Creencias, concepciones y conocimiento profesional de … · 2019-09-30 · investigación de...

Relime Vol. 9, Núm. 1, marzo, 2006, pp. 85-116.

Fecha de recepción: Abril de 2005 / Fecha de aceptación: Febrero de 2006

Departamento de Física y Matemática, Núcleo Universitario Rafael Rangel. Universidad de Los Andes, Venezuela.

Departament de Didàctica de les Matemàtiques. Universitat Autònoma de Barcelona. España.

Departament de Matemàtica. Universitat de Lleida. España

Creencias, concepciones y conocimiento profesional

de profesores que enseñan cálculo diferencial

a estudiantes de ciencias económicas

Luis García1

Carmen Azcárate2

Mar Moreno3

RESUMEN

En este artículo se describen las creencias, concepciones y el conocimiento profesional quetiene un grupo de profesores de universidad sobre la enseñanza del cálculo diferencial aestudiantes de ciencias económicas. Se trata de un estudio de casos en el que participarondiez profesores de matemáticas; los datos fueron obtenidos a partir de un cuestionario abierto,además de una ficha que se les suministró a los profesores participantes en la que se lessolicitó información relacionada con su formación académica y años de servicio comodocentes. El análisis se desarrolló en función de unas categorías establecidas a partir deunas redes sistémicas, y los resultados muestran que casi todos los profesores participantessiguen una línea tradicional a la hora de abordar la enseñanza de la derivada y le dan unfuerte peso al contenido matemático en sí, descuidando el contenido económico relacionadocon el cálculo diferencial.

PALABRAS CLAVE: Creencias, concepciones, conocimiento profesional, cálculodiferencial, enseñanza universitaria.

ABSTRACT

In this paper are described the beliefs, conceptions and the professional knowledge that hasa university professors group on the teaching of differential calculus to students of economicssciences. It is a study of cases in which participated ten mathematics professors; the datawere obtained by means of an open questionnaire, that was supplied to the participatingprofessors, with this questionnaire was requested them information related to their academicformation and their years of service as educators. The analysis was developed in function ofsome categories established from some systemic networks, and the results show that almostall the professors continue a traditional line at the moment to undertake the teaching of thederivative concept and they give a strong weight to the mathematical content itself, neglectingthe economic content linked with the differential calculus.

KEY WORDS: Beliefs, conceptions, professional knowledge, differential calculus,university education.

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Introducción

En este trabajo estudiamos las creencias,concepciones y conocimiento profesionalque tiene un grupo de profesoras yprofesores de matemáticas de universidad,en Venezuela, sobre la enseñanza delcálculo diferencial a estudiantes de

RESUMO

Neste artigo são apresentadas as crenças, concepções e o conhecimento profissionalque tem um grupo de professores da universidade sobre o ensino do cálculo diferencialpara estudantes de Ciências Econômicas. Trata-se de um estudo de casos em queparticiparam dez professores de matemática; os dados foram obtidos mediante umquestionário aberto, além de uma ficha que entregue aos professores participantes,onde foram solicitadas informações relacionadas à sua formação acadêmica e seusanos de trabalho como docentes. A análise se desenvolveu em função de categoriasestabelecidas a partir de redes sistêmicas, e os resultados mostram que quase todos osprofessores participantes seguem uma linha tradicional na hora de abordar o ensino daderivada e dão um forte peso ao conteúdo matemático em si, descuidando do conteúdoeconômico vinculado ao cálculo diferencial.

PALAVRAS CHAVE : Crenças, concepções, conhecimento profissional, cálculodiferencial, ensino universitário.

RÉSUMÉ

Dans cet article sont décrites les croyances, les conceptions et la connaissanceprofessionnelle que posséde un groupe de professeurs universitaires sur l’enseignementdu calcul différentiel à des étudiants de sciences économiques. Il s’agit d’une étude deplusieurs cas dans lesquels ont participé dix professeurs de mathématiques ; les donnéesfurent acquises grâce a un questionnaire ouvert, en plus d’une fiche qui fut fournie auxprofesseurs qui ont participé, où furent sollicitées des informations en relation avec leursformation académique et leurs années de service en tant qu’enseignants. L’analyse s’estdéveloppée en fonction de certaines catégories établies à partir de réseaux systémiques,et les résultats montrent que la plupart des professeurs qui ont participé suivent uneligne traditionnelle au moment de commencer l’enseignement de la dérivée, et donnentune grande importance au contenu économique en liaison avec le calcul différentiel.

MOTS CLÉS : Croyances, conceptions, connaissance professionnelle, calculdifférentiel, enseignement universitaire.

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carreras relacionadas con las cienciaseconómicas (licenciaturas en contaduríapública, administración de empresas yeconomía). Con ello, queremos contribuira las investigaciones realizadas por lacomunidad científica a lo largo de los

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últimos años en torno a ciertos aspectosde la enseñanza de las matemáticas en launiversidad.

En este orden de ideas, el trabajo que sepresenta a continuación se enmarcadentro de la figura del profesor dematemáticas de universidad y cómoaborda la enseñanza del cálculodiferencial, qué ejemplo matemático o nomatemático cree que es el más adecuadopara llegar al concepto de derivada, quétipo de aplicaciones de la derivada enseñaa sus estudiantes y cuál es su posiciónfrente a una propuesta de enseñanza delcálculo con problemas que involucrensituaciones reales de las carreras objetode este estudio, entre otras.

Marco teórico, definiciones ycaracterizaciones

En primer lugar, queremos destacar elpapel que juega el profesor como objetode investigación en la actualidad. Por ello,comenzaremos a fundamentar nuestromarco teórico en ciertos aspectos de loque se ha venido llamando pensamientodel profesor, de ahí que hablaremos sobresus creencias, concepciones yconocimiento profesional, así como de lamanera en que influyen y seinterrelacionan con la enseñanza.Además, como señalan Gil y Rico (2003),es útil conocer las concepciones ycreencias de los profesores en torno a laenseñanza que imparten, por ejemplo,para implicarlos en procesos de cambio.

Asimismo, no debemos olvidar que elprofesor es un elemento crítico, con ciertaexperiencia docente; en nuestro caso sonprofesionales autónomos en sus cátedrasque, por ende, pueden tomar decisionesrespecto al modelo de enseñanza-aprendizaje en el que están inmersos.

Dado que este trabajo se enmarca dentrodel conocimiento profesional, concepcionesy creencias del profesor de matemáticassobre la enseñanza del cálculo diferencial, acontinuación definiremos y caracterizaremosdichos términos, que son centrales en estainvestigación. Sin embargo, antes queremosindicar la dificultad de establecer una claralínea divisoria entre concepciones ycreencias.

Son diversas las investigaciones realizadasen este ámbito (Clark, 1988; Flores, 1998;Gil y Rico, 2003; Llinares, 1991; Moreno,2000; Pajares, 1992; Ponte, 1994; Vicente,1995). La mayoría de los investigadores,en la descripción de su marco teórico,hacen esfuerzos por establecer lasdiferencias entre concepciones y creencias,pero terminan utilizando ambos términosde forma indistinta, como Thompson(1992), que resaltamos por tratarse de unestudio hecho en el mismo ámbitoeducativo que el que ahora presentamos.Por consiguiente, damos por sentado loambiguo que puede resultar el uso de losdos términos; de allí la dificultad de la propiainvestigación de discernir entre creenciasy concepciones, y la apuesta de estetrabajo por establecer una frontera entredichos términos.

De acuerdo con Bodur (2003), Handal(2003), Moreno (2000) y Ponte (1999),las creencias del profesor son ideaspoco elaboradas, generales oespecíficas, las cuales forman parte delconocimiento que posee el docente –perocarecen de rigor para mantenerlas– einf luyen de manera directa en sudesempeño. Las creencias sirven comofiltro para todo aquello que supone elproceso enseñanza-aprendizaje.

Podemos señalar que las creencias delprofesor t ienen las siguientescaracterísticas:

Creencias, concepciones y conocimiento profesional de profesores que enseñan cálculo diferencial a estudiantes de ciencias económicas

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Están asociadas a las ideaspersonales. Específicamente, cuandoel profesor toma una decisión en elproceso enseñanza-aprendizaje,depende más de sus propias ideasafectivas y experiencia que de unconocimiento fundado y de unaformación profesional específica, tantoen didáctica como en la propiamatemática.Influyen en el proceso enseñanza-aprendizaje.Tienen un valor afectivo.Son un tipo de conocimiento.Se justifican sin rigor alguno.

En el caso de las concepciones delprofesor , basamos nuestra definición enThompson (1992), Flores (1998), Moreno(2000) y Ponte (1999): consisten en laestructura que cada profesor dematemáticas da a sus conocimientos paraposteriormente enseñarlos o transmitirlosa sus estudiantes.

