Corso di Fisica per Medicina - Lezione 23 - Onde (cod. 6rr10e) · I onde elettromagnetiche nel...
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Corso di Fisica per MedicinaLezione 23 - Onde (cod. 6rr10e)
Dr. Cristiano Fontana
Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova
3 dicembre 2018
Indice
Onde 3Moto delle onde 3Onde sinusoidali 11Energia di un’onda 27Suoni e percezione 36Interferenza e diffrazione 40
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Onde
Figura: La grande onda diKanagawa [wiki]
Le onde sono delle perturbazioni che si propagano neltempo e nello spazio, trasportando energia e quantità dimoto.Esistono diversi tipi di onde, e.g.
I onde meccaniche in un mezzo elastico: perturbazionidegli elementi del mezzo attorno all’equilibrio;
I onde elettromagnetiche nel vuoto: campoelettromagnetico variabile.
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Tipi di onde
v ⃗
Onde trasversali(e.g. oscillazione diuna corda)
xy
Perturbazionex
y
Onde longitudinali(e.g. suono nell'aria)v ⃗
Due tipi di onde sono le onde trasversali e le onde longitudinali, che si differenziano perla diversa direzione della perturbazione rispetto alla direzione di propagazione.
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Propagazione dell’onda I
L’affermazione che un’onda si propaghi sia nel tempo che nello spazio implica che siafunzione di entrambe le variabili: (
t ,~r)7→ u
(t ,~r)
(1)
ove u(·) è una funzione che descrive la forma e l’evoluzione dell’onda nel tempo e nellospazio.
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Propagazione dell’onda II
5 0 5 10 15 20 25 30 350.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
v
xu(t,0) = f(t) u(t+ t, x) Data un’onda che si propaga con
velocità ~v lungo x , diciamo che nelpunto x = 0 abbia una certa formadescritta da f (·):
u(t ,0) = f (t). (2)
Assumendo che la forma dell’onda non varia abbiamo che, dopo un certo tempo ∆t = ∆xv ,
nel punto x = ∆x avrà la stessa forma che aveva precedentemente nel punto x = 0.Ovvero la forma in (t ′ = t + ∆t , x ′ = ∆x) dovrà essere uguale a quella in (t ,0):
u(t ′, x ′) = u(t + ∆t ,∆x) (3)= u(t ,0) = f (t) (4)
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Propagazione dell’onda III
Risolvendo t rispetto a t ′ otteniamo
t = t ′ −∆t (5)
ottenendo che
u(t ′, x ′) = u(t ,0) (6)= u(t ′ −∆t ,0) (7)= f (t ′ −∆t) (8)
= f(
t ′ − ∆xv
)(9)
Di conseguenza in generale la formula che descrive un’onda che si propaga è
u(t , x) = f(
t − xv
)(10)
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Equazione delle onde
In generale l’equazione di un’onda unidimensionale soddisfa l’equazione differenziale
∂2u∂t2 − v2 ∂
2u∂x2 = 0 (11)
che ammette soluzioni del tipo
u(t , x) = f(
t − xv
)+ g
(t +
xv
)(12)
che rappresentano due onde che si propagano con versi opposti.
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Onda piana in tre dimensioni
In generale per un’onda piana che si propaga in una direzione arbitraria vale
u(t ,~r) = f(
t − ~k ·~r)
(13)
ove ~k è detto vettore d’onda ed è diretto lungo la direzione di propagazione dell’onda,ovvero:
~k ‖ ~v (14)
ed il modulo del vettore d’onra è l’inverso della velocità di propagazione.
