CURSO PROPEDÉUTICO PARA CÁLCULO · PDF file · 2016-06-06Las seis...
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CURSO
PROPEDÉUTICO
PARA CÁLCULO
DIFERENCIAL
E INTEGRAL
2
ÍNDICE
Página
Introducción 6
I. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1. Reducción de términos semejantes 7 1.2. Evaluación de expresiones algebraicas 9 1.3. Supresión de símbolos de agrupación 10 1.4. Suma y resta de polinomios 11 1.4.1. Suma de polinomios 13 1.5. Multiplicación de polinomios. Leyes de los signos, de los coeficientes y de los exponentes
14
1.6. División de polinomios. Leyes de los signos, coeficientes y exponentes 17 1.7. División sintética 19
II. TEORÍA DE LOS EXPONENTES
Exponente cero, negativo y fraccionario 20 Leyes de los exponentes 21
III. RADICALES
3.1. Reducción de radicales 23 3.2. Simplificación de radicales 23 3.3. Introducción de factores en un radical 25 3.4. Reducción de radicales al mínimo común índice 25 3.5. Reducción de radicales semejantes 27 3.6. Suma y resta de radicales 28 3.7. Multiplicación, división y potenciación de radicales 29 3.8. Racionalización 30
IV. PRODUCTOS NOTABLES
4.1. Cuadrado de una expresión algebraica formada por dos términos 32 4.2. Producto de dos expresiones conjugadas 32 4.3. Producto de dos expresiones con un término común
de la forma a b a c 32
4.4. Cuadrado de una expresión algebraica formada por tres términos 33 4.5. Cubo de una expresión algebraica formada por dos términos 33
V. FACTORIZACIÓN
5.1. Máximo común divisor (M.C.D.) de varios términos 35 5.2. Factor común 37 5.3. Trinomio cuadrado perfecto 38
3
Página 5.4. Diferencia de cuadrados 39 5.5. Suma y diferencia de cubos 40
5.6. Trinomios cuadráticos de la forma 2x bx c , con b y c enteros distintos de cero
41
5.7. Trinomios cuadráticos de la forma 2ax bx c , ( , ,a b c son enteros
distintos de cero y 1a ) 43
VI. FRACCIONES ALGEBRAICAS
6.1. Mínimo común múltiplo (M.C.M.) de varios términos 48 6.2. Suma y resta 49 6.3. Multiplicación y división 51
VII. ECUACIONES
7.1. Ecuaciones de primer grado con una variable 55 7.2. Ecuaciones fraccionarias 58 7.3. Ecuaciones literales y despejes 61
VIII. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS
8.1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 62 8.2. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas 67 8.3. Método DGO 70
IX. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
9.1. Ecuaciones incompletas de la forma 2 0ax c 72
9.2. Ecuaciones incompletas de la forma 2 0ax bx 72
9.3. Solución de ecuaciones de segundo grado por descomposición en factores
74
9.4. Solución por fórmula general 74 9.5. Ecuaciones con radicales 77
X. LA RECTA
10.1. Ángulo de inclinación de una recta 78 10.2. Pendiente de una recta 79 10.3. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas 81 10.4. Ecuación y gráfica de una recta 82 10.4.1. Ecuación de la recta conocidos un punto cualquiera de esta y su pendiente
83
10.4.2. Ecuación de la recta conocidos dos puntos de esta 84 10.4.3. Ecuación de la recta conocidos su pendiente y ordenda al origen 85
4
Página
XI. LA PARÁBOLA
11.1. Elementos de la parábola 86 11.2. Ecuación y gráfica de la parábola 87 11.2.1. Con eje de simetría paralelo al eje “ ” 87
11.2.2. Con eje de simetría paralelo al eje “ ” 88
XII. TRIGONOMETRÍA
12.1. Fórmulas de conversión 92 12.2. Longitud de Arco 93
12.3. Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo
en un triángulo rectángulo 93
12.3.1. Funciones trigonométricas de ciertos ángulos que se presentan con cierta frecuencia
94
12.3.2. Teorema de Pitágoras 94 12.3.3. Identidades pitagóricas 94 12.3.3.a. Suma y diferencia de ángulos 95 12.3.3.b. Fórmulas de ángulos dobles 95 12.3.3.c. Fórmulas de ángulo mitad 95 12.3.3.d. Fórmulas de producto-suma 96 12.3.3.e. Fórmulas de suma-producto 96 12.3.3.f. Ley de senos 96 12.3.3.g. Ley de cosenos 96
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
Ejercicios 1.1. 97 Ejercicios 1.2. 98 Ejercicios 1.3. 98 Ejercicios 1.4.1. 99 Ejercicios 1.5. 99 Ejercicios 1.6. y 1.7. 100 Ejercicios 2.1. 101 Ejercicios 3.2. 103 Ejercicios 3.3. y 3.4 104 Ejercicios 3.6. y 3.7. 105 Ejercicios 3.8. 106 Ejercicios 4.1. al 4.5. 107 Ejercicios 5.1. al 5.6. 109 Ejercicios 5.7. 110 Ejercicios 5.7.1. 111 Ejercicios 5.7.2. 111 Ejercicios 6.1. al 6.3. 112 Ejercicios 7.1. 113 Ejercicios 7.2. 115 Ejercicios 7.3. 116
x
y
5
Ejercicios 8.1. 117 Ejercicios 8.2. 118 Ejercicios 8.3. 119 Ejercicios 9.1. al 9.2. 119 Ejercicios 9.3. y 9.4. 120 Ejercicios 95 121 Ejercicios 10.2. 121 Ejercicios 10.3. 122 Ejercicios 10.4.1. 123 Ejercicios 10.4.2. 124 Ejercicios 10.4.3. 125 Ejercicios 11.2.1. al 11.2.2. 127 Ejercicios 11.2.3. 130 Bibliografía 133
6
INTRODUCCIÓN
¿Qué significa un curso Propedéutico?
La Propedéutica (del griego (pro), que significa “antes” y (paideutikós)
“referido a la enseñanza” (siendo paidós: “niño”), es el conjunto de saberes y disciplinas que
hace falta conocer para preparar el estudio de una materia, ciencia o disciplina. Constituye
una etapa previa a la metodología (conocimiento de los procedimientos y técnicas necesarios
para investigar en un área científica).
Incluir un curso Propedéutico antes de cursar la materia de Cálculo Diferencial e Integral,
involucra también a los conceptos de preparación para recibir nuevos conceptos, es el
estudio básico o por adelantado que se le da al alumno para llegar a una disciplina en forma
adecuada.
Los contenidos que se abordan en este curso Propedéutico, están vinculados con los temas
estudiados en cuarto y quinto de preparatoria, con la intención de revisarlos una vez más, ya
que son conceptos importantes que todo estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo
Diferencial e Integral, aplicará en la construcción del nuevo conocimiento.
Durante este curso Propedéutico, el estudiante se enfrentará a diversas actividades que le
permitirán enfrentar de mejor manera el cambio de nivel y de modalidad de estudio
facilitándole alcanzar el egreso de la educación media superior.
La presentación de cada tema que se expone en este Propedéutico se ha compactado de tal
manera que resulta fácil su estudio, acompañados además de una serie de ejemplos
cuidadosamente resueltos con detalle y proponiendo también ejercicios que deberá resolver
el alumno como reforzamiento de cada concepto y cuya solución se presenta al final del
material, con la recomendación únicamente de que pueda comparar sus resultados.
7
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Cuando se utiliza el lenguaje algebraico para representar operaciones entre números, se generan expresiones como las siguientes:
25 3x , a b a b , 3
2a
xx , etc.
a las cuales se les llaman EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Una expresión algebraica que consta de más de un término separados por el signo de más o menos es por ejemplo:
En la expresión algebraica 27 5 3 8x y xy y se puede decir que:
Tiene 4 términos: 27x y , 5xy , 3y y -8
Tiene 2 variables: x y y
7 es el coeficiente de 2x y , 5 es el coeficiente de xy , 3 es el coeficiente de y
8 es el término independiente.
La expresión aritmética 7 7 7 7 7 (cinco veces el 7 ), se puede reducir a la expresión 5 7 y
se puede considerar como una suma abreviada.
En la expresión algebraica 3147416547 2222 xyyxyxxyyxxyyx puede hacerse una
reducción equivalente, de la siguiente manera: Primero es necesario descubrir las características comunes que deben tener los términos
susceptibles de agruparse y reducirse a uno solo.
Observa los términos 27x y ,
25x y , 24x y ,
27x y , debes notar que difieren únicamente en el
coeficiente numérico y por esto se les llama TÉRMINOS SEMEJANTES.
8
Date cuenta que los términos 27x y y 4xy no son términos semejantes, ya que su diferencia no
solo es en el coeficiente numérico, sino también que el exponente 2 afecta a x en el primer término 27x y , y no así al segundo término 4xy , por lo tanto, se puede dar la siguiente definición:
Dos términos se llaman “TÉRMINOS SEMEJANTES” si:
Son idénticos.
O difieren únicamente en su coeficiente numérico.
Hay que recordar que ab ba (propiedad conmutativa de la multiplicación), por lo tanto, los
términos 3ab y 5ba son términos semejantes.
Ejemplos
2 37k Lp ,
2 33Lk p , 3 2Lp k ,
3 27 p Lk son términos semejantes.
22x ,
2
3
x,
22
5x también son términos semejantes.
Al reducir términos semejantes, deben suceder dos cosas:
El resultado es un término semejante a los términos que se pretende reducir.
El coeficiente del resultado se obtiene sumando o restando los coeficientes de los términos semejantes que se pretenden reducir.
Ejemplos
1) 2 4 2 4x x x 6x
2) 7 2 7 2ab ab ab 5ab
3) 2 2 2 2 2 2 25 3 2 5 3 2 5 3 2x y x y yx x y x y x y x y 24x y
4) 2 2 2 2 26 3 3 6 3 3 0r r r r r 0
5) 2 2 1 2 12 3 6 4
2 12 3 2 3 6
x x x x x x
w w w w w w
13
6
x
w
o Si una expresión algebraica NO TIENE términos semejantes, entonces la expresión queda
representada tal y como está, sin posibilidades de simplificación. Ejemplo
33 7 6 3xy x y y x
9
o Si todos los términos de una expresión algebraica son semejantes entre si, la expresión se puede reducir a un solo término.
Ejemplo
7 3 2 7ab ab ab ab ab
o Si una expresión algebraica tiene, tanto términos semejantes como otros que no lo sean,
dicha expresión se puede simplificar reduciendo cada grupo de términos semejantes entre si, a un solo término hasta que la expresión no tenga términos semejantes separados.
Ejemplo
8 3 2 4 2 8 2 3 4 2 6 7 2x y x y x x y y x y
Ejercicios 1.1. Reduce las siguientes expresiones algebraicas.
1. 5 11 9 20 1x y x y 2. 2 2 3 2 3a b b c a c b
3. 2 2 215 6 8 20 5 31a ab a ab a ab 4.
3 4 2 3 4 2 3 371 84 50 84 45 18a b a b a b a b a b a b
5. 1 2 1 23 7 3 1
25 50 5 25
m m m ma b a b 6. 1 1 3 1 3 1
2 32 3 4 6 4 2
a b a b a b
7. 2 2 23 1 1
2 2 25 10 3
m mn m mn mn m 8. 2 2 2 2 23 1 5 1 3 1 1
2 24 2 6 3 4 6 3
a ab b a ab b b ab
9. 2 2 3 2 2 371 14 65 115 6m mn m mn m m m m
10. 1 2 3 1 2 2 3 35 3 8 5 50 4 65 90 7x x x x x x x xa b c a b b c c
1.2. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El valor numérico de una expresión algebraica, puede calcularse cuando a cada literal de la expresión se le asigna un valor específico.
Al proceso de calcular el valor numérico de una expresión se llama EVALUACIÓN, y consiste en sustituir el valor específico dado de cada literal usando paréntesis antes de efectuar las operaciones.
Ejemplos
Evaluar las expresiones siguientes, si 3a , 2b , 1c , 2d
1) 2 6a b c d
2 3 2 1 6 2 6 2 1 12 9
2) 2 4 7 3d c d
2 2 4 7 1 3 2 4 4 7 6 48
10
3) 2 3ac bd
ad
2 3 1 3 2 2 6 12 18
3 2 6 6
3
4)
2 22
2
a bd
c
2 2
2
2
3 2 9 42 4 13 4
11
9
5) 3 2 2
2
a c b
b d
2 23 3
2
3 1 2 8 2 11 1 1
2 4 4 22
3
2
Ejercicios 1.2.
Evalúa las siguientes expresiones si: 1a , 2b , 3c , 4d , 1
2m ,
2
3n ,
1
4p , 0x
1. 2 2 2b c d a m n x 2. 2 2 22 6 4mx b c d
3. 2 2
2
4 m p a b
a c
4.
2 2 2c dm
a d
5.
2
2 1 1 1 1 1 1b
a b b c n m
6. 2 22 3 4 2 4m n p c m n
1.3. SUPRESIÓN DE SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN
Los símbolos de agrupación más empleados, son los paréntesis , corchetes y llaves
; indican prioridad de operaciones, es decir, que indican el orden en que deben realizarse las
operaciones. Cuando se escribe una expresión dentro de un símbolo de agrupación, esta se considera
como una sola cantidad; por ejemplo, si se encierra dentro de un paréntesis al binomio 2 4x y como
2 4x y , se considera la suma de 2x y 4 y como una sola cantidad.
Cuando hay un signo de más “ ” o un signo de menos “ ” antes de un símbolo de agrupación que encierra una expresión algebraica, sucede que:
11
o Si hay un signo , los signos de los términos no se alteran al eliminar el símbolo de agrupación.
o Si hay un signo , el signo de cada uno de los términos cambia al eliminar el símbolo de
agrupación.
Eliminar o suprimir símbolos de agrupación, significa efectuar las operaciones indicadas por ellas y se empieza con el que esté situado más adentro, siguiendo el propio orden de las operaciones a efectuar.
Ejemplos Suprimir símbolos de agrupación y reducir términos semejantes.
1) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3x x x x x x x x 5x
2) 4 2 3 5 2 1 4 2 3 5 2 2 4 2 3 5 2 2a a a a a a a a a a a a
= 4 2 2 3 5 2a a a a a
3) 3 5 2 3 5 2 3 5 2x y x y x y x y x y x y x y x y x y
=3 5 2 3 2 5x y x y x y x x x y y y 6 7x y
4) 3 1 1 3 1 1
4 2 4 4 2 42 3 2 2 3 2
a b a b a b a b a b a b
= 3 1 1 3 1 1
4 2 4 4 2 42 3 2 2 3 2
a b a b a b a b a b a b
=1 3 1 3 12 3 4 1
4 2 4 43 2 2 3 2 2 2
a a aa a a b b b b b b
83 4
3
ab
Ejercicios 1.3. Quita los símbolos de agrupación y reduce combinando términos semejantes.
1. 4 3 3 1x y x 2. 2 3x y x y x y
3. 1 2 3 3a b a 4. 8 3 3 3a a b a b
5. 3 4 3x x x 6. 5 3 2 4a b b c b a a c
7. 3 2 4 3 2xy xy x y xy x xy 8. 2 3 5 6 5a ab b a ab b a b
1.4. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
12
Hay una clase de expresiones algebraicas, llamadas POLINOMIOS que reciben especial atención en la matemática (es decir, que todo polinomio es una expresión algebraica, pero hay expresiones algebraicas que no son polinomios). Para que una expresión algebraica en una variable reciba el nombre de POLINOMIO, sus términos deben tener ciertas características, en general se pueden representar como:
01
1
1 ... axaxaxa n
n
n
n
, donde los coeficientes na , 1na ,…,
1a , 0a pueden representar cualquier
número real; los exponentes n , 1n ,…1 deben ser números enteros positivos y la variable x puede
ser cualquier número real.
Una expresión algebraica con un solo término recibe el nombre de MONOMIO si cumple con cualesquiera de las siguientes condiciones:
a) Es una constante. b) Sus variables tienen exponentes enteros positivos y la única operación entre el coeficiente
numérico y las variables es la multiplicación.
Ejemplos de términos que si son monomios:
x , 25x , 7 , 3ab ,
31
2pq r ,
2
3 ,
3 33
7x yz , etc.
Ejemplos de términos que no son monomios:
2
5
x,
2
2
2x
y, 2 x ,
2 3
4
4 p q
r
, etc.
Una expresión algebraica formada por dos términos no semejantes y ambos términos son monomios, recibe el nombre de BINOMIO.
Ejemplos de expresiones que si son binomios:
x y , 2a a ,
22 3b , 3 4abc , 12
x ,
23pq r , etc.
Ejemplos de expresiones que no son binomios:
3px
q ,
22x x , 2 1
5xx
, 2 1
2yy
, etc.
En general, cualquier expresión algebraica formada por un número finito de monomios, recibe el nombre de POLINOMIO.
13
Una expresión algebraica que tenga al menos un término que no sea monomio, NO ES POLINOMIO. Los polinomios se pueden clasificar:
a) Según el número de variables que tengan b) Según su grado:
En polinomios con una variable, su grado es el mayor exponente de la variable. En polinomios con más de una variable, su grado es el mayor de los grados de sus
monomios (se determina sumando los exponentes de sus variables). Ejemplos
1) 23 2 1x x Polinomio con una variable y de grado 2
2) 26x y y Polinomio con dos variables y de grado 3
3) 2 2 33 2 4xyz y y z Polinomio con tres variables y de grado 5
1.4.1. SUMA DE POLINOMIOS Se pueden sumar dos o más polinomios escribiendo uno a continuación de otro, respetando sus signos y reduciendo términos semejantes si los hay, o también, colocándolos uno debajo de otro agrupando en columnas los términos semejantes para efectuar su reducción. La resta de polinomios es similar a la suma, teniendo en cuenta que en el polinomio que se va a restar, cambian de signo todos sus términos. Ejemplos
1) Sumar los polinomios 2336,582 242 xxxxx
2 4 2 4 2 22 8 5 6 3 3 2 6 2 3 8 3 5 2x x x x x x x x x x 4 26 5 3x x x
O también:
2) Restar 2336 24 xxx de 582 2 xx
2 4 2 2 4 22 8 5 (6 3 3 2) 2 8 5 6 3 3 2x x x x x x x x x x 4 26 5 11 7x x x
O también:
2
4 2
4 2
2 8 5
6 3 3 2
6 5 11 7
x x
x x x
x x x
Ejercicios 1.4.1.
2
4 2
4 2
2 8 5
6 3 3 2
6 5 3
x x
x x x
x x x
14
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra primero la suma de los polinomios y segundo, resta el segundo del primero. Primero Segundo
1. 7 7x y ; 3 9 6x y z
2. 3 6 3 4x xy yz ; 3 7 6 13x xy yz Primero Segundo
3. 2 23a ab b ;
2 25ab a b
4. 3 2 32 1 2
3 4 5m mn n ;
2 2 31 1 3
6 8 5m n mn n
5. 3 2 32 5 1
9 6 3a ax x ;
2 2 33 7 1
7 8 9a x ax x
6. 3 2 4 51 3 1
10 4 6x y xy y ;
4 3 2 52 12
5 3x y x y y
1.5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, DE LOS COEFICIENTES Y DE LOS EXPONENTES
a) Multiplicación de números reales:
Si x y y son dos números reales cualesquiera:
x y xy ; x y xy ; x y xy ; x y xy
b) El producto 3 5x significa tres veces cinco, es decir, 3 5 5 5 5x (tres términos de 5 )
de la misma manera: 4x x x x x (cuatro veces x o cuatro términos de x )
3ab ab ab ab (tres veces ab o tres términos de ab )
En general, si “ n ” representa un número entero positivo cualquiera, se tiene que nx , significa: n -
veces x o n términos de x , o sea:
n veces
nx x x x x
c) 42 es una forma compacta de representar el producto formado por cuatro factores, todos
iguales a 2 , es decir:
4
4 2
2 2 2 2 2
factores iguales a
de la misma manera:
3
3 3 3 3 ;
52 2 2 2 2 2
5 5 5 5 5 5
15
Si “ x ” representa un número real y “ n ” es un entero positivo,
entonces:
A partir de esta definición, se puede obtener una regla para el producto de potencias de igual base a una sola potencia, por ejemplo:
Si “ x ” representa un número real cualquiera y “ n ” y “ m ” son dos enteros positivos
cualesquiera:
El producto de dos potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma que tienen las factores y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores (esta regla se generaliza al producto de más de dos potencias).
