Cox 비례위험 모형과 로지스틱 모형의 비교 : 예측모형의 ... · 2019-06-28 ·...

Cox 비례위험 모형과 로지스틱 모형의

비교 : 예측모형의 discrimination과

calibration

연세대학교 대학원

의학전산통계학협동과정

의학통계학전공

이 성 혁

Cox 비례위험 모형과 로지스틱 모형의

비교 : 예측 모형의 discrimination과

calibration

지도 남 정 모 교수

이 논문을 석사 학위논문으로 제출함

2010년 6월 일


의학전산통계학협동과정

의학통계학전공

이 성 혁

이성혁의 석사 학위논문을 인준함

심사위원 인

심사위원 인

심사위원 인


2010년 6월 일

- i -

차 례

그림 차례 ⅲ

표 차례 ⅳ

국문요약 ⅴ

제 1 장 서론 1

1.1 연구 배경 및 목적 1

1.2 연구 내용 및 방법 2

1.3 논문의 구성 2

제 2장 이론적 배경 3

2.1 로지스틱 회귀모형 3

2.1.1 로지스틱 회귀모형의 정의 3

2.1.2 모형 적합도 검정 3

2.1.3 모형의 예측력 평가 4

2.2 생존 자료 4

2.2.1 중도절단의 정의 및 종류 4

2.2.2 위험함수 5

2.2.3 Cox 비례위험모형 6

2.2.4 생존 기저위험함수의 추정 6

2.3 Discrimination과 Calibration 7

2.3.1 Discrimination 7

2.3.2 Calibration 10

제 3장 모의실험 12

3.1 모형의 설정 12

3.2 공변량의 생성 12

3.3 모의실험 설계 15

제 4장 모의실험 결과 16

- ii -

4.1 사건 발생률에 따른 회귀계수의 비교(중도절단이 없는 경우) 16

4.2 사건 발생률에 따른 discrimination과 calibration의 비교(중도절단이 없는

경우) 22

4.3 사건 발생률에 따른 회귀 계수의 비교(중도절단이 있는 경우) 25

4.4 사건 발생률에 따른 discrimination과 calibration의 비교(중도절단이 있는

경우) 31

제 5장 결론 및 고찰 36

참고문헌 39

영문요약 42

- iii -

그 림 차 례

그림 1. 사건 발생률에 따른 discrimination의 변화(중도절단이 없는 경우) 23

그림 2. 사건 발생률에 따른 calibration의 변화(중도절단이 없는 경우) 24

그림 3. 사건 발생률에 따라 Cox와 로지스틱 모형의 calibration P-value 변화(중

도절단이 없는 경우) 25

그림 4. 사건 발생률에 따른 discrimination의 변화(중도절단이 있는 경우) 33

그림 5. 사건 발생률에 따른 calibration의 변화(중도절단이 있는 경우) 34


도절단이 있는 경우) 35

- iv -

표 차 례

표 1. 뇌졸중 연구 모집단 특성, 한국 암 예방 연구 13

표 2. Cox 비례위험모형을 이용한 한국인 10년 뇌졸중 예측모형 14

표 3. 사건 발생률 2.49%에서 Cox와 로지스틱 모형의 회귀계수 비교 17





표 8. 사건 발생률에 따른 discrimination과 calibration의 비교(중도절단이 없는 경

우) 22






표 14. 사건 발생률에 따른 discrimination의 비교(중도절단이 있는 경우) 32

표 15. 사건 발생률에 따른 calibration의 비교(중도절단이 있는 경우) 32

- v -

국 문 요 약

Cox 비례위험 모형과 로지스틱 모형의 비교 : 예측 모형의

discrimination과 calibration

최근 임상 연구에서 다양한 질병의 사망 또는 재발과 같은 관심사건의 발생

여부에 대한 통계학적 예측 모형이 만들어지고 있다. 이러한 통계학적 예측모형은

주로 로지스틱 회귀모형이나 Cox의 비례위험모형을 이용하여 만들어진다.

본 논문에서는 생존 자료에서 사건 발생률 및 중도절단 된 자료 유무에 따라

Cox의 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형을 이용하여 만들어진 예측모형 간의

discrimination(예측력)과 calibration(적합도)에 차이가 있는지 알아보았다.

예측된 모형의 discrimination과 calibration을 확인하고자 할 때, 로지스틱 회귀

모형에서는 AUC 값과 Hosmer-Lemeshow의 test 값을 사용하였고, Cox의 비

례위험모형에서는 %perfcox SAS macro(Nam, D'Agostino 2004)를 이용하여

AUC 값과 Kaplan-Meier 추정치를 이용한 test 값을 사용하였다.

모의자료는 한국인의 뇌졸중 10년 예측모형(지선하 외 2008)에 이용되었던 자

료를 기초로 생성하였다. 모의실험 결과, 사건 발생률에 따라 각 모형에서 회귀계

수의 값은 비교적 비슷하게 추정되었고, discrimination 값도 비슷하게 나타났다.

하지만 calibration의 경우 사건 발생률이 증가함에 따라 Cox의 비례위험모형에서

값이 급격하게 커지는 경향을 보였다.

핵심 되는 말 : Cox 비례위험모형, 로지스틱 회귀모형, Discrimination, Calibration

- 1 -

제 1장 서론

1.1 연구 배경 및 목적

최근 들어 임상 연구에서 다양한 질병에 대한 통계학적 예측 모형이 만들어지

고 있다. 예측 모형을 만들기 위해서 질병의 사망 또는 재발과 같은 관심사건의

발생 여부와 위험인자 그리고 관심사건이 발생할 때까지 시간이 조사된 자료를

흔히 이용한다. 이러한 자료의 형태를 생존자료(survival data)라고 하는데, 생존

자료를 이용하여 예측모형을 만들 때 로지스틱 회귀모형과 Cox 비례위험모형이

주로 이용된다. 이러한 예측모형은 뇌졸중(지선하 외 2008), 유방암(Domchek et

al. 2003), 담낭암(Wang et al. 2008), 심혈관 중재시술(Matheny et al. 2005), 심장

병(L'ltalien et al. 2000) 등 다양한 질병에서 찾아볼 수 있다.

Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형을 이용하여 만들어진 예측모형의 예측

력과 적합도를 알아보기 위해 discrimination과 calibration의 평가를 해야 하는 경

우가 있다. Cox 비례위험모형에서 두 지표의 측정을 위해 Zethelius et al.(2008),

Paul et al.(2008), Wilson(2009), Donald(2010) 등 다양한 연구에서 Kaplan-Meier

추정치를 이용하는 Nam과 D'Agostino(2004)의 방법을 사용하였다. 본 연구에서도

생존 자료를 이용한 예측모형의 discrimination과 calibration의 평가를 위해 개발

된 방법 중 Nam과 D'Agostino(2004)의 방법을 이용하였다. 로지스틱 회귀 모형에

서는 discrimination과 calibration의 평가를 Hosmer-Lemeshow의 test와

AUC(area under the receiver operating characteristic curve)를 이용하였다.

