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Cours de terminale S
Géométrie dans l’espace
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2018-2019
A. OLLIVIER Cours de terminale S Géométrie dans l’espace
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I. Positions relatives de droites et de plans. 1. Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont :
• Soit …………………. : Elles sont alors : - soit……………., -soit ………..….., et dans ce cas : elles sont ………………………………, ou ………………….
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I. Positions relatives de droites et de plans. 1. Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont :
• Soit coplanaires : Elles sont alors : - soit……………., -soit ………..….., et dans ce cas : elles sont ………………………………, ou ………………….
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I. Positions relatives de droites et de plans. 1. Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont :
• Soit coplanaires : Elles sont alors : - soit sécantes, -soit ………..….., et dans ce cas : elles sont ………………………………, ou ………………….
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I. Positions relatives de droites et de plans. 1. Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont :
• Soit coplanaires : Elles sont alors : - soit sécantes, -soit parallèles, et dans ce cas : elles sont ………………………………, ou ………………….
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I. Positions relatives de droites et de plans. 1. Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont :
• Soit coplanaires : Elles sont alors : - soit sécantes, -soit parallèles, et dans ce cas : elles sont strictement parallèles, ou ………………….
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I. Positions relatives de droites et de plans. 1. Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont :
• Soit coplanaires : Elles sont alors : - soit sécantes, -soit parallèles, et dans ce cas : elles sont strictement parallèles, ou confondues.
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• Soit …………………….
2. Positions relatives d’une droite et d’un plan :
Une droite et un plan de l’espace sont :
• soit ……….., et l’intersection est alors ………… ;
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• Soit non coplanaires.
2. Positions relatives d’une droite et d’un plan :
Une droite et un plan de l’espace sont :
• soit ……….., et l’intersection est alors ………… ;
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• Soit non coplanaires.
2. Positions relatives d’une droite et d’un plan :
Une droite et un plan de l’espace sont :
• soit sécants, et l’intersection est alors ………… ;
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• Soit non coplanaires.
2. Positions relatives d’une droite et d’un plan :
Une droite et un plan de l’espace sont :
• soit sécants, et l’intersection est alors un point ;
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• soit …………….. et dans ce cas : la droite est ………………………………… ………… ou la droite est …………………………. …….
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• soit parallèles et dans ce cas : la droite est ………………………………… ………… ou la droite est …………………………. …….
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• soit parallèles et dans ce cas : la droite est strictement parallèle au plan, ou la droite est …………………………. …….
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• soit parallèles et dans ce cas : la droite est strictement parallèle au plan, ou la droite est contenue dans le plan.
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3. Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont :
• soit …………., et dans ce cas l’intersection est ….. ………….
• soit ………………, et dans ce cas ils sont ………………….. ……………….. ou ……………...
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3. Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont :
• soit sécants, et dans ce cas l’intersection est ….. ………….
• soit ………………, et dans ce cas ils sont ………………….. ……………….. ou ……………...
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3. Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont :
• soit sécants, et dans ce cas l’intersection est une droite ;
• soit ………………, et dans ce cas ils sont ………………….. ……………….. ou ……………...
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3. Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont :
• soit sécants, et dans ce cas l’intersection est une droite ;
• soit parallèles, et dans ce cas ils sont ………………….. ……………….. ou ……………...
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3. Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont :
• soit sécants, et dans ce cas l’intersection est une droite ;
• soit parallèles, et dans ce cas ils sont strictement parallèles, ou ……………...
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3. Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont :
• soit sécants, et dans ce cas l’intersection est une droite ;
• soit parallèles, et dans ce cas ils sont strictement parallèles, ou confondus.
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Exemple du cube :
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II. Parallélisme. 1. Entre droites :
• Deux droites parallèles à une même troisième sont …………………………………. • Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une …………………………….
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II. Parallélisme. 1. Entre droites :
• Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. • Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une …………………………….
![Page 25: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/25.jpg)
II. Parallélisme. 1. Entre droites :
• Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. • Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe aussi l’autre.
