Curso de Conteo y Combinatoria 2010 Final

5/8/2018 Curso de Conteo y Combinatoria 2010 Final - slidepdf.com

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CCURSOURSO::

MMÉTODOSÉTODOS DEDE CCONTEOONTEO Y Y

CCOMBINATORIA OMBINATORIA

Lic. Ana Elisa Ibañez

Lic. Gladys Mónica Romano

Ing. Julia Beatriz Marisel BedranCátedra de Matemática Discreta

UTN – FRT

Año 2010

1



1 . PRINCIPIOS B ÁSICOS DE

CONTEO

Contar los elementos de un conjunto puederesultar una tarea sencilla y bastante obvia,

en el caso de conjuntos finitos pequeños.

En el caso de conjunto finitos grandes sueleresultar una tarea confusa que puede

llevarnos a resultados erróneos2



1.1 CONJUNTOS FINITOS PEQUEÑOS

Sean:

A = {resultados del lanzamiento de un dado } =

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Entonces el número deelementos de A es 6. Se escribe |A| = 6

B = {resultados del lanzamiento de dos monedas } == { CC , CS , SC , SS} .

Entonces |B| = 4

C = { resultados del lanzamiento de tres monedas } ={CCC, CCS,CSC,CSS,SCC,SCS,SSC,SSS} .

Entonces |C| = 8

3



1.2 CONJUNTOS FINITOS GRANDES

En otros casos tendremos conjuntos finitos tan

grandes que es imposible escribirlos a todos parapoder contarlos Los Principios de Conteo nos brindan

conjunto por mas grande que éste seaLa enumeración de los elementos de un conjuntotiene aplicaciones en áreas como la teoría de

códigos, probabilidad y estadística, y el análisis dealgoritmos.

4



PRINCIPIOS DE CONTEO

Para analizar problemas complejos esuna buena técnica descomponerlo en

principios básicos. Entonces un primerobjetivo será el de adquirir la habilidadde descomponer dichos problemas

obteniendo soluciones parciales queayuden a llegar a la solución final.5



DIAGRAMAS DE ÁRBOL:

LANZAMIENTODE TRES

C

CC

SS

CS LANZAMIENTOLANZAMIENTO

11CC

SS

22 CCSS

33CC

SS

MONEDAS

SC CS

SC

S

6

UNA MONEDA

UNA MONEDA 44 CCSS

55CC

SS

66 CCSS



R EGLA DEL P RODUCTO

Si una tarea puede descomponerse en dos etapas,

E1 y E2 , y si E1 puede realizarse de n1 maneras y E2

puede realizarse de n2 maneras, entonces la tareacompleta puede realizarse de n1 . n2 maneras.

• n1

maneras

E1

• n2maneras

E2• n1 . n2

maneras

TAREA COMPLETA 7



Ejemplos 1:

a) Se lanzan dos dados. ¿Cuántos resultados sonposibles?

b) Se lanza un dado y se extrae carta de un mazo

c) ¿Cuántas cadenas de ocho bits hay? (Un bit esun 0 o bien un 1)

d) Mostrar que un conjunto , quecontiene n elementos , comprende

subconjuntos

8



Ejemplos 1: Solucionesa) Se lanzan dos dados. ¿Cuántos resultados

son posibles?La tarea a realizar es lanzar dos dados.

Sean E1: lanzar el 1º dado yE2: lanzar el 2º dado

Ya que n1= 6 y n2= 6 entonces la tarea puede

rea zarse e n1.n2 = . = maneras

b) Se lanza un dado y se tira una moneda.¿Cuántos resultados son posibles?

E1: lanzar el dado, E2: tirar una monedan1= 6 y n2= 2Hay 12 resultados posibles 9



Ejemplos 1: Solucionesc) ¿Cuántas cadenas de ocho bits hay? (Un bites un 0 o bien un 1)

Tarea: formar una cadenaE1: elegir el 1º bit , n1= 2E2: elegir el 2º bit , n2= 2

º3 , 3 …….E8: elegir el 8º bit , n8= 2

Hay 2.2…2 = 28 = 256 maneras de formarcadenas de ocho bits

10



Ejemplos 1: Solucionesd) Mostrar que un conjunto , quecontiene n elementos , comprendesubconjuntos.