비록 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형은 다른 척도로 관련성을 측정하

였고, 추적조사 기간에 대한 정보가 다르게 들어가지만, 이런 차이가 있음에도 불

구하고 특정 상황(추적조사 기간이 짧고, 위험 인자의 효과가 작고, 사건 발생이

적은 경우; Elandt-Johnson(1980), Green and Symons(1983), Hauck(1985)는 이

경우 두 모형으로부터 추정된 모수는 유사하다고 결론)에서 모수는 비슷하게 추정

- 2 -

된다는 사실은 이미 잘 알려져 있다(Deborah, Joel 1989).

본 연구는 중도절단 된 경우가 존재하는 생존 자료의 경우 사건 발생률에 따

라 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형에서 discrimination과 calibration의 정

도를 비교 평가하고 그 변화 양상을 연구하고자 한다.

1.2 연구 내용 및 방법

본 연구는 실제 자료에 준하여 모의 자료를 생성한 후 Cox 비례위험모형과 로

지스틱 회귀모형의 discrimination, calibration을 비교하였다. Cox 비례위험모형에

서는 %perfcox SAS macro를 이용하여 discrimination과 calibration의 값을 구하

고, 로지스틱 회귀모형에서는 Hosmer-Lemeshow의 test와 C 통계량 값을 구

한다. 사건 발생률을 변화시키면서 자료를 생성하고 Cox 비례위험모형과 로지스

틱 회귀모형의 discrimination과 calibration의 변화를 비교한다.

1.3 논문의 구성

제 1장에서 연구 배경 및 목적에 대해 소개하고 연구 내용 및 방법에 대해서

제시한다. 2장에서는 이론적 배경으로 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형의

이론적 개념과 discrimination과 calibration의 내용을 소개하겠다. 3장에서는 모의

실험에 관련된 자료의 생성 절차와 분석 방법을 소개한다. 4장에서는 모의실험 결

과에 대해 제시하고 비교 평가한다. 5장에서는 결론 및 고찰에 관하여 논의하였

다.

- 3 -

제 2장 이론적 배경

2.1 로지스틱 회귀모형

2.1.1 로지스틱 회귀모형 정의

로지스틱 회귀분석은 종속변수가 두 개의 범주로 이루어진 경우에 독립변수와

의 관계를 알아보기 위하여 이용된다. 일반적으로 종속변수가 취할 수 있는 값은

어떤 사건이 발생된 경우를 1로, 발생되지 않은 경우를 0으로 나타낸다. 이런 형태

의 이분형 종속변수와 독립변수가 주어졌을 때 사건 발생의 조건부 확률을 로짓

(logit)변환하여 사용한다.

ln

′

이를 로지스틱 회귀모형이라고 하며, 특히 독립변수가 둘 이상인 경우를 다중 로

지스틱 회귀모형이라 한다.

2.1.2 모형 적합도 검정

구축된 로지스틱 회귀모형의 적합도를 보기 위한 방법으로 잔차에 기초한

통계량과 Hosmer-Lemeshow의 적합도 검정이 있다. 이 중 잔차에 기초한 통계

량은 피어슨 통계량, 데비언스 통계량이 있다. Hosmer-Lemeshow의 적합도

검정은 첫째, 관측치를 추정된 사건 발생 확률로 정렬하여 g개의 집단으로 나눈

다. 여기서 나눠지는 집단의 수는 약 10개정도 이다. 그리고 관측 빈도와 예측 빈

도의 × 개의 표로부터 피어슨 통계량 값을 계산하여 얻어진다. 여기서 M

- 4 -

는 집단의 수이고, Hosmer-Lemeshow의 적합도 검정 통계량은 다음과 같다.

⋯

여기서, 는 j번째 집단의 대상자의 수, 는 j번째 집단에서 사건이 발생한 대상

자의 수이다. 그리고 는 j번째 집단에서 예측된 사건 발생 확률의 평균이다.

2.1.3 모형의 예측력 평가

로지스틱 회귀모형을 이용한 예측모형에서 예측력은 ROC(Receiver Operating

Characteristic) 곡선 아래의 면적(AUC)으로 평가한다. ROC 곡선을 작성하기 위

해서는 관측결과와 예측결과를 비교한 분류표에서 민감도(sensitivity)와 1-특이도

(specificity)라는 두 가지 예측 정확도 척도로 구성된다. 본 연구에서 AUC 값은

SAS proc logistic의 C 통계량 값을 이용한다.

2.2. 생존 자료

2.2.1 중도절단의 정의 및 종류

모든 연구 대상에서 관심 있는 사건이 모두 발생된 자료를 완전자료라 한다.

하지만, 종종 여러 가지 이유로 일부의 연구대상에 대해서는 사건 발생시간이 여

러 가지 이유로 측정되지 못하는 경우가 있다. 즉, 연구과정 중에 대상이 이탈을

한다거나 시간의 부족으로 연구를 마치지 못하는 경우를 말한다. 이러한 자료를

중도절단자료(Censored data)라고 하며, 중도절단에는 제 1종 중도절단, 제 2종 중

도절단과 무작위 중도절단이 있다.

- 5 -

2.2.2 위험함수(hazard function)

위험함수란 t시점까지 생존한 환자의 순간위험율(instantaneous risk of death

or failure)로서 수식적으로 표현하면 다음과 같다.

lim→

Pr ≤ ≥

Pr ≥ lim

→Pr ≤

여기서, T는 생존시간을 말한다. 위 식처럼 위험함수는 생존함수(survival

function)와 밀도함수로 표현할 수 있을 뿐만 아니라, 생존함수만으로도 표현이 가

능하다. 즉, 밀도함수와 생존함수의 관계 f(t)=-S'(t)를 이용하면 다음과 같다.

′

′

반면, 생존함수를 누적위험함수(cumulative hazard function)로 표현할 수 있다.

위 식을 다시 쓰면, log

와 같이 되므로,

exp

exp

여기서,

이고 누적위험함수라고 정의한다.

- 6 -

2.2.3 Cox 비례위험모형

생존시간과 공변량의 연관성을 설명하기 위하여 위험함수를 기초로 하는 회귀

모형을 제안한 것이 Cox 비례위험모형이다. 이 모형의 가정은 서로 다른 특성을

가지고 있는 개체의 위험함수의 비율,

은 시간 t에 따라 변하지 않는다는

것이다. Cox 비례위험 모형은 다음과 같다.

×exp

여기서는 ⋯는 공변량 벡터이고

는 해당하는 모수 벡터이다. 또

한 는 기저 위험함수(baseline hazard function)로 정의한다.

2.2.4 생존 기저위험 함수의 추정

비례위험 회귀모형으로부터 계수 의 추정치를 부분 최대 우도 방법으로 추정

하고, 새로운 개체에 대한 생존확률을 추정할 수 있다. 여기서 제시될 생존확률의

추정치는 Breslow's estimator에 기초한 값이다. 이 추정치를 구하기 위해 먼저

자료를 비례위험모형에 적합시켜 부분 최대우도 추정치인와 정보행렬

(information matrix)의 역수로부터 공분산 행렬 의 추정값을 구한다.

⋯ 를 사건 발생시점이라 하고, 를 시간 에서 일어난 사건의 수라

고 정의하면, 누적 기저 위험함수의 추정치

는 다음과 같이 주

어진다.

≤

- 7 -

여기서,

∈ exp

이다.

