CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di...
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CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA
1
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OGGETTO DELLA MATEMATICA FINANZIARIA 1‐2
• Oggetto della Matematica finanziaria:• Formalizzazione dello scambio tra importi monetari disponibili in epoche diverse• Calcoli connessi alla valutazione degli impegni relativi ad operazioni riguardanti un
insieme di movimenti monetari
• Ambiente di lavoro• Deterministico• Stocastico (aleatorio)
• Condizioni di certezza (ambiente deterministico)• Capitale – ammontare esprimibile in moneta• Prestazione finanziaria (somma datata)• Regole di comportamento economico:
• Possesso di un capitale è vantaggioso• Disponibilità di un capitale altrui ha un prezzo• Tra due prestazioni finanziarie
• ad una stessa epoca è preferita quella con importo maggiore• con lo stesso importo
• >0 è preferita quella con la scadenza minore• <0 è preferita quella con la scadenza maggiore
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RELAZIONE DI PREFERENZA‐INDIFFERENZA 2‐7
• Interesse – costo per la disponibilità di un capitale
• Lender
• Borrower
• Relazione di preferenza forte
• Relazione di preferenza debole
• Relazione di indifferenza
• Dominanza tra prestazioni finanziarie
• Confrontabilità incompleta
‚
»
3
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Principio di equivalenza finanziaria 7‐8
• Introducendo il comportamento individuale si ottiene la confrontabilità completa. Si procede in due fasi
• I fase – determinazione delle zone di non dominanza rispetto ad un punto• II fase – costruzione della linea di indifferenza individuata dal punto di partenza
• Costruzione della curva di indifferenza (linea di indifferenza individuata da (X,A)
•
• A capitale impiegato, Bmontante, I interesse (operazione di prestito)• A capitale a scadenza, B valore attuale, D sconto (operazione di sconto)
• Principio di equivalenza finanziaria• Incasso oggi oppure Incasso posticipato con Incasso di interessi• Esborso oggi oppure con Esborso posticipato con Pagamento di interessi
( , ) ( , )X A Y B»
,X Y I B A< = -,X Y D A B> = -
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ASPETTO DIMENSIONALE 8‐9
• Grandezze fondamentali • Importo monetario (misura della transazione con unità utilizzata)• Tempo (periodo temporale durata e/o differimento )
• Grandezze derivate• Flusso (importo/tempo) reddito monetario (stipendio)=importo monetario che matura
nell’unità di tempo• Tasso (importo/importo) numero puro (interesse/capitale)• Intensità (importo/[importo*tempo]) tempo occorrente alla formazione di un importo
che consegue da un altro importo
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RELAZIONI DI INDIFFERENZA E LEGGI DI SCAMBIO 11‐14
• Passaggio dal confronto tra prestazioni finanziarie a legge di scambio• Operazione di prestito
• Funzione di capitalizzazione
• Operazione di sconto• Funzione di attualizzazione
• Contratto• Equo• Favorevole• Sfavorevole
• Montante • Valore scontato• Operazioni corrispondenti
• Leggi coniugate
• Legge di scambio (funzione di sconto e di capitalizzazione prese insieme)• Proprietà: Riflessiva
• Simmetrica• Proporzionalità degli importi (omogeneità di I grado rispetto agli importi)
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LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16
• Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili
• Fattore di montante
• Fattore di sconto• Riflessività• Simmetria
• Leggi coniugate
• con numero puro • Fattore di scambio
• Esemplificazione geometrica• Relazioni con le funzioni implicite (Th Dini)
( , ') ( ', ) 1, 'm T T a T T T T⋅ = " £
7
( , ) 0, ( , )z X Y X Y> " ( , )z X Y
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GRANDEZZE DERIVATE 17‐18• Grandezze derivate iniziali
• Di capitalizzazione• Fattore di montante • Tasso di interesse periodale• Intensità di interesse periodale
• Di attualizzazione• Fattore di sconto• Tasso di sconto periodale• Intensità di sconto periodale
• Grandezze derivate di proseguimento• Di capitalizzazione
• Fattore di montante r(X;Y,Z)=m(X,Z)/m(X,Y)• Tasso di interesse periodale• Intensità di interesse periodale• r(Y;Y,Z)
• Di attualizzazione• Fattore di sconto• Tasso di sconto periodale• Intensità di sconto periodale
( , )( ; , )( , )
Z
Y
K m X Zr X Y ZK m X Y
8
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INTENSITA’ ISTANTANEA 18‐20
•
•
•
•
( , ) ( , )( , ) lim ln ( , )( ) ( , )
Z
Z YY
m X Z m X YX Y m XZ Y m X Y
d xx
é ù- ¶ê ú= = ê ú- ¶ë û
( , ) ( , )( , ) lim ln ( , )( ) ( , )
Z
Z YY
a X Z a X YX Y a XZ Y a X Y
q xx
é ù- ¶ê ú= = ê ú- ¶ë û
( , )( , )( , )
Z
Y
X dm X Z em X Y
d x xò=
( , ) ( , )( , )( , )
Z Y
Y Z
X d X da X Z e ea X Y
q x x q x x-ò ò= =
9
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SCINDIBILITA’ I; 20‐22 e nota 16 • Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di montante
• Invarianza del risultato rispetto alle interruzioni
• Relazione col montante di proseguimento
• Definizione di scindibilità debole rispetto alla legge di sconto
• Relazione con lo sconto di proseguimento
• Definizione di scindibilità forte • A mezzo della relazione di indifferenza• A mezzo dei fattori di scambio
• Una legge di scambio è fortemente scindibile se e solo se la relazione di indifferenza è una relazione di equivalenza Z=X simm, Z=Y rifl
• Proprietà della relazione di equivalenza e sue conseguenze (classi di equivalenza)
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SCINDIBILITA’ II 23‐26
• Relazioni tra scindibilità forte e scindibilità debole• Classi di equivalenza tra le prestazioni finanziarie
• Valore finanziario intrinseco
• Ordinamento totale sull’insieme delle classi di equivalenza• Una legge debolmente scindibile implica l’indipendenza dall’epoca di impiego • Una legge è debolmente scindibile se e solo se l’intensità di interesse (di sconto) è indipendente dall’epoca iniziale. • Una legge z(X,Y): z(X,Y) z(Y,X)=1 è fortemente scindibile se e solo se
• Nec. Intensità istantanea
• non vale la simmetria
• Fattori di scambio scindibili:
1 2 1 2( )( ) : ( , ) ; ( ) ( )( )h Yh T z X Y T T h T h Th X
$ = < £
1 2( ), ( )h T h T( )
( , )
Y
X
d
z X Y ed h hò
=
11
( ; , ) ( ; , ) ( , )r X Y Z r Y Y Z m Y Z= =
'( ) ( ) ( )h T T h Td=
( , )Z
Y
X d
ed h hò
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LEGGI FINANZIARIE OMOGENEE (UNIFORMI)28‐29• Omogeneità rispetto al tempo (uniformità)
• Fattore di scambio per leggi omogenee rispetto al tempo ed all’importo
• Fattore di scambio ad una variabile
• Fattore di montante e fattore di sconto ad una variabile
• Curve di livello per fattori di scambio uniformi
•
• Simmetria per fattori di montante e di sconto
• Fattore iniziale
• Fattore di proseguimento
12
( ) ( ) 1u t v t
( ) ( ) ( ), se 0(0) (0) (0) 1
( ) ( ) ( ), se 0
u t g t g tu v g
v t g g t t
t t
t t
ì = = = >ïïïï = = =íïïï = = - =- <ïî
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FATTORI TASSI INTENSITA’ 30
fattore iniziale ( ) ( )tasso iniziale ( ) 1 1 ( )
( ) 1 1 ( )intensità iniziale
( ) ( )fattore di proseguimento ( ) ( )( ) ( )tasso di proseguimento 1 1
( ) ( )
intensità di proseguimento
u t v tu t v tu t v tt t
u t h v t hu t v tu t h v t hu t v t
- -- -
+ +
+ +- -
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'( ) '( )intensità istantanea ( ) ( )( ) ( )
u t h u t v t v t hhu t hv tu t v tt tu t v t
d q
+ - - +
= =-
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PROPRIETA’ FATTORI DI SCAMBIO UNIFORMI 34‐35
•
•• Scindibilità per leggi uniformi
• regimi esponenziali di interesse e di sconto
• I regimi esponenziali di interesse e di sconto sono gli unici ad essere uniformi e scindibili
• Le leggi di scambio esponenziali, e solo esse, corrispondono a relazioni di indifferenza che sono equivalenze uniformi nel tempo e omogenee rispetto agli importi
0 0
( ) ( )
( ) , ( )
t t
z dz z dz
u t e v t ed q-ò ò
= =
( ) ( ) 1 ( ) ( ), 0u t v t t t td q= = " ³
( ) , ( )t tu t e v t ed q-= =
14
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DURATA, SCADENZA e TASSO MEDI 32‐33• Fattori di scambio funzioni continue e strettamente monotone della durata
• Scadenza media aritmetica ; 1
1
ˆ
n
h hhn
hh
S tt
S
=
=
=å
å
Durata media tempo iniziale 0
Scadenza media aritmetica 0ˆ
q̂T T t= +
Fattore di scambio medio
1
1
( )ˆ( )
n
h hh
n
hh
M v tv t
M
=
=
=å
åSconto Montante 1
1
( )ˆ( )
n
h hh
n
hh
C u tu t
C
=
=
=å
å
15
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REGIMI E LEGGI UNIFORMI 37‐38
• Regimi finanziari uniformi leggi finanziarie uniformi
• Tassi periodali equivalenti di interesse (sconto) stessa legge finanziaria
• Intensità equivalenti
• Tassi periodali uno di interesse ed uno di sconto equivalenti
• Leggi coniugate
•
16
1 1i dd ii d
= =+ -
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REGIME INTERESSE SEMPLICE POSTICIPATO 38‐39• Proporzionalità interesse sia al tempo che al capitale I=Cit• Tasso annuo di interesse (posticipato)• Montante
• Fattore di montante• Tasso periodale di interesse• Intensità periodale di interesse• Tassi equivalenti in regime di interesse semplice
• Intensità variabile
• Intensità istantanea
• Interesse calcolato sui giorni
, (1 )M C I M C it= + = +
( )
1
1 (1 )n
ss
s
M C i t C i t=
æ ö÷ç= + = +÷ç ÷ç ÷è øå
/g CgI C iT T i
= =
1tiit
d =+
17
' "' "t ti t i t i= =
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REGIME DELLO SCONTO RAZIONALE 40‐43
• Leggi di sconto coniugate con leggi i.s.p.