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2. Entre plans :
• Deux plans parallèles à un même troisième sont ………………………………… • Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont …………….. • Un plan coupe deux plans parallèles selon …………………. ……………………………….. Remarque : Toutes les propriétés de géométrie plane …………………….. …………………………………….
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2. Entre plans :
• Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. • Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont …………….. • Un plan coupe deux plans parallèles selon …………………. ……………………………….. Remarque : Toutes les propriétés de géométrie plane …………………….. …………………………………….
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2. Entre plans :
• Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. • Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont parallèles. • Un plan coupe deux plans parallèles selon ………………… ……………………………….. Remarque : Toutes les propriétés de géométrie plane …………………….. …………………………………….
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2. Entre plans :
• Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. • Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont parallèles. • Un plan coupe deux plans parallèles selon des droites parallèles. Remarque : Toutes les propriétés de géométrie plane …………………….. …………………………………….
![Page 30: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Entre plans :
• Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. • Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à un second plan, alors les deux plans sont parallèles. • Un plan coupe deux plans parallèles selon des droites parallèles. Remarque : Toutes les propriétés de géométrie plane restent valables dans un plan de l’espace.
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3. Entre droites et plans :
• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’un est ………………………... • Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle ………………………………………………………………………. • Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle ……………………………………...
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3. Entre droites et plans :
• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre. • Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle ………………………………………………………………………. • Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle ……………………………………...
![Page 33: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/33.jpg)
3. Entre droites et plans :
• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre. • Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les plans contenant cette seconde droite. • Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle ……………………………………...
![Page 34: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/34.jpg)
3. Entre droites et plans :
• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre. • Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les plans contenant cette seconde droite. • Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d’intersection.
![Page 35: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/35.jpg)
• Théorème du toit : (preuve dans la suite du cours).
On considère deux plans P et P’ ayant pour intersection la droite ∆. On considère également deux droites d et d’, telles que : d est contenue dans P ; d’ est contenue dans P’ ; d et d’ sont parallèles entre elles. Alors …………………………………… ……………………………………………………
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• Théorème du toit : (preuve dans la suite du cours).
On considère deux plans P et P’ ayant pour intersection la droite ∆. On considère également deux droites d et d’, telles que : d est contenue dans P ; d’ est contenue dans P’ ; d et d’ sont parallèles entre elles. Alors les droites d et d’ sont également parallèles à la droite ∆.
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III. Orthogonalité. 1. Orthogonalité de droites :
Définition :
Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont ………………………..
Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors tout droite orthogonale à l’une est ……………………………….
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III. Orthogonalité. 1. Orthogonalité de droites :
Définition :
Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.
Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors tout droite orthogonale à l’une est ……………………………….
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III. Orthogonalité. 1. Orthogonalité de droites :
Définition :
Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.
Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors tout droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
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2. Orthogonalité d’une droite et d’un plan :
Définition :
Une droite d est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à …………………………………...
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2. Orthogonalité d’une droite et d’un plan :
Définition :
Une droite d est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
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Propriétés : • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale ………………………………………………….... • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est alors …………………………... • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont …………….. • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est ………………………………. • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont ……………..
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Propriétés : • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est alors …………………………... • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont …………….. • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est ………………………………. • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont ……………..
![Page 44: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/44.jpg)
Propriétés : • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est alors orthogonal à l’autre. • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont …………….. • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est ………………………………. • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont ……………..
![Page 45: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/45.jpg)
Propriétés : • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est alors orthogonal à l’autre. • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles. • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est ………………………………. • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont ……………..
![Page 46: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/46.jpg)
Propriétés : • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est alors orthogonal à l’autre. • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles. • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre. • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont ……………..
![Page 47: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/47.jpg)
Propriétés : • Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est alors orthogonal à l’autre. • Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles. • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre. • Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.
![Page 48: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/48.jpg)
IV. Géométrie vectorielle dans l’espace. 1. Notion de vecteur dans l’espace :
Définition : Un vecteur de l’espace est défini par …………………………………. …………………………………………………. Remarque : Les vecteurs de l’espace suivent les mêmes règles de construction qu’en géométrie plane ; relation de Chasles, colinéarité, etc… restent valides.