기저 생존함수의 추정치는 exp 이다. 이는 예측변수의 값이

인 경우 개체에 대한 생존함수의 추정치이다. 만약 예측변수의 값이

로 주어진다면, 생존함수 값을 추정하기 위해서 다음과 같은 추정치를 이용한다.

exp′

2.3 Discrimination과 Calibration

2.3.1 Discrimination

예측모형에서 discrimination이란 생성된 모형이 얼마나 정확히 결과를 예측하

는지 예측력의 평가를 하기 위한 척도이다. 이분형 종속변수를 가진 다중 로지스

틱 회귀모형에서는 discrimination을 측정하기 위해 AUC 값을 이용한다. 생존시간

을 고려해야하는 Cox 비례위험모형에서는 중도절단 된 자료가 있기 때문에 이를

해결하기 위해 Nam과 D'Agostino(2004)는 대상자를 사건, 비-사건, 중도절단 세

독립된 잡단으로 구분하여 AUC를 다음과 같이 추정하였다.

이 방법을 구체적으로 설명하면 다음과 같다. 먼저, 전체 대상의 수를 n으로

두었을 때, 관심있는 생존시간 이내에 사건이 발생한 수를 , 사건이 발생하

지 않은 수를 , 중도절단 된 사건의 수를 라고 한다.

또한, 는 i번째 대상의 생존시간, 는 시점 에서 i번째 대상이 사건이 발

생할 예측확률로 정의하자. 이때 , 은 사건이 일어난 집단의 생존시간과 예

측확률이며, , 는 비-사건 집단의 생존시간과 예측확률, , 는 중도절

단 된 집단의 생존시간과 예측확률이다.

- 8 -

AUC 값을 추정하기 위해 다음과 같은 세가지 상황을 비교하는데, 이 비교는

각각 독립이라고 가정한다.

(1) 사건 대 비-사건

(2) 사건 대 사건

(3) 사건 대 중도절단

첫 번째, 사건 대 비-사건의 비교를 위한 의 값은 다음과 같다.

그외

그외

여기서, ⋅이며, 사건이 발생하지 않은 대상의 모든 생존시간은 사건이

발생한 대상의 생존시간보다 크므로, 는 항상 1 이되는데 다음과 같이 표현할

수 있다.

⋅

⋅

여기서, 쌍의수

쌍의수 이다. 이 경우 은

정확하게 Mann-Whitney 검정통계량과 같아지게 되며, 점근적으로 정규분포를 따

른다.

두 번째, 사건 대 사건의 비교를 위한 값을 구하는데, 이 경우는 더 빠른 시

간에 사건이 발생한 대상이 더 높은 사건 발생 예측확률을 가지는 경우로 다음과

같이 정의할 수 있다.

- 9 -

⋯

그외

⋯

그외

는 순위 상관계수 와 상당히 관련되어 있으며(Kendall 1970), 다음과 같이 표

현할 수 있다.

이 점근적으로 정규분포를 따르므로(Kendall 1970), 역시 점근적으로 정규분

포를 따른다.

세 번째, 사건 대 중도절단의 비교를 위한 값은 다음과 같다.

그외

그외

중도절단 시간()가 사건시간()보다 긴 경우, 오직 의 비

교 쌍만을 가진다. 이 경우 중요한 가정은 는 와 독립이므로 완벽하게 임

의로 중도절단이 발생한다는 것이다. 는 오직 중도절단 시간이 사건 발생 시간

보다 더 긴 쌍만 포함되어있는 Mann-Whitney 통계량과 같다. 그러므로 는 조

건부 Mann-Whitney 통계량이라고 할 수 있다. 여기서, 를 다음과 같이 표현할

수 있다.

- 10 -

Mann-Whitney 통계량이 점근적으로 정규분포에 근사할 때, 또한 점근적으로

정규분포를 따른다고 할 수 있다. 전체 discrimination의 C는 다음과 같다.

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

여기서,

이다.

가 독립이고, 각각이 점근적으로 정규분포를 따르기 때문에 전체 C

통계량 역시 정규분포를 따른다(Nam, D'Agostino 2004).

2.3.2 Calibration

예측모형에서 calibration이란 예측된 모형이 얼마나 잘 적합한가를 알아보는

척도이다. Calibration은 사건이 발생할 확률의 크기를 이용하여 M개의 집단으로

분할하고, 각 집단에서 그 집단에 속한 개인들의 평균 예측 확률과 실제 결과를

비교하여 평가한다. 로지스틱 회귀모형에서 모형 적합도를 평가하기 위해 흔히 쓰

이는 것이 Hosmer-Lemeshow 통계량(1980, 1982)인데, 다음과 같다.

- 11 -

⋯

여기서, 는 각각 j번째 집단에서의 관측치 수, 사건 수, 로지스틱 회귀모

형으로부터 예측된 사건 발생 확률의 평균이다. 중도절단 된 자료를 가진 생존모

형에서 적합도를 평가하기 위해 Nam과 D'Agostino(2004).가 제안한 통계량은 다

음과 같다.

⋯

여기서 와는 j번째의 Kaplan-Meier 추정치, 그리고 Cox 비례위험모형으

로 추정한 사건 발생 확률의 평균이다. 각 계산에서 중 보다 작은 가장

큰 생존시간에 대응하는 (1-생존확률)을 사용한다.

- 12 -

제 3장 모의실험

3.1 모형의 설정

모의실험에 사용된 모형은 한국인 뇌졸중 예측모형(지선하 외 2008)을 참고로

하여 자료를 발생하였다. 위의 연구는 건강보험공단에 가입되어1992년부터 1995년

사이에 지역 병원에서 정기적으로 검진을 받은 기록이 있는 30세부터 95세 사이

의 한국인 1,329,525명을 대상으로 하였다.

위 연구에 포함된 공변량은 뇌졸중에 영향을 미치는 것으로 알려진 위험인자

들로, 나이, 체질량지수(body mass index ; BMI), 수축기 혈압(systolic blood

pressure ; SBP), 당뇨(diabetes ; TDM), 운동(physical activity ; EXER1), 혈중

콜레스테롤 농도(total serum cholesterol ; NTT), 흡연력(smoking status ;

Smoke), 음주력(alcohol intake ; DRINK)의 8개를 이용한다.

10년 예측 모형을 만들기 위해 각 성별로 나눈 10년 뇌졸중 위험(P)는 다음과

같다.

exp ⋯⋯⋯⋯⋯ 모형

⋯

여기서, ⋯ 는 회귀계수, ⋯ 는 각 개체의 위험인자, ⋯ 은 해

당하는 위험인자의 평균값이다. 또한, 는 모든 위험함수가 평균값을 갖는 기

저위험함수(baseline hazard function)이다.

3.2 공변량의 생성

생성된 독립변수에서 나이, 체질량지수, 수축기 혈압은 정규분포를 따르는 난수

생성을 통하여 연속형 변수로 생성하였고, 혈중 콜레스테롤 농도와 음주력은 연속

- 13 -

형 변수로 생성한 후 범주로 나눴다. 흡연력과 당뇨, 운동은 범주를 나눠 비율에

맞게 생성하였다. 총 생성된 대상자 수는 50,000명이다. 각 공변량을 생성한 후 극

단치(나이 : 30세 미만, 85세 이상, 체질량지수 16 미만)를 포함하는 대상자는 제

거하였다. 자료 생성에 필요한 모수는 다음 표 1, 표 2와 같다.

