Cultura Y Aprendizaje 12 - Invitacion a La Didactica de La Geometria

DET,A,GEffiM

INVITACIONA tA DIDACTICA

DE tA GEOMETRIA

Colección:MATEMATICAS : CULIURA Y APRENDIZAJE

,14. Proporcionalidad geométrica y semejanzaGrupo Beta

15, Poliedros

1 A¡€¡ de coDocimieDfo: di¿ictic{ de la5 mrt€miticas c'!sdi.Gu¡[én so¡..

Ansel Güt'érc, Benúido G6M Alrors' ¡uú Díe codino Luir Rio R'* 1ó uns m€todologl¡ acdv¡ y lúdlcr p¡r¡ I¡ eÉ€ñ¡Da de h gcomeEí¡

2, Núú€m6 y op€r¡ciones A¡g'l Mt¡tf¡e R@io' Foci$o Juú Fiv¡th

Luis Rico RoI|Ñ. Er@ió¡ csfD M¡rfn-. E¡riqE ca¡trs M&dnez 17. El problem¡ de l¡ m€(üds

3. Numer¡ción y cdlculo c¡¡'Mch.tt|o@P|U JMM Bclnútecó@

B'oardo cómz ^lrmo l& cirtul¡dlo por el círcuto

4. Ff¡ccion€6 FE¡ck@ P.diIÁ Df¡z, Anulfo Súto. Hd¡ln¡L¿, E&l¡ Vcl&qüe,

s¡lv!¡to.L¡i,es ct!ú, M.. victo¡is sósh.z c*f! MdEl Rmá¡d'¿ 1"6

19. SuDcrfici€ v voluDen5. Núúerus deciúeleÉ: por qué y pera qué ¡,¡..ie"ro d"r o* no*., ¡-cú6 M.-o cmr.o, FMcú@ cil cu¡d'

Jüli. Crdteno Pée20. hoporciod¡lid.d tlir€ct¡

6. Númeroc eúteros .¡ r¡is Fiol M@, J6é M,, Fdruny Ayirmi,osa L, G@dld M.d, M.' Dolñr l¡i.n! Bustos. AlfoM Ortiz CoM, I¡M.1¡Ld. V¡¡C¡sMochuca, Mduela JiMo P&É2, Alto¡io friz vilbFjo, astcba¡ Sez Jináw 21. Nudo6 y Dexos. RedeÉ en l¡ 6cuel¡

7. Divisibirid¡d Hfmflffio*''-" seho cir' A¡ronio M.fr¡ dér Moñr'

Modoro Si.@ Vázq@, And¡& G@r¡, M.'T. Gonz{.¿ Altud¡llqMúrio oonrilc¿Ac6t¡ 2¿ Por 106 coE¡nc d€ l¡ lógic¡

E, pmbremrs ¡ritméticos ""col¡r.,

I¡& st' '.m

M'd*rÓ arie Li"-*di EliM Phñ16 Rriz

¡nis hig Esp¡nosa. RcDardo C.rdá! Pé¡E 23. Inici¡dd¡ ¡l dgebr¡Mdud Martl¡ Sod Rob¡y¡4 M.d6 C.ruho M.chfi, M.' McEr¡16 P¡llM Mcdin4

9. ¡;$rin¡c¡ón cn cálct¡lo y medid¡ ¡oFf. Hd¡Dd.z Donr¡s!@ls¡tun Scgovi! alcr, E r¡mión C¡de Maí¡ne, Eüiqre C¡r¡o MartlÉ,r.ui¡ R¡h Ro'Em A Er¡€'nrnrc dchsum¡y rl€ h r€6t¡

10. Aritmétic¡ y calcul¡dor¡Frldc¡ic ud¡m i Ab.uó 25. EDscñ¡Dza de l¡ mulfipficrción y dc l¡ divi¡ión

11. Materi¡le p¡rs corBarülr l¡ geomca¡l¡cu|c¡ Bu¡gu!¡ FldFicll chudi Ak¡M c¡t¡lá, ¡@p M.'Fonuy Ar1tmi 26' Furcione y 8ráfic¡3

¡odi Da¡lof.! Piqet, G¡rM A.c*áÉcin&Éz12. Inüt¡ción ¡ l¡ ditác'tic¡ de la g€ometría

cf,ddi Alsin¡ c.r¡r4 J@p M . Foruy ayÉni, canm Bu¡g!¿s Ft@i.ü 27' At¡r y prob¡bilid¡dt@ Dlaz Godino. Co¡|m BÁrúerc Bñabéu. M,'Jsú! CaÍtñ Caslellúo

13. SiúeÍríN diDlámicr2¡. Encu€5t¡s y pr€cioc

André! Nor¡e! CIE¡

29. Prensa y matemáticasAntonio Fernández Cano. Luis Rico Romero

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de usoJosé A. Cajaraville Pegito

31. Ordenar y clasificarCarlos Maza Gómez, Ca¡los Arce Jiménez

32. Juegos y pasatiempos en la enseñarüza de la matemática elementalJosefa Femández Sucasas, M." Inés Rodríguez Vela

33. Ideas y actividades para enseñar álgebraGrupo Azarquiel

34. Recursos en el aula de matemáticasFrancisco Hemán Siguero, Elisa Carrillo Quintela

Consejo editor:Luis Rico Romero, José M." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa

INVITACIONA tA DIDACTICA

DE LA GEOMETRIA

CLAUDI ALSINA CA'I 'AI,ACatedrático de Matemáticas

E.T.S.A.B.Universidad Politécnica de Cataluña

CARME BURGUÉS FLAMARICHProfesora Titular de Didáctica de las Matemáticas

Escuela Universitaria de Formación del Profesorado de EGBUniversidad de Barcelona

JOSEP M." FORTUNY AYMEMMICatedrático de Didáctica de las Matemáticas

Escuela Universitaria de Formación del Profesorado de EGBUniversidad Autónoma de Barcelona

EDITORIAL

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SINTESIS

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$at*r..uffilo\. ba¡'rasFs¡'ma de adquisición: g i ur\*\'r, *Compra Canje -Fecha de adqursrciónAño- Mes -

Día -techa de ProcesanlientoAño- Mcs --Proveedor :ftocesado por #Biblioteca destinq. t

_ t,o.¡D.t¿üF'

Primera reimpresión: octubre 1989Segunda reimpresión: octubre 1992Tercera reimpresión: julio 1995Cuarta reimpresión: noviembre 1997

Diseño de cubierta: Juan José Vázquez

Reservados todos los derechos Está prohibido, bajo lassanciones penales y el resarcimiento civil previstos enlas leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publi-cación,lntegra o parcialmente, por cualquier sistema derecuperación y por cualquier medio, sea mecánico, elec-trónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o porcualquier otro, sin la autorización preüa por escrito deEditorial Síntesis, S. A.

@ ClaudiAlsina CataláCarme Burgués FlamarichJosep M.' Fortuny Aymemmi

@ EDMORIAL SÑTESIS,S.A,Vallehermosq 34. 28015 MadridTeléfono (91) 593 20 98http://www.sintesis.com

Depósito legal: M, 23,366-1997ISBN: 84-7738-020-1

Impreso en España - Printed in Spain

Donación

DíaA las gentes

entusiastas de la Geometría

Indice

Presentación

l. Invltación a la Geometría

l.l. Hacia la Geometría.1.2. Finalidades y objetivos en la enseñanza de la Geometría.1.3. Algunas reflexiones históricas.

2. Entorno

2.1. Geometría y Naturaleza.2.2. Geometría, Ciencia y Tecnología.2.3. Geometría y Arte.

3. Razonamiento

3.1. Procesos inductivos.3.2. Procesos deductivos.

4. Representación

4.1. Visualización.4.2. La representación gráfica.4.3. Los modelos manipulativos.

5. Aprendizaje

5.1. Conocimiento y comprensión.5.2. Habilidades y procesos.

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606372

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8490

6. Enseñanza

6.1. Planificación e instrucción.6.2. Lenguaje, comunicación e información.6.3. Relacionar y clasificar.6.4. La resolución de problemas.6.5. Diagnóstico y evaluación.

EpíIogo

APENDICE: Sugerencias y respuestas a ejercicios seleccionados.

Bibliografía

Indice analítico

Presentación

El término rehabilitar está de moda. Recuperar la belleza escondida ennuestro entorno es un objetivo apetecible: descubrimos la casa, la calle y laciudad tal y como eran, tal y como nunca deberían dejar de ser. La Geo-metría ha estado siempre ahí, en la enseñanza y en la investigación, pclohoy a nivel educativo está pendiente de una completa rehabilitación. l)cn-sando en este objetivo nació la idea de este libro.

La enseñanza de la Geometría ha de ser un núcleo central en el currfcu-lo escolar. Se trata de una disciplina útil, deseable y bella que ofrece tantoresultados interesantes como razonamientos y metodologías de marcado ca-rácter formativo.

El presente texto presupone del lector un conocimiento de los conteni-dos elementales de Geometría y centra su finalidad en orientar la enseñanzaescolar de la misma. A lo largo de seis capítulos se desgranan temas talescomo la historia, la intuición, la percepción, el entorno natural, social y ar-tístico, el razonamiento, la representación, el aprendizaje y temas específi-camente didácticos sobre el currículo, la simbolización, las clasificaciones,los problemas o la evaluación. En todos los apartados se incluyen propues-tas y actividades que pueden orientar, por su carácter paradigmático, la di-námica en el aula. En cada caso se indican los niveles adecuados, que siem-pre están comprendidos en el intervalo de la enseñanza obligatoria. Loscapítulos principales incluyen algunas investigaciones y ejercicios para el lec-tor con los cuales se pueden ampliar temas desarrollados anteriormente.

Quisiéramos que los futuros enseñantes, o educadores actuales interesa-dos en el mundo de la Geometría, compartieran con nosotros a lo largo deestas próximas páginas muchas de las vivencias y experiencias que en esteterreno hemos realízado, en los distintos niveles, durante los últimos quinceaños. Esperamos que la obra sea útil para una rehabilitación geométricaeficaz.

C. Alsina, C. Burgués, J. M." Fortuny

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Invitacióna la Geometría

Pero puesto que queremos que la cosa resulle et'idente' no:

serviremos en el escrilo, como se acoslumbra o decir, de utt

tono muy sent'illo (LzoN B¡rrlsrn ALBERTI)

Un viejo poema dedicado a Euclides decía que Euclides, ya anciano, se

:¡ a la ori l la del mar y con un esti lete iba marcando círculos y rectas sobre: arena. Las olas borraban las figuras y Euclides volvía alrazarlas, siempre

-nido en sus meditaciones. Añade el poema que un niño lo miraba diver-

:o desde detrás de una roca, fascinado de ver cómo aquel anciano traza-, sin parar, imágenes redondas de la luna...

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radamente los contornos y perfiles de cada nivel paisajístico' De hecho este

modo de proceder es común en la mayoría de profesiones que necesitan es-

tudiar lai relaciones espaciales. En este libro se pondrá énfasis a menudo

en el espacio tridimensional, aunque sólo sea para contrarrestar la influen-

cia que los medios de comunicación ejercen, al presentar siempre la infor-

macíón uni y bidimensionalmente, por la utilización casi exclusiva de los me-

dios tipográficos y telemáticos.En-ellonocimiento del espacio geométrico hay que distinguir dos mo-

dos de comprensión y expresión, el que se tealiza de forma directa, que co-

rresponde a la intuición geométrica, de naturaleza visual y el que se realiza

de forma reflexiva, es decir, lógica, de naturaleza verbul. Estos modos de

conocimiento aunque muy distintos son complementarios. El primero es

creativo y subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo. El pri-

mero está caracterizado por la intuición y el segundo por la lógica. La his-

toria del desarrollo de las Matemáticas es Ia historia de la relación entre

estos dos aspectos del conocimiento. Ambos modos del conocimiento geo-

métrico pueden considerarse como fases del desarrollo del pensamiento.

La visualización corresponde al saber ver el espacio en el cual la intui-

ción es el motor que hace arrancar y avanzar la comprensión de las distin-

tas relaciones espaciales. Ahora bien, para que se tenga un conocimiento co-

rrecto, hay que analizarlo con las leyes de la deducción lógica, para que así

se pueda expresar y comunicar por medio del lenguaje. A este respecto es

ilustrativa la siguiente cita de Einstein (en Hadamard, 1945):

<Las palabras del lenguaje, tal como están escritas o habladas, no pare-

cen desempeñar ningún papel en mi mecanismo de pensamiento. Las en-

tidades físicas que parecen servir como elementos en el pensamiento son

ciertos signos e imágenes más o menos claras que pueden ser "voluntaria-

mente" reproducidas y combinadas... Hay, naturalmente, una cierta conexión

entre estoi elementos y los conceptos lógicos relevantes. También es claro

que el deseo de llegar finalmente a conceptos lógicamente conectados es la

base emocional de este juego algo vago con los elementos anteriormente

mencionados. Pero desde el punto de vista psicológico, este juego combina-

torio parece ser, un hecho esencial en el pensamiento productivo, antes de

que hayan conexiones con una construcción lógica mediante palabras

u otras clases de signos que pueden ser comunicados a los demás.'.>'

Esta distinción éntre éstoi dos modos de conocimiento es muy útil para

sentar las bases de la enseñanza de la Geometría. Así la enseñanza de la Geo'

metría puede ser caracterizada como el estudio de las experiencias espacia'

/es. A partir de estas experiencias se puede construir el programa completo,

el cual a su vez puede ser desarrollado teniendo en cuenta los dos modos

de conocimiento aquí citados.El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a través dc la intui-

ción geométrica es lo que se llama la percepción espacial.

t.5

La percepción es el resultado de una scrie de fases de procesamiento queocurren entre la recepción de un estímulo visual y el logro de un percepto.La base de la percepción está en las operaciones cognitivas que se efectúansobre la información contenida en el estímulo.

La percepción espacial desempeña un papel fundamental en el estudiode la Geometría, reconociendo formas, propiedades geométricas, transfor-maciones y relaciones espaciales.

La percepción espacial puede compararse a la comprensión de un textoescrito. De la misma manera que en el proceso de lectura se agrupan las le-tras en palabras y éstas en frases, obteniéndose por comprensión global unainformación, la percepción espacial se ocupa de obtener un mensaje por me-dio de la <lectura comprensivo de las formas y relaciones espaciales de nues-tro entorno.

Si una persona no posee una mínima percepción espacial le ocurrirá lomismo que si se le diese un texto escrito en una lengua extranjera. Aun co-nociendo los símbolos de las letras, sus agrupaciones en palabras y las re-glas de pronunciación, podría leerla en voz alta, pero no comprendería elmensaje escrito. Así, por analogía, delante de nuestro espacio ambiental nose podría tener imágenes espaciales para manipular, ni memoria espacialpara recordar o reconocer, ni se podrían preveer las consecuencias al efec-tuar cambios en las relaciones espaciales entre los objetos.

Como sucede con la utilización de los textos escritos, hay varios nivelesde comprensión en la percepción espacial. Algunos son necesarios y bási-cos para la vida diaria, otros son requeridos por diferentes niveles de espe-cialización profesional. Así, un mínimo grado de percepción espacial esrequerido para familiarizarse con nuestro espacio vital. Un alto grado de per-cepción espacial es requerido en cristalografía, en bioquímica, cirugía, avia-ción, mecánica, escultura, coreografía y arquitectura. Por tanto, una buenaformación en percepción espacial puede mejorar nuestra adaptación a nues-tro mundo tridimensional, capacitándonos para comprender las distintasformas y expresiones espaciales de nuestra cultura.

El espacio puede ser caracterizado desde diferentes puntos de vista: fí-sico, psicológico, social, geométrico, arquitectónico, etc. En la percepción-del

espacio geométrico interesa concentrarnos en la estructura puramentegeométrica. Así, cuando observamos un cubo, desde el punto de vista de laGeometría, nuestra atención se debe concentrar en los elementos principa-les que esquematizan su forma, haciendo abstracción de su color, textura,densidad, etc. Uno se imagina la forma y disposición de sus caras, aristasy vértices. Esta exploración es simplemente visual, pero si se acompaña deuna manipulación, o incluso construcción del objeto, la comprensión de laestructura -es decir, su percepción espaciales más completa.

En el estudio del desarrollo de la percepeión espacial, de R. pallascio yotros proponen cinco etapas: la visualización, la estructuración, la traduc-

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ción, la determinación y la clasificación. Cada una de estas etapas incluyenacciones que van desde el reconocimiento de los objetos a la realización yaplicación de los mismos. El nivel de dificultades de las acciones a realizaraumentan al pasar de una etapa a otra, consiguiéndose de esta forma undesarrollo progresivo de la percepción espacial. La tipología de estas etapasse define como sigue:

l. La visualización: Después de haber observado un objeto, su visuali-zación consiste en poder memorizar (sulicientemente) imágenes par-ciales a fin de poder reconocer objetos iguales o semejantes por cam-bio de posición o de escala, entre una diversidad de objetos teniendoel mismo croquis.

2. La estructuración: Después de haber visualizado un objeto, su (es-tructuración> consiste en poder reconocer y reconstruir el objeto apartir de sus elementos básicos constituyentes.

3. La traducción: Consiste en poder reconocer un objeto a partir de unadescripción literaria y viceversa.

4. La determinación: Consiste en poder reconocer su existencia a partirde una descripción de sus relaciones métricas.

5. La clasificación: Consiste en poder reconocer clases de objetos equi-valentes según diferentes criterios de clasificación.

Estas etapas permiten a su vez desarrollar las habilidades de observar(visualización), abstraer (estructuración), comunicar (traducci6n) y organirar (determinación y clasificación). (Véase la actividad tipo de percepciónupacial.)

I.2, FINALIDADES Y OBJETIVOS EN LA ENSEÑANZADE LA GEOMETRIA

Si se tratara de encontrar un contenido geométrico para ejercer unas ac-tuaciones muy específicas, el problema'del diseño curricular sería relativa-Brente simple. Una Geometría para modistas, diseñadores gráficos, topógra-fos o ceramistas resulta bastante evidente. Pero una Geometría para todos,cn su nivel obligatorio, resulta más difícil de determinar. ¿Cuáles son aque-llos contenidos geométricos que un ciudadano normal, al margen de su la-bor profesional, debe poseer?

En la enseñanza obligatoria de la Geometría hay que fijar unos objeti-vos mínimos en función de los cuales deben programarse las actividades.En un aprendizaje dinámico de la Geometría, por sus relaciones con lasotras materias y con las propias disciplinas matemáticas, es muy difícil mar-car unos objetivos precisos para un período corto: los conceptos deben apa-rccer y reaparecer, traducirse en diversos lenguajes, tener representaciones

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plurales y sólo por esta vía cabe esperar un¿r consolidación conceptual. Asípues, parece más adecuado plantearsc objctiv<ls correspondientes a los ci-clos 6-12 años y l2-16 años. Por supuesto, cxisten unos objetivos generalesque todo ciudadano debería alcanzar tras su fbrmación básica: tener una cul-tura geométrica con visión histórica e interdisciplinar, aplicar conocimien-tos geométricos para modelizar, crear o resolver problemas reales, usar losdiferentes lenguajes y representaciones..., etc.

Un tema muy actual en los medios educativos es distinguir entre lo quees útil de aprender y lo que es deseable de enseñar.

El concepto de utilidad en la enseñanza matemática está ligado necesa-riamente al concepto de futuro. Se forman ciudadanos del mañana y pro-fesionales del futuro a lo largo de un proceso cada vez más amplio en eltiempo. Y los cambios de todo tipo son vividos hoy por la sociedad con unavelocidad vertiginosa. Por todo ello el enseñante debe encontrar el puntojusto de enlazar con los intereses y las motivaciones del momento presente,pero sin subordinarse a una moda, un aparato o un material que bien se-guro desaparecerán del mapa en un término de tiempo relativamente corto.Aprender el concepto de escala, por ejemplo, es tremendamente útil. Puedemotivarse con mapas actuales, con dibujos, con patrones de vestidos..., yestá claro su uso futuro. En cambio, jugar a programar en un lenguaje delmomento un determinado juego gráfico de cambio de escala puede resultarinútil si es previsible que dicho lenguaje, y el ordenador donde se imple-menta, van a quedar obsoletos en cinco años.

Quizás sería más fácil retratar lo inútil. La inutilidad tiene diversas cau-sas: antigüedad (regla de cálculo, tabla de logaritmos, elipsógrafo...), usomuy restringido (antiguas cartas de navegación, diseño de zapatos...), resul-tados no aplicables a situaciones diversas (recta de Euler, circunferencia delos nueve puntos...), elementos subordinados a una tecnología (movimien-tos en una máquina de coser, cálculos de una nevera...), etc., y lo que esmás importante: lo extraordinariamente inútil es aquello no adecuado ni alnivel ni a la capacidad del que aprende. Por ejemplo, las construcciones conregla y compás son útiles y formativas pero son inútiles a una edad en queno puedan manejarse manualmente y con soltura dichos instrumentos o noesté asumida la definición de recta y circunferencia.

En definitiva, será deseable en la enseñanza de la Geometría aquello quesea útil con rango futurible y pueda motivarse desde la actualüad: razonarcorrectamente (deductivamente e inductivamente), representar, abstraer, re-lacionar, clasificar y resolver son verbos claves en el abanico de lo deseable.Aquí haremos especial énfasis, en los objetivos terminales propios de cadaciclo, debiéndose distinguir en cada caso tres tipos de objetivos: los concep-tuales, los de procedimientos y los de actitudes. Tan importante puede sercalcular el área de un triángulo, como saber el proceso para hacer una pers-pectiva o tener un criterio de autoevaluación de los conocimientos.

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Hay algunas peculiaridades que diferenciarán los objetivos en los dos ci-clos aludidos. Por ejemplo, en el ciclo 6-t2 años los objetivos terminalesson mucho más borrosos, forman necesariamente un conjunto en evolución:no existe un discurso deductivo, ni tienen sentido ciertas abstracciones. nise resuelven problemas en un sentido formal, etc. En cambio. en la eta-pa 12-16 la estructuración de objetivos puede ser más diáfana. Así pues pro-cederemos ahora a listar por ciclos los objetivos terminales de conceptos yde procedimientos, que, a nuestro entender, deberían ser los mínimos de-seables. (En todos los l istados el orden no presupone ningún orden concep-tual.)

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OBJETIVOS TERMINALES

1. Objetivos terminales de conceptos (6-12 años)

. Localizar figuras planas en los entornos reales.o Distinguir figuras y encontrar relaciones geométricas entre ellas que posibiliten cla-

sificaciones sencillas (igual longitud o área, etc.).r Enumerar, describir y contar los elementos de una figura plana.o Generar figuras a partir de otras y diseccionar figuras.. Clasificar los triángulos y los cuadriláteros.. Comparar y ordenar según longitudes y áreas.o Poseer nociones y métodos de medida, y relacionar las magnitudes de longitud y

área. Algoritmos de cáLlculo de áreas.. Medir ángulos de polígonos.¡ Conocer las transformaciones elementales del plano y sus propiedades más simples.

2, Objetivos terminales de procedimientos (6-12 años)

. Comparar, identificar y relacionar figuras según criterios diversos.o Emplear transformaciones geométricas planas para generar y clasificar figuras.¡ Iniciarse en la utilización correcta de instrumentos de dibujo para representar fi-

guras planas (regla, compás, escuadra, cartabón...).. Elaborar planos y representaciones sencillas.e Construir modelos de figuras lineales, planas y espaciales.. Aplicar las nociones y métodos de medida de longitud y área al resolver proble-

mas reales y al deducir algoritmos de calculo (fórmulas).

3. Objetivos terminales de actitudes, valoresy normas (6-12 años)

o Mostrar inclinación por interrogarse y buscar respuesta a las cuestiones planteadas.

' Inquirir, preguntar hasta obtener la información suficiente y organizarla para serutilizada.

. Valorar el esfuerzo y la planificación pa,ra descubrir y conocer.o Reconocer la elaboración de modelos facilita el estudio de la realidad.. Utilizar correctamente los instrumentos geométricos para representar figuras pla-

nas y resolver problemas.. Conocer los términos que designan figuras, elementos y relaciones geométricas.

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Algún comentario puede ser oportuno. Nótese que se enfatiza en estapropuesta el estudio de la Geometría plana y de la medida en longitud y

área, pero en absoluto se niega la vivencia del espacio tridimensional quees el gran objetivo de la Geometría. Se trata de una estrategía para llegara é1, y toda actividad de construcción de modelos espaciales (que incluyanf iguras planas conocidas) o de ver movimientos reales es absolutamente en-riquecedora.

4, Objetivos terminales de conceptos (12-16 años)

o Describir situaciones reales, fenómenos y experiencias con diferentes lenguajes geo-métricos (palabras, símbolos, signos, fórmulas, expresiones, figuras o graficos).

o Reconocer magnitudes y conocer unidades en el caso de longitudes, superficies yvolúmenes, sabiendo métodos directos e indirectos para medir.

r Distinguir figuras lineales, planas y espaciales, describiendo sus elementos y ha-llando las relaciones de igualdad, incidencia, perpendicularidad, ángulos, simetría,etc., entre dichos elementos mediante el lenguaje adecuado.

r Reconocer y explicar figuras congruentes, semejantes o equivalentes según un cri-terio dado (en área o volumen).