La propiedad distributiva en los números reales establece que si , ,a b c son tres números
reales cualesquiera, entonces:
a b c ab ac
la cual se puede extender a: 1 2 3 1 2 3n na b b b b ab ab ab ab
y se aplica para multiplicar polinomios. Ejemplos Multiplicar:
1) 2 2 2 2 22 2 2a a a a a a a 4 32 2a a
16
2) 2 2 3 21 2 1 2 3 63 2 3 3 3 2 6
2 3 2 3 2 3x x x x x x x x x x x
3 232 6
2x x x
3) 4 2 6 1 4 2 6 1
12 12 12 4 4 2 6 6 13 2 3 2
x x x xx x
4 4 4 2 6 6 6 1 16 8 36 6x x x x 28 2x
4) 3 1 3 3 1 3 3x x x x x x x x x 2 2 3x x
El primer polinomio se considera como una sola cantidad y se aplica la propiedad distributiva como en los ejemplos anteriores. Se obtiene el mismo resultado si se ordenan los polinomios uno arriba del otro y se multiplica el polinomio superior por cada uno de los términos del inferior. Los términos semejantes obtenidos en el producto se acomodan en una misma columna para facilitar la suma. Ejemplo
5) 2 2 2 22 3 9 2 2 3 2 9 2 3 2 3 9 2 9x x x x x x x x x x x x x x x
3 2 22 3 6 9 18x x x x x 3 25 15 18x x x
O también: Ejercicios 1.5. Multiplica como se indica y reduce términos semejantes.
1. 2 2 426 3 3
3
m xa b ab a a b
2. 2 322 3
7xy y x y x
3. 3 3xy x y 4. 3 5 6x y x y
5. 21 1 2 4
2 3 3 5x xy x y
6. 21 1x x x
17
7. 2 24 2 5c a c ac a 8. 2 27 3 5 6x x x
9. 2 21 1 1 2 3
2 3 4 3 2x xy y x y
10. 2 23 4 2 3a a a a
11. 1 2 3x x x 12. 2 3 2 1m m m
13. 2 23 2 3 4b b b 14. 2 23 2 7 8a c a ac c
15. 2 21 2 1 3
4 3 4 2a ab b a b
1.6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, COEFICIENTES Y EXPONENTES.
a) División de números reales.
Si x y y representan dos números reales cualesquiera y y es distinto de cero 0y , por lo tanto,
se tiene que:
x x
y y
;
x x
y y
;
x x
y y
;
x x
y y
b) La división 30
12
ab
cd
se puede efectuar como sigue:
30 2 3 5
12 2 2 3
ab ab
cd cd
5
2
ab
cd (se descompuso el 30 y el 12 en sus factores primos para simplificar a
su mínima expresión).
c) La división de
7
4
x
x se puede realizar de la siguiente manera:
7 4 3
4 4
x x x
x x 3x
Ejemplos Realizar la división de monomios.
1) 5 4
5 3 4 2
3 2
x yx y
x y
2 2x y 2)
3 2 4 3 2 4 3 1 2 2 4 32 0 1
2 3 2 3
12 2 2 3 2 2
18 2 3 3 3 3
x y z x y z x y zx y z
xy z xy z
22
3x z
Realizar la división de un polinomio entre un monomio.
1)
4 3 4 312 6 18 12 6 18
6 6 6 6
x x x x x x
x x x x
3 22 3x x
18
2) 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 4
2 2 2 2
x y x y xy x y x y xy
x y x y x y x y
2
22
yx y
x
Realizar la división de dos polinomios.
1) 4
2
8 15 24
2 4
dividendox x
divisorx x
Primero se completa el dividendo:
4 3 2
2
8 0 0 15 24
2 4
x x x x
x x
Por lo tanto:
4
2
8 15 24
2 4
x x
x x
2
2
44 2 7
2 4x x
x x
2)
24 4 3
2 3
x x
x
Por lo tanto:
24 4 3
2 3
x x
x
2 1x
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Sean f x y g x dos polinomios tales que g x no es una constante. Si el polinomio f x es
de grado mayor o igual que el grado de g x , entonces existen polinomios únicos q x y r x de
modo que el grado de r x es menor que el de g x y:
19
f x r xq x
g x g x ó f x q x g x r x
Si el grado de f x es menor que el de g x , el polinomio 0q x y f x r x ; por otro lado,
el grado de q x es igual al de f x menos el de g x .
1.7. DIVISIÓN SINTÉTICA
Cuando se divide un polinomio entre otro de grado uno, de la forma ax b , se puede hacer
uso de la división corta (o sintética) que consiste en hacer más breve dicha operación. Se
ejemplificará esto con el ejemplo anterior dos
24 4 3
2 3
x x
x
Ejemplos
1) 24 4 3
2 3
dividendox x
divisorx
1º Se completa y ordena el dividendo y se factoriza el divisor como se muestra: 2º Se hace el siguiente arreglo:
Para obtener el cociente, se divide estos números entre 2 (factor de 3
2x
), resultando:
, por lo tanto:
24 4 3
2 3
x x
x
2 1x
Si el dividendo es de segundo grado y el divisor de primer grado, entonces el cociente es de
2 1 1 primer grado.
Si el residuo es cero como en este caso, se dice que el dividendo 344 2 xx es divisible entre
el divisor 32 x .
Se hace la observación importante, de que la división sintética,
20
solo puede aplicarse cuando el polinomio divisor es de primer grado.
2)
5 4 3 26 2 3 3 3
3 1
x x x x x
x
5 4 3 26 2 3 3 3
13
3
x x x x x
x
Por lo tanto:
5 4 3 26 2 3 3 3
3 1
x x x x x
x
4 2 22 1
3 1x x
x
Ejercicios 1.7. Efectúa las divisiones indicadas.
1. 32
4
ab
ab
2.
2 3
2
36
6
x y
x y
3.
2 315 9
3
a b ab
ab
4.
2 3
2
14 21
7
x x
x
5.
4 3 2 4 2 2
2 2
2m n m n m n
m n
6.
29 6 3
3
x x
7.
2 7 6
1
x x
x
8.
23 24
3
x x
x
9.
38 6
2
x x
x
10.
212 7 10
3 4
x x
x
11.
3 2
2
10 12 27
3
x x x
x x
TEORÍA DE LOS EXPONENTES
Cuando un número real 0x está elevado a un exponente n (entero positivo), esto se
escribe:
Si el exponente es igual a cero: 0 1x (todo número real elevado a la cero potencia es igual a
uno, excepto el cero), una forma de ver esto, puede ser si: 10 xxx
x nn
n
n
6 0 3 0 32 0 1 0 1
3
21
Si el exponente es un entero negativo: 1n
nx
x
Si el exponente es una fracción p
q, donde p y q son enteros y 0q :
p
pq qpqx x x
Las reglas para operar con exponentes, reciben el nombre de LEYES DE LOS EXPONENTES y algunas de estas son:
Si x y y representan números reales distintos de cero 0, 0x y y n y m enteros
positivos:
1. n m n mx x x (si son iguales las bases, se suman los exponentes)
2. m
n n mx x ; 3. n n nxy x y ; 4.
n n
n
x x
y y
; 5.
nn m
m
xx
x
Nota: Estas leyes se pueden generalizar para cuando los exponentes son números reales también. Ejemplos Realizar las operaciones indicadas, utilizando las leyes de los exponentes y expresando los resultados sin exponentes fraccionarios ni negativos.
1)
1 1 72
32 73 3 3x x x x x
7
3 x ; 2)
22 3 8 9 133 4 12 12
3 1
4 12
1aa a a
a a
12
1
a
3) 1 41 4
4 43 333p p p p
43 p ; 4)
1
31 1 1 3 33 3 3
1 1 1xy
x yxy x y
3
1
xy
5)
1122
1 1 1
2 2 2
1
2
1 1a b b
b aa a a
bb
b
a
Ejercicios 2.1. Desarrolla:
1. 2
24a 2. 4
4y 3. 3
5a 4. 3
23xy
22
5. 3
2 32x y 6. 3
3 47ab c 7. x
m na b 8. 2 3m
a b c
9.
2
2
x
y
10.
3
2
2a
b
11.
4
21
3ab
12.
5
2 41
2a b
13. 0
4 14. 0
2xy 15. 0
24m n 16.
0
31
2xy
Expresa con signo radical:
1.
3
5x 2.
3
44a 3.
1
2xy 4.
4 5
5 22a b 5.
2 4 2
7 5 73x y z 6. 5
1
5
4
2
3
zyx
Expresa con exponente fraccionario:
1. 5a 2.
3 7x 3. 542 x 4.
3 542 ab c 5. 2 3 955a x y z 6.
3n xrm a b c
Expresa con exponentes positivos y simplifica:
1.
1
4 2a b
2.
1
2 33x y
3.
1
4 2
3 4
3
8
m n
m n
4.
1
22
3 2 13
a x
a x y
5.
2 1
3 4
1
2 2
x y
x yz
6. 2
1 3
3 2 4
3a mn
a m n
Efectúa las operaciones indicadas:
1.
2 3
5 53m m
2.
1 1
3 22 2x y x y
3.
2 1 1 2
3 3 3 3a b a b
4. 3
1 242a b ab
5. 3 1 2 2a b a b 6.
1 2
2 25 32 1
3 7m b m b
7.
2 1
5 5a a
8.
3 1
4 2m m
9.
2 1
5 54 2x x
10.
7
3 4a a
11. 2 1
3 2
x y
x y
12.
32
3a b
13. 3
2 1a b 14.
2
2 5
1
5
8
4
x y
xy
15.
21
4 4x y
16.
211
322a b
17. 1 2
2 2 3 0x y x y
18.
2
2
23
7
8
3
7
yyz
x
RADICALES
La raíz n -ésima de un número real “ a ”, se expresa como:
23
Cuando el índice “ n ” es par, entonces el subradical “ a ” deber ser no negativo 0a . Si el
índice “ n ” es impar, entonces el subradical “ a ” puede ser positivo, negativo o nulo (es decir,
cualquier número real). Definición
La raíz n -ésima de un número real “ a ” es un número “ k ” cuya potencia n -ésima es “ a ”, es decir: n a k ya que
nk a
Ejemplos
1) 3 8 2 ya que 32 8 ; 2) 9 3 ya que
23 9 ; 3) 5 32 2 ya que 5
2 32
4) 4 no es un número real porque el subradical es negativo y el índice “ n ” es par.
3.1. REDUCCIÓN DE RADICALES Recordando del capítulo anterior que los radicales pueden ser sustituidos por exponentes
fraccionarios: p
pq qpqx x x
Entonces las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes y se llaman LEYES DE LOS RADICALES:
1. 1 1n ; 2. 0 0n ; 3. nn nxy x y ; 4. ; 0n
nn
x xy
y y
5. n mm nm nx x x ; 6.
n nkm mka a ; k es un entero positivo.
3.2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Un radical n a se dice que está simplificado cuando:
◊ El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice “ n ” del
radical.
◊ El índice del radical “ n ” es el menor posible.
◊ El subradical no contiene fracciones.
◊ No hay radicales en el denominador de ninguna fracción.
24
Antes de ver algunos ejemplos, hay que recordar que para descomponer un número en sus factores primos, es conveniente aplicar algunas reglas de divisibilidad:
A. Cuando un número termina en cifra CERO o PAR, dicho número es divisible entre 2. B. Si un número termina en cifra CERO o CINCO, dicho número es divisible entre 5. C. Si la suma de sus dígitos de un número es divisible entre tres, dicho número es divisible entre
3. Ejemplos Simplificar los siguientes radicales:
1) 90
Solución El subradical se descompone en sus factores primos como sigue:
290 3 5 2 ; por lo que
290 3 5 2 y por la propiedad 3:
2) 524x
Solución
5 2 4 2 4 424 2 2 3 2 2 3 4 6x x x x x x x 22 6x x
3) 6 53 54x y
Solución
3 23 3633 56 2354 yyxyx 2 233 2x y y
4) 6 104 64x y
25
Solución
Si el índice del radical “ n ” y los exponentes de todos los factores poseen un factor
común, tanto el índice como los exponentes de los factores del subradical se dividen entre su factor común (propiedad 6)
6 10 2 3 2 3 2 5 3 3 5 2 2 44 2 264 2 2 2 2x y x y x y x y xy
22 2xy xy
Ejercicios 3.2. Expresa cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.
1. 18 2. 3 48 3. 42 243 4. 31128
2 5.
4 53 64x y 6. 6 2 29a x
7. 2 24 25a b 8.
2 3
3 5a 9.
4 88 81x y
3.3. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL
Para introducir una cantidad en un radical, se eleva dicha cantidad a la potencia que indica el índice del radical.
Ejemplos
1) 2 23 5 3 5 9 5a ab a ab a ab 345a b
2)
3 3 3
3 333
2 2 2x x x x x x
y y y y y y
4
34
8x
y
Ejercicios 3.3. Dando al coeficiente el exponente apropiado, inclúyelo dentro del signo radical.
1. a b 2. 22 3b a 3.
33 2
9
a x
x a 4.
aa b
a b
5.
2
42
4
xx
x
6.
2
1 12
4a
a
3.4. REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE
Radicales de distintos índice, pueden convertirse a radicales con el mismo índice obteniendo el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los índices (que será el índice común) y elevando cada subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.
26
Antes de resolver algunos ejemplos, recuerda que: “El mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dos o más números, es el menor de sus múltiplos comunes” Ejemplo Los primeros diez múltiplos de los números 12 y 18 son:
12 12,24,36,48,60,72,96,108,120,132,M
18 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,M
la intersección de estos dos conjuntos es: 12 18 36,72,108,M M de donde 36 es el
M.C.M. de 12 y 18 .
Una manera más sencilla de obtener el M.C.M. de dos o más números, es la siguiente:
Descomponer cada número en sus factores primos. Tomar los factores comunes repetidos y no repetidos de mayor exponente. El M.C.M. es el producto de estos factores del paso anterior.
Ejemplo
Encontrar el M.C.M. de los números 12 y 18 .
El M.C.M. de 12 y 18 es 2 22 3 4 9 36
Ejemplos Reducir al mínimo común índice:
1) 22x ,
23 4xy
Solución
El M.C.M. de 2 y 3 es 2 3 6 ; 6 426 2263
6
23 2 16)4()4(4 yxxyxyxy
6
32 2 26 622 2 2x x x
6 68x
2) 3ab , 34 a b ,
10 24a
27
Solución
El M.C.M. de 2, 4 y 10 es 22 5 20 ;
2020
23 3ab ab 10
20 3ab
20
3 34 20 4a b a b 5
320 a b ; 20
10 2 220 104 4a a 2
220 4a
Ejercicios 3.4. Reduce el mínimo común índice.
1. 42 , 3 2. 35 , 2 3. 5 23 2 , 3ab a x 4.
235 , 4x x y 5. 62 3 5 44 8 , 3a x a m
6. 5 102 34 3 , 2 , 7a b x
3.5. REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes si después de que han sido simplificados, constan del mismo subradical y el mismo índice.
Ejemplos
1) 6 2 y 3 2 son radicales semejantes.
2) 3 8 y 128 ¿son radicales semejantes?
Solución Primero se descompone en sus factores primos cada subradical.
3 2 23 8 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 2
7 6 6128 2 2 2 2 2 8 2
ya que 3 8 6 2 y 128 8 2 por lo tanto si son radicales semejantes.
3) 3 81 y 3 375 ¿son radicales semejantes?
28
Solución
3 3 34 3 33 381 3 3 3 3 3 33 3
3 33 33 3375 5 3 5 3 35 3 si son semejantes.
3.6. SUMA Y RESTA DE RADICALES
La suma o resta de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes.
Ejemplos Efectuar las siguientes operaciones con radicales.
1) 54 24 150
Solución
3 3 2 2 2 254 24 150 3 2 2 3 5 2 3 3 3 2 2 2 3 5 2 3 3 6 2 6 5 6
54 24 150 3 2 5 6 6 6
2) 3 51
6 7x x x xx
Solución
3 5 2 4 21 1 16 7 6 7 6 7 6 7x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
3 51
6 7 6 7 0x x x x x x x x xx
0
3) 2 24 416 81 36a a a
Solución
29
La raíz 36a se convierte al mismo índice de las otras dos:
4 22 2 2 4 4 2 24 4 44 4236 36 36 3 2 3 2 3 2a a a a a a
Por lo tanto 2 2 4 2 4 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 416 81 36 2 3 6 2 3 6a a a a a a a a a
4 24 24 24 2 )632(368116 aaaaa
Ejercicios 3.6. Simplifica los radicales y reduce los que sean semejantes.
1. 3 7a b a b a b 2. 3 4 5ab b a ab 3. 50 32 18
4. 1 1 3
12 18 482 3 4
5. 20 2 75 4 12 6. 2 2 2 22 9 16 4m n m n mn mn
3.7. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN DE RADICALES
Para multiplicar o dividir radicales, es necesario que sean del mismo índice (si son de índices diferentes, deben convertirse al mismo índice) y después aplicar las propiedades
3. nn nxy x y o la 4. ; 0n
nn
x xy
y y . Cuando un radical se eleva a un exponente, se aplican
las propiedades p
pq qpqx x x y m
n nma a
Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas.
1) 7 2 7 2 14 ; 2) 22 2 2a ab a ab a b 2a b
3) Cuando se multiplican expresiones con radicales con más de un término, es lo mismo que con los polinomios, por ejemplo:
4) 15 15
33 5 ; 5)
3 5 3 54
22
a b a bab
a ba b 2b a
30
6) 2 2 22 225 4 2 2 44 4 4 4 16x x x x x x x x x
516x
Ejercicios 3.7. Efectúa las operaciones indicadas y expresa cada resultado en su forma más simple.
1. 5 4 8 2. 22 7 28a a 3. 2 318 2x y xy 4. 3 23 3 4a a
5. 3 33 412 9a b ab 6. 12 5x a a
a
7. 4 3 2 5 3 8. 3 2x x
9. 2 3 1a b 10. 2 3 7 5 5 3 11. 4 6 2 3a 12. 2 3
10
a
a
13.
13
23
4
xy
x
14. 2
2 x 15. 3
5 2 16. 3
b a
3.8. RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una fracción que contiene radicales, significa remover (quitar) los radicales.
a) Cuando se tiene un radical en el denominador de una fracción, el cual se quiere remover, se
debe multiplicar el numerador y el denominador de dicha fracción por el radical del denominador elevado a un exponente tal que, cuya suma con el exponente original, sea un múltiplo entero del índice “ n ” del radical original.
Ejemplos Racionalizar el denominador de cada fracción.
1)
2
4 4 2 4 2 4 2
22 2 2 2
2 2 ; 2) x
x
x
x
x
x
xx 5
3
)(5
3
)(
)(
5
3
5
3 3 2
33
3 2
23
23
33
3)
2
2 2 1 2 1
1 1 1 1
x x
x x x x
2 1
1
x
x
31
b) Cuando el denominador de una fracción consta de dos términos que contienen radicales de segundo grado, se racionaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del
denominador (se hace uso del producto 2 2a b a b a b ).
Ejemplos Racionalizar el denominador de cada fracción.
1)
2
2
2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 1 22 1 2
1 2 11 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
2) 6 3 26 6 3 2
3 23 2 3 2 3 2
6 3 2
Ejercicios 3.8. Racionaliza el denominador.
1. 1
5 2.
1 2
2 3 3.
3
5 4.
3
2x 5.
2
2
a
ax 6.
m
a b
7. 6
2 3 8.
5 2 3
4 3
9.
2 5
2 5
10.
2
a x
a x
11.
1
1
x x
x x
Nota adicional: Cuando el denominador de una fracción consta de dos términos que contienen
radicales de tercer grado de la forma 3 3a b , se racionaliza multiplicando numerador y
denominador por 2 2
3 3 3 3a a b b
respectivamente (o sea que en estos casos se usa el
producto 2 2 3 3a b a ab b a b ).
Ejemplo Racionalizar el denominador.
1)
2 23 3 3 3
3 32 23 3 3 3
3 32 23 3 3 33 33 3 3 3
5 5 3 31 1 5 5 3 3 25 15 9
5 35 3 5 3 5 35 5 3 3
32
3 3
1
5 3
3 3 325 15 9
8
IV PRODUCTOS NOTABLES
Existen algunos productos de expresiones algebraicas que reciben especial atención debido a que en su obtención se sigue una regla fácil de memorizar, algunos de estos productos son los siguientes y reciben el nombre de productos notables.
4.1. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR DOS TÉRMINOS
2 2 2( ) ( )( )a b a b a b a a a b b a b b a ab ab b 2 22a ab b
Por lo tanto: 2 2 22a b a ab b y se puede memorizar diciendo que es igual “al cuadrado del
primero 2
a más el doble producto del primero por el segundo 2ab más el cuadrado del segundo
2
b .
Un desarrollo análogo al de 2
a b es el de 2
a b :
2( ) ( )( )a b a b a b a a a b b a b b 2 22a ab b
4.2. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CONJUGADAS
La expresión a b es la conjugada de a b y viceversa.
2 2a b a b a a a b b a b b a ab ab b 2 2a b
Por lo tanto: 2 2a b a b a b y se puede memorizar diciendo que es igual “a una diferencia de
cuadrados”.
Si el orden de los factores cambia, el resultado es el mismo, o sea:
2 2a b a b a b a b a b
33
4.3. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CON UN TÉRMINO
COMÚN DE LA FORMA a b a c
2a b a c a a a c b a b c a c a b a b c 2a c b a bc
Por lo tanto 2a b a c a c b a bc y se puede memorizar diciendo que es igual a “el
cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los no comunes más el producto de los no comunes.
4.4. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR TRES TÉRMINOS
2
a b c a b c a b c a a a b a c b a b b b c c a c b c c
2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac ab b bc ac bc c a b c ab ab ac ac bc bc
2
a b c 2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc
Por lo tanto 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc y se puede memorizar diciendo que es igual
a “el cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo más el cuadrado del tercero más el doble producto del primero por el segundo más el doble producto del primero por el tercero más el doble producto del segundo por el tercero.
