CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA...
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Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Trigonometria 1
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2018.1
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A palavra trigonometria é de origem grega, onde:
Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração
• Relação entre ângulos e distâncias;
• Origem na resolução de problemas práticosrelacionados principalmente à navegação e àAstronomia.
Definição
Aplicações
Encontramos aplicações diversas da Trigonometriana Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, naAcústica, entre outras;
Exemplos:
• Altura de um prédio através de sua sombra;
• Largura de rios e montanhas;
• Distância a ser percorrida em uma pista circularde atletismo.
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Classificação dos triângulos
Quanto aos tamanhos dos lados
• Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento;
• Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento;
• Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes.
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Classificação dos triângulos
Quanto as medidas dos ângulos:
• Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90°);
• Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90°);
• Retângulo: 1 ângulo reto (90°).
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Trigonometria no Triangulo Retângulo
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Soma dos ângulos internos do triângulo retângulo:
α + β + 90° = 180°⇒ α + β = 90°
Trigonometria no Triangulo Retângulo
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ânguloreto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo retoé chamado hipotenusa.
Teorema de Pitágoras:
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𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
Trigonometria no Triangulo Retângulo
Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo:
Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulodefine-se 6 razões trigonométricas:
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𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Trigonometria no Triangulo Retângulo
Com base nas relações, verifica-se que:𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos𝛽; cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽;𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛽.
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𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
Exercício 1
Dado os triângulos abaixo, classifique-os quanto aoslados, aos ângulos e encontre os valores dasincógnitas.
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xy
62 m
7 m
a
b
R.: X=8,2m; Y=4,28m; =58,56°. =45°;
a=43,84m; b=43,84m.
Algumas relações encontradas
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30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
𝑠𝑒𝑛1
2
2
2
3
21 0 -1 0
cos 3
2
2
2
1
20 -1 0 1
𝑡𝑔 3
31 3 ∄ 0 ∄ 0
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Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a100m da base, e obtém um ângulo de 30º,conforme mostra a figura.
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do solo, qual éaproximadamente a altura da torre? (Dados: sen(30º) = 0,5 ; cos(30º)=
0,87 e tg(30º)= 0,58. )
Exercício 2
R.: h=58m; htotal=59,7m.
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Na construção de um telhado foram usadas telhas do tipo francesa e o seu“caimento” é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da
casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de
altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessacasa.(Dados: sen(20º)=0,34 ; cos(20º)= 0,94 e tg(20º)=0,36).
Exercício 3
R.: X=2,04m; htotal=5,04m.
Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Trigonometria 2
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Identidades Trigonométricas
Definição: Equações envolvendo funções/relaçõestrigonométricas verdadeiras para todas as variáveisenvolvidas.
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São úteis para simplificar expressões quecontenham funções trigonométricas
Identidades Trigonométricas
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dividindo os membros por 𝑎2:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑎2
𝑏
𝑎
2
+𝑐
𝑎
2
= 1
Teorema de Pitágoras
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑐
𝑎𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎
cos 𝛽 =𝑏
𝑎𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎
TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏
Identidades Trigonométricas
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𝑡𝑔 𝛽 =𝑐
𝑏𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑎. cos(𝛽)𝑡𝑔 𝛽 =
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
cos(𝛽)cos(𝛽) ≠ 0
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =𝑏
𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎. 𝑐𝑜𝑠(𝛽)
𝑎. sen(𝛽)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =
𝑐𝑜𝑠𝛽)
sen(𝛽)=
1
𝑡𝑔(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≠ 0
𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎
𝑏𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑎
𝑎. cos(𝛽)𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
1
cos(𝛽)cos(𝛽) ≠ 0
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎
𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
𝑎
𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =
1
sen(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝛽) ≠ 0
Identidades Trigonométricas
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)²(sec1)²( =+tg
Demonstração da identidade Trigonométrica:
)²(cos
)²(cos
)²(cos
)²(
)²(cos
1)²(sec
+==
sen
sec(𝛽)2 = 𝑡𝑔(𝛽)2 + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)
Identidades Trigonométricas
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Demonstração da identidade Trigonométrica:
)²(
)²(cos
)²(
)²(
)²(
1)²(seccos
sensen
sen
sen+==
cossec²(𝛽) = 𝑐𝑜𝑡𝑔²(𝛽) + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)
)cossec²)(cotg²1 (β=β+
Exercício 4
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a) Simplifique a expressão: .
b) Sendo e , determine o
valor de m.
y = tg(x)
m=2
( )
( )xcotg
xgxg
=y21
cot)(cot
1
+
+
m=x −3)cos( m=xsen −2)(
Exercício 5
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PROBLEMA!!