¡ Definir conceptos y enunciar propiedades geométricas, tanto planas como esp¿r-ciales, sabiendo deducir o inducir algunas fundamentales.

r Enunciar y explicar las relaciones métricas del triángulo y las propiedades sobrelas que éstas se basan (Thales, Pitágoras...).

r Conocer y situar en el tiempo aspectos relevantes de la historia de la Geometríay su relación con el progreso de la Humanidad.

5. Objetivos terminales de procedimientos (12-16 años)

¡ Realizar observaciones sistemáticas, clasificarlas, esquematizarlas y expresarlas endiferentes lenguajes (símbolo, palabra, fórmula, figura...) sabiendo realizar Ioscambios de lenguaje.

¡ Usar los métodos inductivos y deductivos.r Relacionar la Geometría con las otras disciplinas.r Medir por métodos directos e indirectos longitudes, ángulos, superficies y volú-

menes, escogiendo la unidad adecuada e indicando el grado de precisión obtenido.r Aplicar la proporcionalidad directa o inversa a la resolución de problemas geo-

métricos.¡ Resolver problemas por tanteo, por método analítico y por método gráfico, rea-

lizando la comprobación de las soluciones obtenidas y la discusión de las mismas.¡ Clasificar y ordenar figuras planas y espaciales.r Construir modelos de figuras lineales, planas y espaciales.o Hacer construcciones gráficas planas con instrumentos de dibujo.r Hacer representaciones planas del espacio.r Usar las transformaciones geométricas (isometrías y semejanzas) para clasificar, ge-

nerar y analizar hguras.o lnterpretar representaciones y deducir datos de las mismas (planos, mapas...).

¡n

?.1

. Usar y calcular funciones trigonométricas.o Estudiar figuras geométricas, gráfica y analíticamente con especial énfasis en los

triángulos.

6. Objetivos terminales de actitudes, valoresy normas (12-16 años)

o Mostrar disposición a interrogarse en cualquier situación, formulando hipótesis ycomprobarlas experimentalmente o razonándolas.

. Criticar la información que se recibe procurando contrastarla con los métodos oinformación que se posea.

. Reconocer la necesidad de utilizar instrumentos de medida y dibujo, tipos distin-tos de papel, etc.

r Valorar positivamente las actividades destinadas a resolver cuestiones o descubrirhechos lo que comporta planificar, buscar medios adecuados, diseñar experien-cras...

. Abordar las situaciones problemáticas haciendo uso de todas las técnicas a su al-cance: medir, construir, dibujar, etc.

o Valorar positivamente el uso correcto del vocabulario estudiado, en orden a con-seguir claridad y concisión.

1.3. ALGUNAS REFLEXIONES HISTORICAS

Cuando una disciplina como la Geometría tiene un prestigio milenario,cabe hacer unas reflexiones, que aunque sean pinceladas, sirvan para unaactuación futura.

Los problemas de medidas (longitudes, áreas, volúmenes...) motivaronel nacimiento de la geometría empírica. Pronto se añadieron a estas nece-¡idades las de usar ciertas figuras en procesos constructivos y hacer repre-sentaciones gráficas y esculturales. Podemos encontrar en la cultura egipciauna culminación de geometría aplicada tanto ligada a la resolución cotidia-na de problemas como a la creación artística. Su enseñanza fue restringidaa una minoría de Ia jerarquizada sociedad egipcia.

Entre los siglos vl y III a. C., se da en la sociedad griega el paso decisivodel empirismo al carácter científico. Según Proclo: <Thales fue el primeroque, habiendo estado en Egipto, introdujo esa doctrina (de la Geometría)en Grecia.> A Thales se unirían, junto con sus respectivas escuelas, nombrcstan singulares como Pitágoras, Heráclito de Efeso, Hipócrates de Quío, Eu-doxo, Euclides, Arquímedes, Apolonio, etc. Los resultados fueron cuantio-¡os, los nuevos métotlos pata atacar problemas brillantes y el grado de abs-tracción ejemplar. El conocimiento geométrico pasó de maestros a discí-pulos pero el acceso al mismo era ya más un problema de vocación y deacercarse a un núcleo de estudio que no un problema de estirpe. Hayque remarcar en este período los libros denominados los Elementos deEuclides. Los Elemenfos fueron libros de texto de la época, usados por losalumnos de Euclides en su escuela de Alejandría. Pero con ellos se hizo algomás que un texto. Euclides recoge gran parte del conocimiento geométricode la época y en lugar de limitarse a una recopilación, estructura todo el¡aber en forma lógico-deductiva: nociones comunes, postulados, axiomas,teoremas..., la Geometría adquiere rango universal. Los Elementos se con-rolidan como el texto <definitivo>, cuyo prestigio y uso se prodigará duran-te dos milenios.

Hay algunas características de la Geometría euclidiana que cabe resal-tar. Por una parte, la ambición geométrica de creer ser la disciplina esencialpara la descripción de la realidad. Por otra parte, se privilegian las trans-formaciones rígidas (que clasifican a las figuras por superposición) y se usaun lenguaje sintético al margen del cálculo efectivo aritmético. Estos as-pectos brillantes representan a su vez unas limitaciones: hay fenómenos yrepresentaciones no resolubles en términos euclidianos y se acentúa un di-vorcio con la Aritmética y en cierta forma con la medida práctica. La Geo-metría encarna el gran modelo del rigor, algo a lo que Ia Filosofía ylos otros saberes deberían tender. Su enseñanza usa de interrogacionessocráticas, de dialogos peripatéticos, de esquemas trazados con estileteoobre arena y no está exenta de escritura. El énfasis está más en el razona-

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miento deductivo correcto que en la aplicabil idad, o la exactitud de la re-presentación.

A partir de ahí la Geometría como la Aritmética formarán apartados in-discutidos e indiscutibles de cualquier formación académica. Herencia reco-gida por el Imperio Romano que luego se refugiará en las paredes de mo-nasterios medievales. Las traducciones del griego al latín d,e los Elementosdesempeñará un papel esencial en la difusión del conocimiento geométricoen Europa y tendrá una trascendencia notable en posibilitar el Renacimien-to, como transformación cultural y social. En el caso árabe es curioso elavance de la Aritmética hacia la algebrización y un remarcable conocimien-to empírico de Geometríapara la generación de figuras artísticas. Sin em-bargo, el conocimiento arresanal de frisos o mosaicos no representa en ab-soluto un progreso científico, si acaso una base para una futura creación.

El arte en el siglo xvl será el gran motor de nuevas geometrías para larepresentación: la Proyectiva y la Descriptiva son nombres con origen co-mún en las técnicas perspectivas que los Elemenros habían obviado. La Des-criptiva pondrá el énfasis en la resolución gráfica, la proyectiva en los mo-delos no gráficos. A Ia superposición euclidiana se le unen las proyeccionesy las perspectivas. Pronto lo que fuera un método artístico se convertiráen la base de una nueva Geometría al servicio de las construcciones y for-tificaciones. Esta Geometría necesitará del cálculo efectivo junto a la des-cripción sintética de formas y transformaciones. La aritmetización de la Geo-metría encontrará su punto feliz en Ia Geometría Analítica de Descartes: nú-meros y elementos geométricos se integrarán en un discurso perfecto, cami-no de una progresiva algebrización de la Geometría. El divorcio Aritméti-ca-Geometría consumado en parte en los Elementos deja de existir. En laenseñanza surgirá el gran debate entre una enseñanza religiosa anclada enel clasicismo y la perseverancia en los Elemento,s y otra tendencia más abier-ta a las nuevas concepciones de la época.

Con el tiempo irán surgiendo aún nuevas geometrías: algebraica, dife-rencial, probabilística o integral, geometrías no euclideas, combinatoria, etc.Son modelos con los que describir nuevos fenómenos que requieren una ar-tillería conceptual matemática más sofisticada. A finales del siglo xrx seráFélix Klein quien tenga la genial idea (Programa de Erlangen) de intentardefinir un concepto unificador de geometría del que todos los adjetivos his-tóricos resulten casos particulares: en Geometría se considerará un espacio(recta, plano, espacio tridimensional, superficie...) y unas transformacionesque permitan clasificar figuras (figuras equivalentes serán las que se puedapasar de una a otra usando una transformación de la gama considerada).Los conceptos genuinos de cada geometría serán los que se conserven (que-den invariantes) por las transformaciones.

El desarrollo de las geometrías en la investigación ha seguido siendo unaconstante vital de la Matemática del siglo xx, habiendo sido remarcable el

24

cmpuje dado por Hilbert. Este esplendor en investigación ha contrastadocon un fluctuante cambio en la enseñanza elemental de la Geometría.

Centremos unos momentos el discurso en el caso español de las últ imas

décadas a nivel obligatorio. En la escuela tradicional, de pupitre con tinte-ro, pizarra y estufa de leña la Geometría, quedó esencialmente relegada alos aspectos métricos (cálculo de áreas y volúmenes de figuras planas o es-paciales), una introducción a la trigonometría y una fuerte tendencia a la

resolución automática de problemas. En algunos casos se dieron incursio-nes a unas ideas axiomáticas que dejaban perplejos a los estudiantes obli-gados a memorizar y recitar unas propiedades que por evidentes tenían unaoscura importancia. En el aspecto algebraico se primó más la resolución deccuaciones y sus sistemas que su interés geométrico. Se dieron ciertas ini-ciativas muy interesantes (véase P. Puig Adam, 1958, 1967).

Globalmente la situación empeoraría años después. Con el nacimientode la denominada Matemática Moderna (debe recordarse que el arte gótico

fue l lamado en su día arte moderno) la Geometría en la enseñanza llegó a¡u estado más lamentable: ¡el olvido!, frente a unos diagramas y enfoqucsconjuntistas que no supieron ni conservar de las viejas tradiciones lo bucnttque en ellas podía haber. Progresivamente, la <modernización> fue dejandopaso a las reflexiones crít icas y a la que podríamos llamar (postmoderniza-

ción>. Aquí ha resurgido con fuerza el valor de la Geometría en el currícu-lo. Nuestra época, sumida en un eclecticismo integrador, ha reivindicadotanto valores antiguos (el cálculo mental por ejemplo) como nuevos enfo-ques (el material y el Iaboratorio como base de aprendizaje). Hoy la Geo-metría vive de nuevo un momento de esplendor: todo el mundo reconoceru calidad y su conveniencia. No obstante el debate de su didáctica está hoypor hoy abierto.

- l

Entorno

Hay que mirar mucho para llegar a ver (ANtotNE nES¡.INI Exup¡ny)

La palabra entorno aglutina realidades sustancialmente diversas: hay unentorno natural ajeno a la creatividad humana y hay un entorno artificialque el hombre ha creado con su ciencia, su tecnología y sus artes..., el viejosueño de la Geometría fue precisamente ser el lenguaje adecuado para des-

cribir y transformar estos ent'ornos en sus vcrticntes más elementales y a lavez más profundas: las dimensiones, las f ulrnas, los movimientos, las rela-ciones cualitativas y cuantitativas, etc.

El entorno, en su sentido más amplio, ha sido y seguirá siendo, el granreto, manantial y fuente de los estudios geométricos, no sólo para motivardescripciones y modelos sino, lo más interesante, para que con dichos re-sultados geométricos pueda incidirse en la transformación de la realidad.

En la enseñanza, demasiado a menudo se ha confundido el entorno conel aula, la realidad con la pizarra. Este capítulo reivindica esencialmente eluso de los entornos humanos como material para la educación geométrica.

2.I. GEOMETRIA Y NATURALEZA

2.1.1. Los fenómenos naturales

EI entorno natural siempre ha sido fuente de estudio e inspiración de laactividad humana. Los orígenes de la Geometría hay que buscarlos en lassituaciones y problemas del entorno, como los que tenían las antiguas civi-lizaciones egipcias con las crecidas e inundaciones de las tierras producidaspor el río Nilo.

Multitud de fenómenos naturales han hecho crecer, desarrollar y aplicarlos conocimientos geométricos para su descripción, control y estudio. Entreellos cabe destacar los problemas de medición del tiempo, de localización ysituación geográfica, la descripción y reproducción de modelos de paisajes,la forma, el tamaño y el crecimiento de los seres vivos, el análisis de la cons-titución de la materia, la explicación del cosmos, etc.

El estudio de los hechos naturales desde una perspectiva geométrica, ade-más de tener un intrínseco interés cultural, tiene un enorme interés pedagó-gico de caÍa a motivar la enseñanza-aprendizaje dg la Geometría. Se puedehablar en este sentido de una fenomenología didáctica tal como la define elprofesor H. Freudenthal (véase Freudenthal, 1983).

2.1.2. La actividad espacial en el entorno natural

Básicamente podemos enumerar tres tipos de acciones geométricas refe-rentes a la actividad espacial en el entorno: el análisis cuantitativo, el aná-lisis figurativo y el anólisis estructural.

Por análisis cuantitativo entendemos operaciones en las que se realizanmedidas numéricas, como son las longitudes, amplitudes, áreas, volúmenes;las que expresan relaciones numéricas, como son la determinación de razo-

28

nes y proporciones y las de elección de sistemas de referencia, con el usode coordenadas, etc.

En cuanto al análisis figurativo, es el que hace referencia al tipo de for-ma independiente del tamaño y el material, como es el estudio de la regu-laridad, de la simetría, de las transformaciones geométricas, el caos, etc.

Por último, en el análisis estructural nos ocupamos de la estructura for-mal de los objetos, analizando sus esquemas de constitución, sus propieda-des cualitativas, como son las relaciones topológicas, proyectivas, afines yeuclídeas.

La actividad espacial puede enmarcarse en dos tipos de procesos: el quecorresponde ala traducción en clave geométrica de los fenómenos y el quefavorece el desarrollo de Ia intuición geométrica,

La actividad espacial en el entorno constituye el soporte adecuado delproceso de conceptualización espacial, las observaciones y experimentacio-nes geométricas con los objetos y sistemas de la naturaleza propician el co-nocimiento operacional de las nociones espaciales y permiten estructurar lasoperaciones mentales que da lugar a la representación espacial (Fig. 2.1).

El comportamiento espacial es distinto según el tamaño del espacio qucse considere. Se puede distinguir cuatro tamaños de espacio donde las ac-ciones geométricas se realizan de distinta manera:

. EI micro-espacio: Es el que corresponde a la Geometría con el uso del mi-croscopio. Las actividades propias son las de creación de modelos teóri-

Figura 2.1. Esquema del proceso de conceptua[z¿gión del espacio.

UNiVEFrSlünD DigTr i ITAL -FP'ANttSt0 105[ t iI f 'ALrJfrS

5iSTF¡flf, 1¡¡ ri l i :; i lr l i i : i '-A'i

Representaciónmental

29

cos. Es el ámbito de estudio de las cstlr¡ctr¡ras microscópicas: moléculas,virus, células, etc.

o El meso-espacio: Es el espacio de los uh.ictt)s que se pueden desplazar so-bre la mesa. Permite efectuar manualmcntc exploraciones geométricas ytransformaciones. Corresponde al estudio de rocas, plantas, flores, etc.

¡ El macro-espacio: Se trabaja con objetos entre 0,5 y 50 veces el tamañodel sujeto. Se pueden efectuar representaciones gráficas. Es el ámbito delos trabajos de campo, cortes topográficos, etc.

r El cosmo-espacio: Pone en juego los problemas de referencia y orienta-ción. Su ámbito de estudio corresponde a los fenómenos ecológicos, geo-gráficos, topográficos y astronómicos (Cuadro-ejemplo 2.1).

CUADRO-EJEMPLO 2.I

Posibles actividades geométricas en el entorno natural

(l) Véase C. Alsina y J.M. Fortuny, 1988.(2) Véase J Giménez y J.M. Fortuny, 1987(3) Véase actividad tipo <El itinerario misterioson.

30

ACTIVIDAD TIPO DE TRABAJO DE CAMPO

<El itinerario misterioso>

. Nivel: 12-14 años.

e Objetivos: Práctica de conceptos geo-métricos sobre el terreno con especialénfasis en los aspectos de medidas li-neales, superficiales y de ángulos, y te-niendo en cuenta aspectos físicoscomo la gravedad, los puntos cardi-nales, la trayectoria solar..., etc.

. Materiales: Regla de 50 cm, cinta mé-trica de 20 m,lápiz, transportador deángulos grande (de pizarra), brújula,reloj.

o Motivacíón: La actividad se titula .E/itinerario misterioso. Hay un puntode SALIDA y una META de llega-da, y diversos lugares donde cadaequipo encuentra las instruccionespara poder l legar al punto siguiente.A parte de las instrucciones de pasarde un lugar a otro pueden añadirse so-bres plantean-do cuestiones diversas ograduando un problema en varias eta-pas (completar datos a Io largo del iti-nerario). Esta variante permite prac-ticar, a parte del descubrimiento delitinerario en sí, cualquier tipo de co-nocimientos. Si bien el itinerario po-

dría ser urbano, la actividad es másrecomendable en el campo. Cadaequipo participante deberá poseer elmaterial mencionado.

Instrucciones tipo a plantear en losdiversos puntos son:

a) Seguir en dirección norte 10 me-tros y girar a la derecha un án-gulo de 30 grados.

á) Determinar el árbol más cerca-no a éste (en donde se halla lapresente instrucción). Buscar elpunto medio entre estos dos ár-boles. La siguiente instrucciónse hal la en un punto de la cir-cunferencia de centro este pun-to medio y radio 5 metros.

c) Andar en dirección Nordcstchasta hal lar la siguiente instruc-ción.

d) Calcular el perimetro de cstccampo donde están marcadoslos cuatro vértices con unos pa-los. Una vez hecho dicho cálcu-lo andar en dirección sur unadistancia igual al perímetro cal-culado.

Los problemas adicionales a facilitaren los puntos adecuados pueden estarrelacionados con las formas de los pro-pios cartones donde se encuentran lasinstrucciones o pueden ser de tipo inter-disciplinar aprovechando el entorno na-tural o del tipo cacería de formas (véa-se la actividad tipo del apartado 2.3).

2.2. GEOMETRIA, CIENCIA Y TECNOLOGIA

El hombre en su afán de mejorar las condiciones de vida de su hábitatha desarrollado los conceptos geométricos de cara a tener un mayor controly explicación de los fenómenos naturales. A este fin ha elaborado teorías ymodelos científicos para describir de forma coherente la evolución de di-chos fenómenos. Por otra parte ha desarrollado toda una tecnología para

TAMAÑO DEL ESPACIO

Micro-espacio Meso-espacio Macro-espacio Cosmo-espacio

6l

(J

Analizar las dis-tanclas y propor-

c lones lntera-tómicas de unmodelo molecu-lar o vírico

Anal izar la se-cuencia de losángulos de creci-miento de hojasde ramas de dis-tintos árboles.

Tomar las medi-das necesarias deun pequeño mon-tículo de los alre-dedores para po-der realizar su al-zado topográf i -co.

Determinar lasmedidas necesa-nas para cons-truir a escalamodelos de lasdistintas conste-laciones.

BO

Visualizar y estu-diar los ejes yplanos de sime-tr ía de una es-tructura cristali-na o vírica.

Clasificar segúnlos dist intos t i -pos de simetríaf lores, p lantashojas, caracoles,animales. etc.

Construir unamaqueta topo-gráfica y analizarsu forma, desni-veles, cortes, fa-llos, etc.

Hacer una obser-vación astronó-mica para locali-zar en la esferaceleste dist intasconstelaciones.

o

Construcción demodelos estruc-turales de crista-les, o v i rus( l ) .

Explorar y hacerun grafo de tipode <árboración>de distintas ra-mas de árbo-les (2).

Diseñar e inter-pretar mapas to-pográficos (2)

Tomar las refe-rencras y onenta-crón necesar iapara colocar enuna pequeña cú-pula geodésicalos modelos delas dist intasconstelacio-nes (2).

,1,

3l

ayudarle en su acomodación al entorrr.. l l l ¡rirpcl de la Geometría en estafenomenología científ ica y técnica hir sit lr t: l dc darle contenido formal. Asíse ha producido una interacción entrc los ¿rv¡rnccs científ icos y tecnológicosy Ios progresos en el estudio de los conccptos geométricos. Esta interacciónentre ciencia, técnica y Geometría nos propolciona un marco de referenciabásico para enfocar el proceso de la cdt¡cación geométrica. Las situacionesde aprendizaje de la Geometría se ven I'ucrtcmente motivadas cuando unoparte de las referencias de los fenómenos científicos y tecnológicos.

A la hora de planificar situaciones de aprendizaje es muy útil disponerde una categorización de estos fenómenos.

Entre los modelos científicos en que la interacción con la Geometría esmás evidente podemos distinguir: los modelos cosmológicos, que nos dan

CUADRO EJEMPLO 2.2

Posibles actividades geométricas en el entorno natural

(l) Véase K. Miyazaki, 1986.(2) Véase la Actividad tipo 2.2 <Las Máquinas>(3) Véase la revista P/ol núms. 38 y 39.

32

explicaciones de la forma del universo; los modelos estructurales, que ana-lizanla constitución interna de la materia, tanto desde el punto de vista quí-

mico, biológico o geológico; los modelos eyolutivos, que nos describen lasleyes físicas; los modelos numéricos, que nos describen la geometría ocultade la naturaleza. como es el caso de la teoría de los fractales, etc.

En cuanto a los fenómenos tecnológicos, la Geometría se hace presenteen el diseño y uso de instrumentos cotidianos, en el funcionamiento de má-quinas, en las estructuras tecnológicas de los puentes, cubiertas, edificios,etcétera, en los modelos energéticos de transformación de la energía, en eldiseño asistido por ordenador, en la robótica, automática, etc.

Todo lo que se ha dicho relativo a la actividad espacial, a la geometri-zación, al comportamiento, a la representaciín espacial y al tamaño del es-pacio en el entorno natural sigue siendo válido en el entorno artificial de laciencia y la técnica; por tanto, con la adaptación l iteral de estos componen-tes nos queda definido aquí la fenomenología didáctica de la ciencia .y latécnica para la educación geométrica.

ACTIVIDAD TIPO DEL ENTORNO CIENTIFICO Y TECNICO

<Máquinas>

c Nivel: 13-14 años.

. Objetivos: Describir y esquematizar laestructura geométrica de diversas má-quinas simples.

. Materiales: Tornillo hexagonal, llaveinglesa, balanza de brazos graduadosy pesas.

t Motivación' Propuesta de estudio dela geometría subyacente en una serie

de máquinas simples: llave inglesa, ti-jeras, poleas, engranajes... Todas lasmáquinas están basadas en la ley dela palanca. Interesa especialmente ha-cer reflexionar sobre los esquemasgeométricos que regulan su funciona-miento.

c Ficha del alumno:

l. Desatornillar un tornillo con la lla-ve inglesa. Describir la manera dehacerlo con el mínimo esfuerzo.

2. Si esquematizamos el tornillo porun punto y la llave inglesa por unasemirrecta, ¿cómo podemos esque-

matizar el esfuerzo que hacemoscon la mano para aflojar el torni-llo? Completa el correspondienteesquema geométrico (Fig. 2.2):

Figura 2.2

3. Describe otros objetos o situacio-nes técnicas en que hay que reali-zar esfuerzos parecidos al de aflo-jar un torni l lo.Completa la s iguicntc tabla deesquematizaci i rn gco rrrÓt r ica(Fig. 2.3).

TAMAÑO DEL ESPACIO

Micro-espacio Meso-espacio Macro-espacio Cosmo-espacio

-.1O

(h

F(J

6l

Ál

L)

Analizar el nú-mero de esferasiguales y mutua-mente tangentbs,necesarras parad eterminar unmodelo atómicode un elementoquímico.

Analizar numeri-camente la pro-p orcion al id adinversa de la leyde la palanca.

Contar el núme-ro y el tipo debarras paraconstruir cúpu-las geodésicas.

Localizar puntosgeográficos en elglobo terrestredadas sus corres-pondientes coor-denadas.

a¡

Visualizar y estu-diar los ejes yplanos de sime-tría de los mode-los atómicos dediversos elemen-tos químicos.

Describir los es-quemas geográfi-cos de diversasmáquinas srm-ples.

Visualizar y lo-calizar los ejes desimetr ía de or-den5y6deunacúpula geodési-ca.

Compara el cam-bio de forma dediversas zonasgeográf icas se-gún las diversasproyeccrones

cartográficas.

I

O

Construir diver-sas estructurasatómicas de ele-mentos químicosmediante la aglo-meración de es-feras ( l).

Estudiar los dia-gramas de fuer-zas de diferentesmáquinas srm-ples (2).

Construir dadoel grafo de inci-dencia una cúpu-la geodésica.

Interpretar yconstruir d i fe-rentes mapa-mundis(3).

.1.1

Objetos reales Acciol tc¡ l isrr i r r Esquemas geométricos

JAbrir unrr ¡ rLrcr la

Pedalear enuna bicileta

4. Si la siguiente Fig. 2.4 representauna balanza con 3 arandelas colga-das en la graduación 4 del brazoderecho, ¿cuántas aranceles se de-ben colgar en la graduación 3 delbrazo izquierdo para que la balan-za esté en equilibrio? ¿Y si quere-mos colgar las arandelas en la gra-duación 6 del brazo izquierdo?