표 1. 뇌졸중 연구 모집단 특성, 한국 암 예방 연구(지선하 외 2008)

Independent VariableMale Female

mean(S.D.) or % mean(S.D.) or %

AGE 45.0 (11.0) 49.4 (12.1)

SBP 124.5 (16.0) 121.5 (19.1)

BMI 23.2 (2.6) 23.2 (3.1)

NTT 191.3(37.8) 194.5 (39.3)

TDM 4.8 % 4.1 %

EXER1 27.7 % 95.9 %

SMOKE

Never smokers 20.7 % 93.9 %

Ex-smokers 20.1 % 2.0 %

Current smokers 59.1 % 4.1 %

DRIMK

0 23.3 % 85.7 %

1-24 57.5 % -

25-49 11.3 % 14.3 %

50-99 5.9 % -

≥100 2.0 % -

Standard deviation

- 14 -

표 2. Cox 비례위험모형을 이용한 한국인 10년 뇌졸중 예측모형(지선하 외 2008)

Independent VariableMale Female

Coefficient HR Coefficient HR

AGE 0.08117 1.085 0.07836 1.082

SBP 0.02148 1.022 0.01606 1.016

BMI 0.03120 0.1032 0.02177 1.022

NTT

< 200 0.0 1.000 0.0 1.000

200-239 0.06051 1.062 0.02277 1.023

≥ 240 0.17653 1.193 0.12329 1.131

TDM 0.58797 1.800 0.66432 1.943

EXER1 0.06916 1.072 0.07184 1.074

SMOKE

Never smokers 0.0 1.000 0.0 1.000

Ex-smokers -0.02456 0.976 0.10626 1.112

Current smokers 0.27720 1.319 0.31315 1.368

DRIMK

0 0.06810 1.070 0.0 1.000

1-24 -0.02830 0.972 - -

25-49 0.0 1.000 0.01616 1.016

50-99 0.10992 1.116 - -

≥100 0.16459 1.179 - -

HR : Hazard Ratio

독립변수가 생성된 후 종속변수는 각 성별로 10년 뇌졸중 위험 확률(P)을 (모형1)

과 같이 생성하였다.

생존시간을 얻기 위해서는 에 대한 가정이 필요하고, 본 연구에서는 지수

분포 즉, 를 가정하였으며, 다음과 같다(Ralf et al. 2005).

exp′

log

- 15 -

exp′ exp × ×

×

×

×

× ×

×

×

×

×

× ×

여기서, U는 균등분포(uniform distribution) 을 따르고, 회귀 계수는 표 2

와 같다.

또한, 본 연구에서는 10년 이전에 중도절단이 없는 경우와 임의 중도절단을 가

지는 경우의 두 가지 모형을 가정하였다. 뇌졸중 예측모형(지선하 외 2008)에서

연구 종료 이전에 중도절단 된 비율 약 8%를 베르누이 분포를 이용하여 랜덤하게

발생시켰다.

3.3 모의실험 설계

본 연구에서 뇌졸중 발생률의 변화에 따른 discrimination과 calibration의 변화

를 알아보기 위하여 한국인 뇌졸중 예측모형(지선하 외 2008)의 남성 예측모형을

이용하였다. 또한, 모의실험의 사건 발생률이 약 2.5%, 5%, 10%, 15%, 20%가 되

도록 값의 크기를 조정하였으며, 값은 각각 0.98485, 0.9642, 0.9344, 0.9044,

0.8544이다.

중도절단이 있는 자료에서 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형을 비교할

때 로지스틱 회귀모형에서 중도절단은 비-사건으로 정의하였다. 또한 생존시간이

10년 미만이면서 사건이 발생하지 않은 중도절단 된 자료를 제거한 후 분석하여

중도절단 자료 제거 전과 후의 비교를 수행하였다.

- 16 -

제 4장 모의실험 결과

4.1 사건 발생률에 따른 회귀 계수의 비교(중도절단이 없는

경우)

한국인을 위한 뇌졸중 예측 모형(지선하 외 2008)에 기초하여 50,000여명의 모

의실험 자료를 생성하여 사건 발생률에 따라 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀

모형간의 회귀계수 값을 비교하여 보았다.

두 예측모형의 회귀계수 차이는 표 3에서 사건 발생률 2.49%인 경우 0.0002∼

0.030, 표 4에서 사건 발생률 5.63%인 경우 0.002∼0.055, 표 5에서 사건 발생률

10.32%인 경우 0.002∼0.118, 표 6에서 사건 발생률 14.49%인 경우 0.002∼0.152,

표 7에서 사건 발생률 20.48%인 경우 0.0009∼0.226 사이에서 나타났다. 사건 발생

률이 커질수록 회귀계수 차이의 최대값이 증가하였다.

- 17 -

표 3. 사건 발생률 2.49%에서 Cox와 로지스틱 모형의 회귀계수 비교

Men(n=45,482)

Cox model Logistic model Difference( log)(S.E) HR (S.E) OR

AGE(years)0.07624(0.0029)

1.0790.0799(0.0030)

1.083 -0.0037

SBP(mmHg)0.02078(0.0019)

1.0210.0218(0.0019)

1.022 -0.0010

TDM(mg/dL)0.54306(0.1116)

1.7210.5726(0.1163)

1.773 -0.0295

SMOKE

Never - - - - -

Ex-smokers-0.04118(0.1056)

0.960-0.0433(0.1079)

0.958 0.0021

Current0.38624(0.0817)

1.4710.4032(0.0836)

1.497 -0.0170

EXER1(no)0.16633(0.0635)

1.1810.1752(0.0654)

1.192 -0.0089

BMI(1 kg/m)0.02365(0.0115)

1.0240.0249(0.0119)

1.025 -0.0013

DRINK(g/day)

00.14126(0.1062)

1.1510.1497(0.1091)

1.161 -0.0084

1-24-0.03301(0.0975)

0.968-0.0332(0.1001)

0.967 0.0002

25-49 - - - - -

50-990.02055(0.1510)

1.0210.0236(0.1551)

1.024 -0.0031

≥1000.28644(0.2030)

1.3320.3127(0.2104)

1.367 -0.0263

NTT

<200 - - - - -

200-2390.04631(0.0687)

1.0470.0484(0.0706)

1.050 -0.0021

≥2400.05028(0.1009)

1.0520.0562(0.1039)

1.058 -0.0059

S.E. : Standard error, HR : Hazard Ratio, OR : Odds Ratio

- 18 -


Men(n=45,502)


AGE(years)0.0773(0.0019)

1.0800.0854(0.0022)

1.089 -0.0081

SBP(mmHg)0.0223(0.0012)

1.0230.0246(0.0013)

1.025 -0.0023

TDM(mg/dL)0.4735(0.0762)

1.6060.5281(0.0828)

1.696 -0.0546

SMOKE

Never - - - - -

Ex-smokers0.0119(0.0679)

1.0120.0135(0.0715)

1.014 -0.0016

Current0.3201(0.0534)

1.3770.3516(0.0564)

1.421 -0.0315

EXER1(no)0.1254(0.0426)

1.1340.1388(0.0453)

1.149 -0.0134

BMI(1 kg/m)0.0311(0.0076)

