Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Е. Г. Цымбаревич

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Конспект лекций для студентов специальности 1 – 53 01 01 «Автоматизация

технологических процессов и производств»

Могилев 2008

УДК 65.011.56 + 317.7 Рассмотрен и рекомендован к изданию На заседании кафедры «Автоматизация технологических и производств» Протокол № 9 от 17 апреля 2008 Научно-методическим Советом Протокол № 5 от 03 февраля 2009

Составитель

Е.Г.Цымбаревич

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент УО МГУП И.Д.Иванова

кандидат технических наук, доцент ГУВПО БРУ В.А.Селиванов

Цымбаревич, Е. Г. Теоретические основы электротехники : Конспект лекций для студентов специальности 1 – 53 01 01 «Автоматизация технологических процессов и производств». – Могилев : УО МГУП, 2008. – 240с. Настоящее пособие содержит конспект лекций по курсу «Теоретические основы электротехники» в объеме, соответствующем двум семестрам дневной формы обучения. Пособие состоит из 10 лекций, в которых представлены основные сведения об электрических и магнитных цепях при постоянных и переменных токах, в стационарном и переходном режимах, а также рассмотрены процессы в линиях с распределенными параметрами. Пособие предназначено для студентов специальности 1 – 53 01 01 – «Автоматизация технологических процессов и производств» дневной, заочной и сокращенной формы обучения.

УДК 65.011.56 + 317.7 © УО «Могилевский государственный

университет продовольствия», 2008

3

СОДЕРЖАНИЕ Введение ………………………………………………………………………………. 10 Лекция 1. Основные понятия и законы теории электрических цепей ………. 10

1.1 Электрическая цепь и электрическая схема. Структура простейшей электрической цепи .................................................................................................. 10

1.2 Топологические понятия теории электрических цепей ........................................ 111.3 Ток проводимости и ток смещения. Сила тока …………………………………. 121.4 Электрическое напряжение и потенциал ………………………………………... 131.5 Электродвижущая сила источника энергии ……………………………………... 141.6 Мощность электрического тока ………………………………………………….. 141.7 Идеализированные пассивные элементы электрических цепей. Соотношение

между током и напряжением в пассивных элементах ………………………….. 151.8 Реальные пассивные элементы электрических цепей и схемы замещения …… 161.9 Задачи анализа и задачи синтеза. Понятие о структурных и компонентных

законах. Законы Кирхгофа ……………………………………………………….. 171.9.1 Первый закон Кирхгофа ....................................................................................... 171.9.2 Второй закон Кирхгофа ………………………………………………………… 18 Лекция 2. Линейные электрические цепи постоянного тока и методы их

анализа …………………………………………………………………… 19

2.1 Линейные электрические цепи. Законы Кирхгофа для резистивных цепей постоянного тока …………………………………………………………………. 19

2.2 Идеальные источники ЭДС и тока. Схемы замещения и вольт-амперные характеристики источников электрической энергии …………………………... 21

2.2.1 Источник напряжения …………………………………………………………... 212.2.2 Источник тока …………………………………………………………………… 222.2.3 Эквивалентность различных форм представления источников энергии ……. 232.3 Напряжение на участке цепи постоянного тока и законы Ома ………………... 232.3.1 Закон Ома и напряжение на однородном участке цепи ………………………. 232.3.2 Закон Ома и напряжение на неоднородном участке цепи с источником

ЭДС ………………………………………………………………………………... 242.3.3 Закон Ома и напряжение на неоднородном участке цепи с источниками

ЭДС и тока ………………………………………………………………………… 252.3.4 Закон Ома для замкнутой одноконтурной цепи ……………………………… 262.4 Потенциальная диаграмма ……………………………………………………….. 272.5 Работа и мощность постоянного тока. Уравнение баланса мощностей ………. 272.6 Основные методы анализа простых электрических цепей …………………….. 292.6.1 Анализ простых электрических цепей при последовательном и параллельном

соединении резистивных элементов …………………………………………….. 292.6.2 Анализ простых электрических цепей при смешанном соединении

резистивных элементов. Метод эквивалентных преобразований и метод пропорциональных величин ……………………………………………………... 30

2.7 Основные методы анализа сложных электрических цепей …………………….. 312.7.1 Метод непосредственного применения законов Кирхгофа ………………….. 322.7.2 Метод контурных токов ………………………………………………………... 332.7.3 Принцип и метод наложения …………………………………………………... 35

4

2.7.4 Метод узловых потенциалов …………………………………………………… 362.7.5 Метод двух узлов ………………………………………………………………... 382.7.6 Метод эквивалентного генератора ……………………………………………... 392.7.7 Передача энергии от активного двухполюсника к нагрузке. КПД источника

энергии …………………………………………………………………………….. 422.8 Эквивалентные преобразования электрических схем. Основные методы ……. 452.8.1 Преобразование соединения резистивных элементов звездой в эквивалентное

соединение треугольником и обратное преобразование ………………………. 452.8.2 Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС

и источниками тока ………………………………………………………………. 462.8.3 Преобразование последовательного и параллельного соединения источников

энергии …………………………………………………………………………….. 462.9 Основные свойства линейных электрических цепей …………………………… 472.9.1 Принцип наложения …………………………………………………………….. 472.9.2 Принцип взаимности …………………………………………………………… 482.9.3 Принцип компенсации ………………………………………………………….. 48 Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока ………... 49

3.1 Синусоидальный электрический ток и его основные характеристики ………... 493.2 Среднее и действующее значение синусоидальной величины. Связь с

амплитудным значением …………………………………………………………. 503.3 Формы представления синусоидальных величин ………………………………. 513.3.1 Графическое представление синусоидальных величин. Понятие о временных

диаграммах ………………………………………………………………………... 513.3.2 Векторное представление синусоидальных величин. Понятие о векторных

диаграммах ………………………………………………………………………... 533.3.3 Комплексное представление синусоидальных величин. Понятие о

комплексной амплитуде и комплексе действующего значения величины …… 543.4 Комплексное сопротивление и комплексная проводимость …………………... 563.5 Пассивные элементы в цепи синусоидального тока. Понятие об активном,

индуктивном и ёмкостном сопротивлении двухполюсника …………………… 573.5.1 Резистивный элемент в цепи переменного тока. Понятие об активном

сопротивлении резистора ………………………………………………………… 583.5.2 Индуктивный элемент в цепи переменного тока. Понятие об индуктивном

сопротивлении катушки ………………………………………………………….. 603.5.3 Ёмкостный элемент в цепи переменного тока. Понятие о ёмкостном

сопротивлении конденсатора ……………………………………………………. 613.6 Топографическая диаграмма ……………………………………………………... 633.7 Закон Ома в комплексной форме. Треугольник сопротивлений и треугольник

проводимостей ……………………………………………………………………. 643.8 Комплексная форма законов Кирхгофа …………………………………………. 673.8.1 Первый закон Кирхгофа в комплексной форме ………………………………. 673.8.2 Второй закон Кирхгофа в комплексной форме ……………………………….. 673.9 Ток и напряжение при последовательном соединении сопротивления,

индуктивности и ёмкости. Треугольник напряжений ………………………….. 683.10 Ток и напряжение при параллельном соединении сопротивления,

индуктивности и ёмкости. Треугольник токов …………………………………. 703.11 Мощность в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей ………………... 72

5

3.11.1 Активная мощность …………………………………………………………… 723.11.2 Энергетические процессы в резистивном, индуктивном и ёмкостном

элементах. Понятие о реактивной мощности …………………………………... 733.11.3 Полная мощность и треугольник мощностей. Комплексная форма

представления мощности ………………………………………………………… 763.11.4 Уравнение баланса мощностей в цепи синусоидального тока ……………... 773.11.5 Коэффициент мощности cos ϕ. Технико-экономическое значение и способы

увеличения коэффициента мощности …………………………………………... 773.12 Резонансные явления в цепях синусоидального тока ………………………… 793.12.1 Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре ……….. 793.12.2 Резонанс токов в параллельном колебательном контуре …………………… 813.12.3 Резонанс токов в параллельном колебательном контуре с потерями.

Основные закономерности ……………………………………………………….. 833.13 Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока …………………... 853.14 Индуктивно связанные электрические цепи при синусоидальном токе …….. 873.14.1 Индуктивно связанные электрические цепи. Основные понятия ………….. 873.14.2 Согласное и встречное включение катушек индуктивности. Степень и

коэффициент связи ……………………………………………………………….. 883.14.3 Последовательное соединение индуктивно связанных катушек …………… 903.14.4 Параллельное соединение индуктивно связанных катушек ………………... 923.14.5 Особенности расчета сложных разветвленных цепей при наличии взаимных

индуктивностей …………………………………………………………………… 943.14.6 Развязывание магнито-связанных цепей ……………………………………... 95 Лекция 4. Линейные электрические цепи при периодических

негармонических воздействиях ………………………………………. 96

4.1 Периодические несинусоидальные токи, напряжения и ЭДС. Понятие о гармоническом анализе …………………………………………………………… 96

4.2 Представление несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС в виде рядов Фурье ……………………………………………………………….. 96

4.3 Действующее и среднее значение периодической несинусоидальной величины ………………………………………………………………………….. 98

4.4 Коэффициенты, характеризующие форму периодических несинусоидальных величин ……………………………………………………………………………. 100

4.5 Примеры разложения периодических величин в ряд Фурье и основные свойства периодических кривых, обладающих симметрией ………………….. 100

4.5.1 Симметрия относительно оси абсцисс ………………………………………… 1014.5.2 Симметрия относительно оси ординат ………………………………………… 1024.5.3 Симметрия относительно начала координат ………………………………….. 1034.6 Комплексная форма ряда Фурье. Понятие о дискретных спектрах

периодических кривых токов, напряжений или ЭДС ………………………….. 1034.7 Несинусоидальный ток и напряжение в пассивных элементах цепи.

Основные закономерности ……………………………………………………….. 1054.7.1 Несинусоидальный ток и напряжение в резистивном элементе ……………... 1054.7.2 Несинусоидальный ток и напряжение в индуктивном элементе ……………. 1064.7.3 Несинусоидальный ток и напряжение в ёмкостном элементе ……………….. 1074.8 Методика расчета линейных электрических цепей при периодических

несинусоидальных токах и напряжениях ……………………………………….. 108

6

4.9 Мощность периодического несинусоидального тока …………………………... 110 Лекция 5. Трехфазные электрические цепи ……………………………………... 112

5.1 Основные сведения о трехфазных электрических цепях ………………………. 1125.2 Соединение фаз источника энергии в звезду и треугольник …………………... 1145.3 Соединение фаз нагрузки в звезду и треугольник. Определение линейных

и фазных величин …………………………………………………………………. 1155.4 Симметричная и несимметричная нагрузка в трехфазной цепи ……………….. 1165.5 Расчет трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в звезду ………………. 1175.5.1 Нагрузка симметричная ………………………………………………………… 1175.5.2 Нагрузка несимметричная ……………………………………………………… 1195.6 Расчет трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник ……….. 1205.7 Мощность трехфазной цепи ……………………………………………………… 121 Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы

их анализа ………………………………………………………………... 122

6.1 Определение переходных процессов в цепи. Законы коммутации ……………. 1226.2 Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка

напряжения на ёмкости. Физическая причина возникновения переходных процессов ………………………………………………………………………….. 123

6.3 Общая характеристика методов анализа переходных процессов ……………… 1246.4 Классический метод расчета переходных процессов. Основные

положения …………………………………………………………………………. 1246.5 Структура свободной составляющей переходного процесса. Понятие

о начальных условиях …………………………………………………………….. 1266.6 Последовательность расчета переходных процессов в цепи классическим

методом ……………………………………………………………………………. 1276.7 Переходные процессы в цепях с индуктивной катушкой ……………………… 1286.7.1 Включение индуктивной катушки на постоянное напряжение ……………… 1286.7.2 Отключение индуктивной катушки от источника постоянного

напряжения ………………………………………………………………………... 1296.7.3 Короткое замыкание индуктивной катушки в цепи постоянного тока ……… 1306.7.4 Включение индуктивной катушки на синусоидальное напряжение ………… 1316.8 Переходные процессы в цепи с конденсатором ………………………………… 1336.8.1 Включение конденсатора на постоянное напряжение ………………………... 1336.8.2 Короткое замыкание конденсатора в цепи постоянного тока ……………….. 1346.8.3 Включение конденсатора на синусоидальное напряжение …………………... 1356.9 Переходные процессы в цепи постоянного тока при последовательном

соединении резистора, индуктивной катушки и конденсатора ………………... 1376.9.1 Апериодический разряд конденсатора ………………………………………… 1396.9.2 Критический разряд конденсатора …………………………………………….. 1406.9.3 Колебательный разряд конденсатора ………………………………………….. 1416.10 Расчет переходных процессов в разветвленных электрических цепях.

Способы составления характеристического уравнения ………………………... 1436.10.1 Алгебраизация системы дифференциальных уравнений, описывающих

переходной процесс, и составление характеристического уравнения на основе главного определителя этой системы …………………………………………… 144

6.10.2 Составление характеристического уравнения путем использования

7

выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе ………….. 1466.11 Метод переменных состояния …………………………………………………... 1476.11.1 Уравнения переменных состояния …………………………………………… 1486.11.2 Решение уравнений переменных состояния …………………………………. 1506.12 Операторный метод расчета переходных процессов. Основные положения … 1526.13 Основные свойства преобразования Лапласа и изображение простейших

функций ……………………………………………………………......................... 1536.14 Операторное сопротивление и операторная проводимость. Операторные

схемы замещения пассивных элементов цепи …………………………………... 1546.14.1 Операторное сопротивление и операторная проводимость ………………… 1556.14.2 Закон Ома и операторная схема замещения резистивного элемента ………. 1556.14.3 Закон Ома и операторная схема замещения индуктивного элемента ……… 1566.14.4 Закон Ома и операторная схема замещения ёмкостного элемента ………… 1576.15 Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме ………………………… 1586.15.1 Закон Ома в операторной форме ……………………………………………... 1586.15.2 Первый закон Кирхгофа в операторной форме ……………………………… 1606.15.3 Второй закон Кирхгофа в операторной форме ………………………………. 1606.16 Последовательность расчета переходных процессов в цепи операторным

методом ……………………………………………………………………………. 1616.17 Обратная задача операторного метода. Теорема разложения

и вспомогательные приемы вычисления оригинала …………………………… 1626.17.1 Определение оригинала на основании обратного преобразования

Лапласа ……………………………………………………………………………. 1626.17.2 Определение оригинала по таблице соответствия между функциями-

оригиналами и функциями-изображениями ......................................................... 1636.17.3 Определение оригинала по теореме разложения. Вспомогательные приемы

вычисления оригинала ……………………………………………………………. 1646.18 Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля. Основные

положения ………………………………………………………………………… 1656.19 Типовые функции воздействия …………………………………………………. 1666.19.1 Единичная функция воздействия ……………………………………………... 1666.19.2 Импульсная функция воздействия …………………………………………… 1676.20 Временные характеристики электрических цепей …………………………….. 1696.20.1 Переходная характеристика цепи …………………………………………….. 1696.20.2 Импульсная характеристика цепи …………………………………………….. 1706.21 Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы. Формула

интеграла Дюамеля ……………………………………………………………….. 1716.22 Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы. Формула

интеграла наложения …………………………………………………................... 1746.23 Последовательность расчета переходных процессов в цепи методом

интеграла Дюамеля ……………………………………………………………….. 176 Лекция 7. Нелинейные электрические цепи постоянного тока ………………. 177

7.1 Нелинейные электрические цепи и элементы. Основные понятия ……………. 1777.2 Нелинейные электрические цепи постоянного тока и нелинейные

сопротивления. Классификация нелинейных элементов цепи ………………… 1787.2.1 Двухполюсные и многополюсные элементы ………………………………….. 1787.2.2 Инерционные и безынерционные элементы …………………………………... 179

8

7.2.3 Симметричные и несимметричные элементы ………………………………… 1797.2.4 Элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками ……………… 1807.2.5 Управляемые и неуправляемые элементы …………………………………….. 1807.3 Параметры нелинейных резисторов в цепи постоянного тока. Понятие о

статическом, дифференциальном и динамическом сопротивлении ………… 1817.4 Основные особенности и общая характеристика методов расчета

нелинейных электрических цепей постоянного тока …………………………... 1827.4.1 Основные особенности расчета нелинейных электрических цепей

постоянного тока ………………………………………………………………….. 1837.4.2 Общая характеристика методов расчета нелинейных электрических

цепей ……………………………………………………………………………….. 1837.5 Графические методы расчета нелинейных цепей ……………………………….. 1847.5.1 Метод эквивалентных преобразований при последовательном соединении

нелинейных сопротивлений ……………………………………………………… 1847.5.2 Метод эквивалентных преобразований при параллельном соединении

нелинейных сопротивлений ……………………………………………………… 1857.5.3 Метод эквивалентных преобразований при смешанном соединении

нелинейных сопротивлений ……………………………………………………… 1877.5.4 Метод пересечения характеристик …………………………………………….. 1877.5.5 Метод эквивалентного генератора при расчете цепей постоянного тока

с одним нелинейным элементом ………………………………………………… 1887.5.6 Метод двух узлов при расчете цепей постоянного тока с нелинейными

элементами ………………………………………………………………………… 1907.6 Аналитические методы расчета нелинейных цепей ……………………………. 1917.6.1 Метод аналитической аппроксимации. Основные положения ………………. 1917.6.2 Аналитическая аппроксимация по методу интерполирования ………………. 1927.6.3 Аналитическая аппроксимация по методу наименьших квадратов …………. 1947.6.4 Метод кусочно-линейной аппроксимации …………………………………….. 1967.6.5 Метод линеаризации ……………………………………………………………. 1977.6.6 Закон Ома и законы Кирхгофа для малых приращений ……………………… 1987.7 Численные методы расчета нелинейных цепей …………………………………. 1997.7.1 Метод простых итераций ……………………………………………………….. 1997.7.2 Метод Ньютона …………………………………………………………………. 200 Лекция 8. Магнитные цепи постоянного тока …………………………………... 201

8.1 Магнитные цепи. Основные понятия и величины, характеризующие магнитное поле ……………………………………………………………………. 201

8.2 Характеристики ферромагнитных материалов в стационарных магнитных полях. Понятие о магнитомягких и магнитотвердых материалах ………......... 203

8.3 Магнитодвижущая сила и магнитное напряжение участка магнитной цепи …. 2058.4 Классификация магнитных цепей ……………………………………………… 2068.5 Закон непрерывности магнитного потока и закон полного тока. Законы

Кирхгофа для магнитных цепей …………………………………………………. 2078.5.1 Закон непрерывности магнитного потока и первый закон Кирхгофа для

магнитных цепей ………………………………………………………………….. 2078.5.2 Закон полного тока и второй закон Кирхгофа для магнитных цепей ……….. 2078.6 Магнитное сопротивление и магнитная проводимость. Закон Ома

для магнитной цепи ………………………………………………………………. 209

9

8.7 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока …………………………... 2108.7.1 Формальная аналогия между величинами и законами электрических и

магнитных цепей. Схемы замещения магнитных цепей ……………………….. 2108.7.2 Общая характеристика методов расчета магнитных цепей. Прямая

и обратная задачи …………………………………………………………………. 2118.7.3 Аналитические методы расчета разветвленных и неразветвленных

магнитных цепей. Прямая задача ……………………………………………… 2128.7.4 Графические методы расчета разветвленных и неразветвленных магнитных

цепей. Обратная задача ………………………………………………………… 2148.7.5 Численные методы расчета магнитных цепей ………………………………… 215 Лекция 9. Нелинейные электрические цепи переменного тока ……………… 215

9.1 Основные особенности нелинейных цепей при переменных токах …………… 2159.2 Нелинейные характеристики и параметры катушки с магнитопроводом …….. 2169.3 Вольт-амперная характеристика и индуктивное сопротивление нелинейной

катушки при синусоидальном напряжении ……………………………………... 2179.4 Полное уравнение электрического состояния, векторная диаграмма и схема

замещения катушки с магнитопроводом при синусоидальном напряжении …. 2199.5 Феррорезонансные явления в нелинейных цепях переменного тока …………. 2229.5.1 Явление феррорезонанса при последовательном соединении катушки

с ферромагнитным сердечником и конденсатора ………………………………. 2229.5.2 Явление феррорезонанса при параллельном соединении катушки

с ферромагнитным сердечником и конденсатора ………………………………. 2239.6 Конденсаторы с нелинейными характеристиками в цепи переменного тока … 224 Лекция 10. Цепи с распределенными параметрами ……………………………. 226

10.1 Понятие о цепях с распределенными параметрами …………………………… 22610.2 Дифференциальные уравнения однородной линии с распределенными

параметрами ……………………………………………………………………….. 22610.3 Дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами

в комплексной форме ………………………………………………………… 22810.4 Общее решение уравнений линии с распределенными параметрами

в установившемся режиме синусоидального тока ……………………………… 22910.5 Прямые и обратные волны в линии …………………………………………….. 23010.6 Скорость и длина волны тока или напряжения в линии ………………………. 23210.7 Решение уравнений линии с распределенными параметрами для граничных

условий, заданных в начале и конце линии. Входное сопротивление линии … 23310.7.1 Граничные условия в начале линии …………………………………………... 23310.7.2 Граничные условия в конце линии …………………………………………… 23410.7.3 Входное сопротивление линии ……………………………………………….. 23510.8 Линия без потерь. Входное сопротивление линии без потерь при холостом

ходе и коротком замыкании на конце линии …………………………………… 23510.9 Линия без искажения. Условия для неискажающей линии …………………… 237 Список использованных источников ……………………………………………... 238

10

Введение Курс «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ) входит в цикл общенаучных дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки инженера по автоматизации (ОСРБ 1 – 53 01 01 – 2007). Целью изучения курса ТОЭ является теоретическая и практическая подготовка инженера по автоматизации в области теоретической электротехники, обеспечивающая умение формулировать и решать на высоком научном уровне проблемы изучаемой специальности, умение творчески применять и самостоятельно повышать свои знания. Основной задачей изучения курса ТОЭ является усвоение методов анализа и расчета линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей, установившихся и переходных режимов этих цепей, электрических и магнитных полей, знание которых необходимо для понимания и успешного решения инженерных проблем будущей специальности. Изучение курса ТОЭ должно способствовать выработке четких представлений о методах применения теории электрических и магнитных цепей, теории электромагнитных полей в специальных дисциплинах. Самостоятельное изучение курса ТОЭ нельзя назвать легкой задачей, так как во многих случаях оно требует навыков абстрактного мышления и солидной математической подготовки. Данное пособие поэтому призвано облегчить решение указанной задачи, и в первую очередь ориентировано на студентов заочной (и сокращенной) формы обучения. Студентам дневного отделения, которые теоретический материал изучают на лекционных занятиях, пособие может быть полезным при подготовке к практическим и лабораторным занятиям, а также при самостоятельном изучении некоторых разделов курса. Структурно пособие состоит из десяти лекций, содержание которых в объеме двух семестров дневной формы обучения соответствует учебной программе по дисциплине. При подборе материала, включаемого в конспект лекций, были учтены пожелания студентов заочного отделения, поэтому в пособии в зависимости от сложности рассматриваемых вопросов сознательно допущена некоторая неравномерность изложения. Естественно, что разделы курса, традиционно представляющие бóльшую сложность в изучении, представлены в конспекте лекций более подробно. Лекция 1. Основные понятия и законы теории электрических цепей 1.1 Электрическая цепь и электрическая схема. Структура простейшей электрической цепи Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для прохождения электрического тока. Простейшая электрическая цепь содержит источники и приемники электромагнитной энергии (генераторы и потребители) и провода, соединяющие их между собой. Графическое изображение электрической цепи с помощью условных обозначений ее элементов называется схемой электрической цепи. В электротехнике и электронике различают следующие виды схем: принципиальные — на них показывают функциональные элементы цепи и связи между ними; монтажные — это чертежи расположения деталей и соединительных проводов на монтажных платах; расчетные — их используют для анализа процессов в цепях. Разновидностью расчетных схем являются эквивалентные схемы или схемы замещения (рисунок 1.1).

11

1 – источник энергии, 2 – внутреннее сопротивление источника,

3 – приемник, 4 – соединительные провода

Рисунок 1.1 – Схема простейшей электрической цепи

Схема замещения электрической цепи состоит из совокупности различных идеализированных элементов, позволяющих с заданным или необходимым приближением анализировать процессы в цепи. 1.2 Топологические понятия теории электрических цепей Основными топологическими понятиями, характеризующими геометрическую конфигурацию цепи, являются узел, ветвь и контур. Узлом в электрической цепи называется место соединения не менее трех проводников. На схеме рисунка 1.2 имеется четыре узла — это точки « a », «b », «c » и « d ».

Рисунок 1.2 – Схема разветвленной электрической цепи

Электрическая цепь, которая содержит узлы, называется разветвленной (рисунок 1.2), в противном случае — неразветвленной (одноконтурной). Все элементы неразветвленной цепи соединены между собой последовательно. Ветвью электрической цепи называется участок цепи, расположенный между двумя соседними узлами. Схема рисунка 1.2 содержит шесть ветвей — это участки « bERa −−− 11 », « bRa −− 2 », « cRa −− 3 », « dRb −− 4 », « dRc −− 5 » и « dRc −− 6 ». Контуром называется замкнутая цепь, образованная одной или несколькими ветвями. Контур, внутри которого не лежат другие ветви, связывающие между собой его узлы, называется простым контуром (или ячейкой). Например, в схеме рисунка 1.2 содержится три простых контура, образованных ветвями с элементами 1E , 1R , 2R (1-й контур), 2R , 3R , 5R , 4R (2-й контур) и 5R , 6R (3-й контур).

12

Примечание – Для упрощения анализа сложных разветвленных цепей используют понятия двухполюсника и четырехполюсника. Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами — полюсами, четырехполюсником — часть электрической цепи, имеющую две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными. Двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии, называется пассивным двухполюсником (рисунок 1.3, а), содержащий источники — активным двухполюсником (рисунок 1.3, б).

а) б)

Рисунок 1.3 – Условные обозначения пассивного (а) и активного (б) двухполюсника

Аналогично определяются пассивные и активные четырехполюсники.

а) б)

Рисунок 1.4 – Условные обозначения пассивного (а) и активного (б) четырехполюсника

Условные обозначения четырехполюсника (пассивного и активного) показаны на рисунке 1.4. 1.3 Ток проводимости и ток смещения. Сила тока Упорядоченное движение электрических зарядов в проводящей среде под влиянием сил электрического поля называется током проводимости. Силой тока проводимости или просто силой тока называется величина заряда, протекающего за одну секунду через поперечное сечение проводника. Сила тока обозначается буквами i , I ; единица измерения силы тока: [ i ] 1= А (ампер). Если через поперечное сечение проводника за время tΔ протекает заряд величиной qΔ , сила тока в цепи

dtdq

tqlimi

t==

→ ΔΔ

Δ 0. (1.1)

Примечания 1 В теоретической электротехнике сила тока является величиной алгебраической, т.е. допускаются значения 0<i , 0=i , 0>i . За положительное направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов под действием поля.

13

2 При анализе электромагнитных полей в вакууме и диэлектриках вводят понятие тока смещения. В вакууме он возникает при изменении напряженности электрического поля и, следовательно, не сопровождается (в отличие от тока проводимости) движением каких-либо зарядов; в диэлектриках он обусловлен смещением зарядов, связанных с молекулами диэлектрика. 1.4 Электрическое напряжение и потенциал Ток в проводнике возникает при условии, что вдоль проводника создано электрическое поле. Если заряженная частица перемещается в электрическом поле вдоль некоторого пути, то действующие на нее силы поля совершают работу. Отношение этой работы к величине переносимого заряда называется электрическим напряжением. Напряжение обозначается буквами u , U ; единица измерения напряжения: [u ] 1= В (вольт). Если над зарядом q совершается работа A , электрическое напряжение

qAu = . (1.2)

В потенциальном электрическом поле, например, в электрическом поле цепи постоянного тока ( )baqA ϕϕ −= , (1.3) где aϕ и bϕ — потенциалы электрического поля в поперечных сечениях « a » и «b » участка проводника (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 – Определение напряжения на участке цепи постоянного тока

Из формул (1.2) и (1.3) следует, что напряжение baabU ϕϕ −= . (1.4) Соотношение (1.4) приводит к еще одному определению напряжения. Напряжением на участке цепи постоянного тока называется разность потенциалов между граничными точками этого участка. Примечания 1 В теоретической электротехнике напряжение является величиной алгебраической, т.е. может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления отсчета. Пусть, к примеру, ba ϕϕ > , тогда 0>−= baabU ϕϕ , 0<−= abbaU ϕϕ (1.5) и независимо от соотношения между потенциалами aϕ и bϕ выполняется общее правило baab UU −= . (1.6) 2 За положительное направление напряжения между 2-я точками электрической цепи принимают направление от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом (см. рисунок 1.5).

14

3 Разность потенциалов на концах сопротивления в электротехнике называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения. 1.5 Электродвижущая сила источника энергии Для продолжительного существования тока в электрической цепи необходимо, чтобы заряды, образующие этот ток, двигались по замкнутому пути. Это означает, что наряду с участками цепи, где положительные заряды движутся в сторону уменьшения потенциала, должны иметься участки, на которых перенос зарядов происходит в обратном направлении (против сил электрического поля). Перенос зарядов на таких участках возможен лишь с помощью сторонних сил (механических, тепловых, химических и др.), действующих в источниках энергии. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника энергии и обозначается буквами e , E ; единица измерения ЭДС: [e ] 1= В (вольт). Если над зарядом q сторонние силы совершают работу *A , ЭДС источника

qAe

*

= . (1.7)

В электрическом поле цепи постоянного тока ЭДС равна разности потенциалов или напряжению между зажимами « a » и «b» источника энергии при отсутствии тока в нем (рисунок 1.6): baab UE =−= ϕϕ . (1.8)

Рисунок 1.6 – Определение ЭДС на участке цепи постоянного тока

Примечание – ЭДС источника действует от зажима с меньшим значением потенциала к зажиму с большим значением (т.е. против сил электростатического поля), поэтому положительное направление напряжения на зажимах источника энергии принято указывать противоположно направлению его ЭДС (см. рисунок 1.6). 1.6 Мощность электрического тока Величина, численно равная скорости изменения электромагнитной энергии в цепи, называется мгновенной мощностью. Мощность обозначается буквами p , P ; единица измерения мощности: [ p ] 1= Вт (ватт). Если за время tΔ на участке цепи происходит изменение энергии на величину

WΔ , мгновенная мощность

dt

dWt

Wlimpt

==→ ΔΔ

Δ 0. (1.9)

За интервал времени от 0=t до текущего значения t величина затраченной энергии составляет

15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

∫ ∫ ∫===tq

q

t t

dttitudtdt

tdqtudqtutW0 0 0

, (1.10)

где ( )tq — величина заряда, прошедшего через рассматриваемый участок цепи к моменту времени t . Из формул (1.9) и (1.10) тогда следует, что мощность равна произведению силы тока и напряжения:

iup = . (1.11)

Примечание – Мгновенная мощность является величиной алгебраической. Знак ее определяется знаками напряжения и тока: при совпадении этих знаков ( 0>i , 0>u или 0<i , 0<u ) мощность положительна ( 0>p ), что соответствует потреблению энергии; при несовпадении знаков тока и напряжения ( 0>i , 0<u или 0<i , 0>u ) мощность отрицательна ( 0<p ), что означает отдачу ее из участка цепи (такой участок является источником энергии). 1.7 Идеализированные пассивные элементы электрических цепей. Соотношение между током и напряжением в пассивных элементах Источники энергии относят к активным элементам цепи. Элементы цепи, которые могут только поглощать или накапливать энергию, поступающую в цепь, а также возвращать запасенную энергию, называются пассивными. Особый пассивный элемент, отличающийся тем, что поглощаемая им энергия считается (условно) полезной, называется также нагрузкой. Простейшими пассивными элементами цепи являются резистивные, индуктивные и ёмкостные элементы (рисунок 1.7). Резистивным элементом электрической цепи (рисунок 1.7, а) называют идеализированный элемент, в котором происходит только необратимое преобразование электромагнитной энергии в теплоту и другие виды энергии, а накопление электрической и магнитной энергии отсутствует.

а) б) в) Рисунок 1.7 – Ток и напряжение в резистивном (а), индуктивном (б)

и ёмкостном (в) элементе

Индуктивным элементом электрической цепи (рисунок 1.7, б) называют идеализированный элемент, в котором происходит только накопление магнитной энергии, обусловленное протеканием тока, а потери и накоплении электрической энергии отсутствуют. Ёмкостным элементом электрической цепи (рисунок 1.7, в) называют идеализированный элемент, в котором происходит только накопление электрической энергии, обусловленное напряжением, а потери и накопление магнитной энергии отсутствуют. Основные сведения об идеализированных пассивных элементах цепи систематизированы в таблице 1.1

16

Таблица 1.1 – Пассивные элементы электрических цепей (основные сведения)

Резистивный Индуктивный Ёмкостный Тип пассивного элемента и его условное обозначение

Параметр R , сопротивление

L , индуктивность

C , ёмкость

Основные 1Ом (ом) 1Гн (генри) 1Ф (фарад) Единицы измерения Кратные 1МОм 610= Ом

1кОм 310= Ом 1мГн 310−= Гн 1мкГн 610−= Гн

1мкФ 610−= Ф 1нФ 910−= Ф

Rui = ( ) ∫+=

t

L udtL

ii0

10 dtduCi =

Соотношение между напряжением и током (закон

Ома) iRu =

dtdiLu = ( ) ∫+=

t

C idtC

uu0

10

Примечания

1 Величины ( ) ∫∞−

=0

10 udtL

iL и ( ) ∫∞−

=0

10 idtC

uC в таблице 1.1 обозначают

соответственно ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в начальный момент времени 0=t . Если в этот момент времени ( ) 00 =Li и ( ) 00 =Cu , то соответствующие формулы для тока в индуктивности и напряжения на ёмкости упростятся:

∫=t

udtL

i0

1, ∫=

t

idtC

u0

1. (1.12)

2 Величины, характеризующие элементы цепи и сохраняющие свои значения в условиях поставленной задачи постоянными, называются параметрами элементов. Коэффициенты R , L и C , следовательно, являются параметрами пассивных элементов. 3 Так как направление тока в проводнике определяется направлением движения положительных зарядов, а положительные заряды под влиянием сил электрического поля движутся от точек высшего потенциала к точкам низшего, направление напряжения на зажимах пассивного элемента считают совпадающим с направлением тока в нем (см. рисунок 1.7). 1.8 Реальные пассивные элементы электрических цепей и схемы замещения Пассивные элементы, представленные в таблице 1.1, т.е. резистивный, индуктивный и ёмкостный, являются идеализированными элементами (математическими моделями), так как каждый из них учитывает только одно электромагнитное явление (процесс) и полностью игнорирует побочные (паразитные) процессы. Так, например, основным свойством сопротивления R является необратимое рассеяние энергии; основным свойством индуктивности L — создание магнитного поля; основным свойством ёмкости C — создание электрического поля. Таким образом, идеализированные элементы не могут в точности соответствовать реальным компонентам цепи, поэтому для учета паразитных явлений в теории цепей

17

строят эквивалентные (или расчетные) схемы замещения электротехнических устройств, являющиеся комбинациями отдельных идеализированных схемных элементов. Вид схемы замещения и значения параметров ее элементов могут быть разными и зависят от рабочей частоты, конструкции и технологии изготовления элемента, а также от необходимой точности анализа. В каждом из этих случаев схема замещения будет разной. Примеры схем замещения реального резистора, индуктивной катушки и конденсатора представлены на рисунке 1.8.

а) б) в)

Рисунок 1.8 – Схемы замещения реального резистора (а), индуктивной катушки (б) и конденсатора (в)

В схеме замещения резистора (рисунок 1.8, а) элемент R является основным параметром, а RL и RC — паразитными. Элемент RL учитывает магнитный поток, а элемент RC — электрическое поле резистора. В схеме замещения индуктивной катушки (рисунок 1.8, б) элемент L является основным параметром, а элементы LR и LC — паразитными. Элемент LR учитывает сопротивление обмотки катушки, а элемент LC — межвитковую ёмкость. В схеме замещения конденсатора (рисунок 1.8, в) элемент C является основным параметром, а элементы CR и CL — паразитными. Элемент CR учитывает потери в диэлектрике конденсатора, а элемент CL — индуктивность его выводов. Примечание – При замене реальных компонентов цепи их схемами замещения, получается некоторая эквивалентная схема для всей электрической цепи. Реальная электрическая цепь, представленная совокупностью идеализированных схемных элементов, называется схемой замещения электрической цепи. 1.9 Задачи анализа и задачи синтеза. Понятие о структурных и компонентных законах. Законы Кирхгофа В теории цепей различают задачи анализа и задачи синтеза. Решение задачи синтеза направлено на построение цепи, реализующей требуемые параметры, характеристики и функции. Задача анализа сводится к отысканию токов и напряжений, возникающих в цепи заданной конфигурации под действием заданных источников. Токи и напряжения в электрической цепи подчиняются определенным закономерностям структурного и компонентного типа. Компонентные законы описывают связь физических величин (токов, напряжений, их производных) для отдельных элементов, составляющих цепь (например, закон Ома для резистивного элемента). Структурные законы определяются только геометрической конфигурацией и способами соединений ветвей схемы и не зависят от вида и характера элементов, входящих в цепь. Таковыми являются первый и второй законы Кирхгофа. 1.9.1 Первый закон Кирхгофа Первая формулировка: сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, в каждый момент времени равна сумме токов, направленных от узла:

18

∑∑==

=n

k

k

m

k

k ii11

, (1.13)

где m — число токов, направленных к узлу, n — число токов, направленных от узла. Вторая формулировка: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, в каждый момент времени равна нулю:

01

=∑=

p

k

ki , (1.14)

где nmp += — общее количество ветвей (или токов), соединяющихся в узле. Примечание – При записи уравнения по 1-му закону Кирхгофа в форме (1.13) все токи берутся положительными; при записи уравнений в форме (1.14) токи, направленные к узлу, берутся со знаком «+», направленные от узла — со знаком «–».

Рисунок 1.9 – Фрагмент цепи, содержащий узел

Для изображенного на рисунке 1.9 фрагмента цепи с узлом 1-й закон Кирхгофа запишется так:

54321 iiiii ++=+ или 054321 =−−−+ iiiii . 1.9.2 Второй закон Кирхгофа Первая формулировка: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

∑∑==

=m

k

k

n

k

k eu11

, ∑∑==

=m

k

k

n

k

kk eRi11

, (1.15), (1.16)

где n — число ветвей в контуре, m — число ЭДС, действующих в контуре, kR — сопротивление k - й ветви контура. Вторая формулировка: алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:

01

=∑=

n

k

ku . (1.17)

Примечания 1 При записи уравнения по 2-му закону Кирхгофа в форме (1.15) или (1.16) в соответствующем контуре предварительно указывается условно положительное направление обхода. Тогда напряжение kkk Riu = берется со знаком «+», если направление тока ki совпадает с ранее указанным направлением обхода. Аналогично

19

ЭДС ke считается положительной, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура. Правила для составления уравнения (1.17) те же, однако следует учитывать, что направление напряжения ku на зажимах источника противоположно направлению его ЭДС ke . 2 Уравнение 2-го закона Кирхгофа (1.16) записано для резистивных электрических цепей, когда kkk Riu = , однако ветви контура могут также содержать индуктивные и ёмкостные элементы, поэтому уравнение (1.16) можно обобщить:

( ) ∑∑ ∫==

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++

m

k

k

n

k

t

kk

Ckk

kkk edtiC

udtdiLRi

11 0

10 , (1.18)

где kL , kC — индуктивность катушки и ёмкость конденсатора в k - й ветви контура, ( )0Cku — начальное напряжение на конденсаторе.

Рисунок 1.10 – Фрагмент цепи, содержащий контур

Для изображенного на рисунке 1.10 контура положительное направление обхода выбрано по направлению движения часовой стрелки (пунктирная линия со стрелкой). Уравнение 2-го закона Кирхгофа тогда запишется так:

43144332211 eeeRiRiRiRi −−=−+− . Лекция 2. Линейные электрические цепи постоянного тока и методы их анализа 2.1 Линейные электрические цепи. Законы Кирхгофа для резистивных цепей постоянного тока Электрический ток, неизменный во времени, называется постоянным током. Постоянный ток, напряжение и ЭДС обозначаются прописными буквами I , U и E соответственно. В электрической цепи постоянного тока напряжение на индуктивности и ток в ёмкости, т.е. величины LU и CI , равны нулю, так как при constI = и constU =

0==dtdILU L , 0==

dtdUCIC . (2.1)

Это означает, что в отношении постоянного тока индуктивный элемент обладает нулевым сопротивлением, а ёмкостный элемент — бесконечно большим

20

сопротивлением, поэтому в цепи постоянного тока можно исключить все индуктивные элементы, закоротив их, а все ветви с ёмкостными элементами разомкнуть. Цепь постоянного тока, схема замещения которой образована совокупностью источников электрической энергии и резистивных элементов, называется резистивной цепью. Зависимость тока в элементе цепи от напряжения на нем, т.е. функция ( )UII = , называется вольт-амперной характеристикой элемента (ВАХ). ВАХ источника электрической энергии называется его внешней характеристикой. Элемент цепи, сопротивление которого не зависит от тока или напряжения, называется линейным элементом (в противном случае — нелинейным элементом). ВАХ линейного элемента всегда изображается прямой линией (рисунок 2.1, а), ВАХ нелинейного элемента прямой линией не является (рисунок 2.1, б).

а) б)

Рисунок 2.1 – Вольт-амперная характеристика линейного (а) и нелинейного (б) элементов

Электрическая цепь, схема замещения которой содержит только линейные элементы, называется линейной электрической цепью. Уравнения 1-го и 2-го законов Кирхгофа для резистивных цепей постоянного тока следуют из общих формул (1.13) – (1.18) при условии (2.1). Первый закон Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от узла, или алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

∑∑==

=n

k

k

m

k

k II11

, 01

=∑=

p

k

kI , (2.2)

где m — число токов, направленных к узлу, n — число токов, направленных от узла, nmp += — общее количество ветвей (или токов), соединяющихся в узле.

Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на сопротивлениях контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

∑∑==

=m

k

k

n

k

kk ERI11

, (2.3)

где n — число ветвей в контуре, m — число ЭДС, действующих в контуре, kR — сопротивление k - й ветви контура. Примечание – Правила расстановки знаков в уравнениях (2.2) и (2.3) законов Кирхгофа те же, что и в общих соотношениях (1.13) – (1.17) (см. текст примечаний в разделах 1.9.1 и 1.9.2).

21

2.2 Идеальные источники ЭДС и тока. Схемы замещения и вольт-амперные характеристики источников электрической энергии В теории цепей для представления источников электрической энергии используют две модели: идеальный источник напряжения и идеальный источник тока. С их помощью посредством схем замещения описывают реальные источники электрической энергии. 2.2.1 Источник напряжения Идеальный источник напряжения (источник ЭДС) — это активный двухполюсник, напряжение на зажимах которого не зависит от величины протекающего через него тока. Условное обозначение источника ЭДС и его ВАХ показаны на рисунке 2.2.

а) б)

Рисунок 2.2 – Условное обозначение (а) и вольт-амперная характеристика (б) идеального источника ЭДС

Уравнение ВАХ идеального источника ЭДС (рисунок 2.2, б): EU = , (2.4) т.е. напряжение U на его зажимах всегда совпадает с величиной ЭДС E . Напряжение на зажимах реального источника электрической энергии уменьшается с увеличением тока. Чтобы учесть данный эффект, в схему замещения реального источника энергии последовательно с идеальным источником ЭДС включают сопротивление истR (рисунок 2.3, а). Величина истR обусловлена сопротивлением всех элементов пути тока внутри источника и называется внутренним сопротивлением источника.

а) б)

Рисунок 2.3 – Схема замещения (а) и вольт-амперная характеристика (б) реального источника ЭДС

22

Уравнение ВАХ реального источника ЭДС (рисунок 2.3, б): истIREU −= , (2.5) т.е. напряжение U на его зажимах меньше ЭДС E на величину истист IRU = . Примечание – Если положить 0=истR , то формулы (2.4) и (2.5), определяющие соответственно вольт-амперные характеристики идеального и реального источников ЭДС, совпадут. Следовательно, идеальный источник ЭДС — это источник постоянного или переменного напряжения с определенным значением ЭДС E и равным нулю внутренним сопротивлением ( 0=истR ). 2.2.2 Источник тока Идеальный источник тока (генератор тока) — это активный двухполюсник, ток через который не зависит от напряжения на его зажимах. Условное обозначение источника тока и его ВАХ показаны на рисунке 2.4.

а) б)

Рисунок 2.4 – Условное обозначение (а) и вольт-амперная характеристика (б) идеального источника тока

Уравнение ВАХ идеального источника тока (рисунок 2.4, б): JI = , (2.6) т.е. сила тока I в источнике всегда совпадает с величиной задающего тока J . Ток, вырабатываемый реальным источником электрической энергии, уменьшается с ростом напряжения. Чтобы учесть данный эффект, в схему замещения реального источника энергии параллельно с идеальным источником тока включают проводимость истист RG 1= (рисунок 2.5, а). Величина истG называется внутренней проводимостью источника.

а) б)

Рисунок 2.5 – Схема замещения (а) и вольт-амперная характеристика (б) реального источника тока

23

Уравнение ВАХ реального источника тока (рисунок 2.5, б): истUGJI −= , (2.7) т.е. ток I в нем меньше задающего тока J на величину истист UGI = . Примечание – Если положить ∞=истR , то 0=истG и формулы (2.6) и (2.7), определяющие соответственно вольт-амперные характеристики идеального и реального источников тока, совпадут. Следовательно, идеальный источник тока — это источник постоянного или переменного тока с определенным значением задающего тока J и бесконечно большим внутренним сопротивлением ( ∞=истR ). 2.2.3 Эквивалентность различных форм представления источников энергии Для схем замещения источников энергии, изображенных на рисунках 2.3, а и 2.5, а (т.е. для схем замещения с источниками ЭДС и источниками тока), справедливо:

истIREU −= , истист GI

GJU −= , (2.8)

где U определяет величину напряжения на зажимах источника. Из сравнения формул (2.8) тогда следует, что при выполнении условий

ист

ист RG 1

= , истист

EGREJ == (2.9)

или

ист

ист GR 1

= , истист

JRG

JE == (2.10)

одну из схем замещения источника энергии можно заменить другой (и наоборот). При этом ток на зажимах реального источника и напряжение между его зажимами не изменятся. Следовательно, обе схемы замещения для источника энергии можно считать эквивалентными по отношению к внешней цепи. Примечание – Формулы (2.9) устанавливают правило перехода от схемы замещения с источником ЭДС к эквивалентной схеме замещения с источником тока; формулы (2.10) — то же правило перехода в обратном направлении. 2.3 Напряжение на участке цепи постоянного тока и законы Ома Закон Ома устанавливает прямую пропорциональность между током, протекающим по сопротивлению, и напряжением на нем. В математической форме закон Ома может быть представлен тремя уравнениями: 1) закон Ома для однородного участка цепи, т.е. для участка цепи, не содержащего источников электрической энергии (закон Ома для пассивной ветви); 2) закон Ома для неоднородного участка цепи, т.е. для участка цепи содержащего источники электрической энергии (закон Ома для активной ветви); 3) закон Ома для замкнутой одноконтурной цепи. 2.3.1 Закон Ома и напряжение на однородном участке цепи В цепи постоянного тока схема замещения однородного участка содержит только резистивные элементы (рисунок 2.6). Связь между током и напряжением в таком случае определяют представленные в таблице 1.1 компонентные соотношения для резистивного элемента. Выражение IRUab = (2.11)

24

устанавливает правило расчета напряжения (падения напряжения) на однородном участке цепи.

Рисунок 2.6 – Схема однородного участка электрической цепи

Из (2.11) следует уравнение

R

UR

I abba =−

=ϕϕ

, (2.12)

представляющее закон Ома для однородного участка цепи постоянного тока. 2.3.2 Закон Ома и напряжение на неоднородном участке цепи с источником ЭДС Закон Ома может быть сформулирован для участка цепи, содержащего источник ЭДС, т.е. для неоднородного участка (рисунок 2.7).

а) б)

Рисунок 2.7 – Схема неоднородного участка электрической цепи

Как следует из рисунка 2.7, для неоднородного участка цепи возможны два случая: 1) ток на участке цепи течет в направлении действия ЭДС (рисунок 2.7, а); 2) ток на участке цепи течет против направления действия ЭДС (рисунок 2.7, б). Рассмотрим 1-й случай (рисунок 2.7, а) и определим напряжение abU между граничными точками « a » и «b » участка цепи. На однородном участке « ac » ток I течет от точки « a » к точке «c », т.е. в направлении от более высокого потенциала aϕ к более низкому потенциалу cϕ , поэтому

ca ϕϕ > и на основании (2.11) получаем уравнение IRU caac =−= ϕϕ ,

из которого выражаем потенциал aϕ : IRca +=ϕϕ . (2.13) На участке «cb » действует только ЭДС E в направлении от точки «c » к точке «b », т.е. в направлении от более низкого значения потенциала cϕ к более высокому значению bϕ , поэтому bc ϕϕ < и

Ecb =−ϕϕ , откуда следует равенство Ecb +=ϕϕ . (2.14) На основании формул (2.13) и (2.14) получим

( ) ( ) IREEIRU ccbaab +−=+−+=−= ϕϕϕϕ

25

или IREUab +−= . (2.15) Повторяя аналогичные рассуждения для схемы рисунка 2.7, б, докажем, что IREUab += . (2.16) Из уравнений (2.15) и (2.16) получим обобщенную формулу для определения напряжения на неоднородном участке электрической цепи с источником ЭДС: IREUab +±= . (2.17) Из (2.17) также следует выражение закона Ома для неоднородного участка цепи:

R

UER

EI abba +±=

−+±=

ϕϕ. (2.18)

В таком виде закон Ома позволяет определить ток на участке « ab », если известна величина ЭДС источника и направление ее действия: Примечание – В формуле (2.18) ЭДС E берется со знаком «+», если ее направление на участке цепи совпадает с направлением тока (рисунок 2.7, а); со знаком «–», если противоположно току (рисунок 2.7, б). В формуле (2.17), наоборот, при совпадении направлений тока и ЭДС величина E берется со знаком «–», при несовпадении — со знаком «+». 2.3.3 Закон Ома и напряжение на неоднородном участке цепи с источниками ЭДС и тока Соотношения (2.17) и (2.18), определяющие величину напряжения и закон Ома для неоднородного участка цепи, были получены на основании схемы замещения, содержащей источник ЭДС. Рассмотрим теперь общий случай, когда на участке цепи присутствуют оба типа источников электрической энергии: источник ЭДС E и источник тока J . Схемы замещения неоднородного участка цепи с двумя разнотипными источниками энергии E и J , называемые также схемами замещения обобщенной ветви, представлены на рисунке 2.8.

а) б)

в) г) Рисунок 2.8 – Схемы замещения обобщенной ветви

Из этого рисунка следует, что в зависимости от направления ЭДС E , задающего

26

тока J и тока обобщенной ветви I возможны четыре типа схем замещения. Рассмотрим 1-ю из них, изображенную на рисунке 2.8, а, и получим формулу для определения напряжения abU при известном значении тока I . На неоднородном участке « ab » напряжение abU можно выразить через ток abI на основании формулы (2.15): RIEU abab +−= . (2.19) Сам ток abI согласно 1-му закону Кирхгофа может быть выражен через задающий ток источника J и ток обобщенной ветви I : IJIab +−= . (2.20) Из (2.19) и (2.20) тогда получается равенство IRJREUab +−−= . (2.21) Повторяя аналогичные рассуждения для схем, изображенных на рисунках 2.8, б – 2.8, г, получим следующие уравнения: IRJREUab ++−= , IRJREUab +−= , IRJREUab ++= . (2.22) Из формул (2.21) и (2.22) следует обобщенная формула для определения напряжения на неоднородном участке цепи, содержащем источники ЭДС и тока: IRJREUab +±±= . (2.23) Из (2.23) следует также выражение закона Ома для обобщенной ветви:

R

UJRER

JREI abba +±±=

−+±±=

ϕϕ. (2.24)

Примечание – В формуле (2.24) ЭДС E или задающий ток J берутся со знаком «+», если их направления на участке цепи совпадают с направлением тока I ; со знаком «–», если противоположны току I . В формуле (2.23), наоборот, при совпадении направления тока I с направлениями ЭДС E или задающего тока J величины E и J берутся со знаком «–», при несовпадении указанных направлений — со знаком «+». 2.3.4 Закон Ома для замкнутой одноконтурной цепи Закон Ома может быть сформулирован для замкнутой одноконтурной цепи (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 – Схема одноконтурной электрической цепи

В этом случае ba ϕϕ = (падение напряжения в соединительных проводах не учитывается) и из формулы (2.17) следует

истRR

EI+

= , (2.25)

где истR — внутреннее сопротивление источника.

27

2.4 Потенциальная диаграмма Потенциальной диаграммой называется график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления в той последовательности, в которой они включены в контур цепи, а по оси ординат — потенциалы соответствующих точек.

Рисунок 2.10 – Схема разветвленной электрической цепи

Полагая потенциал точки « a » равным нулю ( 0=aϕ ), определим потенциалы остальных точек контура « abcdefa » (рисунок 2.10), совершая обход в направлении движения часовой стрелки:

11RIab +=ϕϕ , 1Ebc +=ϕϕ , 41RIcd +=ϕϕ ,

4Ede −=ϕϕ , 22RIef −=ϕϕ , 02 =−= Efa ϕϕ . Пример потенциальной диаграммы для контура « abcdefa » приведен на рисунке 2.11.

Рисунок 2.11 – Потенциальная диаграмма

Наклон прямых на участках диаграммы определяется величиной тока и поэтому одинаков для сопротивлений 1R и 4R , по которым протекает один и тот же ток 1I . 2.5 Работа и мощность постоянного тока. Уравнение баланса мощностей Работа A , совершаемая электрическим полем при перемещении положительного заряда q вдоль неразветвленного однородного участка электрической цепи, равна

28

произведению величины этого заряда на напряжение U между граничными точками участка: qUA = . (2.26) При равномерном движении заряда в течение времени t , т.е. при постоянном токе

constI = , величина заряда Itq = и работа согласно (2.26) IUtA = . (2.27) Для резистивных элементов соотношение (2.27) можно преобразовать, воспользовавшись законами Ома в виде

RUI = или IRU = ,

тогда вместо (2.27) получатся равенства

RtIA 2= , tR

UA2

= . (2.28)

Интенсивность совершения работы электрическим током характеризуется его мощностью P . По определению

tAP = , (2.29)

т.е. мощность равна отношению величины работы A к промежутку времени t , в течение которого эта работа производилась. Из (2.27) – (2.29) следует, что мощность постоянного тока может быть рассчитана по одной из следующих формул:

IUP = , RIP 2= , R

UP2

= . (2.30)

Единица измерения работы: [ A ] 1= Дж (джоуль); единица измерения мощности: [ P ] 1= Вт (ватт). Практической единицей измерения работы служит киловатт-час (кВт · ч), т.е. работа, совершаемая при неизменной мощности 1 кВт в течение 1 ч. Так как 1 Вт · с = 1 Дж, то 1 кВт · ч = 0006003 Дж. В цепях с произвольной структурой выполняется условие баланса мощностей, согласно которому алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии равна арифметической сумме мощностей всех приемников энергии:

( ) ( )∑∑==

=n

kkпр

m

kkист PP

11

, (2.31)

где m и n — количества источников и приемников энергии, действующих в цепи, истP и прP — их соответствующие мощности. Соотношение (2.31) является следствием закона сохранения энергии и называется уравнением баланса мощностей. Примечания 1 Мощность источника ЭДС E в уравнении (2.31) положительна, т.е.

