Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode....
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Graphes, Groupes, Corps, . . .Et les entiers ?
Théorème d’incomplétude
Quelques applications
Objectif de la suite du cours
Machines de Turing
Demain et Prochain épisode
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Théorème de complétude
On sait construire un (des) système(s) de déduction qui estvalide et complet.
§ Rappel : T $ F pour “F se prouve à partir de T ” dans cesystème.
§ Notons : T |ù F pour “tout modèle de T est un modèle de F .”
C’est-à-dire :
Théorème de Validité : Soit T une théorie. Soit F une formuleclose.Si T $ F alors T |ù F .
Théorème de Complétude. Soit T une théorie. Soit F uneformule close.Si T |ù F alors T $ F .
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Plus précisément
Retour sur l’épisode précédent : complétudeN’ayons pas peur des répétitionsThéorème de Compacité
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Autre façon de comprendre ce qu’on obtient :
prouvabilité et conséquence (sémantique) sont les mêmesnotions.
T $ F si et seulement si T |ù F .
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Autre façon de le comprendre :
F est prouvable ssi F est vraie dans tous les modèles
F est prouvable à partir des axiomes T ssi F est vraie danstous les modèles de T .
4
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Autre façon de le comprendre :
F est prouvable ssi F est vraie dans tous les modèles
F est prouvable à partir des axiomes T ssi F est vraie danstous les modèles de T .
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Théorème de Compacité.
§ Soit T une théorie.
§ T possède un modèle si et seulement si toute partie finie de Tpossède un modèle.
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Axiomes de l’arithmétique
Considérons une signature constituée du symbole de constante0, d’une fonction unaire s, et de deux fonctions binaires ` et˚, et de la relation binaire “.
On souhaite que pN, 0, s,`, ˚,“q en soit un modèle.
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1ère tentative
On considère les axiomes
@x spxq “ 0 (1)@x@y pspxq “ spyq ñ x “ yq (2)@x px “ 0_ Dy spyq “ xq (3)
@x 0` x “ x (4)@x spxq ` y “ spx ` yq (5)
@x 0 ˚ x “ 0 (6)@x spxq ˚ y “ x ˚ y ` y (7)
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Conséquence/Non-conséquence
Rappel : une formule F est dite une conséquence d’unensemble de formules T si tout modèle de la théorie T est unmodèle de F .
§ se note : T |ù F
Comment se persuader qu’une formule close n’est pas uneconséquence de T ?
§ en exhibant un modèle de T qui n’est pas un modèle de F .
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Conséquence/Non-conséquence
Rappel : une formule F est dite une conséquence d’unensemble de formules T si tout modèle de la théorie T est unmodèle de F .
§ se note : T |ù F
Comment se persuader qu’une formule close n’est pas uneconséquence de T ?
§ en exhibant un modèle de T qui n’est pas un modèle de F .
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Conséquence/Non-conséquence
Rappel : une formule F est dite une conséquence d’unensemble de formules T si tout modèle de la théorie T est unmodèle de F .
§ se note : T |ù F
Comment se persuader qu’une formule close n’est pas uneconséquence de T ?
§ en exhibant un modèle de T qui n’est pas un modèle de F .
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Faits
Pour chaque entier n et m, la formule
snp0q ` smp0q “ sn`mp0q,
est une conséquence des axiomes précédents, où snp0q estspsp¨ ¨ ¨ sp0qqq avec s répété n fois.
Mais@x@y x ` y “ y ` x
n’est pas une conséquence de ces axiomes.
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Faits
Pour chaque entier n et m, la formule
snp0q ` smp0q “ sn`mp0q,
est une conséquence des axiomes précédents, où snp0q estspsp¨ ¨ ¨ sp0qqq avec s répété n fois.
Mais@x@y x ` y “ y ` x
n’est pas une conséquence de ces axiomes.
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Un modèle où l’addition n’est pas commutativeSoit X un ensemble avec au moins deux éléments.On considère la structure M dont l’ensemble de base est
M “ NY pX ˆ Zq,
et où les symboles s,`, ˚,“ sont interprétés par les conditionssuivantes :
§ “ est interprété par l’égalité. s,`, ˚ étendent les fonctionscorrespondantes sur N ;
§ pour a “ px , nq :‚ spaq “ px , n ` 1q ;‚ a`m “ m ` a “ px , n `mq ;‚ a ˚m “ px , n ˚mq si m ‰ 0, et px , nq ˚ 0 “ 0 ;‚ m ˚ a “ px ,m ˚ nq ;
§ pour a “ px , nq et b “ py ,mq :‚ px , nq ` py ,mq “ px , n `mq ;‚ px , nq ˚ py ,mq “ px , n ˚mq.
Ce modèle est un modèle des axiomes précédents.L’addition n’y est pas commutative.
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Idée des axiomes de Peano
ajouter une famille (un schéma) d’axiomes pour permettre lespreuves par récurrence.
cette fois l’addition sera bien nécessairement commutative, i.e.
@x@y x ` y “ y ` x
sera bien toujours satisfaite.
§ et on capture en pratique toutes les propriétés del’arithmétique.