• Fattore di sconto
• Tasso periodale di sconto
• Intensità periodale di sconto
• Tasso annuo di sconto e tasso annuo di interesse
• Ammontare sconto
• Ammontare valore scontato
• Intensità istantanea• Grafici
1MCit
=+
1 1(1 ) 1 (1 )t
dvit d t
-= =
+ - -
1 1 (1 )tit dtdit d t
= =+ - -
1 1 (1 )t
td i dt it d t
r = = =+ - -
1 1i dd ii d
= =+ -
1 (1 )tMdtD Mdd t
= =- -
(1 )1 (1 )tM dC Mvd t-
= =- -
'/ (1 ' )i i tq= +
18
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REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE 43‐44 • Sconto commerciale
• Fattore di sconto
• Tasso periodale di sconto
• Intensità periodale di sconto
• Tassi di sconto periodali equivalenti
• Intensità istantanea
, (1 )D Mdt C M Dt= = -
1tv dt= -
td d t= ⋅
ttd dt
r = =
' "
' "t td d dt t
= =
'1 'tdd t
q =-
19
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REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE ANTICIPATO 45‐46• Fattore di montante
• Tasso periodale di interesse
• Intensità periodale di interesse
• Intensità istantanea
11tu dt
=-
1tdtidt
=-
1tdjdt
=-
1tddt
d =-
20
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REGIME INTERESSE COMPOSTO 49‐53
• Il processo di conversione degli interessi
• Montante ottenuto con la conversione
• Regime interesse composto
• Conversione a tempi discreti
• Conversione nel continuo
• Conversione discreta generalizzata
• Capitalizzazione mista con conversione annua
• Capitalizzazione a tasso e numero di periodi fissati
• Capitalizzazione mista con conversione m volte l’anno
• Capitalizzazione mista con conversione frazionata
•
• tasso annuo nominale convertibile m volte
( )
1
( ) (1 )n
ss
s
M t C i t=
= +
11 , , ( )s mt m m i j mm
= Î ⋅ =
21
1 2( ) (1 ( ) (1 ( ) / ) (1 ( ) )kM t C j m f j m m j m f= + + +
1 2() (1 )(1 ) (1 )nMt C fi i f i= + + + +
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TASSI ED INTENSITA’ EQUIVALENTI 54‐56
• Fattore di montante
• Tasso di interesse
• Intensità periodale di interesse
• Tasso annuo nominale convertibile m volte
• Capitalizzazione mista con conversione m volte l’anno
• Tassi periodali equivalenti in regime di interesse composto
• Intensità periodali equivalenti in regime di interesse composto
• Intensità fissata
• Tasso annuo fissato
1/ ' 1/ ' 1/ " 1/ "1 ; 1 , 1m m m mu i u i u i= + = + = +
1/ ' 1/ ", ,m mi i i
( , ) 1 1mji f j m
mæ ö÷ç= = + -÷ç ÷çè ø
( )1/( , ) (1 ) 1mj g i m m i= = + -
( )j m
22
( ) ( )' , "j m j m
1/ ' 1/ ",m mi i
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REGIME INTERESSE COMPOSTO CONTINUO 57‐ 60
•
Linearità proporzionalità tra flusso di interessi ed importo che li genera
Circolarità trasferimento degli interessi al fondo che li genera
• Uguaglianza tra l’incremento del montante e l’interesse infinitesimo
• Legge esponenziale• Tassi periodali ed intensità periodali equivalenti• Fattore di montante• Tasso periodale di interesse • Intensità periodale di interesse
1/
lim ( , ) lim 1 1 1
(1 ) 1lim ( , ) lim ln(1 )1 /
m
m m
m
m m
i f m em
ig i m im
ddd
d
ì æ öï æ ö ÷ï ç ÷ç ÷ï ç= = + - = -÷ ÷ççï ÷ç ÷è øç ÷ï è øïíïï + -ï = = = +ïïïî
'( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( )M t M t M t dt M t M t dt o dtd d= + = + +
/1/ 1/ 1ln(1 ) ln(1 ); ; ; 1 ; 1mm m mi m i i i e i e id dd= + = + - = - =
( ) (1 )tM t C i= +(1 )t ttu i ed= + =
(1 ) 1 1t tti i ed= + - = -
( ) ( )/ (1 ) 1 / 1 /t tt tj i t i t e td= = + - = -
23
/1/(1) / 1 1/ (1 ); (1/ ) / mmu M C e u i d u M m C ed d= = = = + = - = =
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REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO 61 ‐ 63•
•
•
•
•
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1/ 1 1/1/ 1/1 1 ; 1 1 ; 1 1 1 1t t m mm mi d i d i i d d- - - -+ = - + = - + = + = - = -
'( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) tC t dt C t C t dt o dt C t C t C t Me qq q -+ = - - =- =
( )
( )
/1/
1/ 1
1/
(1) / 1 1 / (1 ); (1 / ) /
( (1)) / 1 1 1 1 / (1 )
( (1 / )) / 1 1 1 1 / (1 )
mm
m mmm
v C M e v d i v C m M e
d M C M v e i
d M C m M v e i
q q
q
q
- -
-
-
= = = = - = + = =
= - = - = - = - +
= - = - = - = - +
'1/ 1/ '(1 ) (1 ) 1m mm md d d- = - = -
1 /1/( ) (1 ) (1 )m mmm md m v m e qr -= = - = -
(1 )
1
1
t tt
tt
tt
t
v e i
d ed et t
q
q
q
r
- -
-
-
= = +
= -
-= =
24
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Interpretazione grafica regime composto 65 ‐ 66
25
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CORRISPONDENZE TRA FATTORI TASSI INTENSITA’ 67
1 111
1 1 11
11 11
1 1 11
ln ln ln(1 ) ln(1 )
u i ev d
v d eu i
v du i ev d
u iv d eu iu v i d
d
d
d
d
d
-
-
+-
-+
-- -
--
- -+
- + - -
u v i d δ
u
v
i
d
δ
26
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CONFRONTO TRA RIC RSC E RISP I 72 ‐ 74
00 0 0
0
11 (1 ) : ; ' , se ( ) ; ' 1 set ii t i t j m i t i i
i mdd
ì £ïï+ = + = = = =íï >ïîI.S.P. vs I.C.
I.S.P. vs I.S.A. 00 0 0
0
1 11 , : ' , ; ' 1 se1 1
i d di t t t i d t idt d i d d
-+ = < = > = =
- -
I.C. vs I.S.A.1 1(1 ) , , ; ' 1 se
1 1t di t d t i
dt d dd+ = < < = =
- -
27
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DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI I 79 ‐ 81• Operazione finanziaria
• Incassi• Esborsi
• Progetto finanziario – importi datati che conseguono da un progetto realizzabile
• Operazione finanziaria• Scadenzario• Flusso di cassa
• Operazioni • Semplici • Complesse
• Valutazione di un’operazione finanziaria• Valore di un’operazione finanziaria• Proprietà di additività
•1
( ; , ) ( , )n
h hh
V T O z S z T T=
=å
28
( ){ } ( ) ( )1 2 1 21, , , , & , , ,nk h n nk
O T S T T T S S S=
= =
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DETERMINAZIONE DI VALORI CAPITALI II 81‐82
• Operazione equa al tempo T
• Proprietà di invarianza scindibilità forte
•• Valore capitale legge uniforme non scindibile
•
• Legge fortemente scindibile non uniforme
•
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
1
( ; , ) ( )n
h hh
V T O g S g T T=
= -å
29
0( ; , ) 0, ( , )V T O z z X Y
( ) ( )
1
( ; , ) ; ( , )h h
nT T T T
h hh
V T O z S e z T T ed d- - - -
=
= =å
1
( ; , ) ( )h
Tn
h T
V T O z e dd l l=
=å ò
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DETERMINAZIONI DI VALORI CAPITALI Caso Continuo 84
• Valutazione di un’operazione finanziaria
•
• Valore capitale legge uniforme non scindibile
•
• Legge fortemente scindibile non uniforme
•
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
"
'
( ; , ) ( ) ( , )t
t
V T O z S t z t T dt= ò
30
"
'
( ; , ) ( ) ( )t
t
V T O g S t g T t dt= -ò
" ( )
'
( ; , ) ( )
T
t
t d
t
V T O z S t e dtd l l-ò
= ò
"( )
'
( ; , ) ( )t
t T
t
V T O z S t e dtd- -= ò
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RISERVA PROSPETTIVA E RETROSPETTIVA 84 ‐ 85•
• Riserva retrospettiva di O all’epoca T • Riserva prospettiva di O all’epoca T
•
•
• Legge uniforme
• Legge fortemente scindibile e non uniforme
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
• Equità in f.s.
