Curvatura de Gauss Monografia
-
Upload
junior-stalin-hualpa-zarate -
Category
Documents
-
view
52 -
download
3
description
Transcript of Curvatura de Gauss Monografia
CURVATURA DE GAUSS
DEFINICION FORMAL
La curvatura gaussiana de una superficie es un número real (P0) que mide la
curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede
calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas
fundamentales de la superficie:
Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está
relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k1 y k2), mediante la
relación K = k1k2.
Tres superficies con curvatura gaussiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva
(derecha).
Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos
sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la
fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura
gaussiana es igual en todos los puntos e igual a
.
Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura
gaussiana debe verse como una relación
Donde
(Una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de
curvaturagaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de
forma (del inglés shape operator) de la superficie S:
Definido mediante
Donde son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la
posición p.
Con la derivada (jacobiano) del operador de forma:
Uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de
Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.
Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.
En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-
variedad diferenciables, uno encuentra la relación:
Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es:
Donde se ha usado la parametrización:
DEFINICIÓN INFORMAL
En cualquier punto en una superficie podemos encontrar un vector normal, que está
en ángulo recto con respecto a la superficie. La intersección de un plano que contiene
la normal con la superficie va a formar una curva de llama una sección normal y la
curvatura de esta curva es la curvatura normal. Para la mayoría de los puntos en la
mayoría de superficies, diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores
máximo y mínimo de éstos se llaman las curvaturas principales, llamar a estos 1, 2 . La
curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales? =? 1? 2.
El signo de la curvatura gaussiana puede ser utilizado para caracterizar la superficie.
Si ambas curvaturas principales son el mismo signo: 1 2> 0, entonces la
curvatura gaussiana es positiva y la superficie se dice que tiene un punto
elíptico. En tales puntos de la superficie será similar a una cúpula, localmente
tumbado sobre un lado de su plano tangente. Todas las curvaturas seccionales
tendrán el mismo signo.
Si las curvaturas principales tienen diferentes signos: 1 2 <0, entonces la
curvatura gaussiana es negativa y la superficie se dice que tiene un punto
hiperbólico. En tales puntos de la superficie será en forma de silla de montar.
Durante dos direcciones las curvaturas seccionales serán cero dando las
instrucciones asintóticas.
Si uno de la curvatura principal es cero: 1 2 = 0, la curvatura gaussiana es cero y
la superficie se dice que tiene un punto parabólica
La mayoría de las superficies contienen regiones de curvatura gaussiana positiva y
regiones de curvatura gaussiana negativa separados por una curva de puntos con cero
curvatura de Gauss llamó una línea parabólica.
CONTINUACIÓN DEL DEBATE INFORMAL
En geometría diferencial, las dos curvaturas principales en un punto de una superficie
dada son los valores propios del operador de forma en el punto. Miden cómo las
curvas de superficie en diferentes cantidades en diferentes direcciones en ese punto.
Nosotros representamos a la superficie por el teorema de la función implícita como la
gráfica de una función, f, de dos variables, de tal manera que el punto p es un punto
crítico, es decir, el gradiente de f se desvanece. A continuación, la curvatura gaussiana
de la superficie en p es el determinante de la matriz Hessiana de f. Esta definición
permite captar de inmediato a la distinción entre la copa/tapa contra punto de silla.
DEFINICIONES ALTERNATIVAS
También se da por
donde es la derivada covariante y g es el tensor métrico.
En un punto p en una superficie regular en R3, la curvatura gaussiana también está
dada por
donde S es el operador de la forma.
Una fórmula útil para la curvatura gaussiana es la ecuación de Liouville en términos del
Laplaciano en coordenadas isotérmicas.
Curvatura total
La integral de superficie de la curvatura gaussiana sobre alguna región de una
superficie se denomina la curvatura total. La curvatura total de un triángulo geodésica
es igual a la desviación de la suma de sus ángulos de p. La suma de los ángulos de un
triángulo en una superficie de curvatura positiva será superior a p, mientras que la
suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa será
menor que p. En una superficie de curvatura cero, tal como el plano euclidiano, los
ángulos sumarán precisamente p.