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Axiomes de PeanoLes axiomes de l’arithmétique de Peano sont :
§ les axiomes
+ ceux de l’égalité ;
@x spxq “ 0 (8)@x@y pspxq “ spyq ñ x “ yq (9)@x px “ 0_ Dy spyq “ xq (10)
@x 0` x “ x (11)@x spxq ` y “ spx ` yq (12)
@x 0 ˚ x “ 0 (13)@x spxq ˚ y “ x ˚ y ` y (14)
§ et l’ensemble de toutes les formules de la forme@x1 ¨ ¨ ¨ @xn
´
`
F p0, x1, ¨ ¨ ¨ , xnq^
@x0 pF px0, x1, ¨ ¨ ¨ , xnq ñ F pspx0q, x1, ¨ ¨ ¨ , xnqq˘
ñ @x0F px0, x1, ¨ ¨ ¨ , xnq¯
où n est n’importe quel entier et F px0, ¨ ¨ ¨ , xnq est n’importequelle formule de variables libres x0, ¨ ¨ ¨ , xn.
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Axiomes de PeanoLes axiomes de l’arithmétique de Peano sont :
§ les axiomes + ceux de l’égalité ;
@x spxq “ 0 (8)@x@y pspxq “ spyq ñ x “ yq (9)@x px “ 0_ Dy spyq “ xq (10)
@x 0` x “ x (11)@x spxq ` y “ spx ` yq (12)
@x 0 ˚ x “ 0 (13)@x spxq ˚ y “ x ˚ y ` y (14)
§ et l’ensemble de toutes les formules de la forme@x1 ¨ ¨ ¨ @xn
´
`
F p0, x1, ¨ ¨ ¨ , xnq^
@x0 pF px0, x1, ¨ ¨ ¨ , xnq ñ F pspx0q, x1, ¨ ¨ ¨ , xnqq˘
ñ @x0F px0, x1, ¨ ¨ ¨ , xnq¯
où n est n’importe quel entier et F px0, ¨ ¨ ¨ , xnq est n’importequelle formule de variables libres x0, ¨ ¨ ¨ , xn.
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On note ThpNq l’ensemble des formules closes F qui sontvraies sur les entiers.
Théorème d’incomplétude.
§ Il existe des formules closes de ThpNq qui ne sont pasprouvables, à partir des axiomes de Peano, ou de touteaxiomatisation “raisonnable” 1 des entiers.
Second théorème d’incomplétude.
§ La cohérence de l’arithmétique (ou sa négation) est unexemple de telle formule.
1. Formellement, “récursivement énumérable” : voir suite du cours.13
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Théorème d’incomplétude
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Entiers non-standards
Il y a d’autres modèles que N des axiomes de Peano.
§ il existe des modèles non-standards de l’arithmétique.
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Entiers non-standardsIl y a d’autres modèles que N des axiomes de Peano :
§ considérons un nouveau symbole de constante c .
§ considérons T défini comme l’union des axiomes de Peano etde toutes les formules c “ snp0q, pour n un entier.
§ Tout sous-ensemble fini de T admet un modèle, car il estinclus dans l’union des axiomes de Peano et des formules c “ snp0q pour 1 ď n ď N pour un certain entier N :
‚ il suffit d’interpréter c par N ` 1.
§ Donc T admet un modèle.
Ce modèle contient donc un élément qui n’est pas un entierstandard.
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...
Analyse non-standard
...
. . .f est continue si et seulement si pour tout y infiniment petitet pour tout réel x standard, f px ` yq ´ f pxq est infinimentpetit . . .
...
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Deux autres utilisations de la logiqueComment prouver qu’un axiome F est “indépendant” d’unethéorie T ?
§ On utilise un modèle de T pour construire un modèle deT Y tF u, et un modèle de T Y t F u.
§ On prouve en fait la cohérence relative : si T cohérent, alorsT Y tF u cohérent.
Définissabilité :
§ On se donne un graphe (i.e. modèle d’une théorie sur unesignature contenant un symbole de relation R binaire).
§ Peut-on définir :‚ la relation “être accessible en deux coups” par une formule ?‚ la relation “être accessible par un chemin” (i.e. dans la même
composante connexe) ?
§ . . .applications aux requêtes dans les bases de données . . .
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Objectif de la suite du cours
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Objectif
Objectif de ce cours : répondre à la question suivante :
Qu’est-ce qu’un algorithme ?
AB
DE
C
Exemple d’algorithme :Pour construire un triangle équi-latéral ayant pour coté AB : tra-cer le cercle de centre A de rayonAB ; tracer le cercle de centre B
de rayon AB. Nommer C l’une desintersections de ces deux cercles.Le triangle ABC est la solution re-cherchée.
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Thèse de Church
Historiquement, plusieurs modèles :
§ Fonctions récursives, Kurt Gödel, 1931-34.§ λ-calcul, Alonzo Church, 1936.§ Machines de Turing, Alan Turing, 1936.
§ Systèmes de Post,§ Machines RAM,§ Programmes JAVA, C, CAML, . . .§ . . .
Il s’avère que ces modèles, très différents, ont exactement lamême puissance
§ Thèse de Church/Turing : une fonction est calculable si etseulement si elle est calculable par machine de Turing.
‚ (exprimée clairement pour la première fois par StephenKleene, étudiant en thèse d’Alonzo Church.)
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Thèse de Church
Historiquement, plusieurs modèles :
§ Fonctions récursives, Kurt Gödel, 1931-34.§ λ-calcul, Alonzo Church, 1936.§ Machines de Turing, Alan Turing, 1936.§ Systèmes de Post,
§ Machines RAM,§ Programmes JAVA, C, CAML, . . .§ . . .
Il s’avère que ces modèles, très différents, ont exactement lamême puissance
§ Thèse de Church/Turing : une fonction est calculable si etseulement si elle est calculable par machine de Turing.