¿Qué propiedades podemos obser-var en la acción de la balanza quesean comunes con las de la tablade esquematización geométrica dela actividad núm. 3?

Figura 2.4

2.3. GEOMETRIA Y ARTE

Arte y ciencia comparten un factor común esencial: la creatividad comomotor generador de formas e ideas. Pero no siempre se da la feliz circuns-tancia de que un conocimiento científico ayude a una realización artística ode que una obra de arte motive un análisis riguroso. Las artes y las geome-trías son un caso de feliz coexistencia en la cultura del hombre.

La Geometría ha aportado a las artes plásticas y a la Arquitectura unagama interesante de elementos básicos: formas y figuras, métodos paratra-zarlas o edificarlas y sistemas de representación (axonometrías, perspecti-vas, p lanos.. . ) .

La componente geométrica no agota el planteamiento artístico: es sim-plemente una componente más de la obra. Las dimensiones geométricas apa-recen en la obra junto con otras dimensiones sensibles como laluz, el coloro la textura. Es de la conjunción feliz de estas componentes de donde surgela capacidad de provocar emociones, es decir, arte.

Sin geometría espacial no hubiesen sido posible las pirámides, ni los tem-plos clásicos, ni las catedrales y palacios..., ni los rascacielos. Sin el cono-cimiento de las figuras no hubiese existido una teoría de la proporción enpintura, ni realismo, ni cubismo. Los ejemplos de geometría versus arte sonapabullantes. Y cabe notar que no sólo existe una geometría visible en mu-chas obras de arte sino también una geometría complementaria, a menudoinvisible, que puede rodear a una obra. Así, por ejemplo, en una obra tea-tral puede no haber geometría pero ésta se encuentra en la forma e inclina-ción del escenario, en la distribución de asientos al servicio de la visibilidad,en la forma de la sala oara facil i tar Ia acústica. etc. En definit iva. v aunoue

34

Figura 2.3

35

se haya repetido hasta la saciedad, tott:¡tt lo Geometría no existiría arte,pero sin ella tampoco.

Una situación recíproca interesantc cs notar lo que el arte ha motivadoen el terreno geométrico, sugiriendo problcmas que han dado lugar a nue-vos contenidos matemáticos. Las Geornctrías Descriptiva y Proyectiva noexistirían si no se hubiese planteado cl pr<lblema de pintar en un cuadrouna realidad tridimensional o hacer el plano de un futuro edificio; ciertaspartes de la Teoría de la Simetría no se hubiesen ideado si no hubiesen exis-tido previamente mosaicos y frisos, etc.

Por todo lo dicho parece de enorme interés didáctico planfearse el usodel entorno artístico en la enseñanza de la Geometría elemental. En este sen-tido vamos a comentar una serie de actividades nosibles:

a) Observación directa de elementos geométricos artísticos

Las visitas a edificios singulares históricos y a los museos constituyen unmaterial de primer orden para descubrir elementos geométricos globales oen detalles (plantas, arcos, cúpulas, frisos, mosaicos, escenarios, bancos, ro-setones, f i l igranas, farolas, perspectivas, volúmenes, etc.). Por supuesto hayque elegir convenientemente los lugares visitados y no restringir Su uso a lasimple observación visual. Cabe ofrecer explicaciones sobre el contexto cul-tural de la obra, proponer trabajos a desarrollar posteriormente con biblio-grafía o entrevistas, tomar notas gráficas, hacer clasificaciones de estas no-tas según formas o tamaños, etc.

La observación directa puede también complementarse con fotos, dia-positivas, videos, postales, etc., con Ia finalidad de dar una visión más uni-versal y atemporal de la Geometría en las Artes y Ia Arquitectura. En estesentido una selección de imágenes del arte egipcio, griego, romano, árabe(¡La Alhambra!), románico, gótico, renacentista, barroco y moderno puedeser un viaje apasionante por la Geometría y la belleza.

b) Observación indirecta de elementos geométricos artísticos

Se trata de descubrir elementos geométricos como trazados reguladores,proporciones, f iguras, etc., que no son observables a simple vista. Para ellose tendrá que disponer de un plano o un alzado de un edificio, o una foto-grafía a escala conveniente de un cuadro o fachada, o una maqueta de unaescultura..., o tomar datos de mediciones en el propio lugar (espacio escé-nico y coreográfico). Mediante estas representaciones gráficas o fotográfi-cas o con los modelos se procederá a descubrir relaciones geométricastomando medidas (y pasándolas a medidas reales con cambios de escalaadecuados), trazando con regla y compas rectas y círculos determinadospor los elementos singulares (columnas, arcos, caras, etc.). Al final podrá

36

llegarse a descubrir aquello que la obra esconde, la geometría profunda,

aquellos diseños que el artista hizo antes de la realización concreta.

c) Creación artística basada en Geometría

Aquí el objetivo es superar el <encantamiento> histórico de las activida-

des anteriores para dar paso a la plena creatividad: inventar mosaicos, ha-

cer frisos, maquetas escultóricas con cubos (policubos), bordar superficies

con hilos, esbozar figuras humanas a proporción, etc.

Estos tres tipos de actividades requieren por supuesto una adecuación a

cada nivel educativo y adaptarse a los conceptos geométricos previamente

desarrollados en clase.

ACTIVIDAD TIPO DE GEOMETRIA Y ARTE

o Nivel: l2-14 años.

c Objetivos: Captar figuras geométricas

a partir de la realidad artística. lnclu-yendo a las formas planas y l inealesformando parte de las espaciales que

las contienen. Primera aproximacióna la idea de dimensión. Analizar las

propiedades de las figuras captadas.Reproducciones con diferentes mate-

riales. Clasificaciones simultáneas.

. Materiales.' Entorno arquitectónico

de un cierto valor artíst ico. Fichas derecogida de datos. Materiales diversosque permitan reproducir algunas delas formas.

. Motivación; La actividad se plantea alos alumnos como una <cazarr de for-

mas en un espacio exterior limitadoconteniendo edificios de interés artís-

tico. Previamente a la salida se trata-rá la idea de forma como una simPli-

ficación de la realidad que prescinde

de la materia y del tamaño. Se discu-tirá, sobre ejemplos concretos, cómo

la idea de forma puede provenir deobjetos tangibles o ser producida por

movimientos, discontinuidades, agu-jeros, efectos ópticos... Igualmente,

como de los objetos, se pucdc tcrtcruna vis ión total , parcial , un dctrr l lc ,un corte, etc. Formas l incalcs y pl:r-

nas aparecerán como integrantcs t lcformas espaciales.

Se incitará a los alumnos a la cap-tura de formas de todo t ipo, así como

de aquellas que componen un solo ob-jeto al aplicar diferentes grados desimplificación.

Para facilitar la recogida de datosse dará a los alumnos fichas en las que

constará:

- Cazador.- Fecha.- Objeto.- Situación.- Dimensiones.- Grado de simplificación (de qué

se ha prescindido).- Optica de observación (global,

detal le.. .) .- Dibujo/s (vistas laterales, glo-

bales. . . ) .- Propiedades (a rel lenar en

clase).

También se les entregará un planoy los l ímites de la zona a recorrer.

37

A partir de las formas encontradasse procederá a un análisis conjunto delas propiedades más elementalescomo:

- ¿Cuáües tienen caras planas?- ¿Contienen rectas?- ¿Tienen desarrollo plano?--- ¿Es una figura de revolución?- Etcétera.

Para facilitar dicho análisis se pue-den reproducir las formas en plastili-

n8, papcl, mediante hilos y cartón, et-cétera.

Se propondrá después la clasifrca-ción dcl conjunto. Criterios apropia-dos para las formas espaciales son:contener rectas o no, desarrollables ono, de revolución o no. cóncavas oconvexas, poliedros o no poliedros,según el número de caras, vértices,forma de las caras, paralelismo de ca-ras, aristas, según la igualdad de losángulos, simétricas o no...

38 39

INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS

l. Realizar las actividades tipo contenidas en este capítulo.

2. Programar las actividades citadas en el Cuadro 2.1 realizando en cada caso laficha del alumno.

3. Plantear actividades de equipo que permitan llevar a lapráctica algunas de lasideas insinuadas en el Cuadro 2.2. \

4. Diseñar una actividad para el estudio de los diferentes movimientos presentesen la abertura de puertas y veotanas de tipos diferentes (giratorias, garage, en-rollables...).

5. Diseñar una ficha concreta para el alumno de la actividad tipo de Geometría yArte. Programar con detalle la organización de la clasificación de las formas ob-tenidas.

6. Adaptar la activid4d tipo de Geometría y Arte al caso de un conjunto de obje-tos diversos colocados sobre una mesa.

7. Plantear cómo se tlesarrollaría con alumnos de 14-16 años una (cazaD de mo-vimientos (trasláciones, giros, simetrías...).

t. Estudiar la Geometría completa del presente libro como objeto (relaciones cajade letra con página, má¡genes, relaciones entre tamaños de letras..., etc.). Pró-gramar una actividad para alumnos de 12-14 años que consista en ver la geo-metría en las páginas de un periódico.

9. Programar para alumnos de 15-16 años la construcción con regla y compás deun rosetón.

10. Programar para alumnos de 12-14 años un estudio para hacerse con todo el co-lectivo de la clase sobre las proporciones en el cuerpo humano.

Razonamiento

Aproxímate a tus problemas desde el verdadero final y em-pieza con las respuestas. Entonces quizás algún día enconfrarás

finalmente cuál era la cuestión (R. V,rN Gur-x)

El razonamiento matemático constituye un hito de claridad y rigor. Pa-radigma de corrección y exactitud, se distingue de otros tipos de razona-miento por el hecho de seguir unas reglas lógicas que a la vez que guían lainferencia del discurso permiten verificar, en cada paso, la corrección de las

4l

aserciones. Inducir y deducir son l 'acct¡rs cscnciales de este tipo de razona-miento nacido, precisamente, del estutl io gcrlrnétrico. Una de las grandescontribuciones de la cultura griega al pcrrsirrrricnto de la humanidad fue estesaber mezclar, en el caso concreto dc l¿r (ic<lrnctría, el estudio de unos con-tenidos con el rigor de una Lógica. Es lo quc distingue a una labor empíricade una Ciencia. Pero sería injusto reducir cl razonamiento a un motor defuncionamiento disciplinar. A nivel de aprendizaje la forma de razonar pue-de tener tanto interés como los propios contenidos, porque el razonamientoes en sí mismo el gran contenido a aprender.

3.1. PROCESOSINDUCTIVOS

Un proceso característico del razonamiento matemático es la generali-zación, es decir, la capacidad de l legar a propiedades generales, conclusio-nes o resultados a partir de la observación, el análisis o la verificación decasos particulares.

Como forma de rszoncmiento, la inducción permite demostrar una cier-ta propiedad aritmética o geométrica P, que se desea válida para cualquiernúmero natural n (n puede representar el número de lados de un polígono,las caras de un poliedro, las dimensiones, etc.). El proceso de demostraciónpor inducción de una relación { exige dos pasos: primero verificar efecti-vamente que el resultado P, es cierto; en segundo lugar se explicita la hipó-tesis de inducción que supone válida P,y de ello debe poderse seguir la va-lidez de Pn-r. En definitiva, una vez realizado dicho procedimiento comose sabe P, se inducirá P2y de ahí Pr,..., etc., por lo-cual la secuencia depropiedades Pv Pz, P3,..., Pn..., queda verificada al irse implicando sucesiva-mente.

Varios comentarios útiles proceden en este momento:

c) El primer caso a verificar puede ser P, o P, o P,..., se trata de laprimera propiedad que tenga sentido para un cierto valor natural.Así, en una propiedad { que dependa del número de lados n de unpolígono será normal tomar como primer caso el P., correspondientea un triángulo.

á) Los dos pasos realizados en la inducción permiten sacar conclusionessobre infinitas propiedades. Así, una demostración lógica en un nú-mero finito de etapas asegura la validez de infinitas relaciones, siendouna situación típica de lógica matemática.

I-a inducción, como forma de procedimiento educativo es un motor esen-cial para el descubrimiento y la consolidación de conceptos: la propiedad

{ no se conoce y el juego reside en l legar a formul¿rr la relación P, a partirde analizar los primeros casos P' P2, P3,... Por ello scrlr común a muchas

42

situaciones didácticas plantear la búsqueda inductiva. Vamos a anal\zar al-

gunos usos interesantes de razonamiento inductivo en Geometría'

3.1.1. Inducción para contar

Se trata de ir analizando cómo una determinada cantidad evoluciona al

aumentar progresivamente la complejidad del problema (número de Iados

o de ángulos o de apotemas, etc.).

EJEMPLO l. Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono con-

vexo de n lados.Para el primer caso interesante t?=3 tenemos un triángulo y obviamente

sus ángulos suman l80o Para n=4 tendremos una cuadrilátero convexo que

podrá descomponerse en 2 triángulos y, por tanto, sus ángulos interiores su-

marán 2'180o Aquí ya se puede observar que en general se tratará dc dcs-

componer el polígono convexo de 5 lados en 3 triángulos, el de 6 lados cl¡

4 triángulos (Fig. 3.1)..., el de n lados en n-2triángulos. Así obtcnd¡crtros

inductivamente que la suma de los ángulos interiores del polígono collvcx()

de n lados es precisamente (n-2) 180"

Figura 3.1

En algunos casos para llegar a la fórmula general buscada no sólo cabe

contar inductivamente sino realizar algún tipo de operación algebraica'

EJEMPLO 2. HaIlar Ia suma de las áreas de los n rectángulos de base I y

altura n (Fig. 3.2).Obviamente esta suma es I ' l +)x l+Jxl+. . .+71' l . Así , e l problema se

reduce a expresar la suma S" de los primeros n naturales mediante una ex-

presión sencilla. AI escribir esta suma S, en dos formas diferentes:

g = l+/+J+.. .+¿$,= n + (n - l) + (n -2) + ... + 1

y sumar ambas igualdades obtenemos

25,=(n+ l )+(n+ l )+(n+ l )+. . . +(n+ l )=nx(n+ l ) ,

43

(b)(a)

Figura 3.2

de donde resulta la expresión deseada

n(n+ l )')'=

----¡-L

3.1.2. Inducción para yerificar

vamos a considerar ahora el caso de enunciados explícitos donde se plan-tea el comprobar inductivamente una relación o propiedad.

EJEMPLO 3 (Fórmula de Euler). En un mapa poligonal el número de vér-tices vn más el número de regiones o caras n (las propias y la exterior) esigual al número de aristas A,más 2, es decir, n+Vn=An+2 (Fig. 3.3).

En efgcto, para n=2 tenemos una cara propia y una región exterior(Fig. 3.3a)) tratándose, pues, de un polígono, y en este caso el número devértices Vres igual al de aristas Ar. Así,2+Vz=Az+2. Supongamos la rela-ción cierta para n caras, es decir, n+V,=An+2 y induzcamos de ello la va-lídezparan+l caras (Fig. 3.3á) notamos que la caran+ I se obtiene al aña-dir el mapa de n caras unos k vértices nuevos y /c+ I aristas (en la figurak=2). Entonces aplicando la hipótesis de inducción resulta

n+ l+ V*¡- n+ l+ V,+k=(n+ V,)+ (k+ t¡=- A,+2+ft+l=A,, ,+2

Figura 3.3

3.1.3. Inducción sobre dimensiones

El proceso inductivo sirve en Geometría para ver cómo evoluciona utr¿t

relación o propiedad al ir aumentando la dimensión del espacio (recta, pla-

no, espacio. . . ) .

EJEMPLO 4. En una recta si tenemos n puntos la recta queda dividida en

n+l trozos. En un plano n rectas que pasan por un punto común dividen

(b)

Figura 3.4

44

,,L

(a) (c)

45

de los ángulos poliedros formados por los primeros n planos. Así, si n pla-nos dividían enn(n- l)+) partes con l+ | tcndremos

fn(n - l ) + 2l+ 2n = n (n + l ) + 2.

3.1.4. Inducción sobre conceptos

Conceptos bien establecidos para una cierta figura de n lados pueden noser obvios para la figura con n+l lados. un proceso inductivo se impone.

EJEMPLO 5. Hallar una definición inductivamente correcta de las <me-dianas> de un cuadrilátero.

Para n=3, dado un triángulo las medianas unen los vértices con los pun-tos medios de los lados opuestos, debiéndose notar que dichos puntos me-dios son precisamente los centros de gravedad de los lados. paran=4, dadoun vértice, una <mediano será una recta uniendo dicho vértice con el cen-tro de gravedad del triángulo determinado por los dos lados del cuadrilá-tero opuestos a dicho vértice (Fig. 3.5).

Figura 3.5

3.1.5. Inducción sobre construcciones

En muchas construcciones geométricas de regla y compas o de manipu-lación, interesa dar un método inductivo o recurrente para agregar figuras.

EJEMPLO 6. Dados n cuadrados construir un cuadrado que tenga por áreala suma de las áreas de los cuadrados dados.

Para n=2 tendremos dos cuadrados C, y Cr. Yia el teorema de pitágoras(Fig. 3.6) construiremos un cuadrado de área suma de la de C, y la de C,a través de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son los la-dos de los cuadrados C, y Cr.

Dados Cp C2,..., C, podemos construir recurrentcrncnte los cuadrados

46

\\:-:\ /

Figura 3.6

c t+ c2, (c'+ c ) + c t, ((c, * c ) + q) + c 4) + c s,..., etc., reiterando simplementc

el-proieso descrito para n=2.Vistos estos casos típicos de inducción vale la pena notar algunos usos

incorrectos de la inducción para prevenir de su utilización'

EJEMPLO NEGATIVO 7. Si en un conjunto de chicas una es rubia todas

lo son.

posible demostrar el caso n=2, \a inducción no es correcta'

Lamoraleja de este ejemplo negativo es que el proceso de demostración

inductiva debe cubrir todos los casos-

ción rebasa, en la mayoría de los casos cl rrivcl obligatorio de enseñanza, Ioque sí merece atención especial es intlut'it ('(,ttil'ptos, propiedades y relacio-nes, Íazonando como éstos evolucionan ul ¡tuntcntar Ia complejidad: aumen-tar número de lados o caras, pasar a la tl irrrcnsión siguiente, etc. Es comúnen educación <inducin propiedades gcncr alcs a partir de verificar ciertos ca-sos particulares. Si bien se trata más dc una <generalización> que no de una<inducción> propiamente dicha, el proccso cs tremendamente fundamental:la intuición, la experimentación, los primeros casos..., posibilitan ÍazonaÍejemplos más difíciles, más interesantes. Y también puede considerarse ilus-trativo el observar cuando esta inducción falla (por ejemplo, los poliedrosregulares espaciales extienden a los polígonos regulares planos..., pero en elespacio sólo hay cinco y en el plano infinitos [!]).

Tampoco debe confundirse el razonamiento inductivo con Ia exÍrapola-ción de datos: en Estadística, a partir de una colección de datos se intentadeducir el siguiente (n días de cotización en bolsa, n temperaturas...). Pue-den darse predicciones pero no inducciones seguras (es curioso, observarque la inmensa mayoría de los mortales induce opiniones generales a partirde observaciones muy particulares, así una persona que conoce sólo un ame-ricano puede afirmar que <todos los americanos Son¿ltos>). Discutir induc-ciones correctas e inducciones erróneas (aunque populares) es también unbuen argumento educativo.

ACTIVIDAD TIPO DE INDUCCION

¡ Nivel:9-10 años.. Objetivos: Obtención de poligonales

por recurrencia: Descubrimiento de laregla aplicada e inducir la serie si-guiente.

. Materiales: Papel de malla triangular(isométrica), papel cuadriculado y pa-pel vegetal.

. Motivación'Propuesta de estudio decada una de las colecciones de dibu-

jos utilizando papel transparente parasuperponer imágenes sucesivas y des-cubrir lo que se ha añadido al caso an-terior. En el caso c) se puede repro-ducir la serie doblando un rectánsulode papel vegetal.

. Ficha del alumno:l. Observa con atención estas series

de dibujos y añade I o 2 más acada una (Fig. 3.7a, b, c).

(a)

48

aa a

49

(b)

(c)

aaa

aaa

Figura 3.7

3.2. PROCESOS DEDUCTIVOS

Las deducciones Iógicas en Matemáticas son el método caractcrísticocon el cual desarrollar los conceptos. A partir de unos términos dados, scdan unos postulados o propiedades que deben aceptarse como válidas sinjustificación y de ahí se infieren los teoremas Ios cuales exigen vna demos-tración.

3.2.1. La fundamentación de Ia Geometría de Euclides

Por su interés histórico citemos algunos planteamientos de Euclides ensus Elementos de Geometría. Euclides eligió cinco nociones comunes o axio-mas generales:

l. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, las totales son iguales.3. Si a cosas iguales se sustraen cosas iguales, las diferencias son iguales.4. Cosas que pueden llevarse a ser congruentes son iguales.5. El todo es mayor que su parte.

A continuación Euclides da cinco postulados o axiomas particulares:

Pl. Por dos puntos distintos pasa una única recta.P2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.P3. Hay una única circunferencia con un centro y un diámetro dados.P4. Todos los ángulos rectos son iguales.P5. Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos inte-

riores cuya suma es menor de dos rectos, las dos rectas suficiente-mente prolongadas se cortan en este mismo lado.

il{Por otra parte, Euclides da los tt intt itto,r, definiciones o descripciones.

Ejemplos de estos términos son:

Tl. Un punto es aquello que no ticnc partcs.T2. Una línea es una longitud sin anchula.T3. Las extremidades de una línca sorr puntos.T4. Una recta es una línea que yacc por igual respecto de todos sus

puntos.

El gran mérito euclidiano es haber elegido unas bases esenciales en lasque poder deducir, con ayuda de los principios lógicos, los resultados másbásicos de la Geometría.

3.2.2. Implicaciones para la enseñanza

Comentemos ahora las l imitaciones y posibil idades del proceso deducti-vo geométrico a nivel de enseñanza. En la deducción interviene, como he-mos venido comentando, no sólo una cierta soltura en los conocimientosgeométricos sino una cierta habilidad en principios lógicos. Así pues no seráhasta la etapa posterior a los l6 años en que tendrá sentido plantear deduc-ciones en el sentido riguroso de la palabra. No obstante, y para llegar aello, cabe plantearse determinadas habilidades deductivas desde los prime-ros niveles, pero atendiendo a las limitaciones de cada caso. Enumeremosalgunas actividades recomendables:

a) Trabajar la equivalencia de propiedades

Se trata de distinguir propiedades equivalentes de las que no lo son. Hayque recordar y saber escoger, en cada caso y en función de su uso, cuál esla versión de una propiedad que interesa poner en juego. Este apartado pue-de ser relevante en relación a las clasificaciones pues propiedades equiva-lentes se traducirán en clasificaciones idénticas. Así, por ejemplo, ser isós-celes puede leerse desde la igualdad de dos lados o desde la igualdad de dosángulos; ser un triángulo rectángulo puede entenderse vía la existencia deun ángulo recto o vía la validez del teorema de Pitágoras, etc. Los cambiosde lenguaje (dibujo, ecuación, representación gráfica...) son también un casointeresante de expresar una misma cosa en formas diferentes.

b) Saber reqlizar e interpretar la conjunción, disyuncióny negación

El uso del <y, o, noD en proposiciones geométricas rcsulta incluso inte-resante para comprender mejor las propias proposicioncs implicadas. Unanoción tan simple como la de polígono regular pon0 cn .juego la noción de

50

convexidad conjuntada con la de igualdad de lados ángulos. ¿Qué quiere de-cir que un polígono no sea regular?

c) Saber comprender el campo de validez de los cuantiJicadores

Ello incluye dar significado a expresiones del fipo <<existe un único pun-to donde las medianas se cortan)) o <<en todo triángulo los ángulos sumanl80o>. La existencia de algo se reduce a menudo a dar una construcción efec-tiva. Así, la existencia puede equivaler en muchos casos por ejemplo, a unaverificación gráfíca de que tal punto o tal figura se puede construir. El pro-ceso de unicidad acostumbra a ser márs complicado y a menudo exige unrazonamiento de reducción al absurdo consistente en suponer la existenciade dos soluciones distintas y de ahí deducir una contradicción. El caso decuantif icadores del t ipo <en todo>, (para todo)), (cualquier))..., etc., es su-mamente importante, pues exige delimitar dentro del tipo de figuras o mo-vimientos con los que se está trabajando a cuáles afecta la propiedad. Amenudo, será conveniente graduar estas propiedades generales analizí¡n-dolas desde los casos más regulares a los más generales. Por ejemplo, sise trata de concluir que (en todo cuadrilátero los puntos medios de los la-dos determinan un paralelogramo> se puede empezar por ver lo que sucedeen un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio y un trape-zoide.