Algunas características de lasconcepciones del profesor son:

Forman parte del conocimiento.Producto del entendimiento.Actúan como filtros en la toma dedecisiones.Influyen en los procesos derazonamiento.

Con estos dos términos y suscaracterísticas se puede apreciar su valoral momento de abordar la enseñanza. Lascreencias del profesor estánfundamentadas más en lo empírico ointuitivo, mientras que las concepcionesson producto del razonamiento yentendimiento de un determinadoconcepto. No obstante, sus límitesfronterizos se encuentran en un constantemovimiento.

Daremos un ejemplo con el que se puedendiferenciar las creencias de lasconcepciones de un profesor dematemáticas: A un maestro quegeneralmente enseña cursos de cálculodiferencial a estudiantes de ingeniería, porla razón que fuera, le corresponde dar uncurso a los alumnos de cienciaseconómicas, sin haber recibido unaformación profesional específica en el áreade economía. El docente podría tomardecisiones basadas en ideas personales,fundamentadas en cursos anteriores o enla intuición que le sugiera su propiaformación o los libros de texto, entre otros.

Respecto al conocimiento profesional delprofesor o, más precisamente,conocimiento del contenido pedagógico ,como lo denominan An et al. (2004, pp. 146-147), es un conocimiento que incluye trescomponentes: conocimiento delcontenido , conocimiento del currículumy conocimiento de la enseñanza . Elconocimiento del contenido consiste en unamplio conocimiento matemático, tan buenocomo el del contenido matemático específicodel grado o nivel en el que se estáenseñando. El conocimiento del currículumincluye la adecuada selección y uso demateriales curriculares, entendiendo porcompleto los objetivos y las ideas clave delos libros de texto y curricula (NCTM, 2000).El conocimiento de la enseñanza atañe alconocimiento del pensamiento delestudiante, la planificación docente y ladestreza en las distintas maneras deenseñar.

Objetivos

Pretendemos estudiar las concepciones ycreencias del profesor universitario dematemáticas que enseña cálculodiferencial a estudiantes de cienciaseconómicas. Con tal fin, aplicamos un

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cuestionario a un grupo de profesores deuniversidad.

Entre los objetivos que se persiguen enesta investigación, destacamos lossiguientes:

1. Medir el alcance que pueda tener elcuestionario para analizar creencias,concepciones y conocimiento profesionaldel profesor de matemáticas en elcontexto señalado.

2. Analizar y caracterizar las concepcionesy creencias que tiene un grupo deprofesores universitarios de matemáticassobre la enseñanza de la derivada aestudiantes de ciencias económicas.

2.1.Saber la importancia que le dan losprofesores a la derivada, vista comoobjeto matemático, dentro de loscontenidos que abarcan los programasde los cursos tratados en el trabajo.2.2.Conocer la opinión personal decada uno de los profesoresparticipantes en esta investigaciónsobre una propuesta de trabajo máspróxima a la hora de enseñar el objetoderivada y vincularla con situacionesreales; en este caso, al ámbitoeconómico.2.3.Al mismo tiempo, conocer ycomparar las caracterizaciones einterpretaciones del concepto de laderivada que cada profesor utiliza paraenseñar, respecto a las que sugierenlos programas oficiales (el de lasasignaturas Matemática I, de la (EC, yMatemática 21, de EE-EA).

3. A nalizar la influencia de lasconcepciones y creencias, derivadas desu formación profesional, que tienen losprofesores de matemáticas sobre laenseñanza de la derivada a estudiantesde ciencias económicas.

4 .Caracterizar el conocimiento profesionaly su relación con las concepciones ycreencias de los profesores.

5. Estudiar el conocimiento profesional delprofesor de matemáticas en el sentidosiguiente: ¿qué puede aportar el profesoral actual programa en cuanto a contenidocurricular y a nuevas estrategias para laenseñanza de la derivada?

Metodología de investigación

El tipo de investigación

La metodología empleada en este estudioes de tipo cualitativa, mientras que sunaturaleza se define como descriptiva,exploratoria e interpretativa, puesqueremos ahondar en los aspectos delprofesor mencionados anteriormente y surelación con las carreras de cienciaseconómicas. El tipo de investigación quese diseñó para tal fin es el estudio de casos,ya que se ajustó a los objetivos y a lainformación que se recogió. La elecciónde tal diseño se hizo para abordar algunosaspectos del pensamiento del profesor conprofundidad y detalle, en un intervalo detiempo relativamente corto, y su verdaderopotencial radica en su capacidad paragenerar hipótesis y descubrimientos, encentrar su interés en un individuo osituación y en su flexibilidad y aplicabilidada situaciones naturales (Latorre et al.,1996).

Además, compartimos los supuestos deMerriam (Arnal et al., 1994), quien señalacuatro propiedades esenciales en elestudio de casos: particular, descriptivo(porque pretendemos realizar una rica ydensa descripción del fenómeno porestudiar), heurístico (en la medida en quelos resultados iluminen la comprensión delos casos, llevándonos en lo posible a


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descubrir nuevos significados) e inductivo (yaque a partir de los resultados se puede llegara generalizaciones o al descubrimiento denuevas relaciones y conceptos).

Otro aspecto que conviene destacar en estainvestigación es que el estudio de casos seaplica a varios individuos de manerasimultánea, lo cual significa una inducciónanalítica (Ballester, 2001). Este trabajoqueda bien diferenciado dentro del estudiode casos, pues corresponde a unamicroetnografía (Arnal et al., 1994; Ballester,2001), ya que se ocupa de pequeñasunidades o actividades específicas dentrode una organización, como una clase(Ballester, 2001, p. 226).

Los participantes en el estudio

En el presente estudio participaron diezprofesores de una universidad venezolana.De ellos, siete son licenciados enMatemáticas (formados en una Facultad deCiencias) y tres en Educación, menciónMatemática (egresados de una Facultad deEducación); ocho poseían título de maestríay, de ellos, dos eran doctores.

Con respecto al número de veces que estosprofesores han impartido los cursosrelacionados con este trabajo, cinco los handictado menos de cinco veces, tres entrecinco y diez veces, uno entre diez y quinceveces, y otro entre quince y veinticinco. Encuanto a la experiencia docente en general,sólo un profesor tiene menos de cinco añosen la labor docente universitaria, tres llevanentre cinco y quince años como profesoresy seis se han desempeñado comoprofesores durante más de quince años.Debemos señalar que, del conjunto departicipantes, siete manifiestan supreferencia por dictar estos cursos, mientrasque los otros tres dicen que no se sientenatraídos por ellos.

Recolección de datos

Para la recolección de datos utilizamos uncuestionario como herramienta principal,aunque también les solicitamos a losparticipantes que anexaran a susrespuestas materiales como bibliografíarecomendada a sus estudiantes, tipos deevaluaciones y listas de problemas yejercicios. Además, suministramos a cadaprofesor un formulario en el que se lepidieron algunos datos personales yacadémicos.

El cuestionario para este trabajo estáconformado por siete preguntas; todas,excepto la cuarta, son de contenido doble.En ellas se plantean diversos aspectossobre la enseñanza de la derivada, peroes conveniente advertir que a losparticipantes se les envió una carta dondese les informó que las preguntas estabanrelacionadas con los cursos de cienciaseconómicas. También se debe hacermención a los tipos de preguntas queconforman el cuestionario: la primera esde tipo introductorio, ya que busca sumergiral profesor en el cuestionario, mientras queel resto están diseñadas en batería, puestoque todas abordan la enseñanza de laderivada desde distintos ángulos (Cabreray Espín, 1986).

Como se señala en Del Rincón et al. (1995),uno de los objetivos del cuestionario escontrastar hipótesis u opiniones de losentrevistados sobre un determinado tema.En tal sentido, nuestro instrumento siguedicho objetivo, pues busca contrastar lasopiniones de los profesores participantesrespecto a la enseñanza de la derivada;además, al aplicarlo se quieren estudiar lascreencias, concepciones y conocimientoprofesional del profesor universitario dematemáticas en cuanto a la enseñanza delcálculo diferencial y, específicamente, a la

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de la derivada en ciencias económicas.

A continuación, destacaremos losaspectos puntuales que se pretenden coneste cuestionario, los cuales nos permitiránalcanzar los objetivos de la investigación:

Conocer qué opinan los profesoresacerca de los errores más frecuentesque cometen los alumnos con respectoa la derivada y sus causas.Conocer el punto de vista de losprofesores sobre el tema de la derivadacomo parte del contenido de losprogramas de las carreras en estudio.Conocer y analizar cómo el profesorintroduce el concepto de la derivada yel ejemplo utilizado para este hecho enconcreto. De igual manera, analizar laestructura que el profesor usa paradesarrollar el tema de las aplicacionesde la derivada.Conocer y contrastar la opinión de losparticipantes sobre una propuesta detrabajo en la que se involucren modelosde situaciones reales, donde laderivada sea la herramienta pararesolverlos.Estudiar la relación entre el contenidoque se enseña y el contenido evaluado.Estudiar las diferencias entre losprocesos discente y docente delprofesor en el concepto concreto de laderivada y la posible implementaciónde elementos innovadores al respecto.