0>= EIPист , если направление ЭДС E совпадает с направлением тока I (рисунок 2.12, а). В противном случае мощность источника ЭДС считается отрицательной: 0<−= EIPист (рисунок 2.12, б). 2 Мощность источника тока J в уравнении (2.31) положительна, т.е.

0>=UJPист , если направление тока J внутри источника и направление напряжения

29

U между его выводами противоположны (рисунок 2.12, в). В противном случае мощность источника тока считается отрицательной: 0<−= UJPист (рисунок 2.12, г). 3 Мощность приемника с сопротивлением R в резистивной цепи постоянного тока всегда положительна и определяется по формуле RIPпр

2= .

0EIPист >= 0EIPист <−= 0UJPист >= 0UJPист <−=

а) б) в) г)

Рисунок 2.12 – Схема, иллюстрирующая правила выбора знаков мощностей источников ЭДС (а), (б) и источников тока (в), (г) при составлении уравнения баланса

Для схемы цепи, изображенной на рисунке 2.10, уравнение баланса мощностей, к примеру, выглядит так:

( ) ( ) ( ) 3232

2241

2135322141 RIRIRRIIEEIEIEE +++=+−+−+− .

2.6 Основные методы анализа простых электрических цепей Простыми электрическими цепями называют цепи с одним источником энергии. При этом в качестве приемников могут быть несколько резистивных элементов, соединенных последовательно или параллельно. 2.6.1 Анализ простых электрических цепей при последовательном и параллельном соединении резистивных элементов Схемы последовательного и параллельного соединения резистивных элементов показаны на рисунке 2.13, основные свойства этих соединений, являющиеся следствиями законов Кирхгофа, систематизированы в таблице 2.1.

а) б)

Рисунок 2.13 – Последовательное (а) и параллельное (б) соединение резистивных элементов

30

Таблица 2.1 – Соотношения для токов, напряжений и сопротивлений при последовательном и параллельном соединениях резистивных элементов

Тип соединения Последовательное Параллельное

Сила тока constI = nIIII +++= K21 ,

kk UgI = , n,k 1=

Напряжение nUUUU +++= K21 ,

kk IRU = , n,k 1= constU =

Сопротивление (проводимость) nRRRR K++= 21 ngggg +++= K21

Примечание – Величина Rg 1= (см. таблицу 2.1) называется проводимостью; единица измерения проводимости: [ g ] 1= См (сименс). 2.6.2 Анализ простых электрических цепей при смешанном соединении резистивных элементов. Метод эквивалентных преобразований и метод пропорциональных величин Если в простой электрической цепи часть элементов соединена последовательно, а часть параллельно, то имеет место смешанный способ соединения. Токи в ветвях схемы при смешанном соединении элементов можно найти, используя метод эквивалентных преобразований (метод свертывания) или метод пропорциональных величин (метод подобия). Сущность метода эквивалентных преобразований заключается в том, чтобы группы из последовательно и параллельно соединенных резистивных элементов заменить эквивалентным сопротивлением, зная которое, определить для полученного простого контура ток в неразветвленной части цепи и, выполнив обратное преобразование, рассчитать токи в остальных ветвях схемы.

а) б)

Рисунок 2.14 – Схемы иллюстрирующие применение метода эквивалентных преобразований (а) и метода пропорциональных величин (б)

Определим, например, методом эквивалентных преобразований токи 1I , 2I и 3I в схеме цепи, изображенной на рисунке 2.14, а. Эквивалентное сопротивление R этой цепи относительно зажимов источника можно найти по формуле

31

32

321231 RR

RRRRRR+

+=+= ,

где величина 23R обозначает сопротивление участка цепи с параллельным соединением элементов 2R и 3R (рисунок 2.14, а). Ток 1I в неразветвленной части цепи рассчитаем на основании закона Ома

REI =1 ,

а затем, определив по формуле 23123 RIU = величину напряжения 23U на параллельном участке с элементами 2R и 3R , найдем два остальных тока также по закону Ома:

2

232 R

UI = , 3

233 R

UI = .

Сущность метода пропорциональных величин состоит в том, чтобы в самой удаленной от источника ЭДС ветви произвольно задать некоторое (ненулевое) значение силы тока, например 1А, зная которое, определить токи в остальных ветвях, а также соответствующее им значение ЭДС *E . Затем, сравнив полученное значение *E с заданным по условию значением E , найти коэффициент пропорциональности

*EEk = и рассчитать действительные токи 1I , 2I , … , nI в ветвях схемы, умножив полученные значения токов *I1 , *I2 , … , *

nI на коэффициент k : *kII 11 = , *kII 22 = , … , *

nn kII = . (2.32) Определим, например, методом пропорциональных величин токи 1I , 2I и 3I в уже рассмотренной схеме цепи на рисунке 2.14, а. Положим 13 =

*I и найдем соответствующую этому значению величину ЭДС *E , т.е. такую, которая бы обеспечивала протекание в ветви с сопротивлением 3R тока величиной в 1А (рисунок 2.14, б). Напряжение *U 23 на параллельно соединенных сопротивлениях 2R и 3R следует определить как падение напряжения *U3 на сопротивлении 3R , т.е. по формуле

33323 RIUU *** == , а ток *I2 в сопротивлении 2R — на основании закона Ома

2232 RUI ** = . Тогда ток *I1 в неразветвленной части цепи можно рассчитать согласно формуле *** III 321 += , а значение искомой ЭДС *E согласно равенству

***** URIUUE 2311231 +=+= , где величина 111 RIU ** = означает падение напряжения на сопротивлении 1R при токе

*I1 . Далее, определив коэффициент пропорциональности *EEk = , можно вычислить действительные токи 1I , 2I и 3I по формулам (2.32). 2.7 Основные методы анализа сложных электрических цепей Сложной электрической цепью называют цепь, содержащую две (и более) ветви с источниками электрической энергии. При анализе таких цепей в ветвях соответствующих им схем замещения предварительно указывают условно положительные направления токов. Далее составляют, следуя 1-му и 2-му законам Кирхгофа, структурные уравнения. Добавление к ним компонентных соотношений

32

приводит к законченной формулировке задач анализа. Дальнейшие действия приобретают чисто вычислительный характер. Существуют приемы, позволяющие облегчить постановку задачи на математическом уровне. В разделах 2.7.1 – 2.7.6 описаны методы, реализующие подобные приемы. Это — метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод наложения (суперпозиции), метод узловых потенциалов метод, метод двух узлов и метод эквивалентного генератора. 2.7.1 Метод непосредственного применения законов Кирхгофа Самым общим методом расчета электрических цепей является метод непосредственного применения законов Кирхгофа (метод уравнений Кирхгофа). Суть его заключается в составлении системы уравнений в соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов. Система уравнений разрешима, если все входящие в нее уравнения являются линейно независимыми и число уравнений в системе равно числу неизвестных величин (числу токов).

Порядок расчета электрической цепи методом уравнений Кирхгофа 1) Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно выбрать их положительные направления. 2) Для узлов электрической цепи составить уравнения по 1-му закону Кирхгофа. Общее количество таких уравнений 11 −= mn , где m — число узлов в цепи. 3) Выбрать независимые замкнутые контуры электрической цепи и для каждого из них составить уравнение по 2-му закону Кирхгофа Общее количество таких уравнений 12 +−−= kmpn , где p — число ветвей цепи, k — число источников тока. 4) Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. 5) Проверить правильность решения задачи путем составления уравнения баланса мощностей.

Рисунок 2.15 – Схема, иллюстрирующая применение метода уравнений Кирхгофа

Схема, изображенная на рисунке 2.15, содержит 2 узла и 3 ветви, т.е. 2=m , 3=p и 0=k (отсутствуют источники тока). Количество уравнений на основании 1-го

закона составит 11 =n , количество уравнений на основании 2-го закона — 22 =n . По 1-му закону Кирхгофа для узла « a » получаем уравнение

0321 =−+− III ,

33

по 2-му закону Кирхгофа для контуров « abcda » и « adefa » уравнения ( ) 42122411 EEERIRRI −+=++ , ( ) 53253322 EEERRIRI −+−=+−− .

Эти уравнения в совокупности образуют систему линейных алгебраических уравнений, решением которой являются токи 1I , 2I , 3I . Примечания 1 Контуры цепи, выбранные для составления уравнений по 2-му закону Кирхгофа (см. пункт 3 алгоритма), следует считать независимыми, если в каждом из них есть хотя бы одна ветвь, не принадлежащая остальным контурам. 2 Если при решении системы уравнений Кирхгофа, значения некоторых токов получаются отрицательными, это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным. 3 Общее число независимых уравнений n , которые получаются на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа равно:

( ) ( ) kpkmpmnnn −=+−−+−=+= 1121 . Если источники тока в цепи отсутствуют ( 0=k ), то общее число уравнений

pn = , т.е. совпадает с количеством ветвей в цепи (с количеством неизвестных токов). 2.7.2 Метод контурных токов В методе контурных токов в качестве промежуточных переменных выбирают токи, замыкающиеся в каждом контуре и называемые контурными. В этом случае уравнения составляют только по 2-му закону Кирхгофа относительно контурных токов. Очевидно, что общее количество таких уравнений всегда совпадает с числом независимых контуров в цепи, т.е. с числом 1+−−= kmpn .

Порядок расчета электрической цепи методом контурных токов 1) Обозначить на схеме цепи действительные токи в ветвях и произвольно выбрать их положительные направления. 2) Выбрать 1+−−= kmpn независимых контуров электрической цепи и произвольно задаться направлением контурных токов в них. 3) Для каждого выбранного контура относительно протекающих в его ветвях контурных токов составить уравнение по 2-му закону Кирхгофа. При этом положительное направление обхода контура полагать совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. 4) Решить полученную систему уравнений относительно неизвестных контурных токов. 5) Действительный ток в каждой ветви определить как алгебраическую сумму контурных токов, замыкающихся через эту ветвь. При этом те из контурных токов, направления которых совпадут с направлением действительного тока, войдут в указанную алгебраическую сумму со знаком «+», в противном случае — со знаком «–». Схема цепи, изображенная на рисунке 2.16, имеет 2=n независимых контура, в которых циркулируют два контурных тока: 11I — контурный ток 1-го контура и 22I — контурный ток 2-го контура. Эти токи являются решением системы уравнений

( )

( )⎩⎨⎧

−−=+++−+=−++

.;

3222532112

2122211421

EEIRRRIREEIRIRRR

(2.33)

Действительные токи 1I , 2I , 3I ветвей (см. рисунок 2.16) определятся линейными комбинациями контурных токов:

34

111 II = , 22112 III −= , 223 II −= .

Рисунок 2.16 – Схема, иллюстрирующая применение метода контурных токов

Обобщая систему уравнений (2.33) на случай электрической цепи с произвольным количеством независимых контуров n , можно получить следующую систему для определения контурных токов 11I , 22I , … , nnI :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

................................................

;;

222111

22222221121

11122121111

nnnnnnnn

nnn

nnn

EIRIRIR

EIRIRIREIRIRIR

K

K

K

(2.34)

Здесь kkR ( n,k 1= ) — собственное (полное) сопротивление k - го контура,

kmR ( n,m,k 1= и mk ≠ ) — сопротивление связи контуров с номерами k и m (сопротивление смежной ветви), kkE ( n,k 1= ) — контурная ЭДС k - го контура. Так, например, в системе уравнений (2.33) контурные сопротивления 11R и 22R равны: 42111 RRRR ++= , 53222 RRRR ++= ; сопротивления связи: 212 RR −= ,

221 RR −= ; контурные ЭДС: 2111 EEE += , 3222 EEE −−= . Система контурных уравнений (2.34) может быть представлена в матричной форме: ERI = , (2.35) где R — квадратная матрица сопротивлений цепи порядка n , I — матрица-столбец искомых контурных токов, E — матрица-столбец контурных ЭДС, причем

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

K

MMMM

K

K

21

22221

11211

R ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnI

II

M22

11

I ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnE

EE

M22

11

E .

Решение матричного уравнения (2.35) определяет равенство ERI -1= , (2.36) где -1R — матрица обратная к R . Решение системы уравнений (2.34) можно также записать и через определители, т.е. на основании метода Крамера:

35

nnnnn

n

n

RRE

RRERRE

I

K

MMMM

K

K

2

22222

11211

111Δ

= , K ,

nnnn

nn

ERR

ERRERR

I

K

MMMM

K

K

21

222221

111211

1Δ

= . (2.37)

Символом Δ здесь обозначен главный определитель системы алгебраических уравнений (2.34) (определитель матрицы R ):

nnnn

n

n

RRR

RRRRRR

det

K

MMMM

K

K

21

22221

11211

== RΔ . (2.38)

Формулам (2.37), (2.38) можно придать более компактную форму, если разложить числитель каждой из дробей (2.37) по элементам столбца, в котором собраны значения контурных ЭДС:

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ nk

nnkk

kk EEEI +++= K222

111 , (2.39)

где mkΔ ( n,m 1= ) — алгебраическое дополнение элемента mkR определителя (2.38):

( ) *mk

kmmk ΔΔ +−= 1 . (2.40)

Здесь *mkΔ обозначает минор элемента mkR , т.е. определитель, полученный из Δ

вычеркиванием его m - й строки и k - го столбца. Примечания 1 Собственное сопротивление 0>kkR контура с номером k равно сумме всех сопротивлений, образующих этот контур. 2 Сопротивление связи kmR ( mkkm RR = ) равно алгебраической сумме сопротивлений, включенных в ветвь, являющуюся общей для контуров с номерами k и m . Эту величину в системе уравнений (2.34) записывают со знаком «+», если направления контурных токов kkI и mmI , замыкающихся через рассматриваемую ветвь, совпадают. В противном случае сопротивлению kmR приписывают знак «–». Если контуры k и m не имеют общих ветвей, сопротивление связи 0=kmR . 3 Контурная ЭДС kkE контура с номером k равна алгебраической сумме всех ЭДС, присутствующих в этом контуре, причем со знаком «+» берутся те из них, направления которых совпадают с направлением обхода контура k (с направлением контурного тока kkI ). В противном случае входящие в kkE ЭДС берутся со знаком «–». 4 В системе уравнений (2.34), а также в эквивалентном ей матричном уравнении (2.35) предполагается, что источники энергии заданы в виде источников ЭДС. Если же по условию задачи часть источников будет задана в виде источников тока, то перед началом расчета их целесообразно преобразовать в эквивалентные источники ЭДС согласно формулам (2.10). 2.7.3 Принцип и метод наложения Метод наложения позволяет определить токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома. Этот метод основан на принципе наложения (или

36

суперпозиции), суть которого состоит в том, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, созданных в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Порядок расчета электрической цепи методом наложения 1) Обозначить на схеме цепи действительные токи в ветвях и произвольно выбрать их положительные направления. 2) Исходную схему с несколькими источниками ЭДС представить совокупностью расчетных схем, в каждой из которых действует только одна ЭДС. При этом все остальные источники ЭДС из текущей расчетной схемы следует исключить, оставив лишь их внутренние сопротивления. 3) В ветвях каждой расчетной схемы определить токи, возникающие от действия только одной ЭДС — частичные токи. 4) Действительные токи ветвей исходной схемы рассчитать как алгебраические суммы (наложения) соответствующих частичных токов расчетных схем. При этом те частичные токи, направления которых совпадут с направлениями действительных токов, войдут в указанные алгебраические суммы со знаком «+», в противном случае — со знаком «–». На рисунке 2.17 представлена схема электрической цепи с двумя источниками ЭДС, расчет которой методом наложения может быть выполнен на основании расчетных схем, изображенных на рисунке 2.18.

Рисунок 2.17 – Исходная

схема Рисунок 2.18 – Расчетные схемы с частичными

токами

Принимая направления действительных токов 1I , 2I , 3I в исходной схеме рисунка 2.17 за положительные, выполним алгебраическое суммирование (наложение) частичных токов расчетных схем, изображенных на рисунке 2.18:

111 III ′′−′= , 222 III ′′+′−= , 333 III ′′+′= . Здесь 1I ′ , 2I ′ , 3I ′ означают частичные токи первой расчетной схемы, 1I ′′ , 2I ′′ , 3I ′′ — частичные токи второй расчетной схемы. Примечание – Принцип наложения применим для расчета линейных электрических цепей не только по токам, но и по напряжениям, так как они линейно связаны с токами. Для расчета мощности этот принцип применять нельзя, так как мощность является не линейной, а квадратичной функцией тока или напряжения:

RIP 2= или RUP 2= . 2.7.4 Метод узловых потенциалов Если для произвольной электрической цепи известны потенциалы всех ее узлов,

37

то ток I в любой ветви этой цепи можно определить по закону Ома: ( )gEI ba ϕϕ −+±= , (2.41) где E — величина ЭДС, aϕ и bϕ — потенциалы узлов « a » и «b » схемы, g — полная проводимость ветви, подсоединенной к этим узлам. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы узлов схемы, называется методом узловых потенциалов. Для упрощения расчетов один из узлов схемы предварительно заземляют, полагая его потенциал равным нулю. Если, например, электрическая цепь содержит 1+n узлов и потенциал

01 =+nϕ , то потенциалы остальных узлов 1ϕ , 2ϕ , … , nϕ схемы относительно опорного (или базового) узла с потенциалом 1+nϕ определяются из системы уравнений:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

;...............................................

;;

2211

222222121

111212111

nnnnnnn

nn

nn

JGGG

JGGGJGGG

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

K

K

K

(2.42)

где kkG ( n,k 1= ) — собственная проводимость узла k , kmG ( n,m,k 1= , mk ≠ ) — проводимость связи узлов k и m , kkJ — узловой ток k - го узла. Закон Ома (2.41) и система уравнений (2.42) составляют математическую основу метода узловых потенциалов. Система уравнений узловых потенциалов (2.42) может быть представлена в матричной форме: JG =ϕ , (2.43) где G — квадратная матрица проводимостей цепи порядка n , ϕ — матрица-столбец искомых потенциалов узлов, J — матрица-столбец узловых токов, причем

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

GGG

GGGGGG

K

MMMM

K

K

21

22221

11211

G ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nϕ

ϕϕ

M2

1

ϕ ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnJ

JJ

M22

11

J .

Решение матричного уравнения (2.43) определяет равенство JG -1=ϕ , (2.44) где -1G — матрица обратная к G . Примечания 1 Собственная проводимость kkG ( 0>kkG ) узла k равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле. 3 Проводимость связи 0≤kmG ( mkkm GG = ) узлов k и m равна взятой со знаком «–» сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы. Если между узлами k и m нет соединяющей их ветви, проводимость связи 0=kmG . 4 Узловой ток kkJ узла k определяется равенством

∑ ∑= =

+=p

i

q

i

iiikk JgEJ1 1

, (2.45)

38

где iE и ig — величина ЭДС и проводимость ветви, присоединенной к узлу k , iJ — ток источника тока, также присоединенного к этому узлу. ЭДС iE и ток iJ в формуле (2.45) берутся со знаком «+», если они направлены к рассматриваемому узлу, со знаком «–», если они направлены от узла.

Рисунок 2.19 – Схема, иллюстрирующая применение метода узловых потенциалов

Схема, изображенная на рисунке 2.19, содержит 3 узла, обозначенные цифрами 1, 2 и 3. Если положить потенциал 03 =ϕ , то потенциалы 2-х остальных узлов 1ϕ и 2ϕ являются решением следующей системы уравнений:

⎩⎨⎧

=+=+

.;

22222121

11212111

JGGJGG

ϕϕϕϕ

При этом 32111 gggG ++= , 32112 gGG −== , 54322 gggG ++= ,

76331111 JJgEgEJ +−−= , 755443322 JgEgEgEJ −+−= , где ii Rg 1= ( 51,i = ) — проводимости ветвей схемы с сопротивлениями 1R , 2R , 3R , 4R и 5R , токи в которых можно рассчитать согласно формуле (2.41):

( ) 11131 gEI +−= ϕϕ , ( ) 2132 gI ϕϕ −= , ( ) 33213 gEI +−= ϕϕ , ( ) 44324 gEI +−= ϕϕ , ( ) 55325 gEI −−= ϕϕ .

2.7.5 Метод двух узлов В разветвленной электрической цепи с двумя узлами все ветви соединены параллельно и находятся под действием одного и того же (узлового) напряжения (рисунок 2.20). Метод расчета электрических цепей, в котором за промежуточную переменную принимают напряжение между двумя узлами схемы, называется методом узлового напряжения или методом двух узлов. Расчетный алгоритм метода двух узлов может быть построен на основании метода узловых потенциалов как его частный случай. Действительно, полагая в схеме рисунка 2.20 02 =ϕ , легко получить формулу для расчета узлового напряжения

210 ϕϕ −=U из системы уравнений (2.42). Эта система уравнений в применении к схеме рисунка 2.20 вырождается в одно уравнение вида 11111 JG =ϕ , из которого согласно (2.45) следует формула

39

∑∑ ∑

=

= =

+

= n

k

k

m

k

p

k

kkk

g

JgEU

1

1 10 , (2.46)

где ЭДС kE и ток источника kJ берутся со знаком «+», если их направления противоположны направлению узлового напряжения 0U , со знаком «–», если их направления совпадают.

Рисунок 2.20 – Схема, иллюстрирующая применение метода двух узлов

Ток в каждой ветви схемы с двумя узлами определяется по формуле аналогичной (2.41), которая в данном случае имеет вид: ( ) kkk gUEI 0±±= , (2.47) где ЭДС kE и узловое напряжение 0U записывают со знаком «+», если их направления совпадают с током kI , со знаком «–», если противоположны току. Для схемы, изображенной на рисунке 2.20, например, узловое напряжение равно:

6431

52664433110 gggg

JJgEgEgEgEU+++

+−++−−= ,

а токи 1I , 3I , 4I и 6I рассчитываются согласно формулам ( ) 1011 gUEI += , ( ) 3033 gUEI −−= , ( ) 4044 gUEI +−= , ( ) 6066 gUEI −= .

2.7.6 Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного генератора (метод активного двухполюсника, метод холостого хода и короткого замыкания) применяется, когда по условию задачи необходимо определить ток (или напряжение) в отдельной ветви цепи. Для этого фрагмент схемы, ток через который требуется вычислить, рассматривают как пассивный двухполюсник (выделяют из цепи), а всю остальную часть схемы, внешнюю по отношению к выделенному участку, представляют активным двухполюсником (рисунок 2.21, а).

40

а) б) в) Рисунок 2.21 – Замена активного двухполюсника (а) эквивалентным источником

напряжения (б) или эквивалентным источником тока (в)

Дальнейшие действия сводятся к корректной замене активного двухполюсника эквивалентным источником энергии (эквивалентным генератором), т.е. таким, который обеспечивал бы на полюсах исследуемого фрагмента такой же ток нI и такое же напряжение abU , что и в исходной схеме (рисунок 2.21, а). Очевидно, что сделать это можно двумя способами — активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником напряжения с ЭДС гE и внутренним сопротивлением гR (рисунок 2.21, б) или эквивалентным источником тока с задающим током гJ и внутренней проводимостью гг RG 1= (рисунок 2.21, в). При известных значениях параметров гE , гR или гJ , гG ток в выделенной ветви, например, ветви « ab » (рисунок 2.21), определяется на основании закона Ома:

нг

гн RR

EI+

= , нг

гн RG

JI+

=1

, (2.48)

где нR — сопротивление выделенной ветви. Правила, по которым активный двухполюсник заменяется эквивалентными источниками, устанавливает теорема Тевенена для источника напряжения и теорема Нортона для источника тока. Теорема Тевенена: ток в некоторой ветви, присоединенной к активному двухполюснику, не изменится, если этот двухполюсник заменить источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на зажимах двухполюсника в режиме холостого хода, и сопротивлением, равным входному сопротивлению двухполюсника: ххг UE = , вхг RR = , (2.49) где ххU и вхR — указанные в теореме Тевенена напряжение холостого хода и входное сопротивление двухполюсника. Теорема Нортона: ток в некоторой ветви, присоединенной к активному двухполюснику, не изменится, если этот двухполюсник заменить источником тока с величиной задающего тока, равной току короткого замыкания двухполюсника, и проводимостью, равной входной проводимости двухполюсника: кзг IJ = , вхг GG = , (2.50) где кзI и вхвх RG 1= — указанные в теореме Нортона ток короткого замыкания и входная проводимость двухполюсника.

41

Способ определения обобщенных параметров ххU и кзI активного двухполюсника в символической форме представлен на рисунке 2.22.

а) б)

Рисунок 2.22 – Определение напряжения на зажимах источника ЭДС (а) и задающего тока источника тока (б)

Формулы (2.48) с учетом (2.49) и (2.50) преобразуем к виду:

нвх

ххн RR

UI+

= , нвх

кзн RG

II+

=1

. (2.51)

Соотношения (2.51) являются расчетными формулами метода эквивалентного генератора. Примечания 1 Внутреннее сопротивление вхR активного двухполюсника равно сопротивлению такого пассивного двухполюсника, который может быть образован из исходного исключением всех источников энергии, находящихся внутри него. При этом подразумевается, что источники ЭДС в ветвях активного двухполюсника в процессе исключения следует закоротить, а ветви, содержащие источники тока, разомкнуть. Пример такого преобразования демонстрируют схемы на рисунке 2.23.

а) б)

Рисунок 2.23 – Активный двухполюсник (а) и соответствующая схема замещения для определения его входного сопротивления (б)

2 Параметры ххU , кзI , вхR определяются расчетным путем или экспериментально. В последнем случае величины ххU , кзI находят непосредственно по показаниям приборов (вольтметра и амперметра), проводя опыты холостого хода и короткого замыкания согласно схемам рисунка 2.22, а входное сопротивление вхR определяют

42

косвенно по результатам обоих опытов. Так, при 0=нR (опыт короткого замыкания) из формул (2.51) получаем

кз

ххвх I

UR = . (2.52)

2.7.7 Передача энергии от активного двухполюсника к нагрузке. КПД источника энергии Любую сколь угодно сложную электрическую цепь с несколькими источниками энергии всегда можно представить в виде активного двухполюсника, соединенного с пассивным двухполюсником (рисунок 2.24, а). Активный двухполюсник обычно характеризуют совокупностью источников электрической энергии, а пассивный — совокупностью пассивных приемников.

а) б)

Рисунок 2.24 – Замена разветвленной цепи активным и пассивным двухполюсником (а) и схема замещения для исследования условий передачи энергии в цепи активного двухполюсника (б)

В соответствии с теоремами об эквивалентных источниках (теоремами Тевенена и Нортона) многоэлементный активный двухполюсник можно заменить двухэлементным активным двухполюсником (эквивалентным генератором) с параметрами гE , гR в случае источника ЭДС или гJ , гG в случае источника тока. Пассивный двухполюсник можно представить одним резистивным элементом (нагрузкой) с единственным параметром нR (сопротивлением нагрузки). Исследуем условия передачи электрической энергии от активного двухполюсника к нагрузке на примере схемы замещения цепи с эквивалентным источником ЭДС

гE (рисунок 2.24, б). Данную схему, в частности, можно интерпретировать как схему замещения линии электропередач с идеальными (без сопротивления) проводами. Переменный резистор нR в этом случае символизирует нагрузку с изменяющимся сопротивлением. В зависимости от величины сопротивления нагрузки нR выделяют следующие режимы работы электрической цепи, представленной активным двухполюсником: 1) режим холостого хода ( ∞=нR ), при котором нагрузка отключена от источника энергии, ток в цепи отсутствует, напряжение ххU на разомкнутых зажимах источника наибольшее, равное величине ЭДС: гхх EU = ; 2) режим короткого замыкания ( 0=нR ), при котором зажимы источника замкнуты накоротко, напряжение на них равно нулю, в цепи протекает ток короткого замыкания ггкз REI = ;

43

3) согласованный режим ( гн RR = ), при котором сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника; 4) номинальный режим, при котором источник и нагрузка работают при номинальных значениях токов и напряжений номI , номU , т.е. при тех значениях, на которые они рассчитаны заводами-изготовителями. При исследовании условий передачи энергии в цепи различают следующие типы мощностей: 1) полная мощность гP — вся мощность, вырабатываемая источником энергии; 2) мощность потерь PΔ — мощность, расходуемая внутри источника, либо в соединительных проводах; 3) полезная мощность нP — мощность, потребляемая нагрузкой. Для схемы замещения, изображенной на рисунке 2.24, б указанные типы мощностей определяются равенствами IEP гг = , гRIP 2=Δ , нн RIP 2= . (2.53) Так как сила тока в цепи при этом

нг

г

RREI+

= ,

то из (2.53) следует:

нг

гг RR

EP+

=2

, ( )2

2

нг

гг

RRREP

+=Δ ,

( )22

нг

нгн RR

REP+

= . (2.54)

Кроме того, полную и полезную мощности можно еще представить равенствами ( )нгг RRIP += 2 , UIPн = , ( )IIREP ггн −= , (2.55) где гн IREIRU −== — напряжение на нагрузке (на сопротивлении нR ). Эффективность передачи энергии в электрических цепях оценивается коэффициентом полезного действия (КПД). Величина КПД η определяется отношением полезной мощности нP к величине полной мощности источника гP :

PP

PPP

н

н

г

н

Δη

+== . (2.56)

На основании (2.53), (2.54) и (2.56) можно также получить следующие формулы для определения КПД:

нг

н

RRR+

=η , гPPΔη −=1 ,

г

г

EIR

−=1η . (2.57)

Определим величину сопротивления нагрузки нR , при которой полезная мощность нP достигает максимального значения. Для этого найдем первую производную полезной мощности нP по нR и приравняем ее к нулю. На основании (2.54) получаем уравнение

( ) ( )( )

022

22 =

++−+

=нг

нгннгг

н

н

RRRRRRRE

dRdP

,

решением которого является равенство гн RR = . (2.58)

44

Соотношение (2.58) называется условием передачи максимальной энергии приемнику. Из этого условия следует, что наибольшая полезная мощность будет потребляться нагрузкой в согласованном режиме работы цепи, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника энергии. Из (2.54) и (2.58) следует, что в режиме согласованной нагрузки мощности гP ,

PΔ и нP равны:

г

гг R

EP2

2

= , г

г

REP4

2

=Δ , г

гн R

EP4

2

= , (2.59)

поэтому КПД цепи согласно (2.57) и (2.59) 50.=η , т.е. половина энергии источника ЭДС гE преобразуется в теплоту за счет его внутреннего сопротивления гR . При передаче больших мощностей работа в согласованном режиме, как правило, недопустима. В цепях большой мощности непременным условием является гн RR >> , т.е. обеспечение возможно большего КПД. Основные закономерности режимов работы источника энергии представлены в таблице 2.2. Таблица 2.2 – Режимы работы источника энергии

Режимы работы источника энергии нR U I гP PΔ нP η

Холостой ход ∞ E 0 0 0 0 1

Короткое замыкание 0 0 г

г

RE

г

г

RE 2

г

г

RE 2

0 0

Согласованный гR 2гE

г

г

RE

2

г

г

RE2

2

г

г

RE4

2

г

г

RE4

2

50.

Номинальный номR номU номI номгP номPΔ номнP номη

На рисунке 2.25 построены зависимости ( )IPг , ( )IPΔ , ( )IPн и ( )Iη . Эти зависимости называют энергетическими характеристиками цепи.

Рисунок 2.25 – Энергетические характеристики цепи постоянного тока

Примечание – Соблюдение номинального режима обеспечивает эффективное и экономичное производство и потребление электрической энергии. Чаще всего

45

номинальный режим работы активного и пассивного двухполюсников соответствует случаю, когда сопротивление эквивалентного приемника много больше внутреннего сопротивления эквивалентного генератора ( гн RR >> ). При этом КПД электрической цепи близок к единице ( 1≈η ), что очень важно для силовых (мощных) электротехнических устройств. Для некоторых маломощных устройств, используемых, например, в радиотехнике, электронике и автоматике, важным является достижение максимально возможной мощности приемника. В этих случаях стремятся обеспечить согласованный режим работы источников и приемников электрической энергии, который является для них номинальным режимом. 2.8 Эквивалентные преобразования электрических схем. Основные методы Анализ разветвленных электрических цепей во многих случаях можно упростить путем эквивалентных преобразований. Эквивалентным преобразованием части схемы электрической цепи называется такое преобразование, при котором токи и напряжения вне преобразованной части остаются неизменными. Целесообразное преобразование электрической схемы приводит к уменьшению числа ее ветвей или узлов, а, следовательно, и числа уравнений, необходимых для ее расчета. 2.8.1 Преобразование соединения резистивных элементов звездой в эквивалентное соединение треугольником и обратное преобразование Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рисунок 2.26, а), называется соединением «звезда» (Υ ), а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рисунок 2.26, б) — соединением «треугольник» (Δ ).

а) б)

Рисунок 2.26 – Схема соединения резистивных элементов звездой (а) и треугольником (б)

Расчет электрической цепи в ряде случаев может быть упрощен, если в ней заменить группу сопротивлений, соединенных звездой эквивалентным треугольником или наоборот. Формулы преобразования звезды в эквивалентный треугольник имеют вид

c

babaab R

RRRRR ++= , a

cbcbbc R

RRRRR ++= , b

cacaac R

RRRRR ++= . (2.60)

Для обратного преобразования треугольника в эквивалентную звезду используют формулы

acbcab

acaba RRR

RRR++

= , acbcab

bcabb RRR

RRR++

= , acbcab

bcacc RRR

RRR++

= . (2.61)

46

Примечание – Преобразования, определяемые формулами (2.60) и (2.61), являются эквивалентными в том смысле, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек « a », «b » и «c » треугольника и звезды (рисунок 2.26) подтекающие к этим точкам токи в обеих схемах также одинаковы. 2.8.2 Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС и источниками тока Если в сложной электрической цепи имеются одна или несколько групп параллельно соединенных ветвей с источниками ЭДС и источниками тока (рисунок 2.27, а), то анализ такой цепи можно значительно облегчить путем замены каждой группы параллельных ветвей одним источником с эквивалентной ЭДС *E и эквивалентным внутренним сопротивлением *R (рисунок 2.27, б).

а) б)

Рисунок 2.27 – Замена группы параллельных ветвей (а) эквивалентным источником ЭДС (б)

Параметры *E и *R эквивалентного источника ЭДС рассчитываются согласно формулам

*

m

k

p

k

kkk*

g

JgEE∑ ∑

= =

+

= 1 1 , ∑=

=n

k

k* gg

1

, **

gR 1

= , (2.62)

где kk Rg 1= ( n,k 1= ) — проводимости ветвей с сопротивлениями kR . Примечание – В формулах (2.62) со знаком «+» берутся те ЭДС kE и те токи источников kJ , которые направлены к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС *E . В противном случае ЭДС kE и токи kJ берутся со знаком «–». Для группы параллельных ветвей, изображенных на рисунке 2.27, а, эквивалентная ЭДС равна:

**

gJgEJgEE 433211 ++−−

= , 31 ggg* += .

2.8.3 Преобразование последовательного и параллельного соединения источников энергии Последовательно соединенные источники ЭДС (рисунок 2.28, а) можно заменить одним эквивалентным источником с ЭДС

∑=

=n

k

k* EE

1

. (2.63)

47

а) б)

Рисунок 2.28 – Замена последовательного соединения источников ЭДС (а) и параллельного соединения источников тока (б) эквивалентными источниками

Параллельно соединенные источники тока (рисунок 2.28, б) также можно заменить одним эквивалентным источником с током

∑=

=n

k

k* JJ

1

. (2.64)

Примечания 1 Выбор знаков у ЭДС kE и токов источников kJ в формулах (2.63) и (2.64) производится по тому же правилу, что и в формулах (2.62), т.е. при совпадении направлений kE и kJ с направлениями соответствующих эквивалентных ЭДС *E и токов *J эти величины берутся со знаком «+»; при несовпадении указанных направлений — со знаком «–». 2 Последовательное соединение различных источников тока, а также параллельное соединение различных источников ЭДС недопустимо в схемах замещения электрических цепей, так как противоречит законам Кирхгофа. По этой же причине не допускаются соединения, приводящие к схемам с контурами только из источников ЭДС, и с узлами, в которых сходятся ветви только от источников тока. 2.9 Основные свойства линейных электрических цепей Основными свойствам линейных электрических цепей являются: принцип наложения (суперпозиции), принцип взаимности и принцип компенсации. 2.9.1 Принцип наложения Для всех линейных электрических цепей выполняется принцип наложения (суперпозиции): ток в любой ветви электрической цепи равен алгебраической сумме токов в этой ветви, создаваемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. В математической форме принцип наложения следует из формулы расчета контурного тока (2.39). В этой формуле каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей 1E , 2E , … , kE , сгруппировав коэффициенты при этих ЭДС. Уравнение для расчета тока в любой ветви (например k ) линейной электрической цепи тогда можно записать в виде: knnkkkkkk gEgEgEgEI +++++= KK2211 , (2.65)

48

где kkg — собственная (входная) проводимость ветви k , kmg — взаимная проводимость ветвей k и m ( n,m 1= ). Входная проводимость kkg любой ветви k определяется отношением тока kI к ЭДС kE в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях, взаимная проводимость kmg двух любых ветвей k и m определяется отношением тока kI в одной ветви к ЭДС mE в другой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях:

k

kkk E

Ig = , m

kkm E

Ig = . (2.66)

Примечания 1 Собственная проводимость ветви kkg имеет положительное значение при условии, что положительные направления тока и ЭДС в этой ветви совпадают. 2 Взаимная проводимость двух ветвей kmg может иметь положительное или отрицательное значение, причем mkkm gg = , (2.67) что означает выполнение принципа взаимности. Взаимная проводимость отрицательная, если при выбранном положительном направлении частичного тока kI в ветви k его численное значение получается отрицательным (действительное направление тока противоположно положительному). 2.9.2 Принцип взаимности Принцип взаимности формулируется следующим образом: если ЭДС kE , действующая в ветви k электрической цепи, вызывает ток mI в другой ветви m этой цепи, то при отсутствии других источников та же ЭДС kE , будучи перенесенной во вторую ветвь m , вызовет в первой ветви k такой же ток mI .

Рисунок 2.29 – Схемы, иллюстрирующие принцип взаимности

Наглядно применение принципа взаимности демонстрируют схемы, изображенные на рисунке 2.29; математическое выражение принципа взаимности задает формула (2.67). 2.9.3 Принцип компенсации Различают принцип компенсации напряжения и принцип компенсации тока. Принцип компенсации напряжения заключается в том, что сопротивление R в любой ветви электрической цепи можно заменить идеальным источником ЭДС, величина ЭДС E которого равна падению напряжения IRU = на этом сопротивлении, а направление ее действия противоположно направлению тока I в сопротивлении.

49

Принцип компенсации тока заключается в том, что сопротивление R в любой ветви электрической цепи можно заменить идеальным источником тока, величина задающего тока J которого равна току I в этом сопротивлении, а направление его действия совпадает с направлением тока I в сопротивлении. Наглядно применение принципа компенсации напряжения демонстрируют схемы, изображенные на рисунках 2.30, а и 2.30, б; принципа компенсации тока — схемы на рисунках 2.30, а и 2.30, в.

а) б) в)

Рисунок 2.30 – Применение к исходной схеме (а) принципа компенсации напряжения (б) и принципа компенсации тока (в)

Примечание – Принцип компенсации в отношении части схемы, не подвергающейся изменению, является эквивалентным преобразованием, так как его применение к какой-либо ветви цепи не вызывает изменения распределения токов во всех остальных ветвях этой же цепи. Лекция 3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока 3.1 Синусоидальный электрический ток и его основные характеристики Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным. Значение переменной электрической величины в любой момент времени t называется ее мгновенным значением и обозначается строчной буквой, например, i , u и e обозначают мгновенные значения силы тока, напряжения и ЭДС. Наибольшее из мгновенных значений переменной величины называется также максимальным или амплитудным значением и обозначается прописной буквой с индексом « m », например,

mI , mU и mE — это амплитудные значения силы тока, напряжения и ЭДС. Переменный электрический ток, мгновенные значения которого и направление через равные промежутки времени периодически повторяются, называется периодическим током. Периодический ток характеризуют следующие параметры: 1) Период T — интервал времени, через который повторяются мгновенные значения переменной величины; единица измерения периода: [T ] 1= с (секунда). 2) Частота f — величина, равная числу колебаний в единицу времени; единица измерения частоты: [ f ] 1= Гц (герц). 3) Угловая частота ω — величина, равная числу колебаний за π2 единиц времени; единица измерения угловой частоты: [ω ] срад1= (радиан в секунду). Параметры T , f и ω связаны соотношениями

T

f 1= , fπω 2= ,

Tπω 2

= . (3.1)

50

Периодический электрический ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, называется однофазным синусоидальным током или просто синусоидальным током. Синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и ЭДС определяются функциями ( ) ( )im tsinIti ψω += , ( ) ( )um tsinUtu ψω += , ( ) ( )em tsinEte ψω += , (3.2) где каждая из величин it ψω + , ut ψω + или et ψω + , т.е. аргумент синуса, называется полной фазой или просто фазой, а каждая из величин iψ , uψ или eψ — начальной фазой соответственно силы тока, напряжения и ЭДС. Фаза характеризует состояние колебания (мгновенное значение) в любой момент времени t , начальная фаза — в момент времени 0=t .

Рисунок 3.1 – Временные диаграммы синусоидальных токов, напряжений и ЭДС

На рисунке 3.1 показаны временные диаграммы (графики) синусоидальных токов напряжений и ЭДС, имеющие одинаковый период T , но различные начальные фазы iψ ,

uψ и eψ . 3.2 Среднее и действующее значение синусоидальной величины. Связь с амплитудным значением Средним значением синусоидальной величины (средневыпрямленным значением) называют ее среднее значение за половину периода. Так, например, среднее значение силы тока:

( )∫=2

0

2T

ср dttiT

I . (3.3)

Так же определяются средние значения напряжения и ЭДС:

( )∫=2

0

2T

ср dttuT

U , ( )∫=2

0

2T

ср dtteT

E . (3.4)

Для синусоидального тока ( ) tsinIti m ω= на основании формулы (3.3) можно доказать:

π

mср

II 2= . (3.5)

Аналогичным образом, исходя из формул (3.4), можно доказать, что средние значения синусоидальных напряжений и ЭДС равны:

51

π

mср

UU 2= ,

πm

срEE 2

= . (3.6)

Действующим значением периодического переменного тока (эффективным значением) называют среднеквадратичное его значение за период:

( )∫=T

dttiT

I0

21. (3.7)

Так же определяются действующие значения напряжения и ЭДС:

( )∫=T

dttuT

U0

21, ( )∫=

T

dtteT

E0

21. (3.8)

Для синусоидального тока на основании формулы (3.7) получаем:

2mII = . (3.9)

Аналогичным образом, исходя из формул (3.8), можно доказать, что действующие значения синусоидальных напряжений и ЭДС равны:

2mUU = ,

2mEE = . (3.10)

Примечание – Если обе части равенства (3.7) возвести в квадрат и умножить их на величину RT , где R — некоторое активное сопротивление (подробнее см. раздел 3.5.1), можно получить:

( )∫=T

dttRiTRI0

22 .

Это равенство показывает, что действующее значение переменного тока численно равно значению такого постоянного тока I , который в активном сопротивлении R за период T выделяет такое же количество тепловой энергии, что и данный переменный ток i . 3.3 Формы представления синусоидальных величин Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменения во времени, в виде вращающихся векторов и в виде комплексных чисел 3.3.1 Графическое представление синусоидальных величин. Понятие о временных диаграммах Синусоидальный ток, напряжение и ЭДС можно представить в виде графиков тригонометрических функций ( ) ( )im tsinIti ψω += , ( ) ( )um tsinUtu ψω += и ( ) ( )em tsinEte ψω += в прямоугольной системе координат. Эти графики называются

также временными или волновыми диаграммами. На рисунке 3.2 построены временные диаграммы силы тока и напряжения одинаковой частоты ω , но с разными амплитудами mI , mU и начальными фазами iψ ,

uψ . По оси абсцисс на рисунке 3.2 отложено время t .

52

а) б)

Рисунок 3.2 – Временные диаграммы токов и напряжений, имеющих друг относительно друга положительный (а) и отрицательный (б) сдвиг фаз

Примечания 1 Начальная фаза ψ на временной диаграмме определяется ближайшей относительно начала координат точкой перехода графика синусоидальной функции через нуль от ее отрицательных значений к положительным. При 0>ψ начальная фаза синусоиды сдвинута влево (кривая ( )tu на рисунке 3.2, а), при 0<ψ — вправо от начала координат (кривая ( )ti на рисунке 3.2, а). 2 Синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой, но имеющие различные начальные фазы ψ ′ и ψ ′′ характеризуются углом сдвига фаз ϕ (фазовым сдвигом), величина которого определяется разностью полных или начальных фаз: ( ) ( ) ψψψωψωϕ ′′−′=′′+−′+= tt . (3.11) В частности, сдвиг фаз между напряжением и током определяется всегда как разность начальных фаз напряжения uψ и тока iψ (а не наоборот): iu ψψϕ −= . (3.12) 3 Угол ϕ согласно формулам (3.11), (3.12) является величиной алгебраической. В таблице 3.1 представлены основные соотношения между начальными фазами силы тока и напряжения. Таблица 3.1 – Соотношения между начальными фазами силы тока и напряжения

Соотношение между начальной фазой напряжения uψ и

начальной фазой силы тока iψ

Величина сдвига фаз

iu ψψϕ −= Комментарий

iu ψψ > 0>ϕ напряжение опережает ток по фазе (ток отстает от напряжения по фазе)

iu ψψ < 0<ϕ напряжение отстает по фазе от тока (ток опережает по фазе напряжение)

iu ψψ = 0=ϕ ток и напряжение совпадают по фазе (изменяются синфазно)

πψψ ±= iu πϕ ±= ток и напряжение находятся в противофазе

На рисунке 3.2, а показан положительный сдвиг фаз между напряжением и током ( 0>ϕ ), на рисунке 3.2, б — отрицательный сдвиг фаз ( 0<ϕ ). Ситуацию, когда

53

ток и напряжение не имеют сдвига фаз ( 0=ϕ ) демонстрирует рисунок 3.3, а; случай, когда ток и напряжение находятся в противофазе ( πϕ ±= ) — рисунок 3.3, б.

а) б)

Рисунок 3.3 – Временные диаграммы токов и напряжений, не имеющих сдвига фаз (а) и находящихся в противофазе (б)

3.3.2 Векторное представление синусоидальных величин. Понятие о векторных диаграммах Если некоторая величина ( )ta изменяется по синусоидальному закону ( ) ( )am tsinAta ψω += , (3.13) ее амплитуда mA остается постоянной. Следовательно, синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, имеющие угловую частоту ω , можно изобразить векторами, равными по длине их амплитудам mE , mU или mI , и равномерно вращающимися с угловой скоростью ω . На рисунке 3.4 показаны вращающийся вектор тока mI

r (рисунок 3.4, а) и график

изменения тока i во времени (рисунок 3.4, б)

а) б)

Рисунок 3.4 – Пример изображения вращающимся вектором (а) синусоидально изменяющегося тока (б)

Примечания 1 Из рисунка 3.4 следует, что любой вектор mA

r, изображающий синусоидальную

величину (3.13), при вращении против направления движения часовой стрелки

54

составляет с горизонтальной осью OX угол at ψω + в произвольный момент времени t , угол aψ в начальный момент времени 0=t .

2 Проекция вращающегося вектора mAr

на вертикальную ось OY в любой момент времени t равна мгновенному значению синусоидальной величины, т.е. числу

( )am tsinA ψω + . 3 Любую синусоидально изменяющуюся величину ( )ta можно также представить вектором действующего значения A

r, длина которого 2mAA = .

Совокупность векторов на плоскости, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, называют векторной диаграммой. Очевидно, что взаимное расположение этих векторов с течением времени не меняется, так как угловые скорости их одинаковы. Это означает, что векторная диаграмма может быть построена для произвольного момента времени t , однако обычно такое построение проводят для начального момента времени 0=t .

Правила построения векторных диаграмм 1) При изображении синусоидальных ЭДС, напряжений и токов из начала координат проводят радиус-векторы, представляющие в заданном масштабе указанные величины. Масштаб для различных величин также может быть различным. 2) Выбирают произвольный вектор в качестве основного (обычно ось OX ), а все остальные векторы строят по отношению к нему с учетом сдвига фаз. 3) Для изображения сдвига фаз положительные углы откладывают против направления движения часовой стрелки (опережение по фазе), отрицательные углы — по направлению движения часовой стрелки (отставание по фазе). 4) Векторные диаграммы строят только для амплитудных и действующих значений величин.

а) б)

Рисунок 3.5 – Векторные диаграммы силы тока и напряжения при положительном (а) и отрицательном (б) сдвиге фаз

На рисунке 3.5 показаны векторные диаграммы силы тока и напряжения при положительном (рисунок 3.5, а) и отрицательном (рисунок 3.5, б) сдвиге фаз между ними. 3.3.3 Комплексное представление синусоидальных величин. Понятие о комплексной амплитуде и комплексе действующего значения величины Любое комплексное число A& можно изобразить на комплексной плоскости точкой с радиус-вектором A& (рисунок 3.6, а) и представить в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

55

( ) bjasinjcosAeAA mj

m +=+== ααα& , (3.14) где mA и α — модуль и аргумент комплексного числа, a и b — его действительная (вещественная) и мнимая части.

а) б)

Рисунок 3.6 – Изображение комплексного числа (а) и комплекса синусоидальной величины (б) радиус-вектором на комплексной плоскости

Ось абсцисс 1+ на комплексной плоскости называется действительной (вещественной) осью, ось ординат j+ — мнимой осью, число 1−=j — мнимой единицей. Модуль mA определяет длину радиус-вектора, изображающего комплексное число A& , аргумент α — угол его наклона к действительной оси 1+ , вещественная и мнимая части a и b — проекции на координатные оси 1+ и j+ (рисунок 3.6, а). Величины mA , α , a и b связаны соотношениями:

22 baAm += , ( )abarctg=α , αcosAa m= , αsinAb m= . (3.15) При выполнении некоторых алгебраических операций над комплексными числами оказываются полезными также формулы Эйлера: ααα sinjcose j +=+ , ααα sinjcose j −=− . (3.16) Если at ψωα += , то произвольную комплексную функцию ( )tA& можно записать на основании формул Эйлера в виде: ( ) ( ) ( ) ( )amam

tjm tsinjAtcosAeAtA a ψωψωψω +++== +& . (3.17)

Действительная часть выражения (3.17) представляет собой функцию, изменяющуюся по закону косинуса, а мнимая часть — функцию, изменяющуюся по закону синуса: ( ) ( )am tcosAtARe ψω +=& , ( ) ( )am tsinAtAIm ψω +=& , (3.18) где ( )tARe & и ( )tAIm & обозначают операции взятия действительной и мнимой части комплексного числа ( )tA& . Из (3.18) следует, что любую синусоидальную функцию ( )ta , определяемую формулой (3.13), можно записать так: ( ) ( ) ( ){ } ( )tAImeAImtsinAta atj

mam&==+= +ψωψω . (3.19)

Соотношение (3.19) называется комплексной или символической формой записи синусоидальной величины ( )ta , а функция ( ) ( )atj

meAtA ψω +=& (3.20)

56

— ее комплексным мгновенным значением. Графическое представление комплексной функции ( )tA& аналогично представлению синусоидальных величин вращающимися векторами (рисунок 3.6, б). Это означает, что синусоидальную величину ( )ta можно изобразить на комплексной плоскости как проекцию вращающегося вектора ( )tA& на ось j+ (рисунок 3.6, б). При неизменной частоте тока в цепи ( const=ω ) указанное изображение принято рассматривать для момента времени 0=t в виде комплексной амплитуды mA& или комплексного действующего значения (комплекса) A& : aj

mm eAA ψ=& , ajAeA ψ=& , (3.21)

где 2mAA = — действующее значение ( )ta . Различные формы комплексного представления синусоидального тока, напряжения и ЭДС показаны в таблице 3.2. Таблица 3.2 – Комплексное представление синусоидального тока, напряжения и ЭДС

Синусоидальная величина Сила тока Напряжение ЭДС

Функциональное представление

( ) ( )im tsinIti ψω += ( ) ( )um tsinUtu ψω += ( ) ( )em tsinEte ψω +=

Символическое (комплексное) представление

( ) ( ){ }itjmeIImti ψω += ( ) ( ){ }utj

meUImtu ψω += ( ) ( ){ }etjmeEImte ψω +=

Комплексное мгновенное значение

( ) ( )itjmm eItI ψω +=& ( ) ( )utj

mm eUtU ψω +=& ( ) ( )etjmm eEtE ψω +=&

Комплексная амплитуда

ijmm eII ψ=& uj

mm eUU ψ=& ejmm eEE ψ=&

Комплекс величины

ijIeI ψ=& ujUeU ψ=& ejEeE ψ=&

Примечание – Комплексная амплитуда mA& и комплекс A& содержат информацию только о двух параметрах синусоиды — амплитуде mA и начальной фазе aψ , не отражая ее третьего параметра — угловую частоту ω . Поэтому переход от комплексной формы представления величин к форме мгновенных значений осуществляется согласно формулам ( ) { }tj

meAImta ω&= , ( ) { }tjeAImta ω&2= . (3.22) 3.4 Комплексное сопротивление и комплексная проводимость Изображение синусоидальных токов и напряжений в виде комплексных амплитуд

mI& , mU& или комплексов I& , U& приводит к необходимости сопоставления указанных величин по амплитуде и фазе для одного и того же элемента цепи или ее части, рассматриваемой в целом как пассивный двухполюсник. Это сопоставление проводят также с помощью комплексных чисел. Отношение комплексного напряжения на зажимах двухполюсника к комплексному току в нем называется комплексным сопротивлением:

57

( ) ϕψψψ

ψjj

j

j

ZeeI

UIe

UeI

UZ iu

i

u

==== −

&

&, (3.23)

где Z — модуль, а ϕ — аргумент комплексного сопротивления. Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению действующего напряжения к действующему значению тока, а аргумент комплексного сопротивления — разности начальных фаз напряжения и тока:

I

UZ = , iu ψψϕ −= . (3.24)

Величина, обратная комплексному сопротивлению, т.е. функция

( ) ϕψψψ

ψjj

j

j

YeeUI

UeIe

UI

ZY iu

u

i−−− =====

&

&1, (3.25)

равная отношению комплексного тока в двухполюснике к комплексному напряжению на нем, называется комплексной проводимостью. В выражении (3.25) Y — модуль, а ( )ϕ− — аргумент комплексной проводимости. Модуль комплексной проводимости, называемый полной проводимостью, равен отношению действующего значения тока к действующему напряжению, а аргумент комплексной проводимости — разности начальных фаз тока и напряжения:

UIY = , ui ψψϕ −=− . (3.26)

Примечание – Комплексное сопротивление и комплексную проводимость можно также определить через комплексную амплитуду тока и напряжения:

m

m

IUZ&

&= ,

m

m

UIY&

&= . (3.27)

3.5 Пассивные элементы в цепи синусоидального тока. Понятие об активном, индуктивном и ёмкостном сопротивлении двухполюсника Для учета процессов преобразования электрической энергии в схемы замещения цепей синусоидального тока вводят пассивные двухполюсные элементы: резистивный, индуктивный и ёмкостный. Основные сведения об этих элементах приведены в таблице 3.3. Таблица 3.3 – Пассивные двухполюсные элементы

Резистивный Индуктивный Ёмкостный Пассивный двухполюсный элемент и его условное

обозначение R – L – C – Основной параметр

сопротивление индуктивность ёмкость R – LX L ω= – ( )CX C ω1= – Сопротивление переменному

току активное индуктивное ёмкостное Rg 1= – LL Xb 1= – CC Xb 1= – Проводимость при

переменном токе активная индуктивная ёмкостная Комплексное сопротивление RZ R = LL jXZ = CC jXZ −=

58

Продолжение таблицы 3.3

Резистивный Индуктивный Ёмкостный Пассивный двухполюсный элемент и его условное

обозначение Комплексная проводимость gY R = LL jbY −= CC jbY =

для мгновенных значений R

ui = dtdiLu =

dtduCi =

RUI m

m = , L

mm X

UI = , C

mm X

UI = , для амплитудных значений

mm gUI = mLm UbI = mCm UbI =

RUI = ,

LXUI = ,

CXUI = , для

действующих значений gUI = UbI L= UbI C=

RZUI&

& = , LZ

UI&

& = , CZ

UI&

& = ,

Соотношение между током

и напряжением (закон Ома)

для комплексных значений UYI R

&& = UYI L&& = UYI C

&& =

Ток и напряжение в элементе ( )im tsinIi ψω += , ( )um tsinUu ψω += Соотношение между

начальной фазой тока и напряжения

ui ψψ = 2πψψ −= ui

2πψψ += ui

3.5.1 Резистивный элемент в цепи переменного тока. Понятие об активном сопротивлении резистора Ток и напряжение в резистивном элементе с сопротивлением R (рисунок 3.7, а) связаны законом Ома вида

Rui = . (3.28)

а) б) в) Рисунок 3.7 – Резистивный элемент (а), временная (б) и векторная (в) диаграммы

тока и напряжения в сопротивлении

59

При синусоидальном напряжении ( )um tsinUu ψω += сила тока согласно (3.28) равна:

( ) ( )imum tsinItsin

RU

Rui ψωψω +=+== . (3.29)

Из (3.29) следует, что амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

R

UI mm = , (3.30)

а их начальные фазы — соотношением ui ψψ = , (3.31) т.е. в цепи с резистивным элементом угол сдвига фаз 0=−= iu ψψϕ , следовательно, ток и напряжение в идеальном резисторе изменяются синфазно. Временная диаграмма токов и напряжений в резисторе показана на рисунке 3.7, б; соответствующая векторная диаграмма — на рисунке 3.7, в. Сопротивление R резистивного элемента при переменном токе несколько больше его сопротивления при постоянном токе, определяемого по формуле

SlR ρ= ,

где ρ — удельное сопротивление проводника, l — его длина, S — площадь поперечного сечения. Это обусловлено так называемым поверхностным эффектом, при котором плотность переменного тока у поверхности проводника всегда больше, чем во внутренних участках его сечения, что эквивалентно уменьшению площади его поперечного сечения. Поэтому сопротивление резистивного элемента при переменном токе называют активным сопротивлением, а при постоянном токе — электрическим сопротивлением. Величина, обратная активному сопротивлению, т.е.

