Curvas - Análise Matemática

8/18/2019 Curvas - Análise Matemática

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FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Análise Matemática 2

Apontamentos das aulas teóricas-Curvas

2009/2010

Maria do Rosário de Pinho

Maria Margarida Ferreira


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CURVAS

O conceito de curva não é novo e mesmo algumas curvas foram já estudadas com algum cuidado. É o caso

da circunferência, elipse, parábola, hipérbole, etc. Estas curvas foram definidas como um conjunto de pontosno plano que devem satisfazer uma determinada equação, motivada por uma interpretação geométrica. Porexemplo, a circunferência de centro (0, 0) e raio r, foi definida como sendo o conjunto de pontos do planoque estão a uma distância r da origem e pode ser descrita pela equação x2 + y2 = r2. Já a elipse foi definidacomo o conjunto de pontos do plano tal que a soma das suas distâncias a dois pontos fixos, designados por

focos, é constante. A equação x2

a2 +

y2

b2 = 1, descreve um conjunto nessas condições.

Neste caṕıtulo vamos estudar uma forma de representar curvas. Forma essa que pode ser utilizada paradefinir curvas já conhecidas ou não. Intuitivamente nós classificamos um conjunto de pontos como sendouma curva quando a sua representação no plano constitui uma “linha”, ou seja uma recta ou segmento derecta que sofreu uma espécie de “deformação”.

1 Curvas Parametrizadas

Consideremos a circunferência de centro na origem e raio 1, x2 + y2 = 1.

Associando a um ponto P sobre a circunferência o ângulo θ, tal como está descrito na figura, as componentes(x, y) que definem P estão relacionadas com θ da seguinte forma:

x = cos θ y = cos θ

Todos os pontos da circunferência podem ser representados nesta forma tomando para valor de θ a amplitudedo ângulo que a semirecta com origem na origem dos eixos e que passa por P faz com o eixo dos xx. Assim,o conjunto de pontos

{(x, y) = (cos θ, sin θ) : 0 ≤ θ ≤ 2π}

define uma circunferência de centro na origem e raio 1.

Consideremos a função:F : [0, 2π] → R2

θ → (cos θ, sin θ)

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Esta função com domı́nio [0, 2π] ⊂ R e espaço de chegada R2, é designada por funç˜ ao vectorial de vari´ avel real . A sua imagem , ou seja o conjunto de pontos de R2 que são atingidos pela função F ,

{(x, y) : ∃t, F (t) = (x, y)}

coincide com a circunferência de centro na origem e raio 1. Diz-se que F é uma representaç˜ ao paramétrica dacircunferência. Paramétrica porque cada ponto da circunferência está definido em termos de um parâmetro,neste caso o parˆ ametro é θ.

Consideremos agora a seguinte função:

F : [0, 2π] → R2

θ → (2cos θ, 2sin θ)

A imagem desta função é agora constituida pelos pontos de R2, (x, y) tais que

x = 2 cos θ y = 2 sin θ

Se eliminarmos o parâmetro θ nestas equações, por exemplo elevando ao quadrado os membros de ambas asequações, somando-as e usando a fórmula fundamental da trignometria, obtemos a relação x2 + y2 = 4. Ouseja, a imagem da função F está contida na circunferência centrada na origem e raio 2. Não é difı́cil concluirque quando o parâmetro θ percorre todo o intervalo [0, 2π], os pontos (x, y) correspondentes percorrem todaa circunferência. A função F é uma representaç˜ ao paramétrica ou parametrizaç˜ ao desta circunferência.

Tomemos agora a função G definida da seguinte forma:

G : [0, 2π] → R3θ → (cos θ, sin θ, θ)

A imagem desta função está contida no espaço R3. As componentes (x, y) têm forma idêntica à do exemplo1, mas para cada valor de θ a imagem correspondente está a uma altura z = θ relativamente ao plano xoy.