![Page 49: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/49.jpg)
IV. Géométrie vectorielle dans l’espace. 1. Notion de vecteur dans l’espace :
Définition : Un vecteur de l’espace est défini par une direction de l’espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l’espace suivent les mêmes règles de construction qu’en géométrie plane ; relation de Chasles, colinéarité, etc… restent valides.
![Page 50: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/50.jpg)
2. Caractérisation d’un plan :
Définition : Soient 𝐴 un point de l’espace, et deux vecteurs de l’espace 𝑢 et 𝑣 non colinéaires. L’ensemble des points 𝑀 de l’espace
tels que 𝐴𝑀 = 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 , avec 𝑥 et 𝑦 des réels, est ………………………………… …………………………
![Page 51: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/51.jpg)
2. Caractérisation d’un plan :
Définition : Soient 𝐴 un point de l’espace, et deux vecteurs de l’espace 𝑢 et 𝑣 non colinéaires. L’ensemble des points 𝑀 de l’espace
tels que 𝐴𝑀 = 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 , avec 𝑥 et 𝑦 des réels, est le plan passant par 𝐴 et dirigé par 𝑢 et 𝑣 .
![Page 52: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/52.jpg)
Remarques : - Dans ces conditions, le triplet 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 est ….
………………………… - Un plan est ainsi totalement déterminé par ………….
………………………………………………….. - Les plans 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 et 𝐵 ; 𝑢 ; 𝑣 (caractérisés par
un point et deux vecteurs) sont …………… pour tous points 𝐴 et 𝐵.
![Page 53: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/53.jpg)
Remarques : - Dans ces conditions, le triplet 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 est un
repère du plan. - Un plan est ainsi totalement déterminé par ………….
………………………………………………….. - Les plans 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 et 𝐵 ; 𝑢 ; 𝑣 (caractérisés par
un point et deux vecteurs) sont …………… pour tous points 𝐴 et 𝐵.
![Page 54: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/54.jpg)
Remarques : - Dans ces conditions, le triplet 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 est un
repère du plan. - Un plan est ainsi totalement déterminé par un point
et deux vecteurs non colinéaires. - Les plans 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 et 𝐵 ; 𝑢 ; 𝑣 (caractérisés par
un point et deux vecteurs) sont …………… pour tous points 𝐴 et 𝐵.
![Page 55: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/55.jpg)
Remarques : - Dans ces conditions, le triplet 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 est un
repère du plan. - Un plan est ainsi totalement déterminé par un point
et deux vecteurs non colinéaires. - Les plans 𝐴 ; 𝑢 ; 𝑣 et 𝐵 ; 𝑢 ; 𝑣 (caractérisés par
un point et deux vecteurs) sont parallèles pour tous points 𝐴 et 𝐵.
![Page 56: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/56.jpg)
3. Vecteurs coplanaires :
Définition : On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine 𝐴 ont leurs extrémités dans un même plan passant par 𝐴. Propriétés : - Trois vecteurs 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 sont coplanaires s’il existe trois réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 non tous nuls tels que : …………………………… - Trois vecteurs 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 ne sont pas coplanaires si et seulement si l’égalité : ……………….………… implique que ………………………….
![Page 57: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/57.jpg)
3. Vecteurs coplanaires :
Définition : On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine 𝐴 ont leurs extrémités dans un même plan passant par 𝐴. Propriétés : - Trois vecteurs 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 sont coplanaires s’il existe trois
réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 non tous nuls tels que : 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤 = 0. - Trois vecteurs 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 ne sont pas coplanaires si et seulement si l’égalité : ……………….………… implique que ………………………….
![Page 58: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/58.jpg)
3. Vecteurs coplanaires :
Définition : On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine 𝐴 ont leurs extrémités dans un même plan passant par 𝐴. Propriétés : - Trois vecteurs 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 sont coplanaires s’il existe trois
réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 non tous nuls tels que : 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤 = 0. - Trois vecteurs 𝑢 , 𝑣 et 𝑤 ne sont pas coplanaires si et seulement si l’égalité :
𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤 = 0 implique que 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0.