R

g 1= , (3.32)

называется активной проводимостью. Выражение (3.30) определяет закон Ома для резистивного элемента относительно амплитудных значений. Разделив это выражение на 2 , получим закон Ома относительно действующих значений тока и напряжения:

RUI = , gUI = . (3.33)

Используя комплексное представление токов и напряжений, можно получить закон Ома (3.33) в комплексной форме:

RZ

UI&

& = , UYI R&& = , (3.34)

где коэффициенты RZ и RY представляют соответственно комплексное сопротивление и комплексную проводимость резистора. Так как комплекс тока и комплекс напряжения в цепи с сопротивлением определяют равенства

ψψ jj IeIeI i ==& , ψψ jj UeUeU u ==& , то коэффициенты RZ и RY согласно (3.23) и (3.25) имеют следующий вид:

60

ReI

UIe

UeIe

UeI

UZ j

j

j

j

R i

u

===== 0ψ

ψ

ψ

ψ

&

&, g

RZY

RR ===

11,

т.е. комплексное сопротивление и комплексная проводимость резистора выражаются вещественными числами: RZ R = , gY R = . (3.35) 3.5.2 Индуктивный элемент в цепи переменного тока. Понятие об индуктивном сопротивлении катушки Ток и напряжение в индуктивном элементе с индуктивностью L (рисунок 3.8, а) связаны законом Ома вида

∫= udtL

i 1. (3.36)

а) б) в) Рисунок 3.8 – Индуктивный элемент (а), временная (б) и векторная (в) диаграммы

тока и напряжения в индуктивности

При синусоидальном напряжении ( )um tsinUu ψω += сила тока согласно (3.36) равна:

( ) ( ) =+−=+== ∫∫ um

um tcosL

UdttsinUL

udtL

i ψωω

ψω11

( )imum tsinItsinL

U ψωπψωω

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2. (3.37)

Из (3.37) следует, что амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

L

mm X

UI = , (3.38)

а их начальные фазы — соотношением

2πψψ −= ui , (3.39)

т.е. в цепи с индуктивным элементом угол сдвига фаз 2πψψϕ =−= iu , следовательно, ток в идеальной индуктивной катушке отстает по фазе от приложенного к ней напряжения на 2π . Временная диаграмма токов и напряжений в катушке показана на рисунке 3.8, б; соответствующая векторная диаграмма — на рисунке 3.8, в. Сопротивление

61

LX L ω= (3.40) индуктивного элемента при переменном токе называется реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением. Физический смысл индуктивного сопротивления заключается в препятствии прохождению тока через индуктивную катушку из-за возникновения в ней ЭДС самоиндукции, направленной навстречу приложенному к катушке напряжению. Величина, обратная индуктивному сопротивлению, т.е.

L

L Xb 1

= , (3.41)

называется индуктивной проводимостью. Выражение (3.38) определяет закон Ома для индуктивного элемента относительно амплитудных значений. Разделив это выражение на 2 , получим закон Ома относительно действующих значений тока и напряжения:

LX

UI = , UbI L= . (3.42)

Используя комплексное представление токов и напряжений, можно получить закон Ома (3.42) в комплексной форме:

LZ

UI&

& = , UYI L&& = , (3.43)

где коэффициенты LZ и LY представляют соответственно комплексное сопротивление и комплексную проводимость индуктивной катушки. Так как комплекс тока и комплекс напряжения в цепи с индуктивностью определяют равенства

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== 2πψ

ψ ui

jj IeIeI& , ujUeU ψ=& ,

то коэффициенты LZ и LY согласно (3.23) и (3.25) имеют следующий вид:

L

j

j

j

j

j

L jXeI

U

Ie

UeIe

UeI

UZu

u

i

u

=====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

2

π

πψ

ψ

ψ

ψ

&

&, L

LLL jb

jXZY −===

11,

т.е. комплексное сопротивление и комплексная проводимость катушки выражаются мнимыми числами: LL jXZ = , LL jbY −= . (3.44) 3.5.3 Ёмкостный элемент в цепи переменного тока. Понятие о ёмкостном сопротивлении конденсатора Ток и напряжение в ёмкостном элементе с ёмкостью C (рисунок 3.9, а) связаны законом Ома вида

dtduCi = . (3.45)

При синусоидальном напряжении ( )um tsinUu ψω += сила тока согласно (3.45) равна:

( )( ) ( ) =+=+== umum tcosCUtsinUdtdC

dtduCi ψωωψω

62

( )imum tsinItsinCU ψωπψωω +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2. (3.46)

а) б) в) Рисунок 3.9 – Ёмкостный элемент (а), временная (б) и векторная (в) диаграммы

тока и напряжения в ёмкости

Из (3.46) следует, что амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

C

mm X

UI = , (3.47)

а их начальные фазы — соотношением

2πψψ += ui , (3.48)

т.е. в цепи с ёмкостным элементом угол сдвига фаз 2πψψϕ −=−= iu , следовательно, ток в идеальном конденсаторе опережает по фазе приложенное к нему напряжение на

2π . Временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе показана на рисунке 3.9, б; соответствующая векторная диаграмма — на рисунке 3.9, в. Сопротивление

C

X C ω1

= (3.49)

ёмкостного элемента при переменном токе называется реактивным сопротивлением ёмкости или ёмкостным сопротивлением. Физический смысл ёмкостного сопротивления заключается в препятствии прохождению тока через конденсатор из-за наличия заряда на его обкладках. Величина, обратная ёмкостному сопротивлению, т.е.

C

C Xb 1

= , (3.50)

называется ёмкостной проводимостью. Выражение (3.47) определяет закон Ома для ёмкостного элемента относительно амплитудных значений. Разделив это выражение на 2 , получим закон Ома относительно действующих значений тока и напряжения:

CX

UI = , UbI C= . (3.51)

Используя комплексное представление токов и напряжений, можно получить закон Ома (3.51) в комплексной форме:

63

CZ

UI&

& = , UYI C&& = , (3.52)

где коэффициенты CZ и CY представляют соответственно комплексное сопротивление и комплексную проводимость конденсатора. Так как комплекс тока и комплекс напряжения в цепи с ёмкостью определяют равенства

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

== 2πψ

ψ ui

jj IeIeI& , ujUeU ψ=& ,

то коэффициенты CZ и CY согласно (3.23) и (3.25) имеют следующий вид:

C

j

j

j

j

j

C jXeI

U

Ie

UeIe

UeI

UZu

u

i

u

−=====−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

2

π

πψ

ψ

ψ

ψ

&

&, C

CCC jb

jXZY =−==

11,

т.е. комплексное сопротивление и комплексная проводимость конденсатора выражаются мнимыми числами: CC jXZ −= , CC jbY = . (3.53) 3.6 Топографическая диаграмма Потенциальной (топографической) диаграммой называется векторная диаграмма, показывающая распределение комплексных потенциалов точек цепи на комплексной плоскости. При построении топографической диаграммы определяют комплексные значения потенциалов всех точек цепи относительно одной точки, потенциал которой условно принимают равным нулю, и осуществляют перенос найденных значений потенциалов на комплексную плоскость. Полагая комплексный потенциал точки « a » равным нулю ( 0=aϕ& ), определим потенциалы остальных точек цепи, изображенной на рисунке 3.10, а:

22IjX Lab&&& −=ϕϕ , 2IRbc

&&& −=ϕϕ , 111 EIjX aLcd&&&&& +=+= ϕϕϕ ,

( ) 23 EIjX aCce&&&&& +=−−= ϕϕϕ .

а) б) Рисунок 3.10 – Схема разветвленной электрической цепи (а) и соответствующая ей

топографическая диаграмма (б)

Пример топографической диаграммы, совмещенной с векторной диаграммой

64

токов и напряжений, показан на рисунке 3.10, б. 3.7 Закон Ома в комплексной форме. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей Если к цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L и C (рисунок 3.11), приложено синусоидальное напряжение

( )um tsinUu ψω += , то согласно результатам, представленным в разделе 3.5, ток в ней также будет синусоидальным:

( )im tsinIi ψω += .

Рисунок 3.11 – Одноконтурная электрическая цепь с последовательным соединением

сопротивления, индуктивности и ёмкости

На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений в рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:

uuuu CLR =++ или

( ) uidtC

udtdiLRi

t

C =+++ ∫0

10 , (3.54)

где ( )0Cu — начальное напряжение на конденсаторе. Поскольку напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с стоком, на индуктивности опережает, а на ёмкости отстает от тока по фазе на 2π , то соотношение (3.54) можно преобразовать к виду

( ) +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

21

2πψω

ωπψωωψω imimim tsinI

CtsinLItsinRI

( ) ( )umCm tsinUuIC

ψωω

+=++ 01. (3.55)

В уравнении (3.55) все слагаемые, кроме двух последних в его левой части, не содержат постоянных составляющих, следовательно,

( ) 001=+ Cm uI

Cω.

Уравнение (3.55) должно быть справедливо для любого момента времени t . Рассмотрим далее момент времени t , для которого 0=tω . Выражение (3.55) тогда преобразуется в равенство

65

umimimim sinUsinIC

sinLIsinRI ψπψω

πψωψ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

21

2. (3.56)

Используя комплексное представление синусоидальных величин (3.21), уравнение (3.56) представим относительно комплексных амплитуд тока и напряжения:

ui jm

jjjm eUe

CLeReI ψ

ππψ

ωω =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−

22 1,

откуда, разделив полученное соотношение на 2 , перейдем к аналогичному равенству для комплексов величин: ( ){ } UXXjRI CL

&& =−+ . (3.57) Из (3.57) окончательно получаем:

ZUI&

& = , YUI && = . (3.58)

Соотношения (3.58) являются законами Ома в комплексной форме, а величины Z и Y в них определяют соответственно комплексное сопротивление и комплексную проводимость ветви или цепи. Учитывая определение (3.23) для комплексного сопротивления Z согласно (3.57) можем записать:

( ) jXRXXjRZeI

UZ CLj +=−+=== ϕ

&

&. (3.59)

Действительная часть R комплексного сопротивления называется активной составляющей сопротивления (активным сопротивлением), коэффициент X в мнимой части — реактивной составляющей сопротивления (реактивным сопротивлением): CL XXX −= . (3.60) Полное сопротивление Z , равное модулю комплексного сопротивления (3.59), определяется выражением ( ) 2222 XRXXRZ CL +=−+= . (3.61) Для величин R , X и Z справедливы следующие соотношения:

ϕcosZR = , ϕsinZX = , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RXXarctg

RXarctg CLϕ , (3.62)

где ϕ — угол сдвига фаз между напряжением и током. Формулы (3.61) и (3.62) в теоретической электротехнике интерпретируют символически, как геометрические соотношения между сторонами треугольника сопротивлений — прямоугольного треугольника с катетами R , X и гипотенузой Z (рисунок 3.12, а). В рамках указанной интерпретации формула (3.61), очевидно, есть теорема Пифагора для треугольника сопротивлений, а формулы (3.62) — соотношения между его катетами и гипотенузой. Учитывая (3.25) и (3.59), можно получить выражение для комплексной проводимости ветви:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=

+−

=+

== 2222222

11ZX

ZXj

ZR

ZXj

ZR

XRjXR

jXRZY CL ,

откуда, полагая

66

2ZRg = , 2Z

Xb LL = , 2Z

Xb CC = , (3.63)

перейдем к равенству

( ) jbgbbjgYeZ

Y CLj −=−−=== − ϕ1

. (3.64)

Действительная часть g комплексной проводимости называется активной составляющей проводимости (активной проводимостью), коэффициент b в мнимой части — реактивной составляющей проводимости (реактивной проводимостью): CL bbb −= . (3.65) Полная проводимость Y , равная модулю комплексной проводимости (3.64), определяется выражением ( ) 2222 bgbbgY CL +=−+= . (3.66) Для величин g , b и Y справедливы следующие соотношения:

ϕcosYg = , ϕsinYb = , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gbbarctg

gbarctg CLϕ . (3.67)

Формулам (3.66), (3.67) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами g , b и гипотенузой Y (рисунок 3.12, б). Этот треугольник называется треугольником проводимостей.

а) б)

Рисунок 3.12 – Треугольник сопротивлений (а) и треугольник проводимостей (б)

Примечания 1 Индуктивное и ёмкостное сопротивления LX и CX являются арифметическими величинами, зависящими только от параметров элементов и угловой частоты, реактивное же сопротивление X — величина алгебраическая и его знак зависит от соотношения между LX и CX . Аналогичным свойством обладают также индуктивная и ёмкостная проводимости Lb и Cb в отношении реактивной проводимости b . 2 Соотношения (3.63) устанавливают связь между активными, индуктивными и ёмкостными сопротивлениями, т.е. величинами R , LX и CX , и соответствующими им проводимостями g , Lb и Cb . Как следует из этих формул, в цепи синусоидального тока активную, индуктивную и ёмкостную проводимости в общем случае нельзя рассматривать как величины обратные соответствующим сопротивлениям. В частном случае ветви, содержащей только однотипные пассивные элементы, как следует из (3.32), (3.41) и (3.50), величины g , Lb и Cb могут быть определены как обратные к величинам R , LX и CX соответственно.

67

3 Из формул (3.58), (3.61) и (3.66) следует, что действующее значение тока в цепи можно рассчитать как

( )22

CL XXRU

ZUI

−+== , ( )22

CL bbgUUYI −+== . (3.68)

Соотношения (3.68) называются законами Ома для действующих значений силы тока и напряжения. 3.8 Комплексная форма законов Кирхгофа Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, определяют законы Кирхгофа. 3.8.1 Первый закон Кирхгофа в комплексной форме По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:

∑=

=p

k

ki1

0 , (3.69)

где p — число ветвей, сходящихся в узле. Используя символическое представление

каждого из токов ki , определяемое выражением { }tjkk eIImi ω&2= , формулу (3.69)

запишем так:

∑=

=p

k

kI1

0& . (3.70)

Соотношение (3.70) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в любом узле цепи синусоидального тока равна нулю. 3.8.2 Второй закон Кирхгофа в комплексной форме По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

∑∑==

=m

k

k

n

k

k eu11

, (3.71)

где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Используя символические представления напряжения ku и ЭДС ke , определяемые

выражениями { }tjkk eUImu ω&2= и { }tj

kk eEIme ω&2= , формулу (3.71) запишем так:

∑∑==

=m

k

k

n

k

k EU11

&& , ∑∑==

=m

k

k

n

k

kk EZI11

&& , (3.72)

где kZ — комплексное сопротивление k - й ветви контура. Соотношение (3.72) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в комплексной форме.

68

Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме комплексных ЭДС, действующих в контуре. 3.9 Ток и напряжение при последовательном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник напряжений Для цепи синусоидального тока с последовательным соединением сопротивления R , индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может быть получено на основании 2-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме: CLR UUUU &&&& ++= , (3.73) где RU& , LU& и CU& — комплексные напряжения на элементах R , L и C , U& — комплексное напряжение источника (рисунок 3.13, а).

а) б)

Рисунок 3.13 – Схема с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник напряжений (б)

Обозначим Rа UU =& , CLр UUU &&& += и перепишем уравнение (3.73) в форме

ра UUU &&& += . (3.74)

Составляющую аU& , совпадающую по фазе с током I& , называют активной составляющей напряжения или активным напряжением, а составляющую рU& , сдвинутую относительно тока на угол 2π± , — реактивной составляющей напряжения или реактивным напряжением. Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами

ijIeI ψ=& , ujUeU ψ=& , то напряжения RU& , LU& и CU& в формуле (3.73) можно представить следующим образом:

ii jR

jR eURIeIRU ψψ === && , ii j

Lj

LLL ejUIejXIjXU ψψ === && , ii j

Cj

CCC ejUIejXIjXU ψψ −=−=−= && . Активное и реактивное напряжение, т.е. величины аU& и рU& , тогда, равны:

ijаRа eUUU ψ== && , ( ) ii j

рj

CLCLр ejUeUUjUUU ψψ =−=+= &&& , (3.75) откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного напряжений:

69

IRUа = , ( ) IXXXIUUU CLCLр =−=−= . (3.76) Подставляя формулы (3.75) в уравнение (3.74) и учитывая комплексное представление напряжения U& , получим

( ) iu jра

j ejUUUe ψψ += или ра

j jUUUe +=ϕ , (3.77) где iu ψψϕ −= — угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул Эйлера (3.16) выражение (3.77) представимо в виде ϕϕϕ sinjUcosUUe j += . (3.78) Из сравнения правых частей формул (3.77) и (3.78) следует:

ϕcosUU а = , ϕsinUU р = , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

а

CL

а

р

UUUarctg

UU

arctgϕ . (3.79)

Полное напряжение U , равное модулю комплексного напряжения (3.77), определяется выражением ( ) 2222

раCLR UUUUUU +=−+= . (3.80) Формулам (3.79), (3.80) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами аU , рU и гипотенузой U (рисунок 3.13, б). Этот треугольник называется треугольником напряжений. Построим для уравнения (3.73) векторную диаграмму. В зависимости от соотношения между величинами LU& и CU& возможны три варианта векторной диаграммы и, следовательно, три режима работы данной электрической цепи. Основные сведения об этих режимах приведены в таблице 3.4, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.14. Таблица 3.4 – Режимы работы цепи с последовательным соединением сопротивления,

индуктивности и ёмкости

Режим работы электрической цепи

Активно-индуктивный

Активно- ёмкостный

Активный (резонансный)

Соотношение между LU и CU CL UU > CL UU < CL UU =

Соотношение между LX и CX CL XX > CL XX < CL XX =

Сила тока и напряжение

( )im tsinIi ψω += , ( )um tsinUu ψω +=

Соотношение между начальными фазами,

сдвиг фаз

ui ψψ < , 0>−= iu ψψϕ

ui ψψ > , 0<−= iu ψψϕ

ui ψψ = , 0=−= iu ψψϕ

Из таблицы 3.4 следует, что при осуществлении условия CL XX = ( CL UU = ) в цепи с последовательным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током ( 0=−= iu ψψϕ ), так что влияния индуктивности и ёмкости оказываются взаимно скомпенсированы и цепь в отношении

70

протекающего через нее тока ведет себя как чисто активная нагрузка. Данный режим работы последовательной цепи называется резонансом напряжений.

а) б) в)

Рисунок 3.14 – Векторные диаграммы для активно-индуктивного (а), активно-ёмкостного (б) и резонансного (в) режимов работы последовательной цепи

3.10 Ток и напряжение при параллельном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник токов Для цепи синусоидального ток с параллельным соединением сопротивления R , индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может быть получено на основании 1-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме: CLR IIII &&&& ++= , (3.81) где RI& , LI& и CI& — комплексы токов в элементах R , L и C , I& — комплексный ток в неразветвленной части цепи (рисунок 3.15, а).

а) б)

Рисунок 3.15 – Схема с параллельным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник токов (б)

Обозначим Rа II && = , CLр III &&& += и перепишем уравнение (3.81) в форме

ра III &&& += . (3.82)

Составляющую аI& , совпадающую по фазе с напряжением U& , называют активной составляющей тока или активным током, а составляющую рI& , сдвинутую относительно напряжения на угол 2π± , — реактивной составляющей тока или реактивным током.

71

Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами

ijIeI ψ=& , ujUeU ψ=& , то токи RI& , LI& и CI& в формуле (3.81) можно представить следующим образом:

uu jR

jR eIgUeUgI ψψ === && , uu j

Lj

LLL ejIUejbUjbI ψψ −=−=−= && , uu j

Cj

CCC ejIUejbUjbI ψψ === && . Активный и реактивный ток, т.е. величины аI& и рI& , тогда, равны:

ujаRа eIII ψ== && , ( ) uu j

рj

CLCLр ejIeIIjIII ψψ −=−−=+= &&& , (3.83) откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного тока: UgIа = , ( ) UbbbUIII CLCLр =−=−= . (3.84) Подставляя формулы (3.83) в уравнение (3.82) и учитывая комплексное представление тока I& , получим

( ) ui jра

j ejIIIe ψψ −= или ра

j jIIIe −=− ϕ , (3.85) где iu ψψϕ −= — угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул Эйлера (3.16) выражение (3.85) представимо в виде ϕϕϕ sinjIcosIIe j −=− . (3.86) Из сравнения правых частей формул (3.85) и (3.86) следует:

ϕcosIIа = , ϕsinII р = , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

а

CL

а

р

IIIarctg

II

arctgϕ . (3.87)

Полный ток I , равный модулю комплексного тока (3.85), определяется выражением: ( ) 2222

раCLR IIIIII +=−+= . (3.88) Формулам (3.87), (3.88) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами аI , рI и гипотенузой I (рисунок 3.15, б). Этот треугольник называется треугольником токов. Построим для уравнения (3.81) векторную диаграмму. Как и в случае последовательной цепи, здесь возможны три варианта векторных диаграмм и, следовательно, три режима работы электрической цепи. Основные сведения об этих режимах представлены в таблице 3.5, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.16.

Таблица 3.5 – Режимы работы цепи с параллельным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости

Режим работы электрической цепи

Активно-индуктивный

Активно- ёмкостный

Активный (резонансный)

Соотношение между LI и CI CL II > CL II < CL II =

Соотношение между Lb и Cb CL bb > CL bb < CL bb =

72

Продолжение таблицы 3.5

Режим работы электрической цепи

Активно-индуктивный

Активно- ёмкостный

Активный (резонансный)

Сила тока и напряжение

( )im tsinIi ψω += , ( )um tsinUu ψω +=

Соотношение между начальными фазами,

сдвиг фаз

ui ψψ < , 0>−= iu ψψϕ

ui ψψ > , 0<−= iu ψψϕ

ui ψψ = , 0=−= iu ψψϕ

Из таблицы 3.5 следует, что при осуществлении условия CL bb = ( CL II = ) в цепи с параллельным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током ( 0=−= iu ψψϕ ). Данный режим работы параллельной цепи называется резонансом токов.

а) б) в)

Рисунок 3.16 – Векторные диаграммы для активно-индуктивного (а), активно-ёмкостного (б) и резонансного (в) режимов работы параллельной цепи

3.11 Мощность в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей Энергетические процессы в цепях переменного тока характеризуются мгновенной мощностью, равной произведению мгновенных значений силы тока и напряжения: iup = . (3.89) Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол ϕ . Не нарушая общности, примем начальную фазу силы тока 0=iψ , тогда из (3.12) следует, что начальная фаза напряжения ϕψ =u . При таком условии мгновенные значения напряжения и тока равны: ( )ϕω += tsinUu m , tsinIi m ω= . (3.90) Из (3.89) и (3.90) после несложных преобразований находим ( )ϕωϕ +−= tcosUIcosUIp 2 . (3.91) Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в цепи синусоидального тока имеет постоянную составляющую и переменную, изменяющуюся во времени с удвоенной частотой. 3.11.1 Активная мощность Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью:

73

( )∫=T

dttpT

P0

1. (3.92)

Единица измерения активной мощности: [ P ] 1= Вт (ватт). Для цепи синусоидального тока после подстановки в формулу (3.92) выражения для мгновенной мощности (3.91) и интегрирования получим: ϕcosUIP = . (3.93) Учитывая соотношения (3.76), (3.79) (3.84) и (3.87), на основании (3.93) можно доказать, что активная мощность может быть рассчитана также по одной из следующих формул: UIP а= , аIUP = , RIP 2= , gUP 2= . (3.94) Примечание – Физический смысл активной мощности заключается в том, что она характеризует ту энергию, которая передается от источника к приемнику и безвозвратно преобразуется в другие формы энергии (например, в тепловую). 3.11.2 Энергетические процессы в резистивном, индуктивном и ёмкостном элементах. Понятие о реактивной мощности Основные закономерности процессов преобразования энергии в идеализированных пассивных элементах цепи (резистивном, индуктивном и ёмкостном) представлены в таблице 3.6 и на временных диаграммах, изображенных на рисунках 3.17 –3.19. Таблица 3.6 – Основные закономерности энергетических процессов в резистивном,

индуктивном и ёмкостном элементах

Резистивный Индуктивный Ёмкостный Пассивный двухполюсный элемент и его условное обозначение

Сила тока tsinIi m ω=

Напряжение tsinUu m ω= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2πωtsinUu m ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2πωtsinUu m

Мгновенная мощность ( )tcosUIpR ω21−= , tsinUIpL ω2= , tsinUIpC ω2−= 0>i , mIi →

0>u , mUu → 0>u , 0→u 0<u , 0→u 4

0 Tt << 0>Rp 0>Lp 0<Cp

0>i , 0→i 0>u , 0→u 0<u , mUu −→ 0>u , mUu →

24TtT

<< 0>Rp 0<Lp 0>Cp

0<i , mIi −→ 0<u , mUu −→ 0<u , 0→u 0>u , 0→u

43

2TtT

<< 0>Rp 0>Lp 0<Cp

0<i , 0→i

Характер изменения силы тока, напряжения

и мгновенной мощности за период T

переменного тока

TtT<<

43

0<u , 0→u 0>u , mUu → 0<u , mUu −→

74

Продолжение таблицы 3.6

Резистивный Индуктивный Ёмкостный Пассивный двухполюсный элемент и его условное обозначение

0>Rp 0<Lp 0>Cp Активная мощность UIP = 0=P

Мгновенная мощность в резистивном элементе (рисунок 3.17) в каждый момент времени положительная, т.е. в течение любого интервала времени в резистивный элемент поступает энергия и происходит необратимое преобразование ее в другие виды энергии. Активная мощность для резистивного элемента согласно формуле (3.93)

UIP = , так как 0=ϕ и, следовательно, 1=ϕcos .

Рисунок 3.17 – Временные диаграммы силы тока, напряжения и мгновенной мощности

в резистивном элементе

Мгновенная мощность в индуктивном элементе (рисунок 3.18) изменяется по синусоидальному закону с частотой вдвое большей частоты тока.

Рисунок 3.18 – Временные диаграммы силы тока, напряжения и мгновенной мощности

в индуктивном элементе

Мгновенная мощность положительна при нарастании по абсолютному значению тока (1-я и 3-я четверти периода); в это время энергия накапливается в магнитном поле индуктивности. При уменьшении по абсолютному значению силы тока в индуктивном элементе (2-я и 4-я четверти периода) мгновенная мощность отрицательна. Индуктивный элемент не получает энергию от источника, а наоборот, энергия, запасенная в его магнитном поле, возвращается источнику. Таким образом, за период синусоидального тока, индуктивный элемент и источник дважды обмениваются

75

энергией. Активная мощность для индуктивного элемента согласно формуле (3.93) равна нулю ( 0=P ), так как 2πϕ = и, следовательно, 0=ϕcos . Это означает, что синусоидальный ток в индуктивном элементе не совершает работы. Поэтому в отличие от резистивного элемента энергетический режим индуктивного элемента принято определять не активной, а реактивной индуктивной мощностью, равной максимальному значению мгновенной мощности:

LLL UIQ = , LLL XIQ 2= , L

LL X

UQ2

= , LLL bUQ 2= . (3.95)

Мгновенная мощность в ёмкостном элементе (рисунок 3.19), так же как и в индуктивном, — синусоидальная величина, частота которой вдвое больше частоты тока.

Рисунок 3.19 – Временные диаграммы силы тока, напряжения и мгновенной мощности

в ёмкостном элементе

Мгновенная мощность положительна в те интервалы времени, в течение которых напряжение возрастает по абсолютному значению (2-я и 4-я четверти периода). В это время происходит зарядка ёмкостного элемента и в его электрическом поле накапливается энергия. При уменьшении по абсолютному значению напряжения на ёмкостном элементе (1-я и 3-я четверти периода) мгновенная мощность отрицательна. Ёмкостный элемент разряжается и энергия, запасенная в его электрическом поле, возвращается источнику. Таким образом, за период синусоидального тока, ёмкостный элемент и источник дважды обмениваются энергией. Активная мощность для ёмкостного элемента согласно формуле (3.93) равна нулю ( 0=P ), так как 2πϕ −= и, следовательно, 0=ϕcos . Это означает, что в ёмкостном элементе, так же как и в индуктивном, синусоидальный ток не совершает работы. Энергетический режим ёмкостного элемента принято определять реактивной ёмкостной мощностью, равной максимальному значению мгновенной мощности:

CCC UIQ = , CCC XIQ 2= , C

CC X

UQ2

= , CCC bUQ 2= . (3.96)

Энергетический режим электрической цепи, содержащей произвольную совокупность резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов, принято характеризовать активной мощностью P , определяемой по формуле (3.93), и реактивной мощностью Q , равной произведению действующих значений напряжения, силы тока и синуса угла сдвига фаз между ними: ϕsinUIQ = . (3.97) Единица измерения реактивной мощности: [Q ] 1= ВАр (вольт-ампер реактивный).

76

Учитывая соотношения (3.76), (3.79) (3.84) и (3.87), на основании (3.97) можно доказать, что реактивная мощность может быть рассчитана также по одной из следующих формул: UIQ р= , рIUQ = , XIQ 2= , bUQ 2= , CL QQQ −= . (3.98) 3.11.3 Полная мощность и треугольник мощностей. Комплексная форма представления мощности Произведение действующих значений тока и напряжения, т.е. величина IUS = , (3.99) называется полной мощностью. Единица измерения полной мощности: [ S ] 1= ВА (вольт-ампер). Полная мощность характеризует предельную активную мощность, которую источник может отдавать потребителю, если последний будет работать при 1=ϕcos ( 0=ϕ ), т.е. будет представлять чисто активную нагрузку. Воспользовавшись законами Ома (3.68), соотношение (3.99) преобразуем к виду

ZIS 2= , Z

US2

= , YIS

2

= , YUS 2= . (3.100)

Из простого сравнения выражений (3.93), (3.97) для активной и реактивной мощностей с выражением (3.99) для полной мощности следует, что между всеми этими типами мощностей P , Q и S существует связь:

ϕcosSP = , ϕsinSQ = , ( )2222CL QQPQPS −+=+= . (3.101)

Соотношения (3.101) можно интерпретировать символически как геометрические соотношения между сторонами треугольника мощностей — прямоугольного треугольника с катетами P , Q и гипотенузой S (рисунок 3.20).

Рисунок 3.20 – Треугольник мощностей

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями тока и напряжения. Пусть величины ijIeI ψ=& и

ujUeU ψ=& задают комплексной ток и комплексное напряжение, а величина ij* IeI ψ−=& — комплекс, сопряженный с током I& (комплексно-сопряженный ток). Комплексное число S~ , равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока, называется комплексной мощностью: *IUS~ &&= . (3.102) Из определения (3.102) следует ( )( ) ( ) ϕψψψψ jjjj* UIeUIeIeUeIUS~ iuiu ==== −−&& , (3.103) где iu ψψϕ −= — угол сдвига фаз между напряжением и током.

77

Используя формулу Эйлера (3.16), соотношение (3.103) можно представить в эквивалентной форме: ( )CL

j QQjPjQPsinjUIcosUIUIeS~ −+=+=+== ϕϕϕ . (3.104) Из (3.104) следует, что вещественная часть комплексной мощности представляет активную мощность; мнимая часть — реактивную мощность; модуль комплексной мощности — полную мощность:

S~ReP = , S~ImQ = , S~S = .

Примечание – Особое обозначение комплексной мощности ( S~ ) выбрано для того, чтобы подчеркнуть условный характер этой величины, так как от комплексной мощности нельзя перейти к ее мгновенному значению таким же способом, как, например, это делалось для комплексов тока или напряжения. Комплексная мощность вводится для упрощения решения электротехнических задач. 3.11.4 Уравнение баланса мощностей в цепи синусоидального тока В цепи переменного синусоидального тока выполняется условие баланса мощностей, согласно которому в любой момент времени алгебраическая сумма мгновенных мощностей всех источников энергии равна алгебраической сумме мгновенных мощностей всех приемников энергии. То же самое можно сказать и относительно средних значений мощностей за период. Используя комплексное представление (3.100) мощности, уравнение баланса мощностей можно записать так:

( ) ( )∑∑==

=n

kkпр

m

kkист S~S~

11

, (3.105)

где m и n — количества источников и приемников энергии, действующих в цепи, истS~ и прS~ — их соответствующие (комплексные) мощности. Уравнение баланса мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Примечание – Выбор знаков у мощностей источников энергии, т.е. у величин

истS~ , в уравнении (3.105) производится по тому же правилу, что и в уравнении баланса мощностей (2.31) для цепей постоянного тока (см. в разделе 2.5 текст примечаний 1, 2). 3.11.5 Коэффициент мощности cos ϕ. Технико-экономическое значение и способы увеличения коэффициента мощности Коэффициентом мощности или «косинусом фи» называется отношение активной мощности к полной. Из треугольника мощностей (рисунок 3.20) следует, что коэффициент мощности численно равен косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током:

IUP

SPcos ==ϕ . (3.106)

Коэффициент мощности является важнейшим энергетическим фактором.

Технико-экономическое значение коэффициента мощности 1) Генераторы переменного тока и трансформаторы проектируются на определенное номинальное напряжение номU , от величины которого зависит степень

78

изоляции обмоток, и на определенный номинальный ток номI , задающий сечение проводов, т.е. эти устройства проектируются на номинальную полную мощность

номномном IUS = . При низком ϕcos активная мощность номном ScosSP <<= ϕ , что свидетельствует о неполном использовании генератора, трансформаторов, линий электропередач. Экономически выгодно такое использование оборудования, при котором генератор отдает в сеть активную мощность P , по величине приближающуюся к номS : номSP ≈ . Это показывает, что значение коэффициента мощности должно быть близким к единице: 1≈ϕcos . 2) При данной активной мощности P ток ( )ϕcosUPI = будет тем меньше, чем больше ϕcos . Следовательно, при снижении коэффициента мощности и возрастании тока уменьшается пропускная способность электрических сетей, так как для передачи энергии в этом случае требуются провода большего сечения, больший расход материалов, большие капитальные затраты.

Мероприятия по увеличению коэффициента мощности 1) Естественный способ основан на грамотной эксплуатации электрооборудования. Электродвигатели и трансформаторы при номинальной нагрузке имеют 9080 ..cos ÷=ϕ , однако если они не загружены, то коэффициент мощности снижается до 4030 ..cos ÷=ϕ . Поэтому электродвигатели к механизмам и трансформаторы необходимо подбирать так, чтобы они работали в номинальном режиме. 2) Искусственный способ основан на подключении параллельно приемнику компенсирующего конденсатора. Большинство промышленных потребителей электроэнергии представляют активно-индуктивную нагрузку, простейшая схема замещения которой и векторная диаграмма приведены на рисунке 3.21.

а) б)

Рисунок 3.21 – Схема замещения (а) и векторная диаграмма (б) токов и напряжений в активно-индуктивной нагрузке в режиме без компенсации

При подключении параллельно такой нагрузке компенсирующего конденсатора C (рисунок 3.22, а) общий ток I& , как видно из векторной диаграммы рисунка 3.22, б, приближается по фазе к напряжению U& , т.е. ϕcos увеличивается, а общая величина тока (и величина потерь) уменьшается при постоянстве активной мощности P :

ϕϕ <* , ϕϕ coscos * > ,

79

где ϕ означает угол сдвига фаз в режиме без компенсации, *ϕ — тот же угол сдвига фаз при подключении компенсирующего конденсатора.

а) б)

Рисунок 3.22 – Схема замещения (а) и векторная диаграмма (б) токов и напряжений в активно-индуктивной нагрузке в режиме компенсации

На этом и основано применение конденсаторов для повышения коэффициента мощности. Примечание – Физический смысл увеличения ϕcos и уменьшения тока в линии объясняется следующим образом. При подключении компенсирующего конденсатора рядом с потребителем энергии создается искусственный колебательный контур, в котором ёмкость запасает электрическую энергию в ту часть периода, когда уменьшается магнитное поле индуктивности. Так как конденсатор не потребляет запасенной в нем энергии, то в следующую часть периода она обратно превращается в энергию магнитного поля. Реактивная мощность по-прежнему доставляется к потребителю, но уже не от генератора, расположенного иногда за сотни километров, а от компенсирующего конденсатора, находящегося рядом. Конденсатор, таким образом, генерирует реактивную мощность, освобождая линию от реактивного тока. 3.12 Резонансные явления в цепях синусоидального тока Резонансом называется такой режим пассивной цепи, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входное реактивное сопротивление или ее входная реактивная проводимость равны нулю. При резонансе ток на входе цепи, если он отличен от нуля, совпадает по фазе с напряжением. Возможны два основных типа резонанса: при последовательном соединении катушки и конденсатора — резонанс напряжений; при их параллельном соединении — резонанс токов. 3.12.1 Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре Последовательным колебательным контуром называют электрическую цепь (рисунок 3.23, а), которая содержит последовательно соединенные активное сопротивление R , индуктивность L и ёмкость C , в которой возможны электрические колебания. При величине действующего напряжения источника U действующее значение тока I в контуре может быть рассчитано согласно закону Ома:

80

( )22

CL XXRU

ZUI

−+== . (3.107)

а) б)

Рисунок 3.23 – Последовательный колебательный контур (а) и резонансные кривые токов и напряжений (б)

Режим работы неразветвленного участка цепи, содержащего резистивный, индуктивный и ёмкостный элементы последовательного контура, при котором ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. ui ψψ = , называется резонансом напряжений. Условием возникновения резонанса напряжений является равенство реактивных сопротивлений индуктивной катушки и конденсатора:

CL XX = , C

L0

01

ωω = , (3.108)

где частота 0ω , при которой наблюдается резонанс напряжений, называется резонансной частотой последовательного контура. Из (3.108) следует, что резонанса можно достичь, изменяя или частоту приложенного напряжения, или индуктивность катушки, или ёмкость конденсатора. При этом значения угловой частоты 0ω , индуктивности 0L и ёмкости 0C , при которых наступает резонанс, определяются согласно (3.108) формулами

LC1

0 =ω , C

L 201

ω= ,

LC 20

1ω

= . (3.109)

Если напряжение U и активное сопротивление R цепи не изменяются, то согласно (3.107) ток 0I при резонансе напряжений, т.е. при реактивном сопротивлении

0=−= CL XXX и полном сопротивлении RZ = , достигает своего наибольшего значения:

RUII max ==0 .

Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе

ρω

ω ===CL

CL

00

1. (3.110)

Величина ρ называется характеристическим (или волновым) сопротивлением цепи или контура. Отношение напряжения на индуктивности или ёмкости при резонансе

81

к напряжению источника называется добротностью контура или коэффициентом резонанса:

( ) ( )

RCRII

RILI

UU

UUq CL ρ

ωωωω

=====00

0

0

0000 . (3.111)

Обратная величина qd 1= называется затуханием контура. Добротность показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах контура превышают напряжение источника при резонансной частоте. В высокодобротных контурах, т.е. при 1>>q ( 1<<d ), напряжения на реактивных элементах (индуктивных катушках и конденсаторах) в режиме резонанса могут превосходить, и иногда весьма значительно, напряжение на зажимах цепи. Действительно, при резонансе напряжений, когда CL XX = , напряжения на индуктивных катушках и конденсаторах также равны: ( ) ( )00 ωω CL UU = . Поэтому, если при резонансе увеличить в одинаковое число раз n ( 1>n ) индуктивное и ёмкостное сопротивления, т.е. выбрать ( ) ( )00 ωω L

*L nXX = и ( ) ( )00 ωω C

*C nXX = , то ток в цепи не

изменится, а напряжения на индуктивном и ёмкостном элементах увеличатся в n раз: ( ) ( )00 ωω L

*L nUU = и ( ) ( )00 ωω C

*C nUU = . По этой причине резонанс в последовательном

колебательном контуре и называется резонансом напряжений. Зависимости токов и напряжений в колебательном контуре от частоты, т.е. функции ( )ωI и ( )ωU , при неизменных значениях параметров R , L и C называются частотными характеристиками, а их графические изображения — резонансными кривыми. На рисунке 3.23, б изображены резонансные кривые ( )ωI , ( )ωU , ( )ωLU и

( )ωCU для последовательного колебательного контура. Примечание – В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений — явление нежелательное, так как при резонансе напряжения установок могут в несколько раз превышать их рабочие значения. Но, например, в радиотехнике, телефонии, автоматике резонанс напряжений часто применяется для настройки цепей на заданную частоту. 3.12.2 Резонанс токов в параллельном колебательном контуре Параллельным колебательным контуром называют электрическую цепь (рисунок 3.24, а), которая содержит параллельно соединенные ветви с активным сопротивлением R , индуктивностью L и ёмкостью C , в которой возможны электрические колебания. При величине действующего напряжения источника U действующее значение тока I в контуре может быть рассчитано согласно закону Ома: ( )22

CL bbgUUYI −+== , (3.112) где проводимости g , Lb и Cb при заданных значениях параметров R , L и C определяются согласно формулам (3.32), (3.41) и (3.50). Режим работы участка цепи с параллельными ветвями, при котором сдвиг фаз между напряжением на его выводах и общим током равен нулю, называется резонансом токов. Условием возникновения резонанса токов является равенство реактивных проводимостей индуктивной катушки и конденсатора:

CL bb = , CL 0

0

1 ωω

= , (3.113)

82

где частота 0ω , при которой наблюдается резонанс напряжений, называется резонансной частотой параллельного контура. Из сравнения условий (3.113) резонанса токов с аналогичными условиями (3.108) резонанса напряжений следует, что математически указанные соотношения эквивалентны, поэтому значения угловой частоты 0ω , индуктивности 0L и ёмкости 0C , при которых наступает резонанс токов, определяются согласно (3.113) из формул аналогичных равенствам (3.109):

LC1

0 =ω , C

L 201

ω= ,

LC 20

1ω

= . (3.114)

а) б) Рисунок 3.24 – Параллельный колебательный контур (а) и резонансные кривые

токов и напряжений (б)

Соотношения (3.114) показывают, что резонанс токов (как и резонанс напряжений) может быть достигнут при изменении или частоты приложенного напряжения, или индуктивности катушки, или ёмкости конденсатора. Если напряжение U и активное сопротивление R цепи не изменяются, то согласно (3.112) ток 0I при резонансе токов, т.е. при реактивной проводимости

0=−= CL bbb и полной проводимости gY = , достигает своего наименьшего значения:

UgII min ==0 . Индуктивная и ёмкостная проводимость при резонансе

γω

ω ===LC

LC

00

1. (3.115)

Величина γ называется характеристической (или волновой) проводимостью цепи или контура. Отношение величины тока в индуктивности или ёмкости при резонансе к величине тока в источнике называется добротностью контура или коэффициентом резонанса:

( ) ( )

ggUCU

LgUU

II

IIq CL γω

ωωω

===== 0

00

0

0

0 . (3.116)

Как и ранее (см. раздел 3.12.1), величина qd 1= , обратная добротности, является затуханием контура. Добротность показывает, во сколько раз токи в реактивных элементах контура превышают ток источника при резонансной частоте.

83

В высокодобротных контурах, т.е. при 1>>q ( 1<<d ), токи в реактивных элементах (индуктивных катушках и конденсаторах) в режиме резонанса могут превосходить, и иногда весьма значительно, суммарный ток в цепи. Действительно, при резонансе токов, когда CL bb = , токи в индуктивных катушках и конденсаторах также равны: ( ) ( )00 ωω CL II = . Поэтому, если при резонансе увеличить в одинаковое число раз n ( 1>n ) индуктивную и ёмкостную проводимости, т.е. выбрать ( ) ( )00 ωω L

*L nbb = и

( ) ( )00 ωω C*C nbb = , то общий ток в цепи не изменится, а токи в индуктивном и ёмкостном

элементах увеличатся в n раз: ( ) ( )00 ωω L*L nII = и ( ) ( )00 ωω C

*C nII = . По этой причине

резонанс в параллельном колебательном контуре и называется резонансом токов. Зависимости токов и напряжений в колебательном контуре от частоты, т.е. функции ( )ωI и ( )ωU , при неизменных значениях параметров R , L и C называются частотными характеристиками, а их графические изображения — резонансными кривыми. На рисунке 3.24, б изображены резонансные кривые ( )ωI , ( )ωU , ( )ωLI и ( )ωCI для параллельного колебательного контура.

Примечание – Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений — явление безопасное для энергетических установок. Резонанс токов, как и резонанс напряжений, находит применение в радиотехнических устройствах. 3.12.3 Резонанс токов в параллельном колебательном контуре с потерями. Основные закономерности Рассмотрим параллельный колебательный контур, в ветвях которого кроме реактивных элементов, т.е. индуктивностей L и ёмкостей C , содержатся активные сопротивления LR и CR , учитывающие потери в элементах контура (рисунок 3.25, а).

а) б) Рисунок 3.25 – Параллельный колебательный контур с потерями (а) и векторная

диаграмма токов и напряжений в режиме резонанса (б)

При величине действующего напряжения источника U действующее значение тока I в контуре может быть рассчитано согласно закону Ома (3.112), в котором проводимости g , Lb и Cb при заданных значениях параметров LR , L , CR и C определяются согласно следующим формулам:

CL ggg += , ( )22 LR

RgL

LL ω+= ,

( )22 1 CRRg

C

CC ω+= , (3.117)

84

( )22 LRLb

LL ω

ω+

= , ( )22 1

1CR

CbC

C ωω

+= . (3.118)

Условием возникновения резонанса токов в параллельном колебательном контуре с потерями, как и в ранее рассмотренном параллельном контуре на рисунке 3.24, а, является равенство реактивных проводимостей ветвей контура: CL bb = (3.119) или, учитывая (3.118),

( ) ( )2222 1

1CR

CLR

L

CL ωω

ωω

+=

+. (3.120)

Из уравнения (3.120) следует, что условие резонанса токов в параллельном контуре с потерями определяется значениями не только реактивных, но и активных сопротивлений ветвей LR и CR . Кроме того, из формулы (3.120) следует, что изменением одной из величин ω , LR , L , CR и C при фиксированных значениях остальных четырех не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, когда значение изменяемой величины при ее определении из уравнения (3.120) получается комплексным. Для параметров L , C могут получаться и по два различных вещественных значения, удовлетворяющих уравнению (3.120). В таких случаях изменением L и C можно достичь двух различных резонансных режимов. Решая уравнение (3.120) относительно ω , найдем следующее значение для резонансной угловой частоты:

22

22

0C

Lр R

R−−

=ρρωω , (3.121)

где 0ω — частота, определяемая из (3.114), ρ — волновое сопротивление (3.110). Для получения резонанса сопротивления LR и CR должны быть оба больше или оба меньше ρ . Если это условие не выполняется, то получается мнимая частота рω , т.е. не существует такой частоты, при которой имел бы место резонанс. При ρ≠= CL RR резонансная частота 0ωω =р , т.е. такая же, как и при резонансе в последовательном контуре. При ρ== CL RR резонансная частота 00=рω имеет любое значение, т.е. резонанс наблюдается на любой частоте. Если напряжение U и активные сопротивления LR и CR ветвей контура не изменяются, то согласно (3.119) ток 0I при резонансе токов в контуре с потерями, т.е. при реактивной проводимости 0=−= CL bbb и полной проводимости gY = , достигает своего наименьшего значения:

UgII min ==0 , где полная активная проводимость g контура определяется из формул (3.117). Векторная диаграмма токов и напряжений в режиме резонанса приведена на рисунке 3.25, б. Примечание – В радиотехнике и электросвязи применяются контуры с малыми потерями, т.е. в них ρ<<LR и ρ<<CR . Это означает, что для таких контуров

85

резонансная частота рω , как следует из (3.121), практически совпадает с резонансной частотой 0ω параллельного контура, изображенного на рисунке 3.24, а: 0ωω ≈р . 3.13 Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока Уравнения (3.70), (3.72), выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока:

∑=

=p

k

kI1

0& , ∑∑==

=m

k

k

n

k

kk EZI11

&& .

Только токи, напряжения, ЭДС и сопротивления (или проводимости) входят в эти уравнения в виде комплексных величин. Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называют методом комплексных величин или комплексным методом.

Последовательность расчета цепей синусоидального тока комплексным методом 1) Для исходной схемы цепи составить эквивалентную ей схему замещения относительно комплексов величин, что означает замену ЭДС и токов источников, т.е. гармонических функций ( )te и ( )tj , их комплексами E& и J& , а параметров R , L и C пассивных элементов — их комплексными сопротивлениями (или проводимостями)

RZ R = , LL jXZ = и CC jXZ −= . Указанные преобразования следует производить согласно таблице 3.7.

Таблица 3.7 – Основные элементы цепи и комплексные схемы замещения

Тип элемента Элемент цепи Исходная схема

замещения Комплексная схема

замещения

Источник ЭДС

Активны

е элементы

Источник тока

Резистивный

Индуктивный

Пассивные

элементы

Ёмкостный

86

2) Составить полную систему уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа в комплексной форме. 3) Найти решение системы уравнений относительно комплексов искомых величин, например, комплексов токов I& . 4) Для полученных комплексов искомых величин выполнить переход к функциональному представлению этих величин в форме мгновенных значений, например, токов ( )ti как гармонических функций времени. Продемонстрируем применимость метода комплексных величин на примере разветвленной цепи синусоидального тока, изображенной на рисунке 3.26, а.

а) б)

Рисунок 3.26 – Разветвленная цепь синусоидального тока (а) и соответствующая ей схема замещения в комплексном представлении (б)

В рассматриваемой цепи действуют два источника энергии: источник тока ( ) ( )jm tsinJtj ψω += и источник ЭДС ( ) ( )em tsinEte ψω += . Схема, изображенная на

рисунке 3.26, а, содержит 3 узла и 5 ветвей, т.е. 3=m , 5=p и 1=k (имеется 1 источник тока). Количество уравнений на основании 1-го закона составит 21 =n , количество уравнений на основании 2-го закона — 22 =n . По 1-му закону Кирхгофа для узлов « a » и «b » получаем уравнения

021 =−+ IIJ &&& , 0432 =−+ III &&& , по 2-му закону Кирхгофа для контуров, образованных элементами E , L , C (1-й контур) и C , R (2-й контур), уравнения

EIjXIjXIR CL&&&& =++ 3211 , 0423 =+− IRIjX C

&& . Эти уравнения составлены для схемы замещения, изображенной на рисунке 3.26, б, и в совокупности образуют систему линейных алгебраических уравнений, решением которой являются комплексные токи 1I& , 2I& , 3I& и 4I& . Комплексы J& и E& в этих уравнениях определены как

ejm eEE ψ

2=& , jjm eJJ ψ

2=& .

Примечание – Поскольку законы Кирхгофа в комплексной форме аналогичны законам Кирхгофа относительно постоянных токов, то при расчете цепей синусоидального тока комплексным методом можно использовать методы анализа линейных электрических цепей постоянного тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к комплексной форме записи.

87

Достаточно просто это можно сделать по правилам формальной аналогии, заменив во всех расчетных формулах, представленных в разделах 2.6 и 2.7, постоянный ток I — комплексом I& , напряжение U — комплексом U& , ЭДС E — комплексом E& , сопротивление R — комплексным сопротивлением Z , проводимость g — комплексной проводимостью Y и т.д. Так, например, система уравнений (2.34) метода контурных токов в комплексной форме будет выглядеть следующим образом:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

,...............................................

;;

222111

22222221121

11122121111

nnnnnnnn

nnn

nnn

EIZIZIZ

EIZIZIZEIZIZIZ

&&K&&

&&K&&

&&K&&

где kkZ ( n,k 1= ) — полное (комплексное) сопротивление k - го контура,

kmZ ( n,m,k 1= и mk ≠ ) — комплексное сопротивление связи контуров с номерами k и m , kkE& ( n,k 1= ) — комплексная контурная ЭДС k - го контура. Величины

11I& , 22I& , … , nnI& в приведенной системе уравнений обозначают искомые (комплексные) контурные токи. 3.14 Индуктивно связанные электрические цепи при синусоидальном токе Электрические цепи называются связанными, если процессы в них влияют друг на друга посредством общего электрического или магнитного поля. Если связь электрических цепей осуществляется через магнитное поле, ее называют индуктивной, а сами цепи — индуктивно связанными. 3.14.1 Индуктивно связанные электрические цепи. Основные понятия У двух индуктивных катушек с токами 1i и 2i , достаточно близко расположенными относительно друг друга, часть магнитных линий одной катушки может быть сцеплена с витками другой катушки и наоборот (рисунок 3.27).

