Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1...
Transcript of Cursul 1. Recapitulare liceucivile-old.utcb.ro/cmat/cursrt/Alg_II.pdf1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1...
1
Cursul 1. Recapitulare liceu
Bibliografie:
1. G. Streinu-Cercel, G. Constantinescu, G. Oprea, Matematică. Manual pentru clasa a XI-a
ed. Sigma, Bucureşti, 2006.
2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Stănescu, Matematică. Elemente de algebră superioară. Manual
pentru clasa a XI-a ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.
3. C. Crăciun, L. Lupşa, Matematică pentru studenţi străini ed. Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1983.
Scopuri:
1) Utilizarea operaţiilor cu matrice
2) Calcularea valorii unui determinant; proprietăţiile determinanţilor
3) Determinarea inversei unei matrice
4) Rangul unei matrice
5) Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare
1. Utilizarea operaţiilor cu matrice
Noţiunea de matrice a intervenit în studiul sistemelor de ecuaţii liniare. Ea a fost introdusă
de matematicianul englez Artur Cayley în 1858.
Definiţia 1. Fie nm, şi fie o mulţime de numere C,,,, Q . Se numeşte
matrice de tipul nm, cu elemente din , o funcţie nmA ,,2,1,,2,1: ; notăm
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
sau njmiijaA
11 .
Observaţia 1. Matricele sunt o generalizare a vectorilor; vectorii sunt matrice cu o linie
(matrice linie), sau cu o coloană (matrice coloană).
Definiţia 2. Matricea pătratică de ordinul n ,
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
este o matrice
cu n linii şi n coloane.
2
Definiţia 3. Matricea linie nnaaa ,,, 2211 este diagonala principală, iar matricea
coloană 11,21 ,,, nnn aaa este diagonala secundară a matricei A .
Mulţimea tuturor matricelor de tipul nm, cu elementele din mulţimea se notează prin
nm, .
Mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordinul n cu elemente din mulţimea se
notează prin n .
Definiţia 4. Urma unei matrice nA , njniijaA
11 este suma elementelor de pe
diagonala principală;
n
iiiaA
1
tr .
Definiţia 5. Două matrice de de tip nm, , njmiijaA
11 şi
njmiijbB
11 se numsc egale
dacă njmiba ijij ,1,,1, .
Definiţia 6. Fie matricele nmBA ,, , njmiijaA
11 ,
njmiijbB
11 . Suma matricelor
A şi B este matricea njmiijcC
11 , cu njmibac ijijij ,1,,1, , notată BAC .
Teorema 1 (proprietăţile adunării matricelor). Pentru orice matrice nmCBA ,,, :
1) ABBA (comutativitatea)
2) CBACBA (asociativitatea)
3) elementul neutru; AAA nmnm ,, OO , unde nm,O este matricea nulă (are
toate elementele 0) de tip nm, .
4) matricea opusă nmA , , nmAAAA ,O . Pentru
njmiijaA
11 , avem
njmiijaA
11 .
Deci, mulţimea matricelor de tipul nm, împreună cu operaţia de adunare are o structură
de grup abelian.
Definiţia 7 (înmulţirea cu scalari). Fie nm
njmiijaA ,
11 şi . Produsul
dintre numărul (numit scalar) şi matricea A este matricea njmiijbB
11 , cu
njmiab ijij ,1,,1, , care se notează cu A .
Teorema 2 (proprietăţile înmulţirii cu scalari a matricelor). Pentru orice matrice
nmBA ,, , şi ba, :
3
1) AA 1
2) AbAaAba
3) BaAaBAa
4) bAaAab ,
5) BaAABa .
Observaţia 2. Pentru a efectua produsul a două matrice trebuie ca numărul de coloane ale
primei matrice să fie egal cu numărul linii al celei de-a doua matrice.
Definiţia 8. Fie pnm ,, , nm
njmiijaA ,
11 şi
pknjjkbB
11 . Produsul
matricelor A şi B (în această ordine), este matricea pk
miikcC
11 ,
pkmibacn
jjkijik ,1,,1,
1
; matricea produs se notează BA .
BAC
npnkn
jpjkj
pk
mnmjm
iniji
nj
mpmkm
ipiki
pk
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
ccc
ccc
ccc
1
1
1111
1
1
1111
1
1
1111
Teorema 3 (proprietăţile înmulţirii matricelor). Fie qpnm ,,, .
1) Oricare ar fi matricele nmA , , pnB , , qpC , :
BCACAB (asociativitatea)
2) Oricare ar fi matricele nmA , , pnCB ,, :
ACABCBA (distributivitatea înmulţirii la stânga faţă de adunare)
3) Oricare ar fi matricele nmBA ,, , pnC , :
BCACCBA (distributivitatea înmulţirii la dreapta faţă de adunare)
4) Matricea unitate de ordinul n ,
100
010
001
I
n este element neutru faţă de
înmulţire, adică nA avem AAA nn II .
Observaţia 3. În general ABBA .
4
Definiţia 9 (ridicarea la putere a matricelor pătratice). Dacă nA , nA O ,
definim nA I0 şi AAAAA k
orikde
k 1 , k .
Observaţia 4. Observăm că
kppk
pkpk
AA
AAA, pk, .
Definiţia 10. Transpusa unei matrice njmiijaA
11 este matricea
mjniij
t aA
11 definită
prin mjniaa jiij ,1,,1, .
Observăm că transpusa unei matrice se obţine din matricea iniţială schimbând liniile în
coloane şi invers.
nmnn
n
m
mnnn
m
m
t
mnmm
n
n
t
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
21
22212
12111
21
22221
11211
Teorema 4 (proprietăţile transpunerii matricelor). Dacă nmBA ,, iar
atunci
1) tttBABA
2) ttAA
3) tttABAB
4) AAtt
Exemplul 1. Fie 321 ,, xxx soluţiile ecuaţiei 03 baxx , ba, , 0a şi
111
321
2
3
2
2
2
1
xxx
xxx
A . Calculaţi tAA .
Soluţie.
31
1
1
111 321
2
3
2
2
2
1
321
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
3
1
4
3
4
2
4
1
3
2
3
2
2
2
1
2
1
321
2
3
2
2
2
1
xxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xx
xx
xx
xxx
xxx
AA t .
Folosind relaţiile lui Viete avem:
01
0321 xxx ; a
axxxxxx
1313221 ; bxxx 321 .
5
Obţinem:
aa
xxxxxxxxxxxx 21
22 3231212
32123
22
21
bbxxxa
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
3330
33
321
3213213231213
32133
32
31
22223
22
23
21
22
21
223
22
21
43
42
41 2242 aaaxxxxxxxxxxxx ,
unde
22321321
2313221
23
22
23
21
22
21 022 abaxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Deci
302
023
232 2
a
ab
aba
AA t .
Definiţia 11. Matricea nA se numeşte simetrică dacă tAA .
Definiţia 12. Matricea nA se numeşte antisimetrică dacă tAA .
2. Calcularea valorii unui determinant; proprietăţile determinanţilor
Definiţia 13. Determinantul unei matrice de ordinul al 2-lea,
2221
1211
aa
aaA este numărul
21122211
2221
1211det aaaa
aa
aaA .
Pentru calculul determinanţilor de ordinul 3 vom aplica următoarele trei reguli de calcul:
1. Regula lui Sarrus: scriem sub linia a treia primele două linii, apoi adunăm
produsul elementelor de pe cele 3 diagonale paralele cu direcţia şi scădem
produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale paralele cu direcţia
322311332112312213231231133221332211
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Fig. 1
2. Regula triunghiului: evidenţiem “triunghiuri” cu vârfurile în elementele
determinantului, ca în Fig 2. Se adună produsele elementelor care se află pe
diagonala principală şi în vârfurile triunghiurilor ce au o latură paralelă cu aceasta
6
şi se scad produsele elementelor care se află pe diagonala secundară şi în vârfurile
triunghiurilor ce au o latură paralelă cu aceasta.
322311332112312213231231133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
Fig. 2
3. Regula minorilor: dezvoltarea determinantului după o linie sau coloană
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
Alegem o linie i sau o coloană şi înmulţim fiecare element ija , 3,1j al acestei linii sau
coloane cu determinantul de ordin inferior obţinut prin eliminarea liniei i şi a coloanei j şi cu
ji1 şi adunăm produsele astfel rezultate şi obţinem valoarea determinantului.
Definiţia 14. Determinantul unei matrice de ordinul n este numărul
n
kkjkj
jkAa
1
1 ,
unde cu kjA se notează minorul elementului kja , adică determinantul matricei de ordinul 1n
care se obţine din matricea A eliminând linia i şi coloana j .
Proprietăţile determinanţilor sunt:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matrici transpuse.
Datorită acestei proprietăţi putem transcrie proprietăţile obţinute pentru liniile unui
determinant la coloanele sale şi reciproc.
tAA detdet
2. Dacă o matrice are o linie (sau o coloană) cu toate elementele 0, atunci
determinantul ei este egal cu 0.
0
000
232221
131211
aaa
aaa
7
3. Dacă înmulţim toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice cu un
număr, valoarea determinantului matricei se înmulţeşte cu acel număr.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
.
Ca o consecinţă a acestei proprietăţi: tAaAa detdet , nA , a .
4. Dacă într-o matrice adunăm la elementele unei linii (respectiv coloane), elementele
corespunzătoare unei alte linii (respectiv coloane) înmulţite cu un număr, atunci
valoarea determinantului matricei astfel formate este aceeaşi cu a determinantului
matricei iniţiale.
333231
232221
131211
33323231
23222221
13121211
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
5. Dacă o matrice are două linii (respectiv două coloane) proporţionale, atunci
determinantul ei este nul.
0
333231
131211
131211
aaa
aaa
aaa
6. Dacă schimbăm între ele două linii (sau două coloane) ale unei matrice pătratice,
atunci determinantul îşi schimbă semnul.
333231
232221
131211
333231
131211
232221
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
7. Dacă două matrice diferă printr-o singură linie (sau coloană), atunci suma
determinanţilor acestor matrice este egală cu determinantul matricei care are pe
linia respectivă (coloana respectivă) suma elementelor liniilor (sau coloanelor)
respective ale celor doi determinanţi.
33323131
23222121
13121111
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
8. Determinantul produsului a două matrice pătratice (de acelaşi ordin) este egal cu
produsul determinanţilor acestor matrice.
Dacă nBA, atunci BAAB detdetdet
8
9. Dacă o linie (respectiv coloană) a unei matrice A este o combinaţie liniară a
celorlalte linii (respectiv coloane) ale matricei A , atunci determinantul matricei A
este nul (şi reciproc).
,,0
231322122111
232221
131211
aaaaaa
aaa
aaa
Exemplul 2. Calculaţi valoarea determinantului
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba , dcba ,,, .
Soluţie.
333333
222222
3333333
2222222
)4
3333
2222
00011111
adacab
adacab
adacab
adacaba
adacaba
adacaba
dcba
dcba
dcba linieprimadupadezvoltare
))()((11
))((
001
111
)4)3
2222
222222
)4
222222
)3
cdbdbcadacababdabc
bdbcadacab
abadbdabacbc
bdbcadacab
abadbdabacbcaabb
bdbcabadacab
aaddaaccaabb
adacabadacab
linieprimadupadezvoltare
3. Determinarea inversei unei matrice
Definiţia 15. Pentru matricea nA , matricea nB care satisface condiţiile
nIAB şi nIBA constituie matricea inversă a lui A şi este notată cu 1A .
Nu toate matricele pătratice sunt inversabile.
Teorema 5. Matricea nA este inversabilă dacă şi numai dacă 0det A .
Matricele inversabile se numesc nesingulare iar cele neinversabile se numesc matrice
singulare.
9
Teorema 6 (proprietăţile matricelor inversabile). Dacă nBA, sunt nesingulare
atunci
1) AA 11
2) produsul AB este de asemenea o matrice nesingulară
3) 111 ABAB
4) 11 ttAA
Pentru a găsi inversa unei matrice se procedează astfel:
Etapa I. Calculăm Adet . Dacă 0det A , atunci A este inversabilă.
Etapa II. Scriem matricea transpusă a matricei A , notată tA .
Etapa III. Scriem matricea adjunctă (reciprocă) , notată A , înlocuind fiecare elemnt al
matricei transpuse tA prin complementul său algebric, notat njiij ,1,, , ce se calculează astfel:
njiAij
ji
ij ,1,,1
, unde ijA este minorul elementului ija din matricea tA .
Etapa IV. Obţinem matricea inversă a matricei A folosind relaţia
AA
Adet
11 .
4. Rangul uni matrice
Definiţia 15. Fie matricea nmA , , nm, şi r , nmr ,min . Un
determinant de ordin r , format cu elementele matricei A situate la intersecţia a r linii şi r
coloane, se numeşte minor de ordinul r .
Definiţia 16. Matricea nulă are rangul 0. Dacă matricea nmA , , nm, nu este
nulă, există un număr r , nmr ,min , astfel încât cel puţin un minor de ordinul r este
nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r (dacă există sunt nuli), atunci r constituie
rangul matricei A şi se notează cu Arang .
Propoziţia 1. Dacă matricea nmA , , atunci tAA rangrang .
Pentru a determina rangul unei matrice vom proceda astfel:
Etapa I. Calculăm minorii de ordin maxim până când găsim un minor nenul.
Etapa II. Dacă nu găsim un minor nenul în etapa precedentă vom calcula minorii de ordin
inferior.
Teorema 7. rA rang dacă şi numai dacă toţi minorii de ordinul 1r (dacă există) sunt
nuli.
10
5. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare
Forma generală a unui sistem liniar este:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
unde:
nxxx ,, 21 sunt necunoscutele sistemului,
numerele njmiaij ,1,,1, sunt coeficienţii necunoscutelor,
mbbb ,, 21 sunt termenii liberi ai sistemului.
Unui sistem liniar îi asociem următoarele matrice:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
matricea sistemului,
mb
b
b
2
1
matricea termenilor liberi.
nx
x
x
2
1
matricea necunoscutelor,
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
21
222221
111211
~ matricea extinsă a sistemului care se obţine
adăugând la matricea A coloana termenilor liberi.
Definiţia 17. Se numeşte soluţie a sistemului de ecuaţii liniare un sistem ordonat de n
numere tn ,, 21 astfel încât înlocuind necunoscutele nxxx ,, 21 respectiv prin
n ,, 21 este verificată fiecare din ecuaţiile sistemului.
Definiţia 18. Un sistem este
compatibil dacă are cel puţin o soluţie,
11
compatibil determinat dacă are soluţie unică,
compatibil nedeterminat dacă are o infinitate de soluţii,
incompatibil dacă nu are soluţii.
Vom prezenta următoarele metode de rezolvare a sistemelor liniare:
Metoda lui Cramer permite rezolvarea sistemelor liniare de n ecuaţii cu n
necunoscute având determinantul asociat matricei sistemului nenul.
Teorema 5. Dacă sistemul
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(1)
are determinantul nenul, atunci soluţia sa utilizând metoda lui Cramer este nxx ,,1 , unde
nix
x i
i ,1,
, nixi ,1, fiind determinantul obţinut din prin înlocuirea coloanei
corespunzătoare coeficienţilor necunoscutei nixi ,1, cu coloana termenilor liberi, adică
nninninnn
nii
nii
i
aabaaa
aabaaa
aabaaa
x
1,1,21
21,221,22221
11,111,11211
.
Metodă de rezolvare a sistemelor liniare de m ecuaţii cu n necunoscute.
1) Se determină Arang .
2) Se alege un minor principal
rrrr
r
r
princ
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
.
3) Se precizează: necunoscutele principale rxx ,,1 şi secundare nrr xxx ,, 21 şi de
asemenea ecuaţiile principale (ecuaţiile r,2,1 ) şi ecuaţiile secundare (celelalte
rm ecuaţii). Dacă există ecuaţii secundare se calculează minorii caracteristici
(minorul obţinut din minorul principal, prin bordarea acestuia cu elementele
corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi şi câte una din liniile rămase); numărul
minorilor caracteristici este egal cu numărul ecuaţiilor secundare şi este egal cu rm .
4) Se stabileşte dacă sistemul (1) este compatibil.
12
Teorema 6. (Teorema lui Rouche) Un sistem de ecuaţii este compatibil dacă şi numai
dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli.
5) Dacă sistemul este compatibil soluţia sa se obţine prin rezolvarea sistemului principal
(sistemul format din ecuaţiile şi necunoscutele ai căror coeficienţi formează minorul
principal, trecând în membrul drept termenii care conţin necunoscutele secundare şi
atribuind acestor necunoscute secundare valori arbitrare):
- dacă numărul necunoscutelor secundare este 0 sistemul este compatibil determinat;
- dacă există necunoscute secundare, sistemul este compatibil nedeterminat; numărul
necunoscutelor secundare arată gradul de nedeterminare.
Metoda matriceală permite rezolvarea sistemelor liniare de n ecuaţii cu n
necunoscute având determinantul asociat matricei sistemului nenul.
Un sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute poate fi exprimat matriceal astfel:
BAX ,
unde:
A este matricea sistemului (de ordinul n ),
X este matricea necunoscutelor (matrice coloană),
B este matricea termenilor liberi (matrice coloană).
În cazul nA , dacă matricea A este inversabilă, înmulţind la stânga ecuaţia BAX
cu 1A obţinem
BAXAABAAXA 1111 ,
deci BAX 1 .
Teorema 6. Dacă 0det A atunci BAX 1 este soluţia unică a sistemului considerat.
Definiţia 19. Un sistem liniar în care toţi termenii liberi sunt nuli se numeşte omogen.
Forma generală a unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute este
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
ija , njmi ,1,,1 .
Orice sistem liniar omogen este compatibil, având întotdeauna cel puţin soluţia nulă
0,0,0,, 21 nxxx .
Dacă r este rangul matricei sistemului, avem cazurile:
13
dacă nr atunci sistemul este compatibil determinat, având soluţia unică 0,0,0 ;
dacă nr atunci sistemul este compatibil nedeterminat.
Exemplul 3. Rezolvaţi sistemul:
0417
0453
032
023
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
Soluţie.
Observăm că 4m , 3n ; matricea sistemului are rangul 3r .
Deoarece toţi cei 4 minori de ordinul 3 sunt nuli, iar 012
31
rezultă 2rang A ; deci
sistemul este compatibil nedeterminat.
Necunoscutele principale sunt 21, xx ; notăm ttx ,3 .
Mulţimea soluţiilor sistemului este
ttttS |,
7
1,
7
11.
1
Cursul 2. Calcul vectorial
Bibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989.
4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
5. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
6. P. Matei, Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.
7. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
8. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi Pedagogică
R.A., Bucureşti, 1993.
9. C. Udrişte, Algebră liniară, geometrie analitică, Geometry Balkan Press, Bucureşti, 2005.
10. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
11. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie n- dimensională, ed. Radical,
Craiova, 1996.
Scopuri:
1) Introducerea noţiunii de vector liber
2) Operaţii cu vectori liberi
3) Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi: produsul scalar, produsul vectorial,
produsul mixt
1. Vectori liberi
Pe lângă noțiunile cu care operează matematica, create prin abstractizare în urma
observației mediului înconjurător (de ex. noțiunile geometrice) sau a cercetării cantitative și
calitative a fenomenelor naturii (de ex. noțiunea de număr) în matematică există și elemente
preluate din alte științe. Noţiunea de vector, introdusă de fizică a fost studiată şi dezvoltată,
creându-se calculul vectorial, devenit un instrument util atât matematicii, cât şi fizicii. Toate
mărimile fizice sunt reprezentabile prin vectori (de ex. forţa, viteza).
În examinarea fenomenelor din natură se întâlnesc două tipuri de mărimi:
2
1. mărimi scalare (temperatura, lungimea, timpul, volumul, densitatea, suprafața) care se
pot caracteriza printr-un număr (ce se măsoară cu o anumită unitate de măsură);
2. mărimi vectoriale (forţa, viteza, accelerația) pentru a căror caracterizare nu este
suficientă măsura lor, ci este necesară cunoașterea direcției și sensului în care ele
acționează.
Pentru a reprezenta un vector se utilizează segmentul orientat, metoda fiind preluată din
mecanică.
Fie 3 spaţiul tridimensional al geometriei elementare.
Definiţia 1.1. Numim segment orientat (sau vector legat) o pereche ordonată de puncte
33, BA şi-l notăm AB (vezi Fig. 1.1).
A
B
AB
AB
Fig. 1.1. Reprezentarea unui segment orientat
CARACTERISTICILE UNUI SEGMENT ORIENTAT
Considerăm segmentul orientat AB , pentru oricare două puncte 3, BA .
Punctele A şi B se numesc originea şi respectiv extremitatea (vârful) segmentului
orientat. Dacă BA atunci AA este segmentul orientat nul.
Dacă BA atunci dreapta determinată de ele se numeşte dreapta suport a lui AB şi se
notează cu AB ;
Direcţia segmentului orientat AB BA este direcţia dreptei AB .
Sensul pe dreapta suport, de la A către B se numeşte sensul segmentului orientat AB .
Distanţa dintre punctele A şi B se numeşte lungimea (norma, modulul) segmentului
orientat AB şi se notează AB . Dacă originea unui segment orientat coincide cu
extremitatea (segment orientat nul) atunci lungimea acelui segment este egală cu 0 .
Definiţia 1.2. Două segmente orientate AB şi CD , BA , DC au aceeaşi direcţie
dacă dreptele lor suport AB şi CD sunt paralele sau coincid.
3
Definiţia 1.3. Două segmente orientate AB şi CD , BA , DC care au aceeaşi direcţie
se spune că au acelaşi sens dacă B şi D se găsesc în acelaşi semiplan determinat de dreapta AC
(vezi Fig. 1.2).
A
C
D B
Fig. 1.2. Exemplu de două segmente orientate, ce au acelaşi sens
Definiţia 1.4. Două segmente orientate AB şi CD , BA , DC se numesc echipolente
dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime; dacă AB este echipolent cu CD vom
scrie CDAB ~ .
Teorema 1.1. Relaţia de echipolenţă definită pe mulţimea segmentelor orientate este o
relaţie de echivalenţă.
Observaţie
Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pentru că este:
1. reflexivă: ABAB ~ ;
2. simetrică: CDAB ~ implică ABCD ~ ;
3. tranzitivă: CDAB ~ şi EFCD ~ implică EFAB ~ .
Vectorii pot fi clasificați astfel:
a) vectori liberi, ce au originea arbitrară în orice punct al spațiului, dar păstrează
modulul, direcția și sensul;
b) vectori legați, ce au originea într-un punct determinat;
c) vectori alunecători care se deplasează de-a lungul unei aceleiași drepte suport, iar
originea lor poate fi oriunde pe dreaptă.
Definiţia 1.5. Numim vector liber (geometric) caracterizat de un segment orientat AB ,
mulţimea segmentelor orientate echipolente cu AB :
ABCDCDAB ~| .
Orice segment orientat din această mulţime se numeşte reprezentant al vectorului liber
AB ; deci ABCD .
Un vector liber de lungime:
4
1 se numeşte versor (vector unitate) ; se notează în general cu e ;
0 se numeşte vector nul ; se notează cu 0 .
Definiţia 1.6. Prin lungimea, direcţia şi sensul unui vector liber nenul se înţelege
lungimea, direcţia şi sensul segmentului orientat care îl reprezintă.
Mulţimea vectorilor geometrici din spaţiul 3 se va nota cu 3V :
33 ,|V BAAB ,
adică 3V reprezintă mulţimea claselor de echivalenţă ale segmentului orientat AB .
Pentru a desemna lungimea unui vector liber a sau AB se pot utiliza notaţiile: a , AB
sau BAd , .
Definiţia 1.7. Se spune că doi vectori liberi sunt egali şi se scrie ba dacă reprezentanţii
lor sunt echipolenţi.
Definiţia 1.8. Doi vectori liberi nenuli a şi b se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcție
(vezi Fig. 1.3).
a
b
Fig. 1.3. Exemplu de vectori coliniari
Definiţia 1.9. Doi vectori coliniari care au aceeaşi lungime însă au sensuri opuse se numesc
vectori opuşi. Opusul vectorului liber a este a (vezi Fig. 1.4).
a
a
Fig. 1.4. Exemplu de vectori opuşi
Definiţia 1.10. Trei vectori liberi a , b , c se numesc coplanari dacă dreptele lor suport
sunt în același plan. (vezi Fig. 1.5).
b
a
c
Fig. 1.5. Exemplu de vectori coplanari
5
§1.1. Operaţii cu vectori liberi
În mulţimea 3V se definesc următoarele operaţii:
1. adunarea vectorilor liberi;
2. înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale;
3. descompunerea unui vector liber.
1.1.1. Adunarea vectorilor liberi
Pe 3V se defineşte o operaţie internă (adunarea vectorilor liberi)
333 VVV: , definită astfel: baba , .
Deci, suma a doi sau mai mulți vectori este tot un vector, care se poate obține prin
următoarele metode:
A) dacă vectorii sun paraleli sau coliniari și
a) au același sens atunci vectorul sumă are direcția și sensul vectorilor
componenți, iar mărimea egală cu suma mărimilor vectorilor componenți;
b) de sens contrar atunci vectorul sumă are direcția comună, sensul vectorului mai
mare, iar mărimea dată de diferențele mărimilor celor doi vectori.
B) dacă vectorii au doar originea comună, suma lor se determină utilizând regula
paralelogramului.
Definiţia 1.111. (regula paralelogramului). Fie 3V, ba doi vectori liberi, ce au
originea comună şi 3A un punct arbitrar fixat. Dacă aOA (OA reprezentant al
vectorului liber a ) şi bOC atunci vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat OB
se numeşte suma vectorilor liberi a şi b ; se scrie bac sau OCOAOB (Fig.
1.6).
b
a bac
O C
B A
a
b
Fig. 1.6. Ilustrarea regulii paralelogramului
C) dacă vectorii sunt dispuși astfel încât în extremitatea unuia să fie originea celuilalt,
pentru a realiza suma lor se aplică regula triunghiului.
6
Definiţia 1.122. (regula triunghiului). Fie 3V, ba doi vectori liberi şi 3A un punct
arbitrar fixat. Dacă aAB ( AB reprezentant al vectorului liber a ) şi bBC atunci vectorul
liber c reprezentat de segmentul orientat AC se numeşte suma vectorilor liberi a şi b ; se scrie
bac sau BCABAC (Fig. 1.7).
a
b
bac
A B
C
Fig. 1.7. Ilustrarea regulii triunghiului
Observații. Pentru mai mulți vectori, așezați în același fel, se aplică regula poligonului,
care este o generalizare a regulii triunghiului; vectorul sumă este acela care închide poligonul și
unește originea primului vector component, cu extremitatea ultimului.
Adunarea vectorilor are la bază fapte experimentale (compunerea forțelor, a vitezelor)
Exemplul 1.1. Se consideră un segment AB şi punctele 1M şi 2M care împart segmentul
în trei părţi egale. Dacă M este un punct oarecare în afara segmentului, să se exprime vectorii
1MM şi 2MM în funcţie de vectorii aMA şi bMB .
M
A B
1M 2M
a b
Rezolvare
Folosind regula triunghiului avem:
11 AMMAMM .
Dar
baMBAMAB .
Deducem
33
11
abABAM
7
şi
3
2
31
baabaMM
.
Similar,
3
2
32
3
222
baabaABMAAMMAMM
.
Teorema 1.2. Adunarea vectorilor liberi determină o structură de grup abelian ,V3 pe
mulţimea vectorilor liberi.
Observații. Observăm că adunarea vectorilor liberi este o operaţie algebrică internă bine
definită adică vectorul liber bac nu depinde de alegerea punctului A pentru că din
BAAB şi CBBC rezultă CAAC .
Se verifică proprietăţile de:
1. asociativitate:
3V,,, cbacbacba ;
2. 0 este element neutru:
3V0 astfel încât aaa 00 , 3V a ;
3. element simetrizabil:
3V a , 3V a astfel încât 0 aaaa ;
4. comutativitate:
abba , 3V, ba .
1.1.2. Înmulţirea unui vector liber cu un scalar
Vom defini acum o operaţie externă (înmulţirea unui vector liber cu un scalar )
33 VV: , definită astfel: atat , ,
0at dacă 0t sau 0a ;
vectorul liber at are:
a) aceeaşi direcţie cu a ,
b) acelaşi sens cu a dacă 0t şi sens opus lui a dacă 0t ;
c) lungimea atat .
8
Teorema 1.3. Înmulţirea vectorilor liberi cu scalari are următoarele proprietăţi:
1. distributivitate faţă de adunarea vectorilor:
tbtatbat , şi 3V, ba ;
2. distributivitate faţă de adunarea scalarilor
tsatasats ,, şi 3V a ;
3. tsastats , şi 3V a ;
4. ,1 aa 3V a .
1.1.3. Descompunerea unui vector liber
Propoziţia 1.1. (descompunerea unui vector după o direcţie). Fie 0\V, 3ba .
Vectorii a şi b sunt coliniari dacă și numai dacă t unic astfel încât atb .
Teorema 1.4. Fie 0\V, 3ba . Vectorii a şi b sunt coliniari dacă şi numai dacă
, nesimultan egali cu 0 (adică 022 ) astfel încât 0 ba .
Descompunerea unui vector după două direcții este operația inversă adunării a doi vectori.