![Page 59: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/59.jpg)
Remarques : - Si 𝑢 et 𝑣 ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que ……………….… pour montrer la coplanarité des trois vecteurs. - Deux vecteurs sont toujours ……………………. Théorème : Quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires si et seulement si …. …………………………………………………….. Propriété et définition :
Soit 𝑢 un vecteur de l’espace et 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 trois vecteurs non coplanaires. Alors il existe un unique triplet de réels 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que
𝑢 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥𝑦𝑧
sont les ……………………………….. dans la base 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .
![Page 60: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/60.jpg)
Remarques : - Si 𝑢 et 𝑣 ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑤 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 pour montrer la coplanarité des trois vecteurs. - Deux vecteurs sont toujours ……………………. Théorème : Quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires si et seulement si …. …………………………………………………….. Propriété et définition :
Soit 𝑢 un vecteur de l’espace et 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 trois vecteurs non coplanaires. Alors il existe un unique triplet de réels 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que
𝑢 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥𝑦𝑧
sont les ……………………………….. dans la base 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .
![Page 61: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/61.jpg)
Remarques : - Si 𝑢 et 𝑣 ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑤 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 pour montrer la coplanarité des trois vecteurs. - Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Théorème : Quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires si et seulement si …. …………………………………………………….. Propriété et définition :
Soit 𝑢 un vecteur de l’espace et 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 trois vecteurs non coplanaires. Alors il existe un unique triplet de réels 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que
𝑢 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥𝑦𝑧
sont les ……………………………….. dans la base 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .
![Page 62: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/62.jpg)
Remarques : - Si 𝑢 et 𝑣 ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑤 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 pour montrer la coplanarité des trois vecteurs. - Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Théorème : Quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires si et seulement si les
vecteurs 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐷 sont coplanaires. Propriété et définition :
Soit 𝑢 un vecteur de l’espace et 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 trois vecteurs non coplanaires. Alors il existe un unique triplet de réels 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que
𝑢 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥𝑦𝑧
sont les ……………………………….. dans la base 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .
![Page 63: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/63.jpg)
Remarques : - Si 𝑢 et 𝑣 ne sont pas colinéaires, il suffit en fait de montrer qu’il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑤 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 pour montrer la coplanarité des trois vecteurs. - Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Théorème : Quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires si et seulement si les
vecteurs 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐷 sont coplanaires. Propriété et définition :
Soit 𝑢 un vecteur de l’espace et 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 trois vecteurs non coplanaires. Alors il existe un unique triplet de réels 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que
𝑢 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥𝑦𝑧
sont les coordonnées du vecteur 𝑢 dans la base 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .
![Page 64: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/64.jpg)
4. Application : démonstration du théorème du toit.
Rappel du théorème :
On considère deux plans P et P’ ayant pour intersection la droite ∆. On considère également deux droites d et d’, telles que : d est contenue dans P ; d’ est contenue dans P’ ; d et d’ sont parallèles entre elles. Alors ………………………………….. ………………………………………………….
![Page 65: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/65.jpg)
4. Application : démonstration du théorème du toit.
Rappel du théorème :
On considère deux plans P et P’ ayant pour intersection la droite ∆. On considère également deux droites d et d’, telles que : d est contenue dans P ; d’ est contenue dans P’ ; d et d’ sont parallèles entre elles. Alors les droites d et d’ sont également parallèles à la droite ∆.
![Page 66: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/66.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont ……………………………….. ………………………………………... La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont ……….……….. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que …….……………….
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont ….…………….. Ainsi il existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que ……………………………….. Ainsi, …………………………….. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 67: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/67.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont ……….……….. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que …….……………….
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont ….…………….. Ainsi il existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que ……………………………….. Ainsi, …………………………….. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 68: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/68.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que …….……………….