Análisis de datos

Entre las distintas metodologías que haypara representar los datos aportados enun cuestionario como el nuestro,decidimos hacer uso de las redessistémicas (Bliss et al., 1983) para elanálisis de las respuestas de las cincoprimeras preguntas, ya que permiten daruna determinada estructura a los datos

obtenidos en cada respuesta de losprofesores participantes. Además, lasredes sistémicas permiten estructurar losdatos recogidos de acuerdo con unacategorización establecida por losinvestigadores, que es resultado de lasnecesidades u objetivos de la investigación.

No obstante, existen unas reglas quepermiten estructurar los datos de formaadecuada para su posterior análisis einterpretación. Aunque se pueden ver condetalle en Bliss et al (1983), mostramos dosreglas claves utilizadas en nuestras redes:la primera emplea una barra vertical (|) paraindicar que los aspectos o subcategorías ala derecha –pero relacionadas con lacategoría a la izquierda de la barra– sondisjuntas o excluyentes entre sí, mientrasque la segunda utiliza una llave ({) paraindicar que las subcategorías no sonexcluyentes o disjuntas.

Con ello podremos, además de analizar loque dice cada profesor en una respuestaespecífica, diferenciar las opiniones delconjunto de los profesores; es decir,comparar sus creencias, concepciones yconocimiento profesional sobre laenseñanza de la derivada a estudiantes deciencias económicas. Por eso, nuestroanálisis se realiza pregunta a pregunta yno profesor a profesor, aunque espertinente hacer la observación que, desdeun principio, nos planteamos la alternativade un análisis paralelo de cada uno de losprofesores. No obstante, al final pudimosobservar que todos siguen un patrónestándar con ligeros cambios entre sí.

El análisis que se presenta a continuación,de índole cualitativa y descriptiva, fuedesarrollado a partir de la siguienteestructura: identificamos cada una de laspreguntas y agrupamos todas lasrespuestas que sobre ella dieron de losprofesores, luego destacamos algunas


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opiniones sobre la pregunta en cuestión yconcluimos con el resultado de su análisis.

Las creencias y concepciones que tienenlos profesores acerca del cálculo diferencialen estudiantes de ciencias económicas, asícomo su conocimiento profesional, sederivan del análisis hecho a las respuestasque dieron al cuestionario aplicado4.

Observaciones sobre el análisis

Para este trabajo nos planteamos la ideade realizar una red sistémica para cada unade las preguntas del instrumento. De lassiete preguntas que conforman elcuestionario, sólo para las cinco primerasempleamos las redes sistémicas paraestructurar los datos y su análisis posterior.Debido a las razones de espacio,exponemos algunas de ellas.

Para la sexta pregunta, al principioconstruimos una red sistémica tentativa,pero descartamos la opción dealimentarla o modificarla. En el caso dela primera parte de esta pregunta, sepide un esquema alusivo al desarrollodel tema de aplicaciones de la derivada;algunos participantes lo hicieron sobreel tema de la derivada en general y otrosdel punto específico solicitado, con locual hubo que ajustarse a lasrespuestas obtenidas. La elaboraciónde una red para la segunda parte deesta pregunta hubiese quedadorelegada a un simple esquema, puestoque sólo cinco profesores respondierona esta parte y lo hicieron de maneragenérica.

En el caso de la séptima y últimapregunta, las razones que noscondujeron a no hacer una red

ver Anexos 1 y 2.4

sistémica para el análisis de la mismason similares a las expuestas en elpunto anterior, ya que en la segundaparte de la pregunta (que más se prestaa la elaboración de una red) lasrespuestas fueron genéricas ocontestadas de manera tangencial.

Pregunta 1

Sobre los errores más frecuentes de losestudiantes en el cálculo diferencial, loscategorizamos en algebraicos,geométricos y conceptuales (propios delconcepto derivada). Destacamos dentro delos algebraicos a los errores desimplificación de expresiones racionales o,como señalan algunos profesores, el errorque proviene de considerar como linealesa funciones como las logarítmicas,irracionales, etc.

Profesor 1:

Un error frecuente tiene que ver con lapotencia de un binomio .

Profesor 3:

No tienen claro las estructuras como lassiguientes y, en consecuencia, abordan malla derivada de una función de este tipo:

.

Los errores más frecuentes de tipogeométrico que destacan tres de los diezparticipantes se refieren a errores de tipointerpretativo.

Profesor 2:

Errores en el manejo de conceptosgeométricos y en la interpretación

(x ± y)n = xn ± yn

a+ xa

=1+ x

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geométrica de la derivada (deficiencias anivel de nociones geométricaselementales).

No obstante, entre los errores relacionadosdirectamente con el objeto derivada sedestaca el mal uso de las reglas dederivación, como producto de una malaidentificación del tipo de funcionestratadas.

Profesor 1:

Un primer grupo de errores lo enmarco en laaplicación de las reglas de derivación.[…] en vez de utilizar la regla de la cadena,emplean la regla del producto […][…] se presentan errores que tienen que vercon las fórmulas asociadas a las reglas dederivación. En el primer caso, lo asocian alproducto de las derivadas ;en el segundo, con la derivada de uncociente […]

Profesor 6:

[…] En cuanto al tema de la derivada en si,usan muy mal las reglas de derivación y enparticular la regla de la cadena, no identificandel todo las funciones compuestas […]

Respecto a las causas de los erroresmencionados anteriormente, nos referimosa tres de carácter general: las de tipoconceptual, las propias del estudiante y lasque obedecen al sistema educativouniversitario.

Por un lado, los profesores consideran quelos estudiantes presentan fallas en conceptosbásicos preuniversitarios de álgebra ygeometría.

Profesor 5:

Las fallas se deben en esencia albachillerato.

( f ⋅ g)'= f '⋅g'

( f / g)'= f ' /g'

Profesor 7:

Aparte de la mala base que traen debachillerato (álgebra) y que no estudiancon regularidad […]

Profesor 8:

Considero que éstos, como otros errores,pueden deberse a las bases con que seformaron al alumno en niveles educativosanteriores […]

También hay profesores que considerancomo las causas de los errores a aspectosconceptuales relacionados con el cálculodiferencial; en este sentido, destacamoslas siguientes opiniones:

Profesor 1:

[…] Puede que la base de este error residaen el hecho de que los estudiantes aúnno han comprendido la estructuraalgebraica que subyace en undeterminado tipo de función, por lo que lescuesta aplicar la correspondiente regla dederivación […]

Profesor 6:

[…] no identifican del todo las funcionescompuestas.

En otro orden de ideas, hay profesores queconciben que las causas de los errores seencuentran asociadas con las reglas dederivación.

Profesor 6:

[…] usan muy mal las reglas de derivacióny en particular la regla de la cadena.

Una situación importante, tanto por el temaque nos ocupa –la derivada– como por larelación que le damos con las ciencias


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económicas, es el vínculo que hay entreambos temas. Al respecto, dos profesoresopinan que uno de los motivos por los cualesel estudiante comete algunos de sus erroresen el cálculo diferencial tiene que ver con elmanejo de conceptos interrelacionados entreambas áreas.

Profesor 1:

[…] los estudiantes no han internalizadoconceptos propios de su ámbito profesionalpertenecientes a otras materias de pensumde estudios o no han tenido oportunidad deestudiarlas (se les puede estar hablando dela función Costo, pero no tienen idea de loque significa).

Profesor 2:

[…] Poca o nula utilización de estasrelaciones en cursos previos y en muchoscasos el desconocimiento mismo del alumnode los términos (no en matemáticas, sino eneconomía), lo cual hace que asuma lasaplicaciones con mucha dificultad.

Por otra parte, algunos profesores creen quelas causas tienen origen en cuestionesactitudinales de los estudiantes, ya quedestacan el hecho de que no estudian losuficiente, no tienen un adecuado hábito deestudio o carecen de motivación.

Profesor 6:

[…] Tratan también de resolver todos losproblemas con las pocas fórmulasaprendidas y no indagan otras posiblesfórmulas o soluciones. Estudian pocos díasantes del examen […]

Otras opiniones en este mismo sentido son:

Profesor 7:

[…] no estudian con regularidad […]

[…] quizás tienen poco incentivo […]

Profesor 10:

[…] Creo que se debe a falta deejercitación o a ejercitaciónextemporánea.

También hay profesores que creen que lascausas de los errores están en el sistemaeducativo que la universidad les ofrece asus estudiantes.

