Cos’è una funzione? Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione

da in una relazione f tale che per ogni x Є X esiste uno ed un solo elemento y Є Y tale che (x,y) Є f.

Data la funzione f:X->R, y=f(x) è l’equazione che rappresenta il legame tra la variabile indipendente x e la variabile dipendente y.

(x,y) Є f o y=f(x)

DOMINIO (o INSIEME DI DEFINIZIONE o CAMPO DI ESISTENZA): insieme di valori

che possono essere assunti dalla variabile INDIPENDENTE y.

Per la ricerca del dominio di una funzione bisogna tener conto di quanto segue:

1. Funzione razionale fratta: ; imporre B ≠ 0

2. Funzione irrazionale con n pari ; imporre A(x)≥0

3. Funzione logaritmo ; imporre A(x)>0

Es.: la funzione esiste se il denominatore è diverso da 0, altrimenti se fosse = 0

avremmo y = ∞.

Quindi x+2≠0,

per cui x≠-2, ovvero la x può assumere ogni valore tranne -2.

Il dominio quindi risulta essere D= ]- ∞; -2[ U ]-2; + ∞[

𝑦 =𝑥

𝑥 + 2

𝑦 =𝐴(𝑥)

𝐵(𝑥)

𝑦 = 𝐴(𝑥)𝑛

𝑦 = log(𝐴(𝑥))

CODOMINIO: è l'insieme dei valori che una funzione può assumere.

È fondamentale comprendere che il codominio NON SI CALCOLA, NE’ SI DETERMINA, è già dato nell'intestazione della funzione e, tutti gli esercizi del tipo "determinare il codominio di una funzione, calcolare il codominio di una funzione" sono fuorvianti.

Quello che si può determinare è in realtà l’IMMAGINE di una funzione. Esiste una sostanziale differenza tra i due, e in generale possiamo dire che l'immagine di una funzione è contenuta nel codominio. Se i due insiemi coincidono allora la funzione è suriettiva.

IMMAGINE: è l'insieme delle ordinate corrispondenti alle ascisse del

dominio.

f ingettiva (o INIETTIVA): comunque si prendano due elementi distinti del

dominio, le loro immagini sono distinte.

… come verifico se la funzione è iniettiva?

METODO ANALITICO: 1) Prendi la funzione y=f(x), imponi l'uguaglianza f(x1)= f(x2). Qui sono generici e quindi li trattiamo come si fa nel calcolo letterale. 2) Risolvi l'uguaglianza, porta tutti gli x1 a sinistra dell'uguale e tutti gli x2 a destra dell'uguale. Usa le solite regole con cui si risolvono le equazioni. 3) Se alla fine trovi x1 = x2 e basta allora f è iniettiva, altrimenti se ci sono altre possibilità non è iniettiva.

METODO GRAFICO: basta conoscere i grafici delle funzioni elementari e avere un filo di dimestichezza. È il metodo consigliato se la funzione non ha un'espressione troppo complicata. 1) Disegna un grafico qualitativo della funzione, ossia un grafico che non deve essere precisissimo ma che rispecchi le caratteristiche della funzione considerata. 2) Traccia una serie di rette orizzontali (parallele all'asse delle x). 3) Con una sola occhiata puoi vedere le zone - prendi come riferimento l'asse delle y - in cui le rette orizzontali intersecano o non intersecano il grafico della funzione f . 4) Se riesci a trovare anche solo una retta orizzontale che interseca il grafico della funzione in due o più punti,la funzione non è iniettiva. Se invece tutte le rette orizzontali hanno al massimo una sola intersezione con il grafico, o non ne hanno, allora la funzione è iniettiva.

INIETTIVA NON INIETTIVA

f surgettiva (o SURIETTIVA): ogni elemento dell’insieme di arrivo è

immagine di un elemento del dominio.

… come verifico se la funzione è suriettiva?

In questo caso il metodo grafico è molto più sbrigativo: dobbiamo supporre di saper tracciare il grafico qualitativo della funzione, cioè saperne determinare l'andamento sommario. Supponendo di aver tracciato il grafico di f sarà sufficiente osservare se l‘ "ombra" del grafico che avete disegnato copre interamente l'asse delle y: se si, questo garantirà la suriettività della funzione.

f bigettiva (o BIUNIVOCA): funzione sia iniettiva che suriettiva.