4.5. CUBO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA POR DOS TÉRMINOS
3 2 2 2 2 2 2 22 2 2a b a b a b a ab b a b a a a b aba abb b a b b
3 3 2 2 2 2 32 2a b a a b a b ab ab b
3 2 2 33 3a a b ab b
Por lo tanto 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b se puede memorizar diciendo que es igual a “el cubo del
primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.
Ejemplos
34
Desarrollar los siguientes binomios o trinomios según sea el caso.
1) 2
3x 2 2
2 3 3x x 6 9x x
2)
2 2 2 2 2
2 2
3 3 3 9 62
x y x x y y x xy y
y x y y x x y yx x
2 2
2 2
96
x y
y x
3) 2 2
7 2 7 2 7 2y y y 249 4y
4) 2
23 1 3 1 3 1x x x 9 1x
5) 2
7 2 7 5 7 2 5 7 2 5w w w w 249 49 10w w
6) 2
2 2 3 2 3 2 3 2 4 2 3x y x y x y y x y y x y x y
2 2 3x y x y 2 4 2 3x xy y
7) 2 2 2 2
2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3x y z x y z x y x z y z
2
2 3x y z 2 2 24 9 4 6 12x y z xy xz yz
8) 2 2
222 2 2 22 2 2 2 2 2 2x x x x
y z y z y z y zy y y y
2
22x
y zy
2 22 4 2
2
24 4 4
x xzy z x yz
y y
9) 3 3 2 3 2
2 3 2 3
3 2
2 2 2 2 8 4 23 3 3 3
x x x x x x xx x x x x x x
y y y y y y y
3
2xx
y
3 3 33
3 2
8 12 6x x xx
y y y
10) 3 3 2 2 3
4 3 4 3 4 4x x x x 3 212 48 64x x x
Ejercicios 4.5.
35
1. x y x y 2. 2
4r s 3. 3
1x 4. 2 2 2 2x y x y 5. 2
3 3a b
6. 2 2 2 23 11 3 11a b a b 7. 2
2 3x y 8. 3 1 3 1m m 9. 2
2 24 3x y
10. 3 3ab ab 11. 5 6ab ab 12. 3
2 2a b 13. 1 5ax ax
14. 3
22 y 15. 3 4 3 4x x 16. 1 13 4m mx x 17. 2
11x y
18. 3 312 15a a 19. 3
a b
20. 2mn y mn y 21. 2
1 23a ax x
22. ab cd ab cd 23. 2
2 4mn 24. 3
1 5ax 25. 3 8x xa a
26. 2 29 12xy xy 27. a b c a b c 28.
33 3
3 2
x y
29.
22 2m n
30. 2 5 2 2
3 4 3 7
x x
31. 1 16 5x xa a 32.
32
15
a
33. x n x na b a b
34.
2 2
65 5 2
x x aa
35.
22 3
3 4
xya
36.
3
2 3
5xy z
37.
3 32 6
a a
b b
38. 1 18 9a ax x 39. )12)(12( 22 nnnn 40. 2 3 4 2 3 4x y z x y z
41. 1 2 1 2x y x y 42. 2
3x y
V. FACTORIZACIÓN La factorización se puede considerar como un procedimiento contrario al de la multiplicación, ya que mientras en ésta al conocer los factores, se obtiene el producto, en la factorización conociendo el producto se trata de obtener sus factores.
La factorización es el procedimiento que consiste en representar las expresiones matemáticas como el producto de dos o más factores. En particular, se tratará la factorización de polinomios con coeficientes enteros.
5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) DE VARIOS TÉRMINOS
El máximo común divisor (M.C.D.) o máximo factor común (M.F.C.) de dos o más números enteros, es el producto de sus factores primos comunes de menor exponente.
36
El M.C.D. o M.F.C. de un conjunto de monomios se obtiene tomando el producto del M.F.C. de los coeficientes numéricos de los monomios y las literales comunes cada una elevada a su mínima potencia.
Ejemplos Obtener el M.C.D. o M.F.C. de:
1) 25,50,125
Solución
Por lo tanto, el M.C.D. de 25,50,125 es 25 25
2) 16, 24, 40
Solución
Por lo tanto, el M.C.D. de 16, 24, 40 es 32 8
3) 3 4 215 ,25 ,30x x x
Solución
Por lo tanto
3 3
4 2 4
2 2
15 3 5
25 5 . . .
30 2 3 5
x x
x x M C D
x x
25x
4) 9 1x y 2
3 1x
Solución
37
2
2 2
9 1 3 1. . .
3 1 3 1
x xM C D
x x
3 1x
5) 2 2x x y 2
2 2x x
Solución
. . .M C D 2x x
5.2. FACTOR COMÚN Es importante saber, que la factorización de una misma expresión matemática puede obtenerse de diferentes maneras. Ejemplos
1) 24 3 8 2 3 4 6 4 etc.
2) 2 3 3 26 2 3 3 2x y xy x y x xy etc.
3) 3 2 22 2 12 2 6 2 2 3x x x x x x x x x etc.
Tratando de evitar esto y obtener una única respuesta, es necesario llegar hasta lo que se conoce por “factorización total”, “factorización completa” o “máxima factorización”, lo cual se logra obteniendo el M.C.D. o M.F.C. de todos los términos de una expresión matemática. Ejemplos Obtener el factor común de las siguientes expresiones.
1)
2) 6 12x 3) 2 26 4 10x y xy x
Solución Solución
2
6 3 2. . . 3 2 6
12 3 2
x xM C D
2 2
2 2 2
6 3 2
4 2 . . .
10 2 5
x y x y
xy xy M C D
xy xy
2xy
6 12x 6 2x 2 26 4 10x y xy x 2 3 2 5xy x y
38
4) 2
4 3 6 3x x
Solución
2 224 3 2 3. . 2 3
6 3 3 2 3
x xM C D x
x x
2
4 3 6 3 2 3 2 3 3 2 3 2 6 3x x x x x x 2 3 2 3x x
5) 2
18 3 4 12 4 3x x x
Solución
)43(6)43(23...)43)(1(23)34(12
)43(32)43(182
222
xxDCM
xxxx
xx
2
18 3 4 12 4 3 6 3 4 3 3 4 2 6 3 4 9 12 2x x x x x x x x x
218 3 4 12 4 3x x x 6 3 4 11 12x x
5.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) es todo aquel que proviene del cuadrado de un binomio
cualquiera, por ejemplo como 2 2 22x y x xy y , por lo tanto,
2 22x xy y es un T.C.P.
A una expresión de la forma 2x bx c , de aquí en adelante, se llamará trinomio cuadrático
de forma BÁSICA.
Si se compara el T.C.P. 2 22x xy y con el trinomio cuadrático de forma BÁSICA
2x bx c ,
se puede establecer que 2b y y que 2c y o lo que es lo mismo:
2
by o bien que
2
2
2
by c
.
De acuerdo con el resultado anterior, para saber si un trinomio es o no cuadrado perfecto, bastará
considerarlo en forma BÁSICA y verificar si cumple o no la igualdad
2
2
bc
.
Ejemplos Determinar si son T.C.P.
1) 2 26 9x xy y
39
Solución
En este caso 6b y y 29c y , aplicando la igualdad
2
2
bc
, se tiene que
2
2 263 9
2
yy y c
2 26 9x xy y 2
3x y es un T.C.P.
2) 24 8 1x x
Solución
24 8 1x x en forma BÁSICA es 2
2 4 2 1x x de donde 4b y 1c entonces
2 24
42 2
bc
24 8 1x x no es un T.C.P.
3) 29 12 4y y
Solución
29 12 4y y en forma BÁSICA es 2
3 4 3 4y y donde 4b y 4c entonces
2 24
42 2
bc
29 12 4y y 2
3 2y es un T.C.P.
5.4. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados, es decir:
2 2a b a b a b .
Ejemplos Factorizar los siguientes binomios conjugados.
1) 2 2 249 7x x 7 7x x 2)
22 2 24 2x y x y 2 2x y x y
3) 2
4 4 2 2 2 26 6 6 1 6 1 6 1 1x x x x x
26 1 1 1x x x
4) 228 18 3 2x y ;
3
2
8 2. . . 2
18 2 3M C D
22 2 22 28 18 3 2 2 4 9 3 2 2 2 3 3 2x y x y x y
40
228 18 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2x y x y x y 2 2 9 6 2 9 6x y x y
5) 2
22 9 325 5
16 4x x
3 35 5
4 4x x
6) 3 3 22 2 23 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1x y x x y x x x y
3 23 1 1 3 3 1 3 1 3 1x y x x x y x y 3 1 3 1 3 1x x y x y
5.5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Para factorizar binomios que constituyen sumas o diferencias de cubos, se utilizan las formas siguientes:
3 3 2 2a b a b a ab b
3 3 2 2a b a b a ab b
Ejemplos Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos.
1) 3 3 2 23 38 27 2 3 2 3 2 2 3 3x y x y x y x x y y
2 22 3 4 6 9x y x xy y
2) 33 3216 6x x 26 6 36x x x
3) 3 3 2 2364 8 4 2 4 2 4 2 4 2z z z z z 24 2 16 8 4z z z
4) 4 3 3 33 81 3 27 3 3x x x x x x 23 3 3 9x x x x
5) 6 2 3 3 2 2 2 2 264 ( ) (4) ( 4)(( ) 4 (4) )x x x x x 2 4 2( 4)( 4 16)x x x
41
En general, para factorizar binomios que constituyen sumas o diferencias de potencias iguales de la
forma n na b , se procede como sigue:
Si el exponente “n” es IMPAR:
1 2 3 2 4 3 1n n n n n n na b a b a a b a b a b b
Si el exponente “n” es PAR:
n na b no es factorizable por este método
1 2 3 2 4 3 1n n n n n n na b a b a a b a b a b b
ó 1 2 3 2 4 3 1n n n n na b a a b a b a b b
5.6. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2x bx c ,
CON b Y c ENTEROS DISTINTOS DE CERO
Al multiplicar dos binomios con un término común 2x m x n x m n x mn se
obtiene un trinomio cuadrático de forma BÁSICA 2x bx c , en donde b m n y el valor de
c m n , esto es: 2x m x n x m n x mn
2x b x c
Por lo tanto, los trinomios cuadráticos de la forma BÁSICA 2x bx c pueden factorizarse como el
producto de dos binomios de la forma x m x n , invirtiendo el procedimiento como sigue:
Primero, los trinomios deberán expresarse en forma BÁSICA para poder identificar los valores , ,x b c
Segundo, se buscan dos enteros m y n cuya suma m n b y cuyo producto m n c
Ejemplos Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos.
1) 2 11 24k k
Solución
42
El trinomio ya está en forma BÁSICA, en donde x k , 11b y 24c , esto indica que el término
común de los binomios factores es k y los términos no comunes m y n serán dos enteros negativos
(*) porque 11b (es negativo) y 24c (positivo), tales que su suma sea igual a 11 y que su
producto sea 24 , estos números son 8 y 3 ya que 8 3 11 y 8 3 24 por lo
tanto: 2 11 24k k 8 3k k
(*) Cuando “ c ” es positivo, “ m y n ” llevan el signo de “b ”.
Cuando “ c ” es negativo, entonces el de mayor valor absoluto lleva el signo de “b ”.
2) 29 6 24z z
Solución
1º se expresa en forma BÁSICA 2x bx c :
229 6 24 3 2 3 24z z z z
en donde 3x z , 2b y 24c , el término común de los binomios es 3z y los no comunes son
6 y 4 ya que 6 4 2 y 6 4 24 , por lo tanto:
29 6 24z z 3 6 3 4z z
3) 225 45 36y y
Solución
Su forma BÁSICA es 2
5 9 5 36y y en donde: 5x y , 9b y 36c ahora hay que
encontrar dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 36 son: 12 y 3 ya que
12 3 9 y 12 3 36 , por lo tanto: 225 45 36y y 5 12 5 3y y
4) 29 69 24w w
Solución
Su forma BÁSICA es 2
3 23 3 24w w en donde: 3x w , 23b y 24c , ahora se debe
encontrar dos números cuya suma sea 23 y cuyo producto sea 24 , estos son: 24 y 1 ya que
24 1 23 y 24 1 24 , por lo tanto: 24)3(23)3(24699 22 wwww
29 69 24w w 3 24 3 1w w
Cuando no exista ninguna pareja de factores enteros de “ c ” cuya suma sea igual a “b ”, se asegura
que el trinomio dado no es factorizable por este método, con las condiciones establecidas.
43
5) 236 42 60M M
Solución
Su forma BÁSICA es 2
6 7 6 60M M en donde: 6x M , 7b y 60c , el término común de
los binomios es 6M y las parejas posibles de factores enteros de “ c ” son:
60 1 60 2 30 3 20 4 15 5 12 6 10c ya que “ c ” es
positivo y “ b ” es negativo. Como no existe ninguna pareja de factores de “ c ” cuya suma sea igual a
7b , por lo tanto este trinomio 236 42 60M M , no se puede factorizar por este método con las
condiciones establecidas. Ejercicios 5.6. Factoriza:
1. zxyx 22 2. )1()1( xbxa 3. 22 2 baba 4.
22491 ba 5. 1072 xx
6. 232 2 xx 7. 31 a 8. yyy 32 23 9.
269 xx 10. 62100 yx 11. 22 xx
12. 33 nm 13. 276 2 xx 14. )1(3)1(2 nynx 15.
23232 11055 xnmxnm
16. 6135 2 xx 17. 2092 yy 18. 13 y 19. 12125 42 yx 20. 8118 48 aa
21. 2)2( nna 22. 432 xxxx 23. 1253 a 24. 2452 cc 25. 1253 a
26. 864291 dcba 27. 1)1( aax 28. 35447 2 xx 29.
3232 2415129 abbaaba
30. )1(3)1)(( nnyx 31. 2
2
4bab
a 32.
294
1a 33. 21102 xx
34. 12815 2 aa 35. 63 278 ba 36. 4379 2 xx 37. aa 2120 2 38.
2536
62 xa
39. 336
25
25
1 24 xx 40. ))(1()1)(( mxxxmx 41. bxabaabba 2232 8563
42. 4062 nn 43. 15148 2 aa 44. 33 278 yx 45.
22 )(4 yxx
46. 16
2164
236 yyxx 47. byaybxax 48. 120 2 yy 49. 3652 xx
50. 22)( ayx
44
5.7. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2ax bx c
( , ,a b c SON ENTEROS DISTINTOS DE CERO y 1a )
Se darán algunos procedimientos para intentar la factorización de trinomios de este tipo:
Una manera, consiste en expresar el trinomio dado como el cociente de un trinomio de la
forma BÁSICA 2x bx c entre un entero como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplos Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos.
1) 23 13 10y y
Solución
El trinomio original se multiplica y divide por 3 , que es el coeficiente del término cuadrático:
22 2 23 3 13 10 3 13 3 303 13 3 3 10
3 3 3
y y y yy y como el trinomio del numerador
2
3 13 3 30y y ya está en forma BÁSICA y en donde 3x y , 13b y 30c , se busca dos
números cuya suma sea 13 y cuyo producto 30 , por lo que 15 2 13 y 15 2 30 ,
por lo tanto
2
23 13 3 30 3 15 3 2
3 13 103 3
y y y yy y
dividiendo finalmente al factor
3 15y entre el divisor 3 , resulta que 23 13 10y y 5 3 2y y
2) 26 5 6z z
Solución
Multiplicando y dividiendo entre 6 :
226 6 5 6 6 5 6 36
6 6
z z z z factorizando el trinomio
2
6 5 6 36z z , en el cual 6x z , 5b y 36c , se buscan dos números cuya suma sea
5 y cuyo producto 36 , estos dos números son 9 y 4 ya que 9 4 5 y
9 4 36 , por lo tanto: 26 9 6 4
6 5 63 2
z zz z
2 3 3 2z z
45
Ejercicios 5.7. Factoriza:
1. 5176 2 xx 2. 5214 2 xx 3. 273 2 xx 4. 3116 2 xx 5. 15234 2 xx
6. 31710 2 xx 7. 3103 2 xx 8. 7236 2 xx 9. 8103 2 xx 10. 9192 2 xx
11. 7152 2 xx 12. 7176 2 xx 13. 7249 2 xx 14. 103936 2 xx
Otra forma de intentar la factorización de trinomios cuadráticos de la forma 2ax bx c ,
cuando 1a , consiste en:
1. Se efectúa el producto ac
2. Factorización en primos del paso 1. 3. Análisis de signos de los números que se buscan.
4. Descomposición de factores de los pasos 2. y 3. en dos números cuya suma sea “b ”.
5. Agrupación y factorización final.
Ejemplos Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos.
1) 24 24 35x x
Solución
Paso 1. 4 35 140ac
Paso 2. 22 7 5
Paso 3. 0 , 0ac b luego ambos números son negativos.
Paso 4. 2 7 2 5 ; 14 10 24 b
Paso 5. 2 2 24 24 35 4 10 14 35 4 10 14 35 2 2 5 7 2 5x x x x x x x x x x x
24 24 35x x 2 5 2 7x x
2) 221 11 2x x
Solución
Paso 1. 21 2 42ac
Paso 2. 7 3 2 1
46
Paso 3. 0 , 0ac b por lo que uno de los números es positivo y el otro negativo.
Paso 4. 7 3 2 1 ; 14 3 11 b
Paso 5. 2 2 221 11 2 21 14 3 2 21 3 14 2 3 7 1 2 7 1x x x x x x x x x x x
221 11 2x x 7 1 3 2x x
3) 218 45 28x x
Solución
Paso 1. 18 28 504ac
Paso 2. 2 22 3 7 2
Paso 3. ac > 0 , b > 0 luego ambos números son positivos.
Paso 4. 3 7 6 4 ; 21 24 45 b
Paso 5. 2 2 218 45 28 18 21 24 28 18 21 24 28 3 6 7 4 6 7x x x x x x x x x x x
218 45 28x x 6 7 3 4x x
4) 212 19 18x x
Solución
Paso 1. 216)18)(12( ac
Paso 2. 2 23 2 2 3
Paso 3. 0 , 0ac b por lo que uno de los números es positivo y el otro negativo.
Paso 4. 2 23 3 2 2 ; 27 8 19 b
Paso 5. 2 2 212 19 18 12 27 8 18 12 27 8 18 3 4 9 2 4 9x x x x x x x x x x x
212 19 18x x 4 9 3 2x x
Repasando los signos:
Si 0ac y 0b ambos números son negativos.
Si 0ac y 0b ambos números son positivos.
Si 0ac y 0b uno es negativo y el otro es positivo.
Si 0ac y 0b uno es positivo y el otro negativo.
Ejercicios 5.7.1. Factorizar:
1. 576 2 xx 2. 576 2 xx 3. 5136 2 xx 4. 61110 2 xx 5. 456 2 xx
47
6. 310 2 xx 7. 310 2 xx 8. 8719 2 xx 9. 13376 2 xx 10. 561915 2 xx
11. 9718 2 xx 12. 212910 2 xx 13. 11011 2 xx 14. 121918 2 xx
15. 12712 2 xx
Otra manera de intentar factorizar trinomios cuadráticos de la forma cbxax 2, cuando
1a , pueden ser:
Por prueba y error
Por medio de la fórmula general a
acbbx
2
42
Ejemplo
Factorizar 10133 2 xx … (A)
Procedimiento por prueba y error: 10133 2 xx … (A)
De acuerdo con el esquema, debajo del término 23x , se colocan dos factores x3 y x
Cuyo producto es 23x y debajo del término 10 , se colocan otros dos factores cuyo producto
sea 10, multiplicando en cruz xx 15)5)(3( y xx 2)2)(( , se observa que, para obtener el
término de en medio del trinomio cuadrático (A) x13 , debe tenerse que el producto )5)(3( x
sea positivo y el producto )2)((x sea negativo, para que xxx 13215 y 10)2)(5( y
por lo tanto, 23 13 10x x (3 2)( 5)x x
Procedimiento por la fórmula general:
Factorizar 10133 2 xx … (A), en esta expresión se tiene que 13,3 ba y
10c , al sustituir estos valores en la fórmula general, se obtiene:
6
28913
6
12016913
)3(2
)10)(3(4)13(13
2
422
a
acbbx
13 17 2
; ;6 3
x
5x
Y por el teorema fundamental del algebra, en donde una ecuación entera de grado “n”
De la forma 0...2
2
1
10
n
nnn axaxaxa , con 00 a , tiene exactamente “n” raíces
nrrrr ,...,,, 321 ; puede ser expresada como: 0))...()()(( 3210 nrxrxrxrxa ; por lo tanto
La solución del ejemplo es: 2 23 13 10 3 5
3x x x x
(3 2)( 5)x x
48
Ejercicios 5.7.2. Factoriza por los dos métodos anteriores.
1. 352 2 xx 2. 2665 xx 3. rr 1772 2 4. 45915 2 xx 5.
2
3
2
1 2 xx
VI. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Indican una operación de división, por ejemplo min
numeradora
deno adorb
con 0b (ya que la
división por cero no está definida).