Profesor 8:

[…] los errores se deben a la motivaciónpor parte de quienes formamos parte desu formación […]

Profesor 1:

[…] Por parte del docente. Factoresgeneralmente derivados de sus métodosde enseñanza: clases muy teóricas oexpositivas orientadas, sobre todo, atrabajar los conceptos desde el punto devista exclusivo de la matemática, conpresencia nula o casi nula de tratamientode situaciones o problemas asociados conel campo profesional de los estudiantes[…]

Algunos profesores piensan que loserrores son causados por la excesivacantidad de alumnos por aula, pues laatención que prestan al docente se puedever alterada, además de que el profesorno puede atender a todos los estudiantes.

Profesor 7:

[…] y son demasiados por aula.

Profesor 1:

[…] clases masificadas que impiden unaatención y un seguimiento más

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personalizado por parte del profesor haciasus alumnos […]

Resultados del análisis de la pregunta 1

En esta primera pregunta, donde se abordala componente conocimiento de laenseñanza, que forma parte delconocimiento profesional, así como surelación con las creencias y concepciones,nueve de los profesores participantesconsideran que los errores en que incurrensus alumnos son de tipo conceptual y creenque ocurren como consecuencia de laeducación secundaria y del bachillerato(estas son ideas personales que no derivande un estudio previo).

La última opinión obedece más a unasituación afectiva, ya que es usualresponsabilizar a los profesores de cursosanteriores. Más aún, siete profesorespiensan que las causas de los errores sonpropias del estudiante, pues no estudianlo suficiente, no tienen hábitos de estudio

o carecen de motivación. Finalmente,destacamos el hecho de que dosprofesores reconocen que parte de loserrores se derivan, en algunos alumnos,de la enseñanza que ellos imparten; sinembargo, no dan detalles al respecto.

Pregunta 2

Respecto a la importancia de la derivadaen los contenidos de los cursos de cálculodiferencial para las carreras de cienciaseconómicas, se le relaciona con lassiguientes categorías: herramienta pararesolver problemas, objeto mediadorcognitivo y ente motivador para el análisise interpretación de modelos.

En la segunda parte de esta pregunta,exploramos la adecuación de los contenidosen los programas (específicamente, laderivada). Las categorías resultantes fueronsí y no, pero de la primera surgieron cuatrosubcategorías que se pueden apreciar en lared sistémica correspondiente.

Red sistémica 2.b


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A continuación, mostramos algunasrespuestas de los profesores:

Profesor 3:

Sí, el concepto de derivada y suinterpretación geométrica me permitenentender:

o Técnicas para deducir cuándo una función crece o decrece.o […] condiciones óptimas del mercado para saber cuándo se debe producir mayor cantidad de un artículo determinado […]

Profesor 4:

Sí tiene importancia porque la derivadapermite obtener información sobrecomportamientos de una o varias variablesrespecto a otras (razón de cambio).

Profesor 5:

Con este proceso, el estudiante aprende aanalizar una función, su comportamiento,etc.

Profesor 1:

La importancia viene determinada,básicamente, por las aplicaciones que tieneeste concepto al planteamiento y soluciónde problemas propios del campoprofesional de los estudiantes que cursanesas carreras.

Profesor 7:

Creo que la derivada es el pilarfundamental de los contenidos para lascarreras en cuestión, pues tienen muchasaplicaciones y son útiles para resolvermuchos problemas de economía; sin estaherramienta serían más complicados.

Profesor 9:

Es de gran utilidad, ya que si el alumnoaprende bien su aplicación, la puedeemplear en las materias de la carrera encuestión (administración, contaduría yeconomía) para resolver problemas.

Profesor 8:

Muchos de los problemas que se presentanen la economía se pueden modelar desdeun punto de vista matemático […]. Enproblemas como los de optimización oaquellos donde el comportamiento de ciertoselementos depende de la variación de otroses muy útil la teoría de las derivadas.

Lo que podemos notar en este conjunto derespuestas es que los profesores dicen, enforma amplia, dónde es útil la derivada, perono hablan del porqué de su importancia outilidad.

Pocos profesores consideran importante ala derivada como objeto mediador cognitivo.No obstante, sacamos a colación la relaciónque pueda tener un concepto (la derivada)con un campo profesional (las cienciaseconómicas). Es por ello que vinculamosesta situación con una de las características,señaladas por Bromme (1988), que tiene elconocimiento profesional del profesor:“metaconocimientos, que definen el marcoen el que se valoran los propiosconocimientos y su relación con la profesión”.Se resalta en este caso la profesión delprofesor (matemático), pero también laprofesión en la cual se está formando elestudiante (ramo de la economía).

Profesor 2:

Me parece importante, pues a través de laderivada podemos acercar la visión dealgunos conceptos básicos propios de la

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contaduría o economía, como puede serel de razón de cambio, marginalidad,optimización y el estudio y análisis einterpretación gráfica de tales conceptos.

Profesor 6:

Es sumamente importante para entenderlas tasas marginales que se utilizan en lasaplicaciones.

Profesor 1:

[…] la matemática como herramienta queproporciona modelos explicativos ycomprensivos a otras áreas delconocimiento.

Así, podemos notar que estos profesores,cuando hablan sobre la importancia de laderivada en los contenidos de losprogramas, manejan algunos aspectos delconocimiento del contenido entre lamatemática y la economía.

En cuanto a la importancia que pueda tenerla derivada dentro de los contenidos quemarcan esta investigación, sólo dosprofesores aportan su punto de vista alrespecto. Ellos señalan que la derivada esuna herramienta que ayuda y estimula alestudiante al analizar e interpretarmodelos: uno opina en una líneamatemática, el otro en una económica.

Profesor 5:

[…] y la principal herramienta para estudiarlas razones de cambio es un procesollamado “derivación”. Con este proceso elestudiante aprende a analizar una función,su comportamiento, etc.

Profesor 2:

Donde el estudio de estos contenidosayuda al alumno a tener mayor capacidad

de análisis y comprensión de modelos queresponden a situaciones reales que les tocaenfrentar en su campo de trabajo.


El análisis de las respuestas muestra elgran peso que los profesores le dan a laderivada en los contenidos programáticos,por el hecho de ver la derivada como unaherramienta a la hora de resolverproblemas matemáticos y económicos,pero con mayor inclinación hacia lossegundos, si bien las opiniones tienden aser de carácter general. Por ello, nopodemos profundizar en el conocimientodel contenido (An et al., 2004) de la parteeconómica.

Asimismo, sólo tres participantes dan suapreciación sobre la importancia de laderivada como objeto mediador delconocimiento, al considerar que se puedenasimilar o entender conceptos relacionadoscon la economía por medio de la enseñanzade la derivada. Resulta curioso que tresprofesores se pronuncien en esta línea, yaque, por ejemplo, el análisis marginal esuna clara representación de lainterconexión entre un conceptomatemático, como lo es la derivada, ydiversos conceptos económicos, comoutilidad marginal y elasticidad de lademanda, entre otros.

Por otra parte, únicamente dos profesoresresaltan la importancia de la derivada en elcurrículum de las carreras objeto delpresente trabajo como una herramientapara el análisis e interpretación de modelos,tanto económicos como matemáticos. Estonos induce a pensar que hay unadeficiencia sobre el conocimiento delcontenido en el resto de los participantes,o bien que las concepciones que manejansobre la importancia de la derivada sólo se


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centran en el cálculo rutinario, más que ensu uso como un objeto matemático quepermite analizar e interpretar modelos desituaciones matemáticas (por ejemplo, elcomportamiento analítico de una función)y económicas (como determinar en cuántose debe aumentar o disminuir laproducción de un determinado producto apartir de un modelo matemático).

En lo concerniente a la adecuación delcontenido de la derivada en los programas,los participantes consideran adecuado eltema de la derivada dentro del contenidocurricular, frente a sólo un profesor que,lejos de no estar de acuerdo con elcontenido, éste manifiesta no estar deacuerdo con el contenido pedagógico quese sigue para enseñar el conceptoderivada.

También debemos resaltar que losprofesores que dan su opinión en unsentido o en otro se refieren al contextoeconómico de manera superficial, salvo los

Profesores 2 y 6, que hablan en términosespecíficos de marginalidad o de tasasmarginales.

Pregunta 3

Las categorías que surgen por parte de losprofesores, cuando se les pregunta acercade la introducción del concepto de laderivada y de la interpretación que hacesobre ella para llegar propiamente alconcepto, son las que sugieren losprogramas oficiales: razón de cambio einterpretación geométrica.

Por otra parte, ningún profesor habló sobrepropuestas alternativas o no tradicionalespara la enseñanza de la derivada en elcampo que nos ocupa, por ejemplo, através de la utilidad marginal (Arya yLardner, 1987) o del impuesto marginal(Wonnacott, 1983); este último introduce ydesarrolla el concepto de derivada ymenciona tal término sólo al final delcapítulo.