‚ (exprimée clairement pour la première fois par StephenKleene, étudiant en thèse d’Alonzo Church.)
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Thèse de Church
Historiquement, plusieurs modèles :
§ Fonctions récursives, Kurt Gödel, 1931-34.§ λ-calcul, Alonzo Church, 1936.§ Machines de Turing, Alan Turing, 1936.§ Systèmes de Post,§ Machines RAM,
§ Programmes JAVA, C, CAML, . . .§ . . .
Il s’avère que ces modèles, très différents, ont exactement lamême puissance
§ Thèse de Church/Turing : une fonction est calculable si etseulement si elle est calculable par machine de Turing.
‚ (exprimée clairement pour la première fois par StephenKleene, étudiant en thèse d’Alonzo Church.)
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Thèse de Church
Historiquement, plusieurs modèles :
§ Fonctions récursives, Kurt Gödel, 1931-34.§ λ-calcul, Alonzo Church, 1936.§ Machines de Turing, Alan Turing, 1936.§ Systèmes de Post,§ Machines RAM,§ Programmes JAVA, C, CAML, . . .
§ . . .
Il s’avère que ces modèles, très différents, ont exactement lamême puissance
§ Thèse de Church/Turing : une fonction est calculable si etseulement si elle est calculable par machine de Turing.
‚ (exprimée clairement pour la première fois par StephenKleene, étudiant en thèse d’Alonzo Church.)
19
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Thèse de Church
Historiquement, plusieurs modèles :
§ Fonctions récursives, Kurt Gödel, 1931-34.§ λ-calcul, Alonzo Church, 1936.§ Machines de Turing, Alan Turing, 1936.§ Systèmes de Post,§ Machines RAM,§ Programmes JAVA, C, CAML, . . .§ . . .
Il s’avère que ces modèles, très différents, ont exactement lamême puissance
§ Thèse de Church/Turing : une fonction est calculable si etseulement si elle est calculable par machine de Turing.
‚ (exprimée clairement pour la première fois par StephenKleene, étudiant en thèse d’Alonzo Church.)
19
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Thèse de Church
Historiquement, plusieurs modèles :
§ Fonctions récursives, Kurt Gödel, 1931-34.§ λ-calcul, Alonzo Church, 1936.§ Machines de Turing, Alan Turing, 1936.§ Systèmes de Post,§ Machines RAM,§ Programmes JAVA, C, CAML, . . .§ . . .
Il s’avère que ces modèles, très différents, ont exactement lamême puissance
§ Thèse de Church/Turing : une fonction est calculable si etseulement si elle est calculable par machine de Turing.
‚ (exprimée clairement pour la première fois par StephenKleene, étudiant en thèse d’Alonzo Church.)
19
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Parenthèse historique
Théorie de la relativité : 1907/1915Théorème d’incomplétude : 1931
20
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Alan M. Turing
. . .BB 2 3 j u i n 1 9 1 2 - - 7 j u i n 1 9 5 4 BB. . .
q
Machines de Turing : 193621
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Parenthèse historique
Ces modèles sont nés des suites du théorème d’incomplétudede Kurt Gödel :
Et en fait de la question suivante “Entscheidungsproblem” :
Peut-on décider mécaniquementsi un énoncé est démontrable ou non ?
Il s’avère que préciser “mécaniquement”, c’est formaliser lanotion d’algorithme.
22
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Parenthèse historique
Ces modèles sont nés des suites du théorème d’incomplétudede Kurt Gödel :
Et en fait de la question suivante “Entscheidungsproblem” :
Peut-on décider mécaniquementsi un énoncé est démontrable ou non ?
Il s’avère que préciser “mécaniquement”, c’est formaliser lanotion d’algorithme.
22
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Parenthèse historique
Ces modèles sont nés des suites du théorème d’incomplétudede Kurt Gödel :
Et en fait de la question suivante “Entscheidungsproblem” :
Peut-on décider mécaniquementsi un énoncé est démontrable ou non ?
Il s’avère que préciser “mécaniquement”, c’est formaliser lanotion d’algorithme.
22
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Au menu
Retour sur l’épisode précédent : complétude
Graphes, Groupes, Corps, . . .Et les entiers ?
Théorème d’incomplétude
Quelques applications
Objectif de la suite du cours
Machines de Turing
Demain et Prochain épisode
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Plus précisément
Machines de TuringIngrédientsDescription formelleProgrammer avec des machines de TuringTechniques de programmationVariantes de la notion de machine de Turing
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Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :
1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
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Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;
§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :
1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
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Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;
§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :
1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
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Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;
§ un programme donné par une fonction de transition qui pourchaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :
1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
![Page 50: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/50.jpg)
Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :
1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
![Page 51: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/51.jpg)
Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :1. l’état suivant q1 P Q ;
2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σsous la tête de lecture ;
3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
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Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;
3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
![Page 53: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/53.jpg)
Machine de Turing
ruban. . .B B B B B a b a a b B B B B B B B B B B . . .
q
Une machine de Turing (déterministe) est composée deséléments suivants :
§ une mémoire infinie sous forme de ruban, divisé en cases ;§ chaque case peut contenir un élément d’un alphabet fini fixé ;§ une tête de lecture qui se déplace sur le ruban ;§ un programme donné par une fonction de transition qui pour
chaque état de la machine q, parmi un nombre fini d’étatspossibles Q, précise selon le symbole sous la tête de lecture :1. l’état suivant q1 P Q ;2. le nouvel élément de Σ à écrire à la place de l’élément de Σ
sous la tête de lecture ;3. un sens de déplacement Ð, |, ou Ñ pour la tête de lecture.