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont ….…………….. Ainsi il existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que ……………………………….. Ainsi, …………………………….. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 69: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/69.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont ….…………….. Ainsi il existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que ……………………………….. Ainsi, …………………………….. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 70: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/70.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que ……………………………….. Ainsi, …………………………….. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 71: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/71.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont coplanaires. Ainsi il
existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que 𝑤 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′. Ainsi, …………………………. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 72: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/72.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont coplanaires. Ainsi il
existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que 𝑤 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Ainsi, 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′. Donc ……………………………………...
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 73: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/73.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont coplanaires. Ainsi il
existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que 𝑤 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Ainsi, 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Donc 𝑥1 − 𝑥2 𝑢 = 𝑦2𝑣′ − 𝑦1𝑣 .
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que ………………………………………… Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 74: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/74.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont coplanaires. Ainsi il
existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que 𝑤 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Ainsi, 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Donc 𝑥1 − 𝑥2 𝑢 = 𝑦2𝑣′ − 𝑦1𝑣 .
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que 𝑥1 − 𝑥2 = 𝑦1 = 𝑦2 = 0. Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien ……………………………………………………………………. …………………………
![Page 75: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/75.jpg)
Démonstration : d et d’ sont parallèles : on note 𝑢 un vecteur directeur de d et de d’, et 𝑤 un vecteur directeur de ∆. On veut montrer que 𝑢 et 𝑤 sont colinéaires (et donc par suite, d et d’ seront bien parallèles à ∆).
Notons 𝑢 , 𝑣 un couple de vecteurs directeurs du plan P, et 𝑢 , 𝑣′ un couple de
vecteurs directeurs du plan P’. Les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ sont non coplanaires (puisque les plans P et P’ sont sécants). La droite ∆ est contenue dans P, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣 sont coplanaires. Ainsi il existe des réels 𝑥1 et 𝑦1 tels que 𝑤 = 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 .
De même, la droite ∆ est contenue dans P’, donc 𝑤, 𝑢 et 𝑣′ sont coplanaires. Ainsi il
existe des réels 𝑥2 et 𝑦2 tels que 𝑤 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Ainsi, 𝑥1𝑢 + 𝑦1𝑣 = 𝑥2𝑢 + 𝑦2𝑣′.
Donc 𝑥1 − 𝑥2 𝑢 = 𝑦2𝑣′ − 𝑦1𝑣 .
Comme les vecteurs 𝑢, 𝑣 et 𝑣′ ne sont pas coplanaires, on a forcément que 𝑥1 − 𝑥2 = 𝑦1 = 𝑦2 = 0. Ainsi 𝑤 = 𝑥1𝑢, et donc 𝑢 et 𝑤 sont bien colinéaires, ce qui prouve que d et d’ sont bien parallèles à ∆.
![Page 76: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/76.jpg)
V. Repérage dans l’espace. 1. Repères de l’espace :
Définition :
Si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs non coplanaires et 𝑂 un point
fixe, alors on munit l’espace du repère 𝑂 , 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . D’après la définition des coordonnées d’un vecteur, il existe un unique triplet 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 tel que pour tout point 𝑀 de l’espace,
on a 𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥 est l’…………… du point 𝑀, 𝑦 est l’ …………… du point 𝑀 et 𝑧 est ………..
On dit que le repère est orthonormé si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme
𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1.
![Page 77: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/77.jpg)
V. Repérage dans l’espace. 1. Repères de l’espace :
Définition :
Si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs non coplanaires et 𝑂 un point
fixe, alors on munit l’espace du repère 𝑂 , 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . D’après la définition des coordonnées d’un vecteur, il existe un unique triplet 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 tel que pour tout point 𝑀 de l’espace,
on a 𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥 est l’abscisse du point 𝑀, 𝑦 est l’ …………… du point 𝑀 et 𝑧 est ………..
On dit que le repère est orthonormé si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme
𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1.
![Page 78: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/78.jpg)
V. Repérage dans l’espace. 1. Repères de l’espace :
Définition :
Si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs non coplanaires et 𝑂 un point
fixe, alors on munit l’espace du repère 𝑂 , 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . D’après la définition des coordonnées d’un vecteur, il existe un unique triplet 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 tel que pour tout point 𝑀 de l’espace,
on a 𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥 est l’abscisse du point 𝑀, 𝑦 est l’ordonnée du point 𝑀 et 𝑧 est ………..