Red sistémica 3.a

99

Respecto a la segunda parte de la pregunta, alusiva al ejemplo o aplicación que usanpara introducir la derivada, las categorías resultantes fueron matemáticos y nomatemáticos (económicos), como se ilustra en la red sistémica correspondiente.

Red sistémica 3.b

Razón de cambio . El hecho de que elprofesor elija la razón de cambio paraintroducir el objeto derivada se debeprincipalmente a dos aspectos. Por unaparte, a que se contempla en losprogramas oficiales, tanto de las carrerasinvolucradas en este trabajo como deaquellas en las que se formaron lospropios docentes; en consecuencia, elprofesor, en su papel discente, llegó alconcepto por esa misma vía. Por otra, alpapel que juega la historia de lasmatemáticas en este caso. A esto últimono le daremos relevancia, ya que no formaparte de este trabajo, aunquereconocemos su enorme importancia.

Profesor 5:

Razón de cambio y pendiente con unenfoque puramente matemático o másbien físico.

Profesor 10:

Para este caso me parece indispensable

considerar la derivada como razón decambio desde el punto de vistamatemático, es decir, velocidadinstantánea.

Profesor 6:

[…] se tiene que hacer hincapié en ladefinición de la derivada como razón decambio, pero siempre vinculando esteconcepto con el análisis marginal (costomarginal, ingreso marginal, entre otros).

Profesor 9:

Usar la noción de razón de cambio de unafunción y relacionarla con el pago deimpuestos.

Si retomamos las opiniones de losProfesores 6 y 9 podemos hablar no sólode concepciones distintas a las de losProfesores 5 y 10 respecto a la enseñanzade la derivada en el campo de las cienciaseconómicas, sino también manejan unmetaconocimiento (Bromme, 1988) en el


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que relacionan el contenido matemático yel tocante a las ciencias económicas(contenido de la profesión).

Interpretación geométrica . La justificaciónpor la que el profesor de matemáticasescoge la interpretación geométrica paraintroducir el concepto de derivada no difiereen nada de lo dicho con respecto a la razónde cambio.

Profesor 1:

Prefiero utilizar la interpretación geométrica.Considerando la baja calidad de losaprendizajes matemáticos que poseen losestudiantes y el hecho de que susconocimientos más “próximos” y “frescos”provienen de Matemáticas 11, me parecemas accesible e ilustrativa esa interpretación.

Profesor 4:

Prefiero la tradicional, la pendiente de la rectatangente a la curva en un punto […]

Profesor 2:

Me parece muy importante la interpretacióngeométrica, unida a la explicaciónconceptual del término a nivel de la carrera(economía), para entender y visualizar losprocesos que suceden.


Sobre el análisis de la primera parte deesta pregunta, podemos concluir, entreotras cosas, que no hay unificación delas concepciones entre los profesorespara introducir la noción de derivada.Quienes señalan que introducen elconcepto a través de una caracterizacióndistinta a las sugeridas en los programas

oficiales dando a entender que llegan alconcepto de manera tradicional yvinculan la derivada con una situacióneconómica a posteriori.

Otro hecho que atañe a la divergenciade concepciones radica en que seisprofesores se mantienen en una líneatradicional sobre la enseñanza de laderivada, mientras que cuatro tienen laidea de introducir la derivada de maneraque se pueda relacionar el conceptomatemático con otros, propios de lasciencias económicas.

Respecto a la segunda parte de lapregunta, que está asociada con elejemplo para introducir el concepto dederivada en los cursos en cuestión, lasconclusiones del análisis indican que losparticipantes, al enseñar el concepto dederivada, le dan un fuerte peso alcontexto matemático en sí, descuidandosu relación con las ciencias económicas.Los programas oficiales enfatizan muchoen este hecho, sobre todo en el aspectometodológico, ya que los profesorespresentan carencias en el conocimientoprofesional, específicamente en el delcurrículum.

Pregunta 4

Cuando se pide a los profesoresparticipantes que den su opinión acercade una propuesta de trabajo más próximaa la identificación de situaciones realesque puedan ser modelizadas y resueltasmatemáticamente, las categoríasobtenidas son las que surgen de maneranatural en una pregunta de esta índole:sí está de acuerdo y no está de acuerdo.En este sentido, las respuestas fueron lassiguientes :

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Red sistémica 4

Sí están de acuerdo . Entre los profesoresque entran en esta categoría, citamos a:

Profesor 1:

Creo que es factible introducir el conceptoutilizando un problema que represente unasituación real relacionada con su carrera.

[…] sería cuestión de investigarlo oexperimentarlo, preguntar a los colegascuáles han sido sus experiencias en esesentido o consultar con el profesorado quelabora en el Dpto. de Ciencias Económicasy Administrativas […]

Profesor 8:

En mi opinión, una propuesta como estadebe contar con el apoyo de todos los quede alguna manera se involucran en elproceso enseñanza-aprendizaje de lamatemática.

Profesor 5:

Construir alguna expresión matemática através del pago de algún servicio […]

También podemos mencionar a los queapoyan esta iniciativa, pero como entemotivador.

Profesor 2:

[…] para acercar al estudiante a lo quesignifican realmente los modelosmatemáticos dentro de la economía y lacontaduría.

Profesor 6:

Pienso que es absolutamente necesariopara despertar el interés del estudiantehacia las matemáticas.

Profesor 7:[…] ese es el tipo de incentivo que necesitael estudiante, para que de una vez le pierdala fobia a las matemáticas.

Las creencias de los tres últimosprofesores sobre este tipo de propuestasson más de carácter afectivo que cognitivo.

No está de acuerdo . Esta categoría fueconsiderada en atención a la posibilidad


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de una respuesta de algún profesor que,además de seguir una enseñanzatradicional, considere que lo hecho en laactualidad –según los programas oficiales–es lo más apropiado en cuanto a estrategiapedagógica se refiere.

Por otra parte, atendimos a esta categoríaen el caso de que algún participantecreyese que, lejos de motivar e involucraral estudiante en modelos matemáticosrelacionados con la economía, esteenfoque pueda ser causa deinconvenientes en el proceso enseñanza-aprendizaje. Ningún participante sepronunció en tal sentido.


En general, las respuestas ofrecen pocosargumentos para poder concluir sobre elconocimiento profesional, creencias yconcepciones de los profesores en el temaque aborda esta pregunta. La sencillez ypoca profundidad de las opinionesúnicamente nos permite hablar decreencias en una forma superficial. Aunqueseis profesores dicen estar de acuerdo, nolo justifican con rigor; sólo enfatizan en laparte introductoria del tema y comoherramienta motivante para el tema encuestión. No obstante, debemos destacarque el Profesor 1 considere oportuna laparticipación de los docentes quepertenecen al área de cienciaseconómicas.

Pregunta 5

En esta sección del trabajo estudiamos lo quepara cada uno de los profesores supone lamejor manera de evaluar el progreso delalumno en este tema; se les pidió ademásque seleccionaran algunas preguntas claveque permitieran identificar a quienesrealmente han comprendido el concepto dederivada en su sentido más amplio.

Queremos dejar en claro que nopretendemos, en ningún momento,ahondar en aspectos concretos de laevaluación que conciernan al temarelacionado con la derivada. Por elcontrario, buscamos estudiar el vínculoque pueda existir entre el contenido quese enseña y el contenido de lasevaluaciones.

El objetivo fundamental en este caso esseguir investigando las creencias,concepciones y conocimientoprofesional que tienen los profesoresrespecto a la enseñanza de la derivadaen las carreras ya citadas; de maneraespecífica, queremos estudiar y analizarsus opiniones sobre el contenido queevalúan para compararlo con lo quedicen que enseñan. Aunque construimostres categorías para este punto (modelosde evaluación, tipos de evaluación ycontenido de la evaluación) mostramosúnicamente la tercera, ya que es elcentro de nuestro trabajo.

Contenido . Esta categoría es la queconsideramos de mayor peso de las tresque diseñamos, ya que mediante estapregunta estudiaremos la relación entreel contenido curricular que enseñan losprofesores y el contenido de lasevaluaciones. Aquí vemos ciertaheterogeneidad en las opinionesreferentes al contenido: desdeprofesores que se mantienen en unalínea clásica, en la que sólo atiendencomo materia importante el aspectomatemático, hasta aquellos que creenque la evaluación para medir el progresodel alumno debe tener contenidoeconómico, pasando por otros queplantean un contenido mixto.

Sobre el particular, los Profesores 3 y 4sugieren lo siguiente:

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Profesor 3:

Evaluar previamente el manejo derectas que pasan por puntos.Hallar distintas rectas con puntos sobrela curva.Evaluar si han comprendido el conceptode acercamiento en términos de .

Este profesor le da relevancia a lainterpretación geométrica de la derivada ya la definición de la derivada vista comoun límite. Mientras que el Profesor 4, conla pregunta que aparece a continuación,alude a un contenido de carácter sólomatemático.

Profesor 4:

¿Qué entiende usted por derivada de unafunción?

