Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n....
Transcript of Curs 3oanacon/depozit/Curs_3.pdf · 2015. 3. 5. · Unghiul unei drepte a ne cu un subspatiu a n....
Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua hiperplaneDistanta dintre doua subspatii ane euclidiene
Volumul simplexelor si paralelipipedelor
Curs 3
Unghiuri, distante, volume
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 3
1 Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua
hiperplane
2 Distanta dintre doua subspatii ane euclidiene
3 Volumul simplexelor si paralelipipedelor
Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an
In spatiul an euclidian orientat n-dimensional
En =(E , (−→E , <,>),Φ
)se considera R = O, e1, · · · , en un
reper ortonormat pozitiv, o dreapta ana d si un subspatiu an
euclidian Y ⊂ E de dimensiune 1 ≤ p ≤ n− 1. Pentru inceput atat
dreapta ana d cat si subspatiul an Y sunt neorientate.
Denition
Unghiul dintre dreapta d si subspatiul an euclidian Y este unghiul
neorientat dintre un vector director arbitrar al dreptei d si
subspatiul liniar euclidian−→Y , adica numarul θ ∈ [0, π
2] denit prin
cos θ =‖ Pr−→
Ya ‖
‖ a ‖, a ∈
−→d , a 6= 0, (1)
unde Pr−→Ya este proiectia ortogonala a vectorului a pe subspatiul
liniar−→Y .
Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua hiperplaneDistanta dintre doua subspatii ane euclidiene
Volumul simplexelor si paralelipipedelor
In gura am notat
Pr−→Ya = a1,
Pr(−→Y )⊥
a = a2.
cos θ =‖ a1 ‖‖ a ‖
Oana Constantinescu Curs 3
Denitia anterioara este corecta deoarece ea nu depinde de alegerea
vectorului director al lui d . Pr−→Y
:−→E →
−→Y este o aplicatie liniara si
‖ · ‖:−→E → R este o aplicatie pozitiv omogena, deci pentru orice
alt b ∈−→d , b = λa, λ ∈ R∗ se obtine
‖Pr−→Yb‖
‖b‖ =‖Pr−→
Y(λa)‖
‖λa‖ =|λ|‖Pr−→
Ya‖
|λ|‖a‖ =‖Pr−→
Ya‖
‖a‖ .
Se poate demonstra ca unghiul dintre a si subspatiul liniar euclidian−→Y este de fapt minimul multimii Ω :=
(a, u) | u ∈
−→Y , u 6= 0
.
Unghiul a doua drepte ane
Aplicam rezultatele anterioare pentru cazul particular in care Y este
tot o dreapta ana in En.
Fie d1 si d2 doua drepte ane neorientate in En. Unghiul dreptelord1 si d2 este numarul θ ∈ [0, π
2] unic determinat de formula
cos θ =|< a1, a2 >|‖ a1 ‖‖ a2 ‖
, (2)
unde a1 ∈−→d1, a2 ∈
−→d2 sunt doi vectori directori nenuli arbitrari ai
celor doua drepte.
Intr-adevar, inlocuind Pra2(a1) = <a1,a2>‖a2‖ a2 in formula (1), rezulta
formula (2).
Amintim ca a orienta un (sub)spatiu an inseamna a orienta spatiul
sau liniar director.
In cazul in care cele doua drepte sunt orientate, considerand
a1 ∈−→d1 si a2 ∈
−→d2 orientati pozitiv, unghiul dintre dreptele
orientate d1 si d2 este numarul θ ∈ [0, π] dat de
cos θ =< a1, a2 >
‖ a1 ‖‖ a2 ‖.
Daca ne situam intr-un plan an euclidian orientat E2, unghiulorientat al dreptelor orientate d1 si d2 (in aceasta ordine) este
numarul θ ∈ [−π, π], unic determinat de relatiile
cos θ =< a1, a2 >
‖ a1 ‖‖ a2 ‖, sin θ =
a1 ∧ a2‖ a1 ‖‖ a2 ‖
,
unde a1 ∈−→d1 si a2 ∈
−→d2 sunt orientati pozitiv,
a1 ∧ a2 =
∣∣∣∣ a11 a12
a21
a22
∣∣∣∣, a1 = a11e1 + a2
1e2, a1 = a1
2e1 + a2
2e2,
e1, e2-baza ortonormata pozitiva in−→E .
Unghiul unei drepte cu un hiperplan
Fie dreapta d = A + [a], a 6= 0 si hiperplanul H = B +−→H de
directie normala(−→H)⊥
= [N], ambele neorientate. Unghiul dintre
dreapta d si hiperplanul H este numarul θ = π2− ϕ ∈ [0, π
2], cu ϕ
unghiul dintre dreapta d si normala la hiperplan.
sin θ =|< a, N >|‖ a ‖‖ N ‖
.
