Cuaderno de Ejercicios de Calculo Diferencial e Integral 2009
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Universidad Tecnolgica de Panam
Departamento de Matemticas
Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera.
ENERO 2015
-
Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 2
NDICE
Presentacin4
Tema No.1. Lmite de una funcin. 6
Ejercicios 7
Tema No. 2. Lmites trigonomtricos..8
Ejercicios9
Tema No. 3. Continuidad de una funcin10
Ejercicios.11
Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales.12
Ejercicios..13
Tema No. 5. Incrementos.14
Ejercicios..14
Tema No. 6. La derivada de una funcin.15
Ejercicios..16
Tema No. 7. Teoremas para el clculo de derivadas17
Ejercicios..18
Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonomtricas directas20
Ejercicios21
Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonomtricas inversas..22
Ejercicios23
Tema No. 10. Derivada de las funciones logartmicas..24
Ejercicios25
Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales26
Ejercicios.27
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 3
Tema No.12. Derivacin logartmica28
Ejercicios...29
Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una funcin.30
Ejercicios31
Tema No. 14. Derivacin de funciones implcitas.32
Ejercicios33
Tema No.15. Ecuacin de las rectas tangente y normal a una curva.34
Ejercicios35
Tema No. 16 Mximos y mnimos de una funcin36
Ejercicios..38
Tema No. 17. Problemas de aplicacin de mximos y mnimos..39
Ejercicios..40
GLOSARIO.42
BIBLIOGRAFIA45
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 4
PRESENTACION
El presente Cuaderno de ejercicios de Matemtica II pretende apoyar
los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura
presentando ejercicios resueltos y proponiendo al estudiante ejercicios
por resolver de uso ms frecuente en los temas a tratar.
El estudiante al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios
encuentra un apoyo acadmico, ya que los ejemplos presentados le
permitirn hacer ms comprensibles e interesantes la resolucin de los
ejercicios en la aplicacin a los diferentes tipos de problemas.
As, los ejercicios que resuelva le proveern de un conocimiento
bsico de la Matemtica II, comprendiendo la materia de un modo ms
completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, lmites,
derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva,
as como aplicacin de los conocimientos adquiridos en la resolucin de
problemas prcticos.
De esta manera, se pretende apoyar la asesora a los estudiantes e ir
consolidando materiales de sustento acadmico para el Ncleo de
Formacin de Matemticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se
entrega a los estudiantes en las primeras clases del semestre haciendo
una revisin personalizada como parte de la clase o como asesora
disciplinara.
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 5
Con la elaboracin y uso de este material por parte del estudiante se
busca desarrollar su razonamiento y la habilidad matemtica y ampliar
la comprensin y utilizacin del lenguaje bsico de las ciencias, lo cual
es el propsito del programa de esta asignatura.
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 6
1. Lmite de una funcin.
Definicin de funcin: Decir que lim0 () = significa que cuando
x est cerca, pero difiere de c, f(x) est cerca de L.
Ejemplo: Encuentre el lim326
3
Solucin. Note que (2 6)/( 3) no est definido para x=3,
pero todo est bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende
a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresin dada; por
ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco
de lgebra para simplificar el problema.
lim3
2 6
3= lim
3
( 3)( + 2)
3= lim
3( + 2) = 3 + 2 = 5
La cancelacin de x-3 en el segundo paso es legtima, ya que la
definicin pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo
tanto, no se ha dividido entre cero.
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
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Ejercicios: Encontrar los siguientes lmites:
1. lim3(2 8) Respuesta: -2
2. lim3 (2
+ 1)
3. lim2(2 3 + 1) Respuesta: 11
4. lim49+2
3
5. lim12+34
1 Respuesta: 5
6. lim4 5 + 73
7. lim155
1
8. lim234+1
22 Respuesta: -1/3
Calcule el lmite por la derecha de la siguiente funcin:
() = 22 + 3
Calcule el siguiente lmite, obteniendo sus lmites laterales:
lim4||
Respuesta: -1
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2. Lmites trigonomtricos.
