Curs 09 Variabile Aleatoare
Transcript of Curs 09 Variabile Aleatoare
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
1/25
Variabile aleatoare
Tudor Drugan
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
2/25
Definiie
Se numete variabil aleatoare pe un spaiufundamental E i se noteaz prin X, o funcie
definit pe E cu valori n mulimea numerelor
reale. Unei variabile aleatoare X i se pot asocia diferite
probabiliti cu care aceast variabil aleatoare
poate lua anumite valori, ca de exemplu:
Pr( X a) - probabilitatea ca X s ia valoarea a;
Pr( a X b ) - probabilitatea ca X s ia o valoare nintervalul a,b.
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
3/25
Definiie
O variabil aleatoare se numete discretdac ea poate lua un numr finit sau cel
mult numrabil de valori
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
4/25
Exemple
Numrul de internri ntr-un spital ntr-un interval
de timp dat X0,1,2,...,n,.... variabil aleatoare discret infinit.
Numrul de bacterii ntr-un mililitru de apX0,1,2,...,n,....
variabil aleatoare discret infinit.
Numrul de indivizi cu RH-negativ dintr-un grup den persoane luate la ntmplare X0,1,2,...,n.
variabil aleatoare discret finit Numrul de prezentari la medic pentru otita in
primii doi ani de viata.
variabil aleatoare discret infinit care poate avea
valorile 0,1,2,...
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
5/25
Definiie
O variabil aleatoare este continuatuncicnd variaz n mod continuu ntr-uninterval i poate lua o mulime
nenumrabil de valori.
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
6/25
Exemple
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
7/25
LEGEA DE PROBABILITATE A UNEI
VARIABILE ALEATOARE FINITE
Fie X o variabil aleatoare pe un spaiu
fundamental E finit, adic
X x1 , x2, ..., xi, ..., xn.
Mulimea de probabilitip(x1 ), p(x2 ), ..., p(xi), ..., p(xn)
asociate valorilor:
x1 , x2, ..., xi, ..., xn se numete distribuia sau legea de probabilitate
a variabilei aleatoare X.
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
8/25
LEGEA DE PROBABILITATE A UNEI
VARIABILE ALEATOARE FINITE
Distribuia unei variabile aleatoare finite X se mai
noteaz prin urmtorul tabel:
Probabilitile care apar n distribuia unei variabilealeatoare finite X verific urmtoarea condiie:
)xnp(...)xp()xp(
x...xx:
21
n21X
.1)(
1
n
i
ixp
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
9/25
Exemple
Probabilitatea de apariie a uneia dintre feele
{1,2,3,4,5,6} ale unui zar este 1/6. In acest cazavem variabila aleatoare:
Pentru c probabilitatea p(x) este constant oricare
ar fi x se spune c distribuia lui X1 este uniform.
.
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
654321
:X1
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
10/25
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
11/25
Exemplu
Intr-un studiu s-a urmarit frecventa cu care un
tratament antihipertensiv aduce sub control unnumar de pacienti din 4 pentru 100 de medici.
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
12/25
Media sau sperana matematic
Valoarea M(X) se mai numete i valoarea
ateptat a variabilei aleatoare X.
Observaii:
Dac legea de probabilitate a lui X este uniform,
adic p(xi) 1/n , pentru orice i 1,2,...,n, atunci M(X)este media aritmetic a numerelor x1 , x2, ..., xi, ...,
xn.
)xp(xM(X) i
n
1i
i
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
13/25
Exemplu
Care este media estimata a valorilor obtinute prinaruncarea unui zar?
M(X)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6
M(X)=(1+2+3+4+5+6)/6 M(X)=21/6
M(X)=3,5
)xp(xM(X) i
n
1ii
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
14/25
Exemplu
M(X)=0x0,008+1x0,076+2x0,265+3x0,411+4x0,240
M(X)=2,8
Ne vom astepta la o medie de 2,8 din cei 4hipertensivi a caror afectiune sa poata fi controlata
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
15/25
Exemplu
Numarul de episoade de otita in primii doi ani de
viata:
M(X)=0x0,129+1x0,264+2x0,271+3x0,185+4x0,
095+5x0,039+6x0,017 M(X)=2,038
Ne vom astepta la o medie de 2,038 episoade deotita la un copil in primii doi ani de viata
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
16/25
Variaia i abaterea standard
Variaia variabilei aleatoare X se definete prin
V(X) M( X- M(X)2)
Sau
Prin definiie abaterea standard este:
)p(xiM(X)]n
1i
[xiV(X)2
V(X)(X)
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
17/25
Exemplu
Numarul de episoade de otita in primii doi ani de
viata:
V(X)=1,96
=1,402
Aproximativ 95% din distributia de probabilitate estecuprinsa in medie +/- 2 (1,96 )
Numarul de episoade de otita in primii doi ani deviata: 2,038 2,8 (corectat 0-4)
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
18/25
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
19/25
Distributia cumulata
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
20/25
Variabile aleatoare centrate reduse
Unei variabile aleatoare X cu media M(X) iabaterea standard (X) i se poate asocia o variabilaleatoare Y numit variabil aleatoare centrat
redusdefinit prin:
In baza proprietilor mediei i abaterii standard, se
poate arta uor c variabila aleatoare centratredus are media M(Y)0 i abaterea standard
(Y)1.
)X(
M(X)XY
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
21/25
VARIABILE ALEATOARE DEFINITE
PE UN SPAIU FUNDAMENTALINFINIT
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
22/25
Cazul discret Cazul continuu
Noiunile i proprietile prezentate anterior pentru
variabilele aleatoare finite se pot introduce n modanalog pentru cazul variabilelor aleatoare discreteavnd o mulime infinit de valori, prin nlocuirea
sumei finite cu una infinit
n
i 1
1i
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
23/25
Cazul discret Cazul continuu
n
i 1
1i
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
24/25
Cazul continuu
In cazul unei variabile aleatoare continue X, se
consider o funcie f:RR numit densitate deprobabilitate, care are proprietile:
f(x) 0, xR
b
af(x)dxb)XPr(a
1f(x)dx
-
7/31/2019 Curs 09 Variabile Aleatoare
25/25
Cazul continuu
In acest caz funcia de repartiie F asociat
variabilei aleatoare X este definit prin:
De asemenea, media lui X este definit prin :
iar variaia lui X
x
-
f(t)dtx)Pr(X=F(x)
( ) xf(x)dxM X
2( ) [x-M(X)] f(x)dxV X