Curso matematicas

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericanode formación permanentede profesores de matemática

Tema 1: Números naturales

Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática

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Introducción

Metodología y recursos

Los números naturales

Actividades

Operaciones

Orden en los números naturales

Uso de los números naturales como códigos

Divisibilidad

ANEXO

Definición axiomática de los números naturales

Definición de número natural

Axiomas de Peano

Operaciones con números naturales

Ordenación en N

Sistemas de numeración

Operaciones en cualquier sistema de numeración

Bibliografía

Números naturales


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1. Introducción

“La Matemática moderna lleva a cabo una actividad intelectual muy sofisticada difícil de definir, pero

una gran parte de lo que hoy se conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que

originalmente se centró en los conceptos de número, magnitud y forma.

Las nociones primitivas relacionadas con los conceptos de número, magnitud y forma se remontan al

origen de la raza humana, y estarían, en un principio, relacionadas más bien con diferencias y

contrastes que con semejanzas, tales como la diferencia entre un lobo y muchos. Después, y de una

forma gradual, debe haber surgido, la constatación de que las diferencias mismas están apuntando ya

a las semejanzas, puesto que el contraste que se observa entre un lobo y muchos, una oveja y un

rebaño, vienen a sugerir que un lobo y una oveja tienen algo en común, su unidad.”

Extracto de “Historia de la matemática”. Carl B. Boyer

El objetivo principal de este tema es entender mejor lo que son los

números; se supone que un estudiante de secundaria lleva más de 6 años manejando los números; pero muchos de ellos los consideran como algo

tan común que no logran apreciar su complejidad y su alcance.

Los números naturales son utilizados principalmente para contar; desde

niño el ser humano asocia los números con los objetos que ve, y con actividades cotidianas. Una cuestión clave: saber qué son los números. No

obstante, lo más importante es aprender a utilizarlos. Por tanto los números se explican en función del uso que les damos y este es el

fundamento de las actividades del tema. Ofrecemos la necesaria fundamentación teórica como anexo. En él va a encontrar una

introducción formal del número natural. Tal vez se encuentre con un

lenguaje al que esté poco habituado. El desarrollo axiomático, como es sabido, tiene una estructura según la cual, partiendo de unas verdades

indiscutibles (axiomas) se construye luego todo un entramado de propiedades y teoremas que siguen un estricto razonamiento lógico

deductivo que es, entre otras virtudes, una de las grandezas de las matemáticas. Aconsejamos, por tanto, una lectura pausada, sin pretender

memorizar los diferentes pasos de las demostraciones sino tratar de seguir los razonamientos y saber que, en este tema, tiene un tratamiento

riguroso de la introducción del número natural.

2. Metodología y recursos

2.1. Metodología

El desarrollo de este tema pretendemos que sea global y significativo, es

decir, aplicable a la vida real. Para la búsqueda de la globalización de los aprendizajes es importante que conozcamos los conocimientos previos del


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alumnado, pues el contenido. aunque ubicado en la enseñanza secundaria, ya es conocido ampliamente por el alumnado. Pretendemos

enlazar ese aprendizaje anterior con otros más avanzados dentro aun del conjunto de los números naturales y del sistema de numeración,

partiendo de la historia y la utilidad de los números.

Trataremos siempre de enfocar los nuevos conceptos a situaciones de la

vida real de nuestros alumnos y alumnas, proponiendo ejemplos y tareas

que el alumno reconozca como posibles y útiles en su vida.

En base a las nuevas tendencias de la enseñanza mediante competencias,

la tarea del alumno debe centrar nuestra enseñanza, siendo nuestro papel, el del docente, el de promotor de aprendizajes y de coordinar y

dirigir el aprendizaje de nuestros alumnos mediante la realización de las tareas propuestas.

Basándonos en lo que hemos dicho, una de las primeras tareas consistirá en realizar actividades de evaluación inicial con el propósito de detectar el

nivel de conocimientos del tema que poseen los alumnos. Estas actividades nos permitirán saber cuáles son los puntos de partida para

empezar a trabajar y detectar posibles alumnos que necesiten de un seguimiento especial o incluso adaptaciones curriculares. En función de los

conocimientos de los que partimos, seleccionaremos las actividades de desarrollo adecuadas, con las que trabajaremos todos los contenidos del

tema.

2.2. Recursos

Este texto de Luis Santaló es suficiente para entender que en este nivel e incluso anteriores, la enseñanza de y con la calculadora es fundamental.

El recurso didáctico principal será, por este motivo, la calculadora. Se enseñará su funcionamiento para que luego el alumnado lo aplique

adecuadamente. Es necesario el uso de la tecnología porque facilita el

cálculo, da seguridad, se gana tiempo sobre todo cuando se trabaja con cifras grandes pero, a su vez, debemos conseguir un buen nivel de cálculo

mental. Un objetivo este para el que no es necesario que se consigue, no solo realizando operaciones sin calculadora, sino que se potencia también

mediante acertijos y juegos de los que veremos algunos ejemplos en algunas de las actividades de este tema.

“Si se trata únicamente de los cálculos matemáticos, las calculadoras de bolsillo pueden ser suficientes y su mayor facilidad de adquisición (cada alumno puede disponer de la suya) hace que su uso sea altamente recomendable desde los primeros grados. Hay que ejercitar el cálculo mental para números pequeños, pero las operaciones con números de más de dos cifras hay que dejarlas para las calculadoras. Después de todo, el lápiz y el papel son instrumentos de cálculo primitivo, que puede sustituirse con ventaja por otros más evolucionados.”

Santaló, 1986


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Hay otros recursos útiles como es la lectura literaria, la utilidad de ésta será buscar el significado y aplicación de los números a través de la

literatura, entre otros libros se pueden emplear los siguientes: El señor del cero. M.ª Isabel Molina. Ed. Alfaguara. Colección: Serie azul, El

mundo secreto de los números. Ricardo Gómez Gil. Editorial: SM. Colección: Barco de Vapor Saber. Serie azul.

Y, por último, en la web hay multitud de recursos TIC para trabajar los números naturales, entre los que se encuentran las Web interactivas,

visualmente atractivas para el alumnado, con actividades cuyo uso puntual es muy útil, por ejemplo, para mejorar el cálculo mental.

3. Los números naturales

Definición Un número natural es cualquiera de los símbolos que se

usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese

nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Algunos matemáticos, dependiendo de la construcción del conjunto que utilicen, prefieren reconocer el cero (0) como un número natural como los

que se basan en la definición axiomática (ver anexo), otros, especialmente los de teoría de conjuntos, lógica e informática, sostienen

la postura opuesta. Nosotros vamos a considerar el 0 dentro del conjunto de números naturales. La construcción sin el 0 es similar considerando

que el primer elemento del conjunto de los naturales es el 1.

3.1. Axiomas de Peano

Peano logró dar una explicación muy formal y al mismo tiempo muy práctica de los números naturales. El conjunto de números naturales

comienza con un número inicial que puede ser el cero o el uno, y a continuación, se toma lo que Peano llamó su sucesor, que es el número

que se obtiene sumando uno, después continuamos con el sucesor de este, el siguiente y de esta forma se obtiene el conjunto de números

naturales.