Un caso interesante al que hay que prestar especial atención es el de dis-tinguir casos particulares de los casos generales, resaltando las hipótesis ocondiciones suplementarias que llevan a distinguir el caso particular. Hayuna famosa situación en las clases de Geometría que merece especial aten-ción. El profesor desea que el alumno dibuje en la pizarra o en su cuadernoun triángulo cualquiera. El alumno dibuja un equilátero o un rectángulo.Para é1, si <cualquierar> vale, estos dos casos están bien hechos. El profesordesaprueba la propuesta porque entiende por <triángulo cualquiero el queno posea ninguna propiedad especial, el más irregular posible. Aquí hay unproblema de lenguaje de caso general y caso particular a Irabajar y soslayaroportunamente.

d) Iníciación a las demostraciones

En las primeras edades escolares la demostración de propiedades carecede sentido, pero sí que es muy importante ayudar a que se muestren o pon-gan en evidenciq características, relaciones y propiedades. Hay quc haccrhincapié en el hecho de que también es importante comprobar la validcz dcaquello que se va obteniendo. A la mayoría de los niños les producc unaperplejidad absoluta el ver que alguien intente <demostrar que algo es cicr-to), pues en muchos casos la validez les resulta <evidente>.

5l

Imaginemos la siguiente situación cn cl ¡rul¿r. Un niño dibuja un triángulo(Fig. 3.8.), lo recorta y, a continuaciirn, kr parte en tres trozos para poderdisponer de los tres ángulos del triángulo. l,uego junta estos tres ángulos yv¿ que suman 180o.

Figura 3.8

En determinado nivel es absurdo intentar aiadir argumentos a esta (demos-tración>. Porque incluso estos argumentos adicionales pueden hacer tamba-lear la confianza en las propias experiencias. En cambio, el mostrar con-traejemplos, el ver casos en donde ya no vale la propiedad analizada puedeser muy instructivo, como lo es el propio proceso de tanteo para dar conuna demostración.

A partir de los l2 años las pequeñas deducciones sí que son deseables yen Geometría las demostraciones visuales son especialmente atractivas. Di-chas demostraciones visuales son particularmente recomendables en los ca-sos de equivalencia de áreas o yolúmenes, superposiciones efectivas de fi-gurqs y descomposiciones de figuras. En la Fig. 3.9 se demuestra el teoremade Pitásoras.

t

I

li_:srl

También tienen interés las de-mostraciones dinámicas. Asi.en la Fig. 3.10 puede versecómo una recta genera uncono y, en Ia Fig. 3.11, cómode un cilindro puede pasarsea una hiperboloide.

Figura 3.10

Figura 3.11

ACTIVIDAD TIPO DE DEDUCCION

. Nivel: l5-16 años.

c Objetivos: Demostraciones gráficasdel teorema de Pitágoras. Expresiónalgebraica y geométrica.

e Materiales: Cartulina, tijeras, fichadel alumno.

c Motivación' Plantear la equivalenciade superficies como un método de de-mostración de teoremas geométricos.Utilizar la traducción de lengua.jcsgeométrico y algebraico como vehícu-lo de expresión del proceso demostra-tivo.

¿¿\

a/

.á

b

52

Figura 3.9

53

c Ficha del alumno:

l. Describir las acciones realizadas(Fig.3.12).

en cada paso de la siguiente construcción

Figura 3.12

a) ¿Cu6l es el principio que se justifica?

ó) Enunciarlo en otros términos (relativos a los lados de los cuadrados).

2. Completa el siguiente cuadro de traducción de lenguajes (Fig. 3.13).

- Figura 3.13

3. Explicar el proceso y comparar con la construcción del

Lenguaje geométrico Lenguaje algebraico Lenguaje ordinario

(m+n)2=aT *t '

(m+ n¡z=

m2+ n2+, ( t ; ,+,

54

número I (Fig. 3.la).

55

4. Construir un rompecabezas que corresponda a cualquiera de las tres demostra-clones anterlores.


l. Realizar las actividades tipo contenidas cn este capítulo.

2. HaIlar inductivamente el número de diagonales que puede haber en un polígonoconvexo de n lados.

3. Encontrar el número máximo de ángulos interiores cóncavos que puede poseerun polígono de n lados. ¿Qué se puede deducir sobre el número mínimo de án-gulos convexos que puede tener un polígono?

4. Dado un polígono cóncavo de n lados y considerando simultáneamente los án-gulos interiores y exteriores, ¿cuál es el número máximo de ángulos rectos quese pueden contar?

5. Si se posee un cuadrado cuadriculado dividido en n2 cuadraditos, ¿cuántoscuadrados se podrían enumerar en el dibujo? Plantear inductivamenteel recuento.

6. Dado un rectángulo de lados a y á diferentes, constrúyase el rectángulo de ladosa y a+b. A partir de éste el de lados a+b y 2a+b. Seguir inductivamente estaprogresión de rectángulos. ¿Qué tipo de sucesión determinan los lados meno-res?, ¿y los mayores? Calcular las proporciones de dichos rectángulos y averi-guar si t ienden a un límite. Indicación: dada la sucesión l,1,2,3, 5, 8, 13,...,se sabe que el límite de cada término dividido por el anterior es el número de oro

1.618.

7. Demostrar la validez de la fórmula de Euler directamente en los casos de loscinco poliedros regulares. ¿Por qué sólo hay cinco?

8. Establecer inductivamente que tras lanzar n rectas al azar en un plano, la divi-sión resultante siempre se puede colorear con 2 colores de forma que caras confrontera (no puntual) común tengan color diferente. ¿En cuántas regiones puededividirse el plano con estas ¿ rectas?

9. Demostrar que el postulado P5 de Euclides tal como está enunciado en el apar-tado 3.2, es equivalente a decir que por un punto exterior a una recta sólo pue-de trazarse una paralela.

10. Utilizando los principios euclidianos deducir por qué los ángulos de un triángu-lo suman dos rectos.

11. Demostrar que dadas dos figuras semejantes la división de sus áreas es siempreel cuadrado delarazón de semejanza.

12. Completar con algunas otras series de dibujos las que aparecen en la actividadtipo de inducción.

13. Utilizando el tetramino Z se puede construir una nucva /. empleando dichas pie-

a=Uf =

56 57

zas, y así sucesivamente. Programar una actividad de laboratorio de tipo induc-ción para alumnos de ll-12 años que conduzca a averiguar cuántas piezas delprimer tipo son necesarias para construir sucesivas Z.

14. Adaptar y programar el problema descrito en el ejercicio número 2 para alum-nos de 9-10 años.

15. Idear un rompecabezas que permita demostrar constructivamente el teorema dela altura para triángulos rectángulos.

16. Idear una actividad de laboratorio en la que se estudien los métodos de obten-ción de triángulos equiláteros dados. Previamente estudiar a qué niveles podríaplantearse esta actividad.

Representación

..levantaron un Mapa del Imperio y coíncidía punlualmentecon é1. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Gene-raciones Siguientes entendieron que este dilatado Mapa era Inú-/i/. (JoRcE Lurs BoRcEs)

Las representaciones en Geometría han sido, por sí solas, un núcleo cen-tral de interés. Las representaciones gráficas, planas o espaciales, tienen unalarga tradición y prestigio, habiéndose de distinguir las representaciones alservicio del propio razonamiento geométrico de las representaciones que gra-

59

cias a la Geometría posibil i tan haccl rrrir¡.rirs, planos y diseños. A la popularafirmación de que <hacer Geometría cs rcirl izar razonamientos correctos so-bre figuras mal hechas> se le podría añ¿rdil cl enorme interés de las <figurasbien hechas>.

Pero no se agota el repertorio de reprcsentaciones con las meramente grá-ficas. Modelos o maquetas a escala son otra fuente de análisis geométrico.

Hoy se habla más que nunca de la imagen. Las imágenes más genuinasy, en cierta forma, más bellas son las l igadas al mundo geométrico..., un es-labón insoslayable e imprescindible en todas las etapas educativas.

4.I. VISUALIZACION

Cuando nos enfrentamos a una situación nueva, por ejemplo, cuando en-tramos en una ciudad desconocida, vamos percibiendo a través del sentidode la vista diversos elementos: árboles, coches, casas. En una segunda fasevamos integrando estas primeras imágenes en una estructura más compleja,percibiendo las calles, las manzanas de casas y las grandes zonas urbanasde la ciudad. Obtenemos así, de forma gradual, una imagen visual de la mis-ma que podemos reconocer en una posterior visita. Este proceso de capta-ción y formación de una imagen mental es lo que se llama el proceso visual.

En Ia construcción del proceso interviene nuestra experiencia previa ha-ciendo asociaciones con otras imágenes mentales almacenadas en nuestramemoria. EI desarrollo completo del proceso visual es esencial para lograruna adecuada percepción espacial. De hecho es un primer paso para obte-ner un conocimiento de las estructuras espaciales que nos rodean.

Los estímulos visuales son el medio que hace ayanzar el proceso de cons-trucción de imágenes mentales. En las personas ciegas, los estímulos visua-les se sustituyen, en menor grado, por el desarrollo de otros sentidos, comoel del tacto, de cara a tener una mínima percepción espacial.

El sentido de la vista, a veces, no es absolutamente fiel en la percepciónde las imágenes de las formas. El contexto, los hábitos y costumbres influ-yen en el procesamiento de las imágenes. Ejemplos ilustrativos son las co-nocidas i lusiones visuales (Fig. a.l). En el currículo escolar es familiar la si-

NVAN

tuación de comprobar que un triángulo rectángulo se percibe mejor si unlado del ángulo recto está en posición horizontal que cuando está en posi-

ción inclinada (Fig. 4.2). En la educación geométrica el correcto desarrollode la percepción visual es fundamental para alcanzar un perfecto conoci-miento de las relaciones espaciales. La percepción visual, igual que el len-guaje, puede ser aprendida, favoreciendo así el desarrollo del conocimientoseométrico.

Figura 4.2

La percepción visual exige el desarrollo de una serie de habil idadcs, c¡r-tre las que destacan el saber ver y el sober interpretar. Estas habilidadcs Iloson innatas e instantáneas, deben ser aprendidas. Un ejemplo de est¿r ctln-sideración es presentar la Fig. 4.3 y preguntar a alumnos de distintos nivc-Ies todos los triángulos, cuadriláteros, pentágonos, líneas paralelas trans-versales, y las relaciones geométricas que pueden ver.

I&I

1tL

Figura 4.3

La adquisición de técnicas y habilidades de percepción visual puede seraprendida simultáneamente al estudio de la Geometria, ya que ésta requiereque el alumno identifique y reconozca figuras, formas, relaciones y propie-

60

Figura 4.1

6l

dades tanto en dos como en tres dimensiones. Existen programas de entre-namiento de la percepción visual. Uno de los más conocidos es el programaFrostig en el que se diseñan actividades para desarrollar habilidades clasi-ficadas en siete categorías (véase A. H. Hoffer, 1977):

l. La coordinación visual-motor.2. Percepción del fondo y formas.3. La constancia en la percepción.4. La posición en el espacio.5. Las relaciones espaciales.6. La discriminación visual.7. La memoria visual.

ACTIVIDAD TIPO DE PERCEPCION ESPACIAL


. Objetivo: Desarrollar la habilidad depercibir formas espaciales.

c Motivación' Para diseñar actividadesde percepción espacial, los poliedrosson de gran utilidad, ya que tienenunas propiedades geométricas perfec-tamente definidas. Utilizando polie-dros, se presentan aquí cinco fichas deactividades que ilustran las distintas

fases del desarrollo de la percepciónespacial (véase sección l.l).

o Ficha del alumno:

A) Actividad I (visualización)

Material:

2 colecciones de 5 modelos só-lidos de poliedros: A, B, C, D yE (Fig. a.a).Bolsa de lona.

62

Figura 4.4

63

Exploraciones:

Se presenta al alumno una colec-ción de los 5 modelos y una bolsa con-teniendo la otra colección. Bajo lamesa y sin mirarlo, se le pide que sa-que uno y 1o identifique con los de lacolección expuesta. Se repite la ope-ración tantas veces como sea nece-sarlo.

B) Actividad 2 (estructuración)

Material:

- Modelo de tronco de pirámideirregular triangular (Fig. 4.5).

- Plantillas de triángulos equilá-teros y cuadrados de igual lado.

- Cinta adhesiva.

Figura 4,5

Exploración:

Se pide al alumno que eliga lasplantillas y construya una reproduc-ción regular del modelo.

C) Actividad 3 (traducción)

Material:

- Modelos de romboedro, bipirá-mide pentagonal regular, cu-

boctaedro, octaedro, tetraedroy dodecaedro.

- Definición de poliedro regular ysemirregular.

Expioración:

Seleccionar los poliedros que co-rresponden a cada uno de las defini-ciones de poliedro regular y semirre-gular.

D) Actividad 4 (determinación)

Material:

- Tetraedros de porespán.- Sierra para cortar porcsp/rn o

cutex.

Exploración:

Con sólo dos cortes del tetraedro,determinar primero una forma <pare-cidu a una pirámide pentagonal yluego otra forma <parecidu a uncubo.

E) Actividad 5 (clasificación)

Material:

- Un tetraedro de porespán.- Sierra para cortar porespán.

Exploración:

Ensayar los posibles cortes que sec-cionan a un tetraedro. Proponer cri-terios de clasificación para agruparlos distintos poliedros resultantes delas secciones del tetraedro.

4.2. LA REPRESENTACION GRAFICA

La representación gráfica desempeña un papel muy importante para ex-presar nuestros conocimientos e ideas. Ia construcción de las imágenes men-tales de nuestro entorno requiere hacer presente en la mente las formas y

las relaciones de los objetos reales. Lu r<,pr<,scnlación gráfica es una manerade comunicación, un lenguaje para cxpr'csar y construir los conocimientosgeométricos. La expresión gráfica se rcaliza por medio de esquemas, figurasy dibujos mucho más sencillos y directos que los símbolos de la escritura.Es el lenguaje ideal para la intuición geométrica, la percepción visual y endefinitiva Ia percepción espacial (Fig. a.6).

Figura 4.6

La comunicación grafica es, por tanto, una habilidad que tiene que seraprendida y practicada. De hecho constituye un lenguaje universal e inter-disciplinar de toda la información espacial. La representación gráfica es uti-lizada tanto por geógrafos y diseñadores profesionales, como por matemá-ticos, científicos, técnicos, etc. Es una herramienta muy útil en la resoluciónde problemas. Algunas veces la representación gráfica de los datos de unproblema puede sugerirnos las estrategias para encontrar su solución. EnGeometría, no sólo es importante para expresar formas, sino que lo es paracomprender razonamientos (Figs. 4.7 y 4.8, y actividad tipo de deducción).

Básicamente hay dos clases de representación gráfica: la representaciónde objetos reales o concretos y la representación de ideas absfiactas(Fig. a.e).

Entre los modelos de representación concreta cabe resaltar las reproduc-ciones de modelos a escala, los dibujos en perspectiva, Ias proyeccionesdescriptivas, los planos y mapas a escala, etc. En cuanto a los lenguajesgráficos abstractos, podemos citar los dibujos técnicos de figuras bidimen-sionales, las construcciones geométricas clásicas, los esquemas, croquis ygrafos, etc. A continuación se comentará brevemcnte las representacionesgráficas más significativas en cuanto a sus aplicacioncs.

64

Figura 4.7

/\ /-.- /' 3\{

5t ' - -u, -_, . \

/ '4

Figura 4.E

A) La representación gráfica plana

Hay dos posibilidades. La primera consiste en hacer una reproducciónexacta de la figura inicial por medio de un cambio de escala. Esta exigecomo dificultad perceptiva el hacer un pequeño razonamiento de propor-cionalidad. La segunda consiste enla reproducciói perspectiva, que implicael reconocer una figura desde diferentes puntos de vista y, por tanto, la di-ficultad perceptual reside en tener desarrollada la habilidad de la constanciaperceptiva.

65

grafos

esquemas

construcciones geométricas clásicas

dibujo geométrico 2D

lenguajes

gráficos

abstr actos

mapasydibujosaescala

dibujos perspectivos

dibujos descriptivos

modelos reproducidos

lenguajes

gráficos

concretos

Figura 4'9

Hay tres tipos de representaciones abstracias: el dibujo técnico exacto,eI dibujo topográfrco aproximado y los grafos topológicos. El primer casoconsiste en hacer una copia perfecta de la figura; su única dificultad se de-riva de tener un desarrollo de la habilidad de coordinación visual-motoraen el manejo de los instrumentos geométricos clásicos (regla-compás' etc')o modernos (pantalla interactiva de ordenadores).

En cuanto al segundo caso, consiste en dibujar e interpretar planos deciudades, mapas de carreteras, etc.; las dificultades estriban en establecer ofijar posiciones y orientaciones en el espacio.

El tercer tipo, que es el que exige mas abstracción, es el de reconocerrelaciones topológicas de incidencia, conectividad y continuidad, etc., en re-des tanto de comunicación (por ejemplo, planos de metro de una ciudad)como de funcionamiento (diagrama de circuitos integrados).

B) La representación gráfica del espacio

Para comunicar y expresar la información espacial que se percibe al ob-

servar los objetos tridimensionales son de gran utilidad el uso de represen-taciones planas de las formas y relaciones tridimensionales. Hay distintostipos de tales representaciones. Cada una de ellas es importante para resal-tar un aspecto, pero es necesario utilizar varias a lavezpara desarrollar y

completar la percepción del espacio. Entre las representaciones más signifi-cativas por su utilidad práctica y formativa citaremos:

l. I-as proyecciones ortogonales

Consiste en un grupo de dibujos que corresponden a cada una de las ca-ras de un objeto cuando es observado perpendicularmente enfrente de cadacara (Fig. 4.10).

66

t r+mITecho Planta

Figurr 4.10

2. Los dibujos isométricos

Se reproducen tres caras adya-centes del objeto de manera que losángulos del punto de vista sean de120" (Fig.4. l l ) .

Figura 4.1 I

3. Los dibujos en perspectiva

Se da la (verdaderaD imagen del objeto (Fig. a.l2).

Figura 4.12

4. Cortes de nivel topográfico

Se dan diferentes cortes, planos a alturas determinadas (Fig. .l3).Además de estas representaciones convencionales es muy pedagógico

proponer otras representaciones personales.

67

Nivel I Nivel 2

Figura 4.13

Nivel 3 objeto

ul

{

á) Utilizando el papel isométrico,dibujar cada una de las posicio-nes (b), (c) V (d), tomando comomodelo la representación de laposición (a) (Fig. a.l5).

Figura 4.15

3. a) ut i l izando una <L> y una <S> ensayar la construcción de las siguientes com-posiciones sobre la planti l la de 5'5 (Fig. a. l6).

á) Sombrear en los dibuios anteriores la letra <L>.

ACTIVIDAD TIPO DE REPRESENTACION GRAFICA

. Nivel: l l -16 años.

. Objetivos: Interpretar, construir y co-municar diferentes modos de reore-sentación gráfica.

. Material:27 cubos encajables de I cmde arista. Hoja de cartón cuadricula-da de 5 ,5 cm2. Hojas de papel isomé-trico y cuadriculado de I cm.

c Motivación' Se presenta a los alum-nos diferentes pol icubos que t ienenque construir y describir, dándoles di-versas informaciones gráficas o mate-riales. Se pone énfasis en la necesidadde uti l izar varias representacioneseráficas. La finalidad de la actividad

es desarrollar las habilidades de inter-pretación figurada, así como favore-cer el progreso de los procesos vi-suales.

c Ficha del alumno:

Exploración 1; Dibujos isométricos(G. Giles, 1979)

t . Construir una <L> juntando 4 cu-bos. ¿Cuántos cubos son necesa-rios para construir una (SD. Cons-truirla.a) Colocar Ia <S> y la <L> en la

planti l la de 5'5 cm2 en cadauna de las siguientes posiciones(Fig.4. la) .

68

Figura 4.14 F'igura 4. | ó

69

:

4. Uti l izando 4 cubos construir cada t¡rt¿t r lc l i rs siguientes f iguras (Fig. a. l7). Y

comoletar la tabla adiunta.

Figura 4.17

Exploración 2.' Cuadro de distintas representacioncs grhlicas.

Completar el siguiente cuadro (Fig. a.l8).

70

A=l

B=

(=

D=

E=

p=

Q=

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7l

4.3. LOS MODELOS MANIPULATIVOS

El material como forma de representación y estudio de la Geometría estan rico e importante que hemos dedicado otro libro, el número ll, de estacolección de Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, a su descripción porme-norizada (C. Alsina, C. Burgués y J. M." Fortuny: Construir la Geometría:Materisles psra unü Didáctica). En esta sección daremos unos listados ge-nerales donde el material aparece clasificado y de cada uno se indican al-gunas aplicaciones didácticas (Fig. a.l9).

H

(b)

72 t5

A

A

(e)

Figura 4.19

MODELOS FIJOS

Angulos Comparación, ordenación y medida de ángulos.Transporte de ángulos, suma y diferencia.Traza-do del arco capaz. Relación ángulo-lado opuestoen el caso de triángulos.

Pol igonos Clasificaciones múl¡ioles.

Figuras planas Comparación de áreas.

Figurastrid imensionales

Clasificaciones múltiples. Estudio de propiedades yrelaciones. Comparación de volúmenes.

Fotografías Análisis geométrico.

Mapas Proporcionalidad geométrica. Deformaciones ópti-cas. Cálculo de distancias. Escalas.

Descomposiciones de poligonos I surna y diferencia de áreas. Algoritmos para cálcu-círculos o cualesquiera figuras I lo de áreas. Triangulación de polígonoi. Suma deplanas

I los ángulos interiores de un polígono. Relaciones

MODELOS MOVILES Y/O DESMONTABLES

entre pol ígonos

74 75

MODELOS MOVILES Y/ O DESMONTABLES (Continuacíón)

Descomposiciones de cuerpos tridi-mensionales

Descomposic iones posibles de un pol iedro en otrospoliedros Poliedros inscritos, duales, recíprocos.

Obrención de nuevos cuerpos a partir de piezasdadas. Secciones. Secciones modulares Compa-ración de volúmenes. Algoritmos para cálculo de

volúmenes.

Mosaicos Recubrimiento de una superficie plana con polígo-

nos iguales o no. Lo mismo con figuras no poli-

gonales. Suma de los ángulos interiores de un po-

Iigono. Obtención de tramas. lsometrías del pla-

no. Angulos suplementarios. Superficies equiva-

lentes. Paralelismo, perpendicularidad. Escalas

Tangramscuadrangular o chinotr iangularrectangular o pitagóricopentagramacruz de Lloyd

Obtención de nuevas formas por yuxtaposiciirn ln-t roducción de conceptos relat ivos a mcdic las dc

longi tud, ampl i tud y área. Concavidad y convcxi-dad. Clasi f icaciones. Suma de los ángulos intcr io-res de un pol ígono. Suma de los ángulos cxtcr i ( ) -

res. Areas equivalentes. Relaciones pcr intct to-á-rea. Introducción de algunos irracionales. T¡'ián-gulos semejantes, etc.

Poliminos y similares Ceneración combinatoria de formas distintas obte-nidas por la yuxtaposic ión de un número deter 'minado de cuadrados (triángulos equiláteros).

Areas equivalentes. Reunión y diferencia de áreas.Concavidad y convexidad.

Teorema de PitágorasTeorema de la alturaTeorema del cateto...

Pruebas geométricas del teorema de Pitágoras (u

otros) basadas en la equivalencia de áreas.

Cubo de Rubik Estudio de los movimientos rígidos espaciales y sus

combinaciones.

MATERIALES PREPARADOS PARA EL MONTAJE DE MODELOS

Barras y conexionesCañas de bebida

y limpiapipas

Construcción de pol iedros. Estudio de sus elemen-tos. Construcción de pol ígonos. Teorema de Eu-ler Determinación de la existencia de poliedros apartir del número de aristas y/ o del número de ca-ras que convergen en un vért ice.

Cubos iguales Construcción de pol iedros. Medida del volumen.Empaq uctam ientos del espacio. Descr ipción apro-ximada i lc suncrf ic ies. Gráf icas t r id imensionales.

MATERIALES PREPARADOS PARA EL MoN l'AJE DE MoDELos (conrinuación)

Mecano Construcción dc polígonos: existencia y determina-ción. Clasi l icación de pol ígonos. pol ígonos isope_rimétricos. Area máxima, área mínima. Angulos.Construcción de algunos poliedros. Deformaciónde polígonos Polígonos equiláteros y regulares.

Plantillas de polígonosencajables

Construcción de poliedros. Estudio de sus elemen-tos. Teorema de Euler

MATERIALES APTOS PARA LA CONFECCION DE MODELOS

Espejos Estudio de simetrías axiales. de simetrías esoecula-res. Reproducción ópt ica de un cuerpo a part i r deuna parte del mismo y diferentes espejos (calidos-copios).

Geoplanoscuadrados 3'3, 5 '5rectangulares n ' rnci rcu Iares

Segmentos. Posiciones relativas. Polígonos. Clasifi-caciones. Areas. Angulos. Perímetros. Teoremade Pitágoras. Geometría asociada al geoplano.Equivalencia. lgualdad. Circunferencia. Elemen-tos. Angulos centrales, inscritos y semiinscritos.Pol ígonos inscr i tos, estrel lados, c i rcunscr i tos.Congruencias. Bordado de curvas.

( icocspacios Representación de puntos, rectas, polígonos y polie-dros en el espacio. Paralelismo y perpendiculari-dad. Posiciones relativas de rectas. caras... lntro-ducción a las coordenadas tridimensionales.