∣∣∣~k∣∣∣ =
1v
(15)
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Forme d’onda
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01
0
1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01
0
1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01
0
1
Le onde periodiche possono avere forme molto diverse tra loro, ma gli si può sempreassociare una frequenza ν: rappresenta il numero di volte che l’onda si ripete nell’unità ditempo.Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/suoni.html
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Onde sinusoidali I
Un’onda sinusoidale, nel punto x = 0, ha forma
u(t ,0) = A sin (ωt) (16)
usando l’equazione (12) si ottiene
u(t , x) = u(t −∆t ,0) = A sin(ωt − ω
vx)
(17)
definendo il numero d’onda comek =
ω
v(18)
otteniamou(t , x) = A sin (ωt − kx) (19)
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Onde sinusoidali II
Avremmo anche potuto usare il coseno e definite un’onda in questo modo:
u(t ,0) = A cos (ωt − kx) (20)
I risultati sono gli stessi, perché tra seno e coseno c’è solo uno sfasamento di π2 .
u(t ,0) = A sin (ωt − kx) = A cos(ωt − kx − π
2
)(21)
in generale quindi è sempre possibile introdurre una fase nella definizione dell’onda:
u(t ,0) = A sin (ωt − kx + ϕ) (22)
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Propagazione di un’onda sinusoidale IVediamo come si muovono le creste dell’onda. Osserviamo due punti dell’onda che hannola stessa perturbazione
u(t , x) = u(t ′, x ′) (23)A sin (ωt − kx) = A sin (ωt ′ − kx ′) (24)
ωt − kx = ωt ′ − kx ′, (25)
quindi per ωt − kx = cost. possiamo osservare l’evoluzione dei punti dell’onda ad un certovalore di perturbazione.Se per un certo valore (t0, x0), si ha che u(t0, x0) è massima, possiamo andare a seguirel’evoluzione del massimo calcolando la derivata di quell’espressione
ddt
(ωt0 − kx0) =ddt
(cost.) (26)
ωdt0dt− k
dx0
dt= 0 (27)
vcreste = c =dx0
dt=ω
k(28)
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Propagazione di un’onda sinusoidale II
In generale la velocità di propagazione di un’onda dipende solamente dal mezzo in cui sipropaga. La dipendenza dalla frequenza dell’onda è generalmente piccola.Vediamo alcuni esempi:
c ≈ 3 · 108 m/s Velocità della luce nel vuoto (29)a ≈ 340 m/s Velocità del suono in aria (30)al ≈ 1480 m/s Velocità del suono in acqua (31)v ≈ 800 km/h = 222 m/s Velocità di Tsunami nell’oceano (32)
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Rappresentazione grafica di onde sinusoidali
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(0,x) = A sin(-kx)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 u(t,0) = A sin( t)
I due grafici, all’apparenza molto simili, hanno significati moltodiversi. Data un’onda del tipo
u(t , x) = A sin (ωt − kx) (33)
1. Il primo grafico rappresenta la posizione di tutti i punti dell’ondacongelati ad un istante t = 0 (e.g. una fotografia di una cordache oscilla).
u(t , x) = A sin (−kx) (34)
2. Il secondo grafico rappresenta l’evoluzione temporale dellaposizione del punto a x = 0.
u(t , x) = A sin (ωt) (35)
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Lunghezza d’onda
La lunghezza d’onda si calcola cercando le posizioni dei massimi delle onde, per il seno ilprimo massimo è a
kx0 =π
2(36)
la posizione del massimo successivo è
kx1 = 2π +π
2(37)
La distanza tra i due èλ = x1 − x0 =
2πk
+π
2k− π
2k=
2πk
(38)
ove abbiamo definito λ = 2πk come la lunghezza d’onda dell’onda.
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Periodo
Un discorso analogo può essere applicato cercando gli istanti dei massimi delle onde:
ωt0 =π
2, ωt1 = 2π +
π
2(39)
La differenza tra i due èT = t1 − t0 =
2πω
(40)
ove T è il periodo dell’onda. La frequenza ν è legata al periodo dalla relazione
T =1ν
(41)
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Frequenza e lunghezza d’onda
Ricordiamo l’espressione della velocità di propagazione dell’onda:
c =ω
k(42)
Sostituendo le relazioni appena trovate:
λ =2πk, T =
2πω
(43)
si ottienec =
λ
T= λν (44)
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Onda stazionaria I
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0Immaginiamo di avere due onde identiche che si propagano indirezioni opposte in uno spazio chiuso:
u(t , x) = A sin(ωt − kx) + A sin(ωt + kx) (45)
Usando le formule di prostaferesi
sin(a) + sin(b) = 2 cos(
a− b2
)· sin
(a + b
2
)(46)
si ottiene
u(t , x) = 2 cos(ωt − kx − ωt − kx
2
)· sin
(ωt − kx + ωt + kx
2
)(47)
= 2 cos (−kx) · sin (ωt) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (48)
ove abbiamo sfruttato la parità del coseno.