Así, el sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, el sucesor de 2 es 3, etc.

Con esta idea tan sencilla, Peano enunció 5 propiedades, conocidas como axiomas de Peano, que describen formalmente el conjunto de números

naturales:

1) El 0 es un número natural.

2) Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un

número natural.

3) El 0 no es el sucesor de ningún número natural.


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4) Dos números naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor.

5) Si el 0 cumple una propiedad y si cada sucesor de un número que la

cumple también la cumple, entonces la propiedad la cumplen todos los números naturales. Éste es el conocido como el axioma de

inducción matemática.

De esta manera los números naturales son:

N = {0,1,2,3,…}

4. Actividades

4.1. Sistemas de numeración.

Recordemos que el sistema de numeración decimal:

1) Contiene 10 símbolos que llamamos dígitos:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Es el conjunto de los 10 primeros números naturales.

2) Cada 10 unidades de un orden determinado constituyen una unidad de orden inmediatamente superior, así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

constituyen una decena. Diez decenas forman una centena, diez centenas una unidad de mil, etc.

3) Un número cualquiera es una secuencia finita formada por dígitos que se escriben de derecha a izquierda de manera tal que, el valor

de dichos símbolos depende de la posición que ocupe. Así, por

ejemplo, el número veintitrés mil setecientos cuarenta se escribe:

23 740

Y, según lo dicho, se puede descomponer en la siguiente forma:

23.740 = 20.000+3.000+700+40+0= 104107103102 234

Estos tres principios son los que hay que considerar para construir

sistemas de numeración usando otras bases.

Los babilonios usaban un sistema de numeración de base 60, los mayas otro con base 20. La aparición de ordenadores ha dado mucho auge a los

sistemas binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16).

Distintos sistemas de numeración en la historia.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, piedras, marcas en bastones, y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución: cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Con esto se


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estaba adoptando la base y por tanto se obtiene una unidad de segundo orden. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior. Tenemos ya dos unidades de segundo orden. Cuando se alcanza un número de unidades de segundo orden igual al número adoptado como base, entonces se tiene una unidad de tercer orden y así sucesivamente.

Observa los siguientes sistemas de numeración de antiguas civilizaciones

¿Cómo se escribiría, por ejemplo, el número 29, en cada una de estas culturas?

Los sistemas de numeración pueden ser aditivos o posicionales. Los aditivos acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,… hasta completar el número. Una de sus características es, por tanto, que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se suele usar una posición predeterminada como ocurre en el sistema romano. Las numeraciones egipcia y romana son ejemplos de este tipo de numeración.

Los sistemas de numeración posicionales se llaman así porque la posición de una cifra nos indica el valor que tiene. En el caso conocido del sistema decimal, sus nombres son: unidad, decena, centena,… según esté en el último lugar, penúltimo, antepenúltimo, etc. Los babilonios, chinos y mayas lograron desarrollar sistemas de numeración posicionales.

En la cultura india se resolvió una situación delicada de una forma que ha trascendido y llegado hasta nuestros días. Se trata de la creación del cero, 0, para ser colocado en el lugar en el que no haya unidad. Así, si se tienen tres centenas y siete unidades, ¿cómo se escribe esta cantidad? Como no tiene decenas, en su lugar se coloca el cero y por eso se escribe: 307.

Al introducir ese símbolo para el 0 consiguió un desarrollo completo que facilitó el manejo de cantidades en las distintas operaciones. Con frecuencia nos referimos al sistema de numeración decimal como árabe, pero se admite que su origen es indio. Los árabes lo conocieron allí y difundieron posteriormente.


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Actividad 1. Sistemas de numeración aditivos.

Con los símbolos = 1, ɸ = 5 y = 20, escribe los números 7, 13, 55 y

98

¿Crees que este sistema de numeración es adecuado para escribir números grandes?

Actividad 2. Sistemas de numeración aditivos.

¿Qué números representan estas inscripciones del antiguo Egipto?

Actividad 3. Inventa tu propio sistema de numeración.

Dividimos la clase en grupos de 3 o 4 alumnos y le pedimos a cada grupo que invente su propio sistema de numeración observando los de la

actividad anterior.

Actividad 4. El señor del cero.

José es un joven mozárabe que tiene que huir de Córdoba, por la envidia que despierta su facilidad para el cálculo. Refugiado en el monasterio de Ripoll, explicará allí las ventajas de la numeración arábiga, al tiempo que es testigo de las luchas de los condes y obispos catalanes para independizarse de los francos. Allí conoce a Emma e intenta ayudarla cuando está en peligro. Pero la ciencia de José resulta sospechosa a algunos fanáticos que intentarán detenerle.

¿Todos los sistemas de numeración utilizan el 0? Indica los sistemas de numeración que sí tienen un símbolo para el 0 y los

que no

¿Es el cero un número como los demás? Explica la importancia histórica de este número.

¿Qué origen tienen los números que utilizamos en la actualidad?

Intenta resolver el problema del collar planteado en la pág 12 del

libro. Si no lo consigues busca la respuesta en las páginas 58 y 59.

¿Qué virtudes le otorgo Sidi Sifr al sistema decimal en dichas páginas?

Explica la historia de la tacañería del emperador romano Tiberio ¿podríamos tener esa confusión con nuestro sistema de

numeración?


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Actividad 5. Sistema de numeración decimal.

Escribe el nombre y el valor de la cifra 4 en cada uno de estos números.

Aunque parezca difícil de entender esto no es más que la utilización de la lógica matemática que empleas, con toda seguridad y aunque no seas

consciente de ello, cuando resuelves juegos o acertijos como el de la siguiente actividad.

Actividad 6. El juego del SUDOKU.

El SUDOKU es un rompecabezas matemático de los conocidos como de colocación que se popularizó en Japón a finales de la década de los 80 del

siglo XX. El objetivo del juego es rellenar una cuadrícula de 9×9 celdas dividida en subcuadrículas de 3×3 con las cifras del 1 al 9, partiendo de

algunos números ya dispuestos en ciertas celdas. No se debe repetir

ninguna cifra en una misma fila, columna o subcuadrícula. Un sudoku está bien planteado si la solución es única. Intenta resolver el siguiente:

40 4 decenas = 40 = 1104

124

50 040

50 400

6 432 519


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Actividad 7. Sucesor de un número.

Completa las siguientes frases:

El siguiente o sucesor de 9 es _______



Actividad 8. Aplicación del sucesor o siguiente a un número natural:

- José cumplió 10 años en Marzo de 1994, ¿cuándo cumplió 11 años? ________________________

- Verónica tiene 16 años. ¿Cuántos años tendrá el próximo año en esta fecha? ________________________

- Pablo lleva 11 años viviendo en Guayaquil, ¿cuántos llevará el próximo año?________________________

5. Operaciones

Una vez que tenemos bien definido el conjunto de los números naturales,

procedemos a operar con ellos ya que, como es sabido, existe una gran cantidad de situaciones en las que es necesario sumar, restar, multiplicar

o dividir números naturales, es decir, utilizarlos.