23
![Page 54: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/54.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configuration initiale
. . .B B B B B i n f o r m a t i q u e B B B . . .
q0
Initialement :§ l’entrée se trouve sur le ruban, et la tête de lecture est
positionnée sur la première lettre du mot.§ Les cases des rubans qui ne correspondent pas à l’entrée
contiennent toutes l’élément B (symbole de blanc), qui est unelettre particulière.
§ La machine est positionnée dans son état initial q0.
24
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Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB i n f o r m a t i q u e BBB. . .
q0
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
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Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I n f o r m a t i q u e BBB. . .
q1
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 57: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/57.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N f o r m a t i q u e BBB. . .
q1
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 58: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/58.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N F o r m a t i q u e BBB. . .
q1
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 59: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/59.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FO r m a t i q u e BBB. . .
q1
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 60: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/60.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORm a t i q u e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 61: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/61.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMa t i q u e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 62: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/62.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMA t i q u e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 63: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/63.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMAT i q u e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 64: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/64.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMAT I q u e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 65: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/65.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMAT I Q u e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
![Page 66: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/66.jpg)
Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMAT I QU e BBB. . .
q2
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
25
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Exécution d’une machine de Turing sur un mot :configurations suivantes
. . .BBBBB I N FORMAT I QUEBBB. . .
qa
A chaque étape de l’exécution :
§ la machine, selon son état, lit le symbole se trouvant sous latête de lecture, et selon ce symbole :‚ remplace le symbole sous la tête de lecture par celui précisé
par sa fonction transition ;‚ déplace possiblement cette tête de lecture d’une case vers la
droite ou vers la gauche suivant le sens précisé par la fonctionde transition ;
‚ change d’état vers l’état suivant.
Le mot w est dit accepté lorsque l’exécution de la machinefinit par atteindre son état d’acceptation qa.
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Plus précisément
Machines de TuringIngrédientsDescription formelleProgrammer avec des machines de TuringTechniques de programmationVariantes de la notion de machine de Turing
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Machine de Turing
Une machine de Turing est un 8-uplet
M “ pQ,Σ, Γ,B, δ, q0, qa, qr q
où :1. Q est l’ensemble fini des états ;2. Σ est un alphabet fini ;3. Γ est l’alphabet de travail fini : Σ Ă Γ ;4. B P Γ, B R Σ est le caractère blanc ;5. q0 P Q est l’état initial ;6. qa P Q est l’état d’acceptation ;7. qr P Q est l’état de refus (ou d’arrêt) ;8. δ est la fonction de transition : δ est une fonction
(possiblement partielle) de Q ˆ Γ dans Q ˆ Γˆ tÐ, |,Ñu. Lesymbole Ð est utilisé pour signifier un déplacement vers lagauche, Ñ un déplacement vers la droite, et | aucundéplacement.
26
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ConfigurationUne configuration est donnée par la description du ruban,par la position de la tête de lecture/écriture, et par l’étatinterne.
ruban. . .B B B i n f o r m a t i q u e B B B B B . . .
q
§ Notation 1 : pq, fni , ormatiqueq‚ Cas général : C “ pq, u, vq, avec u, v P Γ˚, q P Q : u et v
désignent le contenu respectivement à gauche et à droite de latête de lecture du ruban, la tête de lecture du ruban étant surla première lettre de v . On suppose que les dernières lettres deu et de v ne sont pas B, qu’à droite et à gauche de u et v surle ruban il n’y a que des B et que v est écrit de gauche àdroite, et u de droite à gauche.
§ Notation 2 : inf qormatique.‚ Cas général : uqv , en gardant u et v écrit de gauche à droite.
27
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ConfigurationUne configuration est donnée par la description du ruban,par la position de la tête de lecture/écriture, et par l’étatinterne.
ruban. . .B B B i n f o r m a t i q u e B B B B B . . .
q
§ Notation 1 : pq, fni , ormatiqueq‚ Cas général : C “ pq, u, vq, avec u, v P Γ˚, q P Q : u et v
désignent le contenu respectivement à gauche et à droite de latête de lecture du ruban, la tête de lecture du ruban étant surla première lettre de v . On suppose que les dernières lettres deu et de v ne sont pas B, qu’à droite et à gauche de u et v surle ruban il n’y a que des B et que v est écrit de gauche àdroite, et u de droite à gauche.
§ Notation 2 : inf qormatique.‚ Cas général : uqv , en gardant u et v écrit de gauche à droite.
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Dérivations entre configurationsUne configuration est dite acceptante si q “ qa, refusante siq “ qr .
Pour w P Σ˚, la configuration initiale correspondant à w est laconfiguration C rw s “ pq0, ε,wq.
On note : C $ C 1 si la configuration C 1 est le successeurdirect de la configuration C par le programme δ de la machinede Turing.
§ Formellement, si C “ pq, u, vq et si a désigne la premièrelettre 2 de v , et si δpq, aq “ pq1, a1,m1q alors C $ C 1 si‚ C 1 “ pq1, u1, v 1q, et‚ si m1 “Ñ, u1 “ a1u, et v 1 est obtenu en supprimant la
première lettre a de v .‚ si m1 “Ð, u1 est obtenu en supprimant la première lettre a2
de u, et v 1 est obtenu en concaténtant a2 et le resultat duremplacement de la premère lettre a de v par a1.
