve dans [9]

(proposition 2.2.8 page 49) que M p et Mp,,> sont holonbmes de multiplicite 1 le long de leur variCte caracteristique hp.

La suite de la dkmonstration a pour but de donner une representation des germes de section de M p par des CC integrales de phase B. On le fait en deux etapes : on commence par supposer que P est 2 coefficients constants, homogene de degre m. On considere alors le cas general.

4.1. Le cas oh P est Ci coefficients constants (voir [l] et [3])

Soit I? = (F\O) x C. On note (H;t), ou H = (01, . . . . Q,) E U? et t E C, les coordonnees d’un point de I?. On definit une action du groupe multiplicatif C\O sur I en posant X.(6; t) = (A@, X1-T) pour tous (0; t) E I et X E C\O. Soit L le fibre en droites, quotient du cone I par cette action de C\O. On note y la projection canonique de X x X x I sur X x X x L, et p la projection naturelle de X x X x L sur le produit cartesien des deuxieme et troisieme facteurs.

DEFINITION 4.2. - 1) Sur X xX x r, on dtfinit la fonction phase 4 par $J(cE:, y; 8, t) = (x-y, Q-P(@) pour tout (2, y; 0, t) E X x X x I’. On note 5’ la variCte des zeros de 4.

2) On definit un Dsxs3 xl;O -module note ML sur X x X x L par

oh l’on note Rsx L le faisceau des formes analytiques de degre maximum sur X x L. 11 est v&ifiC dans [9] que les germes de section du E _ J, x ,yO x ~~ -module (ML)& engendre par ML

en un point sont des symboles analytiques. On d&nit alors la relation d’equivalence w+ sur (ML)& comme suit : on dit que cl-,b s’il existe un symbole analytique c tel que n - b = dc (oti d est la differentiation par rapport aux variables H et t.

DEFINITION 4.3. - On note M+ le quotient de (ML)~ par la relation d’iquivalence N+. On note 1+(a) la classe du symbole analytique a module No.

DEFINITION 4.4. - 1) L’ensemble des points critiques de C#J relativement a la projection naturelle pL: X x X x L ----f X x X est Cgal a l’image par y de l’ensemble des zeros de la fonction $ definie sur

X x X x r par ‘J/(:l:,g; 0,t) = IHj-2”“lP(H)12 + 2 j2( - yyi - tg(s)l’. On pose pour tout s > 0, i=l z

us = {(~,~~;e.t) E x x x x r Ili/(x,lyle,t) < +

492

Dmodules et E-modules associbs a un opkrateur diffkrentiel

2) On pose : J

ML = 3 R"p~+i%,li, , oii dans le membre de droite, le terme situ& PLiO S-+0

entre parentheses designe 1’ClCment en degre zero du complexe image directe (au sens de [6]) de la restriction a U, du 2)2x x~~0 x~0 -module n/r,.

THBOR~ME 4.5. - Soit po un point de la diagonale de X x X de coordonnees (:c, :r). La jibre au point p. de 1 ‘image directe YT, M 4 est un l3.y x~xo ,pC, -module de type jini. Plus precistGnent, elle est

&gale a un quotient de la fibre au point po du rD.~~s~ -module /

ML. En d’autres termes, il existe

J . PLid

une suite exacte ML -+ T,M@ --) 0. PL$

La finitude de la fibre au point po de J ML resulte du theoreme de l’image directe de

Houzel-Schapira que l’on peut appliquer apr$l$voir verifie que : (i) pour tout s > 0, la restriction de pi a i’adherence 5, de U, est propre ; (ii) l’ensemble des nombres s > 0 tels que U, est non caracteristique relativement a kf~ est

analytique reel fini. Soit alors s une section de -lr,M+ au-dessus d’un ouvert V de X x X. Considerons l’application

x vi h (GY;Q: -"j,; AprnL associe (z, y; 8: t) E X x X x L, 013 t est l’unique nombre complexe

tel que IG~ - yi = i%(B). Alors, x(Ap fl T-‘(V)) admet un recouvrement par des ouverts Vi de

X x X x L verifiant la propriete suivante : pour tout i, il existe un symbole analytique b; sur Vi tel que la restriction s~-I(v,) de s a x -‘(Vi) est Cgale a T+(b;). On verifie alors que l’on peut supposer b; independant de y pour tout i *. Soit alors {aij} l’unique famille de symboles analytiques tels

que n, - aj = ui3 sur Vi n Vj. On demontre qu’il existe une unique famille de symboles \ I

analytiques {c;} telle que ni, = cj - ci sur l/i n Vj. Pour tout %, b, +

restriction a Vi d’un symbole analytique global, qui delinit une section de I

ML. 11 suffit, pour

completer la demonstration du theoreme principal de demontrer : . PI,;@

THI~OR~ME 4.6. - Les germes sur A des &sxs 0 -modules Mp et (T*M~,)~ sont isomorphes.