Como el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es

también un número natural, entonces se dice que la suma y la multiplicación son operaciones internas.

La resta, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no

lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo).

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de

dos números naturales puede no ser un número natural. No lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor y, en este caso, trabajaremos con la

llamada división entera, es decir, con el cociente y el resto.

Recordemos las propiedades de la suma y de la multiplicación.

Propiedades de la suma

- Asociativa: c)(bacba, a,b,c N

- Conmutativa: abbaba N,,

- Elemento neutro: nnnn 000 n, N,


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Propiedades de la multiplicación

- Asociativa: c)(bacba, a,b,c N

- Conmutativa: abb, aa,b . . N

- Elemento neutro: 1 .n n n n / 1 .1 N,Nnumeroun

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:

cbcacba, a,b,c N y bcacba, ca,b,c N

Actividad 9. Propiedad asociativa de la suma.

Utilizando la propiedad asociativa, y siguiendo el ejemplo, calcula

mentalmente el valor de las siguientes sumas:

Ejemplo: 3 + 15 + 17 + 5 = (3 + 17) + (15 + 5) = 20 + 20 = 40

Actividad 10. Propiedades de la resta.

Completa las siguientes restas:

¿Verifica la resta la propiedad conmutativa? Demuéstralo con un ejemplo.

25 + 47 + 5=

36 + 4 + 15 + 5=

325 + 62 + 75 + 8=

2500 + 45 + 60 + 500=

650 - ____ = 234

2045 - ____ = 1 320

390 - ___ = 8


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Cálculo mental

La siguiente actividad contribuye a la mejora del cálculo mental y

no necesariamente debe ir en este lugar. El profesor decidirá

cuándo se debe realizar, incluso sería conveniente repetirla para

conseguir el objetivo de desarrollar un buen cálculo mental.

En la práctica de este tipo de ejercicios podemos debatir con los

alumnos las distintas estrategias utilizadas para realizar el

cálculo mentalmente, con el objetivo de que los alumnos aprendan

entre ellos.

Actividad 11. Propiedad asociativa de la multiplicación.

Utiliza la propiedad asociativa para calcular el valor del producto de los siguientes apartados:

Ejemplo: 5 · 23 · 20 = (5 · 20) · 23 = 100 · 23 = 2300

Actividad 12. Propiedad distributiva.

Calcula el valor de las siguientes expresiones haciendo uso de la propiedad distributiva:

25 · 4 · 13=

15 · 60 · 4 =

25 · 32 · 2 · 2=

20 · 45 · 5=

4 · (5 + 6)=

6 · (9 + 2)=

5 · (13 - 2)=

6 · (10 - 5)=


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Actividad 13. División.

Completa la siguiente tabla:

Actividad 14. Adivina el número.

a) ¿Qué número pensé si al sumarle 30 obtengo 80?

b) ¿Qué número pensé si al sumarle 300 obtengo 700?

Ampliar este tipo de ejercicios con otros similares usando las unidades, decenas, centenas, millares, etc.…

Orden de prioridad en las operaciones

Cuando aparecen varias operaciones seguidas, es necesario tener cuidado

al efectuarlas porque existe un orden que debemos respetar. Es lo que se conoce como orden de prioridad de las operaciones.

Por ejemplo: si no respetamos ese orden, al plantearse la operación 2362 podemos obtener tres resultados diferentes:

2362 =10 2362 =14 2362 =4

Para que esto no suceda entonces necesitamos establecer un orden de

prioridad en las operaciones que nos indique qué operaciones debemos llevar a cabo primero. Cuando la situación puede crear confusión,

entonces se utilizan paréntesis, corchetes o llaves para establecer ese orden. No es lo mismo 573 que 573 .

Reglas de Prioridad de operaciones

1º Resolver paréntesis, u otros símbolos: ( ) [ ] { }

2º Multiplicación y división de izquierda a derecha. 3º Suma y resta de izquierda a derecha.

Colocar los símbolos necesarios para que los tres resultados del ejemplo

anterior sean correctos.

Dividendo Divisor Cociente Resto

95 4 23

20 5 4

38 6 2

240 60 0


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Actividad 15. Orden de las operaciones.

Halla el valor de las dos expresiones de cada apartado siguiendo el orden

de prioridad de las operaciones y compara los resultados:

Actividad 16. Orden de las operaciones. Resolución de problemas

En una escuela con 240 alumnos, el profesor informa que se ha adquirido un ordenador para cada 5 alumnos. Sumados a los 25 que ya tiene la

escuela, ¿cuántos ordenadores hay en total en la escuela?

Indica cuál de los siguientes cálculos es el apropiado para la situación

planteada.

a) 255:240 b) 5:)25240( c) 255:240

Actividad 17. Orden de las operaciones.

Explica el orden en el que hay que realizar las operaciones de cada expresión y calcula su valor:

14 . 10 + 3= 14 . (10 + 3)=

18 + 7 . 3 + 4= 18 + 7 . (3 + 4)=

15 . 3 + 4 – 1= 15 . (3 + 4) – 1=

10 - 3 . 2 + 1= 10 - (3 . 2 + 1)=

8 + 4 . 5 + 6= 8 + 4 . (5 + 6)=

12 - (7 + 4) + 3 · 2=

4 + 12 : (8 - 5)=


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USO DE LA CALCULADORA

Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas:

, , y

Ejemplo: Para realizar la operación: 4 + 12 : 8 – 5 =

Pulsaremos las teclas: 4 12 8 5

Prioridad de operaciones

Los nuevos modelos de calculadora respetan el orden de prioridad de las operaciones; debes conocer si la tuya lo hace.

Compruébalo con el siguiente ejemplo: 22-5

Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas: y .

Si tu calculadora no respeta el orden de prioridad los deberás usar para especificar qué operaciones hay que realizar primero.

Actividad 18. Calculando con la calculadora.

Comprueba cómo afectan los paréntesis a las operaciones realizando las siguientes con tu calculadora y comparando los resultados:

Coloca los paréntesis a la siguiente expresión para obtener el resultado

especificado:

4 – 2 - 1 + 1 4

6 + 3 – 2 – 1 8

Resuelve con la calculadora:

12 - (7 + 4) + 3 · 2= 12 – 7 + (4 + 3) · 2 =

4 · 2 – (1 + 1)= 9 : (2 + 1) + 5 = 3+ 8 · 3 : 4 =


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CALCULADORA EN LA RED

La calculadora WIRIS tiene una barra de herramientas adaptada a la educación primaria; se selecciona pulsando primaria de la parte inferior de la pantalla.

Esta barra de herramientas tiene los iconos necesarios para un alumno que se

esté iniciando en el uso de esta herramienta, se sienta cómodo.

Además de estos iconos en la barra de la calculadora, tenemos un teclado al

lado derecho que contiene los iconos numéricos, los paréntesis, las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división…), el símbolo decimal y el símbolo

de igualdad:

Esta herramienta además nos permite introducir texto pulsando el botón

con lo que podemos comentar las operaciones, o incluso resolver los problemas argumentando el procedimiento empleado y el planteamiento.

Actividad 19. Calculando con la herramienta WIRIS.

