Curso de Métodos Numéricos. Raíces de...
Transcript of Curso de Métodos Numéricos. Raíces de...
Curso de M etodos Num ericos.Raıces de ecuaciones no lineales
Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa
Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez
Universidad : ITESM CEM
Fecha : Jueves, 11 de septiembre de 2014
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
TOPICOS1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Topicos1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Ecuaci on
f (x) = a x2 + b x + c = 0
Esta ecuacion tiene solucion exacta.
Soluci on
x1 =−b +
√b2 − 4ac
2a
x2 =−b−
√b2 − 4ac
2a
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Ecuaci on
f (x) = a x2 + b x + c = 0
Esta ecuacion tiene solucion exacta.
Soluci on
x1 =−b +
√b2 − 4ac
2a
x2 =−b−
√b2 − 4ac
2a
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Ecuaci on
f (x) = a x2 + b x + c = 0
Esta ecuacion tiene solucion exacta.
Soluci on
x1 =−b +
√b2 − 4ac
2a
x2 =−b−
√b2 − 4ac
2a
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Soluci on de la ecuaci on con MATLAB
>> syms a b c x;>> solve (a ∗ xˆ 2 + b ∗ x + c)ans =−(b + (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ (1/2))/(2 ∗ a)−(b− (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ (1/2))/(2 ∗ a)
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Soluci on de la ecuaci on con MATLAB
>> syms x;>> a = 1; b = −3; c = 2;>> solve (a ∗ xˆ 2 + b ∗ x + c)ans =12
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Function en MATLAB
function [x] = fun (a,b, c)x(1) = (−b + sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;x(2) = (−b− sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;
end
M-file en MATLAB
a = input (′Deme el valor de a =′);b = input (′Deme el valor de b =′);c = input (′Deme el valor de c =′);x = fun (a, b, c);R = [’Las raices son: x1 =’, num2str ( x(1) ),’ y x2 =’, num2str ( x(2) )] ;disp (R)
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Function en MATLAB
function [x] = fun (a,b, c)x(1) = (−b + sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;x(2) = (−b− sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;
end
M-file en MATLAB
a = input (′Deme el valor de a =′);b = input (′Deme el valor de b =′);c = input (′Deme el valor de c =′);x = fun (a, b, c);R = [’Las raices son: x1 =’, num2str ( x(1) ),’ y x2 =’, num2str ( x(2) )] ;disp (R)
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Raıces de la ecuaci on de segundo grado
Soluci on de la ecuaci on con MATLAB
Deme el valor de a = 1Deme el valor de b = −3Deme el valor de c = 2Las raices son: x1 = 2 y x2 = 1
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Modelo del paracaidista
Velocidad del paracaidista
v (t) =gm
c
(1− e−
cm
t)
Con esta funcion se puede encontrar la velocidad delparacaidista en cualquier instante de tiempo t.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Modelo del paracaidista
Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)
Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:
f (c) =gm
c
(1− e−
cm
t)− v
Es una ecuacion no lineal
No se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)
Hay que encontrar la solucion numericamente
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Modelo del paracaidista
Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)
Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:
f (c) =gm
c
(1− e−
cm
t)− v
Es una ecuacion no lineal
No se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)
Hay que encontrar la solucion numericamente
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Modelo del paracaidista
Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)
Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:
f (c) =gm
c
(1− e−
cm
t)− v
Es una ecuacion no lineal
No se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)
Hay que encontrar la solucion numericamente
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Modelo del paracaidista
Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)
Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:
f (c) =gm
c
(1− e−
cm
t)− v
Es una ecuacion no lineal
No se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)
Hay que encontrar la solucion numericamente
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Modelo del paracaidista
Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)
Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:
f (c) =gm
c
(1− e−
cm
t)− v
Es una ecuacion no lineal
No se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)
Hay que encontrar la solucion numericamente
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodos cerrados
¿Que son los m etodos cerrados?
Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,
Que la funcion tenga un cambio de signo.
¿Que metodos cerrados estudiaremos?