( ; , )M T O z
1
( ; , ) ( )m
h hh
M T O z S u T T=
=- -å
31
( ; , ) ( ; , ) ( ; , )V T O z W T O z M T O z= -
0 0 0, ( ) ( )T M T W T- = ( ) ( )M T W T T- = "
1
( ; , ) ( )n
h hh m
W T O z S v T T= +
= -å
( ; , )W T O z
1
( ; , ) ( , )m
h hh
M T O z S z T T=
=-å
1
( ; , ) ( , )n
h hh m
W T O z S z T T= +
= å
( ) ( )
1 1
( ; , ) ; ( ; , )h h
n nT T T T
h hh m h m
W T O z S e M T O z S ed d- - -
= + = +
= =-å å
( ) ( )
1 1
( ; , ) ; ( ; , )
T T
T Th h
t dt t dtm m
h hh h
M T O z S e W T O z S ed d
= =
ò ò=- =å å
[ ]1, nT T TÎ
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RISERVA PROSPETTIVA RETROSPETTIVA Caso Continuo 86 ‐ 87
•
•
• Legge uniforme
• Legge fortemente scindibile e non uniforme
•
• Legge fortemente scindibile ed uniforme
•
• Equità
"( )( ) ( )
tt TW T S t e dtd
t
- -= ò
32
( )
'
( ) ( ) T t
t
M T S t e dtt
d -=-ò
" ( )
( ; , ) ( )
t
T
t d
W T O z S t e dtd x x
t
-ò= ò
( )
'
( ; , ) ( )
T
t
d
t
M T O z S t e dtt d x xò
= -ò
'
( ; , ) ( ) ( )t
M T O g S t g T t dtt
=- -ò"
( ; , ) ( ) ( )t
W T O g S t g T t dtt
= -ò
'
( ; , ) ( ) ( , )t
M T O z S t z t T dtt
=-ò"
( ; , ) ( ) ( , )t
W T O z S t z t T dtt
= ò
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USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’ 90 ‐ 92
• Scomposizione della riserva prospettiva• Usufrutto v.a. delle quote di interesse successive a T• Nuda proprietà v.a. delle quote di capitale successive a T
••
•
•
• Caso continuo
•
•
( ) ( ) ( )W T U T P T= +
( )
1
( )
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 ( )
ThhT
ThhT
n d T
h Th r
n d T
h Th r
U t S e d
P t W t U t S e d
d t t
d t t
d l l
d l l
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
= +
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
= +
ò=
ò æ ö÷ç= - = - ÷ç ÷è ø
å ò
å ò
33
( ) ( ) ( )W T U T P T= +
( )
1
( ) h
nT T
h hh r
U T S i e d- -
= +
= å( )
1
( ) ( ) ( ) (1 )h
nT T
h hh r
P T W T U T S e id- -
= +
= - = -å
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Tasso Interno di Rendimento 93 ‐ 95
• Parametri di rendimento implicito di un’operazione finanziaria• Progetto finanziario – insieme dei fatti economici tecnici sottostanti all’insieme delle
prestazioni• TIR ‐ IRR
• Legge di scambio i.c.c.• Operazione equa
• Progetto puro (riserva retrospettiva sempre dello stesso segno)• Progetto misto deve essere reciproco (tasso attivo=tasso passivo)• Pagamenti periodici soluzione radice di un polinomio• TIR operativo se esiste ed è unica la soluzione
• Valore Attuale Netto Risultato Economico Attualizzato – DCF (REA=Ris Econ Gen)• GDCF (risultato economico attualizzato generalizzato)
• Internal Financial Law (legge finanziaria interna)• Caso scindibilità forte (non dipende dall’epoca di valutazione)
*i
1
,n
h hh
T S O
34
( ) ( )00
ˆ ˆ , 0n
h hh
G a S a t t=
= =å
( )0
0; , 0n
hh
h
V O i S v=
= =å
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CLASSIFICAZIONE DEI PROGETTI FINANZIARI 97 ‐ 98
•
• Operazione di investimento ‐ Operazione di finanziamento• In senso stretto (gli esborsi precedono gli incassi invest)• In senso lato (scadenza media esborsi < scadenza media incassi a qualsiasi tasso di valutazione
• P.I.P.O.• C.I.P.O.• P.I.C.O.• C.I.C.O.
•• Media aritmetica esborsi<epoca I incasso (investimento)• Progetto di investimento (di finanziamento) semplice • Proprietà TIR
• Invariante per una modifica proporzionale degli importi• Somma di due progetti ha un tasso interno intermedio
35
condizione sufficiente per l’esistenza e l’unicità di una soluzione positiva per il TIR (punto di vista dell’investitore)
Investimento decrescenza monotona di V(i)Finanziamento crescenza monotona di V(i)
00
0
lim ( ) 0
lim ( ) 0
n
hih
i
V i S
V i S
=
+¥
ìïï = >ïïíïï = <ïïî
å
[ ]( ) [ ]( )0 0 0 00 0 0 0h hh hS S S S S Sé ù é ù+ > < + < >ê ú ê úë û ë ûå å
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CRITERI DI DECISIONE PER PROGETTI 99 ‐ 102• Dato esterno (mercato e che comporta le valutazioni soggettive)
• Dato interno (relativo al progetto)
• Criterio soggettivo VAN• Conveniente• Indifferente• Non conveniente
• Criterio oggettivo TIR• Conveniente• Indifferente• Non conveniente
• Deve esistere il TIR
• Schematizzazione
Investimento( *) 0 * * ( *) 0 * *
Finanziamento( *) 0 * * ( *) 0 * *conviene non conviene
V x i x V x i x
V x i x V x i x
> > < <
> < < >
36
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ESEMPIO
Cash Flow Date
-120000 01/03/2000 0.040748 TIR
35000 02/04/2001 5447.569 0.03
27000 03/05/2003 -4382.78 0.05
36000 04/05/2004
45000 06/07/200837
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SCELTA TRA PROGETTI IN ALTERNATIVA 107‐ 111
• Confrontabilità tra i cash flows• Alternativa completa• Operazioni integrative in modo da ottenere un’alternativa completa
• VAN valore maggiore
• TIR ‐ cash flows differenza• Dominanza tra progetti non esiste il TIR nell’operazione di differenza
•
• Esistenza del TIR
( ; , *) ( ; , *) * *V O x V O x x X> " ÎB A
38
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Scelta tra progetti in alternativa 110
39
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RENDITE CERTE A TASSO FISSO 135 ‐ 138 • Rendita – successione di importi datati con medesimo segno ad eguali intervalli di
tempo• Periodo: divario temporalecostante tra 2 rate
• Annuo• Frazionato• Poliennale
• Frequenza: numero di pagamenti in un anno • Intervallo: arco temporale tra inizio e fine• Durata: ampiezza intervallo• Rata
• Anticipate – Posticipate – Continue• Immediate ‐ Differite• Certe ‐ Aleatorie• Costanti – Variabili• Temporanee – Perpetue• Valore
• Finale (montante)• Iniziale (valore attuale)
• Ammortamento – Costituzione di capitale
40
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VALUTAZIONE DELLE RENDITE I.C. 138 ‐ 148
• Rendite annue temporanee• Immediate
• Posticipate• Anticipate
• Differite
• Rendite annue perpetue• Immediate
• Posticipate• Anticipate
• Differite
• Rendite frazionate temporanee• Immediate
• Posticipate• Anticipate
• Differite
• Rendite frazionate perpetue• Rendite continue
• Temporanee, temporanee differite• Perpetue, perpetue differite
• Rendite poliennali
1 1
1 1( ) ( )
0 1 1 0 1 11 1
1 1,
m m
mn mn
m mm mnmi nmi
m m m mm m
v vV R R a V R R a
i d
- -= = = =
( )
0 0
;n n
t n tn na e dt s e dtd dd
- -= =ò ò
41
(1 ) (1 )0 0
1 1,
p p
k kp pp p
p p p pk i k ip p
v vV R R a V R R a
i d- -
= = = =
,n i n i n i n ii da s a s= + = +
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CALCOLI INVERSI: DAL CAPITALE ALLA RATA ed ALTRO 141 ‐ 142
42
11
11
1(1 ) 1
1(1 ) 1
nn in i
nn in i
nn in i
nn in i
ia v
da v
is i
ds i
a
a
s
s
= =-
= =-
= =+ -
= =+ -
0ln 1 iVRn
d
æ ö÷ç- - ÷ç ÷÷çè ø=
n i
n i
n i
n i
a
a
s
s
Funzione decrescente di n e crescente di iFunzione decrescente di n e crescente di iFunzione decrescente di n e decrescente di iFunzione decrescente di n e decrescente di i
n i
n i
n i
n i
a
a
s
s
Funzione crescente di n e decrescente di iFunzione crescente di n e decrescente di i
Funzione crescente di n e crescente di i