El lmite de una funcin trigonomtrica se obtiene utilizando los
teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)
Ejemplo: Hallar el valor del lmite lim2(36) cos(2)
2
En este tipo de lmites formados por una parte algebraica y una parte
trigonomtrica, se considera para la trigonomtrica que si 2
entonces 2 0, as que al aplicar el teorema del lmite de un
producto de dos funciones, se tiene:
lim2(36) cos(2)
2= lim2
36
2 . lim2 cos( 2)
En la parte algebraica, el lmite del cociente resulta la indeterminacin
cero entre cero, por lo que la expresin primero se simplifica y despus
se obtiene el valor del lmite. En la parte trigonomtrica, el lmite es de
la forma lim0 cos = 1, donde u=x-2, entonces
= lim2
3( 2)
2 . lim
20cos( 2)
= lim2
3 lim20
cos ( 2)
= (3) (1)
= 3
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Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes lmites.
1. lim0 5 Respuesta: 0
2. lim1 6 cos( 1)
3. lim0 [21
cos ] Respuesta: -1
4. lim3 [32(3)
26+9]
5. lim2 [5 (2)
2+2] Respuesta: 5
6. lim2 [4
(26+8) cot(2)]
7. lim2 [2+3+2
(+2) sec(+2)] Respuesta: -1
8. lim0 5 cos 2
9. lim2 [7 (2)sec (2)
tan(2)] Respuesta:
10. lim0 [2
csc ] Respuesta: 0
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3. Continuidad de una funcin.
Existen tres tipos de discontinuidad de una funcin, los cuales son:
discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o
asinttica y discontinuidad de salto.
Ejemplo: Analizar la continuidad de la funcin () =24
+2 en x= -2,
en caso de que la funcin sea discontinua, indique a qu tipo de
discontinuidad corresponde.
Analizando la condicin de continuidad
a) (2) =(2)24
2+2=
0
0 No est definido en los nmeros reales.
b) lim224
+2= lim2
(+2)(2)
+2= lim2( 2) = 4
Existe en los nmeros reales.
Por lo tanto (2) lim224
+2 No se cumple la condicin de
continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.
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Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no
en 2; si no lo es, explique por qu.
1. () = 42 2 + 12 Respuesta: si
2. () =8
2
3. () =32
2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.
4. () = 1
5. () = 3 Respuesta: no, porque h (2) no existe.
6. () = |3 52|
7. () =38
2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.
8. () =48
2
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4. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas
racionales.
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una
funcin algebraica racional se resuelve la ecuacin obtenida al igualar
con cero el denominador.
Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la funcin
() =2
2 3
Igualando con cero el denominador:
2 3 = 0
Resolviendo por factorizacin:
( 3) = 0
= 0 = 3
Por lo tanto, la funcin es discontinua en x=0 y en x=3.
Calculando el lmite de la funcin en estos dos puntos
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
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a) Para x=0
lim02
23= lim0
2
(3)=lim0
2
3=-
2
3
La funcin f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto
(0,-2/3)
Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes
funciones, trace la grfica e indique el tipo de discontinuidad que se
presenta.
1.() =34
2 Respuesta: Disc. evitable x=2
2. () =5
3
3. () =2+1
24+3 Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3
4. () =8
2
5. () =6+3
3+526 Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1
6.() =35
24
7. () =2
2+1 Respuesta: Continua
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5. Incrementos.
Se llama incremento de la funcin f(x) a la diferencia del valor final
con el valor inicial y se denota por (), eso es:
() = (2) (1)
Ejemplo: Dada la funcin () = 2 4 + 3, obtenga el incremento
de la funcin.
El incremento de la funcin se obtiene con:
() = ( + ) ()
Como () = 2 4 + 3
Entonces ( + ) = ( + )2 4( + ) + 3
= 2 + 2 + ()2 4 4 + 3
Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la funcin, esto es
() = (2 + 2 + ()2 4 4 + 3) (2 4 + 3)
= (2 + 4)
Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones
1. () = 2 1
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2. () = 32 4 + 5
3. () = 2 + 5 7
6. La derivada de una funcin.
La derivada de una funcin en cualquiera de sus puntos,
geomtricamente representa la pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto.
Ejemplo: Obtenga la derivada de la funcin () = 32 + 4 5
Aplicando la definicin de derivada:
() = lim0
( + ) ()
Resulta:
= lim0
3( + )2 + 4( + ) 5 (32 + 4 5)
Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos
indicados, se tiene:
= lim0
3(2 + 2 + 2) + 4 + 4 5 32 4 + 5
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= lim0
32 + 6 + 32 + 4 + 4 5 32 4 + 5
Simplificando
= lim0
6 + 32 + 4
Realizando la divisin
= lim0
(6 + 3 + 4)
Finalmente, calculando el lmite cuando 0 se obtiene la derivada
de la funcin
() = 6 + 4
Ejercicios: Utilizando la definicin, calcule la derivada de las
siguientes funciones.
