Curso: Matemática FC. Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.
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Curso: Matemática FC.
Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.
Inecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Intervalo]. Sea un subconjunto de ( ). Decimos que es un intervalo, si y sólo ℝsi es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre otros dos llamados extremos (que pueden ser reales o ideales).Tipos de Intervalos
Intervalos acotados. Son Son aquellos intervalos cuyos extremos son reales, éstos pueden ser:
Intervalo cerrado. Es aquel que incluye a los extremos. Se denota por , es decir
Gráficamente se representa por
𝑎 𝑏 +∞−∞
Intervalo abierto. Es aquel que no incluye a los extremos. Se denota por , es decir
Gráficamente se representa por
𝑎 𝑏 +∞−∞
Inecuaciones de primer grado con una variable
Tipos de Intervalos (continuación)
Intervalo semiabierto por la derecha. Es aquel que no incluye al extremo derecho del intervalo, pero sí al izquierdo
Gráficamente se representa por:
𝑎 𝑏 +∞−∞
Intervalo semiabierto por la izquierda. Es aquel que no incluye al extremo izquierdo del intervalo, pero sí al derecho
Gráficamente se representa por:
𝑎 𝑏 +∞−∞
Inecuaciones de primer grado con una variable
Tipos de Intervalos (continuación)
Intervalos no acotados. Son aquellos intervalos donde uno de los extremos son de la forma infinita por la derecha o por la izquierda..
Inecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Desigualdad]. Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor o mayor que otro.
Propiedades de una desigualdadSea números reales, entonces:
(a) Si , entonces .(b) Si y , entonces .(c) Si y , entonces .
Ejemplo. Si a la desigualdad le adicionamos 3, entonces se tendrá que . Si a la desigualdad le restamos 4, entonces se tendrá que . Si a la desigualdad lo multiplicamos por 5, entonces se tendrá que . Si a la desigualdad lo multiplicamos por , entonces .
Inecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Inecuación lineal]. Sean constantes reales tal que y una variable real, llamaremos inecuación lineal a toda expresión que puede adoptar alguna de las siguientes formas:
Ejemplo. es una inecuación lineal. no es una inecuación lineal.
La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica.
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicios diversos
Ejercicio.
Dados los Intervalos: , y
Determine:
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio.
En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio.
En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.
Columna Proposiciones
a) [1p] Si es un número real que cumple , entonces el intervalo al que pertenece , es ________
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio
Determine el conjunto solución de:𝑥−12
+𝑥−23
+𝑥−34≥120
Resolución𝑥−12
+𝑥−23
+𝑥−34≥120
MCM(2; 3; 4) = 12
6 (𝑥−1 )+4 (𝑥−2 )+3 (𝑥−3 )≥ (120 ) (12 )
6 𝑥−6+4 𝑥−8+3 𝑥−9≥144013𝑥−23≥1440
13𝑥 ≥1463
𝑥≥1 46313
Respuesta:C . S .=¿
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio
Determine el conjunto solución de:
−2≤2−3 𝑥4
<1
Resolución
−2≤2−3 𝑥4
<1
−8≤2−3𝑥<4
−10≤−3𝑥<2
−2<3 𝑥≤10
−23<𝑥≤
103
Respuesta: C . S .=¿−23;103
¿¿
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio
Determine el conjunto solución de:23𝑥+5≤8−
34𝑥≤7+
45𝑥
Resolución23𝑥+5≤8−
34𝑥≤7+
45𝑥
MCM(3; 4; 5) = 60
60 ( 23 𝑥+5)≤60 (8− 34 𝑥)≤60(7+ 45 𝑥)40𝑥+300≤ 480−45𝑥 ≤420+48 𝑥
Primera separación
40𝑥+300≤ 480−45𝑥40𝑥+45 𝑥≤480−300
85 𝑥≤180
𝑥≤3617 → 𝐴=¿−∞ ;
3617
¿¿
Segunda separación
480−45𝑥 ≤420+48𝑥480−420≤45 𝑥+48 𝑥
60≤93 𝑥2031≤ 𝑥→𝐵=¿
Obteniendo el conjunto solución
C . S .=𝐴∩𝐵¿ [ 2031 ; 3617 ]
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]
Una compañía vende cada Ipod que produce a $60. Si el costo de cada Ipod es de $20 y la empresa tiene costos fijos de $1 000.a) Modele las expresiones que representan al Costo, el Ingreso y la Utilidad al vender y
producir Ipod.b) Exprese la inecuación que se obtiene al vender y producir unidades, si se quiere
obtener utilidades no menores a $2 800.Resolución
Parte a) Ingreso: 𝐼=60 𝑥Costo: 𝐶=20 𝑥+1000Utilidad:𝑈=40 𝑥−1000
Parte b)
𝑈 ≥280040𝑥−1000≥2800
Frase: “obtener utilidades no menores a $2 800”
Inecuaciones de primer grado con una variableEjercicio 5 [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]
Un fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a $45 cada artículo. En la fabricación de cada unidad gasta $38 y tiene costos fijos adicionales de $4900 mensuales en la operación de la planta. Plantee, resuelva y responda:a) ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe producir y vender para obtener
utilidad?b) ¿Cuál es el número de unidades que debe producir y vender para obtener utilidades
de al menos $700? ResoluciónParte a) Ingreso: 𝐼=45 𝑥
Costo: 𝐶=38 𝑥+4 900Utilidad:𝑈=7 𝑥−4900
Parte b)
𝑈 ≥7007 𝑥−4 900≥700
Frase: “obtener utilidades de al menos $700”
Frase: “obtener utilidad”
𝑈>07 𝑥−4 900>0
7 𝑥>4 900𝑥>700
Rpta: debe producir y vender como mínimo 701 artículos.
7 𝑥≥5600𝑥≥800
Rpta: debe producir y vender por lo menos 800 artículos.