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Onda stazionaria II
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
u(t , x) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (49)
La funzione è composta da un termine che dipende solamente dallospazio, che descrive la forma spaziale, e da un termine che dipendesolo dal tempo che descrive come questa forma oscilli nel tempo.I nodi (punti fissi) si trovano nei punti in cui la componente spazialesi annulla. Se vogliamo che si trovino agli estremi vogliamo che inx = 0 si annulli la funzione per tutti i tempi.
Aggiungiamo quindi una fase alla funzione:
u(t , x) = 2 cos (kx + ϕ) · sin (ωt) (50)
ovvero:
cos(
kx︸︷︷︸=0
+ϕ)
= 0 ⇒ ϕ =π
2+ nπ (51)
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Onda stazionaria III
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
Scegliamo come fase ϕ = π2 . Se vogliamo determinare la posizione
di tutti i massimi dobbiamo trovare i valori di x tali che la funzione siannulli per tutti i tempi:
cos(
kx +π
2
)= 0 ⇒ kx +
π
2=π
2+ nπ (52)
Quindi otteniamo che
kx = nπ (53)
ricordando che k = 2πλ si ottiene
x = nλ
2(54)
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Battimenti I
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02.01.51.00.50.00.51.01.52.0
Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/battimenti.html
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Battimenti II
È anche possibile vedere l’effetto dei battimenti usando dei motivi grafici.
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Effetto Doppler I
v=⃗0
v ⃗
λ
λ'λ''
Immaginiamo di avere una sorgente che emette un’ondache si propaga con velocità ~v . Se la sorgente stessa si staavvicinando a noi con velocità ~vS la lunghezza d’ondapercepita λ′ corrisponde alla lunghezza d’onda reale λmeno la porzione di spazio percorsa durante un periodo T
λ′ = λ− T · vS (55)
Ricordando che
c = λν ⇒ T =1ν
=λ
c(56)
otteniamo
λ′ = λ− λ
c· vS = λ ·
(1− vS
c
)(57)
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Effetto Doppler II
v=⃗0
v ⃗
λ
λ'λ''
La frequenza percepita è
ν′ =cλ′
=c
λ ·(1− vS
c
) (58)
= ν · cc − vS
(59)
ove abbiamo usato la velocità di propagazione dell’onda cperché il mezzo di propagazione non è in movimento.
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Effetto Doppler III
v=⃗0
v ⃗
λ
λ'λ''
Riassumendo
λ′ = λ ·(
1− vS
c
)(60)
ν′ = ν · cc − vS
(61)
la lunghezza d’onda percepita λ′ diminuisce se la sorgentesi avvicina e la frequenza ν′ aumenta. Se la sorgente siallontana (ovvero vS < 0) allora la lunghezza d’ondapercepita λ′′ aumenta e la frequenza ν′′ diminuisce.
Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/03/01/doppler.html
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Energia di un’onda
In generale si può dimostrare che l’energia trasportata da un’onda qualunque siaproporzionale al quadrato dell’ampiezza
Etot ∝ A2 (62)
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Energia di un’onda di una stringa elastica I
dx
ds
ds'
dx'
v ⃗
Prendiamo una stringa elastica sucui si propaga lungo x un’ondasinusoidale:
u(t , x) = A sin (ωt − kx) (63)
Assumiamo che il movimento degli elementi della stringa sarà solo verticale e nonorizzontale. Osserviamo che u(t , x) soddisfa le condizioni dell’oscillatore armonico
d2
dt2 u(t , x) = −αu(t , x) (64)
Un elemento infinitesimo della stringa ds si comporta quindi come un oscillatore armonico.
