CSY2 – Spørgsmål 10Forklar ved et eksempel, hvordan man finder overføringsfunktionen

for et reguleringssystem med lineær plantfunktion G(s) og digital regulering.

• Generelt reguleringssystem• Mulighed 1 (Planten digitaliseres)

• Overføringsfunktion• Rodkurve• Håndregel• Z-domæne oversigt

• Implementering af systemet• Mulighed 2 (Regulatoreren laves analog)

Generelt reguleringssystem Standard overføringsfunktion:

Mason’s regel

Ofte har vi ikke et helt analogt system Hybrid system(findes ingen overføringsfunktion) Muligheder:

Gøre Plant digital via ZOH(bibeholde A/D problematikken da en plant altid er analog) Gøre Regulator analog via inverse Z-transformation

TCL s( )D s( ) Gp s( )

1 D s( ) Gp s( )

ZOH

Mulighed 1Planten digitaliseres (eksempel bruges)

Transformering via ZOH foretagesPlanten ZOH transform

Opslag og forsimpling af Z-transformationen:

Eksempel næste slide:

Gp s( )a

s2 2 a s a2

a

s a( )21 z 1 Z Gp s( )

s

Gp s( )

sa

s s a( )2

ZGp s( )

s

1a

z z 1 e a T a T e a T

e 2 a T e a T

a T e a T

z 1( ) z e a T 2

z 1z

ZGp s( )

s

1a

z 1 e a T a T e a T e 2 a T e a T a T e a T

z e a T 2

Gdigital z( )1a

z 1 e a T a T e a T e 2 a T e a T a T e a T

z e a T 2

Mulighed 1Eksempel

Bemærk fasenFast satte værdier

a 20 Kp 1

Fs a 20 T1Fs

Funktioner

Gp s( )a

s2 2 a s a2

Gdigital z( )1a

z 1 e a T a T e a T e 2 a T e a T a T e a T

z e a T 2

0.01 0.1 1 10 100 1 103100

80

60

40

20

dB Gp j 2 Fn

dB Gdigital ej 2

FnFs

Fs

2

Fn

0.01 0.1 1 10 100 1 103260

173.333

86.667

0

180

k Gp j 2 Fn

k Gdigital ej 2

FnFs

Fs

2

Fn

dB Gdigital e

j 2 244

Fs

100

OverføringsfunktionDigitalt eksempel

Masons regel(CL)PI regulatorValg af Fs(næste slide)

DaPI s( ) Kp 11

Ti s

Funktioner

DPI z( ) K1 K2z 1

1 z 1

Gdigital z( )1a

z 1 e a T a T e a T e 2 a T e a T a T e a T

z e a T 2

TCLDigitalz( )DPI z( ) Gdigital z( )

1 DPI z( ) Gdigital z( )

0.01 0.1 1 10 100 1 10380

60

40

20

dB TCLDigital ej 2

FnFs

Fn

Fast satte værdier

a 20 Kp 1 Ti1a

0.05

Fs a 30 T1Fs

K1 KpKp T

Ti 2 K2

Kp T

Ti

0.01 0.1 1 10 100 1 103260

173.333

86.667

0

180k TCLDigital e

j 2 FnFs

Fs

2

Fn

OverføringsfunktionDigitalt eksempel

Ændring af Fs Kan påvirke stabilitet

(næste slide rodkurve)

DaPI s( ) Kp 11

Ti s

Funktioner

DPI z( ) K1 K2z 1

1 z 1

Gdigital z( )1a

z 1 e a T a T e a T e 2 a T e a T a T e a T

z e a T 2

TCLDigitalz( )DPI z( ) Gdigital z( )

1 DPI z( ) Gdigital z( )

0.01 0.1 1 10 100 1 10380

60

40

20

dB TCLDigital ej 2

FnFs

Fs

2

Fn

Fast satte værdier

a 20 Kp 1 Ti1a

0.05

Fs a T1Fs

K1 KpKp T

Ti 2 K2

Kp T

Ti

0.01 0.1 1 10 100 1 103260

173.333

86.667

0

180k TCLDigital e

j 2 FnFs

Fs

2

Fn

Rodkurve Betydning af Fs

Karakteristiske ligning

Kompleks ligning værktøj brugt: Sisotool

Nulpunkt i -0.978 og 0.967 Pol i 1 (integrator) Komplekse poler i 0.97 og +/- 1j*10^-7 (tryk for visning) Ustabil hvis K er større end 39

TCLDigitalz( )DPI z( ) Gdigital z( )

1 DPI z( ) Gdigital z( )

1 DPI z( ) Gdigital z( ) 0 1 K L s( ) 0

Fs 600 T1Fs

1.667 10 3

Rodkurve Betydning af Fs

Karakteristiske ligning

Kompleks ligning værktøj brugt: Sisotool

Nulpunkt i -0.512 og 0.333 Pol i 1 (integrator) Dobelt poler i 0.368 Ustabil hvis K er større end 58.5

TCLDigitalz( )DPI z( ) Gdigital z( )

1 DPI z( ) Gdigital z( )

1 DPI z( ) Gdigital z( ) 0 1 K L s( ) 0

Fs 20 T1Fs

0.05

Håndregel Håndregel gælder på reelle poler og nulpunkter Pol -> nulpunkt Ulige = mod venstre Lige = mod højre Ustabil i højre halvplan

Negative reel akse

Negative reel akse

Rodkurver Z-domæne oversigt Rodkurve

Komplekse rødder(Zeta,Wn og T)

ImplementeringHele regulerings systemet

PI-ledet med udgangspunkt i den billineær Z-transformation

Implementering ser således ud: Differensligninger

Planten har IIR struktur og vælges implementeret med en type 1

Differensligning

Kaskade kobling ses på næste slide

DPI z( ) K1 K2z 1

1 z 1

( 1 ) u1 n( ) = K1 e n( )

( 2 ) w n( ) = u2 n( ) K2 e n( )

( 3 ) u2 n( ) = w n 1( )

( 4 ) u n( ) = u1 n( ) u2 n( )

Delvis IIR struktur

b0

b1

z-1

y(n)x(n)

b2

z-1

z-1

-a1

z-1

-a2

y n( ) b0 x n( ) b1 x n 1( ) b2 x n 2( ) a1 y n 1( ) a2 y n 2( )

G z( )1a

z 1 e a T a T e a T e 2 a T e a T a T e a T

z e a T 2

G z( )0.00054z 0.00053

20 z2 38.69z 18.71

0.0005420

z 10.0005320

z 2

138.6920

z 118.7120

z 2

ImplementeringHele regulerings systemet

0.1 1 10 100100

80

60

40

20

0

dB TCLa j 2 Fn

Fn

0.1 1 10 100200

133.333

66.667

0

180

k TCLa j 2 Fn

Fn

Mulighed 2Analogt eksempel

Regulator analog

Plant analog

Closed loop

Bruges ikke i virkeligheden(men er en mulighed)

Da s( ) Kp 11

Ti s

Gp s( )a

s2 2 a s a2

TCLa s( )Da s( ) Gp s( )

1 Da s( ) Gp s( )

Ti 0.05

Kp 1

a 20