Un resultado más general es el teorema de Gauss-Bonnet.
Teoremas importantes
Theorema egregium
Theorema egregium estados de Gauss que la curvatura gaussiana de una superficie
puede determinarse a partir de las mediciones de longitud en la propia superficie. De
hecho, se puede encontrar dado el conocimiento completo de la primera forma
fundamental y se expresa a través de la primera forma fundamental y sus derivadas
parciales de primer y segundo orden. Equivalente, el determinante de la segunda
forma fundamental de una superficie en R3 puede expresarse así. El "notable", y
sorprendente, característica de este teorema es que, aunque la definición de la
curvatura gaussiana de una superficie S en R3 ciertamente depende de la forma en que
la superficie se encuentra en el espacio, el resultado final, la propia curvatura
gaussiana, se determina por la métrica interior de la superficie sin ninguna referencia
adicional al espacio ambiente: es una invariante intrínseca. En particular, la curvatura
gaussiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie.
En geometría diferencial contemporánea, una "superficie", consideradas en abstracto,
es una variedad diferenciable de dos dimensiones. Para conectar este punto de vista
de la teoría clásica de superficies, una superficie tan abstracto se incrusta en R3 y
dotado de la métrica riemanniana dada por la primera forma fundamental.
Supongamos que la imagen de la incrustación es una superficie S en R3. A isometría
local es un difeomorfismo f: U? V entre las regiones abiertas de R3 cuya restricción a S
n U es una isometría en su imagen. Theorema egregium se indica a continuación, de la
siguiente manera:
La curvatura de Gauss de una superficie suave embebida en R3 es invariante bajo
isometrías locales.
Por ejemplo, la curvatura gaussiana de un tubo cilíndrico es cero, el mismo que para el
tubo "desenrollada". Por otro lado, desde una esfera de radio R tiene curvatura
positiva constante R-2 y un plano tiene curvatura constante 0, estas dos superficies no
son isométrica, incluso localmente. Así pues, cualquier representación plana de incluso
una parte de una esfera debe falsear las distancias. Por lo tanto, ninguna proyección
cartográfica es perfecto.
Teorema de Gauss-Bonnet
El teorema de Gauss-Bonnet une la curvatura total de la superficie a su característica
de Euler y proporciona un vínculo importante entre las propiedades geométricas
locales y propiedades topológicas mundial.
Las superficies de curvatura constante
El teorema está importando de que todas las superficies con la misma
curvatura constante K son localmente isométricas. Una consecuencia del
teorema de Minding es que cualquier superficie cuya curvatura es
idénticamente igual a cero se puede construir doblando un poco de región
plana. Tales superficies se denominan superficies desarrollables. Cuidar
también planteó la cuestión de si una superficie cerrada con curvatura positiva
constante es necesariamente rígido.
El teorema de Liebmann respondió la pregunta de Cuidar. Las únicas superficies
regulares cerrados, en R3 con constante curvatura gaussiana positiva son
esferas.
El teorema de Hilbert dice que no existe superficie regular analítica completa
en R3 de constante curvatura gaussiana negativa. De hecho, la conclusión
también es válido para las superficies de clase C2 inmerso en R3, pero se rompe
por C1-superficies. El pseudoesfera tiene constantes curvatura gaussiana
negativa, excepto en su singular cúspide.
Fórmulas alternativas
Gaussiana curvatura de una superficie en R3 puede ser expresado como la
relación de los determinantes de las segunda y primera formas fundamentales:
La fórmula Brioschi da curvatura gaussiana únicamente en términos de la
primera forma fundamental:
Para una parametrización ortogonal, curvatura de Gauss es:
Para una superficie descrita como gráfica de una función z = F, la curvatura
gaussiana es:
Para una superficie F = 0, la curvatura gaussiana es:
Para una superficie con métrica conforme a la euclidiana, así F = 0 y E = G = es,
la curvatura de Gauss está dada por:
La curvatura gaussiana es la diferencia entre la limitación de la circunferencia
de un círculo geodésica y un círculo en el plano:
La curvatura gaussiana es la diferencia entre limitar el área de un disco
geodésica y un disco en el plano:
La curvatura gaussiana puede expresarse con los símbolos de Christoffel:
ANÁLISIS COMPUTACIONAL DE CURVATURA
Este tipo de análisis resulta más fácil y didáctico.
