Cours 6 1.6 CONTINUITÉ ET ASYMPTOTE. Au dernier cours, nous avons vu Lindétermination = ??? près...
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Cours 6
1.6 CONTINUITÉ ET ASYMPTOTE
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Au dernier cours, nous avons vu
✓ L’indéterminati
on = ???
près de zéro
près de zéro✓ Factorisation.
✓ Division polynomiale.
✓ Mettre sur le même
dénominateur.
✓ Multiplier par le conjugué.
Techniques pour lever l’indétermination
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Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Définition de la continuité
✓ Vérification de la continuité
✓ Indétermination et
✓ Asymptote
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Le mot continu fait partie du vocabulaire standard.
Habituellement on a une idée intuitive de ce qu’est une fonction continue.
Une fonction qu’on peut tracer sans lever le crayon.
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Habituellement, les définitions qui incluent des mots genre «crayon», sont assez difficiles à utiliser
mathématiquement.
On veut donc une définition qui soit mathématiquement rigoureuse.
Pour définir la continuité d’une fonction en un point x = a commençons par regarder ce qui nous fait lever le
crayon.
Ensuite, on le traduira en terme mathématique moins ambigu.
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Un trou
Un trou décalé
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Une asymptote
Un saut
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Une oscillation folle
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Faites les exercices suivants
Section 1.6 # 32
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Donc si on veut éliminer ces cas il suffit de dire qu’une fonction qui est continue en x = a doit
1)
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2)
3)
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Définition:
Une fonction f(x) est continue en x = a si
1)
2)
3)
Remarque:
Ces trois conditions peuvent être remplacées par la dernière, car si on a que
cette égalité sous entend que
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Définition:
On dit qu’une fonction f(x) est continue sur un intervalle si la fonction est continue pour toutes valeurs de x prise dans cet intervalle.
Définition: On dit qu’une fonction est continue si elle
est continue pour toutes valeurs de x.
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Faites les exercices suivants
Section 1.6 # 33 et 34
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Remarque:
La première chose à vérifier dans l’exploration de la continuité d’une fonction est de
déterminer quels sont les points qui NE sont PAS dans le domaine.
C’est-à-dire les valeurs, a, de x tel que
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Remarque:
Au cours 3, on avait conclu, à la suite des théorèmes sur les limites que pour toutes valeurs de a du domaine d’une fonction
algébrique
Ce qui revient à dire que toute fonction algébrique est continue sur son domaine.
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Faites les exercices suivants
Section 1.6 # 35
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Exemple: La fonction
Reste à voir si elle est continue en 1.
1)
2)
3)
Donc f(x) est continue en 1.
✓
✓
✓
car
est continue sur car et sont continue.
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Exemple:
✓
2)
1)
Donc la fonction n’est pas continue en x = 2.
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Faites les exercices suivants
Section 1.6 # 36
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Asymptotes
On vient de voir que la limite nous a permis de définir rigoureusement un concept déjà connu, soit la
continuité.
Et bien, la limite nous permet aussi de définir correctement le
concept d’asymptote.
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Définition:
On dit que la fonction f(x) possède une asymptote
verticale en x = a si
Définition:
On dit que la fonction f(x) possède une asymptote
horizontale en y = k si
ou
ou avec
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Asymptote verticale
Asymptote horizontale
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Ceci nous amène à chercher à évaluer des limites de la forme
Pour ce genre de limite il y a, pour le moment, essentiellement qu’une façon de procéder.
Mais prendre des limites à l’infini fait apparaitre de nouvelles formes d’indétermination, soient
C’est de mettre la plus grande puissance de x en évidence.
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Exemple:
Exemple:
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Bien qu’algébriquement on voit que ça fonctionne bien, on aurait pu raisonner ces problèmes plus simplement.
Lorsqu’on a un polynôme, le monôme du plus grand degré est le terme dominant vers plus ou moins l’infini.
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Termes négligeablesTermes dominants
Exemple:
On peut donc «voir» directement la réponse.
Mais pour le moment, je vous demande tout de même de faire la démarche au complet.
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Faites les exercices suivants
Section 1.6 # 42
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Exemple:
Déterminer les asymptotes horizontales et verticales de la fonction
Donc on a des asymptotes verticales en et
Donc on a une asymptote horizontale en
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Faites les exercices suivants
Section 1.7 # 46
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Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Continuit
é
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Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Vérification de la
continuité1)
2)
3)
✓ Asymptot
es
ou
ou
avec
Verticale
Horizontale
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Devoir: Sections 1.6