Propoziţia 1.2. (descompunerea unui vector după două direcţii necoliniare). Fie
0\V,, 3cba . Dacă cba ,, sunt coplanari atunci , unic determinaţi astfel încât
bac .
Teorema 1.5. Fie 0\V,, 3cba . Vectorii cba ,, sunt coplanari dacă şi numai dacă
,, nesimultan egali cu 0 (adică 0222 ) astfel încât 0 cba .
Propoziţia 1.3. (descompunerea unui vector după trei direcţii necoplanare). Fie
0\V,,, 3dcba . Dacă cba ,, sunt necoplanari atunci ,, unic determinaţi astfel
încât cbad .
Considerăm un punct în 3 numit origine şi trei versori necoplanari i , j , k cărora le
ataşăm axele de coordonate x , y , z , ce au acelaşi sens cu sensul acestor versori (vezi Fig.
1.9). Ansamblul kji ,,; se numeşte reper cartezian în 3 .
9
O y
x
z
j
k
i
zyxM ,,
y
z
x
v
Fig. 1.7. Reprezentarea unui reper cartezian în 3
Întrucât versorii i , j , k sunt necoplanari, atunci conform propoziţiei 1.3, pentru orice
vector 3Vv , tsr ,, unic determinaţi astfel încât v se exprimă în forma
ktjsirv , numită expresia analitică a vectorului v . Numerele tsr ,, se numesc
coordonatele euclidiene (componente) ale lui v în raport cu reperul kji ,,; .
Definiţia 1.133. Fie 3M fixat. Vectorul OM se numeşte vector de poziţie al
punctului M . Coordonatele vectorului de poziţie OM în raport cu reperul kji ,,; se numesc
coordonatele punctului M . Dacă kzjyixOM atunci se scrie zyxM ,, .
Exemplul 1.2. Să se determine astfel încât vectorii
kjiv 3221 , kjiv 2 , kjv 243
să fie coplanari.
Cu astfel determinat să se descompună 1v după direcţiile vectorilor 2v şi 3v .
Rezolvare
Folosind teorema 1.5, 1v , 2v , 3v coplanari ,, , 0222 astfel
încât 0321 vvv .
Obţinem
023422 kji , adică
023
042
02
;
10
sistemul omogen admite soluţia nebanală
0
213
42
012
8 .
Dacă 1v , 2v , 3v coplanari, din propoziţia 1.3 avem: , unic determinaţi astfel
încât
321 vvv kjikji 248362 ;
deci
2
532232
648
2
Obţinem
3212
52 vvv .
Definiţia 1.144. Dacă 3, BA şi 111 ,, zyxA , 222 ,, zyxB sunt două puncte date,
atunci avem (vezi fig. 1.8)
kzzjyyixxOAOBAB 121212 ,
iar distanţa dintre punctele A şi B notată BAd , se calculează conform formulei:
2122
122
12, zzyyxxABBAd .
O y
x
z
j
k
i
111 ,, zyxA
222 ,, zyxB
Fig. 1.8
11
Definiţia 1.155. Fie 0\V, 3ba , 3 şi aA , bB . Unghiul ,0
determinat de segmentele orientate A şi B se numeşte unghiul dintre vectorii liberi a şi b
(vezi Fig. 1.9). Unghiul dintre cei doi vectori este unghiul semidreptelor suport considerate în
sensul vectorilor.
B
A
O a
b
Fig. 1.9. Reprezentarea unghiului dintre vectorii liberi a şi b
Vectorii a şi b se numesc ortogonali dacă unghiul dintre ei este 2
.
§1.2. Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi
1.2.1. Produs scalar în 3V
Fie 3V, ba . Pentru 0a , 0b se notează cu ,0 unghiul dintre a şi b .
Definiţia 1.166. Se numeşte produs scalar al vectorilor liberi a şi b scalarul ba dat de
00,0
0,0,cos
bsaua
bababa (1.1)
Produsul scalar reprezintă lucrul mecanic efectuat de forța F necesară pentru a deplasa un
mobil pe o dreaptă, de vector director d , care face cu direcția forței F unghiul .
Propoziţia 1.4. Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:
1. comutativitatea: abba , 3V, ba ;
2. btabatbat , 3V, ba şi t ;
3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor liberi:
cabacba , 3V,, cba ;
cbcacba , 3V,, cba ;
4. 0 aa , 3V a , 0a şi 0 aa 0a ;
5. 0 ba a şi b sunt ortogonali, 0a , 0b ;
12
6. dacă
kajaiaa 321 , kbjbibb 321 3V
atunci se obţine expresia analitică a produsului scalar:
332211 babababa (1.2)
În particular,
223
22
21
aaaaaa (1.3)
7. unghiul dintre vectorii nenuli 0\V, 3ba este dat de formula
23
22
21
23
22
21
332211cosbbbaaa
bababa
ba
ba
, ,0 (1.4)
se observă că vectorii a şi b sunt ortogonali dacă şi numai dacă
0332211 bababa .
Exemplul 1.3. Să se calculeze 133221 32 vvvvvv ştiind că
bav 31 , bav 32 şi bav 3 , iar 92a , 3
2b şi
3,
ba .
Rezolvare
Folosind formula (1.4) avem:
2
33
2
133,cos bababa .
Calculăm
312183833333
33333
22
21
bbaabbbaabaa
bbaabababavv.
Similar 3332 vv şi 363013 vv .
Exemplul 1.4. Să se găsească un vector x coliniar cu kjia 2 şi care satisface
condiţia 3ax .
Rezolvare
Deoarece x este coliniar cu a rezultă unic astfel încât ax . Vom obţine
2
136333
2 aaaax .
Rezultă kjiax2
1
2
1
2
1 .
13
1.2.2. Produs vectorial în 3V
Fie 3V, ba . Pentru 0a , 0b se notează cu ,0 unghiul dintre a şi b .
Definiţia 1.17. Produsul vectorial dintre vectorii liberi a şi b este vectorul liber ba
construit în felul următor:
direcţia lui ba este ortogonală planului determinat de vectorii a şi b ;
mărimea lui ba este dată de formula
coliniariba
inecoliniarbababa
,,0
,,sin (1.5)
sensul dat de regula mâinii drepte, adică sensul indicat de degetul mare al
mâinii drepte, când a se roteşte către b cu unghiul .
b
a
ba
O y
x
z
Fig. 1.8. Reprezentarea grafică a produsului vectorial
Propoziţia 1.5. Proprietăţile algebrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:
1. anticomutativitatea: abba , 3V, ba ;
2. btabatbat , 3V, ba şi t ;
3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor
cabacba , 3V,, cba ;
cbcacba , 3V,, cba ;
4. 0 aa , 3V a ;
5. 000 aa , 3V a ;
6. dacă kajaiaa 321 , kbjbibb 321 atunci se obţine expresia
analitică a produsului vectorial
14
321
321122131132332
bbb
aaa
kji
kbabajbabaibababa . (1.6)
Propoziţia 1.6. Proprietăţile geometrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:
1. 0 baa
2. 0 bab
3. identitatea lui Lagrange:
2222bababa , 3V, ba
4. ba este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanţilor lui a şi
b având aceeaşi origine.
a
b
O A
C B
Fig. 1.9. Interpretarea geometrică a produsului vectorial
OBOAOBOAOBOAOBCA ,sin
Dar
OABOBCA 2 .
Rezultă
2
OBOA
OAB
.
Exemplul 1.1. Cunoscând două laturi jiAB 43 , jiBC 5 ale unui triunghi să se
calculeze lungimea înălţimii sale CD .
Rezolvare
5169 AB
k
kji
BCAB 19
051
043
adică ba este ortogonal pe a şi b .
15
22
CDABBCAB
ABC
5
19
AB
BCABCD
1.2.3.3. Produs mixt în 3V
Definiţia 1.18. Fie 3V,, cba trei vectori liberi. Produsul mixt al acestor vectori liberi
este numărul real cba .
Observaţie. Dacă vectorii liberi 0\V,, 3cba sunt necoplanari, atunci produsul mixt, în
valoare absolută a celor trei vectori reprezintă volumul paralelipipedului construit pe cei trei
vectori ca muchii (vezi Fig. 1.13).
Dacă notăm cu unghiul dintre vectorii b şi c şi cu unghiul dintre vectorii a şi
cbd , atunci
dparalelipe
h
hacbdadacba Vcoscos
,
adică
dparalelipecba V .
b
d
a
c
h
Fig. 1.10. Interpretarea geometrică a produsului mixt
Propoziţia 1.7. Produsul mixt al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:
1. acbbaccba
2. bcacba
3. ctbacbtacbat , t
4. dcbdcadcba
16
5. identitatea lui Lagrange:
dbcb
dacadcba
6. 0 cba dacă şi numai dacă:
a) cel puţin unul dintre vectorii a , b , c este nul;
b) doi dintre vectori sunt coliniari;
c) vectorii a , b , c sunt coplanari.
7. dacă kajaiaa 321 , kbjbibb 321 , kcjcicc 321 atunci se
obţine expresia analitică a produsului mixt
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba . (1.7)
Exemplul 1.2. Să se determine astfel ca volumul paralelipipedului construit pe
vectorii kjia 32 , kjib 2 , jic 2 să fie egal cu 5 .
Rezolvare
Volumul construit pe cei trei vectori ca muchii este
510
02
211
132
V .
Din condiţia 5V deducem 5510 adică 11 , 32 .
1
Cursul 3. Planul şi dreapta în 3
Bibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1989.
4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
5. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
6. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
7. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi
Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.
8. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
Scopuri:
1) Tipuri de ecuaţii (ecuaţiile dreptei determinată de: un punct şi un vector liber nenul,
două puncte distincte, intersecţia a două plane; ecuaţiile planului determinat de: un
punct şi un vector nenul normal la plan, un punct şi doi vectori necoliniari, trei puncte
necoliniare, o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă, două drepte concurente, două
drepte paralele),
2) Fascicule de plane
3) Distanţe în 3 (distanţa de la un punct la o dreaptă, distanţa de la un punct la un plan,
distanţa dintre două drepte),
4) Unghiuri în 3 (unghiul dintre două drepte, unghiul dintre două plane, unghiul dintre
o dreaptă şi un plan).
Un vector este o translaţie a spaţiului cu trei dimensiuni; din acest motiv trebuie studiate
elementele de bază ale geometriei euclidiene cu trei dimensiuni: punctele, dreptele şi planele.
2
Fie kjiO ,; un reper cartezian. Pentru 3M , coordonatele punctului M sunt
coordonatele vectorului de poziţie OM . Dacă kzjyixOM atunci zyxM ,, .
1. Ecuaţiile dreptei în 3
O dreaptă în 3 poate fi determinată de:
1) un punct şi un vector liber nenul;
2) două puncte distincte
3) intersecţia a două plane.
1.1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul
Fie 30 M , 0000 ,, zyxM şi 0\3Vv , kcjbiav . Ne propunem să
găsim ecuaţia dreptei determinată de punctul 0M şi de vectorul nenul v , notată vMd ,0
şi reprezentată în figura 1.
d r 0r
0M
M
v O
Fig 1. Dreapta determinată de un punct şi un vector nenul.
Notăm kzjyixOMr 00000 .
Fie 3M , zyxM ,, şi notăm kzjyixOMr .
Punctul dM MM0 şi v sunt coliniari
00 vMM (1)
Dar
00 rrMM (2)
Din (1) şi (2) rezultă ecuaţia vectorială a dreptei vMd ,0 :
00 vrr ;
v se numeşte vector director al dreptei.
3
Dacă MM0 şi v sunt coliniari atunci ( conform propoziţiei 1 din cursul 2 t
unic, astfel încât
vtMM 0 .
Ţinând seama de relaţia (2) rezultă
vtrr 0 ;
obţinem ecuaţia parametrică vectorială a dreptei d :
tvtrr ,0 (3).
Ecuaţia (3) poate fi scrisă sub forma
ktcjtbitakzjyixkzjyix 000 ;
deducem ecuaţiile parametrice ale dreptei d :
tczz
tbyy
taxx
0
0
0
, t (4).
Dacă în relaţia (4) eliminăm parametrul t se obţin ecuaţiile carteziene ale dreptei d :
c
zz
b
yy
a
xx 000
(5).
În relaţia (5) se face următoarea convenţie: dacă unul dintre numitori este 0 , atunci se
anulează şi numărătorul respectiv.
1.2. Dreapta determinată de două puncte distincte
Fie
31 M , 1111 ,, zyxM , 11 OMr şi
32 M , 2222 ,, zyxM , 22 OMr .
Vrem să determinăm ecuaţia dreptei determinată de punctele 1M şi 2M , notată
21, MMd şi reprezentată în figura 2.
4
d
r
1r
1M
M
v
2r
O
2M
Fig 2. Dreapta determinată de două puncte distincte.
Fie dM , zyxM ,, şi notăm OMr .
Considerăm dreapta ca fiind determinată de 1M şi 21MM .
Deoarece
0211 MMMM
rezultă că ecuaţia vectorială a dreptei d este:
0121 rrrr .
Deoarece conform propoziţiei 1 din cursul 2 t unic, astfel încât
211 MMtMM
rezultă că
trrtrr ,121 ,
adică ecuaţia parametrică vectorială este de forma:
trrtrr ,121 ;
ecuaţiile parametrice sunt:
121
121
121
zztzz
yytyy
xxtxx
, t ,
iar ecuaţiile carteziene vor fi:
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
.
2. Planul în 3
În 3 un plan poate fi determinat astfel:
5
1) un punct şi un vector nenul normal la plan,
2) un punct şi doi vectori necoliniari,
3) trei puncte necoliniare,
4) o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă,
5) două drepte concurente,
6) două drepte paralele.
2.1. Planul determinat de un punct şi un vector normal la plan
Fie 0M , 0000 ,, zyxM şi vectorul liber nenul kcjbian
normal la (vezi figura 3).
n
d
r
0r
0M
M
O
Fig 3. Planul determinat de un punct şi un vector normal la plan.
Dreapta d care trece prin 0M şi are direcţia vectorului n se numeşte normala la
plan prin 0M ; vectorul n este vector normal al planului.
Ne propunem să determinăm ecuaţia planului determinat de punctul 0M şi de vectorul
n , pe care îl notăm nM ,0 .
Un punct zyxM ,, MM0 şi n sunt ortogonali.
Notăm kzjyixOMr .
Deoarece n este perpendicular pe MM0 rezultă
00 nMM ,
adică
00 nrr ;
de aici deducem ecuaţia normală a planului :
00 nrnr (6).
6
Scriind relaţia (6) sub forma
0000 czbyaxczbyax ,
obţinem ecuaţia carteziană a planului :
0000 zzcyybxxa (7).
Dacă notăm
dczbyax 000
atunci din ecuaţia (7) se deduce ecuaţia carteziană generală a planului :
0 dczbyax .
2.2. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari
Fie 3, Vvu necoliniari, adică 0 vu , de forma
knjmilu 111 şi knjmilv 222
şi fie 0M , 0000 ,, zyxM (vezi figura 4).
1M
M
2M
0M
u
v
Fig. 4. Planul determinat de un punct şi doi vectori necoliniari.
Vrem să determinăm ecuaţia planului determinat de punctul 0M şi de vectorii liberi
u şi v , notat vuM ,,0 .
Fie
10MM un reprezentant pentru vectorul liber u ,
20MM un reprezentant pentru vectorul liber v .
Un punct zyxM ,, MM0 , 10MM , 20MM sunt coplanari. Coplanaritatea
acestor vectori poate fi exprimată astfel:
a) folosind propoziţia 2 din cursul 2 21, tt unic determinaţi, astfel încât
2021010 MMtMMtMM (8).
b) folosind propoziţia 7, din cursul 2 MM0 este perpendicular pe vu , adică
7
00 vuMM (9).
Scriind relaţia (8) sub forma
vtutrr 210
deducem ecuaţia parametrică vectorială a planului :
21210 ,, ttvtutrr
şi apoi ecuaţiile parametrice ale planului :
22110
22110
22110
ntntzz
mtmtyy
ltltxx
, 21, tt .
Din relaţia (9) obţinem ecuaţia vectorială a planului :
00 vurr .
Deoarece
kzzjyyixxMM 0000
avem
222
111
000
0
nml
nml
zzyyxx
vuMM
;
astfel din relaţia (9) deducem ecuaţia carteziană a planului :
0
222
111
000
nml
nml
zzyyxx
.
2.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare
Fie 3210 ,, MMM necoliniare, 0000 ,, zyxM , 1111 ,, zyxM ,
2222 ,, zyxM . Rezultă 10MM , 20MM necoliniari.
Ne propunem să obţinem ecuaţia planului determinat de aceste puncte, ce este
reprezentat în figura 5 şi pe care-l notăm 210 ,, MMM .
8
1M
M
2M
0M
Fig. 5. Planul determinat de trei puncte necoliniare.
Observăm că 210 ,, MMM coincide cu 201001 ,, MMMMM , adică am
revenit în cazul prezentat în paragraful anterior.
Avem
kzzjyyixxMM 01010110 ,
kzzjyyixxMM 02020220 .
Un punct zyxM ,, MM0 , 10MM , 20MM sunt coplanari, adică
020100 MMMMMM .
Întrucât
kzzjyyixxMM 0000 ,
obţinem următoarea ecuaţie carteziană a planului :
0
020202
010101
000
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.
2.4. Planul determinat de o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă
Fie 3d şi un punct dM 0 (vezi fig. 6). Vrem să determinăm ecuaţia planului
determinat de dreapta d şi de punctul 0M , notat dM ,0 .
0M
a
A
d
Fig. 6. Planul determinat de o dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă.
Fie dA , deci avem aAd , .
Observăm că dM ,0 coincide cu AMaM 001 ,, .
9
Dacă 0r este vectorul de poziţie al punctului 0M (se notează 00 rM ) şi ArA iar
zyxM ,, atunci ecuaţia vectorială a planului este:
000 rrarr A
iar ecuaţia carteziană a planului :
0
000
321
000
zzyyxx
aaa
zzyyxx
AAA
,
unde kajaiaa 321 , iar AAA zyxA ,, .
2.5. Planul determinat de două drepte concurente
Fie Pdd 21 , vezi ( figura 7); dreapta
1d este dreapta care trece prin P şi are vector director 1a , 11 , aPd
2d este dreapta care trece prin P şi are vector director 2a , 22 , aPd .
Dorim să determinăm ecuaţia planului determinat de dreptele 1d şi 2d .
1a
1d
2d
P
2a
Fig. 7. Planul determinat de două drepte concurente.
Observând că 21, dd coincide cu 211 ,, aaP , adică cu planul care trece
prin P şi conține vectorii necoliniari 1a şi 2a . Dacă zyxM ,, deducem că ecuaţia
vectorială a planului este:
021 aarr p ;
ecuaţia carteziană a planului va fi :
0
222
111
nml
nml
zzyyxx PPP
,
unde knjmila 1111 , knjmila 2222 şi PPP zyxP ,, .
Exemplul 1. Să se verifice că următoarele drepte sunt concurente
10
4
5
1
7
2
1:1
zyxd şi
12
1
3
6:2
zyxd
şi apoi să se scrie ecuaţia planului determinat de acestea.
Rezolvare
Observăm că vectorii directori ai celor două drepte sunt
kjia 421 ,
şi respectiv
kjia 232 .
Deoarece
07109
123
41221
kji
kji
aa
rezultă că vectorii 1a şi 2a nu sunt coliniari, adică 21 dd .
Fie
21 ddP .
Deoarece
1dP obţinem 1421 pp yx şi
2dP obţinem .33122 pp yx
Rezolvând sistemul
33122
1421
pp
pp
yx
yx
obţinem: 3px , 5py , 3pz .
Planul determinat de dreptele 1d şi 2d va avea ecuaţia
03751039: zyx ,
adică
0447109: zyx .
2.6. Planul determinat de două drepte paralele
Fie 321, dd , 21 || dd vezi ( figura 8 ); dreapta
1d este dreapta care trece prin 1A şi are vector director a , aAd ,11
11
2d este dreapta care trece prin 2A şi are vector director a , aAd ,22 .
a
1d
2d
1A
2A
Fig. 8. Planul determinat de două drepte paralele.
Planul determinat de 1d şi 2d este planul care trece prin 1A şi are vectori directori a
şi 21AA .
Dacă zyxM ,, atunci ecuaţia vectorială a planului este:
0211 AAarr A .
Ecuaţia carteziană a planului :
0
121212
321
111
AAAAAA
AAA
zzyyxx
aaa
zzyyxx
,
unde kajaiaa 321 , iar 1111 ,, AAA zyxA ,
2222 ,, AAA zyxA .
1.3. Dreapta determinată de intersecţia a două plane
Considerăm 321, (vezi figura 9) de ecuaţii
.0:
0:
22222
11111
dzcybxa
dzcybxa
1
2
2n 1n
d
21 nn
Fig. 9. Dreapta determinată de intersecţia a două plane.
Intersecţia dintre planele 1 şi 2 este mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii
determinat de ecuaţiile lui 1 şi 2 .
12
Notăm
222
111
cba
cbaA .
Dacă 2rang A rezultă sistemul este compatibil simplu nedeterminat iar intersecţia
celor două plane este o dreaptă.
Dacă AA rangrang rezultă sistemul este incompatibil, deci 21 , adică
21 || .
Fie
1n vectorul normal la 1 , kcjbian 1111 şi
2n vectorul normal la 2 , kcjbian 2222 .
Avem
11 nd d
22 nd d
Notăm
21 nnu , knjmilu .
Avem
kbabajcacaicbcb
cba
cba
kji
nn 122121121221
222
11121 .
Deducem
22
11
cb
cbl ,
21
21
aa
ccm ,
21
21
bb
aan .
Ecuaţia dreptei d este:
n
zz
m
yy
l
xx 000
, 000 ,, zyx fiind soluţie a sistemului.
3. Fascicul de plane
Fie 21 d ,
.0:
0:
22222
11111
dzcybxa
dzcybxa
dreapta d are vector
director 21 nn .
13
Definiţia 1. Mulţimea planelor care conţin dreapta d se numeşte fascicul de plane de
axă d . Dreapta d se numeşte axa fasciculului iar 21, se numesc plane de bază ale
fasciculului.
Fig.10 Fascicul de plane
4. Distanţe în 3
4.1. Distanţa de la un punct la o dreaptă
Fie aAd , cu AAA zyxA ,, , kajaiaa 321 şi fie 3M . Considerăm
AA reprezentant pentru a .
Ecuaţia dreptei d este
321 a
zz
a
yy
a
xx AAA
.
Construim paralelogramul PMAA (vezi figura 11).
a
d
A A
P M
Fig. 11. Distanţa de la un punct la o dreaptă
Ştim că
MAAAPMAA . (10)
Dar
dMAAPMAA , . (11)
d
Un plan arbitrar din fascicul are ecuaţia de forma:
0: 22221111 dzcybxadzcybxa , .
14
Din (10) şi (11) rezultă că formula distanţei de la un punct la o dreaptă este
a
MAa
AA
MAAAdM
, .
4.2. Distanţa de la un punct la un plan
Considerăm planul
0: dczbyax
şi punctul 0000 ,, zyxM , 0M . Fie 1M proiecţia lui 0M pe planul , 1111 ,, zyxM
(vezi figura 12).
0M
1M
n
Fig. 12. Distanţa de la un punct un plan
Distanţa de la punctul 0M la planul este
100 , MMM .
Fie nMd ,0 dreapta normală la plan care trece prin 0M , kcjbian .
Ecuaţia acestei drepte este
tc
zz
b
yy
a
xx
000
sau
tczz
tbyy
taxx
0
0
0
, t .
Deoarece dM 1 tc
zz
b
yy
a
xx
010101
tczz
tbyy
taxx
01
01
01
. (12)
Deoarece
15
1M 0111 dczbyax
dczbyax 111 (14).
Înmulţind prima ecuaţie din (12) cu a , a doua cu b şi a treia cu c vom avea:
201
201
201
tcczcz
tbbyby
taaxax
. (13)
Adunând cele trei ecuaţii din (13) rezultă
222000111 cbatczbyaxczbyax . (15)
Înlocuind (14) în (15) deducem
222000 cbatdczbyax ,
adică
222
000
cba
dczbyaxt
. (16)
Avem
kzzjyyixxMM 01010110 ;
deci
222222)12(
201
201
20110 ctbtatzzyyxxMM .
22210 cbatMM . (17)
Înlocuind (16) în (17) vom deduce formula distanţei de la un punct la un plan:
222
0000 ,
cba
dczbyaxM
.
Exemplul 2. Se dau
planul 02: zyx
dreapta
042
01:
zyx
yxd şi
2,1,1A .
a) Să se calculeze distanţa de la punctul A la planul .
b) Să se calculeze distanţa de la punctul A la dreapta d .
Rezolvare
16
a) Avem
3
2
111
2211111,
222222
000
cba
dczbyaxA .
b) Distanţa de la punctul punctul A la dreapta d (Fig. 13) se calculează cu formula
a
AMa
AM
AMAMdA
, .
a
d
M A
P A
Fig 13. Distanţa de la un punct la o dreaptă
Vectorul director al dreptei d este
kji
kji
a 3
121
011 .
Obţinem
11a .
Din faptul că dM avem
.42
1
042
01
MMM
MM
MMM
MM
zyx
yx
zyx
yx
Notând
uzM
deducem
uyuy MM3
1133
şi
uyx MM3
121 .
Putem considera 0u ; obţinem
17
0
1
2
M
M
M
z
y
x
0,1,2M .
Ecuaţia dreptei d este
311
MMM zzyyxx
.
Avem
kiAM 2
şi
kji
kji
AMa
2
201
311 ;
deci
6 AMa .
Vom obţine
11
6, dA .
4.3. Distanţa dintre două drepte
Fie 21, dd două drepte necoplanare (vezi figura 14).
1d
2d 2d
b
a 1A
2A
Fig. 14. Distanţa dintre două drepte
Distanţa dintre dreptele 1d şi 2d este
,,, 22121 AAAdd ,
18
unde:
este planul care trece prin 1d şi este paralel cu 2d ,
,2A este înălţimea corespunzătoare vârfului 2A al paralelipipedului
oblic construit pe vectorii a , b , 21AA .
Deci formula distanţei dintre două drepte este:
ba
AAbadd
bazei
pedparalelipi
2121
A
V, .
5. Unghiuri în 3
5.1. Unghiul dintre două drepte
Fie 1d , 2d două drepte ce au vectorii directori kajaiaa 321 şi respectiv
kbjbibb 321 . Unghiul dintre dreptele 1d şi 2d este unghiul dintre vectorii a şi
b (vezi fig. 15).
a 1d
2d
P
b
Fig. 15. Unghiul dintre două drepte
Deci
23
22
21
23
22
21
332211cosbbbaaa
bababa
ba
ba
, ,0 .
Observaţii.
1) 2
dreptele sunt perpendiculare
0 ba 0332211 bababa .
2) 0 dreptele sunt paralele 0 ba
0
321
321
bbb
aaa
kji
0122131132332 kbabajbabaibaba
19
0
0
0
1221
3113
2332
baba
baba
baba
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a (18).
Deci 21 || dd are loc (18).
5.2. Unghiul dintre două plane
Fie
0: 11111 dzcybxa şi vectorul normal kcjbian 1111 ,
0: 22222 dzcybxa şi vectorul normal kcjbian 2222 .
1
2
2n 1n
d
Fig. 16. Unghiul dintre două plane
Unghiul dintre planele 1 şi 2 este unghiul dintre vectorii 1n şi 2n (vezi fig.
16). Deci
22
22
22
21
21
21
212121
21
21cos
cbacba
ccbbaa
nn
nn
, ,0 .
Observaţii.
1) 21 || 1n şi 2n coliniari 21 ntn , t ; deci 21 || 21 ata ,
21 btb , 21 ctc .
2) 1 2 021 nn 0212121 ccbbaa .
5.3. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
Considerăm dreapta d de vector director kajaiaa 321 şi planul de vector
normal knjninn 321 .
Unghiul dintre dreapta d şi planul este unghiul dintre dreapta d şi proiecţia
acestei drepte pe planul (vezi fig. 17).
20
a
d
1d
n
2
Fig. 17. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
Unghiul dintre dreapta d şi planul este legat de unghiul , unghiul vectorilor a şi n
prin relaţiile
2
după cum vectorii sunt de aceeași parte a planului sau în părți diferite.
Deci:
sin2
coscos
, ,0
2,0
.
Deoarece
an
an cos , ,0
rezultă
23
22
21
23
22
21
332211sin
aaannn
nanana
,
2,0
.
Observaţii.
1) ||d 0 an 0332211 nanana .
2) d 2
0 an ||
)18(
3
3
2
2
1
1
a
n
a
n
a
n .
1
Cursul 4. Spaţii vectoriale
Bibliografie:
1. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
2. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
3. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
4. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie n- dimensională, ed. Radical,
Craiova, 1996.
Scopuri:
1) Introducerea noţiunii de spaţiu vectorial; exemple de spaţii vectoriale
2) Definirea bazei unui spaţiu vectorial şi a dimensiunii sale
3) Prezentarea matricei de trecere de la o bază la alta şi a formulelor de schimbare a
coordonatelor unui vector când se schimbă baza spaţiului
4) Aplicatii
Algebra liniară poate fi privită ca teoria spaţiilor vectoriale, deoarece un spaţiu vectorial
este o mulţime de obiecte sau de elemente, ce pot fi adunate între ele şi înmulţite cu numere
(rezultatul rămânând un element al mulţimii), în aşa fel încât regulile obişnuite de calcul să
rămână valabile.