Рисунок 3.27 – Магнитные потоки в индуктивно связанных катушках

В таком случае полный магнитный поток каждой катушки состоит из собственного потока (потока рассеяния) и потока взаимной индукции: 12111 ΦΦΦ += , 21222 ΦΦΦ += , (3.122)

88

где 1Φ , 2Φ — полные магнитные потоки катушек, 11Φ , 22Φ — потоки рассеяния (самоиндукции), 12Φ , 21Φ — потоки взаимоиндукции. При этом 12Φ обозначает магнитный поток в первой катушке, обусловленный током 2i во второй катушке; 21Φ — наоборот, магнитный поток во второй катушке, обусловленный током 1i в первой катушке (рисунок 3.27). При числах витков в катушках 1w и 2w потокосцепление самоиндукции 11Ψ первой катушки и потокосцепление взаимной индукции 12Ψ по определению равны: 11111 ΦΨ w= , 12112 ΦΨ w= . (3.123) Аналогично для второй катушки потокосцепления 22Ψ и 21Ψ равны: 22222 ΦΨ w= , 21221 ΦΨ w= . (3.124) Коэффициенты

1

111

1

111 i

wi

L ΦΨ== ,

2

222

2

222 i

wi

L ΦΨ== (3.125)

определяют индуктивности первой и второй катушек, а величины

2

121

2

1212 i

wi

M ΦΨ== ,

1

212

1

2121 i

wi

M ΦΨ== (3.126)

— соответствующие взаимные индуктивности. Коэффициент 12M называется взаимной индуктивностью первой и второй катушек; 21M — взаимной индуктивностью второй и первой катушек. Для линейных электрических цепей взаимная индуктивность

MMM == 2112 и зависит от геометрических размеров, числа витков и взаимного расположения катушек. 3.14.2 Согласное и встречное включение катушек индуктивности. Степень и коэффициент связи В индуктивно связанных катушках различают согласное и встречное их включение, где под словом «включение» понимают не электрическое соединение катушек, а механизм взаимодействия их магнитных потоков. Согласным называют такое включение катушек, при котором их магнитные потоки, т.е. потоки рассеяния и взаимоиндукции, имеют одинаковое направление. Встречным называют такое включение катушек, при котором их магнитные потоки рассеяния и взаимоиндукции имеют встречное направление. Полные потокосцепления 1Ψ и 2Ψ каждой из двух индуктивно связанных катушек, следовательно, содержат по две составляющие 11Ψ , 12Ψ или 22Ψ , 21Ψ , которые могут складываться или вычитаться в зависимости от их способа включения. Полное потокосцепление первой катушки 21112111112111 MiiLww ±=±=±= ΦΦΨΨΨ (3.127) и полное потокосцепление второй катушки 12221222221222 MiiLww ±=±=±= ΦΦΨΨΨ , (3.128) где знак «+» соответствует согласному включению, а знак «–» — встречному включению. На схемах замещения цепей для определения характера включения индуктивно связанных катушек их одноименные зажимы помечают одинаковым символом, например, « », « », « * » и др. В таком случае катушки считают включенными

89

согласно, если их токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково (рисунок 3.28, а); если же токи относительно одноименных зажимов направлены по-разному, катушки считают включенными встречно (рисунок 3.28, б).

а) б)

Рисунок 3.28 – Обозначение согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек на схемах замещения

Два зажима, принадлежащих двум разным индуктивно связанным катушкам, называют одноименными и обозначают одинаковыми символами, руководствуясь следующим правилом: при одинаковом направлении токов относительно одноименных зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке должны суммироваться. Примеры определения одноименных зажимов у двух соосных катушек приведены на рисунках 3.29 и 3.30 . На рисунке 3.29 символом « » показана маркировка одноименных зажимов для катушек с одинаковым направлением намотки, на рисунке 3.30 — с разным направлением намотки.

а) б) а) б)

Рисунок 3.29 – Индуктивно связанные катушки с одинаковым направлением намотки при согласном (а) и встречном (б) включении

Рисунок 3.30 – Индуктивно связанные катушки с разным направлением намотки при встречном (а) и согласном (б) включении

При изменении токов в катушках изменяются и магнитные потоки. При этом по закону электромагнитной индукции в каждой катушке будет индуцироваться ЭДС. В первой катушке ЭДС

( )

121112111

1 eedt

ddt

de ±=±

−=−=ΨΨΨ

(3.129)

и во второй катушке ЭДС

( )

212221222

2 eedt

ddt

de ±=±

−=−=ΨΨΨ

, (3.130)

где

dtdiL

dtde 1

111

11 −=−=Ψ

, dtdiL

dtde 2

222

22 −=−=Ψ

(3.131)

— ЭДС самоиндукции соответственно первой и второй катушек,

90

dtdiM

dtde 212

12 −=−=Ψ

, dtdiM

dtde 121

21 −=−=Ψ

(3.132)

— ЭДС взаимоиндукции катушек. Отношение ЭДС взаимной индукции к ЭДС самоиндукции, созданных одним током, называют степенью связи:

222

2

22

1212 L

MdtdiLdtdiM

eek =

−−

== (3.133)

— степень связи первой катушки со второй;

111

1

11

2121 L

MdtdiLdtdiM

eek =

−−

== (3.134)

— степень связи второй катушки с первой. Степень индуктивной связи показывает, какая часть магнитного потока одной катушки проходит через витки другой катушки (при отсутствии тока в ней). Отношение взаимной индуктивности M катушек к среднему геометрическому их индуктивностей 1L и 2L называют коэффициентом связи катушек:

21LL

MK = . (3.135)

Коэффициент связи всегда меньше единицы и может равняться единице лишь в теоретическом случае полного совпадения катушек, когда весь поток одной сцеплен с витками другой. Примечание – Из сравнения выражений (3.133) – (1.135) следует, что коэффициент связи K можно также определить как среднее геометрическое степеней связи 12k и 21k :

2112kkK = . (3.136) 3.14.3 Последовательное соединение индуктивно связанных катушек Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек показано на рисунке 3.31.

а) б)

Рисунок 3.31 – Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (а) и встречном (б) включении

Пусть к зажимам цепи приложено синусоидально напряжение u , под действием которого в этой цепи возникает ток i . На основании 2-го закона Кирхгофа можем записать: 21 uuu += , (3.137)

91

dtdiM

dtdiLiRu ±+= 111 ,

dtdiM

dtdiLiRu ±+= 222 , (3.138)

где знак «+» перед слагаемым dtdiM соответствует согласному включению катушек (рисунок 3.31, а); знак «–» — их встречному включению (рисунок 3.31, б). Величины 1R и 2R в уравнениях (3.138) обозначают активные сопротивления катушек; 1L и 2L — их индуктивности; M — взаимную индуктивность. При синусоидально изменяющемся токе в цепи от соотношений (3.137), (3.138) можно перейти к комплексным изображениям величин: 21 UUU &&& += , (3.139) ( )IMLjIRU &&& ±+= 111 ω , ( )IMLjIRU &&& ±+= 222 ω . (3.140) Обозначая 11 LX ω= и 22 LX ω= — реактивные сопротивления самих катушек,

MX M ω= — реактивное сопротивление взаимоиндукции, уравнения (3.140) перепишем так: ( )IXXjIRU M

&&& ±+= 111 , ( )IXXjIRU M&&& ±+= 222 . (3.141)

Подставляя (3.141) в (3.139), получим уравнение ( ) ( ) ( )IjXRIXXXjIRRU эквэквM

&&&& +=±+++= 22121 , (3.142) в котором величины 21 RRRэкв += , Mэкв XXXX 221 ±+= (3.143) определяют соответственно полное активное и полное реактивное сопротивления последовательной цепи. Полное комплексное сопротивление этой цепи согласно (3.142) равно:

эквэквэкв jXRI

UZ +==&

&. (3.144)

Из (3.144) следует выражение закона Ома в комплексной форме для последовательной цепи с индуктивно связанными элементами (катушками):

эквZ

UI&

& = . (3.145)

Обозначим полное реактивное сопротивление цепи при согласном включении катушек символом соглX ; при встречном включении — символом встрX . Из формул (3.143) следует: Mсогл XXXX 221 ++= , Mвстр XXXX 221 −+= , (3.146) т.е. встрсогл XX > , что на основании закона Ома (3.145) позволяет сформулировать простое правило для экспериментального определения характера включения индуктивно связанных катушек в случае их последовательного соединения: при неизменном напряжении в цепи встречному включению катушек соответствует ток большей величины в сравнении с их согласным включением. Из формул (3.146) также следует простой способ экспериментального определения величины коэффициента взаимной индуктивности M :

ω4

встрсогл XXM

−= . (3.147)

92

На рисунке 3.32 показаны векторные диаграммы для согласного (рисунок 3.32, а) и встречного (рисунок 3.32, б) включения индуктивно связанных катушек при одинаковых значениях тока I& в обоих случаях.

а) б) Рисунок 3.32 – Векторные диаграммы токов и напряжений для согласного (а) и встречного (б)

включения индуктивно связанных катушек при их последовательном соединении

Указанные диаграммы построены на основании уравнений (3.141), (3.142). 3.14.4 Параллельное соединение индуктивно связанных катушек Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек показано на рисунке 3.33.

а) б)

Рисунок 3.33 – Параллельное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (а) и встречном (б) включении

Пусть к зажимам цепи приложено синусоидально напряжение u , под действием которого в ветвях этой цепи возникают токи i , 1i и 2i . На основании 2-го закона

93

Кирхгофа для двух контуров, образованных источником энергии и каждой из параллельных ветвей, получаем следующую систему уравнений:

dtdiM

dtdiLRiu 21

111 ±+= , dtdiM

dtdiLRiu 12

222 ±+= , (3.148)

где знак «+» перед слагаемыми dtdiM 1 и dtdiM 2 соответствует согласному включению катушек (рисунок 3.33, а); знак «–» — их встречному включению (рисунок 3.33, б). Величины 1R и 2R в уравнениях (3.148) обозначают активные сопротивления катушек; 1L и 2L — их индуктивности; M — взаимную индуктивность. При синусоидально изменяющемся токе в цепи от соотношений (3.148) можно перейти к комплексным изображениям величин: 21111 IMjILjIRU &&&& ωω ±+= , 12222 IMjILjIRU &&&& ωω ±+= . (3.149) Обозначая 111 LjRZ ω+= и 222 LjRZ ω+= — полные комплексные сопротивления катушек, MjZ M ω= — комплексное сопротивление взаимоиндукции, уравнения (3.149) перепишем так: 211 IZIZU M

&&& ±= , 221 IZIZU M&&& +±= . (3.150)

Решив систему уравнений (3.150) относительно токов 1I& и 2I& , получим

221

2

1M

M

M ZZZZZZZ

−=±

±=Δ ,

( )MM ZZU

ZUZU

m&&

&2

21 =

±=Δ , ( )M

M

ZZUUZUZ

m&&

&1

12 =

±=Δ ,

( )

221

211

M

M

ZZZZZUI

−==

m&&

ΔΔ

, ( )

221

122

M

M

ZZZZZUI

−==

m&&

ΔΔ

. (3.151)

Ток I& в неразветвленной части цепи можно получить согласно 1-му закону Кирхгофа: 21 III &&& += (3.152) или, учитывая (3.151),

( )

221

21 2

M

M

ZZZZZZUI

−+

=m&

& . (3.153)

а) б)

Рисунок 3.34 – Векторные диаграммы токов и напряжений для согласного (а) и встречного (б) включения индуктивно связанных катушек при их параллельном соединении

94

На рисунке 3.34 показаны векторные диаграммы для согласного (рисунок 3.34, а) и встречного (рисунок 3.34, б) включения индуктивно связанных катушек. Эти диаграммы построены на основании уравнений (3.150), (3.152). Из сравнения формул (3.151) следует, что токи в параллельных ветвях при согласном включении индуктивно связанных катушек меньше, чем при их встречном включении (знак «–» в числителях формул (3.151) соответствует согласному включению катушек; знак «+» — встречному включению). 3.14.5 Особенности расчета сложных разветвленных цепей при наличии взаимных индуктивностей Расчет сложных разветвленных цепей при наличии взаимных индуктивностей в них может быть осуществлен путем составления уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа или методом контурных токов (такая методика, например, уже была использована в разделах 3.14.3 и 3.14.4). В качестве примера запишем уравнения метода контурных токов для схемы цепи, представленной на рисунке 3.35.

Рисунок 3.35 – Схема цепи, иллюстрирующая применение метода контурных токов

к расчету разветвленных цепей с индуктивной связью

Данная схема имеет 2=n независимых контура, в которых циркулируют два контурных тока: 11I& — контурный ток 1-го контура и 22I& — контурный ток 2-го контура. Эти токи являются решением системы уравнений

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+−+−

=−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

.1

;21

222332

211333

12233311331

11

EILjRC

jRIMjLjR

EIMjLjRIMjLjRC

jLjR

&&&

&&&

ωω

ωω

ωωωωω

ω

Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета магнито-связанных цепей невозможно, поскольку в этом случае ток в ветви зависит не только от ЭДС, находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Метод эквивалентного генератора можно применять, если внешняя по отношению к генератору часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав этого генератора. Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи путем замены тех частей

95

цепи, которые их содержат, эквивалентными схемами без индуктивных связей (подробнее см. раздел 3.14.6). 3.14.6 Развязывание магнито-связанных цепей Для упрощения расчетов цепей с взаимной индуктивностью часто используют специальный расчетный метод, называемый «развязыванием магнито-связанных цепей». Сущность метода заключается в том, что исходную схему с индуктивно связанными катушками путем введения дополнительных индуктивностей и изменения имеющихся преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме отсутствует. Так как преобразования осуществляются на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквиваленты, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов. Составим, например, эквивалентную расчетную схему для схемы замещения цепи, изображенной на рисунке 3.36.

Рисунок 3.36 – Схема замещения цепи с взаимной индуктивностью

На основании 2-го закона Кирхгофа для исходной схемы рисунка 3.36 можем составить следующую систему уравнений: 211111 IMjILjIRE &&&& ωω −+= , 122222 IMjILjIRE &&&& ωω −+= . (3.154)

Рисунок 3.37 – Эквивалентная расчетная схема, не содержащая индуктивной связи

Добавим и вычтем величину 1IMj &ω в первое уравнение системы (3.154), а величину 2IMj &ω во второе уравнение системы. В результате получим:

96

( ) ( )( ) ( ).

;

2122222

2111111

IIMjIMLjIREIIMjIMLjIRE&&&&&

&&&&&

−−−+=−+−+=

ωωωω

(3.155)

Уравнениям (3.155) соответствует эквивалентная схема замещения, изображенная на рисунке 3.37. Схема рисунка 3.37 получена в результате развязывания магнито-связанных катушек 1L и 2L в исходной схеме замещения, приведенной на рисунке 3.36. Эта схема, как видно, уже не содержит элементов, обладающих взаимной индуктивностью. Лекция 4. Линейные электрические цепи при периодических негармонических воздействиях 4.1 Периодические несинусоидальные токи, напряжения и ЭДС. Понятие о гармоническом анализе В предыдущей лекции были рассмотрены линейные электрические цепи при периодических синусоидальных напряжениях и токах. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи (см. лекцию 7) обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данной лекции рассматриваются линейные электрические цепи только с периодическими переменными (токами, напряжениями, ЭДС). Периодическими несинусоидальными токами (напряжениями, ЭДС) называют электрические токи (напряжения, ЭДС), изменяющиеся по периодическому несинусоидальному закону. Пример периодических несинусоидальных величин демонстрируют временные диаграммы токов ( )ti , приведенные на рисунке 4.1

Рисунок 4.1 – Временные диаграммы периодических несинусоидальных токов

Анализ электрических цепей при периодических несинусоидальных воздействиях проводят путем представления функций ( )tii = , ( )tuu = , ( )tee = , то есть токов, напряжений и ЭДС, в виде рядов Фурье. Раздел математики, который изучает возможности такого представления, называется гармоническим анализом. 4.2 Представление несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС в виде рядов Фурье Периодический несинусоидальный сигнал ( )ts (ток, напряжение, ЭДС)

97

характеризуется промежутком времени (периодом) T , таким что ( ) ( )Ttsts ±= . (4.1) Если функция ( )ts , задающая этот сигнал, удовлетворяет условиям Дирихле (имеет конечное число разрывов 1-го рода и конечное число экстремумов), она может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье

( ) ( )∑∞

=

++=1

0

k

kkm tksinAAts ψω . (4.2)

Величина 0A в выражении (4.2) называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой сигнала, функция ( )11 ψω +tsinA m — основной синусоидой или первой гармоникой, функции ( )kkm tksinA ψω + при 1>k — высшими гармониками, а вся совокупность гармоник — спектром сигнала. Частота Tf ππω 22 == называется основной частотой (частотой следования), коэффициенты kmA и kψ — амплитудами и начальными фазами гармоник. Совокупность коэффициентов kmA образует амплитудный спектр сигнала, совокупность коэффициентов kψ — его фазовый спектр. Их распределение по частотной оси отображают спектральными диаграммами (спектрограммами). Для вычисления коэффициентов ряда Фурье его гармонические составляющие запишем в форме

( ) =+=+ tkcossinAtksincosAtksinA kkmkkmkkm ωψωψψω tkcosCtksinB kk ωω += .

Таким образом,

( ) ( )∑∞

=

++=1

0

k

kk tkcosCtksinBAts ωω . (4.3)

Постоянная составляющая 0A и коэффициенты kB и kC определяются с помощью интегралов

( )( )∫=T

dttsT

A 10 , ( )

( )∫=T

k tdtksintsT

B ω2, ( )

( )∫=T

k tdtkcostsT

C ω2, (4.4)

где интегрирование проводится на интервале периода T , например, ( )2;2 TT− , ( )T;0 и т.д. Установим связь между коэффициентами kmA и kψ формулы (4.2) и коэффициентами kB и kC формулы (4.3). Поскольку kkmk cosAB ψ= , kkmk sinAC ψ= , то

( ) 222222kmkkkmkk AsincosACB =+=+ ψψ ,

k

k

k

kk B

Ccossintg ==

ψψψ

и, следовательно,

22kkkm CBA += ,

k

kk B

Carctg=ψ . (4.5)

Формулы (4.2) – (4.5) составляют основу гармонического анализа, согласно которому, любой периодический негармонический сигнал можно представить как

98

совокупность постоянной составляющей 0A и бесконечного числа гармонических составляющих ( )kkm tksinA ψω + . Так, например, для негармонического тока, напряжения и ЭДС допустимы следующие представления:

( )∑∞

=

++=1

0

k

ikkm tksinIIi ψω , ( )∑∞

=

++=1

0

k

ukkm tksinUUu ψω ,

( )∑∞

=

++=1

0

k

ekkm tksinEEe ψω , (4.6)

где i , u , e — мгновенные значения этих величин, 0I , 0U , 0E — постоянные составляющие, kmI , kmU , kmE — амплитуды гармоник, ikψ , ukψ , ekψ — начальные фазы гармоник. Примечание – Функция ( )ts , определяющая негармонический сигнал, как и всякая периодическая функция (независимо от свойств симметрии), обладает следующими свойствами: 1) сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода T есть периодическая функция периода T ; 2) если функция ( )ts имеет период T , то функция ( )atss = ( 0≠a ) имеет период

aT ; 3) определенный интеграл от периодической функции ( )ts с периодом T по любому отрезку длиной T имеет одно и то же значение, то есть при любом t справедливо равенство

( ) ( )∫ ∫+

=T Tt

t

dttsdtts0

. (4.7)

4.3 Действующее и среднее значение периодической несинусоидальной величины Периодический несинусоидальный ток по аналогии с током синусоидальным может быть охарактеризован эффективным или действующим значением. В разделе 3.2 действующее значение периодической величины определялось в общем виде (3.7) как ее среднеквадратичное значение за период:

( )∫=T

dttiT

I0

21. (4.8)

Используя представление негармонического тока ( )ti рядом Фурье (4.2), т.е. выражением

( )∑∞

=

++=1

0

k

ikkm tksinIIi ψω , (4.9)

подынтегральную функцию ( )ti2 в формуле (4.8) запишем следующим образом:

( ) ( ) ( )+++++= ∑∑∞

=

∞

= 1

22

1

020

2

k

ikkm

k

ikkm tksinItksinIIIti ψωψω

99

( ) ( )iniknm

nkk n

km tnsintksinII ψωψω +++

≠

∞

=

∞

=∑∑

1 1

. (4.10)

Подставляя соотношение (4.10) в формулу (4.8), после несложных преобразований получим

∑∞

=

+=1

220

2

21

k

kmIII

или

KK +++++== ∑∞

=

222

21

20

0

2k

k

k IIIIII , (4.11)

где 211 mII = , 222 mII = , K , 2kmk II = K — действующие значения гармоник, представляющих ряд (4.9). Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока согласно (4.11) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Аналогичным образом, исходя из представления напряжений и ЭДС, т.е. функций ( )tu и ( )te , рядами Фурье (4.6), на основании формул (3.8) можно доказать, что

действующие значения несинусоидальных напряжений и ЭДС равны:

∑∞

=

=0

2

k

kUU , ∑∞

=

=0

2

k

kEE , (4.12)

где 2kmk UU = и 2kmk EE = ( ∞= ,k 1 ) — действующие значения гармоник напряжения и ЭДС. Средним значением периодической несинусоидальной величины (средневыпрямленным значением) называют ее среднее значение за половину периода. Так, например, среднее значение силы тока

( )∫=2

0

2T

ср dttiT

I . (4.13)

Так же определяются средние значения напряжения и ЭДС:

( )∫=2

0

2T

ср dttuT

U , ( )∫=2

0

2T

ср dtteT

E . (4.14)

Отметим, что любой из интегралов (4.13), (4.14) равен среднему по модулю значению величины за период, если каждая из этих величин, например, ( )ti , имеет одинаковые положительные и отрицательные полуволны:

( ) ( )∫∫ ==2

00

21TT

ср dttiT

dttiT

I .

Примечания 1 Из формул (4.6), представляющих разложения периодических токов, напряжений и ЭДС в ряды Фурье, и из выражений (4.4) для коэффициентов этих

100

разложений следует, что средние за период значения несинусоидальных величин совпадают с нулевыми гармониками (с постоянными составляющими):

( )∫=T

dttiT

I0

01

, ( )∫=T

dttuT

U0

01

, ( )∫=T

dtteT

E0

01

.

2 Измерение несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС приборами различных систем может давать неодинаковые результаты. Приборы электродинамической, электромагнитной и тепловой систем реагируют на действующие значения измеряемой величины. Магнитоэлектрические приборы сами по себе измеряют постоянную составляющую, а с выпрямителями — среднее по модулю значение. 4.4 Коэффициенты, характеризующие форму периодических несинусоидальных величин При оценке формы периодических несинусоидальных величин используют следующие характеристики: коэффициент формы фk , коэффициент амплитуды аk , коэффициент искажения иk и коэффициент гармоник гk . Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения к среднему по модулю значению, например, для силы тока:

ср

ф IIk = . (4.15)

Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения величины к ее действующему значению:

I

Ik maxа = . (4.16)

Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей величины:

IIkи 1= . (4.17)

Коэффициент гармоник равен отношению действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

1

2

2

I

I

k k

k

г

∑∞

== . (4.18)

Примечание – Для синусоидальных токов вышеуказанные характеристики равны: ( ) 11122 .kф ≈= π , 4112 .kа ≈= , 1=иk и 0=гk . 4.5 Примеры разложения периодических величин в ряд Фурье и основные свойства периодических кривых, обладающих симметрией Коэффициенты ряда Фурье (4.4) для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Примеры разложений наиболее распространенных в электротехнике, электронике и автоматике периодических кривых представлены в таблице 4.1.

101

Таблица 4.1 – Разложения периодических кривых в ряд Фурье

График периодической кривой Формула разложения

( ) tsinAts m ω=

( ) ( += tsinsinTAts m ωωττπ 2

2

⎟⎠⎞+++ Ktsinsintsinsin ωωτωωτ 55

5133

31

22

( ) +⎜⎝⎛ −= tsintsinAts m ωω

π3

318

22

⎟⎠⎞−+ Ktsin ω5

51

2

( ) ⎜⎝⎛ ++= tsintsinAts m ωω

π3

314

⎟⎠⎞++ Ktsin ω5

51

На рисунке 4.2 на примере прямоугольного колебания показано его представление частичными суммами ряда Фурье, содержащими одну (рисунок 4.2, а), три (рисунок 4.2, б) и пять (рисунок 4.2, в) гармоник.

а) б) в)

Рисунок 4.2 – Представление прямоугольного колебания частичными суммами ряда Фурье, содержащими одну (а), три (б), и пять (в) гармоник

В случае кривых токов, напряжений и ЭДС, обладающих симметрией, задача представления их рядами Фурье существенно упрощается, поскольку из разложений таких кривых могут выпадать целые спектры гармоник. Рассмотрим простейшие случаи симметрии. 4.5.1 Симметрия относительно оси абсцисс При таком типе симметрии выполняется условие

102

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2Ttsts , (4.19)

то есть отрицательная полуволна является зеркальным изображением сдвинутой на половину периода положительной полуволны. Например, кривая трапецевидной формы (рисунок 4.3) обладает симметрией относительно оси абсцисс.

Рисунок 4.3 – Пример периодической кривой с симметрией относительно оси абсцисс

Ряд Фурье для таких функций не содержит постоянной составляющей и четных гармоник:

022220 ======= KK kk CBCBA и

( ) ( ) ( )( )∑∞

=

++ +++=0

1212 1212k

kk tkcosCtksinBts ωω . (4.20)

4.5.2 Симметрия относительно оси ординат Этот тип симметрии удовлетворяет условию ( ) ( )tsts −= . (4.21) Например, колебание треугольной формы (рисунок 4.4) обладает указанным типом симметрии.

Рисунок 4.4 – Пример периодической кривой с симметрией относительно оси ординат

Ряд Фурье для функций с симметрией относительно оси ординат не содержит синусных составляющих, то есть

021 ===== KK kBBB и

( ) ∑∞

=

+=1

0

k

k tkcosCAts ω . (4.22)

103

4.5.3 Симметрия относительно начала координат Такой тип симметрии наблюдается при условии ( ) ( )tsts −−= . (4.23) Например, прямоугольное колебание (рисунок 4.5) обладает симметрией относительно начала координат.

Рисунок 4.5 – Пример периодической кривой с симметрией относительно начала координат

В этом случае ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и косинусных составляющих, то есть

0210 ====== KK kCCCA и, следовательно,

( ) ∑∞

=

=1k

k tksinBts ω . (4.24)

4.6 Комплексная форма ряда Фурье. Понятие о дискретных спектрах периодических кривых токов, напряжений или ЭДС Тригонометрическая форма ряда Фурье может быть преобразована в комплексную следующим образом. Исходя из того, что

( )tjktjk eejtksin ωωω −= −

21

, ( )tjktjk eetkcos ωωω += −

21

,

выражение, заключенное в скобки в формуле (4.3) преобразуем к виду

( ) ( )[ ]tjkkk

tjkkkkk ejBCejBCtkcosCtksinB ωωωω −++=+ −

21

.

Из формулы (4.4) для коэффициентов kB и kC имеем

( )( )∫=+T

tjkkk dtets

TjBC ω2

, ( )( )∫ −=−T

tjkkk dtets

TjBC ω2

.

Следовательно,

( ) ( )( )

( )( )

=+=+ ∑ ∫∑ ∫∑∞

=

−∞

=

−∞

= 111

11

k T

tjktjk

k T

tjktjk

k

kk dtetseT

dtetseT

tkcosCtksinB ωωωωωω

( )( )

( )( )

∑ ∫∑ ∫∞

=

−−

−∞=

− +=1

1 11

k T

tjktjk

k T

tjktjk dtetseT

dtetseT

ωωωω .

Учитывая, что

104

( )( )

( )( ) 0

011

=

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡== ∫∫

kT

tjktjk

T

dtetseT

dttsT

A ωω ,

ряд Фурье (4.3) представим в виде

( ) ( )∑+∞

−∞=

=k

tjkk ejkS

Tts ωω1

, (4.25)

( ) ( )( )∫ −=T

tjkk dtetsjkS ωω . (4.26)

Соотношение (4.25) для функции ( )ts представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. В этом выражении каждой k - й гармонике отвечает сумма двух сопряженных членов (при 0<k и 0>k ), равная удвоенной вещественной части каждого из этих слагаемых:

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=−+ − ωωω ωωω jkSe

TRejkSe

TjkSe

T ktjk

ktjk

ktjk 211

.

Обозначив ( ) ( ) kjkk ekSjkS αωω = , имеем

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkktjk

k tksinkST

tkcoskST

ejkST

Re ψωωαωωω ω +=+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 222

,

где 2παψ += kk . Таким образом, величина

( ) ( ) ( )ωωω αψ jkST

jekST

jekST k

jk

jk

kk222

==

представляет собой комплексную амплитуду k - й гармоники: kj

kmkm eAA ψ=& , (4.27) где

001 ST

A = , ( )ωjkST

A kkm2

= . (4.28)

Совокупность комплексных амплитуд всех гармоник данной функции является дискретным спектром этой функции. Его можно представить на графике в виде спектра значений амплитуд и спектра значений фаз. По оси абсцисс в таком случае откладывают частоту, которая имеет дискретные значения, равные частотам гармоник. Затем для каждой частоты по оси абсцисс изображают отрезки, параллельные оси ординат и по длине равные амплитудам kmA или начальным фазам kψ гармоник. При этом 0>kmA , а kψ может быть как положительной, так и отрицательной. Такие характеристики называются дискретными спектрами или дискретными частотными характеристиками — соответственно, амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками. На рисунке 4.6, а изображена временная диаграмма прямоугольного напряжения ( )tu , АЧХ которого представлена на рисунке 4.6, б. Ряд Фурье для прямоугольного

напряжения имеет вид (см. таблицу 4.1):

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= KtsintsintsinUtu m ωωω

π5

513

314

. (4.29)

105

а) б) Рисунок 4.6 – Временная диаграмма прямоугольного напряжения (а)

и соответствующая АЧХ (б) 4.7 Несинусоидальный ток и напряжение в пассивных элементах цепи. Основные закономерности Рассмотрим некоторые особенности протекания периодических несинусоидальных токов в пассивных элементах цепи, полагая, что периодическое напряжение на зажимах элемента представлено рядом Фурье:

( )∑∞

=

++=1

0

k

ukkm tksinUUu ψω . (4.30)

Коэффициент искажения кривой напряжения тогда равен:

∑∞

=

=

0

2

1

k

k

иu

U

Uk . (4.31)

4.7.1 Несинусоидальный ток и напряжение в резистивном элементе Ток и напряжение в резистивном элементе с сопротивлением R (рисунок 4.7, а) связаны законом Ома вида

( ) ( )Rtuti = . (4.32)

а) б) Рисунок 4.7 – Резистивный элемент (а) и соответствующая временная диаграмма

тока и напряжения (б)

106

При периодическом несинусоидальном напряжении (4.30) сила тока согласно (4.32) равна

( )∑∞

=

++=1

0

k

ikkm tksinIIi ψω , (4.33)

где

R

UI 00 = ,

RUI km

km = , ukik ψψ = . (4.34)

Коэффициент кривой тока (4.33), (4.34) равен

∑∑∞

=

∞

=

==

0

2

1

0

2

1

k

k

k

k

иi

U

U

I

Ik . (4.35)

Сравнение (4.31) и (4.35) показывает, что иuиi kk = , т.е. на резистивном элементе не наблюдается искажения кривой тока в сравнении с кривой напряжением, так что ток и напряжение совпадают по форме и подобны друг другу. На рисунке 4.7, б для прямоугольного напряжения (4.29) с точностью до трех гармоник изображены кривые тока и напряжения. 4.7.2 Несинусоидальный ток и напряжение в индуктивном элементе Ток и напряжение в индуктивном элементе с индуктивностью L (рисунок 4.8, а) связаны законом Ома вида

( ) ( )∫= dttuL

ti 1. (4.36)

а) б) Рисунок 4.8 – Индуктивный элемент (а) и соответствующая временная диаграмма

тока и напряжения (б)

При периодическом несинусоидальном напряжении (4.30) сила тока согласно (4.36) равна

( )∑∞

=

+=1k

ikkm tksinIi ψω , (4.37)

где

Lk

UI kmkm ω= ,

2πψψ −= ukik . (4.38)

107

Коэффициент кривой тока (4.37), (4.38) равен

∑∑∞

=

∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

1

21

1

2

1

1

k

k

k

k

иi

Uk

U

I

Ik . (4.39)

Сравнение (4.31) и (4.39) показывает, что иuиi kk > , т.е. кривая напряжения искажена больше, чем кривая тока, следовательно, катушка индуктивности является сглаживающим элементом для тока. На рисунке 4.8, б для прямоугольного напряжения (4.29) с точностью до трех гармоник изображены кривые тока и напряжения. 4.7.3 Несинусоидальный ток и напряжение в ёмкостном элементе Ток и напряжение в ёмкостном элементе с ёмкостью C (рисунок 4.9, а) связаны законом Ома вида

( ) ( )dt

tduCti = . (4.40)

а) б) Рисунок 4.9 – Ёмкостной элемент (а) и соответствующая временная диаграмма

тока и напряжения (б)

При периодическом несинусоидальном напряжении (4.30) сила тока согласно (4.40) равна

( )∑∞

=

+=1k

ikkm tksinIi ψω , (4.41)

где

( ) kmkm UCkI ω= , 2πψψ += ukik . (4.42)

Коэффициент кривой тока (4.41), (4.42) равен

( )∑∑∞

=

∞

=

==

1

2

1

1

2

1

k

k

k

k

иi

kU

U

I

Ik . (4.43)

Сравнение (4.31) и (4.43) показывает, что иuиi kk < , т.е. кривая тока искажена больше, чем кривая напряжения, следовательно, конденсатор, является сглаживающим элементом для напряжения. На рисунке 4.9, б для прямоугольного напряжения (4.29) с точностью до трех гармоник изображены кривые тока и напряжения.

108

4.8 Методика расчета линейных электрических цепей при периодических несинусоидальных токах и напряжениях Возможность разложения периодических несинусоидальных величин, т.е. токов, напряжений и ЭДС, в ряд Фурье позволяет свести расчет линейных электрических цепей при воздействии несинусоидальных ЭДС или токов источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений в таком случае определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете постоянных и гармонических составляющих тока или напряжения. Пусть требуется определить ток в электрической цепи, к которой подключается периодическая несинусоидальная ЭДС:

( ) ( )∑∞

=

++=1

0

k

ekkm tksinEEte ψω . (4.44)

Если цепь линейная, т.е. величины R , L и C неизменны, то ток в цепи определится методом наложения путем суммирования токов, создаваемых каждой из составляющих ЭДС в отдельности:

( ) ( )∑∞

=

++=1

0

k

ikkm tksinIIti ψω , (4.45)

где

0

00 Z

EI = , k

kmkm Z

EI = , kukik ϕψψ −= . (4.46)

Здесь 0Z полное сопротивление цепи при нулевой частоте ω , т.е. сопротивление постоянному току, kZ — полное сопротивление при частоте ωk , угол kϕ равен арктангенсу отношения реактивной составляющей сопротивления kZ на частоте ωk к его активной составляющей. В случае цепи с последовательным соединением элементов R , L и C указанные величины, к примеру, равны:

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

CkLkRZk ω

ω , R

CkLkarctgkωωϕ 1−

= .

При этом сопротивление ∞=0Z , так как последовательная цепь, содержащая конденсатор, постоянный ток не пропускает. Соотношения (4.44) – (4.46) могут быть представлены в комплексной форме:

( ) ∑∞

=

+=1

0

k

tjkkmeEImEte ω& , ( ) ∑

∞

=

+=1

0

k

tjkkmeIImIti ω& , (4.47)

где ekj

kmkm eEE ψ=& , ikjkmkm eII ψ=& . (4.48)

Из формул (4.47), (4.48) следует, что расчет периодических несинусоидальных токов, представленных в комплексной форме, сводится к определению комплексных амплитуд токов kmI& , соответствующих комплексным амплитудам ЭДС kmE& , для различных порядков гармоник k . При этом комплексное сопротивление для данной частоты ωk (для данной гармоники) определяется выражением

109

kjkk eZZ ϕ= . (4.49)

Рассмотрим, к примеру, электрическую цепь, изображенную на рисунке 4.10, и определим для нее ток ( )ti в ветви с источником ЭДС.

Рисунок 4.10 – Схема, иллюстрирующая применение метода наложения к расчету линейных

цепей при периодических несинусоидальных ЭДС и токах

Так как при расчете спектр рассматриваемых гармонических составляющих всегда ограничивается, то вместо ряда (4.44) следует рассматривать его n - ю частичную сумму, т.е. функцию

( ) ( )∑=

+=n

k

ekkm tksinEte0

ψω . (4.50)

Для определения искомого тока ( )ti исходную схему рисунка 4.10 представим расчетными схемами, изображенными на рисунке 4.11. При этом на рисунке 4.11, а изображена расчетная схема, соответствующая постоянной составляющей или нулевой гармонике 0E ; на рисунке 4.11, б — расчетная схема, соответствующая гармоническим составляющим ( )ekkm tksinE ψω + , n,k 1= .

а) б)

Рисунок 4.11 – Расчетные схемы для постоянной (а) и гармонических (б) составляющих периодической несинусоидальной ЭДС

Величины LkX Lk ω= и ( )CkX Ck ω1= на рисунке 4.11, б определяют соответственно реактивные сопротивления катушки и конденсатора для k - й гармоники, kmE& и kmI& — комплексные амплитуды ЭДС и тока (аналогично соотношениям (4.48)). Для схемы замещения на рисунке 4.11, а относительно постоянной составляющей тока находим

21

00 RR

EI+

= . (4.51)

110

Для схемы замещения на рисунке 4.11, б относительно гармонических составляющих тока:

k

kmkm Z

EI&

& = , (4.52)

где полное комплексное сопротивление kZ цепи для k - й гармоники ЭДС равно:

( )

Ck

CkLkk jXR

jXRjXRZ−−

++=2

21 . (4.53)

На основании (4.51) – (4.53) искомый ток ( )ti изобразится n - й частичной суммой вида

( ) ( )∑=

++=n

k

ikkm tksinIIti1

0 ψω , (4.54)

где амплитуда kmI k - й гармоники равна модулю комплексной амплитуды (4.52), а начальная фаза ikψ — ее аргументу:

kmkm II &= , kmik Iarg &=ψ . (4.55) Соотношения (4.51) – (4.55) дают полное решение поставленной задачи, т.е. позволяют с точностью до n гармоник рассчитать мгновенное значение тока ( )ti в неразветвленной части цепи, изображенной на рисунке 4.10, при воздействии на нее периодической ЭДС (4.50). Обобщая эти результаты, можно сформулировать алгоритм расчета произвольной электрической цепи при периодических несинусоидальных ЭДС и токах.

Порядок расчета электрической цепи при периодических несинусоидальных ЭДС и токах 1) Произвести разложение периодических несинусоидальных ЭДС и токов источников на гармонические составляющие, т.е. в виде соответствующих рядов Фурье (4.6). 2) Выполнить расчет цепи методами анализа цепей постоянного и переменного синусоидального токов для каждой из составляющих в отдельности. 3) Определить искомые величины в соответствии с принципом наложения как алгебраические суммы найденных гармоник. Примечания 1 Необходимо помнить, что из-за различных частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо. 2 При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС или тока источника, следует учитывать, что индуктивная катушка не оказывает противодействия постоянному току (эквивалентна короткому замыканию), а конденсатор, наоборот, является для постоянного тока бесконечно большим сопротивлением (обрывом). Это означает, что при составлении схемы замещения относительно постоянных составляющих токов и напряжений (см., например, схему рисунка 4.11, а) все индуктивные элементы следует исключить из схемы, закоротив их, а все ветви с ёмкостными элементами разомкнуть. 4.9 Мощность периодического несинусоидального тока Выражение мгновенной мощности

111

( ) ( ) ( )tutitp = (4.56) справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой. Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как среднее значение его мгновенной мощности за период:

( ) ( ) ( )∫∫ ==TT

dttutiT

dttpT

P00

11. (4.57)

Используя представление негармонического тока ( )ti и напряжения ( )tu рядами Фурье (4.6), т.е. выражениями

( )∑∞

=

++=1

0

k

ikkm tksinIIi ψω , ( )∑∞

=

++=1

0

k

ukkm tksinUUu ψω ,

мгновенную мощность (4.56) запишем следующим образом:

( ) ( ) ( )+++++= ∑∑∞

=

∞

= 1

0

1

000

k

ikkm

k

ukkm tksinIUtksinUIUItp ψωψω

( ) ( )++++∑∞

=1k

ukikkmkm tksintksinUI ψωψω

( ) ( )uniknm

nkk n

km tnsintksinUI ψωψω +++

≠

∞

=

∞

=∑∑

1 1

. (4.58)

Подставляя соотношение (4.58) в формулу (4.57), после несложных преобразований получим

∑∞

=

+=1

00

k

kkk cosUIUIP ϕ , (4.59)

где ikukk ψψϕ −= — угол сдвига фаз между напряжением и током k - й гармоники. Из (4.59) следует, что активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармонических составляющих и мощности постоянных составляющих тока и напряжения:

∑∞

=

+=1

0

k

kPPP , 000 UIP = , kkkk cosUIP ϕ= . (4.60)

Аналогично (4.59) для реактивной мощности можно записать:

∑∑∞

=

∞

=

==11 k

kkk

k

k sinUIQQ ϕ . (4.61)

Полная мощность несинусоидального тока соответственно определится выражением

∑∑∞

=

∞

=

==0

2

0

2

k

k

k

k UIIUS . (4.62)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и приравнивают к косинусу некоторого условного угла θ :

112

∑∑

∑∞

=

∞

=

∞

=

+

==

0

2

0

2

1

00

k

k

k

k

k

kkk

UI

cosUIUI

SPcos

ϕθ . (4.63)

Заметим, что для несинусоидальных токов (в отличие от синусоидальных) не выполняются соотношения треугольника мощностей, т.е. в общем случае квадрат полной мощности не равен сумме квадратов активной и реактивной мощностей, поэтому

22 QPS +≠ . Величина ( )222 QPST +−= (4.64) называется мощностью искажения. Мощность искажения определяется произведениями действующих значений разнопорядковых гармоник тока и напряжения и характеризует степень различия в формах кривых тока ( )ti и напряжения ( )tu . В частности, если сопротивление цепи активное, то кривые тока и напряжения подобны и при этом 0=Q и 0=T . Лекция 5. Трехфазные электрические цепи 5.1 Основные сведения о трехфазных электрических цепях Трехфазной системой называют совокупность трех электрических цепей, источники ЭДС которых имеют одинаковую частоту, сдвинуты по фазе друг относительно друга и генерируются одним генератором. Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если эти ЭДС синусоидальны, их частота и амплитуда одинаковы и указанный фазовый сдвиг равен 32π ( °120 ). Источником энергии в трехфазной системе служит трехфазный синхронный генератор, модель которого схематически изображена на рисунке 5.1.

1 – статор, 2 – ротор

Рисунок 5.1 – Эскиз, поясняющий устройство трехфазного генератора

113

Генератор состоит из двух основных частей: статора и ротора. Неподвижный статор выполнен в виде полого ферромагнитного цилиндра, в продольные пазы которого уложены три обмотки — фазные обмотки генератора. Начала обмоток обозначают буквами A , B и C , концы обмоток — буквами X , Y и Z соответственно. Обмотки сдвинуты в пространстве на один и тот же угол 32π , т.е. °120 . Внутри статора расположен ротор, обмотка которого с помощью двух скользящих контактов подключена к источнику постоянного напряжения. Ротор, следовательно, является электромагнитом. При равномерном вращении ротора турбиной создаваемое им магнитное поле возбуждает в обмотках статора фазные ЭДС ( )teA , ( )teB и ( )teC , частоты и амплитуды которых одинаковы. Поскольку обмотки смещены по окружности статора на угол °120 , то генерируемые в этих обмотках ЭДС также имеют фазовый сдвиг °120 . На схемах замещения обмотки статора трехфазного генератора изображают двумя способами (см. рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Условные обозначения обмоток статора трехфазного генератора

Фазные ЭДС можно представить в аналитической форме:

( ) tsinEte mA ω= , ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

32πωtsinEte mB , ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

34πωtsinEte mC , (5.1)

где mE — амплитудное значение ЭДС. Комплексы действующих значений фазных ЭДС соответственно будут выглядеть так:

EEA =& , 32πj

B EeE−

=& , 34πj

C EeE−

=& , (5.2)

где 2mEE = — действующее значение ЭДС. Комплексное число

23

213

2

jej

+−=π

,

по модулю равное единице, называется оператором трехфазной системы (фазным множителем) и обозначается

32πj

ea = . (5.3) Тогда

34

2πj

ea = , 123 == πjea , aaaa =⋅= 34 , 01 2 =++ aa . (5.4)

114

Симметричную трехфазную систему ЭДС, определяемую формулами (5.2), можно записать с учетом (5.3), (5.4) в виде EEA =& , AB EaE && 2= , AC EaE && = . (5.5) Временная и векторная диаграммы ЭДС, соответствующие формулам (5.1), (5.2) и (5.5), представлены на рисунке 5.3.

а) б) Рисунок 5.3 – Временная (а) и векторная (б) диаграммы фазных ЭДС

Из формул (5.1) следует, что в любой момент времени ( ) ( ) ( ) 0=++ tetete CBA . (5.6) Из формул (5.2) также очевидно, что 0=++ CBA EEE &&& . (5.7) Совокупность трехфазной системы ЭДС, трехфазной нагрузки и соединительных проводов называется трехфазной электрической цепью. Каждая из однофазных цепей трехфазной системы называется фазой. На векторной диаграмме (рисунок 5.3, б) фаза B отстает от фазы A , а фаза C — от фазы B ; такое чередование фаз ABC называют прямой последовательностью, а чередование ACB — обратной. 5.2 Соединение фаз источника энергии в звезду и треугольник Фазы обмоток трехфазного генератора могут быть соединены в звезду Υ (рисунок 5.4, а) или в треугольник Δ (рисунок 5.4, б).

а) б)

Рисунок 5.4 – Схемы соединения фаз источника энергии в звезду (а) и треугольник (б)

115

При соединении в звезду концы фаз X , Y и Z объединяются в одну точку N (рисунок 5.4, а), которая называется нулевой (или нейтральной) точкой генератора. Нагрузку можно подключать к зажимам NA , NB , NC или AB , BC , CA . Различают фазные AE& , BE& , CE& и линейные ABE& , BCE& , CAE& ЭДС, которые связаны между собой (согласно 2-го закона Кирхгофа) выражениями BAAB EEE &&& −= , CBBC EEE &&& −= , ACCA EEE &&& −= , (5.8) из которых следует, что при симметрии фазных ЭДС AE& , BE& и CE& система линейных ЭДС также симметрична: 0=++ CABCAB EEE &&& . (5.9) Соотношение между действующими значениями фазных фE и линейных лE ЭДС тогда следующее: фл EE 3= . (5.10) При соединении фаз источника энергии в треугольник (рисунок 5.4, б) нагрузку подключают к зажимам AB , BC и CA . Действующие значения фазных и линейных ЭДС в таком случае оказываются равными: фл EE = . (5.11) 5.3 Соединение фаз нагрузки в звезду и треугольник. Определение линейных и фазных величин Фазы нагрузки могут быть соединены в звезду Υ (рисунок 5.5, а) или в треугольник Δ (рисунок 5.5, б). При соединении в звезду концы фаз x , y и z объединяются в одну точку n (рисунок 5.5, а), которая называется нулевой (или нейтральной) точкой фазной нагрузки. Провода Aa , Bb и Cc (см. рисунок 5.5), соединяющие трехфазный генератор с нагрузкой, называются линейными проводами, а провод nN (рисунок 5.5, а), соединяющий нейтральные точки генератора и нагрузки — нейтральным (или нулевым) проводом. Фазным напряжением фU& называется напряжение на зажимах фазы генератора (источника) или приемника (нагрузки), а также напряжение между нулевым и одним из линейных проводов в случае соединения фаз в звезду с нулевым проводом. При соединении звездой (рисунок 5.5, а) фазными напряжениями генератора являются напряжения AU& , BU& и CU& ; фазными напряжениями нагрузки — напряжения

aU& , bU& и cU& . При соединении треугольником (рисунок 5.5, б) фазными являются напряжения abU& , bcU& и caU& . Линейным напряжением лU& называется напряжение между двумя линейными проводами (между началами двух фаз). Для обеих схем, изображенных на рисунке 5.5, напряжения ABU& , BCU& и CAU& являются линейными. Фазным током фI& называется ток, протекающий по фазе генератора или

нагрузки; линейным током лI& — ток, протекающий по линейному проводу.

116

а)

б)

Рисунок 5.5 – Схемы соединения фаз нагрузки в звезду (а) и треугольник (б)

При соединении звездой (рисунок 5.5, а) фазными являются токи aI& , bI& , cI& ; при соединении треугольником — токи abI& , bcI& , caI& . Линейными для обеих схем соединения являются токи AI& , BI& , CI& . 5.4 Симметричная и несимметричная нагрузка в трехфазной цепи Нагрузка в трехфазной электрической цепи подразделяется на симметричную и несимметричную. При симметричной нагрузке сопротивления фаз совпадают как по величине, так и по характеру: cba ZZZ == и cba ϕϕϕ == , (5.12) где aZ , bZ , cZ — величины сопротивлений, aϕ , bϕ , cϕ — углы сдвига фаз между напряжением и током. В комплексной форме условие симметричности фаз нагрузки будет выглядеть так: cba ZZZ == . (5.13) Здесь aj

aa eZZ ϕ= , bjbb eZZ ϕ= и cj

cc eZZ ϕ= — комплексы соответствующих сопротивлений. Если хотя бы одно из условий (5.12) или условие (5.13) нарушается, нагрузку считают несимметричной. Различают следующие типы несимметричной нагрузки:

117

1) неоднородная и неравномерная (сопротивления фаз различны как по величине, так и по характеру); cba ZZZ ≠≠ и cba ϕϕϕ ≠≠ ; 2) равномерная (сопротивления фаз равны по величине, но различны по характеру); cba ZZZ == , но cba ϕϕϕ ≠≠ ; 3) однородная (сопротивления фаз одинаковы по характеру, но отличаются по величине); cba ZZZ ≠≠ , но cba ϕϕϕ == . 5.5 Расчет трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в звезду При соединении фаз нагрузки звездой (рисунок 5.6) линейные токи равны соответствующим фазным токам: aA II && = , bB II && = , cC II && = , (5.14) а комплексы линейных напряжений являются суперпозицией фазных: BAAB UUU &&& −= , CBBC UUU &&& −= , ACCA UUU &&& −= . (5.15) Соотношения (5.14) также означают, что при соединении в звезду совпадают действующие значения линейных лI и фазных фI токов, т.е. фл II = . (5.16) 5.5.1 Нагрузка симметричная Если сопротивления соединительных проводов не учитывать, то из схемы замещения трехфазной цепи (рисунок 5.6) следует, что напряжения AU& , BU& , CU& на фазах генератора и напряжения aU& , bU& , cU& на фазах нагрузки идентичны: Aa UU && = , Bb UU && = , Cc UU && = . (5.17)

Рисунок 5.6 – Схема соединения фаз генератора и нагрузки в звезду с нейтральным проводом

При этом в схеме образуются три обособленных контура, линейные AI& , BI& , CI& (и фазные aI& , bI& , cI& ) токи в которых определяются на основании закона Ома:

a

aaA Z

UII&

&& == , b

bbB Z

UII&

&& == , c

ccC Z

UII&

&& == . (5.18)

При симметричной системе фазных напряжений генератора AU& , BU& , CU& и симметричной нагрузке ( cba ZZZ == ) эти токи также образуют симметричную

118

систему, поэтому ток нейтрального провода nNI& , определяемый согласно 1-му закону Кирхгофа, равен нулю: 0=++= CBAnN IIII &&&& . (5.19) Это означает, что при симметричной нагрузке отпадает необходимость в нейтральном проводе, поэтому вместо четырехпроводной схемы замещения трехфазной цепи (рисунок 5.6) можно использовать трехпроводную схему (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7 – Схема соединения фаз генератора и нагрузки в звезду без нейтрального провода

Векторная диаграмма токов и напряжений для обеих схем представлена на рисунке 5.8.

Рисунок 5.8 – Векторная диаграмма токов и напряжений при симметричной нагрузке

в трехфазной цепи, соединенной звездой

Из этой векторной диаграммы, а также из формул (5.5), следует, что при симметричной нагрузке линейные напряжения ABU& , BCU& , CAU& опережают фазные напряжения AU& , BU& , CU& (или aU& , bU& , cU& ) по фазе на угол °30 . При этом действующие значения фазных и линейных напряжений связаны равенством фл UU 3= , (5.20) а комплексы этих напряжений — соотношениями

119

63πj

AAB eUU && = , 63πj

BBC eUU && = , 63πj

CCA eUU && = . (5.21) 5.5.2 Нагрузка несимметричная При несимметричной нагрузке между нейтральными точками генератора и нагрузки возникает напряжение смещения нейтрали nNU& (см. рисунки 5.6 и 5.7). Это напряжение может быть рассчитано по формуле метода двух узлов:

nNCBA

CCBBAAnN YYYY

YUYUYUU+++++

=&&&

& , (5.22)

где AY , BY , CY — комплексные проводимости фаз, nNY — комплексная проводимость нейтрального провода. Если полные сопротивления ветвей фаз обозначить AZ , BZ и

CZ , сопротивление нейтрального провода — nNZ , то указанные проводимости равны:

A

A ZY 1

= , B

B ZY 1

= , C

C ZY 1

= , nN

nN ZY 1

= . (5.23)

Напряжения на фазах нагрузки могут быть рассчитаны согласно формулам nNAa UUU &&& −= , nNBb UUU &&& −= , nNCc UUU &&& −= . (5.24) Если сопротивления соединительных проводов не учитывать, то полные сопротивления AZ , BZ и CZ ветвей фаз определяются фазными сопротивлениями нагрузки aZ , bZ и cZ : aA ZZ = , bB ZZ = , cC ZZ = . (5.25) Сопротивление нейтрального провода в таком случае 0=nNZ , а его проводимость ∞=nNY . Из формулы (5.22) тогда следует, что при ∞=nNY в четырехпроводной схеме (рисунок 5.6) напряжение смещения 0=nNU& , а значит напряжения aU& , bU& , cU& согласно формулам (5.24) совпадают с напряжениями AU& , BU& ,

CU& , т.е. выполняются равенства (5.17). Следовательно, нейтральный провод обеспечивает сохранение симметрии фазных напряжений aU& , bU& , cU& при несимметричной нагрузке, и поэтому токи AI& , BI& , CI& могут быть рассчитаны согласно формулам (5.18). Но, очевидно, что эти токи будут разными, поскольку комплексные сопротивления фаз при несимметричной нагрузке не равны между собой. Это в свою очередь приведет к появлению тока в нейтральном проводе: 0≠++= CBAnN IIII &&&& . (5.26) Векторная диаграмма токов и напряжений для трехфазной цепи с нейтральным проводом и несимметричной нагрузкой изображена на рисунке 5.9, а. Если в схеме трехфазной цепи нейтральный провод отсутствует (рисунок 5.7), то напряжение смещения 0≠nNU& и, следовательно, фазные напряжения генератора и нагрузки не равны между собой:

Aa UU && ≠ , Bb UU && ≠ , Cc UU && ≠ . Расчет такой цепи также может быть выполнен на основании формул (5.18), в которых напряжения aU& , bU& , cU& определяются согласно (5.22) – (5.24). Векторная диаграмма токов и напряжений для трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой и без нейтрального провода изображена на рисунке 5.9, б.

120

а) б)

Рисунок 5.9 – Векторная диаграмма токов и напряжений при несимметричной нагрузке в трехфазной цепи, соединенной звездой с нейтральным проводом (а) и без нейтрального провода (б)

5.6 Расчет трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник При соединении фаз нагрузки треугольником (рисунок 5.10) линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям: abAB UU && = , bcBC UU && = , caCA UU && = , (5.27) а комплексы линейных токов являются суперпозицией фазных: caabA III &&& −= , abbcB III &&& −= , bccaC III &&& −= . (5.28)

Рисунок 5.10 – Схема соединения фаз генератора и нагрузки в треугольник

Соотношения (5.27) также означают, что при соединении в треугольник совпадают действующие значения линейных лU и фазных фU напряжений, т.е. фл UU = . (5.29) Если сопротивления соединительных проводов в схеме замещения трехфазной цепи не учитывать, то фазные токи abI& , bcI& , bcI& определяются согласно закону Ома:

121

ab

abab Z

UI&

& = , bc

bcbc Z

UI&

& = , ca

caca Z

UI&

& = , (5.30)

где abZ , bcZ и caZ — комплексы фазных сопротивлений.