A curva constituida pela imagem desta função designa-se por hélice. A função G é uma parametrizaçãodesta hélice.

Exerćıcio 1.1 Faça um esboço da imagem de G.

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A palavra paramétrica foi já utilizada quando foi efectuado o estudo da recta. Dado um ponto A = (a1, a2, a3)e um vector u = (u1, u2, u3), as equaç˜ oes paramétricas da recta que passa por A e tem a direcção do vectoru foram definidas como:

x = a1 + λu1y = a2 + λu2z = a3 + λu3, λ ∈ R

Ou seja, a recta em R3 fica definida em termos do parâmetro λ e constitui a imagem da função F (λ) =(a1 + λu1, a2 + λu2, a3 + λu3), λ ∈ R.

Genericamente, dada uma curva C em Rn, n = 1, 2,..., uma parametrizaç˜ ao ou representaç˜ ao paramétrica de C é uma função vectorial, definida num intervalo real e cuja imagem coincide com C :

F : I ⊂ R → Rn

t → F (t) = (F 1(t),...,F n(t))

A variável t designa-se por parˆ ametro. Muitas vezes este parâmetro tem uma interpretação geométricasimples. Melhor dizendo, diversas vezes quando pretendemos definir parametricamente uma curva C fazemosuso de alguma caracteŕıstica geométrica dessa curva que possa servir de parâmetro.

Exemplos 1.2 1. Representaç˜ ao paramétrica da recta y = 2x + 5:

Identificando a componente x com um parˆ ametro t podemos afirmar que os pontos desta recta s˜ ao da forma:

x(t) = t y(t) = 2x + 5 = 2t + 5, t ∈ R

A funç˜ ao F (t) = (t, 2t + 5), t ∈ R constitui uma representaç˜ ao paramétrica da recta dada.

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2. Identificar a curva parametrizada por x(t) = t + 1, y(t) = 2t − 5, t ∈ R.

Eliminando o parˆ ametro t numa das equaç˜ oes podemos obter uma relaç˜ ao a ser satisfeita pelas com-ponentes (x, y):

x = t + 1y = 2t − 5

⇐⇒

t = x − 1y = 2(x − 1) − 5

⇐⇒

t = x − 1y = 2x − 7

Da relaç˜ ao entre x e t, por exemplo, podemos concluir que se t pode tomar qualquer valor em R ent˜ aotamb́em x pode ser qualquer n´ umero real. A curva parametrizada constitui toda a recta y = 2x − 7.

3. Identificar a curva parametrizada por x(t) = 2t, y(t) = t2, −12 ≤ t ≤ 12 .

x = 2ty = t2

⇐⇒

t = x2y =

x

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2Uma vez que t percorre o intervalo [−12 ,

12 ], tem-se −1 ≤ x = 2t ≤ 1. A curva é constituida pelo arco

de par´ abola y = x2

4 , correspondente a −1 ≤ x ≤ 1.

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Exerćıcio 1.3 1. Determine uma representaç˜ ao paramétrica do gr´ afico da funç˜ ao y = f (x), a ≤ x ≤ b.

2. Determine uma representaç˜ ao paramétrica do segmento de recta que une os pontos A e B no plano.E no espaço R3?

3. Determine uma representaç˜ ao paramétrica para a semi-circunferência de centro em (1, 1) e raio 3 que est´ a acima da recta y = 1.

A representação paramétrica de uma curva não é única. Se considerarmos as funções F (t) = (cos (2πt), sin(2πtt ∈ [0, 1], e G(t) = (cos(4πt), sin(4πt)), t ∈ [0, 12 ] a imagem de ambas as funções constitui a circunferênciacentrada na origem e raio 1. Interpretando o parâmetro t como tempo, podı́amos afirmar que no segundocaso a circunferência foi percorrida a uma velocidade dupla. E é fácil definir uma infinidade de representaçõesda mesma circunferência considerando intervalos para o parâmetro de diferentes amplitudes.