6.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE VARIOS TÉRMINOS
Una expresión algebraica que es divisible entre otra (con residuo cero), se llama múltiplo de
ésta última, por ejemplo: 2 2a b es múltiplo de a b .
Una expresión algebraica que es múltiplo de dos o más expresiones se llama múltiplo común
de estas expresiones, por ejemplo: 2 2a b es múltiplo común de a b y a b .
Dos o más expresiones pueden tener más de un múltiplo común. Aquel múltiplo común de dos o más expresiones algebraicas que tiene el menor grado posible se llama el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dichas expresiones, es decir, es igual “al producto de todos los factores diferentes de estas expresiones, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca”. Ejemplos Hallar el M.C.M. de las siguientes expresiones algebraicas.
1) 2 2x y ;
2 22x xy y ; 3 3x y
Solución
Se escribe cada expresión en forma factorizada: 2 2x y x y x y
22 22x xy y x y ; 3 3 2 2x y x y x xy y , los factores diferentes son x y ; x y
y 2 2x xy y , el mayor exponente de x y es 2 y el de los otros factores es 1 , por lo tanto el
M.C.M. 2 2 2x y x y x xy y
2) 22 3 2x x ;
22 7 3x x
Solución
49
2
2
2 3 2 2 1 2. . .
2 7 3 2 1 3
x x x xM C M
x x x x
2 1 2 3x x x
3) 29 4x ;
29 12 4x x
Solución
22 2
22
9 4 3 2 3 2 3 2. . .
9 12 4 3 2 3 2 3 2
x x x xM C M
x x x x x
2
3 2 3 2x x
6.2. SUMA Y RESTA Las fracciones se pueden sumar o restar si sus denominadores son iguales:
a b a b
m m m
; 0m
Si no tienen igual denominador, entonces pueden transformarse en otras fracciones
equivalentes obteniendo su . . .M C M de los denominadores:
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
; 0bd
Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas.
1) 3 2
2 5
x x x
y y y
Solución
Primero se obtiene el M.C.M. de los denominadores: 2 . . . 2 5 10
5
y
y M C M y y
y
Ahora se escriben las fracciones equivalentes con denominador 10 y y luego se efectúan
operaciones, como sigue:
10 3 5 2 23 2 10 15 4 10 15 4 14 15
2 5 10 2 5 5 2 10 10 10 10 10
x x xx x x x x x x x y x x
y y y y y y y y y y y
10
x
y
2) 2 5 6
6 4
x x
x x
Solución
50
El M.C.M. de los denominadores es:
)()2(4
))(2)(3(62 xx
xx M.C.M.
2(3)(2) ( )x 12x
Una manera más fácil de escribir las fracciones equivalentes, es dividir el M.C.M. entre cada denominador y el resultado se debe multiplicar por su numerador correspondiente, como sigue:
2 2 5 3 6 4 10 3 18
12 12
x x x x
x x
8
12
x
x
; ya que
122
6
x
x y
123
4
x
x
3) 2 2
9 20 6 13
12 6
x x
x x x x
Solución Para obtener el M.C.M. de los denominadores, es necesario presentarlos en forma factorizada:
2
2
12 4 3. . . 4 3 2
6 2 3
x x x xM C M x x x
x x x x
2 2
2 9 20 4 6 139 20 6 13 9 20 6 13
12 6 4 3 2 3 4 3 2
x x x xx x x x
x x x x x x x x x x x
2 2 2
2 2
9 20 6 13 9 18 20 40 6 24 13 52 3 13 12
12 6 4 3 2 4 3 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
2 2
3 4 39 20 6 13
12 6
x xx x
x x x x
4 3x x 2x
3 4
4 2
x
x x
4) 2
4
4 2
x x
x x
Solución
2 4 2 2. . . 2 2
2 2
x x xM C M x x
x x
2 2
2
4 24 4 4 2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x xx x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
2
24
4 2
x xx x
x x
2 2x x
2
x
x
51
6.3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
El producto de dos fracciones, es otra fracción cuyo numerador y denominador son respectivamente el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las fracciones dadas, es decir:
a c ac
b d bd ; , 0b d
Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas.
1) 2 2
3
9 2
4
x y
y x
Solución
2 22 2
23 3
9 29 2
4 2
x yx y
y x x y
9
2
x
y
2)
2 2
2 2
3 6 1
2 11 5 3 10 3
x x x x
x x x x
Solución Primero se factorizan completamente, numeradores y denominadores:
2 3 3x x x x ; 26 1 3 1 2 1x x x x ; 22 11 5 2 1 5x x x x
23 10 3 3 3 1x x x x ; por lo tanto:
2 2
2 2
33 6 1
2 11 5 3 10 3
x xx x x x
x x x x
2 1x
3 1
5
x
x
2 1x
3x 3 1x
5
x
x
El cociente (o división) de dos fracciones es igual al producto del dividendo por el reciproco del divisor, esto es:
; , , 0
a
a c a d adb b c dcb d b c bc
d
52
Ejemplos Realizar las operaciones indicadas y simplifícarlas.
1) 3
4 5
8 4
9 3
x x
y y
Solución
3 3 5
4 5 4
8 4 8 3
9 3 9 4
x x x y
y y y x
22
3
x y
2) 3 2
2 2 2
4
3 3
x x
x xy x y
Solución
33 2 3 2 3
2 2 2 2 3
44 4 4
3 3 3 3 3
x y x y x x y x yx x x x x
x xy x y x x y x y x y x x y x x x y
3 2
2 2 2
4
3 3
x x
x xy x y
4
3
x y
Fracción compleja es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos y se entiende por simplificarla si se transforma a una fracción simple, reducida a sus términos más sencillos.
Ejemplos Simplificar:
1) 2
2
5 212
11 212
x x
x x
Solución Como regla práctica, a veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el M.C.M. de todos los denominadores que intervienen en ella (lo cual equivale a multiplicar por uno la expresión original).
53
2
222
22
2 2
5 25 2 1212 4 1 3 212 5 2
11 2 11 2 12 11 2 4 1 3 212 12
xx xx xx xx x
x x x xx
x x x x
4 1
4 1
x
x
2) 3
18
3
x
xx
Solución
2
3 3 3 3 3 3 3 33
18 18 3 18 3 18 6 33
3 3
x x x x x x x xx
x x x x x xx x x
x x
3
6
x
x
Ejercicios 6.3. Efectúa las operaciones indicadas y simplifícalas.
1. 2 3 2
4 6
x x 2.
2
2 1
5 3a ab 3.
2 2
2 2
3 4
3 5
a b a b ab
ab a b
4.
2 4
12 15 30
x y x y y x
5. 3 2 3 3a b a m
ab am a
6.
1 1
1 1a a
7.
3 6
1 2 5x x
8.
x x
x y x y
9. 2 2
4x y x y xy
x y x y x y
10.
2
2
3 2 2 5
2 4
x x x
x x
11.
2
2 3
3 4 3
5 3
a ab
ab a b
12.
2
2 3
3 1 2 3
5 3 15
x x x
x x x
13.
1 1
1 1
x x
x x
14.
2
1x
xy y y
15.
2
1 1 1
4 4 8 8 12 12a a a
16. 2
1 1x
a ax a x
17.
2 22 6
3 4
a b
b a 18.
3 2 2
3 2
2 3 5
15 7
x a x
a y xy 19.
2 2
2 2
2 2 3
2 2 3
x x x x
x x x
20.
2
2
2 2 4 5
2 50 3 3
a a a
a a
21.
2 1
1 2x x
x x
22.
2
21
ab ba
a b a
23.
2
1x x
xy x y
24.
22 3
2
3
5
a ba b
x 25.
22 36
5
a xa x 26.
3 2
2
5 5
2 6 2 6
x x x x
x x x
54
27. 2 2
2 2 4
x y x y
x y x y
28.
2
3
4 2
8 2
x x
x x
29.
2 2
x y y x
a b a b
30.
31
31
x
x
31.
21
21
xx
xx
32. 2
2
3 41
1 21
x x
x x
33.
44
12
x
xx
x
34.
1 5
13 2
1
x x
x x
35.
61
2 3
22
d
c dd
c d
VII. ECUACIONES Una igualdad es la relación o comparación que se establece entre dos expresiones algebraicas mediante el signo “” (igual a), llamándose primer miembro de la igualdad a la expresión que se escribe a la izquierda del signo , y segundo miembro a la que se escribe del lado derecho. Ejemplos
Una proposición de igualdad que contiene variables, puede ser “ecuación” o “identidad”; es
ecuación si existe cuando menos un valor de sus variables que de lugar a una igualdad falsa y es
identidad cuando la igualdad es verdadera para todos los valores posibles de sus variables.
Ejemplos
4 2 2 1x x Es ecuación, ya que sólo es verdadera para 1
2x
2 22 4 4x x x Es identidad, porque es verdadera para cualquier valor que se le asigne a la
variable x .
Resolver una ecuación, consiste en determinar los valores que pueden adquirir sus variables para que la igualdad sea verdadera. A estos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación y constituyen su conjunto solución. Algunas de las propiedades que más se aplican en la solución de ecuaciones, son: Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta una misma cantidad, la igualdad
subsiste.
Si a b entonces a c b c ( , ,a b c son números reales).
Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad, la
igualdad subsiste.
55
Si a b entonces ac bc y a b
c c ; 0c
7.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Una ecuación es de primer grado en una sola variable, si al tener todos los términos de la igualdad en uno de sus miembros (aplicando las propiedades anteriores), se llega a una igualdad de
la forma 0ax b (llamada forma estándar) en la cual a y b son constantes y x es la variable o
incógnita 0a .
Para resolver una ecuación, se procede a encontrar otra ecuación más simple que la original, cuyo conjunto solución sea el mismo (esto se puede lograr generalmente, aplicando las propiedades anteriores) Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.
1) 9 2 7x x
Solución Aplicando las propiedades anteriores se obtiene otra ecuación equivalente, reuniendo en un miembro los términos que contienen la incógnita y en el otro término, los que no la contienen:
9 2 7x x
9 7 2 7 7x x x x sumando 7x en ambos miembros.
16 2x
1 116 2
16 16x
multiplicando por
1
16 ambos miembros.
2
16x , simplificando
1
8x
2) 3 2 2 2 1 12x x
Solución Primero se remueven los paréntesis efectuando los productos y simplificando.
3 2 2 2 1 12x x 4 4 4 12 4x se suma 4 en ambos miembros
6 6 2 2 12x x 4 16x
6 2 6 2 12x x 1 1
4 164 4
x
se multiplica ambos miembros por 1
4
4 4 12x 16
4x 4x
56
Cuando se transforma una igualdad en otra equivalente aplicando las propiedades, es costumbre decir que si un término es positivo, “pasa” con signo contrario al otro miembro y si está multiplicando “pasa” dividiendo (llevándose su signo) y viceversa, si esta dividiendo, “pasa” multiplicando (llevándose su signo). Esto no es otra cosa que una manera de hablar y simplificar las cosas, pero se debe estar consciente que la justificación de esta forma de hablar, es la aplicación de las propiedades y esto se usa solamente para ahorrar pasos en el desarrollo. Se mostrará esto con el ejemplo anterior 2) con esta forma de actuar.
Ejemplos Resolver la siguiente ecuación.
2) 3 2 2 2 1 12x x
Solución
3 2 2 2 1 12x x 4 12 4x
6 6 2 2 12x x se efectúa el producto 4 16x ; 16
4x
4 4 12x se simplifica 4x
3) 2 5 17
3 16 12
x x
Solución
Cuando en una ecuación aparecen términos que contienen fracciones, para facilitar la reducción de términos semejantes, se multiplica a ambos miembros de la ecuación por el M.C.M. de los denominadores de las fracciones, como se muestra:
El M.C.M. de 3,16,12 es: 4 4
2
3 3
16 2 . . . 3 2 48
12 3 2
M C M
Por lo tanto: 2 5 17
3 16 12
x x 17 68x
2 5 1748 48
3 16 12
x x
68
17x
32 15 68x x 4x
4) 3 7
14 6
x x
Solución
2
24 2. . . 2 3 12
6 3 2M C M
1491223 xx
57
3 7
12 12 14 6
x x
7x
3 3 2 7 12x x
1214293 xx
5) 3 2 1
4 3 6
x x x
Solución
2
2
4 2
3 3 . . . 2 3 12
6 3 2
M C M
3 4 2 8 2 9x x x
3 2 112 12
4 3 6
x x x
9 3x
3 3 4 2 2 1x x x 3
9x
3 9 8 4 2 2x x x 1
3x
Para “comprobar” si el resultado es correcto, bastará con sustituir dicho resultado en la ecuación original, la cual deberá satisfacerse al realizar las operaciones indicadas. Ejemplo
Comprobar que 1
3x satisface a la ecuación
3 2 1
4 3 6
x x x
Solución
1 1 13 2 1
3 3 3
4 3 6
8 7 2
3 4 3 3 3 6
1 9 6 1 1 3
3 3 3 3 3 3
4 3 6
2 7 1
3 9 9
8 7 2
3 3 3
4 3 6
2 6
3 9 ;
2 2
3 3 lo cual es correcto.
58
Ejercicios 7.1. Resuelve las siguientes ecuaciones enteras de primer grado con una variable.
1. 2 1 8 3 3x x x 2. 30 6 5 4 5 6 8 3x x x x x
3. 15 6 5 2 3 7 23 3 2x x x x x x
4. 16 3 6 9 30 3 2 3x x x x x x
5. 71 5 2 3 25 3 4 4 3x x x x
6. 3 8 15 6 3 2 5 4 29 5x x x x
7. 2 2
7 4 3 5 4 1 1 2x x x x
8. 2 2 2 22 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12x x x x x x x
9. 2 25 1 6 3 7 3 2 5 2x x x x x x x
7.2. ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son “ecuaciones fraccionarias” aquellas en las que la variable está presente en el divisor (denominador), de uno o más de sus términos.
Se resuelven de la misma manera que las anteriores. Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.
1) 2
2 3 7
2x x x
Solución
El M.C.M. de 2, , 2x x x es:
22x 2 2
2
2 3 72 2
2x x
x x x
4 6 7x x 3 6x
4 7 6x x 6
3x
; 2x
59
2) 1 3
3 4
x
x
Solución
El M.C.M. de 3x y 4 es: 4 3x 1 3
4 3 4 33 4
xx x
x
4 1 3 3x x 4 3 9 4x x
4 4 3 9x x 5x
3) 1 4 7
3 3 12 3 9x x x
Solución
3 3
3 12 3 4 . . . 3 4 3
3 9 3 3
x x
x x M C M x x
x x
3 4 7 28 12 12x x x
1 4 7
3 4 3 3 4 33 3 12 3 9
x x x xx x x
8 4x
3 4 4 3 7 4x x x 4
8x
; 1
2x
3 12 4 12 7 28x x x
4) 2
7 3 9 26
6 4 2 24
x
x x x x
Solución
2
6 6
4 4 . . . 6 4
2 24 6 4
x x
x x M C M x x
x x x x
7 28 3 18 9 26x x x
242
269)4)(6(
4
3
6
7)4)(6(
2 xx
xxx
xxxx 7 3 9 26 28 18x x x
7 4 3 6 9 26x x x 16x
5) 2 2 2
2 1
4 4 1 2 7 4 12
x x x
x x x x x x
Solución
60
22
22
2
4 4 1 2 1 2 1 2 1
2 7 4 2 1 4 . . . 2 1 4 3
12 4 3
x x x x x
x x x x M C M x x x
x x x x
)3)(4()3)(4()12(
)4)(12()12(
12)3)(4()12( 2
2
2
xx
xxxx
xx
x
x
xxxx
2
4 3 2 1 2 1 3 2 1x x x x x x x x
3 2 2 3 2 3 22 5 3 8 20 12 2 7 3 4 4x x x x x x x x x x x 3 20 3 12x x x x
3 20 12 3x x x x 21 12x ; 12
21x
;
4
7x
Ejercicios 7.2. Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias.
1. 1
56 3
xx 2.
19 3 6 2
2n n 3.
22 4 12 7
3n n n
4. 5
22 12 6 4
x x x 5.
1 1 1 1
2 4 10 5x x 6.
2 5 7 31
3 10 2x x x
7.
27 1 5 2 4 3 4 1
3 2 4 3
x x x x
x x
8.
3 26 1 1 3
18 5 6 9
xx x
x
9.
2 3
4 1 4 1x x
10. 2
3 10
1 1x x
11.
5 13 4 5
15 5 15 3
x x x
x
12.
2 1 4 2
2 1 3 2 3
x x
x x
13.
23 1 18 1
1 2
x x
x
14.
2
1 1 6
3 2 3 4 9 6 8s s s s
15.
2
1 1 2
2 3 2 1 4 8 3d d d d
De las ecuaciones 16. a la 22. resuélvelas para “ x ”.
16. 1 2m
x m m ( m es parámetro). 17.
4
2
a b a
x x ( a y b son parámetros).
18. 2
1 1
2 2
x x
a a a
( a es parámetro). 19.
1 1 3 2
2
a a
a x
( a es parámetro).
20. 2 a ba x b x
a b ab
( a y b son parámetros).
61
21. 2
3 2 1x a a x
a ab a
( a y b son parámetros).
22. 2x b x a
a b
( a y b son parámetros).
7.3. ECUACIONES LITERALES Y DESPEJES
Son ecuaciones literales aquellas que contienen dos o más literales (como las fórmulas de física que conoces) y pueden resolverse con respecto a cualquiera de sus literales, prácticamente su solución consiste en despejar a una de sus literales.
Ejemplos Se muestran diversas fórmulas que ya están despejadas.
1) A b h Permite calcular el área de cualquier “rectángulo”.
2) ( )2
hA B b Permite obtener el área de cualquier “trapecio”.
3) 34
3V r Permite calcular el volumen de cualquier “esfera”.
4) 1n
F C i Permite calcular el valor futuro de una cantidad de dinero C en “ n ” periodos de
capitalización a una tasa “ i ” de interés.
En cualquiera de ellas se puede despejar otra literal, por ejemplo en el inciso 4) ahora se
desea despejar a “C ” (capital).
1n
FC
i
o bien puede quedar como: 1
nC F i
Ejercicios 7.3. En las siguientes ecuaciones literales, despeja la(s) literal(es) que se te indica(n).
1. 1u a n r ; , ,a n r 2. 21
3V h r ; ,h r 3. S CIN ; , ,C I N 4. 1
NS C I ; , ,C I N
5. 1 1
ni
VF PMTi
; nPMT , 6. 1 1
ni
VP PMTi
; n 7. 1 1
k
WC
I
; , ,W I k
62
VIII. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS
Una ecuación de primer grado con dos variables (incógnitas) ax by c , donde , ,a b c son
constantes ( a y b no necesariamente ambas deben ser cero), tiene por gráfica una recta en un
sistema de ejes coordenados x y .
8.1. SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en forma estándar es:
1 1 1
2 2 2
a x b y cA
a x b y c
;
1 1 1
2 2 2
, ,
, ,
a b c
a b c son números reales y donde 011 boa y 022 boa
y cuya gráfica son dos rectas en un sistema de ejes x y y puede suceder que:
Las dos rectas coincidan: Un sistema A es de este tipo, cuando los coeficientes de las
incógnitas 1 1 2 2, , ,a b a b y los términos independientes 1 2,c c son PROPORCIONALES
respectivamente, por ejemplo, el sistema 2 3 4
4 6 8
x y
x y
en donde
la constante de proporcionalidad es “ 2 ” , ya que multiplicando la
primera ecuación por 2 , se obtiene la segunda ecuación, es
decir que 2 2 3 2 4x y es igual a 4 6 8x y y por lo
tanto, se trata de la misma recta. Un sistema de este tipo, tiene un número infinito de soluciones ya que al coincidir las dos rectas, éstas se intersectan en todos sus puntos.
Las dos rectas sean paralelas no coincidentes: Un sistema A es de este tipo, cuando los
coeficientes de las incógnitas 1 1 2 2, , ,a b a b son proporcionales
respectivamente y los términos independientes 1 2,c c no guardan
ninguna relación, como por ejemplo, el sistema 2
3 3 5
x y
x y
en
donde la constante de proporcionalidad de los coeficientes de las
incógnitas es 3 y no así la de los términos independientes. Un sistema de este tipo no tiene
solución, ya que las dos rectas nunca se intersectan por ser paralelas no coincidentes.
Las dos rectas se intersectan en un solo punto: Se tiene un sistema A
de este tipo, cuando los coeficientes de las incógnitas 1 1 2 2, , ,a b a b y los
términos independientes 1 2,c c no guardan ninguna relación entre sí,
por ejemplo el sistema 2 0
2 5 1
x y
x y
63
Resolver un sistema A equivale a encontrar dónde se intersectan las rectas, es decir,
encontrar la solución común o conjunto solución del sistema de ecuaciones, existiendo para ello métodos GRÁFICOS y ANALÍTICOS (aproximado y exacto). De acuerdo con la existencia y el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar como:
Con el método GRÁFICO (aproximado), para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se dibujan las gráficas de ambas ecuaciones sobre el mismo sistema de ejes coordenados. Las coordenadas del punto de intersección (si existe) proporcionan la solución del sistema. Ejemplos Obtener gráficamente la solución del siguiente sistema. 1) Solución Para dibujar las dos rectas, una manera recomendable es calcular las intersecciones con los ejes de cada recta, dando el valor cero a “ x ” y calculando el valor de “ y ” y viceversa en ambas
ecuaciones como se muestra: Se trazan perpendiculares del punto de intersección de las dos rectas a los ejes coordenados y se
determinan las coordenadas de dicho punto 1x , 2y .