Vamos a calcular (38-15) · 24= haciendo uso de la calculadora wiris

llevando a cabo los siguientes pasos

Accede a la web http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

En la parte baja de la pantalla selecciona primaria para quedarnos

con un entorno más reducido.

En la barra de menús elige

Pulsa el botón para introducir tu nombre.

http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/


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Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro del mismo bloque y añade el grupo de clase al que perteneces.

Pulsa el botón (Calcular) para pasar al siguiente bloque.

Escribe la operación (38-15) · 24

Haz clic en Calcular

Actividad 20. Resolviendo problemas con la herramienta WIRIS.

Haciendo uso de la calculadora WIRIS resuelve el siguiente problema:

El dueño de una tienda de ropa compra 2 cajas de pantalones con 15

unidades en cada una. Paga 150 € por cada una. Si en la tienda vende los pantalones a 20 €, ¿qué beneficio obtiene al vender todos los pantalones?

6. Orden de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados.

En efecto, la relación de orden < se puede definir así:

ba si y sólo si existe otro número natural c que cumple a + c = b.

(También se puede escribir b > a)

Los símbolos que se utilizan para establecer la relación de orden entre dos

números son:

Relación Significado

a < b a es menor que b

a ≤ b a es menor o igual que b

a > b a es mayor que b

a ≥ b a es mayor o igual que b

http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total


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Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas, es decir:

cbcaba , Nc

cbcaba , Nc

Por tanto, los números naturales, además de servir para contar (a esta

utilidad responde que se les denomine números cardinales), también

son los que se usan para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),… 16º (decimosexto),…

En este caso reciben el nombre de números ordinales.

Actividad 21. Buscando un número.

Busca el número que cumple las siguientes condiciones:

es un número mayor que 51.000 y menor que 52.000,

es impar,

la cifra que ocupa el lugar de las centenas es 9,

todas sus cifras son distintas,

no termina en 3,

la suma de sus cifras es 24.

Actividad 22. Orden.

¿Cuál es el mayor número que se puede formar con los dígitos 2, 4, 6 y 9

utilizándolos solo una vez? ¿Y el menor? ¿Y si se pueden repetir?

7. Uso de los números naturales como códigos

Si entendemos por codificar el poder transmitir una información de forma

abreviada, entonces los números naturales sirven para codificar. En efecto, tenemos informaciones de personas y objetos a través de números

como:

- El número del documento nacional de identidad

- Los prefijos telefónicos.

- Las cuentas bancarias.

- Los códigos postales.

- La televisión digital.


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Actividad 23. Código secreto.

Descifra el siguiente mensaje colocando encima de la cifra el carácter que

representa según el código que establece la tabla.

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z , .

21 9 17 6 16 8 22 7 15 29 30 18 28 10 19 24 11 23 20 4 5 26 27 3 13 25 1 14 2 12

Actividad 24. Códigos de la vida

Todos los ciudadanos tienen un número de

identificación en España este consta de 8 o 9 dígitos y una letra. La letra se obtiene dividiendo

el número completo entre 23 y al resto de dicha

división que deberá estar comprendido entre 1 y 22 se le asigna la letra según la equivalencia de la

siguiente tabla:

a) Comprueba si los siguientes DNI son correctos:

05366821R 71124351Q

b) ¿Cuál será la letra del DNI: 54876233?

c) Escribe los números de dos DNI a los que

corresponda la misma letra.

d) ¿Cómo han de ser dos DNI para que tengan la misma letra?

17 24 10 14 10 26 28 16 20 24 4 14 2 4 16 14 11 26 16

6 16 14 6 16 28 24 4 5 20 21 20 14 17 26 21 18 23 26

15 16 20 14 17 24 4 21 12


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8. Divisibilidad

Dados dos números naturales 00 bya , decimos que a es divisible

por b o que b es divisor de a si cbacnúmeroun /N , es decir,

cuando la división del primero por el segundo es exacta.

También se puede decir que a es múltiplo de b.

Conseguir que el alumnado capte bien las ideas de divisor, múltiplo y

divisible y la relación entre ellas.

La relación “a es divisible por b” es una relación binaria de orden parcial.

La forma simbólica de definir la relación entre el par (a,b) es:

0,,, bycbacbacba NN/

Que se lee así: a es divisible por b si y solo si existe un número natural c

tal que verifica que a = b.c. Por ejemplo, el par (24,3) indica que 24 es divisible por 3 porque existe el 8 de forma que 24 = 3.8.

Esta relación binaria define sobre N un orden parcial porque hay números

naturales no relacionados, por ejemplo: (3,2), (17,5), etc.

Verifica las propiedades:

Reflexiva: 1,, aapuesaaa N

Antisimétrica: Si baabyba

pues

dabdabSi

cbacbaSi

N/

N/

/

/ sustituyendo en la primera igualdad

el valor de la segunda se tiene que: cdaa 11 cyd ba

Transitiva: cacbybaSi ///

Si

22

11

/

/

dcbdcbSi

dbadbaSi

N/

N/ sustituimos el valor de b en la

segunda igualdad, teniendo que: 21 ddca por tanto

zcaddz /21 y ca /

Cualquier número natural es divisible por 1: nnn 1/

8.1. Múltiplo

El conjunto de todos los múltiplos de un número natural a , se simboliza

a

n nnaa ,


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Todo número es múltiplo de sí mismo.

Los múltiplos son compatibles con la suma, es decir, si dos números

son múltiplos de un mismo número, su suma también lo es.

Si un número a es múltiplo de uno b entonces todos los múltiplos de

a lo son también de b.

En definitiva, los múltiplos de un número natural son los números

naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números

naturales. Así, son múltiplos de 7: 7,14, 21, 28, 35,… 70,… 84,…

8.2. Divisor

Denotamos por D(a) al conjunto de los divisores de cualquier número

natural a, de forma simbólica:

ncacnnaD n/n ;0,)(

El cero no es divisor de ningún número natural.

El 1 es divisor de cualquier número natural.

Todo número natural distinto de cero es divisor de sí mismo.

Los divisores son compatibles con la suma, es decir, si un número natural a es divisor de otros b, c, …, lo es también de su suma

b + c + ...

Todo número natural divisor de otro, también lo será de sus

múltiplos.

Los divisores de un número natural son los números naturales que le pueden dividir de manera exacta, es decir, resultando de cociente otro

número natural y de resto 0. Así, por ejemplo, los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Para calcular los divisores de un número, lo dividimos entre los números naturales menores que él, y anotamos los que den división exacta, es

decir, resto cero. Veremos procedimientos que simplifican este método.

Obsérvese que un número tiene infinitos múltiplos mientras que el

número de divisores es siempre un número finito.

8.3. Criterios de divisibilidad

A través de la teoría de las congruencias (que se proporciona en este curso entre los documentos complementarios), se llega a deducir si un

número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. He aquí algunos de ellos:

El 1 divide a todos los números.

Los números que terminan en 0, 2, 4, 6, 8 son divisibles por 2.


- 22 -

Si sumamos el valor individual de las cifras de un número y resulta ser un múltiplo de 3, entonces es divisible por 3.