M+ &ant monogbne engendre par e*, les Msxso-modules M, et (r,M,)’ sont isomorphes. On doit done prouver que M p et M6 sont isomorphes. Plus precisement, on verifie que le morphisme de &xxs~ -modules qui associe au generateur e de M p le generateur e+ de ,z/L, est un isomorphisme. La difficult6 est en fait d’en verifier l’injectivite. On utilise pour cela le lemme 2.3.24

‘page 65 de [9], qui montre que zp est engendre par les Qij @ 1 - 1 @ Qij, oti l’on a defini

Q~~(z;D~) = :c~E(D*) - zig(Dz) pour tous 1 5 % < 3 5 n. J I

4.2. Le cas g&&al

Le cas general se r&out en demontram Ie resultat suivant :

T&OR&VIE 4.7. - Les germes sur A des &Ax-x~~~ -modules Mp et Mp,,, sont isomorphes.

En effet, ils sont tous deux portes par A p,, . Cette variete admet un recouvrement par des sous- ensembles ouverts de U, de T* (X x X”)\O verifiant la propriete suivante : pour tout i, il existe un optrateur pseudo-differentiel de degre zero si telle que P = s,Psi’ sur U;. 11 en resulte que Mp et MP,n ont le meme degre. D’apres ie theoreme de classification de [9], les &~~x~~~-modules MF et

493

D. Meyer

MP, sont localement isomorphes, et les isomorphismes locaux sont des constantes. 11 existe done un cocycle constant cij (a valeurs dans C\O) tel que ei = cije, sur Ui fl Uj oti l’on a not6 ei l’image du gCnCrateur ep,,, de (M pT_)IU,sur (MP)(I~, . D’aprks le lemme 2.2.3 page 45 de [9], ei et ej ont le mCme symbole sur A. Par suite, cij = 1 sur Lii n 24j n A. Mp et Mp_sont done isomorphes.

’ par << caracttristiques simples )>, nous voulons dire que toutes les caracteristiques (reelles ou complexes) sont simples, c’est-a-dire que Dcc(P)(l:;<) # 0 dts que g(p)(,;<) = (I.

* ce produit tensoriel est pris sur pt ‘Us, @ P~-‘W,Y~.

3 T’ (Xt x X2) s’identihe a la variete symplectique produit T*Xi x (T* X2)‘.

4 respectivement en un point de T’X, projection d’un point de A, et en un point de T* X”, projection du m&me point de A.

’ on a note E,\- x .\ o S(:r - 21) le module engendrt par un gentrateur annul& par 5, - yZ et D ri + D,? , 1: = 1, ,7~.

6 on note rr la restriction a T*(X x X’)\O de la projection naturelle T*(X x X0) ---t X x X”.

7 egal a la classe de 1 E &.y x ,YO modulo 2~.

* quitte a remplacer le recouvrement {V, } par un recouvrement plus tin.

RCfkences bibliographiques

[1] Boutet de Monvel L., Operateurs pseudodifferentiels analytiques, Seminaire << Operateurs pseudodifferentiels et singularitts )>, Grenoble, 1975 1976 (multigraphit), et Publications des stminaires de mathematiques, Rennes, 1976.

[2] Boutet de Monvel L., Malgrange B., Le theoreme de l’indice relatif, Ann. Scient. EC. Norm. Sup. 23 (4” serie) (1990) 151-192.

[3] Boutet de Monvel L., On the holonomic character of the elementary solution of a partial differential operator in: New trends in Microlocal Analysis, J.-M. Bony, M. Morimoto (Eds.), Springer-Verlag, Tokyo, 1997, pp. 171-178.

[4] Hormander L., Fourier integral operators 1, Acta Math. 131 (1970). [5] Houzel C., Schapira P., Images directes de 2)-modules, C. R. Acad. Sci. Strie I (1984). [6] Kashiwara M., h-functions and holonomic systems, Invent. Math. 38 (1976) 33-53. ]7] Kashiwara M., Kawai T., On Holonomic systems of Micro-differential Equations. 3, Systems with Regular Singularities,

Pub]. RIMS. Kyoto Univ. 17 (1981) 813-979. [8] Leray J., Un prolongement de la transformation de Laplace qui transforme la solution unitaire d’un operateur hyperbolique

en sa solution Clementaire (Probleme de Cauchy 4), Bull, Sot. Math. France 90 (1962) 39-156. [9] Meyer D., These de doctorat de I’UniversitC Pierre-et-Marie-Curie, Paris, 1988.

494