Unghiul a doua hiperplane
Daca hiperplanul si normala sunt orientate, iar a, respectiv N sunt
orientati pozitiv, atunci unghiul dintre d si H este numarul
θ ∈ [−π2, π2
] dat de sin θ = <a,N>‖a‖‖N‖ .
Denition
Unghiul a doua hiperplane (neorientate) este unghiul dintre
normalele la cele doua hiperplane.
Deci daca H1 e hiperplanul de directie normala [N1] si H2 e
hiperplanul de directie normala [N2], atunci unghiul dintre H1 si H2
este numarul θ ∈ [0, π2
] denit de
cos θ =|< N1, N2 >|‖ N1 ‖‖ N2 ‖
.
In cazul in care orientam cele doua normale, atunci unghiul celor
doua hiperplane este θ ∈ [0, π] denit prin cos θ = <N1,N2>‖N1‖‖N2‖
, cu
N1, N2 orientati pozitiv.
Observam ca si aceasta denitie nu depinde de alegerea vectorilor
normali hiperplanelor.
Exemple
In spatiul an euclidian E4 consideram dreptele ane
d1 : x1−12
= x2+1
3= x3
−1 = x4
1, d2 : x1−1
1= x2
1= x3−1
2= x4
1si
hiperplanele H1 : x1 + 2x2 − x3 + 1 = 0,
H2 : 2x1 − x2 + x3 − x4 − 1 = 0.
Atunci unghiul dintre dreptele d1 si d2 este dat de
cos θ1 =|< a1, a2 >|‖ a1 ‖‖ a2 ‖
, a1(2, 3,−1, 1), a2(1, 1, 2, 1), cos θ1 =4√105
105;
Unghiul dintre hiperplanele H1 si H2 este determinat de
cos θ2 =|< N1, N2 >|‖ N1 ‖‖ N2 ‖
, N1(1, 2,−1, 0), N2(2,−1, 1,−1), cos θ2 =
√42
42;
Exemple
Fie 2-planul π cu spatiul liniar director −→π = [b1, b2], b1(1,−1, 0, 1),
b2(0, 1, 0, 1) si dreapta ana d cu−→d = [a], a(1, 1, 0, 1).
Unghiul dintre dreapta d si 2-planul π este determinat de
cos θ =‖ Pr−→π a ‖‖ a ‖
.
Observam ca b1 ⊥ b2 si
Pr−→π a = <a,b1>‖b1‖2
b1 + <a,b2>‖b2‖2
b2 = (13, 23, 0, 4
3). Deci cos θ =
√7
3.
In cazul in care baza subspatiului liniar director −→π nu este
ortogonala, o ortogonalizam prin procedeul Gramm-Schmidt.
Unghiul dintre dreapta d2 si hiperplanul H2 este dat de
sin θ =|< a2, N2 >|‖ a2 ‖‖ N2 ‖
=2
7.
Distanta dintre doua subspatii ane euclidiene
Denition
Fie En =(E , (−→E , <,>),Φ
)un spatiu an euclidian n-dimensional
si E1 =(E1,−→E1,Φ|E1×E1
), E2 =
(E2,−→E2,Φ|E2×E2
)doua subspatii
ane nevide ale sale. Distanta dintre E1 si E2 este numarul real
pozitiv denit prin
d(E1,E2) = min d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 .
Remark Se poate demonstra ca multimea
Ω := d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 admite un minim. O vom
face in pasi succesivi, mai intai considerand cazul in care unul dintre
subspatii se reduce la un punct. Evident daca unul dintre subspatii
este intreg E , minΩ = 0. In cele ce urmeaza eliminam acest caz.
De asemenea, daca ambele subspatii ane se reduc la cate un
punct, distanta dintre cele doua subspatii este distanta dintre
punctele respective.
Distanta de la un punct la un subspatiu an euclidian
Theorem
Fie A ∈ E si E1 ⊂ E un subspatiu an al lui E . Atunci multimea
Ω = d(A,P) | P ∈ E1 admite un minim. Mai exact
minΩ = d(A,B), unde B este piciorul subspatiului normal la E1prin A.
In cazul distantei de la un punct la un hiperplan, obtinem o
formula usor de memorat. Elementele propozitiei urmatoare sunt
date in raport cu reperul ortonormat arbitrar R.
Proposition
Fie A ∈ E un punct de coordonate A(x10, x2
0, · · · xn
0) si H un
hiperplan de ecuatie H : a1x1 + x2x
2 + · · ·+ anxn + a0 = 0,∑n
i=1(ai )
2 > 0. Atunci
d(A,H) =| a1x10 + x2x
2
0+ · · ·+ anx
n0
+ a0 |√a21
+ a22
+ · · ·+ a2n
.
Theorem
Fie E1 si E2 doua subspatii ane arbitrare ale lui E . Atunci
multimea Ω = d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 admite un minim.