Hi los y cuerdas Bordado de curvas sobre cartulina. Obtención de có-nicas mediante cuerdas.

Hojas transparentesy rotuladores

Pruebas dinámicas y visuales de algunas propieda-des. Movimientos rígidos de figuras planas. Se-cuenciar la presentación de elementos relativos auna fisura.

Láminas de hule lntroducción de conceptos elementales relativos a lasdeformaciones topológicas dc figuras planas.

76

MATERIALES APTOS PARA LA CONFECCION DE MODELOS (Continuación)

Papel, cartul ina Plegado de papel: Rectas, ángulos, suma de ángulosde un triángulo, intersección de las alturas, de lasmediatrices, etc. Representación de identidades al-gebraicas. Construcción de polígonos. Simetrías.Construcción de poliedros. Areas equivalentes.

Desarrollos planos: Obtención de modelos espacia-Ies. Posibles desarrollos planos de un cuerpo.

Papel con trama rmpresacuadradotriangular (equilátero o no)

hexagonalromboidalrectangular

Obtención de nuevas tramas lsometrías del plano.paralel ismo y perpendicular idad. Angulos com-plementar ios, suplementar ios. Pol ígonos equiva-

lentes. Mosaicos no pol igonales Areas de pol ígo-

nos semerantes.

Tablero reglado con sierra deporespán incorporada

Paralel ismo y perpendicular idad cn cl cspi tc i t t , ( ot tstrucción de pol iedros y cuerpos clc Icvol t ¡c idr t lSecciones planas de cuerpos tr id imcnsior l¿r lcs. l {claciones entre pol iedros (regulares. scmirrcgul l

res. . . ) .

MECANISMOS

Barras articuladas (solas o hiloselásticos) combinadas o no conruedas placas

Bisecar ángulos. Trazar simetrías centrales, axiales,traslaciones, giros, semejanzas, inversiones. Tra-

zado de paralelas, cónicas y otras curvas. Modosde superficies regladas. Obtención de paralelogra-mos de igual base y altura, de triángulos de igual

base y altura. Estudio de las variaciones relativasde área y perímetro.

Generador figurasde revolución

Creación de superficies a partir de partes de seccio-

nes planas de las mismas.

INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Metro linealMetro circular

Longi tudcs.

Metro cuadrado A lcas

INSTRUMENTOS DE M Ul)l | ) tr ( ()ontinuación)

Metro cúbico Volúmcnes

Semicírculo graduadoTeodolitoSemicírculo con olomada

Amplitudes

Compás de proporciónRectángulo con plomadaHipsómetro, Cuadrante

Razones

78 79

l .

t


Realizar las actividades tipo contenidas en este capítulo.

Representación de geodésicas en cubos y ortoedros.

Problema de investigación.'Situados en una habi

tación nos imaginamos que, en el centro de unade las paredes pequeñas y a 30 cm del techo, hay

un dragón. Delante a 30 cm del suelo, unainosca(Fig. a.20).Se pide: ¿Cuál es el camino más corto que habráde seguir el dragón para comerse la mosa?

Figura 4.20

Montaje experimental:

Formulación de hipótesis (a priori): Dibujar el camino en perspectiva y en pro-

yección general. Para comprobar la validez de tus hipótesis te proponemos quc

hagas la siguiente experiencia:

Material necesario:

- 3 hojas de papel vegetal.- Regla graduada, escuadra, compás, lápiz y rotulador.- Tijeras, pega, papel folio, cinta adhesiva.- l0 chinchetas, hilo (40 cm), cinta métrica (10 m).

Procedimiento:

l. Mide con la cinta métrica las tres dimensiones de la habitación

largo ancho alto

2. Distingue cada una de las paredes interiores con las letras A, B, C, D, E, F,

como indica la Fig. 4.20.3. Encuentra una escala de manera que el desarrollo plano de la habitación ocu-

pe una hoja de papel vegetal.4. En cada una de las hojas, dibuja a escala, un desarrollo diferente de la habi-

tación, marcando la posición exacta del dragón y la mosca (Fig. a.2l).

Figura 4.21

vo

t{

U

l¡l

U

o \o

3.

4.

5. En cada desarrollo plano, traza el segmcnto de recta que une el dragón con lamosca y mide con la máxima precisión lu distancia que los separa. Rotula acontinuación la ruta más corta.

6. Recorta los patrones (del desarrollo de la habitación) y con pega cierra las ca-jas. Cogiendo como modelo la caja de la ruta más corta, con las chinchetas yel hilo, sobre la pared, techo y suelo, enfila con el hilo el camino más cortoque te pedía el problema de investigación.

7. ¿El resultado coincide con tu hipótesis hecha a priori?

Ampliación:

- Problema de investigación: lmagina que la mosca se pone sobre una de lascaras de un cubo de <porespán>, que hay colgado en la habitación y quiereasegurarse que el dragón no está en el cubo. Por ello sin salir de las caras delcubo quiere recorrer todas sus caras, volviendo a la misma posición inicial lomas rápidamente posible. ¿Qué trayectoria habrá de seguir? Haz una repre-sentación gritfica.

- Diseño de un experimento: Para resolver este problema te proponemos quetú mismo hagas el diseño de un experimento que te conduzca a su resolución.Preparando el experimento se ha de decidir qué materiales especlficos harásservir, y cómo los manipularás para llegar a la solución del problema.

Cuestiones:

l. ¿Hay más de una trayectoria que te dé la mínima distancia? Represéntala in-dicando sus propiedades características.

2. ¿La longitud recorrida depende de la posición del punto inicial de partida?¿Por qué?

3. Y una {¡ltima cuestión: Si la mosca se sitúa en el punto medio de una de lasaristas del cubo. ¿Cuál es el lugar más lejano donde puede ir sin salir del cubo?¿Y cuál es el camino más corto para llegar a él?

Completar y explicar lo que se observa en las Figs. 4.3 y 4.7 a y ó del texto.

Experimentar la actiüdad tipo 4.1 con un pequeño grupo de 4 a 6 compañeros.Redactar un informe escrito analizando sus respuestas.

Realizar la ficha del alumno de la actividad tipo 4.2. (Se recomienda completaresta investigación con la realización de las actividades del <Dime 3-D SketchingProject> [véase Giles, G., 1979].)

Cada una de las figuras de esta red de triángulos sugiere al menos un teorema degeometría plana. Indica para cada figura el teorema y la demostración sugeridasGí9. a.22\.

Si una estructura de un cubo se observa muy cerca del centro de sus caras, ésteapaÍece como un marco en cuyo interior se sitúan todos los lados. Esta repre-sentación se llama un diagrama de Schegel. Dibujar los diagramas de Schegel detodos los poliedros regulares.

l .

6.

7.

80

Figtra 4.22

E. Programar actividades centradas en el uso de materiales descritos en el aparta-do 4.3. Para un mismo material idear actividades correspondientes a niveles di-ferentes, estudiando en cada caso los distintos grados de dificultad'

8l

Aprendizaje

Las teorías nuevas no hacen a menudo sino declarar provin-cianas a las anteriores. (XAvrER RUBERT DE VENTós)

Aprender es una actividad necesaria. Aprender a aprender es el fin úl-timo de la educación. Podríamos decir que no importa tanto el enseñarcomo el aprender. La capacidad de aprender es siempre útil y deseable. Elaprendizaje en Geometría, aunque su problemática es común a las otras par-tes de la Matemática, posee, por supuesto, características especiales en cuan-to a habilidades a desarrollar, metodologías y adecuación de niveles.

83

5.1. CONOCIMIENTO Y COMPRENSION

Cuando uno se plantea estudiar las bases del aprendizaje de la Geome-tría cabe distinguir dos aspectos. Un aspecto corresponde a analizar cómose construyen las relaciones espaciales en la mente de los individuos. El otroaspecto atratat, es analizar los distintos niveles de conocimiento, que sobreIas cuestiones geométricas se pueden tener. Aclarados estos aspectos es pro-pio el formular las fases de aprendizaje, que favorezcan la adquisición deIos conceptos y relaciones geométricas.

5.1.1. Definiciones de espacio

Antes de analízat cómo se adquiere la noción de espacio, hay que con-siderar lo que se entiende, por espacio. Desgraciadamente no hay unanimi-dad en describir el concepto de espacio. Esto es debido a que existen mu-chas maneras de abordarlo. Entre las mfu significativas se encuentran lasperspectivas jilosófica, física y psicológica.

En la perspectiva filosófica se han considerado históricamente dos acep-ciones: espacio absoluto versus espacio relativo. En la acepción de espacioabsoluto, los objetos y sus relaciones son independientes de la existencia pro-pia del espacio. En la otra acepción contraria, la del espacio relativo, se su-pone que el espacio queda determinado por medio de las relaciones de po-sicién de los objetos. El espacio absoluto ha sido defendido por la doctrinafilosófica de Platón, y Newton se ha servido de él para sentar las bases desu rnecánica clasica. En cuanto al espacio relativo ha sido propuesto en lafilosofía de Kant y kibniz y considerado en Ia mecánica relativista de Eins-tein.

La perspectiva filosólica del espacio nos sirve para fijar su naturaleza ydelimitarlo de las perspectivas físicas y psicológicas.

El espacio físico es cualquier espacio atribuido al mundo exterior, es de-cir, al entorno físico que nos rodea. En contra, el espacio psicológico es cual-quier espacio representado en la mente y no existe si la mente no existe.

5.f .2. Orígenes del espacio psicológico

Hay diferentes posiciones epistemológicas sobre la ontogénesis del espa-cio psicológico. Una es la posición empirista, que sostiene que el espacio psi-cológico se deriv¿ directamente de la experiencia con el espacio físico. Otraopción es la nativista que sostiene que el desarrollo del espacio psicológicoes determinado por la herencia congénita y constitucional de cada individuo. La tercera posición es la constructivista, que sostiene que el espaciopsicológico es activamente construido por el individuo. Los factores here-

84

ditarios y experimentales interacttian para producir esta construcción. Portanto, en esta última posición el espacio es construido por un proceso indi-vidual de interacción.

5.1.3. Etapas genéticas

Precisamente desde esta última posició-n, Piaget formula su teoría psi-cogenética, distinguiendo distintos niveles de organización espacial, en co-rrespondencia con diferentes etapas genéticas del desarrollo intelectual.

Las etapas genéticas que Piaget propone son las siguientes:

. Etapa-I: espacio sensorio-motor, caracterizado por percepciones sen-soriales de las relaciones espaciales. En esta etapa se tiene una visiónegocéntrica del espacio.

. Etapa-2: espacio intuitivo, caracterizado por representaciones intuiti-vas en un nivel preoperatorio.

. Etapa-3: espacio concreto, caracterizado por representaciones opero-torias. En este nivel se efectúan operaciones reversibles con diferentesmateriales concretos.

. Etapa-4: espacio abstracto, caraclerizado por representaciones forma-les y abstractas. Es el espacio descrito por la Geometría deductiva deEuclides y Hilbert (Fig. 5.1).

5.1.4. La representación mental del espacio

En la teoría psicogenética de Piaget se supone que todos los niveles deorganización espdcial propuestos ponen en juego actividades de construc-ción por parte del sujeto. El espacio no es dado anteriormente sino que seconstruye mentalmente, después de efectuar las correspondientes operacio-nes. Así la percepcién espacial no es una simple actividad de copia de la rea-lidad, como la que hace una máquina fotográfica, sino que es el resultadode actividades de organizaciín y de codificación de informaciones senso-riales.

De la misma manera, las representaciones mentales de los objetos físicosson el resultado de construcciones que se apbyan sobre las acciones con losobjetos y con las coordinaciones de estas acciones.

Estas afirmaciones generales han sido comprobadas por diversas inves-tigaciones, que tratan de analizar la manera como los individuos adquierensus representaciones espaciales. Los resultados de estas investigaciones sonproducto del analisis de respuestas a diversas situaciones problemáticas quese presentan a los individuos, ya sea vía resolución de problemas, tests, en-trevistas orales, ejecución de actividades, etc.

85

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86 87

En resumen la construcción del espacio cabe entenderla como un pro-ceso cognitivo de interacciones. Desde un espacio intuitivo o sensoriomo-tor, que se relaciona con la capacidad prítctica de actuar en el espacio,manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuandodesplazamientos, medidas, cálculos espaciales, etc., a un espacio concep-tual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamenteel espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricasabstractas, tomando sistemas de refereneia, prediciendo y manipulandomentalmente, etc. Este proceso de construcción del espacio está condiciona-do e influenciado tanto por las características cognitivas individuales, comopor la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, enla enseñanza-aprendizaje de la Geometría se debe tratar de favorecer Iainteracción de cada uno de los componentes que determinan la construc-ción del espacio (Fig. 5.2).

l:

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Q"-'PRODUCTOS:

- Modelos de reproducción- Representación grafica

- Descripciones verbales

PENSAMIENTO:

- Conciencia espacial

- Manipulación mental- Resolución de problemas

espaciales- Imaginación espacial

MEMORIA:

- Informaciones espacialesalmacenadas

- Teoremas

COMPONENTES:- Intuitivas (cognición del entorno).- Abstractas (relaciones proyectivas, afines, sistemas de referencia)

Figura 5.2

5.1.5. El modelo de aprendizaje de Van Hiele

Un modo de estructurar el aprendizaje de la Geometría, coherente conla construcción del espacio, es el propuesto por Van Hiele. El trabajo deVan Hiele propone un modelo de estratificación del conocimiento humanoen una serie de niveles de conocimiento que permiten categorizar los distin-tos grados de representación del espacio.

El aprendizaje es comparado a un proceso inductivo. En un nivel n-l cier-tas versiones limitadas de los objetos geométricos pueden ser estudiadas. Al-gunas relaciones acerca de los objetos pueden ser explicadas, sin embargohay otras relaciones que no son accesibles a este nivel y, por tanto, no pue-den ser abordadas. En el nivel n se suponen conocidos los conocimientosdel nivel n-l y se explicitan las relaciones que estaban implícitas en el nivelanterior, aumentándose de esta manera el grado de comprensión de los co-nocimientos. Así los objetos del nivel n son extensiones del nivel n-I. Unade las aportaciones más significativas de los niveles de Van Hiele es reco-nocer los obstáculos gue encuentran los estudiantes delante de ciertos con-ceptos y relaciones geométricas. Si los estudiantes están en un nivel de co-nocimiento de grado n-l y se les presenta una sitüación de aprendizaje querequiere un vocabula¡io, unos conceptos y unos conocimientos de nivel n,no son capaces de progresar en la situación problemática presentada y, portanto, se produce el fracaso en su enseñanza, ya que no se lleva a cabo suaprendizaje.

o Niveles de conocimiento en Geometría

Van Hiele propone cinco niveles de conocimiento en Geometría:

Nivel 0: Los individuos perciben las figuras como un todo global. No reco-nocen las partes y componentes de las figuras. No explicitan las propie-dades determinantes de las figuras, por ejemplo, las propiedades que dis-tinguen un cuadrado de un rombo o un rombo de un paralelogramo.Pueden, sin embargo, producir una copia de cada figura particular o re-conocerla.

Nivel l: Los individuos pueden analizar las partes y propiedades particula-res de las figuras, por ejemplo: <los rectángulos tienen las diagonalesiguales o los rombos tienen los lados iguales>, pero no explicitan rela-ciones entre distintas familias de figuras; por ejemplo, un rombo o unrectángulo no se perciben explícitamente como un paralelogramo. Laspropiedades de las figuras se establecen experimentalmente.

Nivel 2: Los individuos determinan las figuras por sus propiedades.' <cadacuadrado es un rectángulou, pero son incapaces de organizar una se-cuencia de razonamientos que justifiquen sus observaciones. Se pueden

88

comprender las primeras definiciones que describen las interrelacionesde las figuras con sus partes constituyentes.

Nivel 3: Los individuos pueden desarrollar secuencias de proposiciones paradeducir una propiedad de otra. Así, por ejemplo, se puede demostrarque el postulado de las paralelas implica que la suma de los ángulos deun triángulo es igual a l80s Sin embargo, no se reconoce la necesidaddel rigor en los razonamientos.

Nivel 4: Los individuos están capacitados para analizar el grado de rigor devarios sistemas deductivos. Pueden apreciar la consistencia, la indepen-dencia y la completitud de los axiomas de los fundamentos de la Geo-metría propuestos por Hilbert (véase Investigación núm. 2, Capítulo 5).Este último nivel, por su alto grado de abstracción debe ser consideradoen una categoría aparte, tal como sugieren los últimos estudios sobre eltema (véase P. H. Van Hiele, 1986.)

Este modelo de estratificación del conocimiento ha sido validado porextensos estudios realizados por psicólogos soviéticos.

Las investigaciones de Van Hiele y de los psicólogos soviéticos handemostrado que el paso de un nivel a otro es independiente de la edad,muchos adultos se encuentran en un nivel 0 (porque no han tenido opor-tunidad de enfrentarse con experiencias que les invitasen a pasar al ni-vel 1). Un profesor a través de los contenidos y los métodos de ense-ñanza pueden provocar el paso de un nivel a otro.

Van Hiele propone también una serie de fases de aprendizaje parapasar de un nivel a otro. El plan de las fases es el siguiente:

o F¡ses de aprendizaje

Fase 1: discernimienlo. Se presentan a los estudiantes situaciones de apren-dizaje dando el vocabulario y las observaciones necesarias para el tra-bajo.

Fase 2: orientación dirigida. El profesor, propone una secuencia graduadade actividades a realizar y explorar. La ejecución y la reflexión propues-ta servirá de motor para propiciar el avance en los niveles de conoci-miento.

Fase 3: explicitación Los estudiantes, una vez realizadas las experiencias,expresan sus resultados y comentarios. Durante esta fase el estudianteestructura el sistema de relaciones exploradas.

Fase 4: orientación libre. Con los conocimientos adquiridos los estudiantesaplican sus conocimientos de forma significativa a otras situaciones dis-tintas de las presentadas, pero con estructura comparable.

89

Fase 5: integración. Los objetos y las rcllcioncs son unificada! e interiori-zadas en su sistema mental de conocinric¡ltos.

Una vez se ha pasado por la fase 5 un nucvo nivel de conocimiento esadquirido. (Véase actividad tipo 5.t.)

Estas fases de aprendizaje pueden compararse con las etapas de apren-dizaje, de las matemáticas propuestas por Dienes. Así, la primera fase dediscernimiento se corresponde con el juego libre, la de orientación dirigidacon la etapa de juego estructurado, la de explicitación con la de represen-tación, la cuarta fase de orientación libre con la de predicción y la quintafase de integración, con la de juegoformal. (Yéase Z. P. Dienes,1971.)

ACTIVIDAD TIPO DE CONOCIMIENTO Y COMPRENSION

. Nivel: Según los distintos niveles deconocimiento de Van Hiele.

o Material: Papel para doblar, espejos,reflex, hoja de acetato, papeles cua-driculados e isométricos, tijeras, foto-grafías de objetos simétricos, regla ycompás.

c Motivación' Se presenta un modo deestructurar la enseñanza de las trans-formaciones seométricas de acuerdo

con los niveles de conocimiento y lasfases de enseñanza de Van Hiele(Cuadro 5.1). La propuesta incluyeun cuadro-modelo con indicacionesgenerales para elaborar fichas de tra-bajo del alumno graduadas y clasifi-cadas. El lector puede encontrar el de-talle de las actividades en otra obrade la misma colección, dedicada ex-plícitamente a transformaciones geo-métricas o en el libro de R. G. O'Daf-fer y S. R. Clemens (1977\.

5.2. HABILIDADES Y PROCESOS

Cualquier aprendizaje debe pasar necesariamente por una etapa previade observaciones. En el caso de la Geometría Ias experiencias sensibles, vi-suales y táctiles han de constituir la base sobre Ia cual fundamentar las ac-tividades y abstracciones posteriores.

Cuenta un viejo chiste la situación de un alumno que asistió a su clasede Matemáticas con un loro. Al cabo de un buen rato de dar clase el pro-fesor constató la presencia entre la clase de tan singular aprendiz e interpelóal alumno dueño del loro en el sentido de que: <¿cree usted que este loroentiende algo?>... y el alumno replicó: <Nada, ¡pero se fija mucho!> Obser-var no es fijarse, no es mirar, es yer: nolar lo común que puede haber ensituaciones diversas (movimientos, figuras, formas, e|c.), notar lo diferen-cial en objetos y acciones, notar lo característico de cada cosa. En Geome-tría, ¿qué debe observarse? En primer lugar aquello que de Geometría tenga

90

CUADRO 5.1

Modelo de estructura Van Hiele de enseñanza-aprendizajede las transformaciones geométicas planas.

\"'F¡ses\

0

FIGURA

IPROPIE-

DAD

2

RELACION

3DEMOS-

TRACION

^SISTEMA

I

Discerni-mlento

Comparar lasacciones dedeslizar, gi-

rar y saltarcon los movi-mientos detraslación derotación y dereflexión.

Co mp ararpor ejemplo,la idea demediatr izcon la de ejede simetría.

Relacionarlas accionesde girar y

trasladar conlas de doblar.

Relacionar elcambio deposic ión deuna f iguracon su super-posición me-diante pl ie-gues suces¡-vos.

Relacionarla regulari-dad con larmportan-cra.

2

Orienta-ción diri-gida

Trasladar, gi-rar y simetri-zar una figu-ra.

Encontrar laspropied adescomunes delos puntosque se obtie-nen al trans-formar unpunto dado.

Efectuar di-ferentes com-posiciones dereflexiones.

Efectua¡composic io-nes de 3 re-flexiones.

I dent i f ic artodas lastransfor-maclonesque dejaninvariante auna figura.

3

Exp l ic i -tación

Explicitar to-das las posi-bi l idades detrasladar, gi-rar o srmetrl-zar una figu-ra.

Encontrartodos los ele-mentos de si-metr ía deuna figura.

Explicitar to-das las posi-bi l idades decomponer 2reflexiones.

Explicitar to-das las posi-bi l idades decomponer 3reflexiones.

E x pl ic i tarla estructu-ra de grupo

de simetría.

4

Orienta-ción libre

Resolver unproblemapor el méto-do de lastransforma-crones geo-

métricas.

Descubrir loselementosconst l tuyen-tes de una fi-gura que seconserven alefectuartransforma-crones geo-métricas.

Dado un giroo una trasla-ción encon-

trar los ejesde reflexiónque los des-compone.

Dadas 2 po-sic iones deuna f iguraencontrar lacomposiciónde ref lexio-nes que trans-forma unaposic ión uotfa.

E ncontrarla f iguradado sugrupo de si-metría.

5

Interro-gación

Definic ioneselementosbásicos de latransforma-clones geo-métricas.

Enunciar lanoción gene-ral de propie-

dades inva-riantes.

Estudio de l¿composic ióngeneral de 2reflexiones.

Estudio de lageneraciónde cualquierisometr íacomo pro-ducto de re-flexiones.

Clasi f icación y teoría de grupos.

9l

el entorno natural, social, técnico y artistico; tanto las formas estáticas comolas evoluciones dinámicas. En segundo lugar cabe observar las representa-ciones gráficas y su correspondencia o fidelidad con Ia realidad que reflejano proponen. En tercer lugar cabe dirigir la observación hacia el material di-dáctico, la experiencia en el laboratorio de Matemática.

En la enseñanza de la Matemática la observación libre debe ir acompa-ñada de la observación provocada. Ya sea con preguntas orales, o con fi-chas escritas debe orientarse las observaciones hacia aspectos que no siendoobvios o aparentes pueden tener gran interés. Son las observaciones las quemotivarán o actuará,n de referencia para las posteriores abstracciones de con-ceptos y análisis de propiedades.

Actuar es simplemente añadir a la observación acciones personales decomparación, comprobación, manipulación..., etc. Una observación carentede una actuación personal puede ser una curiosidad pero no un aprendiza-je. Aquí cabe reivindicar el trabajo personalizado. El individuo realiza susobservaciones, sus acciones y sólo basándose en esta actividad personal rea-liza su aprendizaje. Ello implica la necesidad de manejar en la enseñanzauna enorme cantidad de material. Una observación puede ser hecha de for-ma múltiple, pero las investigaciones deben tender a un carácter personal.De la misma manera que el alumno resuelve un problema en su cuaderno,debe medir un cubo o montar un rompecabezas. ¿Qué sentido tiene enton-ces el trabajo en grupo? Realizar una investigación en equipo puede tenersus ventajas: mas rapidez en realizar un montaje, una mutua provocaciónde actividad entre los integrantes del grupo, una naturalidad en'el planteode cuestiones y debate de posibles soluciones, etc. Por tanto, el trabajo enequipo es altamente recomendable. Pero ello no debe excluir el que en unmomento dado haya una labor personal, una interiorización propia del pro-blema y sus soluciones.