Los números que terminan en 0 ó 5 son divisibles por 5.

Si sumamos el valor individual de las cifras de un número y

resulta un múltiplo de 9, entonces es divisible por 9. Los números que terminan en 0 son divisibles por 10.

Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma

de las de lugar impar es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es divisible entre 11.

Actividad 25. Múltiplos

Completa la siguiente frase con los números: 20, 5 y 4

______ es múltiplo de ______ porque lo contiene ______ veces


Continua estas series y escribe una característica para cada serie

a) 0, 3, 6, 9, ………………………………………….66

b) 0,5,10,15,………………………………………….75 c) 0,7,14,21,…………………………………………..105


De la siguiente lista de números rodea con azul los que sean múltiplos de 2 y en rojo los múltiplos de 3.

0 21 94 27 14 31 42 87 32 9

34 44 50 39 56 99 70 20 69 37

7 58 11 64 47 3 61 75 74 46

71 17 22 72 73 63 98 30 55 80

84 66 79 65 15 78 4 26 85 29

23 6 1 18 62 10 59 57 38 86

83 41 91 68 77 35 67 19 90 28

12 92 48 96 52 76 5 43 54 93

49 53 97 13 88 89 25 51 8 95

36 82 33 40 2 24 81 60 45 16


- 23 -

Actividad 28. Juego de cuatro en raya con divisores

Material necesario:

Preparar los siguientes tableros, uno para cada equipo de jugadores.

20 fichas de dos colores, 10 de un color y 10 de otro.

Dos dados.

Se juega con los alumnos agrupados en equipos formados por una pareja. Las reglas del juego son:

Se lanza primero un dado, sale por ejemplo 2, y luego el otro, sale, por ejemplo el 4, se forma entonces el número 24. El equipo

pone una ficha de su color encima de uno cualquiera de los divisores de 24.

Lanza el siguiente equipo los dos dados de forma sucesiva y repite el procedimiento.

Gana el equipo que primero ponga 4 fichas en línea (horizontal,

vertical o diagonal)

Actividad 29. Divisibilidad y razonamiento lógico

¿Qué cifra entre 0 y 9 debe sustituir a y en el número 50y7 para obtener un número múltiplo de 3?

¿Qué cifra entre 0 y 9 debe sustituir a la x en el número 9x86 para que al

dividirlo por 11 el resto de 5?

13 2 4 1 3

4 3 2 4 8

1 5 6 7 2

5 1 3 11 9

2 10 3 5 1

1 3 8 5 2

5 6 13 2 4

2 10 3 4 1

1 5 9 4 3

2 3 1 7 11


- 24 -

¿Qué cifra entre 0 y 9 deben tomar x e y para que el número 5x8y sea divisible por 2, 3, 5 y 11 a la vez?

Actividad 30. Divisores

Preparar las 48 cartas de una baraja española (se incluyen el 8 y el 9), o bien, las de una

baraja francesa, dándole a la J=11 y K=12 y eliminando la Q. Pueden participar entre 4 y 6

jugadores. • Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a

cada jugador y descubre una boca arriba: la carta muestra. El resto de las cartas las coloca

boca abajo en la mesa. • Comenzamos el turno por el jugador situado

a la derecha del que repartió las cartas. Puede

colocar una sola carta a la derecha o a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en

común con ella (diciendo en alto el divisor); o puede colocar la carta por encima o por debajo de la carta muestra si, respectivamente, es

múltiplo o divisor de la misma. • Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto

anterior, roba una carta del montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.

Ganará el jugador que antes se quede sin cartas en la mano.

8.4. Números primos

Definición Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por 1.

Si nn es primo, entonces 1 nn

Definición Si un número no es primo entonces diremos que es

compuesto.

Todo número compuesto puede ser expresado como un producto de factores que son números primos. Es decir:

Si nn es un número compuesto ... rlkcban con ...,, cba números

primos.

Para obtener los factores primos de un número se suele proceder del siguiente modo: se divide el número por el menor de sus divisores

primos; el cociente se divide también por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta hallar un

cociente primo, que se dividirá por sí mismo.


- 25 -

Ejemplo

5

3

3

2

1

5

15

45

90

53290 2

Para simplificar este proceso y saber cuándo un número es divisible por otro número, generalmente primo, sin necesidad de realizar la división, se

utilizan los criterios de divisibilidad.

Actividad 31. Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado siguiendo estos

pasos: Partimos de una lista de números hasta un determinado número.

Eliminamos los múltiplos de 2. Luego tomamos el 3 que es el primer número mayor que 2 que

no fue eliminado en el paso anterior y eliminamos de la lista todos sus múltiplos.

Reiteramos el paso anterior con el resto de números.

Aplica este método a la siguiente tabla para conocer los números primos

que son menores que 100:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


- 26 -

Definición Se define el máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales como el mayor divisor posible de

todos ellos.

Ejemplo

Calcular el m.c.d. (18, 30)

Para ello obtenemos los divisores de cada uno de ellos:

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Vemos que los números 1, 2, 3, 6 son divisores comunes. El mayor es 6 y

por tanto se tiene:

m.c.d. (18, 30) = 6

Se prueba que para calcular el m.c.d. de dos o más números se puede seguir el siguiente procedimiento: se descomponen los números en factores primos y tomando los factores primos comunes elevados al

menor exponente se tiene el m.c.d. de esos números.

Ejemplo

Calcular el m.c.d. (90, 25)

Descomponemos en factores primos

5

3

3

2

1

5

15

45

90

53290 2 5

5

1

5

25

2525

El m.c.d (90,25)=5

Calcula ahora el m.c.d. de 90 y 75.

8.5. El algoritmo de Euclides

Teorema Si dos números a y b (a>b) no son divisibles el uno por el otro, los divisores comunes de a y b son los mismos que los de

b y r, siendo r el resto de la división entera de a entre b, por tanto:

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural


- 27 -

m.c.d. (a, b) = m.c.d. (b, r),

Demostración

Sea d= m.c.d. (a, b) y t= m.c.d. (b, r), vamos a demostrar que d=t

Si d= m.c.d. (a, b) entonces d es un divisor de a y también

de b, es decir:

daa 1 y dbb 1 .

Por otro lado, por el algoritmo (prueba) de la división se tiene

que

brrqba 0, (1)

De donde llegamos a:

dqbaqdbdaqbar ).(. 1111

Por tanto d es divisor de r. Pero esto significa que d es divisor

común de b y r. Como ya teníamos que también es un divisor

de d entonces divide a su m.c.d., esto es d es un divisor de t.

Por otra parte, t es un divisor común de b y r, por ello luego

tbb 2 y trr 1 . Sustituyendo estas igualdades en la expresión

(1): trqbtrqtbrqba )( 1111

De lo anterior tenemos que t es un divisor común de a y b, entonces también lo es de su m.c.d., es decir t es divisor de d.

Como t es divisor de d y también d es divisor de t t=d

El algoritmo de Euclides es un método para calcular el máximo común

divisor (m.c.d.) de dos números mediante divisiones sucesivas. En la primera división, se toma como dividendo el mayor de los números y

como divisor el otro. En la siguiente división se dividen el divisor y el resto. El proceso se continua y finalizará cuando se obtenga un resto

nulo. El m.c.d. será el penúltimo resto del algoritmo.