1.0320.0345(0.0081)

1.035 -0.0034

DRINK(g/day)

00.0454(0.0728)

1.0460.0513(0.0770)

1.053 -0.0059

1-240.0325(0.0655)

1.0330.0392(0.0693)

1.040 -0.0067

25-49 - - - - -

50-990.2632(0.0942)

1.3010.2959(0.1006)

1.344 -0.0327

≥1000.1579(0.1444)

1.1710.1811(0.1541)

1.199 -0.0232

NTT

<200 - - - - -

200-2390.0783(0.0456)

1.0810.0868(0.0484)

1.091 -0.0085

≥2400.1664(0.0646)

1.1810.1876(0.0691)

1.206 -0.0212


- 19 -


Men(n=45,670)


AGE(years)0.0742(0.0014)

1.0770.0887(0.0017)

1.093 -0.0145

SBP(mmHg)0.0202(0.0009)

1.0200.0241(0.0010)

1.024 -0.0039

TDM(mg/dL)0.5315(0.0554)

1.7010.6488(0.0645)

1.913 -0.1173

SMOKE

Never - - - - -

Ex-smokers-0.0003(0.0494)

1.000-0.0044(0.0541)

0.996 0.0041

Current0.2516(0.0391)

1.2860.2990(0.0431)

1.349 -0.0474

EXER1(no)0.0172(0.0321)

1.0170.0214(0.0357)

1.022 -0.0042

BMI(1 kg/m)0.0300(0.0057)

1.0300.0355(0.0063)

1.036 -0.0055

DRINK(g/day)

0-0.0167(0.0517)

0.983-0.0194(0.0578)

0.981 0.0027

1-24-0.1082(0.0467)

0.897-0.1297(0.0521)

0.878 0.0215

25-49 - - - - -

50-990.0036(0.0724)

1.0040.0061(0.0808)

1.066 -0.0025

≥100-0.0178(0.1153)

0.980-0.0230(0.1278)

0.977 0.0052

NTT

<200 - - - - -

200-2390.0498(0.0339)

1.0510.0580(0.0376)

1.060 -0.0082

≥2400.1949(0.0466)

1.2150.2410(0.0525)

1.273 -0.0461


- 20 -


Men(n=45,564)


AGE(years)0.0719(0.0012)

1.0750.0911(0.0015)

1.095 -0.0192

SBP(mmHg)0.0204(0.0008)

1.0210.0256(0.0009)

1.026 -0.0052

TDM(mg/dL)0.5022(0.0466)

1.6520.6534(0.0569)

1.922 -0.1512

SMOKE

Never - - - - -

Ex-smokers-0.0453(0.0413)

0.956-0.0537(0.0469)

0.948 0.0084

Current0.2352(0.0327)

1.2650.2923(0.0374)

1.340 -0.0571

EXER1(no)0.0656(0.0269)

1.0680.0836(0.0312)

1.087 -0.018

BMI(1 kg/m)0.0277(0.0048)

1.0280.0342(0.0055)

1.035 -0.0065

DRINK(g/day)

00.0408(0.0441)

1.0420.0501(0.0509)

1.051 -0.0093

1-24-0.0339(0.0399)

0.967-0.0386(0.0459)

0.962 0.0047

25-49 - - - - -

50-990.1383(0.0599)

1.1480.1834(0.0698)

1.201 0.0099

≥100-0.0031(0.0965)

0.997-0.0103(0.1115)

0.990 0.0072

NTT

<200 - - - - -

200-2390.0295(0.0286)

1.0300.0310(0.0329)

1.031 -0.0015

≥2400.1017(0.0418)

1.1070.1163(0.0485)

1.123 -0.0146


- 21 -


Men(n=45,443)


AGE(years)0.0686(0.0010)

1.0710.0946(0.0014)

1.099 -0.0260

SBP(mmHg)0.0183(0.0007)

1.0180.0250(0.0008)

1.025 -0.0067

TDM(mg/dL)0.4789(0.0390)

1.6140.7040(0.0514)

2.022 -0.2251

SMOKE

Never - - - - -

Ex-smokers-0.0480(0.0348)

0.953-0.0669(0.0414)

0.935 0.0189

Current0.2146(0.0273)

1.2390.2887(0.0328)

1.335 -0.0741

EXER1(no)0.0636(0.0226)

1.0660.0885(0.0277)

1.092 -0.0249

BMI(1 kg/m)0.0265(0.0040)

1.0270.0370(0.0049)

1.038 -0.0105

DRINK(g/day)

00.0850(0.0379)

1.0890.1162(0.0461)

1.123 -0.0312

1-24-0.0106(0.0345)

0.989-0.0115(0.0418)

0.989 0.0009

25-49 - - - - -

50-990.0641(0.0515)

1.0660.0886(0.0630)

1.093 -0.0245

≥1000.1742(0.0767)

1.1900.2377(0.0948)

1.268 -0.0635

NTT

<200 - - - - -

200-2390.0636(0.0239)

1.0660.0858(0.0291)

1.090 -0.0222

≥2400.1267(0.0347)

1.1350.1908(0.0430)

1.210 -0.0641


- 22 -

4.2 사건 발생률에 따른 discrimination과 calibration의 비

교(중도절단이 없는 경우)

중도절단 및 결측치가 없는 자료에서 각 사건 발생률에 따라 discrimination과

calibration의 변화를 알아보았다. Discrimination은 사건 발생률이 변화할 때 Cox

비례위험모형과 로지스틱 회귀모형 간에 큰 차이를 보이지 않았고, 비슷한 값을

추정하였다. Calibration은 사건 발생률이 증가함에 따라 로지스틱 회귀모형에서

추정된 값은 증가하는 경향이 나타났으나, 그 결과의 해석에 있어 모형이 적합하

다는 귀무가설을 기각하지 않는 범위 안에서 증가하였다. 반면에 Cox 비례위험모

형에서 추정된 값은 사건 발생률에 따라 증가하였고, 사건 발생률이 약 10%를 넘

어가는 경우에 모형의 적합도에 관한 결과 해석마저 달라지는 것을 확인할 수 있

었다.

표 8. 사건 발생률에 따른 discrimination과 calibration의 비교(중도절단이 없는 경

우)

Eventrate

discrimination calibration( statistics)

Cox Logistic DifferenceCox

(p-value)Logistic(p-value)

Difference

2.49% 0.742 0.742 0.06.3510(0.7043)

5.2419(0.7314)

1.1091(-0.0271)

5.63% 0.744 0.743 0.00111.7292(0.2290)

6.0348(0.6433)

5.6944(-0.4143)

10.32% 0.748 0.746 0.00248.5278(0.0000)

6.5401(0.5870)

41.9877(-0.5870)

14.49% 0.752 0.749 0.003119.9190(0.0000)

8.6782(0.3702)

111.2408(-0.3702)

20.48% 0.755 0.752 0.003250.6810(0.0000)

12.8680(0.1165)

237.8130(-0.1165)

- 23 -

그림 1. 사건 발생률에 따른 discrimination의 변화(중도절단이 없는 경우)

- 24 -

그림 2. 사건 발생률에 따른 calibration의 변화(중도절단이 없는 경우)

- 25 -


도절단이 없는 경우)

4.3 사건 발생률에 따른 회귀 계수의 비교(중도절단이 있는

경우)

한국인을 위한 뇌졸중 예측 모형(지선하 외 2008)에 기초하고, 중도절단 상태

를 포함하여 50,000여명의 모의실험 자료를 생성하였다. 그리고 사건 발생률과 중

도절단 자료의 포함 여부에 따라 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형간의 회

귀계수 값을 비교하여 보았다.