1. () = 23 Respuesta: 62
2. () = 34 + 7
3. () = 2 + + 6 Respuesta: 2 + 1
4. () = 2 5
5. () =2
4 Respuesta: 85
6. () = 24 3
7. () = 9 3 22 Respuesta: -3-4x
8. () =5
3
9.() =1
+3 Respuesta:
1
(+3)2
10. () =3
4 +
1
3
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7. Teoremas para el clculo de derivadas.
Una forma ms simple que la aplicacin de la definicin para calcular la
derivada de una funcin real de variable real, es mediante el uso de
teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definicin y que pueden
ser consultados en el libro de texto.
Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin () =2
32
Transformando la funcin a la forma de potencia
() =2
3 2
Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la
funcin.
() =2
3 (23)
= 4
3 3
= 4
33
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Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. () = 33 Respuesta: 94
2. () = 57+2 6
3. () = 8
10 Respuesta: -8011
4.() = 54 23 + 6 2
5. () =3
55 Respuesta: 66
6. () = 410 + 127 54 + 8
7. () = 6
Respuesta: 1
6 56
8. () = 1
+
1
2-
1
3
9. () = 35 + 23 Respuesta:156 64
10. () = 33 33 +
3
3 3
Ejemplo: Obtenga la derivada de la funcin () =322
3
Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:
[()
()] =
()() ()()
[()]2
Aplicando el teorema correspondiente
=3(6 2) (32 2)(3)
(3)2=
182 6 92 + 6
92
=92
92= 1
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Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1. () = (2 + 2)(3 + 1) Respuesta: 54 + 62 + 2
2. () = (4 1)(2 + 1)
3.() =1
32+1 Respuesta:
6
(32+1)2
4. () =2
521
5. () =1
+1 Respuesta:
2
(+1)2
6. () =21
1
7. () = (1 )2 Respuesta: 2x-2
8.() = (52 3)5
9.() = (22 3 + 1)35
Respuesta: 129
5 (223+1)25
10. () = (25)7
2
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8. Derivada de las funciones trigonomtricas directas.
La derivada de las seis funciones trigonomtricas directas se obtienen
aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados
en el texto.
Ejemplo: Hallar la derivada de la funcin
f(x) = tan 4x3 2 cot x2 + sec (2x 1)
Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los
teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada trmino y
simplificando, se tiene:
Dxf(x) = sec24x3Dx(4x
3) + 2 csc2x2Dx(x2)
+ sec(2x 1) tan(2x 1)Dx(2x 1)
= 12x2sec24x3 + 4x csc2x2 + 2 sec(2x 1) tan(2x 1)
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
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Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones
1. () = (3 1) Respuesta: 3 cos (3x-1)
2. () = cos 27
3. () = tan 3
Respuesta: 2
3
3 23
4. () = sec (1 2 3)
5. () = 5 + cos 5 Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x
6. () = cot csc 3
7. () = 55 Repuesta:2544525
8. () = 22
9. () = 21
tan 5
10. () = cos (tan 3) Respuesta: 3 23 (tan 3)
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 22
9. Derivada de las funciones trigonomtricas inversas.
Para calcular la derivada de las funciones trigonomtricas inversas,
se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse
en el texto.
Ejemplo: Calcule la derivada de la funcin () = (4 53)
S u= 4-53, utilizando el teorema =1
12 se
tiene:
() =1
1 (4 53)2 (4 5
3)
=152
1 (4 53)2
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 23
Ejercicios: Derive las siguientes funciones:
1. () = (2 1) Respuesta:2
1(21)2
2. () = cos(2 + 3)
3.() = tan (1 + + 2) Respuesta:1+2
1+(1++2)2
4. () = cot(32 1)
5. () = sec(5 ) Respuesta:1
(5)(5)21
6. () = csc 3
7. () = cot Respuesta:1
2(1 + )1
8. () = 2
9. () = tan 5
cot 7
10. () = ( 3)5 Respuesta:15( 3)4
192
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 24
10. Derivada de las funciones logartmicas.
Para calcular la derivada de una funcin logartmica, se aplican los
teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto
o en el prontuario o formulario.