- 28 -

Ejemplo

Vamos a calcular el m.c.d.(90, 25) utilizando el algoritmo de Euclides

El m.c.d. (90,25)=5

90 25

15

3

25 15

10 1

15

10

5

1

10 5

0 2

Definición El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Ejemplo

Calcular el m.c.m.(6, 8)

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ..

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …

Observamos que el 24 es el más pequeño de los múltiplos comunes y por eso escribimos:

m.c.m.(6, 8) = 24

También para calcular el m.c.m. de dos o más números se puede seguir un algoritmo que simplifica el anterior: se descomponen los números en

factores primos y se toman los factores primos comunes y no comunes pero siempre los de mayor exponente.

Actividad 32. Aplicación del m.c.m.

Tres avisos luminosos encienden y apagan sus luces así: el primero cada 6 segundos, el segundo cada 9 segundos y el tercero cada 15 segundos. A

las 7 en punto se encienden simultáneamente los tres avisos. ¿Cuántas veces coinciden encendidos los avisos en los 9 minutos siguientes?


- 29 -


Juan va a preparar perritos calientes, y quiere comprar el mismo número de salchichas que de panes. Las salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los panes en paquetes de 4.

¿Cuál es el menor número que tiene que comprar de cada uno para que no sobren ni salchichas ni panes?


Un cometa A es visible desde la Tierra cada 7 años y otro B lo es cada 60. Si la última vez que fueron vistos simultáneamente fue en 1985 ¿en qué

año volverán a coincidir?

Actividad 35. Aplicación del m.c.d.

Unl carpintero quiere aprovechar 3 tablones que le han sobrado de 180, 250 y 300 cm. y aprovecharlos al máximo cortando cada uno en trozos del mismo tamaño. ¿Cuál debe ser la longitud de cada trozo para que el

número de cortes sea el menor posible? ¿Cuántos trozos de ese tamaño saldrán de cada tablón?

Y si en lugar de querer trozos del mismo tamaño desea el mismo número de trozos de cada listón ¿qué medidas tendrán los trozos de cada tablón?


- 30 -

ANEXO

Definición axiomática de número natural

EL objetivo principal de este anexo es el de proporcionar al profesorado una introducción formal del número natural que dé solidez a sus

conocimientos acerca de este conjunto. No se trata de transmitirlo así al alumnado sino que se sepa que lo que explicamos está sólidamente

construido.

El concepto de número surge de la propiedad abstracta que tienen en

común los grupos de un lobo, oveja, etc., o bien de dos lobos, ovejas, etc. y es a lo que llamamos número. Los números son objetos abstractos

que indican cantidad.

En esta unidad analizaremos el conjunto de los números naturales y la aritmética definida sobre él. Se trata de los números que usamos para

contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. y también para ordenar: 1º, 2º, 3º, 4º, … El hombre primitivo solo necesitó algunos cuantos números, los

cuales representó mediante marcas en huesos o madera, este hecho queda constatado por el dato de que algunas lenguas han conservado en

su gramática una distinción entre uno, dos y más de dos con un vocablo que significa “muchos”.

La conciencia del número se extendió lo suficiente para necesitar expresar esta propiedad en lenguaje simbólico, primero a través de

objetos como piedras, luego mediante muescas, después a través de los dedos de la mano y, posteriormente empleando lo que nos distingue de

los animales: el lenguaje, cuyo desarrollo es esencial para el pensamiento matemático abstracto.

A través de este pensamiento abstracto vamos a abordar la construcción

del conjunto de los números naturales que se puede dar en dos sentidos:

Desde un punto de vista axiomático, esto es, estableciendo un

número de axiomas, y a partir de ellos probar una serie de teoremas que no son otra cosa que sus propiedades (método seguido por Peano

y Hilbert).

A través del cálculo de clases de equivalencia obtenidas por la

relación de coordinabilidad entre conjuntos (método iniciado por Cantor, Frege y perfeccionado por Russell).

En este tema abordaremos la construcción del conjunto de los números naturales desde el punto de vista axiomático.


- 31 -

1. Definición de número natural

Definición Un número natural es cualquiera de los símbolos que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese

nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

El conjunto de los números naturales se representa por N y corresponde al siguiente conjunto numérico infinito de objetos distintos que, en nuestra cultura tienen una grafía y un nombre:

N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

En el que cada número menos el primero es el siguiente del que le precede:

2. Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano rigen la estructura de los números naturales sin

necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa

de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son:

1) El 0 es un número natural.

(0 N) y queda definido el primer elemento del conjunto y por tanto,

N

2) Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

n N s (n) N/ n N y m N, si n=m s(n)=s(m)

La relación así definida entre los elementos del conjunto de naturales es aplicación, es decir, a cada elemento de los naturales le corresponde un

único siguiente.

3) El 0 no es el sucesor de ningún número natural.

n N s (n) > 0

Queda definido el primer elemento del conjunto de los naturales.


- 32 -

4) Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

s(n)=s(m) n=m. En términos formales se dice que la aplicación definida

es inyectiva.

5) Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural

cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a

ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Éste es el axioma de inducción matemática y se formula:

K s(n)Kn

K 0con K

N K= N

De los axiomas se deducen los siguientes teoremas necesarios para definir

la suma y la multiplicación de N.

Teorema 1 Si dos números naturales cualesquiera son distintos entonces sus siguientes también son distintos:

)()(, msnsmnsimn N

Demostración:

Utilizaremos el método de demostración conocido como

“por reducción al absurdo”. Supongamos que mn pero

)()( msns , por el axioma 4 obtendríamos que mn , que

es una contradicción y por tanto es cierta la afirmación del teorema.

Teorema 2 Todo número natural es distinto de su siguiente:

)(nsnn N

Demostración:

Consideremos el conjunto de los números que verifican esta

condición, sea éste )(/ nsnynnK N

Veamos que NK

Por la propia definición del conjunto se tiene: NK .


- 33 -

Por el axioma 3, K0

Supongamos un número Kn , entonces )(nsn ; aplicando

el teorema 1 sabemos que: ))(()( nssns

Por definición del conjunto K , Kns )( aplicando el

axioma 5 concluimos en que NK

Teorema 3 Todo número natural distinto de 0 es el siguiente de otro

número natural

)(/0 msnmnn nN

Demostración:

Igual que se hizo en la demostración anterior consideremos el siguiente conjunto:

)(/0 msnymnK NN

Veamos que NK

Por la propia construcción del conjunto K , ya que el

K0 . Consideremos un elemento Kn como el conjunto K contiene a todos los siguientes Kns )( NK

3. Operaciones con números naturales

3.1. Suma

Consideramos la suma de números naturales como la aplicación

f: N x N N

que verifica:

1) N nnnnf ,0)0,(

2) N mnmnfsmsnf ,,),())(,(

Veamos que la aplicación está definida de forma única.