Un exemplu de spaţiu vectorial îl constituie spaţiul vectorilor geometrici (liberi), care
joacă un rol central în fizică şi tehnologie şi ilustrează importanţa spaţiilor vectoriale şi a întregii
algebre liniare pentru aplicaţiile practice.
Fie K un corp comutativ şi V o mulţime nevidă. Elementele lui K se numesc scalari şi le
vom nota cu litere greceşti, iar elementele lui V se numesc vectori şi le vom nota cu litere latine,
cu bară deasupra.
Definiţia 1. Mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă sunt definite:
1. o operaţie algebrică internă, notată aditiv “+”, VVV : , numită adunare, faţă
de care V este grup comutativ;
2
2. o operaţie algebrică externă, notată multiplicativ “ ”, VVK : , numită
înmulţirea cu scalari, care satisface axiomele:
a) Kaaa ,, şi Va
b) Kbaba , şi Vba ,
c) Kaa ,, şi Va
d) ,1 aa Va .
Dacă K este corpul numerelor reale, atunci V se numeşte spaţiu vectorial real.
Dacă K este corpul numerelor complexe, atunci V se numeşte spaţiu vectorial complex.
Exemple de spaţii vectoriale
1) Spaţiul vectorial aritmetic real cu n - dimensiuni ,,n .
orinde
n este mulţimea sistemelor ordonate formate cu câte n numere
reale, adică
nixxxxx inn ,1,|,,, 21 .
Fie , nyx , , nxxxx ,,, 21 , nyyyy ,,, 21 ; atunci
nnn : , nndef
yxyxyxyx ,,, 2211
nn : , ndef
xxxx ,,, 21 .
2) Spaţiul vectorial al polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi reali, de
grad n ,,R Xn
XnR semnifică mulţimea polinoamelor în nedeterminata X , cu coeficienţi reali, de
grad n .
Fie , XQP nR, ,
nn XaXaaXP 10 , n
n XbXbbXQ 10 ;
atunci
nnn RRR: , nnn
def
XbaXbabaXQXP 1100
nn RR: , nn
def
XaXaaXP 10 .
3) Spaţiul vectorial ,,,nm al matricelor de tipul nm , cu coeficienţi reali
3
Vom arăta că mulţimea matricelor de numere reale cu m linii şi n coloane formează, faţă
de adunarea matricelor şi înmulţirea acestora cu scalari din un spaţiu vectorial pe .
Etapa I. Se demonstrează că ,,nm grup comutativ (abelian).
Dacă nmBA ,, atunci nmBA , , adică nm, este parte stabilă în
raport cu adunarea matricelor (adunarea este bine definită). Întrucât sunt uşor de verificat
axiomele privind
asociativitatea: nmCBACBACBA ,,,,
existenţa elementului neutru: nmAAOOA ,, ,
00
00
O
faptul că orice element este simetrizabil
XAOAAAA nR,
rezultă că ,,nm grup.
Deoarece adunarea matricelor este comutativă ( nmBAABBA ,,, )
rezultă că ,,nm grup abelian.
Etapa II. Verificăm axiomele a), b), c), d) pe care trebuie să le satisfacă înmulţirea cu
scalari.
a) AAA , , , nmA ,
b) BABA , , nmBA ,,
c) AA , , , nmA ,
d) AA 1 , nmA ,
4) Spaţiul vectorial ,, al funcţiilor definite pe mulţimea numerelor reale cu
valori reale
Dacă :| ffnot
, gf , , atunci
: , xgxfxgfdef
: , xfxfdef
5) Spaţiul vectorilor geometrici (liberi), notat cu 3V .
Teorema 1. Dacă V este un spaţiu vectorial real atunci au loc următoarele afirmaţii:
4
i) Vaa ,00 ,
ii) ,00 ,
iii) Vaaa ,1 ,
iv) dacă K , Va astfel încât 0 a atunci 0 sau 0a .
Definiţia 2. Un sistem de vectori mxx ,,1 din spaţiul vectorial V peste K este liniar
dependent dacă există scalarii miKi ,1, , 0i astfel încât
011 m
m xx (1).
Dacă relaţia (1) are loc numai dacă 01 m , sistemul este liniar
independent.
Definiţia 3. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi mxxS ,,1 un sistem finit
de vectori din V . Spunem că vectorul Vv este o combinaţie liniară finită de elemente din S
dacă
m
ii
i xv1
, unde Sxi , Ki , mi ,1 .
Definiţia 4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K . Sistemul S de vectori din V se
numeşte sistem de generatori pentru V dacă orice vector din V este o combinaţie liniară de
vectori din S .
Definiţia 5. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K . Sistemul B de vectori din V se
numeşte bază a lui V dacă:
b1) B este liniar independent;
b2) B este sistem de generatori pentru V .
Exemplul 1. njmiEij ,1,,1, este o bază în nm,
Fie nmA , ,
mnm
n
aa
aa
A
1
111
. Putem scrie
5
mn
n
a
aaa
A
000
0000
0000
0000
0000
000
0000
0000
000
0000
0000
0000 11211
1000
0000
0000
0000
0000
0010
0000
0000
0001
1211
mnaaa
Notăm
j
ij iE
00
1
00
.
Folosind această notaţie, avem
mnmnEaEaEaA 12121111 ,
adică
njmiEij ,1,,1, este sistem de generatori.
Considerăm combinaţia liniară nulă a matricelor din
njmiE ij
mnm
nm
i
n
jijij ,1,,1,0OO
1
111
1 1
;
deci
njmiEij ,1,,1, este liniar independent.
Rezultă că
njmiEij ,1,,1, este o bază în nm, .
Definiţia 6. Numărul vectorilor dintr-o bază a spaţiului vectorial V se numeşte
dimensiunea lui V (peste K ) şi se notează Vdim sau VKdim .
Exemplul 2. nmnm ,dim .
Observaţie. Două baze oarecare în V au acelaşi număr de vectori.
6
Propoziţia 1. Fie V este un spaţiu vectorial de dimensiune n şi
VaaaB n ,,, 21 . Atunci:
a) dacă B liniar independent rezultă B este bază,
b) dacă B este sistem de generatori rezultă B este bază.
Teorema 2. Fie V un spaţiu vectorial peste K şi VaaB m ,,1 . Atunci B este
o bază a lui V dacă şi numai dacă orice vector al lui V se poate scrie în mod unic ca o
combinaţie liniară a vectorilor din B .
Deci, dacă V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n iar maaB ,,1
este o bază a lui V , atunci Vx , miKx i ,1, unici, astfel încât
m
m axaxx 11 .
Definiţia 7. Scalarii unici miKx i ,1, care apar în calitate de coeficienţi în scrierea
vectorului Vx ca o combinaţie liniară de vectorii bazei B se numesc coordonatele vectorului
x în baza B .
Vom nota prin Bx matricea coloană formată cu coordonatele lui x în baza B ; deci
m
B
x
x
x
x
2
1
.
Observaţie. Scrierea unui vector într-o bază este unică.
Fie neeB ,,11 , nffB ,,12 două baze ale lui V , Vx şi
n
n exexx 11 , (5)
n
n fyfyx 11 . (6)
Considerăm că vectorii din 2B se scriu ca o combinaţie liniară a vectorilor din 1B :
n
nnnn
nn
eef
eef
11
111
11
(7)
Scriind pe coloane coeficienţii acestor combinaţii liniare obţinem matricea
7
nn
n
n
n
BB
1
221
111
, 21 (*),
care reprezintă matricea de trecere de la baza 1B la baza 2B .
Observaţie. Matricea 21,BB este întotdeauna nesingulară datorită liniar independenţei
vectorilor dintr-o bază.
Înlocuind (7) în (6) obţinem
n
nn
nnn
n
nn
nnn
nn
eyyeyy
eeyeeyx
11
111
11
11
111
11
(8)
Datorită unicităţii scrierii unui vector într-o bază, din (5) şi (8) rezultă
nn
nnn
nn
yyx
yyx
11
111
11
(9)
Formulele (9) constituie formulele de schimbare a coordonatelor unui vector când se
schimbă baza spaţiului.
Relaţiile (9) pot fi scrise sub formă matriceală astfel:
2211 , BBBB xx (**) sau
121
2
1, BBBB xx .
Exemplul 2. În spaţiu vectorial aritmetic 3 se consideră vectorii:
2,1,21 a , 2,1,12 a , 2,3,03 a ,
1,1,01 b , 1,1,22 b , 1,2,13 b , 3,2,1x .
Se cere:
a) Să se arate că 3211 ,, aaa este o bază a lui 3 .
b) Să se determine coordonatele lui x în raport cu baza 1 .
c) Să se arate că 3212 ,, bbb este o nouă bază a lui 3 şi să se scrie matricea de
trecere de la baza 1 la baza 2 .
d) Să se scrie formulele de schimbare a coordonatelor unui vector când se trece la baza 1
la baza 2 .
8
Rezolvare
a) 3dim 3 este suficient să arătăm că vectorii sunt liniar independenţi.
Fie o combinaţie liniară nulă
033
22
11 aaa .
Rezultă
0,0,02,3,02,,2,,2 33222111 .
Se obţine sistemul:
.0222
03
02
321
321
21
Deoarece
08
222
311
012
d
rezultă sistemul sistemul are soluţia unică
0321 .
Rezultă că vectorii sunt liniar independenţi.
b) Fie
3
32
21
1 aaax .
Avem
33222111 2,3,02,,2,,23,2,1 .
Se obţine sistemul:
3222
23
12
321
321
21
a cărui soluţie este
8
7,
4
9,
8
13 321 .
Deci
9
8
74
98
13
Bx .
c) Similar se demonstrează şi că 2 este bază.
Ştim că
33
32
31
23
22
21
13
12
11
, 21 BB .
Putem scrie
3
312
211
111 aaab (10)
3
322
221
122 aaab (11)
3
332
231
133 aaab (12)
Din (10) deducem
2,3,02,1,12,1,21,1,03
12
11
1 (13)
Din (13) rezultă sistemul
1222
13
02
31
21
11
31
21
11
21
11
ce are soluţia
625.0
11
,
25.12
1 ,
125.0
31
.
Din (11) deducem
2,3,02,1,12,1,21,1,23
22
212
(14)
Din (14) rezultă sistemul
1222
13
22
32
22
12
32
22
12
22
12
ce are soluţia
10
875.1
12
,
75.12
2 ,
375.0
32
.
Din (12) deducem
2,3,02,1,12,1,21,2,13
32
313
. (15)
Din (15) rezultă sistemul
1222
23
12
33
23
13
33
23
13
23
13
ce are soluţia
875.0
13
,
75.02
3 ,
625.0
33
.
Se obţine
625.0375.0125.0
75.075.125.1
875.0875.1625.0
21 ,BB .
d) Fie
3
32
21
11
axaxaxv
3
32
21
12 bybybyv
Vom avea
3
2
1
,3
2
1
21
y
y
y
x
x
x
3213
3212
3211
625.0375.0125.0
75.075.125.1
875.0875.1625.0
yyyx
yyyx
yyyx
Exemplul 3. În spaţiu vectorial 2,2 se consideră matricele:
00
011C ,
00
112C ,
01
113C ,
11
114C ,
10
001A ,
11
002A ,
11
103A ,
11
114A .
Se cere:
a) Să se arate că 43211 C,C,C,C si 43211 ,,, AAAA sunt baze pentru
2,2 .
b) Să se determine matricea de trecere de la baza 1 la baza 2 .
11
c) Să se scrie formulele de schimbare a coordonatelor unui vector când se trece la
baza 1 la baza 2 .
Rezolvare.
a) Fie 24
43
32
21
1 O AAAA . Avem
00
00
11
11
11
10
11
00
10
004321
00
00000
0
00
44
44
33
3
221.
Rezultă 04 ; deci 04 .
Se obţine sistemul
00
00
0
14321
2432
4343
Deci 04321 2 liniar independent.
bază
a
propozitia
2
1
2
2,2
elemente4re
4dim
Similar se demonstrează şi că 1 este bază.
b) Folosind (*) avem
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
, 21 BB .
Pe baza formulelor din (7) obţinem
4
413
312
211
111 CCCCA . (16)
4
423
322
221
122 CCCCA . (17)
4
433
332
231
133 CCCCA . (18)
4
443
342
241
144 CCCCA . (19)
Din (16) deducem
12
11
11
01
11
00
11
00
01
10
00 41
31
21
11
. (20)
Din (20) rezultă sistemul
11
10
00
00
41
41
31
41
31
21
41
31
21
11
41
31
21
11
În final se obţine
1111
0001
2010
2100
21 , .
c) Fie
4
43
32
21
11
CxCxCxCxx
4
43
32
21
12
AyAyAyAyx
Înlocuind aceste relaţii în (**) vom avea
4
3
2
1
,
4
3
2
1
21
y
y
y
y
x
x
x
x
43214
13
422
431
2
2
yyyyx
yx
yyx
yyx
1
Cursul 5. Aplicaţii liniare şi matrice- partea I
Bibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
4. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
5. P. Matei, Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.
6. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
7. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi
Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.
8. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
Scopuri:
1) Aplicaţii liniare: exemple, operaţii, nucleu, imagine
2) Matricea asociată unei aplicaţii liniare
3) Matricea ca aplicaţie liniară
4) Schimbarea matricei asociate la schimbarea bazei
Aplicaţiile liniare trebuie să fie studiate datorită faptului că sunt compatibile cu
operaţiile definite într-un spaţiu vectorial şi fac posibil transferul unor situaţii algebrice sau al
unor probleme dintr-un spaţiu în altul.
Operaţiile cu matrice reflectă evident asemănarea acestora cu operaţiile cu aplicaţii
liniare; deci matricele pot fi folosite pentru descrierea numerică a aplicaţiilor liniare.
Reprezentarea aplicaţiilor liniare prin matrice este analoagă reprezentării vectorilor prin
n-upluri în raport cu o bază.
Există legătură între ecuaţiile date prin aplicaţii liniare şi sisteme de ecuaţii liniare.
2
Definiţia 1. Fie U şi V două spaţii vectoriale peste corpul K . Aplicaţia VUT : se
numeşte aplicaţie liniară dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:
1. UyxyTxTyxT ,, , adică T este aditivă;
2. KUxxTxT ,, adică T este omogenă.
Cele două proprietăţi ale aplicaţiei liniare pot fi formulate într-una singură.
Propoziţia 1. Aplicaţia VUT : este liniară dacă şi numai dacă
UyxKyTxTyxT ,,,, .
Exemple de aplicaţii liniare
1) :T , ,xxT ;
2) VV : , Vxxx , aplicaţia identică;
3) VU : , VUx 0 aplicaţia nulă;
4) mnT : , ntnxxxxAxT ,,, 1 , nmA , dată
5) KKT n : ,
n
iiiaAtrAT
1
6) KKT mnnm ,,: , tAAT
7) 33: VT , 321 ,, vvvvT , kvjvivv 321 .
Vom nota cu VU ,L mulţimea tuturor aplicaţiilor liniare definite pe U cu valori V .
Definiţia 2. Se numeşte endomorfism al spaţiului vectorial V , orice aplicaţie
VVT : .
Notăm cu VEnd mulţimea endomorfismelor spaţiului vectorial V .
Definiţia 3. Fie VUT ,L .
a) Mulţimea
VxTUxT 0|Ker
se numeşte nucleul aplicaţiei liniare T .
b) Mulţimea
vuTUuVvUTT ,|Im
se numeşte imaginea aplicaţiei liniare T .
Definiţia 5. O aplicaţie liniară VUT : este:
1) injectivă dacă şi numai dacă VT 0Ker ;
3
2) surjectivă dacă şi numai dacă VT Im .
Propoziţia 2. Fie VUT : o aplicaţie liniară bijectivă. Dacă neeB ,,11 este
o bază în U , atunci neTeTB ,,12 este o bază în V .
Teorema 1. Fie aplicaţia liniară nn VUT : între spaţii vectoriale de aceeaşi
dimensiune. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
i) T este injectivă; ii) T este surjectivă; iii) T este bijectivă.
Definiţia 6. Fie VUTS ,L, . Suma celor două aplicaţii liniare este aplicaţia liniară
VUR ,L , UxxTxSxTSxR , .
Definiţia 7. Fie VUT ,L . Înmulţirea cu scalari a aplicaţiei liniare T se defineşte
astfel:
VUT ,L , UxKxTxT ,, .
Definiţia 8. Compunerea a două aplicaţii se numeşte produs (înmulţire) şi se
defineşte precum în cazul funcţiilor.
Observaţie. Compunerea nu este comutativă dar este asociativă.
Propoziţia 3. Dacă WVU ,, sunt spaţii vectoriale peste K iar VUT : şi
WVS : sunt aplicaţii liniare, atunci aplicaţia
WUTS : , UxxTSxTS ,
este liniară.
Definiţia 9. Puterile naturale ale unui endomorfism VVT : se definesc inductiv
astfel:
,2,1,1
0
nTTT
T
nn
Definiţia 10. Fie VUT ,L o aplicaţie liniară bijectivă (deci inversabilă). Inversa
sa, UVT ,L1 este tot o aplicaţie liniară.
Teorema 3. Mulţimea VU ,L este un spaţiu vectorial peste corpul K în raport cu
adunarea aplicaţiilor liniare şi cu produsul dintre un scalar şi o aplicaţie liniară.
Definiţia 11. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune n .
Submulţimea nevidă W a lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă sunt
îndeplinite următoarele condiţii:
1) WyxWyx ,,
4
2) WxKWx , .
Propoziţia 4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune n .
Submulţimea nevidă W a lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă şi numai dacă
WyxKWyx ,,, .
Propoziţia 5. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune finită n . Dacă
W este un subspaţiu vectorial al lui V , atunci dimensiunea lui W este finită şi
VW dimdim .
Propoziţia 6. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune finită n . Dacă
W este un subspaţiu vectorial al lui V , atunci VW dimdim dacă şi numai dacă VW .
Propoziţia 7. Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar şi omogen cu m ecuaţii şi n
necunoscute este un subspaţiu vectorial al lui n , de dimensiune rn , r fiind rangul
matricei asociată sistemului A .
Teorema 4. Fie VUT ,L . Avem următoarele proprietăţi:
i) TKer este un subspaţiu vectorial al lui U ;
ii) TIm este un subspaţiu vectorial al lui V .
Propoziţia 8. Dacă VUT ,L atunci:
1) VUT 00 , adică o aplicaţie liniară duce vectorul nul, în vectorul nul;
2) UxxTxT , ;
3) Dacă W este un subspaţiu vectorial al lui U , atunci WT este un subspaţiu
vectorial al lui V ;
4) Dacă vectorii Uxx n ,,1 sunt liniar dependenţi atunci şi vectorii
VxTxT n ,,1 sunt de asemenea liniar dependenţi;
5) Fiind daţi vectorii Uxx n ,,1 , dacă vectorii VxTxT n ,,1 sunt liniar
independenţi atunci şi vectorii nxx ,,1 sunt liniar independenţi.
Teorema 5. Fie VU , două spaţii vectoriale peste corpul K . Dacă Udim iar
VUT ,L , atunci
UTT dimImdimKerdim .
Definiţia 12. Fie VUT ,L .
a) Dimensiunea nucleului lui T se numeşte defectul lui T .
b) Dimensiunea imaginii lui T se numeşte rangul lui T .
5
Fie VU , două spaţii vectoriale peste corpul K de dimensiuni finite, nU dim ,
mV dim şi VUT ,L .
Fie neeB ,,11 şi mffB ,,12 baze în U şi respectiv V .
Considerăm expresiile vectorilor VeTeT n ,,1 în baza 2B :
mm
nnnn
mm
mm
fffeT
fffeT
fffeT
22
11
222
21122
122
111
11
Notăm cu
m
nm
n
BBT
1
111
, 21
~,
matricea de tipul nm , în care coloana de indice i conţine coordonatele vectorului ieT .
Definiţia 13. Matricea 21 ,~
BBT se numeşte matricea asociată aplicaţiei liniare T
relativ la bazele 1B şi 2B , fixate în spaţiile vectoriale U şi V .
Exemplul 1. Fie 23: f , 32321321 7,2,, xxxxxxxxfxf .
a) Să se arate că f este aplicaţie liniară.
b) Să se scrie matricea asociată lui f în raport cu bazele canonice ale celor două spaţii
3 şi 2 .
c) Să se determine fKer şi fIm .
d) Este f surjectivă?
Rezolvare
a) f este aplicaţie liniară
3y,x,,,yfxfyxf .
Fie , şi 3, yx . Deci 321 ,, xxxx , 321 ,, yyyy .
Vom avea
6
yfxfyyyyyxxxxx
yyyyyxxxxx
yyxxyyyxxx
yxyxyxyxyx
yxyxyxfyxf
3232132321
3232132321
3232321321
3322332211
332211
7,27,2
7,27,2
77,22
7,2
,,
b) Deoarece
1,0,0,0,1,0,0,0,1 3211 eee bază în 3 ,
1,0,0,1 212 ff bază în 2
rezultă
.717,11,0,0
111,10,1,0
020,20,0,1
213
212
211
fffef
fffef
fffef
Vom obţine
710
112~2,1
f .
c) Avem
23 0|Ker xfxf
Fie
07
020,07,20;
32
32132321
23
xx
xxxxxxxxxfx
Nucleul lui f este mulţimea soluţiilor sistemului
313132
321482
7
2xxxx
xx
xxx
3333 ,,7,4Ker xxxxxfx .
Deoarece, conform cu propoziţia 7
123Kerdim rnf ,
ţinând seama că (vezi teorema 5)
ff mIdimKerdimdim 3
obţinem
2Imdim f .
d) Ştim că
7
2Im f ,
adică fIm este subspaţiu vectorial al lui 2 (vezi teorema 4).
Deoarece
2
2
2
Im
2dim
2Imdim
Im
ff
f
f este surjectivă.
Exemplul 2. Se consideră aplicaţia liniară 22:T , definită prin
2,
11
01
10
21AAAT .
Construiţi matricea aplicaţiei liniare T în baza canonică a spaţiului respectiv.
Ştim că
10
00,
01
00,
00
10,
00
01,,, 22211211 EEEEB
este bază canonică în 2 .
Calculăm
2221121122
211121
121112
1111
2211
22
11
01
10
20
11
01
10
00
10
21
201
02
11
01
01
02
11
01
01
00
10
21
00
11
11
01
00
10
11
01
00
10
10
21
00
01
11
01
00
01
11
01
00
01
10
21
EEEEET
EEET
EEET
EET
Rezultă
1000
1100
2010
2211
~BT .
Ne propunem să definim operaţiile cu matrice, pornind de la operaţiile corespunzătoare cu
aplicaţii liniare.
Fie VUTS ,L, şi neeB ,,11 , mffB ,,12 baze în U şi respectiv V .
8
Fie BA, matricele asociate lui S şi T în raport cu cele două baze:
21 ,~
BBSA , njmiijaA
11 şi 21 ,
~BBTB ,
njmiijbB
11 .
Avem:
mmnnn
mmjjj
mm
fafaeS
fafaeS
fafaeS
11
11
11111
şi
mmnnn
mmjjj
mm
fbfbeT
fbfbeT
fbfbeT
11
11
11111
1) Egalitatea matricelor
S şi T sunt egale jj eTeS , nj ,1
mmjiijjmmjiijj fbfbfbfafafa 1111 (1).
Deoarece mff ,,1 este bază şi ştim că scrierea unui vector într-o bază este unică, din
(1) rezultă ijij ba , mi ,1 , nj ,1 .
Definiţia 14. Matricele njmiijaA
11 şi
njmiijbB
11 sunt egale dacă şi numai dacă
ijij ba , mi ,1 , nj ,1 .
2) Adunarea matricelor
Notăm cu C matricea asociată aplicaţiei liniare TS .
Avem
,11
11
mmjiijj
mmjiijjjj
def
j
fbfbfb
fafafaeTeSeTS
adică
mmjmjiijijjjj fbafbafbaeTS 111 (2).
Dar
9
mmjiijjj fcfcfceTS 11 (3).
Din (2) şi (3) rezultă ijijij bac , mi ,1 , nj ,1 .
Definiţia 15. Suma matricelor njmiijaA
11 şi
njmiijbB
11 este matricea
njmiijcC
11 , ijijij bac , mi ,1 , nj ,1 . Notăm BAC .
3) Înmulţirea unei matrice cu un scalar
Notăm cu C matricea asociată aplicaţiei liniare KS , .
mmjiijjjj fafafaeSeS 11 (4).
Dar,
mmjiijjj fcfcfceS 11 (5).
Din (4) şi (5) rezultă ijij ac , mi ,1 , nj ,1 .
Definiţia 16. Prin înmulţirea unei matrice njmiijaA
11 cu un scalar K rezultă
matricea A , ale cărei elemente se obţin înmulţind toate elementele lui A cu .
4) Produsul a două matrice
Fie VUS ,L , WVT ,L şi neeB ,,11 o bază în U , mffB ,,12 o
bază în V , pggB ,,13 o bază în W .
Notăm cu:
njmiijaA
11 matricea asociată lui S în raport cu 1B şi 2B ;
mjpiijbB
11 matricea asociată lui T în raport cu 2B şi 3B .
Avem
,11
11
mmjkkjj
mmjkkjjjj
fTafTafTa
fafafaTeSTeST
adică
ppmiim1m1mjppkiik1k1kj
p1pi1i111j1j
gbgbgbagbgbgba
gbgbgbaeST
(6)
Notăm cu njpiijcC
11 matricea asociată aplicaţiei liniare WUST ,L . Rezultă
10
ppjiijjj gcgcgceST 11 (7).
Scriem (6) ca
pmjpmkjpkjp
imjimkjikji
mjmkjkjj
gababab
gababab
gabababeST
11
11
111111
(8)
Din (7) şi (8) rezultă
mjimkjikjiij abababc 11 , pi ,1 , nj ,1 .
Definiţia 17. Produsul dintre matricele mjpiijbB
11 şi
njmiijaA
11 este matricea
njpiijcC
11 , unde mjimkjikjiij abababc 11 , pi ,1 , nj ,1 .
Notăm ABC .
Observaţie. Produsul AB este definit dacă şi numai dacă numărul coloanelor lui B este
egal cu numărul liniilor lui A .
Propoziţia 9. Dacă CBA ,, sunt matrice având dimensiuni corespunzătoare, astfel încât
produsele următoare să fie definite şi K , atunci:
a) CABBCA ;
b) ACABCBA ;
c) CABAACB ;
d) ABBABA .
Observaţie. În general, produsul a două matrice nu este comutativ.
5) Inversa unei matrice
Definiţia 18. Matricea KA n este inversabilă dacă există o unică matrice
KB n astfel încât nBAAB . Inversa lui A se notează cu 1A .
6) Rangul unei matrice
Teorema 5. Fie VU , două spaţii vectoriale peste corpul K şi VUT ,L . Dacă
neeB ,,11 este o bază în U şi mffB ,,12 este o bază în V iar A este
matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu bazele 1B şi 2B , atunci AT rangrang .
Propoziţia 10. O matrice pătratică este inversabilă dacă şi numai dacă este nesingulară.
Fie Ux . Putem scrie
11
n
n exexx 11 .
Vom avea
,2
21
112
211
11
1
11
mm
nnnn
mm
nn
fffxfffx
eTxeTxxT
adică
mm
nnm
nn fxxfxxxT
11
111
11 (9).
Deoarece VxT rezultă
m
m fyfyxT 11 (10).
Din (9) şi (10) se deduce
mn
nmm
nn
xxy
xxy
11
111
11
;
deci
1212,
~BBBB xTxT . (11)
Fie 1B o altă bază a lui U şi 2B o altă bază a lui V .
Fie C matricea de trecere de la baza 1B la baza 1B şi D matricea de trecere de la
baza 2B la baza 2B .
Conform cu (11) avem
1212,
~BBBB xTxT . (12)
Ştim că
1111 , BBBB xCx (13)
şi
2222
, BBBB xTDxT . (14)
Egalând (11) şi (14) rezultă
121222 ,,~
BBBBBB xTxTD . (15)
Înlocuind (13) în (15) rezultă
11121222 ,,,~
BBBBBBBB xCTxTD . (16)
12
Dacă în relaţia (16) înmulţim în ambii membri la stânga cu inversa lui D , obţinem
11121222,,,
1 ~BBBBBBBB xCTDxT
(17)
Din (12) şi (17) rezultă
1112122121 ,,,1
,~~
BBBBBBBBBB xCTDxT
,
adică
11212221 ,,,1
,~~
BBBBBBBB CTDT
. (18)
Formula (18) constituie formula de schimbare a matricei asociată unei aplicaţii liniare
când se schimbă bazele în cele două spaţii vectoriale U şi V .
Exemplul 3. Fie 321 End, TT , definite astfel
3213213211 23,81520,55 xxxxxxxxxxT ,
3213212 555,0,101010 xxxxxxxT ,
3321 ,, xxxx .
Să se afle matricea sumei celor două endomorfisme 21 TTT relativ la baza
3321 2,2,1,1,4,3,1,3,2 vvvB .
Rezolvare
Avem
.678,81520,51115 321321321
2121
xxxxxxxxx
xTxTxTTxT
Fie
1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eeeB
baza canonică a spaţiului 3 .
Calculăm
8,20,15060718,08015120,05011151 eT
7,15,112 eT ;
6,8,53 eT
Obţinem
678
81520
51115~
BT .