Funzione crescente di n e crescente di i
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RENDITE A RATE VARIABILI I.C. 159 ‐ 161
43
01
(1 )n
hh
h
V R i -
=
= +å Valore inizialeCaso posticipato
( 1)0
1
(1 )n
hh
h
V R i - -
=
= +å
Valore inizialeFlusso continuo
1
(1 )n
n hn h
h
V R i -
=
= +åValore finaleCaso posticipato
1
1
(1 )n
n hn h
h
V R i - +
=
= +å Valore finaleCaso anticipato
00
( )n
tV t e dtdj -= ò( )
0
( )n
n tnV t e dtdj -= ò
Valore finaleFlusso continuo
Valore inizialeCaso anticipato
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RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE ARITMETICA 161 ‐ 163
• Increasing annuity
••
•
•
•
•
•
44
( 1) , , 0hR R h D D R Dg= + - = >
( )1
, 1; (1 )n hh n i hR h R Ia h i -
== = = +å
1, 2,3, , ; , 2 ,3 , , ; , , 2 , ,n R R R nR R R R R n+D + D + D
( ) ( )1 1,
n i n in nM Rs Is V Ra v Ia
- -= +D = +D
( ) ( ) (1 )nn n
Is Ia i= +
( )
( )
( )
2 3 1
2 3 4 1
2 3 1
2 3 ( 1)
2 3 ( 1)
(1 )
n nn
n nn
n nn
Ia v v v n v nv
v Ia v v v n v nv
v Ia v v v v nv
-
+
+
= + + + + - + -
= + + + + - + =
- = + + + + -
( ) ( );n
n i n in n
a nv s nIa Is
i i- -
= =
( ) ( );n
n i n in n
a nv s nIa Is
d d- -
= =
( )1
(1 )n n hn i h
Is h i -
== +å
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RENDITE ANNUE IN PROGRESSIONE GEOMETRICA 171 ‐ 173
Posticipata temporanea
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]10
1
se 1; ; (1 )1 ( ) se 1
1
nq q q qh h nnn i n i n i n i
h
nv q iGa q v V R Ga Gs i Gaqvv q i
qv
-
=
ì = +ïïïï= = = = +í -ï ¹ +ïï -ïî
å
Anticipata temporanea
1
1
( , )n
h
h
h q -
=
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 10
1
se 1; ; (1 )1 ( ) se 1
1
nq q q qh h nnn i n i n i n i
h
n q iGa q v V R Ga Gs i Gaqv q i
qv
- -
=
ì = +ïïïï= = = = +í -ï ¹ +ïï -ïî
å
Perpetue
45
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AMMORTAMENTO 189 ‐ 191
• Mutuante‐Mutuatario
• Rimborso unico• Pagamento finale degli interessi• Pagamento periodico degli interessi
• Rimborso periodico del capitale e degli interessi
(0, ) ( , )(0, ) (1, ) ( 1, ) ( , (1 ))(0, (1 )) (1, ) ( 1, ) ( , )
O C n MO C Ci n Ci n C iO C d Cd n Cd n C
= -= - - += - - -
46
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AMMORTAMENTO GRADUALE A RATE VARIABILI 191 ‐ 197
Chiusura finanziaria 1
(1 )n
hh
h
S R i -
=
= +å1
0
(1 )n
hh
h
S R i-
-
=
= +å
Chiusura elementare 1
n
hh
S C=
=å1
0
n
hh
S C-
=
=å
1
1
h h h
h h
h h h
D D CI iDR C I
-
-
ì = -ïïïï =íïï = +ïïî
1
1
h h h
h h
h h h
D D CI dDR C I
+
+
ìï = -ïïï =íïï = +ïïî
1
h
h kk
D S C=
= -å1
0
h
h kk
D S C-
=
= -å
1(1 )h h hD D i R-= + - 1(1 )h h hD D d R+= - +
1(1 )h h hR D i D-= + - 1(1 )h h hR D D d+= - -
1
( ) (1 ) (1 )h
h h kk
k
M h S i R i -
=
= + - +å1
0
( ) (1 ) (1 )h
h h kk
k
M h S i R i-
-
=
= + - +å
( )
1
(1 )n
k hh k
k h
W R i - -
= +
= +å1
( )(1 )n
k hh k
k h
W R i-
- -
=
= +å
Prospetto di ammortamento47
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USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’, PREAMMORTAMENTO 193; 195; 192
( )
1
( ) ( )
1 1
(1 )
(1 ) (1 )
1, ,
nk h
h kk h
n n nk h k h
h k sk h k h s k
P C i
U I i i i C
h n
- -
= +
- - - -
= + = + =
= +
= + = +
=
å
å å å
1( )
1 1 1( ) ( )
1
(1 )
(1 ) (1 )
0, , 1
nk h
h kk hn n n
k h k hh k s
k h k h s k
P C i
U I i d i C
h n
-- -
=
- - -- - - -
= = = +
= +
= + = +
= -
å
å å å
48
Preammortamento
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TIPI DI AMMORTAMENTO: RATA COSTANTE 198 ‐ 201
• Ammortamento francese – rate costanti posticipate• Le quote capitali evolvono in progressione geometrica di ragione (1+i)
• Riserva retrospettiva e prospettiva
• Usufrutto e Nuda proprietà
(1 ) ;hh h hh i n h i
M S i Rs W D Ra
( ) ( )( )( )
1
1
1 1
( ) ( ) ; (1 )
1( ) ( )
11 1 1 1 .
nn h k h k h
h h h hk h
n hn h n h
h h h n h
n h n h
P n h C n h Rv P C i v
vU D P Ra n h Rv R n h vi
R i Rn h v d n h vi i i
+ - - -
= +
-+ - + -
-
- -
= - = - = +
æ ö- ÷ç ÷= - = - - = - -ç ÷ç ÷çè øæ öæ ö+ ÷ç ÷ç= - + - = - + -÷÷ç ç ÷÷çç ÷è øè ø
å
49
(1 )nn i
R S v R S ia= - = ⋅
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• Ammortamento italiano ‐ quote capitali costanti•
•
• Riserva retrospettiva e prospettiva
• Usufrutto; Nuda proprietà
TIPI DI AMMORTAMENTO: QUOTE CAPITALI COSTANTI 202 ‐ 203
( )
1
1
(1 ) ( 1)(1 )
( 1)(1 )
hh h k
h h ik
nh k
h n h ik h
SM S i s i n k in
S SW a i n k in n
-
=
--
= +
æ ö÷ç= + - + - + + ÷ç ÷ç ÷è ø
= + - + +
å
å
( );h hn h i n h i
S SP a U n h an n- -
= = - -
, 1, ,hn hD S h nn-
= =
1
11
1 ( 1)
h h h
h h
h h h
SC D Dn
n hI iD Sinn hR C I Sn
-
-
ìïï = - =ïïïïï - +ï = =íïïïï + - +ï = + =ïïïî
50
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AMMORTAMENTI CON ADEGUAMENTI 226 ‐ 230
• Ammortamenti con tasso variabile• Immunizzazione dal rischio delle oscillazioni del mercato finanziario• Ammortamento francese adeguato nel tasso
•
• Ammortamento a tasso variabile con quote di capitale prefissate
•
• Ammortamenti con adeguamento del debito residuo• Indicizzazione del debito residuo in funzione di indici statistici• Il caso dell’ammortamento francese
• serie storica degli indici statistici di adeguamento;
•
•
( ) ( )1 1
( )1
;
;
h hh h h hn h i n h i
hh h h h h
R D D R a
I D i C R I
a- - + -
-
= =
= = -
( )1 1; ;h
h h h h h h h hD D C I i D R C I- -= - = = +
( )h hZ
Î
, tempo inizialeh h sZ Z sp =
' ' ' '1 1 1 1 1; ; ;h h h h h h h h h h hD D R R I I C Cp p p p+ + + + += = = =
51
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COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Post. 219 ‐ 221
• Vincolo di equivalenza finanziaria
• Versamenti posticipati costanti
1(1 )n n hhh
S R i -
== +å
:quota capitale:rata:quota interesse:capitaleaccumulato
h
h
h
h
CRIG
1
1 1, ,h h h
h h
h h h
G G CI iG h nR C I
-
-
ì = +ïïïï = =íïïï = -ïî
( )1
1 1
(1 )h h h
h h h h
G G i RR G G iG
-
- -
= + +
= - -
1
1
(1 ) ;
;
hh k
h kk
nn h k h
h k h h hk h
M R i
W Sv R v M W G
-
=
- -
= +
= +
= - = =
å
å
1; (1 ) ;h h ih hn i h i
n i
sS Rs C R i G Rs S
s-= = + = =
; n hh hh i n h i
M Rs W Sv Ra--
= = -
52
1
1
1
(1 )(1 )
(1 )
h h
h h
h h
R G G iR G G iC C i
-
+
+
= - +
= - +
= +
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COSTITUZIONE DI CAPITALE, Vers. Ant. 222 ‐ 224
• Vincolo di equivalenza finanziaria
• Versamenti anticipati costanti
1
0(1 )n n hhh
S R i- -
== +å
:quota capitale
:rata
:quota interesse:capitaleaccumulato
h
h
h
h
C
R
IG
1
1 0,1, , 1h h h
h h
h h h
G G C
I dG h n
R C I
+
+
ìï = +ïïïï = = -íïïï = -ïïî
( )( )
1
1 1
(1 )h h h
h h h h
G G R i
R G G dG
+
+ +
= + +
= - -
1
01
(1 ) ;h
h kh k
kn
n h k hh k
k h
M R i
W Sv R v
--
=
-- -
=
= +
= -
å
å
( ) ( )1 1 1; (1 );
(1 ) ;
h h h h hn i
h h ih h h i
n i
S Rs G G R i R G G dG
sC R i G Rs S
s
+ + += = + + = - -
= + = =
; n hh hh i n h iM Rs W Sv Ra-
-= = -
53
11
1
(1 ) (1 )(1 )
(1 ) (1 )h h
h hh h
G G i R iC C i
G G i R i+
+
-
üï- + = + ï = +ýï- + = + ïþ
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VALUTAZIONE DI RISERVE 231‐236• Valutazione delle riserve ad un tasso diverso dal tasso contrattuale
–
• Formula di Makeham