Si ha una corrispondenza 1: 1. Le funzioni biunivoche sono INVERTIBILI.

funzione inversa Sia f: A->B una funzione. Se f è biunivoca allora si può definire la sua funzione inversa che si indica con f-1. Tale funzione ad y Є B associa la sua controimmagine x che è unica, essendo f biunivoca.

Cioè data y=f(x) biunivoca, allora è f-1 (y) = x, come pure è f(x) = y.

N.B.: Per comodità anche le funzioni inverse sono espresse con y in funzione di x.

esempio: considerare la funzione inversa della funzione y=2x + 1. 1. Controllare se la funzione è bigettiva (= sia inettiva che suriettiva..); 2. Invertire ricavando x in funzione di y: x= Questa rappresenta l’equazione della funzione f-1

𝑦 =𝑥 − 1

2

𝑦 − 1

2

f (strettamente*) crescente: è verificata la condizione per cui per

ogni x1<x, f(x1)>*f(x2), ovvero man mano che la x aumenta anche la y cresce.

f (strettamente*) decrescente: è verificata la condizione per cui

per ogni x1>x, f(x1)>*f(x2), ovvero man mano che la x aumenta, la y decresce.

… come capisco in quali intervalli la funzione è crescente o decrescente?

Si trova la derivata prima della funzione, ovvero f ’(x), e la si pone > 0, intersecando le soluzioni con il dominio. In questi intervalli la funzione risulterà crescente, negli altri decrescente, ad eccezione dei punti in corrispondenza delle soluzioni f ’(x) = 0 che rappresentano dei PUNTI STAZIONARI.

Se le derivate destra e sinistra di f in un dato punto x0 risultano essere diverse, siamo in presenza invece di un PUNTO ANGOLOSO o CUSPIDE.

f monotòna: una funzione che sia solo crescente (o strettamente

crescente) o solo decrescente (o strettamente decrescente) si dice monotòna

f continua: 1. la funzione è continua se il suo grafico è formato da un'unica curva che non compia mai salti; 2. Una funzione si definisce continua nel suo punto x0Є D se lim

𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑓 (𝑥0)

f composta: date le due funzioni f: A->B e g: B->C, se accade che f(A) è

contenuto nel dominio di g, allora si può considerare le funzione composta g o f [g composta da f] = A->C che opera nel seguente modo: x -> f(x) -> g(f(x)).

h=g(f(x))

…in pratica…

per definire la funzione composta h: 1.ad una generica x associa un valore y mediante l'azione (detta anche legge) di f; 2. al valore y=f(x) viene applicata l'azione di g, e quindi il valore y appena individuato viene fatto finire in un valore z determinato dalla funzione g.

f simmetrica: per le funzioni possono sussistere simmetrie rispetto all’asse y e

rispetto all’origine.. 1. Simmetria rispetto all’asse y (PARI): se accade che f(x) = f(-x) per ogni x Є D (nelle funzioni algebriche ciò accade quando la x compare solo con esponente pari)

2. Simmetria rispetto all’origine(DISPARI):se accade che f(-x)=- f(x) per ogni x Є D

MASSIMO ASSOLUTO di una funzione: valore di x maggiore o

uguale ad ogni x appartenente al dominio della funzione (che deve essere definita e continua in un certo intervallo [a,b]).

MINIMO ASSOLUTO di una funzione: valore di x inferiore o

uguale ad ogni x appartenente al dominio della funzione (che deve essere definita e continua in un certo intervallo [a,b]).

Per calcolarli si confrontano le ordinate di: 1. Punti le cui antimmagini azzerano la derivata prima, ovvero i punti

stazionari, detti anche massimi e minimi relativi; 2. Punti le cui antimmagini sono gli estremi dell’intervallo di

definizione, ovvero i valori f(a) ed f(b); 3. Punti in cui non esiste a derivata prima, ovvero punti angolosi o

cuspidi.

