CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...
Transcript of CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...
CURS 5: Matrici. Determinanti
22 noiembrie 2019
Thm. Regula lui Laplace
(dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n,
iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i :
detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j :
detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In
In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0.
In acest caz A−1 = 1detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate
ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A,
se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:
a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele
a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;
b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii
cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;
c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii
la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K)
se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara
daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E
se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din
matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In
prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K)
a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii,
revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A
la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii
El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K)
corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii.
Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,
revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei
A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane
Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K)
corespunzatoare transformarii.
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
De exemplu:
Fie
A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K).
Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii,
adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2,
consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara
de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii
El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii:
El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
]
adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2.
Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea
A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara
El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
Thm(de obtinere
a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformari
elementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K)
este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila,
atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare
pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In],
care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B]
si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata);
ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen
4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar,
curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sau
T.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;