Demostración:

Como en los teoremas anteriores, vamos a construir un conjunto

N/NNN mcon

mnfsmsnf

nnfnfapliaciónlanK

nn

n

n ,),())(,(

)0,(:/

Y comprobar que NK


- 34 -

Por la propia construcción del conjunto se tiene que no es vacio, es decir,

K , ya que el K0 puesto que:

Nnnfsnsnsf

f

,),0()())(,0(

000)0,0(

00

0

Aplicamos el método de inducción.

Suponemos que para un valor Ka existe la aplicación NNafa :

verificando:

Nnnafsnsaf

aaf

aa

a

,),())(,(

)0,(

Veamos que si se verifica para a también se consigue para el s(a ). Definimos la siguiente aplicación

NN)(:)( asf as

N nnafsnasf aas ,),()),(()(

verificando:

)()0),(()( asasf as

Comprobemos finalmente que Kas )( :

Kasnassnafssnsafsnsasf aaas )()),((f),(())(,())(),(( s(a))(

y por consiguiente: NK

Como se verifica para todo Na , se puede afirmar que existe la

aplicación que define la suma.

Aplicando el método de reducción al absurdo se puede demostrar además

la unicidad de esta aplicación que define la suma de números

naturales.

3.2. Multiplicación

Consideramos la multiplicación de números naturales como la aplicación f: N x N N que verifica:

1) N nnnf ,00)0,(

2) N mnnmnfmsnf ,,),())(,(

Esta aplicación así definida se puede demostrar que existe y está definida

de forma única siguiendo los mismos pasos que para la suma.


- 35 -

La multiplicación de dos números naturales Nba, queda definida de la

siguiente manera usando el símbolo habitual del punto: “ ”

ababsa

aabababa

))(,(

00)0,(/),(, N,

2

1

propiedad

propiedad

4. Ordenación en N

Un número natural a es menor que un número natural b si existe un

número natural c tal que a + c= b. En este caso se escribe a < b o también b > a.

En lenguaje simbólico se escribe así:

bcacba /N

Esta es una relación binaria definida sobre el conjunto de los números

naturales: N ),( ba que verifica lo siguiente:

Teorema 4 Todo número distinto del 0 es mayor que él, es decir:

nnn 00,N

Demostración:

Sea 0, nn N 00 nn pues 0n 0<n

Teorema 5 N na, sólo se verifica una de las siguientes relaciones:

a) an

b) an

c) na

Demostración:

Vamos a considerar el siguiente conjunto auxiliar nK tal y

como hemos hecho en demostraciones anteriores:

naóanóanaKn /

y veamos que NnK

Primero demostremos que nK0

Si nn 000 se verifica a) y nK0


- 36 -

Si 0n por el teorema 4 n0 se cumple c) y nK0

Supongamos ahora un valor nKa y demostremos que

nKas )(

nKa se verifica que an ó an ó na

an aaas 1)( nas )( verifica b) y nKas )(

an abnb /0

nbsnbnbnaas )()1(1)(1)( pues 0)( bs

nas )( , es decir, )(asn se cumple b) y nKas )(

na ncac /0

Como

0c

)(/ zscz N entonces:

nzsaca )(

y

zaszazazsa )()1()1()(

y por la propiedad conmutativa

nzas )( nas )( .

Puede ocurrir que

nasz )(0 o bien que nasz )(0

En cualquier caso nKas )(

Con esto tenemos que, aplicando el axioma de inducción

NnK

Además vamos a ver que la relación es excluyente, si se verifica an , entonces no se puede verificar na .

Demostración: supongamos por reducción al absurdo que se pueden dar

las dos a la vez:

ncacna

abnban

/0

/0sumando “c” en ambos miembros de la 1ª

igualdad ncbncacbn con 0b y 0c absurdo pues nn

La relación de orden < es compatible con la suma y producto de números naturales

Esto significa que:

Si cbcaba , Nc


- 37 -

Si cbcaba , Nc

4.1. (N, <) es un conjunto estrictamente ordenado

La relación < es de orden estricto porque verifica las propiedades:

Antirreflexiva: aa ,N < a,


Transitiva: cacbybaSi

4.2. (N, ) La relación sobre N es de orden total

La relación es de orden pues verifica las propiedades:

Reflexiva: aapuesaaa ,,N


Transitiva: cacbybaSi

Y además para que sea de orden total debe verificar que dos elementos

cualesquiera del conjunto N están relacionados

Con todo esto podemos afirmar que (N, +, ·, ≤) es un semianillo

totalmente ordenado llamado, semianillo ordenado de los números naturales

5. Sistemas de numeración

“La conciencia del número se hizo lo suficientemente extendida y clara como

para que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad en un

lenguaje simbólico. Los dedos de la mano pueden usarse fácilmente para

representar un conjunto de dos, tres, cuatro o cinco objetos. Cuando el uso de los

dedos resultaba ya inadecuado, podían utilizarse pequeños montones de piedras,

y cuando el hombre primitivo utilizaba este sistema de representación, a menudo

amontonaba las piedras por grupos de cinco en cinco, debido a que antes se había

familiarizado con los quíntuplos de objetos por observación de su propia mano o

pie. Como hizo observar Aristóteles, lo extendido que se halla el uso del sistema

decimal no es sino la consecuencia del accidente anatómico de que la mayor

parte de nosotros nacemos con diez dedos en las manos y otros diez en el pie.

Lo que distingue de manera más notable al hombre del resto de los animales es

el lenguaje articulado, lenguaje cuyo desarrollo fue esencial para el nacimiento

del pensamiento matemático abstracto. Sin embargo, las palabras para expresar

ideas numéricas aparecieron muy lentamente, los signos para representar

números precedieron con toda probabilidad a las palabras para representar

números. Las lenguas modernas están construidas casi sin excepción sobre la


- 38 -

base de numeración diez, de manera que un número como diecisiete, se describe

como diez y siete.


El conjunto de números naturales es infinito; para nombrarlos

necesitaríamos infinitas palabras y para escribirlos infinitos signos o símbolos. De aquí surge la necesidad de buscar un conjunto finito de

palabras, símbolos y reglas que nos permitan determinar todos los números naturales con precisión y comodidad.

Definición Un sistema de numeración es un par {S, R} donde S es un

conjunto de símbolos y R un conjunto de reglas y convenios que utilizamos para nombrar y escribir los números

empleando la menor cantidad posible de palabras y símbolos.

Los símbolos de S se llaman cifras y el cardinal del conjunto S es la base

del sistema de numeración.

El actual sistema de numeración que utilizamos en nuestro entorno

cultural y que llamamos usualmente el sistema hindú, no consiste más

que en una combinación de tres principios básicos:

1) una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos.

2) una base decimal

3) una notación posicional

Al-Khowarizmi escribió dos libros sobre Aritmética y Álgebra que jugaron un

papel muy importante en la historia de las matemáticas. El primero de ellos nos

ha llegado sólo a través de una copia única de una traducción latina con el título

“De numero indorum” ( o “Sobre el arte de calcular hindú). En esta obra, que

estaba basada presumiblemente en una traducción árabe de Brahmagupta, daba

Al-Khowarizmi una exposición tan completa del sistema de numeración hindú,

que es probablemente el responsable de la extendida aunque falsa impresión de

que nuestro sistema de numeración es de origen árabe.