‚ si m1 “ |, u1 “ u, et v 1 est obtenu en remplaçant la premèrelettre a de v par a1.
2. Avec la convention que la première lettre du mot vide est le blanc B.28
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Dérivations entre configurationsUne configuration est dite acceptante si q “ qa, refusante siq “ qr .
Pour w P Σ˚, la configuration initiale correspondant à w est laconfiguration C rw s “ pq0, ε,wq.
On note : C $ C 1 si la configuration C 1 est le successeurdirect de la configuration C par le programme δ de la machinede Turing.
§ Formellement, si C “ pq, u, vq et si a désigne la premièrelettre 2 de v , et si δpq, aq “ pq1, a1,m1q alors C $ C 1 si‚ C 1 “ pq1, u1, v 1q, et‚ si m1 “Ñ, u1 “ a1u, et v 1 est obtenu en supprimant la
première lettre a de v .‚ si m1 “Ð, u1 est obtenu en supprimant la première lettre a2
de u, et v 1 est obtenu en concaténtant a2 et le resultat duremplacement de la premère lettre a de v par a1.
‚ si m1 “ |, u1 “ u, et v 1 est obtenu en remplaçant la premèrelettre a de v par a1.
2. Avec la convention que la première lettre du mot vide est le blanc B.28
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Calcul par une machine de TuringUn mot w P Σ˚ est dit accepté (en temps t) par la machinede Turing, s’il existe une suite de configurations C1, ¨ ¨ ¨ ,Ct
avec :1. C0 “ C rw s ;2. Ci $ Ci`1 pour tout i ă t ;3. aucune configuration Ci pour i ă t n’est acceptante ou
refusante.4. Ct est acceptante.
Un mot w P Σ˚ est dit refusé (en temps t) par la machine deTuring, s’il existe une suite de configurations C1, ¨ ¨ ¨ ,Ct avec :1. C0 “ C rw s ;2. Ci $ Ci`1 pour tout i ă t ;3. aucune configuration Ci pour i ă t n’est acceptante ou
refusante.4. Ct est refusante.
On dit que la machine de Turing s’arrête sur un mot w , si west accepté, ou refusé, boucle dans le cas contraire (= n’est niaccepté, ni refusé).
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Calcul par une machine de Turing
Le langage L Ă Σ˚ accepté par M, noté LpMq est l’ensembledes mots w qui sont acceptés par la machine.
On dit qu’un langage L Ă Σ˚ est décidé par Σ par lamachine si :
§ pour w P L, w est accepté par la machine ;§ pour w R L (=sinon), w est refusé par la machine.
‚ Autrement dit, la machine accepte L et termine sur touteentrée.
30
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Plus précisément
Machines de TuringIngrédientsDescription formelleProgrammer avec des machines de TuringTechniques de programmationVariantes de la notion de machine de Turing
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Premier programme
Construire une machine de Turing qui accepte exactement lesmots w sur l’alphabet Σ “ t0, 1u de la forme 0n1n,n P N, n ą 0.
§ Voici une solution :‚ On considère une machine avec Q “ tq0, q1, q2, q3, q4u,
Γ “ t0, 1,X ,Y ,Bu,‚ l’état d’acceptation q4 et une fonction de transition δ telle
que :‚ δpq0, 0q “ pq1,X ,Ñq ;‚ δpq0,Y q “ pq3,Y ,Ñq ;‚ δpq1, 0q “ pq1, 0,Ñq ;‚ δpq1, 1q “ pq2,Y ,Ðq ;‚ δpq1,Y q “ pq1,Y ,Ñq ;‚ δpq2, 0q “ pq2, 0,Ðq ;‚ δpq2,X q “ pq0,X ,Ñq ;‚ δpq2,Y q “ pq2,Y ,Ðq ;‚ δpq3,Y q “ pq3,Y ,Ñq ;‚ δpq3,Bq “ pq4,B,Ñq.
31
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Premier programme
Construire une machine de Turing qui accepte exactement lesmots w sur l’alphabet Σ “ t0, 1u de la forme 0n1n,n P N, n ą 0.
§ Voici une solution :‚ On considère une machine avec Q “ tq0, q1, q2, q3, q4u,
Γ “ t0, 1,X ,Y ,Bu,‚ l’état d’acceptation q4 et une fonction de transition δ telle
que :‚ δpq0, 0q “ pq1,X ,Ñq ;‚ δpq0,Y q “ pq3,Y ,Ñq ;‚ δpq1, 0q “ pq1, 0,Ñq ;‚ δpq1, 1q “ pq2,Y ,Ðq ;‚ δpq1,Y q “ pq1,Y ,Ñq ;‚ δpq2, 0q “ pq2, 0,Ðq ;‚ δpq2,X q “ pq0,X ,Ñq ;‚ δpq2,Y q “ pq2,Y ,Ðq ;‚ δpq3,Y q “ pq3,Y ,Ñq ;‚ δpq3,Bq “ pq4,B,Ñq.
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Représentation graphique
Convention graphique :
les sommets dugraphe représententles états de lamachine ;
on représentechaque transitionδpq, aq “ pq1, a1,mqpar un arc de l’étatq vers l’état q1étiqueté para{a1 m ;
l’état initial estmarqué par uneflèche entrante ;
l’état d’acceptationest marqué par undouble cercle.