Con los métodos ANALÍTICOS (exactos) se verá el de eliminación; sustitución y determinantes, aplicados a ejemplos: 2) Resuelve por el método de eliminación el sistema Solución
64
Este método consiste en eliminar una de las dos variables, por ejemplo, si se quiere eliminar a la “ x ”,
la ecuación se multiplica por 3 y la ecuación por 2 como sigue:
3 2 3 3 8 ; 6 9 24
2 3 2 1 ; 6 2 2
x y x y
x y x y
sumando miembro a miembro estas dos últimas ecuaciones:
6 9 24
6 2 2
0 11 22
x y
x y
x y
despejando “ y ” ; 22
11y
; 2y
sustituyendo el valor de 2y en la ecuación o en la ecuación , se calcula la otra variable: en
este caso se decide sustituir dicho valor en la ecuación :
3 2 1x ; 3 1 2x ; 3 3x ; 3
3x ; 1x
3) Resolver por ELIMINACIÓN el sistema 4 2 1
4 2 3
y x
x y
Solución Primero se ordena el sistema poniéndolo en forma estándar:
Multiplicando la ecuación por 2 para eliminar la “ y ” : 2 4 2 2 3x y ; 8 4 6x y
; sumando miembro a miembro las ecuaciones y y despejando “ x ” de la ecuación :
2 4 1
8 4 6
6 0 5
x y
x y
x y
; 6 5x ;
5
6x
; 5
6x ; Sustituyendo el valor de
5
6x en cualquiera de
las ecuaciones o , en este caso particular se sustituye en la ecuación : 5
2 4 16
y
;
21 5
63
4 1y
; 5
4 13
y ; 5
4 13
y ; 3 5
43 3
y ; 2
43
y ;3)4(
2
y ;
1
6y
4) Resolver por SUSTITUCIÓN el sistema Solución Se despeja una de las dos variables “ x ” o “ y ” de cualquiera de las ecuaciones o y después
se sustituye en la otra ecuación. De la ecuación se despeja “ x ”: 4 5x y , sustituyendo la
ecuación en : 2 4 5 3 3y y ; 8 10 3 3y y ; 7 3 8y ; 7 5y
65
5
7y
; 5
7y . Para calcular el valor de “ x ”, se sustituye
5
7y en la ecuación :
54 5
7x
;
254
7x ;
28 25
7 7x ;
3
7x
5) Resolver por SUSTITUCIÓN el sistema Solución
Despejando “ y ” de la ecuación : 5 6 10x y ; 6 10 5y x ; 10 5
6
xy
Sustituyendo en : 4 9x 3 10 5
6
x
2
13
; 30 15
4 132
xx
;
8 30 1513
2 2
x x
8 30 1513
2
x x ;
30 713
2
x ; 30 7 2 13x ; 30 7 26x ; 7 26 30x
7 56x ; 56
7x
; 8x . Sustituyendo 8x en :
10 5 8 10 40 30
6 6 6y
; 5y
6) Resolver por DETERMINANTES el sistema Solución (Por la regla de Cramer).
Primero se calcula el determinante del sistema. Es el formado por los coeficientes de las incógnitas del sistema en forma estándar:
Como el determinante del sistema 44 es un número distinto de cero, se continúa con la solución, si hubiera sido cero, el problema aquí termina y la solución del sistema no existiría o sería un número infinito de soluciones, pero como no es el caso, se continua con el cálculo de las incógnitas “ x ” y “ y
” como sigue:
x
x
; y
y
x se forma quitando los términos de “ x ” de las ecuaciones y (del sistema estándar) y en su
lugar se colocan los términos independientes:
66
Por lo que 11 1
44 4
xx
; 1
4x
Para calcular “ y ” se puede realizar el miso procedimiento (por determinantes) o bien, de otra
manera, se sustituye 1
4x en cualquiera de las ecuaciones o y se resuelve. Se harán las dos
maneras.
Por determinantes:
de donde 33 3
44 4
yy
; 3
4y
De la otra manera, sustituyendo el valor de 1
4x en la ecuación :
17 1
4y
;
71
4y ;
71
4y ;
4 7
4 4y ;
3
4y ;
3
4y
Si que quiere comprobar el resultado, se deben sustituir los valores de 1
4x y
3
4y en el sistema
original:
En : 1 3
2 6 54 4
;
2 185
4 4 ;
205
4 ; 5 5
En : 1 3
7 14 4
;
7 31
4 4 ;
41
4 ; 1 1
Ejercicios 8.1.
Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.
1) 6
5 4 12
x y
x y
2)
4 5 32
3 5 11
x y
x y
3)
2 6
2 4 5
x y
x y
4)
2 5
2 4 10
x y
x y
5) 6 5 9
4 3 13
x y
x y
6)
11 9 2
13 15 2
x y
x y
7)
15 40
19 8 236
x y
x y
8)
3 4 6 2 18
2 3 4
x y y x
x x y
9)
6 8 10 5 3
9 11 2 2
x y x y x y
x y y x y x
10)
5 4
13 3
x y
y x
11)
12 5 6 0
5 712
3 6
x y
x y
67
12)
3 40
3 4
4 23
2 5
x y
x y
13)
33 6
5
23 9
7
yx
xy
14)
3 4 2
7 3
5 4 242
11 2
x yx
x xy
15)
2
7
8 12
2
x y
x y
x y
x y
8.2. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas en forma estándar es:
donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales (los coeficientes no necesariamente todos igual a cero).
La gráfica de un sistema B son tres planos en un sistema de ejes tridimensional. Una
solución del sistema B es una terna de valores , ,x y z que satisfacen simultáneamente a las tres
ecuaciones. Ejemplo
Resolver el sistema
2 5 2 7
2 4 3
3 4 6 5
x y z
x y z
x y z
por el método de DETERMINANTES (Por Cramer).
Solución
Al igual que los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, pueden ser resueltos por determinantes, aplicando la Regla de Cramer:
xx
;
yy
;
zz
Donde primero se calcula el determinante del sistema “ ” que es el formado por los coeficientes de las incógnitas del sistema en forma estándar:
2 5 2
1 2 4
3 4 6
En seguida se muestra la solución de un determinante de tercer orden (3 renglones por 3 columnas) por el método de SARRUZ (ESTE MÉTODO SÓLO ES APLICABLE A LOS DETERMINANTES DE TERCER ORDEN). Se repiten las dos primeras columnas y se efectúan los productos:
Como el determinante del sistema 46
es un número distinto de cero, se continúa con la solución, si hubiera sido cero, el problema aquí terminaría (por éste método) ya que el sistema tendría un número infinito de soluciones o bien no tendría solución.
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
B a x b y c z d
a x b y c z d
68
Para obtener el determinante “ x ”, se quita la columna de las “
x ” y en su lugar se coloca la de términos independientes del
sistema estándar
Y se resuelve el determinante para la incógnita “ x ”:
Por lo que 230
46
xx
; 5x
Ahora se calcula y
y
:
Y se resuelve el determinante para la incógnita “ y ”:
; 46
46
yy
; 1y
La tercera incógnita “ z ” se puede obtener de la misma forma (por determinantes) o bien sustituir
5x y 1y en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema original, se verán las dos formas:
Si z
z
y
2 5 7
1 2 3
3 4 5
z
El valor de este determinante, se puede obtener sin repetir las dos
primeras columnas para efectuar los productos, si en su lugar, se multiplica como se indica en los siguientes esquemas:
Estos 3 productos Estos 3 productos conservan el signo cambian el signo
69
Esto es como sigue:
Estos productos conservan el signo.
Estos productos cambian de signo 24 , 42 , 25
2 5 7
1 2 3 45 28 20 24 42 25 46
3 4 5
z
; 46
46
zz
; 1z
O la otra forma, se sustituye 5x y 1y en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema, por
ejemplo, en la primera ecuación y se despeja “ z ” :
2 5 2 7x y z 5 2 7z
2 5 5 1 2 7z 2 7 5z
10 5 2 7z 2
2z ; 1z
La comprobación es:
2 5 2 7x y z 2 4 3x y z 3 4 6 5x y z
2 5 5 1 2 1 7 5 2 1 4 1 3 3 5 4 1 6 1 5
10 5 2 7 5 2 4 3 15 4 6 5
7 7 3 3 5 5
Ejercicios 8.2. Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.
1)
2 5 13
4 8
2
x y
y z
x y z
2)
6
2 5
3 10
x y z
x y z
x y z
3) 4)
2 3 1
6 2 14
3 1
x y z
x y z
x y z
5 2 24
2 5 2 14
4 3 26
x y z
x y z
x y z
70
5)
8.3. MÉTODO DGO
Este método se recomienda por su sencillez y por la gran ventaja de operar solo con aritmética entera y además, puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas, con coeficientes enteros. Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el Método DGO.
Con los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes se forma el siguiente arreglo rectangular: El “3” de la primera columna y el primer renglón, es el primer pivote y con este, se calculan los siguientes determinantes:
Con estos resultados, se obtiene el siguiente arreglo:
4 5 6
3 3 4 30
6 2 3 33
x y z
x y z
x y z
0324
02
123
zyx
zyx
zyx
44004
13;1349
34
13;1486
24
23
11001
13;716
21
13;523
11
23
41314
175
0324
0211
1123
bzyx
0324
0211
1123
bzyx
71
En este segundo arreglo los números que no aparecen ya, son ceros y el nuevo pivote es el “-5” ; con este ahora se calculan los siguientes determinantes:
Con estos resultados, se obtiene el siguiente arreglo:
Finalmente, con sustitución hacia atrás o regresiva, se obtiene la solución del sistema original utilizando únicamente los renglones de los pivotes de abajo hacia arriba teniendo en cuenta que cada columna corresponde a una variable y al término independiente:
, como ya se sabe cuanto vale , se sustituye en el
siguiente renglón del siguiente pivote.
Y como ya se sabe que y , sustituyendo en el siguiente renglón del último pivote, se
obtiene:
, despejando
Por lo tanto, la solución del sistema original es:
Ejercicios 8.3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
61420414
15;339865
1314
75
633
41314
175
0324
0211
1123
bzyx
11
2
11
2
33
6;633 zzz z
11
5
11
5
55
25
5
11
1411
5
11
141
;111
145;1
11
275
yyyy
11
2z
11
5y
111
2
11
523
x
11
1
11
1
33
3
3
11
2
11
101
xx
1
11x ;
5
11y ;
2
11z
72
1. ; 2. ; 3. ; 4.
5.
IX. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La forma general de una ecuación de segundo grado (o cuadrática) es: , donde
son números reales con y “ ” es la variable o incógnita.
Resolver una ecuación de este tipo, significa encontrar los valores (dos) de “ ” que hacen
que se cumpla la igualdad, o que sea verdadera.
9.1. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA
La ecuación general tiene algunas variantes que dependen de algunos
valores particulares de :
Si , toma la forma (ecuación cuadrática incompleta) cuya solución se obtiene
despejando a la “ ”, como se muestra:
; ; ;
Ejemplo
Resolver la ecuación
Solución
; ; ; ; ; ; ;
9.2. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA
Si en la ecuación general , , ésta toma la forma (ecuación
cuadrática incompleta ) cuya solución se logra a través de la FACTORIZACIÓN, obteniendo como factor común a la “ ” de menor exponente:
(1)… ;
332
1
3
zyx
zyx
zyx
1233
136
132
zyx
zyx
zyx
62
42
65
zy
yx
zyx
14
22
12
zyx
zyx
zyx
1223
23
232
zyx
zyx
zyx
2 0ax bx c
, ,a b c 0a x
x
2 0ax c
2 0ax bx c
, ,a b c
0b 2 0ax c
x
2 0ax c 2ax c 2 c
xa
cx
a
22 50 0x
22 50 0x 22 50x 2 50
2x 2 25x 25x 5x 1 5x 2 5x
2 0ax bx
2 0ax bx c 0c 2 0ax bx
x
2 0ax bx 0x ax b
73
Ahora se hace uso de la siguiente propiedad:
Si el producto de dos o más números es igual a cero, entonces algunos de ellos es necesariamente
cero; esto es: si , entonces ó
Esta propiedad de los números se hace extensiva al producto de expresiones algebraicas, por tanto, de la expresión (1) se tiene que:
ó ; ;
Ejemplo
1) Resolver la ecuación
Solución
En el primer miembro se obtiene el factor común que es “ ”:
Aplicando la propiedad anterior: ó ; ; ; ; por lo tanto las raíces
son: y
Para comprobar, se sustituye la raíz en la ecuación original y lo propio se hace
para la segunda raíz :
Si ;
Si ; 01818 ó
Ejercicios 9.1 y 9.2 Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:
1. 483 2 x 2. 4695 2 x 3. 09 22 ax 4. 0135)32)(32( xx
5. 3
1
3
1
3
1
xx 6.
12
7
6
1
2
522
xx 7. xx 324 2 8. xxxx 433 22
9. )2(245 2 xx 10. 2
3
6
9
3
xx 11. 1
2
4
1
1
x
x
x
x
12. )1)(3()32)(14( xxxx
0A B 0A 0B
0x 0ax b ax b b
xa
22 6 0x x
x 2 6 0x x
0x 2 6 0x 2 6x 6
2x 3x
0x 3x
0x 22 6 0x x
3x
0x 2
2 0 6 0 0 0 0
3x 2
2 3 6 3 0 0 0
74
9.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
La solución por este método consiste en expresar la ecuación como el
producto de dos factores, binomios de primer grado (no siempre será posible esto) e igualar a cero cada uno de estos factores. Ejemplo
Resolver la ecuación
Solución
Primero se escribe como un polinomio igualado a cero (forma estándar):
Se factoriza como se sabe
Igualando a cero cada factor: ;
Y se comprueba:
Si 123
4
3
46
2
; ; ; ;
Si ; ; ; ;
Ejercicios 9.3. Resuelve por factorización.
1. 2. 3. 4.
5. 6.
9.4. SOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL
La obtención de la fórmula general se basa en otro método de solución
de ecuaciones de segundo grado llamado “método de completar el trinomio cuadrado perfecto” (c.t.c.p.) como se ilustra a continuación:
Sea la ecuación general
2 0ax bx c
26 12x x
26 12 0x x
3 4 2 3 0x x
3 4 0 ;
2 3 0 ;
x
x
1
4
3x 2
3
2x
1
4
3x 6
2 16
93
412
3
32 412
3 3
3612
3 12 12
1
3
2x
23 3
6 122 2
63 9
42
312
2
27 312
2 2
2412
2 12 12
2 6 0x x 2 7 18x x 2 108 3x x 26 10 11x x
260 8 157x x 220 27 14x x
2
1,2
4
2
b b acx
a
2 0ax bx c
75
Se divide entre “ ”
Se separan términos ;
Se convierte al primer miembro en un trinomio cuadrado perfecto “SUMANDO LA MITAD DEL COEFICIENTE DE “ ”
ELEVADO AL CUADRADO”
;
Haciendo operaciones:
FÓRMULA GENERAL
Que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado con una variable, identificando
correctamente los valores y por sustitución en la fórmula se logra la solución.
El subradical es el DISCRIMINANTE de la ecuación y permite con
su cálculo, saber de qué tipo serán las raíces de la ecuación, esto es:
Si es positivo, la solución son “dos raíces reales distintas”.
Si es cero, la solución son “dos raíces reales iguales”.
Si es negativo, NO HAY SOLUCIÓN EN LOS REALES.
Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.
1)
a2 0ax bx c
a a
2 0b c
x xa a
2 b cx x
a a
x
2 2
b
ba
a
2
2
b
a
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
2
2
4
2 4
b b acx
a a
2
2
4
2 4
b b acx
a a
2 4
2 2
b b acx
a a
2
1,2
4
2
b b acx
a
, ,a b c
2 4b ac 2 0ax bx c
2 4b ac
2 4b ac
2 4b ac
2 5 6 0x x
76
Solución
En esta ecuación, los coeficientes tienen los valores: ; y , sustituyendo estos
valores en la fórmula general:
; ;
2)
Solución
Los coeficientes son: ; y , si se calcula primero el discriminante se
sabrá de antemano de qué tipo son las raíces de la ecuación original, esto es:
DISC: , esto indica que la solución son dos raíces reales
iguales, por lo tanto: ;
3)
Solución
2a ; y ; DISC: , como el discriminante
es negativo, entonces NO HAY SOLUCIÓN EN LOS NÚMEROS REALES, ya que no es
un número real.
Nota: A la ecuación general 02 cbxax , siempre es posible convertirla en otra ecuación
equivalente donde el coeficiente “ a ” del término cuadrático “2x ” sea igual a uno, al dividir toda la
ecuación general entre este coeficiente “ a ” , entonces, al sustituir el valor 1a en la fórmula general
a
acbbx
2
42
2,1
se obtiene c
bbx
2
2,122
,que es una forma más simplificada y fácil de
recordar. Ejemplo
Resolver la ecuación 012102 2 xx , aplicando la fórmula simplificada.
Solución
, ,a b c 1a 5b 6c
22
1,2
5 5 4 1 64 5 25 24 5 1 5 1
2 2 1 2 2 2
b b acx
a
1 2x 1 3x
24 4 1 0x x
, ,a b c 4a 4b 1c 2 4b ac
22 4 4 4 4 1 16 16 0b ac
2
1,2
4 4 0 4
2 2 4 8
b b acx
a
1 2
1
2x x
22 3 6 0x x
3b 6c 22 4 3 4 2 6 9 48 39b ac
39
77
Al dividir toda la ecuación entre 2 , se tiene 2
0
2
12102 2
xx
; 0652 xx , en donde
6,5 cb , sustituyendo estos dos valores en la fórmula simplificada
2
1
2
5
4
24
4
25
2
56
2
5
2
5
22
22
2,1
c
bbx ; 2;3 xx
Ejercicios 9.4. Resuelve por fórmula general y por fórmula simplificada.
1. 2. 3. 4. 63162 xx
5. 6.
9.5. ECUACIONES CON RADICALES Se considera en este propedéutico sólo aquellas ecuaciones con uno o más radicales (con
índice ) que contienen la incógnita. Para resolver este tipo de ecuaciones, se deben eliminar los radicales, transformando la ecuación de modo que aparezca un solo radical en un miembro y elevando al cuadrado ambos miembros se elimina dicho radical; este método se conoce como AISLAMIENTO DE UN RADICAL y debe repetirse para cada uno de los radicales restantes. Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones.
1)
Solución
Se aisla el radical en el primer miembro:
Se eleva al cuadrado a ambos miembros:
; ; ; que es lo mismo que y
se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos:
Por factorización ; ; ;
Al efectuar la comprobación:
Si ; ; ; por lo tanto NO ES RAÍZ (no es
solución).
23 5 2 0x x 24 3 22 0x x 2 11 24x x
2 212 4 9 0x x 25 7 90 0x x
2
3 3 1x x
3 1 3x x
2 2
3 1 3x x
23 1 6 9x x x 20 6 9 3 1x x x 20 9 8x x 2 9 8 0x x
1 8 0x x 1 0
8 0
x
x
1 1x 2 8x
1 1x 3 3 1 1 1 3 4 1 3 2 1 5 1 1 1x
78
Si ; ; ; por lo tanto solo hay una raíz en
.
2)
Solución
Se aisla uno de los radicales:
Se elevan ambos miembros al cuadrado: ;
Se simplifica y se aisla el otro radical: ;
Se elevan al cuadrado ambos miembros: ;
; ; ; se resuelve por
cualquiera de los métodos conocidos: ; ; ;
Comprobación:
Si ; ; ; por lo tanto
no es raíz.
Si ; ; ; por lo tanto la única
raíz es .
Ejercicios 9.5.
Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones.
1. 2. 3. 4.
5.
X. LA RECTA
10.1. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA
Hay que recordar que una ecuación de primer grado con dos variables
, donde son números reales y “ ” y “ ” no son cero al
mismo tiempo, tiene por gráfica una línea recta en un sistema de ejes coordenados .
2 8x 3 3 8 1 8 3 25 8 3 5 8 8 8
2 8x
2 3 7 2 0x x
2 3 7 2 0x x
2 2
2 3 7 2x x 2 3 7 4 7 4x x x
2 3 7 4 4 7x x x 14 4 7x x
22
14 4 7x x 2 28 196 16 7x x x
2 28 196 16 112x x x 2 28 196 16 112 0x x x 2 44 84 0x x
42 2 0x x 42 0
2 0
x
x
1 42x 2 2x
1 42x 2 42 3 42 7 2 0 81 49 2 0 9 7 2 0 4 0
1 42x
2 2x 2 2 3 2 7 2 0 1 9 2 0 1 3 2 0 0 0
2 2x
2 5 3x 6 8x x 7 2 3 4 0x x x 3 1 5 16 1x x x
63 5
3x
x
0ax by c , ,a b c a b
x y
79
Se llama ÁNGULO DE INCLINACIÓN de una recta al ángulo que forma esta con el eje
medido en sentido positivo.