Por otra parte, hay profesores que en elcuestionario proponen preguntas decontenido económico, aunque uno de ellos(Profesor 8) se contradice en los exámenesque anexa al instrumento. El Profesor 1plantea un amplio conjunto de preguntasde contenido económico, con unasecuencia progresiva, en las que intervienela derivada de manera puntual.

Profesor 1:

[…] si se trata de un problema de Costo,suelo preguntar el costo en un niveldeterminado de producción, el costo porun incremento en la producción, la razónde cambio promedio por unidad extraproducida, el costo marginal, estimacióndel costo, una opinión sobre si laestimación es buena.

Todas estas preguntas están relacionadasdirectamente con la derivada y condiversas interpretaciones de ella en elcampo económico. Al comparar estas

ε −δ

preguntas con las que aparecen en lasevaluaciones suministradas por esteprofesor –exámenes escritos y prácticaevaluada–, podemos apreciar que, encuanto a conocimiento profesional, manejauna buena cantidad de conceptoseconómicos vinculados con la derivada.

En este mismo orden de ideas se mantieneel Profesor 7, quien sugiere actividadescomo:

Profesor 7:

Formulándole problemas, previamentedándole algunos ejemplos que involucrenaplicaciones.

Las preguntas que formula en susexámenes escritos guardan una estrecharelación con su idea.

No obstante, el Profesor 8 da la siguienterespuesta:

Profesor 8:

[…] problemas concretos, de la realidad,de sus intereses.

Esto supone un contenido vinculado a lasaplicaciones de la derivada a la economía;sin embargo, las preguntas del examenescrito que este profesor nos suministrómuestran un contenido fisicomatemático,como cálculo de derivadas laterales,cálculo de derivadas a funcionestrigonométricas y un problema relacionadocon movimiento armónico simple. Portanto, hallamos una incoherencia entre elcontenido que propone y el que realmenteutiliza para sus evaluaciones.

Finalmente, los Profesores 2, 5 y 6sugieren un contenido mixto en susevaluaciones; empero, el Profesor 2 noaporta mayor detalle en cuanto a un


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contenido específico, mientras que elProfesor 5 asigna una lista de problemasy ejercicios de contenido mixto y en ellosse basa para sus evaluaciones.

El Profesor 2 propone evaluar el tema apartir de las aplicaciones de la derivada yde las distintas interpretaciones que puedatener en la economía, mas no diseña unapregunta en especial.

Profesor 2:

Entre las situaciones que pudieseplantearse a los alumnos están:

Problemas reales sobre economía,vinculados y justificados desde la teoríade las derivadas y sus aplicaciones. Yla posterior interpretación del términocomo trabajo de discusión que puedeser analizado en equipo.

Proponer problemas puntuales deaplicación para resolvermatemáticamente e interpretar bajo ellenguaje de la economía.

El Profesor 6 consigna dos preguntas paraevaluar el rendimiento de los alumnos.

Profesor 6:

1. Determine la pendiente de la tangentea la gráfica de la función en .

2. Calcule la función de costo marginal para lafunción de costo . Interpretelos resultados.

Las evaluaciones escritas que anexaeste profesor al cuestionario presentanel mismo contenido. En este sentido, élconsidera que la distr ibución delcontenido de las evaluaciones debe serde iguales proporciones.

f (x) = x2 x = 2

C(x) =100+ 2x


Son diversas las opiniones que en materiade contenido proponen los profesores paralas evaluaciones; sin embargo, en líneasgenerales no es mucho el peso que le dana la derivada respecto a las cienciaseconómicas; además, en el análisispodemos ver que dos profesores seinclinan por un contenido matemático. Encuanto al contenido económico, dosprofesores no sólo lo proponen, sinoademás lo ponen en práctica, como seaprecia en las evaluaciones que noshicieron llegar.

Pregunta 6

En este punto estudiamos cómo losprofesores desarrollan el tema de lasaplicaciones de la derivada en los cursosrelacionados con este trabajo. Para tal fin,les solicitamos que resumieran en formade esquema el desarrollo del tema encuestión.

Profesor 1:

Se procedió a desarrollar los temas“Aplicaciones de la Derivada I” y“Aplicaciones de la Derivada II” […]

Podemos destacar de la primera parte elanálisis marginal, la razón de cambiorelativa y porcentual y la función deconsumo. En cuanto a la parte deaplicaciones de la Derivada II, la relacionacon gráfica de funciones y optimización.No señala ninguna aplicación de laderivada a la economía, sino se mencionade manera general con la palabra“aplicaciones”.

Profesor 5:

Motivación de la definición mediante unejemplo.

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Definición rigurosa.Diferentes aplicaciones.

Profesor 6:

La derivada como razón de cambio.Interpretación geométrica.Cálculo de derivada.Tasas marginales.Otras aplicaciones.

Los otros cuatro profesores que respondena este punto no lo hacen a través de unesquema.

Profesor 7:

[…] doy algunos ejemplos clásicos defunción de utilidad, función de producción,etc., para hallar la función de utilidadmarginal, la función de producción marginal[…]

Este profesor sólo nos habla de los ejemplosque utiliza en las aplicaciones, pero noaborda ejemplos de optimización, los cualesse contemplan en los programas oficiales.

Profesor 9:

Motivar la idea de función creciente,decreciente, puntos críticos, máximos ymínimos. Esto puede hacerse mediante unejemplo y luego de manera formal.

Profesor 4:

Una vez concluido el tema referente al usode la derivada para determinar intervalos decrecimiento, decrecimiento, puntosextremos, intervalos donde la gráfica de unafunción es cóncava hacia arriba y haciaabajo […][…] se plantean algunos ejercicios oproblemas como:

-Minimizar costos.-Maximizar utilidades.

Profesor 8:

[…] Comienzo planteando problemasconcretos y los invito a resolverlos conlas herramientas que sus capacidadesy destrezas les faciliten.[…] Pasamos a analizar el problemapara identificar fenómenos variables,constantes, interdependencias de loselementos involucrados.[…] Se va creando un modelorepresentativo en símbolos algebraicos.[…] Una vez obtenido el modelo,usamos las herramientas matemáticasque se adaptan a la situaciónplanteada. Volvemos a darle a lossímbolos el significado vivencial quetienen dentro del problema.

Este profesor plantea un problema queanal iza en conjunto con el f in deident i f icar algunos aspectos queconsidera importantes y, de ahí, crear unmodelo en el que se puedan utilizar lasherramientas matemáticas. No obstante,sería interesante conocer qué problemassugiere.

En lo tocante a las aplicaciones de laderivada a la economía que losprofesores consideran interesantes,veamos qué dicen sobre el conocimientodel contenido tanto matemático comoeconómico.

Profesor 7:

No creo que exista una aplicación másinteresante que las demás […] Creo quelo importante es que sepan manejarestas herramientas en los problemas quesurjan.

Profesor 8:

A mi modo de ver, los problemas deoptimización son las más relevantes.


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Profesor 5:

Los problemas de util idad, costos,demandas de consumidores, eficiencia deltrabajador, impuestos, etc.

Profesor 2:

Entre las aplicaciones que considerointeresantes están:

Análisis marginal.Problemas de optimización: máximosy mínimos.Representación gráfica y suinterpretación de los procesoseconómicos que ellos representan.

Profesor 1:

[...] de “Aplicaciones de la Derivada I”, creoque el análisis marginal.Del tema “Aplicaciones de la Derivada II”,me parecen muy importantes losproblemas que tienen que ver conmaximizar o minimizar, aplicados a sucampo de estudio.


Respecto a la primera parte de estapregunta, que aborda el desarrollo deltema de aplicaciones de la derivada, sólodos profesores (1 y 8) realmente aportanuna opinión significativa. En la del primerprofesor vale la pena subrayar doscosas: en primer lugar, que divide el temay, en segundo, no sólo considera los dospuntos (análisis marginal y optimización),sino los ubica en el lugarcorrespondiente, según Haeussler y Paul(1997), aunque no habla de ningunaestrategia metodológica a seguir (lapregunta no lo pide). Del Profesor 8podemos destacar su estrategiametodológica para la enseñanza del tema,

ya que su respuesta es más demetodología que de contenido curricular.El resto de profesores sólo mencionanejemplos de aplicaciones, sin resaltarmayor cosa, con lo cual se nota que tienenciertas carencias de contenido en estetema. Por ello decimos que en esta partede la pregunta, salvo los Profesores 1 y8, los demás participantes evidencianlagunas en cuanto al conocimiento delcontenido relacionado con la profesión yal contenido de la enseñanzapropiamente.