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X ÑY/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
32
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Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBB 0 0 1 1BBBBBBBBBBB. . .
q0
33
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Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBX 0 1 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
33
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Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBX 0 1 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
33
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Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBX 0 Y 1BBBBBBBBBBB. . .
q2
33
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Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBX 0 Y 1BBBBBBBBBBB. . .
q2
33
![Page 85: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/85.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBX 0 Y 1BBBBBBBBBBB. . .
q0
33
![Page 86: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/86.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXY 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
33
![Page 87: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/87.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXY 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
33
![Page 88: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/88.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q2
33
![Page 89: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/89.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q2
33
![Page 90: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/90.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q0
33
![Page 91: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/91.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q3
33
![Page 92: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/92.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q3
33
![Page 93: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/93.jpg)
Comment fonctionne-t-il ?
q0start q1 q2
q3 q4
0/X Ñ
Y/Y Ñ
0/0 ÑY/Y Ñ
1/Y Ð
0/0 Ð
X/X Ñ Y/Y Ð
Y/Y Ñ
B/B Ñ
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q4
33
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBB 0 0 1 1BBBBBBBBBBB. . .
q0
34
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBX 0 1 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
34
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBX 0 1 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
34
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBX 0 Y 1BBBBBBBBBBB. . .
q2
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBX 0 Y 1BBBBBBBBBBB. . .
q2
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBX 0 Y 1BBBBBBBBBBB. . .
q0
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXY 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
34
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXY 1BBBBBBBBBBB. . .
q1
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q2
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q2
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q0
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q3
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![Page 106: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/106.jpg)
Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q3
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Principe :
§ Le ruban reste de la forme X˚0˚Y ˚1˚.§ A chaque fois que l’on lit un 0, on le remplace par un X , et on
rentre dans l’état q1, ce qui correspond à lancer lasous-procédure suivante :‚ on se déplace à droite tant que l’on lit un 0 ou un Y ;‚ dès qu’on a atteint un 1, on le transforme en un Y , et on
revient à gauche jusqu’à revenir sur un X (le X qu’on avaitécrit) et s’être déplacé d’une case vers la droite.
‚ En faisant ainsi, pour chaque 0 effacé (i.e. X marqué), onaura effacé un 1 (i.e. marqué un Y ).
§ Si on a marqué tous les 0 et que l’on atteint un Y , on rentredans l’état q3,‚ ce qui a pour objet de vérifier que ce qui est à droite est bien
constitué uniquement de Y .§ Lorsqu’on a tout lu, c-à-d atteint un B, on accepte,
c’est-à-dire on va dans l’état q4.
. . .BBBBBXXYYBBBBBBBBBBB. . .
q4
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Diagramme Espace-tempsOn représente souvent une suite de configurations ligne parligne : la ligne numéro i représente la ième configuration ducalcul (en utilisant la notation 2 pour les configurations).Exemple : Diagramme espace-temps du calcul sur 0011.
. . .B B B Bq0 0 0 1 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq1 0 1 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X 0 q1 1 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq2 0 Y 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B Bq2X 0 Y 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq0 0 Y 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X Xq1Y 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Yq1 1 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X Xq2Y Y B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq2X Y Y B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X Xq0Y Y B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Yq3Y B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Y Yq3B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Y Y Bq4B B B B B B B B B B . . .
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Exemple : Diagramme espace-temps du calcul sur 0010 :
. . .B B B Bq0 0 0 1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq1 0 1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X 0 q1 1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq2 0 Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B Bq2X 0 Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq0 0 Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X Xq1Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Yq1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Y 0 q1B B B B B B B B B B B . . .
§ sur la dernière configuration plus aucune évolution n’estpossible, et donc il n’y a pas de calcul acceptant partant de0010.
§ on aurait pu construire la machine de telle sorte qu’elle serende dans un état de rejet q5 systématiquement lorsqu’aucunetransition du programme précédent n’est possible.
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Exemple : Diagramme espace-temps du calcul sur 0010 :
. . .B B B Bq0 0 0 1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq1 0 1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X 0 q1 1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq2 0 Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B Bq2X 0 Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B Xq0 0 Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X Xq1Y 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Yq1 0 B B B B B B B B B B B . . .
. . .B B B B X X Y 0 q1B B B B B B B B B B B . . .
§ sur la dernière configuration plus aucune évolution n’estpossible, et donc il n’y a pas de calcul acceptant partant de0010.
§ on aurait pu construire la machine de telle sorte qu’elle serende dans un état de rejet q5 systématiquement lorsqu’aucunetransition du programme précédent n’est possible.
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Soustraction en unaire
Construire un programme de machine de Turing qui réalise unesoustraction en unaire : partant d’un mot de la forme 0m10n,la machine s’arrête avec 0man sur son ruban (entouré deblancs), où m a n est maxp0,m ´ nq.
Détails
37
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Plus précisément
Machines de TuringIngrédientsDescription formelleProgrammer avec des machines de TuringTechniques de programmationVariantes de la notion de machine de Turing
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Technique 1 :Utiliser l’état interne pour stocker une information finie.
Exercice 1.
§ Construire un programme de machine de Turing qui lit lesymbole en face de la tête de lecture et vérifie que ce derniern’apparaît nulle part ailleurs à droite, sauf sur la toute dernièrelettre à droite.
Détails
38
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Technique 2 :Utiliser des sous-procédures
Exercice 2 : Multiplication en unaire.
§ Construire un programme de machine de Turing qui réalise unemultiplication en unaire : partant d’un mot de la forme 0m10n,la machine s’arrête avec 0m˚n sur son ruban.