O exemplo anterior sugere que se considerarmos uma representação paramétrica de uma curva C , mais doque definir o tipo de curva, tal representação pode simular, por exemplo, o movimento de uma part́ıculasobre a curva, descrevendo as caracteŕısticas desse movimento: posição, velocidade, etc.

Considerando estas questões, vamos fazer um pequeno estudo sobre funções vectoriais de variável real.Muitas vezes a própria funç˜ ao é designada por curva . Outras, o termo curva é reservado para a imagem dafunção. De uma maneira geral, o contexto em que o termo est á inserido permite identificar facilmente quala associação que deve ser feita.

Estas funções são modelos matemáticos naturais para descrever o movimento de part́ıculas. O parâmetrot pode ser interpretado como tempo e nesse caso F (t) descreve a posição da part́ıcula no instante t, rela-tivamente a algum sistema de coordenadas x, y, z. Nesta situação, a função vectorial de variável real F é designada por funç˜ ao posiç˜ ao. Como veremos, conceitos fı́sicos como velocidade e aceleração podem ser

definidos através das derivadas da função posição.

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2 Funções Vectoriais de Variável Real

Como já foi dito, funções vectoriais de variável real são funções do tipo:

F : I → Rn I = [t0, t1], intervalo de Rt → F (t) = (F 1(t), . . . , F n(t))

Cada funç˜ ao componente ,F i : I → R

t → F i(t)

é uma função real, de variável real, já nossa conhecida. No estudo que vamos efectuar de seguida vamosverificar que muitas das propriedades das funções vectoriais podem ser deduzidas a partir das mesmaspropriedades das funções componentes.

2.1 Operações Algébricas

As operações usuais da álgebra vectorial podem ser aplicadas a funções de valores vectoriais gerando novasfunções. Se F : I → Rn, G : I → Rn e u : I → R, podemos definir as funções F +G : I → Rn, soma de funçõesde valores vectorias, uF : I → Rn, produto de uma função escalar por uma função vectorial e F · G : I → R,produto (interno) de funções de valores vectoriais, considerando a lei de associação naturalmente definidarespectivamente por:

(F + G)(t) = F (t) + G(t) (uF )(t) = u(t)F (t) (F · G)(t) = F (t) · G(t)

No caso particular de n = 3, ou seja quando F e G tomam valores em R3 é ainda posśıvel definir uma outraoperação produto (externo ou vectorial) através da associação:

(F × G)(t) = F (t) × G(t)

onde o segundo membro representa o produto externo de dois vectores.

Dados u = (u1, u2, u3), e v = (v1, v2, v3), vectores em R3, define-se o produto externo entre eles como sendo

ainda um vector em R3 de componentes:

u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1) (1)

Este produto pode calcular-se facilmente usando a seguinte regra pr ática: escrever o determinante

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

,

calcular formalmente este determinante e considerar depois i, j, k os versores usuais em R3. Calculando odeterminante, obtinhamos i(u2v3−u3v2)− j(u1v3−u3v1) + k(u1v2−u2v1). Substituindo depois i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) vem (1).

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A operação de composição de funções pode tamb́em ser utilizada para gerar novas funções. Assim, seF : I → Rn e u : J ⊂ R → R, com u(J ) ⊂ I , então G = F ◦ u : J → Rn, fica definida por

G(t) = F (u(t)) = (F 1(u(t)), . . . , F n(u(t)))

2.2 Limite, Continuidade e Derivação

Os conceitos de limite, continuidade e derivada são facilmente estendidos ao caso de funções vectoriais seexprimirmos a função em termos das suas componentes. Estas componentes são funções reais de variávelreal, para as quais tais conceitos são já bem conhecidos. Vejamos então como isso pode ser feito.

Seja

F : I → Rn I = [a, b], intervalo de Rt → F (t) = (F 1(t), . . . , F n(t))

No que respeita à definição de limite, o limite de F (t) quando t → t0 será um vector cujas componentes sãoos limites das componentes de F , mais precisamente:

limt→t0

F (t) =

limt→t0

F 1(t), limt→t0

F 2(t), . . . , limt→t0

F n(t)

sempre que os limites no segundo membro existam.