13
Notăm cu C matricea de trecere de la baza B la baza B .
Deoarece
3211 321,3,2 eeev ,
3212 431,4,3 eeev ,
3213 222,2,1 eeev
avem
211
243
132
C .
Deci
310
020
021
CT~
CT~
B1
B .
1
Cursul 6. Aplicaţii liniare şi matrice- partea II
Bibliografie
1. Ebâncă, D., Metode numerice, Ed. Sitech, Craiova, 1994.
2. Groza G., Analiza numerica, Ed. MatrixRom, Bucuresti, 2005.
3. Iorga, V., Jora, B., Programare numerică, Ed. Teora, 1996.
4. Nicholson, W., K., Linear Algebra and with Applications, PWS Publishing Company,
Boston, 1995.
5. Păltineanu, G., Matei, P., Trandafir R., Bazele Analizei Numerice, Ed. Printech,
Bucureşti 2001.
Scopuri:
1) Rezolvarea sistemelor triunghiulare
2) Metoda eliminării a lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare
3) Descompunerea unei matrice într-un produs de două matrice triunghiulare
4) Metoda lui Cholesky
1. Rezolvarea sistemelor triunghiulare
Multe probleme practice din diverse domenii cum ar fi: ingineria, fizica, chimia,
economia, biologia, ştiinţele sociale, afacerile pot fi reduse la rezolvarea unui sistem de
ecuaţii liniare.
Aplicaţie. Găsiţi curenţii din circuitul următor.
10V
A
5V
C D
10
5
20
B
5
10V
20V
1I 6I
2I
3I
4I
5I
2
Aplicând legile lui Kirchhoff şi legea lui Ohm obţinem sistemul
45
43
1
453
642
516
321
5510
510205
20510
II
II
I
III
III
III
III
ale cărui necunoscute sunt 61 ,, II .
Necesitatea utilizării metodelor numerice în algebra liniară se datorează faptului că
pentru rezolvarea sistemelor mari de ecuaţii, regula lui Crammer nu mai poate fi aplicată.
Definiţia 1. O matrice pătrată cu toate elementele de sub diagonala principală nule se
numeşte matrice superior triunghiulară; adică o matrice de forma
nn
n
r
rr
R
00
0
111
.
Definiţia 2. O matrice pătrată cu toate elementele de deasupra diagonalei principale
nule se numeşte matrice inferior triunghiulară; adică o matrice de forma
nnn ll
l
L
1
11
0
00
.
Pentru matrici triunghiulare condiţia de nesingularitate este
nirii ,1,0 , respectiv nilii ,1,0 .
Considerăm sistemul superior triunghiular
nnnn
nn
nn
bxr
bxrxr
bxrxrxr
22222
11212111
Soluţia sistemului se determină cu ajutorul relaţiilor
1,1
nir
xrb
xii
n
ijjiji
i
.
3
Considerăm sistemul inferior triunghiular
nnnnnn bxlxlxl
bxlxl
bxl
2211
2222121
1111
Soluţia sistemului se determină cu ajutorul relaţiilor
nil
xlb
xii
i
jjiji
i 1,
1
1
.
2. Metoda eliminării a lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare
Fie sistemul de ecuaţii liniare:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(1),
care poate fi scris sub forma matriceală
bxA ,
unde:
nA , njniijaA
11 este matricea coeficienţilor,
1,nb reprezintă coloana termenilor liberi,
1,nx constituie vectorul coloană format cu necunoscutele sistemului.
Dacă matricea A este inversabilă, atunci sistemul admite soluţia unică 1,nx ,
ce se poate exprima sub forma
bAx 1 (2).
Relaţia (2) nu constituie o metodă practică de rezolvare a sistemului (1), deoarece
inversarea unei matrice este o problemă complicată.
Metoda eliminării a lui Gauss permite aducerea sistemului (1) la un sistem echivalent
de formă triunghiulară, care poate fi rezolvat cu uşurinţă.
Teorema 1. Fie nA , njniijaA
11 care satisface condiţia
4
1,1,0
1
111
nr
aa
aa
rrr
r
(3).
Atunci există o matrice nesingulară inferior triunghiulară nM astfel încât matricea
MAR este superior triunghiulară.
Matricea M se alege ca un produs de matrici elementare
121 MMMM n ,
Înmulţirea la stânga a matricei A cu matricea M
AMMMAM n 121
se poate exprima printr-un şir de transformări elementare:
,11
1
112
1
nnn
rrr
AMA
AMA
AMA
AA
fiecare transformare anulând termenii subdiagonali din coloana r ai matricei rA , parţial
triangularizată.
Avem
rnn
rnr
rnr
rrr
rrn
rrr
rn
rr
r
rn
rr
rr
r
aa
aa
aa
aaa
aaaa
A
00
00
00
0
,1,1
2222
111211
111,
1,1
11,1
111,
1
12
11,2
12
122
11
11,1
11
112
111
1
000
000
00
0
rnn
rrn
rnr
rrr
rrn
rrr
rrr
rn
rr
rr
r
rn
rr
rr
rr
r
aa
aa
aaa
aaaa
aaaaa
A
.
5
Dacă
0r
rra (elementul rrra se numeşte pivot) putem considera matricea Frobenius
100
010
0010
00001
,1
rrr
rnr
rrr
rrr
r
a
a
a
aM .
Din
rrr AMA 1
deducem
o r
ijr
ij aa 1
, ri ,1 , nij ,
o
rrr
rrj
rirr
ijr
ija
aaaa
1, nrji ,1, .
Matricea rA se transformă în matricea 1rA după următoarele reguli:
- liniile r,,2,1 şi coloanele 1,,2,1 r nu se schimbă;
- elementele subdiagonale din coloana r se anulează;
- elementele situate în liniile şi coloanele nrr ,,2,1 se transformă după
regula dreptunghiului:
Din produsul de pe diagonala pivotului se scade produsul de pe cealaltă diagonală,
iar rezultatul se împarte la pivot.
rira
rrja
rija
rrra
Fig. 1. Ilustrarea regulii dreptunghiului.
Astfel
6
rrr
rrj
rir
rrr
rijr
ija
aaaaa
1, nrji ,1, .
Observaţie.
În final se obţine matricea superior triunghiulară
nnn
nn
n
nn
nn
nn
a
aa
aaa
AMMMAR
00
0222
11211
121 .
Dacă notăm 121 MMMM n , atunci AMR .
Observaţie. Procedura de triangularizare eşuează dacă pivotul este foarte mic, adică
1
rrra . În acest caz se alege un nou pivot astfel:
1. se cauta in coloana r acel element
nriarir , , astfel incat:
rjr
njr
rir aa
max
(pivotare parţială). Dacă
0rira atunci rr AA 1 şi nr IM ; altfel se permută
între ele liniile r şi i .
2. r
klnlkr
rij aa
,max (pivotare totală). Dacă
0
rkl
a atunci rn AA şi nj IM ,
1 njr ; altfel se permută între ele liniile r şi i iar apoi se permută coloanele
r şi j .
Exemplul 1. Să se rezolve sistemul următor folosind metoda eliminării a lui Gauss:
4537
3375
2753
1753
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Avem
5317
3175
1753
7531
1 AA ;
7
100
010
001
0001
111
141
111
131
111
121
1
a
a
a
a
a
a
M
1007
0105
0013
0001
1M .
244
243
242
234
233
232
224
223
222
214
213
212
211
2
0
0
0
aaa
aaa
aaa
aaaa
A ,
unde
o 1
121 jj
aa , 4,1j ,
o
4
111
112
121
111
1222
22
a
aaaaa ,
8
111
113
121
111
1232
23
a
aaaaa ,
20
111
114
121
111
1242
24
a
aaaaa
o
8
111
112
131
111
1322
32
a
aaaaa ,
24
233
a ,
32234
a ,
o
20242
a ,
32243
a ,
44244
a
Deci
4432200
322480
20840
7531
2A .
Obţinem
100
010
0010
0001
222
242
222
232
2
a
a
a
a
M
1050
0120
0010
0001
2M ,
8
344
343
334
333
324
323
322
314
313
312
311
3
00
00
0
aa
aa
aaa
aaaa
A ,
o 23
ijij aa , 4,1i , 3,1j ,
o
8
222
223
232
222
2333
33
a
aaaaa ,
8
334a ,
o
8343a ,
56
344a .
Deci
56800
8800
20840
7531
3A .
Obţinem
100
0100
0010
0001
333
343
3
a
a
M
1100
0100
0010
0001
3M ,
R
a
aa
aaa
aaaa
A
64000
8800
20840
7531
000
00
0
344
434
433
424
423
422
414
413
412
411
4 ,
Sistemul este echivalent cu
bMMMxAMMM 123123 MbxMA .
Obţinem
1179
0121
0013
0001
123 MMMM .
Rezultă sistemul
9
1664
288
52084
1753
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
a cărui soluţie este: 4
31 x , 02 x , 03 x ,
4
14 x .
Soluţia sistemului considerat este
25.0
0
0
75.0
x .
3. Descompunerea unei matrice într-un produs de două matrice triunghiulare
Definiţia 3. O descompunere a unei matrice A de forma
RLA ,
unde L este o matrice inferior triunghiulară iar R este o matrice superior triunghiulară se
numeşte factorizare LR a matricei A .
Teorema 2. Fie nA , njniijaA
11 o matrice care satisface condiţia (3).
Atunci există o matrice nesingulară inferior triunghiulară nL şi o matrice
nesingulară superior triunghiulară nR , astfel încât
RLA (6).
Sistemul
bxA
poate fi rescris
bxRL
sau
byL (4),
yxR (5),
adică rezolvarea sistemului (1) se reduce la rezolvarea a două sisteme triunghiulare din (4) şi
(5) dacă se cunoaşte factorizarea (6).
Aceasta poate fi obţinută astfel:
1. matricea R se calculează în cursul procesului de eliminare gaussiană
2. matricea L se calculează pe baza relaţiei
10
12111
12
11
1121
1
nnn LLLMMMMMMML .
Propoziţia 1. Orice matrice Frobenius este inversabilă şi inversa este
100
010
0010
00001
,1
rrr
rnr
rrr
rrr
r
a
a
a
aL .
Dacă
121 nLLLL ,
atunci matricea L este de forma
1
0
001
1,1
2,11,1
nnn
nn
ll
llL
.
Exemplul 2. Să se factorizeze LR matricea:
5317
3175
1753
7531
A .
Folosind exemplul anterior obţinem
1157
0125
0013
0001
1ML ,
64000
8800
20840
7531
4AR .
Sunt cunoscute două tipuri de factorizări:
1) factorizarea lui Doolittle
În această factorizare, elementele diagonale ale matricei L se iau egale cu unitatea, adică
1iil , ni ,1 .
Deoarece
11
nnnjnkn
inijiki
knkjkkk
njk
nn
nkjkkk
nkjkkkkk
njkk
ninkknnn
ikkiii
kkkk
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
r
rrr
rrrr
rrrrr
lllll
llll
lll
1
1
1
11111
,
,,,
,1,1,11,1
1111,111
1,21
1,21
1,21
0000
00
0
1
01
001
000001
elementele matricelor L şi R sunt:
njar jj 1,11 (rezultă înmulţind linia 1 din L cu coloana j din R ),
nir
al ii 2,
11
11 (rezultă înmulţind linia i din L cu coloana 1 din R ),
njkrlark
hhjkhkjkj
2,1
1
(rezultă înmulţind linia k din L cu
coloana j din R ),
nikrlar
lk
hhkihik
kkik
13,1 1
1
(rezultă înmulţind linia i din L cu
coloana k din R ).
2) factorizarea lui Crout
În această factorizare, elementele diagonale ale matricei R se iau egale cu unitatea, adică
1iir , ni ,1 .
Deoarece
12
nnnjnkn
inijiki
knkjkkk
njk
nkjk
nkjkkk
njkk
nnninkknnn
iiikkiii
kkkkkk
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
rr
rrr
rrrr
llllll
lllll
llll
l
1
1
1
11111
,,
,1,1,1
1111,1
1,21
1,21
1,21
11
10000
100
10
1
0
00
00000
elementele matricelor L şi R sunt:
nial ii 1,11 (rezultă înmulţind linia i din L cu coloana 1 din R ),
njl
ar
jj 2,
11
11 (rezultă înmulţind linia 1 din L cu coloana j din R ),
nikrlalk
hhkihikik
2,1
1
(rezultă înmulţind linia i din L cu coloana
k din R ),
njkrlal
rk
hhjkhkj
kkkj
13,1 1
1
(rezultă înmulţind linia k din L
cu coloana j din R ).
Exemplul 3. Să se rezolve sistemul următor folosind factorizarea LR (Doolitle):
.02
632
742
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Etapa 1. Se realizeaza factorizarea Doolitle a matricei
211
132
421
A , adica se
determina matricele
111
012
001
L si
100
710
421
R .
13
Etapa 2. Se rezolva sistemul bLy , folosind formula (4), unde
0
6
7
b ; rezulta
solutia
1
8
7
y .
Etapa 3. Se rezolva sistemul yRx , folosind formula (5); rezulta solutia
1
1
1
x .
4. Metoda lui Cholesky
Definiţia 3. O matrice pătrată nA , njniijaA
11 se numeşte simetrică
dacă tAA sau njiaa jiij ,1, .
Definiţia 4. O matrice pătrată nA , njniijaA
11 simetrică este pozitiv
definită dacă şi numai dacă nrr ,1,0 , unde
rrr
r
r
aa
aa
1
111
.
În cazul unui sistem cu matrice simetrică şi pozitiv definită, factorizarea LR are
forma particulară
RRA t (7),
în care R este o matrice superior triunghiulară.
Descompunerea din (7) se numeşte factorizare Cholesky.
Deoarece
nn
jnjj
inijii
nji
nji
nnjninnn
jnjjijjj
iiii
nnnjnin
inijiii
nji
r
rr
rrr
rrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrr
rr
r
aaaa
aaaa
aaaa
0000
000
00
0
00
000
0000
22222
1111211
21
21
21
2212
11
1
1
11111
elementele matricei R se vor calcula conform formulelor
14
.,1,,
,1,
1
1
1
1
2
njir
rra
r
nirar
ii
i
kkjkiij
ij
i
kkiiiii
(8)
Observaţie. Toate elementele de pe diagonala principală a lui R sunt pozitive.
Rezolvarea sistemului bxA cu metoda Cholesky, când A este simetrică şi pozitiv
definită revine la rezolvarea a două sisteme triunghiulare
byRt (9),
yxR (10).
Exemplul 4. Să se determine descompunerea Cholesky a matricei:
322
235
2510
A .
Vom determina elementele matricei
33
2322
131211
00
0
r
rr
rrr
R .
Folosind formulele (8) obţinem:
.5
3
2
2
1
10
2
10
5
10
223
2133333
22
13122323
2122222
11
1313
11
1212
1111
rrar
r
rrar
rar
r
ar
r
ar
ar
Rezultă
5
300
22
10
10
2
10
510
R .
Se verifică că ARRt .
1
Cursul 7. Vectori şi valori proprii
Bibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. Ebâncă, D., Metode numerice, Ed. Sitech, Craiova, 1994.
4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
5. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
6. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
7. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi
Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.
8. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
Scopuri:
1) Polinomul caracteristic al unui endomorfism
2) Determinarea valorilor proprii şi vectorilor proprii pentru un endomorfism
3) Algoritmul de diagonalizare a unui endomorfism; exemplu
Problemele de valori proprii au o deosebită importanţă în multe ramuri ale fizicii. Ele
fac posibilă găsirea unor sisteme de coordonate, în care transformările iau formele cele mai
simple.
De exemplu, în mecanică momentele principale ale unui corp solid se găsesc cu ajutorul
valorilor proprii ale unei matrice simetrice reprezentând vectorul tensorial. Situaţia este
similară în mecanica mediului continuu, unde rotaţiile şi deformările unui corp în direcţiile
principale se găsesc cu ajutorul valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Valorile proprii au
o importanţă centrală în mecanica cuantică, unde valorile măsurate ale mărimilor fizice
observabile apar ca valori proprii ale unor operatori. De asemenea, valorile proprii sunt utile
în studiul ecuaţiilor diferenţiale şi al sistemelor dinamice continue, care apar în domenii
precum fizica şi chimia.
2
Definiţia 1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi VT End . Spunem că
scalarul K este o valoare proprie pentru T dacă există 0\Vx astfel încât
xxT (1).
Definiţia 2. Vectorul 0\Vx pentru care există K astfel încât xxT se
numeşte vector propriu pentru T corespunzător valorii proprii .
Observaţie. Dacă este o valoare proprie a lui T atunci există o infinitate de vectori
proprii corespunzători lui .
Notăm cu T mulţimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului T , numită
spectrul lui T .
Fie endomorfismul VVT : şi nee ,,1 o bază a lui V .
Considerăm expresiile vectorilor VeTeT n ,,1 în baza :
nn
nnnn
nn
nn
eeeeT
eeeeT
eeeeT
22
11
222
211
22
122
111
11
(2)
Fie T~
matricea asociată aplicaţiei liniare T relativ la baza ,
n
nn
n
T
1
111
~
Fie Vx . Putem scrie
n
n exexx 11 .
Relaţia (1) devine
nn
nn exexexexT 1
11
1 . (3)
Deoarece T este aplicaţie liniară, din (3) rezultă
nn
nn exexeTxeTx 1
11
1 (4)
Dacă în (4) ţinem seama de relaţiile (2) obţinem
n
nn
nnnn
n
nn
exexeeex
eeex
11
22
11
122
111
11
(5)
Din (5) obţinem
3
0
0
0
22
11
2222
121
1212
111
nnn
nn
nn
nn
xxx
xxx
xxx
, (6)
adică un sistem liniar şi omogen în necunoscutele nxxx ,,, 21 .
Scalarul este valoare proprie a lui T dacă şi numai dacă sistemul (6) admite soluţii
nebanale, adică dacă există un sistem de scalari nxxx ,,, 21 , nu toţi nuli, care verifică
sistemul (6) .
Acest lucru se realizează dacă şi numai dacă
0
21
222
21
112
11
nn
nn
n
n
,
adică
0I~
nT , (7)
nI fiind matricea unitate de ordin n .
În concluzie, este valoare proprie a lui T dacă şi numai dacă este o rădăcină în K a
ecuaţiei (7).
Notăm
nTP I~
.
Observaţie. Polinomul P este un polinom în , de gradul n :
nnnnnnP 13
32
21
1 ,
unde
T
T
n
n
njij
jj
i
ij
ii
n
i
ii
~det
~Tr
12
11
4
Definiţia 3. Polinomul în nedeterminata , nTP I~
de gradul n se
numeşte polinomul caracteristic asociat endomorfismului T .
Definiţia 4. Ecuaţia 0P se numeşte ecuaţia caracteristică asociată
endomorfismului T .
Exemplul 1. Fie T un endomorfism al lui 3 astfel încât T admite valorile proprii:
2,1,1 321 cu vectorii proprii 1,0,11 x , 1,2,12 x , 1,1,23 x . Să se
scrie matricea asociată lui T în baza canonică
1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eee
a lui 3 .
Rezolvare
Observăm că
.2
,2
,
3213
3212
311
eeex
eeex
eex
Deoarece
111 xxT
deducem
31131 eeeeT (8)
Ţinând seama că T este aplicaţie liniară din (8) obţinem
31131 eeeTeT (9)
Similar, deoarece
222 xxT
deducem
3212321 22 eeeeeeT (10)
Ţinând seama că T este aplicaţie liniară din (10) obţinem
3212321 22 eeeeTeTeT (11)
5
Analog, deoarece
333 xxT
deducem
3213321 22 eeeeeeT (12)
Ţinând seama că T este aplicaţie liniară din Error! Reference source not found.
obţinem
3213321 22 eeeeTeTeT (13)
În vederea determinării expresiei lui
3,1, ieT i
ca o combinaţie liniară a elementelor din baza vom rezolva sistemul de ecuaţii, care rezultă
din relaţiile (9), Error! Reference source not found. şi Error! Reference source not found.
adică:
321321
321321
3131
2242
22
eeeeTeTeT
eeeeTeTeT
eeeTeT
(14)
Adunând primele două ecuaţii deducem:
2132 222 eeeTeT ,
adică
2132 eeeTeT (15)
Adunând ultimele două ecuaţii deducem:
3121 353 eeeTeT (16)
Din Error! Reference source not found. rezultă
2213 eTeeeT (17)
Din Error! Reference source not found. rezultă
2311 335 eTeeeT (18)
Înlocuind Error! Reference source not found. şi Error! Reference source not found.
în prima ecuaţie a sistemului Error! Reference source not found. obţinem
31221231 335 eeeTeeeTee ,
adică
2321 445 eTeee
6
şi deci
3212
4
1
4
5eeeeT .
Vom avea
21321311
4
3
4
5
4
1
4
5335 eeeeeeeeT
şi
321321213
4
3
4
1
4
1
4
5eeeeeeeeeT
.
Obţinem
110
434143
414545~T .
Observaţie. Scalarul este valoare proprie a lui T dacă şi numai dacă este
rădăcină a ecuaţiei caracteristice.
Definiţia 5. Mulţimea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice asociate unui endomorfism T
se numeşte spectrul endomorfismului T . Dacă toate rădăcinile sunt simple se spune că T
este un endomorfism cu spectru simplu.
Teorema 1 (Hamilton- Cayley). Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , de
dimensiune finită n , 1n şi un endomorfism VEndT . Dacă nTP I~
este
polinomul caracteristic al matricei endomorfismului T în raport cu o bază a lui V ,
TA~
, atunci OAP .
Exemplul 2. Să se calculeze 4234 1632248 IAAAAAP , unde A este
matricea
2011
1100
1131
0002
A .
Polinomul caracteristic asociat matricei A este
1632248
2011
1100
1131
0002
234
P .
7
Utilizând teorema lui Hamilton- Cayley obţinem OAP .
Pentru a determina valorile proprii asociate unui endomorfism se procedează astfel:
se scrie ecuaţia caracteristică;
se rezolvă ecuaţia caracteristică;
se obţin valorile proprii ale endomorfismului ca fiind rădăcinile ecuaţiei
caracteristice.
Pentru a determina vectorii proprii corespunzători unei valori proprii 0 a lui T se
procedează astfel:
o se rescrie sistemul (6) înlocuind pe cu 0 ;
o se determină subspaţiul vectorial 0
W al soluţiilor sistemului liniar şi omogen
obţinut (găsim dimensiunea şi o bază), numit subspaţiul propriu asociat valorii
proprii 0 ;
o toţi vectorii nenuli din subspaţiu vectorial sunt vectori proprii pentru valoarea
proprie asociată 0 .
Definiţia 6. Dimensiunea subspaţiului propriu 0
W asociat valorii proprii 0 se
numeşte multiplicitatea geometrică a lui 0 şi se notează cu 0
g .
Definiţia 7. Prin multiplicitatea algebrică a valorii proprii 0 , notată cu 0
a se
înţelege multiplicitatea lui 0 ca rădăcină a polinomului caracteristic P asociat
endomorfismului T .
Propoziţia 1. Polinomul caracteristic nTP I~
este invariant în raport cu
schimbarea bazei în spaţiul vectorial V .
Teorema 1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , nVdim , VT End
şi 0 o valoare proprie a lui T . Atunci, multiplicitatea geometrică a lui 0 este cel mult
egală multiplicitatea algebrică a lui 0 , adică 00 ag .
Propoziţia 2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , şi VT End . Atunci
fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singură valoare proprie T .
Considerăm că VT End admite n valori proprii distincte n ,,1 şi
nV dim .
8
Notăm cu naa ,,1 vectorii proprii ai endomorfismului T corespunzători respectiv
la valorile proprii n ,,1 .
Fie naa ,,1 o bază de vectori proprii a lui T ; deci
.
,111
nnn aaT
aaT
Matricea
n
T
00
00
00
~ 2
1
este o matrice diagonală.
Definiţia 8. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , de dimensiune finită n , 1n .
Spunem că endomorfismul VT End este diagonalizabil dacă există o bază a lui V în
raport cu care matricea sa este o matrice diagonală.
Teorema 2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K , de dimensiune finită n , 1n .
Condiţia necesară şi suficientă ca endomorfismul VT End să fie diagonalizabil este ca
polinomul caracteristic P să aibă toate rădăcinile în K şi pentru fiecare valoare proprie
multiplicitatea geometrică să fie egală cu multiplicitatea algebrică.
Algoritmul de diagonalizare a unui endomorfism VT End constă în următorii
paşi:
1. fixarea unei baze oarecare V şi determinarea matricei T~
asociată
endomorfismului T în această bază;
2. determinarea valorilor proprii p ,,1 şi a multilplicităţilor algebrice
corespunzătoare acestora: p
aa ,,1 ;
3. determinarea subspaţiilor proprii p
WW ,,1 corespunzătoare valorilor proprii
p ,,1 ;
4. determinarea unei baze i a subspaţiului propriu i
W asociat valorii proprii i ,
pi ,1 şi a multiplicităţii geometrice i
g , corespunzătoare valorii proprii i ,
pi ,1 ;
9
5. verificarea condiţiei (din teorema 3) ca endomorfismul T să fie diagonalizabil;
6. obţinerea bazei a spaţiului vectorial V în raport cu care matricea asociată lui T are
forma diagonală canonică astfel:
p 21 .
Matricea asociată lui T în baza este matrice diagonală şi are pe diagonală valorile
proprii pp ,,;;,, 11 fiecare dintre acestea apărând de un număr de ori egal cu
ordinul său de multiplicitate:
p
p
T
0
0
~1
1
.
7. construirea matricei de trecere de la baza la baza , adică BBM , ;
8. verificarea corectitudinii calculelor testând relaţia
BBBB MTMT
,,1 ~~
.
Exemplul 3. Pe spaţiul vectorial al matricelor de ordin 2 se consideră aplicaţia
22:T , tAAT .
a) Să se scrie matricea asociată lui T în raport cu baza canonică a spaţiului 2 .
b) Să se determine valorile proprii şi subspaţiile proprii corespunzătoare.
c) Să se determine o bază a spaţiului vectorial 2 în raport cu care matricea
asociată lui T are forma diagonală.
a) Ştim că
10
00,
01
00,
00
10,
00
0122211211 EEEE
consituie baza canonică a spaţiului 2 .
Calculăm
10
211212
111111
01
00
00
01
EEET
EEET
t
t
222222
122121
10
00
00
10
EEET
EEET
t
t
Matricea asociată lui T în raport cu baza canonică a spaţiului 2 va fi
1000
0010
0100
0001
~T .
b) Determinăm
1111
1000
010
010
0001
I~ 322
4
TP .
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt
11 , având 31a
12 , având 12a .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 este
AATAW 12 |1
.
Deoarece tAAT şi 11 obţinem
AAAW t |21.
Fie 2A ,
2221
1211
aa
aaA .
Din condiţia AAt deducem
2221
1211
2212
2111
aa
aa
aa
aa 2112 aa .
Deci
11
2212
12112 |
1 aa
aaAAW .
Putem scrie
222212111122121101
10
10
00
01
10
00
01EaaEaaaaA
;
rezultă
01
10,, 22111 EE
este sistem de generatori pentru 1
W .
Observăm că 1 este şi liniar independent deoarece dacă
22222121111 O01
10
EaaEa
rezultă
00
00
2212
1211
aa
aa,
adică
0221211 aaa .
Deci
01
10,, 22111 EE este o bază a lui
1W şi 3
1g .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 este
AATAW 22 |2
,
adică
AAAW t |22.
Din condiţia AAt deducem
2221
1211
2212
2111
aa
aa
aa
aa
0
0
22
2112
11
a
aa
a
.
Deci
0
0|
12
1222 a
aAAW .
12
Putem scrie
01
1012aA .
Similar, obţinem
01
102 este o bază a lui
2W şi 1
2g .
c) Deoarece
11 ga
22 ga
ecuaţia 0P are rădăcini reale
rezultă că T este diagonalizabil.
Baza spaţiului vectorial 2 în raport cu care matricea asociată lui T are forma
diagonală canonică este
4321221121 ,,,01
10,
01
10,, FFFFEE
iar
1000
0100
0010
0001
~T .
Vom avea:
2221121121124
2221121121123
22211211222
22211211111
0110
0110
1000
0001
EEEEEEF
EEEEEEF
EEEEEF
EEEEEF
;
Deci
0010
1100
1100
0001
,BBM .
Rezultă
13
TMTM BBBB~
1000
0100
0010
0001
~,,
1 .
1
Cursul 8. Spaţii euclidiene
Bibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
4. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
5. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
6. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi
Pedagogică R.A., Bucureşti, 1993.
7. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
Scopuri:
1) Definirea noţiunii de produs scalar
2) Introducerea conceptului de bază ortonormată
3) Prezentarea procedeului de ortogonalizare Gram- Schmidt
Studiul spaţiilor vectoriale euclidiene este necesar în vederea obţinerii unei baze
ortonormate, întrucât în raport cu astfel de baze, calculele devin mult simplificate. Într-
un spaţiu vectorial euclidian, produsul scalar poate fi folosit la definirea lungimii
vectorilor şi a unghiului dintre aceştia.
Fie un spaţiu vectorial real.
Definiţia 1. Aplicaţia :, se numeşte produs scalar (sau structură
euclidiană) pe dacă sunt îndeplinite condiţiile:
a) xyyx ,, , yx,
b) zyzxzyx ,,, , zyx ,,
c) yxyx ,, , yx, ,
d) 0, xx , x şi 0, xx 0x .