Decrescenza del debito residuo rispetto ad i*
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )* * *
1
( )* * *
1
( )* * *
1
, 1
, 1
, 1
n k h
h kk h
n k h
h kk h
n k h
h kk h
W W h i R i
U U h i I i
P P h i C i
- -
= +
- -
= +
- -
= +
= = +
= = +
= = +
å
å
å
( ) ( )
* ** * * * * * * * *
11 1 1
** * * * * * *
* *
, ; , ; (1 ) (1 ) (1 )
, ,
n n nh k h k h k
h h h h h h s s s s h k k sk h k h k h
h h h h h h h h h h
i iW P U W P U I i D I I D R i C i I ii i
i i iD P U U D P W P W Pi i i
* - - --
= + = + = +
= + = + = = = + = + + +
= + = - = + -
å å å
( ) ( )* * * * ** *h h h h h h h h h hi i iW D P D D P W D D Pi i
* -= + - + - = - -
54
pagato con 1, , ; , invariatih s s sD R s h n C D= +
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PRESTITI DIVISI: GENERALITA’ 240 ‐ 241
• Prestiti di rilevante importo• Pluralità di finanziatori privati• Intermediazione di terzi• Garanzie pubbliche
• Titoli di credito a fronte di prestiti divisi• Buoni a scadenza unica• Obbligazioni
• Con rimborso a scadenza unica
• Con rimborso a scadenza differenziata
• Durata• Entro un anno (sconto razionale)
• Pluriennale
• Valore di emissione p e di rimborso c• Emissione sotto la pari• Emissione alla pari• Emissione sopra la pari
55
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AMMORTAMENTO PER L’EMITTENTE 242 ‐243
• Operazione finanziaria corrispondente• Annua• Semestrale
• Rimborso unico
• Rimborso a scadenza differenziata
: numero obbligazioni: incasso emittente:interesseannuo posticipato; / 2 : interessesemestrale posticipato
: rimborso finale
NNpNcj NcjNc
1
1 1 1 1
:numeroobbligazioni rimborsate in
:numero obbligazioni viventi in h
; / 2, / 2
h
h
h h hk
h h h h h h h h
N h
L L N N
R N c L cj R L cj R N c L cj=
- - - -
= -
= + = = +
å
56
(1, ) (2, ) ( 1, ) ( , (1 ))(1/ 2, / 2) (1, / 2) ( 1/ 2, / 2) ( , (1 / 2))
Ncj Ncj n Ncj n Nc jNcj Ncj n Ncj n Nc j
- - - - - +- - - - - +
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AMMORTAMENTO PER GLI OBBLIGAZIONISTI 243 ‐ 246
• Rimborso unico• Cedole annue• Cedole semestrali
• Rimborso a scadenza differenziata• Evoluzione tassi di mercato: continuo e variabile divario tra tasso di mercato e nominale• Par condicio creditorum ammortamento mediante sorteggio
• Piano rimborsi = piano sorteggi• Scadenza aleatoria
• Probabilità di estrazione, all’emissione , all’anno r di h anni
• Vita media all’emissione
• Vita media residua
01
nh
h
Ne hN=
=å
1
n rr h
rh r
Ne h
L
-+
=
=å
hNN
r h
r
NL
57
(1, ) (2, ) ( 1, ) ( , (1 ))(1/ 2, / 2) (1, / 2) ( 1/ 2, / 2) ( , (1 / 2))
cj cj n cj n c jcj cj n cj n c j
+ + - + + ++ + - + + +
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ALTRI TIPI DI OBBLIGAZIONI 246 ‐ 248• A tasso variabile
• Indicizzate
• Convertibili• Capitale di credito capitale di rischio
• Con prezzo di rimborso superiore al valore nominale
• Secche con premi (no cedola diminuisce il valore di rimborso dell’importo della cedola)
• Con premi
• Con interessi incorporati (valore di rimborso crescente nel tempo)
• Con preammortamento
• Valutazione (solo caso con rimborso finale)
• TIR
• Emissioni sotto la pari• Emissioni alla pari• Emissioni sopra la pari
'( ) (1 ) ; 't nt n t iW i cja c i n n-
-= + + ³
( ) (1 )t nt n t iW i cja c i -
-= + +
x j
x j
58
( )( ) ( ), debitore ,obbligazionista c+
hh h
hh
PP P N cN
+
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SECONDA PARTE3 Crediti
59
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IL MERCATO PERFETTO 259 ‐ 261 • Mercato mobiliare riformulazione dei modelli già presentati• Collegamento di valori finanziari di mercato riferiti ad epoche diverse
• Approccio teorico • Legge finanziaria• Dinamica dei rendimenti• Valore di un’operazione e quindi relativo prezzo
• Approccio empirico• Si parte dal prezzo• Si ottiene una struttura coerente delle dinamiche di rendimento che ad O fa corrispondere per equivalenza il prezzo
• Si fa riferimento ai titoli obbligazionari ed al loro mercato• Mercato perfetto
• Non frizionalità• Assenza di costi di transazione e di gravami fiscali• Vendite allo scoperto (short sales)• Assenza di rischio di insolvenza• Omogeneità delle informazioni
• Continuità• Infinita divisibilità• Nessuna limitazione sulle quantità contrattate
• Competitività• Massimizzazione del profitto• Soggetto passivo sui prezzi (price taker)
• Coerenza (nessuna possibilità di arbitraggi• Acquisto di importi non negativi con almeno uno positivo ad un prezzo non positivo• Acquisto di importi non negativi ad un prezzo negativo
60
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TITOLI OBBLIGAZIONARI 261 ‐ 263
• Titoli a scadenza certa• Titoli a Cedola Nulla (TCN) (Zero Coupon Bond)
• Emittente
• Finanziatore
• Durata breve
• Titoli a Cedola Fissa (Coupon Bond)• Reddito staccato (interessi dati dalla cedola)• Reddito incorporato positivo negativo (capital gain, capital loss)• Operazione finanziaria• Durata investimento n‐t• P prezzo d’emissione, valore nominale C• n scadenza del finanziamento• Corso tel quel – corso secco + rateo dell’interesse maturato ma non ancora liquidato • Corso ex‐cedola – corso secco – rateo della cedola che maturerà al successivo pagamento della cedola• Cedole a tasso variabile• Cedole a tasso indicizzato
(0, ) ( , )NP t NC(0, ) ( , )P t C
; , 1;1
tt
iC P Ci j t PP t jt-
= = £ =+
( , ) ( 1, ) ( 2, ) ( 1, ) ( , )t P t I t I n I n I C
61
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CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD I 263 ‐ 265• TCNU (titolo a cedola nulla unitario)
• Prezzo a pronti (prezzo spot ,p.s.)
• Orizzonte di scambio
• Principio del rendimento del denaro
• Coerenza del mercato
• Decrescenza del prezzo rispetto alla scadenza
• 1 acquisto titolo ; 2 short sale 3 ho 1 in z’ ed acquisto 4
• Tasso a pronti (spot rate)
• Intensità di rendimento a scadenza (r.s.)
• media delle intensità istantanee
( , ) ( , ); ( , ( , )) ( , 1),v y z a z y y v y z z y z» - £( , )v y z
[ ],y z
( , ) 1v y z <
( , ) 0v y z >
( , ') ( , "), ( ' ")v y z v y z y z z> " £ <
( ) ( ) ( )1
( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) z yz yi y z v y z v y z i y z- - --= - = +
( , ) log ( , )( , ) ( , ) , ( , ) ( ) ( , ), ( , )
z
y
y d z
y
v y za z y y z e y d z y y z y zz y
d h h
n d h h f f-ò -
= = = - =-ò
( , )( )( , ) , ( , )y z z yv y z e y zf f- -= [ ]( , ), ,y u u y zd Î( , )( , ) log(1 ( , )), ( , ) 1y zy z i y z i y z eff = + = -
62
( , ')v y z ( , ")v y z ( ', ")v z z 1in "z
log ( , ) ( , )z
y
v y z y u dud=-ò
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CONTRATTI, PREZZI, TASSI SPOT e YIELD II 266 ‐ 270• TCN non unitario • acquisto in y di short sale di • Titoli complessi si può supporre che si abbia un
portafoglio S di TCNU con n scadenze• Valore TCNU k • Proprietà di linearità del prezzo• Valore portafoglio
• Titoli a cedola fissa (coupon bond), a cedola variabile
• Tasso di rendimento (yield rate) tasso che rende il valore attuale di un titolo complesso uguale al prezzo di acquisizione (prezzo tel quel).