A função F diz-se cont́ınua em t0 ∈ I = [a, b] se cada uma das funções componentes F i : I = [a, b] → R écont́ınua nesse ponto. Em termos de limites podemos ainda escrever que F é cont́ınua em t0 se:

limt→t0

F (t) = F (t0)

Tal como no caso real o conceito de continuidade para fun ções vectoriais tem uma interpretação geométricasimples. F é cont́ınua em I se for posśıvel desenhar a imagem sem necessidade de levantar o lápis. Na figuraseguinte está um exemplo de uma função vectorial descontı́nua.

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Passemos agora ao conceito de derivada.

Seja F : I → Rn uma função vectorial, contı́nua, e t ∈ I . Se existir limt→t0

F (t) − F (t0)t − t0

diz-se que F é derivável

em t0 e escreve-se F (t0).

F diz-se derivável se existir F (t), para todo o t pertencente a I .

Atendendo à definição de limite e de derivada, mais uma vez podemos escrever:

F (t0) = (F 1(t0), . . . , F

n(t0))

Exerćıcio 2.1 Verifique a igualdade anterior.

A derivada de uma função deste tipo tem tamb́em uma interpretação geométrica simples. A diferençaF (t) − F (t0) é um vector que pode ser desenhado com origem em F (t0) e cuja extremidade coincide comF (t) (ver fig. seguinte). A divisão pelo escalar t − t0 dá origem a um vector com a mesma direcção e com omesmo sentido, se t > t0, ou com sentido contrário, se t < t0. Suponhamos que F (t0) = 0. À medida quet se aproxima de t0, e porque F é contı́nua, o ponto F (t) vai aproximar-se de F (t0). No limite obtém-seum vector tangente à imagem de F , no ponto F (t0). No caso de F (t0) = 0 não está associada nenhumadirecção ao vector derivada.

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Se F (t0) for não nulo será tangente à curva no ponto F (t0). Designa-se F (t0) por vector velocidade da

curva F , no instante t0. A norma deste vector, F (t0) = v(t0), designa-se por velocidade escalar em t0.

Suponha que F : I →R

é derivável em todo o ponto de I . A função

F : I → Rn

t → F (t) = (F 1(t), . . . , F

n(t))

está bem definida e é ainda uma função vectorial de variável real.

F diz-se continuamente deriv´ avel ou de classe C 1, se a função F for contı́nua.

Se F for derivável para todo o t, a função F , obtida por derivação de F , está bem definida e é uma funçãodo mesmo tipo. Aplicando sucessivamente a operação de derivação podemos definir F , F (4),...etc.

Dizemos que F é de classe C n se existirem e forem cont́ınuas as derivadas de F até à ordem n.

Exemplos 2.2 1. Seja

F : [0, 2π] → R2

t → (a cos(t), a sin(t))

F é deriv ́avel e a sua derivada é:

F : [0, 2π] → R2

t → (−a sin(t), a cos(t))

A velocidade escalar em cada ponto é constante e igual a a. Nos pontos (a, 0) e (0, a) os vectores tangentes s˜ ao respectivamente F (0) = (0, a) e F (π2 ) = (−a, 0) (ver fig.1, abaixo).

2. Consideremos agora

G : [0, π] → R2

t → (a cos(2t), a sin(2t))

Neste caso, vem

G : [0, π] → R2

t → (−2a sin(2t), 2a cos (2t))

A imagem de G continua a ser a circunfer̂encia de centro na origem e raio a, mas agora,

v(t) = G(t) = 2a

A velocidade escalar é dupla da anterior. Interpretando t como tempo, podemos afirmar que neste caso a circunferência est´ a a ser percorrida a uma velocidade dupla da anterior. Para efectuar todo opercurso foi apenas necess´ ario metade do tempo utilizado anteriormente (ver fig.2, abaixo).