Estas herramientas se pueden utilizar para obtener información sobre el tipo y la
cantidad de curvatura en una superficie. El análisis de curvatura gaussiana y media
puede mostrar si y dónde hay anomalías en la curvatura de una superficie.
Los cambios repentinos como relieves, mellas, áreas planas, ondulaciones o, en
general, áreas de curvatura que son superiores o inferiores que la superficie
adyacente se pueden localizar y corregir si es necesario.
La visualización de curvatura gaussiana sirve para decidir si una superficie puede
desarrollarse y convertirse en un patrón plano.
Una superficie suave tiene dos curvaturas principales. La curvatura gaussiana es
producto de las curvaturas principales. La curvatura media es el promedio de las dos
curvaturas principales.
ANÁLISIS DE UNA CURVATURA GAUSSIANA
En las imágenes inferiores, el rojo se asigna a un valor positivo de la curvatura
gaussiana, el verde se asigna a la curvatura gaussiana de cero y, el azul, al valor
negativo de la curvatura gaussiana.
Cualquier punto en la superficie con valores de curvatura entre los valores que
especifique se mostrarán usando el color correspondiente. Por ejemplo, los puntos con
un valor de curvatura a la mitad del valor especificado se verán verdes. Los puntos de
la superficie que tengan valores de curvatura más allá de la punta final del área roja
serán rojos y los puntos con valores de curvatura más allá del área azul serán azules.
RESULTADOS DEL ANALISIS
Curvatura positiva
El valor positivo de una curvatura Gaussiana significa que la superficie tiene forma de
bol.
Curvatura negativa
Un valor negativo significa que la superficie tiene forma de silla de montar.
Curvatura cero
Un valor de cero significa que la superficie es plana al menos en una dirección. (Los
planos, cilindros y conos tienen una curvatura gaussiana de cero).
Si conoce los intervalos de los valores de la curvatura que está interesado en analizar,
introduzca dichos valores en los cuadros de edición al lado de las partes roja y azul del
"arcoiris". Los valores que utilice para el color rojo deberían ser diferentes al valor
utilizado para el azul, pero el valor para el rojo puede ser mayores o menores que el
valor para el azul.
MÁS OPCIONES DE ANÁLISIS
Media
Muestra el valor absoluto de la curvatura media. Sirve para hallar áreas de cambio
brusco en la curvatura de la superficie.
Radio máx
Esta opción es útil para la detección de puntos planos. Defina un valor más bien
alto para el azul (10 > 100 > 1000) y cerca del infinito para el rojo. Las áreas rojas
indicarán los puntos planos donde la curvatura es prácticamente cero.
Radio mín
Si quiere desfasar una superficie a una distancia r o quiere fresar una superficie con
una bola de corte de radio r, cualquier parte de la superficie que se curve con un
radio menor que r causará problemas.
En el caso de un desfase, obtendrá un objeto retorcido que se atraviesa a sí mismo.
En el caso del fresado, la bola de corte eliminará el material que quiera mantener.
En estos casos, debe ser capaz de contestar a la pregunta "¿Esta superficie
presenta alguna parte demasiado doblada?" La opción Radio mín debería ayudarle
a responder esta pregunta.
ROJO = r AZUL = 1.5 x r
No se puede desfasar/fresar en ninguna parte roja de la superficie. Las áreas de
color azul no presentan ningún problema. Sin embargo, debería desconfiar de las
áreas de verde a rojo.
Intervalo automático
Con el uso del mapeado de color falso, el comando AnálisisDeCurvatura analiza la
curvatura de superficie. Debe mapear los valores correspondientes a los colores
saturados del ordenador. En un punto de inicio, utilice la opción Intervalo
automático y ajuste los valores para que sean simétricos pero con magnitudes
comparables a las seleccionadas por Intervalo automático.