2
Scalarul yx, se numeşte produsul scalar al vectorilor yx, .
Definiţia 2. Un spaţiu vectorial real pe care s-a definit un produs scalar se numeşte
spaţiu vectorial euclidian real şi se va nota ,, .
Propoziţia 1. Un produs scalar pe are următoarele proprietăţi:
i) 00,,0 xx , x
ii) zxyxzyx ,,, , zyx ,,
iii) yxyx ,, , yx, ,
iv)
n
i
m
jji
jim
jj
jn
ii
i yxyx1 111
,, ,
mjniyx ji ,1,,1,, , mjniji ,1,,1,,
Exemple de spaţii vectoriale euclidiene
1) ,,n spaţiul vectorial euclidian real canonic.
Aplicaţia nn:, definită prin
n
i
ii yxyx1
, , nyx , ,
nxxxx ,,, 21 , nyyyy ,,, 21 este un produs scalar pe n .
2) ,,,nn spaţiul euclidian real al matricilor pătratice, cu produsul scalar
BABA tTr, , nnBA ,, ,
unde am notat prin CTr urma matricei pătratice nnC , , adică
nncccC 2211Tr .
3) ,,V3 , unde aplicaţia 33 VV:, definită prin
00,0
0,0,,cos,
ysaux
yxyxyxyx
este un produs scalar pe 3V .
Acest produs scalar concret a constituit modelul pornind de la care, prin abstractizare
s-a ajuns la noţiunea de produs scalar.
Definiţia 3. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Se numeşte normă pe
o aplicaţie : care satisface proprietăţile:
i) 0x , x şi 0x 0x (pozitivitate)
3
ii) xx , x , (omogenitate)
iii) yxyx , yx, (inegalitatea lui Minkowski sau
inegalitatea triunghiului)
Teorema 1. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Funcţia : ,
definită prin
xxx , , x
este o normă pe .
Norma definită în teorema 1 se numeşte norma euclidiană.
Observaţie. Dacă 3Vx , atunci norma (lungimea) sa, în sensul teoremei 1 coincide
cu lungimea sa în sensul geometric (vezi cursul 2).
Propoziţia 2. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real.
a) Oricare ar fi yx, are loc inegalitatea Cauchy- Schwartz- Buniakowski
yxyx ,
b) Oricare ar fi yx, are loc identitatea paralelogramului
22222 yxyxyx .
Definiţia 4. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Se numeşte unghi al
vectorilor nenuli yx, unicul număr ,0 pentru care
yx
yx
,cos (4).
Definiţia 5. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real. Spunem că vectorii
yx, sunt ortogonali şi notăm x y dacă 0, yx .
Observaţie. Vectorul nul este ortogonal pe orice vector x .
Exemplul 1. În spaţiul vectorial 2 se consideră 21, ee , 21 e , 42 e ,
3
, 21
ee . Se dau vectorii 21 32 eea , 21 eeb .
Se cere să se calculeze ba, .
Avem:
4
4,2
111 eee , 16,2
222 eee .
Din relaţia (4) deducem
cos, yxyx . (5)
Pe baza relaţiei (5) obţinem
42
142,cos, 212121 eeeeee .
Rezultă
121684,,2,,,
3648208,3,5,2,32,
1121694816,9,12,432,32,
2221112121
2221112121
2221112121
eeeeeeeeeebb
eeeeeeeeeeba
eeeeeeeeeeaa
Avem
74112, aaa şi 32, bbb .
Deci
3274
36,,cos
ba
baba .
Propoziţia 3. Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real şi paaa ,,, 21 ,
vectori nenuli şi ortogonali doi câte doi. Atunci vectorii paaa ,,, 21 sunt liniar
independenţi.
Definiţia 6. Dacă x este un vector nenul al spaţiului vectorial euclidian real ,,
atunci vectorul
xx
x10
se numeşte versorul lui x .
Observaţie. Lungimea vectorului 0
x este egală cu 1.
Definiţia 7. Dimensiunea spaţiului vectorial euclidian real ,, constituie
dimensiunea spaţiului vectorial asociat .
Definiţia 8. . Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real şi S .
a) Sistemul S este ortogonal dacă vectorii săi sunt nenuli şi ortogonali doi câte doi.
5
b) Sistemul S este ortonormat (sau ortonormal) dacă este ortogonal şi fiecare dintre
vectorii săi are lungimea 1.
c) Dacă ndim atunci baza nee ,,1 a lui se numeşte
ortonormată dacă
ijji ee , , nji ,1, ,
unde
ji
jiij
,0
,1, nji ,1,
se numeşte simbolul lui Kronecher.
Baza canonică a lui n este o bază ortonormată pentru spaţiul vectorial euclidian real
canonic ,,n .
Fie ,, un spaţiu vectorial euclidian real de dimensiune finită n şi
nee ,,1 o bază a lui .
Fie yx, ; rezultă
i
n
i
i exx 1
, j
n
j
j eyy 1
.
Avem:
n
i
n
jji
jij
n
j
ji
n
i
i eeyxeyexyx1 111
,,, (1).
Notăm
ijji gee , , njni ,1,,1 ;
observăm că jiij gg , njni ,1,,1 , adică
nnnn
n
n
ggg
ggg
ggg
G
21
22212
11211
;
matricea G semnifică matricea produsului scalar , în raport cu baza .
Observaţie. Matricea G este simetrică ( GGt ) şi pozitiv definită ( 0xGxt
,
nnxxxx ,,, 21 ).
Din (1) obţinem
6
n
i
n
jij
ji gyxyx1 1
, (2)
relaţie ce constituie expresia analitică a produsului scalar , în raport cu baza .
Egalitatea (2) este echivalentă cu egalitatea
yGxyxt
, (3),
numită reprezentarea matriceală a produsului scalar , în raport cu baza .
Exemplul 2. Se consideră aplicaţia 33:, care în raport cu baza canonică
321 ,, eee a lui 3 are expresia analitică
33213213232222121 ,,,,,,22, yyyyxxxxyyxxyxyyxxyx
a) Arătaţi că ,,3 este un spaţiu vectorial euclidian real.
b) Să se arate că vectorii
321 2eeea , 321 9eeeb
sunt ortogonali.
c) Să se calculeze x , unde 321 2eeex .
d) Să se calculeze unghiul dintre vectorii 321 2eeex şi 32 2eey .
e) Să se scrie matricea produsului scalar , în raport cu baza canonică a lui 3 .
Rezolvare
a) ,,3 este un spaţiu vectorial euclidian real dacă aplicaţia , este un produs
scalar. Vom verifica că sunt îndeplinite condiţiile din definiţia 1 a produsului scalar.
Observăm că avem
33213213232222121
3232222121
,,,,,,,22
22,
yyyyxxxxxyxxyyxyxxyy
yyxxyxyyxxyx
3321321321
32323232222221212121
3233222222212211
,,,,,,,,,,,
2222
222,
zzzzyyyyxxxxyzyx
yyzzyyxxyzyxyyzzyyxx
yyzxzxyzyxyyzxzxyzx
,,,,,,
,,22
22
22,
3321321
3232222121
3232222121
3232222121
yyyyxxxx
yxyyxxyxyyxx
yyxxyxyyxx
yyxxyxyyxxyx
3321
232
22
221 ,,,02, xxxxxxxxxxx
7
0
0
0
02
0, 321
32
2
21
xxx
xx
x
xx
xx ,
adică aplicaţia , este un produs scalar.
b) Deoarece
2,1,12 321 aeeea ,
9,1,19 321 beeeb
vom obţine 0, ba ; deci a şi b sunt ortogonali.
c) Avem xxx , .
Deoarece
2,1,11,0,020,1,00,0,12 321 eeex
rezultă 11, xx , adică 11x .
d) Întrucât
yx
yxyx
,,cos
şi
4, yx
iar
14, yyy ;
obţinem
1411
4,cos
yx .
e) Avem
332313
232212
131211
ggg
ggg
ggg
G , jijieeg jiij ,3,1,,, ;
Deci
110
162
021
G .
8
Dacă nee ,,1 este o bază ortonormată a lui , atunci matricea produsului
scalar în raport cu această bază este matricea unitate nI .
În acest caz, din (2) obţinem
n
i
ii yxyx1
, ( 2 )
iar din (3) obţinem
yxyxt
, . (3 )
Egalităţile ( 2 ) şi (3 ) justifică importanţa considerării bazelor ortonormate ce constă
în faptul că în raport cu astfel de baze, calculele sunt mult simplificate.
Definiţia 9. Matricea nA este ortogonală dacă ntt AAAA I , nI fiind
matricea unitate de ordinul n .
Teorema 2 (de schimbare a bazelor ortonormate). ,, este un spaţiu vectorial
euclidian real dimensiune finită n şi nee ,,11 , nuu ,,12 două baze
ortonormate ale lui . Atunci matricea de trecere de la 1 la 2 este ortogonală.
Exemplul 3. În spaţiul vectorial euclidian real se consideră bazele
3211 ,, eee , 3212 ,, uuu .
Dacă 3
32
21
1 exexexx , 3
32
21
1 uyuyuyx este un vector
arbitrar din , 1 este bază ortonormată şi
3213
3212
3211
7
2
7
6
7
2
7
6
7
6
7
3
7
2
yyyx
yyyx
yyyx
să se determine astfel încât 2 să fie o bază ortonormată.
Pentru ca 2 să fie o bază ortonormată, conform teoremei 2 trebuie ca matricea
2,1 de trecere de la 1 la 2 , adică
7
2
7
67
2
7
67
6
7
3
7
2
2,1
9
să fie ortogonală.
Din condiţia
32,12,1I
t
rezultă 7
3 .
Teorema 3 (ortogonalizare Gram- Schmidt). Dacă ,, este un spaţiu vectorial
euclidian real dimensiune finită n şi naa ,,1 o bază a lui atunci există o bază
nee ,,1 a lui ortonormată;
Mai întâi construim o mulţime ortogonală nbb ,,11 şi apoi îi normăm
elementele.
Mulţimea ortogonală nbb ,,1 se construieşte din naa ,,1 astfel:
,11
11
11
11
322
31133
21122
11
nnn
nnn
iii
iii
abbb
abbb
abbb
abb
ab
(4)
unde scalarii
j
i , ni ,2 , 1,1 ij se determină din condiţia ca
ib jb , nji ,1, , ji .
Din condiţia 2b 1b rezultă
1211
12121
12
)4(
12 ,,,,0 babbbabbb . (5)
Din relaţia (5) deducem
11
1212
,
,
bb
ba
şi mai departe, ţinând seama de expresia lui 1b din (4) obţinem
10
2
1
21
11
1212
,
,
,
a
aa
aa
aa ;
deci vectorul 2b are expresia
12
1
2122
,b
a
aaab .
Vectorul 2b este nenul. Dacă am presupune prin reducere la absurd că 02 b am
obţine că
02112
aa ceea ce este o contradicţie cu faptul că vectorii 21, aa sunt liniar
independenţi.
Scalarul 23 se determină din condiţia 3b 2b , care implică
2322
2321
13232
231
13
)4(
23 ,,,,,0 babbbbbabbbb (6)
iar scalarul 13
rezultă din condiţia 3b 1b , adică din
1312
2311
13132
231
13
)4(
13 ,,,,,0 babbbbbabbbb . (7)
Deoarece
0,, 1221 bbbb ,
relaţiile (6) şi (7) devin
23
22
2323 ,,0 babbb (8)
13
21
1313 ,,0 babbb . (9)
Din (8) obţinem:
2
2
2323
,
b
ba ,
iar din (9) deducem
2
1
1313
,
b
ba .
Expresia vectorului 3b va fi
11
22
2
231
21
1333
,,b
b
bab
b
baab ;
sau, dacă ţinem seama de exspresia lui 2b
12
1
21
22
23
21
132
22
233
12
1
212
22
231
21
1333
,,,,
,,,
a
a
aa
b
ba
b
baa
b
baa
b
a
aaa
b
bab
b
baab
Vectorul 3b este nenul deoarece vectorii 321 ,, aaa sunt liniar independenţi.
Presupunem că am construit vectorii 11 ,, ibb de forma (4) nenuli şi ortogonali doi
câte doi şi arătăm că putem determina vectorul nenul
iii
iii abbb
11
11
astfel încât ib jb , 1,1 ij .
Vom avea
jiji
iijj
jiji
jiii
iiji
babbbbbb
babbbb
,,,,
,,0
11
11
11
11
)7(
adică
0,
2 jij
ji bab . (10)
Din (10) obţinem
2
,
j
jiji
b
ba , 1,1 ij .
Deci, vectorul ib este determinat.
Ţinând cont de modul cum au fost construiţi vectorii ibb ,,1 (conform egalităţilor
din (4)) rezultă că
1
11
1
i
iiiii aaab . (11)
Din (11) deducem că 0ib , pentru că altfel ar rezulta că vectorii iaa ,,1 sunt
liniar dependenţi.
12
Procesul se continuă până când obţinem vectorii nenuli nbb ,,1 , care sunt
ortogonali doi câte doi.
Procedeul de ortogonalizare Gram- Schmidt poate fi sintetizat astfel:
.,,
,,
,,
,
12
1
11
21
1
12
1
11
21
1
22
2
231
21
1333
12
1
2122
11
n
n
nnnnn
i
i
iiiii
b
b
bab
b
baab
b
b
bab
b
baab
b
b
bab
b
baab
b
a
aaab
ab
Dacă notăm
ii
i bb
e1
, ni ,1
obţinem baza ortonormată nee ,,1 a lui .
Exemplul 4. În spaţiul X2R definim
1
1
d, ttQtPQP .
Să se ortonormeze în raport cu acest produs scalar baza canonică a spaţiului X2R ,
adică 2,,1 XX .
Rezolvare
Etapa I. Construim baza 321 ,, fff ortogonală, cu
.
1
22112
3
12
1
ffXf
fXf
f
13
Din condiţia de ortogonalitate a lui 1f şi 2f deducem
.,
,0,,0,0,
11
11111121
ff
XfffXffXfff
Deoarece
02
d1,1,
1
1
21
11
tttXXf
rezultă că 0 şi Xf 2 .
Din condiţia de ortogonalitate a lui 1f şi 3f deducem
.,
,0,,,
0,0,
11
21
1
0
2121112
1
22112
131
ff
XfffffXf
ffXfff
Vom obţine
3
2
3d1,1,
1
1
31
1
2221
tttXXf
şi
2d111,1,1
1
1
111
ttff ;
deci
.3
1
,
,
11
21
1
ff
Xf
Din condiţia de ortogonalitate a lui 2f şi 3f deducem
.,
,0,,,
0,0,
22
22
2222
0
1212
2
22112
232
ff
XfffffXf
ffXfff
Deoarece
04
d,,
1
1
41
1
2222
ttttXXXf
rezultă că .02 Deci,
14
3
123 Xf .
Etapa II. Construim baza 321 ,, ggg ortonormată,
3,1, if
fg
i
ii .
Întrucât
2, 111 fff
rezultă
2
1
1
11
f
fg .
Calculăm
3
2
3d,,
1
1
31
122
ttttXXff ;
vom avea
Xf
fg
2
3
2
22 .
Obţinem că
45
8
9
2
9
4
5
2
9
1
33
2
5
d19
1d
3
2dd
3
1
3
1
3
1,
3
1,
1
1
1
1
31
1
5
1
1
1
1
21
1
41
1
222233
ttt
ttttttttXXff
şi
3
1
22
53 2
3
33 X
f
fg .
Exemplul 5. Considerăm spaţiul vectorial real al matricelor simetrice, de ordinul n , cu
elemente reale, AAA ts |22 şi aplicaţia ss
22:, ,
definită prin BABA t Tr, .
Se cere să se ortonormeze sistemul de matrice:
15
10
01,
21
10,
01
11321 AAA .
Rezolvare
Considerăm sistemul ortogonal 321 ,, BBB , 0Tr jti BB , ji , astfel:
221133
122
11
BBAB
BAB
AB
Din condiţia 0, 12 BB avem
1112112 ,,,0 BBBABBA ,
adică
1112 TrTr0 BBBA ;
deci
3
2
Tr
Tr
11
12
BB
BA.
Obţinem
231
3132
01
11
3
2
21
102B .
Condiţia 0, 13 BB implică
1111311113
12211113122113
TrTr,,
,,,,0
BBBABBBA
BBBBBABBBA
de unde
3
1
Tr
Tr
11
131
BB
BA .
Condiţia 0, 23 BB implică
2222322223
22221123222113
TrTr,,
,,,,0
BBBABBBA
BBBBBABBBA
de unde
7
4
Tr
Tr
22
232
BB
BA.
16
Vom obţine
21337
4
3
1BBAB .
Am obţinut 321 ,, BBB sistem ortogonal.
Sistemul 321 ,, CCC este ortonotormat,
i
ii
B
BC , 3,1i .
1
Cursul 9. Operatori liniari in spaţii euclidiene
Bibliografie:
1. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
2. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
3. Matei P., Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.
4. V. Postelnicu, S. Coatu, Mică enciclopedie matematică, ed. Tehnică, Bucureşti, 1980.
5. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
Scopuri:
1) Introducerea noţiunii de transformare ortogonală in plan
2) Studierea transformărilor ortogonale din plan (rotaţii, simetrii sau compuneri de
rotaţii cu simetrii).
In investigarea spaţiilor vectoriale euclidiene sunt deosebit de utile transformările liniare
compatibile cu produsul scalar, adică transformările ortogonale.
Definiţia 1. Fie ,, un spaţiu euclidian real, de dimensiune finită n . Endomorfismul
EndT se numeşte operator ortogonal sau transformare ortogonală dacă T
transformă bazele ortonormate în baze ortonormate, adică dacă neee ,,, 21 este o bază
ortonormată a lui atunci neTeTeT ,,, 21 este o bază ortonormată a lui .
Teorema 1. Pentru un operator EndT următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1. T este ortogonal,
2. T este bijectiv iar 1T este ortogonal,
3. T păstrează produsul scalar, adică yxyTxT ,, , yx, ,
4. T păstrează lungimea vectorilor, adică xxT , x ,
5. matricea operatorului T în raport cu o bază ortonormată a lui este ortogonală.
Corolar 1. Dacă EndT este ortogonal atunci T păstrează unghiurile vectorilor,
adică
2
yTxTyTxT
yTxT
yx
yxyx ,cos
,,,cos
.
Propoziţia 1. Fie End, ST doi operatori ortogonali şi . Atunci:
1. ST este operator ortogonal,
2. T este ortogonal 1 .
Notăm prin ortogonal|End TT .
Propoziţia 2. Dacă T iar A este matricea asociată lui T în raport cu baza
ortonormată a lui atunci 1det A .
Definiţia 3. Se numeşte operator ortogonal de speţa întâi sau operator de rotaţie,
un operator ortogonal pentru care determinantul matricei asociată acestuia într-o bază
ortonormată a lui este 1.
Definiţia 4. Se numeşte operator ortogonal de speţa a doua, un operator ortogonal
pentru care determinantul matricei asociată acestuia într-o bază ortonormată a lui este 1 .
Notăm prin mulţimea operatorilor ortogonali de speţa întâi,
mulţimea operatorilor ortogonali de speţa a doua.
Propoziţia 3. Rădăcinile ecuaţiei caractristice ale unui operator ortogonal au modulul
egal cu 1. În particular, valorile proprii ale unui operator ortogonal sunt egale cu 1 .
Propoziţia 4. Pentru un operator ortogonal, vectorii proprii corespunzători la valori
proprii distincte sunt ortogonali.
Teorema 2. Matricele ortogonale din 2M sunt de forma:
cossin
sincos,
cossin
sincos,
cossin
sincos,
cossin
sincos,
cossin
sincos,
cossin
sincos,
cossin
sincos, 2,0 .
Definiţia 5. O matrice ortogonală cu 1det A se numeşte matrice de rotaţie în n .
Teorema 3. Transformările ortogonale în plan sunt: rotaţii, simetrii sau compuneri de
rotaţii cu simetrii.
Propoziţia 5. Rotaţia vectorilor planului în jurul originii, în sens trigonometric, cu
unghiul , 22: r este o transformare ortogonală.
3
Demonstraţie
Dacă este centrul de rotaţie atunci fiecărui punct M i se asociază punctul M astfel
încât:
rictrigonometsensinparcursrotatiedeunghiulMMO
aMOOM
Alegem în plan un reper ortonormat cu originea în centrul de rotaţie.
2x 21 , yyM
21 , xxM
1x
x
xT
Fig. 1. Rotaţie de unghi
Avem:
sin
cos
2
1
ax
ax
.cossin
sincos
sincoscossinsin
sinsincoscoscos
212
211
2
1
xxy
xxy
aaay
aaay
Coordonatele 1x , 2x ale unui vector x din planul 2 se transformă la rotirea
acestuia cu unghiul în sens direct trigonometric respectiv în
sincos 21 xx
şi
cossin 21 xx .
Obţinem:
cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxr ,
xAxrxrxT , ,
cossin
sincosA .
Observăm că r este o transformare ortogonală pentru că
2I AAt .
4
Propoziţia 5. Rotaţia de unghi 0 coincide cu aplicaţia identică.
Demonstraţie
Dacă
10
01A
rezultă
,22
11
xy
xy
adică 21
T .
Propoziţia 6. Rotaţia în jurul originii de unghi coincide cu simetria faţă de origine.
Demonstraţie
Dacă
10
01A
rezultă
,22
11
xy
xy
adică
21 , xxxsxT .
2x
21 , xxM
21 , xxM
1x
x
xT
Fig. 2. Rotaţia în jurul originii de unghi
Propoziţia 7. Simetria faţă de axa x este o transformare ortogonală.
Demonstraţie
5
Fie 21 , xxM simetricul punctului 21 , xxM faţă de dreapta d .
2x
21 , xxM
21 , xxM
1x
x
xT
d
Fig. 3. Simetrie faţă de axa x
Dacă
10
01A
rezultă
,22
11
xy
xy
adică
21 , xxxsxT d .
Propoziţia 8. Simetria faţă de axa y este o transformare ortogonală.
Demonstraţie
Fie 21 , xxM simetricul punctului 21 , xxM faţă de dreapta d .
2x 21 , xxM 21 , xxM
1x
x xT
d
Fig. 4. Simetria faţă de axa y
Dacă
6
10
01A
atunci
,22
11
xy
xy
deci
21 , xxxsd .
Propoziţia 9. Compunerea rotaţiei r cu simetria ds este o transformare ortogonală.
Demonstraţie
Vom avea
cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxsrxsrxT dd
Deci
cossin
sincosA .
Propoziţia 10. Compunerea rotaţiei r cu simetria ds este o transformare ortogonală.
Demonstraţie
Vom avea
cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxsrxsrxT dd
Deci
cossin
sincosA .
Observaţie. Avem
10
01
cossin
sincos
cossin
sincos
A .
Propoziţia 11. Compunerea rotaţiei r cu simetria s este o transformare ortogonală.
Demonstraţie
Vom obţine
7
cossin,sincos, 212121 xxxxxxrxsrxsrxT
Deci
cossin
sincosA .
Exemplul 1. Axele de coordonate x şi y se rotesc cu unghiul 3
şi noul sistem
se consideră invers orientat sistemului iniţial. Ştiind că un punct A are coordonatele
32,3 faţă de noul sistem, să se găsească coordonatele faţă de cel vechi.
Avem o rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu y .
x
y
x
y 3
A
Fig. 5. Rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu y
Deducem
cossin,sincos,, yxyxyxrxsrxsryxxT dd .
Transformarea T are ecuaţiile:
.cossin
sincos
yxy
yxx
Deoarece 3x , 32y , rezolvând sistemul anterior rezultă
.32
3
2
33
y
x
Avem o rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu x .
8
x
y
x
y
3
A
Fig. 6. Rotaţie, urmată de o simetrie în raport cu x
Obţinem
cossin,sincos,, yxyxyxrxsrxsryxxT dd .
Transformarea T are ecuaţiile:
.cossin
sincos
yxy
yxx
Deoarece 3x , 32y , rezolvând sistemul anterior rezultă
.2
33
32
3
y
x
Propoziţia 12. Rotaţia unui sistem de coordonate rectangulare in jurul originii, în sens
trigonometric, cu unghiul , 22: R este o transformare ortogonală.
Demonstraţie
Prin rotirea sistemului de coordonate xOy rectangulare in jurul originii, în sens
trigonometric, cu unghiul se va obtine sistemul yOx . Un punct M care are coordonatele
yx, in vechiul sistem va avea in noul sistem yx , .
Alegem în plan un reper ortonormat cu originea în centrul de rotaţie.
9
y
M
x
x y
C
D
B
A 1C
2C
Fig. 7. Rotirea unui sistem de coordonate cu un unghi
Se observa ca cos1 xOC , sin1 yAC , sin2 xOC , cos2 yBC , iar
sincos11 yxACOCOA si cossin22 yxBCOCOB
Rezulta ca ecuatiile de transformare a sistemului de coordonate xOy prin rotirea in
jurul originii, în sens trigonometric, cu unghiul vor fi:
cossin
sincos
cossin
sincos
yxy
yxx
yxy
yxx
Obţinem:
cossin,sincos, yxyxyxRxR ,
xAxRxRxT , ,
cossin
sincosA .
Observăm că r este o transformare ortogonală pentru că 2I AAt .
Exemplul 2. Se dă punctul 1,1M în planul raportat la axele rectangulare yx O,O . Să se
determine unghiul cu care trebuie rotite axele astfel încât punctul M să aparţină axei
xO . Să se afle noile coordonate ale lui M în aceste condiţii.
Rezolvare
Deoarece
,cossin
sincos
yxy
yxx
unde:
x , y sunt coordonatele punctului M în planul raportat la axele rectangulare yx O,O ,
x , y sunt coordonatele punctului M în planul raportat la axele rectangulare yx O,O ,
10
este unghiul cu care trebuie rotite axele.
Înmulţind prima ecuaţie cu cos şi a doua cu sin şi adunând ecuaţiile astfel
obţinute, deducem:
xyx sincos ,
în timp ce înmulţind prima ecuaţie cu sin şi a doua cu cos şi adunând ecuaţiile astfel
obţinute, deducem:
yyx cossin .
Punând condiţia ca punctul M să aparţină axei xO (adică 0y ) avem
221sin
1cos
sin
cos 2
xx
x
x
yx
xx
.
În cazul când 2x rezultă
4
2
2
2
1sin
2
2
2
1cos
.
În cazul când 2x rezultă
4
5
4
2
2
2
1sin
2
2
2
1cos
.
Deci, noile coordonate ale lui M în cazul în care
axele se rotesc cu unghiul 4
sunt 0,2M ,
axele se rotesc cu unghiul 4
5 sunt 0,2M .
1
Cursul 10. Forme pătratice
Bibliografie:
1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi
diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.
2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.
3. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.
Conspress, Bucureşti, 2009.
4. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
5. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.
6. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,
Craiova, 1993.
Scopuri:
1) Introducerea noţiunii de formă pătratică
2) Utilizarea metodei Gauss- Lagrange pentru reducerea formelor pătratice la
expresia canonică
3) Reducerea formelor pătratice la expresia canonică utilizând metoda Jacobi
4) Metoda valorilor proprii privind reducerea formelor pătratice la expresia canonică
5) Criterii de caracterizare a matricelor pozitiv (negativ) definite
Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K .
Definiţia 1. O aplicaţie KVVb : se numeşte formă biliniară pe V dacă
îndeplineşte condiţiile:
1. zybzxbzyxb ,,, , K, , Vzyx ,, ,
2. zxbyxbzyxb ,,, , K, , Vzyx ,, .
Spunem că forma biliniară KVVb : este simetrică (antisimetrică) dacă
xybyxb ,, ( respectiv, xybyxb ,, ).
Consecinţe. Dacă KVVb : este o formă biliniară atunci
2
1) 00,,0 xbxb , Vx
2) a)
n
ii
in
ii
i yxbyxb11
,, , Kn ,,, 21 , Vyxxx n ,,, 21
b)
n
ii
in
ii
i yxbyxb11
,, , Kn ,,, 21 , Vyyyx n ,,,, 21 .
Definiţia 2. Dacă KVVb : este o formă biliniară simetrică, aplicaţia
KVf : , definită prin xxbxf , , oricare ar fi Vx se numeşte forma pătratică
asociată lui b .
Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice f permite obţinerea formei bilniare simetrice
asociată lui f astfel:
yfxfyxfyxb 2
1, , Vyx , .
Forma biliniară simetrică b asociată formei pătratice f se numeşte forma polară a
formei pătratice f .
Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real (care este o formă biliniară
simetrică) este pătratul normei euclidiene:
2, xxxxf , Vx .
Fie V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n , 1n şi fie
naaa ,,, 21 o bază a sa.
Dacă KVVb : este o formă biliniară atunci Vyx , , deci
n
ii
i axx1
,
n
jj
j ayy1
rezultă
n
i
n
j
jiij yxayxb
1 1
, , (1)
unde
jiij aaba , , nji ,1, .
Expresia (1) constituie expresia analitică a formei biliniare b în raport cu baza , iar
KA nM , njiijaA
,1 reprezintă matricea asociată formei biliniare b în raport cu
baza .