Pentru a determina distanta intre doua subspatii ane, consideram
subspatiul an E3 = A2 +(−→E1 +
−→E2), ce contine pe E2 si este
paralel cu E1, alegem un punct oarecare A1 in E1, construimsubspatiul normal la E3 prin A1 si notam intersectia dintre acesta si
E3 cu B . Atunci se poate demonstra ca
d(E1,E2) = minΩ = d(A1,B).
d(E1,E2) =‖ w ‖, w = Pr(−→E1+−→E2)⊥
(−−−→A2A1).
Ne dorim o formula de calcul pentru distanta intre doua subspatii
ane arbitrare.
Theorem
Fie E1 = A1 +−→E1 si E2 = A2 +
−→E2 doua subspatii ane ale lui En si
a1, a2, · · · , ar o baza in−→E1 +
−→E2, 1 ≤ r ≤ n. Atunci
d(E1,E2) =
√√√√G(−−−→A1A2, a1, · · · , ar
)G (a1, · · · , ar )
,
unde G (v1, · · · , vr ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣< v1, v1 > < v1, v2 > · · · < v1, vr >< v2, v1 > < v2, v2 > · · · < v2, vr >· · · · · · · · · · · ·
< vr , v1 > < vr , v2 > · · · < vr , vr >
∣∣∣∣∣∣∣∣ estedeterminantul Gramm al sistemului de vectori v1, · · · , vr.
Aplicand rezultatul anterior pentru cazul in care unul dintre
subspatii se reduce la un punct, obtinem:
Proposition
Fie E1 ⊂s.a.e
E si A ∈ E . Daca A1 ∈ E1 si a1, · · · , ap este o baza
in−→E1,atunci
d(A,E1) =
√√√√G(−−→AA1, a1, · · · , ap
)G (a1, · · · , ap)
.
Facem observatia ca G (a1, · · · , ap) 6= 0⇔ a1, · · · , ap sunt liniar
independenti.
De asemenea, cand cele doua subspatii considerate sunt ambele
drepte ane, are loc:
Proposition
Fie δ1 = A1 + [a1] si δ2 = A2 + [a2] doua drepte ane in En,necoplanare, cu a1, a2 nenuli. Atunci
d(δ1, δ2) =
√√√√G(−−−→A1A2, a1, a2
)G (a1, a2)
.
Daca δ1 si δ2 sunt drepte ane necoplanare in E3, atuncid(δ1, δ2) = d(P1,P2), unde P1P2 este perpendiculara comuna celor
doua drepte, P1 ∈ δ1, P2 ∈ δ2.
Particularizari in E3Observam ca daca spatiul an euclidian ambiant este trei
dimensional, putem sa ne folosim de produsul vectorial si cel mixt
pe−→E pentru a reobtine formulele cunoscute din semestrul I. Vom
folosi urmatoarele identitati studiate:
G (a) =‖ a ‖, G (a, b) =‖ a× b ‖2, G (a, b, c) =(a, b, c
)2.
Atunci distanta de la A ∈ E la dreapta δ = A0 + [a] este
d(A, δ) =
√G (−−→AA0, a)
G (a)=‖−−→AA0 × a ‖‖ a ‖
.
Distanta dintre dreptele necoplanare δ1 = A1 + [a1] siδ2 = A2 + [a2] devine
d(δ1, δ2) =
√√√√G(−−−→A1A2, a1, a2
)G (a1, a2)
=
∣∣∣(−−−→A1A2, a1, a2)∣∣∣
‖ a1 × a2 ‖.
Exemple
In E4 se dau dreapta
δ :x1 − 1
1=
x2 + 1
1=
x3
1=
x4 − 1
0
si 2-planul
π :
x1 + x2 − x3 + x4 + 1 = 0,
x1 − x2 + x3 + x4 − 1 = 0.
Fie A1(1,−1, 0, 1) ∈ δ, a1(1, 1, 1, 0) ∈−→δ , A2(0,−1, 0, 0) ∈ π si
a2, a3 ∈ −→π liniar independenti, a2(1, 0, 0,−1), a3(0, 1, 1, 0). Pentru a
determina o baza in −→π am folosit ecuatiile subspatiului liniar director
−→π :
x1 + x2 − x3 + x4 = 0,
x1 − x2 + x3 + x4 = 0.Se verica liniara independenta a
vectorilor a1, a2, a3, deci acestia formeaza o baza in−→δ +−→π . Calculam
G (−−−→A1A2, a1, a2, a3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 0 0
−1 3 1 2
0 1 2 0
0 2 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, deci d(δ, π) = 0.
Deoarece a /∈ −→π , rezulta ca d * π, deci d ∩ π = P. Determinati
coordonatele lui P!
Fie A(1, 1, 1, 1) si 2-planul π = A0 + [a1, a2], A0(1, 0, 0, 1),a1(1, 0, 0, 0), a2(−1, 1, 0, 0).