On dit que le repère est orthonormé si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme
𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1.
![Page 79: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/79.jpg)
V. Repérage dans l’espace. 1. Repères de l’espace :
Définition :
Si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs non coplanaires et 𝑂 un point
fixe, alors on munit l’espace du repère 𝑂 , 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . D’après la définition des coordonnées d’un vecteur, il existe un unique triplet 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 tel que pour tout point 𝑀 de l’espace,
on a 𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. 𝑥 est l’abscisse du point 𝑀, 𝑦 est l’ordonnée du point 𝑀 et 𝑧 est la cote.
On dit que le repère est orthonormé si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme
𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1.
![Page 80: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/80.jpg)
2. Colinéarité et alignement dans l’espace :
Théorèmes :
• Deux vecteurs non nuls 𝑢𝑥𝑦𝑧
et 𝑣 𝑥′
𝑦′
𝑧′
sont colinéaires si et
seulement si il existe un réel 𝑘 tel que …………., c’est-à-dire tel
que
………… .…………………… .
• Si 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 , alors le vecteur 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐴𝐵
………………………………
.
• Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts de l’espace sont alignés si et seulement si il existe un réel 𝑘 tel que ……………..
![Page 81: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/81.jpg)
2. Colinéarité et alignement dans l’espace :
Théorèmes :
• Deux vecteurs non nuls 𝑢𝑥𝑦𝑧
et 𝑣 𝑥′
𝑦′
𝑧′
sont colinéaires si et
seulement si il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢 = 𝑘𝑣 , c’est-à-dire tel
que
………… .…………………… .
• Si 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 , alors le vecteur 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐴𝐵
………………………………
.
• Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts de l’espace sont alignés si et seulement si il existe un réel 𝑘 tel que ……………..
![Page 82: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/82.jpg)
2. Colinéarité et alignement dans l’espace :
Théorèmes :
• Deux vecteurs non nuls 𝑢𝑥𝑦𝑧
et 𝑣 𝑥′
𝑦′
𝑧′
sont colinéaires si et
seulement si il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢 = 𝑘𝑣 , c’est-à-dire tel
que 𝑥 = 𝑘𝑥′
𝑦 = 𝑘𝑦′
𝑧 = 𝑘𝑧′
.
• Si 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 , alors le vecteur 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐴𝐵
………………………………
.
• Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts de l’espace sont alignés si et seulement si il existe un réel 𝑘 tel que ……………..
![Page 83: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/83.jpg)
2. Colinéarité et alignement dans l’espace :
Théorèmes :
• Deux vecteurs non nuls 𝑢𝑥𝑦𝑧
et 𝑣 𝑥′
𝑦′
𝑧′
sont colinéaires si et
seulement si il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢 = 𝑘𝑣 , c’est-à-dire tel
que 𝑥 = 𝑘𝑥′
𝑦 = 𝑘𝑦′
𝑧 = 𝑘𝑧′
.
• Si 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 , alors le vecteur 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐴𝐵
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑧𝐵 − 𝑧𝐴
.
• Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts de l’espace sont alignés si et seulement si il existe un réel 𝑘 tel que ……………….
![Page 84: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/84.jpg)
2. Colinéarité et alignement dans l’espace :
Théorèmes :
• Deux vecteurs non nuls 𝑢𝑥𝑦𝑧
et 𝑣 𝑥′
𝑦′
𝑧′
sont colinéaires si et
seulement si il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢 = 𝑘𝑣 , c’est-à-dire tel
que 𝑥 = 𝑘𝑥′
𝑦 = 𝑘𝑦′
𝑧 = 𝑘𝑧′
.
• Si 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 , alors le vecteur 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐴𝐵
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑧𝐵 − 𝑧𝐴
.
• Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts de l’espace sont alignés si et
seulement si il existe un réel 𝑘 tel que 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴𝐶.