• P: prezzo di acquisizione• n: durata residua• Y: yeld• Sk: incasso netto al tempo zk
• Yield è il TIR ed è il tasso spot se abbiamo un TCN di durata n• Yeld curve titolo sottostimato ‐ sovrastimato
( , ; ) ( , )V y z S Sv y z=
{ }1 1 2 2( , ), ( , ), , ( , )n nz S z S z S
( , )kv y z
1 1
( , ) ( , ; ) ( , )n n
k k k kk k
V y V y z S S v y z= =
= =å åS
{ }1 1 2 2( , ), ( , ), , ( , )n n nz I z I z I C+1
( , ) ( , ) ( , )n
k k nk
V y I v y z Cv y z=
= +åS
1 (1 ) k
nk
zk
SPY=
=+å
(0, )i n
63
( , ; ) ( , )V y z S Sv y z< ( , ; )V y z S ( , )Sv y z
1 1(1 (0, )) (1 )k k
n nk k
z zk kk
S Si z Y= =
=+ +å å
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CONTRATTI PREZZI E TASSI A TERMINE 270 ‐ 272• Contratti a termine o forward – compravendite differite
• x epoca di contrattazione• Tasso a termine
• Intensità di rendimento a scadenza
• L’intensità di rendimento a scadenza è la media delle intensità istantanee di interesse δ(x,u) fissate in x e variabili nell’intervallo (y,z)
64
( ; , ),s x y z x y z£ £
( ) ( )1 ( )( ; , ) ( ; , ) 1 1 ( ; , ) ( ; , )z yz yi x y z s x y z i x y z s x y z- - --= - + =
( ; , )( )log ( ; , )( ; , ) ; ( ; , ) x y z z ys x y zx y z s x y z ez y
ff - --= =
-
( ) ( )( , ) ( , )
( ) ( )1 ( ; , ) 1 ( ; , ) ( ; , )( ) ( , )
z z
y y
x u du x u du zz y z y
y
i x y z e i x y z e x y z z y x u dud d
f d-
- - -ò ò
+ = + = - = ò
( ) ( ; , )( ; , ) log 1 ( ; , ) ( ; , ) 1x y zx y z i x y z i x y z eff = + = -
( , )( , )
( ; , ) log ( ; , ) ( , ) ( ; , )( )
z
y
z
x u du zy
y
x u du
s x y z e s x y z x u du x y zz y
dd
d f-ò
= =- =-
òò
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STRUTTURE IMPLICITE PREZZI 273 ‐ 274 • Struttura implicita di collegamento dei prezzi spot con quelli forward
• Teorema dei prezzi impliciti implica che, nell’ipotesi di coerenza, i tassi a termine applicati siano quelli impliciti nella struttura a pronti.
• Proprietà dei tassi forward:
• Indipendenza dall’epoca di contratto (scindibilità)
• Aleatorietà del prezzo futuro
• A posteriori i prezzi forward possono non essere collegati ai prezzi spot
• Possibilità di arbitraggi
( , ) ( , ) ( , )v x z v x y v y z=
65
( ; , ) ( , ) / ( , ) ( , ) ( ; , ) ( , )s x y z v x z v x y v x z s x y z v x y= =
( ; , ) 0( ; , ) 1( ; , ) 1
' " ( ; ', ) ( ; ", )' " ( ; , ') ( ; ", )
x y z s x y zs x y z se y zs x y z se y zx y y z s x y z s x y zx y z z s x y z s x y z
£ £ >ì < <ïïíï = =ïî£ < £ <£ £ < >
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STRUTTURE IMPLICITE TASSI ED INTENSITA’ 275 ‐ 277
• Tassi impliciti a termine (forward rates)
• Intensità implicite a termine (forward intensities)
(1 ( , ))(1 ( ; , )) ( ) log(1 ( ; , )) ( ) log(1 ( , )) ( ) log(1 ( , ))(1 ( , ))
z xz y
y x
i x zi x y z z y i x y z z y i x z y x i x yi x y
--
-
++ = - + = - + - - +
+
( , ) ( , ) ( ; , )y x z yx z x y x y zz x z x
f f f- -
= +- -
66
( ; , )( ) ( , )( ) ( , )( )x y z z y x z z x x y y xf f f- = - - -
( ; , ) ln(1 ( ; , )); ( , ) ln(1 ( , )); ( , ) ln(1 ( , ))x y z i x y z x z i x z x y i x yf f f= + = + = +
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STRUTTURE CON PAGAMENTI NEL DISCRETO 277 ‐ 280
• Simbologia:
• Mercato completo e coerente (indipendenza dall’importo)
• Scadenzari discreti, prezzi a pronti
,
,
,
( , ) ; ( ; , ) ;( , ) ; ( ; , ) ;( , ) ; ( ; , ) ;
k h k
k h k
k h k
v t t k v s t t h t k si t t k i i t t h t k it t k t t h t kf f f f
+ = + + =
+ = + + =
+ = + + =
{ }1 21
1
(0, ; ) / ; , , , ; (0, )
ln1; (1 ) ; ln(1 )
1 (1 )
k
k k k
n
k k k n k kk
kk kkk k k k k k k
k kkk k k
v V k S S S S S V S S v
vi v v i e v ik
i e i e e v
f
f f f
f
=
- --
- --
= = =
-= - = + = = = +
+ = + = =
åS
67
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STRUTTURE FORWARD UNIPERIODALI 281
• Struttura implicita dei prezzi
• iterativamente si ottiene
( ) ( ) ( )1
1, 1, 1,1 11
/ ; 1 1 ; 1k k k
kk r r k r r k r r
r rr
k i i v if f-
- - -= ==
= + = + = +å
68
( )( )
( )
1 11, 1, 1,
1
1, 1, 1, 1,11
1, 1
; 1 1
11 ; log 1 log
1
( 1) ; (1 )
k kk k k k k k
k kk
kk k k k k k k kk
k
kk k k k k
v vs i s
v v
ii i s
i
k k v i
f
f f f
- -- - -
-
- - - ---
-- -
= = - = -
++ = = + =-
+
= - - = +
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TASSI IMPLICITI DI SCONTO UNIPERIODALI 282 ‐ 283
• Tassi impliciti di sconto o di interesse anticipato
1, 1,1
1, 11
1,1
1 1
(1 )1(1 )
(1 ) (1 )
kk k k k
k
kk
k k kk
kk
k r rr
sd ss
ddd
d d
- --
- --
-=
= - = -
-- =
-
- = -
69
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STRUTTURE FORWARD MULTIPERIODALI 285 ‐ 286• Prezzo a termine multi‐periodale
• Tasso di interesse sull’orizzonte di scambio
• Tasso di sconto o di interesse anticipato
( ) ( )1
11, 1,
11 2
1 1 ;kk h hh k k
h k r rr hk k k h
vv v vi iv v v v
-- +-
-= +- -
æ ö÷ç ÷+ = = = +ç ÷ç ÷çè ø
70
( )1
11, 1, 1,
1 11 2
1k k
hk k kh k r r r r
r h r hk k h h
vv v vs s i
v v v v
-+-
- -= + = +- -
= = = = +
1,
, ,,
11
h kk hh k h k
h k
id s
i-= - =
+
1
, , 1k hh k h ki s
--= -
![Page 71: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/71.jpg)
MATRICE DELLE STRUTTURE SPOT e FORWARD MULTIPERIODALI 284
71
0,0 0,1 0,2 0, 2 0, 1 0,
1,1 1,2 1, 2 1, 1 1,
2,2 2, 2 2, 1 2,
2, 2 2, 1 2,
1, 1 1,
,
n n n
n n n
n n n
n n n n n n
n n n n
n n
s s s s s s
s s s s s
s s s s
s s s
s s
s
- -
- -
- -
- - - - -
- - -
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
![Page 72: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/72.jpg)
MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD MULTI PERIODALI‐‐
72
0,0 0,1 0,2 0, 1 0,
0,1,1 0,1,2 0,1, 1 0,1,
0,2,2 0,2, 1 0,2,
0, 1, 1 0, 1,
0, ,
n n
n n
n n
n n n n
n n
i i i i ii i i i
i i i
i ii
-
-
-
- - -
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
![Page 73: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/73.jpg)
MATRICE DELLE STRUTTURE TASSI SPOT & FORWARD UNIPERIODALI‐‐
73
0,0 0,1 1,2 2, 1 1,
0,1,1 0,1,2 0, 2, 1 0, 1,
1,2,2 1, 2, 1 1, 1,
2, 1, 1 2, 1,
1, ,
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n
i i i i ii i i i
i i i
i ii
- - -
- - -
- - -
- - - - -
-
é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û
![Page 74: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/74.jpg)
STRUTTURA PER SCADENZA SPOT PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS) 287• Prezzo del titolo al tempo h
• quote interessi già pagate sul titolo
• valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h‐1
•
( )hV
1 (1 )
hk
h kk k
IH
i=
=+å
( ) 1 (1 )h h
h h hh
I CV H
i-
+- =
+
( ) ( )
( )
11
2 2 (2) 1 ( ) 11 1 (1)1 1 2 2(1) 1 (2) 1 22 1