10.2. PENDIENTE DE UNA RECTA En el plano coordenado , dos puntos diferentes son suficientes para determinar una línea
recta, se considera que los puntos y determinan la recta L, se traza una
horizontal por el punto “ ” y una vertical por “ ”; “ ” es la intersección de estas dos rectas cuyas
coordenadas son como se muestra en la siguiente figura:
La distancia dirigida de a
La distancia dirigida de a :
Definición
La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.
La pendiente “ ” es independiente de los pares de puntos seleccionados sobre la recta. El
cociente de la diferencia de ordenadas entre la diferencia de abscisas da lo mismo si se calcula:
o
Ejemplos Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos que se proporcionan.
1) ,
Solución
Si la pendiente es positiva, la recta es ascendente (como muestra la flecha)
x
x y
,A AA x y ,B BB x y
A B C
,B AC x y
C B
B ACB y y
A C B AAC x x
tan B AAB
B A
y ym
x x
m
B A
B A
y ym
x x
A B
A B
y ym
x x
6,5A 2,3B
3 5 2 2
2 6 4 4
B A
B A
y ym
x x
1
2
80
2) ) ,
Solución
Si la pendiente es negativa, la recta es descendente.
3) ,
Solución
Si la pendiente es cero, la recta es horizontal.
4) ,
Solución
no está definida (no se puede dividir entre cero)
Si la pendiente no está definida, la recta es vertical. Como un recordatorio de estos resultados, se propone el siguiente diagrama: Los cochecitos nos indican el signo de las pendientes: si el coche baja la pendiente es negativa, si ni baja ni sube la pendiente es cero, si sube la pendiente es positiva y en una recta vertical, con pendiente indefinida, solo un coche mosca intentaría subir.
1 3,4P 2 5, 2P
1 2
2 1
2 1
2 4 6
5 3 8PP
y ym
x x
3
4
8,2F 3,2R
2 2 0
8 3 11
F RFR
F R
y ym
x x
0
5,6S 5, 2T
2 6 8
5 5 0
T SST
T S
y ym
x x
81
Ejercicios 10.2. Encuentra la pendiente de la recta, determinada por cada pareja de puntos.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. )6,6(,)1,6( NM 8. 9. 10.
10.3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Definición
Dos rectas no verticales son PARALELAS si y solo si tienen la misma pendiente, es decir,
21 LL si y solo si
Ejemplo
Decir si la recta 1L que pasa por los puntos y es paralela a la recta 2L que pasa
por y .
Solución
;
Son dos rectas paralelas, ya que
Definición
Dos rectas y con pendientes y , son perpendiculares entre si, si y solo si sus
pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir:
si y solo si o bien
3, 1 , 5, 1A B 2,3 , 2, 5A B 4 1
, 1 , 8,3 3
A B
5 1 2, , 4,
7 3 9E F
2,3 , 8,8A E1 1 2 5
, , ,8 11 4 12
C G
4,2 , 5,2T R 1
,2 , 7,22
S U
2, 2 , 2,7M O
1 2m m
3,8A 2, 7B
6,8C 5,5D
7 8 15
2 3 5
B AAB
B A
y ym
x x
3
8 5 3
6 5 1
C DCD
C D
y ym
x x
3
AB CDm m
1L 2L 1m 2m
1 2L L1
2
1m
m 1 2 1m m
82
Ejemplo
Determinar si la recta 1L que pasa por y es perpendicular a la recta
2L que pasa
por y
Solución
;
Las dos rectas son perpendiculares, ya que sus respectivas pendientes son recíprocas y de signo contrario. Ejercicios 10.3. Encuentra la pendiente de cada recta, determina por cada pareja de puntos, compáralas e indica si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ;
4
6,
3
13,
4
9,2 HG 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
10.4. ECUACIÓN Y GRÁFICA DE UNA RECTA
“La ecuación de una recta es la ley que deben cumplir todos los puntos que están sobre ella”
La ecuación de una misma recta se puede expresar de varias formas, algunas de ellas son:
Forma general:
Forma pendiente y ordenada al origen: (“ ” es la pendiente y “ ” es la ordenada
al origen o la intersección con el eje “y”).
1 2, 4P 2 1,3P
3 3,2P 4 4,5P
1 2
2 1
2 1
3 4 3 4
1 2 1 2PP
y ym
x x
7
3 3 4
3 4
3 4
2 5
3 4P P
y ym
x x
3
7
5,1 , 2, 5A B 2,7 , 5,1C D 5,1 , 2, 5A B 3,3 , 7, 1C D
2,7 , 5,1A B 5,3 , 7,9C D 1 5 1
4, , ,2 3 4
E F
4,10 , 10,1G H
1 5 14, , ,
2 3 4E F
1 5 14, , ,
2 3 4E F
5, 26 , 4,2G H
9 13 62, , ,
4 3 4I J
2,1 , 3,7K L 5 2 8
, , 9,11 9 6
M N
105 5 25, , 1,
11 63 21O P
5 2 8, , 9,
11 9 6M N
1,1 , 3,7O P 5 2 8
, , 9,11 9 6
M N
2,1 , 3,7O P
0ax by c
y mx b m b
83
Forma punto-pendiente: (“ ” es la pendiente y son las coordenadas
de un punto conocido).
10.4.1. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO CUALQUIERA DE ESTA Y SU PENDIENTE.
Para determinar la ecuación de una recta conocidos un punto cualquiera de ella y
su pendiente “ ” , se usa la forma punto-pendiente .
Ejemplo
Hallar la ecuación en forma general, de la recta que pasa por el punto con pendiente
y graficarla.
Solución
Con la forma punto-pendiente , se sustituyen los datos en ésta:
; ; ;
;
Para realizar la gráfica, primero se localiza el punto sobre el sistema coordenado ;
como la pendiente es negativa , entonces desde el punto se cuentan unidades hacia
la derecha y de este lugar hacia abajo 3 unidades, uniendo este último punto con mediante una
línea recta, así se obtiene la gráfica pedida.
1 1y y m x x m1 1,x y
1 1 1,P x y
m 1 1y y m x x
1 3,5P
3
4m
1 1y y m x x
3
5 34
y x 3
5 34
y x 4 5 3 3y x
4 20 3 9y x
3 4 20 9 0x y 3 4 11 0x y
1 3,5P x y
3
4m
1P 4
1P
84
Ejercicios 10.4.1. Encuentra la ecuación de la recta en su forma general que pasa por un punto dado y tiene pendiente la indicada en cada ejercicio y obtén la gráfica de cada una de ellas.
1. , 2. , 3. , 4. ,
5. , 6. , 7. , 8. ,
9. , 10. , no definida
10.4.2. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE ESTA. Para obtener la ecuación de una recta conocidos dos puntos de ella, primero se calcula su
pendiente , posteriormente se elige uno de los dos puntos conocidos y con la forma
punto-pendiente se obtiene la ecuación .
Ejemplo
Hallar la ecuación en forma general, de la recta que pasa por los puntos y y
graficarla. Solución
; eligiendo y sustituyendo en la forma punto-
pendiente ; y realizando operaciones:
; ; ;
Para graficar la recta que pasa por los dos puntos y , se
localiza cada uno sobre el sistema de ejes y después uniéndolos con una
línea recta se obtiene la gráfica pedida.
1,1A 3m 2, 3B 4m 0,4C 2m 3, 5D 3
4m
53,
7E
6m 2 1
,9 3
F
2m 0,0G1
2m
7,0
2H
1m
3,4I 0m 4,4J m
2 1
2 1
y ym
x x
1 1y y m x x
1 3, 5P 2 5,1P
1 2
2 1
2 1
1 5 1 5 63
5 3 2 2PP
y ym
x x
2 5,1P
1 1y y m x x 1 3 5y x
1 3 15y x 0 3 15 1x y 0 3 14x y 3 14 0x y
1 3, 5P 2 5,1P
x y
85
Ejercicios 10.4.2. Encuentra la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos indicados y grafícala.
1. )2,5(),3,1( 21 PP 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10.
10.4.3. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS SU PENDIENTE Y SU ORDENDA AL ORIGEN.
Cuando se conoce la pendiente “ ” de una recta y su ordenada al origen “ ” (intersección
con el eje “ ”), se obtiene su ecuación sustituyendo estos datos en la forma pendiente y ordenada al
origen .
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es y ordenada al origen
Solución
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la forma pendiente y ordenada al origen ;
o en la forma general
Para graficar esta recta que tiene pendiente y ordenada
al origen , se procede de la misma manera que en el
ejemplo del subtema 10.4.1.
Nota: Si la pendiente hubiera sido positiva, entonces el avance vertical es hacia arriba como se muestra en la siguiente figura y el avance horizontal siempre es del punto conocido, hacia la derecha.
1 23,5 , 7,2P P 1 20,0 , 2,3P P 1 23, 4 , 8,0P P
1 2
2 5 6, , , 3
3 2 5P P
1 2
1 3, , 8, 3
2 4P P
1 2
25,3 , ,0
3P P
1 23,3 , 0,0P P
1 2
3,2 , 5,2
2P P
1 2
14, , 4, 5
2P P
m by
y mx b
2m 3b
y mx b
2 3y x 2 3 0x y
2m
3b
86
Ejercicios 10.4.3. Obtén la ecuación de la recta en su forma general conociendo su pendiente y la ordenada al origen y grafícalas.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10.
XI. LA PARÁBOLA Definición
Parábola es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo “ ”
llamado foco y de una recta fija “ ” llamada directriz.
11.1. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
El punto fijo “ ” se llama FOCO.
La recta fija “ ” se llama DIRECTRIZ.
El punto que se encuentra a la mitad del foco “ ” y la directriz “ ” se llama VÉRTICE “ ”.
3 , 0, 4m A 7 , 0, 5m B 2
, 0, 23
m C 5 1
, 0,4 3
m D
8 2, 0,
3 5m E
0 , 0,4m F
1 1, 0,
2 2m G
5 , 0,0m H
3
, 0,02
m I 1, 0,3m J
x y F
d
F
d
F d V
87
La longitud que hay entre el vértice “ ” y el foco “ ” es “ ” , si es positivo, la parábola
abre hacia la derecha y hacia la izquierda si es negativo.
La recta que pasa por “ ” y “ ” se llama EJE DE SIMETRÍA de la parábola y es
perpendicular a la directriz “ ”.
La cuerda que pasa por el foco “ ” y es perpendicular al eje de simetría, se llama ANCHO
FOCAL o LADO RECTO y se representa con las letras y .
11.2. ECUACIÓN Y GRÁFICA DE LA PARÁBOLA Las dos formas más conocidas de la ecuación de una parábola son:
La forma general:
La forma canónica:
Se puede lograr un tosco bosquejo rápido de la gráfica de una parábola, mediante el
conocimiento de algunos puntos de ella (el vértice, el foco y los extremos del lado recto) como se verá más adelante.
11.2.1. CON EJE DE SIMETRÍA PARALELO AL EJE “ ” Si el eje de simetría es paralelo al eje “ ”, la parábola es horizontal y puede abrir hacia la
derecha o hacia la izquierda.
(entre mayor es el valor de “ ”, más abre la parábola)
V F p p
p
V F
d
FL R
2
2
0
0
Ax Dx Ey F vertical
Cy Dx Ey F horizontal
2
2
4
4
x h p y k vertical
y k p x h horizontal
x
x
p
88
11.2.2. CON EJE DE SIMETRÍA PARALELO AL EJE “ ”
Si el eje de simetría es paralelo al eje “ ”, la parábola es vertical y puede abrir hacia arriba o hacia
abajo.
Para calcular los elementos de una parábola HORIZONTAL, primero es necesario tener su ecuación en forma canónica y después aplicar la siguiente figura:
; ; ;
La ecuación de la directriz “ ” es:
Ejemplos Calcular los elementos de las siguientes parábolas y graficarlas.
1)
Solución
La ecuación es de la forma
horizontal; ,
Los elementos son: ;
; ; ; ;
; ;
; ;
y
y
2
4y k p x h ,V h k ,F h p k , 2L h p k p
, 2R h p k p
d x h p
2
3 12 2y x
2
3 12 2y x
2
4y k p x h 2h 3k
,V h k 2,3V
4 12p 12
34
p ,F h p k 2 3,3F 5,3F
, 2L h p k p 2 3,3 2 3L 5,9L
, 2R h p k p 2 3,3 2 3R 5, 3R
89
La ecuación de la directriz : ; , para trazar la gráfica, sólo se localizan
los elementos sobre el sistema de ejes y uniéndolos con línea continua es obtiene ésta.
2)
Solución
La parábola es horizontal con y , abre hacia
la izquierda: ;
Los elementos son: ;
; ;
; ;
; ;
Directriz : ;
Para calcular los elementos de una parábola VERTICAL, es necesario tener su ecuación en forma canónica
y después aplicar ésta figura.
Además se sabe que: ;
La ecuación de la directriz “ ” es:
Ejemplos Calcular los elementos de las siguientes parábolas y graficarlas.
1)
Solución
Es de la forma , vertical donde y
; ; , abre hacia arriba y sus elementos
son: ; ; ; ;
; ;
; ;
La ecuación de la directriz “ ” es: ; ;
d x h p 2 3x 1x
x y
2
3 8 4y x
4h 3k
4 8p 8
24
p
,V h k 4, 3V
,F h p k 4 2, 3F 6, 3F
, 2L h p k p 4 2, 3 2 2L 6, 7L
, 2R h p k p 4 2, 3 2 2R 6,1R
d x h p 4 2x 2x
2
4x h p y k
,V h k ,F h k p
2 ,L h p k p
2 ,R h p k p
d y k p
2
5 12 2x y
2
4x h p y k 5h
2k 4 12p 12
34
p
,V h k 5,2V ,F h k p 5,2 3F 5,5F
2 ,L h p k p 5 2 3 ,2 3L 1,5L
2 ,R h p k p 5 2 3 ,2 3R 11,5R
d y k p 2 3y 1y
90
2)
Solución
La parábola es vertical con y ; ; , abre hacia abajo y sus
elementos son:
; ;
;
; ;
; ;
La ecuación de la directriz “ ” es: ;
3) Obtener la ecuación general de la parábola
Solución Desarrollando y simplificando la ecuación dada:
; ;
Forma general
Ejercicios 11.2.1. y 11.2.2. Del ejercicio uno al diez, calcula los elementos de la parábola y grafícala. Del ejercicio once al dieciséis, obtén la ecuación de la parábola en la forma general.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
2
3 16 6x y
3h 6k 4 16p 16
44
p
,V h k 3, 6V ,F h k p
3, 6 4F 3, 10F
2 ,L h p k p 3 2 4 , 6 4L 5, 10L
2 ,R h p k p 3 2 4 , 6 4R 11, 10R
d y k p 6 4y 2y
2
3 12 2y x
2
3 12 2y x 2 6 9 12 24y y x 2 12 6 9 24 0y x y
2 12 6 33 0y x y
2
3 6 1y x 2 8y x 2 310
2y x
22 2y x
2
5 2 3y x 2
3 12 2x y 2
2 16 3x y 2
0 8 3x y
2
2x y 2 4x y 2
14 2
2y x
2 31 8
2x y
2 212
5x y
23
2y x
2 10 0
4x y
22 1 1
3 2 5y x
91
4) Calcular los elementos de la parábola y graficarla.
Solución Primero se debe obtener la forma canónica empleando el método de completar cuadrados: El primer miembro se convierte en un trinomio cuadrado perfecto sumando
a ambos miembros la mitad del coeficiente agrupando términos
de “ ” elevado al cuadrado. ;
(recuerda que esto ya se vio anteriormente)
Forma canónica es una parábola vertical con y ;
, abre hacia arriba y sus elementos son:
; ;
;
; ;
; ;
La ecuación de la directriz “ ” es: ;
Ejercicios 11.2.3. Calcula los elementos de cada parábola y grafícalas.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14.
2 2 8 33 0x x y
2 2 8 33x x y
x2
12
21 1
2
1 8 4x y 1h 4k 4 8p
82
4p
,V h k 1,4V ,F h k p
1,4 2F 1,6F
2 ,L h p k p 1 2 2 ,4 2L 3,6L
2 ,R h p k p 1 2 2 ,4 2R 5,6R
d y k p 4 2y 2y
2 6 16 41 0y y x 22 16 4 20 0x x y 22 2 0y x 2 4 4 12 0x x y
23 24 96y x 2 8x y 2 8 17 0y y 2 4 14 0x x y
2 7 12 0x x 2 10 25 0y y 23 9 12 21 0y x y 24 12 16 41 0x x y
24 4 9 0x x 22 4 12 38 0y y x
92
XII. TRIGONOMETRÍA
12.1. FÓRMULAS DE CONVERSIÓN
1 radián 0.0174533180
1801radián 57.29578
Para convertir grados en radianes y viceversa:
Medida en radianes del ángulo
Medida en grados del ángulo 180
Ejemplo:
Convertir 20 en radianes; de se tiene:
Medida en radianes del ángulo
20 180
despejando:
Medida en radianes del ángulo 180
209
radianes
Esto es que: 209
radianes
Ahora, si se quiere convertir 9
radianes en grados; de se tiene:
9
Medida en grados del ángulo 180
despejando:
180 1809 Medida en grados del ángulo 209 9
180
93
Ejercicios 12.1. Convertir el ángulo dado en grados.
1) 7
6
; 2) 2
Convertir el ángulo dado en radianes.
3) '153 40 ; 4)
'114 50
12.2. LONGITUD DE ARCO En muchas aplicaciones es necesario encontrar la longitud “S” del arco subtendido por el ángulo central “θ” en una circunferencia de radio “r” :
En donde S r ( se mide en radianes)
Ejemplo
¿Cuál es longitud del arco subtendido por el ángulo central 30 en una circunferencia de radio r =
5 unidades?
Solución
Primero se convierte el ángulo en radianes : 3
en radianes 30180 18 6
5
5 2.66 6
S
unidades
12.3. LAS SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
1; csc
1cos ; sec
cos
1tan ; cot
tan
co hipsen
hip co sen
ca hip
hip ca
co ca
ca co
94
12.3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE CIERTOS ÁNGULOS QUE SE PRESENTAN CON CIERTA FRECUENCIA
360 cos30
2
1cos 60 30
2
3tan 60 3 cot 30
1
1 3cot 60 tan 30
33
2sec60 2 csc30
1
2 2 3csc60 sec30
33
sen
sen
1 245 cos 45
22
tan 45 1 cot 45
2sec 45 2 csc 45
1
sen
12.3.2. TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
sus catetos. 2 2 2
hip co ca
12.3.3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS
Sea " " cualquier ángulo en posición normal, y sea ,P x y cualquier punto distinto del origen:
Sea 2 2 2r x y por el Teorema de Pitágoras
2 2 2
2 2 2
r x y
r r r
2 2
2 21
x y
r r
95
De la figura se tiene que: cos yx y
senr r
, por lo tanto: 2 21 cossen
Si en (a) se divide en ambos miembros por 2cos , se obtiene:
2 2
2 2 2
1 cos
cos cos cos
sen
2 2sec tan 1 ; 2 2sec tan 1
Si en (a) se divide en ambos miembros por 2sen , se obtiene:
2 2
2 2 2
1 cossen
sen sen sen
2 2csc 1 cot ; 2 2csc cot 1
12.3.3.a. SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
( ) cos cos ...(d)
cos( ) cos cos ...(e)
tan tantan( ) ...(f )
1 tan tan
sen sen sen
sen sen
12.3.3.b. FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES
2 2 2 2
2 2
2 2 cos ...(g)
cos 2 cos 1 2 2cos 1 ...(h)
2 tan 2cot 2tan 2 ...(i)
1 tan cot 1 cot tan
sen sen
sen sen
La identidad (h) se usa de manera ventajosa en cálculos del siguiente tipo:
2 21 cos 2 1 cos 2y cos
2 2sen
…(j)
12.3.3.c. FÓRMULAS DE ÁNGULO MITAD
...(k)1 cos
2 2
...(l)1 coscos
2 2
...(m)1 costan
2 1 cos
sen
96
12.3.3.d. FÓRMULAS DE PRODUCTO-SUMA
1cos ( ) ( ) ...(n)
2
1cos ( ) ( ) ...(o)
2
1cos( ) cos( ) ...(p)
2
1cos cos cos( ) cos( ) ...(q)
2
sen sen sen
sen sen sen
sen sen
12.3.3.e. FÓRMULAS DE SUMA-PRODUCTO
2 cos ...(r)2 2
2cos ...(s)2 2
cos cos 2cos cos ...(t)2 2
cos cos 2 ...(u)2 2
sen sen sen
sen sen sen
sen sen
12.3.3.f. LEY DE SENOS Relaciona cada lado de un triángulo con el seno del ángulo opuesto.
a b c
sen sen sen
12.3.3.g. LEY DE COSENOS
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a c b bc
b c a ac
c a b ab
97
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Ejercicios 1.1. Reducir las siguientes expresiones algebraicas.