Sobre las aplicaciones de la derivada quelos profesores consideran másinteresantes en el campo de las cienciaseconómicas, podemos decir que losProfesores 1, 2 y 5 señalan que tanto elanálisis marginal como la optimizacióncomparten el mismo interés, pero sóloel Profesor 5 alude a ejemplosespecíficos. Por su parte, el Profesor 8indica que son relevantes los problemasde optimización, aunque no habla deninguno en particular, mientras que elProfesor 7 considera importantes atodas las aplicaciones en general, sinllegar a mencionarlas.

Esto nos permite concluir que losProfesores 1, 2, 5 y 8 manejan para estecaso el conocimiento del contenidorelacionado con la profesión, aunquenecesitamos profundizar mucho más enel tema, de ahí que esta suposición sólosea una primera aproximación.

Pregunta 7

Esta parte del análisis se relaciona con elproceso discente-docente de losprofesores participantes. Aquí, se les pideque señalen algunas diferencias entrecómo les fue enseñado el concepto dederivada y cómo lo enseñan.

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Profesor 1:

[…] se nos enseñó el tema de derivadassiguiendo el tomo I de Tom Apóstol. Losproblemas que trabajamos estuvieron casien su totalidad dirigidos más bien a tratarasuntos específicos de la matemática,otros provenían del área de física.

[…] (Como a mí se me enseñó) [..] .elenfoque fue eminentemente matemático;[...] (cómo lo enseño), el tema se enfocahacia su campo profesional, intentandohacer un balance entre la teoríamatemática necesaria y sus aplicacionesal campo profesional de los estudiantes[...]

En este caso resaltamos, del aspectodiscente del Profesor 1, el seguimiento deun texto y el desarrollo del tema decontenido físico-matemático, mientras queen el plano docente el contenido esmatemático-económico y el profesoratiende a los intereses de los estudiantes.

Profesor 2:

[…] es bien diferente, el enfoque más quede aplicaciones hacia algún área muyespecífica siempre fue dirigido ademostrar mediante argumentosmatemáticos [...], además de la resolucióny análisis de diversos problemasmatemáticos, con enfoque matemático.No recuerdo que abordara situacionesrelacionadas con la economía […]

[…] buscando dar aplicacionescontextualizadas y ajustadas a lasnecesidades de este tipo de alumnos.

De acuerdo con la opinión de esteprofesor, su enseñanza estuvo signadapor demostraciones, resolución y análisisde problemas; además, no contemplóaplicaciones a la economía. Como

docente, enfoca el curso hacia un contenidoeconómico, según las necesidades de losestudiantes.

Profesor 10:

Mi curso como estudiante fue muy teórico,con pocos ejemplos y usando un texto guía.Los ejercicios fueron responsabilidad casitotal del estudiante. Como profesor soypoco teórico, doy muchos ejemplos enclase y generalmente con una guía deejercicios seleccionada de diferentes libros.Hay que notar que son mencionesdiferentes.

Como se puede apreciar, la formación deeste profesor es muy similar a la delProfesor 1. Sin embargo, no podemos decirmayor cosa sobre su labor como docente,salvo que es menos teórico y que, en lugarde seguir un libro de texto, atiende a unaguía de ejercicios seleccionados.

Profesor 4:

Creo que no hay mucha diferencia. Tal vez,que se trata de ser menos formal, para queel estudiante capte el concepto con mayorclaridad. También utilizo mucho la partegráfica [...]

Este profesor hace mención al uso de lageometría y la formalidad en el aspectodocente, aunque dice que la diferencia noes significativa en ambos aspectos. Por otraparte, podemos destacar su justificación encuanto al formalismo del concepto, puescree que, al ser menos formal, el estudiantees capaz de entender mejor la noción dederivada.

Profesor 6:

El concepto de derivada que me enseñaronfue netamente matemático y la aplicaciónconsistió en la derivada como razón de


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cambio en el tiempo de la distancia yvelocidad.

Profesor 8:

Un caso particular que recuerdo, y que sediferencia de la forma en que trato deimpartir este tema, es el hecho de quecuando por primera vez me topé con esteconcepto fue de manera abstracta. Sólooperaciones simbólicas; no recuerdo unproblema de la realidad para ese entonces.

Sólo estos dos profesores opinan en tornoal aspecto discente. El primero destaca elcontenido físico-matemático, y el segundorefiere que la manera como se le enseñóel concepto tuvo un enfoque abstracto.

A continuación, estudiaremos aquelloselementos que los participantes –vistoscomo docentes– consideran innovadoresen comparación con la forma en que seles enseñó el concepto de derivada. Cabeseñalar que a esta parte de la preguntasólo atendieron cinco profesores, es decir,la mitad de los participantes.

Profesor 1:

En cuanto a elementos innovadores,puedo mencionar la motivación que seintroduce para abordar el tema de lasderivadas... y el uso de la geometría parailustrar […]

Los dos elementos que señala el Profesor 1los enmarcamos dentro del conocimientodidáctico; el segundo también se ubica enel conocimiento sobre cómo enseñar, yaque se saca provecho a las característicaspropias del concepto de derivada, en estecaso de la geometría.

Del Profesor 2 vamos a subrayar algunospuntos de su respuesta.

Profesor 2:

¿Innovación? Tal vez tocar el contextoadministrativo, la forma de abordar loscontenidos matemáticos y de evaluarlos,ajustados a las necesidades de estosalumnos y las estrategias utilizadas.

Cuando el profesor alude a tocar el contextoadministrativo, suponemos que se refiere avincular el tema de la derivada con la futuraprofesión del estudiante. De los otros trespuntos que subrayamos después podemosopinar sólo de los dos primeros, ya que surespuesta, en este caso, es muy general yno muestra detalles de los mismos; sinembargo, creemos que el abordar loscontenidos y la forma de evaluarlos serelaciona con las respuestas a las preguntas5 y 6. Por otra parte, podemos asociar lasrespuestas de los otros tres profesores (7, 8y 9), que atienden a esta pregunta con elconocimiento sobre el material de apoyopara enseñar. En efecto:

Profesor 8:

Sin duda que la computación es un elementoinnovador de suma importancia... le restaabstracción al concepto […]

De la opinión del Profesor 8 se aprecian doscosas. Por un lado, considera a la informáticacomo una herramienta de apoyo para laenseñanza; por otro, sigue insistiendo en loabstracto del concepto, con lo cual habríaque indagar más en este sentido. El Profesor9 también concibe a la informática como unelemento innovador, pero su respuesta esmuy limitada.

Profesor 9:

Usar paquetes matemáticos para laaplicación de ésta, como por ejemploMaple y Matlab.

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A estos dos puntos de vista añadimos eldel Profesor 7, quien además de compartirla idea del uso de la informática comoelemento innovador, da a conocer suopinión en materia curricular.

Profesor 7:

Uno de los elementos innovadores es eluso de programas de computación –comoel Maple– para ciertos cálculos y ladesincorporación de algunas funcionesque aparecen en los contenidos de losprogramas, que no aportan nada en esto.

Aquí, resultaría interesante ahondar en lasfunciones que, según este profesor, noaportan nada a las ciencias económicas.Y, con estos tres profesores, estudiar cómoimplementan la informática en sus cursos.

Resultados del análisis de lapregunta 7

Sobre el proceso discente-docente de losprofesores participantes, podemosconcluir lo siguiente: la escasa informaciónque suministran en esta materiaprácticamente nos obliga a presuponerhechos de uno y otro proceso porseparado. Sólo los Profesores 1, 2 y 10hablan de forma comparativa entre los dosprocesos, mientras que el Profesor 4reconoce por medio de su respuesta queno hay mucha diferencia entre un procesoy otro, pero curiosamente vincula el hechode ser menos formal en la clase para lograren el estudiante un mejor aprendizaje. Enlíneas generales, se puede apreciar queel proceso discente de los profesores estáenmarcado dentro de un modelotradicional que incide directamente en sulabor docente.

Ahora bien, en el aspecto docente de estosprofesores se pueden observar opiniones

en las que dos de ellos (Profesores 4 y 5)sostienen que hay pocas diferencias oninguna, o en el caso de los Profesores 1,2 y 10, quienes enseñan el concepto dederivada con un contenido matemático-económico, atendiendo a intereses ynecesidades de los estudiantes, y le danun enfoque menos teórico. En tal sentido,estamos obligados a profundizar más conel firme objetivo de conocer lasconcepciones del profesor en esta materia.

Por otra parte, sobre los elementos que losprofesores consideren innovadores en sulabor docente, podemos señalar unosrelacionados con el conocimiento delcontenido en general, como la motivación,el uso de la geometría como herramientade enseñanza, relacionar el tema de laderivada con la profesión en la que seestán formando los estudiantes y lasevaluaciones según las necesidades de losalumnos.

También existe otro elemento innovadorque incluimos en el conocimiento delmaterial de apoyo: el uso de la informáticacomo herramienta didáctica que permitevisualizar aspectos concretos de laderivada. Al igual que en el párrafo anterior,seguimos con la idea de ahondar en elproceso docente, a fin de investigar loselementos que los profesores consideraninnovadores en su labor.