Un subconjunto puede ser construido en n pasossucesivos:

E : decidir ele ir o no n = 2

E2: decidir elegir o no , n2= 2.En: decidir elegir o no , nn= 2

Entonces el número posible de subconjuntos es

11



R EGLA DE LA SUMA

Hay actividades que pueden realizarse siguiendo

distintos procedimientos, todos excluyentes.

Elegir un libro que puede ser de ficción o una

novela

Lanzar dos dados y contar los resultados

Para contar las maneras de realizar la actividad

hay que considerar todos los procedimientos y

sumar todas sus posibilidades.

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R EGLA DE LA SUMA

Suponga una actividad que puede realizarse en

forma total mediante cualquiera de dos

procedimientos excluyentes.

Si el primer procedimiento puede realizarse de formas y el segundo procedimiento de n1 formas,

entonces la actividad puede realizarse por n2

1 2

PROCEDIMIENTO 1

formas

PROCEDIMIENTO 2

formas

La actividad sepueden realizar de

formas

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Ejemplos 2:a) Un estudiante debe elegir un libro de su

biblioteca para leer en las vacaciones. Su

biblioteca contiene 10 libros distintos deficción y 14 novelas distintas. ¿De cuántasmaneras puede hacer la elección?

b) Se tira un dado dos veces y se registra elresultado de ambas tiradas. ¿En cuántosresultados la suma es 7 o es 11?

14



Ejemplos 2: Solucionesa) Un estudiante debe elegir un libro de subiblioteca para leer en las vacaciones. Subiblioteca contiene 10 libros distintos de

ficción y 14 novelas distintas. ¿De cuántasmaneras puede hacer la elección?

º 1 2º tarea: Elegir novela n2 = 14

La elección se puede hacer de 10 +14 = 24 maneras

posibles

15



Ejemplos 2: Solucionesb) Se tira un dado dos veces y se registrael resultado de ambas tiradas. ¿En cuántosresultados la suma es 7 o es 11?

1º tarea: Formar 7 n1 = 6º 2

La suma es 7 o es 11 en 6 + 2 = 8 resultadosposibles

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Ejemplo 3:

En una versión de BASIC , un nombre esválido para una variable si consiste en un

arreglo formado por una letra seguida o nopor un carácter alfanumérico (excepto FN,IF, ON, OR y TO), que opcionalmente sepue e comp e ar con uno e os s gu en essímbolos %, ! , # , o bien $. (Un carácteralfanumérico es una de las letras de la A ala Z o uno de los números del 0 al 9)

¿Cuántos nombres válidos para unavariable hay en BASIC?

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Ejercicio 3: Solución

Arreglos formados por una sola letra: 26 Arreglos formados por una letra seguida de uncarácter alfanumérico – los valores que no puedetomar: 26. 36 - 5

Arre los formados or una letra se uida de un

carácter alfanumérico mas un símbolo adicional :26 . 36 . 4En total, por la Regla de la Suma:

26 + 26.36 – 5 +26.36.4 = 4701

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2 . COMBINATORIA

La Combinatoria es la rama de lasMatemáticas que estudia lasdiversas formas de realizara ru aciones con los elementos de

un conjunto, formándolas ycalculando su número.

Dichas agrupaciones pueden ser

lineales o circulares, con elementosrepetidos o no, sin importar elorden o con interés de orden.

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2.1 PERMUTACIONES O VARIACIONES

SIMPLESSuponga que se quiere crear claves bancarias alfabéticas con lacondición de que sean tres letras distintas

Un clave posible es ABC pero también BCA ya que siintercambiamos el orden se forma otra clave.

Cada uno de los arreglos que se pueden formar se llama

,

PERMUTACION de tamaño 3 o VARIACION de tamaño 3 delconjunto de tamaño 26 formado por las letras del abecedario.

Interesa calcular la cantidad de permutaciones de cualquiertamaño a partir de un conjunto de elementos distintos.