Atunci d(A, π) =
√G(−−→A0A,a1,a2
)G(a1,a2) = 1.
Fie dreptele
δ1 :x1 − 1
0=
x2
1=
x3
0=
x4
0, δ2 :
x1
0=
x2 − 1
0=
x3
0=
x4
1.
Deci δ1 = A1 + [a1] si δ2 = A2 + [a2], cu A1(1, 0, 0, 0, ),A2(0, 1, 0, 0), a1(0, 1, 0, 0), a2(0, 0, 0, 1).
Atunci d(δ1, δ2) =
√G(−−−→A1A2,a1,a2
)G(a1,a2) = 1.
p-paralelipiped
Fie En un spatiu an euclidian n-dimensional. Fie A0 ∈ E si
u1, u2, · · · , up ∈−→E liniar independenti, 0 < p < n.
Se numeste p-paralelipiped determinat de punctul A0 si de vectoriiu1, u2, · · · , up, multimea
[A0; u1, u2, · · · , up] =
P ∈ E | P = A0 +
p∑i=1
λi ui , λi ∈ [0, 1], ∀i ∈ 1, p
.
p-paralelipipedul este dreptunghic daca
< ui , uj >= 0, ∀i , j ∈ 1, p, i 6= j .Un varf al p-paralelipipedului este un punct
Ai1i2···ik = A0 + (ui1 + · · ·+ uik ), k ∈ 1, p.O fata k-dimensionala a p-paralelipipedului este multimea punctelorP ∈ E de tipulP = A0 + λi1 ui1 + · · ·+ λik uik + λik+1 uik+1
+ · · ·+ λip uip , λi1 , · · · , λik ∈
[0, 1], λik+1 , · · · , λip ∈ 0, 1.De exemplu, muchia [A0A1] este o fata 1-dimensionala:P ∈ E | P = A0 + λ1u1 + 0u2 + 0u3, λ
1 ∈ [0, 1].
Pentru p = 1 obtinem un seg-
ment [A0; u] = [A0A1], A1 =A0 + u.
Pentru p = 2, [A0; u1, u2]este un paralelogram reunit
cu interiorul sau, de varfuri
A1 = A0 + u1, A2 = A0 + u2,A12 = A0 + (u1 + u2).
Pentru p = 3 obtinem
ca [A0; u1, u2] este paralelipi-
pedul cu tot cu interiorul sau,
cu varfurile
A1 = A0 + u1, A2 = A0 + u2,
A3 = A0 + u3, A12 = A0 +
(u1 + u2), A13 = A0 + (u1 +
u3), A23 = A0 + (u2 + u3),
A123 = A0 + (u1 + u2 + u3).
Volumul unui p-paralelipiped
Denition
Volumul p-paralelipipedului [A0; u1, u2, · · · , up] este dat de formula
V =√G (u1, · · · , up).
Formula generalizeaza rezultatele cunoscute din geometria
elementara.
Pentru un segment, volumul sau se reduce la distanta dintre
capetele segmentului.
Pentru un 2-paralelipiped in E3, volumul devine aria
paralelogramului construit pe cei doi vectori, si anume
A =√
G (u1, u2) =‖ u1 × u2 ‖, iar pentru volumul unui
3-paralelipiped in E3 se obtine formula cunoscuta
V =√G (u1, u2, u3) =| (u1, u2, u3) |.
p-simplex
Fie A0 ∈ E si u1, u2, · · · , up ∈−→E liniar independenti, 0 < p < n.
Se numeste p-simplex denit de punctul A0 ∈ E si vectoriiu1, u2, · · · , up, multimea
< A0; u1, u2, · · · , up >=P ∈ E |
−−→A0P =
∑pi=1 λ
i ui , λi ≥ 0, ∀i ∈ 1, p,
∑pi=1 λ
i ≤ 1
< A0,A1, · · · ,Ap >=
P ∈ E | P =
∑pi=0 λ
iAi , λi ≥ 0, ∀i ∈ 0, p,
∑pi=0 λ
i = 1
Ai = A0 + ui , ∀i ∈ 1, p.
O fata k-dimensionala a simplexului < A0,A1, · · · ,Ap > este un
k-simplex de tipul < Ai1 , · · · ,Aik >.Pentru p = 1 obtinem tot un segment, pentru p = 2 obtinem un
triunghi (impreuna cu interiorul sau), iar pentru p = 3 se regaseste
un tetraedru (cu tot cu interiorul sau).
Volumul p-simplexului
Denition
Volumul p-simplexului < A0; u1, u2, · · · , up > este dat de formula
V =1
p!
√G (u1, · · · , up).
In E3 pentru un 2-simplex reobtinem aria triunghiului si pentru un
3-simplex volumul tetraedrului.