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CUADRADOS LATINOS Integrantes: Bryan Saquinga Edison Proao Stephanie Muoz

CUADRADOS LATINOS

Integrantes: Bryan Saquinga Edison Proao Stephanie MuozOrigenEl nombrecuadrado latinose origina conLeonhard Euler, quien utilizcaracteres latinoscomo smbolos.Qu es?Un cuadrado latino es una matriz de tamao n*n cuyos elementos pertenecen a un conjunto finito A de cardinalidad n y cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada renglon y en cada columna de L.A es llamado el conjunto base del cuadrado y n su orden.Ejemplo

Sea A = {A, B, C, D}. La siguiente matriz es un cuadrado latino de orden 4.

Teorema

Existe un cuadrado latino de orden n para cualquier entero positivo n.

Nmero de cuadrados latinosSe sabe que para n = 2, el nmero de cuadrados latinos distintos es 2, los cuales son.

Un cuadrado latino de orden n con conjunto base {0,1,,n-1} es reducido si los elementosde su primer rengln y su primera columna estn en orden natural, es decir: 0,1,2,,n-1.

Teorema Para n 2: L(n) = n!(n-1)!r(n)

Denotaremos al numero de cuadrados latinos de orden n como L(n) y al nmerode cuadrados latinos reducidos de orden n como r(n). Entonces, el siguiente teorema nos dice que para n > 2el numero de cuadrados latinos de orden n depende del numero de cuadrados latinos reducidos deorden n.

La estimaciones de los cuadrados latinos de orden n=11, 12, 13,14,15 son:

Nmero de cuadrados latinos hasta n=11

Hasta el momento se conoce el nmero exacto de cuadrados reducidos para n pequeos, as que se han dado distintas cotas para el clculo de este nmero.

Cotas inferiores para L(n)Se define como cota inferior al menor numero de posibilidades de que un nmero sea colocado en una posicin determinada de la matriz (aij).

Cotas superiores en L(n)Se define como cota inferior al menor numero de posibilidades de que un nmero sea colocado en una posicin determinada de la matriz (aij).

AplicacionesEs sorprendente la gran variedad de reas matemticas en donde dichos cuadrados ofrecen resultados importantes, por ejemplo, en la estadstica, la teora de grficas y la criptologa.

Cuadrados MgicosUn Cuadrado mgico es una matriz de tamao n*n de enteros con la propiedad de que lasuma de los nmeros en cada rengln, cada columna y en las diagonales principales es la misma.El cuadrado es de orden n si los enteros son enteros consecutivos de 1 a n^2. La suma es llamada numero mgico y la denotaremos como Sn.

Ejemplo

El diagrama de Lo ShuEs el mas antiguo ejemplo conocido de un cuadrado mgico en el mundo. Segn la leyenda, en los tiempos antiguos en China hubo un desbordamiento en el ro Lo, la gente temerosa, intento hacer una ofrenda al dios del ro para calmar su ira mediante sacrificios. Sin embargo, cada vez que lo hacan, apareca una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un nio se dio cuenta de que las peculiares marcas del caparazn de la tortuga formaban un patrn. Despus de estudiar estas marcas, la gente se dio cuenta de la cantidad correcta de sacrificios era 15, quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.Los nmeros en cada la, arriba y abajo, a travs, o en diagonal, suman 15, que pasa a ser el nmero de das que tarda la luna nueva para convertirse en una luna llena. El diagrama Lo Shu se remonta desde hace 5600 aos, segn algunas estimaciones.

En las artesEl mas famoso cuadrado mgico est incluido en un grabado de Alberto Durero, llamado Melancola. En este cuadrado mgico de orden cuatro se obtiene la constante mgica (34) en las, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los nmeros de las esquinas, los cuatro nmeros centrales, los dos nmeros centrales de las filas (o columnas) primera y ultima, etc. y siendo las dos cifras centrales de la ultima la 1514 el ao de ejecucin de la obra.

Otro cuadrado mgico es el que se encuentra en la fachada del templo de la Sagrada Familia, creado por el arquitecto Gaud, en Barcelona. Cuyo numero mgico es 33, edad en la que Jesucristo fue crucificado.

SudokuEl juego del Sudoku consiste en llenar una cuadrcula de 9*9 celdas (81 casillas) dividida en subcuadrculas de 3*3 con nmeros del 1 al 9 partiendo de algunos nmeros ya dispuestos en algunas de las celdas de tal manera que cada rengln, columna y subcuadrcula contenga a los nmeros del 1 al 9 exactamente una vez.