Por la regla del producto, la cantidad de claves formadas por tresletras distintas es: 26 . 25 . 24 = 15600

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C ANTIDAD DE PERMUTACIONES O

VARIACIONES SIMPLESTeorema:En general, si existen n objetos distintos y r es unnatural tal que r ≤ ≤≤ ≤ n, entonces, por la regla delproducto, la cantidad de permutaciones detamaño r para los n objetos es

,

Es usual que si r < n , se simbolice con Vn,r que se lee Variaciones de n elementos tomados de a r

Si r = n , se simboliza P n

y se dicen Permutaciones de nobjetos

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Ejemplos 4:

a) Escribir las permutaciones de dos letrasdistintas formadas por las letras delconjunto {a,b}

b) Escribir las permutaciones de dos letrasdistintas formadas por las letras delconjunto {a,b,c}

c) Se desea elegir 5 personas de un grupo de10 personas para sentarse en fila en unafoto. ¿Cuántas disposiciones lineales sonposibles?

d) ¿Cuál es el número de permutaciones de lapalabra COMPUTER?

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Ejemplos 4: Soluciones

a) Escribir las permutaciones de dos letras distintasformadas por las letras del conjunto {a,b}

Las permutaciones de dos letras son : ab y ba

La cantidad es P2 = 2! = 2.1 = 2

b) Escribir las permutaciones de dos letras distintas, ,

Las permutaciones o variaciones de dos letras tomadas delconjunto de tres son:

ab , ac , ba , bc , ca , cb

La cantidad es V3,2 =

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c) Se desea elegir 5 personas de un grupo de 10personas para sentarse en fila en una foto.¿Cuántas disposiciones lineales son posibles?

La cantidad de formas en que podemos elegir a 5 personasdel grupo de 10 para sentarse en fila es V10,5 =

d) ¿Cuál es el número de permutaciones de la palabraCOMPUTER?La cantidad de permutaciones de las letras de

COMPUTER es P8 = 40320 COPMUTERMOPCUTEROPUTCMERRPCOMUTE

etc….

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C ASO ESPECIAL: DISPOSICIONES CIRCULARESCuando se acomodan objetos distintos en forma circular,aquellas disposiciones que se consideran solo rotaciones de

otra, se consideran iguales.

Sean los objetos A , B y C dispuestos en forma circular.serve que as s gu en es spos c ones , e as en e

mismo sentido , son iguales:

ABC CAB BCA

A

BC

C

A B

B

C A

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Una disposición distinta a ellas será, por ejemplo:BAC, dejamos fija la letra C del primer arreglo ypermutamos A y B. Ésta disposición tiene, a su vez, 2disposiciones iguales a ella, leídas todas en el mismo

sentido. BAC CBA ACB

BC

A C B A CB

Entonces de las 3! disposiciones lineales que sepodrían armar hay que calcular cuántos grupos de 3disposiciones iguales se pueden formar.El cálculo es:

26



En general, si se tienen n objetos distintos la

cantidad de disposiciones circulares posibles estádada por

Ejemplos 5:

Si cuatro matrimonios , se sientan en torno de

una mesa redonda a cenar , de cuantas formaspueden hacerlo, si:

a) no hay restricciones?

b) si cada hombre desea estar entre dosmujeres?

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Si cuatro matrimonios , se sientan en torno deuna mesa redonda a cenar , de cuantas formaspueden hacerlo, si:

a) no hay restricciones?Son ocho personas en un círculo, entonces haymaneras

a) si cada hombre desea estar entre dosmujeres?

E1: se elige lugares para los hombresE2: se elige lugares para las mujeres ,intercaladas entre los hombresEntonces pueden sentarse de maneras

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2.2 COMBINACIONES SIMPLES

Suponga el conjunto depersonas {Luis,Ale,Sol} y sedesea seleccionar a dos de

ellas. Al seleccionar personas nosdamos cuenta de que el orden

,

Agrupacionesde dos

personas

tomadas deun conjuntode tres

considerandoel orden

Luis

Ale

Sol

Ale

Luis

Sol

Sol

Luis

no es mpor an e.

Cada selección de elementos,

sin importar el orden, se llamaCombinación . En este casohay 3 combinaciones posibles.