Metodos graficos,
Metodo de biseccion,
Metodo de la falsa posicion
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Topicos1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Determinaci on gr afica del coeficiente de arrastre (c)
Problema : Use el metodo grafico para determinar elcoeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista demasa m = 68.1 kg tenga una velocidad de v = 40m/s en eltiempo de caida libre t = 10 sSoluci on : Evaluando los datos en la funcion tenemos:
f (c) =667.38
c
(1− e−0.146843c
)− 40 = 0
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Determinaci on gr afica del coeficiente de arrastre (c)
Problema : Use el metodo grafico para determinar elcoeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista demasa m = 68.1 kg tenga una velocidad de v = 40m/s en eltiempo de caida libre t = 10 sSoluci on : Evaluando los datos en la funcion tenemos:
f (c) =667.38
c
(1− e−0.146843c
)− 40 = 0
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Function MATLAB
function cc = f (c)cc = (667.38 ∗ (1− exp(−0.146843 ∗ c)))./c− 40;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
M-File MATLAB
clear
clc
c = [4 : 2 : 20];fc = f(c);Salida = [c′ fc′]plot (c, fc)title (′Determinaci on de c′)xlabel (′c′)ylabel (′f(c)′)grid
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Salida MATLAB
c f(c)4.0000 34.11496.0000 25.14258.0000 17.653510.0000 11.369112.0000 6.066914.0000 1.568716.0000 −2.268818.0000 −5.560820.0000 −8.4006
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Grafica MATLAB
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Grafica MATLAB
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Grafica MATLAB
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Grafica MATLAB
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Grafica MATLAB
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Determinaci on de c para el modelo del paracaidista
Grafica MATLAB
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Topicos1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de bisecci on
Algoritmo
1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs
2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,
Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodo de bisecci on: Programa MATLAB
Programa MATLAB
funct ion r a i z =b isecc ionv1 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% bisecc ionv1 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0
xm= x i ;while abs ( f (xm) )>t o l e r a n c i a
xm=( x i +xs ) / 2 ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0
xs=xm;e l s e i f f ( x i )∗ f (xm)>0
x i =xm;else
r a i z =xm;end
endr a i z =xm;
elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodo de bisecci on: Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> bisecc ionv1 ( ’ xˆ2−2 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =
1.4141
>> bisecc ionv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =No hay cambio de signo
>> bisecc ionv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,3 ,0 .001)ans =
2
>> bisecc ionv1 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)ans =
14.7803
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Topicos1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de la falsa posici on
Algoritmo
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Algoritmo del m etodo de la falsa posici on
Algoritmo
Usando los triangulos semejantes de la figura tenemos:
f(xi)xm − xi
=f(xs)
xm − xs
Despejando xm
xm = xs −f(xs)(xi − xs)f(xi)− f(xs)
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodo de la falsa posici on: Programa MATLAB
Programa MATLAB
funct ion r a i z = fa l sapos i c i onv1 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% fa l sapos i c i onv1 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a ı raz% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0
xm= x i ;while abs ( f (xm) )>t o l e r a n c i a
xm=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0
xs=xm;e l s e i f f ( x i )∗ f (xm)>0
x i =xm;else
r a i z =xm;end
endr a i z =xm;
elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Metodo de la falsa posici on: Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ xˆ2−2 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =
1.4141
>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =No hay cambio de signo
>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,3 ,0 .001)ans =
1.9999
>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)ans =
14.7804
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Topicos1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Programa MATLAB
funct ion [ r a i z , i t e r a c i o n ]= b isecc ionv2 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% bisecc ionv2 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i t e r a c i o n =0;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0
xm= x i ;while abs ( f (xm) )>t o l e r a n c i a
i t e r a c i o n = i t e r a c i o n +1;xm=( x i +xs ) / 2 ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0
xs=xm;e l s e i f f ( x i )∗ f (xm)>0
x i =xm;else
r a i z =xm;end
endr a i z =xm;
elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Programa MATLAB
funct ion [ r a i z , i t e r a c i o n ]= fa l sapos i c i onv2 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% fa l sapos i c i onv2 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i t e r a c i o n =0;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0
xm= x i ;while abs ( f (xm) )>t o l e r a n c i a
i t e r a c i o n = i t e r a c i o n +1;xm=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0
xs=xm;e l s e i f f ( x i )∗ f (xm)>0
x i =xm;else
r a i z =xm;end
endr a i z =xm;
elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Programa MATLAB
>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = b isecc ionv2 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)r a i z =
14.7803i t e r a c i o n =
10
>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = fa l sapos i c i onv2 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)r a i z =
14.7804i t e r a c i o n =
2
>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = b isecc ionv2 ( ’ xˆ10−1 ’ ,0 ,1 .3 ,0 .001)r a i z =
1.0001i t e r a c i o n =
12
>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = fa l sapos i c i onv2 ( ’ xˆ10−1 ’ ,0 ,1 .3 ,0 .001)r a i z =
0.9999i t e r a c i o n =
44
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Funci on x10 − 1
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Programa MATLAB
funct ion bisecc ionv3 ( fun , x i , xs ,EE)% bisecc ionv3 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r , xs : Valor i n i c i a l supe r io r% EE : Er ro r estimado , IM : numero de i t e r a c i o nf = i n l i n e ( fun ) ;IM=1;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0
xm( IM ) = x i ; xm( IM+1) =( x i +xs ) / 2 ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximadowhile EA( IM+1)>EE
i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )<0xs=xm( IM+1) ;
e l s e i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )>0x i =xm( IM+1) ;
endIM=IM + 1 ; xm( IM+1) =( x i +xs ) / 2 ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[xm( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ EA( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )
elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Programa MATLAB
funct ion f a l sapos i c i onv3 ( fun , x i , xs ,EE)% fa l sapos i c i onv3 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r , xs : Valor i n i c i a l supe r io r% EE : Er ro r estimado , IM : numero de i t e r a c i o nf = i n l i n e ( fun ) ;IM=1;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0
xm( IM ) = x i ; xm( IM+1)=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximadowhile EA( IM+1)>EE
i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )<0xs=xm( IM+1) ;
e l s e i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )>0x i =xm( IM+1) ;
endIM=IM + 1 ; xm( IM+1)=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximado
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[xm( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ EA( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )
elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;
end
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Topicos1 MOTIVACION
Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados
2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista
3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB
4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB
5 Comparaciones6 Problemas
Problema 1Problema 2
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Problema 1
ProblemaDetermine las raıces reales def(x) = 4x3 − 6x2 + 7x− 2.3:
a-) Graficamente.
b-) Utilizando el metodo de biseccion para localizar laraız mas pequena. Use los valor es iniciales xi = 0y xs = 1 iterando hasta que el error aproximado εa
sea menor que el error estimado εs = 10%.
MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas
Problema 2
ProblemaDetermine las raıces reales def(x) = −26 + 85x− 91x2 + 44x3 − 8x4 + x5:
a-) Graficamente.
b-) Utilizando el metodo de biseccion para localizar laraız mas grande con εs = 10%. Utilice comovalores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.
c-) Realice el mismo calculo que en b); pero con elmetodo de la falsa posicion y εs = 0.2%