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2.3 Regras de Cálculo

O facto de a derivada de uma função vectorial estar relacionada com as derivadas das funções componentes,como acima foi descrito, permite obter facilmente as seguintes regras de cálculo:

Sejam F : I → Rn, G : I → Rn e f : I → R deriváveis. Então,

(F + G)(t) = F (t) + G(t)

(f F )(t) = f (t)F (t) + f (t)F (t)

(F · G)

(t) = F

(t) · G(t) + F (t) · G

(t) (· produto escalar)(F × G)(t) = F (t) × G(t) + F (t) × G(t) (· produto externo)

Exercı́cios 2.3 1. Verifique as regras de derivaç˜ ao acima descritas. Verifique ainda se a ordem com que aparecem F , G, F e G, na express˜ ao da derivada do produto externo, é arbitr´ aria. (Note que oproduto externo n˜ ao é uma operaç˜ ao comutativa.)

2. Seja F : I → Rn, deriv´ avel tal que F (t) = 0, ∀t ∈ I .

Mostre que a funç˜ ao f : I → R definida por f (t) = F (t) é deriv ́avel e que

d

dt F (t) =

F (t) · F (t)

F (t)

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3 Comprimento de arco

Seja

F : I → Rn, I = [a, b], a , b ∈ R de classe C 1

Consideremos uma partição do intervalo [a, b]:

a = t0 < t1 < .. . < ti−1 < ti < .. . < tn−1 < tn = b

e defina-seP i = F (ti)

A linha poligonal obtida pela união dos pontos P i por segmentos de recta é uma aproximaç˜ ao polinomial da curva C .

O comprimento desta linha poligonal é dado por (denotamos por “d”, a distância):

d(P 0, P 1) + d(P 1, P 2) + ... + d(P i−1, P i) + ... + d(P n−1, P n) = F (t1) − F (t0) + F (t2) − F (t1) +...+ F (ti) − F (ti−1) +...+ F (tn) − F (tn−1)

Se aumentarmos o número de pontos da partição do intervalo [a, b] a linha poligonal obtida será de umamaneira geral mais próxima da curva C . Por outro lado, se acrescentamos pontos a uma partição, ocomprimento da nova linha poligonal aumenta. Num triângulo, qualquer lado tem comprimento menor doque a soma dos comprimentos dos outros dois (desigualdade triangular). Intuitivamente podemos aindaafirmar que o comprimento desta linha poligonal não excede o comprimento da curva, o trajecto mais curtoentre dois pontos é feito segundo o segmento que os une.

Define-se o comprimento da curva como o supremo do conjunto de comprimentos de linhas poligonaisinscritas na curva da forma referida.

Para as curvas que estamos a considerar, descritas por funções vectoriais de classe C 1 e definidas numintervalo limitado [a, b], este supremo está bem definido e é finito. Existe mesmo um método fácil deo calcular, como a definição seguinte ilustra. Contudo, existem curvas para as quais isso não acontece.Quando o conjunto dos comprimentos de linhas poligonais inscritas na curva tem supremo +∞, dizemosque a curva é n˜ ao rectific´ avel .

Tendo em conta a definição de integral definido podemos definir o comprimento da curva, da forma seguinte:

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Definição 3.1 Seja F : I → Rn, I = [a, b], de classe C 1. O comprimento total da curva definida por F entre t = a e t = b é

L =

b

a v(t) dt =

b

a F

(t) dt

Exemplo 3.2 Utilizando a parametrizaç˜ ao F (t) = (a cos(t)), a sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π, da circunferência de raio a e centro na origem, podemos calcular o seu comprimento:

F (t) = (−a sin(t), a cos(t)), F (t) = a

L =

2π0

a dt = 2πa

que corresponde, como seria de esperar, ao valor conhecido do peŕımetro da circunferência.

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