Détails
39
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Exercices
Construire une machine de Turing qui ajoute (respectivement :soustrait) 1 au nombre écrit en binaire sur son ruban.
Construire une machine de Turing qui renverse son entrée :partant de w “ a1a2 ¨ ¨ ¨ an, la machine s’arrête avec le motwR “ an ¨ ¨ ¨ a2a1.
Construire une machine de Turing qui partant d’un motw#w1#w2, avec w ,w1,w2 écrits sur l’alphabet t0, 1u, leremplace par w1#w#w2.
. . .
voir la PC de demain.
. . .
40
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Exercices
Construire une machine de Turing qui ajoute (respectivement :soustrait) 1 au nombre écrit en binaire sur son ruban.
Construire une machine de Turing qui renverse son entrée :partant de w “ a1a2 ¨ ¨ ¨ an, la machine s’arrête avec le motwR “ an ¨ ¨ ¨ a2a1.
Construire une machine de Turing qui partant d’un motw#w1#w2, avec w ,w1,w2 écrits sur l’alphabet t0, 1u, leremplace par w1#w#w2.
. . .
voir la PC de demain.
. . .
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Plus précisément
Machines de TuringIngrédientsDescription formelleProgrammer avec des machines de TuringTechniques de programmationVariantes de la notion de machine de Turing
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Robustesse du modèle
Le modèle de la machine de Turing est extrêmement robuste.
On peut en effet envisager de nombreuses variantes autour duconcept de machine de Turing,
§ mais aucune de ces variantes ne change ce que l’on arrive àprogrammer avec ces machines.
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Robustesse du modèle
Le modèle de la machine de Turing est extrêmement robuste.
On peut en effet envisager de nombreuses variantes autour duconcept de machine de Turing,
§ mais aucune de ces variantes ne change ce que l’on arrive àprogrammer avec ces machines.
41
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Restriction à un alphabet binaire
Toute machine de Turing qui travaille sur un alphabet Σquelconque peut être simulée par une machine de Turing quitravaille sur un alphabet Σ avec uniquement deux lettres, avecΓ “ ΣY tBu.
Idée de la démonstration :
§ Machine M sur l’alphabet ta, b, cu
. . . B B B B B a b a a c b B B B B B B B B B . . .
q7
§ Machine M 1 simulant M sur l’alphabet t0, 1u.
. . . B B B B B 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 B B B . . .
q7
a b a a c b
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Restriction à un alphabet binaire
Toute machine de Turing qui travaille sur un alphabet Σquelconque peut être simulée par une machine de Turing quitravaille sur un alphabet Σ avec uniquement deux lettres, avecΓ “ ΣY tBu.
Idée de la démonstration :
§ Machine M sur l’alphabet ta, b, cu
. . . B B B B B a b a a c b B B B B B B B B B . . .
q7
§ Machine M 1 simulant M sur l’alphabet t0, 1u.
. . . B B B B B 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 B B B . . .
q7
a b a a c b
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Restriction à un alphabet binaire
Toute machine de Turing qui travaille sur un alphabet Σquelconque peut être simulée par une machine de Turing quitravaille sur un alphabet Σ avec uniquement deux lettres, avecΓ “ ΣY tBu.
Idée de la démonstration :
§ Machine M sur l’alphabet ta, b, cu
. . . B B B B B a b a a c b B B B B B B B B B . . .
q7
§ Machine M 1 simulant M sur l’alphabet t0, 1u.
. . . B B B B B 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 B B B . . .
q7
a b a a c b
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Machines de Turing à plusieurs rubans
ruban 1. . . B B B B B a b a a b B B B B B . . .
ruban 2. . . B B B B B b c a a B B B B B B . . .
ruban 3. . . B B B B B a a b a B B B B B B . . .
q5
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Toute machine de Turing qui travaille avec k rubans peut êtresimulée par une machine de Turing avec un unique ruban.
Idée de la démonstration :
. . . B B B a b’ a a b # b c a a’ # a a b’ a B B . . .
q0
ruban 1 ruban 2 ruban 3
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Toute machine de Turing qui travaille avec k rubans peut êtresimulée par une machine de Turing avec un unique ruban.
Idée de la démonstration :
. . . B B B a b’ a a b # b c a a’ # a a b’ a B B . . .
q0
ruban 1 ruban 2 ruban 3
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Le modèle de la machine de Turing peut paraître extrêmementrudimentaire.
Il n’en demeure pas moins extrêmement puissant, et capablede capturer la notion de calculable en informatique.
45
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Au menu
Retour sur l’épisode précédent : complétude
Graphes, Groupes, Corps, . . .Et les entiers ?
Théorème d’incomplétude
Quelques applications
Objectif de la suite du cours
Machines de Turing
Demain et Prochain épisode
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Plus précisément
Demain et Prochain épisodeThèse de Church
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Thèse de Church
Thèse de Church:
Calculable dans un sens intuitifcorrespond à
calculable par machine de Turing
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ANNEXES
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SoustractionVoici une solution avec Γ “ t0, 1,Bu.