Ejemplo: Calcule la derivada de la funcin log3(3 2 + 1)
Considerando u= 3 2 + 1 , aplicando el teorema
log =1
log se tiene:
() =1
3 2 + 1log3 (3
2 2)
=32 2
3 2 + 1log3
Ejemplo: Determine la derivada de la funcin = ln (62 + 3)
Considerando = 62 + 3, aplicando el teorema ln =1
, se
tiene
=1
62 + 3(12 + 3)
=12 + 3
62 + 3
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 25
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. () = log2(4 42) Respuesta:
438
442 log2
2. () = ln(22 )
3. () = tan (ln 2)
4. () = ln( ) + ln(tan 3)
5. () = ln(23) Respuesta: 623
tan 3
6. () =cos 4
log 5
7. () = log5( 2)
8. () = log2( cos( 2))
9. () = cos ( ln 2)
10. () = 1 + ln 3 Respuesta: 1
21+ln 3
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 26
11. Derivada de las funciones exponenciales.
Para calcular la derivada de una funcin exponencial, se aplican los
teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el
libro de texto, en formulario o prontuario.
Ejemplo: Obtener la derivada de la funcin () = 72+
Considerando = 2 + , aplicando el teorema = ln ,
se tiene:
() = 72+ ln 7 (
2 + )
Calculando la derivada indicada y ordenando los trminos, se tiene
la derivada de la funcin
= (2 + 1)72+ ln 7
Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin () = cos 2
Considerando = cos 2, aplicando el teorema = , se
tiene:
() = cos 2 cos 2
Calculando la derivada y ordenando los trminos, se tiene la
derivada de la funcin
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 27
= 2 2 cos 2
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. () = 22 Respuesta:22 ln 2
2. () = 74
3. () = 3 3
4. () = 432+
5. () = 2+38
6.() = cos 3 Respuesta: 32 3 cos
3
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 28
12. Derivacin logartmica.
Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada
de una funcin elevada a otra funcin y para efectuar la
demostracin de teoremas para el clculo de derivadas.
Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los
logaritmos:
a) ln = ln + ln
b) ln
= ln ln
c) ln = ln
Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin () = 5
Igualando la funcin con y
= 5
Aplicando el logaritmo natural
ln = ln 5
Aplicando la propiedad de los logaritmos
ln = 5 ln
Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad
1
= 5 ln + ln (5)
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 29
= (5)1
+ 5 ln = 5 + 5 ln
Despejando = (5 + 5 ln )
Sustituyendo = 5
5 = 55 + 55 ln
Ejercicios: Utilizando el proceso de derivacin logartmica, obtenga
la derivada de las siguientes funciones.
1. () = (3)2 Respuesta: (3)2(2 + 2 ln 3)
2. () = (32)cos 2
3. () = (cos 3)+2 R:(cos 3)+2 ((3 6)3 + 3)
4. () = (5 52)56
5. () = ( 2)cot(31)
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Magster Maril Rivera. Pgina 30
13. Derivadas sucesivas de una funcin.
Al derivar una funcin real de variable real continua, se obtiene como
resultado una nueva funcin, la cual se puede dividir nuevamente. A la
derivada de la derivada de una funcin se le llama segunda derivada y
a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas
de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la
ordinaria.
Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la funcin
() = 7 + 26 54 + 83 2 + 2
La primera derivada de la funcin es:
() = 76 + 125 203 + 242 2
La segunda derivada
2 () = 425 + 604 602 + 48
La tercera derivada
3 () = 2104 + 2403 120 + 48
La cuarta derivada
4 () = 8403 + 7202 120
La quinta derivada
5 () = 25202 + 1440
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 31
Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.
1. () = 25 23 R: 240
2. () = cos(5 3)
3. () = (3 2)
4. () = 42 5
5. () = 2 1 R.105
(21)9
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 32
14. Derivacin de funciones implcitas.
Una funcin real de variable real es implcita cuando en su regla de
correspondencia ninguna variable est despejada en trminos de la
otra. La derivada de una funcin implcita se puede determinar con
respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable
dependiente y mediante el proceso denominado derivacin implcita. Al
derivar funciones implcitas, es comn aplicar la regla de la cadena. El
procedimiento para esta derivacin se puede consultar en el libro de
texto y en el formulario o prontuario.
Ejemplo: Mediante derivacin implcita, obtenga la derivada con
respecto a x de la funcin
342 + 32 = + 7
Derivando con respecto a x
(342) + (3
2)=() + (7)
Aqu se debe tener en cuenta que para derivar los trminos 342
y se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.
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Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 33
Calculando las derivadas y representando por y la derivada de y
con respecto a x.
64 + 1232 + 6 = +
Reordenando y como se desea obtener el valor de y, los trminos que
contiene a y se agrupan en el primer miembro, factorizando los
trminos
(64 ) = 1232 6
Despejando y, se tiene la derivada de la funcin con respecto a x.