3
Din (1) se obţine expresia analitică a formei pătratice KVf : în raport cu baza
a lui V
n
i
n
j
jiij xxaxf
1 1
,
n
ii
i axx1
. (2)
Definiţia 3. Numim matrice asociată unei forme pătratice KVf : în raport cu o
bază a lui V , matricea aplicaţiei biliniare KVVb : din care provine f în raport cu
baza considerată.
Exemplul 1. .Fie
44:b , 44143332221211 422, yxyxyxyxyxyxyxyxb .
a) Să se arate că b este funcţională biliniară.
b) Să se determine matricea asociată lui b în raport cu baza
1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1 4321 ffff
şi în raport cu baza canonică şi să se evidenţieze legătura dintre ele.
c) Să se determine expresia formei pătratice f asociate lui b .
Rezolvare
a) Conform definiţiei 1, b este funcţională biliniară dacă
zybzxbzyxb ,,, , , , 4,, zyx ,
zxbyxbzyxb ,,, , , , 4,, zyx .
Vom verifica prima dintre condiţii, pentru cealaltă procedându-se similar.
Avem
.,,4
422
4422
22
422,
44143332221211
44143332221211
44441414333332322222
12121111444144333
322222122111
zybzxbzyzyzyzyzyzyzy
zxzxzxzxzxzxzx
zyzxzyzxzyzxzyzxzyzx
zyzxzyzxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxb
b) Pentru a determina matricea asociată lui b în raport cu baza vom calcula
4
.1,
1,
0,
2,
2,
1,
2,
501110001411211210,
210100101401211210,
210000101411201200,
200000001411201200,
400100101411211210,
310100001401211211,
210000001411201201,
200000001411201201,
500100001411211211,
44
34
24
14
43
33
23
13
42
32
22
12
41
31
21
11
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
ffb
Obţinem
1102
2125
2224
3225
A .
Matricea asociată lui b în raport cu baza canonică este
1001
0100
0422
0001
A .
Observăm că
1100
0000
0111
1001
M , .
Avem
yAxyxbt
,
5
şi
,, MM AA t .
c) Expresia formei pătratice f asociata lui b este
2414
2332
2212
21 422 xxxxxxxxxxxf .
Definiţia 4. Rangul unei forme pătratice f reprezintă rangul matricei sale în raport cu
o bază oarecare a lui V şi se notează cu frang .
Observaţie. Datorită simetriei matricei unei forme pătratice, în raport cu baza a lui
V , relaţia (2) se scrie
n
jiji
jiij
n
i
iii xxaxaxf
1,1
22 (3).
Definiţia 5. Dacă matricea asociată formei pătratice KVf : în raport cu baza
neee ,,, 21 a lui V este diagonală, adică
nA ,,diag 1
spunem că:
baza este bază canonică pentru f
expresia analitică a lui f în raport cu baza , adică
n
i
ii xxf
1
2,
n
ii
i exx1
este o expresie canonică pentru f .
Vom prezenta trei metode de obţinere a unei expresii canonice pentru o forma pătratică.
Teorema 1 (Gauss- Lagrange). Fie V un spaţiu vectorial peste K , de dimensiune
finită n şi KVf : o formă pătratică. Atunci există o bază neee ,,, 21 a lui V
în raport cu care f are o expresie canonică.
Vom prezenta algoritmul pentru obţinerea unei expresii canonice pentru o formă
pătratică, bazat pe teorema Gauss-Lagrange.
Fie neee ,,, 21 o bază a lui V în raport cu care f are expresia analitică
n
i
n
j
jiij xxaxf
1 1
,
n
ii
i exx1
.
Dacă f este forma pătratică nulă, atunci f are expresia canonică în orice bază a lui
V .
6
Deci, putem presupune că f este nenulă.
Putem presupune şi că ni ,1 astfel încât 0iia . În caz contrar, dacă 0rpa ,
pentru pr atunci facem schimbarea de coordonate
prnitx
ttx
ttx
ii
prp
prr
,\,,1,
şi vom obţine o expresie analitică în care coeficienţii lui 2rt şi 2pt sunt nenuli.
Presupunem că 011 a .
Grupând termenii care conţin variabila 1x , din (3) obţinem
n
ji
jiij
n
k
kk xxaxxaxaxf
1,2
11
2111 2 . (4)
În (4) adăugăm şi scădem termenii necesari pentru a scrie pe f sub forma
n
ji
jiij
nn xxaxaxaxa
axf
2,
21
212
111
11
1 ,
unde
n
ji
jiij xxa
2,
nu conţine pe 1x .
Efectuăm schimbarea de coordonate
nn
nn
xz
xz
xaxaxaz
22
12
121
111
deci
nn
nn
zx
zx
za
az
a
az
ax
22
11
12
11
121
11
1 1
Trecerea la noile coordonate nzzz ,,, 21 se realizează prin intermediul relaţiei
11,M xx ,
cu matricea de trecere
7
1000
010
1
M11
1
11
12
11
1,
a
a
a
a
a
n
.
Noile coordonate corespund noii baze
nfff ,,, 211 ,
unde
nn
n eea
af
eea
af
ea
f
111
1
2111
122
111
1
1
În raport cu baza 1 , forma Q are expresia analitică
n
ji
jiij zzaz
aQ
2,
21
11
1. (5)
Suma
n
ji
jiij zzaQ
2,1 din membrul drept al relaţiei (5) este o formă pătratică în
1n variabile, deci poate fi tratată prin procedeul descris anterior, precum forma Q .
În concluzie, după cel mult 1n paşi obţinem o bază neee ,,, 21 a lui V ,
relativ la care forma pătratică Q se reduce la expresia canonică.
Exemplul 2. Se consideră forma pătratică
4:Q , 24412332222121 422 xxxxxxxxxxxQ
Folosind metoda Gauss- Lagrange să se aducă Q la expresia canonică şi să se
evidenţieze matricea de trecere de la baza iniţială la baza în care Q are expresia canonică.
Matricea asociată lui Q în raport cu baza baza canonică a spaţiului 4
1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321 eeee
este
8
10021
0120
0221
21011
A .
Observăm că 011 a .
Putem scrie pe Q sub forma
2342243222
24
21
4
54
2xxxxxxx
xxxxQ
Efectuând schimbarea de coordonate
44
33
22
4211
2
xy
xy
xy
xxxy
rezultă
44
33
22
4211
2
yx
yx
yx
yyyx
Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia
11,M xx
va fi
1000
0100
0010
21011
M1, ,
noua bază fiind
414332121112
1,,, eefefeefef .
Expresia formei pătratice Q în raport cu baza 1 este
234224322221
4
54 yyyyyyyyQ .
9
Matricea asociată lui Q în raport cu baza 1 este
este
450210
0120
21210
0001
A .
Observăm că 022 a .
Putem scrie
4324232
43221 22
33
2
12 yyyyyyyyQ
.
Efectuăm schimbarea de coordonate
44
33
4322
11
2
12
yz
yz
yyyz
yz
;
deci
44
33
4322
11
2
12
zy
zy
zzzy
zy
Trecerea la noile coordonate 4321 ,,, zzzz se realizează prin intermediul relaţiei
22,11 M xx ,
cu matricea de trecere
1000
0100
21210
0001
M2,1
.
Noile coordonate corespund noii baze
424323221122
1,2,, ffgffgfgfg .
10
Relativ la 2 , forma Q are expresia analitică
4324232221 22
33 zzzzzzQ .
Matricea asociată lui Q în raport cu baza 2 este
este
23100
1300
0010
0001
A .
Observăm că 033 a .
Vom forma pătrat perfect în Q pentru termenii care conţin 3z ; astfel
242432221
6
73
3
1zzzzzQ
Vom efectua schimbarea de coordonate
44
433
22
11
3
zt
zzt
zt
zt
;
vom avea
1000
13100
0010
0001
M3,2
.
Expresia formei pătratice Q în raport cu baza
4343322113 ,3
1,, gghghghgh
este
24232221
6
7
3
1ttttQ ,
deci am obţinut expresia canonică a lui Q .
Vom obţine
33,22,11,22,11,11, MMMMMM xxxx .
11
Rezultă că matricea de trecere de la baza iniţială a spaţiului 4 la baza 3 relativ la
care Q are expresia canonică este
3,22,11,3, MMMM .
Teorema 2 (Jacobi). Fie V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n ,
KVf : o formă pătratică şi njiijaA
,1 matricea ei relativ la baza
neee ,,, 21 a lui V . Dacă toţi minorii principali
111 a , 2221
12112
aa
aa , , An det
sunt toţi nenuli, atunci există o bază neee ,,, 21 a lui V , în raport cu care forma
pătratică Q are expresia canonică
21
1 in
i i
i yxf
,
unde
iy , ni ,1 sunt coordonatele lui x în baza ,
10 .
Vom prezenta algoritmul pentru obţinerea unei expresii canonice pentru o formă
pătratică, bazat pe teorema Jacobi.
Căutăm vectorii neee ,,, 21 de forma
,2211
2211
2221212
1111
nnnnnn
iiiiii
ececece
ececece
ecece
ece
(6)
unde ijc , nji ,1, se determină impunând condiţiile:
ji
nijeeb ji
,1
1,0, (7)
iar KVVb : este forma biliniară din care provine f .
Calculăm
12
ijiijiji
jiiijijijiiiiiji
acacac
eebceebceebceecececbeeb
2211
22112211 ,,,,,
Obţinem
1,:
0,:1
0,:2
0,:1
2211
,12,221,111
22222112
11221111
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiii
iiiiii
acacaceebij
acacaceebij
acacaceebj
acacaceebj
(8)
adică un sistem compatibil determinat, întrucât determinantul său este 0i (deci vectorul
ie este unic determinat).
Folosind formulele lui Crammer obţinem soluţiile sistemului (8):
i
i
i
iii
iii
i
ii
aa
aa
aa
c
11,1
1,11,1
1,111
1
0
0
, ni ,1 .
Pentru a determina expresia formei pătratice în baza neee ,,, 21 vom
calcula elementele matricei A , asociată lui f în rapot cu baza .
Avem
njieebceebceebc
ececebeeba
jijjijij
jjjjijiij
,1,,,,,
,,
2211
11
Dar, din (7) ştim că 0, ji eeb pentru ij ; deci 0ija pentru ij .
Datorită simetriei formei biliniare b rezultă 0ija pentru ij .
Deci 0ija pentru ij .
Pentru ij avem
niceebceebceebceebc
ececebeeba
i
iiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiii
,1,,,,,
,,
111,2211
11
Deducem că în baza forma pătratică are expresia canonică
21
1
1,
in
i i
ijin
jiij yyyaxf
,
13
iar matricea asociată acesteia este
n
n
A
1
1
0
0
0
.
Exemplul 3. Folosind metoda Jacobi aflaţi expresia canonică şi baza în care se
realizează aceasta pentru forma pătratică
3:Q , 3321313221
23
22
21 ,,,16887 xxxxxxxxxxxxxxQ .
Rezolvare
Matricea formei pătratice relativ la baza canonică a spaţiului 3 este
148
474
841
A .
Minorii principali 3,0, ii ai acesteia sunt:
.729det
974
41
1
1
3
2
111
0
A
a
Forma pătratică Q va avea următoarea expresie canonică
23
22
21
23
3
222
2
121
1
023
1
1
81
1
9
1yyyyyyyxQ i
i i
i
.
Vom determina noua bază 321 ,, eee în raport cu care Q are expresia canonică:
,3332321313
2221212
1111
ececece
ecece
ece
unde ijc , 3,1, ji se determină impunând condiţiile:
ji
ijeeb ji
,1
31,0, (1)
b fiind forma biliniară asociată formei pătratice Q în baza , adică
14
33221181
1
9
1, yxyxyxyxb .
Avem
11,
,,,11
11
1111111111111111
c
eeb
caceebceecbeeb;
deci
11 ee .
Vom calcula
.74,,,,
4,,,,
22212222122122222121222212122
22212122112112221121122212112
ccacaceebceebceececbeeb
ccacaceebceebceececbeeb
Ţinând seama de (1) obţinem sistemul
9
1,
9
4
174
042221
2221
2221
cc
cc
cc,
adică
2129
1
9
4eee .
Va trebui să calculăm
.,,,,,
,,,,,
,,,,,
333332323131333323213133
233322322131233323213123
133312321131133323213113
eebceebceebceecececbeeb
eebceebceebceecececbeeb
eebceebceebceecececbeeb
.48
474
84
333231333332323131
333231233322322131
333231133312321131
cccacacac
cccacacac
cccacacac
Ţinând seama de (1) obţinem sistemul
81
1,
81
4,
81
8
148
0474
084
333231
333231
333231
333231
ccc
ccc
ccc
ccc
;
rezultă
321381
1
81
4
81
8eeee .
Teorema 3 (Metoda valorilor proprii). Fie V un spaţiu vectorial real euclidian şi
Vf : o formă pătratică reală. Atunci există o bază ortonormată neee ,,, 21 a
spaţiului vectorial V relativ la care expresia canonică a formei este
15
n
i
ii yxf
1
2,
unde
n ,,1 sunt valorile proprii ale matricei asociată formei pătratice, relativ la o bază
ortonormată (fiecare valoare proprie fiind inclusă în sumă de atâtea ori cât
multiplicitatea sa),
nyy ,,1 sunt coordonatele vectorului x relativ la baza .
Pentru a aplica metoda valorilor proprii pentru reducerea unei forme pătratice la o expresie
canonică se procedează astfel:
1. se alege o bază ortonormată neee ,,, 21 a lui V şi se scrie matricea A ,
asociată lui f în raport cu baza ;
2. se determină valorile proprii r,,1 ale matricei A , cu multiplicităţile
algebrice corespunzătoare r
aa ,,1 , cu naa
r
1 (vezi cursul 7);
3. pentru subspaţiile proprii r
WW ,,1 asociate valorilor proprii r ,,1 (vezi
cursul 7); se determină bazele ortonormate r ,,1 , folosind procedeul de
ortogonalizare Gram- Schmidt (vezi cursul 8);
4. se consideră baza ortonormată r 1 a lui V şi se scrie expresia
canonică a lui f în raport cu baza , adică
n
i
ii yxf
1
2, unde
tnyyx ,,1 .
Exemplul 4. Folosind metoda valorilor proprii determinaţi expresia canonică şi baza în
care se realizează aceasta pentru forma pătratică
3:f , 323121232221 xxxxxxxxxxf .
Matricea asociată lui f în raport cu baza canonică a spaţiului 3 este
12121
21121
21211
A .
Avem
16
2
2
12
12121
21121
21211
P ,
ce are rădăcinile
2,21
1,2
2
1
2
1
a
a
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 este
xxAxW 13 |
1 .
Obţinem
02
1
2
1
02
1
2
1
02
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
321
321
321
3321
2321
1321
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
Notăm tx 3 , t .
Avem
txx
txx
21
21
2
2
Deducem
txtx 21 , .
Deci
13
1
11,1,1,,| ctttttxxW
c
.
Baza ortonormată 1 va fi 11 f , unde
3
1,
3
1,
3
1
3
11
1
11 c
c
cf .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 este
xxAxW 23 |
2 .
Obţinem
17
3321
2321
1321
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xxxx
xxxx
xxxx
002
1
2
1
2
1 321321 xxxxxx .
Notăm 2
21
1 , txtx , 21, tt ; deci 21
3 ttx .
Deci
32212121213
32
21,1,01,0,1,,| ctctttttttxxW
cc
.
Considerăm sistemul ortogonal 32 , ff , unde
233
22
fcf
cf
unde se obţine din condiţia ca 3f şi 2f să fie ortogonali, adică
0, 23 ff .
Din
2
1
,
,0,
22
23
223
ff
fcffc .
Rezultă
2
1,1,
2
11,0,1
2
11,1,0
2
1233 fcf .
Baza 322 , ff este ortonormată, unde
2
1,0,
2
1
2
12
2
22 f
f
ff ,
6
1,
3
2,
6
1
3
23
3
33 f
f
ff .
Avem
32121 ,, fff .
18
Matricea asociată lui f în baza va fi (vezi cursul 7)
2100
0210
002
A ,
iar expresia canonică a lui f în raport cu baza
232221
2
1
2
12 yyyxf .
Definiţia 6. Fie V un spaţiu vectorial real.
a) Forma pătratică Vf : se numeşte pozitiv definită (negativ definită) dacă
0xf ( respectiv, 0xf ), Vx , 0x ;
b) Forma pătratică Vf : se numeşte pozitiv semidefinită (negativ semidefinită)
dacă 0xf ( respectiv, 0xf ), Vx şi există Va , 0a , pentru care
0af ;
c) Forma pătratică Vf : se numeşte nedefinită dacă există Vba , astfel încât
0af şi 0bf .
Definiţia 7. O matrice simetrică este pozitiv (negativ) definită dacă forma pătratică
asociată acesteia este pozitiv (negativ) definită.
Propoziţia 1. Fie V un spaţiu vectorial real, de dimensiune finită n şi
njiijaA
,1, MA matricea simetrică asociată formei pătratice pozitiv definită
Vf : în raport cu baza neee ,,, 21 a lui V . Atunci au loc următoarele
afirmaţii:
a) 0iia , ni ,1 ,
b) 0det A ,
c) nf rang .
Teorema 4 (criteriul lui Sylvester). Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune finită
n şi Vf : o formă pătratică. Atunci numărul coeficienţilor pozitivi şi respectiv al celor
negativi dintr-o expresie canonică a lui f nu depinde de alegerea bazei canonice.
Definiţia 7. i) Numărul p al coeficienţilor pozitivi dintr-o expresie canonică a formei
pătratice f se numeşte indexul pozitiv al lui f .
19
ii) Numărul q al coeficienţilor negatitivi dintr-o expresie canonică a formei pătratice f
se numeşte indexul negativ al lui f .
iii) Perechea dqp ,, se numeşte signatura formei pătratice, unde qpnd este
numărul de coeficienţi nuli.
Teorema următoare ne permite să decidem dacă o formă pătratică este pozitiv sau negativ
definită, fără a fi obligaţi să determinăm o expresie canonică a sa.
Teorema 5 . Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune finită n şi njiijaA
,1,
MA matricea simetrică asociată formei pătratice Vf : în raport cu baza
neee ,,, 21 a lui V . Atunci
1. f este pozitiv definită dacă şi numai dacă toţi minorii principali n ,,, 21
ai matricei A sunt strict pozitivi
2. f este negativ definită dacă şi numai dacă 01 kk , nk ,1 .
Observaţii. i) Forma pătratică f este pozitiv (negativ) definită dacă şi numai dacă
pnf rang (respectiv qnf rang ).
ii) Teorema 4 arată că urmând oricare dintre cele trei metode de obţinere a expresiei
canonice a unei forme pătratice, signatura formei pătratice (dedusă din expresia canonică
obţinută) este totdeauna aceeaşi.
iii) Fiind dată o formă pătratică Vf : şi matricea asociată acesteia relativ la o
bază a spaţiului V , f este pozitiv definită dacă şi numai dacă oricare din următoarele condiţii
este îndeplinită:
forma pătratică f are signatura 0,0,n ;
determinanţii 0i , ni ,1 ;
valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.
Exemplul 5. Fie 4:f o formă pătratică a cărei expresie analitică în raport cu
baza canonică a lui 4 este
4432114433221 ,,,, xxxxxxxxxxxxxxf .
a) Să se scrie matricea lui f în raport cu baza canonică a lui 4 şi expresia analitică
a polarei lui f în raport cu aceeaşi bază.
20
b) Folosind metoda lui Gauss să se determine o expresie canonică pentru f şi o bază
a lui 4 în raport cu care f are această expresie canonică.
c) Să se precizeze signatura lui f .
Rezolvare
a) Matricea formei pătratice relativ la baza canonică a lui 4 este
021021
210210
021021
210210
4
3
2
1
x
x
x
x
A .
Observaţie. În scrierea matricei A apar atât 1x , 2x , 3x , 4x cât şi 1y , 2y , 3y , 4y în
vederea obţinerii expresiei analitice a polarei lui f : se înmulţeşte fiecare element al matricei
A cu indicele corespunzător liniei, notat cu ix respectiv al coloanei, notat cu jy la intersecţia
cărora se află acest element.
Expresia analitică a polarei lui f în raport cu baza canonică a lui 4 va fi
43414432332124121 ,,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1, yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxb
b) Deoarece 012 a facem schimbarea de coordonate
.
2
1
2
1
2
1
2
1
44
33
212
211
44
33
212
211
xy
xy
xxy
xxy
yx
yx
yyx
yyx
Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia
11,M xx
va fi
1000
0100
0011
0011
M1, ,
noua bază fiind
2y 3y 4y 1y
21
44332122111 ,,, efefeefeef .
Expresia formei pătratice f în raport cu baza 1 este
214433212121 yyyyyyyyyyyyxf ,
adică
424143323122
21 yyyyyyyyyyyyxf .
Matricea asociată lui f în raport cu baza 1 este
0212121
2102121
212110
212101
A .
Observăm că 011 a .
Putem scrie pe f sub forma
42324322
24
23
2
4312
3
4
1
4
1
2
1
2
1yyyyyyyyyyyyxf
.
Efectuând schimbarea de coordonate
;
2
1
2
1
44
33
22
4311
yz
yz
yz
yyyz
rezultă
.
2
1
2
1
44
33
22
4311
zy
zy
zy
zzzy
Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia
22,11 M xx
va fi
1000
0100
0010
212101
M2,1
,
22
noua bază fiind
414313221122
1
2
1,
2
1,, ffgffgfgfg .
Expresia formei pătratice f în raport cu baza 2 este
42324324
23
22
21
2
3
4
1
4
1zzzzzzzzzzxf .
Matricea asociată lui f în raport cu baza 2 este
4143210
4341210
212110
0001
A .
Observăm că 022 a .
Putem scrie pe f sub forma
43
2
43221 2
2
1
2
1zzzzzzxf
.
Efectuând schimbarea de coordonate
;
2
1
2
1
44
33
4322
11
zt
zt
zzzt
zt
rezultă
.
2
1
2
1
44
33
4322
11
tz
tz
tttz
tz
Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia
33,22 M xx
va fi
1000
0100
212110
0001
M3,2
,
23
noua bază fiind
424323221132
1,
2
1,, gghgghghgh .
Expresia formei pătratice f în raport cu baza 3 este
4322
21 2 ttttxf .
Matricea asociată lui f în raport cu baza 3 este
0100
1000
0010
0001
A .
Observăm că 0;0 3433 aa .
Efectuând schimbarea de coordonate
;434
433
22
11
uut
uut
ut
ut
rezultă
.2
1
2
1
434
433
22
11
ttu
ttu
tu
tu
Matricea de trecere asociată acestei schimbări de coordonate, prin relaţia
44,33 M xx
va fi
1100
1100
0010
0001
M4,3
,
noua bază fiind
43443322114 ,,, hhvhhvhvhv .
24
Expresia formei pătratice f în raport cu baza 4 este
24
23
22
21 22 uuuuxf .
Matricea asociată lui f în raport cu baza 4 este
2000
0200
0010
0001
B .
c) Avem
2,2 qp .
Obţinem că forma pătratică f are signatura 0,2,2 .
1
Cursul 11
Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare liniare, cu
coeficienţi constanţi
Bibliografie:
1. C. Avramescu, C. Vladimirescu, Ecuaţii Diferenţiale şi Integrale, Reprografia
Universităţii din Craiova, 2003.
2. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
3. Ivanovici, M., Ecuaţii diferenţiale, Reprografia Universităţii din Craiova, 1993.
4. I. Toma, M. V. Soare, P. P. Teodorescu, Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în mecanica
construcţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1999.
Scopuri:
1) Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare omogene, de ordinul n, cu coeficienţi
constanţi
2) Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi
constanţi, utilizând metoda variaţiei constantelor
3) Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi
constanţi, utilizând metoda coeficienţilor nedeterminaţi
4) Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi
folosind metoda ecuaţiei caracteristice
5) Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi
folosind metoda eliminării
6) Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene, cu coeficienţi
constanţi, folosind metoda variaţiei constantelor
1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare omogene, de ordinul n, cu coeficienţi constanţi
Definiţia 1. (i) O ecuaţie diferenţială de forma:
tfxtaxtaxtaxta nnnn
11
10 . (1)
unde
k
kk
t
xx
d
d , nk ,0 ,
2
funcţiile ICfak0, , nk ,0 , I , 00 a se numesc coeficienţii ecuaţiei, iar
funcţia f semnifică termenul liber,
funcţia ICx n este funcţia necunoscută
se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n .
(ii) Dacă Ittf ,0 ecuaţia (1) se numeşte omogenă, iar dacă
It , astfel încât 0tf , ecuaţia se numeşte neomogenă
Definiţia 2. O ecuaţie diferenţială de forma
011
10 xaxaxaxa nn
nn . (2)
unde naaa ,,, 10 sunt constante reale, 00 a se numeşte ecuaţie diferenţială liniară
omogenă de ordinul n , cu coeficienţi constanţi.
Definiţia 3. Polinomul nnnn aaaaP
11
10 reprezintă polinomul
caracteristic ataşat ecuaţiei diferenţiale liniară omogenă de ordinul n , cu coeficienţi constanţi
din (2) iar ecuatia 0P constituie ecuatia caracteristica atasata ecuatiei diferentiala din (2).
În continuare vom arăta că soluţiile ecuaţiei diferenţiale (2) depind de tipul rădăcinilor
ecuaţiei caracteristice.
Cazul 1. Considerăm mai întâi cazul când rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi
analizăm pe rând subcazul când rădăcinile sunt distincte şi apoi cazul când ecuaţia
caracteristică are şi rădăcini multiple.
a) Dacă ecuaţia caracteristică are toate rădăcinile reale distincte n ,,1 atunci putem
scrie soluţia ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (2) sub forma
tn
tt neCeCeCtx 2121 .
Exemplul 1. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu
coeficienţi constanţi
0 xx .
Rezolvare
Se obţine polinomul characteristic:
12 P .
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt 12,1 .
Vom avea
3
t
t
etx
etx
2
1
iar soluţia generală va fi
tt eCeCtx 21 .
b) Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcina 1 reală, multiplă, de ordinul p , np
atunci putem scrie soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (2) sub
forma
tpp
tt etCteCeCtx 111 121
.
c) Dacă ecuaţia caracteristică are k rădăcini reale k ,,1 cu ordinele de
multiplicitate kpp ,,1 , npp k 1 atunci soluţia generală a ecuaţiei
diferenţiale omogene (2) este
tp
tp
tp
kk
etQetQetQtx
111
22
11
,
unde
1211
i
i
ppp tCtCCtQ (3)
este un polinom de grad cel mult 1ip
Exemplul 2. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu
coeficienţi constanţi
033 4567 xxxx .
Rezolvare
Vom obţine polinomul caracteristic
344567 133 P .
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt:
0 rădăcină multiplă de ordinul 4,
1 rădăcină multiplă de ordinul 3.
Soluţia generală va fi:
tetCtCCtCtCtCCtx 2765
34
2321 .
Cazul 2. Presupunem că rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complexe şi analizăm pe
rând subcazul când rădăcinile sunt distincte şi apoi cazul când ecuaţia caracteristică are şi
rădăcini multiple.
4
a) Presupunem că ecuaţia caracteristică are toate rădăcinile complexe distincte; rezultă că
ele sunt două câte două complex-conjugate
Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene (2) va fi:
teCteCteC
teCteCteCty
kt
ktt
kt
ktt
k
k
sinsinsin
coscoscos
2211
2211
21
21
unde iC , iC , ki ,1 sunt constante arbitrare.
Exemplul 3. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu
coeficienţi constanţi
0454 xxx .
Rezolvare
Vom obţine polinomul caracteristic
45 24 P .
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt: i 2,1 , i24,3 .
Soluţia generală va fi
tCtCtCtCtx 2sin2cossincos 4321 .
b) Presupunem că ecuaţia caracteristică are rădăcina complexă 111 i multiplă,
de ordinul 1p ; soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene va fi:
.sinsinsin
coscoscos
1111
111
211
1
1111
111
211
1
tetCtteCteC
tetCtteCteCty
tpp
tt
tpp
tt
c) Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe
kkk i
i
111
cu ordinele de multiplicitate kpp ,,1 , unde npp k 12 . Atunci soluţia generală a
ecuaţiei diferenţiale omogene (2) este
tjpjp
t j
jjettSttRettSttRtx
sincossincos 111111
1 ,
unde
1211
j
jj
ppp tCtCCtR este un polinom de grad cel mult 1jp ,
1211
j
jj
ppp tCtCCtS este un polinom de grad cel mult 1jp .
5
Cazul 3. Presupunem că ecuaţia caracteristică are
o rădăcinile j ,,1 reale cu ordinele de multiplicitate jpp ,,1 şi
o rădăcinile complexe llljj ii ,,111 cu ordinele de
multiplicitate ljj pp ,,1 , unde npppp ljjj 11 2 .
Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene (2) va fi:
l
kkkpkkp
ttj
ip ttSttReetQtx
jjki
i1
111
1 sincos ,
unde
tQip 1 este un polinom de grad cel mult 1ip şi are expresia din (3),
1211
k
kj
ppkp tctcctR este un polinom de grad cel mult 1kp ,
1211
k
kj
ppkp tctcctS este un polinom de grad cel mult 1kp .
Exemplul 4. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene cu
coeficienţi constanţi
0124864 468 xxxx .
Rezolvare
Vom obţine polinomul caracteristic
3222468 14124864 P .
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0P sunt: 01 rădăcină dublă, i2
13,2
rădăcini triple.