а) б)

Рисунок 5.11 – Векторная диаграмма токов и напряжений при несимметричной (а) и симметричной (б) нагрузке в трехфазной цепи, соединенной треугольником

Векторные диаграммы токов и напряжений при соединении фаз нагрузки в треугольник изображены на рисунке 5.11. Из векторной диаграммы рисунка 5.11, б, а также из формул (5.28), (5.30) следует, что при симметричной нагрузке фазные токи abI& , bcI& , caI& опережают линейные токи

AI& , BI& , CI& по фазе на угол °30 . При этом действующие значения фазных и линейных токов связаны равенством фл II 3= , (5.31) а комплексы этих токов — соотношениями

63πj

Aab eII && = , 63πj

Bbc eII && = , 63πj

Cca eII && = . (5.32) 5.7 Мощность трехфазной цепи В трехфазных цепях, так же как и в однофазных, пользуются понятиями активной, реактивной и полной мощностей. В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз: cba PPPP ++= , (5.33) aaaa cosIUP ϕ= , bbbb cosIUP ϕ= , cccc cosIUP ϕ= , (5.34) где aU , bU , cU и aI , bI , cI — фазные напряжения и токи, aϕ , bϕ , cϕ — углы сдвига фаз между напряжением и током. Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз: cba QQQQ ++= , (5.35)

122

где aaaa sinIUQ ϕ= , bbbb sinIUQ ϕ= , cccc sinIUQ ϕ= . (5.36) Полная мощность отдельных фаз: aaa IUS = , bbb IUS = , ccc IUS = . (5.37) Полная мощность трехфазного приемника: 22 QPS += . (5.38) При симметричной нагрузке фазные мощности равны: ффффcba cosIUPPPP ϕ==== , ффффcba sinIUQQQQ ϕ==== . (5.39) Активная мощность симметричного трехфазного приемника, следовательно, ффф cosIUP ϕ3= . (5.40) Аналогично выражаются реактивная и полная мощности симметричного приемника: ффф sinIUQ ϕ3= , ффIUS 3= . (5.41) Примечания 1 Формулы (5.33) – (5.41) дают правила определения активной, реактивной и полной мощности трехфазного приемника, соединенного звездой. В случае соединения треугольником расчет мощностей производится аналогично, т.е. через фазные напряжения и токи, которые отмечаются двумя индексами: abU , bcU , caU и abI , bcI , caI соответственно. 2 Так как за номинальные величины обычно принимают линейные напряжения и токи, то мощности удобнее выражать через линейные величины лU и лI . Так при соединении фаз симметричного приемника звездой

фл UU 3= , фл II = , при соединении треугольником

фл UU = , фл II 3= . Поэтому независимо от схемы соединения фаз приемника активная, реактивная и полная мощности при симметричной нагрузке определяются одними и теми же формулами: флл cosIUP ϕ3= , флл sinIUQ ϕ3= . ллIUS 3= . (5.42) При этом следует помнить, что угол фϕ в формулах (5.42) является углом сдвига фаз между фазными напряжением и током. Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа 6.1 Определение переходных процессов в цепи. Законы коммутации Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося (стационарного) режима к другому, называются переходными. Переходной процесс возникает при коммутации, т.е. при подключении или отключении источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи либо параметров входящих в нее элементов. На схемах замещения коммутацию обозначают в виде ключа со стрелкой

123

(рисунок 6.1, а — замыкание, рисунок 6.1, б — размыкание, рисунок 6.1, в — переключение).

а) б) в) Рисунок 6.1 – Контакт коммутационного устройства замыкающий (а),

размыкающий (б), переключающий (в)

Считают, что коммутация происходит в течение бесконечно малого промежутка времени, т.е. мгновенно. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета, т.е. в момент коммутации 0=t . При этом момент времени непосредственно перед коммутацией обозначают −= 0t , а момент времени непосредственно после коммутации — += 0t . Переходной процесс завершается установлением стационарного состояния, при котором токи, напряжения и ЭДС в электрической цепи являются или постоянными, или периодическими функциями времени. Теоретически переходной процесс может длиться бесконечно долго, и в этом смысле стационарное состояние является математической идеализацией. Переходные процессы в цепи удовлетворяют двум законам коммутации. Первый закон коммутации: ток в индуктивности непосредственно до коммутации равен току в той же индуктивности непосредственно после коммутации: ( ) ( )+− = 00 LL ii , (6.1) где Li — ток в индуктивности. Второй закон коммутации: напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации равно напряжению на той же ёмкости непосредственно после коммутации: ( ) ( )+− = 00 CC uu , (6.2) где Cu — напряжение на ёмкости. Примечание – Из законов коммутации следует, что при переходном процессе в цепи ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут измениться скачком. 6.2 Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на ёмкости. Физическая причина возникновения переходных процессов С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в них энергии: энергии магнитного поля катушки

LW и энергии электрического поля конденсатора CW :

2

2LiWL = , 2

2CuWC = . (6.3)

Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей Lp и Cp в индуктивных и ёмкостных элементах, так как

∞===→ dt

dWt

Wlimp LL

tL ΔΔ

Δ 0, ∞===

→ dtdW

tWlimp CC

tC ΔΔ

Δ 0. (6.4)

124

Поскольку реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью, то мгновенное изменение энергий LW и CW невозможно. Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них энергоемких элементов: катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Эти элементы накапливают энергию в виде энергии магнитного и электрического полей, поэтому процесс перехода к новому стационарному состоянию, обусловленный изменением электромагнитной энергии цепи, требует некоторой продолжительности во времени. В цепях, не содержащих энергоемких элементов и состоящих, например, только из активных сопротивлений, накопления энергии нет и переход к новому установившемуся состоянию происходит практически мгновенно. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют. 6.3 Общая характеристика методов анализа переходных процессов Основными методами анализа переходных процессов в линейных электрических цепях являются: 1) классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс. 2) метод переменных состояния, представляющий упорядоченный способ анализа переходного процесса в цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши). 3) операторный метод, основанный на интегральных преобразованиях Лапласа, позволяющих сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменить решением простой системы алгебраических уравнений, записанной в операторной форме. 4) метод наложения (метод интеграла Дюамеля), используемый при анализе воздействия на электрическую цепь тока или напряжения произвольной (сложной) формы. 6.4 Классический метод расчета переходных процессов. Основные положения Классический метод анализа переходных процессов основан на уравнениях состояния (уравнениях равновесия), составленных для мгновенных значений токов и напряжений согласно законам Кирхгофа или с помощью других методов расчета цепей. Так как мгновенные значения напряжений и токов в реактивных элементах цепи (индуктивных катушках и конденсаторах) связаны между собой дифференциальными (или интегральными) соотношениями (см. таблицу 1.1), то уравнение, описывающее переходной процесс в линейной цепи, является в общем случае линейным неоднородным дифференциальным уравнением n - го порядка:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftxa

dttdxa

dttxda

dttxda n

n

nn

n

n =++++ −

−

− 011

1

1 K , (6.5)

где ( )tx — искомая функция времени (ток, напряжение и др.); ( )tf — функция, описывающая влияние внешнего воздействия на цепь (ток или напряжение источника электрической энергии); na , 1−na , K , 1a , 0a — постоянные коэффициенты, определяемые схемой цепи или параметрами ее элементов (величинами R , L и C ). Порядок составления дифференциального уравнения (6.5), определяющего состояние электрической цепи в переходном режиме, следующий:

125

1) дифференциальное уравнение составляется для цепи после коммутации, т.е. при 0≥t ; 2) если цепь одноконтурная, то уравнение составляется по 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений; 3) в случае многоконтурной цепи на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений составляется система уравнений, которая затем сводится к одному уравнению. Согласно теории дифференциальных уравнений полное решение ( )tx уравнения (6.5) записывается в виде ( ) ( ) ( )txtxtx *+= , (6.6) где ( )tx* — частное решение неоднородного уравнения (6.5) с правой частью ( ) 0≠tf , ( )tx — общее решение соответствующего однородного уравнения, получаемого из

уравнения (6.5) путем замены нулем его правой части, т.е. при ( ) 0=tf :

( ) ( ) ( ) ( ) 0011

1

1 =++++ −

−

− txadt

tdxadt

txdadt

txda n

n

nn

n

n K . (6.7)

Общее решение ( )tx однородного уравнения (6.7) не зависит от внешнего воздействия, так как правая часть ( )tf , характеризующая это воздействие, принята равной нулю. Поэтому процесс, определяемый функцией ( )tx , называется свободным процессом, а сама функция ( )tx — свободной составляющей, т.е. ( ) ( )txtx св= . Свободные процессы возникают за счет изменения запаса энергии в индуктивных и ёмкостных элементах цепи, а их характер определяется схемой цепи и параметрами ее элементов. Частное решение ( )tx* неоднородного уравнения (6.5), напротив, зависит только от вида входного воздействия ( )tf , т.е. при постоянном воздействии оно также будет постоянным, при синусоидальном — синусоидальным и т. д. Поэтому функция ( )tx* называется принужденной составляющей, т.е. ( ) ( )txtx пр

* = . Общее решение (6.6) уравнения (6.5), следовательно, имеет вид: ( ) ( ) ( )txtxtx прсв += . (6.8) Соотношение (6.8) означает, что послекоммутационный процесс можно рассматривать как суперпозицию двух режимов — принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса. Метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, основанный на представлении решения дифференциального уравнения (6.5) в виде суммы свободной и принужденной составляющих, называется классическим методом анализа. Примечание – Поскольку начальный запас энергии в пассивных элементах цепи всегда ограничен, при наличии потерь в них, свободные процессы с течением времени затухают, т.е. ( ) 0=

∞+→txlim свt

. Из формулы (6.8) тогда следует, что

( ) ( )txtx устпр = . (6.9) Это означает, что принужденная составляющая ( )txпр соответствует

126

установившемуся режиму работы цепи ( )txуст , поэтому может быть определена путем расчета стационарного состояния послекоммутационной схемы. 6.5 Структура свободной составляющей переходного процесса. Понятие о начальных условиях Вид общего решения однородного уравнения (6.7), т.е. структура свободной составляющей переходного процесса ( )txсв зависит от корней kλ характеристического уравнения 001

11 =++++ −− aaaa n

nn

n λλλ K , (6.10) которое получается из однородного уравнения (6.7) путем замены функции ( )tx на единицу, а ее производных — на mλ , где m — порядок производной ( n,m 1= ). Корни

kλ могут быть действительными или комплексно-сопряженными, простыми или кратными, поэтому свободная составляющая ( )txсв представима выражением ( ) ( ) ( ) ( )tytytytx kсв +++= K21 , (6.11) где явный вид функций ( )tyk ( nk ≤ ) определяется типом и кратностью корней характеристического уравнения (6.10). В общем случае характеристического уравнения произвольной степени n все возможные типы таких функций представлены в таблице 6.1. Таблица 6.1 – Тип функций, определяемых корнями характеристического уравнения

Тип корня и его кратность km Вид корня kλ

Вид функции ( )tyk , соответствующей корню kλ

Постоянная интегрирования

Действительный однократный,

1=km αλ =k ( ) t

k Aety α= constA =

Действительный km – кратный,

1>km αλ =k ( ) ∑

=

−=km

m

tmmk etAty

1

1 α constAm = ,

km,m 1=

Комплексно-сопряженный однократный,

1=km

βαλ jk ±= ( ) ( )χβα += tsinAety tk constA = ;

const=χ

Комплексно-сопряженный

km – кратный, 1>km

βαλ jk ±= ( ) ( )∑=

− +=km

m

mtm

mk tsinetAty1

1 χβα constAm = ; constm =χ ,

km,m 1=

Примечание – Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными. Коэффициенты mA и mχ каждой из функций ( )tyk (см. таблицу 6.1) являются постоянными интегрирования и определяются из начальных условий. Начальными

127

условиями (начальными значениями) называют значения токов и напряжений в схеме в момент коммутации, т.е. при 0=t . Различают следующие типы начальных условий: 1) докоммутационные и послекоммутационные; 2) независимые и зависимые; 3) нулевые и ненулевые. Докоммутационными условиями называют значения токов и напряжений в схеме при −= 0t ; послекоммутационными — значения токов и напряжений при += 0t . Значения токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях, известные из докоммутационного режима, называют независимыми начальными условиями, а значения всех остальных токов и напряжений в послекоммутационной схеме — зависимыми условиями. Если в электрической цепи непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, имеют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, имеют место ненулевые начальные условия. 6.6 Последовательность расчета переходных процессов в цепи классическим методом При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий: 1) составить на основании законов Кирхгофа систему дифференциальных уравнений для исследуемой цепи (в случае одноконтурной цепи — одно уравнение непосредственно по 2-му закону Кирхгофа); 2) выбрать основную переменную ( )tx и исключением других переменных из системы уравнений получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только основную переменную; 3) записать общее решение дифференциального уравнения в виде (6.8), т.е. как сумму свободной и принужденной составляющих ( )txсв и ( )txпр ; 4) определить принужденную составляющую ( )txпр методами расчета цепей в установившемся режиме; 5) составить характеристическое уравнение (6.10) и определить его корни kλ ; 6) составить выражение для свободной составляющей ( )txсв согласно формуле (6.11) и таблице 6.1; 7) записать начальные условия; если условия ненулевые, то определить токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях методами расчета цепей в установившемся режиме при −= 0t ; 8) определить постоянные интегрирования mA и mχ ; 9) подставить полученные значения mA , mχ , ( )txпр и kλ в общее решение ( ) ( ) ( )txtxtx прсв += , провести анализ полученного решения и построить графики

изменения искомой величины. Далее (в разделах 6.7 – 6.9) рассмотрены примеры анализа переходных процессов в электрических цепях. Они имеют самостоятельное значение и иллюстрируют суть классического метода.

128

6.7 Переходные процессы в цепях с индуктивной катушкой Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R и индуктивностью L (переходные процессы в реальной катушке индуктивности). 6.7.1 Включение индуктивной катушки на постоянное напряжение Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , L – цепи (индуктивной катушки) к источнику постоянной ЭДС constE = (рисунок 6.2, а).

а) б)

Рисунок 6.2 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в индуктивной катушке (б) при подключении к источнику постоянного напряжения

В послекоммутационном режиме, когда ключ K замкнут, переходной процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением

ERidtdiL =+ . (6.12)

Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободный ток свi , будет

0=+ свсв Ri

dtdiL . (6.13)

Его характеристическое уравнение 0=+ RLλ (6.14) имеет единственный корень LR−=λ , поэтому

τλtt

LR

tсв AeAeAei

−−=== , (6.15)

где величина RL=τ называется постоянной времени: [τ ] 1= с (секунда). Ток установившегося режима

REiпр = . (6.16)

Переходной процесс в цепи определяется суммой свободной и принужденной составляющих, поэтому из (6.15) и (6.16) следует:

REAeiii

t

прсв +=+=−τ . (6.17)

Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся 1-м законом

129

коммутации. До коммутации ток в индуктивной катушке был равен нулю ( ( ) 00 =−Li ), следовательно, в первый момент времени после коммутации ток ( ) ( )++ = 00 iiL будет также равен нулю:

( ) ( ) ( ) 0000 =+=== ++− REAiii LL .

Отсюда REA −= , поэтому выражение (6.17) можно представить в виде

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

eREi 1 ,

RL

=τ , (6.18)

т.е. ток в цепи нарастает до установившегося значения (6.16) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ , которая определяет скорость этого процесса. Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R пропорционально току (6.18):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

−τt

R eERiu 1 . (6.19)

Напряжение на индуктивном элементе с индуктивностью L :

τt

L EedtdiLu

−== . (6.20)

Графики изменения величин i , Ru и Lu в переходном процессе, построенные согласно формулам (6.18) – (6.20), приведены на рисунке 6.2, б. В первый момент времени после коммутации напряжение на индуктивном элементе скачком возрастает до значения ( ) EuL =+0 , после чего по экспоненциальному закону уменьшается до нуля. Примечание – Постоянная времени τ численно равна промежутку времени, за который экспоненциально изменяющаяся величина убывает в 722,e ≈ раза. Чем больше τ , тем медленнее затухает экспоненциальная функция и тем дольше длится переходной процесс в цепи. Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, однако практически его можно считать завершенным по истечении времени

( )τ53÷=t . 6.7.2 Отключение индуктивной катушки от источника постоянного напряжения Исследуем переходной процесс, возникающий при отключении R , L – цепи (индуктивной катушки) от источника постоянного напряжения и подключении ее к ветви с активным сопротивлением 0R (рисунок 6.3, а). После коммутации электрическое состояние цепи определяется уравнением

( ) 00 =++ iRRdtdiL . (6.21)

Отсутствие правой части в этом уравнении означает, что переходной ток равен свободному, а установившийся — нулю: свii = , 0=прi . Характеристическое уравнение для (6.21) аналогично (6.14), поэтому решением уравнения (6.21) является выражение (6.15)

τt

св Aeii−

== ,

130

в котором постоянная времени ( )0RRL +=τ . Поскольку до коммутации ток в цепи определялся напряжением источника и сопротивлением катушки, т.е.

( )REi =−0 ,

то REA = и выражение для переходного тока имеет вид

τt

eREi

−= ,

0RRL+

=τ . (6.22)

а) б)

Рисунок 6.3 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в индуктивной катушке (б) при отключении от источника постоянного напряжения

Напряжения на резистивном и индуктивном элементах равны:

τt

R EeRiu−

== , τt

R EeRRiRu

−== 0

00, τ

t

L EeR

RRdtdiLu

−+−== 0 . (6.23)

Графики изменения величин i , Ru , 0Ru и Lu в переходном процессе, построенные

согласно формулам (6.22), (6.23), приведены на рисунке 6.3, б. Примечание – Если резистор 0R имеет большее сопротивление, чем индуктивная катушка, то напряжение на нем в начальный момент времени после коммутации будет больше приложенного напряжения (больше ЭДС источника E ). Так, если nRR =0 ( 1>n ), то напряжение на резисторе

( ) nEER

nRERRuR ===+

000

.

Это обстоятельство следует иметь в виду при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, так как при этом могут возникать перенапряжения, в частности, при отсутствии в цепи резистора 0R , включенного параллельно индуктивной катушке, отключение ее от источника может сопровождаться возникновением между размыкающими контактами дугового разряда. 6.7.3 Короткое замыкание индуктивной катушки в цепи постоянного тока Исследуем переходной процесс, возникающий при коротком замыкании R , L – цепи (индуктивной катушки), подключенной к источнику постоянного напряжения (рисунок 6.4, а).

131

а) б)

Рисунок 6.4 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в индуктивной катушке (б) при коротком замыкании

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

0=+ RidtdiL . (6.24)

Так как дифференциальное уравнение (6.24) однородное, т.е. совпадает с уравнением (6.13), то его общее решение содержит только свободную составляющую:

τt

св Aeii−

== , где постоянная времени RL=τ . Поскольку в докоммутационном режиме через индуктивную катушку протекал постоянный ток

( )истRR

Ei+

=−0 ,

где истR — внутренне сопротивление источника ЭДС, то постоянная интегрирования ( )истRREA += и выражение для переходного тока

τt

ист

eRR

Ei−

+= ,

RL

=τ . (6.25)

Напряжения на резистивном и индуктивном элементах равны:

τt

истR Ee

RRRRiu

−

+== , τ

t

истL Ee

RRR

dtdiLu

−

+−== . (6.26)

Графики изменения величин i , Ru и Lu в переходном процессе, построенные согласно формулам (6.25), (6.26), приведены на рисунке 6.4, б. 6.7.4 Включение индуктивной катушки на синусоидальное напряжение Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , L – цепи (индуктивной катушки) к источнику синусоидальной ЭДС (рисунок 6.5, а):

( )em tsinEe ψω += , где mE , ω и eψ — амплитуда, угловая частота и начальная фаза этой ЭДС. Так как начало отсчета времени совпадает с моментом коммутации, то величина eψ зависит от

132

момента включения синусоидального источника в R , L – цепь и называется поэтому фазой включения.

а) б)

Рисунок 6.5 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в индуктивной катушке (б) при подключении к источнику синусоидального напряжения

Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид

eRidtdiL =+ . (6.27)

Установившийся ток ( )ϕψω −+= emпр tsinIi , (6.28) где

22L

mm

XREI+

= , R

Xarctg L=ϕ , LX L ω= . (6.29)

Уравнение для свободного тока свi и его общее решение сохраняют тот же вид (6.13), (6.15), что и для цепи с источником постоянного напряжения:

τt

св Aeii−

== , где постоянная времени RL=τ . На основании (6.28) и (6.29) получаем тогда следующее выражение для переходного тока в цепи:

( )ϕψωτ −++=−

em

t

tsinIAei . (6.30) Постоянная A в (6.30) определяется из начального условия, согласно которому должна быть задана величина тока в индуктивной катушке ( )−0Li до включения цепи. Так как в докоммутационном режиме ток в катушке отсутствовал, то ( ) 00 =−Li и, следовательно,

( ) ( ) ( ) ( ) 0000 =−+=== ++− ϕψ emLL sinIAiii и ( )ϕψ −−= em sinIA . Таким образом,

( ) τϕψt

emсв esinIi−

−−= , ( ) ( ) τϕψϕψωt

emem esinItsinIi−

−−−+= . (6.31) Графики изменения величин прi , свi , i и e в переходном процессе, построенные согласно формулам (6.28), (6.29) и (6.31), приведены на рисунке 6.5, б. Из анализа этих зависимостей следует, что на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи

133

существенное влияние оказывает фаза включения eψ . Так, если ϕψ =e , то согласно (6.31) 0=свi , т.е. свободный ток при коммутации вообще не возникает и электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходной ток равен установившемуся значению:

tsinIi m ω= . Если включение происходит при 2πϕψ ±=e , то свободный ток свi будет наибольший и в начальный момент времени равный амплитуде mI установившегося тока. Если постоянная времени τ значительно больше периода изменения ЭДС источника T ( T>>τ ), то свободный ток за половину периода установившегося тока не успеет существенно уменьшиться. Поэтому при неблагоприятных условиях коммутации

2πϕψ ±=e и большой постоянной времени τ максимальное значение переходного тока может почти в два раза превысить амплитуду установившегося тока. 6.8 Переходные процессы в цепи с конденсатором Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R и ёмкостью C (переходные процессы в реальном конденсаторе). 6.8.1 Включение конденсатора на постоянное напряжение Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику постоянной ЭДС constE = , т.е. режим заряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.6, а).

а) б)

Рисунок 6.6 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при подключении к источнику постоянного напряжения

В послекоммутационном режиме, когда ключ K замкнут, переходной процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением

Eudt

duRC CC =+ . (6.32)

Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободное напряжение свu , будет

0=+ CсвCсв u

dtduRC . (6.33)

134

Его характеристическое уравнение 01=+λRC (6.34) имеет единственный корень ( )RC1−=λ , поэтому

τλtt

RCtCсв AeAeAeu

−−===

1

, (6.35) где RC=τ — постоянная времени. Напряжение на зажимах конденсатора в установившемся режиме EuCпр = . (6.36) Переходной процесс в цепи определяется суммой свободной и принужденной составляющих, поэтому из (6.35) и (6.36) следует:

EAeuuut

CпрCсвC +=+=−τ . (6.37)

Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся 2-м законом коммутации. До коммутации напряжение на конденсаторе было равно нулю ( ( ) 00 =−Cu ), так как конденсатор не был заряжен, следовательно, в первый момент времени после коммутации напряжение ( )+0Cu будет также равно нулю:

( ) ( ) 000 =+== +− EAuu CC . Отсюда EA −= , поэтому выражение (6.37) можно представить в виде

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

C eEu 1 , RC=τ , (6.38)

т.е. напряжение на ёмкости нарастает до установившегося значения (6.36) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ , которая определяет скорость этого процесса. Ток в ёмкостном элементе с ёмкостью C , т.е. ток в последовательной R , C –цепи:

τt

C eRE

dtduCi

−== . (6.39)

Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R пропорционально току (6.39):

τt

R EeRiu−

== . (6.40) Графики изменения величин Cu , i и Ru в переходном процессе, построенные согласно формулам (6.38) – (6.40), приведены на рисунке 6.6, б. В первый момент времени после коммутации ток в цепи ограничен только сопротивлением, т.е. ( ) REi =+0 , а напряжение на резисторе скачком возрастает до величины ЭДС источника: ( ) EuR =+0 . В последующие моменты времени, с увеличением напряжения на конденсаторе, ток в цепи по экспоненциальному закону уменьшается до нуля. Примечание – Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком, поскольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью. Это необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения подключается цепь, содержащая конденсатор. 6.8.2 Короткое замыкание конденсатора в цепи постоянного тока Исследуем переходной процесс, возникающий при коротком замыкании

135

R , C – цепи (конденсатора), подключенной к источнику постоянного напряжения, т.е. режим разряда конденсатора ёмкостью C через сопротивление R (рисунок 6.7, а)

а) б)

Рисунок 6.7 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при коротком замыкании

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

0=+ CC u

dtduRC . (6.41)

Так как дифференциальное уравнение (6.41) однородное, т.е. совпадает с уравнением (6.33),то его общее решение содержит только свободную составляющую:

τt

CсвC Aeuu−

== , где постоянная времени RC=τ . Поскольку в докоммутационном режиме напряжение на конденсаторе

( ) EuC =−0 , то постоянная интегрирования EA = и выражение для переходного напряжения

τt

C Eeu−

= , RC=τ . (6.42) Ток при разряде конденсатора и напряжение на резистивном элементе равны:

τt

eREi

−−= , τ

t

R Eeu−

−= (6.43)

Графики изменения величин Cu , i и Ru в переходном процессе, построенные согласно формулам (6.42), (6.43), приведены на рисунке 6.7, б. 6.8.3 Включение конденсатора на синусоидальное напряжение Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику синусоидальной ЭДС (рисунок 6.8, а):

( )em tsinEe ψω += , где mE , ω и eψ — амплитуда, угловая частота и начальная фаза этой ЭДС. Как и в случае катушки индуктивности, величина eψ зависит от момента включения синусоидального источника в R , C – цепь и также называется фазой включения.

136

а) б)

Рисунок 6.8 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений в конденсаторе (б) при подключении к источнику синусоидального напряжения

Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид

eudt

duRC CC =+ . (6.44)

Установившееся напряжение на ёмкости

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

2πϕψω eCmCпр tsinUu , (6.45)

где

CmCm XIU = , 22C

mm

XREI+

= , R

Xarctg C−=ϕ , C

X C ω1

= . (6.46)

Уравнение для свободного напряжения Cсвu и его общее решение сохраняют тот же вид (6.33), (6.35), что и для цепи с источником постоянного напряжения:

τt

Cсв Aeu−

= , где постоянная времени RC=τ . На основании (6.45) и (6.46) получаем тогда следующее выражение для переходного напряжения на ёмкости:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++=

−

2πϕψωτ

eCm

t

C tsinUAeu . (6.47)

Постоянная A в (6.47) определяется из начального условия, согласно которому должна быть задана величина напряжения на зажимах конденсатора ( )−0Cu до включения цепи. Так как в докоммутационном режиме конденсатор не был заряжен, то

( ) 00 =−Cu и, следовательно,

( ) ( ) 02

00 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+== +−

πϕψ eCmCC sinUAuu и ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

2πϕψ eCm sinUA .

Таким образом,

τπϕψt

eCmCсв esinUu−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

2,

137

τπϕψπϕψωt

eCmeCmC esinUtsinUu−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

22. (6.48)

Для тока в переходном процессе получаем

( ) τπϕψϕψωt

eCm

emC esin

RUtsinI

dtduCi

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−+==

2. (6.49)

Графики изменения величин Cпрu , Cсвu , Cu и e в переходном процессе, построенные согласно формулам (6.45), (6.46) и (6.48), приведены на рисунке 6.8, б. Из анализа этих зависимостей следует, что, как и в случае индуктивной катушки, на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи существенное влияние оказывает фаза включения eψ . Так, если 2πϕψ ±=e , то согласно (6.48) 0=Cсвu , т.е. свободное напряжение при коммутации вообще не возникает и электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходное напряжение на ёмкости равно установившемуся значению:

tsinUu CmC ω= . Если включение происходит при ϕψ =e , то свободное напряжение Cсвu будет наибольшее и в начальный момент времени равное амплитуде CmU установившегося напряжения. Начальное значение свободного тока при этом будет ( )RUCm− . Если

CXR << , то в начальный момент времени произойдет скачкообразное увеличение тока в цепи, намного превосходящее амплитуду mI . Однако такой большой ток будет протекать незначительную часть периода, так как

12<<= τπ

TXR

C

,

и, следовательно, T<<τ . Максимальное значение напряжения Cu в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды CmU напряжения на ёмкости в установившемся режиме. 6.9 Переходные процессы в цепи постоянного тока при последовательном соединении резистора, индуктивной катушки и конденсатора Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R , индуктивностью L и ёмкостью C (рисунок 6.9). Исследуем частный, но практически важный случай переходного режима, возникающего при отключении конденсатора от источника постоянного напряжения и подключении его к ветви с активным сопротивлением R и индуктивностью L , т.е. режим разряда конденсатора в R , L – цепь (в индуктивную катушку). На основании 2-го закона Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи после коммутации:

0=++ CLR uuu .

Учитывая, что RiuR = , dtdiLuL = и

dtduCi C= , получим дифференциальное

уравнение 2-го порядка

138

02

2

=++ CCC u

dtduRC

dtudLC . (6.50)

Разделим обе части уравнения (6.50) на произведение LC :

012

2

=++ CCC u

LCdtdu

LR

dtud

(6.51)

и для удобства анализа введем обозначения

L

R2

=δ , LC1

0 =ω , (6.52)

где δ — коэффициент затухания, 0ω — угловая частота незатухающих колебаний. Из (6.51), (6.52) получим уравнение

02 202

2

=++ CCC u

dtdu

dtud ωδ . (6.53)

Рисунок 6.9 – Схема замещения цепи при подключении заряженного конденсатора

к индуктивной катушке

Дифференциальное уравнение (6.53), описывающее переходной процесс в рассматриваемой цепи, является однородным уравнением, поэтому его общее решение существует в форме свободной составляющей напряжения CсвC uu = , структура которой однозначно определяется корнями характеристического уравнения. Характеристическое уравнение согласно (6.53) имеет вид 02 2

02 =++ ωδλλ . (6.54)

В зависимости от соотношения параметров цепи (величин R , L и C ) корни характеристического уравнения (6.54) могут быть: 1) вещественными и различными, если дискриминант больше нуля, т.е. 0ωδ >

или ρ2>R , где CL=ρ ; 2) вещественными и равными, если дискриминант равен нулю, т.е. 0ωδ = или

ρ2=R ; 3) комплексно-сопряженными, если дискриминант меньше нуля, т.е. 0ωδ < или

ρ2<R . Характер переходного процесса в данной цепи будет существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными.

139

6.9.1 Апериодический разряд конденсатора Пусть корни характеристического уравнения (6.54) вещественные и различные: 2

02

1 ωδδλ −+−= , 20

22 ωδδλ −−−= . (6.55)

В этом случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид tt

C eAeAu 2121

λλ += , (6.56) где произвольные постоянные 1A и 2A определяются из начальных условий неизменности тока в катушке и напряжения на зажимах конденсатора в момент коммутации: ( ) ( )+− = 00 LL ii , ( ) ( )+− = 00 CC uu , т.е. из начальных условий, полученных на основании 1-го и 2- го законов коммутации. Из формулы (6.56) получаем выражение для силы тока в цепи:

( )ttC eAeACdt

duCi 212211

λλ λλ +== . (6.57)

Так как в докоммутационном режиме ( ) ( ) 000 == −− Lii и ( ) 00 UuC =− , где 0U — первоначальное напряжение на конденсаторе ( EU ≤< 00 ), то из (6.56) и (6.57) получим два уравнения для определения постоянных интегрирования 1A и 2A :

021 UAA =+ и 02211 =+ AA λλ . Совместное решение этих уравнений даст

21

201 λλ

λ−

−=UA ,

21

102 λλ

λ−

=UA . (6.58)

Подставляя (6.58) в (6.56) и (6.57), найдем формулы, определяющие напряжение на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации:

( )ttC eeUu 21

1221

0 λλ λλλλ

−−

−= , ( ) ( )tt eeL

Ui 21

21

0 λλ

λλ−

−−= . (6.59)

Напряжение на индуктивности равно:

( )ttL eeU

dtdiLu 21

2121

0 λλ λλλλ

−−

−== . (6.60)

Анализ корней (6.55) характеристического уравнения приводит к неравенствам: 01 <λ и 02 <λ .

Это означает, что каждая из найденных величин Cu , i и Lu состоит из 2-х слагаемых, затухающих по экспонентам с коэффициентами затухания 1λ и 2λ . Графики изменения величин Cu , i и Lu в переходном режиме, построенные согласно выражениям (6.59) и (6.60), приведены на рисунке 6.10. Из рисунка 6.10 видно, что напряжение Cu на конденсаторе монотонно уменьшается от 0U до нуля, не меняя знака. Такой разряд конденсатора, при котором энергия его электрического поля непрерывно убывает и не происходит процесса перезарядки, называется апериодическим разрядом. Ток i при апериодическом разряде (см. рисунок 6.10) возрастает от нуля до некоторого максимума при 1tt = , а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю. Напряжение Lu на индуктивности начинает свое изменение со значения ( ) 00 UuL −=+ и убывает до нуля ( 1tt = ), а затем, изменяя знак, возрастает до максимума

( 2tt = ) и далее асимптотически стремится к нулю.

140

В момент времени 1t напряжение на конденсаторе Cu проходит точку перегиба, ток i — свой максимум, а напряжение Lu на индуктивности равно нулю. Перегиб кривой тока i и максимум Lu также имеет место в один и тот же момент времени 2t .

Рисунок 6.10 – Временная диаграмма токов и напряжений в цепи при апериодическом

разряде конденсатора

Из рисунка 6.10 следует, что мгновенная мощность Cp всегда отрицательна: 0<= iup CC и, следовательно, конденсатор в течение всего переходного процесса

отдает свою энергию. Энергия конденсатора непрерывно расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении цепи, но, кроме того, в интервале времени от 0 до 1t , когда 0>= iup LL , конденсатор расходует энергию и на создание магнитного поля, т.е. часть энергии, запасенной в его электрическом поле, переходит в энергию магнитного поля индуктивности. От момента 1t до конца процесса тепловые потери покрываются не только за счет энергии электрического поля, но и за счет энергии магнитного поля, запас которой создан в интервале времени от 0 до 1t . Когда вся энергия заряженного конденсатора превратится в тепло, процесс в цепи закончится. 6.9.2 Критический разряд конденсатора Пусть корни характеристического уравнения (6.54) вещественные и равные: δλλ −== 21 . (6.61) В этом случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид ( ) t

C etAAu δ−+= 21 , (6.62) а сила тока в цепи определяется выражением

( ) tC etAAACdt

duCi δδδ −−+−== 221 . (6.63)

Для определения произвольных постоянных 1A и 2A используем начальные условия, согласно которым ( ) ( ) 000 == −− Lii и ( ) 00 UuC =− . Из (6.62) и (6.63) тогда получим два следующих уравнения:

01 UA = и ( ) 021 =+− AAC δ . Совместное решение этих уравнений даст 01 UA = , 02 UA δ= . (6.64) Подставляя (6.64) в (6.62) и (6.63), найдем формулы, определяющие напряжение на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации:

141

( ) tC etUu δδ −+= 10 , tte

LUi δ−−= 0 . (6.65)

Напряжение на индуктивности равно:

( ) tL etU

dtdiLu δδ −−== 10 . (6.66)

Если построить графики изменения величин Cu , i и Lu в переходном режиме согласно выражениям (6.65), (6.66), то они окажутся аналогичными кривым Cu , i и Lu , изображенным на рисунке 6.10. Все переменные будут только быстрее нарастать и быстрее убывать, чем в первом случае; конденсатор будет непрерывно разряжаться, а напряжение на нем будет монотонно убывать, не меняя своего знака. Следовательно, и в данном случае имеет место апериодический разряд. Этот предельный случай апериодического разряда называют еще критическим разрядом конденсатора. Значение ρ2=крR , при котором наблюдается критический случай апериодического разряда, называется критическим сопротивлением последовательного контура. 6.9.3 Колебательный разряд конденсатора Пусть корни характеристического уравнения (6.54) комплексно-сопряженные: свjj ωδδωδλ +−=−+−= 22

01 , свjj ωδδωδλ −−=−−−= 2202 , (6.67)

где 220 δωω −=св — угловая частота собственных затухающих колебаний. В этом

случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид ( )χωδ += − tsinAeu св

tC , (6.68)

а сила тока в цепи определяется выражением

( ) ( ){ }χωωχωδδ +++−== − tcostsinCAedt

duCi свсвсвtC , (6.69)

где A и χ — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Так как эти условия в рассматриваемом случае такие же, как и в двух предыдущих, т.е. ( ) ( ) 000 == −− Lii и ( ) 00 UuC =− , то на основании формул (6.68) и (6.69) получим два уравнения для определения постоянных A и χ :

0UsinA =χ и ( ) 0=− χδχω sincosCA св . Совместное решение этих уравнений даст

00 UAсвω

ω= ,

δωχ свarctg= . (6.70)

Подставляя (6.70) в (6.68) и (6.69), найдем формулы, определяющие напряжение на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации: ( )χωδ += − tsineUu св

tCmC , ( )πωδ += − tsineIi св

tm , (6.71)

где CmU и mI — амплитуды напряжения и тока, определяемые равенствами

00 UUсв

Cm ωω

= , L

UIсв

m ω0= . (6.72)

Напряжение на индуктивности равно:

142

( )χωδ −== − tsineUdtdiLu св

tLmL , 0

0 UUсв

Lm ωω

= . (6.73)

Графики изменения величин Cu , i и Lu в переходном режиме, построенные согласно выражениям (6.71) – (6.73), приведены на рисунке 6.11.

Рисунок 6.11 – Временная диаграмма токов и напряжений в цепи при колебательном

разряде конденсатора

Из полученных аналитических выражений (6.71) – (6.73), а также из рисунка 6.11 видно, что процесс в данном случае является колебательным. Ток и напряжение на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону, следовательно, в цепи совершаются затухающие колебания тока и напряжения. Данный режим поэтому называется колебательным разрядом конденсатора. Сущность переходного процесса при колебательном разряде сводится к следующему. При разряде конденсатора энергия его электрического поля расходуется, во-первых, на покрытие тепловых потерь, а, во-вторых, большей своей частью переходит в энергию магнитного поля индуктивной катушки. Поэтому, когда напряжение Cu пройдет через нуль, и конденсатор полностью разрядится, в магнитном поле катушки индуктивности накопится энергия, достаточная для поддержания тока прежнего направления, покрытия тепловых потерь и перезарядки конденсатора. Конденсатор не может перезарядиться до прежнего по абсолютной величине напряжения, так как вследствие тепловых потерь общая энергия электромагнитного поля, связанная с контуром, непрерывно убывает. Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оценивать декрементом колебаний Δ , равным отношению двух последующих мгновенных значений тока или напряжения одного знака, а также логарифмическим декрементом колебаний ϑ :

( )

( )свT

свC

C eTtutu δΔ =+

= , свTln δΔϑ == , (6.74)

где свсвT ωπ2= — период свободных колебаний. Из (6.74) следует, что декремент зависит только от параметров цепи. Наибольшее влияние на декремент колебательного процесса оказывает величина сопротивления R . С увеличением R затухание увеличивается, а при крRR = колебания прекращаются.

143

Наоборот, при уменьшении R затухание уменьшается и при 0=R (контур без потерь) становится равным нулю. 6.10 Расчет переходных процессов в разветвленных электрических цепях. Способы составления характеристического уравнения При анализе переходных процессов в разветвленных электрических цепях возникает необходимость в составлении дифференциальных уравнений состояния цепи не только по 2-му закону Кирхгофа, как это делалось в рассмотренных выше неразветвленных цепях, но и по 1-му закону Кирхгофа или же в использовании общих методов расчета цепей, например, метода контурных токов или метода узловых потенциалов. Общий алгоритм классического метода анализа переходных процессов в разветвленных и неразветвленных цепях был сформулирован в разделе 6.6, поэтому здесь рассмотрим его практическую реализацию на примере цепи с источником постоянного напряжения (рисунок 6.12).

Рисунок 6.12 – Схема разветвленной цепи при переходном процессе

В соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа для рассматриваемой цепи составим систему уравнений:

0321 =−− iii ; ERiRi =+ 2211 ; (6.75)

013

3

333322 =+++− ∫ dti

CdtdiLRiRi .

Исключив из этой системы уравнений токи 1i и 2i , получим уравнение для тока 3i :

( ) ( ) ( ) 03213

313221323

2

2133 =++++++ iRRdtdiRRRRRRC

dtidRRCL . (6.76)

Дифференциальное уравнение (6.76) является однородным уравнением, поэтому его общее решение существует в форме свободной составляющей тока, т.е. свii 33 = . Структура функции свi3 определяется корнями характеристического уравнения, которое в данном случае имеет вид ( ) ( ) ( ) 0213132213

22133 =++++++ RRRRRRRRCRRCL λλ . (6.77)

Дальнейший ход решения задачи принципиально ничем не отличается от ранее рассмотренных (в разделах 6.7 – 6.9) примеров анализа переходных процессов в одноконтурных цепях. Необходимо рассчитать корни характеристического уравнения (6.77), зная которые на основании таблицы 6.1 построить для тока 3i

144

аналитическое выражение вида (6.11) и доопределить в нем произвольные постоянные в соответствии с заданными начальными условиями. Далее, в зависимости от условия задачи, необходимо рассчитать остальные токи или напряжения в цепи при переходном процессе. В частности, для схемы цепи, изображенной на рисунке 6.12, токи 1i и 2i можно выразить через уже известный ток 3i следующим образом:

21

231 RR

RiEi++

= , 21

132 RR

RiEi+−

= .

Как следует из всех вышерассмотренных примеров анализа переходных процессов классическим методом, наиболее важным его моментом является процедура составления характеристического уравнения. Существует три основных способа составления характеристического уравнения: 1) непосредственно на основе однородного дифференциального уравнения вида (6.7); 2) на основе выражения главного определителя системы дифференциальных уравнений; 3) путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном (синусоидальном) токе. Согласно первому способу характеристическое уравнение было получено в разделах 6.7 – 6.9 и в данном разделе. Рассмотрим два альтернативных способа составления характеристических уравнений. 6.10.1 Алгебраизация системы дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс, и составление характеристического уравнения на основе главного определителя этой системы Поскольку характеристическое уравнение всегда составляется на основе однородного дифференциального уравнения, то его структура от действующих в цепи принуждающих сил — токов и ЭДС источников электрической энергии — никак не зависит. Это означает, что исходную систему дифференциальных уравнений для полных токов и напряжений прсв iii += , прсв uuu += можно заменить эквивалентной системой однородных уравнений для свободных токов и напряжений свi , свu . Например, система уравнений (6.75) для свободных токов запишется так:

0321 =−− свсвсв iii ; 02211 =+ RiRi свсв ; (6.78)

013

3

333322 =+++− ∫ dti

CdtdiLRiRi св

свсвсв .

Известно, что решение однородного дифференциального уравнения можно записать в виде показательной функции ptAe , где величина p , являющаяся корнем характеристического уравнения, может быть как вещественной, так и комплексной, т.е. согласно таблице 6.1 допустимы следующие значения p : αλ == kp или

βαλ jp k ±== . Таким образом, уравнение для свободного тока можно представить в виде pt

св Aei = , причем постоянная интегрирования A для каждого из токов свi1 , свi2 ,

свi3 будет своя, а показатель затухания p одинаков для всех свободных токов. Физически это объясняется тем, что вся линейная цепь охвачена единым переходным процессом, поэтому корни характеристического уравнения являются общими для всех

145

свободных составляющих токов и напряжений ветвей схемы, параметры которой и входят в это характеристическое уравнение. Найдем производную и интеграл от свободного тока:

( ) свptptсв pipAeAe

dtd

dtdi

=== , p

ip

AedtAedti свpt

ptсв === ∫∫ ,

следовательно, производную от свободного тока можно заменить на свpi , а свободное напряжение на индуктивности, т.е. величину dtLdiсв — на ( ) свipL . Аналогично интеграл от свободного тока может быть заменен величиной piсв , а свободное напряжение на конденсаторе — величиной ( )pCiсв . Произведем указанные замены в системе уравнений для свободных токов (6.78):

0321 =−− свсвсв iii ; 02211 =+ RiRi свсв ; (6.79)

013

33322 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++− свсв i

pCpLRRi .

Уравнения (6.79) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно свi1 , свi2 , свi3 и в отличие от исходной системы (6.78) не содержат производных и интегралов. Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе уравнений алгебраических называется алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Система уравнений (6.79), таким образом, есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (6.78). Правила перехода от исходной системы дифференциальных уравнений к алгебраизованной систематизированы в таблице 6.2. Таблица 6.2 – Правила алгебраизации системы дифференциальных уравнений

Величина, подвергающаяся алгебраизации

Исходная математическая форма

Алгебраизованная математическая форма

Rсвu — напряжение на сопротивлении свRi свRi

Lсвu — напряжение на индуктивности dt

diL св ( ) свipL

Cсвu — напряжение на ёмкости ∫ dti

C св1

свipC ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

Число алгебраических уравнений в системе равно числу неизвестных свободных токов. Предположим, что p уже определено и решим систему (6.79) относительно свi1 ,

свi2 , свi3 методом Крамера:

ΔΔ1

1 =свi , ΔΔ2

2 =свi , ΔΔ3

3 =свi , (6.80)

где Δ — главный определитель системы уравнений (6.79), 1Δ , 2Δ и 3Δ — определители, получаемые из Δ путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го и 3-го столбцов правой частью уравнений (6.79). В данном случае

146

3332

2110

0111

pCpLRR

RR

++−

−−=Δ , (6.81)

а каждый из определителей 1Δ , 2Δ и 3Δ равен нулю: 01 =Δ , 02 =Δ , 03 =Δ , (6.82) так как все они содержат нулевой столбец, образованный правой частью уравнений (6.79), которая также состоит из одних нулей. Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, так как при этом нарушаются законы коммутации, однако из (6.80) и (6.82) следует, что

Δ0

1 =свi , Δ0

2 =свi , Δ0

3 =свi ,

значит, свободные токи могут быть не равны нулю только в том случае, когда 0=Δ . Таким образом, определитель Δ алгебраизованной системы уравнений должен равняться нулю. Уравнение ( ) 0=pΔ (6.83) является характеристическим уравнением, полученным на основе алгебраизованной системы дифференциальных уравнений, и содержит единственную неизвестную величину p . Покажем на примере рассматриваемой цепи, что алгебраическое уравнение (6.83) действительно является характеристическим, т.е. совпадает с уравнением (6.77), полученным непосредственно из однородного дифференциального уравнения (6.76). Вычисляя определитель Δ системы согласно (6.81), получим

( ) ( ) ( ) ( )213

3132212131 RR

pCRRRRRRpRRLp ++++++=Δ ,

откуда на основании (6.83) приходим к уравнению ( ) ( ) ( ) 0213132213

22133 =++++++ RRpRRRRRRCpRRCL . (6.84)

Это уравнение при λ=p идентично характеристическому уравнению (6.77). 6.10.2 Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем: 1) записывается входное сопротивление цепи ( )ωjZ вх на переменном синусоидальном токе; 2) произведение ωj в выражении для ( )ωjZ вх заменяется на p ; 3) полученное выражение ( )pZвх приравнивается к нулю. Уравнение ( ) 0=pZвх (6.85) совпадает с характеристическим.

147

Примечание – Входное сопротивление ( )ωjZ вх может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Следует отметить, что данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить предварительное развязывание. Для схемы цепи на рисунке 6.12 относительно зажимов источника

( )

3332

3332

1 1

1

CjLjRR

CjLjRR

RjZ вх

ωω

ωω

ω+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+= .

Заменив ωj на p и приравняв согласно (6.85) полученное выражение к нулю, запишем

( ) 01

1

3332

3332

1 =+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

pCpLRR

pCpLRR

RpZвх

или ( ) ( ) ( ) 0213132213

22133 =++++++ RRpRRRRRRCpRRCL . (6.86)

Алгебраическое уравнение (6.86) совпадает с уравнением (6.84) и при λ=p также идентично характеристическому уравнению (6.77). 6.11 Метод переменных состояния Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему уравнений 1-го порядка, определяющую энергетический режим цепи. В более узком смысле уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенную относительно производных, т.е. систему уравнений, представленную в нормальной форме, или форме Коши. Метод анализа переходных процессов, основанный на составлении и решении системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, называется методом переменных состояния. Искомыми величинами в уравнениях этого метода являются функции, характеризующие энергетический режим цепи. Известно, что в линейных электрических цепях указанный режим полностью определяется токами в индуктивностях и напряжениями на ёмкостях, поэтому функции ( )tiL и ( )tuC в рассматриваемом методе являются искомыми величинами и называются переменными состояния электрической цепи. Примечание – Переменные состояния образуют систему из наименьшего числа величин, полностью определяющих реакцию всех ветвей цепи при заданных начальных условия и приложенных при 0≥t внешних воздействиях (источниках электрической энергии). Общее число уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме, т.е. число переменных состояния, очевидно, совпадает с порядком n дифференциального уравнения цепи.

148

6.11.1 Уравнения переменных состояния Обозначим переменные состояния буквами 1x , 2x , K , nx , тогда дифференциальные уравнения относительно этих переменных в нормальной форме запишутся так:

( )tfxaxaxaxdtdx

nn 1121211111 ++++=′= K ;

( )tfxaxaxaxdt

dxnn 222221212

2 ++++=′= K ; (6.87)

……………………………………………..

( )tfxaxaxaxdt

dxnnnnnnn

n ++++=′= K2211 ,

где ija ( n,j,i 1= ) — элементы квадратной nn× – матрицы, определяемые

геометрической структурой цепи и параметрами ее элементов, ( )tfi ( n,i 1= ) — элементы вектора, также зависящие от структуры цепи и параметров действующих в ней источников электрической энергии. В рамках классического метода анализа переходных процессов закон изменения тока ( )ti в любой ветви или напряжения ( )tu между ее выводами определяют как решение дифференциального уравнения n - го порядка (6.5), т.е. уравнения

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftxadt

tdxadt

txdadt

txda n

n

nn

n

n =++++ −

−

− 011

1

1 K ,

где ( ) ( )titx = или ( ) ( )tutx = . Покажем, что описание переходных процессов в виде одного дифференциального уравнения (6.5) и в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (6.87) эквивалентны. Положим

( ) ( )txtx =1 , ( ) ( )dt

tdxtx =2 , ( ) ( )2

2

3 dttxdtx = , ( ) ( )

1

1

−

−

= n

n

n dttxdtx .

Дифференциальное уравнение (6.5) тогда сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений 1-го порядка:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

;;;;

12

11

0

13

22

1

nn

n

n

nn

n

nn

atftx

aatx

aatx

aa

dttdx

txdt

tdxtxdt

tdxtxdt

tdx

+−−−−=

===

−

−

K

K (6.88)

математическое выражение которой аналогично (6.87). Уравнения (6.88) можно записать в матричной форме:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )tf

atxtx

txtx

aa

aa

aa

aa

aa

txtx

txtx

nn

n

n

n

n

n

nnnn

n

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

′′

−−−

− 10

00

10000

0010000010

1

2

1

122101

2

1

MM

K

K

MMMMMM

K

K

M

или

149

BVAXX +=′ . (6.89) Здесь X и X ′ — 1×n – матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени ( n — число переменных состояния): ( ) ( ) ( )[ ]Tn txtxtx K21=X , ( ) ( ) ( )[ ]Tn txtxtx ′′′=′ K21X , (6.90) A — квадратная nn× – матрица, определяемая геометрической структурой цепи и параметрами ее элементов, B — прямоугольная mn× – матрица связи между источниками и переменными состояния ( m — число источников энергии), V —

1×m – матрица внешних воздействий (ЭДС и токов источников), называемая также вектором входных величин. Начальные условия для уравнения (6.89) задаются вектором начальных значений ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tnxxx 0000 21 K=X , (6.91) где символ «T » обозначает операцию транспонирования матрицы. Искомые токи и напряжения в цепи, называемые также выходными величинами, могут быть выражены через переменные состояния. Представим произвольную совокупность выходных величин 1y , 2y , K , ky в виде столбцевой 1×k – матрицы

( ) ( ) ( )[ ]Tk tytyty K21=Y . (6.92) Связь выходных величин (6.92), переменных состояния (6.90) и входных величин может быть записана в матричной форме уравнением DVCXY += , (6.93) где C — прямоугольная nk × – матрица связи переменных состояния с выходными (искомыми) величинами ( k — число этих величин), D — прямоугольная

mk × – матрица непосредственной связи входных и выходных величин. Матричные уравнения (6.89) и (6.93), образующие совокупность системы дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния и системы уравнений для выходных величин, составляют полную систему уравнений для анализа переходных процессов в цепи методом переменных состояния. Эти уравнения называются уравнениями состояния. В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим схему цепи на рисунке 6.13, в которой требуется определить токи 2i и 3i .

Рисунок 6.13 – Схема, иллюстрирующая применение метода переменных состояния

На основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для данной цепи запишем: 0321 =+−− Jiii ; (6.94)

EudtdiLRi C =++ 3

1111 ; (6.95)

150

0322 =− CuRi . (6.96) Поскольку dtduCi C333 = , то уравнения (6.94) и (6.95) с учетом соотношения (6.96) перепишем в виде

JC

EiC

uRCdt

duC

C

31

33

23

3 1011+⋅++−= ;

JEL

iLRu

Ldtdi

C ⋅++−−= 011

11

1

13

1

1

или в матричной форме:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

JE

L

Ci

u

LR

L

CRCi

u CC

01

10

1

11

1

3

1

3

1

1

1

323

1

3 . (6.97)

Если положить, что

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

1

1

1

3231

11

LR

L

CRCA , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

3

iuCX ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=01

10

1

3

L

CB , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

JE

V ,

то матричное уравнение (6.97) представляет уравнение состояния (6.89) для определения переменных 3Cu и 1i . Матричное уравнение вида (6.93), т.е. уравнение для определения выходных величин 2i и 3i следует из соотношений (6.94) и (6.96):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡JE

iu

R

Rii C

1000

11

01

1

3

2

2

3

2 .

Здесь следует положить

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3

2

ii

Y ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

11

01

2

2

R

RC , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1000

D .

Вектор начальных значений [ ] ( ) ( )[ ] [ ]TT

C JRiu 0000 213 ==X . 6.11.2 Решение уравнений переменных состояния Уравнения переменных состояния могут быть решены аналитически или с помощью численных методов. Аналитическое решение для сложных линейных цепей сопряжено с большими трудностями, а для нелинейных в большинстве случаев невозможно. Таким образом, метод переменных состояния — один из методов анализа переходных процессов, ориентированный прежде всего на применение ЭВМ. Рассмотрим далее аналитическое решение матричного уравнения состояния (6.89). Если в послекоммутационной схеме цепи источники тока и ЭДС отсутствуют, т.е.