표 9부터 표 13에서 사건 발생률이 증가함에 따라 중도절단 된 자료 포함 유

무의 회귀계수가 유사하게 나타났다. Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형 간

에는 사건 발생률이 증가함에 따라 회귀계수 차이가 증가하였다.

- 26 -


Men(n=45,477)

Including censored data excluding censored data

Cox Logistic Cox Logistic

(S.E) HR (S.E) OR (S.E) HR (S.E) OR

AGE(years)0.0767(0.0030)

1.0800.0798(0.0031)

1.0830.0769(0.0030)

1.0800.0801(0.0031)

1.083

SBP(mmHg)0.0219(0.0020)

1.0220.0227(0.0020)

1.0230.0219(0.0020)

1.0220.0228(0.0020)

1.023

TDM(mg/dL)0.5489(0.1158)

1.7310.5742(0.1201)

1.7760.5538(0.1158)

1.7400.5803(0.1201)

1.787

SMOKE

Never - - - - - - - -

Ex-smokers-0.1605(0.1047)

0.852-0.1663(0.1070)

0.847-0.1602(0.1047)

0.852-0.1660(0.1070)

0.847

Current0.1527(0.0805)

1.1650.1580(0.0825)

1.1710.1542(0.0805)

1.1670.1598(0.0825)

1.173

EXER1(no)0.0990(0.0673)

1.1040.1024(0.0691)

1.1080.0989(0.0673)

1.1040.1022(0.0691)

1.108

BMI(1 kg/m )0.0245(0.0122)

1.0250.0251(0.0125)

1.0250.0248(0.0122)

1.0250.0255(0.0125)

1.026

DRINK(g/day)

0-0.0730(0.1108)

0.930-0.0804(0.1137)

0.923-0.0735(0.1108)

0.929-0.0810(0.1137)

0.922

1-24-0.1093(0.0996)

0.896-0.1162(0.1022)

0.890-0.1103(0.0996)

0.896-0.1174(0.1022)

0.889

25-49 - - - - - - - -

50-990.1664(0.1465)

1.1810.1737(0.1508)

1.1900.1672(0.1465)

1.1820.1750(0.1509)

1.191

≥1000.4038(0.2010)

1.4980.4169(0.2078)

1.5170.4048(0.2010)

1.4990.4186(0.2079)

1.520

NTT

<200 - - - - - - - -

200-2390.0581(0.0722)

1.0600.0607(0.0740)

1.0630.0565(0.0722)

1.0580.0586(0.0740)

1.060

≥2400.1575(0.1016)

1.1710.1642(0.1045)

1.1780.1585(0.1016)

1.1720.1653(0.1046)

1.180

HR : Hazard ratio, OR : Odds ratio

- 27 -


Men(n=45,760)




AGE(years)0.0776(0.0020)

1.0810.0848(0.0022)

1.0880.0782(0.0020)

1.0810.0857(0.0022)

1.089

SBP(mmHg)0.0209(0.0013)

1.0210.0227(0.0014)

1.0230.0210(0.0013)

1.0210.0230(0.0014)

1.023

TDM(mg/dL)0.5040(0.0771)

1.6550.5574(0.0836)

1.7460.5152(0.0771)

1.6740.5730(0.0837)

1.774

SMOKE

Never - - - - - - - -

Ex-smokers-0.0777(0.0685)

0.925-0.0857(0.0719)

0.918-0.0765(0.0685)

0.926-0.0842(0.0720)

0.919

Current0.1935(0.0540)

1.2140.2075(0.0569)

1.2310.1991(0.0540)

1.2200.2148(0.0569)

1.240

EXER1(no)0.0853(0.0443)

1.0890.0936(0.0470)

1.0980.0833(0.0443)

1.0870.0913(0.0470)

1.096

BMI(1 kg/m )0.0273(0.0079)

1.0280.0300(0.0084)

1.0300.0271(0.0079)

1.0280.0298(0.0084)

1.030

DRINK(g/day)

00.0426(0.0732)

1.0440.0501(0.0774)

1.0510.0428(0.0732)

1.0440.0509(0.0774)

1.052

1-24-0.0386(0.0665)

0.962-0.0401(0.0702)

0.961-0.0392(0.0665)

0.962-0.0410(0.0702)

0.960

25-49 - - - - - - - -

50-990.1384(0.0997)

1.1480.1574(0.1058)

1.1710.1336(0.0997)

1.1430.1520(0.1059)

1.164

≥100-0.0435(0.1642)

0.957-0.0394(0.1731)

0.961-0.0365(0.1642)

0.964-0.0331(0.1730)

0.967

NTT

<200 - - - - - - - -

200-2390.1042(0.0465)

1.1100.1129(0.0492)

1.1200.1042(0.0465)

1.1100.1132(0.0492)

1.120

≥2400.1734(0.0683)

1.1890.1871(0.0724)

1.2060.1709(0.0683)

1.1860.1839(0.0725)

1.202


- 28 -


Men(n=45,533)




AGE(years)0.0741(0.0015)

1.0770.0867(0.0018)

1.0910.0749(0.0015)

1.0780.0883(0.0018)

1.092

SBP(mmHg)0.0204(0.0010)

1.0210.0238(0.0011)

1.0240.0204(0.0010)

1.0210.0240(0.0011)

1.024

TDM(mg/dL)0.5638(0.0563)

1.7570.6843(0.0650)

1.9820.5640(0.0563)

1.7580.6881(0.0652)

1.990

SMOKE

Never - - - - - - - -

Ex-smokers-0.0165(0.0517)

0.984-0.0161(0.0562)

0.984-0.0146(0.0517)

0.986-0.0128(0.0563)

0.987

Current0.2556(0.0406)

1.2910.3009(0.0443)

1.3510.2568(0.0406)

1.2930.3045(0.0444)

1.356

EXER1(no)0.0740(0.0332)

1.0770.0816(0.0366)

1.0850.0764(0.0332)

1.0790.0850(0.0367)

1.089

BMI(1 kg/m )0.0284(0.0060)

1.0290.0331(0.0066)

1.0340.0291(0.0060)

1.0290.0341(0.0066)

1.035

DRINK(g/day)

00.1201(0.0565)

1.1280.1404(0.0619)

1.1510.1174(0.0565)

1.1250.1370(0.0620)

1.147

1-240.0643(0.0514)

1.0660.0779(0.0562)

1.0810.0657(0.0514)

1.0680.0794(0.0563)

1.083

25-49 - - - - - - - -

50-990.1882(0.0764)

1.2070.2298(0.0844)

1.2580.1844(0.0764)

1.2020.2259(0.0846)

1.253

≥1000.3207(0.1049)

1.3780.3812(0.1173)

1.4640.3167(0.1049)

1.3730.3779(0.1176)

1.459

NTT

<200 - - - - - - - -

200-2390.0513(0.0356)

1.0530.0549(0.0391)

1.0560.0497(0.0356)