Soluţia generală va fi
2
sin2
cos 2876
254321
ttCtCC
ttCtCCtCCtx .
Definiţia 4. O ecuaţie diferenţială de forma
tfxaxaxaxa nnnn
11
10
unde naaa ,,, 10 sunt constante reale, 00 a iar ICf 0: este o funcţie continuă
pe un interval I se numeşte ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n cu
coeficienţi constanţi.
Teorema 1. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n , liniară şi neomogenă, cu coeficienţi
constanţi
6
tfxaxaxaxa nnnn
11
10 (4)
cu ka , nk ,0 constante reale, 00 a şi ICf 0 , I .
Soluţia generală a acestei ecuaţii este suma dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene
asociate şi o soluţie particulară (oarecare) a ecuaţiei neomogene; deci
txtxtx po .
În cazul când f este o funcţie oarecare, pentru determinarea unei soluţii particulare a
ecuaţiei neomogene se utilizează:
1) metoda variaţiei constantelor (sau metoda constantelor variabile) a lui Lagrange;
2) metoda coeficienţilor nedeterminaţi.
2. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi
constanţi, utilizând metoda variaţiei constantelor
Teorema 2. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n , liniară şi neomogenă, cu coeficienţi
constanţi
tfxaxaxaxa nnnn
11
10 ,
cu ka , nk ,0 constante reale, 00 a şi ICf 0 , I .
Dacă
txCtxCtxCtx nn 2211
este soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate, atunci o soluţie particulară a ecuaţiei
neomogene poate fi găsită sub forma
txtCtxtCtxtCtx nnp 2211 ,
unde tCtCtC n ,, 21 reprezintă soluţia urmatorului sistem algebric, liniar, de n ecuaţii,
cu n necunoscute, neomogen:
.
0
0
0
0
1122
111
2222
211
2211
2211
a
tftxtCtxtCtxtC
txtCtxtCtxtC
txtCtxtCtxtC
txtCtxtCtxtC
nnn
nn
nnn
nn
nn
nn
7
3. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare neomogene, de ordinul n, cu coeficienţi
constanţi, utilizând metoda coeficienţilor nedeterminaţi
Dacă ordinul ecuaţiei diferenţiale neomogene este mare, atunci calculele pentru
determinarea soluţiei particulare devin laborioase, deoarece sistemul care rezultă prin aplicarea
metodei variaţiei constantelor are n ecuaţii, şi n funcţii necunoscute.
Problemele de fizică conduc la ecuaţii de forma (4), în care tf are o formă particulară
şi în aceste cazuri soluţia particulară a ecuaţiei neomogene poate fi determinată prin metoda
coeficienţilor nedeterminaţi (sau a identificării).
Distingem următoarele situaţii:
Situaţia 1. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
constCtf .
a) Dacă 00
nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)
are o soluţie particulară de forma
n
pa
Ctx .
b) Dacă 0 este rădăcină multiplă de ordinul mm
a ecuaţiei caracteristice atunci
ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
mn
m
pam
tCtx
!.
Exemplul 5. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale
3 xx
3 xx .
Rezolvare
Polinomul caracteristic asociat ecuaţiei omogene este
2P .
Ecuaţia caracteristică are rădăcinile 01
01 , 12
12 .
Soluţia ecuaţiei omogene este
to eCCtx 21 .
Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este
ta
t
a
ttxp 3
3
!1
3
112
1
iar soluţia soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi
8
teCCtx t 321 .
Situaţia 2. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
tCetf ,
unde
este o constantă.
a) Dacă 0
nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)
are o soluţie particulară de forma
P
eCtx
t
p
.
b) Dacă este rădăcină multiplă de ordinul m a ecuaţiei caracteristice atunci
ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
m
tm
pP
etCtx
.
Situaţia 3. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
tPtf m
tPtf m ,
unde tPm este un polinom de gradul m .
a) Dacă 0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)
are o soluţie particulară de forma
tQtx mp ,
unde tQm
tQm este un polinom de acelaşi grad ca şi tPm
tPm , ai cărui coeficienţi se determină prin
identificare, punând condiţia ca txp să verifice ecuaţia neomogenă.
b) Dacă 0 este rădăcină multiplă de ordinul rr
a ecuaţiei caracteristice atunci ecuaţia
diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
tQttx mr
t ,
unde tQm este un polinom de acelaşi grad ca şi tPm .
Exemplul 6. Să se determine soluţia generală a următoarei ecuaţii diferenţiale:
210665 2 ttxxx .
Rezolvare
Polinomul caracteristic asociat ecuaţiei omogene este
32652 P .
Ecuaţia caracteristică are rădăcinile 21
21 , 32
32 .
9
Soluţia ecuaţiei omogene este
tto eCeCtx 3
22
1 .
Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este
batttx p 2 .
Avem:
atxp 2 , 2px .
Obţinem
21066252 22 ttbattat ;
deci
02652
010610
bba
aa
adică
2ttxp .
Soluţia soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi 232
21 teCeCtx tt .
Situaţia 4. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
tPetf mt .
a) Dacă
nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)
are o soluţie particulară de forma
tQetx mt
p , (5)
unde tQm
tQm este un polinom de acelaşi grad ca şi tPm
tPm , ai cărui coeficienţi se determină prin
identificare, punând condiţia ca tx p
txp din (5) să verifice ecuaţia neomogenă.
b) Dacă
este rădăcină multiplă de ordinul rr
a ecuaţiei caracteristice, atunci
ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
tPtetx mrt
p .
Situaţia 5. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
tNtMtf sincos .
a) Dacă i i
nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială (4)
are o soluţie particulară de forma
tBtAtxp sincos .
10
b) Dacă i este rădăcină multiplă de ordinul mm
a ecuaţiei caracteristice, atunci
ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
tBtAttx mp sincos .
Situaţia 6. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
ttQttPetf mmt sincos .
a) Dacă i nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci ecuaţia diferenţială
(4) are o soluţie particulară de forma
ttSttRetx mmt
p sincos .
b) Dacă i este rădăcină multiplă de ordinul r
r a ecuaţiei caracteristice, atunci
ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
ttSttRettx mmtr
p sincos .
Situaţia 7. Membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4) este de forma
tftftf k 1 ,
cu tf i
tfi de forma din situaţiile 1- 6.
În acest caz, ecuaţia diferenţială (4) are o soluţie particulară de forma
txtxtx pkpp 1 ,
cu tx pi
txpi corespunzător lui tf i
tfi .
Exemplul 7. Să se determine soluţia generală a ecuaţii diferenţiale
texxx 4154 .
Rezolvare
Polinomul caracteristic asociat ecuaţiei omogene este
5454 223 P .
Ecuaţia caracteristică are rădăcinile
ii 2,2
0
22
1
.
Soluţia ecuaţiei omogene este
tCtCCtx tto cosesine 2
32
21 .
Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este
txtxtx ppp 21 ,
11
unde
5!1
1
213
1
1t
a
t
a
ttx p
iar
ttt
pP
tx
e2
2
e4
1
e42 ;
deci
tp
ttx e2
5.
Soluţia soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi
ttt ttCtCCtx e2
5cosesine 2
32
21 .
4. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi folosind
metoda ecuaţiei caracteristice
Definiţia 5. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma
,2211
222221212
112121111
tfxtaxtaxtax
tfxtaxtaxtax
tfxtaxtaxtax
nnnnnnn
nn
nn
(6)
unde
t
xx k
kd
d
t
xx
kk
d
d
, nk ,1
nk ,1 ,
ICfa iij0, , nji ,1,
nji ,1,
, II
,
ICxx n1
1 ,, sunt funcţii necunoscute,
se numeşte sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I.
Funcţiile ija
ija se numesc coeficienţii sistemului.
Dacă 01 nff pe I sistemul se numeşte omogen; în caz contrar se numeşte
neomogen.
12
Definiţia 6. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma
,2211
222221212
112121111
tfxaxaxax
tfxaxaxax
tfxaxaxax
nnnnnnn
nn
nn
(7)
unde
t
xx k
kd
d , nk ,1 ,
ija
ija nji ,1, sunt constante reale,
ICfi0 , nji ,1, , I ,
ICxx n1
1 ,, sunt funcţii necunoscute,
se numeşte sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I şi neomogen cu coeficienţi
constanţi.
Fie sistemul liniar şi omogen cu coeficienţi constanţi
tAXtX , (8)
unde
nx
x
tX 1
,
nx
x
tX 1
,
nnn
n
aa
aa
A
1
111
.
Ecuaţia (9) se numeşte ecuaţia caracteristică a sistemului (8):
0Idet nA , (9)
iar nAP Idet este polinomul caracteristic al matricei A deci valorile căutate pentru
sunt valorile proprii ale matricei A .
Cazul 1. Dacă matricea A are valori proprii distincte, atunci fiecărei valori proprii îi
corespunde un vector propriu, de componente nAA ,,1 .
Pentru a determina soluţia generală a sistemului omogen (8) se procedează astfel:
1. se rezolvă ecuaţia 0Idet nA ;
2. se obţin valorile proprii i , ni ,1 ;
3. pentru fiecare valoare proprie i i
se determină vectorul propriu
corespunzător nii AA ,,1 ;
4. se scrie soluţia generală a sistemului omogen (8):
13
.eee
eee
eee
222
111
22
2221
1212
12
2121
1111
tnnnn
tn
tnn
tnnn
tt
tnnn
tt
CACACAtx
CACACAtx
CACACAtx
Cazul 2. Cazul valorilor proprii multiple
Presupunem că 0 este valoare proprie de ordin de multiplicitate mm
a matricei A
A .
Soluţia tX va arăta astfel:
tm
m
nm
m
m
nn
CtCtCtX 012
1
2
2
22
12
1
1
21
11
e
.
5. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale omogene cu coeficienţi constanţi
folosind metoda eliminării
Metoda eliminării constă în reducerea sistemului de ecuaţii diferenţiale la o singură
ecuaţie diferenţială liniară de ordinul nn
, pentru una din funcţiile necunoscute ale sistemului şi
rezolvarea apoi a acestei ecuaţii.
În cazul unui sistem de ecuaţii diferenţiale de forma
2221212
2121111
xaxax
xaxax
Metoda eliminării presupune următoarele etape
1. Calculăm
.1221121121221112
1111221212112111
2221212112111222121121112121111
xaaaaxaaa
xaxaaxaaxa
xaaxaaxaxaxaaxaxaxax
2. Rezolvăm ecuaţia diferenţială
0122112112122111 xaaaaxaax
a cărei soluţie este tx1 .
3. Înlocuim pe tx1 în cea de -a doua ecuaţie a sistemului pentru a determina tx2 .
14
Exemplul 8. Folosind metoda eliminării să se determine soluţia generală pentru
următorul sistem de ecuaţii diferenţiale
.2
43
213
32
321
xxx
xx
xxx
(10)
Rezolvare
Rezultă ecuaţia diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi
1111121313211 67683648348 xxxxxxxxxxxxx ,
adică
067 111 xxx .
Vom obţine polinomul caracteristic
3216731 P .
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 01 P sunt: 11 11
, 22 , 33 33
.
Rezultă
ttt CCCtx 33
2211 eee (11)
Avem
31213 22 xxxxx ,
adică
ttt CCCxxx 33
221133 e3e2e22 .
Vom rezolva ecuaţia diferenţială neomogenă, cu coeficienţi constanţi
ttt CCCxx 33
22133 e6e4e2 .
Determinăm întâi soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate:
033 xx .
Avem:
123 P .
Ecuaţia caracteristică 03 P are rădăcinile i1
i1 , i1
i1 .
Obţinem
tCtCtx o sincos 543 .
Pentru a determina soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale neomogene folosim
observăm că ne aflăm în Situaţia 2, a) deoarece
15
o 0213 P 0213 P,
o 0523 P 0523 P ,
o 01033 P .
Deci
ttt
ttt
p CCCP
C
P
C
P
Cx 3
32
213
33
3
22
3
13 e
5
3e
5
4e
3
e6
2
e4
1
e2
.
Rezultă
.e5
3e
5
4esincos 3
32
21543ttt CCCtCtCtx (12)
Avem
ttt CCCtCtCxx 33
2215432 e
5
3e
5
4esincos ,
adică
63
32
21542 e5
1e
5
2ecossin CCCCtCtCtx ttt (13)
Introducând (11), (12) şi (13) în (10) vom obţine
0
03
043
043
654
6
45
54
CCC
C
CC
CC
.
Notând
33
3
22
11
5
1
5
1
KeC
KC
KC
t
soluţia generală a sistemului (10) va fi
.e3e4e
ee2e
e5e5e
33
2213
33
2212
33
2211
ttt
ttt
ttt
KKKtx
KKKtx
KKKtx
6. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare neomogene, cu coeficienţi
constanţi, folosind metoda variaţiei constantelor
16
Teorema 3. Soluţia generală a sistemului neomogen este suma dintre soluţia generală a
sistemului omogen şi o soluţie particulară a sistemului neomogen
tx
tx
tx
tx
tx
tx
tXtXtX
pn
p
p
on
o
o
po
2
1
2
1
.
O soluţie particulară a sistemului neomogen se poate determina cu ajutorul metodei
variaţiei constantelor.
Se caută soluţia particulară de forma
nnnnnpn
nnp
nnp
xtKxtKxtKtx
xtKxtKxtKtx
xtKxtKxtKtx
2211
22222112
11221111
unde funcţiile tKi tK i
, ni ,1
ni ,1 se determină din sistemul
.2211
22222211
11122111
tfxtKxtKxtK
tfxtKxtKxtK
tfxtKxtKxtK
nnnnnn
nn
nn
Exemplul 6.1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii diferenţiale lineare neomogen, cu
coeficienţi constanţi
.12
21
tt eexx
xx
Rezolvare
Soluţia generală a sistemului omogen asociat
12
21
xx
xx
va fi de forma
.ee
ee
212
211
tto
tto
KKtx
KKtx
Căutăm soluţia particulară a sistemului neomogen de forma
17
,ee
ee
212
211
ttp
ttp
tKtKtx
tKtKtx
în care funcţiile tK1 şi tK2 verifică ecuaţiile
.
0
21
21
tttt
tt
eeeKeK
eKeK
Obţinem
;2
1
2
1
2
1
2
1
22
21
t
t
eK
eK
deci
t
t
et
K
et
K
22
21
4
1
2
4
1
2 tttK 2
2 e4
1
2
şi
.2
1e
2
1
2
1e
2
1
2
1e
2
1
2
1e
2
1
2
1
tttx
tttx
ttp
ttp
Soluţia generală a sistemului va fi
.2
1e
2
1
2
1e
2
1ee
2
1e
2
1
2
1e
2
1ee
212
211
ttKKtx
ttKKtx
tttt
tttt
1
Curs 12. Exemple de curbe plane
Bibliografie
1. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
2. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, Facultatea de Matematică şi
Informatică, Universitatea din Craiova, 1993.
3. M. Popescu, M. Sterpu, Geometrie analitică. Teorie si aplicatii, ed. Universitaria
Craiova, 2004.
4. Gh. D. Simionescu, Geometrie analitică, ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1968.
Scopuri:
1) Ecuaţia generală a unei conice
2) Descrierea conicelor nedegenerate: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă
3) Reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice
4) Prezentarea unor cuadrice remarcabile din geometrie
Definiţia 1. Considerăm funcţia
2:f , cybxbyaxyaxayxf 212
22122
11 222, .
Se numeşte curbă algebrică de ordinul al doilea sau conică mulţimea a punctelor
yxM , din plan, ale căror coordonate în raport cu un reper cartezian ortonormat verifică
ecuaţia generală
0, yxf , (1)
unde coeficienţii cbbaaa ,,,,, 21221211 sunt constante reale, cu 0222
212
211
aaa ; deci
0,,,|, 2 yxfyxyxM .
Definiţia 2. Se numesc invarianţi ai unei conice acele expresii formate cu coeficienţii
ecuaţiei conicei care păstrază aceeaşi valoare la schimbări de repere ortonormate.
Propoziţia 1. Conicei din (1) i se pot asocia trei invarianţi
2211 aaI , 2212
1211
aa
aa ,
cbb
baa
baa
21
22212
11211
,
unul liniar, al doilea pătratic şi al treilea cubic în coeficienţii ecuaţiei conicei.
Invariantul determină natura unei conice. Astfel, dacă
2
0 spunem că este conică nedegenerată (cercul, elipsa, hiperbola şi
parabola)
0 spunem că este conică degenerată.
Cu ajutorul lui se stabileşte genul unei conice. Astfel, dacă
0 spunem că are gen eliptic
0 spunem că are gen hiperbolic
0 spunem că are gen parabolic.
Definiţia 3. Se numeşte centru de simetrie al unei conice (în cazul în care acesta
există şi conica se numeşte conică cu centru) un punct C din plan care are proprietatea că
pentru orice punct M , simetricul lui M faţă de C satisface de asemenea ecuaţia conicei
.
Teorema 1. Conica : 0, yxf admite un unic centru de simetrie 00 , yxC dacă
şi numai dacă invariantul al acesteia este nenul; în acest caz, coordonatele sale sunt soluţiile
sistemului liniar:
0
0
y
f
x
f
0
0
22212
11211
byaxa
byaxa
TABLOUL GENERAL DE DISCUŢIE A CONICEI
I) Dacă 0 atunci pentru:
1. 0 , conica este
a) o elipsă reală când 0I
b) o elipsă imaginară când 0I
2. 0 , conica este o parabolă.
3. 0 conica este o hiperbolă
II) Dacă 0 atunci pentru:
1. 0 obţinem două drepte concurente imaginare cu intersecţia reală
2. 0 obţinem:
a) două drepte paralele dacă 01
b) două drepte confundate dacă 01
c) două drepte paralele imaginare dacă 01
3. 0 obţinem două drepte concurente reale,
unde
3
21111 bca .
Teorema 2. Orice conică are una din formele canonice:
1) 012
2
2
2
b
y
a
x (elipsă imaginară);
2) 012
2
2
2
b
y
a
x (elipsă reală);
3) 012
2
2
2
b
y
a
x (hiperbolă);
4) 02
2
2
2
b
y
a
x (două drepte concurente imaginare cu intersecţia reală);
5) 02
2
2
2
b
y
a
x (două drepte concurente reale);
6) pxy 22 (parabolă);
7) 012
2
a
x (două drepte paralele imaginare);
8) 012
2
a
x (două drepte paralele reale);
9) 02 x (pereche de drepte confundate);
Definiţia 4. Cercul este mulţimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix,
numit centru, distanţa de la centru la punctele cercului numindu-se rază.
Vom raporta planul cercului la un reper cartezian ortogonal ji,; . Fie baC ,
centrul cercului iar yxM , un punct oarecare al lui (vezi fig. 1).
baC ,
yxM , r
x O
y
Fig. 1.
4
Din definiţia 4 rezultă că distanţa dintre C şi M este constantă şi egală cu raza r a
cercului
rCM ,
adică
rbyax 22 .
Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru baC , şi
rază r
222rbyax . (2)
Dacă desfacem pătratele în (2) obţinem ecuaţia cercului sub forma
022 22222 rbabyaxyx . (3)
Notând
am , bn , 222 rbap
ecuaţia (3) devine
02222 pnymxyx . (4)
În cazul cercului mulţimea va fi
0,,,|, 2 yxgyxyxM ,
unde
pnymxyxyxg 22, 22 .
Deoarece ecuaţia (4) se poate scrie sub forma
pnmnymx 2222
rezultă:
1. dacă 022 pnm atunci cercul va avea centrul nmC , şi raza
pnmr 22
2. dacă 022 pnm atunci cercul se reduce la punctul nmC ,
3. dacă 022 pnm atunci .
Pentru 022 pnm , ecuaţia (4) se numeşte ecuaţia carteziană generală a
cercului .
Dacă este unghiul pe care raza CM îl face cu direcţia pozitivă a axei Ox , atunci
ecuaţiile parametrice ale cercului vor fi
5
sin
cos
rby
rax, 2,0 .
Fie 0c un număr real pozitiv şi F , F două puncte fixate din plan astfel încât
cFF 2 .
Exemplul 1. Să se găsească ecuaţia cercului determinat de punctele
3,1,1,2,1,1 PNM .
Rezolvare
Folosind ecuaţia Error! Reference source not found. deducem
.1062
524
222
pnm
pnm
pnm
Rezultă
10
11m ,
10
9n ,
5
12p .
Ecuaţia cercului va fi
05
12
10
18
10
2222 yxyx
sau
0129115 22 yxyx .
Definiţia 5. Elipsa este mulţimea punctelor M din plan care o satisfac relaţia
ctaFMMF 2 , (5)
adică care au suma distanţelor la două puncte fixe constantă.
Pentru a găsi ecuaţia elipsei vom transforma analitic ecuaţia (5).
Alegem pe FF ca axă Ox şi mediatoarea segmentului FF ca axă Oy (vezi fig. 2).
OBBFF .
6
A A
B
B
O 0,cF 0,cF
yxM ,
Fig. 2.
Deci 0,cF şi 0,cF ; punctele F şi F se numesc focarele elipsei iar distanţa
FF constituie distanţa focală a elipsei.
MF , FM sunt raze focale ale punctului M . Elipsa admite un centru unic de simetrie
O şi două axe de simetrie OyOx, .
Elipsa este o curbă mărginită (există un dreptunghi care să conţină toate punctele ei).
Dacă yxM , atunci relaţia (5) devine
aycxycx 22222 . (6)
Dorim să simplificăm relaţia (6). Vom scrie
222222244 ycxycxaaycx
sau
cxaycxa 222;
deci
022222222 caayaxca . (7)
În triunghiul FMF se ştie că FFFMMF sau ca 22 , deci ca ; astfel că
022 ca . De aceea, putem nota 222 bca .
Împărţind în (7) cu 22ba rezultă ecuaţia carteziană implicită a elipsei
12
2
2
2
b
y
a
x. (8)
Dacă rba ecuaţia (8) devine
222 ryx
şi reprezintă un cerc cu centrul în origine şi de rază r .
Deci, cercul este o elipsă particulară.
7
Astfel
1,,|,2
2
2
22
b
y
a
xyxyxM .
Pentru a găsi punctele de intersecţie ale curbei cu axele de coordonate vom face pe rând
0y şi 0x . Rezultă 0,aA , 0,aA pe Ox şi bB ,0 , bB ,0 pe Oy .
Segmentul
o aAA 2 se numeşte axa mare a elipsei;
o bBB 2 se numeşte axa mică a elipsei.
Jumătăţile lor, adică aOA şi bOB sunt semiaxele elipsei.
Punctele BBAA ,,, poartă numele de vârfurile elipsei.
Din ecuaţia (8) se deduc ecuaţiile carteziene explicite ale elipsei
22 xaa
by , aax , .
Pentru a obtine ecuatiile parametrice ale elipsei se procedeaza astfel:
1) se construiesc doua cercuri concentrice cu razele a si respectiv b , ba ;
2) se traseaza prin origine o semidreapta, care intersecteaza cele doua cercuri in
punctele A si respectiv B ;
3) prin punctele A si B se duc drepte paralele cu axele; intersectia acestor puncte va
fi un punct M al elipsei;
x
y
O
yxM ,
A
B
4) daca se noteaza unghiul format de raza OAcu axa Ox se poate deduce ca
ecuaţiile parametrice ale elipsei sunt:
8
sin
cos
by
ax, 2,0 .
Ca şi la elipsă considerăm 0c un număr real pozitiv şi F , F două puncte fixate
din plan astfel încât cFF 2 .
Definiţia 6. Hiperbola este mulţimea punctelor M din plan care satisfac relaţia
ctaFMMF 2 , (9)
adică care au diferenţa distanţelor la două puncte fixe constantă.
Pentru a găsi ecuaţia hiperbolei vom transforma analitic ecuaţia (9).
Alegem pe FF ca axă Ox şi mediatoarea segmentului FF ca axă Oy (vezi fig. 3).
MF , FM sunt raze focale ale punctului M . Hiperbola admite un centru unic de
simetrie O şi două axe de simetrie OyOx, .
Hiperbola este o curbă nemărginită.
A A O 0,cF 0,cF
yxM ,
x
y
Fig. 3.
Deci 0,cF şi 0,cF ; punctele F şi F se numesc focarele hiperbolei iar distanţa
FF constituie distanţa focală a hiperbolei.
Dacă yxM , atunci relaţia (9) devine
aycxycx 22222 . (10)
Vom obţine
222222244 aycxaycxycx .
După reducerea termenilor asemenea şi trecerea în prima parte a tuturor celor care nu
conţin radicali, avem
222 ycxaacx .
Prin ridicare la pătrat deducem
9
022222222 acayaxac . (11)
Observăm că am obţinut aceeaşi ecuaţie (7) de la elipsă, ceea ce rezultă înmulţind în
(11) cu 1 şi schimbând semnele în paranteze.
Deosebirea hiperbolei faţă de elipsă (unde aveam ca ) provine din faptul că în
triunghiul FMF din aFMMFFF 2 avem ac ; astfel că 022 ac . De
aceea, putem nota 222 bac .
Împărţind în (11) cu 22ba rezultă ecuaţia carteziană implicită a hiperbolei
12
2
2
2
b
y
a
x. (12)
Pentru a găsi punctele de intersecţie ale hiperbolei cu axele de coordonate vom face pe
rând 0y şi 0x . Rezultă 0,aA , 0,aA pe Ox iar pe axa Oy nu avem puncte reale,
deci axa Oy nu taie hiperbola.
De aceea, axa Ox se numeşte axă transversă iar axa Oy axă netransversă.
Punctele AA , reprezintă vârfurile hiperbolei.
Din ecuaţia (12) se deduc ecuaţiile carteziene explicite ale hiperbolei
22 axa
by , ,, aax .
Hiperbola admite două asimptote oblice xa
by .
Din (12) avem
1
b
y
a
x
b
y
a
x.
Daca ,ax , notand
t
t
eb
y
a
x
eb
y
a
x
tt eea
x 2 2
tt eeax
rezulta ca ecuaţiile parametrice ale hiperbolei sunt:
tby
tax
sh
ch, t .
Daca ax , , notand
10
t
t
eb
y
a
x
eb
y
a
x
tt eea
x 2 2
tt eeax
rezulta ca ecuaţiile parametrice ale hiperbolei sunt:
tby
tax
sh
ch, t .
Exemplul 2. Să se determine vârfurile, focarele şi asimptotele hiperbolei
0852 22 yx .
Rezolvare
Scriind ecuaţia hiperbolei sub forma
01
5
84
22
yx
,
deducem
.5
28
5
8
4
222
2
2
bac
b
a
Vârfurile hiperbolei sunt
0,2,0,2 AA
iar focarele
0,
5
72,0,
5
72 FF .
Ecuaţiile asimptotelor hiperbolei sunt
xy5
2 .
Definiţia 7. Parabola este mulţimea punctelor din plan egal depărtate de o dreaptă fixă
şi de un punct fix.
Dreapta fixă se numeşte directoarea parabolei iar punctul fix focarul parabolei.
Pentru a găsi ecuaţia parabolei alegem un reper cartezian ale cărui axe de coordonate
sunt:
11
o perpendiculara din focarul F pe directoarea d ca axă Ox ,
o paralela la d dusă la jumătatea distanţei dintre focar şi directoarea d ca axă
Oy (coincide cu tangenta la varvul parabolei).
Notăm OxdA . Fie M un punct al parabolei şi N proiecţia lui pe directoare
(vezi fig.4).
A O
yxM ,
x
y
M
y
pN ,
2
0,
2
pF
d
Fig. 4.
Parabola nu are centru de simetrie şi are o singură axă de simetrie Ox . Este o curbă
nemărginită.
Se notează pAF ; rezultă
0,
2
pF şi
0,
2
pA .
Dacă M este un punct oarecare al parabolei, potrivit definiţiei 7, relaţia pe care o
satisface punctul M este
MNMF . (13)
Deoarece
22
px
pxMN
,
relaţia (13) devine
222
2p
xyp
x
;
ridicând la pătrat se obţine ecuaţia carteziană implicită a parabolei
pxy 22 . (14)
Observatie. In cazul in care 0x , ecuaţia carteziană implicită a parabolei va deveni
pxy 22 .
Axa Ox taie parabola în punctul 0,0O numit vârful parabolei.
12
Din ecuaţia (14) se deduc ecuaţiile carteziene explicite ale parabolei
pxy 2 , 0x ,
p fiind un numar pozitiv numit parametrul parabolei, care indica forma acesteia.
Cu cat p este mai mic, cu atat focarul si directoarea se apropie de axa Oy, iar parabola
se apropie de axa Ox (cand 0p atunci parabola degenereaza in axa Ox). Cu cat p este mai
mare, cu atat focarul si directoarea se departeaza de axa Oy, iar parabola se apropie de axa Oy
(cand p atunci parabola degenereaza in axa Oy).
Ecuaţiile parametrice ale parabolei sunt
ty
p
tx
2
2
, t .
Ne propunem să determinăm un reper cartezian ortonormat faţă de care ecuaţia generală
din (1) a lui să aibă una din formele canonice din (2), (8), (12), (14).
Distingem următoarele situaţii:
Cazul 1. 0 , adică conica admite un centru unic de simetrie 00 , yxC
Etapele care se parcurg în acest caz pentru obţinera unei ecuaţii canonice a conice sunt:
1) Ataşăm ecuaţiei (1) forma pătratică
22212
211 2 yaxyaxavQ , 2, yxv .