1. 5 11 9 20 1x y x y 2. 2 2 3 2 3a b b c a c b Solución Solución
25 12 10x y 2a
3. 2 2 215 6 8 20 5 31a ab a ab a ab 4.
3 4 2 3 4 2 3 371 84 50 84 45 18a b a b a b a b a b a b Solución Solución
28 12 11a ab
348a b
5. 1 2 1 23 7 3 1
25 50 5 25
m m m ma b a b 6. 1 1 3 1 3 1
2 32 3 4 6 4 2
a b a b a b
Solución Solución
1 294
50
m ma b
1
21 34 312
a b
7. 2 2 23 1 1
2 2 25 10 3
m mn m mn mn m 8. 2 2 2 2 23 1 5 1 3 1 1
2 24 2 6 3 4 6 3
a ab b a ab b b ab
Solución Solución
2139 10
30m mn
2 2119 27 12
12a ab b
9. 2 2 3 2 2 371 14 65 115 6m mn m mn m m m m
Solución
3 27 129 6m m mn
10. 1 2 3 1 2 2 3 35 3 8 5 50 4 65 90 7x x x x x x x xa b c a b b c c
Solución
25
98
1.2. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicios 1.2.
Evaluar las siguientes expresiones si: 1a , 2b , 3c , 4d , 1
2m ,
2
3n ,
1
4p , 0x
1. 2 2 2b c d a m n x 2. 2 2 22 6 4mx b c d
3. 2 2
2
4 m p a b
a c
Solución Solución Solución
167
6 14
9
5
4. 2 2 2c d
ma d
5.
2
2 1 1 1 1 1 1b
a b b c n m
6. 2 22 3 4 2 4m n p c m n
Solución Solución Solución
5
2
25
6
59
9
1.3. SUPRESIÓN DE SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Ejercicios 1.3. Quitar los símbolos de agrupación y reducir combinando términos semejantes.
1. 4 3 3 1x y x 2. 2 3x y x y x y
3. 1 2 3 3a b a
Solución Solución Solución
4x y y 2 2 1a b
4. 8 3 3 3a a b a b 5. 3 4 3x x x 6. 5 3 2 4a b b c b a a c
Solución Solución Solución
10 6a b
3 1x
11 5 2a b c
7. 3 2 4 3 2xy xy x y xy x xy 8. 2 3 5 6 5a ab b a ab b a b
Solución Solución
6 5 3xy x y 7 6 5a ab b
99
1.4. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Ejercicios 1.4.1. En cada uno de los siguientes ejercicios, obtener primero la suma de los polinomios y segundo, restar el segundo del primero. Primero Segundo Primero Segundo
1. 7 7x y ; 3 9 6x y z 2. 3 6 3 4x xy yz ; 3 7 6 13x xy yz
Solución Solución
10 2 6 ; 4 16 6x y z x y z 6 3 9 ; 13 9 17x xy yz xy yz
Primero Segundo Primero Segundo
3. 2 23a ab b ;
2 25ab a b 4. 3 2 32 1 2
3 4 5m mn n
;
2 2 31 1 3
6 8 5m n mn n
Solución Solución
2 22 4 ; 2a ab ab b 3 2 2 3 2 3 22 1 1 2 3 4 1
;3 8 6 3 4 5 6
m mn m n m mn n m n
Primero Segundo
5. 3 2 32 5 1
9 6 3a ax x
;
2 2 33 7 1
7 8 9a x ax x
Solución
3 2 3 2 3 2 3 22 1 4 3 2 41 2 3;
9 24 9 7 9 24 9 7a ax x a x a ax x a x
Primero Segundo
6.
3 2 4 51 3 1
10 4 6x y xy y
;
4 3 2 52 12
5 3x y x y y
Solución
3 2 4 5 4 3 2 4 5 43 3 1 1 3 12 ; 2
10 4 2 2 4 6x y xy y x y x y xy y x y
1.5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, DE LOS COEFICIENTES Y DE LOS EXPONENTES.
Ejercicios 1.5. Multiplicar como se indica y reducir términos semejantes.
100
1. 2 2 426 3 3
3
m xa b ab a a b
2. 2 322 3
7xy y x y x
3. 3 3xy x y
Solución Solución Solución
7 336 m xa b
5 412
7x y
4 4x y xy
4. 3 5 6x y x y 5. 21 1 2 4
2 3 3 5x xy x y
6. 21 1x x x
Solución Solución Solución
2 23 13 30x xy y
3 2 21 28 4
3 45 15x x y xy
3 1x
7. 2 24 2 5c a c ac a 8. 2 27 3 5 6x x x 9. 2 21 1 1 2 3
2 3 4 3 2x xy y x y
Solución Solución Solución
3 2 2 32 13 19 4c ac a c a 4 3 23 5 27 35 42x x x x
3 2 2 31 35 2 3
3 36 3 8x x y xy y
10. 2 23 4 2 3a a a a
11. 1 2 3x x x 12. 2 3 2 1m m m
Solución Solución Solución
4 3 25 17 12a a a a 3 26 11 6x x x
3 22 5 6m m m
13. 2 23 2 3 4b b b 14. 2 23 2 7 8a c a ac c 15. 2 21 2 1 3
4 3 4 2a ab b a b
Solución Solución Solución
4 3 22 3 2 9 12b b b b 3 2 2 33 23 38 16a a c ac c
3 2 2 31 5 5
16 8 3a a b ab b
1.6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, COEFICIENTES Y EXPONENTES.
Ejercicios 1.6. y 1.7. Efectuar las divisiones indicadas.
101
1. 32
4
ab
ab
2.
2 3
2
36
6
x y
x y
3.
2 315 9
3
a b ab
ab
4.
2 3
2
14 21
7
x x
x
Solución Solución Solución Solución
8 26y
25 3ab 2 3x
5.
4 3 2 4 2 2
2 2
2m n m n m n
m n
6.
29 6 3
3
x x
7.
2 7 6
1
x x
x
8.
23 24
3
x x
x
Solución Solución Solución Solución
2 22 1m n n 23 2 1x x 6x 3 8x
9.
38 6
2
x x
x
10.
212 7 10
3 4
x x
x
11.
3 2
2
10 12 27
3
x x x
x x
Solución Solución Solución
2 122 2
2x x
x
4 3x 9x
TEORÍA DE LOS EXPONENTES
Ejercicios 2.1. Desarrollar:
1. 2
24a 2. 4
4y 3. 3
5a 4. 3
23xy 5. 3
2 32x y
Solución Solución Solución Solución Solución
416a 4256y
3125a 3 627x y
6 98x y
6. 3
3 47ab c 7. x
m na b 8. 2 3m
a b c 9.
2
2
x
y
10.
3
2
2a
b
Solución Solución Solución Solución Solución
3 9 12343a b c mx nxa b
2 3m m ma b c
2
24
x
y
3
6
8a
b
11.
4
21
3ab
12.
5
2 41
2a b
13. 0
4 14. 0
2xy 15. 0
24m n
Solución Solución Solución Solución Solución
102
4 81
81a b
10 201
32a b
1
1
1
16.
0
31
2xy
Solución
1
Expresar con signo radical:
1.
3
5x 2.
3
44a 3.
1
2xy 4.
4 5
5 22a b 5.
2 4 2
7 5 73x y z 6. 5
1
5
4
2
3
zyx
Solución Solución Solución Solución Solución Solución
35 3 5x x
334 44 4a a
x y
5 4 52 a b 77 2 4 253 x y z
3 4 3 455 5x y z x y z
Expresar con exponente fraccionario:
1. 5a 2.
3 7x 3. 542 x 4.
3 542 ab c 5. 2 3 955a x y z
Solución Solución Solución Solución Solución
5
2a
7
3x
5
42x 1 3 51
3 5 4 4 442 2ab c a b c 2 3 91
2 3 9 5 5 555 5a x y z ax y z
6. 3n xrm a b c
Solución
1 3 x
m n ra b c
Expresar con exponentes positivos y simplificar:
1.
1
4 2a b
2.
1
2 33x y
3.
1
4 2
3 4
3
8
m n
m n
4.
1
22
3 2 13
a x
a x y
5.
2 1
3 4
1
2 2
x y
x yz
6. 2
1 3
3 2 4
3a mn
a m n
Solución Solución Solución Solución Solución Solución
1
4 2
1
a b
1
2 3
3
x y
7
3 4 2
1
4 2
3 3
88
m n n
mm n
7
423
y
a x
1
2
8 5
3 4
z
x y
3 7
5 2 43a m n
103
Efectuar las operaciones indicadas:
1.
2 3
5 53m m
2.
1 1
3 22 2x y x y
3.
2 1 1 2
3 3 3 3a b a b
4. 3
1 242a b ab
Solución Solución Solución Solución
1
51
5
33m
m
5
5
1x
x
1 b
a ba
5
45
4
22b
b
5. 3 1 2 2a b a b 6.
1 2
2 25 32 1
3 7m b m b
7.
2 1
5 5a a
8.
3 1
4 2m m
9.
2 1
5 54 2x x
Solución Solución Solución Solución Solución
3
3
aab
b
89 8 35 3
9
5
2 2
2121
bm b
m
3
5a 5
4
1
m
3
52x
10.
7
3 4a a
11. 2 1
3 2
x y
x y
12.
32
3a b
13. 3
2 1a b 14.
2
2 5
1
5
8
4
x y
xy
Solución Solución Solución Solución Solución
5
4
1
a
xy
3
2
b
a
6 3
1
a b
3
5
3
2y
x
15.
21
4 4x y
16.
211
322a b
17. 1 2
2 2 3 0x y x y
18.
2
2
23
7
8
3
7
yyz
x
Solución Solución Solución Solución
1
2
8
y
x
2
32b
a
4 2x y
6
6 2
64
9
x
y z
RADICALES
3.2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Ejercicios 3.2. Expresar cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.
1. 18 2. 3 48 3. 42 243 4. 31128
2 5.
4 53 64x y
6. 6 2 29a x
104
Solución Solución Solución Solución Solución Solución
3 2 12 3 46 3 32 2 234xy xy 3 3ax
7. 2 24 25a b 8.
2 3
3 5a 9.
4 88 81x y
Solución Solución Solución
5ab 2 15
15
a
a 3y x
3.3. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL Ejercicios 3.3. Dando al coeficiente el exponente apropiado, incluirlo dentro del signo radical.
1. a b 2. 22 3b a 3.
33 2
9
a x
x a 4.
aa b
a b
5.
2
42
4
xx
x
6.
2
1 12
4a
a
Solución Solución Solución Solución Solución Solución
2a b 2 212a b 2ax
2a ab 4 x 2 4a
3.4. REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE Ejercicios 3.4. Reducir el mínimo común índice.
1. 42 , 3 2. 35 , 2 3. 5 23 2 , 3ab a x 4.
235 , 4x x y 5. 62 3 5 44 8 , 3a x a m
Solución Solución Solución Solución Solución
4 44 , 3 66 125 , 4 15 155 5 6 332 , 27a b a x
6 3 4 26125 , 16x x y 6 9 10 812 12512 , 9a x a m
6. 5 102 34 3 , 2 , 7a b x
Solución
20 20 205 8 6243 , 16 , 49a b x
105
3.6. SUMA Y RESTA DE RADICALES
Ejercicios 3.6.
Simplificar los radicales y reducir los que sean semejantes.
1. 3 7a b a b a b 2. 3 4 5ab b a ab 3. 50 32 18
Solución Solución Solución
5a b 2 4 5ab b a 4 2
4. 1 1 3
12 18 482 3 4
5. 20 2 75 4 12 6. 2 2 2 22 9 16 4m n m n mn mn
Solución Solución Solución
4 3 2 2 5 3 2n m m n
3.7. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN DE RADICALES Ejercicios 3.7. Efectuar las operaciones indicadas y expresar cada resultado en su forma más simple.
1. 5 4 8 2. 22 7 28a a 3. 2 318 2x y xy 4. 3 23 3 4a a
Solución Solución Solución Solución
4 10 14 2a a 26xy x 3 12a
5. 3 33 412 9a b ab 6. 12 5x a a
a
7. 4 3 2 5 3 8. 3 2x x
Solución Solución Solución Solución
3 23 4ab ab 10x 12 2 20 3 3 2x x
9. 2 3 1a b 10. 2 3 7 5 5 3 11. 4 6 2 3a 12. 2 3
10
a
a Solución Solución Solución Solución
6 2ab a
14 15 30
2 2a
3
5
13.
13
23
4
xy
x
14. 2
2 x 15. 3
5 2 16. 3
b a
Solución Solución Solución Solución
106
23
3y 4x 250 2
3ab a
3.8. RACIONALIZACIÓN Ejercicios 3.8. Racionalizar el denominador.
1. 1
5 2.
1 2
2 3 3.
3
5 4.
3
2x 5.
2
2
a
ax 6.
m
a b
Solución Solución Solución Solución Solución Solución
15
5
16
6
35
5
3 2
2
x
x
2ax
ax
2
m a b
a b
7. 6
2 3 8.
5 2 3
4 3
9.
2 5
2 5
10.
2
a x
a x
11.
1
1
x x
x x
Solución Solución Solución Solución Solución
6 2 3 126 13 3
13 1
7 2 103
2
4
a ax x
a x
22 2 1x x x
IV PRODUCTOS NOTABLES
4.1. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
FORMADA POR DOS TÉRMINOS 2 2 22a b a ab b
4.2. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CONJUGADAS 2 2a b a b a b
4.3. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CON UN TÉRMINO
COMÚN DE LA FORMA 2a b a c a c b a bc
4.4. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA
POR TRES TÉRMINOS 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc
4.5. CUBO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA FORMADA
POR DOS TÉRMINOS 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
107
Ejercicios 4.1. al 4.5
1. x y x y 2. 2
4r s 3. 3
1x 4. 2 2 2 2x y x y 5. 2
3 3a b
Solución Solución Solución Solución Solución
2 2x y 2 28 16r rs s
3 23 3 1x x x 4 4x y
6 3 3 62a a b b
6. 2 2 2 23 11 3 11a b a b 7. 2
2 3x y 8. 3 1 3 1m m 9. 2
2 24 3x y
Solución Solución Solución Solución
4 49 121a b 2 24 12 9x xy y
29 1m 4 2 2 416 24 9x x y y
10. 3 3ab ab 11. 5 6ab ab 12. 3
2 2a b 13. 1 5ax ax
Solución Solución Solución Solución
2 29 a b 2 2 30a b ab
6 4 2 2 36 12 8a a b a b b 2 2 4 5a x ax
14. 3
22 y 15. 3 4 3 4x x 16. 1 13 4m mx x 17. 2
11x y
Solución Solución Solución Solución
2 4 68 12 6y y y 29 16x
2 2 1 12m mx x 2 22 22 22 121x xy y x y
18. 3 312 15a a 19. 3
a b
20. 2mn y mn y 21. 2
1 23a ax x
Solución Solución Solución Solución
6 33 180a a 3 2 2 33 3a a b ab b
2 2 22m n mny y 2 2 2 1 2 46 9a a ax x x
22. ab cd ab cd 23. 2
2 4mn 24. 3
1 5ax 25. 3 8x xa a
Solución Solución Solución Solución
2 2 2 2a b c d 2 4 28 16m n mn
3 3 2 2 115 75 125a a ax x x 2 5 24x xa a
26. 2 29 12xy xy 27. a b c a b c 28.
33 3
3 2
x y
Solución Solución Solución
2 4 23 108x y xy 2 2 22a b bc c
9 6 3 3 6 9
27 6 4 8
x x y x y y
29. 2
2 2m n 30. 2 5 2 2
3 4 3 7
x x
31. 1 16 5x xa a
Solución Solución Solución
108
2 24 4 4 8 4m n m n mn 24 9 5
9 14 14
x x
2 2 111 30x xa a
32.
32
15
a
33. x n x na b a b
34.
2 2
65 5 2
x x aa
35.
22 3
3 4
xya
Solución Solución Solución Solución
2 4 631
5 25 125
a a a
2 2x na b 4 2
2113
25 10
x axa
2 4 2 29
9 2 16
x y axy a
36.
3
2 3
5xy z
37.
3 32 6
a a
b b
38. 1 18 9a ax x
Solución Solución Solución
3 6 2 4 2 2 39 27 27
5 25 125x y x y z xy z z
2
2
9 1212
a a
b b
2 2 1 72a ax x
39. )12)(12( 22 nnnn 40. 2 3 4 2 3 4x y z x y z
41. 1 2 1 2x y x y
Solución Solución Solución
4 24 4 1n n n 2 2 24 9 16 24x y z yz
2 24 4 1x y x
42. 2
3x y Solución
2 2 2 6 6 9x y xy x y
V. FACTORIZACIÓN
5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) DE VARIOS TÉRMINOS
5.2. FACTOR COMÚN
5.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 2 2 22x y x xy y
5.4. DIFERENCIA DE CUADRADOS 2 2a b a b a b
5.5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 3 3 2 2a b a b a ab b
5.6. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2x bx c ,
CON b Y c ENTEROS DISTINTOS DE CERO
2x m x n x m n x mn
109
Ejercicios 5.1. al 5.6. Factorizar:
1. zxyx 22 2. )1()1( xbxa 3. 22 2 baba 4.
22491 ba 5. 1072 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
2x y z 1a b x 2
a b 1 7 1 7ab ab 5 2x x
6. 232 2 xx 7. 31 a 8. yyy 32 23 9.
269 xx 10. 62100 yx
Solución Solución Solución Solución Solución
2 1 2x x 21 1a a a 2 3 1y y y 2
3x 3 310 10xy xy
11. 22 xx 12. 33 nm 13. 276 2 xx 14. )1(3)1(2 nynx
Solución Solución Solución Solución
2 1x x 2 2m n m mn n 3 2 2 1x x 1 2 3n x y
15. 23232 11055 xnmxnm 16. 6135 2 xx 17. 2092 yy 18. 13 y
Solución Solución Solución Solución
2 355 1 2m n x x 5 2 3x x 4 5y y 21 1y y y
19. 12125 42 yx 20. 8118 48 aa 21. 2)2( nna 22. 432 xxxx
Solución Solución Solución Solución
2 25 11 5 11xy xy 2
4 9a 1 2a n 3 1x x x
23. 1253 a 24. 2452 cc 25. 1253 a 26. 864291 dcba
Solución Solución Solución Solución
25 5 25a a a 8 3c c 2
2 3x y 2 3 4 2 3 41 3 1 3ab c d ab c d
27. 1)1( aax 28. 35447 2 xx 29. 3232 2415129 abbaaba
Solución Solución Solución
1 1x a 7 5 7x x 2 2 33 3 4 5 8a a b a b b
30. )1(3)1)(( nnyx 31. 2
2
4bab
a 32.
294
1a 33. 21102 xx
Solución Solución Solución Solución
110
3 1x y n
2
2
ab
1 13 3
2 2a a
7 3x x
34. 12815 2 aa 35. 63 278 ba 36. 4379 2 xx 37. aa 2120 2
Solución Solución Solución Solución
5 6 3 2a a 2 2 2 42 3 4 6 9a b a ab b 9 1 4x x 20 1a a
38. 2536
62 xa 39.
336
25
25
1 24 xx 40. ))(1()1)(( mxxxmx
Solución Solución Solución
3 3
6 5 6 5
a x a x
221 5
5 6
x
0
41. bxabaabba 2232 8563 42. 4062 nn 43. 15148 2 aa 44. 33 278 yx
Solución Solución Solución Solución
23 6 5 8ab a a b ax 10 4n n 4 3 2 5a a 2 22 3 4 6 9x y x xy y
45. 22 )(4 yxx 46.
16216
4236 y
yxx 47. byaybxax 48. 120 2 yy
Solución Solución Solución Solución
3x y x y
22
344
yx
a b x y 5 1 4 1y y
49. 3652 xx 50. 22)( ayx
Solución Solución
9 4x x x y a x y a
5.7. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2ax bx c
( , ,a b c SON ENTEROS DISTINTOS DE CERO y 1a )
Ejercicios 5.7. Factorizar:
1. 5176 2 xx 2. 5214 2 xx 3. 273 2 xx 4. 3116 2 xx 5. 15234 2 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
111
3 1 2 5x x 4 1 5x x 3 1 2x x 3 1 2 3x x 4 3 5x x
6. 31710 2 xx 7. 3103 2 xx 8. 7236 2 xx 9. 8103 2 xx 10. 9192 2 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
5 1 2 3x x 3 1 3x x 3 1 2 7x x 3 4 2x x 2 1 9x x
11. 7152 2 xx 12. 7176 2 xx 13. 7249 2 xx 14. 103936 2 xx
Solución Solución Solución Solución
2 1 7x x 3 7 2 1x x 3 1 3 7x x 12 5 3 2x x
Ejercicios 5.7.1. Factorizar:
1. 576 2 xx 2. 576 2 xx 3. 5136 2 xx 4. 61110 2 xx 5. 456 2 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
3 5 2 1x x 3 5 2 1x x 3 1 2 5x x 5 2 2 3x x 3 4 2 1x x
6. 310 2 xx 7. 310 2 xx 8. 8719 2 xx 9. 13376 2 xx 10. 561915 2 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
5 3 2 1x x 5 3 2 1x x 9 1 8x x 3 1 2 13x x 5 7 3 8x x
11. 9718 2 xx 12. 212910 2 xx 13. 11011 2 xx 14. 121918 2 xx 15. 12712 2 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
8 1 9x x 5 3 2 7x x 11 1 1x x 9 4 2 3x x 4 3 3 4x x
Ejercicios 5.7.2.