1.0510.0524(0.0392)

1.054

≥2400.2010(0.0499)

1.2330.2245(0.0554)

1.2520.2032(0.0499)

1.2250.2292(0.0556)

1.258


- 29 -


Men(n=45,598)




AGE(years)0.0721(0.0012)

1.0750.0898(0.0016)

1.0940.0736(0.0013)

1.0760.0927(0.0016)

1.097

SBP(mmHg)0.0200(0.0008)

1.0200.0248(0.0009)

1.0250.0204(0.0008)

1.0210.0256(0.0009)

1.026

TDM(mg/dL)0.4698(0.0481)

1.6000.6044(0.0579)

1.8300.4788(0.0481)

1.6140.6204(0.0583)

1.860

SMOKE

Never - - - - - - - -

Ex-smokers-0.0183(0.0426)

0.982-0.0197(0.0479)

0.981-0.0262(0.0426)

0.974-0.2075(0.0481)

0.973

Current0.2313(0.0338)

1.2600.2868(0.0382)

1.3320.2282(0.0338)

1.2560.2883(0.0383)

1.334

EXER1(no)0.0888(0.0276)

1.0930.1096(0.0317)

1.1160.0937(0.0276)

1.0980.1166(0.0318)

1.124

BMI(1 kg/m )0.0233(0.0049)

1.0240.0290(0.0056)

1.0290.0233(0.0049)

1.0240.0292(0.0057)

1.030

DRINK(g/day)

00.0871(0.0460)

1.0910.1117(0.0526)

1.1180.0871(0.0460)

1.0910.1117(0.0528)

1.118

1-24-0.0032(0.0418)

0.997-0.0001(0.0476)

1.000-0.0035(0.0418)

0.996-0.0010(0.0479)

0.999

25-49 - - - - - - - -

50-990.0692(0.0638)

1.0720.0883(0.0729)

1.0920.0769(0.0638)

1.0800.0966(0.0732)

1.101

≥1000.1058(0.0933)

1.1120.1152(0.1066)

1.1220.1176(0.0933)

1.1250.1321(0.1071)

1.141

NTT

<200 - - - - - - - -

200-239-0.0260(0.0300)

0.974-0.0281(0.0341)

0.972-0.0232(0.0300)

0.977-0.0257(0.0343)

0.975

≥2400.1662(0.0414)

1.1810.2094(0.0481)

1.2330.1680(0.0414)

1.1830.2145(0.0483)

1.239


- 30 -


Men(n=45,567)




AGE(years)0.0701(0.0011)

1.0730.0944(0.0014)

1.0990.0710(0.0011)

1.0740.0975(0.0015)

1.102

SBP(mmHg)0.0178(0.0007)

1.0180.0237(0.0008)

1.0240.0180(0.0007)

1.0180.0245(0.0008)

1.025

TDM(mg/dL)0.5640(0.0410)

12.7580.7830(0.0532)

2.1880.5694(0.0410)

1.7670.8044(0.0537)

2.235

SMOKE

Never - - - - - - - -

Ex-smokers-0.0014(0.0361)

0.9990.0022(0.0425)

1.002-0.0051(0.0361)

0.995-0.0015(0.0428)

0.999

Current0.2684(0.0288)

1.3080.3539(0.0341)

1.4250.2692(0.0288)

1.3090.3614(0.0343)

1.435

EXER1(no)0.0366(0.0234)

1.0370.0455(0.0283)

1.0470.0378(0.0234)

1.0390.0472(0.0285)

1.048

BMI(1 kg/m )0.0256(0.0042)

1.0260.0341(0.0050)

1.0350.0266(0.0042)

1.0270.0364(0.0081)

1.037

DRINK(g/day)

00.0138(0.0386)

1.0140.0276(0.0464)

1.0280.0173(0.0386)

1.0170.0358(0.0467)

1.036

1-24-0.0620(0.0350)

0.940-0.0776(0.0420)

0.925-0.0630(0.0350)

0.939-0.0782(0.0422)

0.925

25-49 - - - - - - - -

50-990.0775(0.0527)

1.0810.1161(0.0641)

1.1230.0765(0.0527)

1.0800.1160(0.0645)

1.123

≥1000.1373(0.0752)

1.1470.2255(0.0935)

1.2530.1291(0.0752)

1.1380.2200(0.0943)

1.246

NTT

<200 - - - - - - - -

200-2390.0709(0.0246)

1.0730.0917(0.0297)

1.0960.0720(0.0246)

1.0750.0944(0.0299)

1.099

≥2400.1340(0.0358)

1.1430.1836(0.0436)

1.2020.1337(0.0358)

1.1430.1869(0.0439)

1.206


- 31 -

4.4 사건 발생률에 따른 discrimination과 calibration의 비

교(중도절단이 있는 경우)

모의실험을 통하여 생성된 중도절단이 존재하는 자료에서 중도절단 여부와 사

건 발생률에 따라 discrimination과 calibration의 변화를 알아보았다. 표 14에서

discrimination의 경우 중도절단 자료의 유무에 상관없이 각 사건 발생률에서 Cox

비례위험모형과 로지스틱 회귀모형의 추정값이 큰 차이를 보이지 않았다. 표 15에

서 calibration은 Cox 비례위험모형에서 사건 발생률에 따라 추정값이 크게 증가

하였고, 로지스틱 회귀모형에서는 증가하는 경향을 보이기는 하였지만 그 결과의

해석에 있어 크게 영향을 미치지 못하였다.

- 32 -

표 14. 사건 발생률에 따른 discrimination의 비교(중도절단이 있는 경우)

Eventrate

Including censored data Excluding censored data

Cox Logistic difference Cox Logistic difference

2.27% 0.736 0.733 0.003 0.735 0.734 0.001

5.26% 0.741 0.738 0.003 0.741 0.740 0.001

9.38% 0.749 0.745 0.004 0.749 0.747 0.002

13.60% 0.754 0.747 0.007 0.753 0.751 0.002

19.20% 0.760 0.752 0.008 0.760 0.757 0.003

표 15. 사건 발생률에 따른 calibration의 비교(중도절단이 있는 경우)

Eventrate

Including censored data Excluding censored data

Cox(p-value)

Logistic(p-value)

diffCox

(p-value)Logistic(p-value)

diff

2.27%5.0674(0.8284)

5.1577(0.7406)

-0.0903(0.0878)

5.8054(0.7592)

5.5103(0.7019)

0.2951(0.0573)

5.26%14.1168(0.1182)

13.0221(0.1111)

1.0947(0.0071)

15.3480(0.0818)

14.9458(0.0602)

0.4022(0.0216)

9.38%56.2194(0.0000)

13.6659(0.0909)

42.5535(-0.0909)

50.8011(0.0000)

15.4522(0.0509)

35.3489(-0.0509)

13.60%135.7160(0.0000)

12.8038(0.1188)

122.9122(-0.1188)

105.7220(0.0000)

11.6310(0.1684)

94.091(-0.1684)

19.20%286.0400(0.0000)

13.3622(0.1000)

272.6778(-0.1000)

244.3560(0.0000)

22.4819(0.0041)

221.8741(-0.0041)

- 33 -

그림 4. 사건 발생률에 따른 discrimination의 변화(중도절단이 있는 경우)

- 34 -

그림 5. 사건 발생률에 따른 calibration의 변화(중도절단이 있는 경우)

- 35 -


도절단이 있는 경우)

- 36 -

제 5장 결론 및 고찰

한국인의 10년 뇌졸중 예측모형(지선하 외 2008)을 바탕으로 모의실험 자료를

생성하였다. 이 경우 사건 발생률을 다양하게 생성(약 2%, 5%, 10%, 15%, 20%)

하여 Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형에서 추정치를 비교하여 본 결과, 사

건 발생률이 약 10%를 넘어가는 경우 추정된 회귀 계수 값의 차이가 증가하는 것

을 확인할 수 있었다. 하지만 모의실험에서 생성된 총 대상의 수가 약 50,000여명

으로 경향이 나타날 뿐 거의 유사하게 추정되었다고 볼 수 있다. 각각 모형에서

추정된 hazard ratio와 odds ratio의 값 또한 사건 발생률이 커짐에 따라 조금 더

차이가 나는 현상을 보였지만, 결론적으로 추정된 값을 볼 때 유사한 값을 추정하

였다.