Ale

Luis Ale

Luis Sol

Ale Luis Ale Sol

Sol Luis

Sol Ale 29



Teorema:En general, si existen n objetos distintos y r es

un natural tal que r ≤ ≤≤ ≤

n, entonces, el número decombinaciones de tamaño r para una colecciónde n objetos es

,

C ANTIDAD DE COMBINACIONES SIMPLES

se lee número combinatorio n sobre r

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Ejemplos 6:

a) Calcular el número de mano distintas, decinco cartas, que se pueden dar tomándolasde una baraja de 52 cartas si:

No hay restricciones Debe haber por lo menos 2 cartas de corazones

Debe haber cuatro cartas de la mismadenominación con el mismo número o letra

b) Considerando los arreglos de ocho bits,• Cuantos arreglos de ocho bits contienen

exactamente tres ceros?• Cuantos arreglos contienen exactamente tres

ceros y todos seguidos?

• Cuantos arreglos contienen tres o más cerosseguidos y el resto unos ?

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a) Calcular el número de mano distintas, de cincocartas, que se pueden dar tomándolas de unabaraja de 52 cartas si: No hay restricciones

Debe haber por lo menos 2 cartas de corazones

Debe haber cuatro cartas de la misma denominación (conel mismo número o letra)E1: elijo la denominación, n1 = 13E2: Elijo la 5º carta del resto de cartas de otras denominaciones ,

n2 = 48Entonces el resultado buscado es 13 . 48 = 624

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b) Considerando los arreglos de ocho bits,• Cuantos arreglos de ocho bits contienen exactamentetres ceros?Se deben elegir las 3 posiciones donde se colocaran los ceros,

en el resto de las posiciones hay unosEntonces hay arreglos con exactamente tres cero

todos seguidos?Considero a los tres ceros en bloque. Entonces hay 6 lugarespara elegir donde ubicar el bloque.

• Cuantos arreglos contienen tres o más cerosseguidos y el resto unos ?

• Con el criterio anterior hay 6+5+4 +3+2+1 = 2133



PERMUTACIONES GENERALIZADAS

Cuando los objetos son indistinguibles el número de

permutaciones de n objetos es menor pues los arreglosdonde se intercambian los objetos indistinguibles soniguales.

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Se desea encontrar el número de disposiciones lineales de las todas

las letras de la palabra AMARNo son 24 como podría pensarse si calculamos 4!. Las disposicionesen donde se intercambian las A entre sí son indistinguiblesPara ver esto, pondremos subíndices en las A , e indicaremos con elmismo color a las permutaciones indistinguibles.Podrá verse que se han formado 12 grupos de 2 permutacionesiguales

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A2MA1R A2MR A1 M A2A1R R M A1 A2

A1A

2RM A

1A

2MR M R A

1A

2R A

2M A

1

A2A

1MR A

2A

1RM M R A

2A

1R A

1M A

2

A1 R MA2 A1 R A2M MA1R A2 R A2 A1 M

A2

R MA1

A2

R A1M M A

2R A

1R A

1A

2M



Esto tiene que ver con la cantidad de maneras deintercambiar dos letras entre sí que es 2! . Entoncespara contar las disposiciones distintas debemos vercuantos grupos de 2! elementos se pueden formar conlas 4! disposiciones iniciales. Por lo tanto la cantidadtotal de disposiciones de todas las letras de la palabra

AMAR es

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Teorema :El número de permutaciones distinguibles quepuede formarse a partir de una colección de nobjetos, en la que el primer objeto aparece k

1veces, el segundo objeto k2 veces,…y asísucesivamente es

donde

Ej l 7



Ejemplos 7:

a) Encontrar el número de disposiciones lineales de lassiete letras de la palabra BANDANA

b) Se disponen de cubos de colores de idénticostamaños a los que se quiere acomodar uno detrás deotro en una fila. De cuantas maneras puede hacersesi hay cuatro rojos, tres azules , dos amarillos y unverde?

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c) En la sección de libros de primaria de una libreríase desea acomodar en un estante a 4 libros idénticosde Historia , 5 libros idénticos de Matemáticas y 3libros idénticos de Literatura. De cuantas maneras

se puede hacer?

Ej l 7 S l i




a) Encontrar el número de disposiciones linealesde las siete letras de la palabra BANDANA

La respuesta es

b) Se disponen de cubos de colores de idénticos

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de otro en una fila. De cuantas maneras puedehacerse si hay cuatro rojos, tres azules , dosamarillos y un verde?