0=V , то уравнение (6.89) упростится:

151

0=−′ AXX . (6.98) Уравнение (6.98) характеризует свободные процессы в цепи. Его решение очевидно и записывается в виде ( ) ( )0XX Atet = , (6.99) где teA — матричная экспоненциальная функция. Если в послекоммутационной схеме имеются источники тока и ЭДС, т.е. 0≠V , то решение уравнения (6.89) представляют равенством ( ) ( )tet tΘAX = , (6.100) в котором ( )tΘ — некоторая неизвестная матричная функция цепи. Получим математическое выражение для этой функции, для чего продифференцируем решение (6.100):

( ) ( ) ( )tdtdetet

dtd tt ΘΘ AAAX += . (6.101)

Сравнение соотношений (6.100) и (6.101) с уравнением (6.89) приводит к следующему равенству:

( ) ( )ttdtde t BVA =Θ .

Умножим это равенство на te A− , тогда

( ) ( )tetdtd t BVA−=Θ . (6.102)

Проинтегрировав обе части уравнения (6.102), найдем, что

( ) ( )∫∞−

−=t

det ττΘ τ BVA , (6.103)

где τ — переменная интегрирования. Представим соотношение (6.103) в виде

( ) ( ) ( )∫∫ −

∞−

− +=t

dedet0

0

ττττΘ ττ BVBV AA

и подставим его в общее решение (6.100) уравнения состояния:

( ) ( ) ( )∫∫ −

∞−

− +=t

tt deedeet0

0

ττττ ττ BVBVX AAAA , (6.104)

в частности, при 0=t

( ) ( )∫∞−

−=0

0 τττ de BVX A .

Следовательно, равенство (6.104) для переменных состояния можно представить в следующей форме:

( ) ( ) ( ) ( )∫+=t

t deet0

0 τττ BVXX -tAA . (6.105)

Выражение (6.105) дает полное решение поставленной задачи, т.е. позволяет

152

определить значения переменных состояния. Это решение, как видно, содержит два слагаемых. Первое слагаемое согласно (6.99) представляет собой реакцию вектора переменных состояния при отсутствии источников, а второе слагаемое — это реакция цепи при нулевых начальных условиях. В частном случае, когда V не зависит от времени, решение (6.105) уравнения состояния упрощается: ( ) ( ) ( ) BVAXX -1AA 10 −+= tt eet . (6.106) Примечание – Основная трудность аналитического решения уравнения состояния заключается в определении матричной экспоненциальной функции teA . Для вычисления этой функции может быть использована формула Сильвестра, согласно которой

( )

( )∑∏

∏=

≠=

≠=

−

⋅−

=n

k

tn

ki,i

ik

n

ki,i

i

t ke

A

e1

1

1 λ

λλ

λ 1A ,

где 1 — единичная матрица порядка n , kλ — собственные значения матрицы A , т.е. корни уравнения ( ) 0=⋅− 1λAdet или уравнения

0

321

2232221

1131211

=

−

−−

λ

λλ

nnnnn

n

n

aaaa

aaaaaaaa

K

MMMMM

K

K

,

в котором ika ( n,k,i 1= ) — элементы матрицы A . Отметим, что собственные значения

kλ матрицы A совпадают с корнями kλ характеристического уравнения (6.10). 6.12 Операторный метод расчета переходных процессов. Основные положения Сущность операторного метода заключается в том, что функции ( )tf вещественной переменной t , называемой оригиналом, ставится в соответствие функция ( )pF комплексной переменной p , называемая изображением (Лапласовым образом),

согласно функциональному соотношению

( ) ( )∫∞+

−=0

dtetfpF pt . (6.107)

Это соотношение определяет интегральное преобразование Лапласа и кратко обозначается так: ( )pF ( )tf или ( ) ( )[ ]tfpF = . Существует обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал ( )tf по его изображению ( )pF :

( ) ( )∫+

−∞→

=j

j

ptdpepFlimtfβα

βαβ

. (6.108)

153

Обратное преобразование кратко записывают так: ( ) ( )[ ]pFtf 1−= . В результате применения преобразования Лапласа (6.107) производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений, что, в свою очередь, определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находится изображение и далее путем обратного преобразования — оригинал. 6.13 Основные свойства преобразования Лапласа и изображение простейших функций Основные свойства преобразования Лапласа представлены в таблице 6.3. Таблица 6.3 – Основные свойства преобразований Лапласа

Название свойства

Математическое выражение

Линейность преобразования ( )∑=

n

k

kk tfa1

( )∑=

n

k

kk pFa1

, constak =

Дифференцирование оригинала ( )tf ′ ( ) ( )+− 0fppF

Интегрирование оригинала ( )∫t

df0

ττ ( )ppF

Дифференцирование изображения ( )pF ′ ( )ttf−

Интегрирование изображения ( )∫∞+

p

dppF ( )ttf

Теорема подобия ( )atf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

apF

a1

Теорема запаздывания ( )τ−tf ( )pFe pτ−

Теорема смещения ( ) tetf α− ( )α+pF

Теорема свертки ( ) ( )pFpF 21 ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−tt

dftfdtff0

21

0

21 ττττττ

В таблице 6.4 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов. Таблица 6.4 – Лапласовы изображения простейших функций

Функция-оригинал

Функция-изображение

( )tAδ A

154

Продолжение таблицы 6.4

Функция-оригинал

Функция-изображение

A pA

At 2pA

nAt 1+np!An

tAe α− α+pA

tAte α− ( )2α+pA

tneAt α− ( ) 1++ np!Anα

tsinA ω 22 ωω+p

A

tcosA ω 22 ω+pAp

( )ψω +tsinA ( )

22 ωψωψ

++

pcossinpA

( )ψω +tcosA ( )

22 ωψωψ

+−

psincospA

tsinAe t ωα− ( ) 22 ωαω++p

A

tcosAe t ωα− ( )

( ) 22 ωαα++

+p

pA

Более подробные таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в специальных справочниках. 6.14 Операторное сопротивление и операторная проводимость. Операторные схемы замещения пассивных элементов цепи При анализе переходных процессов операторным методом токам, напряжениям и ЭДС, действующим в цепи, т.е. функциям ( )ti , ( )tu и ( )te , сопоставляются их изображения ( )pI , ( )pU и ( )pE , определяемые интегральными преобразованиями Лапласа (6.107):

( ) ( )∫∞+

−=0

dtetipI pt , ( ) ( )∫∞+

−=0

dtetupU pt , ( ) ( )∫∞+

−=0

dtetepE pt

155

или ( )ti ( )pI , ( )tu ( )pU , ( )te ( )pE .

Представление функций ( )ti , ( )tu и ( )te их Лапласовыми образами ( )pI , ( )pU и ( )pE приводит к необходимости сопоставления указанных образов по величине для

одного и того же элемента цепи или ее части, рассматриваемой в целом как пассивный двухполюсник. Это сопоставление также проводят с помощью преобразований Лапласа. 6.14.1 Операторное сопротивление и операторная проводимость Отношение изображения напряжения на зажимах двухполюсника к изображению тока в нем называется операторным сопротивлением:

( ) ( )( )pI

pUpZ = . (6.109)

Величина, обратная сопротивлению, т.е. функция

( ) ( )( )pUpIpY = (6.110)

называется операторной проводимостью. Операторное сопротивление ( )pZ и операторная проводимость ( )pY , определяемые формулами (6.109) и (6.110), позволяют сопоставить изображения токов и напряжений на зажимах двухполюсника с произвольной структурой. Наиболее просто указанное сопоставление может быть проведено для идеализированных пассивных элементов схем замещения: резистивного, индуктивного и ёмкостного. 6.14.2 Закон Ома и операторная схема замещения резистивного элемента Ток и напряжение в резистивном элементе с сопротивлением R (рисунок 6.14, а) связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида ( ) ( )tRitu = , ( ) ( )tguti = , (6.111) где Rg 1= — проводимость.

а) б)

Рисунок 6.14 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения резистивного элемента

На основании свойства линейности преобразования Лапласа формулы (6.111) можно представить в операторной форме:

( ) ( )pRIpU = , ( ) ( )pgUpI = или ( ) ( ) ( )pIpZpU R= , ( ) ( ) ( )pUpYpI R= , (6.112) где коэффициенты

156

( ) RpZR = , ( ) gpYR = (6.113) представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость резистивного элемента. Соотношения (6.112) называются операторными законами Ома для резистивного элемента цепи. Этим соотношениям соответствует операторная схема замещения резистивного элемента, изображенная на рисунке 6.14, б. 6.14.3 Закон Ома и операторная схема замещения индуктивного элемента Ток и напряжение в индуктивном элементе с индуктивностью L (рисунок 6.15, а) связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида

( ) ( )dt

tdiLtu = , ( ) ( ) ( )∫+=t

L dttuL

iti0

10 . (6.114)

а) б) в)

Рисунок 6.15 – Исходная (а) и операторные схемы замещения индуктивного элемента с источником ЭДС (б) и источником тока (в)

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования оригинала формулы (6.114) можно представить в операторной форме:

( ) ( ) ( )ppLILipU L +−= 0 , ( ) ( ) ( )pUpLp

ipI L 10+= . (6.115)

В отсутствие начального тока ( )0Li в элементе выражения (6.115) принимают вид ( ) ( ) ( )pIpZpU L= , ( ) ( ) ( )pUpYpI L= , (6.116) где коэффициенты

( ) pLpZL = , ( )pL

pYL1

= (6.117)

представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость индуктивного элемента. Соотношения (6.115) и (6.116) называются операторными законами Ома для индуктивного элемента цепи. Этим соотношениям соответствуют две операторные схемы замещения индуктивного элемента, изображенные на рисунках 6.15, б и 6.15, в. В перовой схеме (рисунок 6.15, б) начальный ток ( )0Li в индуктивности учитывается с помощью дополнительного источника ЭДС (изображение ЭДС ( )0LLi ),

157

соединенного последовательно с индуктивным элементом и имеющего направление действия ЭДС, совпадающее с направлением начального тока. Во второй схеме (рисунок 6.15, в) начальный ток учитывается источником тока (изображение задающего тока ( ) piL 0 ), включенным параллельно индуктивной проводимости и направленным одинаково с начальным током. 6.14.4 Закон Ома и операторная схема замещения ёмкостного элемента Ток и напряжение в ёмкостном элементе с ёмкостью C (рисунок 6.16, а) связаны компонентными соотношениями (законами Ома) вида

( ) ( ) ( )∫+=t

C dttiC

utu0

10 , ( ) ( )dt

tduCti = . (6.118)

а) б) в)

Рисунок 6.16 – Исходная (а) и операторные схемы замещения ёмкостного элемента с источником тока (б) и источником ЭДС (в)

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования оригинала формулы (6.118) можно представить в операторной форме:

( ) ( ) ( )pIpCp

upU C 10+= , ( ) ( ) ( )ppCUCupI C +−= 0 . (6.119)

В отсутствие начального напряжения ( )0Cu на элементе выражения (6.119) принимают вид ( ) ( ) ( )pIpZpU C= , ( ) ( ) ( )pUpYpI C= , (6.120) где коэффициенты

( )pC

pZC1

= , ( ) pCpYC = (6.121)

представляют соответственно операторное сопротивление и операторную проводимость ёмкостного элемента. Соотношения (6.119) и (6.120) называются операторными законами Ома для ёмкостного элемента цепи. Этим соотношениям соответствуют две операторные схемы замещения ёмкостного элемента, изображенные на рисунках 6.16, б и 6.16, в. В первой схеме (рисунок 6.16, б) начальное напряжение ( )0Cu на ёмкости учитывается с помощью дополнительного источника тока (изображение задающего тока

( )0CCu ), включенного параллельно ёмкостной проводимости и направленного противоположно начальному току.

158

Во второй схеме (рисунок 6.16, в) начальное напряжение учитывается источником ЭДС (изображение ЭДС ( ) puC 0 ), соединенным последовательно с ёмкостным элементом и имеющим направление действия ЭДС, противоположное направлению начального тока. 6.15 Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме Используя операторное представление тока, напряжения и ЭДС при переходном процессе, т.е. функции ( )pI , ( )pU и ( )pE , а также операторное сопротивление ( )pZ и проводимость ( )pY , можно получить выражения для законов Ома и Кирхгофа в операторной форме аналогичные их символическим представлениям (3.58), (3.70) и (3.72) для цепи переменного синусоидального тока. 6.15.1 Закон Ома в операторной форме Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы R , L и C , при ненулевых начальных условиях ( ) 00 ≠Li и ( ) 00 ≠Cu , на который воздействует ЭДС ( )te известной формы (рисунок 6.17, а).

а) б)

Рисунок 6.17 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения последовательного контура

На основании 2-го закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напряжений в рассматриваемой цепи можно составить следующее уравнение:

( ) ( ) ( ) ( )tetututu CLR =++ или

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tedttiC

udt

tdiLtRit

C =+++ ∫0

10 , (6.122)

где ( )0Cu — начальное напряжение на конденсаторе. Рассматривая заданную ЭДС ( )te и искомый ток ( )ti в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения ( )pI и ( )pE , т.е. ( )te ( )pE и ( )ti ( )pI . На основании свойства линейности преобразования Лапласа и результатов, представленных в разделах 6.14.2 – 6.14.4, уравнение (6.122) можно записать в операторной форме:

159

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pEpIpCp

uppLILipRI CL =+++−

100 ,

откуда после несложных преобразований получим уравнение

( ) ( ) ( ) ( )p

uLipEpIpC

pLR CL

001−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ (6.123)

или ( ) ( ) ( )pEpIpZ *= , (6.124) где коэффициент

( )pC

pLRpZ 1++= (6.125)

называется операторным сопротивлением контура, а функция

( ) ( ) ( ) ( )p

uLipEpE CL

* 00 −+= (6.126)

— приведенной операторной ЭДС. Приведенная операторная ЭДС ( )pE* учитывает ненулевые начальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях в момент коммутации. При нулевых начальных условиях, когда ( ) 00 =Li и ( ) 00 =Cu , ( ) ( )pEpE* = , т. е. приведенная ЭДС совпадает с изображением ЭДС источника, действующего в цепи. Уравнению (6.123), полученному для схемы цепи, изображенной на рисунке 6.17, а, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рисунке 6.17, б. Эту схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Эквивалентная операторная схема может быть получена из исходной схемы цепи, если индуктивность L и ёмкость C в ней заменить операторными сопротивлениями

( ) pLpZL = и ( ) ( )pCpZC 1= , ток ( )ti и ЭДС ( )te — их изображениями ( )pI и ( )pE , а ненулевые начальные условия, соответствующие моменту коммутации 0=t , учесть путем введения в схему дополнительных источников ЭДС ( )0LLi и ( ) puC 0 . Источники ( )0LLi и ( ) puC 0 в выражении (6.126) приведенной ЭДС ( )pE* называются внутренними (или расчетными) источниками, так как обусловлены запасом энергии в магнитном поле катушки (источник ( )0LLi ) или в электрическом поле конденсатора (источник ( ) puC 0 ). ЭДС ( )te , а также ее изображение ( )pE , называются внешними ЭДС. Из операторного уравнения (6.124) следует, что

( ) ( )( )pZ

pEpI*

= , ( ) ( ) ( )pYpEpI *= . (6.127)

Соотношения (6.127) являются законами Ома в операторной форме. Функция ( )pY , т.е. операторная проводимость, определяется равенством

( ) ( ) ( )pCpLRpZpY

111++

== . (6.128)

Примечание – Отметим, что при ωjp = операторное сопротивление ( )pZ , определяемое формулой (6.125), переходит в комплексное сопротивление ветви

160

( )C

jLjRjZω

ωω 1−+= .

При этом между операторной формой закона Ома (6.127) в переходном режиме и его символическим (комплексным) представлением (3.33) в стационарном режиме синусоидального тока сохраняется формальная аналогия. 6.15.2 Первый закон Кирхгофа в операторной форме По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, в любой момент времени равна нулю:

( )∑=

=m

k

k ti1

0 , (6.129)

где m — число ветвей, сходящихся в узле. Пусть изображения каждого из токов ( )tik по Лапласу имеет вид ( )tik ( )pIk , тогда в силу линейности преобразования Лапласа из (6.129) получим

( )∑=

=m

k

k pI1

0 . (6.130)

Соотношение (6.130) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в электрической цепи, равна нулю. Примечание – Математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме (6.130) аналогично 1-му комплексному закону Кирхгофа (3.30) при синусоидальном токе. 6.15.3 Второй закон Кирхгофа в операторной форме По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

∑∑==

=m

k

k

n

k

k eu11

, (6.131)

где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Для ветви, содержащей резистивные индуктивные и ёмкостные элементы, напряжение

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+++=t

kk

Ckk

kkkk dttiC

udt

tdiLtiRtu0

10 . (6.132)

Полагая ( )tik ( )pIk , ( )te ( )pE и повторяя те же рассуждения, что и при выводе операторных законов Ома (6.127), на основании (6.131) и (6.132) получим

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−m

k

k

n

k

kk

CkkkkLkkk pEpI

pCpupIpLiLpIR

11

100 ,

откуда следует уравнение

161

( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

m

k

CkLkkk

n

k

kk

kk puiLpEpI

pCpLR

11

001

или

( ) ( ) ( )∑∑==

=m

k

*k

n

k

kk pEpIpZ11

, (6.133)

где

( )k

kkk pCpLRpZ 1

++= (6.134)

— операторное сопротивление ветви контура с номером k ,

( ) ( ) ( ) ( )p

uiLpEpE CkLkkk

*k

00 −+= (6.135)

— приведенная ЭДС в этой ветви. Соотношение (6.133) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в операторной форме. Второй закон Кирхгофа в операторной форме: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС, действующих в контуре. Примечание – Математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в операторной форме (6.133) аналогично комплексному 2-му закону Кирхгофа (3.32) при синусоидальном токе. 6.16 Последовательность расчета переходных процессов в цепи операторным методом При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий: 1) для исходной (послекоммутационной) схемы цепи составить эквивалентную ей операторную схему, что означает замену ЭДС и токов источников, т.е. функций ( )te и

)t(j , их Лапласовыми образами ( )pE и ( )pJ , а параметров R , L и C пассивных элементов — их операторными сопротивлениями ( ) RpZR = , ( ) pLpZL = и

( ) ( )pCpZC 1= . Указанные преобразования следует производить согласно таблице 6.5. Таблица 6.5 – Основные элементы цепи и операторные схемы замещения

Тип элемента Элемент цепи Исходная схема

замещения Операторная схема замещения

Источник ЭДС

Активны

е элементы

Источник тока

162

Продолжение таблицы 6.5

Тип элемента Элемент цепи Исходная схема

замещения Операторная схема замещения

Резистивный

Индуктивный

Пассивные

элементы

Ёмкостный

2) составить полную систему уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа в операторной форме; 3) найти решение системы уравнений относительно изображений искомых величин, например, токов ( )pI ; 4) для полученных изображений искомых величин выполнить обратное преобразование Лапласа и определить выражения для оригиналов, например, токов ( )ti как функций времени. Примечание – Поскольку законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны комплексным законам Кирхгофа, то при расчете переходных режимов цепи операторным методом можно использовать методы анализа электрических цепей синусоидального тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к операторной форме записи. 6.17 Обратная задача операторного метода. Теорема разложения и вспомогательные приемы вычисления оригинала Пользуясь законами Кирхгофа в операторной форме или каким-либо из методов расчета цепей, являющихся следствиями законов Кирхгофа, всегда можно найти изображение искомой переменной. Возникает обратная задача операторного метода — найти по известному изображению соответствующий ему оригинал. Существует три основных метода определения оригинала: 1) посредством обратного преобразования Лапласа; 2) по таблице соответствия между оригиналами и изображениями; 3) по теореме разложения. 6.17.1 Определение оригинала на основании обратного преобразования Лапласа Оригинал определяется как результат интегрального уравнения Лапласа:

163

( ) ( )∫∞+

− =0

pFdtetf pt , (6.136)

где ( )pF — известная функция-изображение, ( )tf — неизвестная функция-оригинал, подлежащая определению. Решение интегрального уравнения (6.136) может быть найдено с помощью методов теории функций комплексного переменного. Переход от изображения к оригиналу тогда осуществляет интеграл вида (6.108):

( ) ( )∫+

−∞→

=j

j

ptdpepFlimtfβα

βαβ

.

Вычисление по формуле (6.108) требует применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это вычисление оказывается весьма сложным. Поэтому на практике данный способ определения оригинала применяется редко. 6.17.2 Определение оригинала по таблице соответствия между функциями-оригиналами и функциями-изображениями В специальной литературе имеется достаточно большое число таблиц с формулами соответствия между оригиналами и изображениями, охватывающих практически все задачи электротехники (в данном пособии, к примеру, такой таблицей является таблица 6.4). На основании этих таблиц необходимо получить изображение искомой величины в виде соответствующем табличному, после чего определить из таблицы выражение оригинала. Получим, например, с помощью операторного метода закон изменения тока в R , L – цепи (индуктивной катушке) при подключении ее к источнику постоянной ЭДС

constE = (рисунок 6.18, а).

а) б)

Рисунок 6.18 – Исходная (а) и операторная (б) схемы замещения цепи с индуктивной катушкой при подключении к источнику постоянного напряжения

Следуя общему алгоритму операторного метода, изложенному в разделе 6.16, для данной схемы (в соответствии с таблицей 6.5) получим операторную схему замещения (рисунок 6.18, б), изображение тока ( )pI в которой можно рассчитать на основании закона Ома:

( ) ( )( )pZ

pEpI*

= ,

164

где приведенная ЭДС ( ) ( ) ( ) ( )pELipEpE L* =+= 0 , так как в цепи реализованы

нулевые начальные условия и, следовательно, ( ) 00 =Li . Выражение для внешней ЭДС ( )pE следует из таблицы 6.3: ( ) pEpE = . Операторное сопротивление ( ) pLRpZ += .

В результате, для изображения тока ( )pI получается соотношение

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+

=LRppR

EpLRp

EpI 11.

Тогда в соответствии с таблицей 6.3 сила тока в цепи, т.е. искомая функция-оригинал

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

eREi 1 ,

RL

=τ ,

что соответствует известному результату (6.18), полученному в рамках классического метода анализа переходных процессов (см. раздел 6.7.1). 6.17.3 Определение оригинала по теореме разложения. Вспомогательные приемы вычисления оригинала Во многих случаях, относящихся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. практически во всех случаях анализа переходных процессов в линейных цепях изображение ( )pF имеет вид рациональной дроби. Определение оригинала ( )tf тогда может быть произведено согласно теореме (или формуле) разложения. Теорема разложения: если изображение имеет вид рациональной дроби

( ) ( )( ) 01

11

011

1

bpbpbpbapapapa

pBpApF n

nn

n

mm

mm

n

m

++++++++

== −−

−−

K

K,

причем степень многочлена ( )pAm меньше степени многочлена ( )pBn ( nm < ), коэффициенты ka и kb — вещественные числа, а корни kp уравнения ( ) 0=pBn различны, то оригинал определятся выражением

( ) ( )( )∑

=′

=n

k

tp

kn

km kepBpAtf

1

. (6.137)

Соотношение (6.137) называется формулой разложения. Величины ( )kn pB′ в этой формуле есть значения производных многочлена ( )pBn при kpp = , т.е. числа

( ) ( )kpp

nkn dp

pdBpB=

=′ .

Основная трудность применения теоремы разложения, т.е. формулы (6.137), заключается в необходимости определения корней алгебраического уравнения степени n ( ) 0=pBn . При степени 4>n , а практически и при 2>n корни многочлена

( )pBn могут быть определены только численно. Такая же трудность встречается и в классическом методе при определении корней характеристического уравнения (6.10). Остановимся на некоторых вспомогательных приемах, позволяющих найти оригинал по изображению функции, которое не удовлетворяет требованиям теоремы разложения.

165

1. Если один из корней многочлена ( )pBn , допустим 1p , равен нулю, то формула разложения (6.137) принимает иной вид:

( ) ( )( )

( )( )∑

=′

+′

=n

k

tp

kn

km

n

m kepBpA

BAtf

200

. (6.138)

Многочлен ( )pBn может иметь корень в начале координат ( 01 =p ), когда в данной цепи действуют источники постоянной ЭДС или постоянного тока. Выделенный постоянный член в формуле (6.138) представляет собой установившийся ток или напряжение в цепи. 2. Если ( )pBn имеет пару сопряженных чисто мнимых корней ωjp =1 и

ωjp −=2 , то формулу разложения (6.137) можно записать так:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )∑

=

−

′+

−′−

+′

=n

k

tp

kn

kmtj

n

mtj

n

m kepBpAe

jBjAe

jBjAtf

3

ωω

ωω

ωω

. (6.139)

Многочлен ( )pBn может иметь пару чисто мнимых сопряженных корней в случае, если рассматривается переходной процесс при наличии в цепи источников синусоидальных ЭДС или источников синусоидальных токов. Два первых выделенных члена в формуле (6.139) определяют синусоидальный ток или напряжение установившегося режима. 3. Если многочлен ( )pBn наряду с простыми корнями 1p , 2p , K , sp ( ns < ),

имеет, например, еще один α - кратный корень np , т.е. ( ) ( )( )αnsn pppCpB −= , где α — целое положительное число, то формула разложения (6.137) определяется равенством

( ) ( )( )( )[ ]∑

= =

+−

=s

k ppns

tpkm

k

k

pppCdpd

epAtf1

α ( )( )( )

npp

pt

s

m epCpA

dpd

!=

−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 1

1

11

α

α

α. (6.140)

Если кратных корней несколько и каждый имеет свою кратность, то для каждого из них нужно записать слагаемое, аналогичное второму члену в правой части равенства (6.140). 6.18 Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля. Основные положения Метод интеграла Дюамеля (метод наложения) основан на принципе наложения, который позволяет искать общее решение линейных уравнений как линейную комбинацию, т.е. наложение более простых решений. Идея подхода к анализу переходных процессов методом наложения следующая. Допустим, что внешнее воздействие ( )tf можно представить совокупностью более простых, аналитически однотипных функций ( )tfk , т.е.

( ) ( )∑∞

=

=1k

k tftf .

Если искать реакцию ( )txk исследуемой линейной цепи на воздействие ( )tfk , то на основании принципа наложения можно утверждать, что реакция цепи ( )tx на заданное воздействие ( )tf равна сумме реакций ( )txk , т.е.

166

( ) ( )∑∞

=

=1k

k txtx .

Следовательно, расчет переходного процесса в линейной цепи методом интеграла Дюамеля состоит из двух основных этапов: 1) определение реакции цепи ( )txk на заданное простое воздействие ( )tfk ; 2) суммирование (наложение) частных решений ( )txk и определение реакции цепи на исходное (сложное) воздействие ( )tf . Вид функции ( )txk при заданном элементарном воздействии ( )tfk зависит только от схемы цепи и параметров электрической цепи. Элементарные составляющие ( )tfk внешнего воздействия ( )tf целесообразно выбирать так, чтобы они были математически простыми, и расчет реакций ( )txk , ими вызываемых, был бы несложен. 6.19 Типовые функции воздействия При исследовании динамических свойств линейных цепей в качестве типовых элементарных воздействий используются единичная ступенчатая функция ( )t1 и дельта-функция (импульсная функция) ( )tδ . 6.19.1 Единичная функция воздействия Единичная функция воздействия ( )t1 , называемая также функций Хевисайда (рисунок 6.19, а), имеет следующие значения:

( )⎩⎨⎧

><

=01

;001

tприtпри

t (6.141)

и обычно не определена при 0=t .

а) б) в)

Рисунок 6.19 – Единичная функция воздействия в стандартной форме (а), с запаздывающим (б) и опережающим (в) аргументом

Единичная функция может быть с запаздыванием ( )τ−t1 (рисунок 6.19, б) или с опережением ( )τ+t1 (рисунок 6.19, в):

( )⎩⎨⎧

><

=−,1;0

1ττ

τtприtпри

t ( )⎩⎨⎧

−>−<

=+.1;0

1ττ

τtприtпри

t (6.142)

В теории цепей единичная функция, например, соответствует включению постоянного напряжения на вход устройства при замыкании ключа. Если к цепи в

167

момент времени 0tt = подключается напряжение ( )tu , это соответствует воздействию вида ( ) ( ) ( )01 tttutf −= , т.е. единичная функция обладает важным формирующим свойством: при умножении непрерывной функции на единичную получается разрывная функция (рисунок 6.20).

Рисунок 6.20 – Разрывная функция Рисунок 6.21 – Прямоугольный импульс

Прямоугольный импульс (рисунок 6.21) с помощью единичной функции можно представить разностью

( ) ( ) ( )[ ]21 11 ttttUtf m −−−= , где mU — амплитуда импульса. При умножении единичной функции на постоянное число получается ступенчатая функции, которую называют функцией включения:

( )⎩⎨⎧

><

=⋅.0;00

1tприAtпри

tA

6.19.2 Импульсная функция воздействия Импульсная функция воздействия ( )tδ , называемая также дельта-функцией или функцией Дирака, относится к классу особых функций и представляет собой удобную математическую модель таких быстро протекающих процессов как включение и выключение электрического напряжения, короткое замыкание и обрыв в электрической цепи, воздействие на электрическую цепь кратковременных импульсов. Результат таких воздействий часто не зависит от формы импульса, а определяется интегральным значением, т.е. площадью импульса. Наиболее просто к понятию дельта-функции ( )tδ можно прийти на основе выражения для прямоугольного импульса (рисунок 6.22). На рисунке 6.22 прямоугольный импульс, определяемый функцией ( )t,t Δδ , выбран так, чтобы его высота A и длительность tΔ находились в следующих числовых соотношениях:

tA

Δ1

= , 1== tAS Δ ,

где S — площадь импульса. При таких соотношениях с уменьшением длительности импульса tΔ его высота A увеличивается, а площадь S остается неизменной и равной единице: constS ==1 .

168

Рисунок 6.22 – График функции, определяющей прямоугольный импульс

Функцию ( )t,t Δδ можно представить аналитическим выражением

( )⎩⎨⎧

<<><

=ttприA

ttиtприt,t

ΔΔ

Δδ0

;00 (6.143)

или с помощью единичных функций по формуле

( ) ( ) ( )t

tttt,tΔ

ΔΔδ −−=

11. (6.144)

Предельный случай прямоугольного импульса (6.143) или (6.144), когда его длительность стремится к нулю ( 0→tΔ ), а высота импульса стремится к бесконечности ( ∞→A ), называется импульсной функцией воздействия ( )tδ или дельта-функцией Дирака:

( ) ( ) ( ) ( )t

tttlimt,tlimttt Δ

ΔΔδδΔΔ

−−==

→→

1100

. (6.145)

Для дельта-функции справедливы соотношения:

( ) 0=tδ ( 0≠t ), ( ) ∞=0δ , ( ) 1=∫∞+

∞−

dttδ . (6.146)

При смещении дельта-функции вправо по оси абсцисс на время τ получим

( ) 0=−τδ t ( τ≠t ), ( ) 1=−∫∞+

∞−

ττδ dt . (6.147)

Важным свойством дельта-функции является возможность выделять (отфильтровывать) с ее помощью значения заданной функции ( )tf в произвольный момент времени τ=t :

( ) ( ) ( )τττδ fdttf =−∫∞+

∞−

, ( ) ( ) ( )τττδτ fdtf =−∫∞+

∞−

(6.148)

в частности, в нулевой момент времени, т.е. при 0=τ

( ) ( ) ( )0fdtttf =∫∞+

∞−

δ .

169

Примечание – Между импульсной и единичной функциями существует аналитическая связь, которую можно установить на основании формулы (6.145). Указанный в этой формуле предельный переход соответствует производной, следовательно,

( ) ( ) ( )tdt

tdt 11 ′==δ , (6.149)

т.е. дельта-функция равна первой производной от единичной функции. Из (6.149) следует и обратное соотношение

( ) ( )∫∞−

=t

dt ττδ1 . (6.150)

6.20 Временные характеристики электрических цепей Временной характеристикой электрической цепи называется отклик цепи на типовое воздействие при нулевых начальных условиях. Временными характеристиками электрической цепи являются переходная ( )th и импульсная ( )tg характеристики. 6.20.1 Переходная характеристика цепи Переходная характеристика ( )th электрической цепи — это отклик (реакция) цепи на единичную функцию при нулевых начальных условиях (рисунок 6.23), т.е. если входная величина ( ) ( )ttf 1= , то выходной величиной будет ( ) ( )txth = .

Рисунок 6.23 – Диаграмма, поясняющая смысл переходной характеристики

Поскольку воздействие начинается в момент времени 0=t , то отклик ( ) 0=th при 0<t , поэтому более строгая математическая запись переходной характеристики имеет вид ( ) ( )tth 1⋅ . Если воздействие на цепь (например, напряжение) происходит не только в момент включения 0=t , а и дополнительными порциями с запаздыванием на некоторое время

1τ , 2τ , K , kτ , то и переходная характеристика также может быть представлена с запаздывающим аргументом, т.е.

( )1τ−th , ( )2τ−th , K , ( )kth τ− или

( ) ( )11 1 ττ −⋅− tth , ( ) ( )22 1 ττ −⋅− tth , K , ( ) ( )kk tth ττ −⋅− 1 . Переходная характеристика ( )th имеет несколько разновидностей, представленных в таблице 6.6.

Таблица 6.6 – Переходные характеристики цепи

Вид воздействия ( )tf

Вид реакции ( )tx

Переходная характеристика ( )th

Ток ( )tki — коэффициент передачи по току Единичный скачок тока Напряжение ( )tz — переходное сопротивление

170

Продолжение таблицы 6.6

Вид воздействия ( )tf

Вид реакции ( )tx

Переходная характеристика ( )th

Ток ( )ty — переходная проводимость Единичный скачок напряжения Напряжение ( )tku — коэффициент передачи по напряжению

Примечание – Существует два способа определения переходной характеристики — расчетный и экспериментальный. Для определения переходной характеристики расчетным способом необходимо: классическим методом определить отклик цепи на постоянное воздействие; полученный отклик разделить на величину постоянного воздействия и тем самым определить переходную характеристику. При экспериментальном определении переходной характеристики необходимо: на вход цепи подать постоянное напряжение и снять осциллограмму реакции цепи; полученные значения пронормировать относительно входного напряжения — это и есть переходная характеристика. В качестве примера определим переходную характеристику R , C – цепи, изображенной на рисунке 6.6, а. В разделе 6.8.1 было установлено, что реакция данной цепи (сила тока) на постоянное воздействие (постоянную ЭДС E ) определяется выражением (6.39):

( ) τt

eREti

−= , RC=τ .

Разделив силу тока ( )ti на величину ЭДС E , получим переходную характеристику R , C – цепи по току:

( ) ( ) ( ) ( )teR

tEtith

t

i 111 ⋅=⋅=−τ . (6.151)

6.20.2 Импульсная характеристика цепи Импульсная характеристика ( )tg электрической цепи (функция веса) — это отклик (реакция) цепи на дельта-функцию при нулевых начальных условиях (рисунок 6.24), т.е. если входная величина ( ) ( )ttf δ= , то выходной величиной будет ( ) ( )txtg = .

Рисунок 6.24 – Диаграмма, поясняющая смысл импульсной характеристики

Поскольку воздействие начинается в момент времени 0=t , то отклик ( ) 0=tg при 0<t , поэтому более строгая математическая запись переходной характеристики имеет вид ( ) ( )ttg 1⋅ . Если воздействие на цепь (например, напряжение) происходит не только в момент включения 0=t , а и дополнительными порциями с запаздыванием на некоторое время

171

1τ , 2τ , K , kτ , то и импульсная характеристика также может быть представлена с запаздывающим аргументом, т.е.

( )1τ−tg , ( )2τ−tg , K , ( )ktg τ− или

( ) ( )11 1 ττ −⋅− ttg , ( ) ( )22 1 ττ −⋅− ttg , K , ( ) ( )kk ttg ττ −⋅− 1 . Так как дельта-функция является первой производной от единичной функции и рассматриваемая электрическая цепь линейная, то аналогичная связь существует и между импульсной и переходной характеристиками ( )tg и ( )th :

( ) ( ) ( )thdt

tdhtg ′== , (6.152)

т.е. импульсная характеристика равна первой производной от переходной характеристики. Из (6.152) следует и обратное соотношение

( ) ( )∫=t

dgth0

ττ . (6.153)

Используя правила дифференцирования произведения функций, соотношение (6.152) можно преобразовать к виду

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tthtthtthtg δ+⋅′=′⋅= 11 (6.154) или при нулевых начальных условиях

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtthtthtg δ011 +⋅′=′⋅= . (6.155) Примечание – Существует два способа определения импульсной характеристики — расчетный и экспериментальный. Расчетным способом импульсную характеристику определяют по переходной характеристике на основании формул (6.154) или (6.155). При экспериментальном определении импульсной характеристики необходимо: на вход цепи подать, например, прямоугольный импульс длительностью ττ <<и и снять осциллограмму реакции цепи; полученные значения пронормировать относительно площади входного процесса — это и есть импульсная характеристика. В качестве примера определим импульсную характеристику R , C – цепи, изображенной на рисунке 6.6, а. В разделе 6.20.1 было получено соотношение (6.151) для переходной характеристики этой цепи. Импульсная характеристика в соответствии с выражением (6.155) тогда будет иметь вид

( ) ( ) ( ) ( )tR

eR

teR

teR

tgtt

i δτ

δ τττ 11111 0

+−=+⋅′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−.

6.21 Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы. Формула интеграла Дюамеля Пусть требуется определить ток ( )ti в линейном пассивном двухполюснике, переходная характеристика ( )th которого известна, при включении двухполюсника на напряжение ( )tu , т.е. внешнее воздействие ( )tf на цепь представлено напряжением, а реакция (отклик) цепи на это воздействие — силой тока: ( ) ( )tutf = , ( ) ( )titx = . Кривая напряжения ( )tu изображена на рисунке 6.25.

172

Рисунок 6.25 – Кривая напряжения на входе пассивного двухполюсника и ее представление

совокупностью элементарных скачков

Выберем некоторый произвольный фиксированный момент времени t и рассчитаем переходной ток к этому моменту времени. В связи с этим введем новое обозначение текущего времени через τ , изменяющегося в пределах t≤≤τ0 . В дальнейшем будем различать ( )tu и ( )ti как функции момента наблюдения t , а ( )τu и ( )τi — как функции текущего времени τ .

Заданное непрерывно изменяющееся напряжении ( )tu приближенно представим в виде суммы начального напряжения ( )0u , включаемого в момент времени 0=τ , и большого числа последовательно включаемых элементарных скачков напряжения

1uΔ , 2uΔ , K , kuΔ , K , nuΔ , каждый из которых после включения действует от момента времени kτ ( n,k 1= ) до бесконечности (рисунок 6.25). Под влиянием скачка напряжения ( )0u в цепи возникает переходной процесс. До момента наблюдения переходной процесс будет продолжаться t секунд. Под влиянием скачка напряжения 1uΔ , включаемого в момент времени 1τ , в соответствии с принципом наложения возникнет дополнительный переходной процесс, продолжительность которого к моменту наблюдения t составит ( )1τ−t секунд. Продолжая рассуждения аналогичным образом, придем к выводу, что продолжительность переходного процесса, возникающего в цепи под влиянием скачка

kuΔ , до момента наблюдения t будет ( )kt τ− секунд и т.д. Используя единичную функцию с запаздывающим аргументом, можно приложенное к цепи напряжение ( )tu приближенно записать в виде суммы

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnkk tutututututu τΔτΔτΔτΔ −++−++−+−+≈ 111110 2211 KK или

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−+≈n

k

kk tututu1

110 τΔ . (6.156)

Реакция цепи (в рассматриваемом случае — ток) определится как алгебраическая сумма реакций цепи на воздействие начального напряжения ( )0u и всех последующих скачков напряжения kuΔ , включаемых друг за другом.

173

Под влиянием составляющей напряжения ( ) ( )tu 10 в цепи появится составляющая тока ( )τi , которая к моменту наблюдения t приобретет значение ( ) ( ) ( )thuti 0= . Спустя время 1τ напряжение возрастет скачком на величину 1uΔ , что вызовет ответную реакцию цепи в виде добавочной составляющей тока ( )111 τΔΔ −= thui . Продолжая рассуждения аналогичным образом, найдем, что в момент kτ скачок напряжения kuΔ вызовет ток ( )kkk thui τΔΔ −= и т.д. Искомый переходной ток будет равен сумме составляющих, найденных для момента времени t , т.е.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnkk thuthuthuthuthuti τΔτΔτΔτΔ −++−++−+−+≈ KK22110 или

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−+≈n

k

kk thuthuti1

0 τΔ , (6.157)

где n — число промежутков, на которые разбит интервал времени от 0 до t . Чтобы получить выражение для тока, соответствующего не ступенчатому, а непрерывному напряжению, необходимо промежутки (скачки) времени kτΔ уменьшить до бесконечно малой величины τd , а число промежутков увеличить до бесконечности ( ∞→n ). В этом случае сами скачки будут величинами бесконечно малыми, т.е. ( ) ττΔ duduulim kkk ′== , ττΔ d→ , ∞→n , а сумма в выражении (6.157) перейдет в интеграл. Следовательно, ток ( )ti в цепи как отклик на непрерывное напряжение ( )tu будет равен:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −′+=t

dthuthuti0

0 τττ , (6.158)

где ( )τu′ — производная напряжения в точке τ=t . Уравнение (6.158) и его частные виды называют формулой интеграла Дюамеля или просто интегралом Дюамеля. Соотношение (6.158) есть первая форма интеграла Дюамеля. Для расчета тока по формуле (6.158) необходимо знать закон изменения заданного напряжения ( )tu в аналитической форме и переходную характеристику цепи ( )th . Напряжение, подводимое к цепи, задается, а переходная характеристика, как

отмечалось выше, определяется из расчета переходного процесса в цепи при воздействии на нее единичного скачка напряжения. Из теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций ( )tf1 и ( )tf2 существует соотношение

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−tt

dtffdftf0

21

0

21 ττττττ , (6.159)

которое является интегралом свертки. Это соотношение легко проверить путем замены переменных интегрирования. Для получения второй формы интеграла Дюамеля воспользуемся свойством коммутативности свертки (6.159). Тогда

174

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −′+=t

dhtuthuti0

0 τττ . (6.160)

Используя правило интегрирования по частям в первой форме записи интеграла Дюамеля (6.158), найдем третью форму записи:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+=−′+= ∫∫tt

duththudthuthuti00

00 τττττ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −′+−+=t

t dthuthuthu0

00 τττττ .

Подставив пределы интегрирования, получим

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −′+=t

dthuhtuti0

0 τττ . (6.161)

Согласно свойству коммутативности свертки (6.159) выражении (6.161) можно записать так:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′−+=t

dhtuhtuti0

0 τττ . (6.162)

Уравнение (6.162) является четвертой формой интеграла Дюамеля. Пользуясь правилом дифференцирования определенных интегралов по параметру, все четыре формы записи интеграла Дюамеля (6.158), (6.160) – (6.162) можно свести к двум:

( ) ( ) ( )∫ −=t

dthudtdti

0

τττ , ( ) ( ) ( )∫ −=t

dhtudtdti

0

τττ . (6.163)

Соотношения (6.163) называют соответственно пятой и шестой формами интеграла Дюамеля. Примечание – Все шесть форм записи интеграла Дюамеля в теоретическом отношении равноценны. Ту или иную форму записи выбирают только из соображений простоты вычислений. Например, если ( ) 00 =u , то удобнее первая (6.158) и вторая (6.160) формы записи, так как первое слагаемое в этих формах записи обращается в нуль. Если ( ) 00 =h , то целесообразнее использовать третью (6.161) и четвертую (6.162) формы записи. Если ( )th выражается через экспоненциальную функцию, то также следует предпочесть выражения (6.161) и (6.162), так как экспоненциальные функции просто дифференцируются. 6.22 Определение реакции цепи на воздействие произвольной формы. Формула интеграла наложения При выводе формулы интеграла Дюамеля временная характеристика цепи была представлена ее переходной характеристикой. Рассмотрим теперь применение принципа наложения с использованием импульсной характеристики цепи. Пусть требуется определить ток ( )ti в линейном пассивном двухполюснике, импульсная характеристика ( )tg которого известна, при включении двухполюсника на

175

напряжение ( )tu , т.е. внешнее воздействие ( )tf на цепь представлено напряжением, а реакция (отклик) цепи на это воздействие — силой тока: ( ) ( )tutf = , ( ) ( )titx = . Кривая напряжения ( )tu изображена на рисунке 6.26.

Рисунок 6.26– Кривая напряжения на входе пассивного двухполюсника и ее представление

совокупностью прямоугольных импульсов

Для получения формулы интеграла наложения заданное непрерывно изменяющееся напряжении ( )tu представим последовательностью узких прямоугольных импульсов высотой ( )τu и длительностью τd (рисунок 6.26). Через τ вновь обозначено текущее время, изменяющееся в пределах t≤≤τ0 , а буквой t обозначим время, прошедшее от начала отсчета до момента наблюдения. Импульсная характеристика цепи ( )tg — это реакция цепи на дельта-функцию ( )tδ в момент времени 0=t . При смещении дельта-функции относительно нуля во

времени смещена и реакция, т.е. откликом на ( )τδ −t будет ( )τ−tg . Тогда каждый отдельный элементарный импульс напряжения с площадью ( ) ( ) ττδτ dtu − вызовет ответную реакцию цепи в виде составляющей тока:

( ) ( ) ( ) τττ dtgutdi −= , где ( )τ−tg — значение импульсной характеристики в момент наблюдения t при воздействии импульса на цепь в момент τ . На основании принципа наложения, суммируя бесконечно малые составляющие ( )tdi , вызванные последовательностью бесконечно малых по площади прямоугольных

импульсов напряжения, к моменту наблюдения t , получим

( ) ( ) ( )∫ −=t

dtguti0

τττ . (6.164)

Интеграл в равенстве (6.164) есть свертка функций ( )tu и ( )tg , которая осуществляет суммирование (наложение) реакций тока в цепи ( ) ( ) τττ dtgu − от воздействия импульсов напряжения ( ) ( ) ττδτ dtu − . Согласно свойству коммутативности свертки (6.159) выражении (6.164) можно записать так:

176

( ) ( ) ( )∫ −=t

dgtuti0

τττ . (6.165)

Уравнения (6.164), (6.165) называют формулами интегралов наложения или просто интегралами наложения. Эти интегралы аналогичны интегралам Дюамеля. Отличие заключается лишь в использовании импульсной характеристики ( )tg взамен переходной характеристики ( )th . Поэтому если в (6.164) или (6.165) подставить взамен импульсной характеристики переходную, используя найденную в разделе 6.20.2 связь между ними, то получим интеграл Дюамеля. Действительно, согласно (6.155) ( ) ( ) ( ) ( )τδττ 0hhg +′= , что после подстановки в уравнение (6.165) даст

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ −+′−=−=ttt

dtuhdhtudgtuti000

0 ττδτττττττ .

Второй интеграл в полученном равенстве на основании фильтрующего свойства (6.148) импульсной функции равен ( ) ( )0htu . В результате имеем

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′−+=t

dhtuhtuti0

0 τττ ,

т.е. четвертую форму записи интеграла Дюамеля. 6.23 Последовательность расчета переходных процессов в цепи методом интеграла Дюамеля При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях методом интеграла Дюамеля необходимо придерживаться следующей последовательности действий (на примере 1-й формы интеграла): 1) определить для исследуемой цепи ее переходную характеристику ( )th как реакцию цепи на единичную функцию воздействия ( )t1 при нулевых начальных условиях; 2) записать выражения ( )τ−th путем формальной замены t на ( )τ−t ; 3) определить производную входного воздействия, например, производную напряжения ( )τu′ ; 4) подставить найденные функции в формулу интеграла Дюамеля (6.158) и произвести расчет тока или напряжения на выходе цепи в соответствии с этой формулой. Примечание – Последовательность расчета переходных процессов в цепи на основании интегралов наложения аналогична методу интеграла Дюамеля, следовательно, зная переходную или импульсную характеристики и задавшись напряжением или током на входе цепи, можно рассчитать реакции цепи на ее выходе. Нахождение реакции цепи по импульсной характеристике ( )tg с помощью интегралов наложения проще, чем по ее переходной характеристике ( )th . Однако чаще всего функцию ( )tg определяют на основании функции ( )th в соответствии с формулой (6.155). В этом случае никаких преимуществ нахождения реакции цепи по

177

импульсной характеристике нет. Лекция 7. Нелинейные электрические цепи постоянного тока 7.1 Нелинейные электрические цепи и элементы. Основные понятия Основными параметрами пассивных элементов электрических цепей являются сопротивление R , индуктивность L и ёмкость C . Эти параметры, строго говоря, зависят от тока или напряжения, т.е. представимы функциями вида ( )u,iRR = ,

( )u,iLL = и ( )u,iCC = . На практике указанные зависимости задают тремя типами характеристик — вольт-амперной, вебер-амперной и кулон-вольтной. Зависимость силы тока в элементе цепи от напряжения на нем, т.е. функция

( )uii = , называется вольт-амперной характеристикой (рисунок 7.1, а). Зависимость потокосцепления элемента цепи от тока в нем, т.е. функция

( )iΨΨ = , называется вебер-амперной характеристикой (рисунок 7.1, б). Зависимость заряда элемента цепи от напряжения на нем, т.е. функция ( )uqq = , называется кулон-вольтной характеристикой (рисунок 7.1, в).

а) б) в)

Рисунок 7.1 – Вольт-амперная (а), вебер-амперная (б) и кулон-вольтная (в) характеристики линейных (кривые 1) и нелинейных (кривые 2) элементов цепи

Элементы цепи, параметры R , L и C которых не зависят от тока или напряжения, называются линейными. Характеристики ( )uii = , ( )iΨΨ = и ( )uqq = линейных элементов изображаются прямыми линиями (кривые 1 на рисунке 7.1). Элементы цепи параметры R , L и C которых зависят от тока или напряжения, называются нелинейными. Характеристики ( )uii = , ( )iΨΨ = и ( )uqq = нелинейных элементов не являются прямыми линиями (кривые 2 на рисунке 7.1). Электрическая цепь, в которой есть хотя бы один нелинейный элемент, называется нелинейной электрической цепью. Для математического описания процессов в нелинейных электрических цепях в соответствующие схемы замещения вводят те же идеализированные пассивные элементы, что и в случае линейных цепей, т.е. резистивный, индуктивный и ёмкостный. Эти элементы называются соответственно нелинейное сопротивление (нелинейный резистор), нелинейная индуктивность (нелинейная катушка) и нелинейная ёмкость (нелинейный конденсатор). Условные обозначения нелинейных пассивных элементов представлены на рисунке 7.2.

178

а) б) в)

Рисунок 7.2 – Условные графические обозначения нелинейных резистивного (а), индуктивного (б) и ёмкостного (в) элементов на схемах замещения

Примечание – Каждая из функций ( )uii = , ( )iΨΨ = и ( )uqq = сопоставляется соответствующему идеализированному пассивному элементу цепи. Так, например, функция ( )uii = является характеристикой нелинейного резистора, функция ( )iΨΨ = — характеристикой нелинейной индуктивной катушки, функция ( )uqq = — характеристикой нелинейного конденсатора. 7.2 Нелинейные электрические цепи постоянного тока и нелинейные сопротивления. Классификация нелинейных элементов цепи При постоянном токе неизменными во времени являются потокосцепления и заряды, поэтому индуцируемые в цепи ЭДС и токи в конденсаторах равны нулю. По этой причине распределение токов и напряжений в схемах определяется резисторами, активными сопротивлениями обмоток индуктивных катушек и активными проводимостями неидеальных конденсаторов. Таким образом, нелинейную электрическую цепь в отношении постоянного тока следует рассматривать как цепь резистивную, основными параметрами которой являются сопротивления R и проводимости g ветвей с нелинейными резистивными элементами. Основной характеристикой нелинейного сопротивления в цепи постоянного тока является его вольт-амперная характеристика (ВАХ), т.е. функция ( )UII = , а также обратная зависимость ( )IUU = . Вольт-амперные характеристики могут быть заданы в виде графиков, таблиц и аналитических выражений. Наиболее полное описание ВАХ дают аналитические зависимости, так как и графическая и табличная формы задания ВАХ недостаточно точны и имеют ограниченный диапазон изменения силы тока и напряжения. Все нелинейные элементы в зависимости от признака классификации можно разбить на следующие основные группы: 1) двухполюсные и многополюсные; 2) инерционные и безынерционные; 3) симметричные и несимметричные; 4) с однозначной и неоднозначной ВАХ; 5) управляемые и неуправляемые. Рассмотрим подробнее каждый из признаков классификации. 7.2.1 Двухполюсные и многополюсные элементы В зависимости от количества полюсов, с помощью которых нелинейные элементы подключается к электрической цепи, их можно разделить на двух- и многополюсные. К двухполюсным элементам, например, относятся полупроводниковый и электровакуумный диоды. Примерами многополюсных элементов являются различные полупроводниковые и электровакуумные триоды, магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.

179

7.2.2 Инерционные и безынерционные элементы В зависимости от скорости изменения тока или напряжения нелинейные элементы подразделяются на инерционные и безынерционные. Если ВАХ нелинейного резистивного элемента для изменяющегося во времени тока ( )uii = и постоянного тока

( )UII = совпадают, то такой элемент называют безынерционным, в противном случае инерционным. Проявлением инерционности у нелинейных резисторов является невозможность быстрого изменения их сопротивления. Таким свойством, в частности, обладают лампы накаливания со значительной тепловой инерцией. Электронные лампы, напротив, при не слишком высоких частотах могут рассматриваться как безынерционные элементы. 7.2.3 Симметричные и несимметричные элементы По виду вольт-амперной характеристики различают симметричные и несимметричные элементы. Симметричными называют нелинейные элементы, вольт-амперные характеристики которых не зависят от направления тока или напряжения на зажимах. К симметричным нелинейным элементам относят электрические лампы (рисунок 7.3, а), терморезисторы (рисунок 7.3, б).

а) б)

Рисунок 7.3 – Вольт-амперные характеристики симметричных элементов: электрической лампы (а) и терморезистора (б)

Несимметричными называют нелинейные элементы, вольт-амперные характеристики которых не одинаковы при различных направлениях тока или напряжения на зажимах.

а) б)

Рисунок 7.4 – Вольт-амперные характеристики несимметричных элементов: полупроводникового диода (а) и электрической дуги (б)

180

К несимметричным элементам относят полупроводниковые диоды (рисунок 7.4, а), электрическую дугу с разнородными электродами (рисунок 7.4, б)

7.2.4 Элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками С точки зрения однозначного и неоднозначного взаимного отображения токов и напряжений нелинейные элементы делят на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками. Однозначной (монотонной) называется ВАХ, у которой каждому значению тока соответствует единственное значение напряжения и наоборот (рисунок 7.5, а).