Limiti delle funzioni Il limite di una funzione f(x) in un punto x0 indica il valore "a cui si avvicinano sempre di

più" i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini a x0. Viene indicato con il simbolo: e si legge limite per x che tende a "x-con-zero" di f(x);

x0 è il punto dove vogliamo calcolare il limite, detto PUNTO DI ACCUMULAZIONE, mentre f(x) è la funzione che vogliamo studiare.

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

x può tendere ad ogni valore da -∞ a + ∞; il limite può avere valori che vanno da -∞ a + ∞.

…MA CHE SIGNIFICA?!?!

Se vogliamo studiare una funzione reale di variabile reale, questa sicuramente avrà un dominio. Come si comporta la funzione nei punti di estremo (ovvero quelli che delimitato il sottoinsieme all’interno della retta reale) dominio? Come facciamo a sapere quale sia il comportamento della nostra funzione nei punti in cui non è definita? Utilizziamo l’operazione di limite: in parole povere, il limite ci permette di fingere che la funzione sia definita anche in quei punti e conseguentemente di capirne l’andamento. Perché si dice limite per x che tende a qualcosa? Ricordate che stiamo trattando con valori che stanno sulla frontiera del dominio, cioè dei valori in cui la funzione non è definita. Per questo motivo per un matematico sarebbe un’eresia dire limite per x=qualcosa, perché IN QUEL PUNTO LA FUNZIONE NON ESISTE!

…E COME SI CALCOLANO?!?!?!

Attraverso manipolazioni matematiche, si cerca di arrivare a limiti semplici tenendo conto di quanto segue:

a) il limite di f(x) per x che tende a un valore finito dà un risultato finito: , con x0 e c reali e finiti. b) il limite di f(x) per x che tende a un valore finito dà un risultato infinito: , con x0 reale e finito. c) il limite di f(x) per x che tende a infinitodà un risultato finito: , con c reale e finito d) il limite di f(x) per x che tende a infinito dà un risultato infinito.

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 = 𝒄

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 = ±∞

𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇 𝒙 = 𝒄

𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇 𝒙 = ±∞

FORME INDETERMINATE:

+ ∞ - ∞ -∞ + ∞ O • ∞ ∞ • O 0/0 ∞/ ∞ ∞0

00

1 ∞

…SONO INVECE POSSIBILI I SEGUENTI CALCOLI:

+ ∞ + (+∞) = + ∞ -∞ + (-∞) = - ∞ a/ ∞ = 0 a/0 = ∞ (+ ∞) • (+∞) = +∞ (- ∞) • (-∞) = +∞ (+ ∞) • (-∞) = -∞ (- ∞) • (+∞) = -∞

ASINTOTO: curva alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data.

Con il termine asintoto, senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta.

1. La retta di equazione x=a è asintoto verticale alla curva rappresentativa della funzione y=f(x) , se vale almeno una delle seguenti relazioni: 1.

2. La retta di equazione x=a può essere asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito.

Un’importante applicazione del calcolo dei limiti è la ricerca degli ASINTOTI:

2. La retta di equazione x=a è asintoto orizzontale alla curva rappresentativa della funzione y=f(x), se

3. A volte si può avere un asintoto obliquo alla curva rappresentativa della funzione y=f(x), con equazione y=mx+q, se

Classificazione delle funzioni

FUNZIONI

ALGEBRICHE

TRASCENDENTI

Razionali intere (polinomi)

Razionali fratte

Irrazionali

Esponenziali

Logaritmiche

Goniometriche

Le funzioni elementari

Funzione lineare (proporzionalità diretta)

y = ax + b

Funzione lineare (proporzionalità inversa)

y = 1/x

Funzione potenza y = xn con n intero e > 0

n pari

n dispari

Funzione radice y = √x

1. n pari

D= [0; +∞[

Cod= [0; +∞[

2. n dispari

D=R

Cod=R

Funzione esponenziale y = ax

1. a>1, la funzione è SRETTAMENTE CRESCENTE e INGETTIVA

D= R

Cod = ]0; +∞[

lim ax = 0 lim ax = + ∞ x -> - ∞ x -> + ∞

2. 0<a<1, la funzione è STRETTAMENTE DECRESCENTE e INGETTIVA

D= R

Cod = ]0; +∞[

lim ax = 0 lim ax = + ∞ x -> - ∞ x -> + ∞

Funzione logaritmo y = loga x (con a,b Є R; a,b>0; a≠1)