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q4
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SoustractionVoici une solution avec Γ “ t0, 1,Bu.
q0start q1 q2
q3
q4q6q5
0/B Ñ
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
. . .BBBBB 0 0 0 1 0BBBBBBBBBB. . .
q0
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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![Page 165: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/165.jpg)
Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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![Page 166: Cours 4: Incomplétude. Machine de Turing.€¦ · Machines de Turing Demain et Prochain épisode. Théorème de complétude On sait construire un (des) système(s) de déduction](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052007/601c31197e97606c381f44df/html5/thumbnails/166.jpg)
Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
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. . .BBBBBBB 0 BBBBBBBBBBBB. . .
q4
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
. . .BBBBBBB 0 BBBBBBBBBBBB. . .
q4
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Principe : Retour
§ La machine recherche le 0 le plus à gauche et le remplace parun blanc. Elle cherche alors à droite un 1, quand elle en trouveun elle continue à droite jusqu’à trouver un 0 qu’elle remplacepar un 1. La machine retourne alors à gauche pour trouver le 0le plus à gauche qu’elle identifie en trouvant le premier blancen se déplaçant à gauche et en se déplaçant depuis ce blancd’une case vers la droite.
§ On répète le processus jusqu’à ce que :‚ soit en cherchant à droite un 0, on rencontre un blanc. Alors
les n 0 dans 0m10n ont été changés en 1 et n ` 1 des m 0 ontété changés en B. Dans ce cas, la machine remplace les n ` 11 par un 0 et n blancs, ce qui laisse m ´ n 0 sur le ruban.Puisque dans ce cas, m ě n, m a n “ m ´ n.
‚ ou en recommençant le cycle, la machine n’arrive pas àtrouver un 0 à changer en blanc, puisque les m premiers 0 ontdéjà été changés en B. Alors n ě m, et donc m a n “ 0. Lamachine remplace alors tous les 1 et 0 restants par des blancs,et termine avec un ruban complètement blanc.
. . .BBBBBB 0 0 BBBBBBBBBBBB. . .
q6
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Utiliser l’état interne pour stocker une information finie
Si l’on fixe un symbole a0 P Σ, il est facile de construire unprogramme qui vérifie que le symbole a0 n’apparaît nulle partsauf sur la toute dernière lettre à droite.
q0start q2q1
@a P Σ, a ‰ a0, a/a Ñ
B/B Ða0/a0 Ñ
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Pour résoudre notre problème, il suffit de lire la première lettrea0 et de recopier ce programme autant de fois qu’il y a delettres dans Σ. Si Σ “ t0, 1, 2u par exemple :
qstart q0{0
q0{1
q0{2
qf
0/0 Ñ
1/1 Ñ
2/2 Ñ
q1{0
@a P Σ, a ‰ 0, a/a Ñ
B/B Ð
0/0 Ñ
q1{1
@a P Σ, a ‰ 1, a/a Ñ
B/B Ð1/1 Ñ
q1{2
@a P Σ, a ‰ 2, a/a Ñ B/B Ð
2/2 ÑRetour
§ On utilise le fait que l’on travaille sur des états qui peuventêtre des couples : ici des couples qi{j avec i P t1, 2u, et j P Σ.
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Pour résoudre notre problème, il suffit de lire la première lettrea0 et de recopier ce programme autant de fois qu’il y a delettres dans Σ. Si Σ “ t0, 1, 2u par exemple :
qstart q0{0
q0{1
q0{2
qf
0/0 Ñ
1/1 Ñ
2/2 Ñ
q1{0
@a P Σ, a ‰ 0, a/a Ñ
B/B Ð
0/0 Ñ
q1{1
@a P Σ, a ‰ 1, a/a Ñ
B/B Ð1/1 Ñ
q1{2
@a P Σ, a ‰ 2, a/a Ñ B/B Ð
2/2 ÑRetour
§ On utilise le fait que l’on travaille sur des états qui peuventêtre des couples : ici des couples qi{j avec i P t1, 2u, et j P Σ.
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Technique 2 :Utiliser des sous-procédures
Voici une stratégie possible :
1. le ruban contiendra un mot de la forme 0i10n10kn pour uncertain entier k ;
2. dans chaque étape, on change un 0 du premier groupe en unblanc, et on ajoute n 0 au dernier groupe, pour obtenir unechaîne de la forme 0i´110n10pk`1qn ;
3. en faisant ainsi, on copie le groupe de n 0 m fois, une fois pourchaque symbole du premier groupe mis à blanc. Quand il nereste plus de blanc dans le premier groupe de 0, il y aura doncm ˚ n 0 dans le dernier groupe ;
4. la dernière étape est de changer le préfixe 10n1 en des blancs,et cela sera terminé.
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Implémenter l’étape 2Transformer une configuration 0m´k1q10n10pk´1qn en0m´k1q50n10kn.
q1start q2
q3
q4
q5
0/X Ñ1/1 Ñ
0/0 Ñ
B/0 Ð1/1 Ð
0/0 Ð
X/X Ñ1/1 Ð
X/0 Ð
1/1 Ñ
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Programme global
q0start
q6 q1 q5 q7 q8
q9
q10q11q12
0/B Ñ
0/0 Ñ
1/1 Ñ 0/0 Ð 1/1 Ð
0/0 Ð
0/0 Ð
B/B Ñ
B/B Ñ
1/B Ñ
0/B Ñ
1/B Ñ
§ On utilise le fait que l’on peut réaliser des sous-procédures en“collant” des programmes correspondant à dessous-procédures.
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Programme global
q0start
q6 q1 q5 q7 q8
q9
q10q11q12
0/B Ñ
0/0 Ñ
1/1 Ñ 0/0 Ð 1/1 Ð
0/0 Ð
0/0 Ð
B/B Ñ
B/B Ñ
1/B Ñ
0/B Ñ
1/B Ñ
§ On utilise le fait que l’on peut réaliser des sous-procédures en“collant” des programmes correspondant à dessous-procédures.
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