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Energia di un’onda di una stringa elastica IIL’energia totale di un elemento quindi è data dall’energia totale di un oscillatore armonico
dE =12κA2 (65)
ove A è lo spostamento massimo e κ è la costante elastica della stringa. Ricordiamo chel’enegia totale non dipende dal tempo. Ricordiamo la pulsazione del moto armonico per unsistema elastico
ω =
√κ
m(66)
e risolviamola per κ:
κ = ω2 dm (67)
quindi sostituiamola nella formula precedente
dE =12κA2 =
12ω2A2 dm (68)
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Energia di un’onda di una stringa elastica IIIEssendo il movimento delle porzioni di stringa solo verticale possiamo calcolare la massacome
dm = ρdx (69)
ove ρ è la densità lineare della stringa. Otteneniamo così l’energia della porzioneinfinitesima
dE =12ω2A2 dm =
12ω2A2ρdx (70)
che integrata ci da il valore dell’energia conservata in tutta la stringa
Etot =
∫dE =
∫ L
0
12ω2A2ρdx =
12ω2A2ρL (71)
che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza
Etot ∝ A2 (72)
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Ampiezza di un’ondaAbbiamo detto che in generale l’energia è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, ma qualè l’ampiezza di un’onda? È il termine della formula che non dipende dal tempo. Vediamoalcuni esempi in cui sono evidenziate le ampiezze:
u(t , x) = A︸︷︷︸Ampiezza
sin (ωt − kx) Onda generica (73)
u(t , x) = 2A cos(
kx +pi2
)
︸ ︷︷ ︸Ampiezza
sin (ωt) Onda stazionaria (74)
u(t , x) = 2A cos(
kd sin θ2
)
︸ ︷︷ ︸Ampiezza
sin (ωt − kr) Interferenza (75)
u(t , x) = 2Asin( kd sin θ
2
)
kd sin θ2︸ ︷︷ ︸
Ampiezza
sin (ωt − kr) Diffrazione (76)
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Flusso di energia
Se prendiamo una porzione di spazio ∆x attraversata da un’onda, l’energia trasportata è
∆E =dEdx
∆x (77)
la quantità di energia che fluisce nel tempo ∆t che impiega a percorrere ∆x è
Φ =∆E∆t
=dEdx
∆x∆t
=dEdx
c (78)
ove c è la velocità di propagazione dell’onda.E.g. Nel caso dell’onda elastica si ha
dE =12ω2A2ρdx Φ =
dEdx
c =12ω2A2ρdx
dxc =
12
cω2A2ρ (79)
per aumentare quindi il flusso si può aumentare l’ampiezza dell’onda A oppure lapulsazione ω.
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Intensità di un’onda
L’intensità di un’onda tridimensionale è definita come il rapporto tra l’energia trasportatanell’unità di tempo e l’unità di superficie S che essa attraversa, ovvero il flusso dell’energiaattraverso la superficie
I =Φ
S. (80)
Ricordando che in generale l’energia di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza,anche l’intensità stessa lo sarà:
E ∝ A2 ⇒ I ∝ A2 (81)
L’unità di misura è
[I] =[E ]
[t ][S]=
Wm2 (82)
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Intensità e distanza I
S
ds
r ⃗
Calcoliamo la potenza totale emessa da una sorgente di un’onda sferica,a potenza costante. Su una superficie sferica S di raggio R, centratasulla sorgente, è l’integrale dell’intensità sulla superficie stessa
P0 =
∫
SI(R) ds = I(R)
∫
Sds
︸ ︷︷ ︸Superficie
= I(R)4πR2 (83)
ove abbiamo portato I(R) fuori dall’integrale perché è costante su Sperché è sferica. Quindi otteniamo
I(R) =P0
4πR2 (84)
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Intensità e distanza II
S
ds
r ⃗
L’intensità è quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza
I(r) =P0
4πr2 =I0r2 ove I0 =
P0
4π(85)
I0 rappresenta l’intensità della sorgente dell’onda. Calcoliamo la potenzache riceve una generica superficie Σ
P =
∫
Σ
I(r) ds =P0
4π
∫
Σ
dsr2 (86)
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Percezione uditiva
Livello del dolore
Inte
nsi
tà s
onora
[dB
]
Frequenza [Hz]
Parlata umana
Musica
Suoni percepibili
Figura: Percezione uditiva [wiki]
L’orecchio umano riesce a percepire suoni conintervalli di intensità e frequenze molto ampi. Vi è unaforte relazione tra le due grandezze, ovvero la gammadi intensità udibili dipende dalla frequenza del suono.