1. a>1, la funzione è SRETTAMENTE CRESCENTE e INGETTIVA

D= ]0; +∞[

Cod = ]- ∞; +∞[

lim loga x = - ∞ lim loga x

= + ∞ x -> - 0 x -> + ∞

2. 0<a<1, la funzione è STRETTAMENTE DECRESCENTE e INGETTIVA

D= ]0; +∞[

Cod = ]- ∞; +∞[

lim loga x = + ∞ lim loga x

= - ∞ x -> - 0 x -> + ∞

Funzione seno y = sen x

D= R

Cod= [-1; +1]

Funzione coseno y = cos x

D= R

Cod= [-1; +1]

Funzione tangente y = tg x

D=

Cod= R

Funzione cotangente y = cotg x

D=

Cod= R

𝑅 − 𝜋

2+ 𝑘𝜋

𝑅 − 𝑘𝜋

Le funzioni goniometriche sono PERIODICHE. Una funzione si dice periodica di periodo T se accade che f(x+kT) = f(x), con kЄZ. Le funzioni periodiche non sono bigettive, e per questo non sono invertibili così come sono. Per poterle invertire vanno fatte delle restrizioni:

1. La funzione seno per poter essere invertita va ristretta nel dominio da –π/2 a π/2. La funzione inversa è la funzione arco seno y=arc sen x.

D= [-1; +1] Cod= [–π/2; +π/2]

2. La funzione coseno per poter essere invertita va ristretta nel dominio da o a π. La funzione inversa è la funzione arco coseno y=arc cosen x.

D= [-1; +1] Cod= [0; +π]

3. La funzione tangente per poter essere invertita va ristretta nel dominio da -π/2 a π/2. La funzione inversa è la funzione arco tangente y=arc tg x.

D= R Cod= ]–π/2; +π/2[

lim𝑥→−∞

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 = −𝜋

2

lim𝑥→+∞

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 =𝜋

2

Equazioni e disequazioni goniometriche

Per equazione (disequazione) goniometrica si intende un’equazione (disequazione) in cui l’incognita compare come argomento della funzione goniometrica. Risolvere un’equazione (disequazione) goniometrica significa determinare gli angoli (intervalli di angoli ) che sostituiti nell’espressione data restituiscono un’identità ( verificano la disequazione).

1) senx = p con −1≤ p ≤1

Si traccia la circonferenza goniometrica (o il grafico della funzione seno) e la retta parallela all’asse x (di equazione y=p). Si individuano due angoli aventi il seno dato: α e 180° - α (angoli supplementari).

Gli angoli sopra indicati si trovano per ogni giro completo, quindi in generale per tutti i giri le soluzioni saranno α+k360° e 180°-α+k360

Es.: senx=1/2; soluzioni: π/6 + k 2π e 5/6 π + k2π

EQUAZIONI ELEMENTARI

se il valore di p non è tra quelli di seni di angoli notevoli ( 30°, 45°, 60°) per indicare l’angolo α si ricorre all’indicazione arcsen.

se p < −1∨ p >1 non ci sono soluzioni

se p = −1 una sola soluzione per giro x=3/2π+2kπ

se p =1 una sola soluzione per giro x=π/2 +2kπ

se −1 < p < 1 due soluzioni per giro come sopra indicato

2) cos x = q con −1≤ q ≤1

Si traccia la circonferenza goniometrica (o il grafico della funzione coseno) e la retta parallela all’asse y nel caso della circonferenza o all’asse x nel caso della funzione (di equazione x=q). Si individuano due angoli aventi il coseno dato: α e - α (angoli opposti).

Gli angoli sopra indicati si trovano per ogni giro completo, quindi in generale per tutti i giri le soluzioni saranno α+k360° e -α+k360

Es.: cos x= -1/3 ; nessuna soluzione reale

se q < −1∨ q > 1 non ci sono soluzioni

se q=−1 una sola soluzione per giro x=π+2kπ=2(k+1)π

se q = 1 una sola soluzione per giro x = 2kπ

se −1 < q < 1 due soluzioni per giro come sopra indicato

• 3) tgx = r con r ∈ℜ .