1 (1) 2 (2) 1( ) 1
1; 1; ; 1(1 ) (1 )
nnn n n n
nn
n n
I C V H I C V HI C VI C I CV i V H i i
i V i V H V H
-
-
+ - - + - -+ -+ += = - - = = - = -
+ + - -
74
1, ,h n=
1, ,h n=
![Page 75: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/75.jpg)
STRUTTURA PER SCADENZA FORWARD PER LE OBBLIGAZIONI (BONDS)‐‐
• Prezzo del titolo di un bond contrattato al tempo 0, acquistato al tempo r con scadenza al tempo h
• quote interessi già pagate sul titolo
• valore del bond meno le quote interesse pagate fino ad h‐1
•
( , )r hV
,,
1 ,(1 )
hr k
r h k rk r r k
IH
i -= +
=+å
, ,( , ) , 1
,(1 )r h r h
r h r h h rr h
I CV H
i- -
+- =
+
( )
, 1 , 1 ( , 1), 1 , 1 , 2 , 2( , 1) , 1 ( , 2) , 1 2
, 1 ( , 1) , 2
1
, 2 , 2 ( , 2) , 1 , , ( , ) ,, 2 ,
( , 2) , 1
1;(1 ) (1 )
1; ;
r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r r
r r r r r r
h rr r r r r r r r r h r h r h r h
r r r hr r r r
I C VI C I CV i V H
i V i
I C V H I C V Hi i
V H
+ + ++ + + ++ + + +
+ + +
-+ + + +
+
+ +
+ -+ += = - - =
+ +
+ - - + - - = - =
-
( )
( )
1
11
( , ) , 1
1h r
h rr h r hV H
--
--
--
75
1, ,h r n= +
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STRUTTURE CON FLUSSI NEL CONTINUO 292
76
0
0
(0, ) (0, )
,
(0, ) (0, )
,
0,
;
1; 1
(0, ) (0, )
;
k k
h
k k
h
u du u du
k s k
u du u du
k k hk h k
k k
hk h k
v e s e
i e i e
u du u du
k k h
d d
d d
d d
f f
- -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç çè ø è ø-
ò ò= =
ò ò
= - = -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø= =
-
ò ò
![Page 77: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/77.jpg)
STRUTTURE PER SCADENZA SPOT (caso continuo)‐‐
• Prezzo spot Prezzo forward
• Strutture spot, ( , )y z zP v y z S ; , ( ; , )x y z zP v x y z S=
( , )
1
( , )1 1
( , )1
( , ) ( , ) 1/ ( , )
( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 1
( , )( , )
( , ) 1 ( , ) 1
T k
T
T k
T
T k
T
T d
kT d
k k
T k
T
T dk
v T T k a T k T m T T k e
i T T k m T T k v T T k e
T dT T k
k
d T T k v T T k e
d t t
d t t
d t t
d t t
f
+
+
+
-
-
+
ò+ = + = + =
æ ö÷ç ò ÷ç ÷ç ÷+ = + - = + - = -ç ÷ç ÷ç ÷÷çè øæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
+ =
æç òçç+ = - + = -ççççè
ò
1k
-ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø
77
![Page 78: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/78.jpg)
STRUTTURE PER SCADENZA FORWARD (caso continuo)‐‐
• Strutture forward
( , )
1
( , )1
1
( , )( ; , )( , )
( ; , ) ( ; , ) 1 1
( , )
( ; , )
( ; , ) 1 ( ; , ) 1
T k
T h
T k
T h
T d
k hT d
k h
T k
T h
k h
v T T ks T T h T k ev T T h
i T T h T k s T T h T k e
T d
T T h T kk h
d T T h T k s T T h T k e
d t t
d t t
d t t
f
+
+
+
+
-
-
--
+
+
-
ò++ + = =
+
æ ö÷ç ò ÷ç ÷ç ÷+ + = + + - = -ç ÷ç ÷ç ÷÷çè øæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
+ + =-
+ + = - + + = -
ò
1
( , )T k
T h
k hT dd t t
+
+
--æ ö÷ç ò ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
78
![Page 79: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/79.jpg)
ELEMENTI SPOT E FORWARD DELLA STRUTTURA DEL DISCRETO 295 ‐ 297( , )
( , ) ( , ) 1/ ( , )T k
TT d
v T T k a T k T m T T k ed t t
+-ò+ = + = + = Valore attuale spot
1/( , )1/ 1/( , ) ( , ) 1 ( , ) 1 1
T k
T
kT dk ki T T k m T T k v T T k e
d t t+
-æ öò ÷ç ÷ç+ = + - = + - = -÷ç ÷÷çè ø
Tasso spot di interesse posticipato
( , )( , )
T k
T
T dT T k
k
d t t
f
+
+ =ò intensità
1/( , )1/( , ) 1 ( , ) 1
T k
T
kT dkd T T k v T T k e
d t t+
-æ öò ÷ç ÷ç+ = - + = - ÷ç ÷÷çè øTasso spot di interesse anticipato
( , )( ; , ) ( , ) / ( , )
T h
T kT d
s T T k T h v T T k v T T h ed t t
+
+-ò+ + = + + =
1/( )( , )1/ ( )( ; , ) ( ; , ) 1 1
T h
T k
k hT dk hi T T k T h s T T k T h e
d t t+
+
-
- -æ öò ÷ç ÷ç+ + = + + - = -÷ç ÷÷çè ø
Valore attuale forward
Tasso forward di interesse posticipato
( , )( ; , )
d t tf
+
++ + =-
òT h
T kT d
T T k T hh k
intensità1/( )
( , )1/ ( )( ; , ) 1 ( ; , ) 1T h
T k
k hT dk hd T T k T h s T T k T h e
d t t+
+
--- -
æ öò ÷ç ÷ç+ + = - + + = - ÷ç ÷÷çè ø79
Tasso forward di interesse anticipato
![Page 80: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/80.jpg)
RENDITE CON STRUTTURE PER SCADENZA 297 ‐ 300• Valore iniziale di una rendita immediata
• Valore finale di una rendita immediata
• Valore iniziale di una rendita immediata a scadenze intere
• Valore iniziale di una rendita immediata differita a scadenze intere
• Valore finale di una rendita immediata posticipata a scadenze intere
• Valore finale di una rendita immediata anticipata a scadenze intere
( )*
1 1
( ) ( , ) 1 ( , ) ;n n
n hh h
h h
Vf T R m T h T R i T h T n T T T n-* *
= =
= + = + + + £ = +å å
80
( )*
* *
1 1
( ) ( , ) 1 ( , ) ; 1+ -* *
= =
= + = - + £ +å ån n T h T
h hh h
Va T R v T T h R d T T h T T
11,
11 1 1
(0) (1 ) (1 )n n n h
hh h h h h r r
rh h h
Va R v R i R i- --
== = =
= = + = +å å å
1 1/ 1, 1,
1 11
(0) (1 ) (1 )m nm h
m r r h r rr r mh m
Va i R i+
- -- -
= = += +
= + +å
, , 1,11 1 1
( ) (1 ) (1 )n n n n
n kf k k n k k n k r r
r kk k k
V n R r R i R i--
= += = =
= = + = +å å å
1 1 1
, , 1,10 0 0
( ) (1 ) (1 )n n n n
n kf k k n k k n k r r
r kk k k
V n R r R i R i- - -
--
= += = =
= = + = +å å å
![Page 81: CORSO di MATEMATICA FINANZIARIA...LEGGI A DUE VARIABILI 15‐16 •Trasformazione di una legge di scambio da tre a due variabili •Fattore di montante •Fattore di sconto • Riflessività](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062415/5fd8f47a30ab410c3c31d0f4/html5/thumbnails/81.jpg)
AMMORTAMENTI con STRUTTURE PER SCADENZA 301 ‐ 306 • Vincolo di chiusura finanziaria
• Ammortamento posticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato
• Ammortamento anticipato, vincolo di chiusura finanziaria generalizzato
( ) 1
, 1,11 1
1n n k
h k h k k r rr hk h k h
D R s R i-
-= += + = +
= = +å å
( )1 1 1
, 1,1
1n n k
h k h k k r rr hk h k h
D R s R i- - -
-= += =
= = +å å
1 1, 1 1 1,(1 )k k k k k k k k k k kR D i D D D D i R- - - - -= + - = + -
81
11,
10 0 0
(1 ) (1 )n n n h
hh h h h h r r
rh h h
S R v R i R i- --
== = =
= = + = +å å å
1 , 1 1 1 , 1(1 )+ + + + += + - = - +k k k k k k k k k k kR D d D D D D d R
1
1, 1
-
- -
ì = -ïïïï =íïï = +ïïî
k k k
k k k k
k k k
D D CI i DR C I
( )1
10; , 1+
+
ìï = -ïïï = +íïï = +ïïî
h k k
k k
k k k
D D CI d k k D
R C I
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CASI PARTICOLARI DI AMMORTAMENTO 306 ‐ 311
• Ammortamento posticipato a rate costanti
• Ammortamento anticipato a rate costanti
• Ammortamento a quote capitali costanti posticipato
• Ammortamento a quote capitali costanti anticipato
( ) ( )1 1
1, 1,1 11 1
/ 1 1 ; 1 1n nh k