![Page 85: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/85.jpg)
3. Milieu, distance :
Théorèmes : • Le milieu 𝐼 du segment 𝐴𝐵 a pour coordonnées : 𝐼 ……………………… . . Dans un repère orthonormé : • La norme du vecteur 𝑢 est 𝑢 = ………… • La distance 𝐴𝐵 = …………………………………………… .
![Page 86: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/86.jpg)
3. Milieu, distance :
Théorèmes : • Le milieu 𝐼 du segment 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐼𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 ;
𝑦𝐴+𝑦𝐵
2 ;
𝑧𝐴+𝑧𝐵
2.
Dans un repère orthonormé : • La norme du vecteur 𝑢 est 𝑢 = ………… • La distance 𝐴𝐵 = …………………………………………… .
![Page 87: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/87.jpg)
3. Milieu, distance :
Théorèmes : • Le milieu 𝐼 du segment 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐼𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 ;
𝑦𝐴+𝑦𝐵
2 ;
𝑧𝐴+𝑧𝐵
2.
Dans un repère orthonormé :
• La norme du vecteur 𝑢 est 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. • La distance 𝐴𝐵 = …………………………………………… .
![Page 88: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/88.jpg)
3. Milieu, distance :
Théorèmes : • Le milieu 𝐼 du segment 𝐴𝐵 a pour coordonnées :
𝐼𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 ;
𝑦𝐴+𝑦𝐵
2 ;
𝑧𝐴+𝑧𝐵
2.
Dans un repère orthonormé :
• La norme du vecteur 𝑢 est 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2.
• La distance 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴2 + 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
2 + 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴2.
![Page 89: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/89.jpg)
VI. Représentations paramétriques. 1. Représentations paramétriques d’une droite :
Théorème : 𝑀 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 appartient à la droite ∆ passant par 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et
de vecteur directeur non nul 𝑢𝑎𝑏𝑐
si et seulement si il existe un
réel 𝑡 tel que :
𝑥 = ……… .𝑦 = ……… .𝑧 = ……… .
.
![Page 90: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/90.jpg)
VI. Représentations paramétriques. 1. Représentations paramétriques d’une droite :
Théorème : 𝑀 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 appartient à la droite ∆ passant par 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et
de vecteur directeur non nul 𝑢𝑎𝑏𝑐
si et seulement si il existe un
réel 𝑡 tel que :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧𝐴
.
![Page 91: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/91.jpg)
Preuve :
𝑀 ∈ ∆ si et seulement si les vecteurs 𝐴𝑀
𝑥 − 𝑥𝐴𝑦 − 𝑦𝐴𝑧 − 𝑧𝐴
et 𝑢𝑎𝑏𝑐
sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si il existe un réel 𝑡 tel que ……………, ce qui équivaut à :
…………… .………………………… .
.
![Page 92: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/92.jpg)
Preuve :
𝑀 ∈ ∆ si et seulement si les vecteurs 𝐴𝑀
𝑥 − 𝑥𝐴𝑦 − 𝑦𝐴𝑧 − 𝑧𝐴
et 𝑢𝑎𝑏𝑐
sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si il existe un réel
𝑡 tel que 𝐴𝑀 = 𝑡𝑢 , ce qui équivaut à :
…………… .………………………… .
.
![Page 93: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/93.jpg)
Preuve :
𝑀 ∈ ∆ si et seulement si les vecteurs 𝐴𝑀
𝑥 − 𝑥𝐴𝑦 − 𝑦𝐴𝑧 − 𝑧𝐴
et 𝑢𝑎𝑏𝑐
sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si il existe un réel
𝑡 tel que 𝐴𝑀 = 𝑡𝑢 , ce qui équivaut à :
𝑥 − 𝑥𝐴 = 𝑎𝑡𝑦 − 𝑦𝐴 = 𝑏𝑡𝑧 − 𝑧𝐴 = 𝑐𝑡
.
![Page 94: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/94.jpg)
Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧𝐴
, 𝑡 ∈ ℝ est appelé ……………………………………………
……………………. Remarques : - Il existe plusieurs représentations paramétriques pour une
même droite : chaque représentation dépend …………………… …………………………………………………..