а) б)

в) г)

Рисунок 7.5 – Вольт-амперные характеристики с однозначной (а) и неоднозначной (б) – (г) зависимостями между током и напряжением

В случае неоднозначной ВАХ одному значению тока может соответствовать два и более значений напряжения и наоборот. Неоднозначные вольт-амперные характеристики подразделяют на следующие виды: 1) Управляемая напряжением ВАХ, для которой заданные напряжения в каждой точке характеристики однозначно определяют токи, но при заданном токе напряжения определяются неоднозначно (рисунок 7.5, б). 2) Управляемая током ВАХ, для которой заданные токи в каждой точке характеристики однозначно определяют напряжения, но при заданном напряжении токи определяются неоднозначно (рисунок 7.5, в). 3) Неуправляемая ВАХ, для которой характерна многозначность и тока, и напряжения (рисунок 7.5, г). 7.2.5 Управляемые и неуправляемые элементы По возможности управления все нелинейные элементы делят на управляемые и неуправляемые. Управляемые элементы (в отличие от неуправляемых) содержат

181

специальные (управляющие) каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др. в которых изменяют их основные характеристики: вольт-амперную, вебер-амперную и кулон-вольтную. Примером управляемого элемента является полупроводниковый транзистор. 7.3 Параметры нелинейных резисторов в цепи постоянного тока. Понятие о статическом, дифференциальном и динамическом сопротивлении Поскольку у нелинейных резисторов отсутствует прямая пропорциональность между напряжением и током, их нельзя охарактеризовать одним параметром (сопротивлением R или проводимостью g ). Соотношения между этими величинами в общем случае зависят не только от их мгновенных значений, но и от производных и интегралов по времени. В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления. Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми двумя из перечисленных параметров. Статическим сопротивлением нелинейного элемента (или сопротивлением постоянному току) называется отношение напряжения на резистивном элементе к величине протекающего через него тока в данной точке вольт-амперной характеристики:

I

URст = . (7.1)

Дифференциальным сопротивлением нелинейного элемента называется предел отношения приращения напряжения на резистивном элементе к приращению протекающего через него тока, или, другими словами, производная от напряжения по току в данной точке вольт-амперной характеристики:

dIdU

IUlimR

Iд ==→ Δ

ΔΔ 0

. (7.2)

Рисунок 7.6 – Определение статического и дифференциального сопротивления

нелинейного элемента на вольт-амперной характеристике

Обозначим через Im и Um масштабы тока и напряжения на вольт-амперной характеристике. Из формул (7.1) и (7.2) тогда следует, что статическое сопротивление стR пропорционально тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат

в данную точку « a » характеристики, а дифференциальное сопротивление дR

182

пропорционально тангенсу угла наклона касательной в данной точке « a » характеристики (рисунок 7.6): αtgmR Rст = , βtgmR Rд = , (7.3) где IUR mmm = . Примечания 1 Статическое сопротивление пассивного элемента всегда положительно, т.е.

0>стR ; дифференциальное сопротивление может быть как положительным, так и отрицательным, т.е. является величиной алгебраической. Положительным ( 0>дR ) дифференциальное сопротивление будет в точках ВАХ, лежащих на ее восходящей части (участки « ab » и «cd » на рисунке 7.7), и отрицательным ( 0<дR ), если рассматриваемые точки расположены на нисходящих участках ВАХ (участок «bc » на рисунке 7.7).

Рисунок 7.7 – Определение знака дифференциального сопротивления на различных

участках вольт-амперной характеристики нелинейного элемента

2 Наряду со статическим и дифференциальным сопротивлениями, т.е. функциями стR и дR , параметры нелинейного резистивного элемента иногда представляют

статической и дифференциальной проводимостями, определяемыми следующим соотношениями:

UIgст = ,

dUdI

UIlimg

Uд ==→ Δ

ΔΔ 0

. (7.4)

3 В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического сопротивления (сопротивления переменному току)

didu

iulimR

iдин ==→ Δ

ΔΔ 0

, (7.5)

определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения тока или напряжения может изменяться не только величина, но и знак динR . 7.4 Основные особенности и общая характеристика методов расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока Расчет любой электрической цепи (линейной или нелинейной) сводится либо к нахождению токов и напряжений по заданным параметрам цепи и источников (задача анализа), либо к определению параметров цепи по заданным характеристикам (задача синтеза).

183

Для расчета линейных электрических цепей существуют различные методы (контурных токов, узловых потенциалов, символический, операторный и др.), которые позволяют анализировать любую цепь в стационарном или переходном режиме. Расчет нелинейных электрических цепей имеет ряд особенностей. 7.4.1 Основные особенности расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока 1) Электрическое состояние нелинейной цепи постоянного тока так же, как и линейной цепи, описывается системой алгебраических уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа. Правила составления системы уравнений Кирхгофа одинаковы для линейной и нелинейной цепи. Однако электрическое состояние нелинейной цепи описывается системой нелинейных алгебраических уравнений. Как известно, общих аналитических методов решения нелинейных уравнений не существует, поэтому в общем случае решение таких задач осуществляется численными методами математики с использованием современных ЭВМ. 2) К нелинейным цепям неприменим принцип наложения (суперпозиции), поэтому методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи. Нарушение принципа наложения продемонстрируем на примере нелинейного элемента, в котором ток пропорционален квадрату напряжения: 2kUI = , где k — коэффициент пропорциональности. Если в цепи действуют два последовательно соединенных источника с напряжениями 1U и 2U , то токи, вызываемые каждым из них в отдельности (частичные токи), равны: 2

11 kUI = и 222 kUI = . Ток при одновременном действии обоих источников

определяется формулой ( ) 2

2212

12

21 2 kUUkUkUUUkI ++=+= , согласно которой результирующий ток I не равен сумме частичных токов 1I и 2I . 3) Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов в большинстве случаев определяются экспериментально и задаются в виде графиков, представляющих собой кривые линии, аналитические выражения которых неизвестны, причем разные виды нелинейных элементов имеют разные характеристики. Многообразие этих характеристик обусловливает трудность расчета нелинейных электрических цепей и использование различных методов. 4) При наличии экспериментально снятой характеристики, аналитическое выражение которой неизвестно, для расчета нелинейной цепи можно применять только графические методы, которые не всегда позволяют сделать общие выводы. Эта трудность может быть преодолена путем аппроксимации экспериментальной характеристики аналитическим выражением. 7.4.2 Общая характеристика методов расчета нелинейных электрических цепей Все многообразие методов расчета нелинейных электрических цепей можно свести к трем основным группам: 1) графические методы, осуществляемые геометрическими построениями на основе заданных характеристик. Эти методы обладают большой наглядностью, дают вполне удовлетворительную точность решения, которая зависит в основном от

184

стабильности характеристик нелинейного элемента и тщательности выполнения графических работ; 2) аналитические методы, основанные на том, что характеристика нелинейного элемента выражается приближенно аналитической функцией. Аналитический метод обычно менее нагляден, но с его помощью удается получить общие расчетные зависимости; 3) численные методы, основанные на приближенных способах решения алгебраических и дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Кроме того, в практике расчета нелинейных цепей широко используются комбинированные методы (например, графо-аналитические). 7.5 Графические методы расчета нелинейных цепей При использовании графических методов расчета задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей схемы следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сведется к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. 7.5.1 Метод эквивалентных преобразований при последовательном соединении нелинейных сопротивлений Метод эквивалентных преобразований был рассмотрен в разделе 2.6.2 в применении к линейным цепям постоянного тока. Этот метод основан на замене нескольких элементов одним эквивалентным. Аналогичные эквивалентные преобразования могут быть осуществлены и в нелинейной цепи. Пусть электрическая цепь (рисунок 7.8, а) состоит из двух последовательно соединенных нелинейных резисторов 1R и 2R , вольт-амперные характеристики которых, т.е. функции ( )UII 1= и ( )UII 2= , известны (рисунок 7.8, б). Требуется определить значение тока I в цепи и величину напряжений 1U , 2U на каждом из сопротивлений при заданном значении ЭДС источника E .

а) б) в) Рисунок 7.8 – Последовательное соединение нелинейных сопротивлений (а) и графическая

интерпретация метода эквивалентных преобразований (б), (в)

Решить поставленную задачу, применив непосредственно закон Ома, не представляется возможным, так как сопротивления нелинейных элементов зависят от тока. Задача может быть решена, если два элемента цепи рисунка 7.8, а заменить эквивалентным, преобразовав ее к виду схемы рисунка 7.8, в. Вольт-амперная

185

характеристика ( )UII = эквивалентного нелинейного сопротивления R (результирующая ВАХ) определяется из соотношений constIII === 21 , 21 UUU += (7.6) и может быть получена графическим путем. Из уравнений (7.6) следует, что при последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Это означает, что результирующую ВАХ можно построить путем суммирования абсцисс вольт-амперных характеристик

( )UII 1= и ( )UII 2= элементов 1R и 2R при фиксированных значениях тока I . Графическая интерпретация указанных построений приведена на рисунке 7.8, б. Здесь для некоторого значения силы тока aII = , задаваемого точкой « a » на оси ординат, показано правило определения точки « d », принадлежащей результирующей ВАХ ( )UII = последовательного соединения сопротивлений 1R и 2R . Как следует из рисунка, положение точки « d » при фиксированном значении тока aII = определяется на основании графического уравнения adacab =+ , (7.7) где отрезки ab и ac выражают в заданном масштабе Um напряжения aU1 и aU2 на элементах 1R и 2R , соответствующие выбранному значению тока aI , а отрезок ad — напряжение aU на эквивалентном сопротивлении R при том же значении тока: abmU Ua ⋅=1 , acmU Ua ⋅=2 , admU Ua ⋅= . (7.8) Таким образом, графическое уравнение (7.7) соответствует 2-му закону Кирхгофа

21 UUU += . Для определения величины тока I при заданном по условию задачи значении ЭДС E на оси напряжений откладывается точка « m′», соответствующая в выбранном масштабе величине ЭДС E , из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью ( )UII = (на рисунке 7.8, б — это точка « m »). Из точки пересечения перпендикуляра с кривой ( )UII = , т.е. из точки « m », опускается ортогональ на ось токов — полученная точка « m ′′ » соответствует искомому току

( )EII = в цепи. Абсциссы точек пересечения ортогонали с зависимостями ( )UII 1= и ( )UII 2= определяют напряжения 1U и 2U на последовательно соединенных

резисторах 1R и 2R (рисунок 7.8, б). Примечание – Рассмотренный прием может быть обобщен на любое число нелинейных сопротивлений, соединенных последовательно. 7.5.2 Метод эквивалентных преобразований при параллельном соединении нелинейных сопротивлений Пусть электрическая цепь (рисунок 7.9, а) состоит из 2-х параллельно соединенных нелинейных резисторов 1R и 2R , вольт-амперные характеристики которых, т.е. функции ( )UII 1= и ( )UII 2= , известны (рисунок 7.9, б). Требуется определить значение тока I в неразветвленной части цепи, а также величины токов 1I и

2I в параллельных ветвях с сопротивлениями 1R и 2R при заданном значении ЭДС источника E .

186

а) б) в) Рисунок 7.9 – Параллельное соединение нелинейных сопротивлений (а) и графическая

интерпретация метода эквивалентных преобразований (б), (в)

Как и в случае последовательного соединения нелинейных сопротивлений, решение задачи сводится к преобразованию исходной схемы, изображенной на рисунке 7.9, а, к эквивалентной схеме рисунка 7.8, в и, следовательно, к определению результирующей ВАХ параллельного соединения. Методика построения этой ВАХ принципиально ничем не отличается от ранее рассмотренной. Только в данном случае в основе ее построения лежат уравнения 21 III += , constUUU === 21 . (7.9) Из уравнений (7.9) следует, что при параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Это означает, что результирующую ВАХ можно построить путем суммирования ординат вольт-амперных характеристик ( )UII 1= и

( )UII 2= элементов 1R и 2R при фиксированных значениях напряжения U . Графическая интерпретация указанных построений приведена на рисунке 7.9, б. Здесь для некоторого значения напряжения aUU = , задаваемого точкой « a » на оси абсцисс, показано правило определения точки « d », принадлежащей результирующей ВАХ ( )UII = параллельного соединения сопротивлений 1R и 2R . Как следует из рисунка, положение точки « d » при фиксированном значении напряжения aUU = определяется на основании графического уравнения adacab =+ , (7.10) где отрезки ab и ac выражают в заданном масштабе Im токи aI1 и aI2 в элементах 1R и 2R , соответствующие выбранному значению напряжения aU , а отрезок ad — ток aI в эквивалентном сопротивлении R при том же напряжении: abmI Ia ⋅=1 , acmI Ia ⋅=2 , admI Ia ⋅= . (7.11) Таким образом, графическое уравнение (7.10) соответствует 1-му закону Кирхгофа 21 III += . Для определения величины тока I при заданном по условию задачи значении ЭДС E на оси напряжений откладывается точка « m′», соответствующая в выбранном масштабе величине ЭДС E , из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью ( )UII = (на рисунке 7.9, б — это точка « m »). Из точки пересечения перпендикуляра с кривой ( )UII = , т.е. из точки « m », опускается

187

ортогональ на ось токов — полученная точка « m ′′ » соответствует искомому току ( )EII = в цепи. Ординаты точек пересечения перпендикуляра с зависимостями ( )UII 1= и ( )UII 2= определяют токи 1I и 2I в параллельных ветвях с

сопротивлениями 1R и 2R (рисунок 7.9, б). Примечание – Рассмотренный прием может быть обобщен на любое число нелинейных сопротивлений, соединенных параллельно. 7.5.3 Метод эквивалентных преобразований при смешанном соединении нелинейных сопротивлений При смешанном соединении нелинейных резисторов, состоящем из последовательного и параллельного соединения отдельных участков цепи, для построения результирующей вольт-амперной характеристики всей цепи в целом могут быть использованы те же приемы. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности: 1) исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением сопротивлений, для чего строится результирующая ВАХ параллельного соединения так же, как это делалось в разделе 7.5.2; 2) производится расчет полученной схемы с последовательным соединением нелинейных сопротивлений (см. раздел 7.5.1), на основании которого затем определяются токи в параллельных ветвях схемы. 7.5.4 Метод пересечения характеристик Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами (рисунок 7.10, а) может быть проведено другим методом — методом пересечения характеристик. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, 1R с ВАХ ( )IUU 1= считается внутренним сопротивлением источника ЭДС E , а другой ( 2R с ВАХ ( )IUU 2= ) — нагрузкой.

а) б)

Рисунок 7.10 – Последовательное соединение нелинейных сопротивлений (а) и графическая интерпретация метода пересечения характеристик (б)

Электрическое состояние цепи (рисунок 7.10, а) тогда определяется на основании 2-го закона Кирхгофа: ( ) ( )IUEIU 12 −= . (7.12)

188

Графическое решение уравнения показано на рисунке 7.10, б. Это решение, как видно из рисунка, определяется точкой пересечения кривой ( ) ( )IUEIU 1−= с вольт-амперной характеристикой ( )IU 2 нелинейного сопротивления 2R , т.е. точкой « a », для которой напряжение ( )IU2 на элементе 2R удовлетворяет уравнению (7.12). Перпендикуляры, опущенные из точки пересечения « a » на оси координат, определяют рабочий режим цепи, т.е. значения напряжений 1U и 2U на нелинейных резисторах 1R , 2R и величину тока I в последовательной цепи (рисунок 7.10, б). Примечания 1 Кривая ( ) ( )IUEIU 1−= на рисунке 7.10, б строится путем вычитания ординат ВАХ ( )IU1 из ЭДС E для различных значений тока I . 2 Использование метода пересечения характеристик наиболее эффективно при последовательном соединении линейного и нелинейного сопротивлений (рисунок 7.11, а).

а) б) Рисунок 7.11 – Последовательное соединение линейного и нелинейного сопротивлений (а)

и графическая интерпретация метода пересечения характеристик (б)

В этом случае линейный резистор 1R принимается за внутреннее сопротивление источника ЭДС E , а электрическое состояние цепи определяет уравнение ( ) 112 IREIU −= , (7.13) из которого следует, что кривая ( ) 11IREIU −= может быть построена по двум точкам. Обычно в качестве таких точек выбираются точки, соответствующие режимам холостого хода и короткого замыкания. Пример указанного построения демонстрирует рисунок 7.11, б. Здесь ВАХ ( )IU , соответствующая прямой MN , построена по двум точкам M и N . Координаты точки M определяют режим холостого хода: 0=I ,

EU = ; координаты точки N — режим короткого замыкания: 1REII кз == , 0=U . Как и в случае двух нелинейных резисторов, точка « a » пересечения кривых ( ) 11IREIU −= и ( )IU2 , т.е. точка пересечения прямой MN и ВАХ ( )IU2 нелинейного

элемента 2R , определяет режим цепи: напряжения 1U , 2U на элементах 1R , 2R и силу тока в цепи I (рисунок 7.11, б). 7.5.5 Метод эквивалентного генератора при расчете цепей постоянного тока с одним нелинейным элементом Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным

189

резистором, то величину тока в ней можно определить методом эквивалентного генератора. Идея решения (как и в случае линейной цепи) заключается в следующем: ветвь, содержащую нелинейное сопротивление, выделяют из исходной схемы, а всю остальную (уже линейную) часть схемы рассматривают как активный двухполюсник (рисунок 7.12, а).

а) б) в Рисунок 7.12 – Замена активного двухполюсника (а) в нелинейной цепи эквивалентным

источником напряжения (б) или эквивалентным источником тока (в)

Согласно теоремам об эквивалентных источниках (теореме Тевенена и теореме Нортона) активный двухполюсник по отношению к зажимам « a » и «b » выделенной ветви можно представить эквивалентным источником энергии (эквивалентным генератором). Как было показано в разделе 2.7.6, это можно сделать двумя способами — активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником напряжения с ЭДС гE и внутренним сопротивлением гR (рисунок 7.12, б) или эквивалентным источником тока с задающим током гJ и внутренней проводимостью гг RG 1= (рисунок 7.12, в). ЭДС гE эквивалентного источника напряжения равна согласно теореме Тевенена напряжению ххU на зажимах « a » и «b » при разомкнутой ветви с нелинейным сопротивлением (напряжению в режиме холостого хода), а внутренне сопротивление гR совпадает с входным сопротивлением вхR двухполюсника: ххг UE = , вхг RR = . (7.14) Задающий ток гJ эквивалентного источника тока равен согласно теореме Нортона току короткого замыкания кзI двухполюсника, а внутренняя проводимость гG — входной проводимости двухполюсника вхG : кзг IJ = , вхг GG = . (7.15) Определив параметры гE , гR или гJ , гG эквивалентных источников в соответствии с формулами (7.14), (7.15), ток I в выделенной ветви « ab », т.е. ток в нелинейном сопротивлении, можно рассчитать методом эквивалентных преобразований (как цепь с последовательным соединением элементов) или методом пересечения характеристик. Примечание – Если по условию задачи необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы нелинейный резистор на рисунке 7.12, б (или 7.12, в) в соответствие с принципом компенсации (см. раздел 2.9.3)

190

заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым методом расчета цепей постоянного тока. 7.5.6 Метод двух узлов при расчете цепей постоянного тока с нелинейными элементами Для расчета цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применить метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем: 1) все токи kI в параллельных ветвях схемы выражают в функции одного переменного — напряжения 0U между двумя узлами, т.е. согласно формуле 0UEUk ±±= ; (7.16) 2) строят графики зависимостей ( )0UIk токов во всех k - х ветвях в функции общей величины — напряжения 0U . Для этого каждую из исходных кривых ( )kk UI смещают вдоль оси напряжений параллельно самой себе так, чтобы ее начало находилось в точке kEU =0 . Если при этом напряжение 0U в формулу (7.16) входит со знаком «–», то относительно перпендикуляра, восстановленного в точке kEU =0 , производят зеркальное отражение вновь построенной кривой ( )0UIk ; 3) графически определяют точку, в которой реализуется 1-й закон Кирхгофа, т.е. уравнение

( ) 01

0 =∑=

n

k

k UI . (7.17)

Рассмотрим практическую реализацию метода для схемы цепи, изображенной на рисунке 7.13, а.

а) б)

Рисунок 7.13 – Схема нелинейной цепи с двумя узлами (а) и графическая интерпретация метода двух узлов (б)

Схема содержит три нелинейных элемента 1R , 2R и 3R , вольт-амперные характеристики которых приведены на рисунке 7.14. Выразим токи 1I , 2I и 3I в ветвях схемы через узловое напряжение 0U . Для этого представим напряжения 1U , 2U и 3U на нелинейных элементах как функции соответствующих ЭДС 1E , 2E , 3E и узлового напряжения 0U . В итоге получим: 011 UEU −= , 022 UEU += , 033 UEU −= . (7.18)

191

Рисунок 7.14 – Вольт-амперные характеристики нелинейных сопротивлений

Графики кривых ( )01 UI , ( )02 UI , ( )03 UI , построенные на основании уравнений (7.18), изображены на рисунке 7.13, б. Согласно 1-му закону Кирхгофа для токов 1I , 2I , 3I в рассматриваемой цепи должно выполняться условие ( ) ( ) ( ) 0030201 =+− UIUIUI . (7.19) Точку, в которой реализуется 1-й закон Кирхгофа (7.19), определяем графически, как точку пересечения кривых ( )31 II + с кривой 2I , т.е. согласно следующему из (7.19) равенству:

( ) ( ) ( )020301 UIUIUI =+ . На рисунке 7.13, б это точка « m ». 7.6 Аналитические методы расчета нелинейных цепей Исследование общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом представлении характеристик нелинейного элемента, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой части. К аналитическим методам относятся: 1) метод аналитической аппроксимации; 2) метод кусочно-линейной аппроксимации; 3) метод линеаризации. 7.6.1 Метод аналитической аппроксимации. Основные положения Метод аналитической аппроксимации основан на замене вольт-амперной характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Пусть ВАХ нелинейного сопротивления, соответствующая некоторой функциональной зависимости ( )xfy = , где Iy = , Ux = или, наоборот, Uy = , Ix = , представлена в табличной форме (см. таблицу 7.1) или в виде точечной диаграммы (рисунок 7.15). При этом вид самого аналитического выражения ( )xfy = неизвестен. Таблица 7.1 – Данные измерений при экспериментальном определении ВАХ нелинейного

элемента

0x 1x 2x 3x K ix K 1−nx nx

0y 1y 2y 3y K iy K 1−ny ny

192

Рисунок 7.15 – Точечная диаграмма экспериментально снятой вольт-амперной характеристики

нелинейного элемента

Важное практическое применение имеет следующая задача: найти аналитическое выражение зависимости ( )xfy = (вольт-амперной характеристики), т.е. подобрать функцию ( )xy ϕ= такую, чтобы ( )ii xy ϕ= или ( )ii xy ϕ≈ . Функции, полученные в результате решения такого рода задач, называются эмпирическими или аппроксимирующими. Подбор аппроксимирующей функции по экспериментальным значениям ( )ii yx ; ,

n,i 0= , можно осуществить, исходя из различных моделей. Наиболее распространенными из них являются метод интерполирования и метод наименьших квадратов. 7.6.2 Аналитическая аппроксимация по методу интерполирования Интерполированием вольт-амперной характеристики ( )xfy = нелинейного элемента, представленной таблицей значений ( )ii yx ; , n,i 0= , называется восстановление этой характеристики с заданной степенью точности эмпирической функцией ( )xy ϕ= , удовлетворяющей условию ( )ii xy ϕ= . Точки 0x , 1x , K , 1−nx , nx называют узлами интерполирования. Геометрически задача подбора функции ( )xϕ по заданным частным значениям ВАХ ( )xfy = означает построение кривой ( )xy ϕ= , проходящей через точки плоскости с координатами ( )ii yx ; , n,i 0= , (рисунок 7.16).

Рисунок 7.16 – Геометрическая интерпретация метода интерполирования

193

Ясно, что через данные точки ( )ii yx ; можно провести бесконечное множество различных кривых. Следовательно, задача подбора эмпирической функции ( )xy ϕ= по данным значениям (узлам) ( )ii yx ; , n,i 0= , неизвестной функции ( )xfy = не определена. Предположим теперь, что функция ( )xy ϕ= не произвольная, а является многочленом степени n ( n — натуральное число, на единицу меньшее количества узлов). Тогда задача подбора эмпирической функции ( )xϕ приобретает более определенный характер, так как функцию ( )xf теперь требуется приближенно заменить многочленом ( ) 01

11 axaxaxaxP n

nn

nn ++++= −− K , (7.20)

значения которого совпадают со значениями ( )xf в узлах интерполирования: ( ) iin yxP = , n,i 0= . (7.21) Многочлен ( )xPn называется интерполяционным многочленом степени n . Для определения коэффициентов na , 1−na , K , 1a , 0a многочлена ( )xPn используют условия (7.20), (7.21):

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

−−

−−

−−

.

;

;

011

1

10111

111

00011

010

nnnnn

nnn

nn

nn

nn

nn

yaxaxaxa.....................................................yaxaxaxa

yaxaxaxa

K

K

K

(7.22)

В курсе высшей математики доказывается, что система уравнений (7.22) имеет единственное решение, если узлы интерполирования 0x , 1x , K , 1−nx , nx различны. Это означает, что существует единственный интерполяционный многочлен ( )xPn , коэффициенты которого определяются из системы (7.22). При большом количестве узлов интерполирования определение коэффициентов многочлена ( )xPn на основании системы уравнений (7.22) связано с весьма громоздкими вычислениями, поэтому на практике используют различные (специальные) формы представления многочленов ( )xPn , наиболее распространенными из которых являются интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )∑

= +−

+−

−−−−−−−−−−

=n

k nkkkkkkk

nkkkn xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxyxP0 1110

1110

KK

KK. (7.23)

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ++−−+−+= K210101000 ;;; xxxfxxxxxxfxxyxPn

( )( ) ( ) ( )nn xxxfxxxxxx ;;; 10110 KK −−−−+ , (7.24) где ( )10; xxf , ( )210 ;; xxxf , K , ( )nxxxf ;;; 10 K — разделенные разности:

( )10

1010;

xxyyxxf

−−

= , ( ) ( ) ( )20

2110210

;;;;xx

xxfxxfxxxf−−

= , K ,

( ) ( ) ( )n

nnn xx

xxxfxxxfxxxf−−

= −

0

2111010

;;;;;;;;; KKK . (7.25)

194

Примечания 1 В силу единственности интерполяционного многочлена n - й степени ( )xPn интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и наоборот. 2 На практике для получения достаточно хорошего приближения ВАХ ( )xfy = вместо построения интерполяционного многочлена высокой степени используют кусочную интерполяцию многочленами более низких степеней, т.е. на каждом отрезке [ ]mk xx ; , где n,m,k 0= и mk < , строится свой многочлен. Так, например, при 1+= km на отрезке [ ]1; +kk xx можно построить многочлен первой степени (кусочно-линейная интерполяция); при 2+= km на отрезке [ ]2; +kk xx — многочлен второй степени (кусочно-квадратичная интерполяция) и т.д. Получающиеся при этом кусочно-многочленные функции с однородной структурой на каждом промежутке [ ]mk xx ; (многочлены одной и той же степени) называются сплайн-функциями или просто сплайнами, а сам метод, основанный на представлении функции сплайнами — сплайн-интерполяцией. Простейший пример линейной сплайн-интерполяции некоторой функции ( )xfy = , представляющей ВАХ нелинейного элемента, демонстрирует рисунок 7.17.

Рисунок 7.17 – Линейная сплайн-интерполяция вольт-амперной характеристики

нелинейного элемента 7.6.3 Аналитическая аппроксимация по методу наименьших квадратов Пусть результаты измерения ( )ii yx ; , n,i 0= , вольт-амперной характеристики нелинейного элемента приведены в виде таблицы 7.1 или точечной диаграммы, изображенной на рисунке 7.15. Значения ВАХ ( )xfy = при ixx = определены приближенно с некоторой случайной погрешностью. Наличие случайных погрешностей делает нецелесообразным подбор такой эмпирической функции ( )xy ϕ= , которая бы точно описывала все экспериментальные данные, т.е. график ее проходил бы через точки ( )ii yx ; , n,i 0= . В этом случае предпочтительно подобрать такую аппроксимирующую функцию ( )xϕ , которая «сглаживала» бы случайные погрешности измерений. Задача построения аппроксимирующей функции ( )xϕ по экспериментальным данным в рассматриваемой модели состоит из двух этапов:

195

1) определение вида аппроксимирующей функции ( )xϕ , т.е. выбор класса функций, к которому принадлежит аппроксимирующая функция (линейная, квадратичная, показательная и т.д.); 2) определение параметров 0b , 1b , K , mb аппроксимирующей функции ( )mb,,b,b,x K10ϕ выбранного вида.

Пусть далее первая часть задачи решена, т.е. вид аппроксимирующей функции ( )mb,,b,b,x K10ϕ определен. Подбор параметров 0b , 1b , K , mb этой функции по

методу наименьших квадратов производится таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений iy от ординат аппроксимирующей функции была минимальной, т.е.

( )[ ]∑=

=−=n

k

mkk minb,b,b,xyS0

210 Lϕ . (7.26)

Задача определения тех значений параметров 0b , 1b , K , mb , при которых функция ( )mb,b,bS K10 достигает минимума, сводится к решению системы уравнений:

00

=dbdS

, 01

=dbdS

, K , 0=mdb

dS. (7.27)

Значения параметров 0b , 1b , K , mb для функций наиболее часто используемых при аппроксимации ВАХ нелинейных элементов, систематизированы в таблице 7.2. Таблица 7.2 – Параметры основных аппроксимирующих функций

Вид аппроксимирующей функции

Параметры аппроксимирующей функции

( ) 01 bxbx +=ϕ ∑∑

∑∑∑

==

===

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

=n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xnx

yxnyxb

1

2

2

1

1111 ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

n

i

i

n

i

i xbyn

b1

1

1

01

( ) 012

2 bxbxbx ++=ϕ

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

====

====

===

.

;

;

1

2

1

20

1

31

1

42

1i1

0

1

21

1

32

1

0

1

1

1

22

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

n

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yxxbxbxb

yxxbxbxb

ynbxbxb

ii

( ) 10

bxbx =ϕ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

n

i

i

n

i

i xlnbylnn

expb1

1

1

01

,

196

Продолжение таблицы 7.2

Вид аппроксимирующей функции

Параметры аппроксимирующей функции

( )∑∑

∑∑∑

==

===

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

=n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xlnnxln

ylnxlnnylnxlnb

1

2

2

1

1111

( ) ( )xbexpbx 10=ϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

n

i

i

n

i

i xbylnn

expb1

1

1

01

,

∑∑

∑∑∑

==

===

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

=n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xnx

ylnxnylnxb

1

2

2

1

1111

( ) xbbx 10 +=ϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

n

i i

n

i

i xby

nb

1

1

1

011

,

( ) ( )

( ) ( )2

11

2

1111

11

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxxynb

( ) xlnbbx 10 +=ϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

n

i

i

n

i

i xlnbyn

b1

1

1

01

,

( )

( )2

11

2

1111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xlnxlnn

xlnyxlnynb

Примечание – При подборе аппроксимирующей функции ( )xy ϕ= следует учитывать характер расположения экспериментальных точек ( )ii yx ; , n,i 0= на точечной диаграмме и сочетать его по возможности с логически-профессиональным анализом. 7.6.4 Метод кусочно-линейной аппроксимации Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении ВАХ нелинейного элемента отрезками прямых линий по аналогии с линейной сплайн-

197

интерполяцией, изображенной на рисунке 7.17. В результате нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами. 7.6.5 Метод линеаризации Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки « a » (рисунок 7.18) от исходного состояния, а также в случаях, когда ВАХ нелинейного элемента в пределах некоторого диапазона изменения тока или напряжения содержит линейный участок.

а) б)

Рисунок 7.18 – Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов с восходящим (а) и нисходящим (б) участками

В этих случаях можно осуществить замену данного нелинейного элемента эквивалентной линейной схемой, состоящей из источника ЭДС 0E и линейного сопротивления дR или источника тока 0J и линейной проводимости дG . Линейное сопротивление дR в таком случае соответствует дифференциальному сопротивлению нелинейного резистора, а линейная проводимость дG — его дифференциальной проводимости:

IU

dIdURд Δ

Δ≈= ,

UI

dUdIGд Δ

Δ≈= . (7.28)

Пусть, например, рабочая точка « a » расположена на восходящей части ВАХ (рисунок 7.18, а). В пределах линейного участка « ab » характеристики напряжение 0U на нелинейном элементе может быть представлено уравнением IREU д+= 00 . (7.29) Этому уравнению соответствует схема замещения нелинейного элемента, изображенная на рисунке 7.19, а (схема замещения с источником ЭДС). Разделив почленно уравнение (7.29) на величину дR и преобразовав полученное выражение относительно тока I , получим новое уравнение: дд IJGUJI +−=+−= 000 , (7.30) где дд RG 1= , дREJ 00 = , дд GUI 0= . Уравнению (7.30) соответствует схема замещения нелинейного элемента, изображенная на рисунке 7.19, б (схема замещения с источником тока).

198

а) б)

Рисунок 7.19 – Схемы замещения нелинейного элемента на восходящей части его вольт-амперной характеристик, содержащие источник ЭДС (а) и источник тока (б)

Пусть теперь рабочая точка « a » расположена на нисходящей части ВАХ (рисунок 7.18, б). В пределах линейного участка « ab » характеристики напряжение 0U на нелинейном элементе может быть представлено уравнением IREU д+−= 00 . (7.31) Этому уравнению соответствует схема замещения нелинейного элемента, изображенная на рисунке 7.20, а (схема замещения с источником ЭДС).

а) б)

Рисунок 7.20 – Схемы замещения нелинейного элемента на нисходящей части его вольт-амперной характеристик, содержащие источник ЭДС (а) и источник тока (б)

Разделив почленно уравнение (7.31) на величину дR и преобразовав полученное выражение относительно тока I , получим новое уравнение: дд IJGUJI +=+= 000 . (7.32) Уравнению (7.32) соответствует схема замещения нелинейного элемента, изображенная на рисунке 7.20, б (схема замещения с источником тока). 7.6.6 Закон Ома и законы Кирхгофа для малых приращений На основании метода линеаризации могут быть получены законы Ома и Кирхгофа для малых приращений. Как было показано в разделе 7.6.5, при незначительном отклонении рабочей точки от исходного состояния, дифференциальное сопротивление (или дифференциальную проводимость) нелинейного резистора с достаточной точностью можно определить как отношение приращений тока и напряжения, т.е. в соответствии с формулами (7.28). Из этих формул тогда получаем:

дRUI ΔΔ = , UGI дΔΔ = . (7.33)

Соотношения (7.33) называются законами Ома для малых приращений. Если в результате расчета нелинейной цепи исходный режим ее уже определен и требуется рассчитать лишь приращения токов или напряжений, обусловленные

199

изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать для расчетов эквивалентные схемы для приращений. Эти схемы могут быть получены из соответствующих законов Кирхгофа для приращений. Первый закон Кирхгофа: сумма приращений токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме приращений токов, направленных от узла, или алгебраическая сумма приращений токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

∑∑==

=n

kk

m

kk II

11ΔΔ , 0

1=∑

=

p

kkIΔ . (7.34)

Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма приращений падений напряжения на сопротивлениях контура равна алгебраической сумме приращений ЭДС, действующих в контуре:

∑∑==

=m

kk

n

kkдk ERI

11ΔΔ . (7.38)

При составлении схемы замещения для приращений следует придерживаться двух следующих правил: 1) все ЭДС и токи источников, т.е. величины E и J , заменить их приращениями

EΔ и JΔ ; 2) нелинейные резисторы заменить линейными сопротивлениями (или проводимостями), равными дифференциальным в рабочих точках. Примечание – Необходимо помнить, что величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме ее исходного значения и приращения, рассчитанного методом линеаризации, т.е. согласно законам Ома и Кирхгофа для малых приращений. Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости. 7.7 Численные методы расчета нелинейных цепей Решение нелинейного уравнения (или системы уравнений), описывающего состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня, после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности. Наиболее широкое применение в теоретической электротехнике для расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простых итераций (метод последовательных приближений) и метод Ньютона (метод касательных). 7.7.1 Метод простых итераций В наиболее компактной форме метод простых итераций применяется к решению уравнений вида ( )xfx = , (7.39) где величина x представляет искомый ток или напряжение, т.е. Ix = или Ux = . Для уравнения (7.39) тогда имеем следующий итерационный процесс: ( )kk xfx =+1 , n,k 0= , (7.40)

200

где kx и 1+kx — значения искомой величины *x на k - м и ( )1+k - м шаге итераций; ( )kxf — значение функции ( )xf на k - м шаге итерации.

Геометрическую интерпретацию метода можно представить, изобразив на координатной плоскости графики функций ( )xfy = и xy = . Абсцисса точки пересечения графиков этих функций (точка *x ) и есть решение уравнения (7.39) (рисунок 7.21).

Рисунок 7.21 – Геометрическая интерпретация метода простых итераций

Значение 0x на рисунке 7.21 обозначает первоначальное приближение к корню *x уравнения (7.39). При практических расчетах итерационный процесс (7.40) следует завершить при достижении на очередном шаге итерации значения 1+kx , которое отличается от предыдущего значения kx на величину ε≤−+ kk xx 1 , (7.41) где ε — заданная заранее погрешность вычислений. Примечание – Начальное приближение 0x для итерационного процесса (7.40) обычно находится из уравнения ( ) 0=− xxf при пренебрежении в нем нелинейными членами. 7.7.2 Метод Ньютона Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нелинейное уравнение задано в виде ( ) 0=xf . (7.42) Допустим, что два приближенных значения kx и 1+kx отличаются на малую величину kk xxx −= +1Δ . Тогда, разложив функцию ( )xxf k Δ+ в ряд по xΔ и ограничившись только двумя первыми членами ряда (что справедливо, если xΔ — малая величина), получим ( ) ( ) ( ) xxfxfxxf kkk ΔΔ ′+≈+ . (7.43) Целесообразно выбрать xΔ таким, чтобы ( ) 0=+ xxf k Δ . Тогда из (7.43) следует

( )( )k

kkk xf

xfxxx′

−=−= +1Δ

или

201

( )( )k

kkk xf

xfxx′

−=+1 , n,k 0= . (7.44)

Соотношение (7.44) также определяет некоторый итерационный процесс решения нелинейного уравнения (7.42). Этот процесс называется методом Ньютона. Геометрическая интерпретация метода приведена на рисунке 7.22.

Рисунок 7.22 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона

В методе Ньютона также следует задать некоторое начальное приближение 0x . Итерационный процесс (7.44) следует завершить по достижении условия (7.41). Примечания 1 Начальное приближение 0x в методе Ньютона находится по тому же принципу, что и в методе простых итераций, т.е. на основании уравнения ( ) 0=xf при пренебрежении в нем нелинейными членами. 2 На интервале между точками kx и 1+kx , являющимися приближенными значениями корня *x уравнения (7.42), должны выполняться следующие условия:

( ) 0≠

dxxdf

, ( ) 02

2

≠dx

xfd, (7.45)

так как в противном случае итерационный процесс (7.44) будет расходящимся. Лекция 8. Магнитные цепи постоянного тока 8.1 Магнитные цепи. Основные понятия и величины, характеризующие магнитное поле Все вещества по их магнитным свойствам подразделяются на диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные. У диамагнитных веществ относительная магнитная проницаемость 1<μ , например для воды 9999910,=μ , для меди

9999900,=μ ; у парамагнитных веществ 1>μ , например для алюминия 0000231,=μ , для вольфрама 0001761,=μ ; у ферромагнитных веществ 1>>μ , например для железа мягкого 8000=μ , для чугуна 2000=μ , для пермаллоя 80000=μ . При решении большинства электротехнических задач достаточно подразделять все вещества на две группы: ферромагнитные (сильномагнитные), для которых 1>>μ , и неферромагнитные (слабомагнитные), для которых 1≈μ . Совокупность ферромагнитных и неферромагнитных частей электротехнических устройств, предназначенных для создания магнитных полей нужной конфигурации и

202

интенсивности, называется магнитной цепью. Для усиления магнитного поля и практически полной локализации его внутри магнитной цепи используют ферромагнитные материалы (ферромагнетики). Фрагмент магнитной цепи, образованный из ферромагнетиков, называется сердечником или магнитопроводом. В зависимости от принципа действия электротехнического устройства магнитное поле может возбуждаться либо постоянным магнитом, либо катушкой с током (обмоткой), расположенной в той или иной части магнитной цепи. Если ток в такой катушке является постоянным, то возбуждаемое им магнитное поле также будет постоянным, а рассматриваемая при этом магнитная цепь — магнитной цепью постоянного тока. Как известно, явления, связанные с магнитным полем, могут быть описаны с помощью ряда таких физических величин как магнитная индукция, магнитный поток, намагниченность, напряженность магнитного поля, магнитная проницаемость и др. Магнитная индукция B

r является основной (силовой) характеристикой

магнитного поля. Вектор магнитной индукции Br

определяется по силе Fr

, воздействующий на заряд q , перемещающийся в магнитном поле со скоростью vr :

qF =r [ Bv

rr ]. (8.1) Единица измерения магнитной индукции: [ B ] 1= Тл (тесла). Магнитный поток Φ есть поток вектора магнитной индукции через площадь S :

∫=S

SdBrr

Φ , (8.2)

где Sdr

— элемент поверхности S . Единица измерения магнитного потока: [Φ ] 1= Вб (вебер). При однородном магнитном поле ( constB = ) и перпендикулярном направлении линий поля к площадке BS=Φ (8.3) Намагниченность M

r есть магнитный момент единицы объема вещества:

V

mlimMV

∑→

=

rr

0, (8.4)

где V — объем вещества, mr — вектор магнитного момента элементарного контура с током. По определению Sim

rr= . (8.5)

Здесь i — ток в контуре, Sr

— векторное представление площади, ограниченной контуром. Единица измерения намагниченности: [ M ] 1= А/м (ампер на метр). Вектор

MBHrrr

−=0

1μ

(8.6)

называется напряженностью магнитного поля, величина 0μ в формуле (8.6) — магнитной постоянной: 7

0 104 −⋅= πμ Гн/м. Единица измерения напряженности магнитного поля: [ H ] 1= А/м (ампер на метр). Из формулы (8.6) следует, что векторы магнитного поля B

r, Mr

и Hr

связаны равенством

203

( )MHBrrr

+= 0μ . (8.7) Соотношение между намагниченностью M

r и напряженностью магнитного поля

Hr

имеет следующий вид: HM

rrχ= , (8.8)

где безразмерная величина χ , называемая магнитной восприимчивостью, для ферромагнитных веществ является функцией H

r.

Из формул (8.7) и (8.8) получаем равенство ( ) ( ) HHHMHB a

rrrrrrμμμχμμ ==+=+= 000 1 , (8.9)

где величина χμ +=1 называется относительной магнитной проницаемостью, а величина μμμ 0=a — абсолютной магнитной проницаемостью. 8.2 Характеристики ферромагнитных материалов в стационарных магнитных полях. Понятие о магнитомягких и магнитотвердых материалах Свойства ферромагнитных материалов, находящихся под воздействием постоянного (стационарного) магнитного поля, принято характеризовать зависимостью магнитной индукции B от напряженности магнитного поля H , т.е. зависимость

( )HBB = . Различают два основных типа этих зависимостей: кривые намагничивания, представляющие собой однозначную зависимость ( )HB (рисунок 8.1, а), и гистерезисные петли — неоднозначные зависимости ( )HB (рисунок 8.1, б).

а) б)

Рисунок 8.1 – Первоначальная кривая намагничивания (а) и гистерезисные петли (б)

Кривые намагничивания подразделяют на первоначальную кривую намагничивания (рисунок 8.1, а) и основную кривую намагничивания (рисунок 8.1, б). Начальная кривая намагничивания представляет зависимость ( )HBB = предварительно размагниченного ферромагнетика ( 0=B , 0=H ) при плавном изменении магнитной напряженности H . Эта кривая является однозначной зависимостью ( )HB и обычно близка к основной кривой намагничивания. Начальную кривую намагничивания, имеющую нелинейный характер, можно разбить на следующие участки: « a0 » — начальная область намагничивания, « ab » — область интенсивного намагничивания, «bc » — участок перегиба кривой, называемый коленом кривой, и «cd » — участок насыщения ферромагнетика. Намагничивание ферромагнитных материалов сопровождается явлением гистерезиса, т.е. отставанием изменения магнитной индукции B от напряженности магнитного поля H .

204

Если сначала намагнитить материал, т.е. увеличить напряженность магнитного поля до некоторого значения mHH = , а затем уменьшить ее значение до нуля ( 0=H ) и далее, изменив направление H , снова увеличить напряженность до величины

mHH −= с последующим уменьшением ее до нуля ( 0=H ), то в результате такого циклического медленного перемагничивания получится зависимость ( )HB в виде замкнутого цикла, называемая петлей гистерезиса (рисунок 8.1, б). При разных максимальных значениях напряженности внешнего магнитного поля mHH = получится семейство петель гистерезиса. Если при намагничивании материал был доведен до насыщения, то соответствующая петля гистерезиса называется предельной петлей или предельным циклом. Она характеризуется тем, что при дальнейшем увеличении напряженности внешнего поля магнитное поле ферромагнетика не изменяется. Две точки предельной петли — остаточная индукция rB и коэрцитивная сила

cH — являются паспортными характеристиками материала. Остаточная индукция rB определяет значение индукции магнитного поля при равной нулю напряженности этого поля; коэрцитивная сила cH — напряженность магнитного поля, необходимую для доведения магнитной индукции в предварительно намагниченном ферромагнетике до нуля. Кривая, проходящая через вершины всех петель гистерезиса (рисунок 8.1, б), называется основной кривой намагничивания; она практически совпадает с первоначальной кривой намагничивания. Перемагничивание ферромагнитного материала связано с расходом энергии на этот процесс. Можно доказать, что площадь петли гистерезиса, равная ∫HdB , пропорциональная энергии, выделяющейся в единице объема ферромагнитного вещества за один цикл перемагничивания. В зависимости от величины этой энергии и соответственно формы петли гистерезиса ферромагнитные материалы подразделяются на магнитомягкие и магнитотвердые. Первые характеризуются относительно узкой петлей гистерезиса и круто поднимающейся основной кривой намагничивания (рисунок 8.2, а), вторые обладают большой площадью гистерезисной петли и полого поднимающейся основной кривой намагничивания (рисунок 8.2, б).

а) б)

Рисунок 8.2 – Гистерезисные петли магнитомягких (а) и магнитотвердых (б) ферромагнетиков

Магнитомягкие материалы (электротехнические стали, железоникелевые сплавы и др.) обладают свойством легко перемагничиваться и применяются в устройствах, предназначенных для работы при переменных магнитных полях (трансформаторы, двигатели и др.).

205

Магнитотвердые материалы (углеродистые стали, вольфрамовые сплавы и др.) обладают свойством задерживать остаточную намагниченность и используются при изготовлении постоянных магнитов. 8.3 Магнитодвижущая сила и магнитное напряжение участка магнитной цепи Магнитодвижущей (или намагничивающей) силой (МДС) катушки или обмотки с током называется произведение числа витков катушки w на величину протекающего в ней тока I : wIF = . (8.10) Единица измерения МДС: [ F ] 1= А (ампер). МДС F вызывает магнитный поток Φ в магнитной цепи подобно тому, как ЭДС E вызывает электрический ток I в электрической цепи. Как и ЭДС, МДС имеет направление действия. Положительное направление МДС совпадает с движением острия правого винта, если его вращать по направлению тока в обмотке. Для определения положительного направления МДС пользуются мнемоническим правилом: если сердечник мысленно охватить правой рукой, расположив ее пальцы по направлению тока в обмотке, а затем отогнуть большой палец, то последний укажет направление МДС. На рисунке 8.3 изображены несколько эскизов сердечников с различными направлениями намоток катушек и различными направлениями токов в них.

Рисунок 8.3 – Эскизы, поясняющие правило определения направления МДС

Магнитным напряжением (падением напряжения) между двумя точками « a » и «b » магнитной цепи называется линейный интеграл напряженности магнитного поля между этими точками:

( )

( )

∫=b

a

Mab ldHUrr

. (8.11)

Рисунок 8.4 – Определение напряжения на участке магнитной цепи

Если на участке магнитной цепи напряженность Hr

постоянна и совпадает по направлению с элементом пути ld

r, то HdlcosHdlldH == 0

rr и величину H можно

вынести из-под знака интеграла, тогда согласно (8.11) получим

206

( )

( )

ab

b

a

Mab HldlHU == ∫ , (8.12)

где abl — длина пути между точками « a » и «b » магнитной цепи (рисунок 8.4). Единица измерения магнитного напряжения: [ MU ] 1= А (ампер). Примечание – При анализе магнитных цепей иногда вводят понятие разности магнитных потенциалов Maϕ и Mbϕ , которая приравнивается величине магнитного напряжения: MbMaMabU ϕϕ −= . (8.13) Соотношение (8.13), таким образом, устанавливает формальную аналогию с определением напряжения на участке электрической цепи постоянного тока как разности электрических потенциалов aϕ и bϕ , т.е. аналогию с формулой (1.4). 8.4 Классификация магнитных цепей Магнитные цепи в зависимости от конфигурации магнитопровода и особенностей взаимодействия магнитных потоков подразделяются на следующие группы: 1) разветвленные и неразветвленные магнитные цепи; 2) однородные и неоднородные; 3) симметричные и несимметричные. Неразветвленными называют магнитные цепи с одним магнитным потоком (рисунок 8.5).

а) б)

Рисунок 8.5 – Неразветвленная однородная (а) и неоднородная (б) магнитная цепь

Разветвленные магнитные цепи содержат участок, на котором замыкаются различные магнитные потоки (рисунок 8.6). В однородной магнитной цепи, образованной замкнутым прямоугольным магнитопроводом (рисунок 8.5, а), каждый прямоугольный контур совпадает с одной из магнитных линий; магнитные линии проходят в одной среде и напряженность магнитного поля вдоль линий не изменяется. На рисунке 8.5, б показан эскиз неоднородной магнитной цепи с воздушным зазором. Разветвленные магнитные цепи делятся на симметричные и несимметричные. Магнитная цепь на рисунке 8.6, а симметрична: в ней 21 ΦΦ = , если обе части ее, расположенные слева и справа от вертикальной пунктирной линии, геометрически одинаковы, изготовлены из одного и того же материала и если 2211 IwIw = ( 21 FF = ).

207

Достаточно нарушить условие 2211 IwIw = ( 21 FF = ), изменить направление тока в одной из обмоток или сделать воздушный зазор в одном из крайних стержней магнитопровода, чтобы магнитная цепь стала несимметричной (рисунок 8.6, б).

а) б)

Рисунок 8.6 – Разветвленная симметричная (а) и несимметричная (б) магнитная цепь

Примечание – Для описания геометрической конфигурации магнитных цепей используются те же структурные элементы, что и при анализе электрических цепей, т.е. узел, ветвь и контур. 8.5 Закон непрерывности магнитного потока и закон полного тока. Законы Кирхгофа для магнитных цепей При расчетах магнитных цепей, как и электрических, применяют 1-й и 2-й законы Кирхгофа. Эти законы являются прямыми следствиями закона непрерывности магнитного потока и закона полного тока. 8.5.1 Закон непрерывности магнитного потока и первый закон Кирхгофа для магнитных цепей Закон непрерывности магнитного потока устанавливает теорема Гаусса, согласно которой поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

∫ ==S

SdB 0rr

Φ . (8.14)

Из формулы (8.14) следует 1-й закон Кирхгофа для магнитных цепей. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных потоков в любом узле магнитной цепи равна нулю:

∑=

=p

k

k

1

0Φ , (8.15)

где p — число ветвей, сходящихся в узле. Примечание – При записи уравнения 1-го закона Кирхгофа (8.15) потоки, направленные к узлу магнитной цепи, берутся со знаком «+», направленные от узла — со знаком «–». 8.5.2 Закон полного тока и второй закон Кирхгофа для магнитных цепей Магнитное поле создается электрическими токами. Количественную связь между этими токами и соответствующим полем устанавливает закон полного тока, согласно

208

которому циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

∫ ∑=

=l

n

k

kIldH1

rr, (8.16)

где n — количество токов kI , охватываемых контуром l .

Положительное направление интегрирования ldr

в формул (8.16) связано с положительным направлением тока kI правилом правого винта. Если контур интегрирования будет пронизывать катушку с числом витков w , по которой проходит ток I , то

wIIn

k

k =∑=1

и, следовательно,

∫ =l

wIldHrr

. (8.17)

Из формулы (8.17) следует 2-й закон Кирхгофа для магнитных цепей. Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре магнитной цепи алгебраическая сумма падений магнитного напряжения равна алгебраической сумме МДС, действующих в контуре:

∑∑==

=m

k

k

n

k

Mk FU11

, ∑∑==

=m

k

kk

n

k

kk IwlH11

, (8.18)

где n — число участков контура, не содержащих МДС, m — число действующих в данном контуре МДС. Примечание – При составлении уравнения 2-го закона Кирхгофа (8.18) в соответствующем контуре предварительно следует указать положительное направление его обхода. Тогда магнитное напряжение MkU в уравнении (8.18) запишется со знаком «+», если направление соответствующего магнитного потока kΦ совпадает с обходом контура. Аналогично МДС kF считается положительной, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура. Рассмотрим, к примеру, разветвленную магнитную цепь, изображенную на рисунке 8.7, и составим для нее полную систему уравнений на основании законов Кирхгофа (8.15), (8.18).

Рисунок 8.7 – Схема разветвленной магнитной цепь, иллюстрирующая правила составления

системы уравнений на основании законов Кирхгофа

209

Обозначим через 1Φ , 2Φ и 3Φ — магнитные потоки ветвей, 1l . 2l и 3l — длины магнитных линий для этих потоков в ферромагнетике, δ — длину воздушного зазора. Система уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для данной схемы следующая:

0321 =−+ ΦΦΦ ;

113311 IwHlHlH =++ δδ ;

223322 IwHlHlH =++ δδ , где 1H , 2H и 3H — напряженности магнитного поля в ферромагнетике, δH — напряженность магнитного поля в воздушном зазоре. 8.6 Магнитное сопротивление и магнитная проводимость. Закон Ома для магнитной цепи Магнитный поток Φ в магнитной цепи является аналогом электрического тока I в электрической цепи. Также соотносятся между собой магнитное и электрическое напряжения, т.е. величины MU и U . Известно, что ток и напряжение в электрической цепи связаны законом прямой пропорциональности (законом Ома). Установим аналогичное соотношение между магнитным потоком и магнитным напряжением для магнитной цепи. Рассмотрим сначала ферромагнитный участок цепи. Согласно (8.12) магнитное напряжение MU равно: HlUM = , (8.19) где H — напряженность магнитного поля на участке магнитной цепи длиной l . Поскольку напряженность H и индукция B связаны равенством (8.9), согласно которому HB μμ0= , (8.20) а магнитный поток Φ и магнитная индукция B — равенством (8.3), т.е. BS=Φ (8.21) то из (8.20) и (8.21) следует

S

BHμμΦ

μμ 00

== , (8.22)

где S — поперечное сечение участка магнитной цепи. Из (8.19) и (8.22) тогда получаем:

SlUM μμ

Φ0

=

или MM RU Φ= , (8.23) где величина

S

lRM μμ0

= (8.24)

определяет магнитное сопротивление участка магнитной цепи, а соотношение (8.23) — падение магнитного напряжения на этом участке, выраженное через магнитный поток Φ и магнитное сопротивление MR . Единица измерения магнитного сопротивления: [ MR ] 1= Гн (генри).