20 Hz . νperc. . 20 kHz (87)
1 · 10−12 W/m2 . Iperc. . 10 W/m2 (88)
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Scala dei decibel I
Vista l’ampia gamma di intensità sonore percepibili si utilizza comunemente la scaladecibel:
β = 10 dB · log10
(II0
)(89)
ove I0 è un’intensità di riferimento pari a
I0 = 1 · 10−12 Wm2 (90)
Notiamo che un aumento di 10 dB nell’intensità del suono, corrisponde ad un aumento di 10volte dell’intensità dell’onda.
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Scala dei decibel II
Vediamo alcuni esempi
βmin = 10 dB · log10
(I0I0
)= 10 dB · log10 (1) = 0 dB (91)
βdolore = 10 dB · log10
(Idolore
I0
)= 10 dB · log10
(10 W/m2
1 · 10−12 W/m2
)(92)
= 10 dB · log10(1 · 1013) = 130 dB (93)
βzanzara = 10 dB · log10
(1 · 10−8 W/m2
I0
)= 40 dB (94)
βvoce = 10 dB · log10
(1 · 10−6 W/m2
I0
)= 60 dB (95)
βtraffico = 10 dB · log10
(1 · 10−4 W/m2
I0
)= 80 dB (96)
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Attenuazione del suono
101 102 103 104 105 106
Frequency/pressure [Hz/atm]
10 4
10 3
10 2
10 1
100
101
102
103
104
Abso
rptio
n co
effic
ient
/pre
ssur
e [d
B/10
0m.a
tm]
Rel. hum.0 %30 %60 %100 %
Figura: Attenuazione del suono in aria adiversi valori di umidità relativa [wiki]
Sperimentalmente si vede che l’ampiezza di un suonoche attraversa un mezzo è attenuata secondo la legge:
dAdx
= −µA (97)
integrando otteniamo:
A(x) = A0 e−µx (98)
ricordando che I ∝ A2 si ottiene una legge simile perl’intensità
I(x) = I0 e−2µx (99)
ovvero in un mezzo si ha un’attenuazioneesponenziale.
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Principio di Huygens-Fresnel
Sorgentisecondarie
Principio di Huygens-FresnelOgni punto del fronte di un’onda può essere considerato una sorgentesecondaria di onde sferiche secondarie. La velocità e la lunghezzad’onda sono le stesse dell’onda primaria.Il fronte d’onda in un tempo successivo è tangente a tutti i fronti d’ondasecondari.
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Interferenza ISommiamo due onde uguali ma sfasate di ϕ una dall’alta
u(t , x) = u1(t , x) + u2(t , x + ϕ) (100)= A sin(ωt − kx) + A sin(ωt − kx + kϕ) (101)
usando le formule di prostaferesi si ottiene
u(t , x) =2A cos(ωt − kx − ωt + kx − kϕ
2
)·
· sin(ωt − kx + ωt − kx + kϕ
2
)(102)
=2A cos(
kϕ2
)· sin
(ωt − kx +
kϕ2
)(103)
questa è un’onda con ampiezza 2A cos(
kϕ2
)quindi l’intensità
I ∝ 4A2 cos2(
kϕ2
)(104)
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Interferenza IIPer semplicità diciamo che
I = I0 cos2(
kϕ2
)(105)
A seconda del valore dello sfasamento kϕ si può avere interferenza costruttiva odistruttiva:
kϕ = 0 ⇒ u(t , x) = 2A sin (ωt − kx) Costruttiva (106)kϕ = π ⇒ u(t , x) = 0 Distruttiva (107)
La percezione dell’onda dipende dall’intensità quindi
kϕ = 0 ⇒ I = I0 Costruttiva (108)kϕ = π ⇒ I = 0 Distruttiva (109)
Se l’interferenza è distruttiva quindi l’onda non trasporta energia e si ha un punto “buio” (perla luce) o “muto” (per il suono).