= 1232 6
64
Ejercicios: Derive implcitamente con respecto a x las siguientes
funciones
1. + 3 = 2 R: =+32
2
2. 3 + 2 + cos = 3
3. 2 + 2 = 2 cos
4. 3 + 2 = 5
-
Cuaderno de ejercicios de Matemtica II
Magster Maril Rivera. Pgina 34
15. Ecuacin de las rectas tangente y normal a una curva.
Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad
inmediata, y que se apoya en la definicin e interpretacin
geomtrica de la derivada de una funcin real de variable real
continua, consiste en la obtencin de la ecuacin de la recta
tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante
la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la
geometra analtica para rectas
Ejemplo: Obtenga la ecuacin de la recta tangente y normal a la
curva () = 23 + 32 5 + 3 en el punto de abscisa x=0.
La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0
en la ecuacin de la curva.
(0) = 3
Entonces el punto de tangencia es P (0,3).
La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando
la funcin en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la
funcin es:
() = 62 + 6 5
El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:
= (0) = 5
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Aplicando los valores anteriores en la ecuacin de recta conociendo
un punto y la pendiente, para obtener la ecuacin de la tangente:
3 = 5( 0)
5 + 3 = 0
La ecuacin de la normal es:
3 =1
5( 0)
5 + 15 = 0
Se obtiene el ngulo de inclinacin de la recta tangente, esto es:
= tan = tan(5)
= 101
Se obtiene el ngulo de inclinacin de la recta normal sumando 90 al
ngulo de la recta tangente, esto es:
= 101 + 90 = 191
Ejercicios: Obtenga la ecuacin de la recta tangente y normal a la
curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas
rectas en el mismo plano.
1. () = 2 3, = 1 R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0
2. () = 32 + 6 5, = 1
3. Obtenga la ecuacin de la recta tangente a la curva
= 2 3 10 , con ngulo de inclinacin de 135.
4. () = 4 2 en x=-2 R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0
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16 Mximos y mnimos de una funcin.
La principal utilidad al obtener los puntos mximos y mnimos de una
funcin, as como los intervalos donde es creciente y decreciente es
para realizar un esbozo general de la grfica de la funcin, sin
embargo, en problemas de aplicacin el objetivo principal es
determinar los valores mximos o mnimos que optimicen el problema.
Para determinar los puntos mximos y mnimos de una funcin, as
como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el
procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la
primera y segunda derivada.
Ejemplo: Obtenga los puntos mximos y mnimos de la funcin
() = 3 32 9 + 3 , as como los intervalos en los cuales es
creciente y decreciente.
Derivando la funcin
() = 32 6 9
Igualando con cero la primera derivada
32 6 9 = 0
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Simplificando y resolviendo la ecuacin, se tiene la abscisa de los
puntos crticos
2 2 3 = 0
( 3)( + 1) = 0
x-3=0 x+1=0
x=3 y x=-1
Calculando la segunda derivada de la funcin
() = 6 6
Valuando la segunda derivada en los puntos crticos.
X () = 6 6 -1 6(-1)-6=-12 () < 0 = 1
3 6(3)-6=12 () > 0 = 3
Valuando los puntos crticos en la funcin original, se tiene el valor de
sus ordenadas
x () = 3 32 9 + 3 -1 (1)3 3(1)2-9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un mximo en (-1,8) 3 3(3)2 9(3) + 3 = 24 Entonces se tiene un mnimo en (3,-24)
A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la funcin
es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos
mismos intervalos tambin es posible obtenerlos mediante la primera
derivada de la funcin.
La funcin es creciente en: (, 1) y en (3,)
La funcin es decreciente en: (1,3)
Se deja al estudiante el trazo de la grfica.
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Ejercicios: Trace la grfica de las siguientes funciones determinando
sus puntos mximos y mnimos, as como los intervalos en los cuales
es creciente y decreciente.
1. () = 2 + 6 1 R: D (, 3), (3,10), (3, )
2. () = 32 4 2
3. () = 3 8 2
4. () = 23 7 + 2
5. () = 23 32 R: C(, 4), (4,19), (4, )
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17. Problemas de aplicacin de mximos y mnimos.
Algunos problemas de planteo en los cuales la solucin es un mximo
o un mnimo, pueden resolverse con la teora que se ha desarrollado
hasta el momento.