210

Из уравнения (8.23) следует закон Ома для магнитной цепи:

M

M

RU

=Φ . (8.25)

Соотношения аналогичные (8.23) – (8.25) можно получить и для неферромагнитного участка магнитной цепи, например, для воздушного зазора длиной δ :

δδ ΦRU = , δ

δ μδS

R0

= , δ

δΦRU

= , (8.26)

где δU и δR определяют падение напряжения и сопротивление воздушного зазора, δS — площадь поперечного сечения участка магнитной цепи с воздушным зазором. Примечание – Наряду с магнитными сопротивлениями MR и δR при анализе магнитных цепей рассматривают магнитные проводимости MG и δG , определяемые как величины, обратные соответствующим сопротивлениям:

l

SR

GM

Mμμ01

== , δ

μ δ

δδ

SR

G 01== . (8.27)

8.7 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока При анализе магнитных цепей и, в первую очередь, при их синтезе обычно используют следующие допущения: 1) магнитная напряженность и соответственно магнитна индукция во всех точках поперечного сечения магнитопровода одинакова; 2) потоки рассеяния отсутствуют, т.е. магнитный поток через любое сечение неразветвленной части магнитопровода одинаков. Потоком рассеяния называется поток, который замыкается, минуя основной путь магнитного потока в магнитопроводе; 3) сечение воздушного зазора равно сечению прилегающих участков магнитопровода. Указанные допущения позволяют использовать при анализе магнитных цепей законы Кирхгофа (8.15), (8.18) и законы Ома (8.25). (8.26). 8.7.1 Формальная аналогия между величинами и законами электрических и магнитных цепей. Схемы замещения магнитных цепей Математические выражения законов Ома и Кирхгофа для магнитных цепей по структуре аналогичны соответствующим законам Ома и Кирхгофа для линейных электрических цепей. Это позволяет установить формальную аналогию между основными величинами и законами электрических и магнитных цепей (см. таблицу 8.1). Таблица 8.1 – Аналогия величин и законов электрических и магнитных цепей

Электрическая цепь

Магнитная цепь

Сила тока, I Магнитный поток, Φ Электрическое напряжение, U Магнитное напряжение, MU

Электродвижущая сила (ЭДС), E Магнитодвижущая сила (МДС), F Электрическое сопротивление, R Магнитное сопротивление, MR

211

Продолжение таблицы 8.1

Электрическая цепь

Магнитная цепь

1-й закон Кирхгофа,

∑=

=p

k

kI1

0

1-й закон Кирхгофа,

∑=

=p

k

k

1

0Φ

2-й закон Кирхгофа,

∑∑==

=m

k

k

n

k

k EU11

2-й закон Кирхгофа,

∑∑==

=m

k

k

n

k

Mk FU11

Закон Ома,

RUI =

Закон Ома,

M

M

RU

=Φ

Результаты, представленные в таблице 8.1, указывают на возможность использования схем замещения магнитных цепей постоянного магнитного потока, подобных схемам замещения электрических цепей. Так, например, магнитной цепи, изображенной на рисунке 8.8, а, соответствует схема замещения, изображенная на рисунке 8.8, б.

а) б) Рисунок 8.8 – Эскиз магнитной цепи (а) и соответствующая схема замещения (б)

Примечание – Из сравнения рисунков 8.8, а и 8.8, б следует, что при составлении схемы замещения магнитной цепи участок ее, где путь магнитного потока пролегает в ферромагнетике, изображают нелинейным сопротивлением, а путь потока в воздушном зазоре — линейным сопротивлением. Магнитодвижущую силу на схеме замещения представляют источником энергии. 8.7.2 Общая характеристика методов расчета магнитных цепей. Прямая и обратная задачи Формальная аналогия между электрическими и магнитными цепями позволяет распространить все методы и технику расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока на нелинейные магнитные цепи. При этом аналогом ВАХ ( )UII = в магнитных цепях является вебер-амперная характеристика ( )MUΦΦ = , нелинейный характер которой в общем случае и определяет нелинейность магнитных цепей.

212

В отличие от электрических цепей вебер-амперные характеристики ( )MUΦΦ = для магнитных цепей в готовом виде не задаются. Перед началом расчетов их нужно построить с помощью кривых намагничивания ( )HB ферромагнитных материалов, входящих в магнитную цепь. При расчете магнитных цепей относительно постоянных магнитных потоков обычно используют основную кривую намагничивания. Петлеобразный характер зависимости ( )HB учитывается при расчете постоянных магнитов и электротехнических устройств на их основе. На практике при расчете магнитных цепей встречаются две типичные задачи: 1) задача определения величины МДС, необходимой для создания заданного магнитного потока (заданной магнитной индукции) на каком-либо участке магнитопровода (задача синтеза или прямая задача); 2) задача нахождения потоков (магнитных индукций) на отдельных участках цепи по заданным значениям МДС (задача анализа или обратная задача). В зависимости от типа рассматриваемой задачи все многообразие методов расчета нелинейных магнитных цепей можно свести к трем основным группам: 1) аналитические методы, с помощью которых решаются задачи первого типа — прямые задачи; 2) графические методы, с помощью которых решаются задачи второго типа — обратные задачи; 3) численные методы, основанные на приближенных способах решения с помощью ЭВМ алгебраических уравнений, описывающих магнитную цепь. 8.7.3 Аналитические методы расчета разветвленных и неразветвленных магнитных цепей. Прямая задача Данными методами, как отмечалось, решаются прямые задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета задаются конфигурация и основные геометрические размеры магнитной цепи, кривая намагничивания ферромагнитного материала и магнитный поток или магнитная индукция в каком-либо сечении магнитопровода. Требуется найти МДС, токи в обмотках или, при известных значениях последних, число витков. Реализацию метода рассмотрим сначала на примере неразветвленной магнитной цепи, изображенной на рисунке 8.9, а.

а) б)

Рисунок 8.9 – Схемы неразветвленной (а) и разветвленной (б) магнитной цепи, иллюстрирующие применение аналитического метода решения прямой задачи

213

Расчет этой цепи можно построить в следующей последовательности: 1) наметить среднюю линию (на рисунке 8.9, а это пунктирная линия), которую затем разделить на участки 1l , 2l , 3l , 4l и δ с одинаковым сечением магнитопровода; 2) исходя из постоянства магнитного потока Φ вдоль цепи, определить значение индукции kB для каждого k - го участка по формуле

kk S

B Φ= ,

где kS — сечение участка; 3) по кривой намагничивания ( )HB для каждого значения kB найти напряженность kH на ферромагнитных участках. Напряженность поля в воздушном зазоре рассчитать по формуле

0μδ

δBH = ;

4) по 2-му закону Кирхгофа для магнитной цепи определить искомую МДС путем суммирования падений магнитного напряжения вдоль контура:

δδHlHwIFk

kk +== ∑=

3

1

,

где δ — длина воздушного зазора. Расчет разветвленных магнитных цепей основан на совместном применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа для магнитных цепей. Последовательность решения задач данного типа в целом соответствует уже рассмотренному алгоритму решения прямой задачи для неразветвленной цепи рисунка 8.9, а. В качестве примера рассмотрим реализацию этого алгоритма для разветвленной магнитной цепи, изображенной на рисунке 8.9, б. Пусть при заданной геометрии магнитной цепи и известной характеристике ( )HB ферромагнитного сердечника требуется определить МДС 111 IwF = , необходимую для создания в воздушном зазоре индукции δB (рисунок 8.9, б). Расчет этой цепи можно построить в следующей последовательности: 1) задать положительные направления магнитных потоков 1Φ , 2Φ и 3Φ в ветвях магнитной цепи; 2) по формуле

0μδ

δBH =

определить напряженность магнитного поля в воздушном зазоре и по зависимости ( )HB ( при условии δBB =3 ) — значение 3H ;

3) на основании 2-го закона Кирхгофа для правого контура цепи, т.е. на основании уравнения

02233 =−+ lHHlH δδ рассчитать напряженность 2H и по характеристике ( )HB — магнитную индукцию 2B ; 4) на основании 1-го закона Кирхгофа

33221 SBSB +=Φ определить магнитный поток 1Φ , затем по формуле

214

1

11 S

B Φ=

рассчитать магнитную индукцию 1B и по зависимости ( )HB — напряженность 1H ; 5) в соответствии со 2-м законом Кирхгофа определить искомую МДС по формуле

22111 lHlHF += . 8.7.4 Графические методы расчета разветвленных и неразветвленных магнитных цепей. Обратная задача Данными методами решаются обратные задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета задаются конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи, кривая намагничивания ферромагнитного материала, а также МДС обмоток. Требуется найти значения потоков (индукций) на отдельных участках магнитопровода. Данные методы основаны на графическом представлении вебер-амперных характеристик ( )MUΦΦ = линейных и нелинейных участков магнитной цепи с последующим решением алгебраических уравнений, записанных согласно законам Кирхгофа, с помощью графических построений на плоскости. Применение графических методов к решению обратных задач рассмотрим на примере магнитных цепей, изображенных на рисунке 8.9, заменив их эквивалентными схемами замещения, представленными на рисунке 8.10.

а) б)

Рисунок 8.10 – Схемы замещения неразветвленной (а) и разветвленной (б) магнитной цепи, иллюстрирующие применение графического метода решения обратной задачи

Если магнитная цепь неразветвленная (рисунок 8.10, а), то ее расчет аналогичен методу расчета резистивной цепи постоянного тока при последовательном соединении нелинейных сопротивлений (см. раздел 7.5.1). В этом случае необходимо построить результирующую вебер-амперную характеристику ( )MUΦΦ = всей магнитной цепи, исходя из характеристик ( )MU1ΦΦ = и ( )MU2ΦΦ = ее отдельных участков, а затем на основании зависимости ( )MUΦΦ = рассчитать магнитный поток Φ в цепи и, при необходимости, магнитные напряжения 1MU и 2MU на ее участках. Результирующая вебер-амперная характеристика ( )MUΦΦ = определяется из соотношений const=== ΦΦΦ 21 , 21 MMM UUU += (8.28) и может быть получена графическим путем, если в качестве общего аргумента принять магнитный поток Φ , замыкающийся в магнитопроводе. Методика построения характеристики ( )MUΦΦ = аналогична методике построения результирующей ВАХ

215

( )UII = для последовательного соединения нелинейных сопротивлений и подробно описана в разделе 7.5.1. Отметим, что при расчете неразветвленных магнитных цепей, содержащих воздушные зазоры (рисунок 8.10, а), целесообразно использовать метод пересечения характеристик (см. раздел 7.5.4), при котором искомое решение определяется точкой пересечения нелинейной вебер-амперной характеристики ( )ΦMU нелинейной части цепи и линейной характеристики линейного участка, строящейся на основании уравнения

Φδ δδ RFHwIlHk

kk −=−=∑=

3

1

.

Подробно метод пересечения характеристик описан в разделе 7.5.4 и его практическое применение к магнитным цепям принципиально ничем не отличается от использования для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока. В случае разветвленных магнитных цепей (рисунок 8.10, б) также могут быть использованы все графические методы, применяемые при анализе аналогичных нелинейных электрических цепей постоянного тока. В частности, при расчете магнитных цепей, содержащих два узла (такую конфигурацию имеет большое число используемых на практике магнитопроводов), широко применяется метод двух узлов. Его графическая интерпретация подробно рассмотрена в разделе 7.5.6 также для нелинейных резистивных цепей постоянного тока. В отношении магнитных цепей практическое использование этого метода аналогичное. Так, например, при расчете магнитной цепи, изображенной на рисунке 8.10, б, необходимо магнитные потоки 1Φ , 2Φ и 3Φ в параллельных ветвях схемы выразить в функции общего аргумента 0MU — магнитного напряжения между двумя узлами схемы и графически определить, в какой точке реализуется 1-й закон Кирхгофа, т.е. в данном случае уравнение

( ) ( ) ( ) 0030201 =−− MMM UUU ΦΦΦ . Соответствующие этой точке магнитные потоки 1Φ , 2Φ и 3Φ являются решением поставленной задачи. 8.7.5 Численные методы расчета магнитных цепей Данные методы (метод простых итераций и метод Ньютона), сущность которых была рассмотрена в разделе 7.7 при анализе нелинейных резистивных цепей постоянного тока, являются приближенными численными методами решения нелинейных алгебраических уравнений, описывающих состояние магнитной цепи. Эти методы хорошо поддаются алгоритмизации и в настоящее время широко используются при исследовании сложных магнитных цепей на ЭВМ. Лекция 9. Нелинейные электрические цепи переменного тока 9.1 Основные особенности нелинейных цепей при переменных токах При переменном токе переменными во времени являются потокосцепления и заряды, поэтому индуцируемые в цепи ЭДС и токи в конденсаторах (в отличие от цепи постоянного тока) не равны нулю. По этой причине распределение токов и напряжений в схемах определяется нелинейными сопротивлениями, индуктивностями и ёмкостями.

216

Основными характеристиками нелинейных резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, как отмечалось, являются функции ( )uii = , ( )iΨΨ = и ( )uqq = , т.е. вольт-амперная, вебер-амперная и кулон-вольтная характеристики. Наиболее существенная особенность анализа нелинейных цепей при переменных токах заключается в необходимости учета в общем случае динамических характеристик ( )uii = , ( )iΨΨ = и ( )uqq = . Если нелинейный элемент является безынерционным, то его характеристики в динамическом и статическом режимах совпадают, что существенно упрощает анализ. Однако на практике идеально безынерционных элементов не существует. Отнесение элемента к классу безынерционных определяется скоростью изменения входных воздействий. Так, если период T переменного воздействия достаточно мал по сравнению с постоянной времени τ , характеризующей динамические свойства нелинейного элемента ( τ<<T ), то этот элемент рассматривается как безынерционный. Если же условие τ<<T не выполняется, то необходимо учитывать инерционные свойства нелинейного элемента. 9.2 Нелинейные характеристики и параметры катушки с магнитопроводом Важнейшим элементом в цепях переменного тока является катушка с ферромагнитным сердечником (с магнитопроводом). Вебер-амперная характеристика ( )iΨΨ = катушки, выражающая зависимость потокосцепления Ψ от тока i в катушке, является линейной (рисунок 9.1, а), если магнитная проницаемость μ среды, в которой замыкается магнитный поток, не зависит от напряженности магнитного поля: const=μ .

а) б)

Рисунок 9.1 – Вебер-амперная характеристика линейной (а) и нелинейной (б) катушек индуктивности

Связь между потокосцеплением Ψ и током i в таком случае оказывается прямопропорциональной с коэффициентом пропорциональности равным индуктивности линейной катушки:

constidi

dL ===ΨΨ

. (9.1)

Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от напряженности магнитного поля: ( )Hμμ = . Соответственно характеристика ( )iΨΨ = катушки с магнитопроводом оказывается нелинейной (рисунок 9.1, б):

217

( ) constdi

diL ≠=Ψ

. (9.2)

Уравнение (9.2) означает, что индуктивность катушки с магнитопроводом непостоянна и зависит от величины и формы тока в цепи. Такая катушка называется нелинейной индуктивной катушкой. Ток и напряжение в ней связаны нелинейным уравнением

( )dtdiiL

dtdi

did

dtdu ===

ΨΨ. (9.3)

Нелинейность уравнения (9.3) указывает на то, что при синусоидальном напряжении на зажимах нелинейной катушки ток в ней будет несинусоидальным. Это также означает, что для расчетов цепей с нелинейными индуктивностями недопустимо использовать векторные диаграммы и комплексные величины так, как это делалось при синусоидальных процессах. Примечание – Нелинейная индуктивность (как и нелинейное сопротивление) характеризуется совокупностью статических, дифференциальных и динамических характеристик. В применении к индуктивной катушке они называются соответственно статическая индуктивность стL , дифференциальная индуктивность дL , динамическая индуктивность динL и определяются равенствами:

I

LстΨ

= , dI

dLдΨ

= , di

dLдинΨ

= . (9.4)

Динамическая индуктивность катушек динL получается при достаточно быстрых изменениях тока и определяется из динамических вебер-амперных характеристик. При достаточно медленном изменении тока и потока динамические характеристики повторяют статические. Определяемую из статических характеристик индуктивность дL в виде производной dIdΨ называют дифференциальной индуктивностью, а индуктивность стL при фиксированных значениях тока и потока — статической индуктивностью. 9.3 Вольт-амперная характеристика и индуктивное сопротивление нелинейной катушки при синусоидальном напряжении Рассмотрим нелинейную индуктивную катушку (катушку с магнитопроводом) в цепи синусоидального тока, считая выполненными два следующих условия: 1) магнитное поле вне магнитопровода (поле рассеяния) пренебрежимо мало в сравнении с полем магнитопровода; 2) активное сопротивление катушки пренебрежимо мало. Выполнение первого условия позволяет исключить из уравнения электрического состояния нелинейной катушки ЭДС, создаваемую потоком рассеяния; выполнение второго условия позволяет пренебречь падением напряжения в активном сопротивлении катушки. В таком случае переменное напряжение на катушке оказывается уравновешенным только величиной ЭДС e , т.е. eu −= , (9.5) где значение ЭДС определяется из закона электромагнитной индукции:

dt

dwdt

de ΦΨ−=−= . (9.6)

218

Здесь w — число витков катушки, Φ — магнитный поток. Магнитная цепь, электрическое состояние которой описывается уравнениями (9.5), (9.6), называется идеализированной. Из формул (9.5) и (9.6) следует, что закон изменения магнитного потока Φ в катушке полностью определяется напряжением на ней:

( ) ( ) Adttuw

t += ∫1Φ , (9.7)

где A — постоянная интегрирования (при отсутствии постоянного магнитного потока 0=A ).

Если приложенное к катушке напряжение синусоидально, т.е. tsinUu m ω= , (9.8) то из (9.7) и (9.8) следует, что магнитный поток Φ также будет синусоидальным:

( ) tcoswUt m ωω

Φ −= . (9.9)

Учитывая связь магнитного потока с магнитной индукцией, т.е. формулу BS=Φ , приходим к выводу, что магнитная индукция в магнитопроводе катушки при синусоидальном напряжении (9.8) будет изменяться также по гармоническому закону:

( ) ( ) tcosSw

US

ttB m ωω

Φ−== . (9.10)

Амплитуда магнитной индукции

Sw

UB mm ω= , (9.11)

где S — поперечное сечение магнитопровода. Построим на основании (9.10) кривую изменения тока ( )ti в катушке, воспользовавшись кривой намагничивания, изображенной на рисунке 9.2, а, и соотношением

( ) ( )w

ltHti = , (9.12)

являющимся следствием из 2-го закона Кирхгофа для магнитных цепей (см. раздел 8.5.2)

а) б)

Рисунок 9.2 – Кривая намагничивания (а) и построенная с ее помощью кривая тока (б) при синусоидальном напряжении в катушке с магнитопроводом

219

Указанное построение демонстрирует рисунок 9.2, б. Из этого рисунка видно, что с увеличением амплитуды магнитной индукции mB форма кривой тока все больше отличается от синусоиды и ток резко возрастает при насыщении материала магнитопровода. Зависимость максимального значения тока mI от амплитуды синусоидального напряжения mU на катушке, т.е. функция ( )mmm UII = , называется вольт-амперной характеристикой по амплитудным значениям (рисунок 9.3, а). Обычную зависимость

( )UII = называют вольт-амперной характеристикой (рисунок 9.3, б).

а) б) в)

Рисунок 9.3 – Вольт-амперная характеристика нелинейной катушки для амплитудных (а) и действующих (б) значений и кривая зависимости реактивного сопротивления от величины напряжения (в)

Анализ цепей, содержащих индуктивные катушки с магнитопроводом, можно существенно упростить, заменив реальный несинусоидальный ток эквивалентным синусоидальным током с равным действующим значением. Расчетный метод, реализующий подобную замену, называется методом эквивалентных синусоид. Уравнение (9.5) в рамках метода эквивалентных синусоид можно записать в комплексной форме:

EU && −= или IjXEU &&& =−= , (9.13) где X — эквивалентное индуктивное сопротивление катушки при эквивалентном синусоидальном токе. Величина этого сопротивления определяется согласно (9.13) равенством

I

UX = . (9.14)

Из рисунка 9.3, б следует, что ВАХ катушки с магнитопроводом нелинейна; ток I растет быстрее напряжения U и сопротивление X , следовательно, монотонно уменьшается по мере роста U (рисунок 9.3, в). 9.4 Полное уравнение электрического состояния, векторная диаграмма и схема замещения катушки с магнитопроводом при синусоидальном напряжении Рассмотрим процессы в индуктивной катушке с замкнутым сердечником (магнитопроводом), обмотка которой имеет w витков (рисунок 9.4).

220

Рисунок 9.4 – Схема индуктивной катушки с магнитопроводом

Уравнение, описывающее процессы в катушке, имеет вид

dt

dRiu Ψ+= , (9.15)

где R — активное сопротивление обмотки. Полное потокосцепление Ψ представим в виде σΨΨΨ += 0 . (9.16) Величина 0Ψ есть потокосцепление, определяемое линиями магнитной индукции, замыкающимися целиком вдоль сердечника. Следовательно, 00 ΦΨ w= , (9.17) где 0Φ — поток сквозь сечение сердечника, определяемый этими линиями. Величина σΨ есть потокосцепление, определяемое линиями магнитной индукции, замыкающимися частично или полностью в воздухе (потокосцепление рассеяния): iLw σσσ ΦΨ == , (9.18) где σΦ — поток рассеяния, σL — индуктивность рассеяния. Как следует из (9.18), потокосцепление σΨ пропорционально току i , так как магнитное сопротивление пути, по которому замыкаются линии потока, практически не зависит от тока и, следовательно, индуктивность σL постоянна. Потокосцепление 0Ψ нелинейно связано с током i , так как магнитная проницаемость и, следовательно, магнитное сопротивление сердечника зависят от напряженности магнитного поля. Уравнение катушки теперь можно переписать в виде

dtdw

dtdiLRiu 0Φ

σ ++=

или, обозначив напряжение

dt

dwu 00

Φ= , (9.19)

0udtdiLRiu ++= σ . (9.20)

Уравнение (9.20) нелинейное. Поэтому, даже если приложенное напряжение u синусоидально, ток i будет несинусоидальным. Заменяя несинусоидальные кривые тока и потока эквивалентными синусоидами, можем записать уравнение (9.20) в комплексной форме для комплексов величин:

221

0UIjXIRU &&&& ++= σ , (9.21) где σσ ωLX = — реактивное сопротивление рассеяния. Изменение магнитного поля в индуктивной катушке вызывает нагрев магнитопровода из-за гистерезиса и вихревых токов. Следовательно, в магнитопроводе возникают потери энергии, которые называют магнитными потерями. Величину магнитных потерь принято оценивать некоторой мощностью 0PΔ (мощностью потерь). Таким образом, в схему замещения катушки с магнитопроводом необходимо добавить резистивный элемент 0R так, чтобы мощность потерь в этом элементе была бы равна мощности магнитных потерь 0PΔ , т.е.

0

20

0 RUP =Δ ,

откуда находим

0

20

0 PURΔ

= . (9.22)

Ток I& в уравнении (9.21) можно разложить на две составляющие: реактивную составляющую рI& , находящуюся в фазе с потоком 0Φ& , и активную составляющую аI& ,

находящуюся с потоком 0Φ& в квадратуре: ( )000 jbgUIII ра −=+= &&&& , (9.23) где

20

0

000

1U

PUI

Rg а Δ

=== , 0

0 UI

b р= . (9.24)

Схема замещения индуктивной катушки, соответствующая уравнениям (9.21), (9.23), (9.24), приведена на рисунке 9.5, а; векторная диаграмма токов и напряжений — на рисунке 9.5, б.

а) б)

Рисунок 9.5 – Схема замещения (а) и векторная диаграмма токов и напряжений (б) индуктивной катушки с магнитопроводом при синусоидальном напряжении

222

Из векторной диаграммы рисунка 9.5, б следует, что эквивалентная синусоида тока i отстает от эквивалентной синусоиды напряжения dtdu 00 Ψ= на угол 20 πϕ < вследствие возникновения потерь 0PΔ в сердечнике. На диаграмме также изображен вектор ЭДС 0E& , индуцируемой в обмотке потоком 0Φ , и равной dtwde 00 Φ−= . 9.5 Феррорезонансные явления в нелинейных цепях переменного тока В электрических цепях, содержащих катушки с ферромагнитными сердечниками и конденсаторы, наблюдаются особые явления, связанные с нелинейными свойствами этих цепей, и называемые феррорезонансными явлениями или феррорезонансами. Различают феррорезонанс в последовательной цепи (феррорезонанс напряжений) и феррорезонанс в параллельной цепи (феррорезонанс токов). 9.5.1 Явление феррорезонанса при последовательном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательного соединения индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора с ёмкостью C (рисунок 9.6, а).

а) б) Рисунок 9.6 – Последовательная цепь с нелинейной индуктивной катушкой и конденсатором (а)

и соответствующие вольт-амперные характеристики (б)

Предположим, что в цепи отсутствуют потери, и заменим несинусоидальные кривые тока и напряжения эквивалентными синусоидами, выбрав их равными первым гармоникам действительных кривых, иными словами, пренебрежем наличием высших гармоник. В таком случае напряжение LU на зажимах катушки и напряжение CU на зажимах конденсатора по фазе прямо противоположны друг другу, а напряжение U на зажимах цепи равно абсолютному значению их разности: CL UUU −= . Представляя напряжения LU и CU в виде функций тока I , причем ( )IUU LL = изобразится нелинейной вольт-амперной характеристикой катушки, а ( )ICUC ω1= — прямой, проходящей через начало координат, получим

( ) ( ) IC

IUIU L ω1

−= . (9.25)

223

Зависимость ( )IUU = , определяемая из (9.25), является нелинейной ВАХ всей цепи. Графики этих зависимостей приведены на рисунке 9.6, б. Точка пересечения кривой ( )IU L с прямой ( )IUC (точка « a ») соответствует резонансу напряжений. Из приведенных на рисунке 9.6, б графиков следует, что в отличие от цепей с постоянными параметрами, резонанса напряжений в рассматриваемой последовательной цепи можно достичь изменением значений приложенного напряжения. Это объясняется тем, что индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от значения тока и, следовательно, изменяется при изменении напряжения источника. Режим работы цепи, содержащей последовательно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока совпадает по фазе с синусоидальным напряжением источника, называется феррорезонансом напряжений. Из построенной результирующей ВАХ ( )IUU = видно, что при увеличении напряжения источника U в цепи имеет место скачок тока из точки «1» в точку «3». Аналогично при уменьшении напряжения наблюдается скачок тока из точки «2» в точку «0». Явление скачкообразного изменения тока при плавном изменении входного напряжения называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи. 9.5.2 Явление феррорезонанса при параллельном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из параллельного соединения индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора с ёмкостью C (рисунок 9.7, а).

а) б)

Рисунок 9.7 – Параллельная цепь с нелинейной индуктивной катушкой и конденсатором (а) и соответствующие вольт-амперные характеристики (б)

Как и в предыдущем случае, пренебрежем потерями в цепи и наличием высших гармоник. Тогда ток LI в индуктивной катушке и ток CI в конденсаторе по фазе будут противоположны друг другу, а ток I в неразветвленной части цепи будет равен абсолютному значению их разности: CL III −= .

224

Представляя токи LI и CI как функции напряжения U на зажимах цепи, причем ( )UII LL = изобразится нелинейной вольт-амперной характеристикой катушки, а

( )UCIC ω= — прямой, проходящей через начало координат, получим ( ) ( ) CUUIUI L ω−= . (9.26) Зависимость ( )UII = , определяемая из (9.26), является нелинейной ВАХ всей цепи. Графики этих зависимостей приведены на рисунке 9.7, б. Точка пересечения кривой ( )UIL с прямой ( )UIC (точка « a ») соответствует резонансу токов. Из приведенных на рисунке 9.7, б графиков следует, что в отличие от цепей с постоянными параметрами, резонанса токов в рассматриваемой параллельной цепи можно достичь изменением значений приложенного напряжения. Как и в случае последовательного соединения, это объясняется тем, что индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от значения тока и, следовательно, изменяется при изменении напряжения источника. Режим работы цепи, содержащей параллельно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с синусоидальным напряжением источника, называется феррорезонансом токов. Из построенной результирующей ВАХ ( )UII = видно, что при увеличении тока I в неразветвленной части цепи имеет место скачок напряжения из точки «1» в точку «3». Аналогично при уменьшении тока наблюдается скачок напряжения из точки «2» в точку «0». Явление скачкообразного изменения напряжения при плавном изменении входного тока называется триггерным эффектом в параллельной феррорезонансной цепи. 9.6 Конденсаторы с нелинейными характеристиками в цепи переменного тока Если относительная диэлектрическая проницаемость ε диэлектрика конденсатора не зависит от напряженности электрического поля E , то и ёмкость C конденсатора не зависит от напряжения на нем. Кулон-вольтная характеристика

( )uqq = конденсатора, выражающая зависимость заряда q от напряжения u на его обкладках, в таком случае является линейной (рисунок 9.8, а). Это наблюдается для большинства конденсаторов, применяемых на практике.

а) б)

Рисунок 9.8 – Кулон-вольтная характеристика линейного (а) и нелинейного (б) конденсатора

225

Связь между зарядом q и напряжением u тогда является прямопропорциональной с коэффициентом пропорциональности равным ёмкости линейного конденсатора:

constuq

dudqC === . (9.27)

Существуют вещества, называемые сегнетоэлектриками, для которых величина ε сильно зависит от напряженности электрического поля. Если диэлектриком в конденсаторе является сегнетоэлектрик, то кулон-вольтная характеристика ( )uqq = такого конденсатора оказывается нелинейной (рисунок 9.8, б):

( ) constdudquC ≠= . (9.28)

Уравнение (9.28) означает, что ёмкость конденсатора с диэлектриком из сегнетоэлектрика непостоянна и зависит от величины и формы напряжения в цепи. Такой конденсатор называется нелинейным конденсатором. Ток и напряжение в нем связаны нелинейным уравнением

( )dtduuC

dtdu

dudq

dtdqi === . (9.29)

Нелинейность уравнения (9.29) указывает на то, что при синусоидальном напряжении на зажимах нелинейного конденсатора ток в нем будет несинусоидальным. Можно доказать, что у нелинейного конденсатора связь между электрическим смещением D и напряженностью электрического поля E также оказывается нелинейной. Кроме того, при периодическом изменении напряженности поля в пределах от mE+ до mE− наблюдается так называемое явление диэлектрического гистерезиса — кривая ( )EDD = при уменьшении напряженности поля не совпадает с соответствующей кривой (рисунок 9.9) при увеличении напряженности поля.

Рисунок 9.9 – Петли диэлектрического гистерезиса в нелинейном конденсаторе

При уменьшении напряженности поля до нуля сохраняются некоторая остаточная поляризация и соответственно остаточное смещение rD . Примечания 1 Нелинейная ёмкость (как и нелинейные индуктивность и сопротивление) характеризуется совокупностью статических, дифференциальных и динамических характеристик. В применении к конденсатору они называются соответственно статическая ёмкость стC , дифференциальная ёмкость дC , динамическая ёмкость

динC и определяются равенствами:

226

IqCст = ,

dIdqCд = ,

didqCдин = . (9.30)

2 Существование сегнетоэлектриков имеет принципиальное значение. Их свойства в группе диэлектриков в значительной степени аналогичны свойствам ферромагнитных веществ. Конденсаторы с нелинейными характеристиками находят применение в устройствах автоматического управления. Лекция 10. Цепи с распределенными параметрами 10.1 Понятие о цепях с распределенными параметрами В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи с сосредоточенными параметрами, т.е. предполагалось, что электрическая цепь представляет собой совокупность некоторых самостоятельно существующих элементов R , L и C , сосредоточенных в различных ее точках. При этом геометрические размеры самой цепи, а также размеры входящих в нее элементов никакой роли не играли, и как следствие, считалось, что электрические и магнитные поля локализованы в пределах конденсаторов и катушек индуктивности, а потери мощности — в резисторах. Более детальный анализ показывает, что цепей с сосредоточенными параметрами не существует. Индуктивность и ёмкость обусловлены не только индуктивностью и ёмкостью катушки и конденсатора, но и аналогичными свойствами самих проводов, находящихся под действием магнитных и электрических полей, образуемых токами и зарядами в линии. Активное сопротивление в цепи также обусловлено не только сопротивлением нагрузки, но и внутренним сопротивлением источника энергии и сопротивлением соединительных проводов. Таким образом, электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x и времени t . Такие электрические цепи называются цепями с распределенными параметрами или длинными линиями. 10.2 Дифференциальные уравнения однородной линии с распределенными параметрами Примером цепи с распределенными параметрами является однородная двухпроводная линия, т.е. такая линия, индуктивность, ёмкость, сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей ее длины. Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины линии, называются первичными (погонными) параметрами линии и обозначаются соответственно 0L , 0C , 0R , 0G . Единицы измерения первичных параметров: [ 0L ] 1= Гн/м (генри на метр), [ 0C ] 1= Ф/м (фарад на метр), [ 0R ] 1= Ом/м (ом на метр), [ 0G ] 1= См/м (сименс на метр). Погонные параметры 0R , 0G , 0L , 0C в применении к двухпроводной линии означают следующее: 0L и 0R — индуктивность и сопротивление пары проводов в расчете на единицу длины, 0C и 0G — ёмкость и проводимость утечки между проводами на единицу длины. Параметр 0R при этом выражает потери энергии в проводе и на излучение, 0G — потери в диэлектрике. Значения 0L и 0C зависят от конструкции линии и электромагнитных параметров окружающей линию среды.

227

Составим дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять токи и напряжения в линии. Эти токи и напряжения являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x , определяющей место наблюдения, и времени t , определяющего момент наблюдения. Основной задачей теории цепей с распределенными параметрами является определение пространственно-временного распределения тока в линии ( )t;xi и напряжения между ее проводами ( )t;xu . При этом в общем случае может рассматриваться передача электромагнитной энергии по линии, когда источник и приемник имеются на обоих концах линии. Разобьем линию на элементарные участки длиной xΔ (рисунок 10.1) и рассмотрим две крайние точки любого из выделенных участков с координатами x и

xx Δ+ , где x — расстояние, отсчитываемое от начала линии.

Рисунок 10.1 – Представление линии с распределенными параметрами совокупностью элементарных участков

Обозначим ток и напряжение в начале участка, соответствующие некоторому моменту времени t , через ( )t;xi , ( )t;xu ; ток и напряжение в конце участка — ( )t;xxi Δ+ , ( )t;xxu Δ+ . Используя первичные параметры 0R , 0G , 0L , 0C , представим приближенно рассматриваемый элементарный участок в виде последовательно включенных (сосредоточенных) сопротивления xR Δ0 и индуктивности xL Δ0 и параллельно включенных активной проводимости xG Δ0 и ёмкости xC Δ0 . Для выделенного элементарного участка линии (рисунок 10.1) составим уравнения согласно законам Кирхгофа:

( ) ( ) ( ) ( ) 000 =+−+−∂+∂

− t;xxit;xxxuGt

t;xxuxCt;xi ΔΔΔΔΔ , (10.1)

( ) ( ) ( ) ( ) 000 =++∂

∂++− t;xxu

tt;xixLt;xxiRt;xu ΔΔΔ . (10.2)

Уравнения (10.1), (10.2) преобразуем следующим образом:

228

( ) ( ) ( ) ( )t;xxuG

tt;xxuC

xt;xit;xxi ΔΔ

ΔΔ

++∂+∂

=−+

− 00 , (10.3)

( ) ( ) ( ) ( )t;xiR

tt;xiL

xt;xut;xxu

00 +∂

∂=

−+−

ΔΔ

. (10.4)

Точность уравнений (10.3), (10.4) тем выше, чем меньше длина выделенного участка xΔ , поэтому, переходя к пределу при 0→xΔ , окончательно получим:

( ) ( ) ( )t;xuG

tt;xuC

xt;xi

00 +∂

∂=

∂∂

− , (10.5)

( ) ( ) ( )t;xiR

tt;xiL

xt;xu

00 +∂

∂=

∂∂

− . (10.6)

Уравнения (10.5), (10.6) являются дифференциальными уравнениями в частных производных и позволяют определить ток и напряжение в любой точке x линии в произвольный момент времени t . Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями однородной линии с распределенными параметрами или телеграфными уравнениями. 10.3 Дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме Теорию цепей с распределенными параметрами в установившемся режиме рассматривают для случая синусоидального тока. Тогда все соотношения при частоте

0=f можно распространить на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением токов и напряжений в ряд Фурье — на цепи периодического несинусоидального тока. Пусть ток и напряжение в линии изменяются по синусоидальному закону с угловой частотой ω . Пользуясь комплексным методом, заменим функции ( )t;xi и ( )t;xu в уравнениях (10.5), (10.6) комплексами действующих значений I& , U& :

tjeIi ω&⇒ , tjeUu ω&⇒ . (10.7) Комплексы I& и U& являются функциями пространственной координаты x и не зависят от времени. Экспоненциальный множитель tje ω , напротив, является функцией времени t и не зависит от координаты. Представление силы тока и напряжения в виде произведения двух функций, одна из которых ( I& или U& ) зависит только от x , а вторая ( tje ω ) только от t , позволяет в уравнениях (10.5), (10.6) перейти от частных производных к обыкновенным, причем

dx

Idexi tj

&ω⇒

∂∂

, dxUde

xu tj

&ω⇒

∂∂

, Iejti tj &ωω⇒∂∂

, Uejtu tj &ωω⇒∂∂

. (10.8)

Преобразуя телеграфные уравнения (10.5), (10.6) согласно (10.7), (10.8), получим

( )UCjGedx

Ide tjtj &&

00 ωωω +=− , ( )ILjRedxUde tjtj &&

00 ωωω +=−

или после сокращения на общий множитель 0≠tje ω :

UYdx

Id &&

0=− , IZdxUd &&

0=− , (10.9)

где 000 LjRZ ω+= , 000 CjGY ω+= (10.10)

229

— комплексное сопротивление и комплексная проводимость единицы длины линии, причем 0Z и 0Y не являются величинами, обратными друг другу: 00 1 ZY ≠ . Уравнения (10.9) есть дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме. 10.4 Общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся режиме синусоидального тока Получим решение системы дифференциальных уравнений (10.9) относительно комплексов силы тока и напряжения I& и U& . Для этого продифференцируем оба уравнения системы:

dxUdY

dxId &&

02

2

=− , dx

IdZdx

Ud &&02

2

=−

и заменим в первом уравнении dxUd & на dxId & , а во втором — dxId & на dxUd & согласно исходным уравнениям (10.9). В результате получим:

IYZdx

Id &&

002

2

= , UYZdx

Ud &&

002

2

= . (10.11)

Дифференциальные уравнения (10.11), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, являются линейными однородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Структуру их общего решения определяет характеристическое уравнение, которое для обоих дифференциальных уравнений (10.11) имеет одинаковый вид:

0002 =− YZλ , (10.12)

откуда

( )βαγλ jYZ, +±=±=±= 0021 . (10.13)

Таким образом,

xx eAeAU γγ21&&& += − , (10.14)

где γ — постоянная распространения, 1A& и 2A& — комплексные постоянные, определяемые из начальных условий. Ток I& как решение первого из уравнений (10.11) находится аналогично, однако еще проще его можно определить, подставив решение (10.14) во второе уравнение системы (10.9):

( )xx

в

eAeAZ

I γγ21

1 &&& −= − , (10.15)

где величина

θ

ωω j

вв eZCjGLjR

YZZ =

++

==00

00

0

0 (10.16)

называется волновым сопротивлением линии, вZ — модуль, θ — аргумент волнового сопротивления. Соотношения (10.14), (10.15) дают общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в комплексной форме.

230

10.5 Прямые и обратные волны в линии Комплексные постоянные 1A& и 2A& в формулах (10.14), (10.15), имеющие размерность напряжения, запишем в показательной форме:

прjeAA ψ11 =& , обрjeAA ψ

22 =& и, учитывая (10.16), получим выражения для мгновенных значений тока и напряжения в линии: ( ) ( ) ( )обр

xпр

x xtsineAxtsineAt;xu ψβωψβω αα ++++−= −21 22 , (10.17)

( ) ( ) ( )θψβωθψβω αα −++−−+−= −обр

x

впр

x

в

xtsineZ

AxtsineZ

At;xi 21 22. (10.18)

Из формул (10.17), (10.18) следует, что мгновенное значение силы тока и напряжения в любой точке линии определяется суммой двух функций. Рассмотрим (на примере напряжения) первую из этих функций: ( ) ( )пр

xпр xtsineAt;xu ψβωα +−= −

12 . (10.19) Если считать точку x фиксированной ( constx = ) и рассматривать изменение напряжения в этой точке в зависимости от времени t , то ( )t;xuпр представляет собой гармоническую функцию с постоянной амплитудой. Если же считать момент времени t фиксированным ( constt = ) и рассматривать изменение напряжения вдоль линии (т.е. в зависимости от x ), то получим затухающую синусоидальную волну напряжения, амплитуда которого xeA α−

12 убывает с ростом x , т.е. по мере удаления от начала линии к концу. Волна тока или напряжения, которая с течением времени перемещается от начала линии к ее концу, называется прямой или падающей волной. Аналогичное исследование второго слагаемого в выражении (10.17), т.е. функции ( ) ( )обр

xобр xtsineAt;xu ψβωα ++= 22 , (10.20)

показывает, что при фиксированном значении x функция ( )t;xuобр представляет собой гармоническую функцию с постоянной амплитудой, а при фиксированном значении t — синусоидальную волну, амплитуда которой xeA α

22 возрастает с увеличением x , т.е. по мере удаления от начала линии к концу. Волна тока или напряжения, которая с течением времени перемещается от конца линии к ее началу, называется обратной или отраженной волной. Таким образом, мгновенное напряжение ( )t;xu в линии можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях, причем каждая из этих волн затухает в направлении своего движения. Аналогичный вывод можно сделать и для мгновенного значения силы тока ( )t;xi , определяемого выражением (10.18). В этом случае функция

( ) ( )θψβωα −+−= −пр

x

впр xtsine

ZAt;xi 12

(10.21)

задает прямую волну, а функция

( ) ( )θψβωα −++= обрx

вобр xtsine

ZAt;xi 22

(10.22)

— обратную.

231

Используя представления (10.19), (10.20), (10.21) и (10.22), общие решения (10.17), (10.18) можно записать в более компактной форме как суперпозиции падающих и отраженных волн: ( ) ( ) ( )t;xut;xut;xu обрпр += , ( ) ( ) ( )t;xit;xit;xi обрпр −= . (10.23) Геометрическая интерпретация падающей и отраженной волн на примере волны напряжения показана на рисунке 10.2.

а) б)

Рисунок 10.2 – Прямая (а) и обратная (б) волны напряжения в линии

Величина α в формулах (10.17) – (10.22), характеризующая изменение амплитуды волны на единицу длины, называется коэффициентом затухания, а величина β , определяющая изменение фазы на единицу длины линии — коэффициентом фазы. Убывание амплитуды волн вдоль линии обуславливается потерями в линии, а изменение фазы — конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний. Коэффициенты α и β согласно (10.13) входят в комплексный параметр γ , который, следовательно, характеризует распространение волн тока и напряжения вдоль линии. Единицы измерения коэффициентов: [α ] 1= м 1− , [β ] 1= м 1− . Волновое сопротивление вZ и постоянная распространения γ называются вторичными или волновыми параметрами линии, а также параметрами передачи. Эти величины характеризуют свойства линии как устройства для передачи энергии или информации. Примечания 1 Представление напряжения ( )t;xu в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10.23) означает, что положительное направление напряжения для обеих волн принято одинаковым (от верхнего провода к нижнему). Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (10.23) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока ( )t;xi (от начала к концу линии), а положительно направление обратной волны ему противоположно. 2 Понятие о прямых и обратных волнах в линии при установившемся синусоидальном режиме облегчает представление и анализ процессов. Однако следует иметь в виду, что физически в линии существуют только результирующий ток ( )t;xi и напряжение ( )t;xu и что разложение их на прямые и обратные волны является лишь удобным приемом.

232

10.6 Скорость и длина волны тока или напряжения в линии Скорость перемещения прямой волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью, определяется как скорость перемещения точки, фаза колебания которой остается постоянной. Это условие записывается для падающей волны тока и напряжения в виде constxt пр =−+− θψβω , constxt пр =+− ψβω , (10.24) откуда

( ) 0=−+− θψβω прxtdtd

, ( ) 0=+− прxtdtd ψβω .

Следовательно, выражение

βω

==dtdxvф (10.25)

определяет фазовую скорость прямой волны. Фазовая скорость обратной волны может быть рассчитана на основании соотношений аналогичных (10.24). В таком случае из условия неизменности фазы для обратной волны тока и напряжения constxt обр =−++ θψβω , constxt обр =++ ψβω (10.26) следует выражение для фазовой скорости обратной волны:

βω

−==dtdxvф , (10.27)

где знак «–» указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном прямой волне. Длиной волны λ называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на π2 рад. В соответствии с этим определением для фаз падающих волн тока и напряжения получаем:

( ) ( )( ) πθψλβωθψβω 2=−++−−−+− прпр xtxt , ( ) ( )( ) πψλβωψβω 2=++−−+− прпр xtxt ,

откуда

βπλ 2

= . (10.28)

Равенство аналогичное (10.28) можно также получить, исходя из выражений для фаз отраженных волн тока и напряжения:

( )( ) ( ) πθψβωθψλβω 2=−++−−+++ обробр xtxt , ( )( ) ( ) πψβωψλβω 2=++−+++ обробр xtxt .

На основании формул (10.25), (10.28) также запишем

f

vTv ф

ф ==λ , (10.29)

где T — период, f — частота колебаний. Из (10.29) следует, что за время, равное одному периоду, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны. Используя понятие длины волны λ , можно установить правило, определяющее, в каком случае конкретную электрическую цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Считается, что линия, длина l которой соизмерима с

233

длиной волны λ , является линией с распределенными параметрами. Математически указанное условие записывают в виде следующего неравенства: ( )λ10050 ,,l ÷> . (10.30) Если неравенство (10.30) выполняется, цепь считают распределенной, если не выполняется — сосредоточенной. Так, например, для 50=f Гц и 8103 ⋅=фv м/с (скорость распространения волны в линии близка к скорости света) согласно (10.29) и (10.30) получим, что линия с распределенными параметрами должна иметь протяженность ( )600300 ÷>l км. При частоте 810=f Гц уже при ( )30150 ,,l ÷> м электрическую цепь следует рассматривать как линию с распределенными параметрами. 10.7 Решение уравнений линии с распределенными параметрами для граничных условий, заданных в начале и конце линии. Входное сопротивление линии Постоянные интегрирования 1A& и 2A& , входящие в решение (10.14), (10.15), можно определить, если известны граничные условия.

Рисунок 10.3 – Схема, иллюстрирующая составление граничных условий для линии

с распределенными параметрами

При анализе процессов в линии с распределенными параметрами граничные условия обычно задают в начале или в конце линии, т.е. при 0=x или lx = , где l — длина всей линии (рисунок 10.3). 10.7.1 Граничные условия в начале линии Пусть заданы напряжение 1U& и ток 1I& в начале линии ( 0=x ):

10UU

x&& =

=, 10

IIx

&& ==

. (10.31) Из (10.14) и (10.15) тогда при 0=x получаем уравнения

234

вZIAA 121&&& =− , 121 UAA &&& =+ ,

решая которые, находим постоянные интегрирования:

( )вZIUA 111 21 &&& += , ( )вZIUA 112 2

1 &&& −= . (10.32)

Подставляя (10.32) в (10.14), (10.15), получим

x

в

x

в

eIZUeI

ZUI γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

11

11

21

21 &

&&

&& , (10.33)

( ) ( ) xв

xв eZIUeZIUU γγ

1111 21

21 &&&&& −++= − . (10.34)

Группируя члены в правой части выражений (10.33), (10.34) и вводя гиперболические функции xshγ и xchγ , указанные соотношения преобразуем к виду

xchIxshZUIв

γγ 11 &&

& +−= , xchUxshZIU в γγ 11&&& +−= . (10.35)

Формулы (10.33), (10.34) и (10.35) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии. 10.7.2 Граничные условия в конце линии Пусть теперь заданы значения напряжения 2U& и тока 2I& в конце линии ( lx = ), т.е. задан режим нагрузки, а значит, и сопротивление 222 IUZ &&= :

2UUlx

&& ==

, 2IIlx

&& ==

. (10.36) В этом случае целесообразнее отсчитывать расстояние текущей точки от конца линии. Обозначая его через x′ , получим xlx ′−= и xlx −=′ (рисунок 10.3). В новой системе координат относительно x′ граничные условия (10.36) запишутся в виде: 20

UUx

&& ==′

, 20II

x&& =

=′. (10.37)

Заменяя в уравнениях (10.14), (10.15) x на ( )xl ′− и используя граничные условия (10.37), при 0=′x получим уравнения

вll ZIeAeA 221

&&& =−− γγ , 221 UeAeA ll &&& =+− γγ , решая которые, найдем постоянные интегрирования:

( ) lв eZIUA γ

221 21 &&& += , ( ) l

в eZIUA γ−−= 222 21 &&& . (10.38)

Подставляя (10.38) в (10.14), (10.15), получим

x

в

x

в

eIZUeI

ZUI ′−′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= γγ

22

22

21

21 &

&&

&& , (10.39)

( ) ( ) xв

xв eZIUeZIUU ′−′ −++= γγ

2222 21

21 &&&&& . (10.40)

Группируя члены в правой части выражений (10.39), (10.40) и вводя гиперболические функции xsh ′γ и xch ′γ , указанные соотношения преобразуем к виду

xchIxshZUI

в

′+′= γγ 22 &&

& , xchUxshZIU в ′+′= γγ 22&&& . (10.41)

235

Формулы (10.39), (10.40) и (10.41) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в конце линии. 10.7.3 Входное сопротивление линии Входным сопротивлением линии вхZ называется сосредоточенное сопротивление, которым при гармоническом режиме можно заменить линию вместе с нагрузкой на ее конце, равное отношению напряжения к току в начале линии:

1

1

IUZ вх &

&= . (10.42)

Так как для линии с длиной l и нагрузкой 2Z выполняется условие 222 ZIU && = (см. рисунок 10.3), то из (10.41), (10.42) при lx =′ получаем

lthZZlthZZZZ

в

вввх γ

γ2

2

++

= , (10.43)

где lchlshlth γγγ = — гиперболический тангенс. 10.8 Линия без потерь. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании на конце линии В ряде случаев, например, при высоких частотах, когда

00 RL >>ω , 00 GC >>ω , можно пренебречь наличием потерь в линии и принять 00 =R , 00 =G . Такую линию называют идеальной линией или линией без потерь. Вторичные параметры линии без потерь следующие: βγ j= , 00CLωβ = , 00 CLZ в = . (10.44) Из (10.44) следует, что в линии без потерь затухание отсутствует: 0=α . Формулы (10.41) тогда с учетом (10.44) примут вид

xcosIxsinZUjI

в

′+′= ββ 22 &&

& , xcosUxsinZIjU в ′+′= ββ 22&&& . (10.45)

Входное сопротивление для линии без потерь согласно (10.43), (10.45) равно:

ltgZjZltgZjZZZ

в

вввх β

β2

2

++

= . (10.46)

Из (10.46) следует, что входное сопротивление идеальной линии зависит от ее длины l . В частности, формула (10.46) показывает, что отрезок линии может быть использован в качестве реактивного сопротивления. Обычно реактивное сопротивление реализуют в виде короткозамкнутой ( 02 =Z ) или разомкнутой на конце ( ∞=2Z ) линии. Из (10.46) при 02 =Z для короткозамкнутой линии находим ltgZjZ вкзвх β= , (10.47) для разомкнутой линии при ∞=2Z получаем

ltg

ZjZ вххвх β

−= . (10.48)

Учитывая (10.28), соотношения (10.47), (10.48) представим в форме

236

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

λπ ltgZjZ вкзвх 2 , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

λπ lctgZjZ вххвх 2 . (10.49)

На рисунке (10.4) представлены зависимости входных сопротивлений короткозамкнутой кзвхZ (рисунок 10.4, а) и разомкнутой ххвхZ (рисунок 10.4, б) линий от их длины l и указаны области, в которых эти сопротивления имеют индуктивный и ёмкостный характер.

а)

б)

Рисунок 10.4 – Зависимости входного сопротивления линии от ее длины для короткозамкнутой (а) и разомкнутой (б) линии

237

Из формул (10.49), а также из рисунка 10.4 следует, что, изменяя длину отрезка линии без потерь при холостом ходе или коротком замыкании на конце линии, можно создавать индуктивное и ёмкостное сопротивление любой величины. 10.9 Линия без искажения. Условия для неискажающей линии Сигналы, передаваемые по линии связи, представляют собой множество различных частот: дискретных (в случае периодических несинусоидальных сигналов) и частот, образующих непрерывный спектр (в случае непериодических сигналов). Волновое сопротивление вZ линии и коэффициент распространения γ зависят от частоты. Поэтому условия прохождения волн тока и напряжения для различных частот оказываются различными. Если сигнал на входе линии является периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе линии форма кривой сигнала будет отличаться от ее формы на входе, так как для различных гармоник условия прохождения различны. Это же будет иметь место и при любом апериодическом сигнале, так как такой сигнал может быть представлен в виде сплошного частотного спектра с помощью преобразования Фурье, и для различных частот этого спектра условия прохождения вдоль линии будут различными. Для линии связи очень важным является создание условий, при которых отсутствовало бы искажение формы передаваемого сигнала (тока и напряжения). Для этого необходимо, чтобы волновое сопротивление вZ , коэффициент затухания α и фазовая скорость фv были на всех частотах одинаковы, т.е. не зависели от частоты. Очевидно, при этом коэффициент фазы β должен быть пропорционален частоте. Такие условия оказываются выполненными, если соблюдается соотношение

0

0

0

0

CG

LR

= . (10.50)

Действительно, при этом

0

0

00

00

0

0

00

00

0

0

CL

jCGjLR

CL

CjGLjR

YZZ в =

++

=++

==ωω

ωω

,

( )( ) ( )( ) =++=++== ωωωωγ jCGjLRCLCjGLjRYZ 000000000000

( ) 00000000 CLjGRjLRCL ωω +=+= , откуда

00GR=α , 00CLωβ = , т.е. выполняются все вышеуказанные требования, необходимые для того, чтобы передача сигнала была неискаженной. Линия, параметры которой удовлетворяют условию (10.50), называется линией без искажения, поскольку любые сигналы распространяются по ней с сохранением их формы. Соотношения (10.50) в таком случае являются условиями для неискажающей линии. Примечание – Можно показать, что при выполнении условий (10.50) коэффициент затухания α и коэффициент фазы β имеют минимальные значения, т.е. линия без искажений является одновременно и линией с минимальным затуханием, которое только и возможно при заданных параметрах 0R и 0G .

238

Список использованных источников 1 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – 10-е изд. – М.: Гардарики. – 2001. – 640с. 2 Новиков Ю.Н. Электротехника и электроника. Теория цепей и сигналов, методы анализа: учебное пособие. – СПб.: Питер, 2005. – 384с. 3 Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. В 3 т.т. — Т.1./К.С. Демирчян [и др.]. СПб.: Питер. – 2006. – 463с. 4 Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. В 3 т.т. — Т.2./К.С. Демирчян [и др.]. СПб.: Питер. – 2004. – 576с. 5 Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990. – 400с. 6 Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: учеб. для электротехн. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 352с. 7 Основы теории цепей: учебник для вузов. 5-е изд. / Г.В. Зевеке [и др.] – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528с. 8 Теория линейных электрических цепей: учеб. пособие для радиотехнич. спец. вузов. /Б.П. Афанасьев [и др.]. – М.: Высш. шк., 1973. – 592с. 9 Теория электрических цепей: учебник. 2-е изд. / М.П. Батура [и др.] – Минск.: Выш. шк., 2007. – 608с. 10 Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: учебник для вузов. — 6-е изд. – М.: Высш. шк. – 2000. – 542с. 11 Математический анализ: справ. Пособие. В 2 т.т. — Т.1./А.Н.Герасимович [и др.]. – Минск.: Выш. шк., 1989. – 287с. 12 Математический анализ: справ. Пособие. В 2 т.т. — Т.2./А.Н.Герасимович [и др.]. – Минск.: Выш. шк., 1990. – 272с. 13 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – 5-е изд. – М.: Наука, 1984. – 832с. 14 Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – 3-е изд. – М.: Наука, 1990. – 624с.

Учебное издание

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Конспект лекций для студентов специальности 1 – 53 01 01 «Автоматизация

технологических процессов и производств»

Составитель Цымбаревич Евгений Генрихович

Редактор Т. Л. Матеуш Технический редактор А. А. Щербакова

Подписано в печать 19.12.08. Формат 60х84 1/16

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 14. Уч.-изд. л. 15.

Тираж 65 экз. Заказ 189.

Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия».

212027, Могилев, пр-т Шмидта, 3. ЛИ № 02330/0131913 от 08.02.2007.

Отпечатано на ризографе редакционно-издательского отдела

учреждения образования «Могилевский государственный университет продовольствия».

212027, Могилев, пр-т Шмидта, 3.