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Interferenza III
Schermo
D
d
r1 r2θ
PDato un sistema con due sorgenti puntiformi eduno schermo, si può osservare il fenomenodell’interferenza tra le onde emesse.
d
r1 r2θ
θ
La distanza tra le sorgenti deve essere trascurabile rispetto la distanzacon lo schermo
d � D (110)
Un punto P sullo schermo vede le sorgenti a distanza r1 e r2. L’onda,percorrendo percorsi diversi alla stessa velocità, arriva con unosfasamento dovuto alla differenza tra i cammini
∆r = r2 − r1 = d sin θ & r =r1 + r2
2(111)
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Interferenza IV
Vediamo la sovrapposizione tra le due onde sul punto P
u(t ,P) =A0 sin (ωt − kr1) + A0 sin (ωt − kr2) (112)
=2A0 cos(ωt − kr1 − ωt + kr2
2
)· sin
(ωt − kr1 + ωt − kr2
2
)(113)
=2A0 cos(−k
r2 − r1
2
)· sin
(ωt − k
r1 + r2
2
)(114)
=2A0 cos(−k
r2 − r1
2
)· sin (ωt − kr) (115)
= 2A0 cos(
kd sin θ2
)
︸ ︷︷ ︸Ampiezza
· sin (ωt − kr) (116)
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Interferenza VData l’ampiezza
A = 2A0 cos(
kd sin θ2
)(117)
Passiamo all’intensità
I = I0 cos2(
kd sin θ2
)(118)
La condizione di interferenza costruttiva diventa
kd sin θ2
= nπ ⇒ sin θ =nλd
(119)
mentre per l’interferenza distruttiva
kd sin θ2
=π
2+ nπ ⇒ sin θ =
λ
2d(1 + 2n) (120)
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Diffrazione I
Ondaincidente
Ondauscente In realtà anche una singola sorgente estesa, come una fenditura, può
fare interferenza con sé stessa. Possiamo vederlo applicando il principiodi Huygens. Ricordiamo il caso dell’interferenza di due sorgenti
u2(t ,P) =2A cos(
kd sin θ2
)· sin (ωt − kr) (121)
e ricordiamo che ognuna delle sorgentine secondarie sta emettendoonde che interferiscono le une dalle altre. Prendiamo come riferimentouno dei bordi e sommiamo i contributi di tutte le altre sorgentine.
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Diffrazione II
Schermo
D
d
r1 r2θ
P
x ⃗
utot(t) =1d
∫ d
0u2(t ,P) dx (122)
=2Ad
∫ d
0cos
(kx sin θ
2
)sin (ωt − kr) dx (123)
= 2Asin( kd sin θ
2
)
kd sin θ2
· sin (ωt − kr) (124)
ove abbiamo diviso l’integrando per d per mediare il contributo sullalunghezza della sorgente. Passando all’intensità
I(P) = 2A
[sin( kd sin θ
2
)
kd sin θ2
]2
(125)
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Diffrazione III
3 2 1 0 1 2 3/d
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Con intensità:
I(P) = 2A
[sin( kd sin θ
2
)
kd sin θ2
]2
(126)
le condizioni di interferenza distruttivadiventano
kd sin θ2
= nπ (127)
sin θ =nλd
(128)
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Diffrazione IV
Una condizione importante per ottenere la figura di diffrazione è che ladimensione della sorgente sia molto maggiore della lunghezza d’onda
λ� d (129)
in caso contrario si ottiene un’onda sferica centrata sulla sorgente.Ricordando che sin θ ∈ [−1,1] allora
sin θ =nλd≤ 1 (130)
quindi se nλ ≥ d la condizione non può essere soddisfatta.
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