El sistema de numeración decimal, al tener base 10 contiene 10 cifras que se llaman también dígitos:

1) S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} los 10 primeros números naturales


- 39 -

2) Cada 10 unidades de un orden determinado constituyen una unidad de orden inmediatamente superior, así:

10 unidades de orden n-1= 1 unidad de orden n= 110 n

3) Escribimos cada número de derecha a izquierda como una secuencia

finita formada a partir de los símbolos anteriores de manera que, el valor de dichos símbolos depende de la posición que ocupe:

23 710 = 20.000+3.000+700+10+0= 01234 100101107103102

Mediante estos tres principios podemos construir sistemas de numeración

usando otras bases.

Los babilonios usaron un sistema de numeración de base 60 que ha

llegado hasta hoy aplicado a la medida de ángulos o del tiempo; los

mayas otro con base 20 y con la aparición de ordenadores se ha dado mucho auge a los sistemas binario (base2), octal (base 8) y hexadecimal

(base 16).

Cuando la base del sistema es mayor de 10, se ha convenido en utilizar

como símbolos las primeras letras del alfabeto, así, por ejemplo, para el sistema hexadecimal el conjunto S viene dado por:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

de manera que A = 10, B = 11,...,F = 15.

5.1. Teorema fundamental de la numeración

Todo Nn se puede escribir de forma única en base b , N,b y 1b como:

brrryNrrrconbrbrbrbrbrn kk

k

k

k

k

,...,,...,,... 1010

1

1

2

2

1

1

0

0

Para abreviar escribiremos:

kibryNrconbrn ii

k

i

i

i ,...1,1

Demostración: consideremos dos casos:

Si bn 0bnn de forma única

Si bn dividimos n entre b , y si el cociente bci , volvemos a

repetir el procesos hasta obtener un cociente bci . Es decir:

n=b 1c + 0r , 0r <n

1c =b 2c + 1r , 1r <n

2c =b 3c + 2r , 2r <n


- 40 -

De la primera igualdad tenemos que n=b 1c + 0r , y sustituyendo las demás

igualdades llegamos a la expresión: k

k

k

k brbrbrbrbrn

1

1

2

2

1

1

0

0 ...

Principio del valor relativo

Para escribir un número natural n en una base b

brrryNrrrconbrbrbrbrbrn kk

k

k

k

k

,...,,...,,... 1010

1

1

2

2

1

1

0

0

escribimos sus cifras de manera ordenada de la siguiente manera:

0121 ... rrrrrn kk

teniendo en cuenta que el valor de una cifra viene determinado por el lugar que ésta ocupa. (Principio del valor relativo)

5.2. Representación de números en diferentes bases

Las conversiones entre números de bases diferentes se efectúan por

medio de operaciones aritméticas simples.

Conversión de la base decimal a otra base b

Para esta conversión se emplea el método de divisiones

sucesivas.

Se va dividiendo la cantidad decimal por b, apuntando los restos, hasta

obtener un cociente cero. El último resto obtenido es la primera cifra del numero en base b y el primero es la última.

…

1kc =b kc + 1kr , 1kr <n

kc = kr , kr <n

n b

0r 1c b

1r 2c b

2r 3c …

1kc b

1kr kk rc


- 41 -

Ejemplos

Convertir el número 250 a binario.

250(10=11111010(2

250 2 0 125 2

1 62 2

0 31 2

1 15 2

1 7 2

1 3 2

1 1

Vamos a calcular cómo es la expresión de 253 en base 4:

253=3331(4

253 4

1 63 4

3 15 4

3 3

Conversión de base b a la base decimal

Hay que realizar las operaciones de la expresión polinómica del número:

k

k

k

k brbrbrbrbrn

1

1

2

2

1

1

0

0 ...

De forma práctica es suficiente con realizar el cálculo del valor numérico

de un polinomio utilizando la regla de Ruffini.

Ejemplo

Convertir el número 240(5 a decimal.

240(5=70(10

5

2 4

10

0

70

0 2 14 70

6. Operaciones en cualquier sistema de numeración

6.1. Suma

Tanto en el sistema decimal como en otro cualquiera, sumamos primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente, etc., hasta llegar al

mayor de los órdenes, teniendo en cuenta que, pasamos al orden siguiente cada vez que en un orden se obtiene una suma mayor o igual a

la base del sistema empleado.


- 42 -

Ejemplo

Vamos a sumar los números 230(4 y 113(4 .

230(4+113(4=1003(4

1

+

2

1

3

1

0

3

1 0 0 3

6.2. Multiplicación

La multiplicación de los números se basa en la tabla de multiplicar que

ofrece el producto de los números menores que la base del sistema de numeración, es decir en base b, para todo n<b, ésta se construye

mediante la suma reiterada.

Por ejemplo, en el sistema en base 6, comprobar que la tabla de

multiplicar del sistema senario es:

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 10 12 14

3 0 3 10 13 20 23

4 0 4 12 20 24 32

5 0 5 14 23 32 41

En cada celda aparece el producto de los números que corresponden a la fila y a la columna de esa celda, con la particularidad de que todos los

números se escriben en base 6. Valiéndonos de esta tabla podemos multiplicar fácilmente “en columna” dos números cualesquiera:

Ejemplo

Vamos a multiplicar los números 154(6 y 352(6 .

154(6x352(6=113212(6

1 5 4(6

X 3 5 2(6

3 5 2(6

1 3 4 2(6

5 5 0(6

1 1 3 2 1 2(6

Como 3+1= 4 que es la base

ponemos 0 y añadimos 1 unidad al siguiente orden


- 43 -

6.3. División

Para realizar la división de dos números cualesquiera en un sistema de numeración de base b hacemos la división «en ángulo» apoyándonos en la

tabla de multiplicar de dicha base. Veamos el siguiente ejemplo con números en base 4, por lo que usaremos la siguiente tabla de

multiplicación correspondiente a esta base:

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 10 12

3 0 3 12 21

Ejemplo

Vamos a dividir el número 2103(4 entre 12(4 .

2103(4: 12(4=120(4x12(4+3(4

2103(4 12(4 030 120(4 003(4

Bibliografía:

Francisco Hernán y Marisa Carrillo (1988). Recursos en el aula de

matemáticas. Nº 34. Colección: Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.

Área de Cultura científica. Ministerio de Ciencia e Innovación. Gobierno de España. Museo virtual de la Ciencia.

http://museovirtual.csic.es/profesores/numeros/num2.htm

Benito García Amador y Jesús Pérez de Madrid. I.E.S. Guadina http://platea.pntic.mec.es/~bgarcia/

Mª Isabel Molina. El señor del cero. Ed. Alfaguara. Colección: Serie azul.

Matemática. Cálculo mental con números naturales. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación.

Calculadora Wiris. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

J.Colera, I. Gaztelu.(2007) Matemáticas1. Ed. Anaya

Clara Balbontín, Victoria Marshall, María Isabel Raúl, Gloria Schwarze. Coordinación Victoria Marshall. Nivelacion

restitutiva.Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile

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Curso matematicas

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