r r h r rr r hh k h
R S d D R d- -
- -= = += = +
æ öæ ö ÷÷ çç ÷= + - = + -÷ çç ÷÷ çç ÷ ÷çè ø è øå å
( )0 1,0; 1 ( 1) , 1, ,k k kSR R n k i k nn -= = + - + =
( )1,1 ( 1) , 0, , 1; 0k k k nSR n k d k n Rn -= + - - = - =
82
( ) ( )1 11, 1,
1 11 1
/ 1 ; 1n nh h
r r h r rr r hh h h
R S i D R i- -
- -= = += = +
= + = +å å
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COSTITUZIONE DI CAPITALE ‐ STRUTTURA per SCAD. 316 ‐ 318
• Vincolo di equivalenza finanziaria
• Versamenti costanti
11,1
1
(1 )nn
n h k k nhk h
G R i R-
-== +
= + +å
11 11, , 11 0
1
1 1, 1 , 1
(1 ) (1 )
(1 ) ( )(1 )
n hn nh h s k k h h h s k ks s
k s k s
h h h h h h h h h h
M G R i R M G R i
G G i R G G R i
-- -
- += == + =
- - + +
= = + + = = +
= + + = + +
å å
83
11, 10
(1 )nn
n h k khk h
G R i-
-
+==
= +å
11 11, , 11 0
1
(1 ) 1 (1 )
n nn nn n
k k k kh hk h k h
G GR Ri i
-- -
- += == + =
= =+ + +å å
1 1
1 1, 1 , 1( 1, , ) , ( 1, , )h h h h h h
h h h h h h h h
h h h h h h
C G G C G Gh n I G i h n I G d
C R I C R I
- +
- - + +
ìì ï= - = -ï ïï ïïï ï= = = =í íï ïï ïï ï= + = +ïî ïî
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VITA A SCADENZA E SCADENZA MEDIA 324 ‐ 326• Scadenza
• Vita a scadenza (time to maturity) informazione precisa solo su ZCB si lavora su
• Scadenza media aritmetica
• Scadenza media epoca in cui se vengono concentrati tutti i pagamenti si ottiene lo stesso valore attuale che si avrebbe seguendo lo scadenzario
ht t-
1
1
n
h hhn
hh
t St
S
=
=
=å
å
1 1
1 1
ln (1 ) ln(1 ) (1 )
ln(1 )
h
h
n nt
h hn nh htz
h hh h
S i Si S S i z
i
-
= =--
= =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø+ = + =-
+
å åå å
84
1 1
(0, ) (0, )n n
h h hh h
v z S S v t= =
=å å
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OPERAZIONE FINANZIARIA‐SCADENZA MEDIA 325 ‐ 326• Operazione finanziaria e sub‐operazioni
• è equivalente al progetto P.I.P.O.
• Progetto di investimento
• Progetto di finanziamento
O ' "(costi), (ricavi)O O
' ' ' ' ' ' ' " " " " " " "1 1 2 2 ' ' 1 1 2 2 " "( , ), ( , ), , ( , ) ; ( , ),( , ), ,( , )n n n nO t S t S t S O t S t S t S
' "' "
1 1
, ; , scadenzemediedi ,n n
r s C Rr s
C C R R z z O O* *
= =
= =å å' "
' "0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )n n
r r s s C Rr s
V C v t R v t Cv z Rv z= =
=- + =- +å å
O
R Cz z
R Cz z
85
( ) ( ){ }, , ,C Rz C z R- -
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DURATION (DURATA MEDIA FINANZIARIA) 326 ‐ 334• Duration – media aritmetica delle epoche (durate da 0) ponderata con i valori
attuali degli importi.
• A mezzo delle proprietà delle medie si dimostra che
• La duration è invariante rispetto ad aumenti proporzionali degli importi
• Dati 2 investimenti con duration , posti i valori di
la duration di è:
E’ sempre possibile ottenere una duration compresa tra le due durations date
La proprietà si può generalizzare ad n durations
1 2,O O ,a bD D , ; ,a bA D B D
1 2,O O 1 2O O
86
' ''' ' '' ''
' ''' ' '' '' 1 1
1 1
(0, ) (0, )(0, ) (0, ) = =
= =+
+ + += = =
+ + +
å åå å
n n
n n h h h k k kh k
h h h k k kh k a b
a b
t a v t t b v tt a v t t b v t A B D A D BA BD
A B A B A B
1 1 1
1 1 1
(0, ) (1 )
(0, ) (1 )
h h
h h
n n nt t
h h h h h h hh h hn n n
t th h h h
h h h
t S v t t S i t S eD
S v t S i S e
d
d
- -
= = =
- -
= = =
+= = =
+
å å å
å å å
, 0D z t i£ £ " >
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INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE I 334 ‐ 337
• Duration di 2° ordine in 0
• Struttura piatta
• funzione convessa
• Variazione relativa rapidità della variazione relativa di V rispetto a δ
• variazione di D rispetto a δ indice di volatilità (indice di dispersione)• rapidità di variazione di D rispetto ad i
• Intensità derivata del logaritmo del valore rispetto al tempo, D derivata del logaritmo del valore rispetto all’intensità
2
(2) (2) 21
1
(0, );
(0, )
n
h h hh
nn
h hh
t S v tD D t
S v t
=
=
= £å
å
1( ) dd -
==å n h
hhV S e
87
2 2
(2) 1 1
1 1
(1 )
(1 )
h h
h h
n nt t
h h h hh hn n
t th h
h h
t S e t S iD
S e S i
d
d
- -
= =
- -
= =
+= =
+
å å
å å
'( ) ln ( )( )
V d V DV d
dd
d d= =-
( )2
(2) 2 21 12
2
( ) ( )
( )
h h
n nt t
h h h hh h
t S e V t S e VD D D
VD D vi i
d dd ds
d dd
sd
- -
= =
- +¶
= = - =-¶¶ ¶ ¶
= =-¶ ¶ ¶
å å
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INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE II 337
• Elasticità
• flat yield duration del secondo ordine (convexity) convessità per unità di valore
0
0
/ '( )lim/ ( )/ '( )lim/ ( ) 1i i
V V V DV
V V V i ii Di i V i i
d d
dh d d
d d d
h
D
D
D= = =-
DD
= = =-D +
88
i Ddg g= +
2
(2)1
1
(2) 21
1
"( ) , convexity( )
( 1) (1 )"( ) (1 ) , convexity( )(1 )
d
dd
dg d
d
g
-
=
-
=
-
-=
-
=
= = =
+ += = = +
+
å
å
å
å
h
h
h
h
nt
h hhn
th
h
nt
h h hh
i nt
hh
t S eVDVS e
t t S iV iD i iV iS i
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INDICI DI VARIABILITA’ E DISPERSIONE III 338
• Volatility convexity: convessità per variazione di unità di valore
89
2(2)
1
1
1
1
"( ) , volatilityconvexity'( )
( 1) (1 )"( )1 (1 ), volatilityconvexity( )(1 )
h
h
h
h
nt
h hhn
th h
hn
th h h
hi n
th h
h
t S eD VD Vt S e
t t S iV i i iV it S i
d
dd
d
dg d
d
g g
-
* =
-
=
-
* *=
-
=
= = =
+ += = - = + -
+
å
å
å
å* * 1dg g= -i
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STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO I• Indicatore di sensibilità del I ordine:
• Valutazione approssimata del nuovo prezzo a seguito della variazione del tasso di mercato
• Indicatore di sensibilità del II ordine:
90
0 0( ) '( ) ; ( ) ( )(1 )
( ) ( )V V d Dd V d V DdV V
d dd d d d d d
d dD
@ =- + @ -
20 0 0 0
20 0
2
( ) ( ) '( ) "( )( ) / 2
( ) ( )(1 ( ) / 2)( ) ( ) / 2
( )
V d V V d V d
V d V Dd dV Dd dV
d
d
d d d d d d d
d d d d g dd
d g dd
+ @ + +
+ @ - +
D@ +
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STIME DELLE VARIAZIONI DI PREZZO II
• Indicatore di sensibilità del I ordine:
• Indicatore di sensibilità del II ordine:2
0 0 0 0
20 0 2
0 0
22
0 0
( )( ) ( ) '( ) "( ) ;2
( ) ( ) 1 ( ) ;1 2(1 )
( )( ) 1 2(1 )
i
i
diV i di V i V i di V i
DV i di V i di dii i
Vi D di diV i i i
g
g
+ @ + +
æ ö÷ç ÷+ @ - +ç ÷ç ÷ç + +è ø
D@- +
+ +
'( ) ;( ) 1
V i D Dv DvV i i
-= =-
+volatility (duration modificata)
91
( ) '( ) ln ( ) ;( ) ( ) 1
D -@ = =
+V i V i Ddi d V i diV i V i i
0 00 0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
( ) 1 1 1
æ ö æ ö+ - ÷ ÷ç ç÷ ÷@- + - @ - + @ -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ + +è ø è ø
V i di V i Ddi D DV i di V i V i di V i di V i diV i i i i