Hay 4 + 3 +2 + 1 = 10 cubos.La cantidad de disposiciones lineales de los cubos es



c) En la sección de libros de primaria de unalibrería se desea acomodar en un estante a 4libros idénticos de Historia , 5 librosidénticos de Matemáticas y 3 libros idénticosde Literatura. De cuantas maneras se puede

hacer?

Se uede hacer de maneras

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V ARIACIONES GENERALIZADAS

A partir de un conjunto de n objetos distintos podemos

formar disposiciones de cualquier tamaño donde estepermitido repetir los elementos seleccionados.

Teorema:Sea A un conjunto de n elementos y 1≤≤≤≤ r . Entoncesel numero de disposiciones lineales de longitud rque puede formarse con los elementos de A,permitiendo repeticiones, es

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Ejemplos 8:

a) ¿Cuántas patentes de autos formadas por 3letras y 3 números tienen solo números pares?

tienen solo consonantes ? terminan en 3 o en 5? comienzan en A y terminan en 3 o en5?

comienzan con 10? comienzan con 11? comienzan con 10 o con 11? comienzan con 10 o con 11 y terminan

en 0?

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a) ¿Cuántas patentes de autos formadas por 3letras y 3 números

tienen solo números pares?

terminan en 3 o en 5?

comienzan en A y terminan en 3 o en5?

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b) ¿Cuantos arreglos de ocho bits comienzancon 10?

26 = 64 comienzan con 11?

26 = 64 comienzan con 10 o con 11?

26 + 26 = 128 comienzan con 10 o con 11 y terminan en 0?

25 +25 = 64

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C



COMBINACIONES GENERALIZADAS

Considere los libros de tres asignaturas: Computación, Física eHistoria. Supóngase que la biblioteca tiene, al menos, seisejemplares idénticos de cada uno de estos libros. ¿De cuántasmaneras pueden seleccionarse seis libros?

El problema consiste en formar selecciones no ordenadas de seiselementos del conjunto {C,F,H} , cuando se permiten repeticiones.Podemos imaginar tres cajas llamadas C , F y H donde poner los

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elementos X seleccionados. Algunas selecciones se muestran

enseguida:C F H

XXX | XX | XXX | X | XXX

| XX | XXXXEntonces cada selección es una secuencia ordenada de seis X y dos|en un arreglo de ocho lugares.La selección de los seis lugares del total de ocho es

T



Teorema:

Sea A un conjunto con n tipos de elementos. Elnúmero de selecciones de r elementos, noordenadas, con repeticiones permitidas ytomadas del conjunto A , es:

Se tienen tres pilas de pelotas rojas, azules yverdes, y cada una contiene, al menos, ocho

a) De cuantas maneras se pueden seleccionar

ocho pelotas?b) De cuantos modos se deben seleccionar ocho

pelotas si se debe tener al menos una de cadacolor?

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Ejemplos 9: Soluciones:



Ejemplos 9: Soluciones:

a) En este caso n=3 , r=8Las ocho pelotas pueden seleccionarse de

maneras

b) Hay una de cada color ya elegida, entonces se debense ecc onar otras c nco e cua qu er co or.

Esto se puede hacer de maneras

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EXTRACCIÓN DE MUESTRAS



Si a partir de un conjunto de n elementos se debeextraer muestras de tamaño r se puede realizarde los siguientes modos:

Con orden y sin reemplazo:

E XTRACCIÓN DE MUESTRAS

Con orden y con reemplazo:

Sin orden y sin reemplazo:

Sin orden y con reemplazo:47



MUCHAS GRACIAS

POR SU PRESENCIA !!!!

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BIBLIOGRAFIA

1. MATEMATICAS DISCRETA Y COMBINATORIA.R. Grimaldi. Editorial Addison Wesley Longman

2. MATEMATICA DISCRETA Y ALGORITMOS. J.erez. or a nswer us n me

3. MATEMATICAS DISCRETAS. R. Johnsonbaugh .Grupo Editorial Iberoamérica

4. MATEMATICAS DISCRETAS. K. Ross , C. Wright.

Editorial Prentice Hall5. ESTRUCTURAS DE MATEMATICAS DISCRETAS

PARA LA COMPUTACION. B. Kolman, R. Busby.Editorial Prentice Hall

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