La Matemática no admite la resolución de una cuestión <por votación>.Ello puede tener sentido en política, en discusiones de tipo social o filosó-fico pero no en el aprendizaje matemático. Superadas las etapas de obser-vación, actuación, reflexión e interiorización se puede pasar al proceso deabstracción. Abstraer será reconocer lo que hay de común o de diferente enunas situaciones, determinar el campo de validez de una propiedad, ver lasvariantes bajo las cuales el resultado sigue siendo cierto, simplificar la si-tuación real esquematizándola y concretando la idea..., etc. Si estas frasesson válidas en el aprendizaje matemático general, lo son mucho más en elcaso geométrico. Comentemos un ejemplo: se observan rectas, se trazan rec-tas, se nota que la recta divide al plano en dos partes, pero otras líneas tam-bién realizan la misma división. La abstracción ha llevado a notar que di-vidir el plano en dos partes no es una propiedad genuina de la recta sinocomún a muchas líneas y curvas.

A menudo, los procesos de abstracción llevan a nuevas preguntas, con-

92

jeturas que no tienen respuestas obvias o conocidas. Plantear desde los pri-meros niveles cuestiones abiertas puede contribuir a quitar esta sensaciónnefasta de que en Matemáticas <todo está hecho, no puede encontrarse nadanuevoD. Buscar una versión del teorema de Pitágoras en el espacio tridi-mensional, es hoy por hoy, una aventura apasionante.

ACTIVIDADES TIPO DE HABILIDADES Y PROCESOS

. Nivel 1.' l0-l l años.

. Objetivos: Comparación de longitu-des, amplitudes y superficies. Genera-ción de formas.

c Materiales: Tangram chino (de 7 pie-zas), papeI, liprz.

c Motivación' Después de familiarizar-se con las piezas por medio del juegolibre se procederá a plantear oralmen-te, y a pequeños grupos, cuestionescomo las siguientes:

. Ficha del alumno:

l. ¿Cuántas piezas hay?2. ¿Qué formas tienen?3. Ordenarlas según distintos crite-

flos.

4. Comprobar si existen piezas conlados iguales.

5. Obtener sobre el papel todas laslongitudes distintas (marcando loslados separadamente).

ó. Idem con los ángulos.7. Encontrar relaciones entre las pie-

zas por el procedimiento de unir 2o más piezas para obtener otra delconjunto.

8. Por reunión, repetición o diferen-cia de los ángulos de las piezas ob-tener ángulos distintos.

9. Obtener nuevas formas por yuxta-posición, con lados coincidentes ono, de 2 piezas.

o Nivel:13-14 años.

. Objetivos: Construcción de los cincopoliedros regulares.

c Materiales: Colección de plantillas depolígonos regulares acoplables.

o Motivación' Plantear el estudio dcposibles poliedros construiblos concaras regulares iguales.

t Ficha del alumno:

l. Tomar 3 triángulos equiláteros yunirlos de modo que coincidan enun vértice. Llamaremos a una figu-ra de este tipo un <rincón>.

2. Construir rincones utilizando 4, 5o 6 triángulos.

3. Construir rincones formados porcuadrados, pentágonos y hexá-gonos.

4. Construir una figura cerrada:

a) Utilizando dos rincones forma-dos por cuadrados.

á) Utilizando cuatro rincones for-mados por pentágonos.

5. Construir figuras cerradas utilizan-do rincones del mismo tipo.

6. De las figuras construidas seleccio-nar las que en cada vértice aonau-rren el mismo número de polígo-nos iguales.

7. ¿Cómo se justificaría el caso de losrincones formados por hexágonos?

93

l.

7


Realizar las actividades t ipo contenidas cn este capítulo.

Completar la ficha del alumno de la actividad tipo 5.2 con los siguientes estudios:

a) Dar una definición de poliedro regular.á) Mostrar la existencia de sólo 5 poliedros regulares.c) Teniendo en cuenta el siguiente esquema didáctico, estructurar las activi-

dades y cuestiones sugeridas en la ficha del alumno.

FASES MEDIOS

l. Observación Actividades

JJ2. Interiorización <-----+ Reflexión

JJ3. Abstracción <-> Generalización

3. Tomando como modelo la actividad 5.1, explicitar las correspondientes fases deaprendizaje para la siguiente estructura de niveles tle conocimiento de los polie-dros regulares.

. Nivel 4:Demostración formal de la existencia efectiva y

clases de simetría de los grupos puntuales del es-paclo.

. Nivel 3:Demostración de <sólo 5o.

. Nivel 2:Relación de dualidad.

o Nivel l :Completación del cuadro de elementos constituyentes (caras, vértices,aristas).

. Nivel 0:Obbervación y construcción de modelos de los poliedros regulares.

Programar una actividad para alumnos de l2 años para construir los cinco po-liedros regulares con cañas de refresco y limpiapipas. El lector comparará los di-ferentes puntos de dificultad que puede haber entre usar elementos superficialeso lineales al montar poliedros.

Programar una actividad de laboratorio para alumnos de 7-8 años de generación

de formas a partir de cubos iguales (encajables o no).

6. Programar un actividad para alumnos de 14-16 años consistente en montar cor-

94

4.

J.

tando y pegando cartuünas los posibles deltaedros (poliedros convexos con las

caras iguales en forma de triángulo equilátero).

7. Programar una actividad al nivel l2-14 años para recortar elipses diferentes, ver

sus relaciones y sus sombras así como posibles ordenaciones'

E. Efectuar un estudio completo del tangram cuadrangular. Clasificar los polígonos

obtenidos por yuxtaposición de un número cualquiera de piezas'

9. Programar una actividad de laboratorio a partir del tangram rectangular para

alumnos de 1l-12 años.

95

Enseñ anza

Lo que ya se sabe no hay que explicarlo(Llurs SaNreló)

) maestro era: (persona de actitud bon_-el orden en clase, sabe enseñar>. Noho más importante. Exige de una bue_rado, de un proceso comunicativo fe_:uados, de una evaluación óptima... ypartir enseñanza con aprendizaie es la

necesidad continua de adaptar, graduar, cambiar, evaluarse... Hoy está demoda inventar nuevos materiales para el autoaprendizaje, desde las modes-tas fichas a los programas más sofisticados de ordenador. Juegos, videos,l ibros..., toda una gama diversa de elementos para Ia enseñanza están hoyen el mercado. Pero enseñar es tremendamente complejo y requiere unalabor humana dúctil y divertida. Este capítulo completa algunos aspectosque dentro de la didáctica de Ia Geometría pueden ser claves a la hora deaprender.

6.I. PLANIFICACION E INSTRUCCION

6.1.1. Planificación

El conocimiento de la concepción del espacio en los individuos nos mar-ca las pautas para planificar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geo-metría de acuerdo con su desarrollo individual.

Por una parte, como la concepción o representación mental del espaciose logra a través de un desarrollo progresivo, la planificación de la enseñan-za-aprendizaje de la Geometría debe estar orientada a favorecer este pro-greso, por tanto, una primera característica a tener en cuenta, es que se debetratar de rana planificación progresiva y cíclica.

Por otra parte, como este progreso se logra a través de acciones con losobjetos geométricos, ya sean objetos reales, represeitados o mentales, otroaspecto fundamental a tener en cuenta, es que la planificación debe dar opor-tunidad a actuar en el espacio, es decir, se debe tratar de una planificaciónacliva.

Otros aspectos a tener en cuenta serám, por un lado, los relativos a ex-presión y comunicación. Por tanto, habrá que definir una plahificación co-municativa que favorezca tanto la representación gráfica como la expresiónoral, manual y escrita. Por otro lado, como la actividad espacial no sólodebe propiciar un conocimiento relacional e intelectual, sino que tam-bién debe propiciar un conocimiento instrumental y práctico, debe tratarsede una p laniJicación fenomenológica.

En conclusión, más que diseñar un programa de contenidos ya elabora-dos será conveniente planificar un currículo que incluya actividades de com-portamiento espacial.

6.1.2. Instrucción

Unavez sentadas las bases de la planificación de la enseñanza-aprendi-zaje de la Geometría hay que plantearse su instrucción. Esta conlleva la co-

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municación sistemática de los conocimientos, habilidades y procesos espa-

ciales.De acuerdo con las partes de la planifrcación, habría que tener en cuen-

ta las siguientes recomendaciones generales:

El estudio de la Geometría debe esfar relqcionado con el mundo real.Los alumnos deben tener oportunidad de explorar distintas relacio-nes espaciales de su entorno, así como buscar, aplicar y transferir re-laciones geométricas para analizar los fenómenos naturales, científi-cos, técnicos, sociales y artísticos.El currículo de Geometría tiene que estar desarrollado según los mo-delos de conocimiento y aprendizaje de los alumnos. En este sentidola instrucción en Geometría debe favorecer la interacción entre la ac-tividad espacial y la representación mental del espacio.La presentación de la Geometría debe seguir el proceso del desarrollointelectual, es decir, debe ser gradual y progresiva, empez-ando conuna introducción informal mediante situaciones cotidianas quc gra-dualmente se irán precisando y formalizando. Esta iniciación inlbr-mal debe permitir el descubrimiento activo, el razonamiento inducti-vo, la construcción de inferencias y conjeturas, el desarrollo de la per-cepción visual y la imaginación espacial, etc.

A partir de estas recomendaciones podemos definir la estructura de Iainstrucción por medio de tres niveles o dimensiones (Cuadro 6.1).

CUADRO 6.I

a)

b)

c)

Dimensión I ¡ Análisis de los puntos de partida de la instrucción. Sus componentesbásicos son:

- Contexto, vocabulario, representación.- Fenomenología didactica.- Matematización progresiva y gradual.- Aspectos del lenguaje.- Aspectos sociales.

Dimensión 2 o Explicitación del currículo. Concreción de los objetivos instructivosy expreslvos.

¡ Evaluación.

Dimensión 3 o Desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría.Progresiva estructuración de las actividades. Proceso de adquisiciónde los conceptos Representación espacial. Evaluación.

o Niveles de Van Hiele.

,{ü:ül}:''"i?{fJths^'

Para lograr que la instrucción de la Geometría sea satisfactoria hay quellevar a cabo en la práctica docente una serie de estrategias de enseñanza.Estas estrategias, a modo de técnicas de comunicación, deben asegurar laformación de conceptos y el desarrollo de las habilidades y procesos en losalumnos.

Hay dos grandes corrientes pedagógicas a este respecto. Una la que poneénfasis en la formación de conceptos: In estructura de laboratorio. Y laotra, que pone énfasis en el desarrollo de habilidades y procesos: In reso-lución de problemas. Estas dos funciones, en realidad, son complementariasy, por tanto, en la enseñanza de la Geometría es aconsejable tratarlas con-juntamente. La resolución de problemas será descrita en una sección aparteen este capítulo.

En cuanto a la estructura de laboratorio, hay que entenderlo, tal comola define el pedagogo italiano De Bartolomeis, <como espacio de compor-tamiento y forma de producción> (De Bartolomeis, 1986).

Por forma de producción, en lo que se refiere a una actividad investiga-dora sobre la construcción de conceptos, la resolución de problemas, la in-novación organizativa, la puesta a punto de procedimientos de investiga-ción, de técnicas de colaboración, etc.

En cuanto a espacio de comportamiento, el proceso o manera de cons-truir un concepto, de asumir un proceso gradual y personal de aprendizaje;en definitiva, la estructura que da la oportunidad de experimentar en las si-tuaciones adecuadas.

Más que en la idea clásica del laboratorio, pensamos en situaciones delaboratorio, que ponen énfasis en el hecho de que el alumno se consideracomo un participante activo que construye sus propios conocimientos, encontraposición a la concepción del alumno como receptor de conocimientosya construidos. Esto supone que el profesor se convierte en w promotorde conocimientos míl's que en un transmisor.

Para que sea posible una estructura de laboratorio, hay que disponer deun espacio organizado y equipado, que dé soporte a las actividades de in-vestigación. Hay que contar necesariamente con un centro de programacióny control que canalice dichas investigaciones, en el cual el profesor será unacomponente importante.

El progreso gradual de las etapas se puede lograr por una adecuada pre-sentación y graduación de las actividades de investigación de la estructurade laboratorio.

La estructura del laboratorio presupone una reordenación curricular enel nivel conceptual. Es necesario estudiar las ideas fundamentales de cadanivel, incluso de todo el currículo.

Elegida una de estas ideas fundamentales, habrá que adecuar la entradaal tema al nivel cognitivo del alumno. Una estrategia deseable es partir delo que el alumno sabe sobre el concepto y a través de distintos materia-

100

les y preguntas hacer posible que estos conceptos iniciales se plasmen enacciones y lenguaje. A partir de ahí se trabajará el concepto en diferentessituaciones (numéricas, geométricas, etc.), situando al alumno frente aproblemas que obliguen a replantear posibles soluciones parciales, parapasar finalmente a la aplicación del concepto a distintas situaciones. Porotro lado, creemos que una vez están asimilados los conceptos básicos, no esnecesario construir los restantes directamente relacionados con é1. Como Iaestructura de laboratorio ya da una base concreta, podríamos a partir de aquírelacionar todo lo que se ha hecho con los otros conceptos y así utilizarloscomo consolidación y aplicación.

En cuanto alaorganización del grupo clase, el profesor se convierte enpromotor de investigación, ha de presentar, organizat y guiar el trabajo,pero nunca ha de ser el protagonista del saber, actuando más bien comocomponente del centro de control. El trabajo de los alumnos tendrá quc scrprioritariamente en grupo, tanto en lo que respecta a la experimentaci¿)ncomo a la comunicación y explicación de los conceptos y resultados pro-

ducidos.Pensamos que en una adecuada dinámica de clase con €structura de la-

boratorio, hay que tener siempre en cuenta, los siguientes aspectos:

l. Una introducción al tema, para situar al alumno.2. Dar a conocer los objetivos, pafa enmarcar las acciones a realizar.3. Una presentación de las investigaciones a realizar, adecuadamente

graduadas por niveles de comprensión' en las que se induce a mani-pular, construir, observar, explicar y expresar conjeturas y descubrirdistintas relaciones sobre el concepto a tratar'

4. Una discusión y contraste en gran grupo' para así enriquecer y co-municar los distintos descubrimientos realizados. En este momento elprofesor actúa de moderador de cara a establecer conclusiones.

5. Realización y resolución de ejercicios de utilizqción y consolidacióny de problemas de extensión y ampliación.

En la evaluación de esta forma de tarea docente, se tiene en cuenta:

l. La evaluación de los registros escritos y orales.2. La observación del grado de participación e interacción de cada alum-

no en las actividades de investigación propuestas.

Las investigaciones de un tema determinado se componen de una

serie graduada de actividades que se presentan a los alumnos en unashojas, divididas siempre en los cuatro apartados siguientes: Trabajo a rea-lizar. Material a utilizar. Explicación de lo que ha hecho. Descubrimientosrealizados.

t0r

ACTIVIDAD TIPO DE PLANII. 'I(]A(]ION E INSTRUCCION

<Laboratori<¡ de mediatriz>

o Nivel: 12-14 años.. Objetivo: Descubrir la definición de

mediatriz, formular una propiedad yredactar una explicación.

o Motivación' Se utiliza un método ex-perimental en Geometría. En esta me-

todología se sitúa al alumno como unpequeño investigador que partiendode una serie graduada de actividadesexperimentales se le encamina al des-cubrimiento de una definición y laformalización de una propiedad.

o Ficha del alumno:

<Una manera de introducir el concepto de mediatriz>

Ficha de la Actividad N.s I de la investigación <Mediatriz>

Trabajo arealizar: Situar 7 bolas de manera que equidisten de 2 pilones.Materiales: 7 bolas, 2 pilones e hilo.Explicación:Descubr imiento: . . . . . . . . . . . . . . . .

Ficha de la Actividad N.s 2 de la investigación <Mediatriz>

Trabajo a realizar: Doblar un folio de manera que dos puntos se superpongan.Materiales: I folio con dos puntos marcados.Explicación:Descubrimiento

Ficha de la Actividad N.a 3 de la investigación <Mediatriz>

Trabajo a realizari Poner el (reflex)) entre dos puntos de manera que la imagende un punto coincida con el otro punto.Material: I folio con dos puntos marcados y I reflex.Explicación:Descubr imiento . . . . . . . . . . . . . . - . .


Trabajo a realizar: Hacer pasar una goma elástica por dos clavos de un <geopla-noD que equidisten de dos clavos fijados.Material: I <geoplano> y una goma elástica.Explicación:Descubr imiento: . . . . . . . . . . . . . . . .

t02 r03


Trabajo arealizar: Trazar con regla y compás en I folio la línea del pliegue que

hace coincidir 2 puntos marcados en é1.Explicación:

Ficha de la Actividad N.q 6 de la investigación <Mediatriz>

Trabajo a realizar: Dar una definición de <mediatriz>. Enunciar una propiedady redactar una demostración de la propiedad.Material: lápiz y papel.Expl icación:Descubr imiento: . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. LENGUAJE, COMUNICACION E INFORMACION

En Geometría la formación de conceptos y la construcción de sistemasconceptuales tiene su fundamento en Ia observación de objelos y situacio-/reJ reales y no puede completarse sin el uso de símbolos para designarlosy transmitirlos. Analicemos paso a paso esta reflexión general.

Los objetos reales en Geometría pueden ser edificios, obras de arte, pai-sajes, seres, caminos, automóviles..., cualquier forma o movimiento obser-vable en nuestro entorno puede considerarse un objeto real (geometrizable>.

Pero tan real es el objeto medible, táctilmente palpable como las experien-cias visuales que podemos captar. Es tan real una pirita, un pez o una ollacomo las sombras de los objetos o la visión de los bordes de una carreterarecta uniéndose a (cierta distancia visuab. Como ya se ha remarcado ante-riormente en este texto, son precisamente las diferentes sensaciones realeslas definidoras de diversos tipos de Geometría.

Los conceptoJ (recta, paralelismo, ortogonalidad...), que en definitiva tie-nen una categoría mental, precisan para su asimilación, manipulación ytransmisión el uso de sonidos, imágenes, etiquetas lingüísticas, es decir, Jírn-bolos con los cuales referenciar o expresar la idea fundamental. En lo refe-

rente al caso geométrico, juegan un papel esencial los símbolos visuales alestar éstos estrechamente relacionados con los objetos y conceptos que de-signan, siendo de mas difícil comunicación estos símbolos visuales que nolos símbolos (verbalesD. Por supuesto hay algunos casos sencillos en dondeconjuntamente al símbolo visual puede unirse una simbolización algebraicasimple. De este modo, de una recta puede hacerse un dibujo o trabajar consu ecuación.

Analicemos con especial cuidado las lunciones que los símbolos debentener en el proceso educativo geométrico.

1) El símbolo para comprender, recordar y comunicar

Las representaciones visuales, como se ha tratado en el Capítulo 4, o al-gebraicas en su caso, permiten comprender los conceptos muchísimo máseficazmente que determinadas frases verbales o descripciones sintéticas. EnIa Fig.6.l vemos dos niveles simbólicos correspondientes a una recta(a)ya una catenaria (á).

y=J¡+2

(a)

ex + e"'¿

(b)

Figura 6.1

Si en el caso (a) la palabra (recta) ya es suficientemente clara, en el caso(b) la etiqueta <catenaria> puede no evocar nada mientras que el dibujo (á)llena de <contenido> a tal palabra. Una <imagen vale más que mil palabras>es un viejo principio que aquí cabe reivindicar. Pero ademas del compren-der hay un segundo estadio importante, sin el cual la comprensión quizásdejaría de tener sentido, que es el de poder recordqr y por ende comunicarlos conceptos. Es mucho más fácil recordar la catenaria vía su gráfica ytransmitirla como tal que no por una descripción lingüística de la misma.Por supuesto a partir de cierto nivel interesará mezclar e identificar las di-ferentes simbolizaciones y significados de un concepto: el objeto o modeloreal, la representación gráfica, el vocablo y la definición o descripción sin-tética. En la enseñanza de los conceptos hay que trabajar de forma especí-fica y relacional con cada simbolización particular, puesto que la traduc-ción e interpretación de significados constituye una excelente estrategiaparala enseñanza de la Geometría. Asimismo, los cambios de lenguaje aun fueradel campo de la Geometría permiten relacionar sus conceptos característi-cos con otros campos de las Matemáticas y otras ciencias. Asignar nombreso símbolos y significados distintos a un mismo ob.jcto cs una tarea que pasaindiscutiblemente por una clasificación previa.

104

2) El símbolo para construir conceptos nuevos y facilitar la creatividad

La combinación de conceptos previos para elaborar conceptos nuevospuede verse facilitada mediante el uso de los símbolos adecuados. Así, losconceptos de paralelismo y perpendicularidad, entendidos como dos casosespeciales de situación relativa entre dos rectas, son fácilmente comunica-bles. Y mediante la manipulación de símbolos es mucho más fácil crear nve-vas situaciones y conceptos que a priori pueden no tener ningún nombre nidescripción verbal. Así se puede trazar corl hilos (o dibujando) un cono es-pacial y posteriormente dar el nombre y estudiar las propiedades de la <nue-va figuro.

3) El símbolo para reflexionar y automatizar

El uso de las descripciones simbólicas facilita la actividad reflexiva clclpensamiento para tomar conciencia de los conceptos asumidos, sus relacio-nes y posibilidades; a la vez que posibilita la automatización y la resolu-ción. Si las actividades rutinarias distraen la atención por falta de un co-rrecto uso simbólico será enormemente difícil hacer nuevas adquisiciones,aspirar a nuevos conceptos.

Estos tres puntos comentados aquí no deben aplicarse sin tener en cuen-ta ciertas cautelas simbólicas y de lenguaje. En primer lugar cabe tener pre-caución con la elección de los símbolos a utilizar: un mismo símbolo puedeaparecer ligado a conceptos diferentes y un mismo concepto puede ser des'crito mediante símbolos diversos. Por razones, a veces puramente históri-cas, hay símbolos plurivalentes. La letra x sería un caso extremo al poderrepresentar: una incógnita, una variable, un producto, una recta..., etc.; eincluso símbolos como + o - dan lugar a operaciones o a signos de númerosenteros..., etc. Incluso a nivel de dibujo pueden surgir ambigüedades: doscircunferencias secantes pueden representar realmente dos circunferencias oun diagrama de conjuntos; la propia circunferencia, ¿representa ala línea oa todo el círculo como región plana? Si bien conviene eliminar al máximolas ambigüedades simbólicas en el otro sentido, el que un mismo conceptopueda representarse mediante lenguajes o símbolos plurales, es normalmen-te enriquecedor. Así que una circunferencia sea <el conjunto de puntos que

'equidistan de un punto dado> o sea un trazo hecho con un compás o seax2+yz=¡72, etc., es no sólo habitual sino conveniente. La situación es, en elfondo, parecida al lenguaje usual: es mejor no usar expresiones equívocaspero es bueno saber muchos sinónimos y tener la capacidad de expresaruna misma idea con soluciones diversas. Cara a la resolución de problemasla ductilidad en el cambio de lenguaje es imprescindible y, además, esta ca-pacidad evitaró confundir el concepto con un determinado significado.

105

Ni que decir tiene que deben evitarsc los símbolos carentes de significa-dos, Ios ruidos del lenguaje. Así, dccorar un cubo con flores en las caraspuede ser un interesante ejercicio plástico o tener sentido en un análisis deromper simetrías, pero las flores no añadirán nada nuevo al concepto decubo y, por el contrario, pueden enrarecer su estudio.

ACTIVIDAD TIPO DE SIMBOLIZACION

o Nivel: 12-14 años.

. Objetivos: Presentación divertida deun problema relacionado con la sim-bolización, con vistas a motivar crea-ciones posteriores entorno al tema.

c Materiales: 4 actores v 2 actrices dela clase.

c Motivación' Hacer la representacióny posteriormente hacer ejercicios in-dividuales sobre usos de símbolos.

TEATRO: <La gran incógnita>

(En escena aparecen tres huéspedes delhotel [Bob, Jack y Rosa], los dueñosPaco y Lourdes y el inspector Rop de

la policía.)

ROP: Bien. Van ustedes a relatarme Ioque ha sucedido en el hotel.

PACO: Mire señor inspector, aquí nun-ca había pasado nada extraño. Es unhotel muy pequeño, con pocas habi-taciones y muy lejos del pueblo... yhoy por la mañana al ir a servir losdesayunos.. . ¡señor! , ¡qué disgus-to!..., la caja fuerte del hotel dondese guardaba nuestro dinero y el de loshuéspedes estaba abierta y ¡VACIA!

LOURDES: No Paco, había una nota...

PACO: Sí. Una cuart i l la con una letraescrita en rojo: una x.

ROP: Déjeme ver esta nota...

(El inspector examina cuidadosamentela nota y prosigue el interrogatorio.)

106

ROP: ¿Dónde estaban ustedes en el mo-mento en que esta nota fue descu-bierta?

BOB: Yo estaba en mi habitación, la nú-mero 10, afeitándome.

JACK: Yo estaba haciendo una quinie-la en la mesilla de mi habitación.

ROSA: Estaba releyendo la última edi-ción de la obra de Agata Christie, l¿ratonera.

LOURDES: Me encontraba llevandolas tazas y platos del café con leche.

PACO: Yo crucé en diagonal la recep-ción corriendo para llamarle.