La aplicacin principal de este tipo de problemas se presenta en
problemas de optimizacin, en los cuales se pide obtener uno o varios
valores mximos o mnimos. No existe un mtodo general que se
pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en
el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante
puede consultar.
Por problema prctico entendemos un problema que puede surgir en la
vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos
singulares; por lo regular en stos los valores mximos y mnimos se
presentan en puntos estacionarios, aunque tambin debern
comprobarse los puntos frontera.
Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria
parablica, dada por la ecuacin = 2 + 8 13, donde h es la
altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que
alcanza su altura mxima y el valor de sta.
En este caso la funcin objetivo a maximizar es = 2 + 8 13
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Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y
resolviendo la ecuacin
= 2 + 8
2 + 8 = 0
= 4
Por lo tanto el punto crtico se presenta cuando t=4
La segunda derivada es = 2
En el punto crtico (4) = 2 < 0 entonces en t= 4 la funcin
presenta un mximo. Sustituyendo t en h se obtiene
= (4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en
alcanzar la altura mxima que es de 3 metros.
Ejercicios:
1. Un diseador grfico tiene que realizar un trabajo donde tenga
180 cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior
e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las
dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la
menor cantidad de papel posible. R. 14.95 X 22.43 cm
2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de
alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o
rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera
que el rea cercada sea mxima.
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3. Encuentre el volumen de la caja sin tapa ms grande que se
pueda hacer con una hoja cuadrada de cartn, de 24 pulgadas de
lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.
R: 1024 pulgadas cubicas.
4. Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parablica,
dada por la ecuacin = 1
4 2 + 60, donde h es la altura en
metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que
alcanza su altura mxima y el valor de esta.
5. Se requiere construir un recipiente cilndrico sin tapa empleando
480 cm2 de lmina. Qu dimensiones debe tener el cilindro para
que el volumen contenido en el sea mximo? R. r, h=7.13 cm
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GLOSARIO.
Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilneas que fijan la posicin
de un punto en el plano.
lgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y
generalizar las cuestiones relativas a los nmeros. Esto se consigue
utilizando letras para designar los nmeros que se buscan; las reglas
operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrn que en
aritmtica ordinaria con el empleo generalizado del nmero negativo.
Amplitud. De un intervalo (a, b)
Aproximacin. Evaluacin o clculo emprico con resultado inexacto,
pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente.
Asntota. Lnea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de
continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca.
Clculo Diferencial. Rama de las matemticas que trata de las
unidades de cambio en las cantidades variables. En el clculo
diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades
variables; se antepone a ellas el smbolo d, lo que significa un
incremento.
Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que
determina la distancia que un punto guarda en relacin con los ejes de
coordenadas rectilneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y
es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y
la coordenada y representa la distancia ortogonal que el punto
guarda con respecto al eje X.
Curva. Lnea o trayectoria que se desva constantemente de su
direccin y no contiene ninguna posicin de lnea recta. Es el lugar
geomtrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se
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traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura
geomtrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresin
grfica de la variacin que experimenta una magnitud en funcin de
otra u otras, de cuya definicin se desprende que una recta es un caso
particular de curva.
Derivacin. Es la operacin con la que se encuentra la derivada de
una funcin.
Discontinuo. Magnitud que vara por saltos y no gradualmente.
Funcin, derivada de una. Es la tendencia de una funcin al
acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen
varias frmulas para derivar.
Funciones implcitas. Son implcitas cuando su dependencia con la
variable independiente no se encuentra en forma de ecuacin resuelta,
como es: 5 2 = 8, en este caso y es una funcin
implcita de x.
Funciones, valores crticos de las. Se llaman valores crticos a los
valores en los que una funcin encuentra un mximo, un mnimo o un
punto de inflexin, stos se localizan derivando la funcin e igualando
a cero. Los valores de x que satisfacen a f(x) se llaman valores
crticos.
Lmite de una funcin. Es el valor al que tiende el resultado de la
operacin cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como
es decir que el lmite de f(x) cuando x tiende a a sea k.
Mximo. Lmite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad
variable entre ciertos lmites.
Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden
representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas
logaritmos, funciones trigonomtricas o ecuaciones en las que el
exponente es la variable.
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Variable dependiente. Magnitud que en una relacin o funcin
depende del valor que se le asigne a otras variables.
Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para
obtener su valor.
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BIBLIOGRAFIA.
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Mxico, Editorial Progreso.
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COURANT, R., Robbins, H., 2002 (edicin en espaol), Qu son las
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