El comando AnálisisCurvatura intenta recordar los parámetros utilizados la última
vez que analizó una superficie. Si ha modificado totalmente la geometría de una
superficie o ha cambiado a una nueva superficie, estos valores no serán adecuados.
En este caso puede utilizar el comando Intervalo automático para calcular
automáticamente un valor de curvatura en un mapeado de color que resultará en
una buena distribución del color.
Intervalo máx
Escoja esta opción si desear que el máximo de curvatura se mapee en rojo y el
mínimo en azul. En superficies con extrema variación de curvatura, esto puede dar
lugar a una imagen que no proporciona ningún tipo de información.
Curvatura de curva
Para comprender la curvatura Gaussiana de un punto en una superficie, en primer
lugar debe saber cuál es la curvatura de la curva.
En cualquier punto en una curva del plano, la línea que mejor se aproxima a la curva
que atraviesa este punto es la línea tangente. También podemos encontrar el círculo
más aproximado que atraviese este punto y sea tangente a la curva. La inversa del
radio de este círculo es la curvatura de la curva en este punto.
El círculo más aproximado puede estar situado a la izquierda de la curva o a la derecha
la curva. Si tenemos esto en cuenta, podemos establecer dar el símbolo positivo de
curvatura si el círculo se encuentra a la izquierda y negativo si el círculo se encuentra a
la derecha de la curva. Esto se denomina curvatura señalada.
La curvatura de sección normal es una generalización de la curvatura aplicada a las
superficies. Dado un punto en la superficie y una dirección situada en el plano
tangente de la superficie en ese punto, la curvatura de sección normal se calcula
intersecando la superficie con el plano segmentado por el punto, la normal a la
superficie en ese punto y la dirección. La curvatura de sección normal es la curvatura
señalada de esta curva en el punto de interés.
Si miramos en todas las direcciones en el plano tangente a la superficie en nuestro
punto y calculamos la curvatura de sección normal en todas esas direcciones,
entonces habrá un valor máximo y un valor mínimo.
CURVATURA DE SUPERFICIE
Curvatura gaussiana
La curvatura gaussiana de una superficie en un punto es el producto de las curvaturas
principales en ese punto. El plano tangente de cualquier punto con curvatura
gaussiana positiva toca la superficie en un sólo punto, mientras que el plano de
cualquier punto con curvatura gaussiana negativa corta la superficie. Cualquier punto
con un curvatura media de cero tiene una curvatura gaussiana negativa o de cero.
Curvaturas principales
Las curvaturas principales de una superficie en un punto son el mínimo y el máximo de
las curvaturas normales en ese punto. (Las curvaturas normales son las curvaturas de
las curvas en la superficie situadas en planos que incluyen el vector tangente en un
punto determinado.) Las curvaturas principales se usan para calcular las curvaturas
gaussianas y medias de la superficie.
Curvatura media
La curvatura Media de una superficie en un punto es el producto de las curvaturas
principales en ese punto. Cualquier punto con un curvatura media de cero tiene una
curvatura gaussiana negativa o de cero.
Las superficies con una curvatura media de cero en todas partes son superficies
mínimas. Las superficies con una curvatura media constante en todas partes a menudo
se conocen como superficies de curvatura media constante (CMC).
Las superficies CMC tienen la misma curvatura media en toda la superficie.
Los procesos físicos que pueden ser modelados por superficies CMC incluyen la
formación de burbujas de jabón, tanto libres como asociadas a los objetos. Una
burbuja de jabón, a diferencia de una simple capa de jabón, encierra un volumen y
existe en un equilibrio donde la presión ligeramente mayor dentro de la burbuja queda
compensada por las fuerzas de superficie mínima de la misma burbuja.
Las superficies mínimas son el subconjunto de superficies CMC donde la curvatura es
cero en todas partes.
Los procesos físicos que pueden ser modelados por superficies mínimas incluyen la
formación de capas de jabón que se extienden en objetos fijos, como bucles de
estructura alámbrica. Una capa de jabón no se deforma por la presión del aire (que es
igual en ambos lados) y es libre de minimizar su área. Por el contrario, una burbuja de
jabón encierra una cantidad fija de aire y tiene presiones desiguales en el interior y el
exterior.