ROP: El caso es realmente difícil: ¡To-dos ustedes son sospechosos! En efec-to, Bob está en la habitación l0 quees el número representado por los ro-manos por la letra x. Jack se entre-tenía rellenando quinielas, es decir,haciendo crucecitas, o sea, x, Rosaleía un libro que ahora se ha publica-do con la décima edición. de nuevol0 o x. Lourdes servía 5 tazas y 5 pla-tos, es decir, l0 cosas y Paco cruzóen diagonal la recepción. La diagonaltiene ecuación l¡=x. Todos pudieronser.. . , pero cualquiera pudo haber de-jado esta pista falsa para inculpar alos demás.

ROSA: Se equivoca inspector. Ahoratodo está muy claro. El ladrón hasido.. . ¡usted!

ROP: ¡Por Dios!, no diga tonterías.

ROSA: El señor Paco no sabe álgebra,sólo números para hacer cuentas: nopudo pensar en un símbolo tan abs-tracto y el ladrón no podía preveerque cruzaría la recepción en diagonal.La señora Lourdes sirve tres tazas ytres platos y no diez piezas porque losdueños desayunan antes. Bob en lahabitación l0 y Jack con sus quinie-las no podian tener interés en el robo:los dos están de vacaciones despuésde haber ganado cien millones en lalotería..., usted vino de noche y dejó

su firma una .x, no una letra r, no elnúmero romano diez... , la x de signode multiplicar: por, es decir, leído alrevés ¡rop! Usted.

R.OP (llorando): ¡Malditos libros desuspense!

(Los huéspedes atan al inspector por lasmanos,)

PACO: Y ahora, ¿a qué pol icía l lama-mos?

ó.3. RELACIONAR Y CLASIFICAR

Relacionar y clasificar son dos verbos clave en la enseñanza de la Geo-

metría, tal y como ya se ha indicado en diversas secciones anteriores.Para llegar a conjugar correctamente los verbos de relacionar y clasifi-

car durante el aprendizaje deben plantearse actividades previas tales comotener una gran diversidad de elementos para relacionar o clasificar y hacer

observaciones diversificad¿s sobre los mismos. EI tipo de elementos a con-

siderar dependerá del nivel correspondiente: hojas de árbol, bloques lógi-cos, modelos, f iguras..., etc. Dichos elementos pueden proporcionarse de en-trada o pueden dar ocasión para plantear una actividad previa (que en símisma constituya ya una preclasificación): recoger hojas, recortar elipses,montar cubos... El que se planteeen de entrada criterios muy amplios para

establecer relaciones puede servir para enriquecer la labor (color, tamaño,textura, forma...).

Fijados los elementos del conjunto a clasificar, deben darse criterios di-

versos de forma que cada uno de los criterios lleve a una clasificación. Cadaelemento debe ser contrastado para ver si se verifica o no el criterio dadoy así ir formando las clases de elementos equivalentes (criterio de compa-ración).

Una vez fijada una clasificación habrá que corroborar que no se han pro-

ducido ambigüedades: cada elemento sólo ha de estar en una sola clase y

lo que es vital: al añadir nuevos elementos al conjunto ver cómo se asig-

nan a las clases preexistentes. Otros elementos a tener en cuenta son los si-guientes:

t07

a) Distinguir criterios que permiten clasificar dc kls que no

Ser un polígono, tener la misma área o ser de igual color son criteriosclasificadores. <Ser una figura guapil) es un criterio absurdo, ambiguo. <Te-ner menos perímetro> es un criterio claro, pero no clasifica.

b) Ver cómo criterios aparentemente distintos dan lugara la misma clasificación

Así, <tener dos lados iguales> o (tener dos ángulos idénticos> lleva a unamisma clasificación de triángulos.

c) Dada una clasificación deducir posibles criteriosque la han generado

Se trata del problema recíproco al clasificatorio y en muchos casos másdifícil, aunque no menos instructivo que éste.

d) Superponer clasilicaciones, refinando

Se trata de mostrar la riqueza de clasificaciones de un mismo conjuntoaplicando criterios diferentes; desde los casos extremos en que todos los ele-mentos son equivalentes entre sí o bien cada elemento sólo equivale a sí mis-mo, a los casos más interesantes de clases intermedias.

e) Clasificar ví¡ transformaciones

Estas son las clasificaciones más genuinamente geométricas, las que per-miten distinguir entre Ios diferentes tipos de Geometría y dan lugar a la cla-sificación de las figuras, encontrándose en cada clase aquella que resta in-variante. Ello admite presentaciones muy simples al ir fijando con qué tipode transformaciones se trabajará: trasladando, girando, simetrizando, ha-ciendo homotecias, cambios de escala, proyecciones, etc.

f) Representaciones de las clasificaciones

A parte de la clasificación de tipo verbal o de material por agrupacionesconviene clarificar Ia clasificación final mediante unos esquemas adecuados:diagramas de Venn o conjuntistas, diagramqs de Carroll o tablas de dobleentrada para clasificaciones dobles superpuestas o diagramas en órbol (múl-tiples o productos) (Fig. 6.2). En estos esquemas conviene dar nombres alas clases.

Las relaciones de orden, especialmente a nivel de inclusión, también me-recen un tratamiento similar al dado a las clasifibaciones, siendo convenien-te identificar los casos de ordenación total o parcial y hacer los diagramascorrespondientes.

108

Eq. I E.

A. A AR.

\ No.

\ \

Triángulo

(b)

Eq -A

(c)

Figura 6.2

ACTIVIDAD TIPO DE RELACIONAR

c Nivel: l3-14 años.

. Objetivos: Ensayar un método de ob-tención de todos los desarrollos pla-nos de un poliedro regular (tetraedro,cubo, octaedro).

. Motivación' A partir de dos construc-ciones de poliedros simples y obteni-dos de desarrollos planos distintos seplanteará el estudio de los posibles de-sarrollos planos de un poliedro cual-quiera. Se concretará en los casos detetraedro, cubo y octaedro. Para ello

cada alumno tendrá modelos de trián-gulo equilátero y cuadrado, un tetrae-dro, un octaedro y un cubo, papel, lá-piz, tijeras y un guión escrito de lasactividades y estudios arealízar.

¡ Ficha del alumno:

l. a) Obtenerun desarrollo plano deltetraedro utilizando el módulode triángulo equilátero. Puedesabatir las caras del tetraedropara comprobar el desarrolloplano.

109

ó) Observar las posiciones de lostriángulos:

r tienen lados en común,

r tienen vértices en común,

. 4 triángulos tienen un vérti-ce común,

. 3 triángulos tienen un vérticecomún,

. 2 triángulos tienen un vérti-ce común, y

¡ 0 triángulos tienen un vérticecomún.

c) Considerando el desarrol locomo un único pol ígono,

¿cuánto miden sus ángulos inte-riores?

d) Obtener todos los polígonosposibles combinando 4 triángu-los equiláteros de modo que lostriángulos tengan lados comu-nes (no sólo vértices). Les lla-maremos tetradiamantes.

e) Asignar una letra o símbolo acada uno.

/) Seleccionar aquellos que seandesarrol los planos de un te-traedro.

g) Describir cuáles son las carac-teristicas comunes a todos losí€tradiamantes seleccionados.

2. a) Estos son algunos polígonosobtenidos uniendo 6 cuadrados(con lados comunes) (Fig. 6.3).

á) Obtener las posibilidades res-tantes.

c) Asignar una letra o símbolo acada uno.

d) Sin recortar ni montar, decircuáles son desarrollos planos deun cubo. (Utilizar el modelo cú-bico y la imaginación.)

e) Describir las características quehan hecho rechazar los casosrestantes.

/) Partiendo de uno de los casosseleccionados, ordenar los res-tantes de modo que de un casoal siguiente la variación en lacolocación de los 6 cuadradossea mínima.

3. Aplicar lo anterior a la obtenciónde desarrollos planos de un octae-dro.

l l0

Figura ó.3

l l l

ACTIVIDAD TIPO DE CLASIFICAR

c Nivel: 7-8 años.

c Objetivos: Obtención de triángulos(no necesariamente de todos los tiposposibles). Partición en subconjuntos

disjuntos. Obtener criterios de clasifi-cación ligados a la partición. Adiciónde nuevos elementos al conjunto y suasignación a las clases previas.

t Materiales: Geoplanos de 5 ' 5 pivo-tes (uno para cada alumno), cintas

elásticas de caucho de colores diferen-tes, hojas impresas con modelos degeoplanos, lápices de colores, tijeras(Fig. 6.a).

Figura 6.4

¡ Motivación. ' Suponiendo que losalumnos conocen el material se lespropondrá Ia obtención de triángulosdistintos.

En esta primera fase se hará nece-sario discutir acerca de la igualdad odesigualdad de los triángulos obteni-dos, llegando a establecer criterios in-teligibles a este nivel. Por ejemplo, lasuperposición.

De cada triángulo situado en el ta-blero se hará una representación so-bre diagramas de geoplanos.

A partir de aquí se puede Procederde dos modos:

a) Pidiendo que formen grupos detriángulos atendiendo a seme-janzas que observen.

ó) Planteando cuestiones que obli-guen a un análisis comparativode las figuras obtenidas. Algu-nas cuestiones podían ser:

L Toma un tr iánsulo cual-quiera.

Escoge otro que se le Parcz-ca en algo.

¿En qué se parece'lToma otro que pudicrls rr i t ;r-dir a estos dos.Si no encuentras ningtt t t t rempieza otro montón.Y así sucesivamente.

2. ¿Hay triángulos con dos de

sus lados iguales?Haz un montón con ellos.

¿Cómo son los restantes?Dibuja sobre el papel los la-dos de cada uno de los trián-gulos, uno a continuación deotro (sobre la misma recta)

¿Qué ocurre?

En ambos casos se llega a una o va-

rias particiones del conjunto de origen.Se trata ahora de expresar la caracterís-

tica común a todos los elementos de unaparte y tratar de relacionar las diferen-tes partes como grados o modalidades

de una misma característica o cualidad.Por ejemplo: Tener 2 lados iguales y te-

ner los 3 lados distintos son los gradosposibles de <Tener el mismo número de

lados iguales> (Recordar que en un geo-plano no se pueden obtener triángulosequiláteros.) Hay que notar los tipos de

figuras que no podrán hacerse y asignarnuevos elementos a clases va dadas.

oo

oo

oo

oo

oo

ooo

ooo

ooo

ooo

ooo

6.4. LA RESOLUCION DE PROBI,F]MAS

El tema de la resolución de problcrnas es central en cualquier parte dela Matemática y a él se dedicará m<lnográficamente otra obra de esta co-lección. Aquí interesa resaltar algunos aspectos didácticos del papel de losproblemas en Geometría.

Metodológicamente, a la vista de un problema geométrico deberáprocederse a una lecturo qtenta de su enunciado, intentando aclarar el sig-nificado de los términos incluidos y, en su caso, esclarecer en términos colo-quiales la situación planteada. Superada esta fase de tipo lingüístico proce-derá la traducción a los lenguajes geométricos (gráficos, algebraicos, etc.).Hay que distinguir datos de incógnitas, constantes y. variables, símbolosusados y a utilizar, establecer las relaciones conocidas y las que hay quedar, etcétera.

Al proceder a la resolución, diversas estrategias son posibles: empezarpor esquemas gráficos o usar materiales (cubos, reglas, balanzas...) para si-mular el enunciado dado, relacionar el problema con otros ya resueltos oresultados conocidos anteriormente a su planteo, particularizar a casos mássencillos que puedan orientar hacia el caso general, dividir el problema ensubapartados, plantear una posible resolución y volver al principio, aplicarla reducción al absurdo, etc.

Pero una vez resuelto el problema queda una labor importante que a me-nudo se obvia: verificar si la solución hallada es correcta, discutir el sentidode la solución, revisar el método seguido y ver si admite algún planteamien-to alternativo, etc.

La resolución de problemas desempeña un papel fundamental en la ad-quisición de los conceptos y relaciones geométricas. Así desde un punto devista epistemológico, la génesis de un concepto geométrico se puede mani-festar como instrumento de solución de diversas situaciones problemáticas(por ejemplo, la proporcionalidad geométrica o el propio teorema de Pitá-goras). Por otra parte, desde un punto de vista constructivisla, la construc-ción de los conocimientos geométricos se logra, en gran medida, gracias ala interacción entre el sujeto y los objetos (ya sean concretos o abstractos).Esta interacción aparece en forma privilegiada cuando el individuo es situa-do delante de un problema. Durante la resolución de un problema se hacenfuncionar los conocimientos anteriores poniéndolos a prueba y eventual-mente modificándolos.

Una cuestión importante parala enseñanza de la Geometría es saber poruna parte seleccionar el tipo de problema en función de los conceptos quese quieran enseñar, y por otra parte secuenciarla de acuerdo con el nivel pro-gresivo de aprendizaje de los alumnos.

Además hay que definir eficientemenfe las variables de presentación decada problemapara así permitir desarrollar la estrategia más deseable con

t12

los fines propuestos. Un mismo problema presentado de diferentes maneraspermite desarrollar estrategias diferentes.

El profesor Fielker (1979) nos da un buen ejemplo:<Cómo construir un cuadrado en un geoplano o en un papel utilizando

diversos instrumentos: compás, regla, escuadra, transportador o doblando,cuando se da: a) un lado, b) una diagonal, c) los puntos medios de los ladosopuestos, d) los puntos medios de los lados adyacentes, e) un punto medioy el centro, f) un vértice y el centro.>

Esta situación problemática es un buen ejemplo de cómo hacer adquirirla idea esencial (o concepto) de lo que es un cuadrado.

ACTMDAD TIPO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (E-10)

c Nivel:8-10 años.. Objetivos: Generar formas geométri-

cas con un mínimo número de piezasiguales.

. Mateñales: Diversas piezas en cartónen forma de eles (Fig. 6.5).

c Motivación'Cada alumno tendrá unmontón de <eles>. Verbalmente seplantearán problemas de combina-ción de dichas piezas que el alumnodeberá resolver manipulativamente.Cuestiones típicas son, por ejemplo:

a) Con dos eles formar un rectán-gulo.

á) ¿Con cuántas eles se puede for-mar un cuadrado?

c) ¿Con cuántas eles se puede for-mar otra ele mayor?

Figura 6.5

ACTIVIDAD TIPO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (11-12)

c Nivel: l l-12 años.

. Objetivos: Cálculo del área de una su-perficie real (elección y medición delas longitudes adecuadas, determina-ción de la forma, algoritmo de cálcu-lo y/o subdivisión en figuras de áreaconocida.

o Materiales: Rueda-metro o cinta mé-trica, transportador de ángulos (decualquier tipo), papel milimetrado.

t Motivación' Propuesta de cálculo delárea de una superficie que tenga al-gún interés para el alumno. Dicha su-perficie será plana (o casi) y de formapoligonal. La determinación del áreairá precedida de una hipótesis <a ojo>tanto para el área, como para las di-mensiones y la forma. Resulta muyinteresante analizar cómo se ha hechola estimación, porque favorece la ela-boración de un plan de acción. En

i l3

caso de que esto presente dificultadesa los alumnos puede ofrecerse unguión indicativo que no tiene por quésegurrse paso a paso.

Ficha del alumno:

1. Tomar las medidas de los lados.2. ¿Qué patrón es el más adecuado?

¿Por qué?3. Suponiendo que I mm represente

una unidad, representa la super-ficie en papel milimetrado.

4. ¿Han resultado suficientes los da-tos? ¿Qué otros habría que to-mar? ¿Por qué?

5. Representada la superficie, ¿dequé tipo de figura se trata?:

- Número de lados.- Medidas de los lados (igua-

les. . . ) .

-- Tipo de ángulos (iguales,agudos, rectos, obtusos,cóncavos).

- Tiene lados paralelos.

6. ¿Conoces alguna fórmula quepermita calcular su á,rea? ¿Tieneslos datos necesarios?

7. En caso contrario descomponerlaen figuras más simples. Observaque se puede descomponer de va-rias maneras. ¿Cuáü es la que fa-cilita más el cálculo?

8. ¿Qué diferencia existe entre la es-timación previa y el valor calcu-lado?

9. Expresa el resultado en una úni-ca unidad de superficie.

10. ¿Es exacta la medición? ¿Por qué?

ACTMDAD TrpO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (13_14)

. Nivel : l3-14 años.

. Ob.jetivos: Llegar al concepto de <for-man en el caso de rectángulos demedidas diferentes. resolviendo elproblema con mediciones y compara-ciones. Establecer una relación de or-den no total. Sugerencia de la idea decoordenadas.

o Materiales: Ficha del alumno, colec-ción de hojas rectangulares del tipoDin ,A'3, Din 44, Din A'5, holandés,folio, que se numerarán, regla gra-duada.

o Motivación'Cada alumno poseerá eljuego de las 5 hojas de papel, su reglagraduada y su ficha. El problemadebe motivar el comprender cómo la<forma> de los rectángulos queda de-terminada por la proporción entre suslados.

l l4

o Ficha del alumno:

Tienes cinco hojas de papel nume-radas del I al 5. Intenta contestarrazonadamente a las cuestiones plan-teadas en esta ficha manipulando lashojas y realizando las medicionesoportunas.

a) Dobla la hoja I por el lado maslargo. La mitad de la hoja:

¿coincide con alguna de las otras4 hojas?

á) Dobla la hoja 2 como antes ymira si su mitad coincide con al-guna otra hoja.

c) Plegando primero y desplegan-do después procura que quedenmarcadas las 5 diagonales de las5 hojas. Una vez hecho esto pontodas las hojas con un vérticecomún. ¿,Qué diagonales se su-

perponen y cuáles están orienta-das diferentemente?

d) Hacer una tabla donde paracada hoja se indique su anchu-ra, su altura y la división de al-tura por anchura. ¿En qué casosdichas divisiones coinciden? Re-laciona el resultado con lo expe-

rimentado en los apartados a,byc.

e) Puestas dos hojas en posiciónvertical diremos que una hoja(va delante)) de otra si su alturay a la vez su anchura son meno-res. ¿Se pueden ordenar las 5 ho-jas con este criterio?

ACTIVIDAD TIPO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (15-16)


c Objetivos: Traducción del lenguajecoloquial al lenguaje geométrico. Re-solución del problema de construc-ción utilizando modelos materiales.Aproximación al problema generalmediante cuestiones de dificultad cre-clente.

. Materiales: Ficha del alumno, papel,tablero, barra, tornillo, cordel, gomaelástica, transportador de ángulos.

o Motivación'Se planteará el problemaasegurando la comprensión del texto.Previamente a la entrega del guión seanalizará el enunciado y se propon-drán soluciones. Es importante no darsoluciones por adelantado ni tampo-co conjeturas. En el subproblema a)se busca la interpretación de la per-pendicular en términos de simetría,puesto que la distancia.4-4' es menorque AC+ A'C para cualquier otropunto C que esté fuera de la perpen-dicular (Fig. 6.6). La equidistancia seobtiene en á) mediante el eje de sime-tría del segmento AB. El caso generalse resuelve situando la perpendicularque deja ángulos iguales a ambos la-dos de ,4 y B. Lajustificación puedeaproximarse según el esquema adjun-to (Fig. 6.7).

l \ . 1

A'r '

Figura 6.6

.48

'?*--

--.'j'

Figura 6.7

c Ficha del alumno:

Sea r la tubería principal de un ga-seoducto. Se quiere distribuir gas ados centros de población A y B demodo que la longitud de la tubería deA a \a conexión mas la de B a la co-nexión sea la mínima posible para evi-

i l5

tar averías y reducir costes (Fig. 6.8).¿Dónde se situará el centro distri-buidor?

.B

Ao

Figura 6.t

Haz un esquema de la situación.Tratemos casos más sencillos para iraproximándose a la solución.

a) ¿Qué punto de la tubería princi-pal se encuentra más cerca de ,4?

Para estudiar esta cuestiónutilizar un artilugio como el dela Fig. 6.9.

Figura 6.9

Sobre una placa de madera sefija una barra por la que se hapasado una anilla. Un elásticoune la anilla y el punto ,4. Sedeja libre la anilla hasta que en-cuentre la posición de menortensión.

¿Qué^puede decirse de la po-sición del elástico respecto a larecta?

Usar papel para confirmar lahipótesis. Recordar que el seg-mento de recta que une un pun-to y su simétrico es la menor d is-tancia posible.

ó) ¡;Qué punto de la tubería se en-cuentra a la misma distancia delas dos poblaciones?

Tantear algunos puntos equi-distantes de A y.B aunque no seencuentren sobre la recta.

Para ello sobre un papel tra-zar una recta y los puntos ,{, .8.Tomar un cordel y marcar elpunto medio M, clavando susextremos en los puntos. Suje-tando el punto medio con unamano, con la otra hacer correruna pequeña anilla desde el pun-to M hasta que sea posible (véa-se Fig. 6.10).

Figura 6.10

¿Cómo es la recta que descri-be la anilla sobre el papel?

Trazarla usando el plegado depapel y/o el compas.

c) Busquemos ahora el punto Ddonde la suma de distancias ADy BD sea la mínima posible.

Comprobar que no se corres-ponde con los casos anteriores(Fig. 6.1 l ) .

A6II

\ - /7Y-

/Y/ \\

--- \\\:

\ - -AB

--\'::)t'

Figura ó.11

l16 n7

Tantear con algunos Puntosentre R y ^S.

Para cada uno medir los án-gulos según se ve en el gráficoadjunto (Fig. 6.12).

Figura 6.12

¿Qué valores de los ánguloscorresponden al caso de menorlongitud entre los encontrados?

Utilizando un transportadorde ángulos y colocarlo según la

Fig. 6.13 y trazar las rectas porA y por ,8. Medir la suma de dis-tancias.

¿Qué relación tiene con la si-metría?

I

Figura ó.13

6.5. DIAGNOSIS Y EVALUACION

6.5.1. Diagnosis

Al abordar la planificación de la enseñanza-aprendizaje de la Geometríaes muy importante preveer y explicitar cuáles van a ser los puntos y situa-ciones claves que entrañarán mayor dificultad de aprendizaje. Previstas lasdificultades se podrá poner el énfasis debido y tener planificadas las corres-pondientes actividades terapéuticas de las mismas. Se tratará de distinguiry graduar tanto situaciones de aprendizaje grupales, como, sobre todo, desituaciones de aprendizaje individuales. En el diagnóstico de la diferencia-ción individual nos será de gran utilidad el modelo de Van Hiele de estra-tificación del conocimiento geométrico, descrito en la sección 5.l. Este mo-delo nos permitirá disponer, de entrada, de una clasificación de los posibles

niveles de conocimiento, señalándonos los Iugares donde podemos encon-trar las dificultades básicas en la enseñanza-apretdizaie de la Geometría.

Además de esta diagnosis cognitiva habrá que tener en cuenta otros ti-pos de diagnosis, como son la pedagógica en lo referente a Ia organizacióndel grupo clase; la perceptiva mediante el análisis, la visualización y el re-conocimiento de formas y relaciones espaciales, y finalmente la diagnosisepistemológica para explicar el grado de distinción entre los tipos de pre-

conocimientos relacionales e instrumentales, así como la descripción de loserrores espontáneos u obstáculos epistemológicos que de las ideas espacia-les presentan los alumnos.

// i tt",

Para elaborar inventarios de diagnosis, el método más común es anali-zar y codificar las respuestas de un colectivo de individuos frente a situa-ciones problemáticas presentadas. Estas situaciones problemáticas puedenincluir tanto tests individuales, análisis de estrategias de resolución de pro-blemas, registro y transcripción de entrevistas, etc. (véase actividad tipo 6.5).

6.5.2.,Evaluación

lJna vez hechas las exploraciones previas, diagnosticado el estadio ini-cial de conocimientos, planificado las actividades y llevadas a cabo en Iapráctica docente, cabe culminar el proceso educativo con la fase final de eva-luación y en su caso retro-alimentación.

La evaluación en geometría nos debe indicar qué comportamientos depercepción espacial han sido adquiridos y cuál ha sido su grado de adqui-sición.

Al mismo tiempo debe ser un instrumento correcto de la planificación,

instrucción y ejecución de la tarea educativa ppr parte del profesor.Habrá que diseñar diferentes métodos y técnicas de evaluación para co-

nocer el proceso de aprendizaje y maduración dé los distintos conceptos yrelaciones geométricas.

Una fase de la evaluación estará basada sobre la observación directa enla realización de las distintas actividades y exploraciones propuestas. Estaobservación se podrá realizar de forma subjetiva <in situ> en el momentode la realización de las actividades y de forma más objetiva controlando yrevisando los registros escritos en la libreta de laboratorio. Otra fase que

llamaremos de observación indirecta, quizá la más productiva, es analizarel tipo de respuesta, tanto oral, gráfica, manual o escrita que un alumno daal aplicar un concepto o habilidad enseñado a una nueva situación. La ob-servación indirecta nos permitirá evaluar si el aprendizqe ha sido signifi-cativo.

No hay que olvidar el grado de logro de los objetivos afectivos, es decir,los relativos a valores, actitudes y normas. Por tanto, también deberemosdiseñar técnicas para evaluar el comportamiento docente del alumno.