사건 발생률이 높아짐에 따라 Cox 비례위험모형과 로지스틱에서 각각 계산한

discrimination 값들의 차는 사건 발생률의 증가함에 따라 0.000∼0.003 사이의 변

화를 보였고 사건 발생률에 큰 영향을 받지 않았다. 하지만 calibration의 경우 사

건 발생률이 증가함에 따라 Cox 비례위험모형에서 구한 통계량 값이 급격하게

커졌다. 반면에 로지스틱에서는 사건 발생률이 증가함에 따라 증가하는 경향은 보

였지만 Cox 비례위험모형에서 구한 calibration보다 상대적으로 안정적인 값을 유

지하였다. 또한 로지스틱 회귀모형에서 구한 calibration은 대부분의 경우에서 귀무

가설을 채택하여 모형이 적합하다는 것을 보였으나, Cox 비례위험모형에서 구해

진 calibration값은 사건 발생률 약 10% 이상인 경우에서 모형이 적합하지 않다는

결론을 내려, 로지스틱 회귀모형과 그 결과를 달리하였다.

다음으로 중도절단 된 자료(약 8%)를 포함하는 생존 자료를 생성하였다. 이 경

우 중도절단 자료를 포함하는 경우와 제거한 경우에 Cox 비례위험모형과 로지스

틱 회귀모형을 비교하여 보았다. 위의 경우와 마찬가지로 사건 발생률에 따라

Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형간의 차이는 증가하지만, 그 차이가 크지

않았고, 중도절단 된 자료의 제거 전후에 따라 큰 차이는 보이지 않았다. 중도절단

된 자료를 포함하는 경우, 사건 발생률에 따라 각 모형에서 중도절단 처리 유무에

- 37 -

따라 discrimination과 calibration을 비교하여 보았다.

Discrimination은 모든 사건 발생률에서 Cox 비례위험모형이 가장 높았고, 중

도절단 된 자료가 존재하는 경우에 로지스틱 회귀모형의 값이 가장 낮았다. 중도

절단 된 자료를 포함하는 경우에 사건 발생률에 따라 Cox 비례위험모형과 로지스

틱 회귀모형 간의 discrimination 값 차이가 중도절단 된 자료를 제거하고 분석한

경우의 차이보다 조금 더 높았다. 하지만 discrimination 값은 중도절단 자료 제거

유무와 Cox 비례위험모형, 로지스틱 회귀모형 간에 모두 비슷하게 추정되는 경향

을 보여주었다. Calibration에 있어서는 사건 발생률이 약 10% 이상이 되는 경우

Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형간의 차이가 급격하게 나타났다. 중도절단

자료 제거 유무에 따라서는 제거하지 않은 경우에 Cox 비례위험모형과 로지스틱

회귀모형에서 구한 calibration 값의 차이가 조금 더 컸다.

Deborah와 Joel(1989)의 연구에서는 추적조사 기간의 길이가 증가함에 따라

Cox 비례위험모형과 로지스틱 회귀모형에서 회귀계수의 차이가 나타났고, 사건

발생률이 증가함에 따라서도 차이가 남을 보고하였다. 본 논문에서는 추적조사 기

간을 상대적으로 긴 10년으로 설정했을 때 두 모형에서 회귀계수는 유사하게 추

정되었고, 사건 발생률이 증가할 경우에도 유사한 결과를 얻었다.

사건 발생률이 낮은 경우(약 5% 이하)에서는 중도절단 자료 포함 유무와 10년

예측 모형을 만들기 위해 사용한 Cox 비례위험 모형과 로지스틱 회귀모형에서 회

귀계수, discrimination, calibration 모두 큰 차이를 보이지 않고, 비슷하게 나타났

다. 하지만 사건 발생률이 높아짐에 따라 Cox 비례위험 모형에서 계산된

calibration 값인 통계량이 급격하게 증가하였다. Cox 비례위험모형에서

calibration 값인 값이 증가하는 이유 중 하나는 Cox 모형으로부터 계산된 평균

생존확률은 두 개의 사건발생 생존시간이 비록 보다 작다하더라도 이의 크기

관계가 모형에 반영되지만 Kaplan-Meier 추정치는 그러하지 못하다. 만약 특정

집단에 속한 대상이 모두 이전에 사건이 발생하였다면 Kaplan-Meier 추정치

는 0이 되나 Cox 비례위험모형의 결과는 0이 아니므로 그 차이가 커지는 것으로

생각된다.

- 38 -

본 연구의 결과로 생존 자료에서 예측 모형의 discrimination은 로지스틱 회귀

모형과 Cox 비례위험모형에서 비슷하였다. 그러나 두 방법간의 calibration 결과의

차이는 사건 발생률이 커질수록 더 커졌다. 추후 이에대한 이론적인 연구가 시행

될 필요가 있다.

- 39 -

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- 42 -

ABSTRACT

Comparison of Cox's proportional hazard and logistic

regression models : discrimination and calibration of

prediction models

Lee, Sung Hyuk

Dept. of Biostatistics and Computing

The Graduate School

Yonsei University

In recent clinical research, statistical prediction models have been developed for

events of interest such as death from certain diseases or recurrence of the

diseases. Such statistical prediction models are developed generally using

logistic regression or Cox's proportional hazard models.

In this thesis, Cox's proportional hazards and logistic regression models

were compared in terms of discrimination and calibration according to the

incidence rate and the presence of censored data. To evaluate the

discrimination and calibration in prediction models, the AUC and

Hosmer-Lemeshow test statistic were used in the logistic regression model

and the AUC and test statistic using the Kaplan-Meier estimates from

SAS macro %perfcox (Nam, D'Agostino 2004) were used in Cox's proportional

hazard regression model.

The simulation data were generated following the stroke risk prediction

model (Jee et al. 2008). The simulation results for the two prediction models

were relatively similar regarding the estimates of regression coefficients and

- 43 -

discrimination. As the incidence rate increases, however, the value of

calibration in the Cox's proportional hazard regression model tended to rapidly

increase.

Key words : Cox's proportional hazards, Logistic, discrimination, calibration

Cox 비례위험 모형과 로지스틱 모형의 비교 : 예측모형의 ... · 2019-06-28 ·...

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