Si tracciano la circonferenza goniometrica (o il grafico della funzione tangente) e la retta parallela all’asse y passante per A(1,0) di equazione x = 1 . Si individuano due angoli aventi la tangente data: α e 180°+α

Gli angoli sopra indicati si trovano per ogni mezzo giro, quindi in generale per tutti i giri le soluzioni saranno α+k180°.

EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI ELEMENTARI. sen2 x + senx − 2=0 . Ponendo sen2x = t diventerà t2 +t-2=0 equazione algebrica da risolvere. Sostituendo in t = senx si ottengono due equazioni goniometriche elementari.

EQUAZIONI OMOGENEE. Sono equazioni in cui i termini sono tutti dello stesso grado (ci limiteremo ai casi di 1° e 2° grado) ed il termine noto è 0. - Equazione omogenea di 1°grado Esempio senx − cos x = 0 . Si divide per cos x e si ottiene, applicando la seconda relazione fondamentale della goniometria, tgx −1 = 0, equazione del tipo già preso in considerazione.

- Equazione omogenea di 2°grado In queste equazioni il termine noto può sempre diventare 0. Esempio 2sen2x+1 = 4senx cos x Utilizzando la prima relazione fondamentale il termine noto può trasformarsi in 1 = cos2 x + sen2x. L’equazione diventa 2sen2 x+(sen2x+cos2x)=4senx cos x, si divide per cos2x e si ottiene, applicando la seconda relazione fondamentale della goniometria, 2tg2x +(tg2x+1)=4tgx, equazione del tipo già preso in considerazione

EQUAZIONI LINEARI. Sono equazioni di primo grado con termine noto non nullo. Esempio cos x + senx = 2 Poiché non è praticabile il metodo esposto precedentemente, si pone cos x = X e senx = Y. Si sostituisce nell’equazione e si ottiene X +Y = 2 Dalla prima relazione fondamentale della goniometria si ottiene X2 +Y2 = 1 e si ricava il sistema X+Y=2 X2 +Y2 = 1 le soluzioni individueranno in modo univoco gli angoli soluzioni dell’equazione.

EQUAZIONI RISOLUBILI CON L’USO DELLE FORMULE GONIOMETRICHE. 1) cos (30° + x) + cos (30° − x) = 3/2 N.B. gli angoli sono diversi. Per ricondurci ad uno dei casi già esposti è necessario che l’argomento della funzione coseno sia solo x ed il solo modo per ottenerlo è applicare la formula dell’addizione e della sottrazione. 2) cos 2x + sen2 x=0 N.B. gli angoli sono diversi, uno è il doppio dell’altro. Occorrerà applicare la formula della duplicazione dopo di chè tutte le funzioni goniometriche avranno argomento x. 3) 2cos2 x/2 + cos x = 1 N.B. gli angoli sono diversi, uno è la metà dell’altro. Occorrerà applicare la formula della bisezione (è comunque consigliabile applicarla quando c’è un quadrato come in questo caso ) dopo di chè tutte le funzioni goniometriche avranno come argomento x.

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

DUPLICAZIONE

BISEZIONE

DISEQUAZIONI ELEMENTARI. senx > p con −1 < p < 1 sarà verificata per l’arco della circonferenza (α,180°-α), mentre senx < p con −1 < p < 1 sarà verificata per l’arco (180°-α, 360°+α)

cos x > q con −1 < q < 1 sarà verificata per l’arco della circonferenza (-α,α), mentre cos x < q con −1 < q < 1 sarà verificata per l’arco (α, 360°-α)

tgx > r sarà verificata per l’arco della circonferenza (α,90°), mentre tgx < r con sarà verificata per l’arco (0°, +α)U(90°,180°)

DISEQUAZIONI NON ELEMENTARI. Per risolvere disequazioni più complesse si deve far riferimento alle conoscenze già acquisite sulle disequazioni algebriche, alle disequazioni prodotto, alle disequazioni fratte, ai sistemi di disequazioni ed alle equazioni goniometriche.