2) Matricei
2212
1211
aa
aaA asociată formei Q în raport cu baza canonică B a lui 2 îi
ataşăm polinomul caracteristic
I
aa
aaP 2
2212
1211.
3) Se efectuează o schimbare de reper ortonormat astfel încât centrul de simetrie să
constituie originea noului reper. Trecerea de la coordonatele yx, la coordonatele
yx , în noul reper se realizează printr-o translaţie de vector OC , caracterizată de
ecuaţiile
yyy
xxx
0
0.
Prin această transformare, ecuaţia generală a conicei devine
13
02
22
02
012
02200122
011
cyyb
xxbyyayyxxaxxa
adică
02 22212
211 cyayxaxa , 00 , yxfc (15)
4) Se determină o bază ortonormată B formată din vectorii proprii corespunzători valorilor
proprii 1 şi 2 ale matricei A (vezi metoda valorilor proprii din cursul 10).
5) În raport cu baza B , ecuaţia (15) va deveni
022
21 cyx . (16)
Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei
y
x
y
xBB,M .
Observăm că pentru ecuaţia (16) avem
212
1
0
0
, c
c
212
1
00
00
00
.
Deoarece 0 rezultă că c
.
6) Obţinem ecuaţia canonică a conicei:
022
21
yx . (17)
Observaţii. Dacă 1 şi 2 au acelaşi semn iar
are semn opus atunci din (17) se obţine
o elipsă. Dacă 1 şi 2 au semne diferite atunci din (17) se obţine o hiperbolă.
Exemplul 3. Se consideră conica
02816649: 22 yxyxyx .
Să se aducă la forma canonică, indicându-se schimbările de reper necesare, să se
recunoască conica obţinută şi să se reprezinte grafic.
Rezolvare
Avem
14
.0500
248
462
829
05062
29
1569
I
Deoarece
0 , conica este de tip eliptic,
0 conica este nedegenerată,
0 , conica admite centru unic de simetrie.
Centrul conicei este dat de sistemul:
,08124
016418
yx
yx
adică este punctul
5
2,
5
4C .
Vom efectua o schimbare de reper ortonormat astfel încât centrul de simetrie să
constituie originea noului reper:
.5
2
5
4
5
2
5
4
yy
xx
yy
xx
Prin această transformare, ecuaţia conicei devine
025
28
5
416
5
26
5
2
5
44
5
49:
22
yxyyxx
sau
010649 22 yyxx . (19)
Observăm că
5
2,
5
4fc ,
unde
2816649, 22 yxyxyxyxf .
Matricea asociată formei pătratice din (19) este
15
62
29A .
Deoarece polinomul caracteristicasociat matricei A este
51050152 P
rezultă valorile proprii
51 , 102 .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 va fi
vvAvV 12
1| .
Din relaţia
vvA 1
deducem
2
1
2
15
62
29
v
v
v
v;
deci
;2562
52921
221
121vv
vvv
vvv
rezultă
112
1,2,1| vvvvV
w
.
Vom obţine baza ortonormată
11 f ,
unde
5
2,
5
11
w
wf .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 va fi
uuAuV 22
2| .
Din relaţia
uuA 2
deducem
16
2
1
2
110
62
29
u
u
u
u;
deci
;21062
102921
221
121uu
uuu
uuu
rezultă
222
2,1,2| uuuuV
z
.
Vom obţine baza ortonormată
22 f ,
unde
5
1,
5
22
z
zf .
Va rezulta
2121 , ff .
Ecuaţia conicei devine
010105: 22 yx .
Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei
y
x
y
x, ,
unde
5
1
5
25
2
5
1
, ;
deci
yxy
yxx
5
1
5
2
5
2
5
1
(20)
Ecuaţia conicei va avea forma canonică
0112
:22
yx
17
şi reprezintă o elipsă.
Axele elipsei au ecuaţiile 0x şi respectiv 0y .
Rezolvând sistemul din (20) deducem
.5
2
5
2
yxy
yxx
Aşadar, axele elipsei au ecuaţiile
.02
02
yx
yx
Ţinând seama că
5
2
5
4
yy
xx
deducem că axele elipsei vor avea ecuaţiile
,05
2
5
42
05
22
5
4
yx
yx
adică
.05
62
05
82
yx
yx
Centrul elipsei va fi 0,0 yxO .
Avem
0
0
y
x
05
2
05
2
yx
yx
02
02
yx
yx
;5
2
5
4
.05
62
05
82
y
x
yx
yx
deci centrul elipsei va fi
5
2,
5
4yxO .
Vârfurile elipsei vor fi
0,2 yxA , 0,2 yxA , 1,0 yxB , 1,0 yxB .
Deducem
18
0
2
y
x
.5
1012
5
410
.05
62
105
82
02
102
05
2
25
2
y
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
0
2
y
x
.5
1012
5
410
y
x
1
0
y
x
.5
52
5
452
.55
62
05
82
52
02
15
2
05
2
y
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
1
0
y
x
.5
52
5
452
y
x
Obţinem vârfurile următoare ale elipsei
5
1012,
5
410yxA ,
5
1012,
5
410yxA ,
5
52,
5
452yxB ,
5
52,
5
452yxB .
Elipsa obţinută are reprezentarea grafică de mai jos
A
A
B
B O x
y
x
O
y
x
Cazul 2. 0 , adică conica nu are centru unic de simetrie.
Etapele care se parcurg în acest caz pentru obţinera unei ecuaţii canonice a conice sunt:
1), 2), 4) de la cazul 1 urmate de
19
1’) În raport cu baza B , ecuaţia (1) va deveni
022 212
22
1 cybxbyx . (18)
Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei
y
x
y
xBB,M .
Observăm că pentru ecuaţia (18) avem
212
1
0
0
.
Presupunem 02 pentru ca 0 . Vom obţine ecuaţia
022 212
1 cybxbx .
2’) Se formează un pătrat perfect
02
1
21
2
2
1
11
bcyb
bx .
3’) Efectuând schimbarea de coordonate
yy
bxx
1
1
rezultă ecuaţia
02 22
1 cybx .
Observăm că avem
221
2
2
1
0
00
00
b
cb
b
.
4’) 0 02 b ; de aceea putem scrie
02
22
22
1
b
cybx .
5’) Efectuând schimbarea de coordonate
22b
cyY
xX
rezultă ecuaţia canonică
20
02 22
1 YbX ,
care corespunde unei parabole.
Exemplul 4. Se consideră conica
074344: 22 yxyxyx .
Să se aducă la forma canonică, indicându-se schimbările de reper necesare şi să se
recunoască conica obţinută.
Solution
Avem
.04
25
7223
212
2324
012
24
514
I
Deoarece
0 conica este nedegenerată,
0 , conica nu admite centru unic de simetrie.
Matricea asociată formei pătratice este
12
24A .
Deoarece polinomul caracteristicasociat matricei A este
552 P
rezultă valorile proprii
01 , 52 .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 1 va fi
uuAuV 12
1| .
Din relaţia
uuA 1
deducem
2
1
2
10
12
24
u
u
u
u;
21
deci
;202
02412
21
21uu
uu
uu
rezultă
1112
1,2,| uuuuuV .
Considerând 11 u rezultă 22 u , adică 2,1u .
Vom obţine baza ortonormată
11 f ,
unde
5
2,
5
11
u
uf .
Subspaţiul propriu asociat valorii proprii 2 va fi
vvAvV 22
2| .
Din relaţia
vvA 2
deducem
2
1
2
15
12
24
v
v
v
v;
deci
;252
52421
221
121vv
vvv
vvv
rezultă
2222
2,,2| vvvvvV .
Considerând 12 v rezultă 21 v , adică 1,2v .
Vom obţine baza ortonormată
22 f ,
unde
5
1,
5
22
v
vf .
Va rezulta
22
2121 , ff .
În raport cu baza B , ecuaţia conicei va deveni
075
1
5
24
5
2
5
132
22
1
yxyxyx
sau
075255 2 yxy . (8.1)
Trecerea la noile coordonate yx , se realizează prin intermediul relaţiei
y
x
y
x, ,
unde
5
1
5
25
2
5
1
, ;
deducem
.5
1
5
2
5
2
5
1
yxy
yxx
Vom forma un pătrat perfect, scriind ecuaţia (8.1) sub forma
05
85
5
15
2
xy .
Efectuând schimbarea de coordonate
5
1
5
8
yy
xx
rezultă ecuaţia 055 2 xy .
Ecuaţia conicei va avea forma canonică xy 5
1: 2
şi reprezintă o parabolă.
1
Cursul 13. Cuadrice
Bibliografie
1. I. Iatan, “Advances Lectures on Linear Algebra with Applications”, Lambert Academic
Publishing AG& Co. KG, Saarbrücken, Germany 2011.
2. G. Margulescu, P. Papadopol, Curs de geometrice analitica, diferentiala si algebra
liniara, Catedra de Matematici, 1976.
3. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, Facultatea de Matematică şi
Informatică, Universitatea din Craiova, 1993.
4. M. Popescu, M. Sterpu, Geometrie analitică. Teorie si aplicatii, ed. Universitaria
Craiova, 2004.
Scopuri:
1) Ecuaţia generală a unei cuadrice
2) Cuadrice pe ecuaţii canonice: sfera, conul, elipsoidul, hiperboloizi, paraboloizi
Definition 18. Considerăm funcţia
3:f ,
czbybxbyzaxzaxyazayaxazyxf 3212313122
332
222
11 222222,,
Se numeşte suprafaţă algebrică de ordinul al doilea sau cuadrică mulţimea a
punctelor zyxM ,, din spaţiu, ale căror coordonate în raport cu un reper cartezian ortonormat
verifică ecuaţia generală
0,, zyxf ; (1)
deci
0,,,,,|,, 3 zyxfzyxzyxM .
Propoziţia 2. Cuadricei din (1) i se pot asocia patru invarianţi
332211 aaaI , 3323
2322
3313
1311
2212
1211
aa
aa
aa
aa
aa
aaJ ,
332313
232212
131211
aaa
aaa
aaa
,
cbbb
baaa
baaa
baaa
321
3332313
2232212
1131211
.
Invariantul determină natura cuadricei. Astfel, dacă
2
0 cuadrica se numeşte nedegenerată (sfera, elipsoidul, hiperboloizii şi
paraboloizii)
0 cuadrica se numeşte degenerată (conul, cilindrii).
Ca şi în cazul conicelor, centrul de simetrie al unei cuadrice : 0,, zyxf este
soluţia sistemului liniar :
0
0
0
z
f
y
f
x
f
0
0
0
3332313
2232212
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
Teorema 2. Orice cuadrică are una din formele canonice:
1. 012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 cba (elipsoid imaginar);
2. 012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 cba (elipsoid real);
3. 012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 ba , 0c (hiperboloid cu pânză);
4. 012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 ba , 0c (hiperboloid cu două pânze);
5. 02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 0 ba , 0c (con imaginar de ordinul doi);
6. 02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 ba , 0c (con real de ordinul doi );
7. 022
2
2
2
zb
y
a
x, 0 ba (paraboloid eliptic);
8. 022
2
2
2
zb
y
a
x, 0a , 0b (paraboloid hiperbolic);
9. 012
2
2
2
b
y
a
x, 0 ba , 0c (cilindru eliptic imaginar);
10. 012
2
2
2
b
y
a
x, 0 ba , 0c (cilindru eliptic real);
3
11. 012
2
2
2
b
y
a
x, 0a , 0b (cilindru hiperbolic);
12. 02
2
2
2
b
y
a
x, 0, ba (pereche de plane imaginare cu intersecţa o dreaptă
reală);
13. 02
2
2
2
b
y
a
x, 0, ba (pereche de plane secante);
14. 022
2
za
x, 0a (cilindru parabolic);
15. 012
2
a
x, 0a (pereche de plane paralele imaginare);
16. 012
2
a
x, 0a (pereche de plane paralele reale);
17. 02 x (pereche de plane confundate).
TABLOUL GENERAL DE DISCUŢIE A CUADRICEI
I) Dacă 0 atunci pentru:
1. 0 , cuadrica are ecuaţia canonică
023
22
21
zSySxS , (2)
unde 1S , 2S , 3S sunt rădăcinile ecuaţiei seculare
023 JSISS
2. 0 , cuadrica are ecuaţia canonică
zJ
ySxS
222
21 . (3)
Dacă coeficienţii din (2) au semnele
a) cuadrica este un elipsoid imaginar
b) cuadrica este un elipsoid real
c) cuadrica este un hiperboloid cu o pânză
d) cuadrica este un hiperboloid cu două pânze.
Dacă coeficienţii din (3) au semnele
a) cuadrica este un paraboloid eliptic
4
b) cuadrica este un paraboloid hiperbolic
II) Dacă 0 atunci pentru:
1. 0 , cuadrica are ecuaţia canonică
023
22
21 zSySxS , (4)
2. 0 , cuadrica este cilindru sau pereche de plane.
Dacă coeficienţii din (4) au semnele
1. cuadrica este un con imaginar
2. cuadrica este un con real
Exemplul 1. Să se determine natura următoarelor cuadrice:
a) 06722 zyzxyyx ,
b) 010940672436 222 zyxzyx ,
Rezolvare
a) Avem
zyzxyyxzyxf 67,, 22 .
Indentificăm coeficienţii cuadricei:
.0
,3,0,0
,2
1,0,
2
7,0,1,1
321
231312332211
c
bbb
aaaaaa
Vom obţine
.04
405
0300
30210
021127
00271
04
1
0210
21127
0271
2
23
021
211
00
01
127
271
211
J
I
Întrucât 0 , cuadrica admite centru unic de simetrie; coordonatele centrului rezultă
rezolvând sistemul
5
135,6,21
06
072
072
0
0
0
C
y
zxy
yx
z
f
y
f
x
f
.
Vom rezolva ecuaţia seculară
04
1
2
2320 2323 SSSJSISS ;
obţinem soluţia
-2.54938S4.52772,SS 321 0.02166, .
Ecuaţia cuadricei va avea forma canonică
04052.54938-4.527720.02166 222 zyx ,
adică este un hiperboloid cu pânză.
b) Avem
10940672436,, 222 zyxzyxzyxf .
Invarianţii cuadricei vor fi
.05184
10920336
20400
3010
360036
0144
400
2110
0036
18440
01
40
036
10
036
414136
J
I
Ecuaţia seculară
0144184410 2323 SSSJSISS ;
are soluţia
4,631 321 SSS .
Ecuaţia cuadricei va avea forma canonică
036364 222 zyx
6
sau
01936
222
zyx
,
adică este un elipsoid real.
Observaţie. Cuadricele puteau fi aduse la forma canonică, folosind metodele de aducere
la forma canonică a unei forme pătratice.
Definiţia 2. Sfera este mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix,
numit centrul sferei, distanţa de la centru la punctele sferei numindu-se raza sferei.
Vom raporta planul sferei la un reper cartezian ortonormat. Fie cbaC ,, centrul sferei
iar zyxM ,, un punct oarecare al sferei (vezi fig. 1).
y O
z
x
cbaC ,,
zyxM ,,
Fig. 1. Sfera
Observatii. Sfera este o cuadrica de rotatie care se obtine prin rotirea unui cerc
(semicerc) in jurul unui diametru al sau.
In tehnica pot fi intalnite obiecte de forma sferica, de exemplu rulmentii.
Din definiţia 2 rezultă că distanţa dintre C şi M este constantă şi egală cu raza R a
sferei
RCM ,
adică
Rczbyax 222
.
Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia carteziană implicită a sferei de centru cbaC ,, şi
rază R
2222Rczbyax . (5)
Dacă desfacem pătratele în (5) obţinem ecuaţia carteziană generală a sferei
0222 2222222 Rcbaczbyaxzyx . (6)
7
Pentru a obtine ecuatiile parametrice ale unei sfere vom introduce notiunea de
coordonate sferice.
y O
z
x
M
M
Fig. 2. Coordonatele sfeice ale unui punct din spatiu
Relatiile dintre coordonatele carteziene zyx ,, ale unui punct M din spatiu si
coordonatele sale sferice ,, sunt:
,cos
sinsin
cossin
z
y
x
unde:
0 reprezinta distanta de la punctul M pana la originea axelor de
coordonate,
, ,0 constituie unghiul pe care-l face vectorul de pozitie al punctului
M cu axa zO ,
, 2,0 semnifica unghiul pe care-l face proiectia pe planul xOy a
vectorului de pozitie al punctului M cu axa xO .
Observatie. Fiecarui triplet de coordonate sferice îi corespunde un punct, dar nu oricarui
punct îi corespunde un triplet, precum in cazul cand M se afla pe zO sau in origine.
Daca efectuam o schimbare de reper ortonormat, astfel incat cbaC ,, sa constituie
orginea noului reper, atunci trecerea de la coordonatele zyx ,, la coordonatele zyx ,, în
noul reper se realizează printr-o translaţie de vector OC , caracterizată de ecuaţiile:
8
.zcz
yby
xax
Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul cbaC ,, şi de rază 0 vor fi:
,cos
sinsin
cossin
cz
by
ax
, ,,0 .2,0
Example 1. Să scrie ecuaţia sferei cu centrul pe dreapta
1
2
1
1
1:
zyxd
având raza 2R şi care trece prin punctul 1,2,0 A .
Rezolvare
Avem
tt
zyx,
1
2
1
1
1.
Ecuaţiile parametrice ale dreptei d vor fi:
.2
1
2
1
tz
ty
tx
tz
ty
tx
Deoarece centru sferei este situate pe dreapta d , rezultă că punctul
2,1, tttC
este centrul sferei.
Din condiţia
22RCA
deducem
21121221222222 tttttt ,
adică
00321212 2222 ttttttt .
Rezultă că centrul sferei este punctul
2,1,0 C ,
iar ecuaţia sferei va fi
9
221:222 zyxS .
Definiţia 3. Elipsoidul este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror coordonate în
raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia
012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 cba (7)
unde cba ,, sunt semiaxele elipsoidului.
Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia elipsoidului.
Pentru a reprezenta grafic elipsoidul vom determina intersecţiile sale cu:
- axele de coordonate,
- planele de coordonate
- planele paralele cu planele de coordonate.
0
0:
z
yOx 01
2
2
a
x ax elipsoidul intersectează Ox în două puncte:
0,0,aA şi 0,0,aA .
0
0:
z
xOy 01
2
2
b
y by elipsoidul intersectează Oy în două puncte:
0,,0 bB şi 0,,0 bB .
0
0:
y
xOz 01
2
2
c
z cz elipsoidul intersectează Oz în două puncte:
cC ,0,0 şi cC ,0,0 .
Punctele CCBBAA ,,,,, sunt vârfurile elipsoidului.
Axele de simetrie ale elipsoidului: OzOyOx ,, .
0: zOxy 012
2
2
2
b
y
a
xelipsă de semiaxe a şi b .
0: yOxz 012
2
2
2
c
z
a
xelipsă de semiaxe a şi c .
0: xOyz 012
2
2
2
c
z
b
yelipsă de semiaxe b şi c .
Intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:
012
2
2
2
2
2
c
k
b
y
a
x.
10
Dacă cck , atunci intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy sunt elipse având
ecuaţiile
012
22
2
222
2
kc
c
b
y
kcc
a
x.
y O
z
x
B B
C
C
A
A
Fig.3. Elipsoidul
Elipsoidul are: un centru unic de simetrie (originea), axe de simetrie (axele de
coordonate), plane de simetrie (planele de coordonate).
Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt:
ucz
vuby
vuax
cos
sinsin
cossin
, ,0u , 2,0v .
Observatii. Sfera este un caz particular de elipsoid, obtinuta in cazul in care toate
semiaxele elipsoidului sunt egale intre ele.
Daca doua semiaxe sunt egale, atunci se obtine un elipsoid de rotatie, care poate fi
generat prin rotatia unei elipse in jurul unei axe. De exemplu, dacă a=b atunci elipsoidul este
de rotaţie în jurul lui Oz.
Definiţia 4. Conul de ordinul doi este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror
coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia
02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 ba , 0c .
Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia conului.
Pentru a reprezenta grafic conul vom determina intersecţiile sale cu:
- axele de coordonate,
11
- planele de coordonate
- planele paralele cu planele de coordonate.
0
0:
z
yOx 0
2
2
a
x 0x conul intersectează Ox în punctul: 0,0,0O .
Similar, conul intersectează Oy şi Oz în punctul O .
0: zOxy 02
2
2
2
b
y
a
x 0 yx .
0: yOxz 02
2
2
2
c
z
a
x
0
0
c
z
a
x
c
z
a
x
două drepte concurente în punctul 0,0,0O
0: xOyz 02
2
2
2
c
z
b
y
0
0
c
z
b
y
c
z
b
y
două drepte concurente în punctul 0,0,0O
Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:
02
2
2
2
2
2
c
k
b
y
a
x.
Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt elipse având ecuaţiile
012
2
2
2
k
c
b
y
kc
a
x.
y O
z
x
Conul are centru unic de simetrie.
12
Observatie. Dacă a=b atunci se obtine conul de rotaţie care poate fi generat prin rotatia
unei cuadricei (care reprezinta doua drepte concurente)
02
2
2
2
c
z
a
y
in jurul axei Oz.
Ecuaţiile parametrice ale conului de ordinul doi:
cvz
ubvy
uavx
sin
cos
, 2,0u , v .
Definiţia 5. Hiperboloidul cu o pânză este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror
coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia
012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 ba , 0c . (8)
Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia hiperboloidului cu o pânză.
Pentru a reprezenta grafic hiperboloidul cu o pânză vom determina intersecţiile sale cu:
- axele de coordonate,
- planele de coordonate
- planele paralele cu planele de coordonate.
0
0:
z
yOx 01
2
2
a
x ax hiperboloidul cu o pânză intersectează Ox
în două puncte: 0,0,aA şi 0,0,aA .
0
0:
z
xOy 01
2
2
b
y by hiperboloidul cu o pânză intersectează Oy
în două puncte: 0,,0 bB şi 0,,0 bB .
0
0:
y
xOz 01
2
2
c
z 22 cz hiperboloidul cu o pânză nu
intersectează Oz .
Punctele BBAA ,,, se numesc vârfurile hiperboloidului cu o pânză.
0: zOxy 01:2
2
2
2
1 b
y
a
xelipsă de semiaxe a şi b .
0: xOyz 01:2
2
2
2
2 c
z
b
y hiperbolă
13
0: yOxz 01:2
2
2
2
3 c
z
a
xhiperbolă
Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:
012
2
2
2
2
2
c
k
b
y
a
x.
Rezultă că intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy sunt elipse având ecuaţiile
012
22
2
222
2
kc
c
b
y
kcc
a
x numite elipse colier.
Ecuaţiile parametrice ale hiperboloidului cu o pânză sunt:
cuz
vuby
vuax
sin1
cos1
2
2
, u , 2,0v .
Hiperboloidul cu o pânză este este o cuadrică nemărginită şi are centru unic de simetrie.
y
z
x
A
A
B B
1
2 3 3
2
O
Observatie. Dacă a=b atunci hiperboloidul cu o panza este de rotaţie în jurul lui Oz,
adica poate fi generat prin rotatia hiperbolei 012
2
2
2
c
z
b
y in jurul axei Oz.
Definiţia 6. Hiperboloidul cu două pânze este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror
coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia
14
012
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x, 0 ba , 0c . (9)
unde cba ,, sunt numere reale strict pozitive.
Numărul pânzelor este dat de numărul pătratelor care au acelaşi semn cu termenul liber.
Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia hiperboloidului cu două pânze.
Pentru a reprezenta grafic hiperboloidul cu două pânze vom determina intersecţiile sale
cu:
- axele de coordonate,
- planele de coordonate
- planele paralele cu planele de coordonate.
0
0:
z
yOx 1
2
2
a
x Ox nu intersectează hiperboloidul cu două pânze
0
0:
z
xOy 1
2
2
b
y Oy nu intersectează hiperboloidul cu două pânze
0
0:
y
xOz 1
2
2
c
z cz hiperboloidul cu două pânze intersectează Oz în
două puncte: cC ,0,0 şi cC ,0,0 .
0: zOxy 12
2
2
2
b
y
a
x planul Oxy nu intersectează hiperboloidul cu două
pânze
0: xOyz 012
2
2
2
c
z
b
y 1:
2
2
2
2
1 b
y
c
z hiperbolă
0: yOxz 012
2
2
2
c
z
a
x 1:
2
2
2
2
2 a
x
c
z hiperbolă
Intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy , de ecuaţie kz se determină din:
12
2
2
2
2
2
c
k
b
y
a
x.
Dacă ,, cck atunci intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt
elipse având ecuaţiile
012
22
2
222
2
ck
c
b
y
ckc
a
x.
Ecuaţiile parametrice ale hiperboloidului cu două pânze sunt:
15
ucz
vuby
vuax
cosh
sinsinh
cossinh
, u , 2,0v .
Hiperboloidul cu o două pânze este o cuadrică nemărginită şi are centru unic de
simetrie.
y
z
x
C
C
2
2
1
1
Observatie. Dacă a=b atunci hiperboloidul cu doua panze este de rotaţie în jurul lui Oz,
adica poate fi generat prin rotatia hiperbolei 012
2
2
2
c
z
b
y in jurul axei Oz.
Definiţia 7. Paraboloidul eliptic este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror
coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia
022
2
2
2
zb
y
a
x (10)
unde ba, , z sunt numere reale strict pozitive.
Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia parboloidului eliptic.
Pentru a reprezenta grafic parboloidul eliptic vom determina intersecţiile sale cu:
- axele de coordonate,
- planele de coordonate
- planele paralele cu planele de coordonate.
16
0
0:
z
yOx 0
2
2
a
x Ox intersectează parboloidul eliptic în punctul 0,0,0O
0
0:
z
xOy 0
2
2
b
y Oy intersectează parboloidul eliptic în punctul 0,0,0O
0
0:
y
xOz 0
2
2
c
z Oz intersectează parboloidul eliptic în punctul 0,0,0O .
0: zOxy 02
2
2
2
b
y
a
x 0 yx intersecţia este punctul 0,0,0O .
0: xOyz 022
2
zb
y zby 22
1 2: parabolă
0: yOxz 022
2
za
x zax 22
2 2: parabolă
Intersecţiile cu plane parale cu planul Oxy , de ecuaţie kz , se determină din:
kb
y
a
x2
2
2
2
2
.
Dacă 0k atunci intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt elipse având
ecuaţiile
1
22
:2
2
2
2
kb
y
ka
x .
Ecuaţiile parametrice ale parboloidului eliptic sunt:
vz
uvby
uvax
sin2
cos2
, 2,0u , 0v .
Paraboloidul eliptic este o cuadrică nemărginită şi nu are centru de simetrie.
17
y
z
x
2
1
O
Observatie. Dacă a=b paraboloidul eliptic este de rotaţie în jurul lui Oz, adica poate fi
generat prin rotatia unei parabole de ecuatie zay 22 2 in jurul axei Oz.
Definiţia 8. Paraboloidul hiperbolic este mulţimea punctelor din spaţiu ale căror
coordonate în raport cu un reper ortonormat verifică ecuaţia
022
2
2
2
zb
y
a
x. (11)
Considerăm reperul ortonormat în care este dată ecuaţia parboloidului hiperbolic.
Pentru a reprezenta grafic parboloidul hiperbolic vom determina intersecţiile sale cu:
- axele de coordonate,
- planele de coordonate
- planele paralele cu planele de coordonate.
0
0:
z
yOx 0
2
2
a
x Ox intersectează parboloidul hiperbolic în punctul 0,0,0O
0
0:
z
xOy 0
2
2
b
y Oy intersectează parboloidul hiperbolic în punctul 0,0,0O
0
0:
y
xOz 0
2
2
c
z Oz intersectează parboloidul hiperbolic în punctul 0,0,0O .
0: zOxy 02
2
2
2
b
y
a
x
0
0
b
y
a
x
b
y
a
x
două drepte concurente în punctul
0,0,0O .
18
0: xOyz 022
2
zb
y zby 22
1 2: (12) parabolă cu axa de simetrie
Oz îndreptată în direcţia negativă a dreptei Oz .
0: yOxz 022
2
za
x zax 22
2 2: (13) parabolă cu axa de simetrie Oz
îndreptată în direcţia pozitivă a dreptei Oz .
Intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy , de ecuaţie kz , k se determină
din:
kb
y
a
x2
2
2
2
2
.
Dacă 0k atunci intersecţiile cu plane paralele cu planul Oxy sunt hiperbole având
ecuaţiile
1
222
2
2
2
kb
y
ka
x.
Paraboloidul hiperbolic este o cuadrică nemărginită şi nu are centru de simetrie.
Paraboloidul hiperbolic este folosit în construcţii industriale, ca model pentru acoperişuri.
y
z
x
O
Ecuaţiile parametrice ale parboloidului hiperbolic sunt:
uvz
uvby
uvax
2cos
sin2
cos2
, 2,0u , 0v .
Observatii. Nu exista paraboloid hiperbolic de rotaţie; paraboloidul hiperbolic este
singura suprafata de gradul doi care nu este o suprafata de rotatie (deoarece nici o sectiune
printr-un parabolid hiperbolic nu este o elipsa).
19
Paraboloidul hiperbolic este o suprafata de translatie, aceasta obtinandu-se prin
translatia unei parabole (care are deschiderea in jos) zby 22 2 pe o parabola (care are
deschiderea in sus) zax 22 2 .