Factorizar por los dos métodos anteriores.
1. 352 2 xx 2. 2665 xx 3. rr 1772 2 4. 45915 2 xx 5.
2
3
2
1 2 xx
Solución Solución Solución Solución Solución
2 1 3x x 3 2 2 3x x 9 8r r 15 1 4x x 1 3
12 2
x x
112
VI. FRACCIONES ALGEBRAICAS
6.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE VARIOS TÉRMINOS
6.2. SUMA Y RESTA
6.3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Ejercicios 6.1. al 6.3. Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas.
1. 2 3 2
4 6
x x 2.
2
2 1
5 3a ab 3.
2 2
2 2
3 4
3 5
a b a b ab
ab a b
4.
2 4
12 15 30
x y x y y x
Solución Solución Solución Solución
9 2
12
x
2
6 5
15
b a
a b
2 2
2 2
8 3
15
a b ab
a b
5
60
x y
5. 3 2 3 3a b a m
ab am a
6.
1 1
1 1a a
7.
3 6
1 2 5x x
8.
x x
x y x y
Solución Solución Solución Solución
3 2am bm ab
abm
2
2
1
a
a
21
1 2 5x x
2
2 2
2x
x y
9. 2 2
4x y x y xy
x y x y x y
10.
2
2
3 2 2 5
2 4
x x x
x x
11.
2
2 3
3 4 3
5 3
a ab
ab a b
Solución Solución Solución
2 2
2 2
2 2 4x y xy
x y
2
4
4
x
x
2 2 2
2 3
3 6 20
15
a b ab
a b
12.
2
2 3
3 1 2 3
5 3 15
x x x
x x x
13.
1 1
1 1
x x
x x
14.
2
1x
xy y y
15.
2
1 1 1
4 4 8 8 12 12a a a
Solución Solución Solución Solución
2
3
1
5
x x
x
2
4
1
x
x
1
x y
3 2
4
3 11 3 7
24 1
a a a
a
113
16. 2
1 1x
a ax a x
17.
2 22 6
3 4
a b
b a 18.
3 2 2
3 2
2 3 5
15 7
x a x
a y xy 19.
2 2
2 2
2 2 3
2 2 3
x x x x
x x x
Solución Solución Solución Solución
a
x a x ab
4
3
2
7
x
ay 1
20.
2
2
2 2 4 5
2 50 3 3
a a a
a a
21.
2 1
1 2x x
x x
22.
2
21
ab ba
a b a
Solución Solución Solución
1
3 5
a
a
2 1x a b
23.
2
1x x
xy x y
24.
22 3
2
3
5
a ba b
x 25.
22 36
5
a xa x 26.
3 2
2
5 5
2 6 2 6
x x x x
x x x
Solución Solución Solución Solución
x 2 2
3
5x b 30x
1
5
x
x
27.
2 2
2 2 4
x y x y
x y x y
28.
2
3
4 2
8 2
x x
x x
29.
2 2
x y y x
a b a b
30.
31
31
x
x
Solución Solución Solución Solución
2 x y 2
2
4 2
x
x x
2
3
3
x
x
31.
21
21
xx
xx
32. 2
2
3 41
1 21
x x
x x
33.
44
12
x
xx
x
34.
1 5
13 2
1
x x
x x
35.
61
2 3
22
d
c dd
c d
Solución Solución Solución Solución Solución
2
2
2
2
x x
x x
4
2
x
x
5 4
1
x
x
1 4
3
x
x
2
2 3
c d
c d
114
VII. ECUACIONES
7.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Ejercicios 7.1. Resolver las siguientes ecuaciones enteras de primer grado con una variable.
1. 2 1 8 3 3x x x 2. 30 6 5 4 5 6 8 3x x x x x
Solución Solución
3x 3
7x
3. 15 6 5 2 3 7 23 3 2x x x x x x
Solución
1x
4. 16 3 6 9 30 3 2 3x x x x x x
Solución
1
2x
5. 71 5 2 3 25 3 4 4 3x x x x
Solución
3x
6. 3 8 15 6 3 2 5 4 29 5x x x x
Solución
5x
7. 2 2
7 4 3 5 4 1 1 2x x x x
Solución
1
2x
8. 2 2 2 22 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12x x x x x x x
Solución
1x
115
9. 2 25 1 6 3 7 3 2 5 2x x x x x x x
Solución
7
3x
7.2. ECUACIONES FRACCIONARIAS Ejercicios 7.2. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias.
1. 1
56 3
xx 2.
19 3 6 2
2n n 3.
22 4 12 7
3n n n
Solución Solución Solución
4x 4n 9n
4. 5
22 12 6 4
x x x 5.
1 1 1 1
2 4 10 5x x 6.
2 5 7 31
3 10 2x x x
Solución Solución Solución
13x 2
11x
5
3x
7.
27 1 5 2 4 3 4 1
3 2 4 3
x x x x
x x
8.
3 26 1 1 3
18 5 6 9
xx x
x
9.
2 3
4 1 4 1x x
Solución Solución Solución
2x 30
23x
5
4x
10. 2
3 10
1 1x x
11.
5 13 4 5
15 5 15 3
x x x
x
12.
2 1 4 2
2 1 3 2 3
x x
x x
Solución Solución Solución
4
3x 54x 11x
13.
23 1 18 1
1 2
x x
x
14.
2
1 1 6
3 2 3 4 9 6 8s s s s
15.
2
1 1 2
2 3 2 1 4 8 3d d d d
Solución Solución Solución
1
7x
2
3s No tiene solución
116
De las ecuaciones 16. a la 22. resolverlas para “ x ”.
16. 1 2m
x m m ( m es parámetro). 17.
4
2
a b a
x x ( a y b son parámetros).
Solución Solución
21
3x m
6ax
b
18. 2
1 1
2 2
x x
a a a
( a es parámetro). 19.
1 1 3 2
2
a a
a x
( a es parámetro).
Solución Solución
1x 2x a
20. 2 a ba x b x
a b ab
( a y b son parámetros).
Solución
2x
21. 2
3 2 1x a a x
a ab a
( a y b son parámetros).
Solución
2 2
1
a ax
a
22. 2x b x a
a b
( a y b son parámetros).
Solución
x a b
7.3. ECUACIONES LITERALES Y DESPEJES
Ejercicios 7.3. En las siguientes ecuaciones literales, despeja la(s) literal(es) que se te indica(n).
1. 1u a n r ; , ,a n r 2. 21
3V h r ; ,h r 3. S CIN ; , ,C I N
Solución Solución Solución
1
1
a u n r
u an
r
; 1
u ar
n
2
3 3;
v vh r
r h ; ;
S S SC I N
IN CN CI
117
4. 1N
S C I ; , ,C I N 5. 1 1
ni
VF PMTi
; nPMT ,
Solución Solución
1
log log; 1;
log 11
N
N
S S S CC I N
C II
log 1
;log 11 1
n
iVF
iVF PMTPMT n
ii
6. 1 1
ni
VP PMTi
; n 7. 1 1
k
WC
I
; , ,W I k
Solución Solución
log log
log 1
PMT PMT iVPn
i
1 log 1
1 1 ; 1 1;log 1
kk
W
W CW C I I k
C I
VIII. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS
8.1. SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Ejercicios 8.1.
Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.
1) 6
5 4 12
x y
x y
2)
4 5 32
3 5 11
x y
x y
3)
2 6
2 4 5
x y
x y
4)
2 5
2 4 10
x y
x y
Solución Solución Solución Solución
4 , 2x y 3 , 4x y No hay solución por Tiene infinitas soluciones por
ser dos rectas paralelas tratarse de dos rectas no coincidentes. paralelas coincidentes.
5) 6 5 9
4 3 13
x y
x y
6)
11 9 2
13 15 2
x y
x y
7)
15 40
19 8 236
x y
x y
8) 3 4 6 2 18
2 3 4
x y y x
x x y
Solución Solución Solución Solución
1, 3x y 1, 1x y 4 , 20x y 3 , 4x y
118
9)
6 8 10 5 3
9 11 2 2
x y x y x y
x y y x y x
10)
5 4
13 3
x y
y x
11)
12 5 6 0
5 712
3 6
x y
x y
Solución Solución Solución
5 , 7x y 15 , 12x y 3 , 6x y
12)
3 40
3 4
4 23
2 5
x y
x y
13)
33 6
5
23 9
7
yx
xy
14)
3 4 2
7 3
5 4 242
11 2
x yx
x xy
Solución Solución Solución
42 56,
23 23x y 2 , 3x y 8 , 10x y
15)
2
7
8 12
2
x y
x y
x y
x y
Solución
5 , 9x y
8.2. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Ejercicios 8.2. Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas con tres incógnitas.
1)
2 5 13
4 8
2
x y
y z
x y z
2)
6
2 5
3 10
x y z
x y z
x y z
3)
Solución Solución Solución
1 , 3 , 4x y z 1 , 2 , 3x y z 2 , 3 , 4x y z
4)
5)
Solución Solución
3 , 2 , 5x y z 3 , 3 , 3x y z
2 3 1
6 2 14
3 1
x y z
x y z
x y z
5 2 24
2 5 2 14
4 3 26
x y z
x y z
x y z
4 5 6
3 3 4 30
6 2 3 33
x y z
x y z
x y z
119
8.3. MÉTODO DGO Ejercicios 8.3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
1. 2. 3.
Solución Solución Solución
2 , 1 , 0x y z 1 3 5
, ,2 2 2
x y z 12 28 10
, ,11 11 11
x y z
4. 5.
Solución Solución
0 , 0 , 1x y z 1 3
0 , ,4 4
x y z
IX. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
9.1. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA
9.2. ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA Ejercicios 9.1 al 9.2 Resolver las siguientes ecuaciones incompletas:
1. 483 2 x 2. 4695 2 x 3. 09 22 ax 4. 0135)32)(32( xx
Solución Solución Solución Solución
1 24 , 4x x 1 211 , 11x x 1 2
1 1,
3 3x a x a 1 26 , 6x x
5. 3
1
3
1
3
1
xx 6.
12
7
6
1
2
522
xx 7. xx 324 2 8. xxxx 433 22
Solución Solución Solución Solución
332
1
3
zyx
zyx
zyx
1233
136
132
zyx
zyx
zyx
62
42
65
zy
yx
zyx
14
22
12
zyx
zyx
zyx
1223
23
232
zyx
zyx
zyx
2 0ax c
2 0ax bx
120
1 2
2 2,
3 3x x 1 22 , 2x x 1 20 , 8x x 1 2
10 ,
2x x
9. )2(245 2 xx 10. 2
3
6
9
3
xx 11. 1
2
4
1
1
x
x
x
x
Solución Solución Solución
1 2
20 ,
5x x 1 2
10 ,
2x x 1 20 , 1x x
12. )1)(3()32)(14( xxxx
Solución
1 2
80 ,
7x x
9.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Ejercicios 9.3. Resolver por factorización.
1. 2. 3. 4.
Solución Solución Solución Solución
1 23 , 2x x 1 22 , 9x x 1 29 , 12x x 1 2
2 5,
3 2x x
5. 6.
Solución Solución
1 2
3, 20
8x x No tiene raíces reales.
9.4. SOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL Ejercicios 9.4. Resolver por fórmula general y por fórmula simplificada.
1. 2. 3. 4. 63162 xx
Solución Solución Solución Solución
1 2
21 ,
3x x 1 2
112 ,
4x x 1 23 , 8x x 1 29 , 7x x
2 6 0x x 2 7 18x x 2 108 3x x 26 10 11x x
260 8 157x x 220 27 14x x
23 5 2 0x x 24 3 22 0x x 2 11 24x x
121
5. 6.
Solución Solución
1 2
2
3x x 1 2
185 ,
5x x
9.5. ECUACIONES CON RADICALES Ejercicios 9.5. Obtener las raíces de las siguientes ecuaciones.
1. 2. 3. 4.
Solución Solución Solución Solución
1 22 , 2x x 1 22 , 4x x 1 24 , 3x x 1 20 , 5x x
5.
Solución
1 21, 6x x
X. LA RECTA
10.2. PENDIENTE DE UNA RECTA Ejercicios 10.2. Obtener la pendiente de la recta, determinada por cada pareja de puntos.
1. 2. 3.
Solución Solución Solución
0m “ m ” indeterminada 1
14m
4. 5. 6.
Solución Solución Solución
7
207m
5
6m
134
99m
2 212 4 9 0x x 25 7 90 0x x
2 5 3x 6 8x x 7 2 3 4 0x x x 3 1 5 16 1x x x
63 5
3x
x
3, 1 , 5, 1A B 2,3 , 2, 5A B 4 1
, 1 , 8,3 3
A B
5 1 2, , 4,
7 3 9E F
2,3 , 8,8A E1 1 2 5
, , ,8 11 4 12
C G
122
7. (6, 1), 6,6M N 8. 9. 10.
Solución Solución Solución Solución
“ m ” indeterminada 0m 0m “ m ” indeterminada
10.3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Ejercicios 10.3. Obtener la pendiente de cada recta, determinada por cada pareja de puntos, compáralas e indica si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
1. ; 2. ;
Solución Solución
1 22, 2m m ( 1 2m m , son paralelas) 1 22, 1m m ( 1 2m m , ni paralelas,
ni perpendiculares)
3. ; 4. ;
Solución Solución
1 2
12,
2m m ; (
1
2
1m
m , son perpendiculares) 1 2
9 3,
28 2m m ; ( 1 2m m , ni paralelas,
ni perpendiculares)
5. ;
4
6,
3
13,
4
9,2 HG 6. ;
Solución Solución
1 2
9 9,
28 28m m ; ( 1 2m m , son paralelas) 1 2
9 28,
28 9m m ; ( 1 2m m , ni paralelas,
ni perpendiculares)
7. ; 8. ;
Solución Solución
1 2
9 6,
28 5m m ; ( 1 2m m , ni paralelas, 1 2
55 385,
423 2961m m ; ( 1 2m m , son
ni perpendiculares) paralelas)
4,2 , 5,2T R 1
,2 , 7,22
S U
2, 2 , 2,7M O
5,1 , 2, 5A B 2,7 , 5,1C D 5,1 , 2, 5A B 3,3 , 7, 1C D
2,7 , 5,1A B 5,3 , 7,9C D 1 5 1
4, , ,2 3 4
E F
4,10 , 10,1G H
1 5 14, , ,
2 3 4E F
1 5 14, , ,
2 3 4E F
5, 26 , 4,2G H
9 13 62, , ,
4 3 4I J
2,1 , 3,7K L 5 2 8
, , 9,11 9 6
M N
105 5 25, , 1,
11 63 21O P
123
9. ; 10. ;
Solución Solución
1 2
55 3,
423 2m m ; ( 1 2m m , ni paralelas, 1 2
55 6,
423 5m m ; ( 1 2m m , ni paralelas,
ni perpendiculares) ni perpendiculares)
10.4.1. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO CUALQUIERA DE ESTA Y SU PENDIENTE. Obtener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por un punto dado y tiene pendiente indicada en cada ejercicio y realizar la gráfica de cada una de ellas. Ejercicios 10.4.1.
1. 1,1 , 3A m 2. 2, 3 , 4B m 3. 0,4 , 2C m
Solución Solución Solución
3 2 0x y 4 5 0x y 2 4 0x y
4. 3
3, 5 ,4
D m 5. 5
3, , 67
E m
6. 2 1
, , 29 3
F m
Solución Solución Solución
3 4 29 0x y 42 7 121 0x y 18 9 1 0x y
5 2 8, , 9,
11 9 6M N
1,1 , 3,7O P 5 2 8
, , 9,11 9 6
M N
2,1 , 3,7O P
124
7. 1
0,0 ,2
G m 8. 7
,0 , 12
H m
9. 3,4 , 0I m
Solución Solución Solución
2 0x y 2 2 7 0x y 4 0y
10. 4,4 ,J m no definida
Solución
4 0x
10.4.2. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE ESTA. Ejercicios 10.4.2. Encontrar la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos indicados y graficarlas.
1. )2,5(),3,1( 21 PP 2. 3.
Solución Solución Solución
5 6 13 0x y 3 4 29 0x y 3 2 0x y
4.
5. 6.
Solución Solución Solución
4 11 32 0x y 165 16 150 0x y 3 10 6 0x y
1 23,5 , 7,2P P 1 20,0 , 2,3P P
1 23, 4 , 8,0P P 1 2
2 5 6, , , 3
3 2 5P P
1 2
1 3, , 8, 3
2 4P P
125
7. 8. 9..
Solución Solución Solución
9 13 6 0x y 0x y 2 0y
10.
Solución
4 0x
10.4.3. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS SU PENDIENTE Y ORDENDA AL ORIGEN.
Ejercicios 10.4.3. Obtener la ecuación de la recta en su forma general conociendo su pendiente y la ordenada al origen y graficarlas.
1. 2. 3.
Solución Solución Solución
1 2
25,3 , ,0
3P P
1 23,3 , 0,0P P 1 2
3,2 , 5,2
2P P
1 2
14, , 4, 5
2P P
3 , 0, 4m A 7 , 0, 5m B 2
, 0, 23
m C
126
3 4 0x y 7 5 0x y 2 3 6 0x y
4. 5. 6.
Solución Solución Solución
15 12 4 0x y
40 15 6 0x y
4 0y
7. 8. 9.
Solución Solución Solución
2 1 0x y 5 0x y 3 2 0x y
5 1, 0,
4 3m D
8 2, 0,
3 5m E
0 , 0,4m F
1 1, 0,
2 2m G
5 , 0,0m H
3, 0,0
2m I
127
10.
Solución
3 0x y
XI. LA PARÁBOLA
11.2.1. CON EJE DE SIMETRÍA PARALELO AL EJE “ ”
11.2.2. CON EJE DE SIMETRÍA PARALELO AL EJE “ ”
Ejercicios 11.2.1. al 11.2.2. Del ejercicio uno al diez, calcular los elementos de la parábola y graficarla. Del ejercicio once al dieciséis, obtener la ecuación de la parábola en la forma general.
1. 2.
Solución Solución
1, 0,3m J
x
y
2
3 6 1y x 2 8y x
128
3. 4.
Solución Solución
5. 6.
Solución Solución
7. 8.
Solución Solución
2 310
2y x
22 2y x
2
5 2 3y x 2
3 12 2x y
2
2 16 3x y 2
0 8 3x y
129
9. 10.
Solución Solución
11. 12.
Solución Solución
24 4 16 33 0y y x 2 2 8 13 0x x y
13. 14.
Solución Solución
25 60 24 0x y 24 12 4 9 0y y y
15. 16.
Solución Solución
24 0x y 290 120 45 31 0y y x
2
2x y 2 4x y
2
14 2
2y x
2 31 8
2x y
2 212
5x y
23
2y x
2 1
0 04
x y
22 1 1
3 2 5y x
130
Ejercicios 11.2.3. Calcular los elementos de cada parábola y graficarlas.
1. 2.
Solución Solución
3. 4.
Solución Solución
5. 6.
Solución Solución
2 6 16 41 0y y x 22 16 4 20 0x x y
22 2 0y x 2 4 4 12 0x x y
23 24 96y x 2 8x y
131
7. 8.
Solución Solución
2
4 1y No es parábola y no existen
valores de y que satisfagan la ecuación.
(Ningún número real al cuadrado es igual
a 1 ).
9. 10.
Solución Solución
La solución son los dos puntos de La solución es el punto 0,5P
Intersección de la parábola con el de la parábola 2
5y x
eje x 1 3,0P , 2 4,0P dado que cuando 0x
0y
11. 12.
Solución Solución
2 8 17 0y y 2 4 14 0x x y
2 7 12 0x x 2 10 25 0y y
23 9 12 21 0y x y 24 12 16 41 0x x y
132
13. 14.
Solución Solución Igual que la solución del ejercicio 7.
24 4 9 0x x 22 4 12 38 0y y x
133
BIBLIOGRAFÍA
1. Santos Trigo L.,”La Función Cuadrática”, Trillas 2010 2. Oteyza E.,Lam E.,Hernández C., Carrillo A.,”Algebra”, Pearson, Prentice-Hall, México
2003 3. Gobran A., Algebra Elemental”, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1990 4. Swokowski E., “Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica”, Grupo Editorial
Iberoamérica, México 1988 5. Britton J., Bello I., “Algebra y trigonometría Contemporaneas”, Harla, México 1986 6. Rees, Sparks, “Algebra Contemporanea” Mc. Graw-Hill, México 1980 7. NCTM, “Números y sus Factores”, Trillas, México 1966 8. Hall & Knight, “Algebra Elemental”, Montaner y Simón S.A., Barcelona España 1968 9. Taylor H., Wade T.L., “Matemáticas Básicas”, Limusa-Wiley, México 1966 10. Lehmann CH., “Algebra” Limusa-Wiley, México 1965 11. Zubieta F., Algebra Elemental” segunda parte, Apuntes, México 1962