Por parte del profesor, debe saber diseñar, escoger, presentar y corregirdistintas situaciones didácticas para culminar de forma adecuada el proceso

de evaluación.De hecho el saber hacer preguntas no sólo es de vital importancia para

la evaluación sino para todo el proceso educativo. En el momento de plan-tear cuestiones hay que distinguir distintos niveles de interrogación:

o Nivel 1.' Es el que corresponde a típicos ejercicios, de memoria visual,de reconocimiento de formas, recuerdo de propiedades rutinarias (por

ejemplo, cuál es la suma de los ángulos de un triángulo).

l l8

o Nivel2.'Corresponde a cuestiones en las que se necesita algo más querecurrir a la memoria. Incluye las siguientes tareas:

a) Representaciones gráficas (construcción e interpretación).b) Explicación de una definición o de una propiedad geométrica.c) Anólisis, interrelación y aplicación de distintos conceptos geo-

métricos reconociendo y dando ejemplos y contraejemplos.d) Preparación de mensajes para comunicar correctamente un in-

forme espacial.e) Investigaciones abiertas sobre resolución y planteamiento de

problemas geométricos.

c Nivel -3; Elaboración y redacción de informes y trabajos monográficossobre distintos aspectos y fenómenos de contenido espacial.

Cada uno de estos niveles nos indic¿irá el grado.de adquisición y manejode los conocimientos geométricos, con lo que podremos de esta manera es-tructurar la evaluación.

ACTIVIDAD TIPO DE DIAGNOSIS Y EVALUACION

e Niyel: 12-16 años.

t Objetivo: Evaluar la habilidad de vi-sualizar las relaciones geométricas enel espacio tridimensional.

o Motivación: La evaluación estará des-tinada a medir el desarrollo de lahabilidad de visualización de las re-laciones geométricas en el espacio tri-dirnensional. Para ello se especifica-rán tres sub-objetivos:

l . Interpretar representacionesgráficas de objetos tridimensio-nales.

2. Construir representaciones grá-ficas.

3. Efectuar transferencias y ma-nipulaciones de imágenes men-tales.

Estos objetos específicos se trasla-darán a diferentes ítems de evaluación

que incluirán diferentes tipos de ac-iión espacial estructurada tanto en ta-xonomías de conocimiento como entaxonomías de conocimiento comoen taxonomías heurísticas.

El resultado de la evaluación se po-drá plasmar en el Cuadro 6.2.

. Taxonomías de conocimiento:

(D): Número de dimensiones dondetiene lugar la realización de laprueba. Se valora por 1,2,3 .

(I):: Grado de interiorización exigi-do por el item. Se valora por0, 1,2

(P): Tipo de presentación de la res-puesta exigida en la prueba sevalora por 0, 1,2 .

(C): Análisis de las operaciones men-tales necesarias para resolverproblemas. Se valora por 0,1.

l t9

CUADR() 6,2

Objeti.vos

Tiposde ¡cciónespacial

ItemsTexonomíss

deconocimicnto

BsrcmoRend¡-

mientoEst¡&-tegirs

Taxono-mí¡s

heurlsticas

Apilardientos1

DIPC

3100

2 ^t200

Perspectiva 3

3120 2

B 3120 3

c 3120 3

D 3120 2

2Representa-

clones

4 3200

5 3220

3

Pliegues6 3210

1 3210

Descomposi-clones

8 3210

o 3210

Secciones l0

3120 I

3120 I

c 3120 I

o Taxonomías heurísticas:(R): Modo de representación utiliza-

do. Se clasifica en estrategiasverbales (EVE), estrategias vi-suales (EVI), estrategias mixtas(EMr).

(F): Modo de focalizar la atención.Se clasifica en estrategias globa-les (EG), estrategias parciales(EPA).

(M): Medios auxiliares concretos uti-lizados.

Items:

l. ¿Cuántos cubos hay en el siguienteapilamiento?

120

Figura 6.14 Figura. 6.18

121

2. ¿Cuántos cubos hay en el siguienteapilamiento?

3. La Fig. 6.16 representa un sólido.Este sólido tiene aristas que no sepueden ver. Las aristas escondidasse dibujan como aparecen en laFig. 6.17.

Figura 6.15 Figura 6.16 Figura 6.17

Dibuja de la misma manera las aristas escondidas en los sólidos representadosen Ia Fig. 6.18.

D

+. Supongamos que se observa la for-ma de la Fig. 6.19, mirándola si-

Figura 6.19

guiendo la dirección de la flecha.l'lntonces se percibirá la Frg. 6.20.

Figura 6.20

Supongamos ahora que se ob-serva la forma de la Fig. 6.21, mi-rándola siguiendo la dirección de laflecha. Dibuja la figura que se percibe.

5. Supongamos que se observa la for-ma de la Fíg. 6.22, mirándola si-guiendo la dirección de Ia fecha. Di-buja la figura que se percibe.

122

Figura ó.21 F'igura 6.22

123

6. Supongamos que se dobla dos ve-

ces una hoja de papel rectangular Yse corta a continuación un Pequeñotriángulo rectángulo en la hoja ple-

gada tal como indica la Fig. 6.23.

Figura 6.23

Desplegando el papel, ¿cuál de las figuras ,4, B, C, D, E (Fig. 6.24) se obtendrá?

Figura 6.24

D

7. Se pliega una hoja de papel rectan-gular y se hace un corte tal como se

indica en laFig.6.25.

Si se despliega la hoja, ¿cuál de lasfigva A, B, C, D, E (Fig. 6.26) seobtendrá?

Figura 6.25

E

Figura 6.26

8. Supongamos que se corta un cuboen dos t'rozos siguiendo las líneasmarcadas (véase Fig. 6.27).

¿Cuál de las figuras A, B, C, D, Emuestran los dos pedazos que se ob-tienen?

E

Figura 6.27

D

r24

Figura 6.29

t25

9. Supongamos que se corta un Pris-ma en tres trozos siguiendo las lí-neas marcadas (véase Fig. 6.28).

¿Cuál de las figuras A, B, C, D, Emuestran los tres pedazos que se ob-tienen?

E

Figura 6.28

D

10. En los siguientes dibujos de cubos,los trazos discontinuos representanlas aristas escondidas y los demasindican la dirección en que se corta

el cubo en dos pezados. En cadacaso, dibuja con precisión la super-ficie que se obtiene al seccionar elcubo.

INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS PARA I'L LECTOR

l. Realizar las actividades tipo contenidas en este capitulo.

2. Completar Ia actividad tipo 3.1 con los siguientes estudios: Redactar un mensajeescrito para dictar por teléfono las soluciones a), b), c) de la ficha del alumno.

3. Tomando como referencia la actividad tipo 6.1., planificar una lección sobre laenseñanza de la mediatrizpara el ciclo superior, con el siguiente esquema:

a) Intoducción (presentación del concepto y motivación).b) Investigación (presentación y realización de actividades de laboratorio).c) Discusión (puesta en común de los resultados de la investigación.d) Utilización uso de las ideas desarrolladas, ejercicios de consolidación).e) Extensión (ampliación, otros conceptos, interrelación, etc.).

4. Administrar el test de la actividad tipo 6.5 a un grupo de compañeros y com-pletar la tabla de resultados de la evaluación. Será conveniente realizar algunasentrevistas.

5. Resolvei y categorizar el siguiente problema de acuerdo con las siguientes va-riables instructivas:

(R) Recursos:

- Percepción visual.- Representación gráLfica.- Calculadoras.- Aplicaciones.- Heurística.- Estimación y aproximación.- Estructuras de...

(N) Nivel:

- Introducción.- Consolidación.- Extensión.

(P) Pedagogía:

- Teorías de aprendizaje.- Técnicas de metodología.- Diagnosis y evaluación.- Finalidades y objetivos.

L Dibujar un triángulo z4-BC.2. En cada lado, construye un triángulo

X, Y, Z.equilátero. Denótalo por las letras

3. Unir Z con B, A co¡ Y, X co¡ C.4. ¿Qué relaciones cumplen las líneas así obtenidas?

r26r27

6. Diagnosticar el error y proponer las correspondientes actividades terapéuticas

resp-ecto a las soluciones del siguiente ejercicio'

Ejercicio: Redondear los ángulos de mayor amplitud en cada caso (Fig' 6'30)'

7. Hacer un comrc Paralelismo.

Figura 6.30

alumnos de 8-9 años para explicar el concepto de para-

8. Preparar textos, utilizando diferentes lenguajes, para explicar una misma pro---

pi.á.¿ geométrica para alumnos de l4-ló años y comparar los grados de difi-

cultad de cada caso.

g. Preparar una actividad para alumnos de I I -l 2 años donde se clasifiquen los cua-

driliteros según el punto de intersección de sus diagonales'

10. Redactar la ficha del alumno de 7-8 años para clasificar las formas obtenidas

conungeoplanocircular.¿Quédiferenciaspodríahaberentreestaf ichayotradedicada a alumnos de l0-12 años?

l l .Programarparaalumnosde13-14añosunaact iv idadenlaqueensayenméto-dos de obtención ¿e áesarrollos planos de un poliedro distintos de la actividad

tipo del aPartado 6'3.

12. Estudiar polígonoS que puedan estar contenidos en las caras de un cubo, pero--

.on todos sus-vértices en aristas del cubo. Programar una actividad para hacer

estudiar secciones posibles de un cubo'

13. Hacer los diagramas de Venn, Carroll y en árbol correspondientes a la clasifi-

cación de los Paralelogramos.

14. En la actividad tipo de relacionar, marcar claramente las fases de observación'

expresión, actuación' relación y abstracción'

15. Elegir un problema geométrico y pensar diferentes versiones en lenguaje ordi-

narro.

16. Dado el problema de hallar el centro dc gravcdad de un polígono, inventar unmaterial para resolver dicho problema, indicando a qué nivel sería adecuadousar dicho material.

17. Programar con problemas de dificultad creciente una investigación sobre las re-laciones entre los ángulos inscritos y centrales en una circunferencia.

128 129

Epílogo

Exactamente lo contrario de lo que generalmenle se (re.' es

a menudo la verdad. (JrrN or LA BRUvERE)

En la presentación del libro aludíamos a la rehabilitación de la Geome-tría. Todas las páginas anteriores pueden orientar de cómo montar un an-damio adecuado para proceder a tal rehabilitación. Pero ahora es cuandorealmente empieza la labor. La obra bien hecha será, en este caso, posibi-litar que tras el estudio de la geometría escolar los alumnos posean ilusióny habilidades con las que observar y actuar en su entorno. Que los usos geo-métricos, para aquellos que los precisen, sean fáciles y válidos y que los re-cuerdos geométricos, sean interesantes. Tanto el uso como el recuerdo de-ben ser situaciones feüces.

C. Alsina, C. Burgués, J. M.a Fortuny

APENDICB

Sugerencias y respuestasa ejercicios seleccionados

Capítulo 2

L Tanto en la actividad tipo <El itinerario misterioso> como en lade <<Cazade formas> es necesario hacer previamente en el aula una adecuada pre-sentación de las experiencias, insistiendo en la parte del currículo quese va a trabajar.Se recomiend,a realizar las mencionadas actividades tipo en grupos dedos o tres alumnos. Cada alumno debe disponer de un correspondientecuaderno de a bordo para registrar todas las observaciones e inciden-cias que se produzcan en el transcurso de las actividades.En cuanto a la actividad tipo <Las máquinas> hay que insistir en el tra-bajo de traducción paralela a los tres niveles: objetos, acciones y es-quemas.

2. En todas las investigaciones y ejercicios de programar, plantear y dise-ñar actividades es muy conveniente tomar como marco de referencia losdistintos niveles de concreción del diseño curricular. El libro de CésarColl es una buena guia para estas cuestiones.

3. Consultar la correspondiente bibliografía citada a pie de página de laactividad tipo.

4. Tomar como referencia la actividad tipo <Las máquinas>.

5. Puede ser recomendable idear fichas monográficas en torno de una te-mática muy concreta observable en obras de arte: concavidad y conve-xidad en escultura, simetría en figuras pintadas..., e incluso hacer fichasrelativas al tratamiento de una proporción (número de oro...), o una fi-gura (cubo, esfera...), o a lo largo de diferentes estilos artísticos partien-do de una relación de fotos.

6 y 7. Llegar a clasificaciones de formas captadas a partir de objetos sim-ples colocados encima de una mesa puede ser más sugerente si los ob-jetos tienen componentes dinámicos (relojes, móviles, etc.).

t33

8. Consultar la obra de C. Alsina y t,l. Marquet Pesos, Mides i Mesures.

9. Se recomienda hacer una visita previa a una iglesia para observar unrosetón. Posteriormente, a partir de una fotografía del rosetón, se ana-lizarán las distintas relaciones geométricas subyacentes. En este momen-to el profesor puede hacer un repaso de las construcciones geométricaselementales. La culminación de la actividad será la construcción con re-gla y compás del rosetón elegido.

10. Consultar las fichas de A. Alsina: Una lligó de Matemdtica corporal.

Capítulo 3

l. La actividad tipo de inducción sugiere una iniciación elemental a losfractales como tema de reciente actualidad científica. La actividad tipode deducción puede experimentarse con niños de 13-14 años.

2. n(n-3)12.

3. n - 3 ángulos interiores cóncavos; 3 ángulos interiores convexos.

4. nsir?esparyn-2 s in esimpar.

5. lz+22+32+.. . tn2.

6. En la construcción recurrente de los lados de los rectángulos aparecendos sucesiones de Fibonacci donde cada término es igual a la suma delos dos anteriores. Sus proporciones tienden al número de oro.

7. Este problema puede tratarse a partir de los desarrollos planos de lospoliedros regulares y viendo las posibles coincidencias de polígonos re-gulares en un vértice.

8. Debe procederse inductivamente añadiendo en cada paso una recta yviendo las nuevas regiones que aparecen. Se relacionará cada paso conlos anteriores. Puede plantearse un problema similar con círculos en lu-gar de rectas.

9. Véase el libro de A. Don: Fundamentos de Geometríapara una intere-sante discusión histórica del quinto postulado de Euclides.

10. Dado un triángulo, por un vértice se traza una paralela al lado opuesto.Se comprueba que los ángulos adyacentes a derecha e izquierda del án-gulo cuyo vértice se considera son congruentes con los dos ángulos deltriángulo cuyo lado común es el lado opuesto al vértice considerado.

I l. La aproximación de áreas mediante cuadrados a rectángulos puede acla-rar esta relación.

134

12. Los crecimientos de tipo espiral (con curvas o con segmentos rectos)dan inducciones interesantes.

13. Deberá trabajarse el número mínimo de piezas L necesarias para gene-rar una nueva L, acotando el tamaño de la nueva L a obtener (doble,...).

14. Para 9-10 años, podría plantearse la investigación a partir de contar lasdiagonales posibles desde un vértice.

15 y 16. Véase el libro de E. Castelnuovo I-a Geometría.

Capítulo 4

l. Es interesante comprobar, mediante entrevista, que las actividades tipode percepción espacial forman una jerarquía. En cuanto a la actividadtipo de representación gráfica se sugiere consultar las fichas de trabajodel Proyecto DIME en G. Giles.

2. Esta investigación hay que desarrollarla como una actividad de lab<lra-torio de percepción espacial.

3. Fig. 4.3: AI es paralela a BE y hay perpendicularidad "/C, siendo los trián-gulos ABC, JCI y JBE semejantes..., Fig. 4.7: los ángulos inscritos enuna circunferencia abarcan la mitad de los ángulos centrales correspon-dientes. Fig. 4.8: Teorema de Pitágoras.

6. a) igu,aldad entre ángulos interiores, externos;á) teorema de Thales;c) suma de ángulos de un triángulo;d) semejanza de triángulos.

8. Consultar la obra de C. Alsina, C. Burgués y J. M. Fortuny: Construirla Geometría. Materiales parq una didáctica, en esta misma colección.

Capítulo 5

l. Consultar el libro de J. Llibre sobre el tangram.

2. Consultar el artículo de D. Barba y J. M." Fortuny de 1982.

4. Consultar la obra de C. Alsina y otros Estades de Motivació Matemática.

6. Consultar la obra de C. Alsina, C. Burgués y J. M." Fortuny, Bon díaGeometría!

7. Consultar la obra de C. Alsina y otros Estades de Motivació Matemótica.

8. Consultar la obra El tangram de los 7 elementos, de Elffers.

135

Capítulo 6

l. Consultar el artículo de J. M.u F'ortuny sobre el <Laboratorio de Me-diatriz.>

4. l :14: '2:36;6:B;7:B;8:C;9:E

5. Percepción visual y heurística; extensión; evaluación. Líneas concurren-tes.

6. Confusión entre extensión superficial y amplitud.

9. Consultar la obra de E. Castelnuovo La Geometría.

ll y 12. Consultar la obra de C. Alsina, C. Burgués y J. M." Fortuny, Bondía Geometría!

13 y 16. Consultar la obra de E. Castelnuovo La Geometría.

r36 137

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138 139

Abstracción, 92.Acciones espaciales, 16-17, 85, 92,

98-99.físicas. 34.

Actividad de investigación, 100.espacial en el entorno natval,28,29'cuadro-ejemplo, 30.

Adquirir conocimientos, 15.Alsina, C. y FortunY, J. M., 1988' 30.Análisis cuantitativo, figurativo y es-

tructural, 28.Aprendizaje, 83.Axiomas,49.

Bartolomeis, De, 1986, 100.

Caza de formas, 37.Clasificación, 16-17, 63.Clasificaciones simultá,neas, 37.Clasificar, 107-108.

actividad tiPo, 109-1 10.Comprensión del esPacio, 84.Comunicación, 103-104.Conceptos, 99-103.

Indice analítico

Conocimientos espaciales, 14, 15, 84.actividad tipo, 90.geométricos, 15, 28, 63'64.modos, 15.promotor, 100.

Construcción del espacio, 87.Construcciones con regla y compás, 46.Constructivista, Posición, 84, l12-Creación artística, 36.Currículo, 98-99.

Deducción lógica, 15.Demostración, 49, 51.Demostraciones dinámicas, gráficas y

visuales, 52-54actividad tipo, 53.

Desarrollo individual, 98.intelectual. 86.

Determinación, 17, 63.Diagnosis cognitiva, epistemológica,

pedagógica, Perceptiva, I 17.actividad tipo, I19.

Dibujo en perspectiva, 67.isométrico. 67.

técnico exacto, ó6.topográfico aproximado, 66.

Dimensión uno, dos, tres, etc., 14, 37.Dimensiones de la instrucción, 99.Descubrimiento activo, 99.Dienes, Z. P., 1971,90.Discernimiento, 89.

Educación geométrica, 60-61.Einstein, 15, 84.Enseñanza de la Geometria, 15, 97-98.Enseñanza-aprendizaje, 87.Entorno, conocimiento, 63-64, 92.

arltficial, 27-28.artístico. 36.científico, 32.espacial, 63-64,92.natwal,27-28.técnico, 32.actividad tipo,32.

Epistemología, punto de vista, 112.Equivalencia de areas, 5l-52.

de propiedades, 50.de volúmenes, 5l-52.

Espacio absoluto, 84.abstracto, 85.ambiental, l4-16.arquitectónico, 16, 84.comportamiento, de, 100.concreto, 85.cosmo-, 29-30.filosófico, 16, 84.físico, 16,84.geométrico, 16, 84.intuitivo, 85.macro-, 29-30.meso-. 29-30.micro-, 29-30.multidimensional. 14.orientación. 14.posición, 14.psicológico, 16, 84.real, 15.relativo. 84.sensorio-motor, 85.social, 16, 84.

140

l;.squcmas geométricos, 34.l, lst ructura geométrica, 33.l ' lstructuración, 16-17, 63.lrtapas genétricas, 85.Euclides, elementos de, 13, 23-24, 49.Euler, fórmula de,44.Evaluación. l l8-119.Experiencias espaciales, 15.

Fenomenología didactica, 28, 33.Fenómenos naturales, 28.

tecnológicos, 33.Fielker, 1979, ll3.Finalidades de la enseñanza de la Geo-

metria, 17.Forma de producción, 100.Formas lineales, planos y espaciales, 37,

6l-62,93, l l4-115.Freudenthal, 1983,28.Frostig programa,62.Fundamentación de la Geometría. 49.

Geometría y Arte, 35-37.ciencia. 3l-32.como las Matemáticas del espacio,t4,24-25.cuerpo de conocimientos, 14.estudio para todos, 16, 17.nuevas geometrías: Descriptiva, Dife-

rencial, Integral, No-Euclideas,Probabilística, P r oyectiva, 24.

técnica,3l-32.actividad tipo, 37.

Giles, 1979, 68.Giménez, J. y Fortuny, J. M., 1986, 30.Grafos topológicos, 66.

Habilidades de abstraer, comunicar, ob-servar y organizar, 17,64,90.de saber ver e interpretar,6l, l19.actividad tipo, 93.

Hilbert. 25.Historia, reflexiones, 23-25.Hoffer, 1977, 62.

Ideación gráfica,64.

Ilusiones visuales, 60.Imágenes espaciales, 16, 59-60.

mentales, 60, 119.visuales, 60.

Imaginación, 99.Inducción, 42, 44.

demostración por, 42, 44.hipótesis, 42, 44.para contar, 43.para verificar, 44.sobre conceptos, 46.sobre construcciones, 46.sobre dimensiones, 45.actividad tipo, 48.

Información, 103.Instrucción. 98.Instrumentos de medida, 77-78.Intuición geométrica, 14, 15, 29, 7 4-7 5.It inerario misterioso. 31.

Kant, 84.

Laboratorio, estructura de, 92, 100, l0l.Leibniz, 84.Lenguaje, 15,64, l0 l , 103, l12, l14.Lógica, 15.

conceptos, 15.conectores y cuantificadores, 50-51.

Maestro, 97.Máquinas, actividad tipo, 32-33.Material,72,92.Materiales aptos para la confección de

modelos, 76.preparados para el montaje de mode-

los, 75.Mecanismos, 77.Mediatriz, laboratorio, 102-103.Medidas angulares, lineales y superfi-

c ia les, 31,93.Memoria. 87.Miyazaki, 1986,32.Modelos cosmológicos, desmontables,

energéticos, estructurales, evolutivos,fijos, manipulativos, móviles y numé-rtcos. 32-33.72-75.

Motivación en la enseñanza-aprendiza-je de la Geometría, 28.

Naturaleza verbal, visual, 15.Niveles de conocimiento, 84.

de interrogación, I l8-l 19.de organización espacial, 86.

Objetivos en Ia enseñanza de la Geome-tria, 17.de actitudes, 20-22.de conceptos, 20-22.de normas, 20-22.de procedimie ntos, 20-22.

Objetos reales, 29.O'Daffer y Clemens, 1977,90.Operaciones cognitivas, 16.

espaciales, 29.

Pallascio. 16.Pensamiento, desarrollo, 15, 87.

elementos, 15.mecanismos. 15.

Percepción espacial, 15, 60, 61, 63-64,85.etapas de desarrollo, 17.niveles de comprensión, 16.visual, 60, 63-64, 99.actividad tipo,62.

Piaget, etapas, 85, 86.Planificación activa, cíclica, comunica-

tiva, fenomenológica, progresista, 98,99.

Plot, revista núms. 32, 38, 39.Poliedros regulares, 93.Problemas de extensión y ampliación,

99.Procesos. 99.

cognitivos, 85, 86.de conceptualizacií¡, 29.deductivos, 42,49.espaciales, 29.de existencia y unicidad, 51.visuales. 60.

Progreso gradual, 100-101.Propiedades geométricas, 14, 16,85, 86.Proyecciones ortogonales, 66.

141

Psicologla, punto de vista, 15.Puig Adam, 1958-1967, 25.Puntos cardinales, 31.

Razonamiento deductivo. 23.inductivo, 48, 99.matemático, 41.

Relacionar, 107.actividad tipo, 109-1 10.

Relaciones espaciales, 7-16, 6l-62, 84,86,99.lectura comprensiva, 16.topologías, proyectivas, afines y eu-clideas, 29.

Representación, 59, 92.actividad tipo, 68-69.bidimensional, 14.espacial, 63-64, ll9.del espacio, 66.gríú.ica, 63-64, ll9.mental, 29, 85, 87,98, 99.de objetos reales o ideas abstractas,

64.Reproducciones con diferentes materia-

les, 37.exacta, 65.perspectiva, 65.

Resolución de problemas, 100, I12.actividad tipo, l14, l15.

Significado, 105.Símbolos, 103.

para comprender, recordar y comuni-car. 104.

para construir conceptos, 105.para reflexionar y automatizar, 105-visuales, 103.

Simbolización, actividad tipo, 106.Situaciones problemáticas, I 18.

reales, 103.

Tangram, 93.Taxonomías de conocimiento. l19.

heurísticas, 120.Teatro, 106-107.Teorema, 49.

Pitágoras, 52.Teoría psicogenética, 85.Términos, 49.Thales, 23.Topográ,ficos, cortes de nivel, 67.Trabajo de campo, 31.

actividad tipo, 93.en equipo, 92.personalizado, 92.

Traducción, 17, 29, 53, 112.Transformaciones geométricas, 24.

enseñanza de,93-94.

Van Hiele, niveles de conocimiento,9l,109.fases de aprendizaje, 89-90.

Variables, l12.Visualización, 15, 17, 60, 62.Visualizar. habilidad de. 119.

142

Cultura Y Aprendizaje 12 - Invitacion a La Didactica de La Geometria

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