- Si on restreint 𝑡 ∈ ℝ+, alors 𝐴𝑀 et 𝑢 sont de même sens et on obtient alors une représentation paramétrique de ………………. …………………………………………………………………
![Page 95: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/95.jpg)
Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧𝐴
, 𝑡 ∈ ℝ est appelé représentation paramétrique
de la droite ∆. Remarques : - Il existe plusieurs représentations paramétriques pour une
même droite : chaque représentation dépend …………………… …………………………………………………..
- Si on restreint 𝑡 ∈ ℝ+, alors 𝐴𝑀 et 𝑢 sont de même sens et on obtient alors une représentation paramétrique de ………………. …………………………………………………………………
![Page 96: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/96.jpg)
Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧𝐴
, 𝑡 ∈ ℝ est appelé représentation paramétrique
de la droite ∆. Remarques : - Il existe plusieurs représentations paramétriques pour une
même droite : chaque représentation dépend du choix du point 𝐴 et du vecteur directeur 𝑢.
- Si on restreint 𝑡 ∈ ℝ+, alors 𝐴𝑀 et 𝑢 sont de même sens et on obtient alors une représentation paramétrique de ………………. …………………………………………………………………
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Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧𝐴
, 𝑡 ∈ ℝ est appelé représentation paramétrique
de la droite ∆. Remarques : - Il existe plusieurs représentations paramétriques pour une
même droite : chaque représentation dépend du choix du point 𝐴 et du vecteur directeur 𝑢.
- Si on restreint 𝑡 ∈ ℝ+, alors 𝐴𝑀 et 𝑢 sont de même sens et on obtient alors une représentation paramétrique de la demi-droite d’origine 𝐴 et de même sens que 𝑢.
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2. Représentations paramétriques d’un plan :
Théorème : 𝑀 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 appartient au plan P passant par 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et de vecteurs directeurs non colinéaires
𝑢𝑎𝑏𝑐
et 𝑣 𝑎′
𝑏′
𝑐′
si et seulement si il existe un couple de
réels 𝑡 et 𝑡′ tels que :
𝑥 = ………………𝑦 = ………………𝑧 = ………………
.
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2. Représentations paramétriques d’un plan :
Théorème : 𝑀 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 appartient au plan P passant par 𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 et de vecteurs directeurs non colinéaires
𝑢𝑎𝑏𝑐
et 𝑣 𝑎′
𝑏′
𝑐′
si et seulement si il existe un couple de
réels 𝑡 et 𝑡′ tels que :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′𝑡′ + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′𝑡′ + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′𝑡′ + 𝑧𝐴
.
![Page 100: Cours de terminale S Géométrie dans l’espacemathsollivier.free.fr/ts/espacePRESENTA.pdf · 1. Notion de vecteur dans l’espace: Définition : Un veteur de l’espae est défini](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060405/5f0f416d7e708231d4434163/html5/thumbnails/100.jpg)
Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′𝑡′ + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′𝑡′ + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′𝑡′ + 𝑧𝐴
, 𝑡 et 𝑡′ ∈ ℝ est appelé …………………..
…………………………………… Remarque : Il existe plusieurs représentations paramétriques pour un même plan : chaque représentation dépend ………………… ……………………………………………
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Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′𝑡′ + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′𝑡′ + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′𝑡′ + 𝑧𝐴
, 𝑡 et 𝑡′ ∈ ℝ est appelé représentation
paramétrique du plan P. Remarque : Il existe plusieurs représentations paramétriques pour un même plan : chaque représentation dépend ………………… ……………………………………………
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Définition :
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′𝑡′ + 𝑥𝐴𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′𝑡′ + 𝑦𝐴𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′𝑡′ + 𝑧𝐴
, 𝑡 et 𝑡′ ∈ ℝ est appelé représentation
paramétrique du plan P. Remarque : Il existe plusieurs représentations paramétriques pour un même plan : chaque représentation dépend du choix du point 𝐴 et des vecteurs 𝑢 et 𝑣 .