Curso de: Matemáticas de Apoyo Geometría Analítica
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Curso de: Curso de: Matemáticas de ApoyoMatemáticas de Apoyo
Geometría AnalíticaGeometría Analítica
1
Instructor:Instructor:
Dra. María Esther Treviño Dra. María Esther Treviño MartínezMartínez
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Coordenadas RectangularesCoordenadas Rectangulares
2
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Distancia entre dos puntosDistancia entre dos puntos
3
2122
12 yyxxd )(
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Punto medioPunto medio
4
22
1
11
2121
2121
2
1
2
11
yyy
xxx
r
rryy
yrrxx
x
rPP
PPxxxx
PNMP
;
;
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Pendiente de una rectaPendiente de una recta
5
12
12
xxyy
tgm
Si 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales
Si 2 rectas son perpendiculares la pendiente de una será el recíproco de la otra con el signo contrario
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Línea RectaLínea Recta
6
Representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables.
Formas de la ecuación de una recta
a) PUNTO-PENDIENTERecta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m
)( 11 xxmyy
b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN
Recta de pendiente m que corta al eje en y en el punto P1(0, b) y cuya
bmxy
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Línea RectaLínea Recta
7
Formas de la ecuación de una recta
c) CARTESIANA
Recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
21
21
1
1
xxyy
xxyy
d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGENRecta que corta a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b)
1by
ax
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Línea RectaLínea Recta
8
Formas de la ecuación de una recta
e) GENERAL
Ecuación lineal o de primer grado
BA
m
0 CByAx
BC
b
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Línea RectaLínea Recta
9
Formas de la ecuación de una recta
f) NORMAL
Recta que queda determinada si se conoce la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que forma dicha perpendicular con el eje x. La distancia p positiva a cualquier valor del ángulo
sencos
gcottg
sen;cos
1
11
m
pypx
0
11
pyx
pxpy
xxyy
sencos
)cos(sencos
sen
gcot
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Línea RectaLínea Recta
10
Reducción de la forma general a la normal
0 pyx sencos0 CByAx
0
1
1
222222
222222
22
2222
BA
Cy
BA
Bx
BA
A
BA
Cp
BA
B
BA
A
BAk
BAk
kCpkBkA
kCp
BA
;sen;cos
)(sencos
;sen;cos
sencos
2
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Distancia de un punto a una Distancia de un punto a una rectarecta
11
0 pyx sencos
0 dpyx sencos
011 dpyx sencos
pyxd sencos 11
Ecuación para L:
Ecuación para L1:
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Secciones CónicasSecciones Cónicas
12
El lugar geométrico de los puntos cuya relación de
distancias a un punto y una recta fijos es constante se
define como cónica o sección cónica.
El punto fijo se llama foco.
La recta fija se llama directriz.
La relación constante se llama excentricidad.
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Secciones CónicasSecciones Cónicas
13
Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse y círculo (B) e hipérbola (C).
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Secciones CónicasSecciones Cónicas
14
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Secciones CónicasSecciones Cónicas
15
Excentricidad: en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias exactas, es un parámetro que determina el grado de
desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.
Valores de la excentricidad en secciones cónicas:
Circunferencia e = 0
Elipse 0 < e < 1
Parábola e = 1
Hipérbola e > 1
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CircunferenciaCircunferencia
16
Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio.
Ecuación una circunferencia con centro en el origen y radio
r
2ryx 22 Ecuación una circunferencia
de centro (h,k) y radio r
2rkyh-x 22
La ecuación queda completamente determinada si se
conoce el centro y el radio
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CircunferenciaCircunferencia
17
Ecuación general de una circunferencia
0FEyDxyx 22
4FED21
r
2D
44FED
2E
y2D
x
F4
E4
D4
EEyy
4D
Dxx
0FEyyDxx
22
2222
2222
22
22
2E
,
Reordenando
Completando cuadrados
Se tiene la ecuación
Con centro en el punto
y radio igual a
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CircunferenciaCircunferencia
18
04FED
04FED
04FED
22
22
22
La circunferencia es real si:
La circunferencia es imaginaria si:
La circunferencia representa un punto si:
•Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:
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CircunferenciaCircunferencia
19
diámetro
Diámetro: es el segmento de mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia; la longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; la cuerda de longitud máxima es el diámetro.
Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente: es recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.
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ParábolaParábola
20
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo (foco).
PMPF
ax0yax 2 2
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ParábolaParábola
21
PMPF
ax0yax 2 2
axx
axy
axy
aaxxyaaxx
4
4
4
22
2
2
2
22222
Si el foco pertenece al eje y
Si el foco está a la izquierda
de la directriz
Elevando al cuadrado
Simplificando
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ParábolaParábola
22
Si el vértice de la parábola tiene coordenadas (h,k), de eje paralelo al eje de las x y foco a la derecha del vértice a una distancia a
ahaxkkyy
ahxkyahx
442 22
22
ax0yax 2 2
kyahx
kyahx
hxaky
hxaky
4
4
4
4
2
2
2
2
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ParábolaParábola
23
cbxaxy
cbyayx
2
2
Excentricidad
Latus rectum
1e
a4
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ElipseElipse
24
Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.
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ElipseElipse
25
222 cba
2aPFPF'
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Distancia focal = 2c
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ElipseElipse
26
222 cba
2aPFPF'
222222
2
2
2
2
222
22
2
2
2
222
22222222
222
2222
2222
1
1
0
00
00
bayaxb
by
ax
bca
cay
ax
caa
caayaxca
ycxaacx
ycxycx
ycxycx
-
-2a
2a
Haciendo que
Dividiendo por
Elevando al cuadrado y reduciendo términos
Elevando al cuadrado y simplificando
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ElipseElipse
27
12
2
2
2
ay
bx
12
2
2
2
by
ax
Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x
Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las y
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ElipseElipse
28
00 ea
y;ea
y
Excentricidad
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
Latus rectum
aba
ac
e22
ab22
00 ea
x;ea
x
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y
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ElipseElipse
29
Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje x
12
2
2
2
bky
ahx
12
2
2
2
aky
bhx
Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje y
Ecuación general de una elipse siempre que A y B del mismo signo
022 FEyDxByAx
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HipérbolaHipérbola
30
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
aPFPF 221
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HipérbolaHipérbola
31
C: punto central de la hipérbola donde se cruzan las asíntotas.
Eje transversal: línea que une los puntos focales (F1 y F2).
a : distancia del vértice al centro sobre el eje transversal.
Eje conjugado: línea perpendicular al eje transversal de distancia 2b.
b: punto de corte del eje conjugado con la circunferencia de centro a y radio c.
Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje conjugado.
Latus rectum: cuerda que pasa por el foco en forma paralela a la directriz.
222 cba
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HipérbolaHipérbola
32
aPFPF 221 Por definición
aycxycx 200 2222 )()(
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HipérbolaHipérbola
33
1
020
200
2
2
2
2
22
22222
222
22222222
222
2222
2222
by
ax
ba
baayxb
bac
acayaxac
ycxaacx
ycxaycx
aycxycx
)(
)(
)()(
)()(
Dividiendo por
Haciendo que
Elevando al cuadrado y reduciendo términos
Elevando al cuadrado y simplificando
aPFPF 221 222 cba
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HipérbolaHipérbola
34
12
2
2
2
bx
ay
12
2
2
2
by
ax
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x
122 ByAx
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen yfocos sobre los ejes de coordenadas
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y
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HipérbolaHipérbola
35
xba
yxab
y ;
Excentricidad
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x y cuando están sobre el eje y
Latus rectum
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
ac
e
ab 22
ea
yea
x ;
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HipérbolaHipérbola
36
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje x
12
2
2
2
b
kya
hx
12
2
2
2
b
hxa
ky
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversalparalelo al eje y
Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) yejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo
signo
022 FEyDxByAx
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HipérbolaHipérbola
37
hxba
kyhxab
ky ;
Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y
xba
yxab
y ;