Conclusiones

En atención a los objetivos que nospropusimos alcanzar con este trabajo, asícomo de los análisis hechos a lasrespuestas de los participantes,exponemos las siguientes conclusiones:

Sobre las creencias y concepciones de losprofesores que están relacionadas con la


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enseñanza de la derivada en carreras deciencias económicas, diremos que:

En general, los profesores creen queel contenido del tema dentro de losprogramas oficiales es el adecuado, yle otorgan una fuerte acepción a lamanera como fue tratado el temadurante sus propios estudios. Por otraparte, la mayoría cree que el objetomatemático derivada tiene importanciaen la resolución de ejercicios, tantomatemáticos como económicos; sinembargo, terminan dando más pesoal contenido matemático que aleconómico.

Casi todos los profesores siguen unametodología tradicional para enseñarel concepto de derivada, basada enaspectos fisicomatemáticos ogeométricos, descartando alternativasinnovadoras relacionadas con elcampo profesional del estudiante. Hayalgunos profesores que mantienenuna línea clásica en la introducción ydesarrollo del tema, pues siguen elesquema definición-ejemplo-aplicación que aparece en losprogramas oficiales; en este sentido,no contemplan propuestasmetodológicas alternativas.

El desarrollo del tema en general y elde las aplicaciones de la derivada loconciben y orientan más a resolverejercicios que a la resolución deproblemas, según manifiestan algunosdocentes en sus respuestas, aunquelos programas oficiales sugieren laresolución de problemas. Asimismo,hablan muy poco de la interpretacióneconómica de la derivada y presentanel tema de manera muy genérica, locual puede estar relacionado con lamanera como aparece en losprogramas oficiales. En este sentido,

el aporte de la mayoría de losprofesores al contenido programáticoes casi nulo, decantándose por seguirun contenido genérico, más propio deun curso general de cálculo, conalgunos ejercicios de aplicaciones dela derivada entre los que se incluyenaplicaciones a la economía.

Acerca del conocimiento profesional delprofesor de matemáticas y su relación conla enseñanza de la derivada, resaltamoslos siguientes aspectos:

Destacamos el amplio y sólidoconocimiento matemático de todos losprofesores. Sin embargo, suconocimiento relacionado con laprofesión de docente, es decir, el queatañe a la formación del estudiante, sebasa en lo empírico, los libros de textoy la propia experiencia; ello pone aldescubierto carencias de formaciónrelacionadas con este trabajo, comoreconocen abiertamente en susrespuestas al menos dos profesores.En los casos donde los profesores serefieren al tema de las aplicaciones dela derivada a la economía, todos lohacen de manera muy genérica; sólomencionan los términos o ejemplos delas ciencias económicas, mas enningún momento dan la interpretaciónde la derivada en el ejemplo citado.

En materia de estrategias innovadorasde enseñanza, resaltamos el uso de lainformática como herramientadidáctica. Sólo tres profesores dicenusarla, pero no explican qué programasutilizan, ni en qué momento del curso,ni cómo implementan su uso. Respectoa la innovación dentro del contenidocurricular, todos los profesoresimparten cursos para diversas carrerasy, además, están obligados a rotarse

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por las distintas materias que ofreceel departamento. Esto trae comoconsecuencia que los profesorestiendan a unificar los programas,obviando la diferenciación entre lasmaterias afines de diferentes carreras.

Se aprecia de manera considerable lainfluencia del proceso de aprendizajeque vivió cada profesor comoestudiante al abordar el tema de laderivada con sus alumnos, a pesar deque se refieren a carreras distintas. Losprofesores reproducen las mismasmetodologías de trabajo que siguieronen su etapa de estudiante, ignoranmetodologías alternativas disponiblesy no se involucran con la profesión delestudiante.

De acuerdo con el análisis y loexpresado en los puntos anteriores,consideramos que hay profesores queson más proclives al cambio, ademásde que reconocen abiertamente que noson especialistas en el área deeconomía, mientras otros consideranque el proceso de enseñanza quesiguen está bien, acogiéndose a loestablecido en los programas oficiales.

Se detectan algunas carenciasdidácticas relacionadas con el ámbito

profesional del estudiante, lo cual noshace sugerir, por un lado, laconveniencia de un intercambio deexperiencias didácticas entre losprofesores; por otro, algún tipo deformación que permita abarcar la partedidáctica y conceptual relacionada conel contenido económico.

Estas conclusiones corroboran lo dichoen otras investigaciones que sirvieroncomo punto de par t ida para es tetrabajo, como las de Gil y Rico (2003),Handal (2003) y Moreno (2000).

Las creencias y concepciones de losprofesores juegan un papel importanteen e l desar ro l lo de su ac t i v idaddocente; en este orden de ideas, seconfirma la fuerte creencia que unaenseñanza resulta más efectiva si sigueun modelo tradicional, que tiene suorigen en los cursos donde se formó elprofesor (Handal, 2003).

A través de las respuestas podemosafirmar que el conocimiento profesionalde los p ro fesores , en cuanto acontenido económico, es parcial y tienemucha influencia de sus creencias,concepc iones y exper ienc iaspersonales, así como de los libros detexto (Gil y Rico, 2003).

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Relime

Luis GarcíaDepartamento de Física y MatemáticaNúcleo Universitario Rafael RangelUniversidad de Los Andes, Venezuela

E-mail: [email protected]

Carmen AzcárateDepartament de Didàctica de les MatemàtiquesUniversitat Autònoma de Barcelona.


Mar MorenoDepartament de MatemàticaUniversitat de Lleida


114

115

ANEXO 1Cuestionario de investigación

1.(a) Seleccione los cuatro erroresque, desde su punto de vista,cometen sus estudiantes con másfrecuencia. (b) ¿A qué cree que sondebidos?

2.(a) ¿Qué importancia cree usted quetiene la derivada dentro de loscontenidos de los cursos para lascarreras en cuestión? (b) ¿Cree queel contenido es el adecuado?

3.Dentro de las distintasinterpretaciones que se le puedendar a la derivada: (a) ¿Cuál prefiereusted para llegar al concepto en sí?(b) ¿Utiliza algún tipo de aplicacióno de ejemplo no necesariamentematemático para introducir elconcepto de derivada?

4.¿Cuál es su opinión sobre unapropuesta de trabajo más próximaa la identificación de situacionesreales que puedan ser modelizadasy resueltas matemáticamente?

5.(a) ¿Cuál cree usted que sería lamejor manera de evaluar el progresodel alumno en este tema? (b)¿Podría seleccionar algunaspreguntas clave que le permitieran

identificar a los alumnos querealmente han comprendido elconcepto de derivada en su sentidomás amplio?

6.(a) Escriba un breve esquema sobrecómo desarrolla el tema de lasaplicaciones de la derivada. (b)¿Cuáles cree que son lasaplicaciones más interesantes de laderivada en el campo profesional deestos estudiantes?

7.¿Podría señalar algunas diferenciasentre la manera como a usted se leenseñó y la forma en la que enseñael concepto? Mencione algunoselementos que usted considerainnovadores al respecto.

Le solicito que por favor adjunte con lasrespuestas suministradas:

a.Bibliografía recomendada a losestudiantes (remarcando los tres textosque desde su punto de vista sonfundamentales).

b.Listas de problemas y ejercicios queusted propone a sus estudiantes.

c.Tipos de evaluaciones que utiliza en lasasignaturas.

Los ítems (b) y (c) se refieren únicamentea la derivada.


Relime116

ANEXO 2

Tabla ilustrativa del cuestionario de investigación respecto a los tresconstructos que intervienen en la misma: creencias , concepciones yconocimiento profesional , en relación con los objetivos propuestos

Pregunta

1.a

1.b

2a

2.b

3.a

3.b

45.a5.b

6.a6.b7

Pregunta

Determinar los erroresmás frecuentes

Causa de los erroresImportancia del objeto matemáticoderivada dentro de los contenidos

programáticosAdecuación del contenido

Cómo introduce el conceptode derivada

Determinar si introduce elconcepto de manera no-clásica

Relacionar directamente el objetoderivada con situaciones reales

Evaluación del temaTipos de preguntas

Desarrollo del tema deaplicaciones de la derivada

Aplicaciones tipoProceso discente/docente

CP

Cre,CP

Cre,Con,CP

Con,CP

Con,CP

Con,CP

Cre,ConCPCP

CPCPCP

Tipo deinformación

Objetivo

4

4

2.1,4

2.1 - 4 - 5

2.3

2.3 - 5

2.2 - 4 - 52.1 - 3

2.1 - 2.2 - 3

2.1 - 2.2 - 2.3 - 4 - 52.1 - 2.2 - 2.3 - 4 - 5

2.2 - 3 - 4 - 5

Cre=Creencias, Con=Concepciones, CP=Conocimiento Profesional

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