Uma empresa de fornecimentode energia, ao instalar a redeelétrica numa fazenda, precisoucolocar dois postes em ladosopostos de um lago. Contudo, umproblema surgiu: para fazer oprojeto da rede, seria necessáriosaber a distância entre os postes,mas a presença do lago impedia amedição direta.
Realidade
Exercício 5
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Um dos engenheiros posicionou-seem um local onde era possívelvisualizar os dois postes. Comaparelhos apropriados, mediu-se oângulo entre a linha de visão dele e ospostes ( 120°); a distâncias entre oposte mais afastado e o engenheiro(100m) e o ângulo entre a linha doposte mais próximo do engenheiro e alinha entre os postes ( 45°) . Comessas informações o engenheiro podecalcular a distância desejada. COMO?
Modelo Matemático
Exercício 5
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O Triângulo AOB é obtusângulo e aresolução deste problema consiste emdeterminar a medida do lado AB.
Para resolvê-lo vamos usar:
LEI DOS SENOS
Modelo Matemático
Lei dos Senos
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Relação matemática de proporção sobre a medida detriângulos arbitrários em um plano.
Exercício 5
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PROBLEMA!! (Resolução)
31002
2
3
2
2
100
º120º45
100=== d
d
sen
d
sen
2
3100=d
Racionalizando: md 650=
Lei dos Cossenos
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Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.
“Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados correspondeà soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro doproduto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.”
Exercício 6
Determine a medida do lado AC e a medida doângulo com vértice em A da figura a seguir
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Exercício 6
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ARCO E ÂNGULO
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Arco AB
Ângulo central
AÔB
Arco: parte da circunferência
delimitada por dois pontos.
Ângulo central: todo arco
possui um ângulo que o
subtende.
Comprimento de
circunferência:
rC 2=
A
B
GRAUS
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A’ A
B
B’
Quando dividimos uma circunferência em
360 partes congruentes, cada uma dessas
partes é um arco de um grau (1º).
1 ângulo reto = 90°2 ângulos retos = 180°3 ângulos retos = 270°4 ângulos retos = 360°
1°= 60’ e 1’ = 60’’
Exercício 7
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Se α e β são arcos que medem, respectivamente,83°30’39’’ e 12°43’45’’, determine a medida de α + β:
Resposta: α + β = 96°14’24’’
Radianos
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A
B
O
Equivalência: rad = 180o
R
B
Exercício 8
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Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se,
com os lados do ângulo central α, um arco de comprimento
10,8 cm. Calcule, em radianos, a medida de α:
Resposta:
α = 1,2rad
Ciclo Trigonométrico
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Seno e Cosseno
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Seno e Cosseno
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Tangente
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Redução ao primeiro quadrante
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Redução ao primeiro quadrante
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Redução ao primeiro quadrante
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Exercício 9
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FÓRMULA DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
42
cos(𝒂 + 𝒃) = cos(𝒂). cos(𝒃) – 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)
cos(𝒂 − 𝒃) = cos(𝒂). cos(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos(𝒂)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos(𝒂)
𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃) ?
Exercício 10
43
Usando as fórmulas de adição, determine:
a) cos(135º)
b) 𝑠𝑒𝑛(225º)
Resposta = cos(90+45)= - 2/2
Resposta = sen(180+45)= - 2/2
ARCO DUPLO
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cos 𝟐𝒂 = cos𝟐𝒂 – 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒂) = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒂. cos 𝒂
ARCO METADE
45
2
cos a1
2
acos
+±=
2
cos a-1
2
asen ±=
cos a1
cos a-1
2
atg
+±=
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
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𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 + 𝑦
2. 𝑐𝑜𝑠
𝑥 − 𝑦
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 − 𝑦
2. 𝑐𝑜𝑠
𝑥 + 𝑦
2
cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦
2. 𝑐𝑜𝑠
𝑥 − 𝑦
2
cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = − 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦
2. 𝑠𝑒𝑛
𝑥 − 𝑦
2
Exercício 11
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1) Transforme em produto a expressão 𝑠𝑒𝑛(60°) + 𝑠𝑒𝑛(30°).
2) Transforme em produto a expressão cos(5𝑥) + cos(3𝑥).
Resposta = 2.sen(45).cos(15)
Resposta = 2.cos(4x).cos(x)
Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Trigonometria 1 e 2
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